d 010438196

8/18/2019 d 010438196

1/25

ETODA SI PLEKS

D0104 Riset Operasi IKuliah VIII - X

8/18/2019 d 010438196

2/25

etoda Simpleks

Suatu metoda yang menggunakan prosedur aljabaruntuk menyelesaikan programa linier.

Proses penyelesaiannya dengan melakukan iterasi

dari fungsi pembatasnya untuk mencapai fungsitujuannya.

Untuk penyelesaian, model ketidaksamaan darifungsi pembatas harus diubah terlebih dahulu

kedalam bentuk persamaan.Pengubahan bentuk ketidaksamaan menjadipersamaan adalah dengan penambahan ‘slackvariabel’ atau pengurangan sebesar ‘surplus variabel’.

8/18/2019 d 010438196

3/25

Pengubahan odel

Ketidaksamaan Persamaan

Maksimasi : X0 = 4 X1 + 3 X2

Pembatas : 2 X1 + 3 X2 ≤ 6

-3 X1 + 2 X2 ≤ 3

2 X2 ≤ 5

2 X1 + X2 ≤ 4

X1, X2 ≥ 0

Maksimasi : X0 = 4 X1 + 3 X2

Pembatas : 2 X1 + 3 X2 + S1 = 6

-3 X1 + 2 X2 + S2 = 3

2 X2 + S3 = 5

2 X1 + X2 + S4 = 4

X1, X2 S1, S2 S3 S4 ≥ 0

Model Ketidaksamaan Model Persamaan

S adalah ‘slack variabel’, penambah ketidaksamaan

8/18/2019 d 010438196

4/25

Pembentukan Tabel

Simpleks

Var

Basis

Koefisien dari

X1 X2 X3 . . . . . . Xn c1 c2 c3 . . . . . . cn

X0

RHS

Ratiob j

b

b!

b"

#

bm

a11 a12 a13 . . . . . . a1n

a21 a22 a23 . . . . . . a2n

a31 a32 a33 . . . . . . a3n

am1 am2 am3 . . . . . . amn

c

c!

c"

#

cm

! " $ % &'

(

(a

b j) * c

j)(c

j b

j)

8/18/2019 d 010438196

5/25

Penjelasan Tabel Simpleks

enjelasan Tabel Simpleks

1. Kolom 1, beisi !aiabel basis "ait# !aiabel-!aiabel "an$ membent#k matik sat#an %aik#mlan '#n$si &embatas.

2. Kolom 2, beisi konstanta %ai !aiabel basis"an$ te%a&at &a%a '#n$si t#(#an.

3. Kolom 3, beisi %ai nilai b (,, "ait# nilai &a%a sisi

kanan keti%aksamaan %ai '#n$i &embatas.

4. Kolom 4, Xi me#&akan !aiabel ket#san, ci me#&akan konstanta %ai '#n$si t#(#an.

8/18/2019 d 010438196

6/25



5. olom 5, berisi konstanta dari persamaan

! persamaan yang membentuk fungsi

pembatas.

". olom ", berisi nilai hasil perhitungan

untuk menentukan variabel basis yang

meninggalkan #bukan variabel basis lagi$dengan memilih b (%ai( terkecil, dimana ai(

> &

8/18/2019 d 010438196

7/25



'. olom ', berisi nilai!nilai untuk menentukan

variabel masuk atau ‘(ntering )ariable’

#calon variabel basis baru$ dengan memilihnilai paling negatif untuk fungsi tujuan

maksimum atau sebaliknya untuk fungsi

tujuan minimum dari perhitungan rumus

# (a b j ) + c j)#

8/18/2019 d 010438196

8/25

Contoh

Var

Basis

Koefisien dari

X1 X2 S1 S2 . S3. . S4.

4 3 0

0 0 0

X0

RHS

Ratiob j

&

"

%

$

2 3 1 0 0 0

-3 2 0 1 0 0

0 2 0 0 1 0

2 1 0 0 0 1

+$ *"

S1

S2

S3

S4

- menjadi Variabel mas.k

6)2

4)2

S$ Variabel /0 menin00alkan

8/18/2019 d 010438196

9/25

Contoh

Maksimasi :X0 = 3X1 + 2X2 + 5X3

Pembatas : X1 + 2X2 + X3 ≤ 430

3X1 + 2X3 ≤ 460

X1 + 4X2 ≤ 420

X1, X2 ,X3 ≥ 0

Maksimasi : X0 = 3X1 + 2X2 + 5X3

Pembatas : X1 + 2X2 + X3 + S1 = 430

3 X1 + 2 X2 + S2 = 460

2 X1 + X2 +S4 = 420

X1, X2 ,X3 S1, S2 S3≥

0


8/18/2019 d 010438196

10/25

Langkah Pen!elesaian Dengan

Simpleks

Var

Basis

Koefisien dari X1 X2 X3 S1 . S2. . S3.

4 2 5 0 0 0

-RHS

Ratiob j

430

460

420

1 2 1 1 0 0

3 0 2 0 1 0 1 4 0 0 0 1

S1

S2

S3

1. Memin%a*kan mo%el &esamaan matematik ke tabel.

2. S1 ,S2.,S3 me#&akan !aiabel basis, kaena membent#kmatriks sat.an

8/18/2019 d 010438196

11/25

*. +enentukan nilai!nilai untuk mendapatkan

‘(ntering variabel’, misal kolom X1 - ##/& 0 */&

0 /&$ 1 2$ - !2

Var

Basis

Koefisien dari

X1 X2 X3 S1 . S2. . S3.

4 2 5

0 0 0

-

RHS

Ratiob j

430

460

420

1 2 1 1 0 0

3 0 2 0 1 0

1 4 0 0 0 1

S1

S2

S3

-4 2 5 0 0 00

2. 3ari nilai!nilai tersebut, 4* merupakan ‘Entering Variable’

8/18/2019 d 010438196

12/25

5. +enentukan nilai!nilai untuk mendapatkan

‘Leaving variabel’, misal baris S1 - 2*&%

S2 =2"&%

Var

Basis

Koefisien dari

X1 X2 X3 S1 . S2. . S3.

4 2 5 0 0 0

-

RHS

Ratiob j

430

460

420

1 2 1 1 0 0

3 0 2 0 1 0

1 4 0 0 0 1

S1

S2

S3

430

230

-4 2 5 0 0 00

8/18/2019 d 010438196

13/25

- 0.5 2 0 1 -0.5 01.5 0 1 0 0.5 0

1 4 0 0 0 1

6. i%asakan &a%a tabel sebel#mn"a, maka !a.basis S2 %i$anti

%en$an X3 %an sem#a nilai &a%a bais teseb#t %iba$i %en$an nilai

inteseksi %alam *al ini a%ala* 2

Var

Basis

Koefisien dari

X1 X2 X3 S1 . S2. . S3.

4 2 5 0 0 0

-

RHS

Ratiob j

200

230

420

%

S1

X3

S3

Pi!ot Point = bais "an$ %i$#nakan seba$ai %asa iteasi

. en$an &i!ot &oint %ilak#kan iteasi #nt#k mem&eole* nilai-nilai

"an$ ba# %ai bais ata# !a. basis "an$ lama.

3.5 -2 0 0 2.5 01150

8/18/2019 d 010438196

14/25

6. 7entukan (ntering dan 8eaving variable dengan cara

yang sama dengan sebelumnya

- 0.5 2 0 1 -0.5 0

1.5 0 1 0 0.5 0

1 4 0 0 0 1

Var

Basis

Koefisien dari

X1 X2 X3 S1 . S2. . S3.

4 2 5 0 0 0

-

RHS

Ratiob j

200

230

420

%

S1

X3

S3

100

105

3.5 -2 0 0 2.5 01150

ntein$

/aiable

ea!in$

/aiabel

8/18/2019 d 010438196

15/25

9. 3ari iterasi berikut, nilai!nilai dari # (aij b j - ! j"

semuanya positif berarti kondisi sudah optimal, dengan

hasil X1 - & , X2 - &&, X3 - *&

-0.25 1 0 0.5 -0.25 0

1.5 0 1 0 0.5 0

2 0 0 -2 1 1

Var

Basis

Koefisien dari

X1 X2 X3 S1 . S2. . S3.4 2 5 0 0 0

-

RHS

Ratiob j

100

230

20

!

%

X2

X3

S3

1350 3 0 0 1 2 0

8/18/2019 d 010438196

16/25

Teknik "Arti#i$ial %ariable&

:ila pada fungsi pembatas ada tanda

ketidaksamaan ≥ dan - maka

penyelesaiannya dapat dilakukandengan teknik, yaitu 7eknik + #:ig + +ethod$

7eknik phasa.

8/18/2019 d 010438196

17/25

Teknik '(ig ethod)

Maksimasi :X0 = 4X1 + X2

Pembatas : 3 X1 + X2 = 3 4X1 + 3X2 ≥ 6

X1 + 2X2 ≤ 3

X1, X2 ≥ 0

Maksimasi : X0 = 4X1 + X2

Pembatas : 3X1 + X2 = 3 4X1 + 3 X2 - S1 = 6

2 X1 + X2 +S2 = 3

X1, X2 ,, S1, S2≥ 0


nt#k '#n$si &embatas &etama %an ke%#a ti%ak men"e%iakan!aiabel basis "an$ (elas, se*in$$a ti%ak membent#k mati

sat#an.

en$an menamba*kan ati'icial !aiabel maka mo%eln"a seba$ai

beik#t :

8/18/2019 d 010438196

18/25

Teknik '(ig ethod)

Minimasi : X0 = 4X1 + X2

Pembatas : 3 X1 + X2 = 3

4X1 + 3X2 ≥ 6

X1 + 2X2 ≤ 3

X1, X2 ≥

0

Minimasi : X0 = 4X1 + X2 + M 1 + M 2

Pembatas : 3X1 + X2 + 1 = 3

4X1 + 3 X2 - S1 + 2 = 6

2 X1 + X2 +S2 = 3

X1, X2 ,, S1, S2, 1, 1 ≥ 0


S123HK34 3453 S626S31K34 564734 M6477843K34

S1MP26KS

8/18/2019 d 010438196

19/25

etoda Dua Phasa

etoda Dua Phasa

Untuk kondisi dimana penggunaan metoda ‘:ig +’

menimbulkan kesahan dalam perhitungan, dapat

digunakan +etoda Phasa, sebagai berikut Phase ;

8/18/2019 d 010438196

20/25

Contoh etoda * Phase

ontoh etoda * Phase

Minimasi : X0 = 4X1 + X2 + M 1 + M 2

Pembatas : 3X1 + X2 + 1 = 3

4X1 + 3 X2 - S1 + 2 = 6 2 X1 + X2 +S2 = 3

X1, X2 ,, S1, S2, 1, 1 ≥ 0

Model Persamaan

e%asakan Mo%el &esamaan teseb#t, maka &a%a P*ase memn"aib"ekti' "an$ ba# sbb :

Minimasi : 0 = 1 + 2

8/18/2019 d 010438196

21/25

Tabel Simpleks Phase I

3 1 0 1 0 0

4 3 -1 0 1 0

1 2 0 0 0 1

Var

Basis

Koefisien dari

X1 X2 S1 1 . 2. . S2.

0 0 0 1 1 0

-RHS

Ratiob j

3

6

3

1 2

S3

0 3 0 0 0 0 0

ntein$ /aiable

3)3

6)4

3)1

ea!in$ /aiable

8/18/2019 d 010438196

22/25


1 1)3 0 1)3 0 0

0 5)3 -1 -4)3 1 0

0 5)3 0 -1)3 0 1

Var

Basis

Koefisien dari

X1 X2 S1 1 . 2. . S2.

0 0 0 1 1 0

-RHS

Ratiob

j

1

2

2

X1

2

S2

0 0 5)3 -1 -)3 0 0

3

6)5

6)5

ntein$ /aiable ea!in$ /aiable

8/18/2019 d 010438196

23/25


1 0 1)5 3)5 -1)5 0

0 1 -3)5 -4)5 3)5 0

0 0 1 1 -1 1

Var

Basis

Koefisien dari

X1 X2 S1 1 . 2.. S2.

0 0 0 1 1 0

-RHS

Ratiob

j

3)5

6)5

0

X1

X2

S2

0 0 0 0 -1 -1 0

0 = 0 men#n(#kan &emasala*an P*asa 'easible, P*asa %a&at

%ilan(#tkan

8/18/2019 d 010438196

24/25

Tabel Simpleks Phase II

1 0 1)5 0

0 1 -3)5 0

0 0 1 1

Var

Basis

Koefisien dari

X1 X2 S1 S2

4 1 0 0

-RHS

Ratiob j

3)5

6)5

0

$

X1

X2

S2

17)5 0 0 1)5 0

Pa%a &*asa ini ati'icial !aiable n"a %ieliminasi %an tabeln"a

men(a%i beik#t :

ai tabel teli*at sol#sin"a bel#m o&timal kaena a%a nilai # (a b j ) + c j)#

8an$ 9 0, 1)5. en$an iteasi selan(#tn"a men$el#akan S2 %an

memas#kan S1 ke%alam basic !aiabel akan %i%a&at kon%isi "an$ o&timal

8/18/2019 d 010438196

25/25

LATI+A,

ATI+A,

Ke(akan Soal eik#t :

1. Maksimasi : X0 = 6X1 - 2X2

Pembatas : X1 - X2 ≤

1 3X1 - X2 ≤ 6

X1, X2 ≥ 0

2. Maksimasi : X0 = 4X1 + 4X2

Pembatas : 2 X1 + X2 ≤ 1 X1 + 2X2 ≤ 6

X1, X2 ≥ 0

Documents

d 010438196