Cursul 11 Matematic a - anul Iadrian.zalinescu/MAT/Slides... · 2021. 1. 7. · A. Z alinescu (Ia˘si) Cursul 11 7 Ianuarie 2021. Primitive Integrale irat˘ionale Vom aplica de asemenea

IntegrareCursul 11

Matematica - anul I

Facultatea de Informatica, UAIC

e-mail: [email protected]

web: https://profs.info.uaic.ro/~adrian.zalinescu

7 Ianuarie 2021

A. Zalinescu (Iasi) Cursul 11 7 Ianuarie 2021

[email protected]

https://profs.info.uaic.ro/~adrian.zalinescu

Integrala

Notiunea de integrala este centrala nu numai ın matematica, ea servind si la:

determinarea starii unui sistem dinamic a carui viteza de evolutie estecunoscuta;

calculul: caracteristicilor numerice a unor obiecte geometrice (lungime, arie,volum, centru de greutate);

cantitatilor fizice (moment, lucru mecanic);

caracteristicilor numerice ale variabilelor aleatoare ın teoria probabilitatilor(functie de distributie, medie si varianta).


Sumarul cursului

1 Primitive

2 Integrala Riemann

3 Integrale improprii


Primitive

Primitive

Fie I ⊆ � un interval cu I 6= ∅ si f : I → �.

Definitie

• O functie F : I → � este o primitiva a lui f daca F este derivabila pe I si

F ′(x) = f (x), ∀x ∈ I .

• Daca f are cel putin o primitiva pe I , atunci multimea primitivelor lui f se

numeste integrala nedefinita a lui f si se noteaza∫f (x)dx .

Observatii.1. Daca F : I → � este o primitiva a unei functii f : I → �, atunci orice altaprimitiva a lui f are forma F + c , unde c este o constanta reala.

Notand C multimea tuturor functiilor constante pe I , avem∫f (x)dx = F + C.

Prin abuz de limbaj, putem scrie∫f (x)dx = F (x) + c , x ∈ I .


Primitive

2. Daca f : I → � este o functie derivabila pe I , atunci f este primitiva lui f ′.

3. Orice primitiva a unei functii f : I → � este continua, deoarece orice functiederivabila este continua.

4. Spatiul P(I ) al tuturor functiilor f : I → � ce admit primitive este un spatiuliniar (subspatiu al spatiului liniar F (I ;�)), deoarece∫

(αf (x) + βg(x))dx = α∫f (x)dx + β

∫g(x)dx , ∀α, β ∈ �.

5. Orice functie f : I → � ce admite primitive are proprietatea lui Darboux:pentru orice a, b ∈ I si s ıntre f (a) si f (b), exista x ıntre a si b astfel ıncatf (x) = s.


Primitive

Lista de primitive:

∫xαdx =

xα+1

α + 1, α ∈ �r {−1};

ln |x |, α = −1;∫dx

x2 − a2=

1

2aln

∣∣∣∣x − a

x + a

∣∣∣∣; ∫dx

x2 + a2=

1

aarctg

x

a, a ∈ �∗;∫

dx√x2 ± a2

= ln(x +√x2 ± a2

);∫

dx√a2 − x2

= arcsinx

|a| , a ∈ �∗;∫axdx =

1

ln aax , a ∈ �∗+ r {1};∫

sin xdx = − cos x ;∫

cos xdx = sin x ;∫sh x dx =

∫ ex − e−x

2dx = ch x ;

∫ch x dx =

∫ ex + e−x

2dx = sh x

(pentru simplitate, am omis constanta c).


Primitive

Integrare prin parti

Fie f , g : I → � doua functii derivabile, cu f ′ si g ′ continue pe I . Atunci∫f ′(x)g(x)dx = f (x)g(x)−

∫f (x)g ′(x)dx , x ∈ I ,

Putem aplica aceasta formula pentru a completa lista de mai sus:∫ √a2 − x2dx =

x

2

√a2 − x2 +

a2

2arcsin

x

|a| + c , a ∈ �∗+;∫ √x2 ± a2dx =

x

2

√x2 ± a2 ± a2

2ln∣∣∣x +√x2 ± a2

∣∣∣+ c , a ∈ �∗;∫ln xdx = x(ln x − 1) + c .

Integrarea prin parti este recomandata pentru integrale de forma∫P(x)f (x)dx ,

unde P ∈ �[X ] si f este o functie elementara de tipul: ax , sin x , cos x , tg x , etc.Aplicand aceasta metoda, putem reduce cu o unitate gradul polinomului P.


Primitive

Metoda transformarilor algebrice

Este cel mai des utilizata pentru calculul primitivelor functiilor rationale de

forma f (x) =P(x)

Q(x), unde P,Q ∈ �[X ], definite pe un interval I ⊆ � astfel

ıncat I 6= ∅ si Q(x) 6= 0 pe I .

f poate fi descompusa ın mod unic ca suma unor functii rationale “simple”:

f (x) =P(x)

Q(x)= G (x) +

H(x)

Q(x)

= G (x) + ∑1

Ak,m

(x − xk )m+ ∑2

Bk,mx + Ck,m

(x2 + pkx + qk )m, x ∈ I .

G este o functie polinomiala (egala cu 0 daca gradP < gradQ),H este o functie polinomiala cu gradH < gradQ,

∑1 este o suma finita dupa toate radacinile reale xk ale lui Q si

∑2 este o suma finita dupa toate radacinile complexe ale lui Q(pk , qk ∈ � astfel ıncat p2

k − 4qk < 0).

Integrarea lui f este astfel redusa la calculul primitivelor componentelordescompunerii de mai sus.


Primitive

Daca Q are radacini multiple, calculul primitivei luiP(x)

Q(x)poate fi facut dupa

metoda Gauss-Ostrogradski, bazata pe formula

(∗)∫P(x)

Q(x)dx =

P1(x)

Q1(x)+∫P2(x)

Q2(x)dx , x ∈ I ,

unde

Q1 ∈ �[X ] este cel mai mare divizor comun al polinoamelor Q si Q ′,

Q2 =Q

Q1si

P1,P2 sunt polinoame ce au gradul cu o unitate mai mic decat gradQ1,respectiv gradQ2.

Pentru a gasi P1 si P2 se poate deriva relatia (∗), adica

P(x)

Q(x)=

P ′1(x)Q1(x)− P1(x)Q′1(x)

Q21 (x)

+P2(x)

Q2(x), x ∈ I .


Primitive

Metoda transformarilor trigonometrice

Este adesea combinata cu metoda substitutiei si este folosita pentru calcululprimitivelor functiilor ce se exprima cu ajutorul functiilor trigonometrice.

Pentru integralele trigonometrice de forma∫E (sin x , cos x)dx , x ∈ I = (−π, π),

unde E este o functie rationala de doua variabile: substitutia tgx

2= t.

Deoarece sin x =2t

1 + t2, cos x =

1− t2

1 + t2, x = 2 arctg t, dx =

2dt

1 + t2:

reducere la o functie rationala ın variabila t.

Exista unele cazuri ın care calculele pot fi simplificate, prin folosirea altorsubstitutii:

i) daca E (− sin x , cos x) = −E (sin x , cos x), adica E este impara ın sin x , atuncise recomanda substitutia cos x = t;

ii) daca E (sin x ,− cos x) = −E (sin x , cos x), adica E este impara ın cos x , atuncise recomanda substitutia sin x = t;

iii) daca E (− sin x ,− cos x) = E (sin x , cos x), adica E este para ın sin x si cos x ,atunci se recomanda substitutia tg x = t.


Primitive

Integrale irationale

Vom aplica de asemenea metoda substitutiei pentru calculul asa-ziselor integraleirationale, pentru a le reduce la integrale de functii rationale.Vom utiliza substitutiile Euler pentru integralele de forma∫

E(x ,√

ax2 + bx + c)dx , x ∈ I ,

cu a, b, c ∈ � si E o functie rationala de doua variabile. Schimbarea de variabilase va face dupa cum urmeaza:

i)√ax2 + bx + c = ±x

√a± t, daca a > 0;

ii)√ax2 + bx + c = ±tx ±

√c , daca c > 0;

iii)√ax2 + bx + c = t(x − x0), daca b2 − 4ac > 0, unde x0 este o radacina

reala a ecuatiei ax2 + bx + c = 0.


Primitive

Pentru integrale irationale de forma

∫E

(x ,

(ax + b

cx + d

)p1/q1

, . . . ,

(ax + b

cx + d

)pk/qk)dx , x ∈ I ,

unde E este o functie rationala de k + 1 (k ∈ �∗) variabile reale, a, b, c , d ∈ �,

a2 + b2 + c2 + d2 6= 0, cx + d 6= 0, ∀x ∈ I ,ax + b

cx + d> 0, ∀x ∈ I , pi ∈ �,

qi ∈ �∗, ∀i = 1, k , vom folosi substitutia

ax + b

cx + d= tq0 ,

unde q0 este cel mai mic multiplu comun al numerelor q1, q2, . . . , qk .


Primitive

Substitutiile Cebısev sunt folosite pentru calculul integralelor binomiale, ce auforma ∫

xp(axq + b)r dx , x ∈ I ,

unde a ∈ �∗, b ∈ � si p, q, r ∈ �. Calculul unor astfel de integrale se reduce lacel al primitivelor de functii irationale doar ın urmatoarele trei cazuri:

i) r ∈ �: substitutia x = tm, cu m cel mai mic multiplu comun al numitorilorlui p si q;

ii) p+1q ∈ �: substitutia axq + b = t`, unde ` este numitorul lui r .

iii) p+1q + r ∈ �: substitutia a+ bx−q = t`, ` fiind numitorul lui r .

Pentru a calcula integralele de forma∫E (ar1x , ar2x , . . . , arnx ) dx ,

unde a ∈ �∗+ r {1}, r1, r2, . . . , rn ∈ � si E o functie rationala de n (n ∈ �∗)variabile reale se poate face prin substitutia ax = tν, unde t > 0 si ν este cel maimic multiplu comun al numitorilor numerelor r1, r2, . . . , rn.


Primitive

Functii elementare ce nu admit primitive elementare:

integralele eliptice ∫ √(1− a2 sin2 x)±1dx , a ∈ (0, 1),

∫sin x

xdx ,

∫cos x

xdx ;∫

dx

ln x,∫ ex

xdx ;∫

e−x2dx (primitiva Poisson);∫

cos(x2)dx ,∫

sin(x2)dx (primitivele Fresnel).


Integrala Riemann

Integrala Riemann

Fie a, b ∈ �, a < b si f : [a, b]→ �.

Definitie

• Numim o diviziune (sau partitie) a intervalului [a, b] o multime finita∆ = {x0, x1, . . . , xn} astfel ıncat a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b.

• Numarul‖∆‖ = max

1≤i≤n{xi − xi−1}

(notat de asemenea ν(∆)) se numeste norma diviziunii ∆.

• O diviziune ∆ a intervalului [a, b] se numeste echidistanta daca

xi − xi−1 =b− a

n, ∀i = 1, n; ın acest caz ‖∆‖ = b− a

nsi xi = a+ i

b− a

n.

Vom nota cu D[a, b] multimea tuturor diviziunilor intervalului compact [a, b].

Daca ∆1, ∆2 ∈ D[a, b] si ∆1 ⊆ ∆2, spunem ca ∆2 este mai fina decat ∆1 sinotam ∆1 � ∆2.


Integrala Riemann

Fie ∆ = {x0, x1, . . . , xn} cu a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b o diviziune aintervalului [a, b].

Definitie

• Un n-uplu ξ∆ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) ∈ �n se numeste un sistem de puncteintermediare al lui ∆ daca ξ i ∈ [xi−1, xi ], ∀i = 1, n.

• Multimea tuturor sistemelor de puncte intermediare ale lui ∆ este notata Ξ∆.

• Numim suma Riemann corespunzatoare functiei f : [a, b]→ � ın raport cu ∆si un sistem de puncte intermediare ξ∆ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn),numarul

σf (∆, ξ∆) =n

∑i=1

f (ξ i )(xi − xi−1).


Integrala Riemann

Definitie

• Functia f : [a, b]→ � se numeste integrabila Riemann (sau R-integrabila)daca exista un numar real I , numit integrala Riemann a lui f , astfel ıncat

∀ε > 0, ∃δε > 0 : ∆ ∈ D[a, b], ‖∆‖ < δε, ξ∆ ∈ Ξ∆ ⇒ |σf (∆, ξ∆)− I | < ε.

• Integrala Riemann va fi notata prin∫ b

af (x)dx .

• Multimea tuturor functiilor R-integrabile pe [a, b] este notata R[a, b].

Propozitie

Daca o functie f : [a, b]→ � este Riemann integrabila, atunci ea este marginita.

Observatie. Un exemplu de functie marginita ce nu este Riemann integrabila este

functia lui Dirichlet, f : [a, b]→ R, definita de f (x) =

{1, x ∈ [a, b] ∩�;0, x ∈ [a, b]r�.


Integrala Riemann

Proprietati

Propozitie

i) Daca f ∈ R[a, b], atunci f |[c,d ]∈ R[c , d ], pentru orice interval

[c , d ] ⊆ [a, b].

ii) Fie f : [a, b]→ � si c ∈ (a, b). Daca f |[a,c ]∈ R[a, c ] si f |

[c,b]∈ R[c , b],

atunci f ∈ R[a, b] si∫ b

af (x)dx =

∫ c

af (x)dx +

∫ b

cf (x)dx .

iii) Daca f ∈ R[a, b], atunci |f | ∈ R[a, b] si∣∣∣∣∫ b

af (x)dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a|f (x)| dx .


Integrala Riemann

Propozitie

iv) Daca f , g ∈ R[a, b], atunci f · g ∈ R[a, b] si are loc inegalitateaCauchy-Schwarz pentru functii R-integrabile:(∫ b

af (x)g(x)dx

)2

≤(∫ b

af 2(x) dx

)(∫ b

ag2(x) dx

).

v) Daca f ∈ R[a, b] si |f (x)| ≥ µ > 0, ∀x ∈ [a, b], atunci1

f∈ R[a, b].

vi) Daca f , g ∈ R[a, b] si α, β ∈ �, atunci αf + βg ∈ R[a, b] si∫ b

a(αf (x) + βg(x)) dx = α

∫ b

af (x)dx + β

∫ b

ag(x)dx

(cu alte cuvinte, R[a, b] este un subspatiu liniar al lui F ([a, b];�)).

vii) Daca f ∈ R[a, b] si f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b], atunci∫ b

af (x)dx ≥ 0.


Integrala Riemann

Observatii.1. O generalizare a inegalitatii Cauchy-Schwarz este, ca ın cazul sumelor finite denumere reale, inegalitatea lui Holder pentru functii R-integrabile:∣∣∣∣∫ b

af (x)g(x)dx

∣∣∣∣ ≤ (∫ b

a|f (x)|pdx

) 1p(∫ b

a|g(x)|qdx

) 1q

,

unde f , g ∈ R[a, b], p, q ∈ (1,+∞), cu 1p + 1

q = 1.

2. Integrala Riemann este o functionala monotona, adica daca f , g ∈ �[a, b]astfel ıncat f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b], atunci∫ b

af (x)dx ≤

∫ b

ag(x)dx .

3. Daca f ∈ R[a, b], definim∫ a

bf (x)dx := −

∫ b

af (x)dx si

∫ a

af (x)dx := 0.


Integrala Riemann

4. Fie f ∈ R[a, b] si m = infx∈[a,b]

f (x) ∈ �, M = supx∈[a,b]

f (x) ∈ �. Datorita

monotoniei integralei Riemann, avem

m(b− a) ≤∫ b

af (x)dx ≤ M(b− a).

Mai mult, daca f ∈ C ([a, b]) (adica f este continua pe [a, b]), atunci existax1, x2 ∈ [a, b] astfel ıncat f (x1) = m, f (x2) = M; rezulta ca

f (x1) ≤1

b− a

∫ b

af (x)dx ≤ f (x2)

Deoarece f are proprietatea lui Darboux (ce este implicata de continuitatea lui f ),atunci exista c ıntre x1 si x2 (cu posibilitate de egalitate) astfel ıncat

f (c) =1

b− a

∫ b

af (x)dx , adica are loc urmatoarea formula a mediei:

∫ b

af (x)dx = f (c)(b− a).


Integrala Riemann

Sume Darboux

Daca f : [a, b]→ � este o functie marginita si ∆ = {x0, x1, . . . , xn} cua = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b este o diviziune a lui [a, b], vom definisumele Darboux inferioare si superioare asociate lui ∆, dupa cum urmeaza:

sf (∆) :=n

∑i=1

mi (xi − xi−1);

Sf (∆) :=n

∑i=1

Mi (xi − xi−1),

unde mi := infx∈[xi−1,xi ]

f (x) si Mi := supx∈[xi−1,xi ]

f (x), ∀i = 1, n.

Definitie

Numarul I := sup∆∈D[a,b]

sf (∆) se numeste integrala Darboux inferioara, ın timp ce

numarul I := inf∆∈D[a,b]

Sf (∆) se numeste integrala Darboux superioara.

Vom avea ıntotdeauna I ≤ I .A. Zalinescu (Iasi) Cursul 11 7 Ianuarie 2021

Integrala Riemann

x1

1

y

0

Figure: sumele Darboux inferioare si superioare


Integrala Riemann

Criteriul Darboux de integrabilitate

Fie f : [a, b]→ � o functie.

Teorema

Daca f este marginita, atunci f este integrabila Riemann daca si numai dacaI = I , conditie ce este echivalenta cu

∀ε > 0, ∃∆ε ∈ D[a, b] : Sf (∆ε)− sf (∆ε) < ε.

In acest caz, I = I =∫ b

af (x)dx .

Folosind acest criteriu, se pot evidentia categorii de functii integrabile Riemann.

Teorema

i) Daca f ∈ C ([a, b]), atunci f ∈ R[a, b].

ii) Daca f este monotona pe [a, b], atunci f ∈ R[a, b].

Observatie. Concluzia punctului ii) ramane valabila si daca f este monotona peportiuni, adica f |

[ci−1,ci ]este monotona, unde {c0, c1, . . . , cn} ∈ D[a, b].


Integrala Riemann

Formula Leibniz-Newton

Fie f : [a, b]→ � o functie integrabila Riemann si functia F : [a, b]→ � definitaprin

F (x) =∫ x

af (t) dt, x ∈ [a, b].

Teorema

i) F ∈ C ([a, b]); mai mult, exista L > 0 astfel ıncat

|F (x)− F (x)| ≤ L|x − x |, ∀x , x ∈ [a, b].

ii) daca f este continua ın x0 ∈ [a, b], atunci F este derivabila ın x0 siF ′(x0) = f (x0).

daca f ∈ C ([a, b]), atunci F este o primitiva a lui f .;

daca f ∈ C ([a, b]) si F ′ = f , atunci are loc formula Leibniz-Newton:∫ b

af (x) dx = F (x)|ba := F (b)− F (a).


Integrala Riemann

Pentru a calcula integrala Riemann a unei functii f ∈ C ([a, b]), putem utilizaschimbarea de variabila, prin formula∫ β

α(f ◦ ϕ)(x)ϕ′(x)dx =

∫ ϕ(β)

ϕ(α)f (t)dt,

unde ϕ : [α, β]→ [a, b] este o functie de clasa C1.

O a doua formula de schimbare de variabila, echivalenta cu prima, este∫ b

af (x)dx =

∫ ψ−1(b)

ψ−1(a)(f ◦ ψ)(t)ψ′(t)dt,

unde ψ : [a, b]→ [α, β] este o functie bijectiva, de clasa C1.

O alta maniera de a calcula o integrala Riemann este integrarea prin parti,data de formula∫ b

af (x)g ′(x) dx = f (x)g(x)|ba −

∫ b

af ′(x)g(x) dx ,

pentru f , g : [a, b]→ � derivabile pe [a, b] cu f ′, g ′ ∈ R[a, b] (ın particular,f , g ∈ C1[a, b]).


Integrale improprii

Integrale improprii

O extensie naturala a integralei Riemann:

functia ce trebuie integrata este nemarginita sau/si

intervalul pe care se integreaza este nemarginit.

Ambele cazuri pot fi reduse la cel ın care intervalul pe care se integreaza nu estecompact; vorbim atunci de integrale improprii.Vom da definitia integralelor improprii doar pe intervale de forma [a, b) cu a ∈ �,b ∈ �, a < b, cazul intervalelor de tip (a, b] sau (a, b) (sau chiar(a, b)r {γ1, . . . , γn} cu γ1, . . . , γn ∈ (a, b)) fiind tratate de o maniera similara.


Integrale improprii

Fie f : [a, b)→ � astfel ıncat f este o functie integrabila Riemann local pe [a, b),adica f ∈ R[a, c ] pentru orice c ∈ (a, b).

Definitie

• Daca exista limita

I := limc↗b

∫ c

af (x)dx ∈ �,

vom numi I integrala Riemann (generalizata) a lui f pe [a, b), notata∫ b−0

af (x)dx (sau

∫[a,b)

f (x)dx sau chiar∫ b

af (x)dx). Daca b = +∞,

integrala I va fi notata∫ +∞

af (x)dx .

• Daca I ∈ �, vom spune ca f este impropriu integrabila Riemann pe [a, b) sau

ca integrala∫ b

af (x)dx este convergenta (pe scurt,

∫ b

af (x)dx (C)).

• Daca I ∈ {−∞,+∞} sau limita limc↗b

∫ b

cf (x)dx nu exista, spunem ca

integrala∫ b

af (x)dx este divergenta (pe scurt,

∫ b

af (x)dx (D)).


Integrale improprii

Exemplu

Fie p ∈ �. Atunci avem:

∫ 1

0+0xpdx = lim

c↘0

∫ 1

cxpdx =

limc↘0

xp+1

p + 1

∣∣∣∣1c

, p 6= −1;

limc↘0

ln x |1c , p = −1=

limc↘0

1

p + 1(1− cp+1), p 6= −1;

limc↘0− ln c , p = −1

=

1

p + 1, p > −1;

+∞, p ≤ −1;

∫ +∞

1xpdx = lim

c↗+∞

∫ c

1xpdx =

limc↗+∞

xp+1

p + 1

∣∣∣∣c1

, p 6= −1;

limc↗+∞

ln x |c1 , p = −1=

lim

c↗+∞

1

p + 1(cp+1 − 1), p 6= −1;

limc↗+∞

ln c , p = −1=

−1

p + 1, p < −1;

+∞, p ≥ −1.

Astfel,∫ 1

0xpdx (C) ⇐⇒ p > −1;

∫ +∞

1xpdx (C) ⇐⇒ p < −1.


Integrale improprii

Criteriul Cauchy de convergenta

Fie f : [a, b)→ � astfel ıncat f este integrabila Riemann local pe [a, b).

Propozitie

Integrala∫ b−0

af (x)dx este convergenta daca si numai daca

∀ε > 0, ∃aε ∈ (a, b), ∀a′, a′′ ∈ (aε, b) :∣∣∣∣∫ a′′

a′f (x)dx

∣∣∣∣ < ε.

Definitie

• Daca integrala∫ b

a|f (x)|dx este convergenta, spunem ca integrala

∫ b

af (x)dx

este absolut convergenta, notand aceasta∫ b

af (x)dx (AC).

• Daca∫ b

af (x)dx (C), dar

∫ b

a|f (x)|dx (D):

∫ b

af (x)dx este semiconvergenta.

Din criteriul Cauchy de convergenta:∫ b

af (x)dx (AC) =⇒

∫ b

af (x)dx (C).


Integrale improprii

Similar cu criteriile de convergenta pentru serii, avem urmatorul criteriu decomparatie:

Propozitie

Fie f , g : [a, b)→ � functii integrabile Riemann local pe [a, b). Daca

|f (x)| ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b) si∫ b

ag(x)dx (C), atunci

∫ b

af (x)dx (AC).

Integrale improprii pe intervale nemarginite.

Vom considera integrale de forma∫ +∞

af (x)dx cu a ∈ �, deoarece cazurile∫ a

−∞f (x)dx si

∫ +∞

−∞f (x)dx pot fi reduse la acesta.

Criterii necesare de integrabilitate: Presupunem ca limita ` = limx↗+∞

f (x) exista.

Daca∫ +∞

af (x)dx (C), atunci ` = 0.


Integrale improprii

Criteriul ın β:

Teorema

Fie β ∈ �. Sa presupunem ca exista ` = limx→+∞

xβ|f (x)|. Atunci:

i)∫ +∞

af (x)dx (AC) daca β > 1 si ` < +∞;

ii)∫ +∞

a|f (x)| dx (D) daca β ≤ 1 si ` > 0.

Criteriul integral al lui Cauchy:

Propozitie

Daca functia f : [1,+∞)→ �+ este descrescatoare, atunci integrala improprie∫ +∞

1f (x) dx are aceeasi natura cu seria

∞

∑n=1

f (n).


Integrale improprii

Integrale improprii pe intervale marginite ale unor functii nemarginite.

Fie a, b ∈ � cu a < b.

Criteriul ın α:

Teorema

Fie α ∈ � si f : [a, b)→ � o functie integrabila Riemann local. Sa presupunemca exista limita L = lim

x↗b[(b− x)α |f (x)|]. Atunci:

i)∫ b

af (x)dx (AC) daca α < 1 si L < +∞;

ii)∫ b

a|f (x)| dx (D) daca α ≥ 1 si L > 0.


Integrale improprii

G. Apreutesei, N. A. Dumitru, Introducere ın teoria integrabilitatii, Editura”Performantica”, Iasi, 2005.

D. Cioroboiu, A. Pitea, M. Postolache, Calcul integral, Editura ”FairPartners”, Bucuresti, 2010.

T. de Cepeda, M. Delgado, Calculus II, Unit 3: Integrals Depending on aParameter, Universidad Carlos III de Madrid, 2016.

M. Gorunescu, F. Gorunescu, A. Prodan, Matematici superioare. Biostatisticasi Informatica (Cap. 8), Editura Albastra, Cluj-Napoca, 2002.

P. B. Iaval, Improper Integrals, Kennesaw State University, 2015.

L. Larson, Introduction to Real Analysis, Univ of Louisville Publ., 2014.

G. Mocica, Probleme de functii speciale, Editura Didactica si Pedagogica,Bucuresti, 1988.

S. A. Popescu, Mathematical Analysis II. Integral Calculus, Conspress,Bucharest, 2011.

H. Tudor, Analiza matematica, Editura Albastra, Cluj-Napoca, 2008.


Documents

Cursul 11 Matematic a - anul Iadrian.zalinescu/MAT/Slides... · 2021. 1. 7. · A. Z alinescu (Ia˘si) Cursul 11 7 Ianuarie 2021. Primitive Integrale irat˘ionale Vom aplica de asemenea