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Repaso Curvatura Torsion Triedro
1.3 Curvatura y torsion. Triedro de Frenet.
Sonia L. Rueda
ETS Arquitectura. UPM
Curvas y Superficies, 2015
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Curvas y superficies
1. Curvas
2. Superficies
3. Superficies Regladas
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Curvas
1.1 Definicion de curva parametrizada espacial. Representacionimplıcita.
1.2 Longitud de una curva. Parametro arco.
1.3 Curvatura y torsion. Triedro de Frenet.
1.4 Curvas notables: helices, curvas de Bezier.
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Contenidos
Repaso de notacion
CurvaturaVector normalPlano osculador. Circunferencia osculatriz
TorsionVector binormalTorsion
Triedro de FrenetFormulas de Frenet-SerretTeorema Fundamental
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Repaso de notacion
CurvaturaVector normalPlano osculador. Circunferencia osculatriz
TorsionVector binormalTorsion
Triedro de FrenetFormulas de Frenet-SerretTeorema Fundamental
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Repaso de notacion
Sea C una curva parametrizada por la longitud de arco s, conrepresentacion parametrica natural
β : J = (a, b) ⊆ R −→ R3.
T (s) = β′(s) vector tangente uni-tario a C en el punto P = β(s). Larecta tangente a C en P tiene comovector director a T (s).
r(λ) = P + λT (s).
El plano normal a C en P tiene como
vector normal T (s).
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Repaso de notacion
CurvaturaVector normalPlano osculador. Circunferencia osculatriz
TorsionVector binormalTorsion
Triedro de FrenetFormulas de Frenet-SerretTeorema Fundamental
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Curvatura
Gateway Arch, St Louis, USA. Eero Saarinen (arquitecto) yHannskarl Bandel (ingeniero), 1965
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Definicion Llamamos vector curvatura de C en el punto P = β(s0),al vector β′′(s0) y curvatura (de flexion), a su modulo ||β′′(s0)||.Definimos ademas la funcion curvatura
κ : J −→ R, κ(s) = ||β′′(s)||.
Si κ(s0) 6= 0, llamamos a su inverso ρ(s0) = 1κ(s0) radio de
curvatura.Interpretacion geometrica La curvatura esta ligada a la rapidez conla que se aleja la curva C de la recta tangente en un punto P.
β′′(s0) = lims→s0
β′(s)− β′(s0)
s − s0.
κ(s0) mide la tasa de cambio del angulo que forma T (s0) convectores tangentes a C en puntos proximos a P.
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Definicion Llamamos vector curvatura de C en el punto P = β(s0),al vector β′′(s0) y curvatura (de flexion), a su modulo ||β′′(s0)||.Definimos ademas la funcion curvatura
κ : J −→ R, κ(s) = ||β′′(s)||.
Si κ(s0) 6= 0, llamamos a su inverso ρ(s0) = 1κ(s0) radio de
curvatura.Interpretacion geometrica La curvatura esta ligada a la rapidez conla que se aleja la curva C de la recta tangente en un punto P.
β′′(s0) = lims→s0
β′(s)− β′(s0)
s − s0.
κ(s0) mide la tasa de cambio del angulo que forma T (s0) convectores tangentes a C en puntos proximos a P.
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Proposicion Una curva C parametrizada por la longitud de arcotiene curvatura identicamente nula si, y solo si, es una recta.Ejemplos
1. La curvatura de una circunferencia de radio r centrada en elorigen es 1
r y su radio de curvatura r .
2. Consideramos una helice circular parametrizada por lalongitud de arco,
β(s) =
(acos
(s√
a2 + b2
), asen
(s√
a2 + b2
), b
s√a2 + b2
),
s ∈ R. La curvatura y el radio de curvatura son
κ(s) =a
a2 + b2y ρ(s) =
a2 + b2
a.
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Proposicion Una curva C parametrizada por la longitud de arcotiene curvatura identicamente nula si, y solo si, es una recta.Ejemplos
1. La curvatura de una circunferencia de radio r centrada en elorigen es 1
r y su radio de curvatura r .
2. Consideramos una helice circular parametrizada por lalongitud de arco,
β(s) =
(acos
(s√
a2 + b2
), asen
(s√
a2 + b2
), b
s√a2 + b2
),
s ∈ R. La curvatura y el radio de curvatura son
κ(s) =a
a2 + b2y ρ(s) =
a2 + b2
a.
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Proposicion Una curva C parametrizada por la longitud de arcotiene curvatura identicamente nula si, y solo si, es una recta.Ejemplos
1. La curvatura de una circunferencia de radio r centrada en elorigen es 1
r y su radio de curvatura r .
2. Consideramos una helice circular parametrizada por lalongitud de arco,
β(s) =
(acos
(s√
a2 + b2
), asen
(s√
a2 + b2
), b
s√a2 + b2
),
s ∈ R. La curvatura y el radio de curvatura son
κ(s) =a
a2 + b2y ρ(s) =
a2 + b2
a.
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Vector normal
Si κ(s) 6= 0 entonces β′′(s) y el vector tangente β′(s) a la curva Cen un punto P = β(s) son vectores ortogonales, ya que
β′(s) · β′(s) = 1⇒ 2β′′(s) · β′(s) = 0.
Definicion. Llamamos vector normal principal a C en P = β(s) alvector unitario N(s) en la direccion del vector curvatura
N(s) =β′′(s)
||β′′(s)||=β′′(s)
κ(s).
Tenemos ası la primera formula de Frenet-Serret
T ′(s) = κ(s)N(s).
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Vector normal
Si κ(s) 6= 0 entonces β′′(s) y el vector tangente β′(s) a la curva Cen un punto P = β(s) son vectores ortogonales, ya que
β′(s) · β′(s) = 1⇒ 2β′′(s) · β′(s) = 0.
Definicion. Llamamos vector normal principal a C en P = β(s) alvector unitario N(s) en la direccion del vector curvatura
N(s) =β′′(s)
||β′′(s)||=β′′(s)
κ(s).
Tenemos ası la primera formula de Frenet-Serret
T ′(s) = κ(s)N(s).
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Vector normal
Si κ(s) 6= 0 entonces β′′(s) y el vector tangente β′(s) a la curva Cen un punto P = β(s) son vectores ortogonales, ya que
β′(s) · β′(s) = 1⇒ 2β′′(s) · β′(s) = 0.
Definicion. Llamamos vector normal principal a C en P = β(s) alvector unitario N(s) en la direccion del vector curvatura
N(s) =β′′(s)
||β′′(s)||=β′′(s)
κ(s).
Tenemos ası la primera formula de Frenet-Serret
T ′(s) = κ(s)N(s).
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Plano osculador. Circunferencia osculatriz
Definicion La recta normal a C en P = β(s) es la recta afın quecontiene a P y tiene como vector director al vector normalprincipal N(s).
Definicion El plano osculador de C en P = β(s) es el plano afın Ωque contiene a P y tiene como vectores directores T (s) y N(s).
Definicion Llamamos centro de curvatura de C en P = β(s) alpunto de la recta normal
Z (s) = P + ρ(s)N(s).
La circunferencia osculatriz de C en P es la circunferenciacontenida en el plano osculador Ω, de centro el centro de curvaturaZ (s) y radio el radio de curvatura ρ(s).
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Plano osculador. Circunferencia osculatriz
Definicion La recta normal a C en P = β(s) es la recta afın quecontiene a P y tiene como vector director al vector normalprincipal N(s).
Definicion El plano osculador de C en P = β(s) es el plano afın Ωque contiene a P y tiene como vectores directores T (s) y N(s).
Definicion Llamamos centro de curvatura de C en P = β(s) alpunto de la recta normal
Z (s) = P + ρ(s)N(s).
La circunferencia osculatriz de C en P es la circunferenciacontenida en el plano osculador Ω, de centro el centro de curvaturaZ (s) y radio el radio de curvatura ρ(s).
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Plano osculador. Circunferencia osculatriz
Definicion La recta normal a C en P = β(s) es la recta afın quecontiene a P y tiene como vector director al vector normalprincipal N(s).
Definicion El plano osculador de C en P = β(s) es el plano afın Ωque contiene a P y tiene como vectores directores T (s) y N(s).
Definicion Llamamos centro de curvatura de C en P = β(s) alpunto de la recta normal
Z (s) = P + ρ(s)N(s).
La circunferencia osculatriz de C en P es la circunferenciacontenida en el plano osculador Ω, de centro el centro de curvaturaZ (s) y radio el radio de curvatura ρ(s).
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Plano osculador. Circunferencia osculatriz
Definicion La recta normal a C en P = β(s) es la recta afın quecontiene a P y tiene como vector director al vector normalprincipal N(s).
Definicion El plano osculador de C en P = β(s) es el plano afın Ωque contiene a P y tiene como vectores directores T (s) y N(s).
Definicion Llamamos centro de curvatura de C en P = β(s) alpunto de la recta normal
Z (s) = P + ρ(s)N(s).
La circunferencia osculatriz de C en P es la circunferenciacontenida en el plano osculador Ω, de centro el centro de curvaturaZ (s) y radio el radio de curvatura ρ(s).
Repaso Curvatura Torsion Triedro
• Intuitivamente Ω es el plano que mejor se adapta a la curvaen un entorno del punto P.
• La circunferencia osculatriz tiene un orden de contactomaximo con la curva.
• Los vectores tangente y normal principal en P a la curva y lacircunferencia coinciden.
• Los puntos de la circunferencia osculatriz son los puntos deinterseccion del plano osculador Ω y la esfera de centro Z (s) yradio ρ(s).
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Repaso de notacion
CurvaturaVector normalPlano osculador. Circunferencia osculatriz
TorsionVector binormalTorsion
Triedro de FrenetFormulas de Frenet-SerretTeorema Fundamental
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Torsion
Puente de Madrid Rıo. D. Perrault, 2011
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Vector binormal
Definicion Sea P = β(s) un punto de C con κ(s) 6= 0. Llamamosvector binormal a C en P, al producto vectorial
B(s) = T (s) ∧ N(s).
Observamos que B(s) es unitario y ortogonal al plano osculador.
Definicion La recta binormal a la curva C en el punto P es la rectaafın que contiene a P y tiene como vector director al vectorbinormal B(s).
Definicion El plano rectificante de la curva C en el punto P es elplano afın Γ que contiene a P y tiene como vectores directores aT (s) y B(s).
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Vector binormal
Definicion Sea P = β(s) un punto de C con κ(s) 6= 0. Llamamosvector binormal a C en P, al producto vectorial
B(s) = T (s) ∧ N(s).
Observamos que B(s) es unitario y ortogonal al plano osculador.
Definicion La recta binormal a la curva C en el punto P es la rectaafın que contiene a P y tiene como vector director al vectorbinormal B(s).
Definicion El plano rectificante de la curva C en el punto P es elplano afın Γ que contiene a P y tiene como vectores directores aT (s) y B(s).
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Vector binormal
Definicion Sea P = β(s) un punto de C con κ(s) 6= 0. Llamamosvector binormal a C en P, al producto vectorial
B(s) = T (s) ∧ N(s).
Observamos que B(s) es unitario y ortogonal al plano osculador.
Definicion La recta binormal a la curva C en el punto P es la rectaafın que contiene a P y tiene como vector director al vectorbinormal B(s).
Definicion El plano rectificante de la curva C en el punto P es elplano afın Γ que contiene a P y tiene como vectores directores aT (s) y B(s).
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Torsion
Segunda formula de Frenet-Serret
B ′(s) = τ(s)N(s)
Definicion Supongamos que κ(s) 6= 0, s ∈ J. El numero real τ(s),tal que B ′(s) = τ(s)N(s), se denomina torsion de C en P = β(s).
Interpretacion geometrica La torsion esta ligada a la variacion delvector binormal, ya que |τ(s)| = ||B ′(s)|| mide la velocidad conque la curva C se aleja del plano osculador en P.||B ′(s)|| mide la tasa de cambio del angulo que forman el planoosculador de C en P con los planos osculadores en puntos de Ccercanos a P.
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Torsion
Segunda formula de Frenet-Serret
B ′(s) = τ(s)N(s)
Definicion Supongamos que κ(s) 6= 0, s ∈ J. El numero real τ(s),tal que B ′(s) = τ(s)N(s), se denomina torsion de C en P = β(s).
Interpretacion geometrica La torsion esta ligada a la variacion delvector binormal, ya que |τ(s)| = ||B ′(s)|| mide la velocidad conque la curva C se aleja del plano osculador en P.||B ′(s)|| mide la tasa de cambio del angulo que forman el planoosculador de C en P con los planos osculadores en puntos de Ccercanos a P.
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Torsion
Segunda formula de Frenet-Serret
B ′(s) = τ(s)N(s)
Definicion Supongamos que κ(s) 6= 0, s ∈ J. El numero real τ(s),tal que B ′(s) = τ(s)N(s), se denomina torsion de C en P = β(s).
Interpretacion geometrica La torsion esta ligada a la variacion delvector binormal, ya que |τ(s)| = ||B ′(s)|| mide la velocidad conque la curva C se aleja del plano osculador en P.||B ′(s)|| mide la tasa de cambio del angulo que forman el planoosculador de C en P con los planos osculadores en puntos de Ccercanos a P.
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Torsion
Proposicion Sea C una curva tal que κ(s) 6= 0, ∀s ∈ J. Entonces,
C es una curva plana ⇔ τ(s) = 0, ∀s ∈ J.
Demostracion
• C esta contenida en un plano si y solo si B(s) es contante,igual a B0 = (b1, b2, b3), para todo s ∈ J.
• Equivalentemente B ′(s) = 0 = (0, 0, 0), ∀s ∈ J y τ(s) = 0,∀s ∈ J.
Formula para calcular la torsion:
τ(s) = − [β′(s), β′′(s), β′′′(s)]
κ(s)2.
Repaso Curvatura Torsion Triedro
La torsion puede ser positiva o negativa.Ejemplo Continuacion del ejemplo de la helice circular
τ(s) =−b
a2 + b2, ∀s ∈ R.
Por tanto, el signo de la torsion depende del signo de b.
Mostramos las helices para valores a = 1 y b = ±2.
b = 2, τ(s) < 0 b = −2, τ(s) > 0
Repaso Curvatura Torsion Triedro
La torsion puede ser positiva o negativa.Ejemplo Continuacion del ejemplo de la helice circular
τ(s) =−b
a2 + b2, ∀s ∈ R.
Por tanto, el signo de la torsion depende del signo de b.
Mostramos las helices para valores a = 1 y b = ±2.
b = 2, τ(s) < 0 b = −2, τ(s) > 0
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Repaso de notacion
CurvaturaVector normalPlano osculador. Circunferencia osculatriz
TorsionVector binormalTorsion
Triedro de FrenetFormulas de Frenet-SerretTeorema Fundamental
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Triedro de Frenet
Resumiendo, dada la curva C con parametrizacion naturalβ : J → R3 y κ(s) 6= 0, ∀s ∈ J. Asociados a un punto P = β(s)hemos definido vectores unitarios y ortogonales dos a dos
T (s) = β′(s), N(s) = β′′(s)/κ(s), B(s) = T (s) ∧ N(s).
Definicion La base ortonormal T (s),N(s),B(s) de R3 recibe elnombre de triedro de Frenet de C en P = β(s).
En cada punto P = β(s) de C tenemos un sistema de referenciaafın ortonormal de R3 con origen en P y base T (s),N(s),B(s).
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Triedro de Frenet
Resumiendo, dada la curva C con parametrizacion naturalβ : J → R3 y κ(s) 6= 0, ∀s ∈ J. Asociados a un punto P = β(s)hemos definido vectores unitarios y ortogonales dos a dos
T (s) = β′(s), N(s) = β′′(s)/κ(s), B(s) = T (s) ∧ N(s).
Definicion La base ortonormal T (s),N(s),B(s) de R3 recibe elnombre de triedro de Frenet de C en P = β(s).
En cada punto P = β(s) de C tenemos un sistema de referenciaafın ortonormal de R3 con origen en P y base T (s),N(s),B(s).
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Triedro de Frenet
Resumiendo, dada la curva C con parametrizacion naturalβ : J → R3 y κ(s) 6= 0, ∀s ∈ J. Asociados a un punto P = β(s)hemos definido vectores unitarios y ortogonales dos a dos
T (s) = β′(s), N(s) = β′′(s)/κ(s), B(s) = T (s) ∧ N(s).
Definicion La base ortonormal T (s),N(s),B(s) de R3 recibe elnombre de triedro de Frenet de C en P = β(s).
En cada punto P = β(s) de C tenemos un sistema de referenciaafın ortonormal de R3 con origen en P y base T (s),N(s),B(s).
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Formulas de Frenet-SerretJean Frederic Frenet (1816-1900), Joseph Serret (1819-1885)Las derivadas T ′(s) y B ′(s) expresadas en el Triedro de Frenetgeneran entidades geometricas, la curvatura y la torsion, queproporcionan informacion sobre el comportamiento de la curva Cen un entorno del punto P = β(s).
Tercera formula de Frenet-Serret
N ′(s) = B ′(s) ∧ T (s) + B(s) ∧ T ′(s) = −τ(s)B(s)− κ(s)T (s).
Completando ası las formulas de Frenet-Serret
T ′(s) = κ(s)N(s),
N ′(s) = −τ(s)B(s)− κ(s)T (s).
B ′(s) = τ(s)N(s).
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Formulas de Frenet-SerretJean Frederic Frenet (1816-1900), Joseph Serret (1819-1885)Las derivadas T ′(s) y B ′(s) expresadas en el Triedro de Frenetgeneran entidades geometricas, la curvatura y la torsion, queproporcionan informacion sobre el comportamiento de la curva Cen un entorno del punto P = β(s).
Tercera formula de Frenet-Serret
N ′(s) = B ′(s) ∧ T (s) + B(s) ∧ T ′(s) = −τ(s)B(s)− κ(s)T (s).
Completando ası las formulas de Frenet-Serret
T ′(s) = κ(s)N(s),
N ′(s) = −τ(s)B(s)− κ(s)T (s).
B ′(s) = τ(s)N(s).
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Formulas de Frenet-SerretJean Frederic Frenet (1816-1900), Joseph Serret (1819-1885)Las derivadas T ′(s) y B ′(s) expresadas en el Triedro de Frenetgeneran entidades geometricas, la curvatura y la torsion, queproporcionan informacion sobre el comportamiento de la curva Cen un entorno del punto P = β(s).
Tercera formula de Frenet-Serret
N ′(s) = B ′(s) ∧ T (s) + B(s) ∧ T ′(s) = −τ(s)B(s)− κ(s)T (s).
Completando ası las formulas de Frenet-Serret
T ′(s) = κ(s)N(s),
N ′(s) = −τ(s)B(s)− κ(s)T (s).
B ′(s) = τ(s)N(s).
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Teorema Fundamental
Intuitivamente podemos imaginar una curva en R3 como elresultado de someter una recta a combamiento (curvatura) yatornillamiento (torsion).
Teorema Fundamental de curvas alabeadas Dadas dos funcionesdiferenciables κ, τ : J ⊆ R −→ R, κ(s) > 0, ∀s ∈ J, existe unacurva C, parametrizada por la longitud de arco, tal que κ es sufuncion curvatura y τ(s) es la torsion en cada punto s ∈ J. Estacurva es unica salvo movimientos rıgidos directos.
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Teorema Fundamental
Intuitivamente podemos imaginar una curva en R3 como elresultado de someter una recta a combamiento (curvatura) yatornillamiento (torsion).
Teorema Fundamental de curvas alabeadas Dadas dos funcionesdiferenciables κ, τ : J ⊆ R −→ R, κ(s) > 0, ∀s ∈ J, existe unacurva C, parametrizada por la longitud de arco, tal que κ es sufuncion curvatura y τ(s) es la torsion en cada punto s ∈ J. Estacurva es unica salvo movimientos rıgidos directos.
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Teorema Fundamental
Dado un movimiento rıgido directo σ : R3 → R3, la curvatransformada σ(C) tiene la misma curvatura y torsion que C. Estoes:
1. γ = σ β es una parametrizacion por la longitud del arco deσ(C).
2. σ(Tβ(s)) = Tγ(s), σ(Nβ(s)) = Nγ(s) y σ(Bβ(s)) = Bγ(s).
3. κβ(s) = κγ(s) y τβ(s) = τγ(s)
Repaso Curvatura Torsion Triedro
Curvas no parametrizadas por la longitud de arcoSea C una curva con parametrizacion regular α : I ⊆ R −→ R3.
κ(t) := κβ(s(t)) =||α′(t) ∧ α′′(t)||||α′(t)||3
6= 0,
τ(t) := τβ(s(t)) = − [α′(t), α′′(t), α′′′(t)]
||α′(t) ∧ α′′(t)||2.
T (t) := Tβ(s(t)) =α′(t)
||α′(t)||,
B(t) := Bβ(s(t)) =α′(t) ∧ α′′(t)
||α′(t) ∧ α′′(t)||,
N(t) = B(t) ∧ T (t).