Curso: Engenharia de Produção

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Curso: AMP

Processos Estocásticos

PROF.HARETON TRALBACK

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Dentro da teoria das probabilidades, um processo

estocástico é uma família de variáveis

aleatórias representando a evolução de um sistema

de valores com o tempo.

É a contraparte probabilística de um processo

determinístico. Ao invés de um processo que possui

um único modo de evoluir, como nas soluções

de equações diferenciais ordinárias, por exemplo, em

um processo estocástico há uma indeterminação:

mesmo que se conheça a condição inicial, existem

várias, por vezes infinitas, direções nas quais o

processo pode evoluir.

• Em casos de tempo discreto, em oposição ao tempo contínuo, o processo estocástico é uma sequência de variáveis aleatórias, como por exemplo uma cadeia de Markov. As variáveis correspondentes aos diversos tempos podem ser completamente diferentes, o único requisito é que esses valores diferentes estejam todos no mesmo espaço, isto é, no contradomínio da função.

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• Uma abordagem possível é modelar as variáveis aleatórias como funções aleatórias de um ou vários argumentos determinísticos, na maioria dos casos, em relação ao parâmetro do tempo. Apesar dos valores aleatórios de um processo estocástico em momentos diferentes parecerem variáveis aleatórias independentes, nas situações mais comuns eles exibem uma complexa dependência estatística.

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Exemplo de processos estocásticos incluem

flutuações nos mercados de ações e nas taxas de

câmbio, dados médicos como temperatura, pressão

sanguínea e variações nos potenciais elétricos do

cérebro registrados em um eletroencefalograma,

fluxo turbulento de um líquido ou gás, variações

no campo magnético da Terra, mudanças aleatórias

no nível de sinais de rádio sintonizados na presença

de distúrbios meteorológicos, flutuação da corrente

em um circuito elétrico na presença de ruído térmico,

movimentos aleatórios como o movimento

Browniano ou passeios aleatórios, entre outros.

• Uma generalização de um processo estocástico, o campo aleatório é definido ao permitir que as variáveis sejam parametrizadas por membros de um espaço topológico ao invés do tempo. Exemplos de campos aleatórios incluem imagens de estática, topografia, ondas de superfície e variações na composição de um material heterogêneo.

• Mais genericamente, seguindo Kac e Nelson, qualquer tipo de evolução temporal, determinística ou essencialmente probabilística, que seja analisável em termos de probabilidade pode ser chamada de processo estocástico.

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Sumário• Probabilidade

• Variáveis Aleatórias

• Funções de Uma Variável Aleatória

• Funções de Várias Variáveis Aleatórias

• Momentos e Estatística Condicional

• Teorema do Limite Central

• Processos Estocásticos

• Análise Espectral

• Filtragem e Predição Estocástica

• Processos Markovianos

Probabilidade

• Definições de probabilidade

• Freqüência relativa

• Axiomas da probabilidade

• Métodos de Contagem

• Probabilidade Condicional

• Teorema de bayes

Introdução• Fenômenos Determinísticos

• Conhecidos com certeza

• Não sujeitos às leis do acaso• Ex.: o ano atual, idade de uma pessoa jovem

• Fenômenos Probabilísticos• Não conhecidos com certeza

• Sujeitos às leis do acaso• Ex.: face de um dado, se vai chover amanhã, se o Remo vai ser

campeão

Introdução

• Experimentos que ao serem repetidos nas mesmas condições não produzem o mesmo resultado são denominados de experimentos aleatórios.

• Mas por quê isto ocorre?

Experimento

Entradas/causas

observadas Saídas/efeitos

observados

Entradas/causas

observadas

Espaço Amostral

• Definiremos Espaço Amostral (S) associado a um experimento o conjunto de seus resultados possíveis.• Conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer.

• Pode ser discreto (finito ou infinito) ou contínuo.

Exemplos de Espaço Amostral

• Exemplo1: Experimento de lançamento de um dado.• O espaço amostral do experimento é o conjunto S = {1,2,3,4,5,6}.

• Exemplo2: Experimento de lançamento de dois dados simultaneamente.• O espaço amostral do experimento é o conjunto S(primeira face, segunda

face) = {????}

Exemplos de Espaço Amostral

• Exemplo3: Experimento de obtenção do tempo de vida de uma lâmpada.• O espaço amostral do experimento é o conjunto S = {x: x real, x>0}.

• Processo estocástico é uma seqüência de experimentos, no qual cada um tem um número finito de resultados, com uma dada atribuição de probabilidade

Exemplos de Processos Estocásticos

• Processo estocástico do exemplo1.

• Processo estocástico do exemplo3.

• Como um fabricante deve calcular o tempo de garantia de um produto seu. Uma TV, por exemplo?

Eventos

• São qualquer subconjunto de um Espaço Amostral.

• Os eventos podem ser simples ou compostos

• S evento certo

• Ø evento vazio (impossível)

Exemplos de Eventos

• Exemplo1: • Dar um número par

• Dar um número maior que 4

• Dar um número entre 1 e 6

• Exemplo2:• A soma dos resultados seja igual a 4

• Que a soma dos resultados seja par

Operações entre Eventos

• União: A U B Se ocorrer pelo menos um dos eventos

• Interseção: A B Se ocorrer ambos os eventos

• Complementar: Ac É o evento que ocorre

quando A não ocorrer.

A B

Exemplos de Operações com Eventos

• Uma urna contém bolas de um a quinze. Uma bola é retirada da urna e seu número anotado. Sejam A e B os seguintes eventos: A: o número da bola retirada é par, B: o número da bola retirada é múltiplo de 3. Determine:• S,A, B, AUB, A B e Ac

Operações entre Eventos

• Implicação: A B, A implica em B.

• Igualdade: A B e A B A = B.

• Mutuamente exclusivo: A B = Ø

• Se a união de n eventos mutuamente exclusivos é o próprio S, dizemos que tais eventos são mutuamente exclusivos e exaustivos, ou formam uma partição em S.

• Exemplos em diagrama de Venn