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CURVAS HORIZONTAIS CIRCULARES
Introdução
Curvas horizontais circulares 2
β1, β2, β3 são azimutes dos alinhamentos
θ1, θ2 são ângulos de deflexão
𝐀𝐀, 𝐃𝐃, 𝐆𝐆 são tangentes (trechos retos entre curvas de concordância)
Introdução
Curvas horizontais circulares 3
𝐀𝐁, 𝐁𝐃, 𝐃𝐄, 𝐄𝐆 são tangentes externas
𝐀𝐃� , 𝐃𝐆� são os desenvolvimentos das curvas de concordância são
arcos de círculo concordando duas tangentes
Elementos de uma curva circular
Curvas horizontais circulares 4
PC: ponto de curva
PT: ponto de tangente
PI: ponto de interseção de tangentes
T: tangente externa
D: desenvolvimento da curva
Δ: ângulo de deflexão
AC: ângulo central da curva
Elementos de uma curva circular
Curvas horizontais circulares 5
R: raio da curva circular
O: centro da curva
E: afastamento
G: grau da curva
c: corda
d: deflexão sobre a tangente
Relações entre os elementos
Curvas horizontais circulares 6
No triângulo O-PC-PI:
𝑻𝑹
= 𝒕𝒕𝑨𝑨𝟐⇒ 𝑻 = 𝑹. 𝒕𝒕
𝑨𝑨𝟐
𝑫𝟐.𝝅.𝑹
=𝑨𝑨𝟑𝟑𝟑
⇒ 𝑫 =𝝅.𝑹.𝑨𝑨𝟏𝟏𝟑
(para AC em graus)
Ou: 𝑫 = 𝑹.𝑨𝑨
(para AC em radianos)
Relações entre os elementos
Curvas horizontais circulares 7
No triângulo O-PC-PI:
𝒄𝒄𝒄𝑨𝑨𝟐
=𝑹
𝑹 + 𝑬⇒
⇒ 𝑬 = 𝑹. (𝒄𝒔𝒄𝑨𝑨𝟐− 𝟏)
Ou:
𝑬 = 𝑻. 𝒕𝒕𝑨𝑨𝟒
Relações entre os elementos
Curvas horizontais circulares 8
No elemento O-A-B:
𝑨𝑨�𝑮
=𝟐.𝝅.𝑹𝟑𝟑𝟑
⇒ 𝑮 =𝟏𝟏𝟑.𝑨𝑨�𝝅.𝑹
(para G em graus)
Quando R ↑ ⇒ 𝑨𝑨� ≈ corda
p/ corda de 20 m:
𝑮𝟐𝟑 =𝟏𝟏𝟑.𝟐𝟑𝝅.𝑹
=𝟏𝟏𝟒𝟏,𝟗𝟐
𝑹
Relações entre os elementos
Curvas horizontais circulares 9
No elemento O-A-B:
𝒅 =𝑮𝟐
𝒅𝟐𝟑 =𝑮𝟐𝟑𝟐
=𝟏𝟏𝟒𝟏,𝟗𝟐𝟐.𝑹
Deflexão por metro:
𝒅𝒎 =𝒅𝒄
=𝑮𝟐. 𝒄
p/ 𝒄 = 𝟐𝟑 𝒎: 𝒅𝒎 = 𝒅𝟐𝟑𝟐𝟑
= 𝑮𝟐𝟑𝟒𝟑
Importante!
Curvas horizontais circulares 10
Estacas (estaqueamento da estrada)
Anteprojeto: estacas a cada 50 metros
Projeto: estacas a cada 20 metros
Notação:
[ A + B ]
A: número inteiro de estacas
B: distância em metros (fração de estaca)
Exemplo: 335,48 m [ 16 + 15,48 m ]
Pontos notáveis
Curvas horizontais circulares 11
Est. PC = Est. PI – T
Est. PT = Est. PC + D
Indicação em projeto
Curvas horizontais circulares 12
Indicação em projeto
Curvas horizontais circulares 13
Exercício
Verificar o raio mínimo e calcular os elementos geométricos da
curva circular simples de um trecho da estrada.
Dados:
AC = 35º12’
R = 350 m
PI = 68 + 2,38 m
Região plana; classe II
Curvas horizontais circulares 14
Locação da curva circular
Curvas horizontais circulares 15
Locação da curva circular
Curvas horizontais circulares 16
Utilizando os dados do exercício anterior:
Est. PC = [ 62 + 11,35m ]
Est. PT = [ 73 + 6,37m ]
d20 = 1,637º = 1º38’13”
dm = 0,08185º = 0º04’55”
Pelo menos 5 casas decimais!!!
Locação da curva circular
Curvas horizontais circulares 17
Utilizando os dados do exercício anterior:
Estaca Corda (m)
Deflexão parcial (graus)
Deflexão parcial (GMS)
Deflexão acumulada (GMS)
PC 62+11,35 -- -- -- -- 63 8,65 0,70800 0° 42' 29" 0° 42' 29" 64 20 1,63700 1° 38' 13" 2° 20' 42" 65 20 1,63700 1° 38' 13" 3° 58' 55" 66 20 1,63700 1° 38' 13" 5° 37' 08" 67 20 1,63700 1° 38' 13" 7° 15' 22" 68 20 1,63700 1° 38' 13" 8° 53' 35" 69 20 1,63700 1° 38' 13" 10° 31' 48" 70 20 1,63700 1° 38' 13" 12° 10' 01" 71 20 1,63700 1° 38' 13" 13° 48' 14" 72 20 1,63700 1° 38' 13" 15° 26' 28" 73 20 1,63700 1° 38' 13" 17° 04' 41"
PT 73+6,37 6,37 0,52138 0° 31' 17" 17° 35' 58"
Locação da curva circular
Curvas horizontais circulares 18
Utilizando os dados do exercício anterior:
Estaca Corda (m)
Deflexão parcial (graus)
Deflexão parcial (GMS)
Deflexão acumulada (GMS)
PC 62+11,35 -- -- -- -- 63 8,65 0,70800 0° 42' 29" 0° 42' 29" 64 20 1,63700 1° 38' 13" 2° 20' 42" 65 20 1,63700 1° 38' 13" 3° 58' 55" 66 20 1,63700 1° 38' 13" 5° 37' 08" 67 20 1,63700 1° 38' 13" 7° 15' 22" 68 20 1,63700 1° 38' 13" 8° 53' 35" 69 20 1,63700 1° 38' 13" 10° 31' 48" 70 20 1,63700 1° 38' 13" 12° 10' 01" 71 20 1,63700 1° 38' 13" 13° 48' 14" 72 20 1,63700 1° 38' 13" 15° 26' 28" 73 20 1,63700 1° 38' 13" 17° 04' 41"
PT 73+6,37 6,37 0,52138 0° 31' 17" 17° 35' 58"
Locação da curva circular
Curvas horizontais circulares 19
Utilizando os dados do exercício anterior:
Estaca Corda (m)
Deflexão parcial (graus)
Deflexão parcial (GMS)
Deflexão acumulada (GMS)
PC 62+11,35 -- -- -- -- 63 8,65 0,70800 0° 42' 29" 0° 42' 29" 64 20 1,63700 1° 38' 13" 2° 20' 42" 65 20 1,63700 1° 38' 13" 3° 58' 55" 66 20 1,63700 1° 38' 13" 5° 37' 08" 67 20 1,63700 1° 38' 13" 7° 15' 22" 68 20 1,63700 1° 38' 13" 8° 53' 35" 69 20 1,63700 1° 38' 13" 10° 31' 48" 70 20 1,63700 1° 38' 13" 12° 10' 01" 71 20 1,63700 1° 38' 13" 13° 48' 14" 72 20 1,63700 1° 38' 13" 15° 26' 28" 73 20 1,63700 1° 38' 13" 17° 04' 41"
PT 73+6,37 6,37 0,52138 0° 31' 17" 17° 35' 58"
𝒅𝒎. 𝒄
Locação da curva circular
Curvas horizontais circulares 20
Utilizando os dados do exercício anterior:
Estaca Corda (m)
Deflexão parcial (graus)
Deflexão parcial (GMS)
Deflexão acumulada (GMS)
PC 62+11,35 -- -- -- -- 63 8,65 0,70800 0° 42' 29" 0° 42' 29" 64 20 1,63700 1° 38' 13" 2° 20' 42" 65 20 1,63700 1° 38' 13" 3° 58' 55" 66 20 1,63700 1° 38' 13" 5° 37' 08" 67 20 1,63700 1° 38' 13" 7° 15' 22" 68 20 1,63700 1° 38' 13" 8° 53' 35" 69 20 1,63700 1° 38' 13" 10° 31' 48" 70 20 1,63700 1° 38' 13" 12° 10' 01" 71 20 1,63700 1° 38' 13" 13° 48' 14" 72 20 1,63700 1° 38' 13" 15° 26' 28" 73 20 1,63700 1° 38' 13" 17° 04' 41"
PT 73+6,37 6,37 0,52138 0° 31' 17" 17° 35' 58"
Locação da curva circular
Curvas horizontais circulares 21
Utilizando os dados do exercício anterior:
Estaca Corda (m)
Deflexão parcial (graus)
Deflexão parcial (GMS)
Deflexão acumulada (GMS)
PC 62+11,35 -- -- -- -- 63 8,65 0,70800 0° 42' 29" 0° 42' 29" 64 20 1,63700 1° 38' 13" 2° 20' 42" 65 20 1,63700 1° 38' 13" 3° 58' 55" 66 20 1,63700 1° 38' 13" 5° 37' 08" 67 20 1,63700 1° 38' 13" 7° 15' 22" 68 20 1,63700 1° 38' 13" 8° 53' 35" 69 20 1,63700 1° 38' 13" 10° 31' 48" 70 20 1,63700 1° 38' 13" 12° 10' 01" 71 20 1,63700 1° 38' 13" 13° 48' 14" 72 20 1,63700 1° 38' 13" 15° 26' 28" 73 20 1,63700 1° 38' 13" 17° 04' 41"
PT 73+6,37 6,37 0,52138 0° 31' 17" 17° 35' 58"
+ =
≈ AC/2
Visibilidade nas curvas horizontais
Curvas horizontais circulares 22
Visibilidade nas curvas horizontais
Curvas horizontais circulares 23
(formulação nas páginas 96, 97, 98 e 99
do livro “Estradas de Rodagem – Projeto
Geométrico” de Glauco Pontes Filho)
R: raio (m)
D: distância de visibilidade de parada
ou de ultrapassagem (m)
M: afastamento horizontal mínimo (m)
Exercício proposto
Calcular os elementos geométricos da curva circular simples de
um projeto e sua tabela de locação.
Dados:
AC = 42º26’
R = 300 m
PI = 54 + 15,4 m
Região plana; classe II
Curvas horizontais circulares 24
Exercício proposto
No traçado abaixo, sendo as curvas circulares simples e
sabendo-se que o ponto A encontra-se na estaca [115+2,30m],
determinar todas as estacas notáveis do trecho, bem como a sua
extensão total.
Curvas horizontais circulares 25
A
B
Exercícios de estudo
Capítulo 9 do livro:
“Projeto Geométrico de Rodovias” (2a. Edição)
Carlos Pimenta e Márcio Oliveira
Exercícios 3.1 a 3.5 (resolvidos)
Curvas horizontais circulares 26