Joyce Danielle de Araújo - Engenharia de produção

Inequação do Segundo Grau

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.1

Introdução

• As inequações representam uma desigualdade matemática. Elas são identificadas pelos sinais >(maior), <(menor), ≤(menor igual), ≥(maior igual).

• São inequações do 2º grau ou quadráticas, as inequações constituídas por uma lei matemática com a forma de ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0, acompanhada do sinal de desigualdade. Assim é uma inequação do segundo grau, por exemplo, 3x² +2x –5 > 0 onde a = 3, b = 2 e c = -5.

Exemplos de Inequações do 2º Grau

ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c ≥ 0

ax² + bx + c < 0

ax² + bx + c ≤ 0

ax² + bx + c ≠ 0

Sendo a ≠ 0.

Soluciando Inequações do 2º Grau

Para solucionar inequações do 2º grau deve-se:

1 – Determinar as raízes das funções;

2 – Representar graficamente a função a partir dos pontos determinados com o cálculo das raízes e com a análise do coeficiente a;

3 – Aplicar os conceitos de estudo do sinal;

4 – Analisar os resultados e obter a resposta da inequação.

Exemplo:

Determine o conjunto solução da inequação:

x² - 5x + 8 < 0

Solução:

Etapa1: Vamos encontrar as raízes da função. Observe que neste caso, queremos encontrar os valores onde a função é negativa. Assim:

Δ = (-5)² - 4.1.8 Δ = 25 – 32 Δ = -7

Ao colocarmos na fórmula de Bhaskara, vamos obter uma raiz quadrada negativa, logo ela não vai pertencer ao conjunto dos reais.

Continuando:

Etapa2: Como os valores das raízes encontradas não irão pertencer ao conjunto dos reais, a parábola não irá cortar o eixo x. Como sabemos que a =1, portanto a > 0, a parábola apresenta a concavidade para cima.

Etapa 3 e 4: Como

queremos f(x) < 0,

estamos buscando os

valores onde a função é

negativa, porém o gráfico

mostra que a função não

tem valores negativos:

S = { }

Exercícios:

1. Encontre o conjunto solução das inequações

abaixo:

a) x² - 6x + 8 < 0

b) x² - 2x + 1 > 0

Sistema de Inequações do 2º grau

Para resolver um sistema de inequações podemos resolver cada uma das inequações separadamente e, em seguida, fazer a intersecção dos conjuntos solução.

Exemplo:

1. Resolva o sistema: 𝑥2 − 6𝑥 + 9 ≥ 0

3𝑥 − 6 > 0

Determinando os zeros das funções f(x) = x² - 6x + 9 e

g(x) = 3x – 6

Em f(x) = x² - 6x + 9

Δ = (-6)² - 4.1.9 Δ = 0

x’ = x’’ = 3

Queremos que f(x) ≥ 0 e g(x) > 0.

Em g(x) = 3x – 6

3x – 6 = 0

3x = 6

X = 2

Continuando:

Estudando os sinais das funções:

Indicando os valores de x que satisfazem as inequações:

V1 = R V2 = {x ∈ IR/ x > 2}

Continuando:

Fazendo a intersecção dos conjuntos soluções:

V = {x ε IR/ x > 2}

Inequeção-Produto

Considerando f(x) e g(x) funções da variável x, chamamos de inequação-produto desigualdades como:

A resolução de uma inequação-produto pode ser feita com o estudo dos sinais das funções separadamente, seguido da determinação dos sinais do produto f(x).g(x) e posteriormente, identificando os valores de x que satisfazem a inequação-produto.

f(x).g(x) > 0, f(x).g(x) ≥ 0, f(x).g(x) < 0, f(x).g(x) ≤ 0

Exemplo:

1. Determine o conjunto solução da inequação-produto:

(x² - 7x + 10).(6x + 12) ≥ 0 Solução: Determinando os zeros das funções f(x) = x² - 7x +

10 e g(x) = 6x +12 x² - 7x + 10 = 0 Δ = (-7)² - 4.1.10 = 9 x1 = (7+3)/2 = 5 x2 = (7-3)/2 = 2

6x + 12 = 0

6x = -12

x = -2

Vamos estudar os sinais das funções

Continuando:

Estudando os sinais das funções:

Queremos que f(x).g(x) ≥ 0.

Continuando:

Estudando os sinais do produto das funções:

Identificando os valores de x que satisfazem a inequação, temos:

S = {x ε IR/ -2 ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 5}

Inequação-Quociente

Considerando f(x) e g(x) funções de variável x, chamamos de inequação-quociente desigualdades como:

Na resolução de uma inequação-quociente devemos lembrar que o denominador deve ser diferente de zero e a regra de sinais é a mesma, tanto para multiplicação como para divisão, no conjunto dos reais.

Exemplo:

Determine o conjunto solução da inequação-quociente:

Determinando o zero das funções f(x) = -x² + 4x–3 e g(x) = -x+2:

-x² + 4x–3 = 0 Δ = 4² - 4.(-1).(-3) = 4

x1 = (-4+2)/(-2) = 1 x2 = (-4-2)/(-2) = 3

-x + 2 = 0

-x = -2

x = 2

Continuando:

Estudando o sinal das funções:

Queremos que f(x)/g(x) ≥ 0.

Continuando:

Estudando os sinais do quociente das funções:

Identificando os valores de x que satisfazem a inequação, temos:

S = {x ε IR/ 1 ≤ x < 2 ou x ≥ 3}

Exercícios:

1. Resolva as inequações abaixo:

a) x² + 2x – 5 ≤ -3x + 1 ≤ 4x² + x +2

b) (x² – 2x + 1).(-x + 6) < 0

x + 4

Obrigado pela atenção!

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