Upload
dangliem
View
214
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Versão Online ISBN 978-85-8015-054-4Cadernos PDE
VOLU
ME I
PRODUZINDO SIGNIFICADOS PARA EQUAÇÃO DO 1º GRAU A PARTIR DE
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Cláudia Regina Batistela Gimenes1
Tânia Marli Rocha Garcia2
Resumo
Este artigo relata o resultado e reflexões da aplicação da Unidade Didático-pedagógica “Produzindo Significados para Equações do 1º Grau a partir da Resolução de Problemas”, desenvolvida com os alunos 6ª série B da Escola Estadual Agostinho Stefanello – EF, no município de Alto Paraná – PR, no ano de 2010. O estudo está baseado principalmente nas ideias de Lins e Gimenez (1997). Apresenta um panorama geral sobre a Álgebra e a relação com a aprendizagem e a construção de significados numa perspectiva de resolução de problemas. Em cada etapa, a unidade abordou aspectos importantes para a iniciação à Álgebra, como compreensão de variável e incógnita; transformações algébricas por equivalência; resolução de equação por equivalência utilizando o material manipulável com fichas, que favoreceu a obtenção de resultados positivos na resolução de equações do tipo ax + b = cx + d. A unidade completa pode ser encontrada em http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br
Palavras-chave: Equação; Linguagem algébrica; Construção de significados; Resolução de Problemas;
1 Professora de Matemática da Rede Pública de Ensino do Estado do Paraná. [email protected] 2 Professora orientadora do Departamento de Matemática da Universidade Estadual do Paraná – Campus de Paranavaí. [email protected]
1 INTRODUÇÃO
Ao longo do tempo, diversas concepções nortearam o ensino de Álgebra e
atualmente os conteúdos algébricos ocupam lugar de destaque nos currículos,
havendo consenso sobre os conteúdos que devem ser ensinados, não ocorrendo o
mesmo com o estímulo ao desenvolvimento do pensamento algébrico. No contexto
escolar prevalece a ideia de que os conceitos algébricos devem ser ensinados
basicamente como instrumentação para capacitar o aluno a fazer manipulações
algébricas, principalmente para resolver problemas com equações. Na prática, isso
se traduz em um ensino de Álgebra desenvolvido de forma técnica e mecanizada,
com ênfase na representação simbólica em detrimento do desenvolvimento do
pensamento algébrico, o que tem causado muitas dificuldades no processo de
aprendizagem. A experiência em sala de aula nos mostra que os problemas com a
aprendizagem de Matemática se intensificam a partir da 6ª série, especialmente
quando os alunos se deparam com a passagem da linguagem aritmética para a
linguagem algébrica nas equações. Os educandos, geralmente, não apresentam
evidências de terem sido estimulados a pensar e se expressar algebricamente em
fases anteriores.
O desenvolvimento tardio das ideias algébricas, possivelmente seria a
principal consequência das dificuldades conceituais apresentadas nos anos finais do
Ensino Fundamental, pois a falta de consolidação dessas ideias ocasionaria o
desenvolvimento do pensamento algébrico limitado ao simbolismo e uso de
procedimentos desvinculados de significação. Com efeito, o estudo da Álgebra
demonstra-se de difícil compreensão para os alunos, pelo nível de abstração, que
não percebem a relação entre os conceitos que aprendem na escola e o que se vive
fora dela. Investigando a questão, observa-se que a maior parte dos alunos não
consegue produzir significado para os símbolos e para a linguagem algébrica.
Diante da ausência de familiaridade com atividades algébricas e a falta de
tempo para a realização de atividades essenciais para o processamento algébrico, o
ensino de equações acaba sendo estabelecido como um exercício de memorização
e manipulação de regras dissociadas de qualquer significação. Muitos dos erros e
das dificuldades apresentadas estariam relacionados à formação do pensamento
algébrico.
Ao admitir que o processo de aprendizagem em Matemática se concretiza
na medida em que os alunos produzem e enunciam significados para os conceitos
matemáticos, nos questionamos sobre quais seriam os recursos metodológicos
adequados para que os alunos possam expressar o pensamento algébrico, superar
dificuldades, avançar nesta construção, e ainda, se o trabalho com resolução de
problemas contribui para que os alunos produzam significados para os conceitos
algébricos sendo capazes de desenvolvê-los.
Para responder a esses questionamentos procuramos elaborar uma
Unidade Didática capaz de investigar as dificuldades dos alunos iniciantes no estudo
de Álgebra, apresentam na formação e no desenvolvimento da linguagem e do
pensamento algébrico, buscando práticas e ações metodológicas apoiadas na
resolução de problemas, e no material manipulável com fichas, visando a construção
do conceito de Equação do 1º. Grau e compreensão dos processos algébricos e
aritméticos envolvidos na resolução dessas equações.
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 Um panorama geral da Álgebra
Segundo Lins e Gimenez (1997), a Álgebra é, antes de tudo, um conjunto de
afirmações genéricas. Freitas (2004) diz que, “a álgebra pode ser definida por uma
linguagem que permite escrever relações entre quantidades conhecidas e
desconhecidas e para isso se faz uso de expressões literais e do cálculo algébrico”.
No contexto escolar, ao falarmos em Álgebra automaticamente pensamos
em letras. Na história da educação escolar, o ensino da Álgebra foi constituído com
base em conteúdos (equações, cálculo literal, funções) que devem ser aprendidos
para resolver problemas da Álgebra ou calcular com letras.
O cálculo literal vem de uma linha de desenvolvimento histórico, desde os
Babilônios e Egípcios (cerca de 1700 a.C), até Diofanto (ano 250) que introduziu
sinal para incógnita da equação, para facilitar a escrita de cálculos matemáticos.
Cerca de 400 anos mais tarde Al-Khowarizmi escreveu Al-jabr, um livro que trata da
mudança de termos de um lado para o outro. Por volta de 1550 Viète sistematizou o
uso das letras. Nesse contexto, a ciência Matemática foi se constituindo com ênfase
nos pensamentos abstratos, que aplicados à Aritmética e à Geometria deram origem
a uma nova forma de expressão, a Álgebra.
Foi a invenção da notação simbólica literal que abriu uma nova era na
história da Matemática, foi uma evolução, que possibilitou resolver problemas mais
complexos. Mas o simbolismo separou o pensamento algébrico das soluções
manipulativas geométricas. A Álgebra de Viète acabou por representar uma
generalização aritmética na qual as letras constituíam uma espécie de novo
algarismo que representava algo desconhecido. (ROMERO, 2008).
A passagem da Álgebra simbólica foi aperfeiçoada por René Descartes,
tendo como principal função de resolver problemas através de estruturas algébricas
abstratas.
No século XX, considerando que essa Álgebra poderia propiciar facilidades
para resolver os cálculos, seu ensino foi introduzido no contexto escolar para que
deixasse de ser privilégio de poucos para se estender a “todos”. Assim ela começou
a fazer parte dos currículos escolares, influenciados pelas produções européias do
século XVIII, na forma de aulas avulsas em matérias denominadas Aritmética e
Álgebra. Com a crescente utilização do simbolismo, passou a ser requisito para
formação do cidadão comum, porém, continua sendo privilégio de poucos, visto que
a maioria dos alunos vem apresentando fracassos em seu aprendizado e é vista
hoje na educação como elemento de exclusão social.
Autores como Harper e Küchemann, citados por Lins e Gimenez (1997),
apoiados na ideia piagetiana de que o desenvolvimento intelectual depende de um
processo de maturação biológica, tem sugerido que o ensino da Álgebra deveria
ocorrer apenas por volta de 14 - 15 anos, devido à dificuldade do uso de letras,
considerando que a atividade algébrica resulta do pensamento formal. Mas, estudos
como da Australiana Lesley Booth (1994), que investigou se os erros cometidos
pelos alunos (8º à 10º ano) eram efeito do desenvolvimento intelectual,
demonstraram que os erros persistiam em todas as faixas-etárias, indicando que a
aprendizagem da Álgebra não tem a ver com a idade. A partir da investigação de
Booth podemos dizer que as ideias algébricas são trabalhadas tardiamente,
ocasionando dificuldades que são atribuídas à incompreensão da Álgebra
elementar.
Estudos como de Booth (1994), reforçado por Lins e Gimenez (1997) e de
Castro (2003), defendem que quanto mais cedo forem trabalhadas as idéias
algébricas, estimulando o pensamento algébrico, já nas séries iniciais, maior serão
as possibilidades de desenvolvimento do raciocínio simbólico, pois o pensamento
opera sobre operações concretas aritméticas e geométricas.
Para Davydov, o trabalho com crianças bastante jovens lançava as bases para um estudo mais sólido da aritmética. Por exemplo, a adição e a subtração eram vistas, desde o início, como operações inversas, mas também a multiplicação e a divisão; frações emergiam no contexto das divisões, eram trabalhadas junto com estas, desde muito cedo. A ideia é que, em vez de pensar em uma aritmética de contas particulares, que depois seria “generalizada” em direção à álgebra, ele via uma aritmética que punha em ação casos particulares, as propriedades de um sistema mais amplo, desenvolvido com base no estudo de relações quantitativas.(LINS, GIMENEZ, 1997, p. 121)
Ao entrar na escola o aluno toma conhecimento da representação de
quantidades através de símbolos numéricos, e sua propriedade comutativa.
Em uma situação em que há necessidade de se desenhar cinco elefantes,
vão surgindo representações mais simplificadas, podendo até representar: um
elefante (1e), cinco elefantes (5e) de modo que o pensamento simbólico concreto
seja incentivado.
Assim, as ideias irão se ampliando passando por situações de comparação
de maior, menor e igualdade, semelhanças entre conjuntos de objetos, figuras e
números, proporcionalidade, sequências e operações inversas. A atividade algébrica
é caracterizada pelo pensamento algébrico na atividade que o aluno está inserido, e
para Castro (2003, p. 3) “podemos afirmar que fazemos Álgebra quando somos
desafiados por problemas de geometria, contagens, finanças, de proporcionalidade,
enfim o saber algébrico está presente em todos os ramos da Matemática”.
Nessa perspectiva a Álgebra está totalmente relacionada à Aritmética,
criando um processo de generalização, porém o aluno não vai aprender Álgebra
porque sabe Aritmética, pois a Álgebra envolve outros processos de pensamento.
[...] os símbolos operatórios de uma equação não indicam necessariamente as operações a serem efetuadas. Assim, a principal diferença entre a aritmética e a álgebra é a distinção de operações utilizadas no processo de resolver equações e as operações indicadas nessas equações. (KIERAN, 1994, p. 104 e 105).
Esta é uma das dificuldades apresentadas pelos alunos. Para compreender
a generalização das relações e procedimentos, é importante que sejam aprendidos
dentro do contexto aritmético, pois se não forem reconhecidos, ou se os alunos
tiverem concepções erradas a respeito deles, seu desempenho em Álgebra poderá
ser afetado.
A problemática do aluno se evidencia a partir da 6ª série, quando são
cobradas as representações simbólicas, como se fossem totalmente desvinculadas
de tudo que havia aprendido antes. Na verdade as dificuldades não são em Álgebra
propriamente dita, mas da falta de familiaridade em representar fenômenos e
relações. A Álgebra é introduzida como algo novo, sem relação com conteúdos
anteriores, tornando-se um conhecimento formal e simbólico, pois mesmo pensando
a Álgebra como abstrata, ela opera sobre situações concretas - as operações
aritméticas, produzindo propriedades operatórias, generalizando a Aritmética, que é
caracterizada por conteúdos.
Precisamos entender de que modo a Álgebra e a Aritmética se ligam, o que
elas têm em comum. Um ponto de partida pode ser o trabalho com relações
quantitativas e tematizadas. Exemplos quantitativos remetem à relação de
operacionalidade da ideia geral e da lógica da operação aritmética realizada, já que
o pensamento algébrico é a própria atividade na qual o aluno está envolvido. A
ligação entre pensamento e linguagem não é dissociada, “a linguagem algébrica é
entendida como expressão do pensamento matemático”. (PARANÁ, 2008, p.52).
A linguagem algébrica é considerada como uma construção necessária para
descrever simbolicamente as regularidades. É interessante a utilização de situações
em que os alunos possam investigar padrões, tanto em sucessões numéricas como
em representações geométricas e identificar suas estruturas, construindo a
linguagem algébrica para descrevê-los simbolicamente.
A linguagem algébrica é considerada como sendo um instrumento facilitador
na simplificação de cálculos, mas por outro lado, sua tradução pode ser
ocasionadora de muito insucesso, novamente pela falta de familiaridade, agora com
termos específicos da Matemática. De acordo com Lochhead e Mestre (1994,
p.148), “os alunos não aprendem ler e escrever em matemática!”, pois assim como a
linguagem natural, a linguagem algébrica não é incorporada de imediato, exige
domínio prévio do código linguístico.
É a partir da Matemática Egípcia, que a linguagem matemática começa a se
separar da usual, criando vocabulário próprio. Ela se tornará compreensível ao
perceber a transição da linguagem retórica (verbal) para a simbólica. A passagem da
Álgebra retórica para a simbólica pode ser comparada ao aprendizado de uma
língua estrangeira, pois se fizermos a tradução ao pé da letra, sem conhecermos o
contexto do uso do idioma corremos o risco de nos confundir, ou fragmentar o texto
tornando difícil a compreensão (MOURA; SOUZA, 2005). Assim, é necessário
aprender essa tradução da linguagem algébrica para aprender Matemática.
Historicamente a linguagem simbólica foi precedida pela linguagem
sincopada, com abreviação de palavras, que foi a fase intermediária entre a
expressão retórica e a escrita simbólica atual. Partindo das representações
simbólicas, desenvolveu-se a representação algébrica formal, tornando-se de
aceitação universal.
O simbolismo formal constitui uma verdadeira linguagem, principalmente em forma escrita, necessário para a comunicação do pensamento matemático que opera em dois níveis. O primeiro é o nível semântico: os símbolos e as notações carregam um significado paralelo com a linguagem natural. O segundo nível é puramente sintático, que podem aplicar regras manipulativas, sem referência direta ao significado. (GARCIA, 1997, p.11 apud ROMERO, 2007, p.26).
O pensamento algébrico é um tipo especial de pensamento, e não podemos
expressá-lo de forma única. Ele pode expressar-se através da linguagem natural, da
linguagem aritmética, da linguagem geométrica ou através de uma linguagem
específica, criada para esse fim, isto é, por meio de uma linguagem algébrica, de
natureza estritamente simbólica.
A linguagem formal tende a suprimir a expressão semântica, tornando-se
mais abstrata possível. Há uma resistência do pensamento humano em abandonar a
linguagem natural, substituindo-o por símbolo. Para não haver esta resistência é
preciso compreender o que o símbolo representa e como será utilizado, fazendo o
elo, preenchendo o “vazio” que existe entre o conceitual e o simbólico.
Há abordagens de atividade algébrica caracterizadas pela aplicação em
conteúdos, efetivando-se a atividade algébrica com significado. Abordagens
“facilitadoras” como de abstrações por meio do trabalho com material manipulável,
traduzindo a linguagem simbólica, podem amenizar a problemática do ensino e da
aprendizagem, mas nem sempre se consegue chegar ao conhecimento esperado.
As pesquisadoras inglesas K. Hart e A. Sinkinson investigaram o que acontece
quando as crianças passavam de atividades concretas para formais. Mesmo
achando o material útil, os alunos não viram relação entre o que haviam feito no
concreto e o que haviam feito no formal. A conclusão das autoras “foi que faltava um
material intermediário, que preenchesse o ‘vazio’ entre uma coisa e outra” (LINS E
GIMENEZ, 1997, p. 107).
Como uma das alternativas para preencher este “vazio”, na Educação
Matemática é a utilização de propostas baseadas na modelagem matemática, que
tem como ponto de partida o real ou concreto, e “a educação algébrica se dá na
medida em que a produção do conhecimento algébrico serve para iluminar ou
organizar uma situação, como ferramentas e não como objeto primário do estudo”
(LINS E GIMENEZ, 1997, p.109), oferecendo a possibilidade de aplicação do que
aprendem.
Nosso desafio é tornar a Matemática acessível, pois pessoas podem
aprender matemática sem dificuldades, desde que sua aprendizagem seja vinculada
a conceitos que fazem parte do contexto em situações-problemas que possibilitem
produzir significado, construindo a linguagem simbólica, tornando-os familiares e
possibilitando a transformação de uma expressão algébrica em outra equivalente,
por meio de procedimentos que legitimam essas transformações, construindo um
pensamento algébrico sólido.
2.2 Aprendizagem e Construção de Significados
Para melhorar a aprendizagem da disciplina de Matemática, temos que
lançar mão de metodologias que possibilitem a construção do conceito matemático,
mostrando aplicações, utilização e importância, tornando os conteúdos significativos.
De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica, “A aprendizagem da
Matemática consiste em criar estratégias que possibilitem ao aluno atribuir sentido e
construir um significado às ideias matemáticas”. (p. 45)
Geralmente os alunos quando indagados sobre a disciplina de Matemática,
fazem uma relação entre gostar ou não da matéria ou do professor, indicando que o
único contato com a disciplina é através do professor, ou seja, só veem isso na
escola. Então como tornar a Matemática significativa? Lins (2004, p.93) afirma que
uma solução nesta situação é buscar fazer os alunos verem “a Matemática da vida
real”, “trazer a vida real para as aulas de Matemática”.
No ano 2000 Lins tomou conhecimento do livro Pedagogia dos Monstros de
Tomaz Tadeu da Silva. Examinou a “Teoria dos Monstros” como reguladora entre
duas “culturas”, a Matemática do matemático e a Matemática da rua, destacando
“que o fracasso de tantos com a relação à Matemática escolar, não é um fracasso
de quem não consegue aprender embora tente, e sim um sintoma de uma recusa
[...]. Uma espécie de auto-exclusão induzida. (LINS, 2004, p. 95)
Estas duas “culturas” que estamos vivendo hoje dentro das instituições
escolares tiveram início na primeira metade do século XX, quando houve um
processo de profissionalização do matemático, estabelecendo e definindo a
Matemática do matemático, o qual foi tomado então como legítimo, para a produção
de significados da Matemática - um conjunto de enunciados, tornando-se
culturalmente institucionalizado. (LINS, 2004)
Ao tentarmos dar significado aos conteúdos, às vezes, criamos situações
totalmente desvinculadas da realidade, tornando aquilo que estamos ensinando
significativo para nós, atendendo os nossos objetivos e não os dos alunos. Quando
definimos o objeto de estudo, não cabe discussão se estabelece relações que
esclareçam algo fora da Matemática escolar ou somente resolvam problemas
padrão.
A Matemática do matemático é uma herança que se propaga, e
consequentemente o fracasso, pois ela é entendida em outro mundo, não no seu
contexto real. O fracasso pode ser dentro da escola, quando o aluno não consegue
aprender o que se ensina, e pior se estender para fora dos muros escolares, quando
passam nas provas, mas nunca chegam a entender a ligação do que aprenderam na
escola com o que vivenciam.
Como pode a Matemática ser duas coisas tão diferentes? Como encontrar a
essência do que realmente é?
No uso da Aritmética, justificada do ponto de vista dos significados, os
métodos operatórios usados na rua são diferentes do usado na escola. Quando
recebemos um troco, ao invés de fazerem o algoritmo da subtração, devolvem o
troco somando valores para completar o total dado.
A flexibilidade de um especialista é o que queremos que nossos alunos
tenham. É verdade que há pessoas que atingem essa flexibilidade através de uma
educação tradicional, outras por métodos construtivistas ou outra abordagem, e
muitas pessoas fracassam com os mesmos métodos. O que fez que estas pessoas
tivessem êxito foi o significado que o conhecimento teve para cada uma.
No cotidiano há significados próprios constituindo legitimidades, pois do
mesmo modo que a escola considera os métodos da rua informais, tendo
aplicabilidade limitada, a rua considera os métodos da escola complicados e sem
significado.
“Nossos alunos vivem em dois mundos distintos, cada um com sua
organização e seus modos legítimos de produzir significado” (LINS; GIMENEZ,
1997, p.17). Esses autores defendem que uma alternativa é ter a escola participante
de análise e da tematização dos significados matemáticos do cotidiano, que irão
coexistir com os significados não matemáticos em vez de tentar substituí-los.
O que não podemos fazer é negar nem um, nem outro, os dois fazem parte
do processo de organização da atividade humana, e é na escola que se fazem as
tematizações, formalizações e sistematizações dos conhecimentos cotidianos.
Lins e Gimenez (1997) observam que o processo de exclusão da
Matemática dos significados não-matemáticos tem origem na Matemática acadêmica
e não na Matemática escolar. Foi um processo de depuração, e sempre estiveram
trabalhando com os significados mesmo que mascarados.
A matemática acadêmica trabalhava com um conjunto de afirmações, mais ou menos sem se importar com a origem dos significados, contanto que eles parecessem corretos e aceitáveis. A uma certa altura, começou um processo de tomar aquelas afirmações e de produzir significados não dependiam do rua. (LINS; GIMENEZ, 1997. p.24)
Aos poucos a escola foi excluindo significados da organização da vida
humana, chamados de não-matemáticos, para trabalhar somente com os
significados estabelecidos pela autossuficiência da Matemática acadêmica. Dessa
forma a escola tem tido o efeito de estreitar as possibilidades cognitivas dos alunos,
quando deveria ampliá-las. É com a coexistência de significados matemáticos e não-
matemáticos na escola que se poderá constituir uma legitimidade comum, impedindo
que a Matemática da escola seja percebida como inútil, um saber cuja razão deixa
de existir quando termina a escolarização.
2.3 Resolução de Problemas
O principal significado de aprender conteúdos matemáticos é ser capaz de
usá-los. De acordo com Dante (2005), é preciso desenvolver no aluno a habilidade
de elaborar um raciocínio lógico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos
disponíveis, para que ele possa propor boas soluções às questões que surgem em
seu dia-a-dia, na escola ou fora dela.
Para garantir que este desenvolvimento ocorra o ensino da Matemática tem
como ponto de partida a resolução de problemas, por ser uma das formas mais
acessíveis de propiciar situações abertas e sugestivas que exijam dos alunos uma
atitude ativa na busca de respostas, podendo disparar um processo de
conhecimento. A resolução de problemas é fundamental no desenvolvimento tanto
de caráter lógico-matemático como conceitual, permite relacionar observações do
mundo real com representações de esquemas, tabelas, figuras, escritas numéricas,
etc., e relações de tais representações com princípios e conceitos matemáticos,
ligando a linguagem usual com a linguagem Matemática formal.
Na verdade os problemas dão sentido às equações, mas muitas vezes a
resolução de problemas é confundida com exercícios para fixação de algum tipo de
algoritmo ou equação com condição pré-determinada, gerando convenções. Esta
prática desestimula o aluno, porque não tem que pensar, basta saber usar o modelo
que o professor lhe ensinou. Provavelmente por herança das ideias de Descartes e
de seu ambicioso projeto de construção de um método geral de resolução de
problemas, que se resumia em reduzir todo problema em um problema matemático,
representado por equações algébricas (PEREIRA, 2001). A padronização tolhe a
criatividade, não identifica sua funcionalidade, não sendo necessário levantar
hipóteses, argumentar ou validar. Não podemos reduzir uma ferramenta tão
extraordinária na qual os conteúdos matemáticos ganham significado e se
constroem gradativamente, a apenas um exercício exaustivo de memorização de
regras. Devemos encarar a proposta de resolução de problemas pelo seu caráter
investigativo e pela possibilidade de exploração de novos conceitos.
A resolução de problemas tem grande poder motivador para o aluno, pois
envolve situações novas, diferentes atitudes e conhecimentos, e sua riqueza
consiste em ligar a Matemática ao mundo real. O ser humano, em sua vida, quase
sempre se depara com situações novas em que devem agir com criatividade,
independência e espírito explorador. É possível que através de situações-problema
desenvolva-se no aluno, desde cedo, este tipo de iniciativa. Se durante a vida
escolar forem oportunizadas aos alunos variadas situações-problema, estimulando
sua criatividade, quando adulto agirá com inteligência e naturalidade ao enfrentar
problemas da vida diária, elaborando estratégias, em qualquer que seja a ordem da
situação.
Para Dante (2005, p. 14) “Um bom problema suscita a curiosidade e
desencadeia no aluno um comportamento de pesquisa, diminuindo sua passividade
e conformismo”. É a partir de problemas simples que o aluno progride em sua
aprendizagem, adquirindo formas de raciocínio mais elaboradas.
“Resolução de problemas é uma expressão abrangente que pode significar
diferentes coisas para diferentes pessoas ao mesmo tempo e diferentes coisas para
as mesmas pessoas em diferentes ocasiões”. (BRANCA, 1997, p.4).
Há muitas e diferentes concepções de problemas, mas em todas elas, são
situações que exigem pensar. Podemos usar diversos recursos para trabalhar
resolução de problemas. Cada tipo de situação atende um objetivo diferente, então é
preciso propô-los adequadamente de modo que sempre sejam desafiadores para os
alunos. Assim, qualquer situação que faça o indivíduo pensar produtivamente,
desenvolvendo o raciocínio lógico para enfrentar situações novas, pode ser
entendida como atividade de resolução de problemas.
Para isso, oportunizar o envolvimento dos alunos com aplicações da
matemática, equipando-os com estratégias para resolver problemas, se faz
necessário. Dante (2005) diz que o desenvolvimento de estratégias e procedimentos
para resolver situações-problema, é mais importante que a própria resposta.
Ensinar a resolver problemas é uma tarefa difícil, não é um mecanismo
direto de ensino, uma vez que a variedade de pensamentos precisa ser
cuidadosamente desenvolvida pelo aluno. É fundamental o papel do professor,
apoiando e auxiliando na elaboração de estratégias passo a passo de como fazer,
encorajando-os a fazer perguntas, destacando as informações importantes,
pensando e gerando ideias produtivas, que poderá levá-lo a compreender melhor o
problema, analisando e chegando a uma solução.
Formular e reformular problemas de Álgebra não é fácil, requer linguagem
matemática apropriada – uma habilidade decisivamente necessária em Matemática.
Isso faz com que os alunos de diferentes níveis de capacidade e perspicácia sintam
certa dose de sucesso quando resolvem no plano pertinente de abstração e
generalização.
Por meio do engajamento consciente dos alunos no processo de fazer
Matemática, esperamos ajudá-los a identificar e selecionar informações relevantes,
buscar padrões, relações e generalizações; formular planos e procedimentos,
integrar e empregar conceitos e habilidade aprendidos previamente; e estender seu
conhecimento a novas situações. Em resumo, ajudá-los a se transformarem em
construtores e usuários, e não apenas em espectadores da Matemática. “Quando
fazemos isso com regularidade, descobrimos que os riscos que corremos se
revertem em resultados positivos, tanto para nós professores como para os alunos,
que encontram prazer e realização na matemática” (HOUSE, 1997, p.234).
Os problemas devem ser vistos como instrumento da elaboração do saber.
O que dá sentido aos conceitos ou teorias são os problemas que estes permitem
resolver. Talvez uma ênfase nas estratégias de resolução de problemas ao longo de
toda a matemática escolar prepare melhor as futuras gerações para os problemas
que encontrarão.
3 A INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA
Minha ideia inicial era trabalhar resolução de problemas gerais, sem
conteúdo específico, devido à grande dificuldade dos alunos em interpretar
situações-problema nas diversas situações a que são expostos na 6ªs e 7ªs séries ou
(7º e 8º ano). Como a data da implementação coincidia com o segundo semestre, a
orientadora sugeriu trabalharmos resolução de problemas na 6ª série (7º ano) com o
conteúdo de Equações do 1º Grau. Escolhida a turma e o conteúdo para
implementação, comecei as leituras. Ao transcorrê-las percebi que a dificuldade na
resolução dos problemas não tinha a ver somente com a “interpretação das
palavras”, mas também com os conceitos apreendidos até então, principalmente no
caso da Álgebra.
Desta forma, procurei estruturar o material de forma a trabalhar conceitos
que não foram concretizados em séries anteriores, como a linguagem algébrica
adequada, generalizando ideias, numa perspectiva de resolução de problemas.
Tomando como base alunos de 6ª série de salas regulares de anos
anteriores, que não apresentavam evidências de terem sido estimulados a pensar e
se expressar algebricamente, entendemos que seria de fundamental importância
investigar a construção do conhecimento algébrico pelos alunos no contexto de sala
de aula desde sua gênese, ou seja, verificando indícios da linguagem e do
simbolismo na vida e na Matemática anteriores à 6ª série.
A intenção foi fazer uma sequência de atividades que introduzisse a
linguagem simbólica sutilmente, de modo que a passagem das ideias aritméticas
para as algébricas acontecesse naturalmente. Para produção de significados para
Álgebra (LINS; GIMENEZ,1997) afirmam que: “é preciso começar mais cedo o
trabalho com álgebra, e de modo que esta e a aritmética desenvolvam-se juntas,
uma implicada no desenvolvimento da outra” (p.10). Castro (2003) também defende
que o trabalho de desenvolvimento algébrico seja incentivado desde as séries
iniciais.
A unidade Didática foi implementada com os alunos 6ª série B da Escola
Estadual Agostinho Stefanello – EF, no município de Alto Paraná – PR, no período
de 16 de agosto á 25 de outubro do ano de 2010, durantes as aulas regulares,
perfazendo um total de 36 horas/aula.
A Unidade Didática foi estruturada em forma de fichas, com tarefas
direcionadas a favorecer a participação ativa dos alunos, por meio do
encaminhamento metodológico referente a cada ficha. A implementação contemplou
quatro pontos básicos:
1) Da representação simbólica: composta pelas fichas 1- Linguagem,
Matemática e Simbologia; 2- Convenções; 3- Um pouco mais de linguagem
algébrica e 4- Problemas de generalização.
2) Da produção de significados para expressões algébricas por
equivalência: composta pelas fichas 5- Produzindo significados para expressões
algébricas e 6- Equivalência.
3) Da resolução de Equações do 1º por meio de equivalência: composta
pelas fichas 7- Fichas de números inteiros; 8- Equação do 1º Grau com fichas e 9-
Equações com incógnita nos dois membros.
4) Resolução de problemas: composta pelas fichas 10- Pense em um
número...; 11- Utilizando a operação inversa; 12- Resolvendo problemas e 13-
Usando parênteses,balanças e incógnitas nos dois membros.
1) Da representação simbólica
A sequência de tarefas consistiu em uma série de atividades onde
pudéssemos analisar as representações orais e escritas, desde a identificação de
símbolos universais, até representações formais expressando o pensamento
algébrico, nas tarefas de generalização. Em uma das tarefas deveriam representar
os animais pela letra inicial; para representar dois leões e cinco girafas, houve
diversidade de representações: na forma de desenhos, na forma LLGGGGG e ainda
de forma mais simplificada 2L e 5G, demonstrando que não houve anteriormente
situações para representações simbólicas de maneira padronizada. Nesta e em
outras situações pudemos perceber que não somavam as letras diferentes, pois
sabiam que se referiam a coisas diferentes. Não aconteceu o que relatou (BOOTH,
p.28), 2a + 5b = 7ab, indicando que perceberam o significado da simbologia.
Ao mesmo tempo em que investigamos os indícios de representações
algébricas, havia a preocupação em utilizar recursos metodológicos adequados para
que os alunos pudessem superar dificuldades no que se refere à percepção, a
análise e à abstração das regularidades implícitas nos padrões. Assim foi proposto o
jogo da linguagem algébrica, realizado em duplas, que superou totalmente as
expectativas, demonstrando motivação por parte dos alunos, envolvimento e
aprendizagem. Mediante uma frase do tipo, Indique o triplo do número menos dois,
eles montavam as tabelas e encontravam facilmente a regra estabelecida, foi incrível
como todos ficaram empolgados com esta tarefa, e entenderam melhor a linguagem
utilizada para representar os cálculos aritméticos.
Nas tarefas de generalização foram utilizadas sequência com palitos,
sequência com pontos, planilhas eletrônicas (descubra a regra), onde foi possível
observar com clareza a percepção dos significados em cada situação.
A ficha das convenções foi diluída durante a aplicação das tarefas das fichas
3 e 4.
2) Da produção de significados para expressões algébricas por equivalência
Concretizada a primeira fase sobre a relação da expressão algébrica oral e
escrita na forma simbólica, passamos para a fase de produção de significados para
expressões algébricas por equivalência. Para entender o método da equivalência
para resolução de equações é necessário ajudar os alunos a perceberem que uma
equação é antes de tudo, uma igualdade, e que é preciso sempre conservá-la.
Quando existe uma igualdade podemos efetuar a operação, desde que façamos aos
dois membros da igualdade.
O significado dos símbolos de operações de igualdade que as crianças
adquirem durante suas experiências aritméticas pode se constituir um obstáculo
epistemológico3 para a apropriação da Álgebra, o que agora se apresenta na forma
de equivalência.
A tarefa aplicada foi baseada na atividade dos “tanques” (LINS;
GIMENEZ,1997, p.124). Para a realização desta tarefa foram utilizadas duas caixas
de papelão iguais para representar os armários A1 e A2 e as caixas de jogos de
xadrez. Em A1 havia algumas caixas encapadas em um único bloco identificado
como X, e em A2 outro bloco de caixas de jogos de xadrez encapadas identificadas
como Y. Para completar os armários foram acrescentadas mais quatro caixas de
jogos de xadrez para A1 e sete caixas de jogos de xadrez para A2.
Conduzi a atividade, mas eles puderam manipular as caixas de jogos de
jogos de xadrez, estimulando-os a fazer afirmações sobre a situação e justificá-las.
Combinamos o uso da letra c para caixas de jogos de xadrez, A1 para o
primeiro armário, A2 para o segundo armário.
No item a deveriam representar a igualdade entre os armários, estando
vazios. No primeiro momento não conseguiam representá-los, dessa forma, coloquei
as caixas para perceberem que realmente cabe a mesma quantidade de caixas de
jogos de xadrez. Eles queriam representar as situações numericamente.
Desautorizei-os, pedindo para representá-las simbolicamente. A partir desse
cenário, apareceram as primeiras representações de A1 = A2, ou ainda A1 e A2 são =,
e apenas uma dupla representou A = 11, porque sabia que cabiam 11 caixas de
jogos de xadrez no armário (quando eu coloquei as caixas eles contaram). Todos
justificaram corretamente.
Para o item b, coloquei um bloco de caixas de jogos de xadrez encapadas
de branco no primeiro armário. Esse bloco encontrava-se representado por X. No
segundo armário, coloquei outro bloco de caixas de xadrez também encapadas de
branco, porém menor. Este bloco encontrava-se representado por Y.
Completaram totalmente os armários e representaram simbolicamente a
situação, justificando-a satisfatoriamente. 3 Neste trabalho consideramos obstáculo epistemológico na perspectiva de que há uma barreira no ato de adquirir um novo conceito ao se defrontar com outro pré-concebido, que o contradiz impedindo que o aluno progrida. Aritmeticamente não é possível retirar 5 unidades de 3 unidades, já algebricamente podemos, restando -2, o que contradiz seu conhecimento prévio.
Para o item c, deixei em cada armário somente os blocos encapados de x e
y, e acrescentaram em A2 as caixas de jogos de xadrez necessárias para ficarem
com a mesma quantidade, ou seja, 3 caixas.
Fonte: Aluna Amanda V.
Daí em diante, nos itens d, e, f e até o item g, todos representaram
corretamente e justificaram satisfatoriamente, reforçando as observações feitas por
(LINS; GIMENEZ, 1997. p.126), de que esta tarefa não apresenta dificuldades para
alunos da 6ª série. Ficou muito evidente que a igualdade deveria ser mantida. As
transformações produziram significados familiares para os alunos constituindo
legitimidade pela interlocução do professor.
Fonte: Aluna Amanda V.
Fonte: Aluno Natacha
3) Da resolução de Equações do 1º por meio de equivalência
O pensamento algébrico gira em torno de afirmações e justificações, assim
Lins e Gimenez (1997) colocam que é possível produzir significados para núcleos
distintos: por um diagrama, por um desenho, por uma balança, por um conjunto de
afirmações, por uma situação real ou ficcional. O que importa é que é em relação
aos objetos do núcleo estabelecido que vai ser produzido o significado, seja o núcleo
qual for.
O que se evidencia é que há “rupturas” na abstração em abordagens como
na balança de dois pratos, quando os alunos não são capazes de produzir
significado para expressões do tipo 3x + 100 = 10, não há lógica para o equilíbrio de
valores negativos, a afirmação fica sem justificação. Assim como há um obstáculo
para a justificação na expressão 3x – 25 = 2x no método de desfazer, segundo
Bernard e Cohen (1994). Diante do limite epistemológico, recorrem-se às
transformações diretas, que são tratadas como legítimas, já que todo conhecimento
é produzido para o outro, e quem produz acredita que o outro compartilhe daquela
justificação, estabelecendo legitimidade. E o problema da veracidade fica garantido
pelo interlocutor que torna esse conhecimento legítimo, portanto verdadeiro.
Pensando nessa dificuldade desenvolvemos atividades explorando o método
da equivalência para resolução de equações usando fichas coloridas com base no
material proposto por Thompson (1994, p.79).
As fichas de números inteiros foram confeccionadas com EVA, nas cores
azul e vermelha, na forma de quadrados de 3 cm de lado. Uma ficha azul representa
uma unidade positiva (+1), e uma ficha vermelha representa a unidade negativa (-1),
sendo uma o oposto da outra. Dessa forma ficou perceptível que a combinação atua
como “zero”, ou seja, toda vez que tivermos um par de fichas (Azul - Vermelha), elas
se anulam.
Como já haviam estudado números inteiros da forma tradicional, a maioria
dos alunos se lembrava do procedimento, então acharam desnecessário usar as
fichas para realizar as representações, preferiram representar somente
simbolicamente. Realizaram as operações sem questionamentos, em 3A + 4A,
3V + 1V, 1A + 1V e 2A + 2V, mas no itens 3A + 1V e 1A + 3V, alguns
alunos representaram corretamente, mas não fizeram os cálculos corretamente.
Então resolvi intervir e, voltando aos itens 1A + 1V e 2A + 2V, destaquei que toda
vez que formasse um par de fichas azuis e vermelhas, resultava em zero. Então logo
perceberam que deveriam anular uma ficha azul e uma vermelhas até acabarem os
pares, para terem o resultado final. Criei mais algumas operações, e todos
realizaram corretamente. Foi de fundamental importância este resgate dos conceitos
de adição dos números inteiros, representando o anulamento no material
manipulável para a continuidade do trabalho com fichas.
Na ficha de trabalho Equações de 1º Grau com fichas, a igualdade foi
representada por um barbante que dividia as carteiras verticalmente em duas partes.
No lado esquerdo do barbante foi colocado um envelope preto representando um
valor a ser descoberto, e no lado direito do barbante as fichas. A primeira reação dos
alunos ao iniciarem a tarefa, foi olhar dentro do envelope quantas fichas teriam,
houve decepção ao encontrá-lo vazio. Eles ainda não haviam reconhecido o
barbante como representação da igualdade, mas ao representarem simbolicamente
perceberam que o barbante era o sinal de igual, descobrindo quantas fichas deveria
estar dentro do envelope.
Nas tarefas posteriores o envelope foi substituído por tiras retangulares
também de cor preta, e da mesma forma, deveriam descobrir quantas fichas
precisaria estar em baixo da tira para manter a igualdade.
Faziam as manipulações em suas carteiras, acrescentando as fichas para
“anular” os valores e deixar a tira sozinha.
Após todos fazerem as devidas manipulações e encontrar o valor da tira, eu
também fazia o mesmo procedimento no cartazete fixado no quadro, até que
encontrássemos o valor da tira, e somente depois conferíamos se realmente debaixo
da tira havia a quantidade indicada, com a representação simbólica de cada
acréscimo e anulamento.
Fonte: Arquivo da autora
Voltando a situação original e trocando a tira pelo valor encontrado
percebiam que realmente a igualdade se mantinha.
Esta foi a primeira situação do tipo ax + b = c, a qual percebi que ainda havia
duplas que não tinham claro o conceito de igualdade, pois houve uma dupla que
representou a situação anterior do seguinte modo: R = (-2) = (-4) + (+1). Então
ressaltei novamente que o barbante representava o sinal de igual, que existe
somente duas partes, não existem dois barbantes, assim perceberam que o sinal de
igual só poderia ser usado “quando tem barbante”.
Depois de representarem simbolicamente, sabiam que tinham que anular um
par (A - V) do lado direito.
Fonte: Aluno Bruno
A maioria das duplas sabia que R valia -1, por meio da relação da igualdade
de R - 2 = - 3. R só poderia valer - 1, para manter a igualdade. Neste momento a
lógica prevaleceu sobre o material. Mesmo com o raciocínio correto, os alunos não
conseguiam expressar essa lógica no material. Houve a necessidade de voltar na
tarefa 3 da ficha 6, onde precisavam sempre acrescentar ou retirar a mesma
quantidade de fichas de mesma cor para que continuasse a igualdade. Além disso,
também precisavam identificar de que nada adiantava acrescentar fichas vermelhas,
era necessário o acréscimo de duas fichas azuis de cada lado para anular as duas
fichas vermelhas e a tira retangular ficasse sozinha.
Nessa situação, foi grande a dificuldade encontrada, como se estivessem
rompendo um grande obstáculo, para continuarem a caminhada. Mas também,
depois de vencida a barreira, praticamente todos os alunos demonstraram ter
apreendido o processo manipulativo envolvido na resolução de equações.
Fonte: Aluna Yara
Para equações do tipo ax + b = cx + d, trocamos as tiras pretas por tiras
azuis e vermelhas. Como as fichas, as tiras azuis representam valores positivos e as
tiras vermelhas, valores negativos. Houve a necessidade de lembrar que um par de
tiras (A – V) se anula, frisando muito sobre o oposto de cada tira.
Expus que o lado esquerdo do barbante é chamado de primeiro membro, e o
lado direito é chamado de segundo membro. Que para resolver uma equação
precisamos que todas as tiras fiquem no 1º membro e todas as fichas fiquem no 2º
membro, para descobrir o valor da incógnita (tira).
Falei sobre a propriedade igualdade, que sempre acrescentamos a mesma
quantidade de tiras ou fichas em cada membro para mantê-la. Que as tiras são
incógnitas, ou seja, valores a serem descobertos. Tudo isso para terem subsídios
para responderem a questão 1.
Fonte: Aluna Giovana
Fonte: Aluno Luana F.
Fonte: Aluno Igor
Fonte: Aluno Hugo
Como já haviam incorporado o método para resolução de equação do tipo
ax + b = c, pela mesma lógica logo deduziram que, se é possível acrescentar e
anular pares de fichas (A – V), também poderia acrescentar e anular pares de tiras
retangulares (A –V).
Apesar de alguns alunos ainda estarem com as ideias meio confusas,
sabiam o que tinham que fazer para deixar tiras no primeiro membro e fichas no 2º
membro. Não houve grandes problemas para encontrarem do valor das tiras.
Por incrível que pareça, a grande maioria dos alunos não apresentou
praticamente nenhuma dificuldade na resolução das equações. Algumas duplas,
primeiro acrescentaram as fichas e depois a tiras para anulamento, mas perceberam
que não influenciava no resultado. A necessidade de descrever suas ações
contribuiu extraordinariamente para a fixação dos passos a serem seguidos.
Fonte: Aluno Lucas
Nos itens f e g, a resolução da equação produzia a uma incógnita negativa,
havendo a necessidade da troca de tiras e fichas por suas opostas. Aceitaram a
troca legitimada pela interlocução da professora.
Fonte: Aluna Yara
Fonte: Aluna Maryana
4) Resolução de problemas
O material fora constituído totalmente numa perspectiva de resolução de
problemas, apresentando situações que descrevem fenômenos reais,
generalizando-os, e explicitando simbolicamente, estimulando o pensamento
algébrico e construindo significados pelas relações que estabeleceram entre os
conceitos e os recursos utilizados, culminando na incorporação de uma visão da
Álgebra como ferramenta de abstração e generalização na resolução de problemas
envolvendo Equações do 1º Grau.
Ao invés de ensinar álgebra como um conjunto de procedimentos que devem ser aplicados na resolução de um problema específico, cabe ao professor criar situações de ensino que possibilitem ao aluno pensar algebricamente ao se deparar com um problema. (LESSA, FALCÃO, p.123)
Para esta etapa trabalhei situações diversificadas: enigmas do tipo “Pense
em um número”, operações inversas, situações reais e balanças. Foi impressionante
que mesmo tendo o conhecimento do procedimento para resolução de equações,
apresentaram dificuldades nas traduções algébricas e desejavam resolvê-las por
tentativas, lógica, prevalecendo as operações inversas.
A aplicação da ficha de enigmas foi muito motivadora, ficaram intrigados
com a “mágica”. Tive que decepcioná-los dizendo que era Matemática. Algumas
duplas tentavam descobrir a explicação para o fato, mas não tiveram o traquejo
algébrico para tanto. Dessa forma, fui colocando no quadro a tradução algébrica das
instruções. Ao visualizarem a expressão algébrica, “mataram a charada”, só a partir
deste momento identificaram que o truque era meramente matemático, através da
reversibilidade de operações.
O raciocínio da operação inversa é muito tranquilo para os alunos que
conseguem perceber que desfazendo as operações do final para o início, encontram
o resultado. O problema é representar esta situação simbolicamente, houve muita
resistência em expressar simbolicamente a informação, e no primeiro momento não
exigi que equacionassem.
Fonte: Aluna Ana
Fonte: Aluna Maryana
Depois que todos terminaram de resolver (a maioria aritmeticamente),
fizemos coletivamente as expressões simbólicas de cada situação, relacionando as
resoluções aritméticas com o que acontece no material.
Nas situações reais inicialmente segui o encaminhamento metodológico
estipulado nesta ficha de trabalho, que era distribuir uma situação para cada equipe,
onde deveriam equacionar a situação, trocá-las entre os grupos para averiguar se as
sentenças estavam corretas e finalmente resolvê-las. Mas tive que mudar os planos,
pois eles resolviam a situação aritmeticamente, descobriam o resultado e só depois
equacionavam e resolviam aplicando a propriedade aditiva e multiplicativa.
No decorrer da realização das tarefas dessa ficha alguns alunos
apresentaram certa dificuldade na a tradução algébrica correta, mesmo os que
tiveram o raciocínio lógico correto para os cálculos aritméticos. Não forcei, deixei
que expressassem a lógica de seus raciocínios nas situações menos elaboradas.
A partir da terceira situação já percebi que tentavam equacionar para depois
resolver, demonstrando uma visão mais algébrica do raciocínio aritmético. Mas foi
mesmo a partir das situações mais elaboradas que realmente perceberam a
necessidade de equacionar e que a resolução de forma algébrica era mais rápida do
que por tentativas.
Para finalizar o projeto e o conteúdo oportunizei que relatassem sobre a
utilidade do estudo das equações. Com sinceridade em seus relatos demonstram a
aprendizagem dos conceitos ensinados:
Luana K: Serviu como um atalho para resolver contas e problemas, facilita encontrar
os valores desconhecidos.
Yara: A equação resolve as contas de um jeito diferente. Com o material era bem
mais fácil, mas agora também está muito fácil, pois já me acostumei com a equação.
Juliana D: Serve para manter a igualdade entre os números e também solucionar
problemas.
Natacha: Eu não gostei muito no início porque embaralha muito a cabeça
misturando letras e números. Mas torna mais fácil a resolução de problemas.
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS
As tarefas da Unidade Didática foram elaboradas tendo em vista as
dificuldades encontradas para a apropriação efetiva desse conteúdo em anos
anteriores. Ao produzi-lo, optamos em sequência-lo de maneira a não deixar
nenhuma ideia de fora, assim tornou-se longa. Optamos também em estruturá-la em
fichas de trabalho para facilitar a montagem da Unidade, o que não significa que
elas devam ser trabalhadas separadamente, elas podem ser unidas, propiciando
sempre subsídio para a próxima ficha, com um novo conceito a ser incorporado.
Durante a implementação conseguimos aliar ficha a ficha até que houve na
aplicação um corte em meio o trabalho da linguagem natural e tradução algébrica,
para dar espaço ao trabalho manipulativo. Ao juntar os dois conhecimentos na
resolução de problemas propriamente dita, houve a necessidade de retomada de
termos especifico da tradução algébrica, atrasando a conclusão do trabalho. Por
esse motivo sugiro que o trabalho manipulativo seja feito ao mesmo tempo da
tradução algébrica.
Comparando os resultados obtidos no estudo das Equações do 1º Grau, de
anos anteriores, onde a introdução era feita diretamente com situações-problema
para o uso de equações, com os resultados alcançados na aplicação desta Unidade
Didática, concluímos que contribuiu no sentido de proporcionar significado aos
símbolos utilizados, favorecendo a elaboração do pensamento algébrico.
A seqüência, embora longa, permitiu observar de forma ampla a construção
dos conceitos algébricos, em todas as etapas essenciais para o aprendizado de
Equações do 1º Grau.
Os alunos apresentaram mudanças positivas nos procedimentos algébricos,
demonstrando compreensão de conceitos fundamentais.
Houve grande interesse e participação na primeira etapa, da representação
simbólica, na elaboração do conceito de incógnita e de variável em situações de
generalização, o que possibilitou a compreensão sobre as relações que os símbolos
expressam e o uso das letras na linguagem Matemática, contribuindo para a etapa
final. O maior sinal do entendimento do significado dos símbolos e a função das
letras, foi ao se depararem com uma sentença (equação), não perguntaram: “quanto
vale x?”, como acontecia em anos anteriores, pois não conseguiam relacionar o
símbolo como um valor numérico a ser descoberto.
Na segunda etapa, da produção de significados para expressões algébricas
por equivalência, propiciou a incorporação do princípio de equivalência como fator
fundamental para transformação de igualdades. Podemos evidenciar que os alunos
de 6ª série têm competência para lidar com transformações algébricas, afirmando e
justificando, desde que manipuladas. A visualização das transformações e a
interlocução do professor foram essenciais para garantir a compreensão da
afirmação, produzindo significado ao representar a sentença simbolicamente, ou
melhor, tornando as transformações das sentenças legítimas. A clareza nas
afirmações e justificações dos alunos demonstra que a atividade algébrica envolvida
nesta tarefa, chegou à caracterização formal.
Na terceira etapa, da resolução de Equações do 1º por meio de
equivalência, o material com fichas inicialmente entrou em conflito com o raciocínio
lógico, a tendência em resolver de “cabeça” equações do tipo ax + b = c é
muito natural, com representações simbólicas aritméticas. Neste aspecto, a
visualização do material contribuiu extremamente para que justificassem cada uma
das transformações, sempre mantendo a igualdade.
A contribuição do material com fichas foi tão importante, que ao resolverem
equações de fator de “ruptura” do tipo ax + b = cx + d, não apresentaram
praticamente dúvidas em relação à manipulação. Os alunos já haviam percebido
que, se era possível acrescentar e anular pares de fichas (A – V), então também
seria possível acrescentar e anular pares de tiras (A – V). A relação entre o
“concreto” e o “formal”, preenche o “vazio” ilustrado pelas pesquisadoras inglesas
Hart e Sinkinson (LINS; GIMENEZ, 1997). Em análise consideramos o método
possibilitador do entendimento do conjunto de conceitos e procedimentos
matemáticos envolvidos na resolução da equação.
Em todas as etapas foram oportunizadas formas de representação oral e
escrita das afirmações e justificações, podendo relacionar as sentenças simbólicas
com maior retenção de seu significado. Mas foi principalmente nesta etapa que ao
descreverem cada acréscimo ou anulamento de fichas e tiras, concretizaram as
ideias e o sistema de relações envolvidas, favorecendo a uma rápida abstração.
Após o término das tarefas das fichas, poucos alunos ainda necessitavam do
material para resolver as equações.
Apesar de introduzir o estudo das Equações do 1º Grau de forma diferente de
anos anteriores, na resolução de problemas propriamente dita, na quarta etapa,
encontrei inicialmente os mesmos obstáculos: a resistência em equacionar as
situações e dificuldades na tradução algébrica.
No entanto apresentaram um diferencial importante: domínio algébrico na
resolução de equações, que precisou ser atrelado à tradução da linguagem natural,
que perdeu o referencial semântico no processo de manipulação.
[...] a comunicação do pensamento matemático que opera em dois níveis. O primeiro é o nível semântico: os símbolos e as notações carregam um significado paralelo com a linguagem natural. O segundo nível é puramente sintático, que podem aplicar regras manipulativas, sem referência direta ao significado. (GARCIA, 1997, p.11 apud ROMERO, 2007, p.26).
Ao representarem simbolicamente quatro tiras no material, automaticamente
expressavam como 4 vezes a incógnita R: 4R, ao passo que na tradução do
quádruplo do número pensado, não faziam a relação com quatro tiras, tentando
descobrir primeiro o valor para depois representá-lo simbolicamente.
À medida que realizavam cada tarefa, demonstravam domínio dos conceitos
ao se expressarem simbolicamente, fazendo a interligação da linguagem natural
com a linguagem algébrica. Ao final já possuíam um “olhar algébrico” procurando
equacionar corretamente as situações, e o reconhecimento do uso de equações
como ferramenta facilitadora na resolução de problemas, deixou o sentimento de
que nosso objetivo principal foi alcançado. Não se pode negar que o processo de
incorporação desse novo código linguístico, repleto de relações implícitas entre
incógnitas e dados numéricos, é lento e exige continuidade até que sejam totalmente
incorporados.
REFERÊNCIAS
BERNARD, John E. & COHEN, Martin P. Uma integração dos métodos de resolução de equações numa sequência evolutiva de aprendizado. In: COXFORD, Arthur F. & SHULTE, Albert P. (Orgs). As ideias da álgebra. Traduzido por Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994.
BOOTH, Lesley R. Dificuldades das crianças que se iniciam em álgebra. In: COXFORD, Arthur F. & SHULTE, Albert P. (Orgs). As ideias da álgebra. Traduzido por Hygino Domingues. São Paulo: Atual, 1994.
BRANCA, Nicholas. Resolução como meta, processo e habilidade básica. A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. In: KRULIK, Stephen & REYS, Robert E. (Orgs). Traduzido por Hygino Domingues & Olga Corbo. São Paulo: Atual, 1997
CASTRO, Mônica R. Educação algébrica e resolução de problemas. Salto para o Futuro. TV Escola/ Maio de 2003.
DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de Problemas. 12 ed. São Paulo: Ática, 2005.
FREITAS, José L.M. Produção de provas em aritmética-álgebra por alunos iniciantes de licenciatura em Matemática. VIII Encontro Nacional de Educação Matemática. Recife, 15 a 18 de julho de 2004. Disponível no site: http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/09/CC74619047872.pdf . Acesso em 24/03/2010.
HOUSE, Peggy A. Aventurando-se pelos caminhos da resolução de problemas. A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. In: KRULIK, Stephen & REYS, Robert E. (Orgs). Traduzido por Hygino Domingues & Olga Corbo. São Paulo: Atual, 1997.
KIERAN, Carolyn. Duas abordagens diferentes entre os principiantes em álgebra. In: COXFORD, Arthur F. & SHULTE, Albert P. (Orgs). As ideias da álgebra. Traduzido por Hygino Domingues. São Paulo: Atual, 1994.
LESSA, Mônica M. L. & FALCÃO, Jorge T. R.. A construção de significados em Álgebra com base em um sequência de ensino – um olhar para sala de aula. In: LEÃO, Lurdes M. & CORREIA, Mônica (Orgs). Psicologia Cognitiva. Campinas: Alínea, 2008.
LINS, Rômulo C. GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. 6 ed. Campinas. São Paulo: Papirus, 1997. (Coleção Perspectivas em Educação)
LINS, Rômulo C. Matemática, Monstros, Significados e Educação Matemática. In: BICUDO, Maria A. V. & BORBA, Marcelo C. (Orgs) Educação Matemática: pesquisa em Movimento. São Paulo: Cortez, 2004.
LOCHHEAD, Jack & MESTRE José P. Das palavras à álgebra: corrigindo concepções erradas. In: COXFORD, Arthur F. & SHULTE, Albert P. (Orgs). As ideias da álgebra. Traduzido por Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994.
MOURA, Anna R.L. SOUZA, Maria C. O lógico-histórico da álgebra não simbólica e da álgebra simbólica: dois olhares diferentes. Zetetike – Cepem – FE – Unicamp – v.13. n.24 jul/dez 2005. Disponível no site:http://www.fae.unicamp.br/zetetike/include/getdoc.php?id=174...Acessado em 01/09/2009.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica – Matemática. Paraná, 2008.
ROMERO, Sandra A. Contribuições dos jogos eletrônicos na construção da linguagem algébrica. Dissertação de Mestrado. Maringá. UEM, 2007. Disponível no site: http://www.pcm.uem.br/dissertacoes.php?ano=2007&buscar=OK Acesso em 06/07/2009.
THOMPSON, Frances M. Ensino de álgebra para a criança mais nova. In:COXFORD, Arthur F. & SHULTE, Albert P. (Orgs). As ideias da álgebra. Traduzido por Hygino Domingues. São Paulo: Atual, 1994.