Embed Size (px)
DESCRIPTION
Danh Sách Tổng Hợp Các Bài Toán Về Dãy Số Nguyên
Citation preview
DANH SÁCH TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ NGUYÊN, DÃY SỐ SỐ HỌC
Bài 1 Cho :
Chứng minh rằng Bài 2 Tìm biết Bài 3 Cho dãy
Tính .
Bài 4 Cho dãy xác định bởi
a) Xác định số hạng tổng quát của .
b) Chứng minh rằng số có thể biểu diễn được thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp với mọi số nguyên dương .
Bài 5 Cho hai dãy số thỏa mãn và :
Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho không chia hết cho .Bài 6 Cho dãy xác định bởi :
Hãy xác định công thức tổng quát của dãy và chứng minh rằng số có thể biểu diễn thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp.
Bài 7 Xét dãy số :
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố thì tổng chia hết cho .
Bài 8 Cho dãy số thực được xác định bởi với mọi .
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , số là một số chính phương và nó có ít nhất ước nguyên tố phân biệt.
Bài 9 Cho hai dãy số được xác định bởi :
Tìm tất cả các số tự nhiên để tích là một số chính phương.
Bài 10 Cho dãy số xác định bởi :
Tồn tại hay không các số nguyên dương sao cho Bài 11 Gọi là nghiệm dương của phương trình . Xét dãy số như sau :
Tìm số dư của phép chia cho .
Bài 12 Cho dãy số xác định bởi :
Chứng minh rằng là số chính phương với mọi tự nhiên.Bài 13 Cho dãy số thỏa và :
a) Chứng minh rằng b) Chứng minh rằng với mọi nguyên dương thì không là số chính phương.
Bài 14 Cho dãy số xác định bởi :
Tìm số nguyên dương bé nhất thỏa mãn :
với mọi số nguyên dương .
Bài 15 Cho dãy số thỏa mãn :
Chứng minh rằng Bài 16 Cho dãy số được xác định như sau :
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì là một số chính phương.Bài 17 Cho dãy số nguyên : và :
Chứng minh rằng là số lẻ với mọi số nguyên dương lớn hơn .
Bài 18 Cho dãy số như sau :
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương thì luôn là một số chính phương.
Bài 19 Cho dãy thỏa mãn :
Với mỗi số nguyên dương ta gọi là số dư khi chia cho . Chứng minh
rằng dãy là dãy tuần hoàn.
Bài 20 Cho dãy số xác định như sau :
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , luôn tồn tại số tự nhiên sao cho và đều chia hết cho .Bài 21 Xét dãy số : . Chứng minh rằng dãy số đã cho có vô số số hạng là một số chính phương.
Bài 22 Cho dãy số thỏa mãn :
Tìm tất cả các giá trị của để là số chính phương. Bài 23 Cho dãy các số nguyên dương xác định bởi :
Chứng minh rằng nếu thì .Bài 24 Cho dãy số nguyên dương :
Chứng minh rằng :
Bài 25 Cho dãy số :
Chứng minh rằng là một số chính phương.Bài 26 Cho dãy số xác định bởi :
a) Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên dương.b) Chứng minh có vô số số nguyên dương sao cho có bốn chữ số tận cùng là .b) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên dương sao cho có bốn chữ số tận cùng là .
Bài 27 Cho dãy số :
Chứng minh rằng với mọi thì .Bài 28 Cho hai dãy xác định bởi :
a) Chứng minh rằng : b) Gỉa sử là các số nguyên dương thỏa mãn . Chứng minh rằng tồn tại số sao cho .Bài 29 Cho dãy số được xác định như sau :
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho chia hết cho .Bài 30 Cho dãy số xác định bởi :
Chứng minh rằng không có một số hạng nào của dãy biểu diễn được dưới dạng tổng của ba lũy thừa bậc bảy của ba số nguyên.
Bài 31 Cho dãy thỏa mãn :
Tìm số nguyên dương sao cho các số và đều là tích của hai số nguyên tố phân biệt và hiệu của hai số nguyên tố trong mỗi tích đó là bằng nhau.
Bài 32 Cho dãy số thực thỏa mãn :
và Chứng minh rằng tồn tại nhiều nhất một cặp với sao cho là một số nguyên.Bài 33 (Định lí về cấu trúc nghiệm của phương trình Pell loại 1)Cho là số nguyên dương không chính phương. Xét phương
trình . Gỉa sử là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất (nghiệm cơ sở) của . Xét hai dãy số như sau :
Chứng minh rằng là một nghiệm của khi và chỉ khi tồn tại số nguyên dương sao cho .
Bài 34 Cho dãy số được xác định bởi :
Chứng minh rằng với mọi thì là hợp số.Bài 35 Xét các số tự nhiên lẻ mà và . Chứng minh rằng là các số hạng của dãy số tự nhiên được xác định bởi :
và Bài 36 Cho dãy số nguyên xác định bởi :
Chứng minh rằng là số chính phương khi và chỉ khi với là số tự nhiên.
Bài 37 Cho dãy số xác định bởi :
và Chứng minh rằng là một số nguyên và với mọi số tự nhiên .Bài 38 Cho dãy số xác định bởi :
Chứng minh rằng nếu nguyên tố thì phải là một lũy thừa của .Bài 39 Cho dãy số nguyên xác định bởi :
.Chứng minh rằng khi và chỉ khi .Bài 40 Cho dãy số nguyên :
1) Với mỗi , gọi là số dư khi chia cho . Chứng minh rằng dãy là dãy tuần hoàn.
2) Chứng minh rằng tồn tại vô số số của dãy sao cho :
Bài 41 Cho là một số nguyên tố lẻ và xét dãy số thỏa và :
Chứng minh rằng là một số chính phương với mọi số nguyên dương .Bài 42 Cho hai dãy số và xác định bởi :
và
Chứng minh rằng Bài 43 Xét dãy số thỏa mãn và :
với mọi .Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , luôn tồn tại hai dãy sao cho :
Bài 44 Cho dãy số xác định bởi và :.
Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố thì .(Dãy số xác định như trên được gọi là Dãy Perrin)
Bài 45 Cho dãy số xác định bởi :
a) Chứng minh rằng .b) (Chọn đội tuyển HSG THPT Chuyên Khoa học Tự Nhiên, ĐHQG Hà Nội 2010)Chứng minh rằng dãy trên chứa vô hạn các số hạng nguyên dương.
Bài 46 Cho dãy số nguyên thỏa mãn với mọi tự nhiên.Gỉa sử . Chứng minh có vô hạn số hạng của dãy chia hết cho .Bài 47 Xét phương trình .a) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phương trình trên có nghiệm
nguyên dương .b) Với các giá trị tìm được, hãy tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình.Bài 48 Tìm giá trị lớn nhất của trong đó là các số nguyên thỏa mãn và
.Bài 49 Xét dãy số thỏa mãn :
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương thì .
b) Chứng minh rằng với là số nguyên dương bất kỳ thì dãy chứa vô hạn các số hạng chia hết cho .
Bài 50 Cho là một số nguyên dương cố định. Xét dãy thỏa mãn :
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương khác thì nguyên tố cùng nhau.(1) DANH SÁCH TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC 2 COMMENTS
Danh sách tổng hợp các bài toán số họcAugust 25, 2013Bài 1 Chứng minh rằng số có thể phân tích được thành tích của hai số nguyên mà mỗi số không nhỏ hơn .
Bài 2 Cho các số nguyên thỏa mãn với là số nguyên. Chứng minh rằng Bài 3 Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phần nguyên của biểu
thức là một số nguyên tốBài 4 Cho bốn số nguyên thỏa mãn
Chứng minh rằng là hợp số
Bài 5 Cho các số thực . Chứng minh rằng Bài 6 Cho là các số nguyên dương lớn hơn
a) Chứng minh rằng số bội số của trong dãy là
b) Chứng minh rằng nếu thì Bài 7 Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho tập hợp được chia thành hai tập con rời nhau mà tích các phần tử của mỗi tập hợp là bằng nhauBài 8 Chứng minh rằng tổng bình phương của số nguyên liên tiếp không thể là số chính phươngBài 9 Cho ba số tự nhiên thỏa mãn đồng thời hai điều kiện là số nguyên tố và . Chứng minh rằng là số chính phương
Bài 10 Cho các số nguyên dương thỏa mãn hệ thức . Chứng minh rằng là lũy thừa bậc năm của một số nguyên
Bài 11 Cho các số nguyên thỏa mãn với là một số nguyên tố. Chứng minh rằng chia hết cho Bài 12 Tìm bảy số nguyên tố sao cho tổng các lũy thừa bậc sáu của chúng bằng tích của chúng
Bài 13 Cho là ba số nguyên khác và sao cho . Chứng minh rằng không thể là số nguyên tốBài 14 Tìm tất cả các số tự nhiên để chia hết cho
Bài 15 Cho số nguyên tố lẻ và số tự nhiên lẻ thỏa mãn chia hết cho và chia hết cho . Chứng minh rằng chia hết cho và chia hết cho Bài 16 Cho là các số nguyên tố.
Đặt . Biết rằng và hiệu là bình phương của một số nguyên tố. Tìm Bài 17 Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố thỏa mãn tính chất :Không tồn tại tập hợp gồm số nguyên dương liên tiếp mà có thể phân chia thành hai tập con rời nhau sao cho tích các phần tử thuộc tập này bằng tích các phần tử thuộc tập kia.
Bài 18 Cho là hai số nguyên dương sao cho chia hết cho . Chứng minh rằng chia hết cho Bài 19 Cho sao cho ước số nguyên tố của cũng là ước số của . Chứng minh rằng .Bài 20 Cho các số nguyên dương thỏa mãn tích là một số chính phương. Chứng minh rằng đa thức không chia hết cho đa thức với mọi .Bài 21 Một số nguyên được gọi là số nếu nó là tích của các số nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , luôn tồn tại số nguyên liên tiếp mà không có số nào là số .Bài 22 Cho ba số nguyên dương có ước chung lớn nhất bằng và thỏa
mãn . Chứng minh rằng là một số chính phương.
Bài 23 Cho các số nguyên dương thỏa mãn . Chứng minh rằng là số chính phương.
Bài 24 Cho các số nguyên và số nguyên tố thỏa mãn . Cho
biết là tổng của hai số chính phương. Chứng minh rằng cũng là tổng của hai số chính phương.Bài 25 Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho luôn tồn tại số nguyên thỏa
mãn .*Bài tương tự : Tìm số nguyên dương sao cho và tồn tại một số
nguyên dương sao cho
Bài 26 Cho các số nguyên dương thỏa mãn . Chứng minh rằng Bài 27 a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương bất kì, luôn tồn tại số nguyên dương liên tiếp mà trong đó không có số nào là lũy thừa của một số nguyên tố.b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương tồn tại số nguyên dương liên tiếp sao cho bất kì số nào trong chúng cũng chia hết cho số nguyên tố liên tiếp.Bài 28 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương thì ta đều
có Bài 29 Chứng minh rằng với mọi số nguyên , thì luôn tồn tại số nguyên sao cho
Bài 30 : Cho hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng
tồn tại số nguyên sao cho là hợp số với mọi số nguyên dương .Bài 31 : Cho tập với . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên sao cho các phần tử của tập đều là lũy thừa của một số tự nhiên với số mũ lớn hơn .Bài 32 : Cho là một số nguyên tố. Chứng minh rằng luôn tồn tại một bội số của sao cho chữ số tận cùng của nó đôi một khác nhau.Bài 33 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương luôn tồn tại số nguyên sao cho là lũy thừa của một số tự nhiên với số mũ lớn hơn với mọi Bài 34 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương luôn tồn tại một dãy gồm số nguyên liên tiếp sao cho bất kì số nào trong dãy cũng đều có ước dạng .Bài 35 Cho các số nguyên tố trong đó lẻ thỏa mãn . Chứng minh rằng hoặc Bài 36 Cho số nguyên dương lớn hơn và thỏa mãn . Chứng minh rằng là số chẵn.
Bài 37 Cho dãy thỏa mãn . Tìm số nguyên tố thỏa mãn và * Các bài toán tương tự :
1) Cho dãy xác định bởi . Tìm số nguyên tố thỏa mãn và 2) Cho dãy số xác định bởi và với mọi số nguyên dương . Tìm tất cả các số nguyên tố thỏa mãn và chia hết cho Bài 38 Cho số nguyên dương thỏa mãn . Chứng minh rằng chia hết cho Bài 39 Cho là số nguyên dương, là số nguyên tố và các số nguyên thỏa mãn : . Chứng minh rằng .
Bài 40 Chứng minh rằng chia hết cho với .Bài 41 Cho các số thực dương thỏa mãn là các số nguyên dương và là một số chính phương. Chứng minh rằng là các số nguyên dương.Bài 42 Cho là số nguyên dương lẻ và là một ước nguyên dương lẻ của . Chứng minh rằng chia hết cho .Bài 43 Cho là số nguyên tố lẻ. Chứng minh
Bài 44 Cho số nguyên dương . Chứng minh rằng không có ước nguyên tố dạng . Bài 45 Với số tự nhiên bất kì , chứng minh rằng:
là số chẵnBài 46 Cho các số nguyên dương và số nguyên tố thoả mãn :
Chứng minh rằng chia hết cho .Bài 47 Cho số nguyên dương . Chứng minh rằng không chia hết cho . Bài 48 Cho là các số nguyên dương. Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố của đều có dạng .Bài 49 Cho các số tự nhiên thỏa mãn là một số nguyên tố và chia
hết . Chứng minh rằng .Bài 50 Cho số nguyên tố và dãy với . Chứng minh rằng :
Bài 51 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , luôn tồn tại một tập hợp gồm phần tử sao cho bất kì một tập con nào của cũng có tổng các phần tử là lũy thừa của một số tự nhiên.Bài 52 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương thì :
Bài 53 Cho là một số tự nhiên. Biết rằng với mọi số tự nhiên thì là một lập phương đúng. Chứng minh .Bài 54 Cho là các số nguyên dương với là số nguyên dương tuỳ ý và là một số nguyên tố có dạng . Chứng minh rằng :
không là một số chính phương.Bài 55 Cho là số nguyên dương không phải là lập phương của một số tự nhiên. Chứng minh bất đẳng thức :
(1) DANH SÁCH TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC 2 COMMENTS
Danh sách tổng hợp các bài toán phương trình nghiệm nguyên
August 24, 2013Bài 1 Tìm các số nguyên dương sao cho
Bài 2 Tìm tất cả các số tự nhiên lẻ sao cho là một số chính phươngBài 3 Giải phương trình nghiệm nguyên dương
Bài 4 Giải phương trình nghiệm nguyên dương
Bài 5 Giải phương trình nghiệm tự nhiên
Bài 6 Giải phương trình nghiệm nguyên dương
Bài 7 Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình
Bài 8 Chứng minh rằng phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên :
Bài 9 Tìm các số nguyên dương thỏa mãn
Bài 10 Giải phương trình nghiệm nguyên
Bài 11 Cho trước số nguyên dương . Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
Bài 12 Giải phương trình nghiệm nguyên tố
Bài 13 Giải phương trình nghiệm nguyên
Bài 14 Giải phương trình nghiệm nguyên dương
Bài 15 Giải phương trình nghiệm nguyên
Bài 16 Tìm các số nguyên dương không phải là bội số của sao cho là lập phương của một số nguyên dương.Bài 17 Tìm tất cả các số nguyên sao cho
Bài 18 Giải phương trình nghiệm nguyên
Bài 19 Giải hệ phương trình nghiệm nguyên
Bài 20 Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm nguyên dương.
Bài 21 Cho phương trình với là số tự nhiên khác . Tìm để phương trình có nghiệm nguyên dương.Bài 22 Giải phương trình nghiệm nguyên dương
Bài 23 Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn phương trình trong đó là một số nguyên tốBài 24 Cho số nguyên tố và số tự nhiên . Chứng minh rằng phương
trình không có nghiệm nguyên dương.Bài 25 Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm nguyên dương Bài 26 Tìm số nguyên tố sao cho là một số chính phương.Bài 27 Chứng minh rằng phương trình
có vô số nghiệm trên tập Bài 28 Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phương trình có nghiệm nguyên dương.Bài 29 Cho số nguyên tố và là các số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu thì .Bài 30 Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phương
trình có nghiệm nguyên dương.Bài 31 Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm nguyên dương.Bài 32 Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phương trình có tất cả nghiệm nguyên dương.Bài 33 Tìm số tự nhiên sao cho là số nguyên tố Bài 34 Tìm các số nguyên dương thỏa mãn phương trình
.Bài 35 Tìm các số nguyên tố thỏa mãn
Bài 36 Tìm các số nguyên tố thỏa mãn đồng thời .
Bài 37 Tìm số nguyên dương thỏa mãn .
Bài 38 Tìm các số nguyên tố thỏa mãn.
Bài 39 Tìm hai số nguyên dương sao cho
Bài 40 Cho số nguyên dương . Chứng minh rằng các phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương.a)
b)
c)
Bài 41 Cho trước các số nguyên dương . Chứng minh rằng các phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương :a)
b)
Bài 42 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
Bài 43 Giải phương trình nghiệm nguyên
Bài 44 a) Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm nguyên.b) Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm nguyên.c) Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm nguyên.Bài 45 Chứng minh rằng nếu là các số nguyên tố phân biệt thì
phương trình có vô số nghiệm nguyên dương Bài 46 Tìm nghiệm nguyên của phương trình
Bài 47 Cho trước số nguyên dương . Chứng minh rằng phương
trình có vô số nghiệm nguyên mà Bài 48 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương sao cho chia hết cho .Bài 49 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương phương
trình luôn có nghiệm nguyên.* Một số bài toán tương tự :1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương phương trình luôn có nghiệm nguyên.2) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương phương trình luôn có nghiệm nguyên.
Bài 50 Cho là các số nguyên dương với . Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm nguyên dương.Bài 51 Chứng minh với mọi số nguyên dương , phương trình luôn có nghiệm nguyên , trong đó đều lẻ.* Bài toán tương tự : Chứng minh với mọi số nguyên dương , phương trình luôn có nghiệm nguyên , trong đó đều lẻ.Bài 52 Chứng minh rằng với số tự nhiên bất kì, phương trình luôn có nghiệm nguyên dương thỏa .Bài 53 Tìm số nguyên dương sao cho
.Bài 54 a) Tìm các số nguyên dương sao cho
b) Tìm các số nguyên dương sao cho
Bài 55 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
Bài 56 Tìm các số nguyên dương thỏa mãn Bài 57 Tìm các số nguyên dương thỏa mãn phương trình :
Bài 58 Tìm các cặp số nguyên dương và thỏa mãn và đều là các số chính phương.Bài 59 Tìm các số nguyên dương thỏa mãn
Bài 60 Tìm cặp số nguyên dương sao cho là số nguyên tố và chia hết cho .Bài 61 Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình :
Bài 62 Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm thỏa mãn phương trình :
Bài 63 Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho chia hết cho .Bài 64 Tìm tất cả các số tự nhiên và số nguyên tố thỏa mãn :
Bài 65 Tìm tất cả các bộ ba số nguyên thỏa mãn :
Trong đó và là hai số nguyên tố.Bài 66 Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn :
Bài 67 Tìm tất cả các bộ ba với nguyên dương và thỏa mãn :
Bài 68 Tìm các số nguyên dương thỏa mãn :
Bài 69 Tìm bộ ba thỏa mãn phương trình :
Trong đó là số nguyên tố và là các số tự nhiên.
Bài 70 Tìm bộ ba các số nguyên dương thỏa mãn phương trình :
Bài 71 Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho :
Bài 72 Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :.
Bài 73 Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
Bài 74 Chứng minh rằng phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương :
Bài 75 Tìm các số nguyên dương thỏa mãn :
Bài 76 Tìm các số nguyên dương thoả mãn :
Bài 77 Tìm bộ ba số nguyên không âm thỏa mãn phương trình :
Bài 78 Tìm bộ ba số nguyên dương thoả mãn đồng thời : và
Bài 79 Tìm các cặp số nguyên dương lẻ thỏa mãn : và
Bài 80 Tìm tất cả bộ ba các số nguyên dương thỏa mãn :
Bài 81 Tìm các số nguyên dương thỏa mãn :.
Bài 82 Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn :
Bài 83 Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương thỏa mãn :
Bài 84 Giải phương trình
trên tập nghiệm nguyên dương.Bài 85 Tìm các số nguyên dương với và thỏa mãn :
.Bài 86 Chứng minh rằng tồn tại vô số nguyên dương thỏa mãn :
CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨCBài 1 Chứng minh rằng mọi đa thức bậc chẵn với các hệ số lẻ thì không có nghiệm hữu tỉ.
Bài 2 Chứng minh rằng nếu là một số nguyên tố thì đa thức bất khả quy trên Bài 3 Cho đa thức . Chứng minh rằng tồn tại nhiều nhất một đa thức bậc sao cho Bài 4 Cho đa thức .
Đặt . Gọi là một nghiệm thực của . Chứng minh rằng Bài 5 Cho số nguyên dương sao cho là số chính phương. Chứng minh rằng đa thức không chia hết cho đa thức với mọi
Bài 6 Cho đa thức và thỏa mãn .a) Chứng minh rằng ta luôn có b) Chứng minh rằng với mọi thỏa mãn thì Bài 7 Cho đa thức và thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của Bài 8 Cho đa thức thỏa mãn với mọi . Chứng minh rằng Bài 9 Cho hai đa thức hệ số nguyên
và Biết rằng là một số nguyên tố và . Gọi là nghiệm hữu tỉ chung của và . Chứng minh rằng là số nguyên.Bài 10 Cho đa thức có tính chất nhận giá trị nguyên với tất cả những giá trị nguyên của . Xét họ đa thức :
Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên sao cho biểu diễn được dưới dạng :
Bài 11 Tìm tất cả các đa thức nhận làm một nghiệm. Chứng minh rằng .Bài 12 Cho số nguyên tố và số nguyên không chia hết cho . Chứng minh
rằng đa thức bất khả quy trên Bài 13 Cho là số nguyên dương. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đa
thức khả quy trên là chia hết cho Bài 14 Cho là bốn số nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng không
tồn tại đa thức bậc ba hệ số nguyên thỏa mãn .Bài 15 Chứng minh rằng với mỗi đa thức hệ số nguyên thì luôn tồn tại một đa thức hệ số nguyên sao cho hai tập hợp các giá trị của hai đa thức trên tập số nguyên thì rời nhau.Bài 16 Chứng minh rằng tích hai nghiệm thực của đa thức là nghiệm của đa thức .Bài 17 Cho số nguyên phân biệt . Chứng minh rằng đa thức
bất khả quy trên .Bài 18 Cho đa thức với là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức không thể biểu diễn được dưới dạng tích của đa thức khác hằng số với hệ số nguyên.Bài 19 Cho số tự nhiên lớn hơn . Chứng minh rằng đa
thức bất khả quy trên .
Bài 20 Cho số tự nhiên . Chứng minh rằng đa thức bất khả quy trên .Bài 21 Cho đa thức hệ số thực có ba nghiệm. Chứng minh rằng :
Bài 22 Tìm tất cả các đa thức có hệ số nguyên và chia hết cho với mọi số nguyên .Bài 23 Cho là số thực thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên , đa thức
chia hết cho đa thức .(4) DANH SÁCH TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC - PHƯƠNG TRÌNH HÀM LEAVE A COMMENT
Phương trình hàm trên tập rời rạcFebruary 26, 2014
PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ HỮU TỈ, SỐ NGUYÊN, SỐ TỰ NHIÊNBài 1 : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 2 : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 3 : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 4 : Tìm tất cả các hàm số sao cho với mọi ta có :
Bài 5 : Tìm tất cả các hàm số sao cho
Bài 6 Tồn tại hay không hàm số và thỏa mãn :
Bài 7 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 8 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 9 Cho trước số nguyên dương . Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
( lần hàm số )Bài 10 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 11 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 12 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 13 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 14 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
cho biết tồn tại sao cho Bài 15 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 16 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 17 Chứng minh rằng không tồn tại hàm số và thỏa mãn :
Bài 18 Tìm hàm số và thỏa mãn :
Bài 19 Tìm hàm thỏa mãn và :
Bài 20 Cho hàm số và thỏa mãn các điều kiện sau :
Tính giá trị Bài 21 Tìm hàm số thỏa mãn và :
Bài 22 Tìm hàm số và thỏa mãn :
Bài 23 Cho hàm số và thỏa mãn :
Tính .Bài 24 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 25 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 26 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 27 Chứng minh rằng không tồn tại hàm số và thỏa mãn :
Bài 28 Tìm hàm số và thỏa mãn :
Bài 29 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 30 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn
Bài 31 Tìm hàm số và thỏa mãn :
Bài 32 Tìm hàm số và thỏa mãn :
Bài 33 Tìm tất cả các hàm số xác định trên và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau :
(4) DANH SÁCH TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC - PHƯƠNG TRÌNH HÀM LEAVE A COMMENT
Danh sách tổng hợp các bài toán về phương trình hàm đa thức
February 4, 2014
Bài 1 : Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn :
Bài 2 : Cho , tìm tất cả các đa thức thỏa mãn :
Bài 3 : Tìm đa thức hệ số thực sao cho :
Bài 4 : Tìm đa thức và thỏa mãn :
Với mọi và thỏa mãn Bài 5 : Tìm đa thức thỏa mãn :
Bài 6 : Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn :
Với mọi thỏa mãn Bài 7 Tìm đa thức thỏa mãn :
Bài 8 Tìm các đa thức có dạng , trong đó và có các nghiệm đều là nghiệm thực.Bài 9 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn
Bài 10 Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn :
Bài 11 Tìm đa thức hệ số thực thỏa mãn :
Bài 12 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực và thỏa mãn :
Bài 13 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn :
Bài 14 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn :
Bài 15 Tìm tất cả các đa thức khác đa thức không có hệ số không âm và thỏa mãn :
(4) DANH SÁCH TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC - PHƯƠNG TRÌNH HÀM LEAVE A COMMENT
Phương trình hàm trên tập số thựcFebruary 4, 2014
PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ THỰCBài 1 : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 2 : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 3 : Tìm tất cả các hàm và thỏa mãn hệ :
Bài 4 : Tìm tất cả các hàm và thỏa mãn hệ :
Bài 5 : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 6 : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 7 : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 8 : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 9 : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 10 Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện :
Bài 11 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 12 Tìm các hàm số và thỏa mãn :
Bài 13 Cho hàm số và không đồng nhất , thỏa mãn :
a) Chứng minh rằng b) Cho biết . Tính .Bài 14 Tìm hàm số và thỏa mãn :
Bài 15 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 16 Tìm hàm số và thỏa mãn :
Bài 17 Tìm hàm số thỏa mãn với mọi số thực : và
Bài 18 Tìm hàm số và thỏa mãn :
Bài 19 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 20 Tìm hàm số và thỏa mãn :
và Bài 21 Cho là các số thực dương. Tìm hàm số thỏa mãn :
Bài 22 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 23 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 24 Tìm hàm số và thỏa mãn :
Bài 25 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 26 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 27 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 28 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 29 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 30 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 31 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 32 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 33 Tìm hàm số và thỏa mãn :
Bài 34 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 35 Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện :
Bài 36 Tìm hàm và thỏa mãn :
Bài 37 Tìm hàm số và thỏa mãn :
Bài 38 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 39 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 40 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 41 Tìm hàm số thỏa mãn :
Bài 42 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 43 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 44 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 45 Tìm tất cả các hàm thỏa mãn:
Bài 46 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 47 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 48 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 49 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 50 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 51 Tìm tất cả các hàm và thỏa mãn :
Bài 52 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 53 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 54 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 55 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 56 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 57 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 58 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 59 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 60 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 101 Cho là các số thực phân biệt. a) Xác định giá trị của biểu thức :
b) Chứng minh bất đẳng thức :
Bài 102 Cho là độ dài ba cạnh của một tam giác. Ta đặt :
Chứng minh rằng .Bài 103 Cho các số dương có tổng bằng . Chứng minh rằng :
Bài 104 Cho các số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng :
Bài 105 Cho các số thực dương thỏa mãn :
Chứng minh rằng :
Tìm tất cả các bộ ba để đẳng thức xảy ra.Bài 106 Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh bất đẳng thức :
Bài 107 Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 108 Cho các số dương . Chứng minh bất đẳng thức :
Bài 109 Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 110 Cho các số dương . Chứng minh bất đẳng thức sau :
Bài 111 Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 112 Cho các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Bài 113 Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 114 Cho thỏa . Chứng minh rằng :
Bài 115 Cho . Chứng minh rằng :
Bài 116 Cho các số dương thỏa . Chứng minh :
Bài 117 Cho các số thực dương có tổng bằng . Chứng minh rằng :
Bài 118 Cho các số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 119 Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh :
Bài 120 Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh :
Bài 121 Cho các số dương . Chứng minh rằng :
Bài 122 Cho . Chứng minh :
Bài 123 Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 124 Cho các số dương . Chứng minh :
Bài 125 Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 126 Cho các số không âm thỏa . Tìm lớn nhất sao cho :
Bài 127 Cho các số dương thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của :
Bài 128 Tìm hằng số nhỏ nhất sao cho với mọi số thực dương thỏa mãn thì ta luôn có bất đẳng thức :
Bài 129 Cho các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của :
Bài 130 Cho các số không âm thỏa mãn . Tìm hằng số lớn nhất sao cho :
Bài 131 Cho các số thực . Tìm giá trị nhỏ nhất của :
Bài 132 Cho các số không âm thỏa mãn không có hai số nào đồng thời bằng . Chứng minh :
Bài 133 Cho bốn số không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 134 Cho các số không âm thỏa mãn . Chứng minh :
Bài 135 Cho các số không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 136 Tìm tất cả các hằng số sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương :
Bài 137 Cho và . Chứng minh :
Bài 138 Cho là các số thực dương. Tìm hằng số lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng :
Bài 139 Với các số không âm thỏa mãn . Tìm số thực lớn nhất sao cho :
Bài 140 Tìm số thực dương lớn nhất thỏa sao cho với mọi số dương thỏa mãn thì bất đẳng thức sau luôn đúng :
Bài 141 Tìm số thực dương lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương :
Bài 142 Cho các số không âm thỏa mãn . Tìm số thực lớn nhất sao cho ta luôn có bất đẳng thức :
Bài 143 Tìm số thực lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi dương.
Bài 144 Cho các số dương . Tìm số lớn nhất sao cho :
Bài 145 Tìm số thực lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi không âm và thỏa :
Bài 146 a) Cho các số thực không âm đôi một khác nhau. Chứng minh :
b) Cho các số thực không âm đôi một khác nhau. Chứng minh :
c) Cho các số thực không âm đôi một khác nhau. Chứng minh :
d) Cho các số thực khác nhau đôi một. Chứng minh :
e) Cho các số thực thỏa mãn điều kiện phân thức có nghĩa. Chứng minh :
f) Cho các số thực thỏa mãn điều kiện phân thức có nghĩa. Chứng minh :
Bài 147 Cho các số không âm sao cho không có hai số nào cùng bằng . Chứng minh các bất đẳng thứca)
b)
Bài 148 Cho các số không âm và không có hai số nào cùng bằng . Chứng minh :
Bài 149 Cho các số không âm và không có hai số nào cùng bằng . Chứng minh rằng :
Bài 150 Cho các số không âm thỏa mãn không hai số nào cùng bằng . Chứng minh :
Bài 151 Cho các số dương thoả mãn . Chứng minh :
Bài 152 Cho các số dương và . Chứng minh rằng :
Bài 153 Cho các số dương có tổng bằng . Chứng minh :
Bài 154 a) Cho các số thực dương . Chứng minh rằng :
b) Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
(5) DANH SÁCH TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC LEAVE A COMMENT
Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức March 27, 2014
DANH SÁCH TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1 Cho các số thực thỏa mãn và . Chứng minh rằng :
Bài 2 Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 3 Cho các số không âm sao cho không có hai số nào đồng thời bằng và thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 4 Cho các số dương sao cho . Chứng minh rằng :
Bài 5 Cho các số dương thỏa . Chứng minh rằng :
Bài 6 Cho các số không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 7 Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 8 Cho các số dương thỏa
mãn . Chứng minh :
Bài 9 Cho là ba số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của :
Bài 10 Cho các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của :
Bài 11 Cho các số dương . Chứng minh rằng :
Bài 12 Cho các số dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Bài 13 Cho các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Bài 14 Cho các số dương . Chứng minh rằng :
Bài 15 Cho các số dương . Chứng minh rằng :
Bài 16 Cho các số dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của :
Bài 17 Cho các số không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 18 Cho các số thực mà và thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Bài 19 Cho các số thực thỏa mãn và . Chứng minh rằng :
Bài 20 Cho các số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 21 Cho các số dương thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của :
Bài 22 Cho các số dương thỏa . Chứng minh rằng :
Bài 23 Cho các số thực và thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 24 Cho các số thực và thỏa . Chứng minh rằng :
Bài 25 Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 26 Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 27 Cho các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Bài 28 Cho các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của :
Bài 29 Cho các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của :
Bài 30 Cho là số nguyên dương và số thực thỏa mãn :
Chứng minh rằng :
Bài 31 Trong các nghiệm của hệ Tìm nghiệm sao cho nhỏ nhất.Bài 32 Cho các số dương . Chứng minh rằng :
Bài 33 Cho các số thực dương sao cho . Chứng minh rằng :
Bài 34 Cho các số thực dương mà . Chứng minh rằng :
Bài 35 Cho các số không âm thỏa . Chứng minh rằng :
Bài 36 Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 37 Cho các số thực và thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 38 Cho các số thực dương . Chứng minh rằng :
Bài 39 Cho các số thực . Chứng minh rằng
Bài 40 Cho các số thực . Chứng minh rằng :
Bài 41 Cho các số thực . Chứng minh rằng :
Bài 42 Cho các số dương . Chứng minh rằng :
Bài 43 Cho các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của :
Bài 44 Cho là các số thực. Chứng minh :
Bài 45 Cho các số thực dương . Chứng minh rằng :
Bài 46 Chứng minh rằng với mọi số thực dương ta đều có :
Bài 47 Cho các số dương . Chứng minh rằng :
Bài 48 Cho các số dương . Chứng minh :
Bài 49 Cho ba số dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 50 Cho các số dương . Chứng minh rằng :
Bài 51 Cho các số dương . Chứng minh rằng :
Bài 52 Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Bài 53 Cho các số dương . Chứng minh rằng :
Bài 54 Cho các số dương . Chứng minh bất đẳng thức :
Bài 55 Cho các số dương , chứng minh BĐT :
Bài 56 Cho ba số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 57 Cho các số dương thỏa . Chứng minh rằng :
Bài 58 Cho ba số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của
Bài 59 Cho các số dương . Chứng minh rằng .
Bài 60 Cho các số dương . Chứng minh bất đẳng thức
Bài 61 Cho các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Bài 62 Cho là số nguyên dương lớn hơn . Đặt . Chứng minh rằng
Bài 63 Cho các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Bài 64 Cho và thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 65 Cho các số thực dương thỏa . Chứng minh rằng :
Bài 66 Cho các số dương thỏa mãn . Đặt :
Chứng minh rằng :
Bài 67 Cho ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng
Bài 68 Cho và thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng :
Bài 69 Cho các số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng :
Bài 70 Chứng minh bất đẳng thức sau với các số dương :
Bài 71 Cho các số dương . Chứng minh :
Bài 72 Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 73 Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 74 Cho các số dương và . Chứng minh rằng :
Bài 75 Cho các số dương thỏa . Chứng minh rằng :
Bài 76 Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 77 Cho các số dương . Chứng minh rằng :a)
b)
Bài 78 Cho các số dương . Chứng minh các BĐT sau :a)
b)
c)
Bài 79 Cho các số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng :
Bài 80 Cho các số dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Bài 81 Cho các số dương thỏa . Chứng minh rằng :
Bài 82 Cho các số dương thỏa . Chứng minh rằng :
Bài 83 Cho ba số dương . Chứng minh rằng :
Bài 84 Cho các số dương . Chứng minh rằng :
Bài 85 Cho các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Bài 86 Cho dương. Chứng minh rằng :
Bài 87 Cho các số dương . Chứng minh rằng :
Bài 88 Cho các số dương thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Bài 89 Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 90 Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 91 Cho các số thực dương . Chứng minh :
Bài 92 Cho các số dương thỏa . Chứng minh :
Bài 93 Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 94 Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 95 Cho các số dương thỏa . Chứng minh rằng :
Bài 96 Cho các số dương . Chứng minh rằng :
Bài 97 Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 98 Cho các số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Bài 99 Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 100 Cho các số dương . Chứng minh rằng :
Bài toán : Cho các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của :
Lời giải :
Đặt . Ta xét hiệu :
Như vậy ta có :
Ta đi tìm giá trị lớn nhất của
Ta có :
Bằng cách lập bảng biến thiên ta được khi .
Từ đó khi
BĐT VỚI NHỮNG BÀI TOÁN VỀ HẰNG SỐ TỐT NHẤT DỒN BIẾN TRONG CHỨNG MINH BĐT LEAVE A COMMENT
InequalityJuly 23, 2014Bài toán (Kiểm tra Trường Hè Lê Qúy Đôn năm 2014)Tìm hằng số nhỏ nhất sao cho với mọi số thực dương thỏa mãn thì ta luôn có bất đẳng thức :
Lời giải :Ta chọn :
Ta có :
Ta xem bảng biến thiên sau :
Chú ý khoảng giá trị của là , từ đó ta thấy tương ứng .
Vậy trở lại bài toán, ta cho thì ta được , ta chứng minh giá trị nhỏ nhất của là bằng cách chứng minh :
Đặt . Ta chứng minh :
Do nên ta sẽ chứng minh :
Và điều này sẽ đúng nếu ta giả sử vì khi đó .
Vậy ta chỉ cần chỉ ra :
Bất đẳng thức này đúng theo lập luận chặn phía trên.
BĐT VỚI NHỮNG BÀI TOÁN VỀ HẰNG SỐ TỐT NHẤT DỒN BIẾN TRONG CHỨNG MINH BĐT LEAVE A COMMENT
InequalityJuly 23, 2014Bài toán : Cho các số dương thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của :
Lời giải :Chọn thì :
Ta có :
Do đó
Ta có bảng biến thiên của như sau :
Qua bảng biến thiên ta thấy tương ứng khi .
Vậy ta chứng minh :
Trước hết ta chứng minh :
Điều này luôn đúng vì nếu ta giả sử . Từ đó :
Tiếp theo ta chỉ cần chứng tỏ :
Điều này luôn đúng vì ta đã khảo sát hàm này ở trên.
BĐT VỚI NHỮNG BÀI TOÁN VỀ HẰNG SỐ TỐT NHẤT DỒN BIẾN TRONG CHỨNG MINH BĐT LEAVE A COMMENT
InequalityJuly 22, 2014
Bài toán : Cho các số không âm thỏa . Tìm lớn nhất sao cho :
Lời giải :Thông thường trong những dạng toán này, đẳng thức đạt được ngoài giá trị
tâm thì còn đạt được khi hai biến bằng nhau. Như vậy để chặn , ta chọn :
Như vậy giá trị lớn nhất cần tìm chính bằng giá trị nhỏ nhất của
hàm .
Theo AM-GM :
Từ đó ta kết luận được nếu ta chứng tỏ được :
Ta đặt . Xét hiệu :
Ta giả sử
Như vậy ta được :
Vậy ta chỉ cần chứng minh được :
Điều này luôn đúng. Như vậy được chứng minh. Từ đó kết luận được giá trị
lớn nhất cần tìm là .
BĐT VỚI NHỮNG BÀI TOÁN VỀ HẰNG SỐ TỐT NHẤT DỒN BIẾN TRONG CHỨNG MINH BĐT LEAVE A COMMENT
InequalityJuly 22, 2014Bài toán : Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Lời giải :
Ta đặt . Xét hiệu :
Không giảm tổng quát, ta có thể giả sử .
Từ đó theo AM-GM :
Từ đó có được :
Như vậy ta chỉ cần chứng tỏ rằng :
Hay :
với .
Biến đổi tương đương :
Điều này luôn đúng. Như vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài toán : Cho là các số nguyên dương. Chứng minh rằng mọi ước nguyên
tố của đều có dạng .Lời giải :
Gọi là ước nguyên tố của . Ta có :
Từ đây suy ra chỉ có thể là :
Nếu mà thì :
Mâu thuẫn. Do vậy
Bằng định lí Fermat nhỏ ta có ngay :
Điều phải chứng minh.
Bài toán : Tìm số nguyên dương sao cho .Lời giải :Hiển nhiên thỏa mãn. Xét , khi đó có ước nguyên tố nhỏ nhất, gọi ước nguyên tố nhỏ nhất đó là .
Gọi là nghịch đảo của modulo , tức là .
Ta có
Nếu thì (vô lí). Vậy và vì
nên .
Theo định lí nhỏ, ta có
Từ suy ra có một ước nguyên tố mà và . Điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của . Suy
ra
Ta gặp điều mâu thuẫn.
Kết luận : Có duy nhất một số nguyên dương thỏa đề là .CẤP CỦA MỘT SỐ NGUYÊN, CĂN NGUYÊN THỦY 1 COMMENT
[Bài toán] Cấp số January 13, 2014Bài toán : Cho là số nguyên dương thỏa mãn . Chứng minh rằng chia hết cho .Lời giải :Dễ thấy là số nguyên dương lẻ. Gọi là ước nguyên tố bé nhất của .
Gọi là nghịch đảo của modulo . Khi đó
thì .
Ta có
Dễ dàng thấy nên theo định lí nhỏ ta
có
Từ suy ra tồn tại một ước nguyên tố của mà . Điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của . Như vậy
phải có . Suy ra
Mà nên . Suy ra chia hết cho .
CẤP CỦA MỘT SỐ NGUYÊN, CĂN NGUYÊN THỦY 2 COMMENTS
[Bài toán] Cấp của một số nguyên December 29, 2013Bài toán (Korea Final Round 2007) Tìm các số nguyên tố thỏa mãn .Lời giải :Bổ đề : Cho các số nguyên tố trong đó lẻ và thỏa mãn thì khi
đó hoặc .Bài toán :
Từ đề bài ta có và
Xét ta có , thử lại cặp thỏa mãn. Tương tự
cặp cũng thỏa mãn.
Xét các số nguyên tố đều lẻ.
Vì nên áp dụng bổ đề ta có hoặc .
Nếu (loại)
Nếu thì hoặc . Lập luận như trên ta chỉ ra rằng
là vô lí nên phải có . Tuy nhiên thì chẵn và nên ta có .
Hoàn toàn tương tự ta có . Suy ra và điều này thì vô lí
Kết luận : CẤP CỦA MỘT SỐ NGUYÊN, CĂN NGUYÊN THỦY 1 COMMENT
[Bài toán] Cấp của một số nguyên December 29, 2013Bài toá n : Tìm số nguyên dương thỏa mãn .Lời giải :Ta thấy thỏa mãn. Xét . Gọi là ước nguyên tố bé nhất của .
Theo đề bài ta có .
Theo định lí nhỏ
thì
Ta gọi là ước nguyên tố của , ta thấy và . Điều này mâu thuẫn vì là ước nguyên tố bé nhất của . Trường hợp này không tìm được thỏa đề.
Kết luận : Có duy nhất số nguyên dương thỏa mãn đề bài là CẤP CỦA MỘT SỐ NGUYÊN, CĂN NGUYÊN THỦY 1 COMMENT
[Bài toán] Cấp của một số nguyên December 29, 201 3 Bài toán (USA TST 2003): Tìm các số nguyên tố thỏa mãn đồng thời .Lời giải :Bổ đề : Cho các số nguyên tố trong đó lẻ và thỏa mãn thì khi
đó hoặc
Xem chứng minh bổ đề tại đây Trở lại bài toán.Nhận thấy rằng các số nguyên tố phải phân biệt.
Trường hợp 1 : Xét các số nguyên tố đều lẻ.
Theo bổ đề ta có hoặc .
Nếu (loại)
Do vậy phải có .
Nếu (loại)
Suy ra mà chẵn và nên , từ đó
Hoàn toàn tương tự ta được và .
Như vậy và đây là điều vô lí.
Trường hợp 2 : Trong các số có ít nhất một số chẵn. Gỉa sử .
Khi đó giả thiết trở thành và .
Cũng theo bổ đề trên thì ta được hoặc . Nếu mà
thì (loại vì phải phân biệt)
Như vậy có . Từ
đó
Bộ số thoả mãn.
Kết luận : CẤP CỦA MỘT SỐ NGUYÊN, CĂN NGUYÊN THỦY PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 1 COMMENT
[Bài toán] Cấp của một số nguyên December 29, 201 3 Bài toán : Cho số nguyên dương lớn hơn và thỏa mãn . Chứng minh rằng là số chẵn.Lời giải :Gọi là ước nguyên tố bé nhất của
Theo giả thiết thì
Hiển nhiên vì nếu vậy thì (vô lí). Khi đó theo định lí nhỏ
ta có .
Gọi là một ước nguyên tố của thì theo , là một ước nguyên tố của
nhưng theo thì . Điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của .
Suy ra . Khi đó . Suy ra chẵn. Đây là điều phải chứng minh.
Tổng quát bài toán : Cho số nguyên tố sao cho tồn tại số nguyên dương sao
cho . Chứng minh rằng chia hết cho .CẤP CỦA MỘT SỐ NGUYÊN, CĂN NGUYÊN THỦY 1 COMMENT
Cấp của một số nguyên December 29, 201 3 Bài toán Tìm các số nguyên tố thỏa mãn chia hết cho Lời giải :Bổ đề : Cho các số nguyên tố trong đó lẻ và thỏa mãn khi đó
thì hoặc .Chứng minh bổ đề :
Từ giả thiết ta có
Mà theo định lí nhỏ thì
Nếu thì
Nếu thì
Nếu thì mà chẵn và nên
Nếu thì
Tóm lại bổ đề được chứng minh
BÀI TOÁN : Từ đề bài ta suy ra và .
Nếu thì ta có hay . Theo định lí nhỏ
thì
Suy ra .
Tương tự nếu thì
Bây giờ, ta xét các số nguyên tố đều lẻ.
Khi đó vì nên theo bổ đề trên thì ta có hoặc .
Rõ ràng trường hợp không xảy ra do đó phải có .
Suy ra hoặc .
Nếu như , mâu thuẫn.
Do vậy (vì chẵn và )
Suy ra . Tương tự .
Từ đó và đây là điều vô lí
Kết luận : CẤP CỦA MỘT SỐ NGUYÊN, CĂN NGUYÊN THỦY PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 3 COMMENTS
Phương trình nghiệm nguyên December 28, 2013
Bài toán (IMO Shortlist 2006)
Tìm các số nguyên dương thỏa mãn phương trình .Lời giải :
Bổ đề : Cho các số nguyên dương ( ) và số nguyên tố thỏa
mãn . Khi đó thì
Chứng minh bổ đề :
Gọi là một ước nguyên tố của .
Từ đề bài ta có
Nếu thì
Mà
Nếu , hiển nhiên vì nếu thì và điều này
trái giả thiết.
Do đó áp dụng định lí nhỏ thì , suy
ra
Như vậy ta có . Bổ đề được chứng minh.
Trở lại bài toán :
Ta viết phương trình dưới dạng :
Áp dụng bổ đề trên thì ta có
Nhưng từ ta có . Mâu
thuẫn với .
Kết luận : Không tồn tại các số nguyên dương thỏa mãn đề bài.Bài toán : Xét phương trình .a) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phương trình trên có nghiệm
nguyên dương .b) Với các giá trị tìm được, hãy tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình.Lời giải :a) Cố định và xét tập :
Trong chọn ra cặp thỏa mãn nhỏ nhất, giả sử .
Xét phương trình :
Dễ thấy phương trình này có nghiệm , gọi nghiệm còn lại là . Theo định lí Viete :
Từ đây dễ thấy cũng nguyên dương, vì tính nhỏ nhất của nên .
Suy ra :
Vì nguyên dương nên . Như vậy :
Và dấu bằng chỉ xảy ra khi . Mâu thuẫn. Như vậy . Hơn nữa theo AM-GM ta dễ thấy .
Ta được . Thử lại với thì là một nghiệm của phương trình.
b) Ta tìm tất cả các nghiệm của phương trình :
Xét dãy số xác định như sau :
Ta chứng minh nếu là cặp số nguyên dương bất kỳ thỏa khi và chỉ khi để .
Thực vậy, dễ kiểm tra được thỏa với mọi . Gọi là một cặp
số nguyên dương bất kỳ thỏa . Nếu thì , tức tồn tại để . Do đó ta chỉ cần xét , giả sử luôn .
Khi đó ta chọn . Dễ thấy nguyên dương và
cặp lúc này cũng thỏa .
Để ý ta có :
Suy ra .
Hoàn toàn tương tự ta chọn được cặp cũng thỏa nguyên dương và .
Cứ tiếp tục quá trình này, ta được :
Nhưng bị chặn dưới bởi nên phải tồn tại sao cho :
Từ đó :
…
.
Như vậy với cặp bất kỳ thì tồn tại để .
Từ đó tất cả các nghiệm của phương trình là với dãy xác định như trên.
Lưu ý : Kỹ thuật xét dãy như trên :Xét dãy truy hồi tuyến tính cấp hai :
Để ý thì thấy :
Như vậy :
Do đó nếu gặp phương trình có dạng :
Thì ta sẽ xét dãy .
DÃY SỐ SỐ HỌC PHƯƠNG PHÁP VIETA JUMPING (BƯỚC NHẢY VIETE) LEAVE A COMMENT
Arithmetic SequenceJuly 31, 2014Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 2012)
Xét các số tự nhiên lẻ mà và . Chứng minh rằng là các số hạng của dãy số tự nhiên được xác định bởi :
và Lời giải :Trước hết ta chứng minh :
Thực vậy, ta có :
Do lẻ nên .
Ngược lại nếu có thì dễ dàng suy ra ngay được
và .
Từ đó giả thiết đề bài tương đương với việc tồn tại số nguyên dương sao cho :
.
Ta chứng minh bằng Vieta Jumping. Cố định và xét tập :
Trong ta chọn ra cặp mà tổng là nhỏ nhất. Không giảm tổng quát, ta giả sử .
Xét phương trình bậc hai ẩn :
Dễ thấy phương trình này có một nghiệm là , gọi nghiệm còn lại là . Theo định lí Viete :
Từ đây suy ra được nguyên dương. Chú ý vì là nhỏ nhất nên ta được .
Suy ra hay .
Nếu có một trong hai số bằng , giả sử thì , dễ suy ra .
Nếu cả hai số . Ta có . Thì :
Lại theo AM-GM :
Ta được .
Lúc này :
Từ đẳng thức này dễ dàng suy ra phải có một trong hai số chia hết cho , giả sử thì .
Nếu ta gặp mâu thuẫn, do đó . Tức .
Nhưng lúc này :
Điều này vô lí. Vậy là giá trị duy nhất cần tìm.
Ta chứng minh xong việc các số thỏa giả thiết thì cũng phải thỏa mãn phương trình :
.
Bài toán sẽ hoàn tất nếu ta chỉ rằng nếu cặp bất kỳ thỏa mãn thì sẽ luôn tồn tại số tự nhiên sao cho .
Gỉa sử là một cặp số nguyên dương bất kỳ thỏa . Ta hoàn toàn có quyền giả sử .Nếu thì , tức tồn tại để . Tương tự khi xét . Do đó ta chỉ cần xét .
Khi đó ta chọn cặp , dễ thấy nguyên dương
và cũng thỏa mãn .
Lúc này ta chú ý
vì .
Suy ra :
.
Tương tự ta cũng chọn được cặp cũng thỏa nguyên
dương, cũng thỏa và .
Cứ tiếp tục quá trình này, ta được :
Thế nhưng nên phải tồn tại sao cho , suy ra .
Tức là ta có :
.
Ta có thể thấy được cách xác định là như sau :
hay .
Từ đó :
.
Như vậy tồn tại để với cặp bất kỳ thỏa thì ta
có .
DÃY SỐ SỐ HỌC PHƯƠNG PHÁP VIETA JUMPING (BƯỚC NHẢY VIETE) LEAVE A COMMENT
Phương pháp Vieta Jumping November 18, 2013Bài toán (CĐT VMO Bình Định 2013-2014) : Cho các số nguyên dương thỏa
mãn . Chứng minh rằng Lời giải :
Vì nên ta có . Đặt .
Dễ dàng
có .
Xét tập
Cố định và trong các phần tử của , ta chọn ra cặp số nguyên dương thỏa mãn tổng nhỏ nhất. Gỉa sử , không mất tính tổng quát, xét .
Xét phương trình bậc hai ẩn :
Dễ thấy phương trình này có một nghiệm là , gọi nghiệm còn lại là . Theo định lí , ta có :
Từ ta có nguyên. Nếu
thì . Mâu
thuẫn. Nếu thì .
Khi đó do tính nhỏ nhất của tổng mà ta có .
Rõ ràng điều này vô lí.
Như vậy phải có , suy ra , lại có , do đó .
Suy ra . Đây là điều phải chứng minh.
PHƯƠNG PHÁP VIETA JUMPING (BƯỚC NHẢY VIETE) 8 COMMENTS
[Bài toán] Vieta Jumping, Số chính phương October 11, 2013
Bài toán : Cho là các số nguyên dương thỏa mãn . Chứng minh rằng là một số chính phương.Lời giải :
Cố định và xét tập
Gỉa sử không là số chính phương.
Trong các phần tử của ta chọn ra cặp thỏa mãn nhỏ nhất. Không mất tính tổng quát, ta giả sử
Xét phương trình bậc hai ẩn :
Phương trình này hiển nhiên có hai nghiệm là và .
Theo định lí :
Từ ta có là số nguyên.
Nếu th
ì . Mâu thuẫn
Nếu thì là một số chính phương (loại)
Nếu thì .
Từ đó :
Mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của tổng .
Như vậy giả thiết phản chứng là sai, từ đó ta có phải là một số chính phương.
PHƯƠNG PHÁP VIETA JUMPING (BƯỚC NHẢY VIETE) SỐ CHÍNH PHƯƠNG, SỐ LẬP PHƯƠNG, SỐ LŨY THỪA 1 COMMENT
[Bài toán] Vieta Jumping October 11, 2013Bài toán : (VMO 2002) Tìm tất cả các giá trị nguyên dương sao cho phương
trình có nghiệm nguyên dương.Lời giải :
Viết lại phương trình dưới dạng :
Trong các nghiệm nguyên dương của phương trình, ta chọn ra bộ
nghiệm có tổng nhỏ nhất.
Khi đó dễ thấy là một nghiệm của phương trình bậc hai :
Gọi nghiệm còn lại của là , theo định lí :
Từ ta có nguyên và từ ta có dương. Như vậy cũng là
một bộ số thỏa , nhưng vì tính nhỏ nhất của tổng mà ta có .
Do đó từ ta suy ra
Kết hợp với
: .
Chia hai vế của đẳng thức cho , ta được :
Bây giờ, ta có quyền giả sử
Khi đó
Từ đó ta có thể suy ra :
Nếu , phương trình có nghiệm
Nếu , phương trình có nghiệm
Nếu , phương trình có nghiệm
Nếu , phương trình có nghiệm .
Kết luận: Để phương trình có nghiệm nguyên dương thì tập hợp tất cả các giá trị
nguyên dương của là PHƯƠNG PHÁP VIETA JUMPING (BƯỚC NHẢY VIETE) 1 COMMENT
Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên, Vieta Jumping]
September 7, 2013Bài toán (Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 10 năm 2014)Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phương trình có nghiệm nguyên dương.Lời giải :
Gọi là bộ nghiệm nguyên dương của phương trình thỏa mãn nhỏ nhất
Không mất tính tổng quát, ta giả sử
Xét phương trình bậc hai ẩn :
Phương trình bậc hai này hiển nhiên có một nghiệm , gọi nghiệm còn lại là
Theo định lí :
Từ ta có nguyên, từ ta có dương. Như vậy cũng là một nghiệm thỏa mãn phương trình
Mặt khác, do tính nhỏ nhất của tổng mà ta có .
Do đó từ , ta có :
Từ phương trình :
Với , ta có : , phương trình này vô nghiệm nguyên dương vì
Với , tương tự như trên, ta cũng lập luận được phương trình này vô nghiệm nguyên dương
Với , phương trình có nghiệm nguyên dương
Với thì phương trình có nghiệm . Với , dấu bằng phải đồng thời xảy ra ở các điểm :
Dễ thấy không tồn tại các số nguyên dương thỏa mãn tất cả các điều trên. Trường hợp này bị loại.
Kết luận : PHƯƠNG PHÁP VIETA JUMPING (BƯỚC NHẢY VIETE) PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 2 COMMENTS
Bài toán [Nguyên lí cực hạn, Phương trình nghiệm nguyên]
August 30, 2013
Bài toán : Cho phương trình với là số tự nhiên khác không. Tìm để phương trình có nghiệm nguyên dươngLời giải :
Gọi bộ số thỏa đề sao cho nhỏ nhất.
Xét phương trình bậc hai ẩn :
Dễ thấy phương trình này có một nghiệm là , gọi nghiệm còn lại là .
Theo định lí :
Từ có nguyên dương, do đó bộ cũng thỏa mãn phương trình, mặt khác do tính nhỏ nhất của tổng nên .
Từ :
Do đó từ :
Khai triển vế trái và chia hai vế của phương trình ban đầu cho tích :
Bây giờ, ta giả sử
Khi đó
Suy ra
Mà nguyên dương nên
Nếu phương trình có nghiệm
Nếu phương trình có nghiệm
Nếu phương trình có nghiệm
Nếu phương trình có nghiệm
Nếu phương trình có nghiệm
Nếu phương trình có nghiệm Nếu , phương trình vô nghiệm (chứng minh tại đây )
Nếu , phương trình có nghiệm
Nếu phương trình có nghiệm Nếu thì dấu bằng phải xảy ra đồng thời ở các điểm :
Dễ thấy không tồn tại các số thỏa mãn tất cả các điều kiện trên.
Kết luận :PHƯƠNG PHÁP VIETA JUMPING (BƯỚC NHẢY VIETE) PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 1 COMMENT
Bài toán [Nguyên lí cực hạn trong giải phương trình nghiệm nguyên]
August 30, 2013
Bài toán : Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm nguyên dương
Lời giải :
Gọi là một nghiệm thỏa mãn phương trình với là số nhỏ nhất
Không mất tính tổng quát, ta giả sử
Khi đó ta có :
Mặt khác xét phương trình bậc hai ẩn :
Hiển nhiên phương trình này có một nghiệm
Theo định lí thì nghiệm còn lại của nó là .
Như vậy cũng là một bộ số thỏa mãn phương trình.
Nếu giả sử thì vô lí vì cũng là một bộ số
thỏa mãn phương trình và vì tính nhỏ nhất của
Do đó phải có . Khai triển phương trình ban đầu và chia hai vế của nó
cho ta được :
Khi đó
Nếu thì ta có phương
trình (loại)
Nếu thì ta có phương
trình (loại)
Kết luận : Phương trình đã cho không có nghiệm nguyên dương.
PHƯƠNG PHÁP VIETA JUMPING (BƯỚC NHẢY VIETE) PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 2
COMMENTS
Bài toán [Số lũy thừa, Nguyên lí cực hạn] August 14, 2013
Bài toán : Cho các số nguyên dương thỏa mãn hệ thức . Chứng minh rằng là lũy thừa bậc năm của một số nguyên.
Lời giải :
Gọi là cặp số thỏa mãn đề bài và có tổng nhỏ nhất. Ta giả
sử .
Xét phương trình bậc hai ẩn :
Vì thỏa mãn đề bài nên là một nghiệm của phương trình . Gọi
nghiệm còn lại là . Theo định lí :
Ta có nên từ suy ra .
Các cặp đều thỏa mãn mà nhỏ nhất nên :
.
Như vậy
Trường hợp 1 : thay vào
thì
Trường hợp 2 : thì từ ta được :
Dễ thấy cùng tính chẵn lẻ mà
Trường hợp này không xảy ra
Trường hợp 3 :
Suy ra
Do đó từ suy ra
Khi thì từ suy ra ,
vì . Vô lí vì phải có .
Tương tự khi xét . Tất cả đều dẫn đến vô lí. Trường hợp này
loại.
Do đó ta luôn có là lũy thừa bậc năm của một số nguyên. Đây là
điều phải chứng minh.
Bài toán : Cho là số thực thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên , đa thức
chia hết cho đa thức .Lời giải :Với , ta có :
Gỉa sử có . Xét với :
Ta có :
Theo nguyên lí quy nạp, bài toán được chứng minh.
ĐA THỨC 1 COMMENT
PolynomialMay 22, 2014
Bài toán : Tìm tất cả các đa thức có hệ số nguyên và chia hết cho với mọi số nguyên .Lời giải :Ta có :
Theo đề bài :
Kéo theo :
Cố định , chọn đủ lớn sao cho , khi đó không được thỏa mãn. Hiển nhiên tồn tại vô số số nguyên như vậy. Do đó phải có :
Chọn thì được :
Gỉa sử với . Đồng nhất hệ số của :
Ta được .
Trở lại với giả thiết :
Đáp số bài toán là
ĐA THỨC 1 COMMENT
PolynomialMay 22, 2014Bài toán (Vietnam Mathematical Olympiad 2002)
Cho đa thức hệ số thực có ba nghiệm. Chứng minh rằng :
Lời giải :
Gọi là ba nghiệm của . Theo định lí Viete :
Ta cần chứng minh :
Bất đẳng thức này là thuần nhất nên ta chuẩn hóa . Khi đó cần chứng minh :
Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :
Đặt , ta cần chứng minh :
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử . Khi
đó .
Từ đây theo AM-GM ta có :
Ta được điều phải chứng minh.
PHÉP CHUẨN HÓA TRONG CHỨNG MINH BĐT THUẦN NHẤT ĐA THỨC 1 COMMENT
PolynomialMay 15, 2014Bài toán : Cho số tự nhiên . Chứng minh rằng đa thức bất khả quy trên .Lời giải :Gỉa sử rằng :
.
Ta có :
Không giảm tổng quát, ta giả sử .
Gọi là nghiệm của . Ta biểu diễn :
Ta có :
Như vậy thì
Khi đó thì :
Và đây là điều mâu thuẫn vì .
ĐA THỨC 1 COMMENT
PolynomialMay 15, 2014Bài toán (IMO 1993)
Cho số tự nhiên lớn hơn . Chứng minh rằng đa thức bất khả quy trên .Lời giải :Gỉa sử rằng :
trong đó .
Ta có .
Không giảm tổng quát ta giả sử .
Gọi và là nghiệm của :
Vì nên .
Ta có .
Kéo theo :
Ta cũng có :
Nếu thì :
Từ suy ra nên , vô lí.
Nếu thì :
Từ suy ra nên . Do đó đặt .
Gỉa sử .
Trong đồng nhất thức , đồng nhất hệ số tự do :
Nhận thấy rằng phải có thế nhưng dễ dàng kiểm tra
được . Mâu thuẫn.
Ta có điều phải chứng minh.
ĐA THỨC 1 COMMENT
PolynomialMay 15, 2014Bài toán (VMO 2014)
Cho đa thức với là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức không thể biểu diễn được dưới dạng tích của đa thức khác hằng số với hệ số nguyên.Lời giải :Gỉa sử phản chứng :
Vì nên không có nghiệm thực. Do đó các đa thức cũng
không có nghiệm thực, suy ra là chẵn.
Dễ dàng chỉ ra được rằng tồn tại ít nhất hai đa thức có bậc bằng .
Đặt :
Vì nên trong hai số sẽ có một số bằng .
Gỉa sử , ta được .
Lại có .
Nếu thì . Kết hợp ta được , vô lí.
Nếu thì . Kết hợp ta được . Thế
nhưng lúc này đa thức lại có nghiệm thực, mâu thuẫn.
Ta có điều phải chứng minh.
ĐA THỨC 1 COMMENT
PolynomialMay 15, 2014Bài toán : Cho số nguyên phân biệt . Chứng minh rằng đa thức
bất khả quy trên .Lời giải :
Gỉa sử rằng trong đó .
Vì nên cùng dấu với mọi . Không giảm tổng quát, ta
xét với mọi .
Ta có :
Do đó ta được :
Thay vào giả thiết ban đầu :
Và đẳng thức này là không thể có. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
ĐA THỨC 1 COMMENT
PolynomialMay 15, 2014
Bài toán (USA MO 1977)
Chứng minh rằng tích hai nghiệm thực của đa thức là nghiệm của đa
thức .Lời giải :
Đặt và .
Gỉa sử có bốn nghiệm . Theo định lí ta có .
Ta chứng minh :
Ta có :
Tương tự thì được . Hơn nữa ta có :
Do vậy mà . Tương
tự .
Như vậy ta chỉ cần chứng minh :
Điều này luôn đúng theo , ta có điều phải chứng minh.
ĐA THỨC 1 COMMENT
PolynomialMarch 31, 2014
Bài toán : Chứng minh rằng với mỗi đa thức hệ số nguyên thì luôn
tồn tại một đa thức hệ số nguyên sao cho hai tập hợp các giá trị của hai đa thức trên tập số nguyên thì rời nhau.
Lời giải :
Nếu lẻ thì chẵn, do đó cùng tính chẵn lẻ với . Khi đó ta chỉ
cần chọn chẵn và khác tính chẵn lẻ với thì hiển nhiên tập giá trị trên tập số
nguyên của hai đa thức và là không trùng nhau.
Nếu chẵn, đặt . Ta có :
Do đó ta sẽ chọn và thì :
Tức là bài toán được thỏa mãn.
Ta có điều phải chứng minh.
ĐA THỨC 1 COMMENT
PolynomialMarch 30, 2014
Bài toán : Cho là bốn số nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng
không tồn tại đa thức bậc ba hệ số nguyên thỏa
mãn .Lời giải :
Ta xét các trường hợp sau :
a) Nếu cả bốn giá trị đều bằng nhau.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử .
Xét đa thức
Ta có , điều này mâu thuẫn với .
b) Nếu trong bốn giá trị có ba giá trị bằng nhau.
Ta giả sử .
Khi đó ta có :
Ta có
Nếu lẻ thì do phân biệt nên tồn tại ít nhất hai số nguyên tố lẻ
trong ba số , giả sử lẻ. Khi
đó , điều này vô lí.
Nếu chẵn, .
Khi đó dễ
thấy
, mâu thuẫn.
c) Nếu trong bốn giá trị có hai giá trị bằng và hai giá
trị bằng .
Không mất tính tổng quát, ta giả sử .
Ta đặt
Thì :
Nếu thì , chú ý lẻ ta
có . Tương tự . Mà phân biệt nên không mất tính tổng
quát, ta giả sử .
Lúc này
Nhưng vì phân biệt nên .
Nhưng khi đó , vô lí.
Tương tự khi xét ta cũng đều gặp mâu thuẫn.
Do vậy các số đều lẻ.
Kéo theo đều chia hết cho , vô lí.
Ta có điều phải chứng minh
ĐA THỨC 1 COMMENT
PolynomialFebruary 21, 2014
Bài toán : Cho là số nguyên dương. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để
đa thức khả quy trên là Lời giải :
Gỉa sử với
Ta có
Đặt và gọi là nghiệm của
Thế thì :
Mặt khác ta cũng có :
Nếu thì , vô lí.
Nếu thì , mâu thuẫn với .
Do vậy phải có .
Kéo theo :
Tiếp theo ta chứng minh chẵn. Thật vậy, giả sử lẻ.
Ta có
Đây là điều mâu thuẫn vì với chẵn và lẻ ta có
Do vậy phải chẵn
Từ ta có .
Ngược lại, với ta có
khả quy trên .
Ta có điều phải chứng minh.
ĐA THỨC 1 COMMENT
PolynomialFebruary 11, 2014
Bài toán : Cho số nguyên tố và số nguyên không chia hết cho . Chứng minh
rằng đa thức bất khả quy trên .Lời giải :
Gỉa sử khả quy trên , đặt :
Trong đó
Gỉa sử trong đó
và
Gọi là nghiệm thực (hay phức) của .
Khi đó ta có :
Kéo theo
Trong đó
Theo định lí thì mọi đa thức đối xứng của đều nguyên (vì hệ
số bậc cao nhất của bằng ), nên có nguyên.
Mặt khác theo định lí cơ bản của đại số, biểu thức cũng biểu diễn được theo
những đa thức đối xứng của , kéo theo nguyên.
Như vậy ta có đều nguyên.
Theo định lí nhỏ ta có :
Kéo theo
Từ ta có , dẫn đến , mâu thuẫn giả thiết. Ta có điều phải chứng
minh.
ĐA THỨC 1 COMMENT
PolynomialFebruary 8, 2014
Bài toán : Tìm tất cả các đa thức nhận làm một nghiệm.
Chứng minh Lời giải :
Ta có :
Thu gọn, ta được :
Ta chứng minh đa thức là đa thức
có bậc nhỏ nhất mà có nghiệm .
Gỉa sử tồn tại một đa thức không đồng nhất có bậc không lớn hơn với hệ
số nguyên và có nghiệm .
Ta có :
Khai triển ta được :
Từ đây có ngay .
Dẫn đến , mâu thuẫn. Do đó là đa thức có bậc nhé nhất thỏa đề.
Khi đó tất cả các đa thức cần tìm sẽ có dạng
với . Thật vậy, giả sử :
với
Vì .
Đây là điều mâu thuẫn vì là đa thức bậc bé nhất có
nghiệm .
Suy ra , dẫn đến :
Theo trên ta có
ĐA THỨC 1 COMMENT
PolynomialFebruary 1, 2014
Bài toán : Cho đa thức có tính chất nhận giá trị nguyên với tất cả những giá trị nguyên của . Xét họ đa thức :
Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên sao cho biểu diễn được dưới dạng :
Lời giải :
Vì nhận giá trị nguyên với mọi nguyên nên :
Với
Áp dụng công thức nội suy thì :
Khi đó ta chọn
Thì ta có ngay :
Hơn nữa ta có
Thật vậy,
mà nên
…Tiếp tục như thế thì ta có
Từ đó dẫn đến :
Ta có điều phải chứng minh.
ĐA THỨC 1 COMMENT
[Bài toán] Đa thức hệ số nguyên October 6, 2013
Bài toán : Cho hai đa thức hệ số nguyên :
và
.
Biết rằng là một số nguyên tố và . Gọi là một nghiệm hữu tỷ chung của hai đa thức. Chứng minh rằng là một số nguyên.
Lời giải :
Đặt .
Ta có :
Tương tự .
Từ đó ta có mà là một số nguyên tố nên hoặc .
Nếu thì , ta có điều phải chứng minh.
Nếu :
Ta có :
.
Lại có nguyên tố nên , mâu thuẫn với .
Như vậy ta có điều phải chứng minh.
ĐA THỨC 1 COMMENT
[Bài toán] Đa thức, Công thức nội suy Lagrange September 28, 2013
Bài toán : Cho thỏa mãn với mọi .
Chứng minh rằng
Lời giải :
Áp dụng công thức nội suy cho với bốn số :
Đồng nhất hệ số :
Từ đó chú đến bất đẳng thức và , ta có :
Đây là điều phải chứng minh.
ĐA THỨC 1 COMMENT
[Bài toán] Tìm cực trị của đa thức, công thức nội suy Lagrange
September 24, 2013
Bài toán : Cho đa thức thỏa mãn điều
kiện . Tìm giá trị lớn nhất của .
Lời giải :
Áp dụng công thức nội suy cho với ba số thực ta được :
Do đó :
Xét :
Đẳng thức xảy ra khi
Xét :
Đẳng thức xảy ra khi
Kết luận :
ĐA THỨC 1 COMMENT
[Bài toán] Ứng dụng công thức nội suy Lagrange vào bài toán đa thức
September 24, 2013
Bài toán : Cho đa thức thỏa mãn điều
kiện .
a) Chứng minh rằng ta luôn có
b) Chứng minh với mọi thỏa mãn thì Lời giải :
a) Áp dụng công thức nội suy cho với ba số thực , ta có :
Đồng nhất hệ số, ta được :
Do đó :
Đây là điều phải chứng minh.
b) Theo câu a, ta đã có :
Suy ra :
Áp dụng tính chất
Ta có :
Nếu
Nếu
Suy ra
Đây là điều phải chứng minh.
ĐA THỨC 1 COMMENT
Bài toán [Đa thức, Chia hết] September 19, 2013
Bài toán : Cho các số nguyên dương thỏa mãn tích là một số chính
phương. Chứng minh rằng đa thức không chia hết cho đa
thức với mọi .Lời giải :
Ta xét đa thức .
Đặt . Không mất tính tổng quát ta
giả sử
Ta có
Ta luôn có . Tương tự
thì .
Gỉa sử thì . Đặt
Nếu thì .
Để
Điều này là vô lí vì với .
Nếu thì
Nếu thì . Để
thì .
Điều này là vô lí vì .
Nếu th
ì
Nếu th
ì
Nếu thì với . Do
đó
Từ đó suy ra . Điều này mâu thuẫn với
giả thiết là số chính phương.
Kết luận : Gỉa thiết phản chứng sai, ta có điều phải chứng minh.
SỰ CHIA HẾT, ĐỒNG DƯ ĐA THỨC 8 COMMENTS
Bài toán [Đa thức] September 17, 2013
Bài toán : Cho đa thức .
Đặt . Gọi là một nghiệm của đa thức. Chứng minh
rằng Lời giải :
Vì là một nghiệm của nên :
Nếu thì hiển nhiên ta có điều phải chứng minh
Nếu , ta có :
Đây là điều phải chứng minh.
ĐA THỨC 1 COMMENT
Bài toán [Đa thức] September 11, 2013
Bài toán : Cho đa thức . Chứng minh rằng tồn tại
nhiều nhất một đa thức bậc ( là số nguyên dương) sao
cho .Lời giải :
Nếu ta chứng minh được trường hợp không tồn tại hai đa thức thỏa đề thì hiển
nhiên sẽ không tồn tại nhiều hơn hai đa thức thỏa đề. Gỉa sử tồn tại hai đa thức
thỏa mãn đề bài :
và
Theo đề bài ta có :
Ta so sánh hệ số theo của hai vế :
Hoàn toàn tương tự, ta được . Suy ra .
Đặt
Ta xét , khi đó
Mặt khác :
Rõ ràng
mâu thuẫn nhau vì . Như vậy ta có điều phải chứng minh.
ĐA THỨC 1 COMMENT
Bài toán [Đa thức bất khả quy] August 30, 2013
Bài toán : Chứng minh rằng nếu là một số nguyên tố thì đa thức
bất khả quy trên . Lời giải :
Đặt , ta có :
Ta có :
Theo tiêu chuẩn đa thức bất khả quy trên . Đây là điều phải
chứng minh.
ĐA THỨC 1 COMMENT
Bài toán [Đa thức] August 22, 2013
Bài toán : Chứng minh rằng mọi đa thức bậc chẵn với các hệ số lẻ đều không có
nghiệm hữu tỉ.
Lời giải :
Xét đa thức
Trong đó là số nguyên dương và là các số nguyên lẻ.
Giả sử đa thức trên có nghiệm hữu tỉ với
Khi đó :
Mà nên . Tương tự ta có .
Vì đều lẻ nên cũng đều lẻ
Khi đó vế trái của là tổng của số lẻ nên là số lẻ. Trong khi đó vế phải
của bằng là một số chẵn. Mâu thuẫn
Gỉa thiết phản chứng sai, ta có điều phải chứng minh.
