TEA014 - Mecânica dos Fluidos Ambiental IICurso de Graduação em Engenharia AmbientalDepartamento de Engenharia Ambiental, UFPRP01, 17 Setembro 2018Prof. Michael Mannich

P01

NOME: GABARITO Assinatura:

1 [5] Considere o escoamento de ar e água em tubos do mesmo diâmetro, à mesma temperatura e à mesma velocidademédia. Qual escoamento possui mais chances de ser turbulento? Por quê?

SOLUÇÃO DA QUESTÃO:A viscosidade cinemática da água a 20℃ é νaдua = 1,0 × 10−6m2 s−1 e para o ar é νar = 1,5 × 10−5m2 s−1. Desta formaνar > νaдua , de modo que Reaдua > Rear . Portanto, o escoamento com água possui mais chances de ser turbulentoconsiderando o mesmo diâmetro e velocidade média do escoamento.

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2 [45] A vazão de água na tubulação de ferro fundido com 100m de comprimento e diâmetro de 150 mm é de 0,1m3 s−1.A diferença de elevação entre a superfície livre do reservatório à montante e a saída da tubulação é de 10m. Desprezetodas as perdas de carga localizadas.

a) [20] O dispositivo instalado no prédio é uma bomba ou uma turbina? Explique e determine a sua potência.

b) [10] Esboce a linha de energia (com a pressão manométrica) no sistema considerando a perda de carga e a presençada bomba ou turbina conforme a), respeitando pelo menos a escala da energia de montante.

c) [15] Há alguma preocupação com a localização do prédio (com bomba ou turbina)? [5] Apresente a razão e expliqueconceitualmente. [10] Caso haja alguma preocupação determine qual a distância máxima do reservatório que abomba/turbina poderá ser instalada.

SOLUÇÃO DA QUESTÃO:

a) Aplicamos a equação da energia entre um ponto a montante na superfície do reservatório (1) e a jusante na saída datubulação (2).

����Patm

P1γ+ZZα1�����0

V 21

2д+ z1 + Hbomba =

����Patm

P2γ+ZZα2

V 22

2д+ z2 + Hturbina + hperdas

Hbomba − Hturbina = z2 − z1 +V 2

22д

[1 + f

L

D

]

V =QπD2

4

=40,1

π × 0,12 = 5,658842m s−1

Re =VD

ν=

5,658 × 0,1500,000001

= 8,488 × 105

ϵ

D=

0,000260,150

= 0,001733

1√f= −2,0 log *

,

ϵ/D

3,7+

2,51Re

√f

+-

Para determinar f fazemos iterações na forma:

fi+1 =

−2,0 log *

,

ϵ/D

3,7+

2,51Re

√fi

+-

−2

A tabela apresenta as iterações tomando como aproximação inicial f1 = 0, 020

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Tabela 1: Iterações para determinação do fator de atritoi fi

1 0,022 0,0228134353 0,0227971324 0,0227972185 0,0227972176 0,022797217

Voltando e calculando

Hbomba − Hturbina = z2 − z1 +V 2

22д

[1 + f

L

D

]

Hbomba − Hturbina = −10 +5,6582

2 × 9,81

[1 + 0,0228 ×

1000,150

]

Hbomba − Hturbina = 16,43757m

Repare que o resultado de Hbomba −Hturbina > 0, como só temos ou uma bomba ou uma turbina isso implica que háuma bomba para possibilitar esta vazão. A carga disponível é de 10 m e a perda de carga somada da carga cinéticapara esta vazão é de 26,44 m. Então Hbomba = 16,43757m e P = γQH = 9810 × 0,2 × 16,44 = 16,125kW

b) Veja a �gura com a linha de energia.

c) A preocupação possível é que a pressão a montante da bomba �que inferior à pressão de vapor da água. Para veri�cara distância máxima da entrada da tubulação que a bomba deveria ser instalada calculamos o ângulo de inclinação datubulação.θ = arcsin( 5

100 ) = 2,865984°Avaliamos então a equação da energia entre o ponto (1) e um ponto antes da bomba (3). Escrevemos o problema emfunção desta distância L da tubulação.

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����Patm

P1γ+ZZα1�����0

V 21

2д+ z1 +���

0Hbomba =

����Pv = 2,34kPa

P3γ+ZZα3

V 23

2д+ z3 + Hturbina + hperdas

Hbomba +Patm − Pv

γ= z3 − z1 +

V 22

2д

[1 + f

L

D

]= ((5 − L sin(5/100)) − 10) +

V 22

2д

[1 + f

L

D

]

Hbomba +Patm − Pv

γ+ 5 −

V 22

2д= −L sin(2,866°) + f

L

D

V 22

2д= L

− sin(2,866°) + f

D

V 22

2д

L =Hbomba +

Patm−Pvγ + 5 − V 2

22д

− sin(2,866°) + fD

V 22

2д

L =16,43757 + 10, 09021 + 5 − 1,632135

−0,05 + 0,248054L = 79, 84881m

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3 [50] A �gura apresenta um reservatório que promove a sedimentação de materiais oriundos de um processo industrial.O reservatório deve ser conectado a um lago por meio de uma tubulação horizontal de concreto (ϵ = 1 mm) de seçãocircular e com 500 m de comprimento. As entradas e saídas da tubulação são localizadas afastadas da base dos taludese sustentadas por pilares de modo prevenir erosão nestas regiões. O reservatório recebe uma vazão de 0,25 m3 s−1 e sedeseja manter o nível do reservatório 1 m acima do nível do lado.

a) [10] Apresente as equações necessárias e hipóteses simpli�cadoras para determinar o diâmetro D da tubulação deconcreto necessária para atender aos critérios de projeto apresentados.

b) [10] Determine o diâmetro D da tubulação necessária para atender a vazão e diferença de nível especi�cados. Apre-sente os resultados dos passos iterativos. Para determinação do fator de atrito f pode-se utilizar o diagrama deMoody.

c) [10] Esboce a linha de energia e a linha piezométrica (com a pressão manométrica) no sistema.

d) [10] Caso a tubulação seja instalada com uma inclinação na direção do lago ao invés de ser horizontal é possívelreduzir o diâmetro necessário? [5] Explique. [5] Há alguma alternativa que poderia ser adotada para reduzir odiâmetro necessário?

e) [10] [5] Caso você não encontre uma tubulação no diâmetro determinado em b) você adotaria um diâmetro comercial,neste caso qual? Considerando o diâmetro comercial que você adotou, a perda de carga seria maior ou menor? [5]Qual estratégia você adotaria para continuar mantendo o mesmo desnível entre o reservatório e o lago (ou seja, amesma perda de carga)?

SOLUÇÃO DA QUESTÃO:

a) Aplicamos a equação da energia entre um ponto a montante na superfície do reservatório (1) e na superfície do lago(2).

����Patm

P1γ+ZZα1�����0

V 21

2д+ z1 +���

0Hbomba =

����Patm

P2γ+ZZα2

V 22

2д+ z2 +���

0H turbina + hperdas

z1 − z2 = ∆z =V 2

2д

[fL

D+ Kentrada + Ksaida

]

∆z =8Q2

π 2дD4

[fL

D+ Kentrada + Ksaida

]

Reorganizando para isolar o diâmetro D.

D4 =8Q2

π 2д∆z

[fL

D+ Kentrada + Ksaida

]

D =

(8Q2

π 2д∆z

[fL

D+ Kentrada + Ksaida

]) 14

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Reescrevendo agora a equação para estabelecer um potencial procedimento iterativo.

Di+1 =

(8Q2

π 2д∆z

[fL

Di+ Kentrada + Ksaida

]) 14

b) Agora devemos resolver o problema e determinar D.Não sabemos qual o diâmetroD e f também é função deD. Tomamos como uma aproximação um valor intermediáriode f = 0,020 que sempre é um bom palpite. Podemos então fazer algumas iterações para esta equação. Precisamosentão de um valor inicial de D. Vamos arbitrar D1 → ∞.

Di+1 = 0,268071(0,020

L

Di+ 0,5 + 1

) 14

Tabela 2: Iterações para determinação do diâmetroi Di

1 ∞

2 0,2966693 0,6529944 0,566357... ...15 0,561860

Mas esta não seria ainda a solução �nal, uma vezes que �xamos e arbitramos f . Então agora devemos iterar paradeterminar D. Um procedimento possível é aproximar D, calcular todos os parâmetros e determinar ∆z depois com-parar com o valor estabelecido. Deve-se aumentar ou diminuir D de acordo e realizar os novos cálculos. Uma formade obter uma nova estimativa do diâmetro (i + 1) é utilizar a mesma equação para a iteração com os dados passados(i).

Di+1 =

(8Q2

π 2д∆z

[fL

Di+ Kentrada + Ksaida

]) 14

= Di+1 = 0,268071(fL

Di+ 0,5 + 1

) 14

A tabela resume os resultados de cada iteração. Os valores do fator de atrito foram determinados com o diagramade Moody. A primeira aproximação para o diâmetro D1 = 0,56m obtivemos da aproximação anterior. Nada impede,é claro, você ter omitido a primeira etapa e arbitrado um diâmetro qualquer como primeira aproximação. O que�zemos apenas nos poupou algumas iterações e agilizou a convergência.

Tabela 3: Iterações para determinação do diâmetroD V Re ϵ/D f ∆z

0,56 1,015019 5,684×105 0,001786 0,0230 1,1571140,580807 0,943596 5,480×105 0,001722 0,0229 0,9627070,575315 0,961698 5,533×105 0,001738 0,0229 1,0088720,576587

Não �zemos muitas iterações pois alcançamos na terceira tentativa já um erro razoável de 8,87mm no desnível ∆z.Desta forma temos um diâmetro aproximado de 575 mm.Apenas como curiosidade, caso tivéssemos a oportunidade de resolver com o auxílio de um computador e também�zéssemos iterações para determinar f a cada iteração necessária em D, obteríamos

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Tabela 4: Iterações para determinação do diâmetroD V Re ϵ/D f ∆z

0,560000 1,015019 5,684105×105 0,001786 0,023083 1,1609910,581293 0,942019 5,475893×105 0,001720 0,022885 0,9581630,575115 0,962366 5,534713×105 0,001739 0,022941 1,0122850,576874 0,956508 5,517844×105 0,001733 0,022925 0,9965160,576370 0,958179 5,522661×105 0,001735 0,022930 1,0009980,576514 0,957701 5,521284×105 0,001735 0,022928 0,9997150,576473 0,957838 5,521678×105 0,001735 0,022929 1,0000820,576485 0,957799 5,521565×105 0,001735 0,022929 0,9999770,576482 0,957810 5,521597×105 0,001735 0,022929 1,0000070,576482 0,957807 5,521588×105 0,001735 0,022929 0,9999980,576482 0,957808 5,521591×105 0,001735 0,022929 1,000001

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c) Linhas de energia e piezométrica.

d) A a�rmação de que caso a tubulação seja instalada com uma inclinação na direção do lago ao invés de ser horizontalé possível reduzir o diâmetro necessário é falsa. Se o comprimento da tubulação for o mesmo e a saída da tubulaçãopermanecer abaixo da superfície do lago a perda de carga independe da inclinação da tubulação. Isso é bastanteevidente pela equação da energia aplicada ao escoamento em tubos.Uma alternativa para reduzir o diâmetro seria adotar um material com menor rugosidade.

e) Deveríamos adotar uma tubulação com diâmetro comercial superior, provavelmente de 600 mm. Neste caso a perdade carga seria inferior e, portanto, o desnível entre o reservatório e o lago seria também inferior. Uma forma decontornar a diminuição da perda com aumento do diâmetro seria instalar algum acessório que implique em umaperda de carga localizada ou elementos de rugosidade ao longo da tubulação para aumentar a perda de carga.

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