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Strukturerhaltende ZeitintegratorenDas SHAKE/RATTLE Zeitintegrationsverfahren
für Zwangsbedingungen(Tobias Hofmann)
Das SHAKE/RATTLE Zeitintegrationsverfahren
für Zwangsbedingungen
1
Mittwoch, 26. Januar 2011
Strukturerhaltende ZeitintegratorenDas SHAKE/RATTLE Zeitintegrationsverfahren
für Zwangsbedingungen(Tobias Hofmann) 2
Gliederung:
1. Wiederholung
2. Das SHAKE-Verfahren
3.Spezialisierung/Vorbereitung
4. Berechnung der Lagrange-Multiplikatoren
5. Potentialtheorie/Programmbeispiele
Mittwoch, 26. Januar 2011
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Wiederholung des RATTLE-Algorithmus
pn+14 = pn − ∆t
2·GT(qn) · λn
(pn+34 , qn+1) = Ψ∆t(p
n+ 14 , qn)
0 = g(qn+1)
pn+1 = pn+34 − ∆t
2·GT(qn+1) · λn+1
Mittwoch, 26. Januar 2011
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Das SHAKE-Mehrschrittverfahren
qn+1 − 2qn + qn−1 = −∆t2 ·M−1 · (GT(qn)λn +Uq(qn))
0 = g(qn+1)
Mittwoch, 26. Januar 2011
Strukturerhaltende ZeitintegratorenDas SHAKE/RATTLE Zeitintegrationsverfahren
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Eine Beschränkung
gij :�Rd
�N→ R(q1, q2, . . . , qN) �→ �qi − qj�2 − d2ij
gij(q) = 0
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Versteckte Bedingung
gij = 2· < qi − qj, qi − qj >= 0
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Die Beschränkungen
g :�Rd
�N→ RM
(q1, q2, . . . , qN) �→
�qi1 − qj1�2 − d2i1j1�qi1 − qj1�2 − d2i1j1
. . .�qiM − qjM�2 − d2iMjM
g(q) = 0
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Spezieller RATTLE-Algorithmus(gewohnte Hamilton, Störmer-Verlet, spezielle Beschränkungen)
pn+14 = pn − ∆t
2·GT(qn) · λn
pn+12 = pn+
14 − ∆t
2·Uq(q
n)
qn+1 = qn +∆t ·M−1 · pn+ 12
pn+34 = pn+
12 − ∆t
2·Uq(q
n+1)
0 = g(qn+1)
pn+1 = pn+34 − ∆t
2·GT(qn+1) · λn+1
0 = G(qn+1) ·M−1 · pn+1
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Strukturerhaltende ZeitintegratorenDas SHAKE/RATTLE Zeitintegrationsverfahren
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Die erste nichtlineare Gleichung
0 = g(qn +∆t ·M−1 · (pn − ∆t
2·GT(qn) · λn − ∆t
2·Uq(q
n)))
0 = g(qn+1 − ∆t2
2·M−1 ·GT(qn) · λn)
qn+1 = qn +∆t ·M−1 · (pn − ∆t
2Uq(q
n))
pn+34 = pn − ∆t
2Uq(q
n)− ∆t
2Uq(q
n+1)
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Strukturerhaltende ZeitintegratorenDas SHAKE/RATTLE Zeitintegrationsverfahren
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Hilfsrechnung:(GT(qn) · λn)k =
=
(∇qgi1j1 . . .∇qgiMjM) ·
λni1j1...
λniMjM
k
=
∂q1(gi1j1) · · · ∂q1(giMjM)∂qk(gi1j1) · · · ∂qk(giMjM)∂qN(gi1j1) · · · ∂qN(giMjM)
·
λni1j1...
λniMjM
k
=�
(i,j)∈I,i<j
∂qkgijλnij
=�
(i,j)∈I,i=k
2 · (qni − qnj )λnij +
�
(i,j)∈I,j=k
2 · (qni − qnj )λnij · (−1)
= 2�
(k,l)∈I∪I∗
(qnk − qnl )λnkl
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Die Gleichung, betrachtet in einer Komponenten:
�qn+1i − qn+1
j −∆t2 · ( 1
mi+
1
mj)(qni − qnj )λ
ij�2 ≈ d2ij
Genäherte Komponente:
�qn+1i − qn+1
j −∆t2 · ( 1
mi
�
l:(i,l)∈I∪I∗
(qni − qnl )λil − 1
mj
�
l:(l,j)∈I∪I∗
(qnj − qnl )λlj)�2 = d2ij
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Die Näherungslösung für den Lagrange-Multiplikator
λij ≈d2ij − �qn+1
i − qn+1j �2
−2∆t2 · ( 1mi
+ 1mj
)�qni − qnj , qn+1i − qn+1
j �
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Spezieller RATTLE-Algorithmus
pn+14 = pn − ∆t
2·GT(qn) · λn
pn+12 = pn+
14 − ∆t
2·Uq(q
n)
qn+1 = qn +∆t ·M−1 · pn+ 12
pn+34 = pn+
12 − ∆t
2·Uq(q
n+1)
0 = g(qn+1)
pn+1 = pn+34 − ∆t
2·GT(qn+1) · λn+1
0 = G(qn+1) ·M−1 · pn+1
Mittwoch, 26. Januar 2011
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Die resultierenden Aktualisierungen
qn+1i = qn+1
i +∆t2
2mi· (qni − qnj )λ
ij
qn+1j = qn+1
j − ∆t2
2mj· (qni − qnj )λ
ij
pn+ 3
4i = p
n+ 34
i +∆t
2· (qni − qnj )λ
ij
pn+ 3
4j = p
n+ 34
j − ∆t
2· (qni − qnj )λ
ij
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Die zweite nichtlineare Gleichung
G(qn+1) ·M−1 · (pn+1 − ∆t
2·GT(qn+1)λn+1)) = 0
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Lösung der zweiten nichtlinearen Gleichung
�qn+1i − qn+1
j ,1
mipn+1i − 1
mjpn+1j − ∆t
2(1
mi
�
l:(i,l)∈I∪I∗
(qn+1i − qn+1
l )λil − 1
mj
�
l:(l,j)∈I∪I∗
(qn+1l − qn+1
j )λlj)� = 0
�qn+1i − qn+1
j ,1
mipn+1i − 1
mjpn+1j − ∆t
2(1
mi+
1
mj)(qn+1
i − qn+1j )λij� ≈ 0
λij ≈ 2
∆t·�qn+1
i − qn+1j , 1
mipn+1i − 1
mjpn+1j �
( 1mi
+ 1mj
) · d2ij
Mittwoch, 26. Januar 2011
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Spezieller RATTLE-Algorithmus
pn+14 = pn − ∆t
2·GT(qn) · λn
pn+12 = pn+
14 − ∆t
2·Uq(q
n)
qn+1 = qn +∆t ·M−1 · pn+ 12
pn+34 = pn+
12 − ∆t
2·Uq(q
n+1)
0 = g(qn+1)
pn+1 = pn+34 − ∆t
2·GT(qn+1) · λn+1
0 = G(qn+1) ·M−1 · pn+1
Mittwoch, 26. Januar 2011
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Die resultierenden AktualisierungenAbschließende Anmerkungen
pn+1i = pn+1
i +∆t
2· (qn+1
i − qn+1j )λij
pn+1j = pn+1
j − ∆t
2· (qn+1
i − qn+1j )λij
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Strukturerhaltende ZeitintegratorenDas SHAKE/RATTLE Zeitintegrationsverfahren
für Zwangsbedingungen(Tobias Hofmann) 19
Das Lennard-Jones-Potential im Vergleich zum Gravitationspotential
Mittwoch, 26. Januar 2011