Dali PHY432 1

8/17/2019 Dali PHY432 1

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18 blocs pour apprendre la mécanique quantique et la physique statistique

Résonance magnétiqueStructure des atomes

Physique des solides

Physique stellairePrincipe du laser

Nature du "réel"

Le cours de physique

Mécanique quantique7 blocs Physique statistique11 blocs

Voie A

Voie B+

M.Q.

+

P.S.

Note : les fichiers pdf des diapositives ainsi que les infos du cours sont disponibles à l'adressehttp://www.enseignement.polytechnique.fr/physique/

cours 2ème année mécanique quantique transparents

Idée clés de la description quantique d'un système physique :

Relations d'incertitude :

Principes de la mécanique quantique

Etats du système "Observables" de ce système Evolution temporelle du système

Avec quel degré de précision peut-on espérer connaître plusieurs grandeurs physiques simultanément ?

1.

Quand a-t-on besoin de la mécanique quantique ?

Particule ponctuelle de masse m (non relativiste)

Newton : position et impulsion réelles

Physique newtonienne ou physique ondulatoire ?

Schrödinger :fonction d'onde complexe

Description probabiliste :

ψ est continue et

Les concepts classiques cessent de s'appliquer quand :

action caractéristique < constante de Planck h

action = longueur caractéristique x impulsion caractéristique

avec :

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a

Particules

d'impulsion p

Diffraction d'un jet de particule par un trou

"action"

Description quantique en terme d'onde plane de longueur d'onde

Les phénomènes non classiques (diffraction) seront dominants si :

λ > a p a < h

λ = h / p (de Broglie)

action caractéristique : paà comparer à la cte. de Planck : h

p a / h

Taille de

l'ouverture(m)

Vitesse

(m/s)

Masse(kg)

Système

considéré

1

1011

1034

10-67009 10-31Electron à traversune fente

10-410-110-16Globule rougedans un capillaire

1170Homme passant

une porte

Mécanique quantique = physique des objets microscopiques

Ordres de grandeur (h=6,63 10-34 J s)

Même type d'expérience menée avec des électrons, des molécules C60

Expériences menées avec des atomes (néon)

action = taille * impulsion = taille * masse * vitesse

Superfluidité de l'hélium liquideà basse température (T < 2,3 K)

La physique quantique peut également être macroscopique

Supraconductivité de certains métaux

à basse températureCaractère quantique marqué si :

distance entre voisins < longueur d'onde de de Broglie

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• Particule ponctuelle

• Description d'un système quantique quelconque

2.

Les principes de la mécanique quantique

Particule ponctuelle de masse m dans un état

Mesures sur une particule ponctuelle

x

Si on effectue une mesure de position sur un grand nombre de particules,toutes préparées dans le même état ψ , on peut tracer un histogramme :

N(x)

Mesure de position

( )2

,r t ψ

Le résultat n'est pas certain :variable aléatoire de densité de probabilité

(r ,t )2ψ

position moyenne :

2 3( , ) x x r t d r ψ = ∫

x

( , )r t ψ

Mesure d'impulsion

Mesures de position et mesures d'impulsion

Mesure de position

2 3 * 3( , ) ( , ) ( , ) x x r t d r r t x r t d r ψ ψ ψ = =∫ ∫

2 3 * 3( , ) ( , ) ( , )r r r t d r r t r r t d r ψ ψ ψ = =∫ ∫

A toute grandeur de la physique newtonienne , on associeun opérateur

Mesures (suite)

Action de l'opérateur position sur la fonction d'onde :

multiplication par

Action de l'opérateur impulsion sur la fonction d'onde :

dérivation par rapport à (gradient)

Opérateur moment cinétique :

Action sur :

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L'état d'un système quantique est caractérisé par un vecteurd'un espace de Hilbert

Particule ponctuelle :

Atome d'hydrogène :

Fonctions de

carré sommable

Autres types de degrés de liberté : moment magnétique, spin, polarisation Espaces de dimension finie

généralisation de

Le vecteur est normé :

Formulation générale de la mécanique quantique

22( ) ( ) ( ) ( ) 1t t t t ψ ψ ψ ψ = = =

( )t ψ

( )t ψ

Relation entre le formalisme et les quantités physiquement mesurables :

A toute grandeur physique A, on associe un opérateur agissantdans l'espace de Hilbert

En dimension finie, est une matrice carrée

Les opérateurs associés aux grandeurs physiques sont hermitiens

Observables

vecteur ligne vecteur colonnematrice carrée

Observables

On dispose désormais de sources délivrant des photons "un par un".

polarisation

horizontale

polarisation

verticale

polarisation inconnue

Cube polariseur z

Observable : composante de la polarisation le long de l'axe z

2 résultats possibles : ε z =1 photon de pol. verticale

ε z =0 photon de pol. horizontale

Notion qui sera approfondie lors de l'étude de l'expérience de Stern & Gerlach

Exemple : la polarisation d'un photon

Espace à deux dimensions, de base { },V H

état de polarisation quelconque : V H ψ α β = +

Le principe énoncé pour une particule ponctuelle se généraliseà tout système physique :

La valeur moyenne des résultats d'une mesure de A, effectuées surun grand nombre de systèmes tous préparés dans l'état , vaut :

a

N (a)

a1 a2 a3 a4

Mais quels sont les résultats individuels possibles ai et leur probabilité pi ?

généralisation de

(réel)

Mesures individuelles

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Principe :

• Dans une mesure de A, les seuls résultats possibles sontles valeurs propres aα de .

• La probabilité de trouver la valeur propre aα , de vecteur propre associé , est :

Mesures individuelles (2)

Si la valeur propre est dégénérée, cette formule se complique un peu :où est le projecteur sur le sous-espace propre de aα .

L'observable (particulièrement importante !) associée à l'énergieest l'hamiltonien.

pour une particule ponctuelle à 1D :

Sandwich de Al Ga As – Ga As – Al Ga As

Potentiel électrostatique vu par

un électron de conduction x

V ( x)

Un exemple concret : énergie d'un électron dans un puits quantique

avec

Une mesure de l'énergie de l'électron ne peutdonner comme résultat qu'une des valeurs propres E α de l'hamiltonien :

x

V ( x)Spectre continu d'énergie :

états asymptotiquement libres

Partie discrète du spectre :états liés

E α

Le puits quantique (suite)

2 2

2ˆ ( )

2

d H V x

m dx

= − +

Spectre discret :

Etat fondamental (n=0) : fonction d'onde gaussienne

avec

n=0

n=1

n=2

n=3

Un autre exemple : l'oscillateur harmonique

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ω / 2π = 6 1013 Hz

Jetmoléculairede CO

Electronsdiffusés

E 1 E 2

Electronsincidents

x 3

0 1 2

Perte d'énergie E 1- E 2 (eV)

C o u r a n

t é l e

c t r

o n

i q u e

d i f f u

s é

Exemple : vibration d'une molécule (CO)

1,13 Å

Principe : équation de Schrödinger

Cette équation fait jouer un rôle particulier aux vecteurs propres de

Evolution temporelle des systèmes

• obtenir le vecteur à n'importe quel instant ultérieur grâce à :

• décomposer sur la base :

avec

Si on a pu déterminer les vecteurs propres et les valeurs propres E α

alors, pour tout état initial , il suffit de :

( indépdt. du temps)

x

V ( x)

ψ 0( x)

ψ 1( x)

Un exemple d'évolution : mouvement dans un puits carré

Si l'état initial est :

alors

Modulation de à la pulsation

Si l'état initial est

Pas de mouvement !état stationnaire

3.

Relations d'incertitude

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a

N (a)

a1 a2 a3a4

On considère N systèmes tous préparés dans le même état

Valeur moyenne des résultats :

Avec quelle précision peut-on mesurer une observable ?

Variance :

Peut-on avoir un résultat certain, c'est-à-dire ∆a = 0 ?

Oui, si le système est dans un état propre de

On considère 2 N systèmes tous préparés dans le même état

a

N (a)

a1 a2 a3a4

b

N (b)

b1 b2 b3

Mesure de A sur N systèmes Mesure de B sur N systèmes

Peut-on avoir simultanément ∆a = 0 et ∆b = 0 ?

Avec quelle précision peut-on mesurer deux observables ?

En général, non !Plus précisément :

avec

x

2N particules dansle même état

détecteur

Mesure de la position selon x

N particules

Exemple d'application : position & impulsion

détecteur

Mesure de l'impulsion selon x

N particules

Commutateur

La relation générale

donne alors :

Autre démonstration possible à partir des propriétés de la transformation de Fourier

Cette relation d'incertitude n'a rien à voir avec la résolution desappareils de mesure, c'est-à-dire la largeur des canaux des histogrammes

Exemple d'application : position & impulsion (2)

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Boulder, juin 1995 : 2000 atomes accumulésdans l'état fondamental d'un piège magnétique.

Une illustration de ces résultats : condensats de Bose-Einstein

On prépare les atomes avec un moment magnétique opposé à

Hamiltonien :

x

Si la température est assez basse, la majeure partie des atomes restantss'accumule dans l'état fondamental du piège (voir cours de Phy. Stat.) :

Refroidissement par évaporation

107 à 109 atomes 103 à 106 atomes

Mesure simultanée de x et z

pour un grand nombre desystèmes quantiques (atomes)tous préparés dans le mêmeétat.

Observation expérimentale

z

y

x

Bobines dechamp magnétique

CaméraCCD

Laser

Test de l'inégalité de Heisenberg

Un meilleur confinement selon x que selon z entraîne une dispersionen vitesse ∆v x plus grande que ∆v z

après

"temps de vol"

Atomes de sodium

z

x

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