Dall’antichità al Rinascimento Dal ‘600 al ‘700

Dal ‘700 all’800 Il ‘900

Introduzione 

Spesso nella vita quotidiana affrontiamo scelte di cui non

sappiamo prevedere le conseguenze. La parte della matematica che si occupa di

razionalizzare le interpretazioni dei fenomeni casuali, invece che affidarsi a pregiudizi, a

superstizioni o al fato, è detta calcolo delle probabilità.

Quest’ ultima è nata come scienza analitica nel Seicento, tuttavia affonda le proprie radici

nell’età antica, che ha fornito basi concettuali in seguito

riprese ed ampliate.

I primi riferimenti nel mondo greco al concetto della distribuzione statistica

intorno ad una media risalgono addirittura al V secolo a.C. Leggiamo,

infatti, nel Fedone di Platone.

«È lo stesso delle cose molto piccole e molto grandi.

Credi forse che sia tanto facile trovare un uomo o un

cane o un altro essere qualunque molto grande o molto

piccolo o, che so io, uno molto veloce o molto lento o

molto brutto o molto bello o tutto bianco o tutto nero?

Non ti sei mai accorto che in tutte le cose gli estremi

sono rari mentre gli aspetti intermedi sono frequenti,

anzi numerosi?» Platone

Un passo in avanti, che ha contribuito agli studi riguardanti il

calcolo probabilistico, fu la scoperta del “metodo di esaustione”.

Quest’ultimo viene tradizionalmente attribuito ad Eudosso ma fu

perfezionato da Archimede. Si può esplicare mediante l’assioma: se da una qualsiasi grandezza si sottrae

una parte non inferiore alla sua metà e se dal resto si sottrae ancora

non meno della metà della parte rimanente, continuando questo processo, alla fine rimarrà una grandezza inferiore a qualsiasi

grandezza dello stesso genere già assegnata. Ciò permise di verificare

il rapporto tra due determinate figure. Archimede

Nell'antica Grecia degli eroi i dadi rappresentavano il fato e la sorte. La loro simbologia ha

origini antiche. Secondo Sofocle i dadi da gioco ed

anche gli scacchi sarebbero stati inventati da Palamede,

durante l'assedio di Troia. Era il gioco più diffuso al tempo dei greci tanto che una loro rappresentazione è visibile ance nella famosa anfora di

Aiace e Achille, in cui i guerrieri sono raffigurati nel

corso di una partita, a rappresentare la possibilità degli eroi di vincere il fato,

determinando il proprio destino.

Nella civiltà greco-latina per l’interpretazione dei

fenomeni casuali ci si affidava al concetto di 'Fato', che era invincibile e persino

gli dei vi dovevano sottostare. Nella cultura

greca è personificato dalle tre Moire (chiamate Parche

dai Romani). Una dea senza scrupoli, Nemesis,

rappresentava la cieca distribuzione della fortuna

per gli antichi greci con intenzioni né buone né

cattive, ma semplicemente in proporzione a seconda dei

suoi desideri. Le tre Parche

Nel Medioevo il problema probabilistico ebbe una funzione utilitaristica; fu, infatti, adoperato per l’interpretazione dei giochi

d’azzardo. Potrebbe essere che qualche giocatore intelligente

avesse sviluppato qualche metodo, tuttavia non ci sono

pervenute trattazioni sistematiche dell’argomento.

Wibold, vescovo vissuto attorno all’anno 1000, inventò un gioco in

cui enumerò 56 virtù, ciascuna corrispondente ai modi in cui tre dadi possono essere lanciati, a

prescindere dall'ordine.

Tra le più antiche descrizioni dei modi in cui tre dadi possono

cadere troviamo il poema De vetula.

Si è supposto a lungo che l’opera fosse stata scritta da Ovidio, tuttavia oggi l’attribuzione più

probabile sembra quella di Richard de Fournival (1200),

dotato umanista nonché uomo di Chiesa.

Secondo quest’ opera, se tutti e tre i numeri sono uguali v'è un

solo modo per ciascun numero; se due sono uguali ed uno

differente vi sono tre modi; e se tutti sono differenti vi sono sei

modi, a prescindere dall’ordine.

In seguito, durante l’epoca rinascimentale, studiosi

come Tartaglia, XV-XVI sec., e successivamente Galileo

e Cardano, XVI sec., cominciarono ad affrontare

il problema, gettando le basi della futura disciplina.

A Niccolò Tartaglia (1499-1577) dobbiamo la formulazione dell’omonimo triangolo, che fu

in seguito adottato dagli studiosi francesi Pascal e Fermat. Tale triangolo permette di calcolare rapidamente i coefficienti dello sviluppo di un binomio. Per tale motivo i

numeri che compongono questo triangolo sono anche detti coefficienti binomiali.

Tartaglia

Galileo

Cardano

Come sappiamo furono i dadi a portare i matematici del XVII sec. a trattare il

problema del calcolo delle probabilità.

Uno dei protagonisti delle vicende fu il Cavaliere di Merè, un incallito giocatore

d’azzardo, che, volendo trovare un metodo che gli consentisse di vincere al gioco, pose a Blaise Pascal due problemi che ormai sono rimasti celebri nel mondo

del calcolo delle probabilità:

E’ più probabile avere un 6 lanciando 4 volte un dado o avere almeno una volta il

doppio 6 lanciando 24 volte due dadi?

Se due giocatori, della stessa bravura, interrompono all’improvviso un gioco in

cui vince chi per primo totalizza un fissato numero di punti, come va divisa la

posta se nessuno raggiunge il punteggio?

Il cavaliere di Merè

Pascal e FermatLa nascita della teoria delle probabilità, quindi, risale al XVII secolo e va attribuita ai matematici francesi Pascal e Fermat.

Infatti per risolvere i problemi posti dal Cavaliere di Merè, Pascal (1623-1662) si consultò con Pierre de Fermat(1601-1665) e ne nacque una famosa corrispondenza epistolare.

Il 29 luglio 1654 Pascal scriveva a Fermat: "Vedo che la verità è la stessa a Tolosa come a Parigi." I due grandi matematici avevano

scoperto le prime leggi della probabilità e inventato il calcolo combinatorio. Sempre in quell’anno, infatti, Pascal pubblica il Traité

du Triangle Arithmétique dove si parla del triangolo di Tartaglia.

Ricompaiono finalmente i coefficienti binomiali, con i quali Pascal risolse il problema della divisione della posta:

Se ad un giocatore mancano j punti per vincere e all’altro k, la posta deve essere divisa nel rapporto seguente

11

0 0

1 1/

jk

h h

j k j k

h h

Ma naturalmente lo studio della probabilità non si esaurì con i risultati proposti dal francese Pascal ma fu affrontato anche da altri studiosi europei.

Nel 1657 il fisico olandese Christiaan Huygens (1629-1695) diede alle stampe De ratiociniis in ludo aleae, dove appare il concetto di speranza matematica appositamente inventato per risolvere il problema della divisione della posta.

Inoltre anche gli studi di Tartaglia sui coefficienti binomiali furono ripresi ed integrati da Newton e Leibniz, tra i quali nacque una forte rivalità sulla paternità delle scoperte.

Newton contribuì con la cosiddetta Formula di Newton, che riprese le idee di Tartaglia. Secondo tale formula la potenza del binomio può essere scritta come:

Christian HuygensIsaac NewtonGottfried Wilhem Leibniz

0

2n

n

k

n

k

0

nn n k k

k

na b a b

k

Leibniz usa, ma non dimostra, che la somma dei coefficienti binomiali su una riga è una potenza di due :

L’Età dei Lumi:la famiglia Bernoulli

A Jacob Bernoulli (1654-1705) si devono in particolare:

•la risoluzione del problema delle navi mediante la Distribuzione Binomiale•l’enunciazione della Legge dei Grandi Numeri

Nonostante le numerose teorie enunciate nel XVII secolo è solo nel corso del secolo successivo che cominciarono ad essere enunciate le prime leggi e definizioni riguardanti il calcolo delle probabilità.

Importante fu in questo senso il ruolo della famiglia Bernoulli, le cui scoperte anticipavano la

formulazione della definizione classica di Laplace.

Jacob Bernoulli

Con la Legge dei Grandi Numeri nasceva la teoria della misura e dell’analisi funzionale:

Un evento di probabilità p, sconosciuta, viene considerato in n prove indipendenti. Sia Sn il

numero di volte in cui l’evento si è verificato ed ε > 0 un numero piccolo a piacere. Allora la probabilità che Sn /n differisca in modulo meno di ε da p, quando il numero n di prove cresce

all’infinito, è uguale a uno.

Il problema delle navi poneva tale interrogativo:

Se una nave ha probabilità p di naufragare, si chiede qual è la probabilità che di n navi salpate, più o meno dello stesso tipo e per la stessa rotta, k di esse facciano naufragio.

lim 1n

n

SP p

n

Detta q=1-p la probabilità che la nave non naufraghi, la probabilità richiesta è:

,k n k

n k

np p q

k

Tale formula è nota con il nome di Distribuzione Binomiale

Daniel Bernoulli

Daniele Bernoulli (1700-1782), nipote di Jacob, nel suo Specimen Theoriae novae de mensura sortis

affrontò, invece, il problema del paradosso di Pietroburgo:

Supponiamo che Pietro e Paolo si mettono a giocare a testa e croce con

una moneta. Se il primo lancio dà testa, Paolo darà a Pietro una corona; se il primo lancio dà croce, ma si ottiene testa per la prima volta al secondo

lancio, Paolo darà a Pietro due corone; […] Qual è la somma che Pietro

dovrebbe pagare a Paolo perché questi accetti di giocare?

All’inizio del ‘700, con De Moivre e Bayes, la probabilità

si cominciò a porre come disciplina matematica vera e

propria.

Nell’opera del 1718 Doctrine of chances De Moivre affrontò uno dei problemi della teoria

della probabilità dimostrando e utilizzando la Formula di

Stirling.

De Moivre è noto anche per i suoi lavori sulla distribuzione normale, in seguito ripresi da

Gauss.

.

Abraham De Moivre

Thomas Bayes

Poco più tardi, nel 1763, uscirono i lavori di Bayes sulla probabilità condizionata.

Teorema di Bayes (sulla probabilità delle cause):

Supponiamo che in una singola prova possa verificarsi uno e uno solo fra due o più possibili eventi H1, H2, ... Hn (indichiamo con p(Hi) la probabilità che si verifichi Hi), e che, qualora si verifichi l'evento Hi, ci sia una ben determinata probabilità p(E/Hi) che si verifichi un dato evento E

Insomma, gli eventi H1, H2, ... Hn costituiscono le possibili CAUSE dell’evento E; tali cause sono:fra loro incompatibili (=non è possibile che si verifichino contemporaneamente due eventi Hi, Hj, se i≠j) ed "esaustive" (=nessuna altra causa, al di fuori delle Hi, può generare l’evento E). Allora, se si verifica l'evento E, la probabilità che esso sia stato provocato dalla causa Hi è data dalla formula:

1 1 2 2

//

/ / ... /i i

in n

p E H p Hp H E

p E H p H p E H p H p E H p H

Carl Friedrich Gauss

 A inizio ‘800,

cominciarono a nascere legami tra

il calcolo delle probabilità e le altre

discipline scientifiche: nel

1809, durante il suo studio degli errori di osservazione in astronomia, Gauss trovò la curva che

prenderà il suo nome. 

CAMPANA DI GAUSSIn prima approssimazione la curva di Gauss rappresenta la

frequenza con la quale si presentano gli errori casuali. Gli errori più piccoli sono più frequenti di quelli grandi. Infatti per il punto P si ha: errore -2, frequenza 82 %; per il punto Q errore -5, frequenza 14 %. Graficamente la curva ha la forma di una campana, è simmetrica, è asintotica rispetto all'asse orizzontale. C'è però anche un altro modo di usare la curva di Gauss: essa può rappresentare la probabilità p con la quale un certo errore può presentarsi.Se le misure sono già state eseguite, sulle ascisse si riportano gli scarti:se la loro distribuzione è simile a quella della curva di Gauss, significa che abbiamo operato correttamente. Come si vede la curva di Gauss ha una grande importanza nella teoria degli errori, nella statistica, nel calcolo delle probabilità.

Definizione classica di probabilità

Laplace, nella sua opera Théorie analytique des probabilités del 1812, ci fornì la sua celebre definizione conosciuta come classica:La probabilità di un evento E è il rapporto tra il numero m dei casi favorevoli (al verificarsi di E) e il numero n dei casi possibili, supposti tutti equiprobabili.

La definizione di Laplace, tuttavia, risultava facilmente criticabile in quanto presupponeva:

1. l’equiprobabilità dei possibili esiti elementari2. la possibilità di conteggiarli in termini combinatori3. la finitezza del loro numero

Fino a questo punto si erano andate delineando due differenti definizioni di probabilità, nate dalla necessità di dare basi matematiche adeguate a questo “nuovo” concetto.

mP E

n

Pierre Simon de Laplace

Circa 30 anni dopo la comparsa del lavoro di Laplace, Antoine Cournot e Robert

Leslie Ellis separatamente proposero una nuova definizione di impostazione statistica, nota come definizione

frequentista:La probabilità di un evento E è il rapporto tra il numero k di volte che si è verificato E

e le n prove effettuate.

Naturalmente quando n tende a infinito questo rapporto corrisponderà a quello

individuato da Laplace.Ma anche questa definizione venne

sottoposta a molte critiche in quanto conteneva elementi di arbitrarietà o

quantomeno di soggettività. Antoine Cournot

Definizione frequentista

( )k

p En

Probabilità…una nuova scienza?

Nel 1900 Hilbert, durante il congresso mondiale dei

matematici, pose la questione dei fondamenti

del calcolo delle probabilità; infatti fino ad allora non si era riusciti a

dare una struttura assiomatica affinché questa teoria potesse

essere definita una scienza. David Hilbert

La teoria soggettiva: Bruno De Finetti

Il primo matematico a rispondere alla questione sollevata da Hilbert fu De Finetti con la

teoria soggettiva sintetizzata nei seguenti modi:

“La probabilità di un evento è fornita secondo l’esperienza personale e le informazioni

disponibili.”“La probabilità soggettiva è il prezzo che un individuo stima

equo pagare per avere un guadagno unitario.”

P E s

La teoria assiomaticaAgli inizi del ‘900 prese il sopravvento l’idea di

svincolare il concetto di probabilità da ogni riferimento concreto.

La sistemazione definitiva è dovuta a Kolmogorov che nel 1933 propose una definizione di probabilità prendendo come punto di partenza alcuni assiomi che esprimono la natura , le proprietà matematiche degli enti su cui opera e i relativi legami.

Sia lo spazio degli eventi possibili.Si dice probabilità una qualsiasi funzione P

definita sulla classe degli eventi tale che:1. Se A è un evento allora 2. Se è l’evento certo allora 3. Se sono eventi a due a due

incompatibili allora

In tal modo la probabilità acquista ufficialmente la dignità di disciplina matematica!

( ) 0P A

1 2, ,...A A

11

( ) ( )i ii

i

P A P A

( ) 1P

Kolmogorov

I fisici protagonistiSuperato il muro del determinismo la probabilità fece il suo ingresso trionfale nel mondo fisico fin dai primi anni del ‘900.

Nel 1905 Albert Einstein spiegò il moto browniano in termini casuali scoprendo che tutto il mondo degli atomi è governato da leggi probabilistiche.

Nel 1910 Rutherford, Bateman e Geiger vinsero il Nobel per la fisica: scoprirono che il numero di particelle emesso da una sostanza radioattiva è una variabile aleatoria (con distribuzione di Poisson).

Nel 1928 i fisici Paul e Tatiana Ehrenfest vinsero il Nobel per aver spiegato la diffusione dei gas mediante un modello probabilistico (catene di Markov).

Nel 1926 Einstein scriveva a Max Born: “Tu ritieni che Dio giochi a dadi col mondo, io credo invece che tutto obbedisca ad una legge ….”.

Albert Einstein

Metodo Monte CarloNei primi decenni del ‘900 l’utilizzo di metodi probabilistici iniziò a diffondersi negli ambiti scientifici soprattutto per effettuare stime attraverso simulazioni.

Una di queste tecniche introdotte è il Metodo Monte Carlo. I suoi formalizzatori sono stati John von Neumann e Stanislaw Marcin Ulam che lo hanno utilizzato all’interno del progetto Manhattan verso gli anni ‘40. Il nome, invece, deriva dal noto casinò per merito di Nicholas Constantine Metropolis.Una delle applicazioni più famose di tale metodo è sicuramente quella di Enrico Fermi che nel 1930 lo usò per calcolare le proprietà del neutrone.Da un altro punto di vista esso è anche una valida tecnica numerica per il calcolo di integrali.Due classici esempi di utilizzo di tale metodo sono:1. La determinazione della superficie di un lago2. La determinazione del valore di

Un primo esempio di utilizzo di questo metodo è rappresentato dall’esperimento dell’ago di Buffon, il cui utilizzo più famoso è quello di Enrico Fermi.

Superficie di un lagoPer determinare l’area sconosciuta di un lago si chiede di tirare N colpi di cannone in modo aleatorio. Contiamo le palle X cadute fuori dal lago e quelle N-X cadute dentro.

Superficie lago N X

Superficie terreno N

N X

Superficie lago Superficie terrenoN

Valore di Sia M un punto di coordinate (x,y) Con e Scegliamo in modo casuale i valori di x ed y.Tutte le volte che il punto M si trova dentro al disco di centro (0,0) e raggio 1.Facendo il rapporto del numero dei punti che cadono nel disco con il numero delle prove effettuate si ottiene una buona approssimazione di π/4 quando il numero delle prove è sufficientemente elevato.

0 1x 0 1y

2 2 1x y

Alessiani Mario

Bonomo Francesca

Carlini Marco

Casalena Gianguido

Cipriani Benedetta

Crocetta Irene

D’Ignazio Natalina

Di Romano Simone

Di Stefano Michela

Di Varano Stefano

Foschi Matteo

Leotta Matteo

Martegiani Laura

Marzoli Riccardo

Menghini Jenny

Pompei Ilaria

Rapagnà Serena

Santarelli Catia

Sperandio Laura

Standoli Gianluca

Topitti Alfonso

Valentino Gennaro

Verticelli Alice

Verzilli Giordano

2006-2007