Embed Size (px)
Citation preview
Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku
Odjel za matematiku
Danijela Molnar
Koncept decimalnog broja i postotka
Diplomski rad
Osijek, 2013.
Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku
Odjel za matematiku
Danijela Molnar
Koncept decimalnog broja i postotka
Diplomski rad
Mentor: doc.dr.sc. Ivan Matic
Komentor: dr.sc. Ljerka Jukic Matic
Osijek, 2013.
Sadrzaj
1. Uvod 1
2. Koncept decimalnog broja 2
2.1. Potrebno predznanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2. Veza koncepta razlomka i decimalnog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.3. Dekadski razlomci i njihovi modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4. Prosirenje pozicijskog sustava bazom 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5. Decimalna tocka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.6. Povezivanje razlomaka i decimalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7. Prikazivanje i usporedivanje decimalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.8. Zaokruzivanje decimalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.9. Racunanje s decimalnim brojevima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.9.1. Zbrajanje i oduzimanje decimalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.9.2. Mnozenje decimalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.9.3. Dijeljenje decimalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3. Postotak 29
3.1. Racunanje s postotcima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4. Zakljucak 32
Sazetak 33
Summary 34
Literatura 35
Zivotopis 36
i
1. Uvod
U ovome radu bavit cemo se temama decimalnog broja i postotka, poglavito o svladavanju
njihovog koncepta. Naglasavat cemo veze izmedu razlomaka i decimalnih brojeva te opisati
modele za prikazivanje dekadskih razlomaka odnosno decimalnih brojeva. Opisat cemo svaki
od modela i naglasiti njihove prednosti te sto postizemo kod ucenika njihovom primjenom.
Bavit cemo se primjerima koji bi svojom primjenom u nastavi trebali osigurati razumijevanje
u svladavanju decimalnih brojeva i postotka. Govorit cemo o dijelovima decimalnih brojeva
i zasto je bitno razumjeti pozicijski vrijednosni sustav. Razradit cemo prikazivanje decimal-
nih brojeva modelima kvadrat 10 × 10, kvadrati i trake, brojevni pravac, novac. Primjerima
cemo prikazati prikladne nacine za obradu usporedivanja decimalnih brojeva te njihovog za-
okruzivanja. Pruzit cemo brojne aktivnosti cijom primjenom nastavu mozemo uciniti zabav-
nom, a ujedno osigurati ono najvaznije-razumijevanje gradiva koji se obraduje. Racunanje s
decimalnim brojevima cemo prikazati drukcijim pristupom, bez brojanja decimalnih mjesta,
bez pravila i formula. Takoder i racunanje s postocima. Bavit cemo se primjerima iz sva-
kodnevnog zivota. Ukazat cemo na moguce probleme koji se pojavljuju u obradi decimalnih
brojeva i postotka te pruziti odgovarajuce metode koje ce osigurati da do tih problema ni
ne dode, ili da ih se uspjesno otkloni. Puno cemo se oslanjati na karakter nastavnika i nje-
govu zelju za sto kvalitetnijom obradom tema decimalnih brojeva i postotka. No najvise
od svega naglasavat cemo potrebu za objasnjavanjem koraka u rjesavanju problema jer u
ovakvim temama, decimalnih brojeva i postotka, vrlo je bitno razumijevanje. Ovo steceno
znanje ucenici ce dalje koristiti u svom svakodnevnom zivotu. Ukoliko im omogucimo da ga
svladaju na kvalitetan nacin, zabavno ali i smisleno, pruzit cemo im priliku da svakodnevne
zivotne situacije s lakocom procjenjuju, rjesavaju te okrenu sebi u korist.
1
2. Koncept decimalnog broja
Nastavna cjelina decimalnih brojeva u Republici Hrvatskoj uvodi se u petom razredu os-
novne skole i to nakon cjeline Razlomci. Bitno je napomenuti da ovako vazna nastavna
cjelina, koju ucenici trebaju dobro svladati i razumjeti jer ce znanje steceno u ovoj cjelini
koristiti citavog zivota, dolazi u obradu kao posljednja cjelina drugoga polugodista. U svim
aktualnim udzbenicima za peti razred osnovne skole decimalni brojevi uvode se na isti nacin
izjednacavajuci dekadske razlomke odgovarajucim decimalnim zapisom, odnosno decimalnim
brojem. Dakle prilikom uvoda decimalnih brojeva oslanjamo se na ucenicko predznanje o pri-
rodnim brojevima i netom obradenim razlomcima. No valja naglasiti da programski sadrzaj
matematike u petom razredu u cjelini Decimalni brojevi objedinjuje cjeline prirodnih bro-
jeva, djeljivosti prirodnih brojeva i razlomaka. Vise o svemu tome u nastavku.
2.1. Potrebno predznanje
Kako bi ucenici sto uspjesnije svladali koncept decimalnih brojeva trebaju iz prijasnjih cje-
lina usvojiti znanja o prirodnim brojevima i razlomcima. Potrebno im je znanje odredivanja
dekadskih mjesta znamenaka u zadanom prirodnom broju. Koncept razlomaka trebao bi
biti u potpunosti razumljiv i svladan. Pod tim podrazumijevamo da trebaju znati sto su raz-
lomci, kako se razlomci prikazuju na brojevnome pravcu, kako provodimo njihovo skracivanje
i prosirivanje. Prilikom prikaza decimalnih brojeva na brojevnom pravcu koristit cemo pred-
znanje prikaza brojeva iz skupa N0 te njihovo usporedivanje. Ucenici trebaju imati usvojena
znacenja i primjenu odnosa manji od, veci od, jednak i razlicit. Koristit cemo i vjestine
usporedivanja razlomaka jednakih nazivnika, zaokruzivanja prirodnog broja do zadane de-
kadske jedinice, te ucenicko znanje i snalazljivost u rjesavanju osnovnih racunskih operacija
s prirodnim brojevima. Svo ovo predznanje potrebno im je u uspjesnom svladavanju gradiva
u kojemu ce se upoznati s dekadskim razlomkom, decimalnim zapisom, decimalnim brojem
i decimalnom tockom. Naucit ce zaokruzivati decimalne brojeve, usporedivati ih, smjestati
na brojevni pravac te vrsiti s njima osnovne racunske operacije (zbrajanje, oduzimanje,
mnozenje i dijeljenje). Takoder ce nauciti prikazivati decimalne brojeve pomocu raznih mo-
dela te objasnjavati odnos izmedu decimalnih dijelova i cjeline. I ono najvaznije u shvacanju
koncepta decimalnih brojeva naucit ce zapisati razlomke u obliku decimalnog broja. Ali ne
primjenom pravila vec primjenom vlastitog razumijevanja koncepta decimalnih brojeva.
2.2. Veza koncepta razlomka i decimalnog broja
Iako odrasli vrlo lako prepoznaju da su 0.5 i 12
dva naoko razlicita prikaza iste kolicine,
da simboli 3.75 i 334
predstavljaju istu kolicinu iako napisani izgledaju poprilicno razlicito,
djeca imaju poteskoca u povezivanju ta dva razlicita sustava–razlomaka i decimalnog broja.
Ucenici ta dva sustava dozivljavaju kao dvije odvojene stvari koje nemaju veze jedna s
2
drugom i koje predstavljaju razlicite vrijednosti necega. Cak i odrasle osobe dozivljavaju
razlomke kao dijelove (tri cetvrtine od necega), dok s druge strane decimalni zapis vise
dozivljavaju kao brojeve. Osobito zbunjujuce je za djecu kad ta dva prikaza predstavimo
kao ’jedno te isto’, kad im kazemo da su ta dva prikaza ’ista stvar’. Iako su to dva razlicita
nacina zapisa broja, sami brojevi u svojoj kolicini se ne razlikuju. Nastavnici bi prilikom
objasnjavanja trebali ucenicima naglasiti da oba broja, razlomak i pripadajuci decimalan
broj, predstavljaju isti koncept. No to podrazumijeva vise od samog isticanja da su to dva
prikaza iste kolicine. U karakteru nastavnika trebala bi postojati zelja da ucenicima pomogne
da uoce vezu izmedu razlomka i decimalnih brojeva, da je usvoje, da usvoje njihove koncepte
i potom ih primjenjuju. Kako bi to ostvarili nastavnici se mogu posluziti slijedecim: prvo,
prikazati modeliranje dekadskih razlomaka za sto koristimo poznate koncepte razlomaka i
modela za istrazivanje racionalnih brojeva koji se lako mogu prikazati kao decimalni brojevi
(desetine, stotine. . . ); drugo, pomoci ucenicima da uvide prosirivanje pozicijskog sustava
bazom 10 na nize dekadske jedinice naglasavajuci mjesne vrijednosti svake znamenke iza
decimalne tocke, na taj nacin prosirujemo sustav kako bi sadrzavao brojeve manje od 1 i
velike brojeve; trece, praviti veze izmedu razlomaka i decimalnih brojeva, izmedu ta dva
sustava i njihovih koncepata.
Kako bismo upotrijebili jedan od najlaksih nacina jednostavnog i zornog prikaza kon-
cepata decimalnih brojeva i razlomaka i njihove povezanosti ucenicima mozemo predstaviti
slijedeci primjer (Primjer 2.2.1)
Primjer 2.2.1 Zamolimo ucenike da zatvore oci i zamisljaju ono sto im govorimo. Razlomak
je broj koji se sastoji od 3 dijela: crte, broja iznad crte i broja ispod crte. Broj ispod crte je
torta i pokazuje na koliko je jednakih dijelova ta torta izrezana. Crta je tanjur. Broj iznad crte
pokazuje koliko je dijelova te torte (kriski) na tanjuru. Kad zbrajam ili oduzimam razlomke,
racunam samo ono sto je na tanjuru. Mogu se racunati samo kriske jednake velicine. To
znaci da se mogu zbrajati samo oni razlomci koji imaju jednaki donji broj (nazivnik). Ako
zelimo zbrajati i oduzimati dva razlomka u kojima kriske nisu jednake velicine, onda torte
moramo drukcije razrezati. Decimalni je broj slican razlomku. Ima broj ispred tocke i broj
iza tocke. Broj ispred tocke govori nam podatak koliko ima torti. Broj iza tocke govori koliko
jos ima dodatnih kriski torte.
U razlomcima torta moze biti razrezana na koliko god zelimo jednakih dijelova. U deci-
malnim brojevima torta uvijek mora biti razrezana na 10, 100, 1000 ... kriski.
Dakle ovakvim pristupom broj 7.4 predstavlja 7 torti i 4 kriske (od deset kriski jedne
torte). Potom mozemo promotriti broj 7.14. Za njega zakljucujemo da predstavlja 7 torti i
14 krisaka, no ovaj puta od mogucih 100.
Ovakvim pristupom se u vrlo kratkom vremenu ucenicima moze objasniti i prikazati kon-
cept razlomaka i decimalnih brojeva, nakon cega oni mogu rjesavati neke jednostavnije za-
datke.
3
2.3. Dekadski razlomci i njihovi modeli
Dekadski razlomci su razlomci kojima je nazivnik dekadska jedinica (1, 10, 100, 100 itd).
Razlomci kao sto su 1100
, 910
, 23100
ili 1010000
primjeri su takvih razlomaka. Svaki se dekadski
razlomak moze zapisati na jednostavniji nacin, kao decimalni broj. Decimalni zapis broja
sastoji se od dva dijela, cijeloga (jedinice, desetice, stotice. . . ) i decimalnog (desetinke, sto-
tinke, tisucinke), medusobno odvojenih decimalnom tockom.
Kako bismo istrazili modele dekadskih razlomaka ucenicima mozemo prirediti brojne ak-
tivnosti u kojima mozemo koristiti modele prostora ali i modele duzina. Ovakvim pristupom
osiguravamo razumijevanje gradiva, jer ucenici (i svi mi ostali) najbolje ucimo ako nesto sami
radimo, ako koristimo aktivnosti izrade necega za razliku od samoga predavanja i zapisivanja.
Poznatim modelima razlomaka, dakle onima koje su ucenici vec usvojili, vrlo je ne-
prakticno prikazati stotinke ili tisucinke nekog broja. Vazno je za dekadske razlomke ucenicima
osigurati koristenje istih modela kao onih koje su koristili za razlomke kao sto su trecine i
cetvrtine, a koji koriste iste konceptualne pristupe. Posebno isticemo dva vrlo vazna modela.
Prvo, kao model za prikaz desetina, stotnina (poput onog prikazanog na slici 2.3.1) koristimo
decimalan krug. Krug je podijeljen na 10 jednakih dijelova od kojih je svaki taj dio podijeljen
na 10 jednakih intervala. Dakle krug je oznacen sa 100 jednakih razmaka oko ruba. Ovaj
model ucenici prihvacaju jer im je relativno poznat buduci da su mnogi od njih upoznati s
prikazom dijagrama u obliku pita podijeljene na trecine, cetvrtine i tako dalje. Ignoriranjem
manjih gradacija, decimalni krug je jednostavno podijeljen na desetine kruga. Koristenjem
ovakva dva decimalna kruga koji su medusobno razlicitih boja mozemo prikazivati bilo koje
razlomke manje od 1.
Slika 2.3.1: Decimalni krug
4
Te slijedeci najcesce koristeni model za predstavljanje dekadskih razlomaka je kvadrat
10 × 10 (Slika 2.3.2), odnosno za prikazivanje desetina i stotnina. Ovakav model je koristan
jer ucenicima mozemo predstaviti aktivnosti u kojima bi oni sami zasjenili/obojili razlicite
dijelove ovakvih kvadrata koji predstavljaju dekadske razlomke. Ili bi kao drukciju aktivnost
mogli obojene kvadratice lijepiti na prazne kvadrate 10×10 kako bi prikazali zadane brojeve.
U ovakvim vjezbama je vrlo vazno da ucenici uoce da je svaki kvadrat jedno cijelo, da 10
traka (svaka sastavljena od 10 kvadratica koji zapravo cine pravokutnik) cine jedno cijelo te
da 100 kvadratica cine jedno cijelo. Naravno da im to necemo samo reci. Do tih zakljucaka
vodit cemo ih pitanjima. Ovdje je zgodno za pocetak od ucenika traziti da nacrtaju kvadrat
kojemu je duljina stranice 10 cm, pravokutnik sa stranicama duljine 1 cm i 10 cm te kvadrat
duljine stranice 1 cm. Veliki kvadrat i pravokutnik ce tada podijeliti na jednake dijelove
(kao kvadrat na slici 2.3.2 i pripadajuca traka odnosno pravokutnik). Potom ih mozemo
pitati: kolika je povrsina nacrtanih likova, koliko je pravokutnika potrebno za prekrivanje
velikog kvadrata, razlomkom i decimalnim brojem izrazite koji dio kvadrata cini nacrtani
pravokutnik, koliko malih kvadrata treba za prekrivanje nacrtanog pravokutnika, razlomkom
i decimalnim brojem izrazite koji dio pravokutnika predstavlja mali kvadrat, koliko je malih
kvadrata potrebno za prekrivanje velikog kvadrata, izrazite razlomkom i decimalnim brojem
koji dio velikog kvadrata cini mali kvadrat.
Slika 2.3.2: Kvadrat 10 × 10 (Svaka traka predstavlja 110
, svaki kvadratic predstavlja 1100
)
Vrlo slican model koji se vodi jednakim principom je model s trakama i kvadratima (Slika
2.3.3). Kvadrat stranice 10 cm je jedno cijelo. Tada svaka traka predstavlja jednu desetinu,
a svaki mali kvadrat jednu stotninu.
Kod aktivnosti koje ukljucuju upotrebu ovakvih modela osnovni cilj je kod ucenika ra-
5
Slika 2.3.3: Model trake i kvadrata za prikazivanje dekadskih razlomaka
zviti razumijevanje koncepta, a ne puko primjenjivanje pravila. Primjer 2.3.1 navodi moguce
zadatke u kojima to mozemo i postici.
Primjer 2.3.1
• Ana je bacila igracu kockicu 10 puta te joj se u sest od tih bacanja pojavio paran
broj. Zadatak ucenika je da predstave broj parnih brojeva kao razlomak, te prikazu na
kvadratu 10 × 10.
• Marko ima 5 kovanica u dzepu. Zbroj vrijednosti kovanica je manji od 1 kune i veci od
50 lipa. Ucenike molimo da odgovore koliko kuna Marko ima u dzepu? A potom napisu
iznos kao razlomak i zasjene dobiveni iznos na kvadratu 10 × 10.
• Ucenicima pokazemo kvadrat koji je prikazan u Slici 2.3.4, a potom ih zamolimo da
odgovore na slijedeca pitanja. Koji dio kvadrata u Slici 2.3.4 je zasjenjen? Napisite dva
razlicita razlomka koja prikazuju tu vrijednost (napredniji ucenici mogli bi primijetiti i
treci razlomak koji prikazuje vrijednost, kao 25). Kako su ti razlomci povezani?
Jedan od najboljih modela duljine za prikazivanje dekadskih razlomaka je brojevna traka.
Ovdje kao sto je na slican nacin opisano kod kvadrata 10 × 10 ucenici trebaju uociti da je
svaki decimetar jedna desetina jedne cijele trake, svaki centimetar je jedna stotnina, a svaki
milimetar jedna tisucina iste trake. Poput brojevnog pravca, samo sto je ovdje cijela duzina
trake jedno cijelo, podijeljeno na tisucu jednakih dijelova. Primjenom ovakvog modela ucenici
mogu jednostavno i pregledno usporedivati decimalne brojeve i dekadske razlomke.
6
Slika 2.3.4: 410
ili 40100
Primjer 2.3.2 Zadana je brojevna traka i postavlja se pitanje ”Gdje biste smjestili 0.6 na
ovoj brojevnoj traci? A gdje biste smjestili broj 0.06? Objasnite svoje postupke.” Jedno od
mogucih objasnjenja ucenika bi moglo biti: Znam da je broj 0.6 zapravo 610
, a brojevna traka
je podijeljena na desetine (dulje linije), stoga se broj 0.6 nalazi na sestoj duljoj liniji. Svaki
taj manji interval podijeljen je na deset jednakih manjih dijelova, tako da svaka od kracih
linija predstavlja i jednu stotninu, a sesta po redu od kracih linija je broj 0.06. Prikaz na slici
2.3.5
Slika 2.3.5: Brojevna traka–prikazuje desetine i stotnine jednog cijelog
Brojevna traka je model cija je prednost sto duljina cijeloga ostaje nepromijenjena, jasno
se vidi da se svaki interval moze dalje dijeliti (decimetri u centimetre, centimetri u milimetre)
dok cijelo uvijek ostaje isto.
Novac je takoder model za prikazivanje stotnina s kojim su ucenici upoznati. No za njih
se novac prikazuje samo kao cijeli broj ili kao decimalan broj ali s dvije decimale. Stoga
ucenicima brojevi poput 3.2 ili 16.1432 ne predstavljaju vrijednosti u novcu. Upravo iz tog
razloga se model koristenja novca kao primjera ne preporucuje kao model za upoznavanje i
prikazivanje decimalnih brojeva (barem ne u uvodnome dijelu).
7
Primjer 2.3.3 (Primjer upotrebe predstavljenih modela dekadskih razlomaka i decimalnih
brojeva)
Postavimo ucenicima razlomak 75100
da ga prikazu bilo kojim od opisanih modela. Nakon
sto to ucine mozemo ispitivati slijedece: da li je ovaj razlomak manji ili veci od 12? Od 2
3? Od
34? Potom zajedno uocavamo da se taj razlomak moze procitati kao 7 desetina i 5 stotnina
ili kao 75 stotnina. U ovisnosti o nacinu citanja ovakvog razlomka pokazujemo i njihova dva
zapisa. Dakle 75100
ili 710
+ 5100
.
Ovakvi nacini zapisa su vrlo bitni jer poslije u gradivu u kojemu se upoznajemo sa zapisom
razlomka kao decimalnog broja, uvijek broj citamo kao jedan razlomak. No konceptualno je
bitno da ucenici shvate povezanost izmedu ova dva nacina prikaza. To razumijevanje ce im
pojacati i koristenje opisanih modela dekadskih razlomaka, jer ce primjerice sjencanjem traka
i kvadrata u kvadratu 10× 10 jasno vidjeti da su zadani zapisi jedno te ista kolicina. Dakle,
decimalan broj 0.75 citamo kao jedan pa je to 75 stotinki. Ali da bi ucenici ovaj koncept
razumjeli u smislu pozicijskog sustava isti taj broj mora se zamisljati kao 7 desetinki i 5
stotinki. Tako i mjesoviti broj 5 13100
citamo kao i decimalni 5.13, pet i 13 stotinki. A za
svrhe razumijevanja pozicijskog sustava treba ga shvatiti kao 5+ 110
+ 3100
. Prosireni prikazi
brojeva biti ce od pomoci u prevodenju tih razlomaka na decimalne brojeve. Vjezbe u ovom
uvodnom dijelu trebaju ukljucivati sve moguce veze izmedu svih opisanih modela, raznih
oblika procitanih i zapisanih razlomaka. U ovisnosti o koristenom modelu, ucenici bi trebali
biti u mogucnosti dati prikaze zadanog broja pomocu druga dva razlomka.
Ucenicima mozemo nakon objasnjenog i usvojenog koncepta dekadskih razlomaka, njiho-
vih prikazivanja raznim modelima i povezivanja sa pripadajucim decimalnim brojem reci da
dekadski razlomak u svom decimalnom zapisu ima onoliko decimala koliko nazivnik tog raz-
lomka ima znamenki 0. Jednom kad shvate koncept koristit ce pravila s razumijevanjem. Pa
im ovakav zakljucak samo moze pomoci kako bi vjestine racunanja s dekadskim razlomcima
i decimalnim brojevima jos vise razvili.
2.4. Prosirenje pozicijskog sustava bazom 10
Prije uvodenja decimalnih brojeva ucenicima treba biti jasan sustav 10 cini 1 (ovo smo na
neki nacin opisali i u poglavlju modela dekadskih razlomaka). Mnoge od poteskoca ucenika
u shvacanju koncepta decimalnih brojeva proizlaze iz cinjenice da decimalne brojeve prvens-
tveno shvacaju samo kao produzetak na pozicijskom vrijednosnom sustavu. Razumijevanje
kako razlomacki iznosi mogu biti predstavljeni kao decimalan broj u dekadskom brojevnom
sustavu je kljuc u konceptu decimalnih brojeva. U nizim razredima osnovne skole, ucenici
uce da je ideja o ”deset cini jedan” kljucna za nas brojevni sustav. Deset jedinica cine de-
set, 10 desetica cine sto i tako dalje. Lako ce ucenici prosiriti ovu ideju s vecim brojevima,
kao stotina tisuca i milijuna. No teze ce prosiriti ovaj koncept na broju manjem od jedan.
8
Ucenici imaju i poteskoca prilikom shvacanja vrijednosti brojeva koji se nalaze s desne strane
decimalne tocke. Tako ce broj na prvom mjestu shvatiti kao jedinke, slijedece kao desetinke
i tako dalje. Takoder, oni mogu imati poteskoca u prepoznavanju da je decimalni broj kao
sto je 0.234 predstavljen kao 210
+ 3100
+ 41000
, ali i kao 2341000
, sto sam vec spomenula. Ucenicima
moramo pomoci da uvide da ne postoji najveci dio ali niti najmanji (Slika 2.4.1). Takoder
im moramo pomoci da uvide da je odnos izmedu susjednih dijelova isti, bez obzira koja dva
susjedna dijela se promatra.
Slika 2.4.1: Prosirivanje sustava
Opis slike 2.4.1: Ucenici ce instinktivno razmisljati na slijedeci nacin- od deset kvadrata
mogu napraviti jednu traku, deset takvih traka cine veci kvadrat, i tako dalje. Svaki novi
dio formiran je novim imenom i ima jedinstveno mjesto u pozicijskom vrijednosnom sustavu.
Nastavnici bi trebali pomoci ucenicima da na slicnome principu uoce i suprotan smjer. Za-
mislimo da je zadan kvadrat i podijelimo ga na 10 jednakih traka, potom jednu od tih traka
podijelimo na 10 jednakih kvadratica. Mozemo li ovakvom podjelom ikada doci do najmanje
trake ili kvadrata, ili pak do najvece trake ili kvadrata? U konacnici bi ucenici trebali nauciti
koncept deset-cini-jedan i koncept jedan-cini-deset koji se protezu beskonacno u oba smjera.
Beskonacno veliki ali i beskonacno maleni dijelovi.
Primjer 2.4.1 Igra nazvana Decimalna tockica. Ova igra trebala bi na zabavan nacin uceni-
cima pruziti ponavljanje onoga sto za njih cesto predstavlja problem. Gdje se nalaze desetice,
stotice, gdje decimalna tocka a gdje desetinke, stotinke. Dakle ucenici ce se posluziti samo
svojim tijelima. Sjedit ce na svojim mjestima a nastavnik ce se postaviti ispred njih. Nastav-
nik je tak koji izvikuje decimalna tocka, dekadski (dio), decimalni (dio). Ucenici prema tome
postavljaju svoje tijelo. Dakle ukoliko nastavnik kaze decimalna tocka ostaju sjediti na nacin
da im je glava uspravna, ako nastavnik izgovori dekadski svoju glavu i tijelo ucenici trebaju
nagnuti u lijevu stranu, a decimalni u desnu stranu. Ako ucenik pogrijesi ispada iz igre. Igra
9
koja podsjeca na igru noc-dan u kojoj se trazi brzina, a za koju je preduvjet usvojiti nazive
dijelova decimalnog broja.
2.5. Decimalna tocka
Osim sto ce ucenici vrlo lako zapamtiti da je decimalna tocka simbol po kojemu prepoznajemo
decimalne brojeve trebamo ih poduciti da je decimalna tocka poseban simbol koji odvaja
polozaj dekadskog broja s lijeve od polozaja decimalnih dijelova na desnoj strani. Polozaj na
lijevo od decimalne tocke je jedinica, ono sto prebrojavamo. Vrijednost desno od decimalne
tocke je 110
, sto je vrijednost tog mjesta, a vrijednost dva mjesta desno od decimalne tocke je1
100, sto je vrijednost tog mjesta, i tako dalje. Ucenicima ce mozda biti tesko shvatiti da prvi
broj s desne strane decimalne tocke, prva decimala, nije jedinka vec odmah desetinka. Na
primjer 3.28, ucenici ce lako shvatiti da je to broj koji opisuje da ima 3 cijelih komada i jos
28 dijela necega (od 100). Posebno cemo im jos naglasiti da ukoliko decimalan broj pocinje
nulom onda on opisuje samo dio cjeline. Dakle decimalan zapis je nacin zapisivanja dekadskog
razlomka pri cemu decimalna tocka razdvaja dekadski i decimalni dio broja. Decimalan broj
je broj koji ima decimalan zapis. Kao sto je prikazano na slici 2.5.1, odredena kolicina moze
biti zapisana na razlicite nacine, ovisno o izboru jedinice ili sto se koristi kako bi se prebrojala
cijela kolicina. Dakle, uloga decimalne tocke je odrediti polozaj ’jedinice’, a to cini tako sto
se nalazi s desne strane tog polozaja.
Slika 2.5.1: Polozaj decimalne tocke odreduje sto je ’jedinica’ u nasemu broju
Takoder mozemo napraviti aktivnost vezano uz sliku 2.5.1 da ucenici prikazanom mo-
10
delu pridruze oznaku decimalne tocke tako da stvore slijedece brojeve koji ce sadrzavati:
1624 malenih kvadrata, 16.24 kvadrata, 1.624 velikih traka, 162.4 traka te 0.1624 velikih
kvadrata.U ovakvoj aktivnosti od ucenika trazimo da iskazuju pismeno i usmeno koliko kva-
drata, traka, manjih, vecih ima pojedini prikaz. Ova aktivnost ujedno im pokazuje da se
jedinica moze promijeniti bez mijenjanja kolicine. Jer svi ti prikazi jesu iste kolicine samo u
nazivima imaju drugu jedinicu, koja je odredena polozajem decimalne tocke. Ovo mozemo
utvrditi i slijedecim primjerima u kojima cemo od ucenika opet zahtijevati zapisivanje ali i
citanje zadanih brojeva.
Primjer 2.5.1
• 222 000 dvjesto dvadeset dvije tisuce
• 22 200 dvjesto dvadeset dvije stotice
• 2220 dvjesto dvadeset dvije desetice
• 222 dvjesto dvadeset dvije jedinice
Primjer s decimalnim brojem:
• 22.2 dvjesto dvadeset dvije desetinke
• 2.22 dvjesto dvadeset dvije stotinke
• 0.222 dvjesto dvadeset dvije tisucinke
Aktivnosti poput ovih ce potaknuti ucenike na razmisljanje o tome kako brojeve vece od
jedan mogu prikazati pomocu razlicitih razlomaka. Na primjer, za shvacanje 22.2 kao ”22210
”
ucenici trebaju razumjeti koliko desetinki postoji u broju 2 (20), a koliko desetina postoje u
20 (200). Na ovu temu mogu se sloziti brojne aktivnosti i zanimljivi zadaci koji ce ucenicima
olaksati shvacanje koncepta decimalnog broja.
Primjer 2.5.2 (Koristenje razlicitih prikaza)
76 = 70 + 6
425 = 400 + 20 + 5 ili 4 stotice + 2 desetice +5 jedinica
0.56 = 0.5 + 0.06 ili 510
+ 6100
7.38 = 7+ 0.3 +0.08 ili 7+ 310
+ 8100
ili 7 + 210
+ 18100
ili 6 +1310
+ 8100
ili 7+ 30100
+ 8100
Primjer 2.5.3 Spajanje parova, razlomak- decimalan zapis. Ucenicima su dani slijedeci bro-
jevi. Od njih se trazi da brojeve iz prvog retka povezu s brojevima iz drugog retka tako da su
to brojevi koji prikazuju istu kolicinu, isti brojevi samo u razlicitim zapisima
11
8079100
879100
80791000
312
5+ 5100
1725
3.5 80.79 8.79 5.05 0.68 8.079
Primjer 2.5.4 Zabavna igra koristenja decimalne tocke za odredivanje broja. Ucenici rade
u paru i dobiju po deset traka na kojima su prikazani brojevi, jedan do drugoga sve redom
isti brojevi (sve sestice, sve osmice, dakle 10 traka za sve brojeve od 1 do 10). Svaki par
ucenika dobije i kvacicu (stipaljku) koja na svom dnu ima zalijepljenu papirnatu tocku koja
predstavlja decimalnu tocku. Njihov je zadatak smjestiti kvacicu na traku tako da decimalna
tocka svojim polozajem tvori zadani broj. Od ove igre lako se moze napraviti natjecanje pa
potaknuti i natjecateljski duh kod ucenika.
U obradi cjeline decimalnih brojeva nastavnici bi svakako trebali iskoristiti zadatke i aktiv-
nosti koje u sebi sadrze koristenje mjernih jedinica za mjerenje duzine i obujma tekucine.
Ucenici vrlo cesto imaju poteskoca s ovakvim pretvorbama. Svakom uceniku je zasigurno
poznato da 1 metar ima 10 dm, 1dm ima 10 cm. . . , takoder i da 1 l ima 10 dl. Ako to
prikazemo na slici, ucenicima bi mogao biti jasniji odnos koji je obrnut. Odnosno da 1 cm
ima 0.1dm, 1 dm 0.1 m itd.
2.6. Povezivanje razlomaka i decimalnih brojeva
Kod povezivanja dva razlicita prikaza brojeva vrlo je vazno da nastavnici kod ucenika razviju
pristup idejnog rjesavanja predstavljenih problema i zadataka, a ne da samo puko slijede
odredene procedure. Jednom kad ucenici usvoje idejno razmisljanje, idejni pristup lako ce
onda koristiti pravila s razumijevanjem. Dakle trebaju shvatiti koncepte a ne pretvaranje
razlomaka i decimalnih brojeva jedne u druge uciti napamet. Nastavnici trebaju predstaviti
aktivnosti kojima ce ucenici iznova uocavati da su ta dva broja, ta dva razlicita prikaza
zapravo iste kolicine. Mozemo pratiti razvijanje ove ideje na primjeru prikaza razlomka 25
u
obliku decimalnog broja koristeci brojevnu traku (Slika 2.6.1).
Slika 2.6.1: Prikaz 25
na brojevnoj traci
Jedno ucenicko razmisljanje moze biti slijedece:”Koristio sam brojevnu traku kao jednu
cjelinu, ili jedan. Da bih uvidio gdje se na njoj nalazi 25
podijelio sam traku u pet jednakih
12
dijelova. 100 cm ÷ 5 = 20 cm, tako da 25
je na oznaci za 40 cm. 40 cm je 4 desetina metara
brojevne trake, ili 0.4. Dakle, 25
se moze zapisati kao 0.4.”Vazno je da ucenici iskuse citav
niz razlicitih tipova postavljenih problema kako bi stvorili vezu izmedu decimalnih brojeva
i razlomaka. Ucenicima trebamo ponuditi sve tipove zadataka koji ce ukljucivati probleme
pretvorbe razlomaka manjih od jedan u decimalne brojeve koji su im ekvivalentni. Takoder
i obrnutu aktivnost, za dani decimalan broj dati ekvivalentan razlomak. Ali i aktivnosti u
kojima kod danog razlomka i decimalnog broja trebaju utvrditi prikazuju li ta dva prikaza
dva ista ili su to razliciti brojevi. Ovakve aktivnosti naravno treba ponuditi i za razlomke
koji su veci od jedan. Korisne su aktivnosti u kojima ucenici ’slazu’ brojeve na nacin da im
veliki kvadrat predstavlja jedinicu. Njega ce prekrivati trakama i malim kvadratima. Na taj
nacin od njih mozemo traziti da prekriju 2 35100
danog kvadrata. Vrlo brzo ce uociti da cijeli
dio broja zahtjeva dodatne kvadrate. Trebaju potom zakljuciti kako zapisati ovaj razlomak
kao decimalan broj i prikazati njihovu vezu koristeci svoj model.
U ovom primjeru je takoder vazno da ucenici jos jednom uoce da 2 35100
isti broj kao i 2.35
jer postoje dva cijela, tri desetine i pet stotnina. To ce prikazati svojim modelom. Na ovaj
nacin uocavaju da iste materijale koje su koristili za prikazivanje mjesovitog broja mogu
koristiti u prikazu decimalnog broja i to samo njihovim razmjestanjem. Pazeci pri tome da
decimalnu tocku postave na pravo mjesto. (Slika 2.6.2)
Slika 2.6.2: 2 35100
=2.35=“dva cijela i trideset pet stotinki“
Zadaci koji ce im pomoci u shvacanju ovih pretvorbi trebaju sadrzavati i obrnuti slijed
naravno. Dakle onaj u kojemu ucenici dani decimalan broj npr. 1.68 trebaju prikazati pomocu
13
svog modela te iskazati kao razlomak. Iako su prikazi decimalnih brojeva i ovakvog modela
prikaza razlomaka prilicno jednostavni, glavni cilj ovoga je da ucenici shvate da su decimalni
brojevi jednostavno razlomci.
Tako i slijedeca tablica prikazuje zanimljive zadatke kojima ucenici na jednom mjestu
povezuju slikovni prikaz broja, njegov decimalni zapis, prikaz broja u obliku razlomka, ali i
zapisuju kako se ti brojevi citaju. Ovakvim pristupom ucenicima na jos jedan nacin osigura-
vamo uocavanje da svi ti prikazi doista prikazuju iste kolicine. Tablica je zbog jednostavnosti
prikaza ogranicena na desetine, jedinice i desetinke. No naravno da je zgodno koristiti cijelu
tablicu koja ce u sebi sadrzavati od stotisucica do jedinice te od desetinke do barem mi-
lijuntinke. Tako ce obuhvacati ogroman raspon decimalnih brojeva koje mozemo iskoristiti
vjezbajuci njihove prikaze.
Crtanje Razlomak Decimalan
broj
Citanje
desetine jedinice desetinke
23 410
23.4
Slijedeca slika (slika 2.6.3) takoder daje primjere ovakvih pretvorbi koristeci kvadrat
10 × 10. Kod prikaza jedne cetvrtine ucenici ce cesto obojiti kvadrat 5 × 5 (pola od pola).
Potom se postavlja pitanje kako to prevesti u decimalan broj. Trebamo ih u to uputiti
pitajuci ih kako bi prekrili pocetni kvadrat jednakim iznosom koristeci kvadratice i trake.
Kod prikaza 38
ucenici mogu prvo naci 14, a zatim primijetiti da je 1
8pola cetvrtine. Pa
dovoljan broj kvadratica koji predstavljaju 38
razmjestiti tako da iscitaju decimalan broj.
Slika 2.6.3: Prikaz razlomaka i decimalnih brojeva koristenjem kvadrata 10 × 10
Ovakvim pristupima brojni zadaci, ponavljanja, ucenja mogu se prikazati poput drustvenih
14
igara. Na primjer, svakom od igraca dodijelimo traku podijeljenu na 10 jednakih kvadratica.
Trebat ce nam i 10 jednakih malih predmeta kao sto su dugmad, kovanice, zrna graha.. Igraci
se izmjenjuju i pri bacanju igrace kocke uzimaju objekte i prekrivaju svoje prazne kvadratice.
Pri tome svaki puta moraju reci koliki dio trake je prekriven (ako je to 3 kvadrata onda treba
reci 3 desetine i 0.3). Igrac koji prvi prekrije svih 10 kvadrata na svojoj traci pobjeduje i
pri tome govori 10 desetina je 1 cijelo (1010
i 1.0). Odabir ovakve i slicnih igara doista je
samo na masti nastavnika. Zadaci mogu biti iznimno zanimljivi i time pridonijeti boljem
razumijevanju koncepta decimalnih brojeva.
Samo neki od primjera vjezbi koje mozemo provoditi u cilju boljeg razumijevanja veze
decimalnih brojeva i razlomaka su
• Napisite razlomak 58
kao decimalan broj. Koristeci model kvadrata 10 × 10 ili model
brojevne trake objasnite zasto je vas decimalan ekvivalent tocan.
• Koji razlomak je predstavljen brojem 2.6? Koristite rijeci, slike i brojeve da objasnite
svojodgovor.
• Zapisite zadani izraz 55+ 7100
decimalnim brojem, a zatim procitajte dobiveni broj
• Zapisite u obliku decimalnog broja: Ivan je zabio 6 od 10 koseva, od sto Hrvata pro-
sjecno njih sedam ima visoku strucnu spremu
• Zapisite u obliku razlomaka i odgovorite koje nule u decimalnom zapisu mozete izos-
taviti a da se vrijednost broja ne promijeni: 0.40, 0.404, 0.040
• Pronadite pogreske i ispravite ih: 1011000
=0.0101, 22221000
=0.2222
Kako sam vec napomenula, vrlo je bitno da ucenici iskazuju svoje odgovore, no jos je
bitnije da opisuju nacine na koje su dosli do odgovora. Jer tako uocavamo jesu li doista
shvatili sam koncept decimalnih brojeva ili su jednostavno naucili proceduru. Ucenicima je
potrebno iskustvo s baratanjem pojmova kako bi se doista razvilo snazno razumijevanje koje
je ovdje presudno.
2.7. Prikazivanje i usporedivanje decimalnih brojeva
Odlazak u kupovinu ili mjerenje su aktivnosti iz stvarnog zivota u kojima se decimalni
brojevi cesto moraju usporedivati i poredati po velicini (npr. kupnjom 3 proizvoda najjeftiniji
dobivamo gratis, na gimnastici poredati se u vrstu po visini, odredivanje pobjednika skolskog
natjecanja u trcanju na 100 metara, odabir najkraceg puta kojim cemo stici do zeljenog cilja).
Ucenici mogu procese usporedbe i prikazivanja decimalnih brojeva usvajati koristenjem
do sada upoznatih modela i samim logickim zakljucivanjem. U prikazu i usporedbi decimalnih
15
brojeva pomazu nam modeli vizualnih prikaza (model trake i kvadrata te kvadrat 10 × 10),
brojevna traka odnosno brojevni pravac te zakljucivanje. Opisimo svakog od njih.
Koristenje modela prostora
Ovdje cemo samo opisati primjere buduci da smo sve koncepte za ove modele pojasnili do
sada. Recimo prilikom usporedbe decimalnih brojeva 0.3 i 0.5 koristenjem kvadrata i traka,
traka se moze koristiti da predstavlja cjelinu, a mali kvadrati ce predstavljati desetinke.
Slika 2.7.1: Usporedba decimalnih brojeva pomocu modela
Za usporedbu brojeva 0.4 i 0.06 veliki kvadrat ce postati jedno cijelo, traka jedna dese-
tinka, a manji kvadrat predstavlja stotinke.
Slika 2.7.2: Usporedivanje decimalnih brojeva
16
Kvadrat 10 × 10 omoguciti ce ucenicima da oboje kvadrate i trake i tako usporede
decimalne brojeve. Na primjer, ucenici mogu koristiti kvadrat 10 × 10 i usporediti decimalne
brojeve 0.6 i 0.56
Slika 2.7.3: Usporedivanje decimalnih brojeva kvadratom 10 × 10
Slijedeci primjer prikazuje jednu igru. Igru u kojoj ucenici usporeduju decimalne brojeve
njihovim vizualnim prikazom.
Primjer 2.7.1 Rasporedimo ucenike u parove. Svakom uceniku dajemo listic kao onaj na
slici 2.7.4. Svaki par ucenika dobiva i papirnati krug podijeljen na 10 jednakih dijelova, olovku
i spajalicu. Ti materijali ce im koristiti za stvaranje kruga kojega mogu okretati. Ucenici ce
igrati igru koja ce im omoguciti da predstavljaju desetine na razlicite nacine. Pravila igre
odnosno njezin slijed je slijedeci:
• Prvi igrac zavrti krug. U ovisnosti o dobivenom broju ucenik na svom listicu (slika
2.8.4) oznacava desetine- onoliko desetina koliki je broj dobio. Oznacava ih bojanjem.
Na primjer, ako je ucenik dobio broj 7, obojit ce 7 dijelova svoje trake. Bitno je da
ucenik naglas izgovara broj koji je prikazao (”sedam desetina”), a zatim biljezi broj u
obliku decimalnog broja te u obliku razlomka.
• potom drugi igrac dolazi na red i cini isto. Igraci se dalje izmjenjuju.
• Ako igrac dobije broj koji vec ima zapisan i prikazan ne cini nista osim najvaznijeg
ponovno izgovara koji je to broj. Igraci bi trebali provjeravati jedni druge, kako bi bili
sigurni da su brojevi koji se zapisuju ispravni.
• Prvi igrac koji dovrsi svoju tablicu i oboji trake, zapise razlomke i decimalne brojeve za
sve desetine do deset desetina, pobjeduje u igri.
U ovakvim aktivnostima bitno je promatrati ucenike. Ispravljati pogreske te provjeriti
svaki od tri zapisa je li ispravan. Potrebno je obratiti pozornost na to sto su ucenici zapisali
kada su dobili broj 10, shvacaju li da je 1010
i 1.0.
Korisno je pitati ucenike: koji broj prikazuje ova traka, kako mozemo taj broj prikazati u
obliku razlomka, a kako u obliku decimalnog broja; kako znaju da taj razlomak i decimalan
17
broj predstavljaju istu kolicinu; kako se moze prikazati deset desetina na ovoj traci, kako kao
razlomak odnosno kao decimalan broj; kako znaju koje brojeve jos trebaju dobiti.
110
110
110
110
110
110
110
110
110
110
Razlomak: Decimalan broj:
110
110
110
110
110
110
110
110
110
110
Razlomak: Decimalan broj:
110
110
110
110
110
110
110
110
110
110
Razlomak: Decimalan broj:
110
110
110
110
110
110
110
110
110
110
Razlomak: Decimalan broj:
110
110
110
110
110
110
110
110
110
110
Razlomak: Decimalan broj:
110
110
110
110
110
110
110
110
110
110
Razlomak: Decimalan broj:
110
110
110
110
110
110
110
110
110
110
Razlomak: Decimalan broj:
110
110
110
110
110
110
110
110
110
110
Razlomak: Decimalan broj:
110
110
110
110
110
110
110
110
110
110
Razlomak: Decimalan broj:
110
110
110
110
110
110
110
110
110
110
Razlomak: Decimalan broj:
Slika 2.7.4: Radni listic za prikazivanje brojeva
Nakon ove aktivnosti opet je bitno razgovarati. Ono osnovno sto iz svega ovoga trebaju
shvatiti jest da je na primjer razlomak 610
isto sto i decimalan broj 0.6. Takoder i da je 0.5
manje od 0.8 (sto mogu uociti iz obojanog dijela) i to ce vrlo vjerojatno objasniti na nacin-
zato sto je 8 vece od 5. Bilo bi zgodno ovdje im postaviti isto pitanje za decimalne brojeve 5.0
i 0.8, kako bi uocili da onaj njihov odgovor nije dostatan. Mozemo i navesti ucenike da nam
kazu brojeve vece od 0.7 a manje od 1. Sve ovo u svrhu istinskog razumijevanja koncepta.
18
Koristenje modela duljine
Brojevna traka je izvrstan model za usporedivanje decimalnih brojeva. Za usporedbu
decimalnih brojeva, pa i sa dvije decimale, 0.56 i 0.8, ucenici mogu koristiti svoja ravnala.
Pri tome koriste milimetre i centimetre. Svaki milimetar je 1100
ili 0.01 cijele duljine. Pedeset
i sest stotnina, ili 0.56, je na 56 mm oznake, a osam desetina, ili 0.8, je 8cm ili 80 mm.
Jednostavan primjer blizak ucenicima mogao bi biti skakanje u dalj na satu tjelesnog
odgoja. Biljezenje dobivenih vrijednosti na brojevnom pravcu te njihova usporedba.
Takoder i primjer ucenika koji se ne osjeca dobro pa je stoga izmjerio temperaturu.
Toplomjer je pokazivao 37.8◦C. Postavljamo pitanja: koja je normalna tjelesna temperatura,
ima li ovaj ucenik povisenu temperaturu, izmedu koja dva cijela broja je broj 37.8, prikazite
taj broj na brojevnom pravcu.
Problemi koji se mogu pojaviti kod prikazivanja decimalnih brojeva na brojevnom pravcu
kod ucenika su:
• Nacrtajte brojevni pravac koji pocinje sa 0, a zavrsava sa 1. Gdje bi smjestio 0.782?
Zasto?
• Nacrtajte brojevni pravac koji pocinje brojem 3, a zavrsava brojem 5. Pronadite deci-
malan broj 4.25. Objasnite razloge svoga izbora.
• 2.5 nalazi na pola puta izmedu 1 i 4. Koji broj je na pola puta izmedu 1 i 2.5? Koristite
brojevni pravac i objasniti svoje razloge.
Djelomicni brojevni pravac mozemo koristiti kod prikazivanja i usporedivanja decimalnih bro-
jeva. Na primjer, kod prikazivanja decimalnih brojeva 2.46, 2.15 i 2.6 ucenicima pomazemo
u crtanju dijela brojevnog pravca koji se proteze od broja 2 do broja 3. Potom taj interval
podijelimo na 10 jednakih dijelova cime smo dobili desetine. Sada je lako smjestiti i uspore-
diti zadane decimalne brojeve (Slika 2.7.5).
Slika 2.7.5: Prikaz decimalnih brojeva na brojevnome pravcu
Primjer 2.7.2 Ucenicima damo pet decimalnih brojeva koji imaju prikladan razlomacki ek-
vivalent. Neka su to brojevi koji se nalaze izmedu dva cijela broja. Za primjer uzmimo 3.5,
3.125, 3.4, 3.75, 3.66. Na ploci pokazimo dio brojevnog pravca koji sadrzi granicna dva cijela
broja, dakle pocetni broj 3 i krajnji broj 4. U podijeli dijela brojevnog pravca trebale bi biti
samo cetvrtine, samo trecine, ili samo petine, ali bez oznaka. Ucenik ima zadatak smjestiti
19
svaki od decimalnih brojeva na brojevni pravac te potom uociti koji razlomak je ekvivalentan
svakom od tih prikazanih brojeva.
Koristenje zakljucivanja
Nakon sto su ucenici imali prilike prikazivati i usporedivati decimalne brojeve pomocu
modela i brojevnog pravca, spremni su to isto ciniti samo zakljucivanjem.
Na primjer, ucenicima postavimo zadatak da usporede decimalne brojeve 3.45 i 3.7 no
bez njihovog crtanja ili smjestanja na brojevni pravac. Ovoga puta to trebaju uciniti koristeci
samo logiku. Ucenici ce zasigurno primijetiti da oba dva broja imaju isti broj cijelih (3) te
da u broju 3.7 ima sedam desetina, ali samo cetiri desetine u broju 3.45. Stoga, 3.45 je manje
od 3.7. Bez obzira sto postoji vise znamenaka u broju 3.45. Nastavnici kod objasnjavanja
moraju biti oprezni da ova vrsta razmisljanja ne postane pretjerano proceduralna. Prili-
kom objasnjavanja treba puno raspravljati. Zadatke u kojima ucenici trebaju citati brojeve i
objasnjavati svoje zakljucke ne treba ignorirati jer se bas u takvim aktivnostima kriju sazna-
nja o mogucim pogreskama koje ucenici rade u svojim koracima zakljucivanja. Primjer gdje
ucenik pokazuje prilikom svog objasnjavanja samo proceduralno znanje a ne i razumijevanje
je slijedeci. Treba usporediti decimalne brojeve 15.15 i 15.9. Ucenik objasnjava- pogledao
sam desetice, a one su iste. Tada sam pogledao jedinice i one su iste. Usporedio sam dese-
tinke. Kako je 1 manje od 9 zakljucio sam da je 15.15 manje od 15.9. U ovome primjeru bilo
bi dobro cuti od ucenika da je 15.15 malo veci od 15, dok je 15.9 gotovo 16, tako da je 15.15
manji broj. Dakle tek nakon usvojenog koncepta kada ucenik zna pojasniti odnos mozemo
koristiti samo procedure.
Jos cu jedan primjer vrlo zanimljive aktivnosti navesti. Zove se decimalan golf. Igra je
za 4 igraca koji igraju u paru. Bacaju po dvije igrace kockice i od dobivenih brojeva tvore
decimalan broj koji je najblizi broju koji je ciljni broj rupe koju trenutno igraju. Ako su na
petoj rupi golfa i ciljni broj im je 5.13 i prvi od igraca dobije brojeve 6 i 4 te zapise decimalan
broj 4.6 te drugi dobije 7 i 8 te zapise 0.87 od dobivena dva broja biraju onaj koji je blize
broju 5.13. Ovakvom igrom vjezbaju zapis decimalnog broja ali i njihovo usporedivanje.
Ujedno poticemo i timski rad te natjecateljski duh. Slika 2.7.6
Cijeli broj 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ciljni broj 0.25 1.0 0.15 0.5 0.64 3.5 0.58 1.3 0.22
Igrac
Igrac
Slika 2.7.6: Igra decimalan golf
Jednostavna, ali mocna procjena razumijevanja decimalnih brojeva kod ucenika pred-
20
stavlja prikaz dva povezana broja kao sto su 0.6 i 0.06 koristeci svaki od prikaza: brojevni
pravac, kvadrat 10 x 10, novac i trake i kvadrate. Ako ucenici imaju znacajno vise poteskoca
s jednim modelom od drugih, to moze znaciti da su naucili kako koristiti odredene modele,
ali nisu nuzno razviti istinsko razumijevanje decimalnih brojeva. Prikaz decimalnog broja na
praznoj liniji je mozda najzanimljiviji i najvise govori o razumijevanju ucenika.
Kao i kod razlomaka, ucenici prvo trebaju razviti osjecaj za 0, 1 i 12. Na primjer, 7.3962
je blize broju 7 ili 8? Zasto? (Ne zelimo prihvatiti samo ovaj odgovor: blize je 7 jer je 3 manje
od 5). Je li blize 7 ili 7 12? Obicno su mjerila za 0, 1, 1
2dovoljna kako bi se razvio dobar osjecaj
za procjenu. Kako bi ucenici razvili osjecaj za procjenu ne moraju usvajati nove koncepte ni
vjestine. Treba im dovoljno prilika za zajednicku raspravu razlomaka, pozicijskog sustava i
decimalnih brojeva u aktivnostima koje sam vec opisala ali i koje slijede.
Primjer 2.7.3 Na ploci napravimo popis pet decimalnih brojeva koji su u neposrednoj bli-
zini, ali nisu tocno jednaki prijateljskim razlomcima. Na primjer brojevi 24.8025, 6.59,
0.9003, 124.356 i 7.7. Ucenik ima zadatak odrediti decimalne brojeve koji su u neposred-
noj blizini svakog od zadanih brojeva, a koji takoder imaju prijateljski razlomacki ekvivalent
kojega oni poznaju. Na primjer, 6.59 u blizini je 6.6, sto je 6 35.
Ovaj primjer mozemo promijeniti na slijedeci nacin. Na ploci napisemo popis pet prija-
teljskih razlomaka koji nisu poredani po redu i najmanje pet decimalnih brojeva koji su blizu
razlomaka, ali ne u potpunosti isti. Ucenici trebaju upariti razlomak s decimalnim brojem
koji mu najbolje odgovara. Poteskoca se javlja ako su zadani razlomci blizu jedan drugoga po
velicini. (Razlomci: 115
, 2 78, 2 1
3, 2 5
8; decimalni brojevi: 2.804, 2.41, 2.6271, 2.211)
2.8. Zaokruzivanje decimalnih brojeva
Brojevi koje u svakodnevnom zivotu upotrebljavamo cesto su samo priblizne vrijednosti.
Kod mjerenja velicine skloni smo gotovo uvijek zaokruzivati.
Blizi se proslava Dininog rodendana. Silno si je za dar pozeljela divan crveni bicikl kojemu
je cijena 699.98 kuna. Njoj se to ne cini puno. No njezina majka joj je rekla da je 700 kuna
previsoka cijena za bicikl. Zasto mama kaze da je cijena bicikla 700 kn?
Sanja odlazi u kupovinu i u novcaniku ima 70 kuna. Kupujuci stvari (svjezi sir po 9.79
kn, litru ulja po 9.89 kn, pakovanje prosa po 5.89 kn, dvije kile banana po 16.29 kn i bojanka
po 16.29) i zbrajajuci njihove cijene Sanja procjenjuje da ce ukupan racun iznositi priblizno
62 kune.
Drvenu letvu duljine 1.87 m potrebno je izrezati na 7 jednakih dijelova. Luka je pomocu
racunala jednostavno izracunao rezultat 0.2671428571428571. Na koliku duljinu je potrebno
izrezati dijelove?
Ucenici su vec kod upoznavanja s prirodnim brojevima upoznati s cinjenicom da u svakod-
nevnim zivotnim prilikama nije uvijek potrebno precizno racunanje, vec dobivene podatke
21
zaokruzujemo (moram priznati da bi moja mama cijenu bicikla iz prethodnog primjera za-
okruzila na 690 kuna, ali to je dio neke druge price). Zaokruzivanje ovisi o zeljenoj preciznosti,
a tocnost ovisi od mjernog instrumenta.
Prilikom zaokruzivanja decimalnih brojeva vodimo se jednostavnim pravilom. Ako je
znamenka koju zanemarujemo manja od 5, pocetni dio broja ne mijenjamo a ostale znamenke
koje slijede pretvaramo u nule. Ako je taj broj veci ili jednak 5 znamenku koja prethodi
povecavamo za 1 a preostale znamenke koje slijede pretvaramo u nule. Ovdje se ucenici
upoznaju s oznakom i znacenjem za odnos priblizno.
Primjeri zadataka prilicno su jednostavni, uvjezbavanje zaokruzivanja na cijeli broj,
jednu, dvije. . . decimale. Zgodan primjer bi recimo bio zadatak u kojemu ucenici na bro-
jevnom pravcu trebaju oznaciti brojeve koji zaokruzeni daju 7.4 (dan im je dio brojevnog
pravca koji prikazuje brojeve izmedu 7.3 i 7.5).
Ovdje cu samo napomenuti da na Internet stranicama postoje brojne adrese na kojima
ucenici mogu samostalno vjezbati svo gradivo matematike pa tako i decimalne brojeve. Meni
jedna od zanimljivijih stranica za samoucenje je sjedi5.hr/content/233 decimalni brojevi izbornik.
Svakako je korisno u danasnje vrijeme kada je tehnologija svuda oko nas i kada ju ucenici
koriste svakodnevno, potaknuti ucenike da posjete ovu i slicne Internet stranice.
2.9. Racunanje s decimalnim brojevima
Ucenici ce u cjelini decimalnih brojeva nauciti izvrsavati osnovne racunske operacije zbra-
janja i oduzimanja decimalnih brojeva, mnozenja i dijeljenja decimalnih brojeva dekadskim
jedinicama, mnozenje samih decimalnih brojeva te svakako i dijeljenje i to decimalnog broja
prirodnim odnosno decimalnim brojem. Nasi udzbenici koje koristimo u nastavi matematike
za peti razred osnovne skole naglasavaju pravila po kojima se sve te navedene operacije i
vrse. No ako je racunanje izgradeno na cvrstom razumijevanju mjesnog vrijednosnog sustava
i veza izmedu razlomaka i decimalnih brojeva ta pravila ne bi trebala biti potrebna. Kao
sto sam vec naglasila, nakon razumijevanja ucenicima mozemo ponuditi pravila cijom ce
primjenom vjestina racunanja s decimalnim brojevima postici jednu visu razinu.
2.9.1. Zbrajanje i oduzimanje decimalnih brojeva
Prije samih provodenja racuna zbrajanja i oduzimanja s ucenicima mozemo proci kroz pri-
mjere zadataka u kojima bi oni trebali procijeniti intervale kojima ce pripadati tocan re-
zultat. Takvim pristupom osiguravamo razumijevanje, a ne izravno primjenjivanje pravila.
Jednostavan je primjer u kojemu od ucenika zahtijevamo procijene slijedecih racuna.
1. 4.907 + 123.01 + 56.1234
2. 459.8 − 12.345
22
3. 24.67 × 1.84
4. 514.67 + 3.59
Njihova bi procjena mogla biti slijedeca:
1. Izmedu 175 i 200
2. Vise od 400, odnosno izmedu 425 i 450
3. Vise od 25, blize oko 50 (jer je 1.84 je vise od 1, ali vrlo blizu broja 2)
4. Vise od 125, manje od 200 (500 + 4 = 125 i 600 ÷ 3 = 200)
U ovakvim primjerima ucenici koriste procjene. Prilikom procjenjivanja razmisljaju o sa-
mom znacenju decimalnog broja, koriste do sada usvojene koncepte. Ne sluzimo se pukim
brojanjem decimala, vec logicki primjenjujemo steceno znanje o decimalnim brojevima. Ali
ujedno u donosenju procjena koristimo usporedivanje brojeva, zaokruzivanje, primjenjujemo
odnose izmedu decimalnih brojeva. Dakle, prije samoga racunanja s decimalnim brojevima
preporucuje se zapoceti s procjenama. Nakon sto je kao pozadina prihvacen koncept deci-
malnih brojeva mozemo zapoceti s racunanjem.
Promotrimo slijedeci primjer:
Marta i Sara prikupljale su stari papir. Marta je uspjela skupiti 74.5 kg staroga papira,
dok je Sara prikupila 81.34 kg. Koliko je kilograma staroga papira Sara prikupila vise od
Marte? Ucenici koji razumiju decimalne numeracije prvo bi trebali biti u stanju procijeniti
ovu vrijednost- blizu 7 kilograma. Nakon procjene rezultata ucenike treba potaknuti da
sami pokusaju doci do tocnog rezultata. Procjena bi im trebala pomoci da izbjegnu gresku
potpisivanja broja 5 ispod broja 4. Moguca su slijedeca razmisljanja ucenika- ucenici bi mogli
zakljuciti da brojevi 74.5 i 7 daju broj 81.5, a zatim dokuciti koliko je to vise. Drugi nacin
razmisljanja mogao bi biti: broju 74.5 dodavanjem broja 0.5 dobivamo 75, a zatim nedostaje
jos 6 kilograma do 81 kg, te jos preostalih 0.34 kilograma. Ovakvi pristupi dovest ce ucenike
do zakljucka da uoce razliku izmedu decimalnih brojeva s jednom i dvije decimale. Potrebno
im je opet razumijevanje pozicijskog vrijednosnog sustava kako bi rijesili taj problem.
Primjer 2.9.1 Dan je izraz 73.46 + 6.2 + 0.582. Od ucenika se prvo trazi da naprave pro-
cjenu rezultata i da objasne svoj nacin razmisljanja. Potom od njih trazimo da izracunaju
tocan rezultat bez primjene kalkulatora, objasnjavajuci kako su do rezultata dosli. U trecem
i posljednjem zadatku od ucenika se trazi da razviju metodu za zbrajanje i oduzimanje deci-
malnih brojeva koju ce potom moci koristiti s bilo koja dva broja. Kad zavrse ovaj zadatak
svakako je uputno dati ima slican primjer, dakle isti ovakav zadatak samo s drugim broje-
vima. Nakon toga isti zadatak moze se ponoviti za oduzimanje.
23
Za ocekivati je da ce ucenici primjenjujuci znanja o samom znacenju decimalnog broja razviti
algoritam koji ce u svojoj osnovi biti isti kao onaj kojega koristimo, potpisujuci brojeve tako
da su decimalne tocke jedna ispod druge. Ako ucenici pokazu poteskoce s ovim primjerom
to je znak da zapravo slabo razumiju koncept decimalnih brojeva i ulogu decimalne tocke.
U prikazu zbrajanja i oduzimanja decimalnih brojeva mozemo iskoristiti do sada upoznate
modele za prikazivanje kao sto je primjerice upotreba trake i kvadrata. Mozemo postaviti
problem: Na pocetku petog razreda Iva je bila visoka 1.34 m. Tijekom skolske godine narasla
je 0.08 m. Koliko je Iva bila visoka na kraju skolske godine? Ako je Luka na kraju godine
bio visok 1.39 m da li je on visi ili nizi od Ive i za koliko?
Slika 2.9.1: Zbrajanje decimalnih brojeva koristenjem modela
Zakljucujemo da decimalne brojeve zbrajamo i oduzimamo na isti nacin kao i prirodne.
Samo pri tome moramo paziti na potpisivanje. Cijeli dio se potpisuje ispod cijelog dijela,
decimalna tocka ispod decimalne tocke, decimalni dio ispod decimalnog dijela (desetinke
ispod desetinki, stotinke ispod stotinki. . . ). Ucenicima treba naglasiti da ukoliko je jedan
od pribrojnika (umanjitelj ili umanjenik) prirodan broj mozemo zamisliti da iza sebe ima
decimalnu tocku, a decimale su mu same nule.
Nakon usvojenog koncepta ucenicima pokazujemo zbrajanje i oduzimanje bez potpisi-
vanja. Ovakvom vjezbom postizemo brzinu vjestine baratanja s decimalnim brojevima. U
pocetku moramo paziti da im odabiremo brojeve koji u svom zbrajanju nece imati prijelaza,
no poslije, vjezbom, dolazimo do stupnja razumijevanja u kojemu je korisno ustedjeti vrijeme
i preskociti potpisivanje. Promotrimo slijedeci primjer.
24
Primjer 2.9.2 Od ucenika se trazi da zbroje (oduzmu) zadane brojeve, ali bez potpisivanja.
5.203 + 4 = 9.203 6.284 − 1 = 5.284
5.203 + 0.4 = 5.603 6.284 − 0.1 = 6.184
0.06 + 7.318 = 7.378 54.88 − 54 = 0.88; 54.88 − 0.88 = 54
Nakon ovakvih zadataka mozemo im ponuditi brojeve kod kojih prilikom zbrajanja imaju
prijelaz. Zgodno je primijetiti i ucenicima jos jednom prikazati zbrajanje odnosno oduzimanje
na primjerima gdje ce te operacije jos jednom vizualizirati. Mozemo ih uputiti da ukoliko
zbrajamo (oduzimamo) brojeve s jednim decimalama zgodno si je to prvo prikazati, a u
daljnjim rjesavanjima samo zamisljati, na ravnalu. Odnosno ako su to brojevi s dvije decimale
mozemo koristiti prikaz s kunama.
Slika 2.9.2: Prikaz zbrajanja i oduzimanja decimalnih brojeva koristeci modele
Potrebno je naglasiti da dopisivanjem nula iza decimalnog broja ne mijenjamo taj broj, no
dopisivanjem nula iza prirodnog broja taj broj se mijenja. Ali ako prvo dopisemo decimalnu
tocku onda mozemo dodavati nula koliko zelimo.
2.9.2. Mnozenje decimalnih brojeva
Kao i kod primjene u zbrajanju i oduzimanju i kod mnozenja polazimo od procjene. Od
ucenika trazimo da promotre slijedeci problem. Poljoprivrednik u svojoj ponudi ima i prirodni
sok od jabuke. Ima samo velike posude u koje ih pakira. U svaku posudu stane sa 3.7 litara
soka od jabuke. Ako kupite 4 takve posude, koliko litara soka ste kupili? Zapocinjemo s
procjenom. Ucenici zakljucuju da je to vise od 12 litara. Zatim ih upitamo koliko bi to
najvise moglo biti? Moze li to biti 16 litara? Nakon procjene od ucenika opet trazimo da
sami dodu do tocnog rezultata odnosno da razviju metode racunanja. Mnogi ucenici ce u tu
25
svrhu koristiti zbrajanje 3.7 + 3.7 + 3.7 + 3.7. Drugi pristup moze teci ovako- mnozenjem
3 × 4, a potom zbrajanjem 0.7 cetiri puta. Na kraju ce svi doci do tocnog rezultata od 14.8
litara. Zanimljivo bi im bilo ponuditi zadatak mnozenja s 3.5 gdje ce ovih 0.5 shvatiti kao
pola. A potom im zadamo slijedece. Zapisemo im da je 23.4×6.5=152.10 i pitamo ih koliko
je 234×65. Trebaju uociti po cemu se ti brojevi razlikuju te predloziti jos neke brojeve koji
bi dali isti umnozak samo s decimalnom tockom na drugom mjestu. Prilikom ove aktivnosti
mogu koristiti kalkulatore.
U slijedecem koraku mozemo im ponuditi da izracunaju 24×63. Koristeci samo rezultat
tog izracuna i procjene, trebali bi odgovoriti na slijedeca pitanja: koliko je 0.24×6.3; 24×0.63;
2.4×63; 0.24×0.63. Za svako racunanje ucenici bi trebali dati razloge za svoje odgovore.
Dakle i ovdje je bitna rasprava. Postupak postavljanja decimalne tocke u rezultatu koristeci
procjene postaje tezi kako umnozak postaje sve manji. Na primjer, cinjenica da je 54×83
jednako 4482 ne olaksava postavljanje decimalne tocke koristeci procjenu u umnosku deci-
malnih brojeva 0.0054 i 0.00083. No ovdje ucenicima treba ukazati da je vrlo malo zivotnih
situacija u kojima ce trebati bez upotrebe kalkulatora izracunavati takve umnoske koristeci
samo procjene. Kad je preciznost presudna smisleno je koristiti tehnologiju. Ovdje naravno
mozemo iskoristiti prebrojavanje decimalnih mjesta no to nema nikakve veze s povezivanjem
s procjenama niti razumijevanjem o kojim se kolicinama radi. To je samo procedura koju
bi ucenici trebali koristiti tek nakon sto shvate koncept. Nazalost kod nas im se vecinom
mnozenje decimalnih brojeva predstavi kao mnozenje prirodnih brojeva i potom prebroja-
vanje decimalnih mjesta faktora kako bi dobivenom umnosku dodijelili decimalnu tocku na
pravome mjestu (krenuvsi s desna na lijevo za onoliko mjesta koliko smo decimala prebrojali
u faktorima mnozenja).
Aktivnosti poput slijedecih naglasak ce odrzati na znacenju broja i pruziti korisne infor-
macije o ucenickom razumijevanju. Razmislite o slijedecim umnoscima: 3 12× 2 1
4i 2.276 ×
3.18. Bez koristenja kalkulatora odgovorite koji umnozak je veci? Objasnite odgovor. Koliko
je umnozak 0.76 × 5 veci od umnoska 0.75 × 5? U udzbenicima za peti razred osnovne skole
koji se koriste u nasim skolama posebno se obraduje mnozenje decimalnih brojeva dekadskim
jedinicama (koje je prikazano i objasnjeno prebrojavanjem nula u dekadskim jedinicama i
pomicanjem decimalne tocke za onoliko mjesta koliki je taj broj nula), a potom mnozenje
dva decimalna broja.
Slika 2.9.3: Prebrojavanje decimalnih mjesta
Korisno je mozda izdvojiti mnozenje brojem 0.5 kojega shvacamo kao ’pola’. Ukoliko
je to moguce ucenici prilikom mnozenja s ovim brojem ne moraju potpisivati vec samo
’napamet’ izracunati pola zadanog broja. Tako i ovdje koristimo koncept, shvacamo da je
26
to pola vrijednosti, ne prebrojavamo decimale. Na isti nacin im mozemo olaksati mnozenje
brojem 1.5, 2.5, 3.5. . .
Slika 2.9.4: Mnozenje brojem 0.5
2.9.3. Dijeljenje decimalnih brojeva
Dijeljenju mozemo pristupiti na isti princip kao kod mnozenja. Promotrimo to na slijedecem
primjeru.
Napravite procjenu slijedece racunske operacije 45.7 ÷ 1.83. Razmisljajte na nacin koji
broj puta 1 810
daje umnozak blizu 45. Dakle oslanjamo se na mnozenje koje je ucenicima
sada vec poznato i na pravljenje procjene. Time opet osiguravamo razumijevanje a ne puko
koristenje pravila. Hoce li rezultat mnozenja biti veci ili manji od 45? Zasto? Hoce li rezultat
dijeljenja biti veci ili manji od 20? Sada koristimo cinjenicu da je broj 1.8 blizu broja 2. Stoga
odgovaramo na pitanje koji broj pomnozen brojem 2 daje rezultat blizu broja 46? Ovakva
pitanja koristimo kako bi kod ucenika razvili procjenu. Kako je 1.83 blizu 2, procjena je
blizu 22. A buduci da je 1.83 manje od 2 rezultat mora biti veci od 22 - recimo 25 ili 26
(odgovor je 24.972677). Nakon aktivnosti s procjenama ucenicima naglasavamo da decimalni
broj dijelimo prirodnim brojem kao da je i sam prirodni broj, ali nakon sto zavrsimo s
dijeljenjem znamenaka iz cijelog dijela broja, iza dobivenih znamenaka kolicnika stavljamo
decimalnu tocku i nastavljamo s dijeljenjem kao da decimalne tocke u djeljeniku i nema.
Ako u djeljeniku nema vise decimala, a dobijemo ostatak, onda ostatku pripisujemo nulu i
nastavljamo dijeljenje. Pri odabiru zadataka vodimo se istim principima kao i kod mnozenja
sto sam vec opisala. Napominjemo da dijeljenje decimalnih brojeva dekadskim jedinicama
provodimo tako da decimalnu tocku premjestimo ulijevo za onoliko mjesta koliko ta dekadska
jedinica ima nula, ako su mjesta preko kojih pomicemo decimalnu tocku prazna onda na njih
zapisujemo 0 (0.7÷100=0.007).
Korisno je ucenicima izdvojiti dijeljenje brojem 2, kojega mogu shvatiti kao pola. Dakle
ne moraju provoditi racun dijeljenja vec logicki pronaci pola od zadanoga broja. Isto tako
im dijeljenje s brojem 4 mozemo predstaviti kao pola od pola. (Slika 2.9.5) Napamet mogu
podijeliti brojem 4 tako da prvo odrede pola, a potom pola od tako dobivenog rezultata.
Nakon sto smo ovo sve prosli prelazimo na dijeljenje decimalnog broja decimalnim brojem.
Primjerice, za izradu suknje krojacica treba 1.8 m tkanine. Koliko jednakih suknji moze
sasiti od tkanine duge 28.8 m. Pocinjemo s procjenom. 1.8 je blizu 2 m, a 28.8 je blizu
27
Slika 2.9.5: Dijeljenje brojem 4
30 m. 30÷2 je 15, dakle priblizno 15 sukanja moze sasiti. Napominjemo da je broj kojega
dijelimo djeljenik, onaj s kojim dijelimo je djelitelj a rezultat zovemo kolicnik. Ucenici trebaju
uociti da problem postoji jedino ako je djelitelj decimalan broj. Stoga cemo ga pretvoriti
u prirodni. Zajedno zakljucujemo da to cinimo mnozenjem decimalnog broja dekadskim
jedinicama. Nakon sto to ucinimo postupamo kao u dijeljenju s prirodnim brojem. Moramo i
napomenuti da ako djelitelj pomnozimo dekadskom jedinicom, ukoliko zelimo da nam rezultat
bude nepromijenjen to isto moramo uciniti i sa djeljenikom.
Slika 2.9.6: Primjer izrade krizaljke1
Kod koristenja zadataka koji u svom izracunu sadrze sve racunske operacije trebamo
ucenike podsjetiti na redoslijed racunskih operacija.
Ucenici rade u grupama. Svaka grupa dobije kartonski krug podijeljen na deset jednakih
dijelova. Svaki od tih dijelova sadrzava po jedan zadatak. Svakoj grupi dodijelimo i deset
kvacica. Na krajevima kvacica nalaze se nalijepljeni brojevi od 1 do 10. Njihov je zadatak
1G.Paic, Z.Bosnjak, B.Culina, Matematicki izazovi 5 udzbenik iz matematike za peti razred drugo polu-
godiste, Alfa, Zagreb, 2011. str 155
28
spariti kvacice i dijelove kruga.
U ovakvom primjeru mozemo masti dati na volju, sloziti bilo kakve zadatke, ponoviti sve
nauceno do sada.
3. Postotak
Nastavna tema postotka u nasem nastavnom planu uvodi se u sedmom razredu osnovne skole
i to u prvome polugodistu kao dio cjeline Proporcionalnost i obrnuta proporcionalnost. Dakle
nije povezana s cjelinama razlomaka i decimalnih brojeva iako bi bilo korisno da je. Poveza-
nost postotka s razlomcima i decimalnim brojevima je toliko jaka da ima smisla raspravljati
o postotku nakon sto ucenici razviju razumijevanje za razlomke i decimalne brojeve. Mozda
bi bilo uputno razmisliti o ideji uvodenja postotka nakon obrade razlomaka i decimalnih bro-
jeva koristeci njihovu povezanost, a potom kao i do sada u sedmom razredu uvesti postotke
vezane za proporcionalnosti i omjere. Pojam postotak je jednostavno drugo ime za stotnine.
Promotrimo razlomak 34. Kao razlomak predstavljen u stotninama to je 75
100. Ako 3
4zapisemo
u decimalnom obliku to je 0.75. Oba prikaza broja, razlomak 75100
i decimalan broj 0.75 pred-
stavljaju istu vrijednost, sedamdesetpet stotnina (ili stotinki). Ako 34
koristimo kao operator
onda cemo reci da je 34
necega isto sto i 0.75 odnosno 75% od te iste stvari. Dakle postotak je
samo nov nacin zapisivanja, nova notacija i nova terminologija, ne predstavlja novi koncept.
Pri objasnjavanju postotaka koristimo se vec poznatim modelima, onima koje smo koristili
za obradu koncepta decimalnih brojeva. Primjerice Slika 2.3.4 prikazuje razlomak modelom
kvadrata 10 × 10. Dakle obojane su 25
cijelog kvadrata, odnosno 410
, 0.4 ili 40% kvadrata.
Koristan pristup objasnjavanju postotka je putem decimalne tocke. Promotrimo broj
0.659. uocavamo da je on malo vise od 6 desetinki od jednog cijelog. No 0.659 je isto tako
6.59 desetinki i 65.9 stotinki. Dakle, 0.659 od 1 cijelog je 65.9 stotinki ili 65.9% od tog istog
cijelog.
Kao moguce poteskoce koje se javljaju kod upoznavanja s postocima proucit cemo tako
zvani trodijelni postotak te primjenu postotka u stvarnim zivotnim situacijama (dakle ne
samo puko upotrebljavanje formule). Ucenicima je jedan od zadataka koji izazivaju poteskoce
zadatak ovakvoga tipa: 210 je 35% od 600. Poteskoca se javlja u zadacima u kojima su dva
od tri broja iz prethodne recenice dana, a ucenici sami trebaju odrediti treci broj. Ucenici
ce vrlo brzo uociti da trebaju pomnoziti ili dijeliti brojeve, a ponekada pomicati decimalnu
tocku. Ali imat ce poteskoca u odredivanju kada koju od tih operacija trebaju upotrijebiti,
koje brojeve trebaju podijeliti ili na koju stranu pomaknuti decimalnu tocku. Nadalje, u tak-
vim tipovima zadataka nema izraza u kojima bi mogli prepoznati te relacije, dakle cisti, ’goli’
zadaci u kojima je jedan od tri broja nepoznat. Ucenicima mozemo pomoci predstavljanjem
istih modela koje smo koristili za objasnjavanje razlomaka i decimalnih brojeva. Modeli u
kojima ce ucenici vizualizirati postotak ali i modelima ih odredivati. Primjer, pokazemo im
29
niz od 9 krugova od kojih su 3 obojana crveno. Pri obradi razlomaka ucenici znaju da je13
krugova obojana, isto tako pri obradi postotaka mozemo ih upitati koji postotak ovoga
niza je obojan u crveno? Ako im ponudimo kvadrat koji je citav obojan mozemo ih upitati:
ako je ovaj kvadrat 75%, nacrtajte lik koji ce biti 100% (u obradi razlomaka kvadrat bi
bio tri cetvrtine). Iako ucenici moraju imati iskustva u rjesavanju zadataka koji ukljucuju
postotke a nisu tekstualnoga tipa (kao zadaci trodijelnog postotka ili primjenom modela),
vrlo je vazno da im se ponude zadaci u kojima ce ti odnosi i veze biti povezani sa stvarnim
zivotom. Nastavnik bi svojom mastom trebao sastaviti (ili snalazljivoscu pronaci) zadatke s
postocima kao one koji se pojavljuju u stvarnom zivotu, u casopisima, na televiziji, prilikom
kupovine. Prilikom sastavljanja takvih zadataka nastavnici bi se trebali sluziti postocima
koji nisu teski za izracunati, dakle 10%, 20%, 30%, 50%, 75%. Jer nije nam cilj ucenicima
dati brojeve kojima cemo im zakomplicirati racunanje vec zelimo postici da shvate bit pos-
totka. Nastavnici trebaju potaknuti ucenike da prilikom rjesavanja problema koriste crtanje
i naucene modele te objasnjavaju kako su do rezultata dosli. Korisnije bi bilo da ucenik na
taj nacin rijesi 5 zadataka nego 25 zadataka koristeci samo formulu i uvrstavajuci velicine.
Svrha je istrazivanje odnosa, a ne vjestina racunanja. Osim ovoga, nastavnici trebaju poticati
mentalno racunanje.
Primjer 3.1 U ovome primjeru od ucenika zahtijevamo pristup kao gore opisan.
• Kaput u trgovini stoji 800,00 kuna. Na etiketi kaputa oznaceno je snizenje od 20% koje
se obracunava na blagajni. Koliki iznos cemo za kaput platiti na blagajni? Nacrtajte to
je objasnite kako ste dosli do rjesenja. Ucenici trebaju uociti da je 1 cijelo 800 kuna,
da iznos kojega trebaju platiti je 80% cijene, dakle da je 20% cijene snizenje. 20% je 15.
Podijelimo 800 kn na pet dijelova. Svaki dio je 160 kn. Ostaje 45
koje trebamo platiti,
4×160 je 640. Iznos kojega trebamo platiti je 640,00 kn.
• Ove godine, u vrticu je 20 djece vise nego prosle godine. Ako je to povecanje od 10%,
koliko djece je bilo u vrticu prosle godine? Objasnjenje bi moglo teci ovako: 10% je
desetina. 10×20 je 200 djece. Pa je prosle godine bilo 200 djece, ove godine ih je 220.
• Kosarkaska momcad pobijedila je u 80% susreta, a bilo ih je 25. U koliko susreta su
bili gubitnici?
Problemi s postocima koji su iz svakodnevnog zivota najbolji su nacin za procjenu ucenickog
razumijevanja postotka. Zato je bitno raspravljati o zadatku. Nije stvar u kolicini zadataka,
tezini racunskih operacija vec u razumijevanju odnosa i na tome bi nastavnici uvijek trebali
inzistirati. Koristenje procjene kod postotaka trebale bi se oslanjati na razumijevanje. Pro-
cjene koje se oslanjaju na razumijevanje odnosa mogu potvrditi da je upotrijebljena tocna
racunska operacija odnosno da je decimalna tocka postavljena na pravo mjesto.
30
Za pomoc ucenicima kod koristenja procjene u postocima, mogu se primijeniti dvije ideje
koje smo vec opisali. Prvo, kad postotak nije lagan za racunanje, zamijenite ga postotkom
kojim je lakse racunati a koji mu je blizak. Drugo, odaberite brojeve s kojima je lakse
izracunati trazeni postotak kako bi racunanje mogli uciniti napamet. Ovdje su neki primjeri.
1. Stadion na kojemu je 83000 sjedala bio je 73 posto popunjen. Koliko ljudi je doslo na
stadion?
2. Blagajnik izvijestio da je 68.3 posto racuna placeno, za ukupno 385 kuna. Koliko je jos
kuna potrebno kako bi se pokrili svi racuni u blagajni?
Moguce procjene:
1. Koristite 34
i 80000, oko 60.000
2. Koristite 23
i 380 kuna; prikupit ce se 13
vise-oko 190kn
3.1. Racunanje s postotcima
Nakon sto smo proveli razmisljanja i zadatke koje sam vec opisala ucenicima mozemo reci
da je postotak razlomak s nazivnikom 100. Kako bismo ovo prikazali nastavnici ucenicima
mogu ponuditi kvadrat sa slike 3.1.1 i upitati koliki je dio kvadrata obojen.
Slika 3.1.1: Postotci u modelima
Uputno je ucenicima ponuditi zadatke u kojima je zadan neki lik i neki njegov dio je
obojan. Ucenici trebaju obojani dio izraziti postotkom, razlomkom i decimalnim brojem. A
ostali bi se zadaci trebali bazirati na pricama iz svakodnevnog zivota. Izbor takvih zadataka
samo je na volji i masti nastavnika. Samo pri tome nastavnici trebaju paziti da koriste
procjene, razumijevanje odnosa izmedu velicina a ne samo uvrstavanje u formule.
31
4. Zakljucak
Decimalni brojevi i postoci svuda su oko nas. Ne mozemo ih izbjeci cak ni kada bi htjeli.
Svatko tko svlada koncept decimalnih brojeva i postotka naucio je zivotno vrijednu lekciju.
Ono pitanje nakon prikazanoga koje ucenici znaju postavljati ’gdje ce meni ovo trebati’
zasigurno nakon ove obrade nece biti postavljeno. Temeljno je pravilo puno razgovarati,
objasnjavati korake koji su nas doveli do rezultata, objasnjavati nacin nasega razmisljanja.
Time ce nastavnici osigurati konceptualno znanje kod ucenika, a izbjeci mogucnost da ucenici
samo puko slijede pravila. Opisanim pristupom u radu ucenici ce biti spremni u svakoj
zivotnoj situaciji procijeniti vrijednosti i postotke, razumjet ce odnose velicina i znati ce gra-
diti sustave koji u sebi imaju odnose slaganja, da vise necega cini jedno, u nazivu nesto novo.
Steceno znanje koristit ce u svakodnevnom zivotu, na trznici, u bilo kojoj drugoj kupovini, u
banci. Razumjet ce natpise iz novina, naslove na televiziji koji ukljucuju notacije decimalnih
brojeva i postotka. Nastavnici su ti koji bi ucenicima trebali svojim pristupom nastavi osi-
gurati konceptualno znanje. Oni bi svojim pitanjima, osmisljenim aktivnostima trebali kod
ucenika razvijati procjene, kako za decimalne brojeve tako i za postotke. Nadalje, razvijati
sposobnost ucenika da samostalno istrazuju metode rjesavanja pojedinih zadataka, da razvi-
jaju logicko i kriticko razmisljanje, pored osnovne vjestine racunanja osnovnih operacija s
decimalnim brojevima i postocima. Svojim objasnjavanjem bi im trebali pomoci da dodu do
zakljucaka koji ce im osigurati razumijevanje velicina, pa ce onda lako primjenom racunskih
operacija doci do rezultata. Takoder zajedno, ucenik i nastavnik, trebaju doci do zakljucaka
koji ce uceniku poslije pomoci da svoje razumijevanje primjeni na nacin da zadatke brzo i
smisleno rjesava. Primjerice mnozenje decimalnim brojem 1.5 ili dijeljenje brojem 4 (pola od
pola). Kljuc u postizanju razumijevanja koncepta decimalnih brojeva i postotka je nastavnik.
Volja i zelja nastavnika da ucenike usmjeri ka razumijevanju umjesto prema cistom racunanju
su od presudne vaznosti. Navedenim primjerima u ovome radu nastavnici su zasigurno osi-
gurali ucenicku paznju koju onda jednostavno trebaju usmjeriti u pravome smjeru. Jednom
kad to ucine i kada ucenicima usade zelju za razumijevanjem doista su uspjeli. A kada budu
shvatili koncept decimalnih brojeva spremni su dalje za svladavanje novog, drugacijeg i tezeg
gradiva.
32
Sazetak
Decimalni brojevi se u Republici Hrvatskoj obraduju u petom razredu osnovne skole, nakon
cjeline razlomci. Programski sadrzaj matematike u petom razredu osnovne skole pod cjeli-
nom decimalnih brojeva objedinjuje cjeline prirodnih brojeva, djeljivosti prirodnih brojeva
i razlomaka. Upoznali smo se s vezom koncepta decimalnih brojeva i razlomaka, pojasnili
nejasnoce koje se javljaju kod ucenika, cak i u samoj notaciji decimalnih brojeva. Pojasnili
smo sto ucenicima predstavlja problem ali i ukazali na potrebu za konceptualnim svlada-
vanjem decimalnih brojeva. U tu svrhu prikazujemo dekadske razlomke i njihove modele.
Objasnjavamo svaki od modela i prikazujemo njegovu primjenu u nastavi. Primjenom deci-
malnog kruga, kvadrata 10× 10, modela traka i kvadrata te brojevnom trakom prikazujemo
vezu izmedu razlomaka, decimalnih brojeva i postotka. Razradili smo aktivnosti cijom pri-
mjenom u nastavi osiguravamo konceptualno razumijevanje kod ucenika. Razvili smo model
prosirivanjem prilikom kojega smo osigurali razumijevanje kod ucenika da deset-cini-jedan,
odnosno da jedan-cini-deset, beskonacno velikih ali i beskonacno malenih dijelova. Iskazali
smo vaznost polozaja decimalne tocke te istinskog razumijevanja pozicijskog vrijednosnog
sustava. Zakljucili smo da je njihovo razumijevanje kljucno u razvijanju logickog razmisljanja
i stvaranju veza izmedu odnosa. Glavni zadatak svih navedenih primjera ovoga rada je da
ucenici shvate da su decimalni brojevi jednostavno razlomci. Kroz citav rad napominjemo da
je od iznimne vaznosti razgovarati s ucenicima, propitkivati, objasnjavati korake u rjesavanju
problema, jer time osiguravamo detektiranje nejasnoca ali i konceptualno razumijevanje de-
cimalnih brojeva i postotaka. Vrlo je vazno sto vise zadataka prikazati u situacijama iz
svakodnevnog zivota kako bismo im ukazali na cinjenicu da ce ovo steceno znanje doista
dugo i koristiti. Prikazali smo i primjere i nacine obrade osnovnih racunskih operacija s de-
cimalnim brojevima i postocima kojima opet osiguravamo razumijevanje koncepta. Nakon
sto ucenici usvoje koncept mozemo se baviti razvijanjem vjestina brzog rjesavanja racunskih
operacija. Budimo iskreni, nakon sto usvoje koncept decimalnih brojeva i postotka, svima
ce to ionako jednostavno polaziti za rukom.
33
Summary
Decimal numbers in Croatia are introduced in the fifth grade, after introduction of a fraction.
The program content of mathematics in the fifth grade of primary school under a decimal
numbers combines whole integers, divisibility of natural numbers and fractions. We met with
a concept of decimal numbers and their realtion to fractions, clarifyied ambiguities that occur
in students, even in the notation of decimal numbers. We clarified a problem and stressed
the need for conceptual mastery of decimal numbers. For this purpose, we presented the
decimal fractions and their models. Explain each of the models and show its application
in the classroom. Applying the decimal circle, square 10 × 10, model strips and squares
and numerical tape shows the relationship between fractions, decimals and percentages.
We have developed activities that provide a conceptual understanding of the students in
teaching. We have developed a model in which we are expanding ensure understanding among
students that makes ten - one, and that one - makes - ten infinitely large and infinitely small
parts. We have demonstrated the importance of the position the decimal point and a true
understanding of positional value system. We concluded that their understanding is crucial
in the development of logical thinking and creating links between relationships. The main
task of the examples of this study is that students understand that the decimal numbers
just fractions. Throughout the paper, we note that it is extremely important to talk with
students, questioning, explaining the steps in solving the problem, as this ensures detection
of ambiguity and conceptual understanding of decimals and percentages. It is very important
to make them pointed to the fact that this knowledge has many tasks as shown in situations
of use in everyday life. We present examples of the ways of processing of basic mathematical
operations with decimal numbers and percentages which again provide an understanding of
the concept. Once the students understand the concept we can work on developing skills to
rapidly address calculations. Let’s be honest, after the adoption of the concept of decimal
numbers and percentages, everyone would do it easy.
34
Literatura
[1] L.Bunjacki, D.Govorko, K.Govorko, J.Lederer, R.Maroska, A.Olpp, C.Stockle,
H.Welstein, Sjeciste matematika za 5. Razred osnovne skole, Neodidacta, Zagreb, 2003.
[2] Number Sense and Numeration, Grades 4 to 6, Volume 6, USA, Ontario Education,
2006.
[3] Number Sense and Numeration, Grades 4 to 6, Volume 2, USA, Ontario Education,
2006.
[4] Number Sense and Numeration, Grades 4 to 6, Volume 3, USA, Ontario Education,
2006.
[5] Number Sense and Numeration, Grades 4 to 6, Volume 4, USA, Ontario Education,
2006.
[6] G.Paic, Z.Bosnjak, B.Culina, Matematicki izazovi 5 udzbenik iz matematike za peti
razred drugo polugodiste, Alfa, Zagreb, 2011.
[7] G.Paic. Z.Bosnjak, Z.Mrkic, Matematicli izazovi 5 metodicki prirucnik za ucitelje ma-
tematike, Alfa, Zagreb, 2008.
[8] G.Paic. Z.Bosnjak, Z.Mrkic, Matematicli izazovi 7 metodicki prirucnik za ucitelje ma-
tematike, Alfa, Zagreb, 2009.
[9] R.Svedrec, N.Radovic, T.Soucie, I.Kokic, Tajni zadatak 005 Udzbenik sa zbirkom za-
dataka iz matematike za peti razred osnovne skole, SK, Zagreb, 2007.
[10] R.Svedrec, N.Radovic, T.Soucie, I.Kokic, Tajni zadatak 007 Udzbenik sa zbirkom za-
dataka iz matematike za sedmi razred osnovne skole, SK, Zagreb, 2007.
[11] Z.Sikic, I.Golac-Jakopovic, M.Vukovic, L.Krnic, Matematika 7 udzbenik i zbirka zada-
taka za sedmi razred osnovne skole 1. polugodiste, Profil, Zagreb, 2007.
[12] Z.Sikic, B.Goles, Z.Lobor, L.Krnic, Matematika 5 udzbenik i zbirka zadataka za peti
razred osnovne skole 2. polugodiste, Profil, Zagreb, 2007.
[13] J.A. Van de Walle, Elementary and Middle School Mathematics: Teaching develop-
mentally, Pearson Education, USA, 2007.
[14] http://sjedi5.hr/content/233_decimalni_brojevi_izbornik(rujan 2013.)
[15] http://public.carnet.hr/ahorvate/materijali.html(rujan 2013.)
35
Zivotopis
Rodena sam 23. srpnja 1982. godine u Osijeku. Pohadala sam Osnovnu skolu Tina Ujevica u
Osijeku te 1997. godine se upisala u Prirodoslovno-matematicku gimnaziju Osijek. Maturi-
rala sam 2001. godine te iste te godine upisala Odjel za matematiku, Sveucilista Josipa Jurja
Strossmayera u Osijeku, smjer matematika-informatika. Udana sam, majka jedne curice.
36
