DISEO DE BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS (DBCA) - MODELO DE UN
FACTOR Un experimento puede involucrar uno o ms factores que aunque
no son de inters para el experimentador podra tener un efecto sobre
la respuesta. Entre dicho tipo de factores encontramos los factores
de bloqueo. Un diseo de bloques es apropiado cuando el objetivo del
experimento es comparar los efectos de diferentes tratamientos
promediados sobre un rango de condiciones diferentes. Las unidades
experimentales son agrupadas en conjuntos de tal forma que dos
unidades experimentales en el mismo grupo son similares y pueden
ser medidas bajo condiciones experimentales similares, pero dos
unidades experimentales en diferentes grupos probablemente
ocasionarn mediciones muy diferentes an cuando sean asignadas al
mismo tratamiento. Los grupos de unidades experimentales similares
son llamados bloques, y las condiciones que varan de bloque a
bloque forman los niveles del factor de bloqueo. El anlisis de un
diseo de bloques incluye la comparacin de tratamientos aplicados a
las unidades experimentales dentro del mismo bloque. As, el
propsito de bloquear es prevenir que diferencias grandes en las
unidades experimentales enmascaren las diferencias entre los
niveles del factor de tratamiento, mientras que al mismo tiempo
permita que los tratamientos sean examinados bajo diferentes
condiciones experimentales. Los niveles de un factor de bloqueo
pueden ser los valores de una covariable que ha sido medida antes
del experimento y cuyos valores son usados para agrupar a las
unidades experimentales. Muy a menudo sin embargo, los niveles de
un factor de bloqueo son agrupamientos de caractersticas que no
pueden ser medidas convenientemente. Por ej., Agrupar los rangos de
tiempo en el mismo da dentro del mismo bloque, puede asegurar que
las condiciones ambientales dentro de un bloque sean bastante
similares sin necesidad de medirlas. Dado que los niveles del
factor de bloqueo no necesariamente necesitan ser medidas, el diseo
de bloques es muy popular. Los experimentadores agrcolas pueden
saber que parcelas cercanas en un campo son similares, en tanto que
las parcelas lejanas no lo son. Los experimentadores industriales
pueden saber que dos unidades producidas por una misma mquina
tienen caractersticas similares, mientras que aquellas producidas
por dos mquinas distintas son algo diferentes. Los experimentadores
clnicos pueden saber que las mediciones tomadas sobre el mismo
sujeto sern similares, mientras que aquellas tomadas sobre sujetos
distintos no lo sern. Por tanto los bloques pueden ser formados sin
conocer los niveles precisos del factor de bloqueo. ASPECTOS DEL
DISEO DE BLOQUES Tamao de los bloques: Aunque es posible que el
nmero de unidades experimentales en cada bloque sea distinto, se
examinar slo diseos de bloques con igual tamao de bloque.
Representaremos el nmero de bloques por b; y en este curso
consideraremos el caso de tamao de bloque igual al nmero de niveles
a del factor de estudio. Es comn que en experimentos industriales
haya una divisin automtica en bloques de acuerdo al intervalo de
tiempo en un da como proteccin contra condiciones experimentales
cambiantes. Un experimento piloto puede ser realizado para
determinar la necesidad de bloquear. NOTA 1: Debe tenerse en cuenta
que cuando se bloquea innecesariamente, las pruebas de hiptesis
sern menos potentes y los intervalos de confianza sern ms anchos
que los que se obtendran con un diseo completamente aleatorizado.
1
DISEO DE BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS (DBCA) - MODELO DE UN
FACTOR Una vez se haya determinado el nmero de bloques y se hayan
agrupado a las unidades experimentales en tales grupos, a
continuacin se asignan las unidades a los tratamientos. La peor
asignacin posible de unidades a tratamientos es asignar todas las
unidades de un bloque a un tratamiento, todas las unidades de otro
bloque a otro tratamiento, y as sucesivamente. Esta asignacin no
permite en el anlisis distinguir entre diferencias entre bloques y
diferencias entre tratamientos. Los efectos de los tratamientos y
los del factor de bloqueo quedan confundidos (confusin de efectos).
La mejor asignacin posible es asignar a cada tratamiento el mismo
nmero de unidades experimentales en cada bloque. Esto puede
lograrse slo cuando el tamao del bloque k sea un mltiplo del nmero
de niveles o tratamientos del factor, a. Este diseo es llamado
diseo de bloques completos, y el caso especial en cual k=a, es el
que se conoce usualmente como diseo de bloques completos
aleatorizados, o simplemente diseo de bloques aleatorizados. Si el
tamao de bloque no es mltiplo de a, entonces el diseo es conocido
como un diseo de bloques incompletos. Este nombre es algunas veces
reservado para el diseo en el cual k 1 H > 1
Cmo interpretar los valores de E.R? Si ER = 1( 100% ) La
cantidad de bloques ni ha ayudado ni perjudicado ER < 1( 100% )
La cantidad de bloques no ha sido til ER > 1( 100% ) La cantidad
de bloques ha sido til Se requieren n = b ER replicaciones por
tratamiento para un DCA para que sea tan efectivo como un DBC con b
replicaciones. Por ejemplo: Si ER = 96% (0.96) no es til el DBCA,
ya que 96 rplicas de DCA dan tanta informacin como 100 bloques o
rplicas de un DBCA. Si ER = 1.55 (155%) es til el DBCA ya que el
DCA para obtener la misma eficiencia que el DBCA necesitara 155
rplicas y el DBCA solo 100. Si ER = n/b = 1.55/1 , se requieren
1.55 ms rplicas por tratamientos en un DCA para obtener la misma
eficiencia que un DBCA con b bloques. NOTA: La ER slo habla de la
precisin de los estimados y no de la potencia (sensibilidad del
experimento). Por sta razn se recomienda considerar un DBCA mejor
que un DCA cuando E.R=125% o ms.
7
EJEMPLO DE UN DBCA: COMPARACIN DE CUATRO MTODOS DE ENSAMBLE Un
equipo de mejora investiga el efecto de cuatro mtodos de ensamble
A, B, C, y D, sobre el tiempo de ensamble en minutos. En primera
instancia la estrategia experimental fue aplicar cuatro veces los
cuatro mtodos de ensamble en orden aleatorio en un diseo
completamente aleatorizado. Sin embargo, los experimentadores se
dan cuenta que hay cuatro operadores con distintas destrezas y
consideran que esto puede afectar de manera significativa los
tiempos de ensamble, y por ende la comparacin de los mtodos,
entonces debe utilizarse un diseo de bloques completos
aleatorizados para controlar activamente en el experimento a los
operadores que realizarn el ensamble. Los datos recolectados en
este diseo fueron los siguientes: Mtodo A B C D 1 6 7 10 10 2 9 10
16 13 Operador 3 7 11 11 11 4 8 8 14 9
Se desea determinar si existen diferencias entre los cuatro
mtodos y cmo se diferencian, adems elegir el mejor mtodo, si lo
hay.Solucin En primera instancia se construyen los grficos boxplots
de los tiempos vs. mtodos y tiempos vs. operadores, usando programa
SAS que aparece en ANEXO 1.
Se observan diferencias en los tiempos promedios de ensamble
entre los cuatro mtodos. A primera vista parece que los dos mejores
mtodos son el A y B. Parece que con el mtodo C los tiempos
alcanzados tienen mayor dispersin que en los otros dos casos. Por
su parte, el operador 1 parece tener en promedio el menor tiempo de
ensamble, en tanto que los operadores 3 y 4 en promedio y tienen
aproximadamente los mismos tiempos. El operador 2 es ms lento y
opera con una mayor variabilidad lo que nos dice que es menos
consistente en sus acciones. El modelo estadstico es Yij = + i + j
+ ij i=1, 2, 3, 4 para denotar los mtodos A, B, C y D
respectivamente, y j=1, 2, 3, 4 operadores. i representa el efecto
sobre el tiempo promedio de ensamble 8
EJEMPLO DE UN DBCA: COMPARACIN DE CUATRO MTODOS DE ENSAMBLE
debido al mtodo i-esimo y j es el efecto del j-esimo operador sobre
el tiempo promedio de ensamble. Restricciones y supuestos son
= i =1 i j =1
4
4
j
= 0 , con los errores ij ~ N 0, 2
iid
(
)
Se construye la tabla ANOVA con ayuda del SAS, los resultados
son los siguientes:Dependent Variable: TIEMPO Source Model Error
Corrected Total R-Square Coeff Var 0.833333 14.14214 Source
OPERADOR METODO
ANOVASum of DF Squares Mean Square 6 90.0000000 15.0000000 9
18.0000000 2.0000000 15 108.0000000 Root MSE TIEMPO Mean 1.414214
10.00000 DF Type I SS Mean Square 3 28.50000000 9.50000000 3
61.50000000 20.50000000 F Value 7.50 Pr > F 0.0042
F Value 4.75 10.25
Pr > F 0.0298 0.0029
El test de hiptesis H 0 : 1 = 2 = 3 = 4 = 0 es rechazado con un
valor p de 0.0029 a un nivel de significancia de 0.05, es decir,
los tiempos medios de ensamble no son iguales para todos los
mtodos. Para evaluar la eficiencia del diseo tenemos que : ( 9 +
1)(12 + 3) 3 9.5 + 4 3 2 100% = 168% , ER = (12 + 1)( 9 + 3) ( 4 4
1) 2 es decir, 168 rplicas de un DCA seran necesarias para obtener
tanta informacin como 100 bloques de un DBCA. Por tanto fue
altamente eficiente el diseo aplicado. Comparemos ahora los tiempos
medios de ensamble para los cuatro mtodos mediante el procedimiento
de Tukey. SAS da la siguiente salida:Tukey's Studentized Range
(HSD) Test for TIEMPONOTE: This test controls the Type I
experimentwise error rate, but it generally has a higher Type II
error rate than REGWQ. Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 9 Error
Mean Square 2 Critical Value of Studentized Range 4.41490 Minimum
Significant Difference 3.1218 Means with the same letter are not
significantly different.
9
EJEMPLO DE UN DBCA: COMPARACIN DE CUATRO MTODOS DE
ENSAMBLEGroupingB B A A C C 12.750 10.750 9.000 7.500
Mean
N
4 4 4 4
METODOC D B A
Como vemos Tukey define tres grupos de medias que se traslapan:
grupo A: mtodos C y D, grupo B: mtodos D y B y grupo C: mtodos A y
B. Hay un problema de potencia del procedimiento debido a la gran
dispersin en los datos en algunos operarios y mtodos como veremos.
Validemos los supuestos de normalidad y de varianza constante
mediante grficos de residuales:
La normalidad parece un supuesto razonable para los errores en
este experimento. Sin embargo, hay problemas con el supuesto de
varianza constante. Con los mtodos B y C la dispersin de los
residuales es mayor comparativamente a la dispersin en los mtodos A
y D. Con el mtodo A hay menos dispersin. A nivel del operador 3 las
dispersin de los residuales es mayor aparentemente debido a una
observacin que es subestimada. A pesar de estos inconvenientes es
posible llegar a una conclusin: Elegir como mejor mtodo el A, dado
que tiene menor tiempo promedio observado y menor dispersin (esto
ltimo indica que los operadores con este mtodo son ms consistentes)
g. Adicionalmente, se estimaron los efectos de cada mtodo de
ensamble, y sus intervalos de confianza (cuyos niveles de confianza
pueden ser un poco diferentes a los esperados dados los problemas
de varianza). Se deja al lector la interpretacin de estos
resultados.
10
EJEMPLO DE UN DBCA: COMPARACIN DE CUATRO MTODOS DE
ENSAMBLEParameter EFECTO METODO EFECTO METODO EFECTO METODO EFECTO
METODO Parameter EFECTO METODO EFECTO METODO EFECTO METODO EFECTO
METODO Estimate -2.50000000 -1.00000000 2.75000000 0.75000000
Standard Error 0.61237244 0.61237244 0.61237244 0.61237244 t Value
-4.08 -1.63 4.49 1.22 Pr > |t| 0.0027 0.1369 0.0015 0.2518
A B C D
A B C D
95% Confidence Limits -3.88528269 -1.11471731 -2.38528269
0.38528269 1.36471731 4.13528269 -0.63528269 2.13528269
ANEXO : PROGRAMA SAS PARA COMPARACIN DE LOS MTODOS DE
ENSAMBLEoptions nodate nocenter nonumber; goptions
colors=(black,black,black) cback=white ftext=simplex ftitle=simplex
htitle=1.0 htext=0.9; DATA ENSAMBLE; DO OPERADOR=1 TO 4; DO
METODO="A", "B", "C", "D"; INPUT TIEMPO @; OUTPUT; END; END; CARDS;
6 7 10 10 9 10 16 13 7 11 11 11 8 8 14 9 ; RUN; PROC SORT
DATA=ENSAMBLE; BY METODO; RUN; TITLE1'BOXPLOTS TIEMPO ENSAMBLE';
TITLE2'COMPARACION POR METODOS'; PROC BOXPLOT DATA=ENSAMBLE; PLOT
TIEMPO*METODO/BOXCONNECT=MEAN CCONNECT=RED CBOXES=BLACK
CBOXFILL=YELLOW CFRAME=CXF7E1C2; RUN; QUIT; PROC SORT
DATA=ENSAMBLE; BY OPERADOR; RUN; TITLE1'BOXPLOTS TIEMPO ENSAMBLE';
TITLE2'COMPARACION POR OPERADOR';
11
EJEMPLO DE UN DBCA: COMPARACIN DE CUATRO MTODOS DE ENSAMBLEPROC
BOXPLOT DATA=ENSAMBLE; PLOT TIEMPO*OPERADOR/BOXCONNECT=MEAN
CCONNECT=RED CBOXES=BLACK CBOXFILL=YELLOW CFRAME=CXF7E1C2; RUN;
QUIT; PROC GLM DATA=ENSAMBLE; CLASS OPERADOR METODO; MODEL
TIEMPO=OPERADOR METODO/SS1 CLPARM; MEANS METODO/TUKEY; ESTIMATE
'EFECTO METODO A' METODO 3 -1 -1 -1/DIVISOR=4; ESTIMATE 'EFECTO
METODO B' METODO -1 3 -1 -1/DIVISOR=4; ESTIMATE 'EFECTO METODO C'
METODO -1 -1 3 -1/DIVISOR=4; ESTIMATE 'EFECTO METODO D' METODO -1
-1 -1 3/DIVISOR=4; OUTPUT OUT=SAL R=RES P=PRED; RUN; QUIT;
/*ESTANDARIZACIN DE RESIDUALES*/ PROC STANDARD DATA=SAL OUT=SAL2
STD=1 MEAN=0; VAR RES; RUN; TITLE1'GRAFICO PARA NORMALIDAD DE LOS
ERRORES (RESIDUOS ESTANDARIZADOS)'; TITLE2'TIEMPOS DE ENSAMBLE';
PROC UNIVARIATE DATA=SAL2 NORMALTEST NOPRINT; VAR RES; PROBPLOT
RES/NORMAL; INSET NORMALTEST PROBN; RUN; TITLE1'GRAFICOS DE
RESIDUALES ESTANDARIZADOS- EXPERIMENTO DE LOS ENSAMBLES';
TITLE2'TIEMPOS DE ENSAMBLE - METODO'; PROC GPLOT DATA=SAL2; PLOT
RES*METODO/VREF=0 LVREF=2; SYMBOL1 I=NONE V=DOT H=0.8 C=BLACK; RUN;
QUIT; TITLE1'GRAFICOS DE RESIDUALES ESTANDARIZADOS- EXPERIMENTO DE
LOS ENSAMBLES'; TITLE2'TIEMPOS DE ENSAMBLE - OPERADOR'; PROC GPLOT
DATA=SAL2; PLOT RES*OPERADOR/VREF=0 LVREF=2; SYMBOL1 I=NONE V=DOT
H=0.8 C=BLACK; RUN; QUIT;
12
EJEMPLO DE UN DBCA: COMPARACIN DE CUATRO MTODOS DE ENSAMBLE
ANEXO: PROGRAMA R PARA COMPARACIN DE LOS MTODOS DE ENSAMBLECREANDO
LA VARIABLE RESPUESTA tiempo
