Alberto Clemente de la Torre

FSICA CUNTICA PARA FILO-SOFOS

I. Divulgacin de la fsica cuntica.

Por qu y para quin

EN ESTE CAPTULO de introduccin quisiera plantear algu-nas ideas sobre la necesidad de divulgar la teora cunti-ca y a qu pblico dicha divulgacin pretende alcanzar. Comenzar con la segunda cuestin. Divulgacin signi-fica que en la transmisin de cierto conocimiento se debe poder alcanzar a todo pblico, sin restriccin algu-na. Es mi intencin respetar ese significado con una ni-ca salvedad: a lo largo de estas pginas me dirijo a los "fi-lo-sofos", as escrito para hacer resaltar la etimologa de la palabra: amantes del conocimiento. Estos no son nece-sariamente filsofos, ya que para leer este libro no se re-quiere ningn conocimiento de filosofa. Tampoco se requiere ningn conocimiento de fsica ms all de los conceptos fsicos dictados por el sentido comn, y se har un esfuerzo didctico para evitar el lenguaje natural de la fsica que brinda la matemtica. No le pido al lector ni fsica ni matemtica ni filosofa, pero s le pido una actitud abierta frente al conocimiento, una curiosidad, un llamado a penetrar en el fascinante mundo de la fsi-ca cuntica, aunque esto signifique abandonar algunas

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ideas cuya validez nunca ha cuestionado. En sntesis, slo pido amor al conocimiento.

En la elaboracin de esta obra de divulgacin se ha te-nido en cuenta fundamentalmente al eventual lector sin conocimientos de mecnica cuntica. Sin embargo, los lectores con conocimientos, aun aquellos considerados expertos, no han sido olvidados y pueden tambin en-contrar que su lectura les resulta enriquecedora, porque se tratan aqu algunos temas que son casi siempre igno-rados en la enseanza de la mecnica cuntica. Veremos ms adelante que la mecnica cuntica posee un exce-lente formalismo, cuyas predicciones han sido verificadas experimentalmente con asombrosa precisin, pero care-ce de una interpretacin satisfactoria; no sabemos qu significan exactamente todos los smbolos que aparecen en el formalismo. Esta situacin, ilustrada sin exagera-cin alguna por el premio Nobel R. Feynman al expresar que "nadie entiende la mecnica cuntica", se refleja en el hecho de que los libros de texto, con raras excepcio-nes, dejan de lado todos los aspectos conceptuales que hacen a la bsqueda de interpretacin para esta teora.

Volvamos ahora a la pregunta inicial. Qu necesidad hay de divulgar la fsica cuntica? Por qu considero im-portante que una parte significativa de la poblacin tenga algn conocimiento de la fsica cuntica? La misma es- tudia sistemas fsicos que estn muy alejados de nuestra percepcin sensorial. Esto significa que el comportamien-to de tales sistemas no interviene, al menos directamente, en el quehacer diario del ser humano. Para justificar la ciencia bsica y su divulgacin se recurre a menudo a las consecuencias tecnolgicas que aquella tiene. En el caso de la mecnica cuntica, la lista es imponente. La mec- nica cuntica ha permitido el desarrollo de materiales se-miconductores para la fabricacin de componentes elec-

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irnicos cada vez ms pequeos y eficaces, usados en radios, televisores, computadoras y otros innumerables aparatos. La mecnica cuntica ha permitido un mejor conocimiento del ncleo de los tomos abriendo el campo para sus mltiples aplicaciones en medicina y generacin de energa elctrica. La mecnica cuntica ha permitido conocer mejor el comportamiento de los tomos y molculas, hecho de enorme importancia para la qu-mica. Las futuras aplicaciones de la superconductividad, fenmeno cuyo estudio es imposible sin la mecnica cun-tica, sobrepasarn toda imaginacin. As podemos con-tinuar alabando a esta ciencia bsica por sus consecuen-cias tecnolgicas y justificar su divulgacin diciendo que el pueblo debe conocer a tan magnnimo benefactor. Pero, cuidado! La radio y la televisin son excelentes medios, pero el contenido de sus emisiones no siempre honra al ser humano y a menudo lo insulta y estupidiza. Las computadoras son excelentes herramientas, pero hacen al ser humano ms libre? S, las centrales nuclea-res..., pero y Chernobyl? La qumica..., y Seveso? No es necesario mencionar la monstruosa estupidez de las ar-mas qumicas, nucleares y convencionales, para poner en duda si la tecnologa generada por la ciencia ha sido una bendicin para la humanidad. No es mi intencin anali-zar aqu si la ciencia bsica es o no es responsable de las consecuencias de la tecnologa que gener. Baste con aclarar que la tecnologa no es una buena justificacin para la ciencia, porque los mismos argumentos que pre-tenden demostrar que la ciencia es "buena" pueden utili-zarse para probar lo contrario. Considero que pretender justificar la ciencia bsica es un falso problema desde que la ciencia no puede no-existir, pues surge de una curiosi-dad intrnseca al ser humano. Justificar algo significa ex-poner los motivos por los cuales se han tomado las deci-

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siones para crear o generar lo que se est justificando. No se puede justificar la ciencia, porque sta no surge de un acto volitivo en el que se decide crearla, sino que apa-rece como la manifestacin social ineludible de una ca-racterstica individual del ser humano. Es evidentemente cierto que la ciencia puede ser desarrollada con mayor o menor intensidad mediante la asignacin de recursos a la educacin e investigacin, pero su creacin o su des-truccin requeriran la creacin o destruccin de la cu-riosidad y del pensamiento mismo. El ser humano no tie-ne la libertad de no pensar, cosa necesaria para que la ciencia no exista. Por esto, los mltiples intentos autori-tarios de oponerse a la ciencia cuando sta contradeca al dogma han fracasado en su meta principal de aniqui-lar el conocimiento, aunque s han producido graves da-os frenando su desarrollo.

Por qu entonces divulgar la fsica cuntica? La mec-nica cuntica es una de las grandes revoluciones intelec-tuales que no se limita a un mayor conocimiento de las le-yes naturales. Un conocimiento bsico de esta revolucin debera formar parte del bagaje cultural de la poblacin al igual que la psicologa, la literatura o la economa polti-ca; y esto no solamente por razones de curiosidad o de cultura general, sino tambin porque este conocimiento puede tener repercusiones insospechadas en otros cam-pos de la actividad intelectual. De hecho, un fenmeno fascinante de la historia de la cultura es que las revolucio-nes culturales y las lneas de pensamiento tienen sus para-lelos en diferentes aspectos de la cultura. Existen similitu-des estructurales entre las revoluciones artsticas, cientficas y filosficas. Por ejemplo, Richard Wagner libera la com-posicin musical de los sistemas de referencia represen-tados por las escalas, en la misma forma en que Einstein libera las leyes naturales de los sistemas de referencia es-

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paciales, requiriendo que las mismas sean invariantes an-te transformaciones de coordenadas. La teora de cam-pos cunticos es una teora filosficamente materialista al establecer que las fuerzas e interacciones no son otra cosa que el intercambio de partculas. El estructuralismo de los antroplogos y lingistas no es otra cosa que la teora de grupos de los matemticos, que tambin hizo furor en la fsica de los aos sesenta y setenta. La msica de Antn Webern podra ser llamada msica cuntica. Si bien resulta improbable que haya una causalidad directa entre estas ideas y movimientos, es difcil creer que las si-militudes se deban exclusivamente al azar. Cualquiera sea el motivo para estas correlaciones, el conocimiento de la revolucin cuntica, que no ha concluido an, puede re-velar aspectos y estructuras ocultos en otros terrenos del quehacer cultural.

Una consecuencia interesante de divulgar la mecnica cuntica es la de conectar al ser humano con su historia presente. Quizs ignoramos las principales caractersticas del momento histrico que estamos viviendo porque se hallan veladas por las mltiples cuestiones cotidianas que llenan los espacios de los medios de difusin. Cuando hoy pensamos en la Edad Media, se nos presentan como elementos caractersticos las catedrales gticas, las cruza-das y muchos otros hechos distintivos. El Renacimiento nos recuerda el colorido de la pintura italiana de la po-ca. La historia barroca est signada por las fugas de Bach. Sin embargo, el hombre que vivi en tales periodos his-tricos no era consciente de la pintura del Renacimiento ni de la msica barroca, ya que probablemente estaba preocupado por la cosecha de ese ao o por el peligro de conflicto entre el prncipe de su condado y el prncipe vecino, o por los bandidos que acechaban en el bosque. Nadie sabe con certeza cules sern las caractersticas

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determinantes de nuestra poca. Sin duda, no lo sern las noticias que aparecen todos los das en las primeras pginas de los diarios. Pero podemos afirmar que la cien-cia ser una de ellas y, entre las ciencias, la mecnica cuntica jugar un papel importante, ya que sobran los datos que indican que una nueva revolucin cuntica se est perfilando. Esta divulgacin pretende, entonces, co-nectar al hombre contemporneo con algo que el futuro sealar como un evento caracterstico de nuestra historia.

Quiz la motivacin ms importante para divulgar la teora cuntica es el placer esttico que brinda el conoci-miento en s, sin justificativos. Esa necesidad que tiene el ser humano de aprender y comprender. Esa curiosidad cientfica que est en la base de todo conocimiento. El amor al conocimiento es, sin duda, la motivacin funda-mental.

La meta principal que se quiere alcanzar con este libro es la divulgacin de la mecnica cuntica. Sin embargo, en ella participan conceptos que han sido heredados de la mecnica clsica y, aunque ambas se contradicen en lo esencial, comparten muchas estructuras matemticas y conceptos. Es por esto que el lector encontrar aqu nu-merosas ideas y conceptos que se originan en la fsica cl-sica pero que sern necesarios para una presentacin comprensible de la mecnica cuntica. Valga la aclara-cin para que el lector no se desilusione si no encuentra en las primeras pginas a los electrones, tomos y dems sistemas esencialmente cunticos.

Existen numerosos libros de divulgacin de la fsica cuntica de muy variada calidad. ste pretende diferen-ciarse de todos ellos por no asumir un enfoque histrico del tema, presentando en forma comprensible los con-ceptos actuales, sin invocar los tortuosos caminos que han llevado al conocimiento que hoy tenemos del fen-

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meno cuntico. Tal enfoque es ventajoso porque, contra-riamente a lo que sucede con la teora de la relatividad de Einstein, la historia de la mecnica cuntica no ha concluido an. A lo largo de su desarrollo, la fsica cun-tica ha penetrado en varios callejones sin salida y en ca-minos pantanosos sin meta cierta que le han dejado nu-merosos conceptos poco claros (en el mejor de los casos). La no existencia de una interpretacin universalmente aceptada, a pesar de los formidables logros de su forma-lismo, indica que la fsica cuntica est an en ebulli-cin. La decisin de hacer un enfoque conceptual y no histrico permite excluir largos discursos sobre ondas y partculas, radiacin del cuerpo negro, tomo de Bohr, funciones de ondas, difraccin de materia y otros temas comunes a todos los libros de divulgacin con enfoque histrico, y, en cierta forma, se puede considerar a ste como complementario (en el buen sentido de la pala-bra) de aqullos.

Nuestro plan es el siguiente: en el prximo captulo se definir el sistema fsico, motivo de estudio de toda teo-ra fsica, y se ver la estructura general de las mismas: formalismo e interpretacin.

El comportamiento de los sistemas cunticos es difcil de comprender si pretendemos hacerlo basndonos en nuestra intuicin. Ante la confrontacin entre la mecni-ca cuntica y la intuicin se presentan dos alternativas: abandonamos la teora cuntica o educamos y modifica-mos nuestra intuicin. Evidentemente elegimos la segun-da. Por este motivo, despus de haber presentado los ob-servables bsicos de los sistemas fsicos y de clasificar a stos, se pondr nfasis en preparar al lector, en el tercer captulo, para que pueda poner en duda la acostumbra-da infalibilidad de la intuicin. Lograda esta meta, podr apreciar la belleza escondida en el comportamiento de

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los sistemas cunticos y gozar del vrtigo que producen las osadas ideas que aparecen en la teora cuntica.

Un premio Nobel en fsica expres en una oportuni-dad estar viviendo una poca fascinante en la historia de la cultura porque un cuestionamiento filosfico bsico podra ser resuelto en un laboratorio de fsica. Otro fsi-co acu la denominacin de "filosofa experimental" para referirse a tales experimentos. Posiblemente dichas afirmaciones sean algo exageradas, pero es innegable que el debate de la mecnica cuntica y ciertos debates filosficos se han fundido esta vez en el terreno de la fsi- ca y no, como antes, en el de la filosofa. Por este motivo se presentan en el captulo IV los conceptos filosficos relevantes para la teora cuntica.

El lector que no haya perdido la paciencia encontrar en el quinto captulo las caractersticas esenciales de la teora cuntica. En el sexto, la misma ser aplicada en la descripcin de algunos sistemas cunticos simples, don-de se podrn apreciar sus virtudes y el xito con que esta misteriosa teora describe la realidad.

Desafortunadamente, tendr el lector en el captulo sptimo motivos para ver empaada la admiracin por la teora al constatar algunas de las graves dificultades que la aquejan debido a la ausencia de una interpretacin de la mecnica cuntica. De uno de los argumentos rela-cionados con los fundamentos de la fsica cuntica ms importantes del siglo, el argumento de Einstein, Podolsky y Rosen, surgen varias alternativas de interpretacin que sern estudiadas en el captulo octavo. Finalmente algu-nas expectativas para el futuro del debate cuntico se presentan en el captulo IX.

Concluyo esta primera parte, que no quise llamar "in-troduccin" ni mucho menos "prlogo" para evitar que sea salteado, aclarando que los trminos fsica cuntica,

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teora cuntica y mecnica cuntica pueden ser conside-rados sinnimos y, aunque prefiero el primero, el terce-ro es el ms usual y ser por ello el ms frecuente. Final-mente, deseo agradecer a Olga Dragn y Jorge Testoni, quienes me sugirieron emprender esta obra, y a Gabriela Tenner, que depur y mejor el texto original. La frase usual referente a la responsabilidad por errores y omisio-nes es tambin vlida aqu.

II. Sistemas fsicos. Estructura de las teoras fsicas: formalismo e interpretacin

AUNQUE CON SEGURIDAD el lector tiene un concepto intui-tivo de lo que es un sistema fsico, conviene partir de una definicin precisa, porque de su anlisis surgirn algunos elementos importantes. Dejando para ms adelante la cuestin de la existencia del mundo externo a nuestra con-ciencia y suponiendo que algo externo a nosotros, a lo que llamamos "la realidad", existe, podemos definir el sistema fsico como una abstraccin de la realidad que se hace al seleccionar de la misma algunos observables relevantes. El sistema fsico est compuesto, entonces, por un conjun-to de observables que se eligen en forma algo arbitraria. Aclaremos esta definicin con un ejemplo. Tomemos una piedra. La simple observacin revela que la realidad de la piedra es muy compleja: posee una forma propia; su superficie tiene una textura particular; su peso nos in-dica una cantidad de materia; notamos que su tempera-tura depende de su reciente interaccin con su medio ambiente; puede estar ubicada en diferentes lugares y

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moverse y rotar con diferentes velocidades; su composi-cin qumica es muy compleja, conteniendo un gran n-mero de elementos, entre los cuales el silicio es el ms abundante; un anlisis microscpico revelar que est formada por muchos dominios pequesimos en cuyo in-terior los tomos integran una red cristalina regular; la piedra puede esconder algn insecto petrificado desde hace muchos millones de aos; hasta llegar a nuestras ma-nos, ha tenido una historia que le ha dejado trazas; aun-que sea altamente dudoso, ninguna observacin o razona-miento nos permite afirmar con certeza que la piedra no tenga conciencia de su propia existencia; etc. Vemos que la realidad de la "simple" piedra es muy compleja, con mu-chas caractersticas que participan, sin prioridades, en la misma. Sin embargo, cuando un fsico estudia la cada li-bre de los cuerpos y toma dicha piedra como ejemplo, de toda esa compleja realidad selecciona solamente su posi-cin y velocidad. As, el fsico ha definido un sistema fsi-co simple. Las dems caractersticas han sido declaradas irrelevantes para el comportamiento fsico del sistema, si bien algunas pueden ser incluidas en l segn las nece-sidades. Por ejemplo, podemos incluir la forma y rugosi-dad de la superficie de la piedra si deseamos estudiar la friccin con el aire durante la cada, pero se supone que la historia de la piedra no afectar dicha accin.

El ejemplo presentado pone en evidencia que es un error identificar el sistema fsico con la realidad; nuestros sentidos nos informan rpidamente de ello, porque perci-bimos que la piedra es algo ms que su posicin. La per-cepcin sensorial nos protege. Sin embargo, los sistemas fsicos que se estudian con la mecnica cuntica no tienen un contacto directo con nuestros sentidos y dicha protec-cin es desactivada. Nos equivocaramos si afirmsemos que el sistema fsico compuesto por un tomo de hidr-

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geno o un electrn abarca necesariamente a la totalidad de la realidad de los mismos. No podemos estar segu-ros de no haber omitido en nuestra seleccin del sistema fsico alguna propiedad relevante de la realidad que an no se ha manifestado a nuestro estudio o que nunca lo har. Estas consideraciones son importantes para conce-bir la posibilidad de ciertas interpretaciones de la mec-nica cuntica, donde dichas propiedades, relevantes pero no conocidas (o no conocibles), llevan el nombre de "va-riables ocultas", sobre las que trataremos ms adelante. El concepto de "observable" que aparece en la defini-cin de sistema fsico intervendr en numerosas ocasio-nes en este libro. Como su nombre lo indica, un observa-ble es una cualidad susceptible de ser observada. Pero en fsica es necesario ser un poco ms preciso: un observa-ble es una cualidad de la realidad para la cual existe un procedimiento experimental, la medicin, cuyo resulta-do puede ser expresado por un nmero. Esta definicin es suficientemente amplia para abarcar a todos los obser-vables que participan en los sistemas fsicos, pero excluye muchas cualidades que en otros contextos pueden ser calificadas como observables. Por ejemplo, algn color en un cuadro de Botticelli es "observable" porque existen for-mas de caracterizarlo mediante ciertos nmeros, tales como las intensidades y frecuencias de la luz absorbida o reflejada, pero la belleza del "Nacimiento de la Primave-ra" de Botticelli no sera observable. El sonido que surge de un Stradivarius es observable en el sentido del fsico, pero la emocin que este sonido transmite no lo es (ex-cepto si decidimos medir la emocin por los mililitros de lgrimas que alguna sonata hace segregar). No confun-damos! Esto no significa de ninguna manera que el fsico sea insensible a la belleza o que no sienta emociones. Al contrario, es posible demostrar que justamente la bs-

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queda de belleza y armona ha sido uno de los principa- les motores en la generacin de nuevos conocimientos en la historia de la fsica. R. Feynman nos recuerda que puede haber tanta belleza en la descripcin que un fsico hace de las reacciones nucleares en el Sol como la que hay en la descripcin que un poeta hace de una puesta de ese mismo Sol.

Los observables de un sistema fsico sern designados en este texto por alguna letra A, B, etc. Consideremos un observable cualquiera A y supongamos que se ha realiza- do el experimento correspondiente para observarlo, el cual tuvo como resultado un nmero que designamos por a. El observable A tiene asignado el valor a, evento que ser simbolizado por A = a y que ser denominado una "propiedad del sistema". Tomemos por ejemplo una partcula que se mueve a lo largo de una recta (un cami-nante en una calle). Para este sistema fsico simple, la posicin relativa a algn punto elegido como referencia es un observable que podemos designar con X. Una pro-piedad de este sistema fsico es X = 5 metros, que significa que la posicin de la partcula es de 5 metros desde el origen elegido. Del mismo modo, si V es el observable correspondiente a la velocidad de la partcula, una pro-piedad puede ser V= 8 metros por segundo. El lector puede asombrarse de que se necesite tanta precisin para decir cosas ms o menos triviales como que la posicin es tal y que la velocidad es cual, pero veremos ms adelante que esto no es en vano. Resumimos:

El sistema fsico est definido por un conjunto de observa-bles A, B, C,... Para cada uno de ellos se define un con-junto de propiedades A = a1, A = a2, A = a3. .. B =b1, B = b2,..., que representan los posibles resultados de la obser-vacin experimental de los mismos.

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Se ha dicho anteriormente que el sistema fsico no es ms que una abstraccin de la realidad y, por lo tanto, uno y otra no deben ser confundidos. Sin embargo, una de las caractersticas fascinantes de la fsica consiste en que esta mera aproximacin brinda una perspectiva su-mamente interesante de la realidad que puede ser estu-diada en detalle con teoras fsicas hasta revelar sus secre-tos ms profundos. Por un lado debemos ser modestos y recordar que el fsico slo estudia una parte, una pers-pectiva de la realidad, pero, por otro lado, podemos es-tar orgullosos del formidable avance que dicho estudio ha posibilitado en el conocimiento de las estructuras n-timas del mundo externo a nuestra conciencia al que lla-mamos realidad.

El estudio de los sistemas fsicos se hace por medio de teoras fsicas cuya estructura analizaremos. Pero antes vale la pena mencionar que tales teoras permiten hacer predicciones sobre el comportamiento de los sistemas f-sicos, y que pueden ser contrastadas mediante experimen-tos hechos en la realidad. Como en la historia de la fsica los experimentos no siempre han confirmado las predic-ciones hechas por las teoras fsicas, esto ha motivado mo-dificaciones en las mismas o la inclusin de nuevos obser-vables en los sistemas fsicos. A su vez, las nuevas teoras fsicas permitieron nuevas predicciones que requeran nuevos experimentos, acelerando una espiral vertiginosa donde el conocimiento fsico aumenta exponencialmen-te. Al intrincado juego entre la teora y el experimento, en el que el conocimiento genera ms conocimiento, se alude cuando se dice que el mtodo de la fsica es teri-co-experimental. Esto que hoy nos parece elemental no lo fue siempre en la historia de la fsica, ya que el mtodo terico-experimental comenz a aplicarse recin a princi-pios del siglo XVII, en esa maravillosa poca de Kepler, Ga-

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lileo, Descartes, Pascal, Shakespeare y Cervantes, en que la cultura comenz a acelerarse vertiginosamente. Hasta entonces, y desde la Grecia antigua, la fsica haba sido puramente especulativa y estaba plagada de argumentos teolgicos y de prejuicios que estancaron su avance. Ex-perimentos tan sencillos como el de la cada de los cuer-pos, al alcance de cualquiera, fueron realizados en forma sistemtica slo en 1600, rompiendo el prejuicio intuitivo que sugiere que lo ms pesado cae ms rpido. (Hoy, casi cuatro siglos despus, mucha gente de elevado nivel cul-tural comparte an dicho prejuicio. De este hecho asom-broso se pueden sacar conclusiones interesantes sobre la deficiente formacin en fsica de la poblacin y su inca-pacidad para observar el fenmeno cotidiano con una vi-sin de fsico.)

Todas las teoras fsicas constan de dos partes, a saber: formalismo e interpretacin. Es importante mencionar esto porque, como veremos ms adelante, la mecnica cuntica es una teora que tiene un excelente formalis- mo, pero carece de una interpretacin universalmente aceptada.

Para comprender bien el significado de estas partes consideremos, por ejemplo, el sistema fsico correspon-diente al movimiento de un cuerpo sometido a ciertas fuerzas conocidas. Nuestra percepcin sensorial nos indi- ca algunos conceptos bsicos que participarn en el siste-ma fsico: la posicin del cuerpo, su movimiento o veloci-dad y aceleracin, la cantidad de materia del cuerpo, y tambin incluimos un concepto ms o menos intuitivo de lo que es la fuerza. Estos conceptos bsicos son bas-tante imprecisos, pero, a pesar de ello, los combinamos en relaciones conceptuales que tienen originalmente una forma verbal y corresponden a prejuicios, intuicio- nes y observaciones cualitativas que se revelarn algunas

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correctas y otras falsas, tales como: "para mantener un cuerpo en movimiento es necesario aplicarle una fuerza" (falso) o "a mayor fuerza, mayor aceleracin" (correcto). Rpidamente se encuentran las limitaciones que implica una formulacin verbal de estas relaciones conceptuales: imprecisin, imposibilidad de comprobar su validez por medio de experimentos cuantitativos, ambigedad en el significado, etc. Aparece la necesidad de formalizar, o sea de matematizar, la teora. Para ello se asocia a cada concepto bsico un smbolo matemtico, el cual repre-senta los posibles valores numricos que se le asignan se-gn el resultado de un procedimiento experimental de medicin. Por ejemplo, a la cantidad de materia se le asigna el smbolo m cuyo valor se obtiene con una balan-za comparando el cuerpo en cuestin con otros cuerpos definidos convencionalmente como patrones de medida. Con estos smbolos, las relaciones conceptuales se trans-forman en ecuaciones matemticas que pueden ser ma-nipuladas con el formidable aparato matemtico a nues-tra disposicin. Dichas manipulaciones sugieren crear nuevos conceptos, compuestos a partir de los conceptos bsicos, para interpretar las nuevas ecuaciones obteni-das. La teora ha adquirido un formalismo. En nuestro ejemplo, masa, posicin, velocidad, aceleracin y fuerza, son representadas por m, x, v, a, f, respectivamente y relacionadas entre s por ecuaciones del tipo f= ma. En dichas ecuaciones aparecen a menudo las cantidades mv y mv2/2, lo que sugiere interpretarlas asignndoles el concepto de impulso y energa cintica. En una direc-cin, los conceptos son formalizados cuando se les asigna un smbolo matemtico, y en otra, los smbolos matem-ticos son interpretados al asignrseles un significado que corresponde a alguna caracterstica del sistema fsico. El conjunto formado por los smbolos y las relaciones

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matemticas que los combinan constituye el formalismo de la teora, y los conceptos que le dan significado a to-dos los smbolos son la interpretacin de la misma.

La mecnica cuntica ocupa un lugar nico en la histo-ria de la fsica por tener un formalismo perfectamente de-finido que ha resultado extremadamente exitoso para pre-decir el comportamiento de sistemas fsicos tan variados como partculas elementales, ncleos, tomos, molculas, slidos cristalinos, semiconductores y superconductores, etc., pero, a pesar de los serios esfuerzos hechos durante ms de medio siglo por cientficos de indudable capacidad tales como Bohr, Heisenberg, Einstein, Planck, De Broglie, Schrdinger y muchos otros, no se ha logrado an que to-dos los smbolos que aparezcan en el formalismo tengan una interpretacin sin ambigedades y universalmente aceptada por la comunidad cientfica. En captulos pos-teriores se presentarn algunos aspectos del formalismo de la mecnica cuntica y los graves problemas de inter-pretacin que la aquejan. Como ejemplo del xito de di-cho formalismo para predecir los resultados experimen-tales mencionaremos aqu su broche de oro. La mecnica cuntica, en una versin relativista llamada electrodin-

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FORMALIZAR

INTERPRETACIN FORMALISMO

Smbolos matemticos Estructuras Ecuaciones

Relaciones matemticas

Conceptos bsicos Conceptos compuestos Significado de smbolos Relaciones conceptuales

INTERPRETAR

mica cuntica, permite calcular el momento magntico del electrn con la precisin suficiente para confirmar el valor experimental dado por = 1.001159652193 B. La incertidumbre experimental es de 10 en las dos lti-mas cifras. El electrn puede ser considerado como un pequesimo imn, siendo el momento magntico el ob-servable asociado a esa propiedad, y al que se mide en las unidades expresadas por B o magnetn de Bohr. Para ilustrar la asombrosa precisin en el valor terico y expe-rimental del momento magntico del electrn, conside-remos que el mismo es conocido con un error de una parte en 1010, o sea uno en 10 000 millones. Esta preci-sin correspondera, en un censo de una poblacin cua-tro veces mayor que la poblacin de la Tierra, a un error de un individuo en el resultado. Ninguna teora en la historia de la ciencia ha sido confirmada con tal preci-sin numrica. Sin embargo, a pesar de dicho xito, la mecnica cuntica no puede considerarse como definiti-vamente satisfactoria mientras de ella no se obtenga una interpretacin que permita comprender todas las partes esenciales de su formalismo. Seguramente estamos ha-ciendo algo bien, pero no sabemos qu es.

III. Observables cinemticos y dinmicos. En fsica hay accin y energa. Clasificacin de los sistemas fsicos y los lmites de la intuicin

HASTA AHORA los observables del sistema fsico y las pro-piedades asociadas haban sido presentados en forma abs-tracta. En este captulo se har hincapi en un conjunto

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de observables de gran importancia para la descripcin de los sistemas fsicos. stos son: las coordenadas generaliza-das, los impulsos cannicos, la energa y la accin. A con-tinuacin se definirn escalas caractersticas para todos los sistemas fsicos, lo que permitir establecer una clasi-ficacin de los mismos y as definir los rangos de aplica-cin de las diferentes teoras fsicas disponibles para su estudio. En este contexto es fundamental determinar los lmites de validez de nuestra intuicin cuando se la apli-ca a los sistemas fsicos.

El concepto de ubicacin de los objetos en el espacio es formalizado en los sistemas fsicos con el observable de posicin X al que se le asignan valores que corresponden a la distancia del objeto a ciertos puntos o ejes elegidos convencionalmente, y que recibe el nombre de "coorde-nada". Ya hemos mencionado que la coordenada X ca-racteriza la posicin de una partcula que se mueve a lo largo de una lnea (un caminante en una calle) y que pue-de tomar diferentes valores (X= 5 m, por ejemplo). Para caracterizar una partcula que se mueve sobre un plano (un caminante en una ciudad) es necesario fijar dos coor-denadas X, Y, y si la partcula se mueve en el espacio de tres dimensiones sern necesarias tres coordenadas X, Y, Z. Si el sistema fsico tiene dos partculas, las coordenadas se duplicarn, y si tenemos, por ejemplo, 8 partculas que se mueven en tres dimensiones, sern necesarias 3 X 8 - 2 4 coordenadas. El nmero de coordenadas necesa-rias para fijar exactamente la ubicacin de un sistema fsico equivale a "los grados de libertad" del mismo.

En los ejemplos anteriores, las coordenadas eran dis-tancias a puntos o ejes. Para ciertos sistemas fsicos es con-veniente elegir coordenadas que corresponden a ngu-los que fijan direcciones, referidas a una direccin dada. El estado de una veleta que indica la direccin del viento

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se caracterizar ms naturalmente con un ngulo. Lo mis-mo sucede con la posicin de una calesita y, en general, con todo sistema fsico donde la rotacin sea relevante.

Se denomina con el nombre de coordenadas generaliza-das a los observables (distancias, ngulos o lo que sea) elegidos para determinar sin ambigedad la ubicacin o localizacin del sistema fsico. A dichos observables los designaremos con las letras Q1 Q 2, Qa,...Qk.

Nuestra experiencia nos indica que los valores asocia-dos a las. coordenadas varan con el tiempo. Si para una partcula en movimiento a lo largo de una lnea tenemos en un instante la propiedad X = 5 m, en algn instante posterior podemos tener la propiedad X- 8 m. Esto sig-nifica que, asociado a cada coordenada, podemos definir otro observable: la velocidad con que cambia el valor asig-nado a la coordenada. Por ejemplo, si V es dicho obser-vable, el sistema fsico definido puede tener la propiedad V= 2 metros por segundo. Si la coordenada en cuestin es un ngulo, la velocidad asociada ser una velocidad an-gular de rotacin. La velocidad es una cantidad esen-cialmente cinemtica, pues se refiere a la descripcin espacio-temporal del movimiento. El formalismo de la mecnica clsica nos ha enseando que la velocidad aso-ciada a una coordenada es relevante, pero mucho ms lo es una cantidad que depende de la velocidad y tambin de la cantidad de materia que se encuentra en movimien-to. No es lo mismo un mosquito que avanza a 60 km/h que una locomotora a esa velocidad. Se define entonces al impulso como el producto de la velocidad por la masa P = mV. sta es una cantidad dinmica vinculada a las causas que originan el movimiento, cuyo valor se con-serva cuando ninguna fuerza acta y cuyo cambio tem-poral depende de la fuerza aplicada en la direccin indi-cada por la coordenada. Si la coordenada es un ngulo,

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el impulso asociado ser la velocidad angular multiplica-da por una cantidad que indica la inercia o resistencia que opone el cuerpo a ser rotado con mayor velocidad. Generalizamos esto diciendo que, para cada coordenada generalizada, se define una cantidad dinmica llamada impulso cannico, que designamos por las letras P1, P2, Pa,...Pk, y que est relacionado con la velocidad y con la inercia o resistencia que el sistema opone a los cambios de dicha velocidad.

Las coordenadas generalizadas Q1, Q2, Qa, Qk Y los im-pulsos cannicos correspondientes P1 P2, Pa,...Ph son ob-servables que participan en la descripcin de la cinemti-ca y dinmica del sistema fsico.

La meta de la mecnica clsica es determinar cmo varan con el tiempo las propiedades asociadas a todas las coor-denadas e impulsos simultneamente. Para plantear las ecuaciones matemticas que permiten alcanzar dicha meta es de gran utilidad definir dos cantidades que dependen de todas las coordenadas e impulsos del sistema fsico, a saber: la energa y la accin. Ambas cantidades tambin son importantes en nuestro caso, a pesar de que, como veremos ms adelante, la meta planteada para la mecni-ca clsica sera inalcanzable para la mecnica cuntica.

Todo cuerpo en movimiento posee una cantidad de energa debida al mismo movimiento, que se denomina "energa cintica". Cuando un cuerpo choca contra al-gn objeto y se detiene, libera su energa cintica, la cual queda de manifiesto en los daos y deformaciones pro-ducidos. Dicha energa puede ser incrementada por la accin de una fuerza, que efecta un trabajo y aumenta la velocidad del cuerpo. Si no se aplica ninguna fuerza, la energa cintica, al igual que el impulso, mantiene su va-

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lor constante. En general, la energa cintica se expresa matemticamente como una funcin que depende de to-das las velocidades asociadas a todas las coordenadas ge-neralizadas. Ms adecuado es expresarla como funcin de los impulsos cannicos.

Adems de la energa cintica o de movimiento, que es fcil de imaginar, existe otra forma de energa algo ms abstracta que llamamos "energa potencial". Es la energa, an no realizada, que existe en las fuerzas apli-cadas al cuerpo y que eventualmente se transformar en energa cintica.

Para ilustrar la relacin entre estas dos formas de ener-ga, consideremos un pndulo que oscila subiendo y ba-jando por la accin de su peso, es decir, de la fuerza de gravedad. Recordemos nuestra infancia, cuando nos ha-macbamos en el parque dominando con maestra ese sistema fsico que es el pndulo. Al punto ms bajo del pndulo corresponde la mxima velocidad. Por lo tanto, la energa cintica es mxima. En este punto, la fuerza, o sea el peso, es perpendicular al movimiento y no puede producirle ningn cambio en su valor. All comenzamos a elevarnos, "cargando" de energa potencial a la fuerza de atraccin de la Tierra y disminuyendo la energa cin-tica. Esto contina hasta llegar al punto ms alto del pn-dulo, donde el movimiento se detiene; la energa cinti-ca se ha transformado en su totalidad en potencial, la que nuevamente comenzar a transformarse en cintica al iniciar la cada con velocidad creciente. En el pndu-lo, la energa va cambiando en forma peridica entre ci-ntica y potencial, permaneciendo la suma de ambas cons-tante en todo el proceso. La energa potencial, que en este ejemplo est asociada a la coordenada "altura", ser, en general, dependiente de todas las coordenadas del sistema fsico.

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El concepto de energa se formaliza en la mecnica clsica por la funcin llamada hamiltoneano, que se ob-tiene sumando la energa cintica ms la potencial aso-ciada a todas las coordenadas generalizadas e impulsos cannicos del sistema fsico. A partir de esta funcin se obtienen en la mecnica clsica las ecuaciones llamadas "de Hamilton", que determinan el comportamiento tem-poral de todas las posiciones e impulsos, relacionando las variaciones temporales de las mismas con la variacio-nes del hamiltoneano con respecto a las coordenadas e impulsos. En otras palabras, el conocimiento del hamil-toneano nos permite alcanzar la meta planteada para la mecnica clsica.

Por lo visto, la energa juega un papel de fundamental importancia en la fsica. Los fsicos se sienten ultrajados cuando ese bellsimo concepto es manoseado y desvirtua-do por pseudocientficos que lo adoptan para darle al-gn brillo a sus charlataneras robando el prestigio que el mismo tiene en la fsica. Cuando se habla de la ener-ga de las pirmides, cuando se la aplica a la parapsico-loga, astrologa, telequinesis y otros innumerables esote-rismos y engaos que se alimentan de la ignorancia de la poblacin, los fsicos aoramos la ausencia de leyes que penalicen el "ejercicio ilegal de la fsica".

El otro concepto que determina la dinmica de los sis-temas fsicos es el de la accin. Esta cantidad puede ex-presarse en varias formas equivalentes que involucran una evolucin temporal o espacial del sistema. Entre la energa y la accin existe una diferencia importante. La energa se puede expresar como una funcin genera-lizada de todas las coordenadas y de sus impulsos can-nicos correspondientes en cualquier instante. Recorde-mos que el impulso cannico asociado a una coordenada es la variable dinmica relacionada a la "velocidad" de va-

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riacin de la coordenada en cuestin y a la resistencia al cambio en la misma. La accin no depende del valor ins-tantneo que toman las coordenadas y los impulsos, sino que, por el contrario, depende de todos los valores que stos toman durante un proceso de evolucin del sistema que puede estar definido entre dos instantes dados. La accin es, entonces, una cantidad global, caracterstica de la evolucin temporal y espacial del sistema y no del estado instantneo y local del mismo. No se dar aqu la expresin matemtica para la accin, porque no ser ne-cesaria para las metas de esta obra. Solamente es impor-tante resaltar que cada coordenada Qk con su impulso cannico asociado Pk contribuye a la accin en una canti-dad que podemos aproximar mediante el producto de la "distancia" Qk recorrida por el sistema en su evolucin por el impulso medio . Adems de estas contribucio-nes, la energa del sistema contribuye en una cantidad que tambin podemos aproximar mediante el producto del tiempo T de evolucin por la energa promedio. Para alcanzar la meta de la fsica clsica, que, como ya se mencion, es obtener la dependencia temporal del valor de todas las coordenadas e impulsos, a partir de la accin, es necesario postular el famoso principio de mnima ac-cin (principio de Hamilton), el cual establece que las coordenadas e impulsos como funciones del tiempo, Qk(), y Pk(t), sern tales que la accin adquiera un valor mnimo.

A menudo, fsicos y matemticos utilizan palabras que tienen asignado un significado usual en el lenguaje co-mn para nombrar conceptos con significados precisos en sus teoras. No necesariamente ambos significados son compatibles, lo que puede generar confusin. Por ejem-plo, a los quarks, partculas elementales que forman los protones, neutrones y otras partculas, se les asignan cier-

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tas propiedades llamadas "color" y "sabor" que, evidente-mente, nada tienen en comn con el sabor y color de una fruta. Los matemticos hablan de nmeros "natura-les", que no son ni ms ni menos naturales que los otros. Los nmeros "reales" no son atributos de reyes ni tienen ms realidad que los "complejos", los cuales, a su vez, no son ms complicados que los dems. La palabra "accin" tiene un significado bastante claro en el lenguaje comn y es natural preguntarse si dicho significado es compati-ble con el concepto fsico que nombra. Resulta que el nombre es bastante adecuado porque, tambin en fsica, designa la capacidad que el sistema tiene de modificar su entorno y de interactuar con otros sistemas fsicos. Un sis-tema fsico caracterizado en su evolucin por un valor grande de accin puede modificar fuertemente a otros de pequeo valor sin sufrir grandes alteraciones. El jue-go de tenis es posible porque los jugadores estn caracte-rizados por valores de accin muy grandes comparados con el de la pelota. (Los electrones se repelen porque tienen cargas elctricas de igual signo, pero tambin po-demos decir que lo hacen porque pretenden jugar al te-nis con fotones. El juego no dura mucho tiempo porque, al ser la accin de los "jugadores" equiparable a la accin de la "pelota", aqullos son repelidos.)

La energa total (cintica ms potencial) o la accin fijan la dinmica de los sistemas fsicos. En la mecnica clsica permiten calcular la dependencia temporal de todas las coordenadas generalizadas y de sus impulsos cannicos

La variedad y el nmero de sistemas fsicos a estudiar es enorme. Es tan grande la variedad y son tan grandes las diferencias entre los sistemas que podemos dudar de

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que una sola teora fsica pueda tratarlos a todos. Para te-ner una nocin de los mltiples sistemas fsicos es til establecer una clasificacin de los mismos. Pero con qu criterios? El primero que se presenta es clasificar los sis-temas fsicos en "pequeos y grandes" o, ms precisamen-te, de acuerdo a una escala espacial X que corresponde a la extensin que el sistema abarca. El sistema fsico ms extenso que podemos pensar es simplemente todo el uni-verso fsico, con una escala espacial de X = 1010 aos luz (10l0 = 10 000 000 000). Un ao luz es la distancia que re-corre la luz en un ao, = 1016 metros. Las galaxias, con-juntos de muchos millones de soles, estn caracterizadas por una escala espacial de muchos miles de aos luz, y al sistema solar le podemos asignar como escala espacial su dimetro, en el orden de los 1012 metros. Aquellos sis-temas fsicos con los que el ser humano establece un contacto directo a travs de sus sentidos tienen una escala espacial entre un milmetro y un kilmetro. Por debajo encontramos escalas microscpicas para sistemas bio-fsicos, y llegamos a las molculas y tomos con escalas espaciales de 10-10 metros, dimensin que lleva el nombre de Angstrom y el smbolo (10-10 = 1/1010). Los n- cleos y las partculas elementales estn caracterizados por escalas espaciales de 10-15 metros (un fermi). stos son los sistemas fsicos ms pequeos hoy conocidos. Con los gigantescos aceleradores de partculas se podr sondear, a principios del siglo prximo (a partir del ao 2001), escalas hasta de 10-19 metros.

De la misma forma que nos fue fcil clasificar los siste-mas fsicos segn su tamao, tambin es posible hacerlo segn una escala temporal T, que corresponde al tiempo tpico de evolucin, de transformacin o de estabilidad de los sistemas fsicos. Las partculas elementales y n-cleos atmicos tienen tiempos caractersticos entre 10-10

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y 10-20 segundos. Las molculas y tomos se sitan en una escala temporal entre T= 10 y T= 10-9 segundos. La escala temporal del ser humano y de los objetos de su experiencia sensorial puede situarse entre el segundo y el siglo. Tiempos tpicos para el sistema solar sern de un ao; para las galaxias, muchos miles de aos, y para todo el universo podemos elegir su edad de 1010 aos.

Hemos clasificado los sistemas fsicos segn dos con-ceptos cinemticos de extensin y rapidez de evolucin. Esta clasificacin es sencilla pero forzosamente incom-pleta, porque no contiene informacin sobre los concep-tos dinmicos que, como hemos visto, son importantes para la descripcin de los sistemas fsicos. Debemos en-tonces completar nuestros criterios de clasificacin con dos escalas dinmicas: el impulso P y la energa E, que corresponden a los valores tpicos que se encuentran en los sistemas fsicos para estas cantidades.

Contamos, por lo tanto, con cuatro escalas, X, T, P y E para clasificar todos los sistemas fsicos. Estas cuatro escalas son claramente suficientes, pero, en cierta forma, redundantes, porque, como veremos a continuacin, con slo dos escalas, deducidas de las anteriores, obtenemos una clasificacin completa que pone en evidencia las di-ferencias esenciales entre los sistemas fsicos. Dichas es-calas son velocidad y accin. La primera es cinemtica y la segunda dinmica.

Un sistema fsico con una extensin X y cuyas transfor-maciones se hacen en un tiempo T estar caracterizado por una velocidad V X/T. Esta escala de velocidad se obtiene tambin combinando el impulso y la energa V E/P. Un sistema fsico con energa E que evoluciona en un tiempo tpico T estar caracterizado por un valor de la accin A ET que tambin podemos obtener conside-rando su extensin X y su impulso P: A XP. Las relacio-

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nes entre las cuatro escalas iniciales (X, T, P, E) y las dos ltimas propuestas se ponen en evidencia en la Figura 1.

FIGURA 1. Escala para clasificar los sistemas fsicos.

Si clasificamos todos los sistemas fsicos conocidos de acuerdo con las escalas de velocidad y accin, nos en-frentamos con dos leyes fundamentales de la naturaleza a las cuales no se les conoce ninguna excepcin.

Estas dos leyes imponen una restriccin a los posibles valores de velocidad y accin que pueden realizarse en la naturaleza. Sin embargo, los lmites impuestos recin fueron descubiertos en este siglo debido a que: 1) la ve-

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En ningn sistema fsico la materia o la energa se mueve con velocidad superior al valor lmite c 3.108 metros por segundo (velocidad de la luz).

V c

En la evolucin de ningn sistema fsico la accin toma un valor inferior al valor lmite 10-34 joules por se-gundo (constante de Planck).

A

locidad de la luz es un valor relativamente grande com-parado con las velocidades que usualmente percibimos, y 2) la constante de Planck es muy pequea comparada con la accin de los sistemas accesibles a nuestra percep-cin sensorial. Las implicancias de estas dos leyes son enormes: la primera fue el punto de partida de la teora de la relatividad de Einstein y la segunda tiene como consecuencia a la mecnica cuntica.

Para clasificar todos los sistemas fsicos segn sus esca-las de velocidad y accin es conveniente construir un dia-grama con dos ejes perpendiculares. En el eje vertical asignamos los valores de la velocidad caracterstica de los sistemas a clasificar y en el eje horizontal los correspon-dientes a la inversa de la accin: I = 1/A, que podemos denominar "inaccin". Graneamos la inversa de la accin y no la accin porque la segunda ley, al establecer un l-mite inferior para sta, fija un lmite superior para aqu-lla. En la Figura 2 se puede ver dicha construccin, que designamos con el nombre de "diagrama V-I" (velocidad-inaccin). En ste, cada sistema fsico estar representa-do por un punto o una pequea regin y las dos leyes fundamentales implican que los mismos se ubicarn den-tro de un rectngulo limitado por los ejes y por los valo-re s c y " l/"

Es un sueo de los fsicos (o un prejuicio) que alguna vez se desarrolle una teora completa, en el sentido de que contenga en su formalismo una representacin para todos los elementos relevantes de la realidad fsica, y concluida, en el sentido de que todos los aspectos de su formalismo tengan una interpretacin clara y sin ambi-gedades, y que sea aplicable a todos los sistemas fsicos ubicados dentro del rectngulo del diagrama V-I, pu-diendo predecir comportamientos que se corroboren ex-perimentalmente. Para completar el sueo podemos

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pedir, adems, que dicha teora sea de gran belleza, sim-ple y de fcil divulgacin.

Tal sueo no se ha realizado an, pero s existen bue-nas aproximaciones a la teora deseada que son aplica-bles en ciertas regiones parciales del diagrama V-I Para presentar estas teoras consideremos el rectngulo del diagrama dividido en cuatro regiones que corresponden a velocidades mucho menores que "c" o cercanas a ella, y a acciones mucho mayores o cercanas a "". Los lmites entre estas cuatro regiones son difusos. Para el anlisis y estudio de los sistemas fsicos que se ubican en la regin inferior izquierda del diagrama V-I, o sea, para aqullos caracterizados por velocidades mucho menores que la velocidad de la luz y por una accin mucho mayor que disponemos de una teora, la mecnica clsica (MC), que naci con Galileo y Newton en el siglo XVII y se fue per-feccionando hasta adquirir un formalismo de gran belleza y potencia en el siglo XIX. Esta teora consta, adems, de una interpretacin clara y sin ambigedades y, en el siglo pasado, nadie supona que fracasara rotundamente cuando se la aplicase a sistemas fsicos ubicados fuera de la regin marcada por MC en el diagrama. Se pensaba que se haba encontrado la teora definitiva de la fsica, sin sospechar que el siglo XX traera dos revoluciones cientficas que haran tambalear su hegemona. La mec-nica clsica explicaba desde el movimiento de los plane-tas hasta el comportamiento de los objetos ms peque-os accesibles a nuestros sentidos. Con xito se extendi a sistemas de muchas partculas en la mecnica estadsti-ca, termodinmica y mecnica de sistemas continuos como los gases, fluidos y slidos. Se pensaba que no ha-ba ms que refinar los mtodos de clculo para explicar el comportamiento de todos los sistemas fsicos. Era una poca de gran soberbia. Se dijo que conociendo la po-

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sicin y velocidad de todas las partculas del universo po-dramos calcular su posicin hasta el fin de los tiempos. Slo algunos pequeos problemas oponan resistencia: no se poda explicar la distribucin de frecuencia (co-lor) de la luz emitida por los cuerpos cuando se calien-tan y tampoco se poda detectar el incremento en la velo-cidad de la luz cuando la fuente que la emite se mueve. La solucin a estos "pequeos" problemas generara dos grandes revoluciones: por un lado, la mecnica cuntica y, por el otro, la teora de la relatividad.

Los sistemas fsicos representados en la regin marca-da por MCR, o sea, aqullos de accin grande (inaccin pequea) pero velocidades que se acercan a la de la luz, deben ser estudiados con la teora de la relatividad que denominaremos aqu mecnica clsica relativista (MCR). Los que estn caracterizados por accin cercana a y ve-locidades pequeas sern tratados con la mecnica cun-tica (MQ), que es la teora que nos ocupa en esta obra. Fi-nalmente, para los sistemas fsicos que requieren un tratamiento cuntico y relativista, disponemos de la me-cnica cuntica relativista (MQR) para su estudio.

FIGURA. 2. Diagrama velocidad-inaccin.

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Considerando el formalismo e interpretacin de estas cuatro teoras, encontramos diferencias significativas. Las dos teoras "clsicas", MC y MCR, pueden ser consideradas completas y concluidas por tener un formalismo que abar-ca todas las propiedades del sistema fsico y porque todos los elementos de aqul poseen una interpretacin clara y sin ambigedades. Adems, ambas teoras se conectan en forma continua entre s, porque tanto sus formalis-mos como sus interpretaciones coinciden en el lmite de considerar a la velocidad de la luz c tan grande, compa-rada con las velocidades del sistema fsico, que pueda ser tornada infinita. Esto significa que si en cualquier frmu-la de la MCR tomamos el limite c , obtenemos una fr-mula vlida en MC y, del mismo modo, todos los concep-tos de masa, velocidad, aceleracin, fuerza, energa, etc., coinciden en dicho lmite. Con respecto al rango de vali-dez de ambas teoras se debe aclarar que, si bien la MC no se puede aplicar en la regin MCR del diagrama, la MCR s se puede aplicar en la regin MC con resultados correc-tos. Se puede calcular el lento movimiento del pndulo de un reloj con la MCR, aunque con la MC llegamos ms fcilmente a resultados suficientemente precisos para to-dos los fines prcticos. Lo mismo sucede con los rangos de aplicacin de la MQ y de la MC. La MQ es vlida en la regin de la MC pero no a la inversa, y resulta bastante es-tpido, aunque correcto, calcular el pndulo del reloj con la MQ. Contrariamente a lo que sucede entre la MCR y la MC, no existe entre MC y MQ una transicin suave para sus formalismos ni para sus interpretaciones. La MQ consta de un bellsimo formalismo, pero ste no se transforma en el formalismo de la MC cuando hacemos el lmite 0. Es cierto, sin embargo, que las predicciones experimen-tales de la MQ se conectan con las correspondientes de la MC en dicho lmite. Hemos mencionado ya varias veces

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que la MQ no tiene an una interpretacin definitiva, por lo que no siempre est clara la relacin entre el significa-do de los elementos del formalismo de la MQ con los con-ceptos de la MC. La MQR es, en principio, aplicable a todos los sistemas fsicos del diagrama V-I. Sin embargo, esta teora dista mucho de ser la teora soada por los fsicos, ya que sus problemas de interpretacin son todava ms graves que los de la MQ y, a pesar de los formidables avan-ces hechos en las dos ltimas dcadas, su formalismo tie-ne an serias dificultades matemticas no resueltas.

Finalizamos la presentacin de las diferentes teoras f-sicas mencionando la ubicacin en el diagrama V-I del electromagnetismo. Esta teora estudia los campos elc-tricos, magnticos y las ondas electromagnticas. Sin em-bargo, puede considerarse que el sistema fsico de estu-dio que le corresponde es el fotn, partcula de masa cero que se mueve a la velocidad de la luz, lo que ubica esta teora en la lnea superior del diagrama V-I. Aunque se lo ignoraba en su origen, el electromagnetismo resul-t ser una teora relativista. Tampoco hemos menciona-do la teora de la relatividad general, necesaria cuando el sistema fsico en cuestin posee campos gravitatorios tan intensos que modifican la geometra euclidiana introdu-ciendo una "curvatura" local. En rigor, para introducir esta nueva teora necesitaramos una nueva dimensin en el diagrama.

El diagrama V-I nos ha permitido clasificar los sistemas fsicos y, en particular, definir la MQ fijando su rango de aplicacin. Nos ayuda, adems, a presentar un argumen-to de importancia para poder estudiar la MQ. Notemos que en el diagrama se ha ubicado una figura humana en la regin MC. Esto significa que todos los sistemas fsicos con los que el ser humano interacta, que son aquellos que van a formar su intuicin, son sistemas clsicos. De

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hecho, nuestra expectativa, lo que intuitivamente espera-mos del comportamiento de los sistemas fsicos, se ha formado, o generado, a partir del contacto que tenemos a travs de nuestra percepcin sensorial con sistemas fsi-cos clsicos. Pero sabemos que existen sistemas fsicos en los que la teora clsica fracasa rotundamente; por lo tan-to, no debe asombrarnos demasiado que la propia intui-cin tambin fracase cuando pretendemos aplicarla en tales casos. Debemos entonces estar preparados a tolerar que el estudio de los sistemas cunticos o relativistas exija la aceptacin de ciertos conceptos que pueden ser al-tamente contrarios a nuestra intuicin. Por ejemplo, el contacto con los sistemas clsicos nos ha acostumbrado a sumar las velocidades como si fueran nmeros: si lan-zamos una piedra a 20 km/h desde un vehculo que se mueve a 10 km/h, la velocidad de la piedra relativa al suelo ser 20 + 10 = 30 km/h. Pero si el vehculo se mue-ve a la mitad de la velocidad de la luz (0,5c) y la piedra es un fotn que viaja a la velocidad de la luz, nuestra intui-cin se equivoca al predecir c + 0,5c = 1, 5c, en violacin de la ley fundamental V c. La intuicin clsica nos dicta que las varillas y relojes que usamos para medir distan-cias y tiempos son invariantes absolutos para todos los observadores. Sin embargo, la relatividad viola nuestra intuicin clsica al proponer que el largo de las varillas y el periodo de los relojes varan segn la velocidad que s-tos tengan. Esta contraccin de las distancias y dilatacin del tiempo ha sido confirmada, sin lugar a dudas, en nu-merosos experimentos. Otro ejemplo: el contacto con

La intuicin es clsica por haber sido generada en con-tacto con sistemas fsicos clsicos. El estudio de sistemas relativistas o cunticos requiere adoptar algunos concep-tos contrarios a la intuicin.

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sistemas clsicos nos ha acostumbrado a que una piedra est en un lugar o no est all; en la mecnica cuntica a un electrn se le asigna una probabilidad de estar en cierto lugar que, en algunas ocasiones, no es ni cero (no est) ni uno (s est), sino algn valor intermedio.

IV. El postulado realista versus positivismo. Parntesis filosfico

Si LE PREGUNTAMOS a una persona elegida al azar si existe el mundo externo, el de los rboles, casas, nubes u otras personas, probablemente nos mire muy extraada y co-mience a dudar sobre el estado de salud mental de quien lo interroga. Si insistimos con la pregunta: existe ese r-bol?, pasado el asombro y el temor de ser vctima de al-guna broma con una cmara oculta, probablemente nos responda: "Est claro que s existe! Acaso no lo estoy viendo? Adems lo puedo tocar y hace ruido cuando lo golpeo. Puedo sentir el aroma de sus flores o el gusto de sus frutos. Claro que existe! No pregunte estupideces!", y la persona se alejar molesta por haber perdido su valio-so tiempo en semejante pavada. Pero ocurre que respon-der justificadamente esa "estupidez" es uno de los serios problemas de la filosofa que ha separado a los pensado-res en doctrinas irreconciliables, surgidas de adoptar dife-rentes respuestas a la pregunta de la existencia del mundo externo. Analizaremos en este captulo dicho problema y presentaremos algunas corrientes filosficas que de l emanan. Con derecho se preguntar el lector qu tiene que ver este problema filosfico con la mecnica cun-

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tica. Mucho. Las diferentes posturas que se pueden asu-mir con respecto al problema de la existencia del mundo externo, considerando que el sistema fsico y sus propie-dades son extrados de la supuesta realidad del mismo, son de fundamental importancia para intentar desarro-llar una interpretacin de la mecnica cuntica. Veremos que ciertos intentos implican una toma de posicin defi-nida referente al problema filosfico planteado. Quien lo desconozca no podr apreciar las graves diferencias entre las mencionadas interpretaciones de la mecnica cuntica.

Retomemos los argumentos que la persona consultada dio para "demostrar" la existencia del rbol. Verlo, tocar-lo, olerlo, orlo. Todas estas "pruebas" de la existencia del rbol hacen alusin a la percepcin sensorial que se tiene del supuesto rbol. Veremos, sin embargo, que las mismas no demuestran la existencia del rbol, sino que, en el mejor de los casos, slo demuestran la existencia de la percepcin o, ms precisamente, de lo que Bertrand Russell llama los datos sensoriales. Cuando afirmo "veo el rbol", lo que yo veo no es el rbol, sino un gran n-mero de rayos de luz que se propagan desde el supuesto rbol hasta mis ojos. "Ver el rbol" no demuestra la exis-tencia del rbol, sino a lo sumo la de esos rayos de luz. En una oscuridad total, ya no vera el rbol, pero supongo que el mismo no deja de existir. O sea que "ver el rbol" no es equivalente a "el rbol existe". Peor an, "ver" tampoco demuestra la existencia de los rayos de luz, sino, quiz, la de una imagen que se forma en la retina del ojo despus de que esos (supuestos) rayos de luz pa-san por la crnea y se combinan como en una pantalla de cine. Pero eso tampoco. "Ver" hace alusin a ciertas vibraciones y excitaciones de ciertas clulas fotosensibles, llamadas conos y bastoncillos, que estn en la retina. Pero

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eso tampoco! Hace alusin a complejas seales elctricas que se propagan dentro de las clulas nerviosas del ner-vio ptico y que se transmiten por reacciones qumicas que el autor de este libro ignora, pero sospecha que sus amigos bilogos conocen ms o menos bien. Pero, no. Ver es cierta excitacin de ciertas clulas de cierta regin de la corteza del cerebro. Pero...

Espero que el lector se encontrar ya totalmente con-fundido y sin saber, despus de todo, qu significa ver. Su-pongo que est convencido de que "ver el rbol" de nin-guna manera demuestra inequvocamente que el rbol existe. Situaciones en las que vemos cosas que probable-mente no existen, abundan. En una noche despejada con-templamos las estrellas y confiamos en su existencia; cuan-do recibimos un golpe en la cabeza vemos estrellas (y las vemos tan bien como a las otras, pues las producen simi-lares excitaciones de los conos y bastoncillos causadas por la conmocin) pero creemos que no existen. En un caso "ver" demostrara la existencia de algo, pero en el otro no? Existen las cosas que vemos en sueos? Existe el arco iris como un objeto que podemos tocar y hacer sonar?

Si "ver" no es prueba de la existencia de lo que esta-mos viendo, nos preguntamos qu es lo que esta vivencia tan clara que llamamos "ver" demuestra sin lugar a du-das. Aquello cuya existencia es demostrada sin posibili-dad de duda es el dato sensorial. "Ver el rbol" demues-tra la existencia de un dato sensorial asociado. Lo mismo ocurre con las otras "pruebas" de la existencia del rbol: tocarlo, orlo, etc., no demuestran en absoluto la existen-cia del mismo, pero s demuestran la existencia de algo indudable que son los datos sensoriales. Esta duda meto-dolgica que nos ha llevado a descubrir la existencia de algo indudable, los datos sensoriales, es equivalente al ra-zonamiento de Descartes que lo lleva a concluir que slo

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la existencia del pensamiento es indudable. Pienso, lue-go existo, se transforma para nosotros en: siento, luego mis datos sensoriales existen.

Cuando planteamos la existencia, no solamente del r-bol sino de todo el mundo externo, debemos aclarar el significado de la palabra "externo". Externo a qu? Cada individuo reconoce la existencia de un mundo interno y privado, compuesto por su conciencia, su pensamiento, sus datos sensoriales y sus recuerdos, al que denomina-mos mente. La existencia de este mundo interno no es cuestionable, ya que el solo hecho de plantearse la duda la confirma. Al mundo de la mente de cada individuo es externo el mundo cuya existencia estamos analizando.

Los datos sensoriales, cuya existencia es incuestionable, no son prueba suficiente de la existencia del mundo ex-terno.

Que existe coherencia entre los datos sensoriales de di-ferentes individuos es un hecho fcilmente comproba-ble. Analicemos esta afirmacin. Consideremos el con-junto total de los datos sensoriales de un individuo (cada lector puede tomarse como ejemplo). Dicho conjunto no slo est formado por los datos sensoriales presentes, los que se estn generando en este mismo instante, sino tambin por aquellos registrados en la memoria del in-dividuo. Dentro del conjunto, existen datos sensoriales asociados a otros individuos: la imagen visual de sus cuer-pos, el sonido de sus voces, etc. Estos sonidos tienen aso-ciado un significado de acuerdo con algo bastante com-plicado, que no analizaremos aqu, que se llama lenguaje. Gracias al lenguaje, el individuo puede obtener informa-cin sobre los datos sensoriales de los otros individuos (cuya existencia estamos suponiendo). La comparacin

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entre los datos sensoriales de diferentes individuos per-mite constatar que, en cierta medida, aqullos son coin-cidentes, compatibles, aunque casi nunca exactamente idnticos y, algunas veces, hasta contradictorios. Note-mos que esta coherencia entre los datos sensoriales se da en el mundo interno y privado de cada individuo. Tome-mos, por ejemplo, los datos sensoriales que yo, autor de este libro, tengo de una mujer y que segn mis cdigos estticos, me hacen decir "tal mujer es bella". Es proba-ble que en una charla con un amigo, l tambin diga que esa mujer es bella, frase cuyo sonido se integra a mis datos sensoriales establecindose una coincidencia entre stos y la informacin que tengo de los datos sensoriales de mi amigo informacin que proviene de una inter-pretacin de los datos sensoriales que tengo de mi amigo (supuestamente existente). Sin duda encontrar mu-chos individuos cuyos datos sensoriales sean compatibles con los mos, pero, debido a diferentes cdigos estticos, algunos pocos habr que los contradigan. En todo caso, de la misma manera que mis datos sensoriales referentes a la bella mujer no son prueba suficiente de su existencia, tampoco lo es la coincidencia con los de otros individuos. Generalizando a partir del ejemplo anterior afirmamos que la mayora de nuestros datos sensoriales son coin-cidentes con los de todos los otros individuos. Ante esta correlacin podemos tomar dos posturas: a) constatarla y dejarla como un hecho primario que no requiere ms explicacin; b) intentar explicarla apelando a algn prin-cipio o teora que la demuestre. La postura filosfica lla-mada "realismo" toma la segunda opcin, postulando la existencia objetiva e independiente de los observado-res del mundo externo, que es el origen de los datos sensoriales de todos los individuos. De esta manera se ex-plica la coherencia entre los datos sensoriales de diferen-

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tes individuos, porque todos son generados por la misma realidad. La mayora de nosotros estamos de acuerdo en que "esa mujer es bella", porque objetivamente dicha mu-jer existe y tiene propiedades reales que nuestros cdigos califican como bellas. Sin embargo, es importante notar que no hemos demostrado que la mujer existe, sino que lo hemos postulado, ya que una demostracin rigurosa parece ser imposible. Este postulado tiene la virtud de explicar no solamente la coincidencia entre los datos sensoriales de diferentes individuos, sino tambin sus di-ferencias, que pueden deberse, en el ejemplo selecciona-do, a componentes culturales, educativos, sociales, racia-les, etc., que han generado diferentes cdigos estticos. Para consolidar lo dicho tomemos un ejemplo ms sim-ple. Supongamos una mesa rectangular alrededor de la cual estn sentados varios individuos. Cada uno de ellos tendr una perspectiva distinta de la mesa segn su posi-cin: algunos la vern ms o menos trapezoidal o romboi-dal, ms o menos brillante, ms o menos grande. Todos los datos sensoriales son diferentes, aunque no totalmente contradictorios. Si postulamos la existencia real y objetiva de la mesa rectangular, podemos explicar todas las diferencias y similitudes entre los datos sensoriales de los individuos a su alrededor. Otra posibilidad es, en vez de muchos individuos alrededor de la mesa, considerar la situacin equivalente de un individuo que se mueve alre-dedor de la mesa y cuyos datos sensoriales van cambiando con el tiempo al ocupar diferentes posiciones. En este caso el postulado realista explicara la evolucin tempo-ral de los datos sensoriales. (Algo parecido a la equiva-lencia entre muchos observadores estticos en torno de la mesa y un observador que se mueve a su alrededor es lo que los fsicos llaman "teorema ergdico".) El postula-do realista resulta altamente econmico y eficiente, por

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su simplicidad y porque explica algo de enorme comple-jidad como lo son las coincidencias y diferencias entre los datos sensoriales de muchos individuos.

En el realismo se postula la existencia del mundo externo objetivo e independiente de la observacin, generador de los datos sensoriales. Dicho postulado explica las co-rrelaciones entre los datos sensoriales de diferentes indi-viduos.

La postura realista, con su gran poder explicativo, es tan sensata que parece asombroso que existan pensadores que la rechacen. (Veremos, sin embargo, que muchos f-sicos, sin saberlo, la niegan.) Si nadie la rechazase, si fue-se aceptada universalmente, no habramos hecho tanto esfuerzo en presentarla. El realismo existe como lnea de pensamiento filosfico porque existen alternativas a l. Analizaremos primero la negacin ms violenta y extre-ma del realismo, denominada "solipsismo".

El solipsismo surge de la constatacin, que nosotros mismos hemos hecho anteriormente, de que toda per-cepcin del mundo externo est en el mundo interno y privado de nuestra mente en forma de datos sensoriales. A partir de all, se decide que el mundo externo no exis-te y que todo lo que llamamos de ese modo no es ms que una construccin mental. Significa, entonces, que el lector de este libro es solipsista si niega que todo lo que lo rodea existe, incluidos los otros lectores y el autor. El libro que sostiene en sus manos tampoco existe, no es ms que una construccin mental que est haciendo en este instante. Tampoco existen sus manos ni su cuerpo ni la madre que lo pari. El filsofo irlands G. Berkeley (1685-1753) demostr que esta idea, que linda con la de-mencia, es perfectamente defendible en trminos lgi-

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cos. Es imposible convencer a un solipsista, por medio de argumentos, de que est errando, ya que para l, quien est intentando convencerlo tampoco existe. No figura entre las metas de este libro (ni es competencia de su autor) discutir en detalle los diferentes matices y grados de solipsismo, ni su relacin con el idealismo, que subor-dina la realidad de la materia a la realidad de la mente. Es suficiente aqu apelar al sentido comn para rechazar-lo, a pesar de que no hay ninguna falla lgica en los ar-gumentos que se pueden presentar en su defensa; por el contrario, cuanto ms extrema e inaceptable resulta la posicin solipsista, ms fcil es su defensa argumentando en trminos lgicos. El solipsismo es una demencia per-fectamente lgica. Esto nos lleva a constatar que el rigor lgico no es un criterio suficiente de verdad para una doctrina, aunque, por supuesto, toda ideologa que pre-tenda ser verdadera debe ser impecable en su argumen-tacin lgica.

Ms interesante que la negacin lisa y llana del realismo que hace el solipsismo es la alternativa que presenta el "positivismo", perspectiva que trataremos a continuacin en ms detalle por su relevancia para una interpretacin de la mecnica cuntica. El positivismo se inici en la se-gunda mitad del siglo pasado, sin duda influenciado por el xito de las ciencias exactas, las cuales poseen criterios para determinar la verdad de sus frases, tales como, por ejemplo, la experimentacin. Comte (1798-1857), pro-puso entonces, depurar la filosofa de toda la metafsica limitndose a frases "positivas" de demostrada validez. Esta filosofa, o mejor dicho, metodologa, se extendi en el presente siglo con el aporte de varios pensadores, en particular los del "Crculo de Viena", que formalizaron y complementaron la idea original con el anlisis lgico. La corriente filosfica as generada, denominada tambin

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neo-positivismo, ha tenido gran influencia en el pensa-miento cientfico y filosfico contemporneo, proponien-do que el sentido de toda frase lo determina exclusiva-mente su carcter de ser verificable, ya sea empricamente, por los datos sensoriales, o como deduccin lgica a par-tir de stos. La filosofa neo-positivista se puede resumir presentando la "regla de oro" que, segn ella, debe regu-lar todo razonamiento o afirmacin: "limitarse exclusiva-mente a emplear frases con sentido" (adems son tole-rados los nexos lgicos, matemticos y lingsticos). Se define que una frase tiene sentido cuando existe un pro-cedimiento experimental que la verifica (o la refuta, agre-g Carnap) o cuando es lgicamente demostrable a par-tir de otras frases con sentido. Una frase sin sentido tambin recibe el nombre de pseudo-frase. A primera vis-ta, esta filosofa parece bastante sensata; sin embargo, ve-remos que presenta serias dificultades. Con respecto al problema de la existencia del mundo externo, el positi-vismo declara que la frase que define al realismo, "existe el mundo externo objetivo, independiente de la observa-cin", es una frase sin sentido ya que, como hemos visto, es imposible demostrar "experimentalmente" su validez. De esta manera, el positivismo se opone al realismo, no demostrando su falsedad, sino declarando que no tiene sentido. La negacin de una pseudofrase tambin es una pseudofrase, segn lo cual, el positivismo no solamente niega al realismo, sino que tambin niega al solipsismo. En el anlisis hecho para mostrar la conveniencia del pos-tulado realista, se resalt la evidencia de las correlaciones entre los datos sensoriales de diferentes individuos. Ante esta correlacin, el positivismo se abstiene de pretender explicarla y la acepta como un hecho primario que no requiere ms anlisis, pues, de lo contrario, inevitable-mente se violar la "regla de oro".

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El positivismo impone la limitacin de formular exclusiva-mente frases con sentido, que son aquellas para las cua-les existe un procedimiento que las verifique o refute. Afirmar o negar la existencia del mundo externo es una pseudofrase.

Son mltiples las crticas que se pueden hacer a esta filo-sofa. El primer argumento en su contra es de carcter formal. Hemos mencionado ya que a una corriente filo-sfica se le debe exigir una coherencia lgica impecable. Aqu el positivismo evidencia una falla: la misma frase que lo define sera una frase sin sentido. Ms grave que esta dificultad, que posiblemente puede ser subsanada con algn esfuerzo, es que el criterio adoptado para de-terminar si una frase tiene sentido o no y la prohibicin de usarla en caso negativo, limitan en extremo el tipo de afirmaciones posibles. Decir que el sol saldr maana no tiene sentido y permanece sin sentido, aun si lo afirmo con un grado de confiabilidad establecido por alguna probabilidad estimada de alguna manera. Decir "si plan-to esta semilla, brotar un rbol" es una frase sin sentido. Toda prediccin para el comportamiento futuro de al-gn sistema (fsico o no) carece de sentido. No solamen-te se encuentran dificultades con referencias al futuro, sino tambin con las referencias al pasado, porque cier-tas frases pueden haber tenido sentido en algn momento pero no hoy. Por ejemplo, decir "Cleopatra tiene un lunar en la cola" es una frase que tuvo sentido en la po-ca en que Marco Antonio pudo hacer el experimento para verificarla o negarla, pero hoy, la misma frase no tie-ne sentido. Que el sentido de las frases vare con el tiem-po es altamente inadecuado para su utilizacin en la ciencia, ya que sta se ocupa principalmente de explicar el pasado y predecir el fu turo, aunque sea en forma

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aproximada. El positivismo le niega esta funcin y la li-mita a constatar las correlaciones entre hechos experi-mentales y los posibles resultados numricos, pero sin que esto nos autorice a hacer frases sobre el comporta-miento de los sistemas en estudio en su realidad objetiva. Un planteo as le quita inters a la fsica y es fatal para otras ciencias como, por ejemplo, la historia, ya que la li-mitara a comprobar correlaciones y diferencias entre papeles amarillentos sacados de un archivo, sin poder decir nada de la realidad de una revolucin social o de un personaje histrico crucial. El criterio emprico para determinar si una frase tiene sentido o no implica una observacin experimental, lo cual le introduce un ele-mento subjetivo. Todo experimento contiene una mente al final de una compleja cadena, cuyos eslabones son: el sistema que se observa; intermediarios que reciben algu-na accin del sistema y la transforman en alguna seal que ser transmitida al prximo eslabn, que puede ser un aparato electrnico con agujas que marcan valores en escalas o visores donde aparecen nmeros que sern le-dos por algn observador, que, entonces, tras el compli-cado proceso que tiene lugar a nivel del ojo, retina, ner-vio ptico, etc., tomar conciencia de la observacin. Esta componente subjetiva es ineludible en el positivis-mo. Proponer que el experimento lo efecte un robot sin que participe ninguna conciencia llevara indefecti-blemente a frases sin sentido. Como consecuencia, resulta que todas las frases que participan en la ciencia, en vez de hacer alusin a alguna propiedad del sistema en estudio, se refieren a conceptos que alguna mente, aunque sea hipottica, tiene del sistema. El subjetivismo presente en el positivismo puede extremarse hasta la frontera con el solipsismo. Un convencido positivista debe concluir que no tiene sentido afirmar la existencia objetiva del

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cuerpo de otro individuo, y mucho menos aun de su mente, ya que "los experimentos" slo confirman la exis-tencia de sus datos sensoriales privados. Rpidamente lle-gara a la conclusin de que, excepto su mente, no tiene sentido decir que existe todo el resto. El solipsista dice: "mi mente existe y niego que todo el resto exista". El po-sitivista dice: "mi mente existe y no tiene sentido decir que todo el resto exista". La diferencia es nfima, si no nula.

Ms adelante veremos que la componente subjetiva del positivismo tiene graves consecuencias en las posibles interpretaciones de la mecnica cuntica, pero se puede adelantar que, en cambio, no tiene graves consecuencias en la fsica clsica. Esto significa que, entre un fsico cl-sico realista y un fsico clsico positivista, es posible es-tablecer un pacto de no agresin, por el cual el realista asignar un contenido objetivo, en el sistema fsico, a to-das las referencias experimentales subjetivas que haga el positivista, y ste traducir todas las frases "sin sentido" de aqul en un posible resultado de una observacin. En otras palabras, ambos discursos son equivalentes, porque para todo conjunto de propiedades reales y objetivas, segn el realista asignadas al sistema fsico clsico, existe siempre un experimento que permite medirlas simult-neamente con cualquier precisin deseada. (Un matem-tico dira que hay un isomorfismo entre los dos discur-sos). Como veremos un pacto de no agresin semejante es imposible entre fsicos cunticos.

En este captulo se han presentado, obligatoriamente resumidas y simplificadas, dos grandes tendencias filos-ficas que sern relevantes para intentar establecer alguna interpretacin de la mecnica cuntica, y se han resalta-do algunas de las dificultades que presenta la opcin po-sitivista. Importa aclarar que existe una forma de positi-

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vismo metodolgico evidentemente intachable e ineludi-ble para toda ciencia terico-experimental como lo es la fsica. Estas ciencias hacen predicciones sobre el compor-tamiento de los sistemas que estudian, comportamiento que debe ser verificado, o negado, experimentalmente. Hasta tanto no haya una confrontacin con el experi-mento, la prediccin no tiene asignado un valor que la transforme en una verdad cientfica. La gran diferencia entre este positivismo metodolgico y el positivismo esen-cial, filosfico, al que aludamos ms arriba reside en que el experimento, para el primero, brinda la confirmacin o refutacin de un comportamiento objetivo del sistema, mientras que para el segundo, el experimento es, por de-cirlo as, la nica realidad detrs de la cual no tiene senti-do pensar que existe algo.

V. La esencia de la teora cuntica

EN ESTE CAPTULO veremos algunos de los elementos esen-ciales de la teora cuntica, para lo cual (ya se lo haba-mos anticipado) ser necesario apelar a la disposicin del lector a aceptar algunos conceptos que resultan hi-rientes a su intuicin clsica. Los argumentos presentados en la clasificacin de los sistemas fsicos segn sus escalas de velocidad y accin, y la ubicacin del ser humano en la misma, han de ser preparacin suficiente. El carcter contrario a la intuicin de ciertos conceptos hace difcil asignarles un significado, vale decir, interpretarlos. Peor an, para algunos elementos del formalismo existen va-rias interpretaciones contradictorias, segn sea la postu-

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ra filosfica adoptada. Dejaremos para un captulo poste- rior la discusin detallada de estas interpretaciones, pre-sentando aqu los conceptos sin insistir demasiado, por el momento, en asignarles significado.

El concepto de "Estado" juega un papel importante en el formalismo de toda teora fsica. En la aplicacin prc- tica de las teoras fsicas, cualquiera sea el sistema que se estudie, se plantea a menudo el problema de predecir el valor que se le asignar a algn observable del sistema cuando conocemos algunas de sus propiedades o, en otras palabras, cuando conocemos el estado del sistema. En el formalismo, el estado del sistema est representado por un elemento matemtico que, en algunos casos, es una ecuacin, en otros, un conjunto de nmeros o un conjunto de funciones. El formalismo contiene, adems, recetas matemticas bien definidas para, a partir del esta-do, poder calcular el valor asignado a cualquier observa-ble. Esto es, conociendo el estado se puede responder cualquier pregunta relevante sobre el sistema. Los siste-mas fsicos, en general, evolucionan con el tiempo, van cambiando de estado. La teora debe, entonces, permitir calcular el estado en cualquier instante, cuando aqul es conocido en un instante inicial. Las ecuaciones matem-ticas que posibilitan dicho clculo son las llamadas "ecua-ciones de movimiento". Para el sistema clsico formado por una partcula que se mueve en el espacio, el estado est determinado en cada instante por la posicin y velo-cidad (o mejor, el impulso) de la misma. Las ecuaciones de Newton nos permiten, si conocemos las fuerzas aplica-das, calcular la posicin y velocidad para cualquier ins-tante posterior. A partir de este ejemplo podemos gene-ralizar estableciendo que, en un sistema clsico, el estado est determinado por el valor que toman las coorde- nadas generalizadas y los impulsos cannicos correspon-

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dientes en el instante en cuestin. Recordando que hemos definido las propiedades del sistema por la asignacin de valores a los observables, concluimos que el estado de un sistema clsico est fijado por el conjunto de propieda- des que contiene todas las coordenadas e impulsos.

Todos los observables de un sistema clsico se pueden expresar como funciones de las coordenadas y de los im-pulsos: A(Qk, Pk). Por lo tanto, conociendo el estado, o sea conociendo el valor de las coordenadas e impulsos (Qk = q y Pk = p), podemos calcular el valor de dichas fun-ciones, lo que resulta en un conocimiento del valor que toman todos los observables del sistema clsico (A = a para cualquier observable A). Es posible fijar el estado de un sistema cuntico de la misma manera? Veremos que no, pues el principio de incerteza, que presentare- mos ms adelante, nos prohbe hacerlo. El estado cunti- co est determinado por un conjunto de propiedades, pero el mismo no puede incluir propiedades asociadas a todas las coordenadas e impulsos. Si contiene una coor-denada, por ejemplo X = 5, no puede contener el impulso asociado a la misma. P- 8. Cmo es posible, entonces, si el estado cuntico no contiene todas las coordenadas e impulsos, hacer predicciones para los observables que no incluye? Justamente, el mismo motivo que nos impide unir todos los observables en el estado, el principio de incerteza, es producido por cierta dependencia entre di- chos observables que los relaciona y permite hacer las predicciones. Las coordenadas e impulsos de un sistema cuntico, en contraste con el sistema clsico, no son to-talmente independientes, sino que estn relacionadas de manera tal que el conocimiento de algunas propiedades permite hacer predicciones para el resto. A su vez, las predicciones no son precisas o exactas, como sucede con la fsica clsica, sino que son probabilsticas o estadsti-

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cas. Esta extraa estructura de la teora cuntica ser aclarada ms adelante. Por el momento resumamos:

El estado de un sistema clsico est fijado por propieda-des relacionadas con todas las coordenadas generalizadas y sus impulsos correspondientes. Con estas propiedades se puede calcular el valor asignado a cualquier observa-ble. El estado cuntico est fijado por algunas propieda-des solamente y las predicciones son probabilsticas.

Para la mecnica cuntica, el conjunto de propiedades que participan en la determinacin del estado no es arbi-trario, ya que el principio de incerteza excluye ciertas propiedades cuando algunas otras han sido incluidas. Si hacemos un experimento en un sistema cuntico para observar alguno de sus observables A, y el mismo resulta en el valor a, entonces el estado del sistema estar carac-terizado por la propiedad A = a. Por ejemplo, si medimos la posicin de una partcula con el resultado X =5m, esta propiedad fija el estado del sistema. Sin embargo, la de-terminacin del estado por medio de un experimento es vlida para instantes inmediatamente posteriores al mis-mo, pero no nos brinda ninguna informacin sobre el es-tado del sistema antes y durante el experimento. En efec-to, todo experimento implica una interaccin entre el sistema que se est observando y ciertos aparatos de me-dida apropiados. Durante dicha interaccin hay intercam-bio de energa entre el sistema y el aparato. Por ms pe-queo que sea el intercambio, el proceso de medicin implica una accin que, segn aquella ley fundamental de la naturaleza, no puede ser menor que , la constante de Planck. Ahora bien, recordemos el diagrama veloci-dad-inaccin, que nos indica que los sistemas cunticos estn caracterizados por valores de accin cercanos a .

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Quiere decir que la perturbacin producida por la medi-cin es tan grande como el sistema mismo. Por lo tanto, cualquier medicin en un sistema cuntico lo perturbar de tal manera que se borrar toda posible informacin sobre su estado antes de la medicin.

No es exclusividad de la mecnica cuntica que la ob-servacin altere al objeto observado; bien lo sabe el bi-logo, quien para observar una clula lo primero que hace es matarla. Lo particular de la mecnica cuntica consiste en que los cambios que dicha perturbacin puede pro-ducir son tan violentos que al final de la observacin no hay forma de saber cul era el estado del sistema cuando la misma comenz. Resaltemos esto.

La observacin experimental de una propiedad deja al sistema cuntico en el estado correspondiente a la mis-ma, pero nada dice sobre el estado del sistema antes de la observacin.

La imposibilidad de saber con certeza experimental cul era el estado de un sistema antes de una observacin ad-quiere particular importancia en el debate filosfico rea-lismo versus positivismo ya que, segn este ltimo, hablar de las propiedades del sistema o del estado del mismo antes de una observacin sera una frase sin sentido. Un experimento que determine que la posicin de una par-tcula est caracterizada por la propiedad X= 5 m no nos autoriza a afirmar que antes de la observacin la posi-cin era de 5m. Podemos decir, s, que esa es la posicin inmediatamente despus del experimento, pero nada sa-bemos, ni podemos saber, sobre su situacin anterior. Por lo tanto, para el positivista, toda afirmacin acerca de la posicin de la partcula antes del experimento care-ce de sentido, mientras que para el realista es perfecta-

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mente legal hablar de la posicin o de la ubicacin de la partcula, aunque no se le pueda asignar un valor deter-minado. Las dos posturas son irreconciliables. Para el po-sitivista, la experimentacin genera la propiedad que resulta en el experimento y no es la constatacin de una cualidad preexistente en el sistema, mientras que, para el realista, la experimentacin pone en evidencia alguna caracterstica del sistema, preexistente, aunque sea impo-sible asignarle un valor numrico preciso. Continuar.

Se ha mencionado ya que entre las propiedades que definen el estado de un sistema cuntico no pueden apa-recer, simultneamente, posicin e impulso. Teniendo en cuenta que el estado es el resultado de una observacin experimental, se concluye que no debe poder existir nin-gn experimento que mida al mismo tiempo la posicin y el impulso de una partcula. Esto mueve al asombro y merece una discusin ms detallada. Primero debemos corregir: la mecnica cuntica no impide la medicin si-multnea de la posicin y el impulso. Lo que no debe ser posible es que dichas mediciones puedan hacerse con infinita precisin, ya que las propiedades X = 5 y P = 8