DANIEL HIGOR LEITE BRAZ AVALIAÇÃO DA … · Daniel Higor Leite Braz Avaliação da fadiga à flexão em pontes hiperestáticas com duas longarinas retas em concreto armado Trabalho

DANIEL HIGOR LEITE BRAZ

AVALIAÇÃO DA FADIGA À FLEXÃO EM PONTES

HIPERESTÁTICAS COM DUAS LONGARINAS RETAS EM

CONCRETO ARMADO

NATAL-RN

2016

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Daniel Higor Leite Braz

Avaliação da fadiga à flexão em pontes hiperestáticas com duas longarinas retas em concreto

armado

Trabalho de Conclusão de Curso na modalidade

Monografia, submetido ao Departamento de Engenharia

Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Norte

como parte dos requisitos necessários para obtenção do

Título de Bacharel em Engenharia Civil.

Orientador: Prof. Dr. José Neres da Silva Filho

Natal-RN

2016

Catalogação da Publicação na Fonte

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - Sistema de Bibliotecas

Biblioteca Central Zila Mamede / Setor de Informação e Referência


Avaliação da fadiga à flexão em pontes hiperestáticas com duas longarinas retas em concreto

armado

Trabalho de conclusão de curso na modalidade

Monografia, submetido ao Departamento de Engenharia

Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Norte

como parte dos requisitos necessários para obtenção do

título de Bacharel em Engenharia Civil.

Aprovado em dia, mês e ano: 17 de novembro de 2016

___________________________________________________

Prof. Dr. José Neres da Silva Filho – Orientador

___________________________________________________

Prof. Dr. Petrus Gorgônio Bulhões da Nóbrega – Examinador interno

___________________________________________________

Prof. Dr. Rodrigo Barros – Examinador externo

Natal-RN

2016

DEDICATÓRIA

Aos meus pais, Adauto e Márcia.

AGRADECIMENTOS

A Deus, por estar sempre comigo.

Aos meus pais, Adauto e Márcia Braz, meus alicerces.

Aos meus amigos, pela companhia e apoio que extrapolam anos.

Ao professor Dr. José Neres da Silva Filho, pelas orientações, correções, disponibilidade e por ser

um exemplo de profissional. Trabalhar com o senhor foi uma verdadeira honra.

Ao professor Dr. Rodrigo Barros, por ser sempre acessível e prestativo. Um exemplo admirável de

profissional e, especialmente, de educador.


RESUMO

Avaliação da fadiga à flexão em pontes hiperestáticas com duas longarinas retas de concreto

armado

O objetivo deste trabalho é avaliar o comportamento estrutural de longarinas de pontes

hiperestáticas de concreto armado submetidas a carregamentos estáticos e cíclicos, representados

pelos trens-tipos normatizados. Para isso, são propostos quatro modelos de ponte, com diferentes

relações de balanço/vão. Considerando as recomendações normativas brasileira e europeia, são

feitos o dimensionamento e análise da fadiga das vigas de cada modelo. Dos resultados obtidos,

constata-se que o fator de fadiga médio das armaduras longitudinais é crescente com o aumento da

proporção entre balanço e vão. A proporção ótima, com menor taxa de armadura média, pela

NBR, e segundo menor fator de fadiga médio, é a de 1/4. Das comparações conclui-se que o

Eurocode é mais conservador que a NBR, em termos de dimensionamento e fadiga das armaduras.

Palavras-chave: fadiga, dimensionamento, NBR, Eurocode.

ABSTRACT

Title: Evaluation of fatigue on flexural at hyperstatic bridges with two straight beams of

reinforced concrete

The goal of this paper is to evaluate the structural behavior of beams of hyperstatic reinforced

concrete bridges subjected by static and cyclic loads, represented by design vehicles. For that

matter, four models of bridges are proposed, each one with different proportion between cantilever

and span. Taking into account the standards’ recommendations, the designs on flexural and the

fatigue analysis are done. The results show that the mean reinforcement fatigue factor increases

with the growth of the cantilever/span proportion. The best proportion, with the lowest mean

reinforcement area ratio, according to the NBR, and the second lowest mean fatigue factor, is 1/4.

From the comparisons it is stated that the Eurocode is more conservative than the NBR, on terms

of design and fatigue.

Key-words: fatigue, design, NBR, Eurocode.

LISTA DE FIGURAS

FIGURA PÁGINA

1 - Modelo esquemático de ponte 1

2 - Variação da tensão com o tempo 5

3 - Regra de Palmgren-Miner 6

4 - Comportamento dos materiais à fadiga 7

5 - Resistência à fadiga para viga de concreto simples 8

6 - TB-450 11

7 - Definição das tensões σc1 e σc2 14

8 - Formato das curvas de resistência característica à fadiga (curvas S-N) para o aço 16

9 - Load Model 1 para wl = 3,00 m 17

10 - Fatigue Load Model 3 19

11 - Forma da curva característica da resistência à fadiga 20

12 - Valor de λs,1 para verificação da fadiga na área do apoio intermediário 21

13 - Valor de λs,1 para verificação da fadiga no vão ou para elementos locais 21

14 - Localização da seção média e seção de apoio 22

15 - Esquema geral da ponte 25

16 - Detalhes da barreira lateral, pingadeira, aba lateral e cortina 25

17 - Detalhes da aba lateral e laje de transição 26

18 - Seção transversal, medidas em cm 26

19 - Detalhes das transversinas em cm 27

20 - Esquema dos carregamentos permanentes na longarina 27

21 - Esquema estrutural do modelo 1 29

22 - Diagrama de momento fletor característico do modelo 1 (kN·m) 29







29 - Corte dentro da faixa do veículo-tipo 32

30 - Esquema estrutural da seção dentro da faixa do veículo-tipo 32

31 - Corte fora da faixa do veículo-tipo 33

32 - Esquema estrutural da seção fora da faixa do veículo-tipo 33

33 - Esquema estrutural da seção que corta o veículo-tipo 33

34 - Esquema estrutural da seção que não corta o veículo-tipo 34

35 - Composição do trem-tipo longitudinal 34

36 - Trem-tipo brasileiro longitudinal de flexão 34

37 - Seção que passa pelo TS 35

38 - Seção fora do TS 35

39 - Trem-tipo europeu longitudinal de flexão 36

40 - Seção que passa pelo eixo das cargas concentradas 36

41 - Trem-tipo europeu longitudinal de fadiga 36

42 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 1, segundo NBR - = 1,40 38




46 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 1 - Trem-tipo de flexão europeu 39

47 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 1 - TS 40

48 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 1 - UDL 40

49 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 1 - Trem-tipo de fadiga europeu 40













62 - Largura de mesa colaborante, segundo NBR 46

63 - Geometria da seção transversal da ponte na seção média do vão 47

64 - Seção T do modelo 1, NBR (cm) 48



67 - Seção T do balanço do modelo 4, NBR (cm) 49

68 - Seção T do meio do vão do modelo 4, NBR (cm) 49

69 - Definição de l0 para cálculo da largura efetiva do flange 52

70 - Parâmetros para determinação da largura efetiva do flange 52

71 - Seção T do modelo 1, Eurocode (cm) 53



74 - Distribuição retangular de tensões, segundo o Eurocode 55

75 - Domínio admissível de distribuição de tensões no ELU, segundo o Eurocode 55

76 - Diagrama parábola retângulo para concreto comprimido, segundo o Eurocode 2 56

77 - Diagrama bilinear de tensões-deformações, segundo o Eurocode 2 56

LISTA DE TABELAS

TABELA PÁGINA

1 - Ações permanentes diretas agrupadas na combinação normal, γg 10

2 - Ações variáveis consideradas conjuntamente na combinação normal, γq 11

3 - Parâmetros para as curvas S-N (Woeller) para os aços dentro do concreto a 15

4 - Tipos da curva S-N 15

5 - Número e largura das faixas de projeto 16

6 - Load Model 1: valores característicos 17

7 - Número esperado de veículos pesados por ano ou por faixa lenta 22

8 - Valores de s 24

9 - Coeficientes de ponderação para os vãos contínuos 37

10 - Coeficientes de ponderação para os balanços 37

11 - Momentos de projeto para dimensionamento brasileiro 45

12 - Distâncias a (cm) 47

13 - Parâmetros geométricos das seções T (cm), segundo a NBR 47

14 - Armadura mínima, segundo NBR 6118:2014 50

15a - Dimensionamento brasileiro da armadura positiva de flexão 50

15b - Dimensionamento brasileiro da armadura negativa de flexão 50

16 - Momentos de projeto para dimensionamento europeu 51

17 - Distâncias l0 (cm) 53

18 - Parâmetros geométricos das seções T (cm), segundo o Eurocode 53

19 - Armadura mínima e máxima, segundo Eurocode 57

20a - Dimensionamento europeu da armadura positiva de flexão 57

20b - Dimensionamento europeu da armadura negativa de flexão 58

21 - Momentos de cálculo para análise brasileira da fadiga 59

22 - Parâmetros de cálculo - seções sob momentos com mesmo sinal (NBR) 61

23 - Fator de fadiga pela NBR - seções sob momentos com mesmo sinal 62

24 - Parâmetros de cálculo - seções sob momentos de sinais contrários (NBR) 62

25 - Tensões no aço pela NBR - seções sob momentos de sinais contrários 62

26 - Fator de fadiga pela NBR - seções sob momentos de sinais contrários 63

27 - Verificação do concreto em compressão, segundo NBR 63

28 - Verificação da fadiga da armadura longitudinal, segundo NBR 64

29 - Momentos de cálculo para análise europeia da fadiga 65

30 - Fatores λs 66

31 - Parâmetros de cálculo - seções sob momentos com mesmo sinal (Euro) 67

32 - Tensões no aço pelo Eurocode - seções sob momentos com mesmo sinal 67

33 - Parâmetros de cálculo - seções sob momentos de sinais contrários (Euro) 67

34 - Tensões no aço pelo Eurocode - seções sob momentos de sinais contrários 68

35 - Fator de fadiga pelo Eurocode - seções sob momentos de sinais contrários 68

36 - Tensões de compressão no concreto 68

37 - Verificação do concreto em compressão, segundo Eurocode 69

38 - Fator de fadiga pelo Eurocode 69

39 - Comparação entre modelos, NBR 71

40 - Comparação entre modelos, Eurocode 71

41 - Comparação entre fatores de fadiga das normas 73

42 - Comparação entre taxas de armadura das normas 74

43 - Comparação entre intensidades de momento de dimensionamento (kNm) 74

44 - Comparação entre intensidades de momento de fadiga (kNm) 74

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ..............................................................................................................................1

1.1 Considerações iniciais ..............................................................................................................1

1.2 Objetivos ..................................................................................................................................2

1.2.1 Objetivo geral ....................................................................................................................2

1.2.2 Objetivos específicos .........................................................................................................2

1.3 Estrutura do trabalho ................................................................................................................2

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .......................................................................................................4

2.1 Generalidades ...........................................................................................................................4

2.2 Fadiga em Estruturas de Concreto Armado .............................................................................7

2.2.1 Fadiga do Concreto ............................................................................................................7

2.2.2 Fadiga do Aço das Armaduras ...........................................................................................9

3 TRATAMENTO NORMATIVO ..................................................................................................10

3.1 Normas Brasileiras .................................................................................................................10

3.1.1 Dimensionamento ............................................................................................................10

3.1.2 Análise da Fadiga ............................................................................................................12

3.2 Normas Europeias ..................................................................................................................16

3.2.1 Dimensionamento ............................................................................................................16

3.2.2 Análise da fadiga .............................................................................................................18

4 MODELOS PROPOSTOS ANALISADOS .................................................................................25

4.1 Apresentação dos modelos .....................................................................................................25

4.2 Levantamento das cargas permanentes ..................................................................................27

4.2.1 Determinação da carga g1 ................................................................................................28

4.2.2 Determinação da carga g2 ................................................................................................28

4.2.3 Determinação da carga G1 e G1’ ......................................................................................28

4.2.4 Determinação da carga G2 ...............................................................................................28

4.3 Esquemas estruturais e Diagramas de Momento Fletor .........................................................29

4.3.1 Modelo 1 ..........................................................................................................................29

4.3.2 Modelo 2 ..........................................................................................................................30

4.3.3 Modelo 3 ..........................................................................................................................30

4.3.4 Modelo 4 ..........................................................................................................................31

4.4 Determinação dos Trens-tipo longitudinais ...........................................................................32

4.4.1 Norma Brasileira ..............................................................................................................32

4.4.2 Norma Europeia ...............................................................................................................34

5 APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS ...................................................................................37

5.1 Envoltórias pela norma brasileira ...........................................................................................37

5.1.1 Modelo 1 ..........................................................................................................................38

5.1.2 Modelo 2 ..........................................................................................................................38

5.1.3 Modelo 3 ..........................................................................................................................38

5.1.4 Modelo 4 ..........................................................................................................................39

5.2 Envoltórias pela norma europeia ............................................................................................39

5.2.1 Modelo 1 ..........................................................................................................................39

5.2.2 Modelo 2 ..........................................................................................................................41

5.2.3 Modelo 3 ..........................................................................................................................42

5.2.4 Modelo 4 ..........................................................................................................................43

5.3 Dimensionamento das longarinas ...........................................................................................45


5.3.2 Norma Europeia ...............................................................................................................51

5.4 Estudo da fadiga .....................................................................................................................58


5.4.2 Norma Europeia ...............................................................................................................64

6 ANÁLISE DOS RESULTADOS ..................................................................................................71

6.1 Comparações entre modelos ...................................................................................................71

6.2 Comparações entre tratamentos normativos ...........................................................................73

7 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS .........................................78

7.1 Conclusões..............................................................................................................................78

7.2 Sugestões para trabalhos futuros ............................................................................................78

8 REFERÊNCIAS ............................................................................................................................80

1

1 INTRODUÇÃO

1.1 Considerações iniciais

O Brasil é um país de dimensões continentais, com diferentes perfis de relevo e rico em

recursos hídricos. Somado a isso, é dotado de uma extensa e preponderante malha rodoviária: 58%

da matriz de transporte brasileira são do modal rodoviário, segundo o Projeto de Reavaliação de

Estimativas e Metas do PNLT (BRASIL, 2012).

A sobreposição destas características com a tendência à metropolização e conurbação dos

centros urbanos, indica a importância de obras viárias como pontes, definidas segundo a NBR

7188:2013 como estruturas sujeitas a ação de carga em movimento, com posicionamento variável,

utilizada para transpor um obstáculo natural, conforme modelo esquemático da Figura 1 (para

transposição de obstáculos artificiais, utiliza-se a denominação de viaduto).

Pela Figura 1, é possível identificar as principais partes deste tipo de estrutura. A

infraestrutura é a parte constituída por elementos que se destinam a apoiar no terreno os esforços

transmitidos da superestrutura para a mesoestrutura. A mesoestrutura, composta por pilares e

aparelhos de apoio, recebe os esforços da superestrutura e os transmite à infraestrutura. A

superestrutura é o suporte do estrado por onde se trafega, composta pelas lajes, transversinas e

longarinas, que serão o foco da análise deste trabalho.

Figura 1 - Modelo esquemático de ponte

Fonte: PFEIL (1979).

Por serem solicitadas por cargas cíclicas, as estruturas de pontes estão sujeitas à ocorrência

da fadiga dos seus materiais constituintes. Para que danos significativos não ocorram, exigências

normativas precisam ser satisfeitas e os comportamentos dos materiais bem compreendidos. Com

isso em mente, serão estudadas as recomendações normativas brasileiras e europeias a respeito da

fadiga em estruturas de pontes de concreto armado e serão propostos modelos com diferentes

2

distâncias entre os pilares e diferentes dimensões de balanço. De posse dos resultados, serão feitas

comparações entre os modelos no tocante ao dimensionamento e à fadiga.

1.2 Objetivos

1.2.1 Objetivo geral

O objetivo geral é avaliar o comportamento estrutural de longarinas de pontes

hiperestáticas de concreto armado submetidas a carregamentos estáticos e cíclicos, representados

pelos trens-tipos normatizados.

1.2.2 Objetivos específicos

O trabalho tem como objetivos específicos:

- Analisar o fenômeno da fadiga e seus efeitos, tanto no aço quanto no concreto, nas

longarinas de pontes em concreto armado submetidas aos esforços de flexão;

- Verificar o dimensionamento das longarinas à fadiga pelas normas brasileira e europeia;

- Comparar as taxas de armadura e os fatores de fadiga dos modelos propostos, obtidos a

partir dos procedimentos analíticos de cálculo das normas estudadas;

- Indicar a relação ótima entre balanço/vão à luz do dimensionamento e fadiga.

1.3 Estrutura do trabalho

O trabalho está estruturado em oito capítulos, descritos brevemente a seguir.

No Capítulo 1, são apresentados a contextualização da temática, o porquê de se estudar a

fadiga em longarinas de pontes de concreto armado e os objetivos a serem alcançados.

O Capítulo 2 conta com uma revisão bibliográfica acerca da fadiga, com enfoque nas

estruturas de concreto armado, especialmente nos elementos constituintes aço e concreto.

O Capítulo 3 apresenta os tratamentos normativos brasileiro e europeu, que serão

utilizados nas análises, isto é, os requisitos, expressões e considerações necessárias ao

dimensionamento e à análise da fadiga.

O Capítulo 4 expõem os modelos de pontes de concreto armado com duas longarinas.

Nesta seção, são conhecidos os aspectos geométricos - dos vãos, balanços e seções transversais -

importantes para o dimensionamento das vigas. A partir das informações fornecidas, levantam-se

as ações permanentes e os respectivos diagramas de momento fletor. Além disso, baseado nas

orientações da NBR 7188:2013 e do Eurocode 1, são feitas as composições dos trens-tipos

longitudinais de flexão e de fadiga para determinação das envoltórias de momento fletor.

No Capítulo 5, são expostas as envoltórias de momento fletor obtidas no Ftool

(MARTHA, 2015) a partir dos trens-tipos longitudinais compostos no capítulo anterior. De posse

3

dos valores, os dimensionamentos das longarinas são feitos, para a obtenção das taxas de

armadura, a partir das considerações normativas brasileiras e europeias. Para este fim, são

utilizadas as combinações de ações pertinentes e as diretrizes de dimensionamento próprias de

cada normatização.

Neste mesmo capítulo, é feito também o estudo da fadiga, em que se apresentam os

momentos de cálculo obtidos e os fatores de fadiga das armaduras longitudinais calculados para

cada modelo proposto, considerando as mesmas seções dimensionadas: seção do apoio extremo,

seção do meio do vão e seção do apoio central. Somado a isso, são feitas as verificações

normativas pertinentes ao fenômeno.

O Capítulo 6 apresenta a análise dos resultados. São apresentadas tabelas comparativas e

gráficos, a partir dos quais são feitas as comparações dos resultados obtidos da modelagem, dos

dimensionamentos, do cálculo do fator de fadiga e das verificações normativas.

No Capítulo 7, é feita a conclusão do trabalho, agregando-se sinteticamente as principais

constatações da pesquisa. Ademais, sugerem-se temas para futuros trabalhos.

No Capítulo 8, constam as referências consultadas para o desenvolvimento e embasamento

desta pesquisa.

4

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 Generalidades

Fadiga é uma forma de falha que ocorre em estruturas submetidas a tensões dinâmicas.

Pode ser definida como um modo de ruptura que envolve a formação e crescimento de uma fissura

em um componente estrutural, devido às deformações causadas por carregamentos variáveis no

tempo (BARONI, 2010). Em elementos estruturais, a fadiga se manifesta como um:

[...] dano permanente e progressivo, produzido pela ação de tensões e deformações

variáveis no tempo, dentro do regime elástico. Após um determinado número de ciclos,

este dano pode culminar em microfissuras que pode evoluir até a ruptura, a qual ocorre

sem que o nível de tensões ultrapasse o limite elástico do material. (CAIXETA, 2010,

p.7)

A ruptura por fadiga caracteriza-se por três estágios distintos: iniciação da fissura, em que

uma microfissura forma-se em um ponto de elevada concentração de tensão, quase sempre na

superfície do componente estrutural ou em regiões de descontinuidade; propagação da fissura, que

avança a cada ciclo de tensão; e ruptura final, que ocorre muito rapidamente uma vez que a fissura

atinge um tamanho crítico.

Potencialmente, qualquer tensão que varie no tempo pode provocar ruptura por fadiga,

sendo mais críticas as variações de maior amplitude e aquelas em que há inversão de sinal. Para

análise do fenômeno, é usual a identificação de dois regimes: alto ciclo e baixo ciclo. A fadiga de

alta ciclagem (clássica) caracteriza-se por deformações preponderantemente elásticas que ocorrem

sobre tensões baixas e, desta forma, demandam grande número de ciclos até à ruptura da peça. A

fadiga de baixa ciclagem caracteriza-se pela ocorrência de deformações elasto-plásticas que

ocorrem sob elevadas tensões.

Além dos regimes, distinguem-se três diferentes modos de variação tensão-tempo possíveis

pertinentes à fadiga. Estes modos, indicados na Figura 2, são: (a) ciclo de tensão reverso, em que

há variação entre máximas tensões de tração σmax e compressão σmin de mesma magnitude, ou seja,

tensão média σm = 0; (b) ciclo de tensão repetido, onde tensões máxima e mínima são assimétricas

em relação ao eixo de tensão nula; (c) ciclo de tensão variável, em que o nível de tensão varia

aleatoriamente em amplitude e frequência. Os parâmetros usados para caracterizar tais modos são

definidos a seguir.

Tensão média: σm =σmax + σmin

2 (01)

Variação de tensão: σr = σmax − σmin (02)

5

Amplitude da tensão: σa =σr

2=

σmax − σmin

2 (03)

Razão das tensões: R =σmin

σmax (04)

Figura 2 - Variação da tensão com o tempo

Fonte: CALLISTER (2007).

No caso de estruturas sujeitas ao tráfego de veículos, o modo de variação tensão-tempo

representado em (c), análogo a cargas cíclicas com amplitude variável, é o mais significativo. Para

melhor compreensão, podem-se transformar carregamentos desta natureza em um ou vários

segmentos de carregamento de amplitude constante equivalente e estimar o dano acumulado do

conjunto por meio da regra de Palmgren-Miner, conforme a Figura 3.

A regra de Palmgren-Miner, sugerida inicialmente por Palmgren na Suécia em 1920 e

consolidada por Miner em 1945, é baseada no fato de que os danos de fadiga acumulam-se

linearmente com o número de ciclos aplicado a certo nível de tensão. Ela determina que a ruína

6

por fadiga aconteça quando ∑n÷N = 1, sendo n o número de ciclos solicitantes para uma

determinada intensidade de tensão σ e N o número de ciclos necessários para ocorrer a falha para

essa mesma intensidade. Para o exemplo de carregamento cíclico de amplitude variável abaixo,

temos que o dano acumulado é dado por:

Dano = n1

N1+

n2

N2+

n3

N3

Figura 3 - Regra de Palmgren-Miner

Fonte: LEAL (2014).

O número de ciclos admissíveis ou vida útil à fadiga é determinado por meio de ensaios

laboratoriais que submetem amostras de materiais a variações constantes de tensão. Os dados

obtidos nestes ensaios são plotados em tensão por logaritmo do número N de ciclos para falha para

cada uma das amostras testadas, as chamadas curvas de Wöhler ou curvas S-N (Stress-Number of

cycles). Estas indicam que quanto maior a magnitude da tensão menor o número de ciclos que o

material é capaz de suportar antes da falha.

Além da vida à fadiga (fatigue life), obtêm-se das curvas de Wöhler, dependendo do

material, o limite de fadiga (fatigue limit) e a resistência à fadiga (fatigue strength). O limite de

fadiga é observado em ligas ferrosas e de titânio, por exemplo, e corresponde ao nível de tensão

para o qual as curvas S-N tornam-se horizontais em elevados números de ciclos, abaixo da qual

não ocorrerá ruptura, conforme a Figura 4a. Outro comportamento possível ocorre, por exemplo,

na maior parte das ligas não ferrosas (de alumínio, cobre, magnésio), que não apresentam limite de

fadiga. Suas curvas continuam a decrescer com o aumento do número de ciclos de carregamento.

Para esses materiais, a fadiga ocorrerá independente da magnitude da tensão. Portanto, a

resistência à fadiga corresponde a um nível de tensão para o qual ocorrerá a falha dado um número

específico de ciclos, como mostra a Figura 4b.

7

Figura 4 - Comportamento dos materiais à fadiga

Fonte: CALLISTER (2007).

2.2 Fadiga em Estruturas de Concreto Armado

Em estruturas de concreto armado, a fadiga está relacionada às propriedades dos materiais

constituintes, aço e concreto, e à interação entre eles. A compreensão dos comportamentos destes

materiais tem como consequência as recomendações normativas.

2.2.1 Fadiga do Concreto

De acordo com o Instituto Americano de Concreto, no ACI 215R-74 Considerations for

Design of Concrete Structures Subjected to Fatigue Loading, o concreto, quando submetido a

repetidos carregamentos, pode apresentar excessiva fissuração - que, segundo Baroni (2010), tem

natureza frágil, por apresentar pouca, ou nenhuma, deformação plástica associada - e

8

eventualmente falhar após um suficiente número de ciclos, mesmo que a máxima carga seja menor

que a resistência estática de uma espécie similar. Segundo dados do instituto, a resistência à fadiga

do concreto para 10 milhões de ciclos - para compressão, tração ou flexão - é de aproximadamente

55% da resistência estática.

A resistência à fadiga, definida como fração da resistência estática que o concreto

consegue suportar em função do número de repetições de carregamento, é influenciada pela

amplitude e taxa do carregamento, excentricidade da carga, histórico de carregamento,

propriedades do material e condições ambientais.

A Figura 5 apresenta a relação entre a razão da máxima tensão (no caso, tensão de tração à

flexão) e a resistência estática fr pelo número de ciclos de carregamento. A partir dela, pode-se

concluir que quanto maior a amplitude das tensões (menor razão entre a tensão mínima Smín e

máxima Smáx) para um dado número de ciclos N, menor a resistência à fadiga.

Figura 5 - Resistência à fadiga para viga de concreto simples

Fonte: ACI 215R (1997).

A taxa de carregamento para tensões de até 75% da resistência estática e frequência entre

70 e 900 ciclos por minuto tem pouco efeito sobre a resistência à fadiga. A influência da taxa

torna-se mais significativa para tensões elevadas.

O conteúdo de cimento, fator água-cimento, condições de cura, idade do concreto na

ocasião do carregamento, quantidade de ar incorporado na mistura e tipo de agregado não

influenciam a resistência à fadiga, caso seja expressa em função da estática (CAIXETA, 2010). No

tocante ao histórico de carga, destaca-se que os efeitos de períodos de descanso no comportamento

9

do concreto não são suficientemente explorados. No entanto, tem-se observado em testes de

laboratório que períodos de descanso intercalados em ciclos de carregamento tendem a aumentar a

resistência à fadiga.

2.2.2 Fadiga do Aço das Armaduras

A fadiga no aço caracteriza-se pela ruptura a uma tensão inferior à tensão de escoamento

quando submetido a uma dada amplitude de variação de tensões após um grande número de ciclos

(SILVA FILHO; NAGATO, 2004). Esta tensão, no entanto, deve ser superior ao respectivo limite

de fadiga. Para a sua ocorrência, influem o tipo de aço, formas das nervuras, diâmetro e curvatura

das barras, amplitude de flutuação de tensão, emendas e ancoragens.

As nervuras das barras, projetadas para melhorar a aderência entre aço e concreto,

produzem concentração de tensões e a consequente redução da resistência à fadiga, quando

comparadas às barras lisas.

Verifica-se que quanto maior o diâmetro das barras, menor a resistência: para um diâmetro

de 40 mm, a resistência é 25% menor que a de uma barra de 16 mm. Considerando a curvatura das

barras, constata-se que o dobramento reduz a resistência, ao gerar uma concentração de tensões

nas regiões dobradas.

Emendas por transpasse não provocam fadiga. Por outro lado, emendas através de solda

reduzem a resistência. No que diz respeito à amplitude das tensões, nota-se que o número de ciclos

que ocasiona a fadiga em uma barra é maior quanto menor for a amplitude de flutuação de tensões

na armadura.

10

3 TRATAMENTO NORMATIVO

Neste capítulo, serão apresentadas as recomendações e diretrizes das normas brasileira e

europeia relativas ao dimensionamento de pontes de concreto armado e à análise da fadiga.

3.1 Normas Brasileiras

3.1.1 Dimensionamento

O dimensionamento pela normatização brasileira envolve o estudo das seguintes normas:

NBR 6118:2014 Projeto de estruturas de concreto - Procedimento;

NBR 7187:2003 Projeto de pontes de concreto armado e de concreto protendido - Procedimento;

NBR 7188:2013 Carga móvel rodoviária e de pedestres em pontes, viadutos, passarelas e outras

estruturas;

NBR 8681:2003 Ações e segurança nas estruturas - Procedimento.

Para o dimensionamento, será utilizada a combinação última normal, dada pela expressão

(05).

Fd = ∑ γgFgik + γq(Fq1k + ∑ ψ0jFqjk) (05)

onde

Fgik: ação permanente direta com seu valor característico;

Fq1k: ação variável principal com seu valor característico;

Fqjk: ações variáveis secundárias com seus valores característicos.

De acordo com a NBR 8681, para ações permanentes diretas e ações variáveis agrupadas,

os coeficientes γg e γq assumem os valores apresentados respectivamente nas Tabelas 1 e 2 para a

combinação normal.

Tabela 1 - Ações permanentes diretas agrupadas na combinação normal, 𝛄𝐠

Combinação Tipo de estrutura Efeito

Desfavorável Favorável

Normal

Grandes pontes1)

1,30 1,0

Edificações tipo 1 e pontes em geral2)

1,35 1,0

Edificação tipo 23)

1,40 1,0 1)

Grandes pontes são aquelas em que o peso próprio da estrutura supera 75% da

totalidade das ações permanentes. 2)

Edificações tipo 1 são aquelas onde as cargas acidentais superam 5 kN/m2.

3) Edificações tipo 2 são aquelas onde as cargas acidentais não superam 5 kN/m

2.

Fonte: adaptado da NBR 8681:2003.

11

Tabela 2 - Ações variáveis consideradas conjuntamente na combinação normal, 𝛄𝐪

Combinação Tipo de estrutura Coeficiente de ponderação

Normal Pontes e edificações tipo 1 1,5

Edificações tipo 2 1,4 Fonte: adaptado da NBR 8681:2003.

A NBR 7188:2013 - Carga móvel rodoviária e de pedestres em pontes, viadutos,

passarelas e outras estruturas define como carga rodoviária padrão TB-450 - veículo tipo de 450

kN, com seis rodas (P = 75 kN), com área de ocupação de 18,0 m², circundada por uma carga

uniformemente distribuída constante p = 5 kN/m², conforme Figura 6.

Figura 6 - TB-450

Fonte: NBR 7188:2013.

Além do veículo de projeto, esta norma define os seguintes coeficientes de ponderação das

cargas verticais: coeficiente de impacto vertical CIV, coeficiente de número de faixas CNF e

coeficiente de impacto adicional CIA.

a) Coeficiente de Impacto Vertical

As cargas móveis verticais características devem ser majoradas para o dimensionamento de

todos os elementos estruturais pelo CIV, dado por:

CIV = 1,35, para estruturas com vão menor que 10,0 m; (06)

CIV = 1 + 1,06 ∙ (20

Liv + 50) (07)

onde

Liv usado para estruturas de vão isostático. Liv: média aritmética dos vãos nos casos de

vãos contínuos;

Liv é o comprimento do próprio balanço para estruturas em balanço;

12

L é o vão, expresso em metros (m).

b) Coeficiente de Número de Faixas

As cargas móveis características devem ser ajustadas pelo CNF, dado por (08).

CNF = 1 − 0,05 ∙ (n − 2) > 0,9 (08)

onde

n é o número inteiro de faixas de tráfego rodoviário a serem carregadas sobre um tabuleiro

transversalmente contínuo. Acostamentos e faixas de segurança não são faixas de tráfego da

rodovia.

Este coeficiente não se aplica ao dimensionamento de elementos estruturais transversais ao

sentido do tráfego.

c) Coeficiente de Impacto Adicional

Os esforços das cargas móveis definidas devem ser majorados na região das juntas

estruturais e extremidades da obra. Todas as seções dos elementos estruturais distantes

horizontalmente em até 5,0 m de cada lado da junta ou descontinuidade estrutural devem ser

dimensionadas com os esforços das cargas móveis majorados pelo CIA, definido a seguir.

CIA = 1,25, para obras em concreto ou mistas; (09)

CIA = 1,15, para obras em aço. (10)

3.1.2 Análise da Fadiga

As considerações pertinentes à análise proposta da fadiga e que estão contidas na NBR

6118:2014 na seção 23.5 Estado-limite último de fadiga são apresentadas a seguir. Nesta norma

são tratadas as ações de fadiga de média e baixa intensidade e número de repetições de até 2

milhões de ciclos. Além disso, é considerada válida a regra de Palmgren-Miner para a combinação

de ações de um determinado espectro de cargas.

3.1.2.1 Combinações de ações a considerar

O tratamento normativo destaca, de início, que a verificação da fadiga pode ser feita

considerando uma única intensidade de solicitação, expressa pela combinação frequente de ações

conforme a expressão (11), embora o fenômeno seja controlado pela acumulação do efeito

deletério de solicitações repetidas. É interessante notar que, apesar de ser considerada como um

estado limite último, a norma brasileira adota uma combinação de ações de estado limite de

serviço.

Fd,ser = ∑ Fgik

m

i=1

+ ψ1 Fq1k + ∑ ψ2j Fqjk

n

j=2

(11)

13

Para pontes rodoviárias, objeto deste estudo, temos:

ψ1 = 0,5 para verificação das vigas;

ψ1 = 0,7 para verificação das transversinas;

ψ1 = 0,8 para verificação das lajes de tabuleiro.

3.1.2.2 Modelo de cálculo

A NBR 6118:2014 permite que os esforços solicitantes sejam calculados em regime

elástico. No caso das tensões decorrentes da força cortante em vigas, devem ser aplicados os

modelos I ou II, respeitando-se as seguintes condições:

- no modelo I, o valor de Vc deve ser multiplicado pelo fator redutor 0,5;

- no modelo II, o valor de Vc deve ser multiplicado pelo fator redutor 0,5 e a inclinação das

diagonais de compressão, , deve ser corrigida pela equação tgθcor = √tgθ ≤ 1.

Devem ser adotados:

γf = 1,0

γc = 1,4

γs = 1,0

Para o cálculo dos esforços solicitantes e verificações das tensões, admite-se o modelo

linear elástico com relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto e = 10.

3.1.2.3 Verificação da fadiga do concreto

3.1.2.3.1 Concreto em compressão

A verificação é satisfeita se:

ηc ∙ γf ∙ σc,máx ≤ fcd,fad (12)

sendo

fcd,fad = 0,45 fcd

ηc =1

1,5−0,5(|σc1| |σc2|⁄ )

onde

ηc é um fator que considera o gradiente de tensões de compressão no concreto;

|σc1| é o menor valor, em módulo, da tensão de compressão a uma distância não maior

que 300 mm da face sob a combinação relevante de cargas (Figura 7);

|σc2| é o maior valor, em módulo, da tensão de compressão a uma distância não maior

que 300 mm da face sob a mesma combinação de carga usada para cálculo de |σc1|.

14

Figura 7 - Definição das tensões 𝛔𝐜𝟏 e 𝛔𝐜𝟐

Fonte: NBR 6118:2014.

A norma brasileira traz ainda a verificação do concreto em tração. No entanto, não há

clareza quanto à forma de cálculo das tensões solicitantes de tração e os valores de resistência de

referência são muito pequenos. Além destes aspectos, como a situação da fadiga do concreto em

tração não é considerada pela norma europeia, esta verificação foi dispensada no presente

trabalho.

3.1.2.4 Verificação da fadiga da armadura

A verificação é satisfeita se a máxima variação de tensão calculada, s (denominada de r

na seção 2.1), para a combinação frequente de cargas satisfizer:

γf ∙ ∆σSs ≤ ∆𝑓sd,fad (13)

Os valores de ∆𝑓sd,fad são dados na Tabela 3 a partir de parâmetros fornecidos na Tabela 4,

ambas adaptadas, respectivamente, das Tabelas 23.2 e 23.3 contidas na NBR 6118:2014. As

constantes k apresentadas na Tabela 4 são obtidas a partir de gráficos da função da resistência à

fadiga para o aço, representada em escala log.log. Esta função consiste em segmentos de reta da

forma (∆𝑓sd,fad)m

x N = constante, conforme Figura 8.

15

Tabela 3 - Parâmetros para as curvas S-N (Woeller) para os aços dentro do concreto a

Armadura passiva, aço CA-50

Valores de Δfsd,fad,mín, para 2 x 106 ciclos (MPa)

Caso (mm)

Tipob

10 12,5 16 20 22 25 32 40

Barras retas ou dobradas com D ≥ 25 190 190 190 185 180 175 165 150 T1

Barras retas ou dobradas com:

105 105 105 105 100 95 90 85 T1 D < 25

D = 5 < 20 mm

D = 8 ≥ 20 mm

Estribos 85 85 85 - - - - - T1

D = 3 ≤ 10 mm

Ambiente marinho 65 65 65 65 65 65 65 65 T4

Classe IV

Barras soldadas (incluindo solda por

ponto ou das extremidades) e

conectores mecânicos

85 85 85 85 85 85 85 85 T4

Armadura ativa

Caso Valores de Δfpd,fad,mín, para 2 x 10

6 ciclos

(MPa)

Pré-tração, fio ou cordoalha reto 150 T1

Pós-tração, cabos curvos 110 T2

Cabos retos 150 T1

Conectores mecânicos e ancoragens

(caso de cordoalha engraxada) 70 T3

a Admite-se, para certificação de processos produtivos, justificar os valores desta Tabela em

ensaios de barras ao ar. A flutuação de tensões deve ser medida a partir da tensão máxima de 80%

da tensão nominal de escoamento e frequente de 5 Hz a 10 Hz. b Ver Tabela 4.


Tabela 4 - Tipos da curva S-N

Tipo N* k1 k2

T1 106

5 9

T2 106 3 7

T3 106 3 5

T4 107 3 5


16

Figura 8 - Formato das curvas de resistência característica à fadiga (curvas S-N) para o aço

Fonte: NBR 6118:2014.

3.2 Normas Europeias

As normas europeias relevantes para a análise proposta são:

Eurocode: Basis of structural design (EN 1990:2002+A1:2005).

Eurocode 1: Actions on structures - Part 2: Traffic loads on bridges (EN 1991-2:2003);

Eurocode 2: Design of concrete structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings (EN

1992-1-1:2004)

Eurocode 2 - Design of concrete structures - Concrete bridges - Design and detailing rules (EN

1992-2:2005).

3.2.1 Dimensionamento

O processo de dimensionamento requer inicialmente a divisão da largura de rodagem w,

medida entre os meios-fios ou barreiras de proteção, em faixas de projeto, conforme a Tabela 5. A

localização e numeração das faixas de projeto devem ser escolhidas de modo a gerar o efeito mais

adverso possível. A numeração é feita considerando a faixa 1 como a mais desfavorável, a faixa 2

como a segunda mais desfavorável e assim por diante.

Tabela 5 - Número e largura das faixas de projeto

Largura de rodagem

w

Número de faixas de

projeto

Largura da faixa de projeto

wl

Largura

restante

w < 5,4 m nl = 1 3 m w - 3m

5,4 m ≤ w < 6 m nl = 2 w/2 0

6 m ≤ w nl = Inteiro da razão (w/3) 3 m w - 3 x nl

Fonte: adaptado da EN 1991-2:2003.

Sobre cada uma das faixas de projeto determinadas, devem ser aplicados, de forma

centralizada, modelos de carga para se obter o efeito mais adverso possível. A norma define quatro

modelos de carga vertical, sendo:

17

a) Load model 1: cargas concentradas e uniformemente distribuídas, destinado a abranger a

maioria dos efeitos do tráfego de caminhões e carros. Este modelo é utilizado em verificações

gerais e locais;

b) Load model 2: carga de eixo simples em áreas específicas de contato de pneu para cobrir efeitos

dinâmicos do tráfego normal em elementos estruturais pequenos;

c) Load model 3: série de associações de eixos carregados para representar veículos especiais;

d) Load model 4: carga de multidão para verificações gerais.

Dos modelos expostos, o Load model 1 será o utilizado para a análise deste trabalho. Este

modelo é constituído de duas partes: eixo duplo de cargas concentradas QQk (tandem system TS)

e carga uniformemente distribuída qqk (UDL system). Os coeficientes de ajuste Q e q serão

tomados iguais a 1,0. A superfície de contato de cada roda é tomada como um quadrado de 0,40 m

de lado. Na tabela e figura a seguir, apresentam-se as os valores característicos de Qik e qik com

amplificação dinâmica inclusa. O peso por roda é igual a 0,5 QQk.

Tabela 6 - Load Model 1: valores característicos

Localização Tandem system TS UDL system

Carga do eixo Qik (kN) qik (kN/m2)

Faixa 1 300 9

Faixa 2 200 2,5

Faixa 3 100 2,5

Outras faixas 0 2,5

Área restante 0 2,5 Fonte: adaptado da EN 1991-2:2003.

Figura 9 - Load Model 1 para wl = 3,00 m

Fonte: EN 1991-2:2003.

18

A norma estabelece que em situações onde efeitos gerais e locais podem ser calculados

separadamente, os efeitos gerais podem ser calculados a partir de simplificações. Uma das

simplificações é que para pontes de vãos maiores que 10 m, cada tandem system em cada faixa de

projeto pode ser substituído por um eixo simples de carga concentrada de peso igual ao total de

dois eixos. Desta forma, os pesos correspondentes dos eixos simples nas faixas 1, 2 e 3 serão,

respectivamente, 600 kN, 400 kN e 200 kN.

A combinação de ações utilizada para o dimensionamento é dada pela expressão (14).

Fd = ∑ γG,jGk,j + γQ,1Qk,1 + ∑ γQ,iψ0,iQk,i (14)

onde

Gk,j é o valor característico da ação permanente direta;

Qk,1 é o valor característico da ação variável principal;

Qk,i é o valor característico da ação variável secundária.

No Anexo A2 da EN 1990:2002+A1:2005, definem-se os seguintes coeficientes de

ponderação:

γG,sup = 1,05 para ações permanentes desfavoráveis;

γG,inf = 0,95 para ações permanentes favoráveis;

γQ = 1,35 para ações de tráfego rodoviárias (0 quando favoráveis);

ψ0,TS = 0,75 para ações secundárias geradas pelas cargas concentradas do Load Model;

ψ0,UDL = 0,40 para ações secundárias geradas pela carga uniformemente distribuída do

Load Model.

3.2.2 Análise da fadiga

A norma europeia EN 1991-2:2003 traz cinco modelos de carga específicos para a análise

da fadiga. Os modelos (1), (2) e (3) são utilizados na determinação das tensões máximas e

mínimas resultantes dos possíveis arranjos de cargas na ponte por qualquer um destes modelos. Os

modelos (4) e (5) são utilizados na determinação de amplitudes de espectro de tensões resultantes

da passagem de caminhões pela ponte. O modelo (5) é o mais geral e usa dados de tráfego reais.

Dos cinco modelos, o Fatigue Load Model 3 será o utilizado. Este modelo, ilustrado na

Figura 10, é o único aplicável para a verificação da fadiga pela variação da tensão equivalente em

relação ao dano, dado pela expressão (16), segundo o Anexo NN da EN 1992-2:2005. É

constituído por quatro eixos, cada um com duas rodas idênticas. A carga por eixo é de 120 kN e a

superfície de contato da roda é um quadrado de 0,40 m de lado.

19

De acordo com a seção 4.6 Fatigue load models da EN 1991-2:2003, os modelos de carga

de fadiga 1 a 4 incluem amplificação dinâmica de carregamento apropriados para pavimentos de

boa qualidade. Segundo o Anexo B da mesma norma, camadas novas de pavimento são

consideradas de boa rugosidade. Para esta característica, recomenda-se fator de amplificação

dinâmica de 𝜑fat = 1,2.

Figura 10 - Fatigue Load Model 3

Fonte: EN 1992-2:2005.

3.2.2.1 Combinações de ações a considerar

Para o cálculo das ações de fadiga, segundo a EN 1992-1-1:2004, considera-se a

combinação frequente de estado-limite de serviço exposta em (15).

Fd = ∑ Gk,j + ψ1,1Qk,i + ∑ ψ2,iQk,i + Qfat (15)

onde

Qk,1 e Qk,i são ações variáveis não cíclicas;

Qfat é a ação de fadiga considerada, por exemplo, a ação do tráfego.

3.2.2.2 Verificação da fadiga da armadura

Na seção 6.8.4 Verification procedure for reinforcing and prestressing steel da EN 1992-

1-1:2004, estabelece-se a amplitude resistente de tensão ∆𝜎Rsk, para barras retas e dobradas, de

162,5 MPa, considerando 106 ciclos, conforme a Figura 11 (k1 = 5 e k2 = 9). Para verificações de

fadiga, o Eurocode 2 recomenda a utilização dos fatores 𝛾C,fat = 1,5 e 𝛾S,fat = 1,15. A resistência

à fadiga para armadura longitudinal é assumida satisfeita quando:

𝛾F,fat ∙ ∆𝜎s,equ (𝑁∗) ≤∆𝜎Rsk (𝑁∗)

𝛾S,fat (16)

onde

∆𝜎Rsk (𝑁∗) é a amplitude de tensões para a curva S-N apropriada, segundo a Figura 11;

20

∆𝜎s,equ (𝑁∗) é a amplitude de tensão equivalente em relação ao dano para diferentes

tipos de armadura, correspondente ao número de ciclos de carga N*.

Figura 11 - Forma da curva característica da resistência à fadiga

Fonte: EN 1992-1-1:2004.

A amplitude de tensão ∆𝜎s,equ é calculada segundo procedimentos do Anexo NN da EN

1992-2:2005. Para este cálculo, as ações de eixo do Fatigue Load Model 3 devem ser

multiplicadas pelos seguintes fatores:

1,75 para verificação da tensão em apoios intermediários em pontes contínuas;

1,40 para verificação em outras áreas.

A ∆𝜎s,equ é determinada de acordo com a expressão (17).

∆𝜎s,equ = ∆𝜎s,Ec ∙ 𝜆s (17)

onde

∆𝜎s,Ec é a amplitude de tensão causada pelo Fatigue Load Model 3 com ações de eixo

amplificadas, baseada na combinação dada em (15);

𝜆s é a fator de dano equivalente para fadiga que leva em conta condições específicas, como

volume de tráfego, vida de projeto e vão, dado por (18).

𝜆s = 𝜑fat ∙ 𝜆s,1 ∙ 𝜆s,2 ∙ 𝜆s,3 ∙ 𝜆s,4 (18)

onde

𝜆s,1 é o fator que considera o tipo do elemento (e.g. viga contínua) e leva em conta o

efeito danoso do tráfego dependendo do comprimento crítico da linha ou área de

influência “A” (Figuras 12 e 13);

𝜆s,2 é o fator que leva em conta o volume de tráfego;

𝜆s,3 é o fator que leva em conta a vida útil de projeto da ponte;

𝜆s,4 é o fator a ser aplicado quando o elemento estrutural é carregado por mais de uma

faixa.

21

O 𝜆s,1 é obtido graficamente para as áreas de apoios intermediários e para os vãos.

Figura 12 - Valor de 𝝀𝐬,𝟏 para verificação da fadiga na área do apoio intermediário

Fonte: EN 1992-2:2005.

Figura 13 - Valor de 𝝀𝐬,𝟏 para verificação da fadiga no vão ou para elementos locais

Fonte: EN 1992-2:2005.

O comprimento crítico da linha de influência é determinado segundo critérios apresentados

na EN 1993-2:2006 Design of steel structures - Part 2: Steel bridges:

- Para vãos contínuos nas seções médias, segundo a Figura 14, o comprimento crítico é igual ao

vão em consideração;

22

- Para vãos contínuos nas seções de apoio, segundo a Figura 14, o comprimento crítico é dado pela

média entre os vãos adjacentes ao apoio.

Figura 14 - Localização da seção média e seção de apoio

Fonte: EN 1993-2:2006.

O 𝜆s,2 denota a influência do volume de tráfego anual e o tipo, sendo calculado por (19).

𝜆s,2 = �̅� ∙ √𝑁obs

2,0

𝑘2

(19)

onde

𝑁obs é o número de caminhões por ano, de acordo com a Tabela 7;

𝑘2 é o parâmetro apropriado para a curva S-N. Para barras retas ou dobradas, igual a 9;

�̅� é o fator para o tipo de tráfego. Para tráfego local, igual a 0,82.

Tabela 7 - Número esperado de veículos pesados por ano ou por faixa lenta

Categoria do Tráfego Nobs por ano ou por faixa

lenta

1 Rodovias com 2 ou mais faixas por direção com altas taxas de

fluxo de veículos 2,0 x 10

6

2 Rodovias com taxas médias de fluxo de veículos 0,5 x 106

3 Rodovias principais com baixas taxas de fluxo de veículos 0,125 x 106

4 Rodovias locais com baixas taxas de fluxo de veículos 0,05 x 106

Fonte: adaptado da Tabela 4.5 da EN 1991-2:2003.

O 𝜆s,3 denota a influência da vida de serviço e é dado por (20).

𝜆s,3 = √𝑁Years

100

𝑘2

(20)

onde

𝑁Years é a vida de projeto da ponte. Considera-se igual a 100 anos.

O 𝜆s,4 denota a influência de múltiplas faixas e é dado por (21).

𝜆s,4 = √∑ 𝑁obs,𝑖

𝑁obs,1

𝑘2

(21)

23

onde

𝑁obs,𝑖 é o número de veículos esperado na faixa i por ano;

𝑁obs,1 é o número de veículos na faixa lenta por ano.

Segundo sugestão da EN 1991-2:2003, na seção 4.6.1 General, tópico (3), em cada faixa

rápida (em que predomina o tráfego de carros), pode-se adicionar 10% do Nobs dado na Tabela 7

para a estimativa do tráfego. Para a categoria de tráfego 4, estimam-se 55000 carros por faixa

rápida e 50000 veículos na faixa lenta. Para uma largura de faixa de tráfego de 3,60 m, obtêm-se

duas faixas, uma rápida e uma lenta.

3.2.2.3 Verificação da fadiga no concreto sob compressão

A EN 1992-2:2005, na seção 6.8.7 Verification of concrete under compression or shear,

define que a resistência à fadiga do concreto sob compressão é considerada satisfeita quando a

condição em (22) é atendida.

∑𝑛𝑖

𝑁𝑖≤

𝑚

𝑖=1

1 (22)

onde

𝑚 é o número de intervalos de amplitude constante

𝑛𝑖 é o número de ciclos de amplitude constante no intervalo i

𝑁𝑖 = 10(14

1−𝐸cd,max,i

√1−𝑅𝑖)

𝑅𝑖 =𝐸cd,min,i

𝐸cd,max,i

𝐸cd,min,i =σcd,min,i

𝑓cd,fat

𝐸cd,max,i =σcd,max,i

𝑓cd,fat

onde

𝑅𝑖: razão das tensões;

𝐸cd,min,i: mínimo nível de tensão de compressão;

𝐸cd,max,i: máximo nível de tensão de compressão;

𝑓cd,fat: resistência de projeto à fadiga dado por (23);

σcd,max,i: tensão superior em um ciclo;

σcd,min,i: tensão inferior em um ciclo;

𝑓cd,fat = 𝑘1𝛽cc(𝑡0)𝑓cd (1 −𝑓ck

250) (23)

onde

24

𝛽cc é o coeficiente para resistência do concreto para primeira aplicação da carga (24);

𝑡0 é o tempo do início do carregamento cíclico no concreto em dias;

𝑘1 é o coeficiente de valor recomendado igual a 0,85.

𝛽cc = exp {𝑠 [1 − (28

𝑡)

1/2

]} (24)

onde:

𝑡: idade do concreto, em dias;

𝑠: coeficiente que depende do tipo de cimento, conforme Tabela 8.

Tabela 8 - Valores de s

s Classes de resistência do cimento

0,20 R CEM 42,5 R; CEM 52,5 N; CEM 52,5 R

0,25 N CEM 32,5 R; CEM 42,5 N

0,38 S CEM 32,5 N Fonte: adaptado da EN 1992-1-1:2004.

25

4 MODELOS PROPOSTOS ANALISADOS

4.1 Apresentação dos modelos

Para a análise sugerida, apresentam-se os quatro modelos de pontes de concreto armado

com duas longarinas retas (fck = 50 MPa e armadura de aço CA-50) que se distinguem pelas

dimensões dos vãos entre os pilares e dos balanços. O esquema geral destes modelos está ilustrado

na Figura 15. O acesso às pontes é feito através de lajes de transição de 4,0 m de comprimento. As

demais características geométricas expostas adiante são válidas para os quatro modelos.

Figura 15 - Esquema geral da ponte

Fonte: SIQUEIRA, LUCENA (2015).

a) Modelo 1: vãos de 22,5 m entre pilares e balanços de 2,5 m nas extremidades;

b) Modelo 2: vãos de 20,0 m entre pilares e balanços de 5,0 m nas extremidades;

c) Modelo 3: vãos de 17,5 m entre pilares e balanços de 7,5 m nas extremidades;

d) Modelo 4: vãos de 15,0 m entre pilares e balanços de 10,0 m nas extremidades.

A seção transversal possui 13,0 m de extensão, sendo 6,60 m entre os eixos das longarinas

e 3,2 m entre os eixos das longarinas e as extremidades dos balanços. O capeamento asfáltico tem

inclinação de 1% a partir do centro do tabuleiro, com espessura mínima de 7,0 cm no encontro

com as barreiras laterais. Os detalhes da barreira lateral, pingadeira, aba lateral constam nas

Figuras 16 e 17.

Figura 16 - Detalhes da barreira lateral, pingadeira, aba lateral e cortina


26

Figura 17 - Detalhes da aba lateral e laje de transição


A superestrutura é composta por lajes de 25,0 cm de espessura, além de longarinas e

transversinas. As longarinas das pontes apresentam altura de 2,0 m e bases da seção transversal

variando de 60,0 cm (apoio) para 50,0 cm (meio do vão). As mísulas entre as longarinas na

direção horizontal apresentam comprimento de 50,0 cm e 15,0 cm na vertical, a partir da face da

viga, conforme a Figura 18.

Figura 18 - Seção transversal, medidas em cm

Fonte: Autor (2016).

As transversinas apresentam altura de 1,60 m e base da seção transversal de 25,0 cm.

Associadas a elas, dispõem-se mísulas de 1,0 m na direção longitudinal da ponte, conforme a

Figura 19. As transversinas foram espaçadas de modo a coincidir com o meio do vão e apoios com

o objetivo de aumentar a rigidez à torção dos vigamentos principais.

27

Figura 19 - Detalhes das transversina em cm


4.2 Levantamento das cargas permanentes

O levantamento é feito considerando a distribuição dos carregamentos ao longo da

longarina apresentado na Figura 20.

Figura 20 - Esquema dos carregamentos permanentes na longarina


Para este levantamento, consideram-se os pesos específicos de 25 kN/m3 para o concreto

armado e 24 kN/m3 para o pavimento asfáltico, além de uma carga adicional de 2 kN/m

2, sugerida

pela NBR 7187:2003, para atender a um possível recapeamento.

Vale salientar que os valores de pesos específicos adotados estão em consonância com a

normatização europeia, que, no entanto, não traz a consideração do recapeamento. Com a

finalidade de uniformizar as intensidades das ações permanentes, serão adotados os mesmos pesos

específicos e carga adicional de recapeamento, sugerido pela NBR, nas análises pela norma

europeia.

A seguir, apresenta-se a expressão (25) para a determinação de cargas permanentes

uniformemente distribuídas sobre a longarina. A expressão (26) indica o cálculo para as cargas

concentradas sobre a longarina.

g = γ ∙ A (25)

G = γ ∙ V (26)

onde

g: carga permanente distribuída;

28

γ: peso específico do material constituinte;

A: área considerada obtida com o AutoCAD;

G: carga concentrada;

V: volume do elemento; produto da área obtida no AutoCAD pelo comprimento.

4.2.1 Determinação da carga g1

A carga g1 refere-se ao peso próprio da meia seção transversal da ponte onde a base da

alma da longarina é de 50 cm, além do peso das barreiras de concreto e do pavimento. A partir das

áreas obtidas para os elementos de concreto (A1 = 2,86 m2) e pavimento asfáltico (Aasf = 0,61 m

2)

que compõem a meia seção transversal da ponte, determina-se a carga g1 conforme a expressão

(26).

g1 = γc ∙ A1 + γasf ∙ Aasf + L/2 ∙ 2kN/m2 = 25 ∙ 2,86 + 24 ∙ 0,61 + 6,10 ∙ 2 = 98,40 kN/m

4.2.2 Determinação da carga g2

A carga g2 refere-se ao peso próprio da meia seção transversal da ponte onde a base da

alma da longarina é de 60 cm. A partir das áreas obtidas para os elementos de concreto (A2 = 3,03

m2) e pavimento asfáltico (Aasf = 0,61 m

2), determina-se a carga g2.

g2 = γc ∙ A2 + γasf ∙ Aasf + L/2 ∙ 2kN/m2 = 25 ∙ 3,03 + 24 ∙ 0,61 + 6,10 ∙ 2 = 102,73 kN/m

4.2.3 Determinação da carga G1 e G1’

A carga concentrada G1 refere-se aos pesos das transversinas e respectivas mísulas no meio

do vão. A carga concentrada G1’ refere-se aos pesos das transversinas e respectivas mísulas no

apoio.

G1 = γc ∙ (Vtransversina + Vmísula) = 25 ∙ (1,03 + 0,38) = 35,27 kN

G1′ = γc ∙ (Vtransversina + Vmísula) = 25 ∙ (1,01 + 0,38) = 34,69 kN

4.2.4 Determinação da carga G2

A carga concentrada G2 refere-se aos pesos da cortina, aba lateral, mísula no encontro, laje

de transição (com a camada do pavimento e barreira) e do pavimento (camada acima da cortina).

A metade da carga da laje de transição será considerada como a reação sobre a estrutura da ponte.

Os respectivos volumes obtidos via AutoCAD são:

Vcortina = 4,339 m3

Vaba lateral = 0,744 m3

Vmísula no encontro = 0,358 m3

Vlaje de transição = 7,429 m3

29

Vpavimento sobre a laje = 2,452 m3

Vpavimento sobre a cortina = 0,153 m3

Ameia laje = 24,4 m2

G2,concreto = γc ∙ (Vcortina + Vaba lateral + Vmísula no encontro) = 136,00 kN

G2,pavimento = γasf ∙ Vpavimento sobre a cortina + 2 kN/m2 ∙ Aasf = 4,91 kN

G2,reação =1

2∙ (γc ∙ Vlaje de transição + γasf ∙ Vpavimento sobre a laje + 2

kN

m2∙ Ameia laje) = 146,68 kN

G2 = G2,concreto + G2,pavimento + G2,reação = 287,59 kN

4.3 Esquemas estruturais e Diagramas de Momento Fletor

Os esquemas estruturais e os diagramas de momento fletor das cargas permanentes são

apresentados a seguir.

4.3.1 Modelo 1

Figura 21 - Esquema estrutural do modelo 1

Fonte: Ftool (MARTHA, 2015).

Figura 22 - Diagrama de momento fletor característico do modelo 1 (kN·m)


30

4.3.2 Modelo 2





4.3.3 Modelo 3



31



4.3.4 Modelo 4





O diagrama do momento fletor do modelo 4 aparenta ter uma incoerência na seção de

apoio central, isto é, um momento positivo no apoio. Esta anormalidade é devida às grandes

dimensões dos balanços, que suspendem sobremaneira o diagrama. Os valores estão corretos.

32

4.4 Determinação dos Trens-tipo longitudinais

4.4.1 Norma Brasileira

A determinação do trem-tipo de flexão para as longarinas é feita como se a seção

transversal se constituísse de um sistema isostático de uma viga biapoiada, uma vez que possui

apenas duas longarinas. Sobre esta se dispõem a carga móvel normativa na posição mais extrema

do tabuleiro, o que corresponde à maior reação na longarina, e a carga de multidão nas regiões

onde maximizem as solicitações.

A partir do processo das reações de apoio, levantam-se as cargas sobre as longarinas ao

avaliar duas seções transversais da ponte: uma por onde passa o veículo e outra onde só há carga

de multidão. De posse dos valores das reações, determina-se a composição do trem-tipo

longitudinal, de acordo com as figuras e expressões a seguir.

Figura 29 - Corte dentro da faixa do veículo-tipo


Figura 30 - Esquema estrutural da seção dentro da faixa do veículo-tipo


33

Figura 31 - Corte fora da faixa do veículo-tipo


Figura 32 - Esquema estrutural da seção fora da faixa do veículo-tipo


RP = P ∙ (d1 + d3

d3) + P ∙ (

d2 + d3

d3) (27)

Rp1 = p ∙ d4 ∙d4

2∙

1

d3 (28)

Rp2 = 3p ∙ (d4 + 1,50

d3) (29)

4.4.1.1 Seção dentro da faixa do veículo-tipo

Com base nas expressões e figuras da seção 4.4.1, determina-se o esquema estrutural

representativo para seção transversal que corta o veículo-tipo, apresentado na Figura 33.

Figura 33 - Esquema estrutural da seção que corta o veículo-tipo


34

Do esquema estrutural acima, calculam-se:

RP = 75 ∙ (2,30 + 6,60

6,60) + 75 ∙ (

6,60 + 0,30

6,60) = 179,55 kN

Rp1 = 5 ∙ 6,40 ∙6,40

2∙

1

6,60= 15,52 kN/m

4.4.1.2 Seção fora da faixa do veículo-tipo

Com base nas expressões e figuras da seção 4.4.1, determina-se o esquema estrutural

representativo para seção transversal que corta fora do veículo-tipo, apresentado na Figura 34.

Figura 34 - Esquema estrutural da seção que não corta o veículo-tipo


Do esquema estrutural acima, calcula-se:

Rp2 = 3 ∙ 5 ∙ (1,50 + 6,40) ÷ 6,60 = 17,95 kN/m

4.4.1.3 Composição do trem-tipo longitudinal

O trem-tipo de flexão para as longarinas apresenta a composição ilustrada na Figura 35. O

trem-tipo obtido nesta análise é apresentado na Figura 36.

Figura 35 - Composição do trem-tipo longitudinal


Figura 36 - Trem-tipo brasileiro longitudinal de flexão


4.4.2 Norma Europeia

O procedimento para a composição do trem-tipo longitudinal de flexão a partir do Load

Model 1 tem início com a definição do número de faixas de projeto. Conforme apresentado na

35

Tabela 5, define-se a quantidade do número de faixas de projeto nl a partir da distância livre w da

seção transversal da ponte. Da Figura 18, determina-se w = 12,20 m e, portanto, nl = 4 faixas de

3,0 m de largura cada e largura restante de 0,20 m.

A partir da simplificação sugerida pela norma, os eixos duplos serão substituídos por eixos

simples com o dobro da carga. Feitas as considerações cabíveis, inicia-se a composição

longitudinal separando-se duas seções: seção que passa pelas cargas concentradas do TS e seção

que compreende apenas as cargas uniformemente distribuídas.

4.4.2.1 Seção que passa pelo TS

Na Figura 37, apresenta-se o esquema estrutural da seção transversal da ponte em corte que

passa pelas cargas concentradas. Cargas no balanço foram desprezadas por gerarem alívios.

Figura 37 - Seção que passa pelo TS


Em procedimento análogo ao que foi feito na seção 4.4.1, calculam-se separadamente as

reações sobre a longarina devido às cargas concentradas e às cargas uniformemente distribuídas.

Desta forma, temos que:

RP = 300 ∙ (8,90 + 6,90

6,60) + 200 ∙ (

5,90 + 3,90

6,60) + 100 ∙ (

2,90 + 0,90

6,60) = 1072,73 kN

Rp1 =9 ∙ 3,00 ∙ (1,50 + 6,40) + 2,5 ∙ 6,40 ∙ 3,20

6,60= 40,08 kN/m

4.4.2.2 Seção fora do TS

Na Figura 38, apresenta-se o esquema estrutural da seção transversal da ponte em corte que

compreende apenas as cargas uniformemente distribuídas.

Figura 38 - Seção fora do TS


36

Do esquema estrutural acima, conclui-se que:

Rp1 = Rp2 = 40,08 kN/m

4.4.2.3 Composição do trem-tipo longitudinal de flexão

O trem-tipo de flexão europeu é dado na Figura 39.

Figura 39 - Trem-tipo europeu longitudinal de flexão


4.4.2.4 Composição do trem-tipo longitudinal de fadiga

Conforme especificado em 3.2.2, a norma europeia apresenta um veículo de projeto

específico para a análise da fadiga. Nesta análise, adota-se o Fatigue Load Model 3. Este veículo

apresenta apenas cargas concentradas situadas no interior de uma faixa de projeto. Do esquema

apresentado na Figura 10, considerando a seção que passa pelo eixo das cargas concentradas,

obtêm-se as intensidades das reações na longarina.

Figura 40 - Seção que passa pelo eixo das cargas concentradas


Do esquema acima, determina-se o valor de RP para a composição do trem-tipo

longitudinal de fadiga. O trem-tipo longitudinal europeu de fadiga está na Figura 41.

RP = 60 ∙ (8,90 + 6,90

6,60) = 143,64 kN

Figura 41 - Trem-tipo europeu longitudinal de fadiga


37

5 APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS

5.1 Envoltórias pela norma brasileira

Como apresentado na seção 3.1.1, a norma brasileira determina o coeficiente de impacto

pelo produto dos coeficientes de impacto vertical CIV (07), coeficiente de número de faixas CNF

(08) e coeficiente de impacto adicional CIA (09). No entanto, o software Ftool (MARTHA, 2015)

não permite a adoção de diferentes coeficientes de impacto para uma mesma estrutura. Portanto,

calculam-se os coeficientes de impacto vertical considerando separadamente os vãos contínuos e

os balanços, apresentados respectivamente nas Tabelas 9 e 10. Além disso, como não foram

previstas juntas de dilatação, adota-se CIA = 1,00. Dos valores abaixo obtidos, serão adotados os

maiores para fins de segurança.

Tabela 9 - Coeficientes de ponderação para os vãos contínuos

Modelo Liv (m) CIV CNF CIA = CIV∙CNF∙CIA

1 22,50 1,29 1,00 1,00 1,29

2 20,00 1,30 1,00 1,00 1,30

3 17,50 1,31 1,00 1,00 1,31

4 15,00 1,33 1,00 1,00 1,33 Fonte: Autor (2016).

Tabela 10 - Coeficientes de ponderação para os balanços

Modelo Liv (m) CIV CNF CIA = CIV∙CNF∙CIA

1 2,50 1,40 1,00 1,00 1,40

2 5,00 1,39 1,00 1,00 1,39

3 7,50 1,37 1,00 1,00 1,37

4 10,00 1,35 1,00 1,00 1,35 Fonte: Autor (2016).

Nas figuras a seguir, apresentam-se as envoltórias de momento fletor obtidas com os

respectivos coeficientes de impacto. Os valores de momento apresentados correspondem a uma

ponderação de γ = 1,00 tanto sobre os momentos oriundos das cargas permanentes quanto sobre os

momentos oriundos das cargas móveis.

38

5.1.1 Modelo 1

Figura 42 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 1, segundo NBR - = 1,40


5.1.2 Modelo 2



5.1.3 Modelo 3



39

5.1.4 Modelo 4



5.2 Envoltórias pela norma europeia

A seguir, as envoltórias de momento fletor obtidas a partir da norma europeia.

5.2.1 Modelo 1

Figura 46 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 1 - Trem-tipo de flexão europeu


40

Figura 47 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 1 - TS


Figura 48 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 1 - UDL


Figura 49 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 1 - Trem-tipo de fadiga europeu


41

5.2.2 Modelo 2







42



5.2.3 Modelo 3





43





5.2.4 Modelo 4



44







45

5.3 Dimensionamento das longarinas


5.3.1.1 Momentos de projeto

Segundo a seção 3.1.1, os momentos de projeto para o dimensionamento são obtidos a

partir dos coeficientes de ponderação apresentados, de modo que os momentos negativos e

positivos sejam os maiores possíveis em módulo, considerando a combinação em (05). Serão

dimensionadas as regiões sobre os apoios e a seção média dos vãos principais. Os momentos de

projeto obtidos segundo procedimentos normativos brasileiros são expostos na Tabela 11.

Tabela 11 - Momentos de projeto para dimensionamento brasileiro

Modelo Posição Mg (kNm) Mq (kNm) g q Md (kNm)

Modelo 1

Apoio extremo -1040,01 -947,69 1,35 1,50 Md,mín -2825,55

-1040,01 0,00 1,00 1,50 Md,máx -1040,01

Seção média do vão 2913,07 -1518,99 1,00 1,50 Md,mín 634,59

2913,07 4664,05 1,35 1,50 Md,máx 10928,72

Apoio central -6426,85 -4489,39 1,35 1,50 Md,mín -15410,33

-6426,85 287,76 1,00 1,50 Md,máx -5995,21

Modelo 2


-2722,08 0,00 1,00 1,50 Md,máx -2722,08

Seção média do vão 1871,14 -1677,75 1,00 1,50 Md,mín -645,49

1871,14 3933,83 1,35 1,50 Md,máx 8426,78


-4117,14 913,91 1,00 1,50 Md,máx -2746,28

Modelo 3


-5046,21 0,00 1,00 1,50 Md,máx -5046,21

Seção média do vão 750,09 -2354,21 1,00 1,50 Md,mín -2781,23

750,09 3280,99 1,35 1,50 Md,máx 5934,11


-1632,21 1690,08 1,00 1,50 Md,máx 902,91

Modelo 4


-8012,40 0,00 1,00 1,50 Md,máx -8012,40

Seção média do vão -450,05 -3132,81 1,35 1,50 Md,mín -5306,78

-450,05 2734,98 1,00 1,50 Md,máx 3652,42

Apoio central 1027,95 -2205,65 1,00 1,50 Md,mín -2280,53

1027,95 2591,75 1,35 1,50 Md,máx 5275,36


46

Vale salientar que as intensidades de momentos variáveis são obtidas através da subtração

entre os valores (máximos e mínimos) das envoltórias e os momentos permanentes atuantes na

mesma seção considerada, expostos na seção 4.3.

5.3.1.2 Geometria das seções T

De acordo com a NBR 6118:2014, seção 14.6.2.2 Largura colaborante de vigas de seção

T, a consideração da seção T pode ser feita para estabelecer as distribuições de esforços internos,

tensões, deformações e deslocamentos na estrutura, de forma mais realista. Para a determinação da

geometria da seção, estabelecem-se os critérios definidos na figura a seguir, onde a é a distância

entre pontos de momento fletor nulo.

Figura 62 - Largura de mesa colaborante, segundo NBR


A distância a pode ser verificada mediante exame dos diagramas de momentos fletores ou

estimada, em função do comprimento ℓ do tramo considerado, segundo os critérios abaixo:

- viga simplesmente apoiada: a = 1,00 ℓ;

- tramo com momento em uma só extremidade: a = 0,75 ℓ;

- tramo com momentos nas duas extremidades: a = 0,60 ℓ;

- tramo em balanço: a = 2,00 ℓ.

No caso de vigas contínuas, como as longarinas dos modelos propostos, a norma permite

calcular uma única largura colaborante para todas as seções, inclusive nos apoios sob momentos

negativos, desde que essa largura seja calculada a partir do trecho de momentos positivos onde a

largura resulte mínima. Para isso, determinam-se as distâncias “a” para as envoltórias de

momentos máximos Mmáx, mínimos Mmín e para o diagrama de momentos permanentes Mg.

47

As seções T definidas a seguir, para os quatro modelos propostos, consideram a menor

largura bw das longarinas, isto é, a largura da longarina na seção média dos vãos principais. Na

Figura 63, expõem-se os parâmetros geométricos da seção transversal da ponte na seção média,

que serão necessários nas determinações das seções.

Figura 63 - Geometria da seção transversal da ponte na seção média do vão


Com base nos valores apresentados na figura acima e nas distâncias a (Tabela 12),

definem-se os aspectos geométricos das seções T para cada um dos modelos propostos na Tabela

12. Para o modelo 4, as distâncias a foram definidas a partir dos critérios normativos para tramos

em balanço e com momentos nas duas extremidades.

Tabela 12 - Distâncias a (cm)

Modelo Seção Envoltória dos Mmáx Envoltória dos Mmín Mg a (cm)

Modelo 1 Única 17,90 11,43 15,56 1143,3

Modelo 2 Única 15,39 3,17 11,94 317,0

Modelo 3 Única - - 8,26 825,9

Modelo 4 Balanço - - - 2000,0

Vão - - - 900,0 Fonte: Autor (2016).

Tabela 13 - Parâmetros geométricos das seções T (cm), segundo a NBR

Modelo Seção a c1 c3 b2 b1 b4 b3 bw bf

Modelo 1 Única 1143,3 15,0 22,0 595,0 114,3 233,0 114,3 50,0 279

Modelo 2 Única 317,0 15,0 22,0 595,0 31,7 233,0 31,7 50,0 113

Modelo 3 Única 825,9 15,0 22,0 595,0 82,6 233,0 82,6 50,0 215

Modelo 4 Balanço 2000,0 15,0 22,0 595,0 200,0 233,0 200,0 50,0 450

Vão 900,0 15,0 22,0 595,0 90,0 233,0 90,0 50,0 230 Fonte: Autor (2016).

Nas figuras adiante, as seções T obtidas segundo critérios normativos brasileiros para os

quatro modelos propostos.

48

Figura 64 - Seção T do modelo 1, NBR (cm)






49

Figura 67 - Seção T do balanço do modelo 4, NBR (cm)


Figura 68 - Seção T do meio do vão do modelo 4, NBR (cm)


5.3.1.3 Cálculo da Armadura longitudinal de flexão

O cálculo da área de armadura longitudinal de flexão se dará por meio da Tabela 01 -

Valores de kc e ks - Flexão normal simples - Estado Limite último (FERNANDES, 2006). Para o

seu uso, são definidos os parâmetros kc (30) e ks (31). O parâmetro b corresponde à largura da

mesa bf, para os momentos positivos, e à largura da alma bw, para os momentos negativos.

kc =b ∙ d2

Md (30)

ks =Asd

Md (31)

No dimensionamento, serão adotadas alturas úteis de d = 180,0 cm.

Por se tratarem de seções T, os cálculos iniciais para cada modelo considerarão a linha

neutra passando pela mesa comprimida (“falso T”). As áreas obtidas devem ser superiores às

mínimas estabelecidas por norma.

50

Tabela 14 - Armadura mínima, segundo NBR 6118:2014

bw (cm) mín (%) As,min (cm2) n°

50 0,208 20,80 720

60 0,208 24,96 820


Tabela 15a - Dimensionamento brasileiro da armadura positiva de flexão

Modelo Posição Seção M

+d

(kNm)

b

(cm)

d

(cm)

kc

(cm2/kN)

ks

(cm2/kN)

x

(cm)

As

(cm2)

n°

1

Apoio extremo 279 x 200 - - - - - - - -

Seção média 279 x 200 10928,72 279,00 180,00 8,27 0,023 9,00 139,64 2925

Apoio central 279 x 200 - - - - - - -

2

Apoio extremo 113 x 200 - - - - - - - -

Seção média 113 x 200 8426,78 113,00 180,00 4,34 0,024 18,00 112,36 2325

Apoio central 113 x 200 - - - - - - - -

3

Apoio extremo 215 x 200 - - - - - - - -

Seção média 215 x 200 5934,11 215,00 180,00 11,74 0,023 7,20 75,82 1625

Apoio central 215 x 200 902,91 215,00 180,00 77,15 0,023 1,80 11,54 820

4

Apoio extremo 450 x 200 - - - - - - - -

Seção média 230 x 200 3652,42 230,00 180,00 20,40 0,023 3,60 46,67 1520

Apoio central 230 x 200 5275,36 230,00 180,00 14,13 0,023 5,40 67,41 1425


Tabela 15b - Dimensionamento brasileiro da armadura negativa de flexão


-d

(kNm)

b

(cm)

d

(cm)

kc

(cm2/kN)

ks

(cm2/kN)

x/d As

(cm2)

n°

1

Apoio extremo 60 x 200 -2825,55 60,00 180,00 6,88 0,024 0,06 37,67 825

Seção média 50 x 200 - - - - - - - -

Apoio central 60 x 200 -15410,33 60,00 180,00 1,26 0,027 0,39 231,15 2932

2

Apoio extremo 60 x 200 -8014,77 60,00 180,00 2,43 0,025 0,18 111,32 2325

Seção média 50 x 200 -645,49 50,00 180,00 25,10 0,023 0,02 8,25 720

Apoio central 60 x 200 -11036,57 60,00 180,00 1,76 0,026 0,26 159,42 2032

3

Apoio extremo 60 x 200 -14516,94 60,00 180,00 1,34 0,027 0,36 217,75 2832

Seção média 50 x 200 -2781,23 50,00 180,00 5,82 0,024 0,07 37,08 1220

Apoio central 60 x 200 -6526,20 60,00 180,00 2,98 0,024 0,14 87,02 1825

4

Apoio extremo 60 x 200 -22209,44 60,00 180,00 0,875 0,031 0,63 382,50 3140

Seção média 50 x 200 -5306,78 50,00 180,00 3,05 0,024 0,14 70,76 932

Apoio central 60 x 200 -2280,53 60,00 180,00 8,52 0,023 0,05 29,14 625


51

Destaca-se que a seção extrema do modelo 4 resulta fora do domínio 3 de

dimensionamento e apresenta razão x/d superior a 0,45 (razão máxima para adequado

comportamento dúctil em vigas de fck ≤ 50 MPa, segundo seção 14.6.4.3 Limites para

redistribuição de momentos e condições de ductilidade da NBR 6118:2014).


5.3.2.1 Momentos de projeto

Segundo a seção 3.2.1, obtêm-se os momentos de projeto para o dimensionamento a partir

dos coeficientes de ponderação apresentados de modo que os momentos negativos e positivos

sejam os maiores possíveis em módulo, considerando a combinação em (14). Os momentos de

projeto obtidos segundo procedimentos normativos europeus são expostos na Tabela 16.

Tabela 16 - Momentos de projeto para dimensionamento europeu

Modelo Posição MG (kNm) MQ,TS (kNm) MQ,UDL (kNm) G Q Md (kNm)

1

Apoio extremo -1040,01 -2681,82 -250,47 1,05 1,35 Md,mín -4847,72

-1040,01 0,00 0,00 0,95 1,35 Md,máx -988,01

Seção média do vão 2913,07 -1231,17 -1425,90 0,95 1,35 Md,mín -404,11

2913,07 4830,77 3771,32 1,05 1,35 Md,máx 11616,78

Apoio central -6426,85 -2462,35 -5334,42 1,05 1,35 Md,mín -16442,79

-6426,85 705,34 131,75 0,95 1,35 Md,máx -5082,15

2


-2722,08 0,00 0,00 0,95 1,35 Md,máx -2585,98


1871,14 4294,02 3085,63 1,05 1,35 Md,máx 9427,86


-4117,14 1410,67 527,00 0,95 1,35 Md,máx -1722,30

3


-5046,21 0,00 0,00 0,95 1,35 Md,máx -4793,90


750,09 3757,27 2558,05 1,05 1,35 Md,máx 7241,26


-1632,21 2116,01 1185,75 0,95 1,35 Md,máx 1946,32

4


-8012,40 0,00 0,00 0,95 1,35 Md,máx -7611,78

Seção média do vão -450,05 -3952,98 -2069,27 1,05 1,35 Md,mín -6926,48

-450,05 3220,52 2188,70 0,95 1,35 Md,máx 5102,05

52

Apoio central 1027,95 -1641,63 -2370,06 0,95 1,35 Md,mín -3885,18

1027,95 2821,34 2107,99 1,05 1,35 Md,máx 6026,47


5.3.2.2 Geometria das seções T

De acordo com a EN 1992-1-1:2004, seção 5.3.2.1 Effective width of flanges, a largura

efetiva do flange é determinada em função da distância l0 entre pontos de momento nulo, que pode

ser obtida segundo especificações da Figura 69. Destaca-se que a dimensão do balanço l3 deve ser

menor que a metade do vão adjacente e que a razão entre vãos adjacentes deve estar entre 2/3 e

1,5.

Figura 69 - Definição de lo para cálculo da largura efetiva do flange

Fonte: EN 1992-1-1:2004.

A largura efetiva do flange beff para uma viga T ou L é determinada por (32). A

constituição da seção é feita a partir do que é ilustrado na Figura 70.

𝑏eff = ∑ 𝑏eff,i + 𝑏w ≤ 𝑏 (32)

onde

𝑏eff = 0,2𝑏i + 0,1𝑙0 ≤ 0,2𝑙0

𝑏eff ≤ 𝑏i

Para análise estrutural em que uma grande precisão não é necessária, a norma permite que

uma largura constante possa ser assumida. Este valor deve ser o aplicado para a seção do vão.

Baseado nas especificações expostas, definem-se as seções T para cada um dos modelos.

Figura 70 - Parâmetros para determinação da largura efetiva do flange

Fonte: EN 1992-1-1:2004.

53

Das análises dos diagramas, obtêm-se as distâncias entre momentos fletores nulos para os

modelos 1, 2 e 3, conforme a Tabela 17. Para o modelo 4, a identificação desta distância não foi

possível. Além disso, por não satisfazer as condições prescritas pela norma europeia para a

determinação do l0 a partir da dimensão do vão, entende-se que a seção utilizada para este modelo

será retangular.

Tabela 17 - Distâncias l0 (cm)

Modelo Seção Envoltória dos Mmáx Envoltória dos Mmín Mg l0 (cm)

Modelo 1 Única 18,9 5,9 15,6 590,0

Modelo 2 Única 16,8 - 12,1 1210,0

Modelo 3 Única - - 8,3 830,0 Fonte: Autor (2016).

Tabela 18 - Parâmetros geométricos das seções T (cm), segundo o Eurocode

Modelo Seção b1 b2 l0 bw beff,1 beff,2 beff

Modelo 1 Única 305,0 255,0 590,0 50,0 118,0 110,0 278

Modelo 2 Única 305,0 255,0 1210,0 50,0 182,0 172,0 404

Modelo 3 Única 305,0 255,0 830,0 50,0 144,0 134,0 328 Fonte: Autor (2016).

Nas figuras adiante, as seções T obtidas para os modelos 1, 2 e 3.

Figura 71 - Seção T do modelo 1, Eurocode (cm)


54





5.3.2.3 Cálculo da armadura longitudinal de flexão

Para este cálculo, é válido salientar alguns pontos em que a normatização europeia difere

da brasileira. Conforme aponta a seção 2.4.2.4 Partial factors for materials da EN 1992-1-1:2004,

os valores de 𝛾C e 𝛾S, para situações de projeto de ações permanentes e variáveis, são 1,5 e 1,15,

respectivamente. Portanto, o 𝛾C europeu difere do recomendado pela NBR 6118:2014 (𝛾c = 1,4).

Além disso, para o aço, admite-se módulo de elasticidade Es de 200 GPa. Para concreto C50, o

módulo de elasticidade secante europeu Ecm é 37 GPa.

No entanto, assim como a NBR 6118:2014, a EN 1992-1-1 admite a distribuição

retangular de tensões, segundo a Figura 74. De acordo com esta norma, a resistência de cálculo à

compressão do concreto fcd é dada por (33).

𝑓cd =∝cc∙ 𝑓ck

𝛾C (33)

55

onde

∝cc deve estar contido entre 0,8 e 1,0. Valor recomendado é 0,85 (EN 1992-2:2004).

Figura 74 - Distribuição retangular de tensões, segundo o Eurocode

Fonte: EN 1992-1-1:2004.

Para flexão simples, o Eurocode 2 define como admissível, para estados-limites últimos, o

domínio de distribuição de tensões da Figura 75, sendo

- limite de tensão à tração do aço;

- limite de tensão à compressão do concreto;

- limite de tensão à compressão simples do concreto.

Figura 75 - Domínio admissível de distribuição de tensões no ELU, segundo o Eurocode

Fonte: EN 1992-1-1:2004.

Para concretos C50, temos deformações últimas εcu3 = εcu2 = 3,5 ‰, e deformações à

compressão εc2 = 2,0 ‰ e εc3 = 1,75 ‰. As deformações com índice 2 referem-se ao diagrama

parábola-retângulo para concreto comprimido (Figura 76) e as com índice 3 correspondem ao

diagrama bilinear de tensão-deformação (Figura 77). A relação estabelecida para o diagrama

bilinear pode ser utilizada como uma alternativa à idealização parábola-retângulo, desde que seja

equivalente ou mais conservadora. Para o aço CA-50 (A500), a deformação no escoamento é εyd =

2,175 ‰.

56

Figura 76 - Diagrama parábola retângulo para concreto comprimido, segundo o Eurocode 2

Fonte: EN 1992-1-1:2004.

Figura 77 - Diagrama bilinear de tensões-deformações, segundo o Eurocode 2

Fonte: EN 1992-1-1:2004.

Conforme a EN 1992-2, seção 3.2.4 Ductility characteristics, as classes de aço para

concreto armado de pontes recomendadas são as classes B e C. Estas correspondem a aços

laminados a quente de alta aderência, isto é, com superfície rugosa ou nervurada. Os aços da

classe C diferenciam-se por apresentar uma ductilidade especial e são recomendados para zonas

sísmicas. Portanto, neste dimensionamento, consideram-se aços da classe B. Para a categoria

escolhida, o Eurocode 2 define o valor máximo de deformação εud = 45 ‰.

Expostas as considerações pertinentes, apresenta-se o procedimento para o

dimensionamento segundo a normatização europeia, que se dará a partir da Tabela Flexão Simples

de Secções Rectangulares (GOMES; VINAGRE, 1997). Para a sua utilização, são necessárias as

seguintes definições:

μ =MSd

b ∙ d2 ∙ 𝑓cd (34)

ω =As

b ∙ d

𝑓syd

𝑓cd (35)

57

onde

MSd é o momento de cálculo para a combinação pertinente ao dimensionamento;

𝑓cd é igual a 𝑓ck ÷ 𝛾C, isto é, 33,33 MPa;

𝑓syd é a tensão de escoamento do aço igual a 435 MPa;

ω é a taxa de armadura necessária.

As áreas obtidas, apresentadas nas tabelas 20a e 20b, devem ser superiores ao mínimo

estabelecido na seção 9.2.1.1 Minimum and maximum reinforcement areas da norma europeia de

projeto de estruturas de concreto, dada pela expressão (37). A máxima área recomendada é de 0,04

Ac. Os valores correspondentes estão na Tabela 19.

𝐴s,min = 0,26 ∙𝑓ctm

𝑓yk∙ 𝑏t ∙ 𝑑 (37)

onde

𝑓ctm = 4,1 MPa para concreto da classe C50;

𝑏t é a largura média da zona tracionada; para viga T com os banzos comprimidos, deverá

considerar apenas a largura da alma no cálculo do valor de 𝑏t.

Tabela 19 - Armadura mínima e máxima, segundo Eurocode

fctm (MPa) fyk (MPa) bt (cm) d (cm) As,min (cm2) n° As,máx (cm

2)

4,1 500,00 50 180 19,19 4φ25 400,00

4,1 500,00 60 180 23,03 3φ32 480,00 Fonte: Autor (2016).

Tabela 20a - Dimensionamento europeu da armadura positiva de flexão


+d

(kNm)

b

(cm)

d

(cm) µ x/d

x

(cm)

As

(cm2)

n°

(mm)

1

Apoio extremo 278 x 200 - - - - - - - - -

Seção média 278 x 200 11616,78 278,00 180,00 0,04 0,104 18,72 0,0415 159,13 20φ32

Apoio central 278 x 200 - - - - - - - - -

2

Apoio extremo 404 x 200 - - - - - - - - -

Seção média 404 x 200 9427,86 404,00 180,00 0,02 0,072 12,96 0,0205 114,23 37φ20

Apoio central 404 x 200 - - - - - - - - -

3

Apoio extremo 328 x 200 - - - - - - - - -

Seção média 328 x 200 7241,26 328,00 180,00 0,02 0,072 12,96 0,0205 92,74 19φ25

Apoio central 328 x 200 1946,32 328,00 180,00 0,01 0,050 9,00 0,0102 46,15 23φ16

4

Apoio extremo 60 x 200 - - - - - - - - -

Seção média 50 x 200 5102,05 50,00 180,00 0,09 0,168 30,24 0,0961 66,28 33φ16

Apoio central 60 x 200 6026,47 60,00 180,00 0,09 0,168 30,24 0,0961 79,53 40φ16


58

Tabela 20b - Dimensionamento europeu da armadura negativa de flexão

Modelo Posição Seção M-d (kNm) b (cm) d (cm) µ As (cm

2) n°(mm)

1

Apoio extremo 60 x 200 -4847,72 60,00 180,00 0,07 0,0739 61,16 20φ20

Seção média 50 x 200 -404,11 50,00 180,00 0,01 0,0102 7,03 4φ25

Apoio central 60 x 200 -16442,79 60,00 180,00 0,25 0,3070 254,07 32φ32

2

Apoio extremo 60 x 200 -10640,12 60,00 180,00 0,16 0,1790 148,14 31φ25

Seção média 50 x 200 -1659,00 50,00 180,00 0,03 0,0310 21,38 7φ20

Apoio central 60 x 200 -12228,54 60,00 180,00 0,19 0,2190 181,24 37φ25

3

Apoio extremo 60 x 200 -17377,18 60,00 180,00 0,27 0,3400 281,38 35φ32

Seção média 50 x 200 -4173,94 50,00 180,00 0,08 0,0849 58,55 12φ25

Apoio central 60 x 200 -8008,20 60,00 180,00 0,12 0,1310 108,41 35φ20

4

Apoio extremo 60 x 200 -25058,93 60,00 180,00 0,39 0,6300 521,38 38φ40

Seção média 50 x 200 -6926,48 50,00 180,00 0,13 0,1430 98,62 32φ20

Apoio central 60 x 200 -3885,18 60,00 180,00 0,06 0,0630 52,14 26φ16


É válido ressaltar que, para a seção do apoio extremo do modelo 4, a armadura de flexão

resultou superior à máxima normativa. Este é um indicativo da necessidade de se modificar a

seção transversal da longarina. Contudo, será dada continuidade as análises sem alterações na

seção transversal.

5.4 Estudo da fadiga


5.4.1.1 Momentos de cálculo

De acordo com a seção 3.1.2, obtêm-se os momentos de cálculo para a análise da fadiga a

partir dos coeficientes de ponderação apresentados e da combinação em (11). As ponderações

foram feitas de modo a se obter a maior amplitude possível de momentos nas seções antes

dimensionadas. Os momentos obtidos segundo procedimentos normativos brasileiros são expostos

na Tabela 21.

59

Tabela 21 - Momentos de cálculo para análise brasileira da fadiga

Modelo Posição Mg (kNm) Mq (kNm) ψ1 Md (kNm)

1

Apoio extremo

-1040,01 -947,69 0,50 Md,mín -1513,86

-1040,01 0,00 0,50 Md,máx -1040,01

Δ 473,85

Seção média do vão

2913,07 -1518,99 0,50 Md,mín 2153,58

2913,07 4664,05 0,50 Md,máx 5245,10

Δ 3091,52

Apoio central

-6426,85 -4489,39 0,50 Md,mín -8671,55

-6426,85 287,76 0,50 Md,máx -6282,97

Δ 2388,58

2

Apoio extremo

-2722,08 -2893,31 0,50 Md,mín -4168,74

-2722,08 0,00 0,50 Md,máx -2722,08

Δ 1446,66


1871,14 -1677,75 0,50 Md,mín 1032,27

1871,14 3933,83 0,50 Md,máx 3838,06

Δ 2805,79

Apoio central

-4117,14 -3652,29 0,50 Md,mín -5943,29

-4117,14 913,91 0,50 Md,máx -3660,19

Δ 2283,10

3

Apoio extremo

-5046,21 -5136,37 0,50 Md,mín -7614,40

-5046,21 0,00 0,50 Md,máx -5046,21

Δ 2568,19


750,09 -2354,21 0,50 Md,mín -427,02

750,09 3280,99 0,50 Md,máx 2390,59

Δ 2817,60

Apoio central

-1632,21 -2881,81 0,50 Md,mín -3073,12

-1632,21 1690,08 0,50 Md,máx -787,17

Δ 2285,95

4

Apoio extremo

-8012,40 -7595,13 0,50 Md,mín -11809,97

-8012,40 0,00 0,50 Md,máx -8012,40

Δ 3797,57


-450,05 -3132,81 0,50 Md,mín -2016,46

-450,05 2734,98 0,50 Md,máx 917,44

Δ 2933,90

Apoio central

1027,95 -2205,65 0,50 Md,mín -74,88

1027,95 2591,75 0,50 Md,máx 2323,83

Δ 2398,70 Fonte: Autor (2016).

60

Dos valores apresentados acima nota-se a necessidade de dividir o cálculo entre as seções

com momentos de mesmo sinal (Tabelas 22 e 23) e com momentos de sinais contrários (Tabelas

24, 25 e 26).

5.4.1.2 Fator de fadiga da armadura longitudinal

A determinação do fator de fadiga requer a definição da posição da linha neutra e da

inércia no estádio II. Da resistência dos materiais, define-se a posição da linha neutra xII e a

inércia 𝐼II neste estádio a partir das expressões (38) e (39), respectivamente.

Para

bw ∙ xII2 + 2[hf ∙ (bf − bw) + αe(As + A′

s)]xII − [hf2 ∙ (bf − bw) + 2αe ∙ (Asd + A′

sd′] = 0 (37)

sendo

𝑎1 = bw

𝑎2 = 2[hf ∙ (bf − bw) + αe(As + A′s)]

𝑎3 = −[hf2 ∙ (bf − bw) + 2αe ∙ (Asd + A′

sd′]

Temos que a posição da linha neutra no estádio II é dada por:

xII =−𝑎2 ± √𝑎2

2 − 4 ∙ 𝑎1 ⋅ 𝑎3

2 ⋅ 𝑎1 (38)

𝐼II =bf ∙ hf

3

12+ bf ∙ hf ∙ (xII −

hf

2)

2

+bw ∙ (xII − hf)

3

3+ αe ∙ [As ∙ (d − xII)

2 + A′s ∙ (d′ − xII)

2] (39)

onde

bw é a largura da alma da seção T;

bf é a largura da mesa colaborante da seção T. Para momentos negativos, bf = bw;

hf é a espessura da mesa colaborante. Para momentos negativos, hf = 0;

As é a área de aço da armadura longitudinal de flexão tracionada pelo momento;

A′s é a área de aço da armadura longitudinal de flexão comprimida pelo momento;

αe é a razão entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto;

d é a altura útil da armadura tracionada por ocasião do momento considerado;

d′ é a altura útil da armadura comprimida por ocasião do momento considerado.

Obtidos estes parâmetros, calculam-se as tensões máximas σmáx,s e mínimas σmín,s na

armadura longitudinal, por meio das expressões (40) e (41).

σmáx,s =αe ∙ Md,máx ∙ (d − xII)

𝐼II (40)

σmín,s =αe ∙ Md,mín ∙ (d − xII)

𝐼II (41)

61

Caso a seção seja solicitada por momentos máximos de combinação para fadiga de sinais

contrários, calculam-se as tensões superior e inferior separadamente para o momento positivo e

momento negativo.

Considerando o momento positivo, temos:

σssuperior

=αe ∙ Md ∙ (xII − d′)

𝐼II (42)

σsinferior =

αe ∙ Md ∙ (d − xII)

𝐼II (43)

Considerando o momento negativo, temos:

σssuperior

=αe ∙ Md ∙ (d − xII)

𝐼II (44)

σsinferior =

αe ∙ Md ∙ (xII − d′)

𝐼II (45)

Por fim, estabelece-se o fator de fadiga da armadura, segundo a NBR, por:

𝑓. 𝑓 =∆σs

∆𝑓sd,fad (46)

A partir das expressões acima, calculam-se os parâmetros do estádio II para cada modelo

proposto (Tabelas 22 e 24) e, por fim, definem-se os fatores de fadiga das armaduras

longitudinais. Nas tabelas a seguir, as tensões são expressas em MPa e os momentos em kNm.

As alturas úteis foram calculadas a partir das recomendações da NBR 6118:2014:

a) Cobrimento mínimo igual ao maior valor entre 30 mm (CAA II) e diâmetro da barra;

b) Espaçamento horizontal dado pelo maior valor entre: 20 mm, diâmetro da barra e 1,2 vez a

dimensão máxima característica do agregado graúdo (brita 19 mm);

c) Espaçamento vertical dado pelo maior valor entre: 20 mm, diâmetro da barra e 0,5 vez a

dimensão máxima característica do agregado graúdo;

d) Diâmetro dos estribos de 10 mm.

Tabela 22 - Parâmetros de cálculo - seções sob momentos com mesmo sinal (NBR)

Modelo Posição bw (cm) bf (cm) hf (cm) Md,mín Md,máx As (cm2) A's (cm

2) d (cm) d' (cm)

1

Apoio extremo 60,0 60,0 0,0 -1513,86 -1040,01 39,27 0,00 194,75 0,00

Seção média 50,0 279,0 25,0 2153,58 5245,10 142,35 0,00 189,06 0,00

Apoio central 60,0 60,0 0,0 -8671,55 -6282,97 233,23 0,00 185,59 0,00

2

Apoio extremo 60,0 60,0 0,0 -4168,74 -2722,08 112,90 0,00 191,92 0,00

Seção média 50,0 113,0 25,0 1032,27 3838,06 112,90 21,99 190,62 5,00

Apoio central 60,0 60,0 0,0 -5943,29 -3660,19 160,85 0,00 189,08 0,00

62

3 Apoio extremo 60,0 60,0 0,0 -7614,40 -5046,21 225,19 0,00 185,97 0,00

Apoio central 60,0 60,0 0,0 -3073,12 -787,17 88,36 25,13 192,81 5,00

4 Apoio extremo 60,0 60,0 0,0 -11809,97 -8012,40 389,56 0,00 176,23 0,00


Tabela 23 - Fator de fadiga pela NBR - seções sob momentos com mesmo sinal

Modelo Posição a1 (cm) a2 (cm) a3 (cm) xII (cm) III (m4) Δ𝜎s Δ𝑓sd,fad f.f

1

Apoio extremo 60,0 785,40 -152956,29 44,37 0,1063 67,05 175 0,383

Seção média 50,0 14297,07 -681392,72 41,61 0,3730 122,21 175 0,698

Apoio central 60,0 4664,64 -865724,41 87,38 0,3584 65,45 165 0,397

2

Apoio extremo 60,0 2258,02 -433367,98 68,23 0,2363 75,74 175 0,433

Seção média 50,0 5847,84 -471996,85 54,92 0,2702 140,94 175 0,805

Apoio central 60,0 3216,99 -608268,64 77,39 0,2934 86,93 165 0,527

3 Apoio extremo 60,0 4503,79 -837575,74 86,44 0,3523 72,57 165 0,440

Apoio central 60,0 2269,80 -343228,81 59,05 0,2066 148,00 175 0,846

4 Apoio extremo 60,0 7791,15 -1373001,65 99,69 0,4263 68,17 150 0,454


Tabela 24 - Parâmetros de cálculo - seções sob momentos de sinais contrários (NBR)

Considerando o momento positivo

Modelo Posição bw (cm) bf (cm) hf (cm) M+

d As (cm2) A's (cm

2) d (cm) d' (cm)

3 Seção média 50,0 215 25 2390,59 78,54 37,70 192,56 5,67

4 Seção média 50,0 230 25 917,44 47,12 72,38 193,40 7,22

Apoio central 60,0 230 25 2323,83 68,72 29,45 193,68 5,25

Considerando o momento negativo

Modelo Posição bw (cm) bf (cm) hf (cm) M-d As (cm

2) A's (cm

2) d (cm) d' (cm)

3 Seção média 50,0 50,0 0,0 -427,02 37,70 78,54 194,33 7,44

4 Seção média 50,0 50,0 0,0 -2016,46 72,38 47,12 192,78 6,60

Apoio central 60,0 60,0 0,0 -74,88 29,45 68,72 194,75 6,32


Tabela 25 - Tensões no aço pela NBR - seções sob momentos de sinais contrários


Modelo Posição a1 (cm) a2 (cm) a3 (cm) xII (cm) 𝐼II (m4) σs

superior σs

inferior

3 Seção média 50,0 10574,78 -409874,03 33,46 0,2282 -29,12 166,64

4 Seção média 50,0 11390,12 -305230,43 24,22 0,1479 -10,55 104,97

Apoio central 60,0 10463,50 -375543,40 30,54 0,2065 -28,46 183,56


63

Modelo Posição a1 (cm) a2 (cm) a3 (cm) xII (cm) 𝐼II (m4) σs

superior σs

inferior

3 Seção média 50,0 2324,78 -158206,68 37,62 0,1086 61,61 -11,87

4 Seção média 50,0 2390,12 -285294,31 55,33 0,1762 157,33 -55,78

Apoio central 60,0 1963,50 -123405,69 31,85 0,0891 13,69 -2,15


Tabela 26 - Fator de fadiga pela NBR - seções sob momentos de sinais contrários

Modelo Posição ∆σssuperior

∆σsinferior Δ𝑓sd,fad f.f

3 Seção média 90,73 178,51 175 1,020

4 Seção média 167,88 160,75 165 1,017

Apoio central 42,15 185,71 175 1,061


5.4.1.3 Verificações normativas

a) Verificação do concreto em compressão

De acordo com a seção 23.5.3 Modelo de cálculo, deve-se adotar γc igual a 1,4. Portanto,

para fck = 50 MPa, determina-se:

𝑓cd,fad = 0,45 𝑓cd = 16,07 MPa

As tensões máximas de compressão σc,máx para cada seção, em cada modelo, são definidas

pela expressão (47).

σc,máx =Md,máx,c

𝐼II∙ yc (47)

onde

Md,máx,c é o momento máximo de compressão para combinação frequente;

yc é a distância entre a linha neutra no estádio II até o bordo mais comprimido.

Com base no que já foi exposto, verificam-se as seções à compressão do concreto (12).

Pela Figura 7, calcula-se a tensão σc,1 por (48), expressão válida para xII ≥ 30 cm. Para xII < 30

cm, σc,2 = 0. Os resultados obtidos estão contidos na Tabela 27.

σc,1 = σc,2

(xII − 30 cm)

xII (48)

Tabela 27 - Verificação do concreto em compressão, segundo NBR

Modelo Posição Md,máx,c

(kNm)

yc

(cm) 𝐼II

(m4)

σc,máx

(MPa)

σc,2

(MPa)

σc,1

(MPa) ηc ηc ∙ γf ∙ σc,máx

𝑓cd,fad

(MPa)

1

Apoio extremo -1513,86 44,37 0,1063 -6,32 -6,32 -2,05 0,75 4,72 16,07

Seção média 5245,10 41,61 0,3730 5,85 5,85 1,63 0,74 4,30 16,07

Apoio central -8671,55 87,38 0,3584 -21,14 -21,14 -13,88 0,85 18,04 16,07

64

2

Apoio extremo -4168,74 68,23 0,2363 -12,04 -12,04 -6,75 0,82 9,87 16,07

Seção média 3838,06 54,92 0,2702 7,80 7,80 3,54 0,79 6,13 16,07

Apoio central -5943,29 77,39 0,2934 -15,68 -15,68 -9,60 0,84 13,13 16,07

3

Apoio extremo -7614,40 86,44 0,3523 -18,68 -18,68 -12,20 0,85 15,92 16,07

Seção média 2390,59 33,46 0,2282 3,51 3,51 0,36 0,69 2,42 16,07

Apoio central -3073,12 59,05 0,2066 -8,78 -8,78 -4,32 0,80 7,00 16,07

4

Apoio extremo -11809,97 99,69 0,4263 -27,62 -27,62 -19,31 0,87 24,00 16,07

Seção média -2016,46 55,33 0,1762 -6,33 -6,33 -2,90 0,79 4,98 16,07

Apoio central 2323,83 30,54 0,2065 3,44 3,44 0,06 0,67 2,30 16,07 Fonte: Autor (2016).

As seções de apoio central do modelo 1 e apoio extremo do modelo 4 não satisfizeram a

verificação de compressão do concreto.

b) Verificação da fadiga da armadura longitudinal

A análise da fadiga da armadura longitudinal remete ao cálculo do fator de fadiga

apresentado anteriormente. Os resultados obtidos são expressos na Tabela 28. Para as seções

médias dos modelos 3 e 4 e apoio central do modelo 4 verifica-se a necessidade de majorar as

áreas de aço obtidas no dimensionamento.

Tabela 28 - Verificação da fadiga da armadura longitudinal, segundo NBR

Modelo Posição Δ𝜎s Δ𝑓sd,fad f.f

1

Apoio extremo 67,05 175,00 0,383

Seção média 122,21 175,00 0,698

Apoio central 65,45 165,00 0,397

2

Apoio extremo 75,74 175,00 0,433

Seção média 140,94 175,00 0,805

Apoio central 86,93 165,00 0,527

3

Apoio extremo 72,57 165,00 0,440

Seção média 178,51 175,00 1,020

Apoio central 148,00 175,00 0,846

4

Apoio extremo 68,17 150,00 0,454

Seção média 167,88 165,00 1,017

Apoio central 185,71 175,00 1,061 Fonte: Autor (2016).


5.4.2.1 Momentos de cálculo

De acordo com a seção 3.2.2, obtêm-se os momentos de cálculo para a análise da fadiga a

partir dos coeficientes de ponderação apresentados e da combinação em (15). As ponderações

foram feitas de modo a se obter a maior amplitude possível de momentos nas seções antes

dimensionadas, o que intensifica os efeitos de fadiga. Na Tabela 29, os momentos obtidos.

65

Tabela 29 - Momentos de cálculo para análise europeia da fadiga

Modelo Posição MG(kNm) Mfat (kNm) Md (kNm)

1

Apoio extremo

-1040,01 -655,00 Md,mín -1695,01

-1040,01 0,00 Md,máx -1040,01

Δ 655,00


2913,07 -696,23 Md,mín 2216,84

2913,07 2043,88 Md,máx 4956,95

Δ 2740,11

Apoio central

-6426,85 -1392,45 Md,mín -7819,30

-6426,85 172,27 Md,máx -6254,58

Δ 1564,72

2

Apoio extremo

-2722,08 -1516,84 Md,mín -4238,92

-2722,08 0,00 Md,máx -2722,08

Δ 1516,84


1871,14 -597,00 Md,mín 1274,14

1871,14 1708,89 Md,máx 3580,03

Δ 2305,89

Apoio central

-4117,14 -1193,99 Md,mín -5311,13

-4117,14 398,94 Md,máx -3718,20

Δ 1592,93

3

Apoio extremo

-5046,21 -2430,39 Md,mín -7476,60

-5046,21 0,00 Md,máx -5046,21

Δ 2430,39


750,09 -876,54 Md,mín -126,45

750,09 1375,35 Md,máx 2125,44

Δ 2251,89

Apoio central

-1632,21 -989,89 Md,mín -2622,10

-1632,21 625,61 Md,máx -1006,60

Δ 1615,50

4

Apoio extremo

-8012,40 -3998,94 Md,mín -12011,34

-8012,40 0,00 Md,máx -8012,40

Δ 3998,94


-450,05 -1473,60 Md,mín -1923,65

-450,05 1043,28 Md,máx 593,23

Δ 2516,88

Apoio central

1027,95 -851,39 Md,mín 176,56

1027,95 1051,74 Md,máx 2079,69

Δ 1903,13


66

5.4.2.2 Fator de fadiga da armadura longitudinal

Segundo mesmo procedimento apresentado em 5.4.1.2, calculam-se os parâmetros

necessários para a determinação da posição da linha neutra e inércia no estádio II (Tabelas 31 e

33). Assim como em 5.4.1.2, distinguem-se as seções solicitadas por momentos máximos de

fadiga de mesmo sinal e de sinais contrários. Para esta análise αe = 5,41.

As alturas úteis foram calculadas a partir de recomendações da EN 1992-1-1:2004:

a) Cobrimento mínimo igual ao maior valor entre diâmetro da barra e 35 mm (classe de umidade

moderada XC3 e classe S6 de vida útil de projeto de 100 anos);

b) Espaçamento horizontal e vertical dado pelo maior valor entre: 20 mm, diâmetro da barra e a

dimensão máxima característica do agregado graúdo mais 5 mm (24 mm);

c) Diâmetro dos estribos de 10 mm.

Conforme apresentada na seção 3.2.2, calcula-se a fadiga no aço utilizando amplitudes de

tensão de dano equivalente. Para isso, determinam-se os fatores 𝜆s para cada seção de cada

modelo proposto, a partir dos comprimentos críticos “A” das linhas de influência. Os valores

obtidos, sem amplificação pelo 𝜑fat, são expostos a seguir. Adiante, as tensões resultantes.

Tabela 30 - Fatores 𝝀𝐬

Modelo Posição A (m) 𝜆s,1 𝜆s,2 𝜆s,3 𝜆s,4 𝜆s

1

Apoio extremo 12,50 0,90 2,53 1,00 1,09 2,47

Seção média 22,50 1,13 2,53 1,00 1,09 3,10

Apoio central 22,50 0,95 2,53 1,00 1,09 2,61

2

Apoio extremo 12,50 0,90 2,53 1,00 1,09 2,47

Seção média 20,00 1,12 2,53 1,00 1,09 3,07

Apoio central 20,00 0,94 2,53 1,00 1,09 2,58

3

Apoio extremo 12,50 0,90 2,53 1,00 1,09 2,47

Seção média 17,50 1,11 2,53 1,00 1,09 3,05

Apoio central 17,50 0,93 2,53 1,00 1,09 2,55

4

Apoio extremo 12,50 0,90 2,53 1,00 1,09 2,47

Seção média 15,00 1,09 2,53 1,00 1,09 2,99

Apoio central 15,00 0,92 2,53 1,00 1,09 2,52 Fonte: Autor (2016).

Na Tabela 31, as intensidades de momento apresentadas consideram as amplificações das

ações do Fatigue Load Model 3 de 1,75 (seções de apoio em pontes contínuas) ou 1,40 (demais

seções, como a seção média).

67

Tabela 31 - Parâmetros de cálculo - seções sob momentos com mesmo sinal (Euro)

Modelo Posição bw (cm) bf (cm) hf (cm) Md,mín Md,máx As (cm2) A's (cm

2) d (cm) d' (cm)

1

Apoio extremo 60,0 60,0 0,0 -2186,26 -1040,01 62,83 0,00 192,74 0,00

Seção média 50,0 278,0 25,0 1938,35 5774,50 160,85 19,63 188,78 5,75

Apoio central 60,0 60,0 0,0 -8863,64 -6125,38 257,36 0,00 184,30 0,00

2

Apoio extremo 60,0 60,0 0,0 -5376,55 -2722,08 152,17 0,00 189,57 0,00

Seção média 50,0 404,0 25,0 1035,34 4263,59 116,24 21,99 188,09 5,50

Apoio central 60,0 60,0 0,0 -6206,62 -3419,00 181,62 0,00 188,17 0,00

3 Apoio extremo 60,0 60,0 0,0 -9299,39 -5046,21 281,49 0,00 182,93 0,00

Apoio central 60,0 60,0 0,0 -3364,52 -537,39 109,96 46,24 190,23 7,04

4 Apoio extremo 60,0 60,0 0,0 -15010,55 -8012,40 477,52 0,00 171,53 0,00

Apoio central 60,0 60,0 0,0 -461,98 2868,50 80,42 52,28 190,50 7,30


Tabela 32 - Tensões no aço pelo Eurocode - seções sob momentos com mesmo sinal

Modelo Posição a1 (cm) a2 (cm) a3 (cm) xII (cm) III (m4) Δ𝜎s Δ𝜎s,equ Δ𝜎Rsd

1

Apoio extremo 60,0 679,26 -130921,20 41,39 0,0920 101,95 251,71 141,30

Seção média 50,0 13351,18 -471992,73 31,61 0,2445 133,28 413,15 141,30

Apoio central 60,0 2782,26 -512770,96 72,12 0,2501 66,39 173,03 141,30

2

Apoio extremo 60,0 1645,09 -311864,10 59,68 0,1813 102,81 253,82 141,30

Seção média 50,0 19194,38 -458917,43 22,58 0,1880 153,64 472,05 141,30

Apoio central 60,0 1963,50 -369468,81 63,80 0,2038 91,96 237,14 141,30

3 Apoio extremo 60,0 3043,10 -556669,84 74,24 0,2616 95,52 235,84 141,30

Apoio central 60,0 1688,65 -229642,48 49,37 0,1465 146,96 374,93 141,30

4 Apoio extremo 60,0 5162,40 -885487,61 85,86 0,3160 102,55 253,19 141,30

Apoio central 60,0 1434,60 -169757,13 42,56 0,1141 233,46 589,22 141,30 Fonte: Autor (2016).

Tabela 33 - Parâmetros de cálculo - seções sob momentos de sinais contrários (Euro)


Modelo Posição bw (cm) bf (cm) hf (cm) M+

d As (cm2) A's (cm

2) d (cm) d' (cm)

3 Seção média 50,0 328,0 25,0 2675,58 93,27 58,90 191,36 7,00

4 Seção média 50,0 50,0 25,0 1010,54 66,35 100,53 190,70 10,45


Modelo Posição bw (cm) bf (cm) hf (cm) M-d As (cm

2) A's (cm

2) d (cm) d' (cm)

3 Seção média 50,0 50,0 0,0 -477,07 58,90 93,27 193,00 8,64

4 Seção média 50,0 50,0 0,0 -2513,09 100,53 66,35 189,55 9,30 Fonte: Autor (2016).

68

Tabela 34 - Tensões no aço pelo Eurocode - seções sob momentos de sinais contrários


Modelo Posição a1 (cm) a2 (cm) a3 (cm) xII (cm) III (m4) σs

superior σs

inferior

3 Seção média 50,0 15545,09 -371147,62 22,28 0,1570 -14,08 155,78

4 Seção média 50,0 1804,12 -148146,78 39,30 0,0968 -16,27 85,39


Modelo Posição a1 (cm) a2 (cm) a3 (cm) xII (cm) III (m4) σs

superior σs

inferior

3 Seção média 50,0 1645,09 -131620,53 37,43 0,0900 44,59 -8,25

4 Seção média 50,0 1804,12 -212677,88 49,63 0,1326 143,35 -41,32 Fonte: Autor (2016).

Tabela 35 - Fator de fadiga pelo Eurocode - seções sob momentos de sinais contrários

Modelo Posição ∆σssuperior

∆σsinferior Δ𝜎s,equ Δ𝜎Rsd f.f

3 Seção média 58,66 164,03 499,48 141,30 3,535

4 Seção média 159,62 126,70 477,31 141,30 3,378


5.4.2.3 Verificações normativas

a) Verificação do concreto sob compressão ou cisalhamento

De acordo com o exposto na seção 3.2.2.3, determinam-se as tensões de compressão no

concreto e verifica-se se a condição apresentada em (22) é atendida. Para o cálculo, considera-se

classe de resistência do cimento com 𝑠 igual a 0,25, pois corresponde a cimentos com

endurecimento normal e 𝑛 igual a 106 ciclos. Os resultados obtidos estão nas tabelas a seguir.

Tabela 36 - Tensões de compressão no concreto

Modelo Posição ІMd,mínІ ІMd,máxІ yc

(cm) 𝐼II

(m4)

σcd,mín

(MPa)

σcd,máx

(MPa)

1

Apoio extremo 1040,01 1695,01 41,39 0,0920 4,68 7,63

Seção média 2216,84 4956,95 31,61 0,2445 2,87 6,41

Apoio central 6254,58 7819,30 72,12 0,2501 18,04 22,55

2

Apoio extremo 2722,08 4238,92 59,68 0,1813 8,96 13,95

Seção média 1274,14 3580,03 22,58 0,1880 1,53 4,30

Apoio central 3718,20 5311,13 63,80 0,2038 11,64 16,63

3

Apoio extremo 5046,21 7476,60 74,24 0,2616 14,32 21,22

Seção média 126,45 2125,44 22,28 0,1570 0,00 3,02

Apoio central 1006,60 2622,10 49,37 0,1465 3,39 8,84

4

Apoio extremo 8012,40 12011,34 85,86 0,3160 21,77 32,63

Seção média 593,23 1923,65 49,63 0,1326 0,00 7,20

Apoio central 176,56 2079,69 42,56 0,1141 0,66 7,76 Fonte: Autor (2016).

69

Tabela 37 - Verificação do concreto em compressão, segundo Eurocode

Modelo Posição 𝐸cd,min 𝐸cd,max 𝑅𝑖 𝑁𝑖 𝑛𝑖 Dano Comparação

1

Apoio

extremo 0,17 0,28 0,61 1,56E+16 1,00E+06 6,42E-11 Ok

Seção média 0,11 0,24 0,45 2,43E+14 1,00E+06 4,12E-09 Ok

Apoio

central 0,66 0,83 0,80 1,98E+05 1,00E+06 5,05E+00 Não Ok

2

Apoio

extremo 0,33 0,51 0,64 2,36E+11 1,00E+06 4,24E-06 Ok


Apoio

central 0,43 0,61 0,70 8,04E+09 1,00E+06 1,24E-04 Ok

3

Apoio

extremo 0,53 0,78 0,67 2,28E+05 1,00E+06 4,38E+00 Não Ok


Apoio

central 0,13 0,33 0,38 1,07E+12 1,00E+06 9,37E-07 Ok

4

Apoio

extremo 0,80 1,20 0,67 1,24E-05 1,00E+06 8,04E+10 Não Ok


Apoio

central 0,02 0,29 0,08 2,83E+10 1,00E+06 3,54E-05 Ok


Da tabela acima, conclui-se que apenas o modelo 2 satisfaz completamente a verificação

de fadiga para o concreto em compressão.

b) Verificação da fadiga da armadura longitudinal

Conforme calculado na seção 5.4.2.2, apresentam-se os fatores de fadiga obtidos na Tabela

38. Como se pode observar, segundo a normatização europeia, todas as áreas calculadas devem ser

majoradas.

Tabela 38 - Fator de fadiga pelo Eurocode

Modelo Posição Δ𝜎s,equ Δ𝜎Rsd f.f

1

Apoio extremo 251,71 141,30 1,781

Seção média 413,15 141,30 2,924

Apoio central 173,03 141,30 1,224

2

Apoio extremo 253,82 141,30 1,796

Seção média 472,05 141,30 3,341

Apoio central 237,14 141,30 1,678

3

Apoio extremo 235,84 141,30 1,669

Seção média 499,48 141,30 3,535

Apoio central 374,93 141,30 2,653

70

4

Apoio extremo 253,19 141,30 1,792

Seção média 477,31 141,30 3,378

Apoio central 589,22 141,30 4,170 Fonte: Autor (2016).

71

6 ANÁLISE DOS RESULTADOS

Neste capítulo são apresentadas as análises dos resultados de taxas de armadura, fatores de

fadiga e momentos obtidos nessa pesquisa.

6.1 Comparações entre modelos

Adiante, apresentam-se tabelas e gráficos comparativos das taxas de armadura e fatores de

fadiga entre os modelos propostos. As taxas de armadura foram calculadas considerando seções

retangulares de 60 cm de base e 200 cm de altura, nas seções de apoio, e 50 cm de base e 200 cm

de altura, nas seções médias dos modelos.

Tabela 39 - Comparação entre modelos, NBR

NBR

Modelo Balanço/vão Posição Δ𝜎s(MPa) Δ𝑓sd,fad (MPa) f.f f.fmédio média

1 1/9

Apoio extremo 67,05 175,00 0,383 0,33%

0,493 1,231% Seção média 122,21 175,00 0,698 1,42%

Apoio central 65,45 165,00 0,397 1,94%

2 1/4

Apoio extremo 75,74 175,00 0,433 0,94%

0,588 1,210% Seção média 140,94 175,00 0,805 1,35%

Apoio central 86,93 165,00 0,527 1,34%

3 3/7

Apoio extremo 72,57 165,00 0,440 1,88%

0,769 1,328% Seção média 178,51 175,00 1,020 1,16%

Apoio central 148,00 175,00 0,846 0,95%

4 2/3

Apoio extremo 68,17 150,00 0,454 3,25%

0,844 1,753% Seção média 167,88 165,00 1,017 1,20%

Apoio central 185,71 175,00 1,061 0,82% Fonte: Autor (2016).

Tabela 40 - Comparação entre modelos, Eurocode

Eurocode

Modelo Balanço/vão Posição Δ𝜎equ(MPa) Δ𝜎Rsd(MPa) f.f f.fmédio média

1 1/9

Apoio extremo 251,71 141,30 1,781 0,52%

1,977 1,491% Seção média 413,15 141,30 2,924 1,80%

Apoio central 173,03 141,30 1,224 2,14%

2 1/4

Apoio extremo 253,82 141,30 1,796 1,27%

2,272 1,388% Seção média 472,05 141,30 3,341 1,38%

Apoio central 237,14 141,30 1,678 1,51%

3 3/7

Apoio extremo 235,84 141,30 1,669 2,35%

2,619 1,723% Seção média 499,48 141,30 3,535 1,52%

Apoio central 374,93 141,30 2,653 1,30%

4 2/3

Apoio extremo 253,19 141,30 1,792 3,98%

3,113 2,251% Seção média 477,31 141,30 3,378 1,67%

Apoio central 589,22 141,30 4,170 1,11% Fonte: Autor (2016).

72

Gráfico 1 - Comparativo das taxas de armadura média


Gráfico 2 - Comparativo dos fatores de fadiga médios


Das tabelas comparativas 39 e 40 e do Gráfico 1, constata-se que o fator de fadiga médio

das armaduras longitudinais é crescente com o aumento da proporção entre balanço e vão. Para

uma variação proporcional entre balanço e vão de 1/9 (modelo 1) para 2/3 (modelo 4), este

aumento do fator médio foi de 71,37% pela NBR e de 57,51% pelo Eurocode.

Este fato é um indicativo de que o aumento da dimensão do balanço para minimizar as

intensidades de momento positivo no vão deve ser feito com cautela, para que não se

0,000%

0,500%

1,000%

1,500%

2,000%

2,500%

1

2

Taxa de armadura média

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

Modelo 4

NBR

Eurocode

0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

1

2

Fator de fadiga médio

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

Modelo 4

NBR

Eurocode

73

intensifiquem sobremaneira os efeitos de fadiga nas armaduras de flexão, especialmente nas

seções de apoio.

O modelo com a menor taxa de armadura média, pelo tratamento brasileiro, foi o modelo 2

(relação balanço/vão de 1/4), uma vez que para f.f < 1,0 não há redução de armadura. Em relação a

este, o modelo 4 apresentou acréscimo de 44,88% de taxa de armadura média.

Para ambas as normatizações, o modelo 4 se mostra inviável tanto no ponto de vista do

dimensionamento, com elevadas taxas de armadura (acima da área máxima para o Eurocode) e

fora do domínio 3 da NBR, quanto na avaliação da fadiga no concreto e no aço.

O modelo 1 apresenta os menores fatores de fadiga seccionais e médio, além da segunda

menor taxa de armadura média, pela NBR, e a menor corrigida pelo Eurocode. No entanto, na

seção do apoio central, não se verifica a satisfação da fadiga do concreto em compressão pelas

normatizações brasileira e europeia.

O modelo 2 é o único que satisfaz, simultaneamente, as verificações à fadiga e que

apresenta uma taxa de armadura média reduzida. O modelo 3 satisfaz as verificações de concreto à

compressão somente pela normatização brasileira. Em termos de otimização dos vãos, portanto, a

proporção entre balanço/vão de 1/4 foi a mais eficiente.

6.2 Comparações entre tratamentos normativos

A seguir, apresentam-se tabelas e gráficos comparativos entre os tratamentos normativos,

relativos aos fatores de fadiga, taxas de armadura e intensidades de momento.

Tabela 41 - Comparação entre fatores de fadiga das normas

Modelo Balanço/vão Posição f.f

Δf.f ÷ f.fNBR % NBR Euro

1 1/9

Apoio extremo 0,383 1,781 364,93%

Seção média 0,698 2,924 318,67%

Apoio central 0,397 1,224 208,68%

2 1/4

Apoio extremo 0,433 1,796 315,05%

Seção média 0,805 3,341 314,81%

Apoio central 0,527 1,678 218,54%

3 3/7

Apoio extremo 0,440 1,669 279,50%

Seção média 1,020 3,535 246,54%

Apoio central 0,846 2,653 213,75%

4 2/3

Apoio extremo 0,454 1,792 294,25%

Seção média 1,017 3,378 232,00%

Apoio central 1,061 4,170 292,94% Fonte: Autor (2016).

74

Tabela 42 - Comparação entre taxas de armadura das normas

Modelo Balanço/vão Posição

Δ ÷ NBR % NBR Euro

1 1/9

Apoio extremo 0,33% 0,52% 60,00%

Seção média 1,42% 1,80% 26,79%

Apoio central 1,94% 2,14% 10,34%

2 1/4

Apoio extremo 0,94% 1,27% 34,78%

Seção média 1,35% 1,38% 2,47%

Apoio central 1,34% 1,51% 12,92%

3 3/7

Apoio extremo 1,88% 2,35% 25,00%

Seção média 1,16% 1,52% 30,91%

Apoio central 0,95% 1,30% 37,63%

4 2/3

Apoio extremo 3,25% 3,98% 22,58%

Seção média 1,20% 1,67% 39,64%

Apoio central 0,82% 1,11% 35,17% Fonte: Autor (2016).

Tabela 43 - Comparação entre intensidades de momento de dimensionamento (kNm)

Modelo Balanço/vão Posição NBR Eurocode ΔMd / Md,NBR %

Md,mín Md,máx Md,mín Md,máx Md,mín Md,máx

1 1/9

Apoio extremo -2825,55 -1040,01 -4847,72 -988,01 71,57% -5,00%

Seção média 634,59 10928,72 -404,11 11616,78 -163,68% 6,30%

Apoio central -15410,33 -5995,21 -16442,79 -5082,15 6,70% -15,23%

2 1/4

Apoio extremo -8014,77 -2722,08 -10640,12 -2585,98 32,76% -5,00%

Seção média -645,49 8426,78 -1659,00 9427,86 157,02% 11,88%

Apoio central -11036,57 -2746,28 -12228,54 -1722,30 10,80% -37,29%

3 3/7

Apoio extremo -14516,94 -5046,21 -17377,18 -4793,90 19,70% -5,00%

Seção média -2781,23 5934,11 -4173,94 7241,26 50,08% 22,03%

Apoio central -6526,20 902,91 -8008,20 1946,32 22,71% 115,56%

4 2/3

Apoio extremo -22209,44 -8012,40 -25058,93 -7611,78 12,83% -5,00%

Seção média -5306,78 3652,42 -6926,48 5102,05 30,52% 39,69%

Apoio central -2280,53 5275,36 -3885,18 6026,47 70,36% 14,24% Fonte: Autor (2016).

Tabela 44 - Comparação entre intensidades de momento de fadiga (kNm)

Modelo Balanço/vão Posição NBR Eurocode ΔMd / Md,NBR %

Md,mín Md,máx Md,mín Md,máx Md,mín Md,máx

1 1/9

Apoio extremo -1513,86 -1040,01 -2186,26 -1040,01 44,42% 0,00%

Seção média 2153,58 5245,10 1938,35 5774,50 -9,99% 10,09%

Apoio central -8671,55 -6282,97 -8863,64 -6125,38 2,22% -2,51%

2 1/4

Apoio extremo -4168,74 -2722,08 -5376,55 -2722,08 28,97% 0,00%

Seção média 1032,27 3838,06 1035,34 4263,59 0,30% 11,09%

Apoio central -5943,29 -3660,19 -6206,62 -3419,00 4,43% -6,59%

75

3 3/7

Apoio extremo -7614,40 -5046,21 -9299,39 -5046,21 22,13% 0,00%

Seção média -427,02 2390,59 -477,07 2675,58 11,72% 11,92%

Apoio central -3073,12 -787,17 -3364,52 -537,39 9,48% -31,73%

4 2/3

Apoio extremo -11809,97 -8012,40 -15010,55 -8012,40 27,10% 0,00%

Seção média -2016,46 917,44 -2513,09 1010,54 24,63% 10,15%

Apoio central -74,88 2323,83 -461,98 2868,50 517,01% 23,44% Fonte: Autor (2016).

Gráfico 3 - Comparativo entre os momentos mínimos de dimensionamento


Gráfico 4 - Comparativo entre os momentos máximos de dimensionamento


-25000,00

-20000,00

-15000,00

-10000,00

-5000,00

0,00

Mmín de dimensionamento

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

Modelo 4

Apoio extremo Seção média

Apoio central

NBR Euro NBR Euro NBR Euro

-10000,00

-5000,00

0,00

5000,00

10000,00

15000,00

Mmáx de dimensionamento

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

Modelo 4


NBR Euro

NBR Euro

NBR Euro

Apoio central

76

Gráfico 5 - Comparativo entre os momentos mínimos de fadiga


Gráfico 6 - Comparativo entre os momentos máximos de fadiga


O Eurocode se mostrou mais conservador que a NBR no que diz respeito à fadiga das

armaduras e ao dimensionamento, conforme apontam as variações expressas nas Tabelas 41 e 42.

Conforme apontam a Tabela 43 e Gráficos 3 e 4, os momentos de dimensionamento

obtidos a partir do Eurocode são, em sua maioria, superiores aos da NBR (especialmente os

momentos máximos negativos). Este comportamento é consequência da configuração do trem-tipo

-17500,00

-15000,00

-12500,00

-10000,00

-7500,00

-5000,00

-2500,00

0,00

2500,00

Mmín de fadiga

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

Modelo 4


Apoio central

NBR Euro

NBR Euro

NBR Euro

-10000,00

-7500,00

-5000,00

-2500,00

0,00

2500,00

5000,00

Mmáx de fadiga

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

Modelo 4

Apoio extremo Seção média Apoio central

NBR Euro

NBR Euro

NBR Euro

77

longitudinal. Logo, pode-se concluir que o europeu é também mais conservador que o brasileiro, o

que é reflexo do perfil dos veículos que trafegam nas rodovias europeias (provavelmente mais

pesados que os veículos que trafegam nas rodovias nacionais).

Em termos de fadiga, o Eurocode apresenta fatores muito superiores aos obtidos pela NBR.

Essas discrepâncias se devem, principalmente, aos coeficientes utilizados na norma europeia, que

aumentam as ações e tensões solicitantes e penalizam as tensões resistentes da armadura. Da

Tabela 44 e Gráficos 5 e 6, observa-se que as intensidades de momento de fadiga são, no geral,

relativamente próximas, indicando que os coeficientes utilizados pelo Eurocode têm impacto mais

significativo que os momentos sobre as discrepâncias entre os fatores de fadiga.

Em relação ao concreto em compressão, os tratamentos normativos geraram resultados

semelhantes, ambos condenando seções dos modelos 1 e 4. O apoio extremo do modelo 3 não

satisfez apenas ao Eurocode.

Apenas a NBR traz a verificação do concreto em tração. No entanto, a norma brasileira não

é clara quanto à forma e situação de se calcular a tensão máxima de tração atuante e os valores de

referência de resistência fctd,fad são muito pequenos. Além disso, esta verificação não é feita pelo

Eurocode e, por isso, foi dispensada neste trabalho.

78

7 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

7.1 Conclusões

Como visto, a análise da fadiga em estruturas de pontes é fundamental, uma vez que estas

são submetidas a carregamentos móveis. A ocorrência da fadiga leva à excessiva fissuração no

concreto e à ruptura a uma tensão inferior à de escoamento no aço. Para prevenir tais efeitos,

verificações normativas precisam ser satisfeitas.

Os resultados apresentados nos capítulos anteriores indicam que a fadiga das armaduras é

crescente com o aumento da proporção entre balanço e vão. Logo, o aumento do balanço com a

finalidade de minimizar as intensidades de momento positivo nos vãos deve ser feito com cautela,

para que não se intensifiquem os efeitos de fadiga nas armaduras longitudinais. Além disso,

balanços muito grandes geram elevadas taxas de armadura de flexão nos apoios extremos, não

sendo, portanto, econômicos.

Dos estudados, destacam-se os modelos 1 (relação de 1/9), 2 (relação de 1/4) e 3 (relação

de 3/7), que apresentaram os resultados mais satisfatórios. O primeiro gerou os menores fatores de

fadiga, tanto pelo tratamento brasileiro quanto pelo europeu, e a menor taxa de armadura corrigida

pelo Eurocode. O segundo gerou a menor taxa de armadura, segundo procedimento de cálculo

nacional, e fatores de fadiga relativos reduzidos. O terceiro, além de taxas superiores de armadura,

não satisfaz à verificação do concreto pelo Eurocode. Dentre estes, apenas o modelo 2 satisfaz as

verificações do concreto em compressão por ambas normatizações. Logo, a proporção ótima, com

menor taxa de armadura média, pela NBR, e segundo menor fator de fadiga médio, é a de 1/4.

Caso satisfizesse a verificação do concreto, o modelo 1 seria o mais indicado, por

apresentar o menor fator de fadiga médio e uma taxa de armadura média reduzida (a menor,

quando corrigida, pelo Eurocode). Este pode ser um indicativo de uma proporção ótima

intermediária, entre 1/9 e 1/4, que satisfaça às verificações do concreto e que apresente fatores de

fadiga e taxas de armadura reduzidos.

De modo geral, apesar das diferentes expressões e recomendações, os tratamentos

normativos estudados produziram resultados qualitativos semelhantes. Ressalta-se, porém, que o

europeu mostrou-se mais conservador a respeito do dimensionamento e da análise da fadiga.

7.2 Sugestões para trabalhos futuros

Da realização desta pesquisa, tem-se a expectativa de que haja contribuições para outros

estudos relacionados à fadiga em estruturas de pontes. Desta forma, alguns temas são sugeridos

como forma de dar continuidade a este trabalho:

79

Estudo da fadiga em outras seções transversais de pontes. Como a inércia da seção é um

parâmetro de entrada no cálculo das tensões, é interessante investigar qual sistema

estrutural apresenta o melhor comportamento à fadiga.

Expansão da análise para normatizações específicas. Neste trabalho, foram estudadas as

recomendações do Eurocode e NBR. Os tratamentos do ACI/AASHTO e outras normas

internacionais (e.g. norma alemã, canadense) podem trazer diretrizes interessantes que

estimulem potenciais reformulações na normatização brasileira e são, portanto, dignas de

análises.

Estudo com modelos de proporção entre balanço e vão entre 1/9 e 1/4. Seguindo

metodologia semelhante à adotada, dimensionar-se-iam as longarinas e verificar-se-iam o

concreto e o aço à fadiga afim de se determinar uma razão otimizada entre balanço e vão.

80

8 REFERÊNCIAS

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de concreto - Procedimento. 3 ed. Rio de Janeiro, 2014.

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concreto armado e de concreto protendido - Procedimento. Rio de Janeiro, 2003.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 7188: Carga móvel

rodoviária e de pedestre em pontes, viadutos, passarelas e outras estruturas. 2 ed. Rio de

Janeiro, 2013.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8681: Ações e segurança

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BARONI, Henriette Justina Manfredini. Simulação da vida útil de fadiga do concreto em

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