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Curso Online – Sistema Financeiro do Mercado de Capitais Banco de Desenvolvimento do Estado de Minas Gerais
Teoria e Exercícios Prof. César Frade
Prof. César de Oliveira Frade www.pontodosconcursos.com.br 1
Olá pessoal!
Primeiramente irei fazer uma breve apresentação. Meu nome é César de
Oliveira Frade, sou funcionário de carreira do Banco Central do Brasil
aprovado no concurso de 1997. No início de 2010, retornei ao Banco Central
após ficar cedido por alguns anos a outro órgão federal e de ter gozado licença
interesse para dar aulas para concursos públicos.
De 2005 a 2008 fui Coordenador-Geral de Mercado de Capitais na Secretaria
de Política Econômica do Ministério da Fazenda, auxiliando em todas as
mudanças legais e infralegais, principalmente aquelas que tinham ligação
direta com o Conselho Monetário Nacional – CMN.
Sou professor de Finanças, Microeconomia, Macroeconomia, Conhecimentos
Bancários, Sistema Financeiro Nacional, Mercado de Valores Mobiliários,
Estatística e Econometria. Leciono na área de concursos públicos desde 2001,
tendo dado aula em mais de uma dezena de cursinhos em várias cidades do
país, desde presenciais até via satélite.
No início da carreira pública, trabalhei com a emissão de títulos da dívida
pública externa no Banco Central do Brasil, assim que tomei posse.
Sou formado em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Minas Gerais –
UFMG. Possuo uma Pós-graduação em Finanças e Mercado de Capitais pelo
IBMEC, outra em Derivativos para Reguladores na Bolsa de Mercadorias e
Futuros – BM&F e uma especialização em Derivativos Agrícolas pela Chicago
Board of Trade – CBOT1. Sou Mestre em Economia2 com ênfase em Finanças na
Universidade de Brasília e o Doutorado, pela mesma Universidade, está
faltando apenas a defesa da Tese3, sendo que os créditos já foram concluídos.
Possuo um estilo peculiar de dar aulas. Prefiro tanto em sala quanto em aulas
escritas que elas transcorram como conversas informais. Entretanto, quando
1 A Chicago Board of Trade - CBOT é a maior bolsa de derivativos agrícolas do mundo. 2A dissertação “Contágio Cambial no Interbancário Brasileiro: Uma Análise Empírica” defendida em 2003 foi publicada na Revista da BM&F, o paper aceito na Estudos Econômicos e em alguns dos mais importantes Congressos de Economia da América Latina – LAMES. Versava sobre o risco sistêmico a ser propagado via mercado de câmbio e as contribuições da Câmara de Compensação de Câmbio da BM&F para a mitigação desse risco. 3 Tese de Doutorado é um parto e a gestação já está durando alguns anos. Acho que pode ser que ela não saia.
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tenho que dar aulas de Teoria, gosto de explicar não apenas a matéria, mas
também a forma como vocês devem raciocinar para acertar a questão.
Acredito que todos aqui estão muito mais interessados em passar no concurso
do que aprender toda a matéria.
Desta forma, estarei fazendo uma mescla entre um papo informal (papo que
ocorrerá sempre que for possível) e a teoria formal. Mas nunca deixarei de
ensinar qual o raciocínio que vocês devem utilizar para acertar as questões.
Acredito que a matéria sendo exposta de forma informal torna a leitura mais
tranqüila e isso pode auxiliar no aprendizado de uma forma geral. Exatamente
por isso, utilizo com freqüência o Português de uma forma coloquial.
Assim, a “Aula Demonstrativa” mostrará para vocês um pouco do que será
esse curso. Será uma aula bem menor que as outras, mas é apenas para
vocês sentirem o gostinho de que essa matéria não é tão complicada como a
maioria pensa. Não há a necessidade de nenhum conhecimento prévio de do
assunto.
Serão pelo menos, 320 páginas dissecando o assunto de forma clara e
objetiva, mostrando a vocês como devem raciocinar para conseguir êxito na
prova. Além disso, nestas aulas resolveremos mais de 100 questões acerca
de todos os assuntos.
As questões serão TODAS de provas anteriores e das mais variadas Bancas.
Utilizarei poucas questões do CESPE. Essas serão utilizadas quanto achar que o
assunto abordado na mesma é muito importante para a aula e não conhecer
questão de outra banca com o assunto.
Conteúdo Programático (uma aula a cada 10 dias4):
Aula 0 – 10/03/2011
Teoria das Carteiras: Risco, Retorno – Parte 1
Aula 1 – 10/04/2011
Teoria das Carteiras: Risco, Retorno – Parte 2
4 Se alguma aula estiver marcada para algum sábado, domingo ou feriado, ela será liberada ATÉ o dia útil seguinte. Caso já tenha sido elaborada, será liberada no dia útil anterior.
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Aula 2 – 20/04/2011
Segmentação do Mercado Financeiro: Mercado monetário, Mercado de crédito,
Mercado de câmbio, Mercado de capitais – Parte 1
Aula 3 – 30/04/2011
Segmentação do Mercado Financeiro: Mercado monetário, Mercado de crédito,
Mercado de câmbio, Mercado de capitais – Parte 2
Aula 4 – 10/05/2011
Abertura de Capital de Empresas: Companhia aberta, Desenvolvimento das
sociedades anônimas, Abertura de capital na estratégia empresarial; Títulos do
Mercado de Capitais: Ações, Debêntures, Commercial Paper. Operacionais do
Mercado Acionário: Mercado à vista, Mercado futuro
Aula 5 – 20/05/2011
Operações no Mercado de Derivativos: Conceito, Mercado a termo, Mercado de
opções
Aula 6 – 30/05/2011
Fundos de Investimentos em Ações: Conceito, Tipos de fundos de
investimentos em ações, Gestão ativa e passiva de fundos de investimentos.
Aula 7 – 10/06/2011
Análise fundamentalista: Conceito: Formação do preço justo de uma ação,
Aspectos a serem observados na análise de uma empresa; Formas de
Financiamento: Conceito, Venture Capital, Incubadoras de empresas,
Factoring.
Aula 8 – 20/06/2011
Agentes e Instituições Normativas: Conselho monetário nacional, Banco
central, Comissão de valores mobiliários, BNDES. Sistema Financeiro Nacional:
Formação de poupança, Alocação da poupança e investimento, Importância
econômica do Sistema Financeiro Nacional
Espero que este curso seja bastante útil a você e que possa, efetivamente,
auxiliá-lo na preparação para o concurso do Banco de Desenvolvimento do
Estado de Minas Gerais - BDMG e na conseqüente conquista da tão sonhada
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vaga. Saliento que as aulas aqui postadas estão sendo preparadas para o
curso on-line do Ponto dos Concursos. Lembro que é sempre importante se
preparar com antecedência para concursos dessa magnitude. As dúvidas serão
sanadas por meio do fórum do curso, a que todos os matriculados terão
acesso.
As críticas ou sugestões poderão ser enviadas para:
Finalmente, gostaria de dizer a vocês que muito mais do que saber toda a
matéria, é importante que você saiba fazer uma prova e esteja tranqüilo neste
momento! Portanto, tente aprender a matéria mas certifique-se que você
entendeu como deve proceder para marcar o “X” no lugar certo. Não interessa
saber a matéria, interessa marcar o “X” no lugar certo e ver o nome na lista.
Prof. César Frade Março/2011
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1. Noções de Risco e Retorno
Qualquer criança, por menor que seja, sabe que para se obter um retorno
além daquele normalmente conseguido com qualquer atividade, deverá correr
um risco adicional. Na verdade, o que devemos mensurar é se o retorno
adicional alcançado compensa o risco adicional que está sendo corrido.
Observe que nunca tratamos as coisas de forma absoluta, mas sim de forma
relativa. Eu, em geral, não quero saber se vale a pena correr o risco X para se
obter o retorno Y. Eu possuo um “status quo”, uma situação inicial, e o que me
interessa é o diferencial para essa posição inicial, ou seja, o interessante é
sempre a situação marginal.
Observe. Você já pode ter pedido demissão do seu trabalho para estudar. A
sua decisão de estudar ou não para um concurso X não leva em consideração o
trabalho que você tinha, não considera o risco que você poderia correr ao pedir
a demissão para estudar para concurso. O que você poderá levar em
consideração são as opções que você tem dada aquela situação original. E não
ache que esse conceito de risco serve apenas para mercado financeiro ou
avaliação de investimentos. Não é assim, em tudo na sua vida você leva em
consideração os riscos que estará incorrendo e os benefícios que estará
recebendo por ter corrido aquele risco.
Entretanto, a forma de “sentir” aquele risco adicional não é a mesma nas mais
diversas pessoas. Algumas possuem uma maior quantidade de “coragem”,
outras não possuem praticamente nenhuma. Esse diferente modo de perceber
o retorno adicional que está sendo gerado, faz com que a decisão seja
diferente para cada um dos agentes envolvidos.
Em muitos dos exemplos abaixo estarei utilizando exemplos de mercado
financeiro, bolsas de valores pois são situações clássicas em que a relação
risco e retorno é diferente para as mais diversas pessoas.
Por exemplo. Talvez nós dois, eu e você, tenhamos opiniões bastante
diferentes a respeito de risco em aplicações. Eu acredito (e isso é verdade),
como já deve ter notado, que aplicar na Bolsa é uma operação que não
envolve muitos riscos de longo prazo, enquanto que comprar uma padaria
envolve um risco muito maior. Isso não é novidade para vocês. No entanto,
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também acho que aplicar o dinheiro em imóvel me gera um risco e uma
rentabilidade de longo prazo menor do que aplicar na ação da VALE, por
exemplo.
Tenho certeza que muitos de vocês começaram a pensar, agora, no momento
em que o Collor confiscou a poupança dos brasileiros com o objetivo de tirar a
minha razão. A solução encontrada por você pode ser a de colocar o dinheiro
em um imóvel ao invés de deixá-lo nos Bancos ou mesmo nas Bolsas que
sofreriam bastante com uma medida como essa.
Entretanto, se você comprasse um apartamento com o objetivo de proteger o
seu recurso de um possível confisco, a única coisa que você não estaria
fazendo seria protegendo o seu dinheiro. Não o protegeria porque você teria ao
invés de um recurso confiscado, um apartamento. Mas para ter os recursos
novamente, teria que vender esse apartamento. Como praticamente todas as
pessoas tiveram seus recursos confiscados, você não conseguiria vender seu
apartamento e se vendesse, o preço seria muito abaixo daquele conseguido
dias antes do confisco. Teria solução para não perder dinheiro? Sim, colocar
ele debaixo do colchão e torcer para ninguém te roubar.
Observe como as pessoas possuem uma avaliação diferente do grau de risco.
Escrevi tudo isso de propósito, pois é exatamente o que penso e sei que é
muito diferente do que muitos pensam. Eu não estou errado e nem você está
errado, apenas temos uma percepção diferente de risco, apenas isso.
O que você acha de combinarmos de fazer uma escalada no Monte Everest?
Como você analisaria uma proposta como esta, supondo que você tenha
preparo físico para fazer a caminhada. Na verdade, existem inúmeros riscos
envolvidos no percurso, seja ele por causa da falta de oxigênio dada a altitude,
seja pelo risco de tempestade, seja pelas fendas que podem ser encontradas
no meio do caminho, entre outros. Todos esses riscos podem acabar
ocasionando a morte do alpinista que, teoricamente, é o maior risco que um
ser humano pode vir a correr. Eu tenho a minha resposta a essa proposta ou
alguma parecida e para isso levo em consideração o risco e o benefício.
Então porque alguém toparia correr este tipo de risco? Seria pelo simples fato
de escalar a maior montanha do mundo, tirar uma foto e voltar para casa? A
resposta para isso está na diferente percepção de risco que as pessoas têm e,
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principalmente, na diferente forma de encarar um determinado retorno.
Algumas pessoas topam fazer esse tipo de caminhada porque acreditam que
apesar de estarem incorrendo em um risco elevado, o retorno que terão obtido
ao conseguir êxito na caminhada é tão grande que compensa esse risco.
Outras pessoas, no entanto, não topariam fazer a escalada em uma parede da
academia, pois acreditam que existe um risco de tomar uma queda e vir a
quebrar o braço, a perna ou se machucar e a satisfação gerada (retorno) não
irá compensar o “risco” ao qual foi submetido.
Imagine um casal muito bem casado, ricos e bonitos e que se dão super bem.
Porque que um deles iria trair o outro? Na verdade, aqui nós temos mais uma
questão de risco e retorno. Um dos dois para vir a trair, no entanto, estará
ciente que está correndo um risco enorme e que fica ainda maior pelo fato de
considerarem que a união entre eles é bastante satisfatória. Por outro lado, a
pessoa com quem um dos dois terá uma relação terá algumas características
muito especiais, pois caso isso não seja verdade, o retorno obtido não irá
compensar o risco da “operação”.
Entretanto, se duas pessoas estão em um casamento ruim, eles estão muito
mais propícios em trair um ao outro. Isso ocorre porque há uma redução
sensível do risco, pois caso seja descoberto, haverá um prejuízo, mas que a
pessoa não considera como sendo tão grande. Dessa forma, a pessoa acabará
sendo menos seletiva, obterá um retorno menor, mas ainda assim estará
traindo, pois o retorno, mesmo sendo baixo, compensa o risco.
Mas como podemos pensar nisto no mercado de capitais? Como podemos
pensar nessa situação na administração financeira de uma empresa? Deve ser
exatamente essa pergunta que você deve estar se fazendo. Vamos comparar o
mercado de renda variável (mercado acionário) e o mercado de renda fixa
(títulos públicos, por exemplo).
Muitas pessoas dizem que aplicar no mercado acionário é algo muito arriscado
e que não têm coragem de colocar seus recursos nesse mercado. É claro que
parte disto se deve ao fato de as pessoas não saberem exatamente onde estão
aplicando seus recursos. No entanto, essas mesmas pessoas aplicam em fundo
de investimento de renda fixa e não sabem se o seu fundo adquire títulos
públicos ou Certificados de Depósitos Bancários (CDB) de um banco pequeno e
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prestes a quebrar. Com certeza, comprar CDB dessa instituição financeira é
muito mais arriscado do que comprar ações da Vale ou Petrobrás.
O que podemos concluir é que essas pessoas já ouviram muito falar em
mercado de ações, estão sempre vendo os jornais e sabendo, diariamente,
quando que o índice subiu ou caiu. Ouvem falar que isso é algo arriscado e que
podem perder dinheiro. Com base nessas informações, opta por não investir
em ações. Não devemos levar em consideração raciocínios como esse, pois não
há uma percepção correta do risco.
No entanto, existe uma outra classe de pessoas, aquelas que sabem do risco
inerente ao mercado acionário, mas que compreendem o seu grau de retorno.
Algumas pessoas optam por aplicar no mercado acionário porque acreditam
que, no longo prazo, o retorno será bastante satisfatório e vale a pena correr
esse risco. Outras pessoas conhecem o risco e sabem da possibilidade de
retorno, mas acham que o risco é alto para eles e, portanto, preferem investir
no mercado de renda fixa, preferem o certo ao duvidoso.
Veja que não estou tecendo uma crítica a quem acha que o mercado de ações
é arriscado. Critico aquele que diz que é arriscado sem nunca ter parado para
pensar o que, na verdade, ele está comprando. Se uma pessoa conhece o
mercado, sabe das vantagens mas opta por não aplicar no mercado de ações
porque ele acredita que seu estômago não suportaria aquele tipo de aplicação,
aí sim ele está olhando para o risco e o benefício da aplicação.
Tenho um caso curioso aqui. Conheço uma pessoa que é dona de um curso
presencial para concurso público. É notório que esse tipo de empreendimento
dá um bom retorno. No entanto, os alunos acreditam que o risco é baixo. Não,
o risco inerente a um projeto como esse é alto pois existe um custo fixo
enorme embutido naquilo. Em geral, quanto maior o custo fixo maior o risco
do negócio. Essa pessoa tem um curso mas não coloca um centavo de seus
recursos no mercado acionário, exatamente pelo fato de achar muito perigoso
o mercado acionário.
Sendo assim, temos sempre que levar em consideração em nossas decisões
uma análise mínima de risco e retorno. Somente devemos fazer alguma coisa
se o retorno a ser obtido com aquela ação superar, na sua análise, o risco que
estamos incorrendo. Ou seja, nunca podemos ou devemos correr um risco
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demasiado mesmo que o retorno que venhamos a ter seja gigante, pois o
prejuízo que podemos adquirir pode nos causar algum tipo de dificuldade e
transtorno.
Um exemplo prático. Recentemente, um fundo de investimento em ações
vinha, ano após ano, batendo recordes de rentabilidade. Várias pessoas
estavam colocando seus recursos nesse fundo, mas não estavam lendo seu
regulamento e prospecto. Esse fundo era alavancado e se fizesse a aposta na
direção correta poderia ter uma rentabilidade 3 a 4 vezes maior que a
rentabilidade obtida no mercado acionário. Isso é fantástico, mas desde que o
administrador do fundo acerte o que vai acontecer. Se ele apostar errado,
pode ser um desastre.
De repente, em meados de 2008, o mercado começou a mudar, despencar e o
fundo gerou um prejuízo de 95% do capital em 3 meses. Ou seja, um fundo
com rentabilidade campeã e que existia há 10 anos, viu toda a riqueza de seus
cotistas desaparecerem em 3 meses. Porque isso?? Porque incorreram em um
grande risco e que daria um enorme retorno se a aposta fosse correta.
Infelizmente para os cotistas, a aposta foi errada com a crise.
Fato semelhante podemos falar sobre o Avestruz Master. É ou foi um bom
negócio? Quer saber se eu aplicaria? Claro que foi um bom negócio para quem
conseguiu tirar o dinheiro antes. Eu, talvez, topasse aplicar mas pouco e por
um prazo muito curto mas desde que tivesse alguma informação adicional
daquela que era dada. Era notório que uma hora iria estourar.
Existem dois tipos possíveis de questões para o tópico de risco x retorno: a
qualitativo e o quantitativo. A análise qualitativa foi a efetuada acima e vocês
terão que fazer uma análise do possível “caso” que o examinador está
contando. Por outro lado, para fazermos a análise quantitativa do risco e
retorno é necessário um conhecimento básico de Estatística Descritiva. É
exatamente isso que tentarei passar para vocês no tópico seguinte.
É importante esclarecer que estaremos usando a estatística como uma
ferramenta para chegarmos naquilo que procuramos. Portanto, estarei
suprimindo explicações importantes e algumas vezes colocando de forma
superficial a matéria, mas o intuito é te mostrar de forma rápida quais são as
ferramentas, como utilizá-las e quando sem tecer maiores comentários.
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2. Estatística Descritiva – Medidas de Tendência Central e Medidas
Dispersão
2.1. Medidas de Tendência Central
Uma medida de tendência central ou de posição de um conjunto de dados
mostra o valor em torno do qual se agrupam as observações. As principais
medidas de tendência central são a média aritmética, a mediana e a moda.
Também são bastante utilizadas a média ponderada, que é uma variação da
média aritmética, a média geométrica e a média harmônica.
Um conjunto de dados pode ser bem analisado se usarmos as medidas de
tendência central juntamente com as medidas de dispersão, de assimetria e de
concentração, permitindo assim, caracterizar de maneira bastante satisfatória
e concisa o conjunto de que dispomos.
Os diversos tipos de média são as medidas de tendência central mais usadas
para descrever resumidamente uma distribuição de freqüência. Veremos, a
média aritmética simples e a ponderada, que nada mais é do que uma variação
da simples, a média geométrica e a média harmônica.
Entretanto, é necessário esclarecer que uma média não é melhor que a
outra, ou seja, apesar da média mais comum ser a média aritmética, isto não
a deixa melhor do que a média geométrica, por exemplo. Uma média será
mais conveniente para a situação apresentada do que a outra. Isso
dependerá apenas das características dos dados apresentados. É importante
frisarmos que não há nenhum tipo de hierarquia entre as médias.
Se os dados apresentados forem de inflação, a média mais conveniente é a
geométrica, no entanto, se os dados forem as alturas dos alunos de uma
classe, a média mais conveniente seria a aritmética. E, às vezes, a média
também não é a melhor medida de tendência central. Imagine se quisermos
representar o salário dos brasileiros por um único número. Será que seria
interessante calcularmos a média aritmética dos salários dos brasileiros e dizer
que este número representaria bem? A resposta é não, na verdade, a mediana
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representaria de forma bem mais satisfatória o salário dos brasileiros. Quando
há alguns dados que são muito dispersos, talvez seja um bom momento para
se usar uma mediana.
Entretanto, no nosso curso de Finanças usaremos, praticamente, apenas a
média aritmética, apesar de, nesse momento, estarmos iniciando uma revisão
das medidas de tendência central.
i. Média Aritmética
A média aritmética é a idéia que ocorre à maioria das pessoas quando se fala
em “média”.
A média aritmética simples pode ser calculada pelo quociente entre a soma dos
valores de um conjunto e o número total de elementos.
Imagine que tenhamos um conjunto com 5 elementos, representando o
número de questões acertadas por um candidato nas últimas cinco provas de
português, quais sejam: 6, 8, 9, 11 e 11. Qual seria um número que poderia
representar bem esse conjunto?
Devemos representar essas notas pelo resultado da média aritmética simples
conforme abaixo:
9 545
51111986
==++++
=x
Portanto, podemos dizer que essa pessoa tem uma média de acertos igual a 9
e que ela pode considerar esse número para a próxima prova. No entanto, isso
serve apenas para fazer uma previsão de quantas questões ela acertará na
próxima para saber se ela precisa ou não estudar mais.
Genericamente, podemos representar a média aritmética com a seguinte
fórmula:
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N
xx
N
ii∑
== 1
A média possui algumas propriedades úteis que explicam porque ela é a
medida de tendência central mais usada:
a) a média pode sempre ser calculada;
b) a média de um dado conjunto é sempre única;
c) se somarmos (subtrairmos, multiplicarmos ou dividirmos) a todos os
valores do conjunto um valor y qualquer, a nova média desse mesmo
conjunto será a média anterior somada (subtraída, multiplicada ou dividida)
de y;
d) a média é uma medida sensível que é afetada por todos os valores do
conjunto.
Se ao invés de utilizarmos a média aritmética para calcular um número que
representa bem as notas da pessoa, formos utilizar a média aritmética
ponderada teremos, exatamente, o mesmo resultado.
Devemos utilizar a ponderada quando os diversos elementos do conjunto
tiverem pesos ou freqüências diferentes. No exemplo acima, podemos usar a
média ponderada desde que façamos a seguinte análise:
Notas 6 8 9 11
Frequência5 1 1 1 2
Dessa forma, a média aritmética se calculada da forma ponderada seria:
9 545
5211191816
==×+×+×+×
=x
Portanto, a fórmula a ser usada na média aritmética ponderada é a seguinte:
5 A freqüência das notas é o número de vezes que cada uma delas aparece no conjunto.
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Nff
fxx
k
iik
ii
k
iii
=⋅
= ∑∑
∑=
=
=
1
1
1 sendo,
ii. Média Geométrica
A média geométrica de n valores é definida como a raiz n-ésima do produto de
todos eles. É uma medida mais central quando as observações apresentam
uma taxa constante de crescimento em função do tempo, ou seja, é a medida
mais adequada quando as taxas crescem com capitalização composta
(exponencial).
No entanto, é importante ressaltar que esse tipo de média não aceita
observações menores ou iguais a zero. Uma aplicação freqüente da média
geométrica é no cálculo da taxa equivalente de uma operação financeira.
Podemos representar a média geométrica simples da seguinte forma:
n nn
n
iig xxxxx ⋅⋅⋅== ∏
=
L211
Se calcularmos a média geométrica desse conjunto de dados, apesar de não
fazer nenhum sentido, dada a natureza dos números, teríamos:
78,811119865 =⋅⋅⋅⋅=gx
iii. Média Harmônica
A média harmônica de um conjunto é o inverso da média aritmética dos
inversos, ou seja:
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∑=
=+++
= n
i in
h
x
n
nxxx
x
121
11111
L
Com números iguais àqueles que foram dados no conjunto acima, a média
harmônica seria igual a 8,55.
Apesar de não fazer sentido algum, estatisticamente, calcular as médias
geométrica e harmônica de um conjunto de notas, fizemos os cálculos apenas
para mostrar que:
xxx gh ≤≤
2.2. Medidas de Dispersão
Quando comparamos vários conjuntos de números, além da informação com
relação ao “centro” do conjunto, devemos também avaliar o grau de dispersão
dos dados. Essa dispersão nos indicará se os valores estão relativamente
próximos uns dos outros ou não.
Antigamente, quando íamos aos bancos, deveríamos formar filas separadas
para os diversos caixas. Hoje em dia, apenas uma fila é formada normalmente.
Apesar desse fato não ter alterado o tempo médio de espera, fez com que a
variação de tempo que passamos na fila tenha diminuído consideravelmente,
pois a partir daí o tempo de espera não mais dependia da eficiência da pessoa
que operava o caixa da fila onde estava nem se as pessoas que estavam na
minha frente iriam dar mais ou menos trabalho aos caixas. Com isso, os
clientes ficam muito mais satisfeitos.
Nos interessam, em princípio, a variância e o desvio-padrão de um conjunto de
dados. Além deles, a correlação e a covariância.
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i. Variância
A variância nos mostra a média do quadrado da distância em relação à média
que é representada pela seguinte fórmula:
( )n
xxn
ii∑
=
−= 1
2
2σ ou
( )
nn
xx
n
i
n
ii
i∑∑
=
=−= 1
1
2
2
2σ
ii. Desvio-Padrão
O desvio-padrão é a raiz quadrada positiva da variância e nos mostra a raiz
quadrada da média do quadrado da distância em relação à média que é
representada pela seguinte fórmula:
( )n
xxn
ii∑
=
−= 1
2
σ ou
( )
nn
xx
n
i
n
ii
i∑∑
=
=−= 1
1
2
2
σ
iii. Covariância
Temos ainda que considerar as fórmulas tanto da covariância quanto da
correlação para podermos compreender de forma perfeita a Teoria de Carteiras
em Finanças. Dessa forma, seguem abaixo as duas fórmulas6:
( ) ( )n
xxxxn
iB
B iA
A i
BA
∑=
−⋅−= 1
,σ
6 Devido ao fato de que esta matéria (finanças) apenas utiliza ferramentas da Estatística, caso você tenha alguma dúvida em relação aos conceitos estatísticos sugiro dar uma olhada em algum material específico do assunto.
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iv. Correlação
A correlação é a razão entre a covariância existente entre duas grandezas e o
produto dos seus desvios.
BA
BABA σσ
σρ
⋅= ,
,
3. Retorno Esperado e Retorno Médio de um Ativo
Inicialmente vamos falar sobre o retorno esperado de uma carteira, ou seja,
qual o retorno que eu espero que uma carteira venha a ter. Na verdade,
esperamos que o retorno médio de uma carteira seja dado pela média
aritmética dos retornos dos ativos que compõem essa carteira.
Há uma diferença entre esses dois conceitos, mas não vejo necessidade em
me aprofundar nisso nessa matéria. Talvez fosse algo a ser estudado de
forma mais profunda em Estatística. Aqui, acredito que devo apenas salientar
que quando falamos de Retorno Esperado estamos usando o operador
Esperança utilizado em Estatística. Dessa forma, estaríamos informando o
quanto esperamos para o retorno futuro de um portfólio.
Por outro lado, quando falamos sobre Retorno Médio estamos calculando a
média do retorno de uma carteira, de um portfólio. Nesse caso, estaríamos nos
referindo a uma média aritmética mesmo.
Imagine a situação em que podem ocorrer 3 cenários possíveis, sendo cada
um deles com uma probabilidade específica de ocorrência e um dado retorno
conforme descrito abaixo:
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Cenário Probabilidade Retorno
Crescimento 0,30 20%
Estabilidade 0,20 10%
Recessão 0,50 5%
Qual seria a expectativa de retorno ou a Esperança de Retorno de um ativo
dadas as expectativas de retorno do ativo em cada um dos cenários e as
respectivas probabilidades de ocorrência desse cenário, conforme colocado
acima?
Observe que existem três cenários possíveis para a economia de um país. No
caso de essa economia apresentar crescimento e isso ocorrerá, dada a situação
atual, com uma probabilidade 30%, espera-se que o rendimento dessa ação
em questão (ou portfólio) seja de 20%. Ou seja, para a avaliação feita, o
crescimento da economia dará ao ativo a possibilidade de ter seu preço
majorado em 30%.
Caso haja uma estabilidade na economia e isso pode ocorrer com 20% de
probabilidade, espera-se que o rendimento seja de 10% no período. Ou seja,
as avaliações feitas por analistas estão prevendo que mesmo que não ocorra
crescimento na economia, essas ações podem ter seus preços majorados em
10%.
Ocorrendo uma recessão e a probabilidade de ocorrência deste fato é de 50%,
analistas esperam um retorno de 5% para as ações dessa empresa.
Dessa forma, devemos utilizar a seguinte fórmula para determinarmos a
Esperança de Retorno desta carteira:
[ ] [ ]∑=
⋅=N
iiip REpRE
1
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Essa fórmula prevê que a Esperança de Retorno de um ativo p (pode ser de
um portfólio ou carteira também) é dada pela média ponderada dos retornos
quando da ocorrência de cada evento i.
Portanto, a Esperança do Retorno será:
[ ][ ][ ] %5,10
%5,2%2%6
%550,0%1020,0%2030,0
=
++=
×+×+×=
p
p
p
RE
RE
RE
Observe que esse cálculo é do Retorno Esperado do ativo. Logo, estamos
fazendo estimativas com base em probabilidades de ocorrências futuras da
ocorrência de um evento e, daí, retirando uma base para a valorização do
ativo.
Por outro lado, se tivermos que calcular o retorno médio de uma ação,
devemos utilizar dados históricos para efetuarmos o cálculo. Essa estimativa
será dada pela média aritmética dos retornos. Observe que a partir do
momento em que estamos interessados no retorno médio do ativo como uma
proxy para um provável retorno futuro estamos partindo do pressuposto de
que o mercado, em um futuro próximo, se comportará de forma similar ao seu
comportamento passado.
O preço das ações, dos ativos pode ser facilmente conseguido no mercado. No
entanto, um dos problemas existentes é qual seria o prazo ideal para se fazer
o estudo. Deveríamos retirar os dados de fechamento diário de pregão do
último mês, dos últimos três meses, doze meses. Ou os dados seriam do
fechamento do pregão apenas do último dia do mês. Enfim, essas são decisões
que após serem tomadas pelos investidores faz com que a grande maioria
passe a ter dados diferentes mesmo utilizando os mesmos dados do mercado.
Veja na tabela abaixo o preço de fechamento do último pregão do mês das
ações da Vale (VALE5) cotadas na BOVESPA, de agosto a novembro de 2010.
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Data Preço de
Fechamento
Retorno
Mensal
30/07/2010 42,67
31/08/2010 41,43 -2,91%
30/09/2010 46,30 11,75%
29/10/2010 47,75 3,13%
30/11/2010 48,00 0,52%
O retorno mensal das ações é calculado da seguinte forma7:
%52,00052,01 75,4700,48
%13,30313,01 30,4675,47
%75,111175,01 43,4130,46
%91,20291,01 67,4243,41
==−=
==−=
==−=
−=−=−=
NOV
OUT
SET
AGO
x
x
x
x
Portanto, o retorno médio das ações da VALE5 negociadas no IBOVESPA nos
quatro primeiros meses desse ano foi de8:
%12,34
%52,0%13,3%75,11%91,21
=+++−
=
=∑=
VALE
N
ii
x
xx
A média de 3,12% mostra que o retorno médio mensal da VALE entre os
meses de agosto e novembro de 2008 foi de 3,12% ao mês.
7 Essa forma mostrada é como você deve pensar para calcular na prova. No entanto, os analistas utilizam uma forma com logaritmo neperiano, mas nestas aulas para concurso não vejo motivos para discutir nem apresentar o assunto. 8 Apesar desse de que para este tipo dado seja mais aconselhável utilizar uma média geométrica, utilizamos com freqüência a média aritmética, pois os dados são muito próximos.
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É muito interessante notarmos que nesses meses avaliados o resultado da
VALE foi positivo. Entretanto, se fizermos uma comparação do preço de
fechamento do último pregão de Novembro de 2010 com o preço de
fechamento do último pregão de 2007 (antes da crise, portanto) veremos que
o preço da ação ficou praticamente estável, tendo um pequeno recuo.
Em novembro de 2007, a ação da VALE chegou ao preço R$ 52,15, enquanto
que três anos depois ela estaria cotada por R$ 48,00. No entanto, é possível
mostrar a vocês que nos últimos 13 anos as ações da companhia deram uma
rentabilidade enorme. Nas aulas de matemática financeira voltarei a abordar
esse tópico de forma aplicada.
4. Retornos das Carteiras de Ativos
Uma carteira de ações é composta por um conjunto de ações que são
ponderadas conforme a quantidade de recursos que foram aplicados em cada
um dos ativos. Portanto, para calcularmos o retorno médio de uma carteira
devemos calcular a média ponderada dos retornos dos ativos que compõem a
carteira.
Dessa forma, a fórmula a ser utilizada no cálculo do retorno médio da carteira
é:
∑=
⋅=N
iiip RXR
1
Imaginemos o caso em que tenhamos os retornos das ações A e B conforme
descrito abaixo:
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Retorno de A Retorno de B
5% 4%
10% -3%
8% 8%
-3% 3%
Assim, temos:
%34
%3%8%3%4
%54
%3%8%10%5
=++−
=
=−++
=
B
A
R
R
Portanto, se colocarmos 60% dos recursos no ativo A e 40% dos recursos no
ativo B, teremos que o retorno médio dessa carteira será:
%20,4
%2,1%0,3
%340,0%560,0
=
+=
×+×=
p
p
p
R
R
R
Por outro lado, vamos imaginar um situação em que tenhamos dois ativos e os
possíveis retornos desses ativos para cada uma das situações hipotéticas
possíveis para o futuro. Veja abaixo:
Cenário Probabilidade Retorno A Retorno
B
Crescimento 0,30 20% -10%
Estabilidade 0,20 10% 8%
Recessão 0,50 5% 21%
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Devemos utilizar o operador esperança para poder encontrar o retorno
esperado de cada ativo. Dessa forma, a fórmula a ser utilizada é:
[ ] [ ]∑=
⋅=N
iiip REpRE
1
O Retorno esperado do ativo A é:
[ ][ ][ ] %5,10
%5,2%2%6
%550,0%1020,0%2030,0
=
++=
×+×+×=
p
p
p
RE
RE
RE
O Retorno esperado do ativo B é:
[ ] ( )[ ] ( )[ ] %1,8
%5,10%6,1%3
%2150,0%820,0%1030,0
=
++−=
×+×+−×=
p
p
p
RE
RE
RE
Se montarmos uma carteira com 60% dos recursos aplicados no ativo A e 40%
aplicados em B, teremos o seguinte retorno esperado da carteira:
%54,9
%24,3%30,6
%1,84,0%5,106,01
=
+=
⋅+⋅=
⋅=∑=
p
p
p
N
iiip
R
R
R
RXR
Isso significa que com uma aplicação de 60% dos recursos no ativo A e 40%
no ativo B, os investidores devem esperar um retorno de 9,54% no período em
questão.
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Questão 1
(ESAF – BACEN – 2001) – Um analista acredita que a tabela apresentada a
seguir é uma descrição satisfatória da distribuição de probabilidades da taxa de
retorno de uma certa ação.
Cenário Probabilidade Retorno
1 0,15 -10%
2 0,25 - 2%
3 0,30 + 5%
4 0,30 + 15%
De acordo com os dados contidos na tabela, o retorno esperado e o desvio-
padrão da taxa de retorno da ação são, respectivamente:
a) 5,5% e 10,86%
b) 5,5% e 8,66%
c) 4,0% e 25%
d) 4,0% e 10,86%
e) 4,0% e 8,66%
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QUESTÕES RESOLVIDAS
Questão 1
(ESAF – BACEN – 2001) – Um analista acredita que a tabela apresentada a
seguir é uma descrição satisfatória da distribuição de probabilidades da taxa de
retorno de uma certa ação.
Cenário Probabilidade Retorno
1 0,15 -10%
2 0,25 - 2%
3 0,30 + 5%
4 0,30 + 15%
De acordo com os dados contidos na tabela, o retorno esperado e o desvio-
padrão da taxa de retorno da ação são, respectivamente:
a) 5,5% e 10,86%
b) 5,5% e 8,66%
c) 4,0% e 25%
d) 4,0% e 10,86%
e) 4,0% e 8,66%
Resolução:
Observem que nesse caso temos os cenários, as probabilidades de ocorrência
de cada um dos cenários e retorno esperado neles. Devemos calcular, em
primeiro lugar, a esperança de retorno dos ativos e, para isso, utilizaremos a
seguinte fórmula:
[ ] [ ]∑=
⋅=N
iiip REpRE
1
Fazendo as devidas substituições, temos:
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[ ] [ ]
[ ] ( ) ( )[ ][ ] %0,4
%5,4%5,1%5,0%5,1
%1530,0%530,0%225,0%1015,01
=
++−−=
⋅+⋅+−⋅+−⋅=
⋅=∑=
p
p
p
N
iiip
RE
RE
RE
REpRE
Com isso, vemos que a esperança de retorno do ativo é de 4,0%.
Uma dica: Sempre que estiver fazendo as questões, não vá simplesmente
resolvendo-as. Resolva as questões, voltando sempre às possíveis respostas, e
eliminando aquelas que não mais podem ser contempladas.
Com isso, temos que as únicas respostas possíveis são as letras c, d e e.
Passemos agora ao cálculo do desvio-padrão esperado.
( ) ( )[ ]∑=
−⋅=N
ipii REREp
1
22σ
Com o objetivo de simplificar a notação, a partir deste momento estarei
colocando essa fórmula apenas como:
( )2
1
2 ∑=
−⋅=N
ipii RRpσ
Vou te dar outra dica para facilitar sua vida. Quando estiver fazendo as contas,
ao invés de usar o número correto (15%=0,15), utilize os números
multiplicados por cem, ou seja, sem a porcentagem (15% = 0,15*100=15). E
lembre-se daquelas propriedades estatísticas que dizem que:
• Ao multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por um mesmo
número, a média fica multiplicada por esse número.
• Ao multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por um mesmo
número, a variância fica multiplicada pelo quadrado desse número.
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• Ao multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por um mesmo
número, o desvio-padrão fica multiplicado por esse número.
Portanto, ao invés de utilizarmos os retornos de -10%, -2%, +5% e +15%,
utilizaremos um conjunto que será igual ao produto desses retornos pelo
número 100, ou seja, -109, 2, 5 e 15.
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 22222
22222
2
1
2
1130,0130,0625,01415,0
41530,04530,04225,041015,0
⋅+⋅+−⋅+−⋅=
−⋅+−⋅+−−⋅+−−⋅=
−⋅=∑=
σ
σ
σN
ipii RRp
Sou obrigado a abrir mais um parênteses nessa Resolução. A primeira
pergunta que você tem que responder é a seguinte: Você deseja fazer a
questão corretamente ou acertar a resposta e ganhar seu ponto?
Eu, César, não quero fazer a questão corretamente e, portanto, não preciso
ensinar vocês a fazerem corretamente. Minha intenção é ensinar vocês a
ganharem o ponto, ensinar vocês a criarem atalhos importantes para
minimizar o trabalho e o tempo gasto com a questão.
Concordam comigo. Sou adepto dessa teoria. Mas sempre tem um aluno que
fala assim: “Professor, eu quero aprender”. E acho que a melhor resposta é:
“você vai aprender mas o melhor agora é passar e depois que estiver com esse
ótimo salário, você acaba de aprender tudo, ok?”
Então...Antes de continuar vocês têm duas opções. Ou aprendem a fazer raiz
quadrada pois estamos calculando a variância e a resposta é o desvio-padrão
ou, então, aprender a acertar a questão sem fazer a raiz. Eu prefiro a segunda,
mas quem quiser ou souber fazer a raiz quadrada, nem precisa continuar a ler
a questão, basta acabar de efetuar os cálculos.
Vocês concordam que se a resposta é o desvio-padrão, o examinador está nos
perguntando a raiz quadrada daquilo que estamos calculando. Portanto, basta
pegarmos as respostas possíveis e elevá-las ao quadrado que acharemos o
valor daquilo que foi calculado, e aí é só marcar a resposta.
9 -10% * 100 = - 10
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Pois bem. Temos como possibilidade de resposta, somente as letras c, d e e.
Certo?
A letra c informa que o desvio-padrão seria 25%. Como multiplicamos todos os
elementos do conjunto por 100 e o resultado que encontraremos também
ficará multiplicado por 100, caso essa seja a resposta deveríamos encontrar o
desvio-padrão igual a 25. Se o desvio é 25, logo a variância é igual a 252 =
625.
De forma análoga, se a resposta for d, o desvio encontrado no nosso cálculo
seria de 10,86. A variância seria igual a 10,862 = ESQUECE (não faça a conta).
Sabemos que 10,86 está entre 10 e 11 e que o quadrado de 10,86 está entre
10010 e 121 e mais próximo de 121 pois 10,86 está mais próximo de 11 do que
de 10. Chutemos que 10,862 deva ser igual a uns 115. Tá bom assim para
vocês? Para mim, está ótimo.
Da mesma forma, se a resposta for e, o desvio encontrado no nosso cálculo
seria de 8,66. Como 8,66 está entre 8 e 9, os cálculos deverão mostrar algum
número entre 64 e 81. Portanto, um bom chute seria que 8,662 é igual a uns
75.
Vocês entenderam o espírito da coisa? Queremos acertar a questão e não fazê-
la corretamente. Observe que temos três resultados possíveis e nossos
cálculos nos levarão a um valor próximo dos três números citados, ou seja,
625, 115 ou 75. Veja que esses três números são muito distantes, logo, não
precisamos calcular corretamente o valor da variância. Podemos arredondar
tudo.... Veja.
( ) ( )12130,0130,03625,019615,0
1130,0130,0625,01415,02
22222
⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+−⋅+−⋅=
σ
σ
Se você fizer as operações indicadas acima, acertará as questões mas gastará
muito tempo. Você de cabeça não consegue fazer a conta 0,15 x 196, certo?
Mas como temos uma boa folga nas possíveis respostas, podemos transformar
essa operação em 0,15 x 200, assumindo que 200196 ≅ . Assim fica muito mais
rápido e sabemos que esse valor é igual a 30.
10 Dez ao quadrado é igual a 100 e onze ao quadrado igual a 121.
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No segundo termo, não precisamos alterar, pois seus resultado é simples, igual
a 9. O terceiro termo é igual a 0,30, mas como estamos arredondando tudo,
0,30 é igual a zero. No último termo, chamamos 121 de 120 e calculamos 0,30
x 120 = 36.
Entenderam a lógica?? Não?? Se não entenderam, façam seus cálculos
normalmente. Se compreenderam, tentem utilizar essa metodologia nesse tipo
de questão que será bem mais fácil. Terminando a questão (fazendo as contas
com os arredondamentos):
7536093012030,0030,03625,020015,0
2
2
≅
+++≅⋅+⋅+⋅+⋅≅
σ
σ
Sendo assim, encontramos que o gabarito é a letra E pois o desvio-padrão é
igual a 8,66%.
Agora, me digam...Se tivessem feito todas as contas, não teriam chutado tão
bem, não é mesmo?
Eu não tenho e nem quero ensinar vocês apenas a matéria. O importante é
que vocês tenham condições de minimizar o tempo com que fazem a prova e
acho que isso é meu papel também. Sei que alguns não gostam, por isso,
sempre que houver esse tipo de procedimento farei no final da questão, após
ter desenvolvido ela de tal forma que só faltaria acabar os cálculos.
Gabarito: E
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Então pessoal, é isso. Essa foi a primeira aula, um esboço daquilo que vocês
verão ao longo do curso. É claro que, como já foi dito, teremos muito mais
questões resolvidas para ajudar vocês a fazerem a prova.
Escolhi um tema, na primeira aula, que poucos de vocês conhecem ou
estudaram. Isso foi de propósito e se deve ao fato de que assim, poderiam
avaliar melhor a minha didática ao transmitir assuntos ainda não vistos.
Irei fazer uma resolução completa das questões. Não me limitarei apenas a
resolvê-las. Irei também dar várias dicas de como resolver, como utilizar os
atalhos, e qual a forma que vocês devem raciocinar para que possam
conseguir ter tranquilidade para acertar a questão sem demorar muito tempo.
Como vocês viram, tento fazer uma conversa, algo informal para que o
aprendizado seja um pouco mais simples e fácil. Acho que esta forma tem
dado bons resultados. Espero com isso, ajudar vocês a conquistarem uma
vaga.
Vamos tentar fazer dessas aulas artigos com leitura agradável, apesar do tema
desagradar muitos.
Um grande abraço e encontro vocês na primeira aula, em Abril.
César Frade