1

Cvičení č.1

VÝROBNÍ FAKTOR KAPITÁL

PŘÍKLADY:A: SPLÁCENÍ ÚVĚRŮB: ÚROKOVÉ POČTY

Říjen 2011

A: Úvěry

1. Anuitní splácení úvěru a) roční b) měsíční

2. Rovnoměrné splácení3. Překlenovací úvěr

2

3

1a) Anuitní splácení úvěru – roční splátky

Úvěr v hodnotě 1 000 000 Kč Úroková sazba: 7,5% p.a. Doba splácení 6 let Vypočítejte výši anuity, kterou bude klient při splácení úvěru platit.

Konecroku 0 1 2 3 4 5 6

dluh

1)1()1(*.

n

n

iiiSoA

1 000 000

anuita

úrok

Úmor

4

1b) Anuita – měsíční splátky Podnikatel splácí úvěr ve výši 1.000.000 po dobu 6 let s roční úrokovou

mírou 7,5% p.a. Úvěr je splácen pravidelnými měsíčními anuitními splátkami. Vypočítejte výši úmoru (splátky jistiny) za 2 měsíce.

Úkol: Převeďte roční úrokovou míru (měsíční frekvence úročení dluhu) Vypočítejte měsíční anuitu

Konec měsíce

dluh

0 1 2

Kčanuita 172901)00625,1(

)00625,1(*00625,0*1000000 72

72

1)1()1(*.

n

n

iiiSoA

1 000 000

Anuita měsíční

úrok

Úmor

5

Rekapitulace 1a-b)

Konec roku 1 2 3 4 5 6

Roční splácení anuity

Úrok(% z anuity)

35,20 30,34 25,11 19,50 13,46 6,97

Kumulace úroků 75 000 139 647 193 163 234 716 263 406 278 269Měsíční anuitní splácení

Úrok(% z anuity)

31,61 26,30 20,59 14,42 7,78 0,62

Kumulace úroků 70 349 130 053 178 285 214 153 236 699 244 888

6

1b2) Anuita – měsíční splátky – variantní příklad

  0 1 2 3 4dluh 1 000 000 997 861 995 712 993 551 991 379

  anuita 7 222 7 222 7 222 7 222  úrok 5 083 5 072 5 062 5 051  úmor 2 139 2 150 2 161 2 172

Kčanuita 72221)0050833,1(

)0050833,1(*0050833,0*1000000 240

240

Podnikatel splácí hypotéční úvěr úvěr ve výši 1.000.000 po dobu 20 lets roční úrokovou mírou 6,1% p.a. Úvěr je splácen pravidelnými měsíčními anuitními splátkami.

7

Anuitní splátka

0

1 000

2 000

3 000

4 000

5 000

6 000

7 000

8 000

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97 100 103 106

měsíce

Kč

úmorúrok

anuita složená z úroku a splátky jistiny

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101 105

měsíce

Kč

úmor

úrok

Grafická podoba splácení úvěru – př: prvních 8 let)

2. Splácení úvěru rovnoměrné Úvěr v hodnotě 1 000 000 Kč Úroková sazba: 7,5% Doba splácení 6 let Vypočítejte výši splátky, kterou bude klient při splácení úvěru platit.

(stejná výše úmoru + úrok)

Konec roku 0 1 2 3 4 5 6

DLUH 1 000 000

SPLÁTKA

ÚROK

ÚMOR

9

Rekapitulace 2)

Konec roku 1 2 3 4 5 6

Roční rovnoměrné splácení (různá výše roční platby bance)

Úrok(% ze splátky)

31,03 27,27 23,07 18,36 13,04 6,97

Kumulace úroků 75 000 137 500 187 500 225 000 250 000 262 500

3. Překlenovací úvěr Úvěr ve výši 1 000 000 Kč Doba splácení 6 let Roční úrok 7,5 % p.a. Dluh je uhrazen až na konci 6 roku Zhodnocení: Po dobu 5 let klient nesplácí žádnou část dluhu, ročně platí

cenu za zapůjčený kapitál – úroky. Na konci 6. roku splatí celý dluh 1000 000Kč včetně úroků za 6 rok.

Konec roku1. až 5.

(vždy stejně) 6. Po 6 letech:ÚmorKonečný stav dluhuÚrokCelkem splaceno ve splátce

Rekapitulace (1-3. varianty)

11

Konec roku 1 2 3 4 5 6

ROČNÍ SPLÁCENÍ ANUITY Úrok(% z anuity)

35,20 30,34 25,11 19,50 13,46 6,97

Kumulace úroků 75 000 139 647 193 163 234 716 263 406 278 269ROČNÍ ROVNOMĚRNÉ SPLÁCENÍ (RŮZNÁ VÝŠE ROČNÍ PLATBY BANCE)

Úrok(% ze splátky)

31,03 27,27 23,07 18,36 13,04 6,97

Kumulace úroků 75 000 137 500 187 500 225 000 250 000 262 500PŘEKLENOVACÍ ÚVĚR

Úrok(% ze splátky) 100 100 100 100 100 6,98

Kumulace úroků 75 000 150 000 225 000 300 000 375 000 450 000

ÚROKOVÝ KOEFICIENT (kú) Při hodnocení jednotlivých variant úvěrů možno použít:

úrokový koeficient. Výpočet: suma zaplacena celkem/ hodnota dluhu Nutno použít jen při variantách splácení srovnatelného charakteru

(úroková míra, frekvence splácení)

12

ZÁVĚREČNÉ ZHODNOCENÍ SPLÁTKOVÝCH KALENDÁŘŮ dle kú

Suma zaplacená celkem kú

Anuitní roční splácení 1 278 269 1,278

Rovnoměrné roční splácení 1 262 500 1,262

Překlenovací úvěr 1 450 000 1,450

POZNÁMKA V praxi se můžeme setkat při splácení úvěrů i s následujícími

případy:

Klientovi je umožněno jednorázově splatit v průběhu anuitního splácení mimořádnou peněžní částku. Pak je nutno přepočítat nový stav dluhu a novou výši anuity. V anuitní splátce se pak musí dobře zohlednit zbylá doba splácení. Ta se může a nemusí od původní doby lišit. Klient se buď rozhodně dobu splácení snížit při dosavadní výši anuity nebo dodrží původní dohodnutou dobu splácení s nižší výší anuitní splátky.

V průběhu splácení také může dojít ke změně splátky (anuitní či rovnoměrné).

V praxi může dojít ke kombinací všech základních způsobů splácené úvěrů

13

Příklad č.1. Odkup směnky před její splatností

Směnka o hodnotě (S) ……. 3 000 000 KčDoba splatnosti …….……… 30 dní (1 měsíc)Diskontní sazba (d) ………… 2,25 % p.a.Jakou částku (P) společnost A získala při prodeji směnky a kolikčinil diskont (D)?

B: Příklady úrokových počtů

P = S – DD = S . d . nD = 3 000 000 . 0,0225/12 . 1

15

Prarodiče se v den narození vnuka rozhodli, že mu založí vkladníknížku s částkou 25 000 Kč a peníze na ní ponechají včetněúroků až do jeho 22. narozenin. Jaká částka tam k tomuto datu bude k dispozici (Sn)? O jaký typúročení jde?

Počáteční částka So…………………25 000 KčDoba uložení vkladu …………….... 22 letPrůměrná roční úroková míra ……. 1,5 %

Příklad č. 2

Sn = So . (1 + i)n

16

Prarodiče se v den narození vnuka rozhodli, že mu k22.narozeninám ušetří částku 100 000 Kč, to tak že navkladní knížku uloží potřebnou částku a nechají ji postupněnarůstat prostřednictvím úroků.

Cílová částka Sn…………………… 100 000 KčDoba uložení vkladu (n)…………….... 22 letPrůměrná roční úroková míra (i) ……. 1,5 %

Kolik museli prarodiče vložit na vkladní knížku před 22 lety,aby při daném zúročení této částky dosáhli?

niSP

)1(

niSnSo

)1(

Příklad č. 3

17

Prarodiče by se ovšem také mohli rozhodnout spořit formoupravidelného ročního vkladu.Cílová částka (Sn)…………………….100 000 KčDoba spoření (n) ………………. 22 letPrůměrná roční úroková míra (i)……. 1,5 %

Kolik by pak museli dědeček s babičkou ročně ukládat, abydosáhli za 22 let požadované částky? O jaký typ výpočtu jdenyní?

1)1(*

nn i

iSA

Příklad č. 4

18

Farmář chce rozšířit plochu své farmy koupí 20 hazemědělské půdy, kterou majitel nabízí za cenu 50 000 Kč/ha.Pozemky ………………… 20 haCena za 1 ha ……………. 50 000 KčDoba splácení …………… 10 letRoční úroková sazba …… 10 %

a) Jak vysoké budou roční splátky, jestliže doba splácení bude 10 let ?

1)1()1(*.

n

n

o iiiSA

Příklad č. 5

19

b) Jak vysoké budou roční splátky v případě, že se doba splácení zkrátí na 5 let, jak požadujemajitel pozemku ? (i= 10%)

Řešení:

1)1()1(*.

n

n

o iiiSA

20

Rodina chce do 10 let ušetřit 1 000 000 Kč na koupi bytu. Kolik musí rodina ročně spořit?

a) Cílová částka (Sn)…… . 1000 000 Kč Doba spoření (n) …………. 10 let Roční úroková míra (i) ….. 1,1 %

1)1(*

nn i

iSA

Příklad č. 6

21

b) Doba spoření …………. …….10 let Roční inflace ………………… 1,0%

Pozn.: (inflace: 2009: 1 % p.a.2008: 6,3%

2007: 2,8%léta 2002-6: 2-3%)

Cena bytu ovšem nezůstane fixní, ale může se měnit např. důsledku inflace.Kolik musí rodina ročně naspořit, pokud roční inflace budečinit 1,0 %?

1 000 000 . 1,0110

= 1 104 622

Cena bytu včetně inflace …… 1 104 622KčA = anuita z budoucí hodnoty 1)1(

*

nn iiSA

22

c) Rodina si může pořídit byt i na úvěr Hypotéční úvěr ……………. 1 000 000 Kč Roční úroková sazba ………5,49% (s dobou fixace 5 let) Doba splácení ………………10 let Kolik musí dávat rodina ročně ze svých příjmů na splácení

hypotéčního úvěru?

Řešení:1)1(

)1(*.

n

n

o iiiSA

23

d) Jak vysoké budou roční splátky úvěru v hodnotě 1 000 000 v případě, že doba splácení bude 5 let a úroková sazba 1,5%?

Řešení:

1)1()1(*.

n

n

o iiiSA

Přesný přepočet denní, měsíční, čtvrtletní, aj. úrokové míry na roční úrokovou míru. Chceme-li porovnávat úrokové míry za různá období, musíme je převést na stejné období, třeba na roční úrokovou míru.

11 mmroční ii

kde m je počet úrokovacích období během roku (je-li úroková míra měsíční, je počet období 12, atd.)im je úroková míra, kterou převádíme na roční úrokovou míruPříklad: Čtvrtletní úrokovou míru ve výši 3 % převedeme na roční jako (1+ 0,03)4-1 = 0,12551. Roční úroková míra 12,551 % je ekvivalentní čtvrtletní úrokové míře ve výši 3 %.

Přesný přepočet roční úrokové míry na denní, měsíční, čtvrtletní, aj. úrokovou míru.

mm

roční ii 11

kde im je úroková míra, na kterou chceme roční úrokovou míru převádětm je počet úrokovacích období během roku pro im

Chceme-li například převést roční úrokovou míru ve výši 3 % na čtvrtletní, m bude rovno 4 a hledaná čtvrtletní úroková míra, jež je ekvivalentní zadané roční úrokové míře bude 0,742 %.

Přepočet úrokových sazeb !!!a) Jednoduše (orientačně): úroková sazba roční/ počet úrokovacích období za rokb) přesný výpočet:

25

Farmář může na splátku vyčlenit vždy koncem roku 1/3 ročního cash flow, který činí 600 000 Kč.Kolik let bude splácet farmář uvedenou částku přiúrokové míře 10%?Roční úroková míra ……… 10 %Roční splátka …………….. 200 000 Kč

Řešení:

qqSAA

nlog

)1(log

0

1).1(.0

n

n

qqqSA

letn 27,71,1log

2log

Příklad č. 7

26

Prémiové příklady Příklad č. 8

Prioritní akcie českého koncernu s dividendou v zaručené výši 4,65 % z nominální hodnoty 1000 Kč byla zakoupena za tržní cenu 619 Kč.

Jaká je roční míra zisku (= úroková míra) pro kupce této akcie?

Řešení: 1/ pro P = 1000, r = 0,0465, n = 1 I = P. r . n = 46,50 Kč 2/ pro P = 619, I = 46,50, n = 1 r = I / (P. n) = 0,075 q = 7,5 %

Roční míra zisku z akcie je 7,5 %.

27

Příklad č. 9Klient dostane od banky na 9 měsíců úvěr ve výši 500 000 Kč s roční úrok. mírou 12,6% a s podmínkou, že na svém účtu musí udržovat alespoň 20% vypůjčené částky. Zároveň sám udržuje na svém účtu alespoň 50 000 Kč jako svou rezervu. Jaká je skutečná roční úroková míra tohoto úvěru?

Řešení:1/ pro P = 500 000, r = 0,126, n = 9/12 = 0,75 I = P. r . n = 47 250 Kč

2/ P = 500 000 - 0,2 . 500 000 - 50 000 = 350 000 I = 47 250, n = 0,75 r = I / (P. n) = 0,18 q = 18 %

Skutečná roční úroková míra úvěru je tedy 18 %.

28

Příklad č. 10 Jaká je cena 9 měsíčního depozitního certifikátu v NH 100 000 Kč s diskontní mírou 6,5 %?

Řešení:S = 100 000 Kč, d = 0,065, n = 9/12 = 0,75(Možno počítat i v měsíčních hodnotách: d = 0,065/12 p.m. ; n = 9 měsíců. Výsledek je samozřejmě stejný)

P = S . (1- d.n) = 95 125 Kč

Klient koupí depozitní certifikát za 95 125 Kč .Za 9 měsíců banka za certifikát vyplatí 100 000 Kč.

29

Poznámka: Rozdíl mezi časovým vyjádřením úrokové míry a frekvencí

připisování úroků (úrokové období):

Př: i = 12 % p.a. měsíční připisování úroků (tedy 12 krát za rok)

Úroková sazba se poté vydělí počtem úrokových období (12/12) a zároveň je nutné úrokovou dobu vynásobit počtem úrokových období (je uvažováno, že úroková doba je vyjadřována v obdobích, které odpovídají časovému vyjádření úrokové míry), tedy v tomto příkladu ve vzorci pro složené úročení na 2 roky např.:(1 + (12/12))12*2

30

Podnikatel chce uložit 750 000 Kč u banky na 2 roky ve formě termínovaného vkladu na dobu určitou. Může se rozhodnout mezi vysoce likvidním zp. s délkou na sebe navazujícího vkladu 1 měs. Nebo nelikvidním způsobem s délkou 24 měs. V 1. případě banka poskytuje nominální úrokovou míru 6 % p.a. s měsíčním úročením, zatímco v druhém případě 12 % p.a. se čtvrtletním úročením. Porovnejte odpovídající splatné částky.

Řešení:1/ P = 750 000 Kč, m = 12, i = 0,06, n = 24 ( 12 měsíců

* 2 roky) (měsíční hodnoty sazeb i úrokovacích období:) S = P. (1 + i/m)n = 750 000.(1+0,06/12)24

S = 845 369,83 Kč

Příklad č. 11

31

2/ P = 750 000 Kč, m = 4, i = 0,12, n = 8Hodnota sazby a počet úročených období ve čtvrtletním vyjádření 12% p.a. /4 období = p.q (čtvrtletní sazba) = 3% 2 roky čtvrtletně úročeny = 8 období

S = 750 000 . (1 + 0,12/4)8 S = 950 077,56 Kč

Podnikatel se musí rozhodnout mezi likviditou avyšší částkou.