Danielly Guabiraba- Engenharia Civil

Produtos notáveis

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.1

Propriedades da multiplicação

Algumas propriedades da multiplicação são:

• Comutativa: 𝒂. 𝒃 = 𝒃. 𝒂

• Associativa: 𝒂 . 𝒃 . 𝒄 = 𝒂 . 𝒃 . 𝒄

Entre outras...

Trataremos da Propriedade Distributiva:

𝒂. (𝒃 + 𝒄) = 𝒂𝒃 + 𝒂𝒄

(𝒂 + 𝒃). (𝒄 + 𝒅) = 𝒂𝒄 + 𝒂𝒅 + 𝒃𝒄 + 𝒃𝒅

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Propriedade distributiva

𝒂 + 𝒃 . 𝒂 + 𝒃

= 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏2

= 𝒂2 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃2

𝒂 − 𝒃 . 𝒂 − 𝒃

= 𝑎2 − 𝑎𝑏 – 𝑎𝑏 + 𝑏2

= 𝒂2 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃2

𝒂 + 𝒃 + 𝒄 . 𝒂 + 𝒃 + 𝒄

= 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑐2

= 𝒂² + 𝒃² + 𝒄² + 𝟐𝒂𝒃 + 𝟐𝒃𝒄 + 𝟐𝒂𝒄

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Produtos notáveis

Afim de economizar tempo e não ter de multiplicar termo a termo, utilizamos os produtos notáveis.

Contudo, deve ser usado quando se tem plena certeza de como e quanto usar.

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Quadrado da soma

Indicado por: a mais b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:

(a + b)² ou (a + b)(a + b)

Forma expandida:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a.a + a.b + b.a + b.b = a² + 2ab + b²

Então: (𝒂 + 𝒃)² = 𝒂² + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃²

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Geometria do quadrado da soma

Quando a e b são positivos, podemos representar o quadrado da soma de dois termos desconhecidos geometricamente.

Observe que a área do quadrado de lado (a + b) é igual a área do quadrado maior , a², mais duas vezes a área do retângulo, ou seja, 2ab, mais a área do quadrado menor, b².

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a

b

a b

(a + b)(a + b) = (a + b)²

a² ab

ab b²

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Quadrado da soma

Exemplo:

• (𝟑𝒙 + 𝟓)² = (3𝑥)² + 2 (3𝑥)(5) + 5² = 9𝑥² + 30𝑥 + 25

• (𝒚 + 𝟔)² = 𝑦² + 2 (𝑦)(6) + 6² = 𝑦² + 12𝑦 + 36

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Vamos praticar...

𝑥 + 3𝑦 2

= 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝒚 + 𝟗𝒚𝟐

6

3+ 𝑦12

2

= 𝟐

𝟑+𝟐

𝟑𝟔𝒚 + 𝒚

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Quadrado da diferença

Indicado por: a menos b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:

(a - b)² ou (a - b)(a - b)

Forma expandida:

(a - b)² = (a - b)(a - b) = a.a – a.b – b.a + b.b = a² - 2ab + b²

Então: (𝒂 − 𝒃)² = 𝒂² − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃²

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Geometria do quadrado da diferença

Observe que a área do quadrado de lado (a - b) vermelho pode ser obtida subtraindo a área dos dois retângulos rosas e a área do quadrado laranja . Ou seja:

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a

a

b

b

(a – b)

(a – b) (a – b)²

b(a – b)

b(a – b)

b²

𝒂𝟐− 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = 𝒂 − 𝒃 𝟐 𝒂 − 𝒃 𝟐= 𝒂 − 𝒃 𝒂 − 𝒃

b

b

a

Quadrado da diferença

Exemplo:

• (𝒙 − 𝟒)² = 𝑥² − 2 (𝑥)(4) + 4² = 𝑥² − 8𝑥 + 16

• (𝟑𝒙 − 𝒚)² = (3𝑥)² − 2 (3𝑥)(𝑦) + 𝑦² = 9𝑥² − 6𝑥𝑦 + 𝑦²

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Vamos praticar...

8

3− 𝑦4

2

= 𝟖

𝟑 − 𝟐𝒚𝟒

𝟖

𝟑 + 𝒚𝟖

9𝑥

7− 𝑧

2

+ 33−1

= 𝟖𝟏𝒙𝟐

𝟕−𝟏𝟖

𝟕𝒙𝒛 + 𝒛𝟐 + 𝟑

𝟑

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Produto da soma pela diferença

Indicado por: quadrado do primeiro termo (a) menos o quadrado do segundo termo (b):

(a + b)(a – b) = a² - b²

Forma expandida:

(a + b)(a - b) = a² - ab + ba – b² = a² - ab +ab - b² = a² - b²

Então:(𝒂 + 𝒃)(𝒂 – 𝒃) = 𝒂² − 𝒃²

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Produto da soma pela diferença

E quando é necessário utilizar outros expoentes?

Utiliza-se a seguinte fórmula:

𝒂𝒏 − 𝒃𝒏 = 𝒂 − 𝒃 (𝒂𝒏−𝒌. 𝒃𝒌−𝟏)

𝒏

𝒌=𝟏

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Geometria do produto da soma pela diferença

Considere um retângulo de lados com medida (a + b) e (a – b).

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a

b

a b

(a - b)

(a + b)

a b

b

a

A área dos retângulos vermelhos é: (𝒂 + 𝒃)(𝒂 – 𝒃)

A área da figura obtida pode ser expressa por 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐

Produto da soma pela diferença

Exemplo:

• 𝟓𝒙 + 𝒚 𝟓𝒙 − 𝒚 = 25𝑥2 − 5𝑥𝑦 + 5𝑥𝑦 – 𝑦2 = 25𝑥² − 𝑦²

• 𝒙𝟐 − 𝒙 𝒙𝟐 + 𝒙 = 𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥3 − 𝑥2 = 𝑥⁴ − 𝑥²

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Vamos praticar...

6

3+ 𝑦126

3− 𝑦12

= 𝟐

𝟑− 𝒚

𝑏3 +3𝑐

5𝑏3 −

3𝑐

5

= 𝒃𝟔 −𝟗𝒄𝟐

𝟐𝟓

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Cubo da soma

Indicado por: a mais b ao cubo é igual ao cubo do primeiro mais três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo:

(a + b)³= (a + b)(a + b)²

Forma expandida: (a + b)³ = (a + b)(a + b)² = (a + b)(a² + 2ab + b²) =

= a³ + 2a²b +ab² + ba² + 2ab² + b³ = = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Então:(𝒂 + 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑

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Cubo da soma

Exemplo:

• (𝒙 + 𝟑)³ = 𝑥³ + 3(𝑥²)(3) + 3(𝑥)(3²) + 3³ = = 𝑥³ + 9𝑥² + 27𝑥 + 27

• (𝟐𝒂 + 𝒃)³ = (2𝑎)³ + 3(2𝑎)²(𝑏) + 3(2𝑎)(𝑏²) + 𝑏³ = 8𝑎³ + 12𝑎²𝑏 + 6𝑎𝑏² + 𝑏³

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Vamos praticar...

(2𝑎 + 𝑦3)3

= 𝟖𝒂𝟑 + 𝟏𝟐𝒂𝟐𝒚𝟑 + 𝟔𝒂𝒚𝟔 + 𝒚𝟗

612 + 𝑥2

3

= 𝟔𝟑

𝟐 + 𝟏𝟖𝒙𝟐 + 𝟑 𝟔𝒙𝟒 + 𝒙𝟔

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Cubo da diferença

Indicado por:a menos b ao cubo é igual ao cubo do primeiro menos três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, menos o cubo do segundo.

(a - b)³= (a - b)(a - b)²

Forma expandida:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)² = (a - b)(a² - 2ab + b²) =

= a³ - 2a²b + ab² - ba² + 2ab² - b³ =

=a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Então:(𝒂 − 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 − 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑

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Cubo da diferença

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Exemplo:

• (x - 4)³ = x³ - 3(x²)(4) + 3(x)(4²) - 4³ =

x³ - 12x² + 48x - 64

• (3a + b)³ = (3a)³ + 3(3a)²(b) + 3(3a)(b²) + b³ =

27a³ + 27a²b + 9ab² + b³

Vamos praticar...

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³)³2( ya

²)³7

5( a

966³²12³8 yayyaa

64

7

15²

7

75

77

125aaa

Produto de Stevin

Definição: É o produto de qualquer número de binômios do 1º grau, da forma (x + a), onde a é um número real ou complexo.

Para dois binômios, teremos:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab

Para três binômios, teremos:

(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc

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Produto de Stevin

Exemplo:

• (𝒙 + 𝟏𝟎)(𝒙 − 𝟗𝟎) = 𝑥2 − 80𝑥 − 900

• (𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟏𝟓)(𝒙 + 𝟔) = 𝑥3 − 7𝑥2 − 108𝑥 − 180

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Vamos praticar...

• (𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟓) = 𝑥2 + 7𝑥 + 10

• (𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟒) = 𝑥3 + 9𝑥2 + 26𝑥 + 24

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Obrigada pela atenção!

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