UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

DEPARTAMENTO: MATEMÁTICA Y ESTADISTICA

CURSO DE INGRESO DE MATEMÁTICA

CARRERAS: PROFESORADO EN BIOLOGÍA LICENCIATURA EN Cs BIOLOGICAS

INGRESANTES 2012 DOCENTES: PERALTA, JAVIER MAIZA, MELIZA BIZOTTO, ANDRES LEGUIZAMON, CLAUDIA CICLO ACADÉMICO: 2012

2

FUNDAMENTOS: Partimos de la base de que los comienzos en la Universidad no son fáciles y los estudiantes necesitan un periodo de adaptación hasta que consiguen integrarse plenamente en el entorno Universitario. Si a esta situación además le añadimos que, en particular, las asignaturas de matemáticas dependen en su gran medida de lo que anteriormente haya aprendido el alumno, enseguida nos damos cuenta de que es necesario homogeneizar los diferentes conocimientos matemáticos que poseen los alumnos antes de que empiece el curso oficial. En esto consiste la finalidad de este curso de Ingreso de Matemática, puesto que dicho curso está centrado en aportar a los alumnos de primer año de estudios universitarios algunos complementos en formación matemática, mayor agilidad, destreza y entrenamiento en la resolución de problemas básicos de matemáticas. Se pretende además que los alumnos adquieran un hábito de estudio adecuado a esta disciplina. El enfoque será fundamentalmente práctico, centrado en la resolución de problemas y en la participación activa del alumno para que tenga un buen rendimiento a lo largo de la cursada

OBJETIVOS:

Adquirir hábitos de estudio acordes al nivel universitario.

Adquirir agilidad en el manejo de las operaciones básicas y sus propiedades.

Interpretar y resolver problemas básicos referentes a proporcionalidad y porcentaje.

Reconocer las diversas expresiones algebraicas y operar con ellas.

METODOLOGIA: Debido al carácter práctico de este curso, se expondrán brevemente en el pizarrón las herramientas teóricas. Los esfuerzos centraran en presentarles a los alumnos distintas técnicas y formas de trabajo para la resolución de la guía práctica.

CONTENIDOS MINIMOS:

Operaciones básicas. Propiedades de las operaciones. Expresiones algebraicas. Polinomios. Operaciones con polinomios. Factorización de expresiones algebraicas. Proporcionalidad y Porcentaje.

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EVALUACION: Se tomara una evaluación de los contenidos propuestos, con el fin de analizar los resultados del curso, y en total de acuerdo con la Resolución prevista para el Ingreso 2012. Esta evaluación no es vinculante con ninguna de las asignaturas del diseño curricular.

TEMAS A DESARROLLAR POR SEMANA

Semana 1: Propiedades de las operaciones básicas con números enteros y racionales. Semana 2: Expresiones algebraicas. Polinomios. Operaciones con polinomios Semana 3: Factoreo. Simplificación de expresiones algebraicas. Semana 4: Proporcionalidad y Porcentaje. Resolución de problemas

4

Números Enteros

El conjunto de números enteros se designa con la letra , este conjunto esta formado por:

Enteros positivos (Z+): +1, +2, +3,... (que también se anotan: 1, 2, 3…)

El cero: 0

Enteros Negativos (Z-): -1, -2, -3, -4,…

VALOR ABSOLUTO: Se llama valor absoluto de un número entero a y se lo indica a

(se lee: valor absoluto de a), a la distancia desde el número a hasta el cero.

Ejemplo: 55 88 00 55

Suma de Números enteros:

Regla practica para sumar dos números enteros:

Si los sumandos tienen el mismo signo, sumamos los valores absolutos y le

asignamos al resultado el signo de los sumandos.

Ejemplo: (-5) + (-1) = -6 , 9 + 4= 13

Si los sumandos tienen distintos signos, restamos sus valores absolutos y le

asignamos al resultado el signo del número de mayor valor absoluto.

Ejemplo: 8 + (-2) = 6 , (-10) + 7 = -3

Resta de Números enteros:

Restar un número entero es lo mismo que sumar su opuesto, es decir:

a – b = a + (-b) y a – (-b) = a + b

Ejemplos: 12 – 20 = 12 + (-20) = -6 ; 30 – (-10) = 30 + 10 = 40

Resuelvan las siguientes operaciones

a) 150 – (14 – 6) = e) 40 + 35 + 3 – 10 – 9 =

b) (11- 5) – (9 – 3) = f) 3 – 2 – (-8) + 4 – 10 – 6 =

c) (4 – 3) + (5 – 2) = g) – (-10) + (-8) – 3 + (-1) =

d) (9 - 4) – (9 + 4) = h) -1 – 2 – 3 + (-6) – (-4) =

Multiplicación y división de Números enteros:

Para multiplicar y para dividir dos números enteros debemos tener en cuenta esta regla:

Si los dos tienen el mismo signo, el resultado es positivo.

(+) . (+) = + (+) : (+) = +

( -) . ( -) = + ( -) : ( -) = +

Ejemplos: (+3).(+7) = 21 (+28) : (+7) = +4

(-6) . (-8) = 48 (-45) : (-9) = +5

5

Si los dos tienen distintos signos, el resultado es negativo.

(+) . ( -) = - (+) : ( -) = -

( -) . (+) = - ( -) : (+) = -

Ejemplos: (+5).(-9) = -45 (+24) : (-6) = -4

(-6). (+4) = -24 (-30) : (+5) = -6

Nota: la división en cero no está definida, por lo tanto es imposible dividir cualquier

número entero en cero. Es decir el divisor tiene que ser un número distinto de cero.

( )

Regla práctica: El producto o cociente de varios números enteros distintos de cero es otro

entero tal que:

Es positivo si la cantidad de factores negativos es par

Es negativo si la cantidad de factores negativos es impar.

Ejemplos: (-1)•(-2)•(+5)•(+1)•(+3) = +30 2 factores negativos

(-1)•(-2)•(+5)•(+1)•(-3) = -30 3 factores negativos

Resuelva los siguientes productos:

a) (-8)•(+9)•(-4) =

b) (-4)•(-5)•(-6)•(-8) =

c) (-30)•(+4)•(-5) =

d) (-8)•(-10)•(+2)•(-3) =

Resuelva los siguientes cocientes:

a) (-24) : (-8) =

b) (-56) : (-7) =

c) (33) : (-11) =

d) (-36) : (+12) =

Potenciación de Números enteros:

La potenciación es una operación entre dos números a y n, llamados base y exponente,

respectivamente.

Notación: an = p, a se llama base, n se llama exponente (con n numero natural) y p se

llama potencia

Podemos decir que la potenciación es una forma abreviada de escribir una multiplicación

de factores iguales, es decir: ⏟

(n veces multiplicamos a por sí mismo)

Si la base de una potencia es un número entero, este puede ser positivo o negativo, y por

lo tanto se presentan dos situaciones:

6

1) si el exponente es un número par el resultado de la potencia es siempre un número

positivo:

Ejemplos: 72 = 49 (-3)

2 = 9 2

6 = 6 (-5)

2 = 125

2) si el exponente es un número impar el resultado de la potencia lleva el signo de la base.

Ejemplos: (-2)2

= +4 (-2)4

= +16 22 = +4

(-2)3

= -8 (-2)5

= -32 25 = +32

Calcule cada una de las siguientes potencias:

a) (-8)2 = c) (-2)

5 = e) (-1)

0 =

b) (-10)3 = d) (+3)

3 = f) 34

1 =

Casos particulares:

Todo número a distinto de cero elevado al exponente 0 es igual a uno: a0 = 1

Todo numero entero b elevado al exponente 1 es igual a b.

Propiedades de la potenciación:

- Producto de potencias de igual base:

Ejemplo:

- Cociente de potencias de igual base:

Ejemplo:

- Potencia de otra potencia: ( )

Ejemplo: ( )

- La potenciación no es distributiva respecto de la adición y sustracción de números

enteros.

( )

Radicación de Números enteros:

La radicación es una operación entre dos números a y n , ban Donde a se llama radicando, n es el índice y b es la raíz, y se define como

abba nn

Ejemplos: 283 pues 23 = 8

283 pues (-2)3 = -8

7

4 16 No es posible en Z pues ningún número entero elevado a un exponente par

da por resultado en número negativo

(+2)4 = 16

2164 pues

(-2)4 = 16

Regla de los signos: Si el índice es impar la raíz tiene el mismo signo del radicando.

Si el índice es par y el radicando es positivo, las raíces son dos números opuestos.

Si el índice es par y el radicando es negativo, la raíz es imposible en .

Ejemplos: √ , √

, √

,

Calcular las siguientes raíces:

a) 3 1000 b) 4 16 c) 5 32

d) 6 64 e) 3 125

Propiedades de la radicación:

- Raíz de un producto: √

√

√

Ejemplo: √

√

√

- Raíz de un cociente: √

√ √

Ejemplo: √ √ √

- Raíz de otra raíz: √ √

√

Ejemplo: √√

√

√

- La radicación no es distributiva respecto de la adición y sustracción de números enteros.

√ √ √

√

Números Racionales

Se llama número racional al cociente entre dos números enteros a y b (con b distinto de

cero). Para simbolizarlos se lo escribe del siguiente modo:

a Numerador de la fracción

b Denominador de la fracción

El conjunto de los números racionales está formado por el conjunto de los números enteros

y los números fraccionarios y se representan con la letra .

Los números racionales pueden expresarse mediante una fracción o una expresión decimal.

Ejemplos: 2 = 4 0,5 = 1 -5 = -15 1,4 = 7 0 = 0

2 2 3 5 9

8

Simplificación de Fracciones:

Para simplificar fracciones dividimos al numerador y al denominador por el mismo

número.

Ejemplo: 120 puede simplificarse por 5; entonces 120 : 5 = 24 .

210 210 : 5 42

Podemos seguir simplificando esta fracción hasta obtener una fracción irreducible.

Operaciones con Números Racionales:

Suma:

Definición: d.b

bcad

d

c

b

a

Ejemplos: A) 35

31

35

1021

7.5

5.27.3

7

2

5

3

B)96

76

96

3640

8.12

12.38.5

8

3

12

5

Cuando aplicamos la definición debemos simplificar el resultado, siempre que sea posible.

Calcula las siguientes sumas:

a) 12

5

24

7 d)

15

7

10

3

6

1

5

9

b) 60

11

15

8

5

7 e)

15

3

80

1

40

3

20

7

c) 12

5

6

1

8

3

Resta de números Racionales:

Regla: Para restar dos números racionales, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

d

c

b

a

d

c

b

a

Ejemplo: 12

11

12

209

12

4.53.3

3

5

4

3

3

5

4

3

Realiza las siguientes operaciones:

a) 12

1

8

3 c) 1

5

2

3

1 d)

6

7

3

2

3

52

b) 2

74 d)

2

5

4

1

8

3

9

Multiplicación de números racionales

Definición:

Ejemplo: 35

6

7.5

2.3

7

2.

5

3

Cuando sea posible, conviene simplificar (numerador con denominador) antes de realizar

la operación

Ejemplo:

3 7

21

5

3.7

5.1

63

52.

53

21

5 1

La regla de los signos es la misma que enunciamos para la multiplicación de números

enteros.

Calcula los siguientes productos:

a) 7

6.

3

2 d)

55

15.

81

33.

32

36.

45

24

b) 9

4.3 e)

25

27.

72

35.

18

14.

49

16

c) 18

25.

30

21.

35

12

División de números racionales

Regla: Para dividir dos números racionales, se multiplica el primero por el inverso del

segundo y se simplifica el resultado siempre que sea posible

En símbolo: c

d.

b

a

d

c:

b

a

Calcula los siguientes cocientes:

a) 8

7:

4

3 d)

15

10:

9

4

b) 6

5:

12

5 e)

20

14:

8

7

c) 25

6:

5

4

10

Potenciación de números racionales

1) Potencia de exponente natural

Para la potencia de exponente natural sigue siendo válida la definición general de

potencia enésima, que se dio para números enteros.

En símbolo: n

nn

b

a

b

a

También son validas las definiciones para la potencia de exponente cero y de exponente

uno.

1b

a0

con

b

a

b

a1

La regla de los signos es la misma que enunciamos para la potenciación de números

enteros.

Ejemplos: (

)

(

)

9

4

3

22

27

8

3

23

2) Potencia de exponente negativo:

Toda potencia de exponente negativo se puede transformar en una potencia positiva cuya

base es la inversa de la base dada de la potencia

En símbolos: (

)

(

)

con

n

n

a

1a

Ejemplos:

a) 4-3

= 64

1

4

13

, b) (

)

(

)

, c) 32)2(

2

1 5

5

d) (

)

e) (

)

f) ( )

11

Radicación de números racionales

La definición general de raíz enésima de números enteros sigue siendo válida para los

racionales.

b

a

y

x

y

x

b

an

n

Regla practica:

n

n

n

b

a

b

a

Nota: la regla de los signos es la misma que hemos enunciado para la radicación de

números enteros

Ejemplos: 5

2

25

4 pues

25

4

5

22

7

3

243

273 pues

243

27

7

33

Calcula las siguientes potencias y raíces:

a)

3

7

5 b)

2

3

2 c)

2

2

3 d)

1

5

9 e)

4

4

1

f) 3

27

8 g) 5 100000 h) 3

64

1 i)

36

4 j) 4

81

216

Potencias con exponente fraccionario

Se llaman así a aquellas potencias cuyo exponente es un número racional.

√

Ejemplos: √ , √

, √

Calcular las siguientes potencias:

) ) )

12

Resolver los siguientes ejercicios combinados (aplicando las propiedades

correspondientes)

a) ( ) √ ( ) [ ( ) ( )]

b) √(

)

(

)

(

) (

)

c) ( ) ( ) √ √

( ) ( )

d) (

)

(

) ( ) (

)

e) ( ) ( ) ( )

f) (

)

√

(

) (

)

√(

)

g) ( ) √ ( ) ( )

h) ( ) √

i) (

)

√

(

) ( ) ( )

j) ( ) √ ( )

k) ( ) ( ) √

[ ( ) ]

l) (√

√

)

(

)

( ) ( )

Expresiones Algebraicas. Polinomios

Una expresión algebraica es una combinación cualquiera y finita de números, de letras, o

de números y letras entre sí con las operaciones adición, sustracción, multiplicación,

división, potenciación y radicación.

a) 2x + 34 b) 5y

3 + 6y -

3

1 c) m

2 + m3 d)

2

5

x

4x e)

4t5

2t2

La parte numérica de una expresión algebraica se la denomina Coeficiente y a la parte

literal se la llama Indeterminada.

En el caso que un término de la expresión este constituido solamente por la parte numérica

se lo llama a este Término Independiente

13

Si la indeterminada no está afectada por una raíz o como divisor, las expresiones

algebraicas son enteras y se denominan polinomios.

Los ejemplos c) , d) y e) no son polinomios.

Según la cantidad de términos, un polinomio se denomina:

Monomio si tiene un solo término: m2

1

Binomio si tiene dos términos: 4x2 + 5

Trinomio si tiene tres términos: 3m – 8 + m3 y

Cuatrinomio si tiene cuatro términos: 2y5 – 2y + 7 – y

2.

Generalizando una expresión que posea más de dos términos se los llama Polinomios

Los términos que tienen la misma indeterminada elevada al mismo exponente son

semejantes

Ejemplos: 4m2,

2m2

1

y m

2 son semejantes

2x y x2 son semejantes

Se denomina grado de un polinomio al mayor exponente que tiene la indeterminada de los

términos con coeficientes no nulos de un polinomio.

Ejemplos: a) P(x) = 7x + 6x2 – x

5; grado 5.

b) Q(m) = 4 – m + m3; grado 3.

c) T(s) = 5; grado 0

Se llama coeficiente principal al coeficiente que multiplica a la indeterminada de mayor

exponente.

Ejemplos: S(p) = p + 5p3 – 2p

4; coeficiente principal: -2

T(y) = y5 – 8y

4 + y; coeficiente principal: 1

Un polinomio esta ordenado si sus términos están ordenados en forma creciente o

decreciente respecto al grado de cada término que forman la expresión.

Ejemplos: a) H(x) = 3x4 +

3x2

1-

2x2

1+ x – 1

b) J(m) = 4 + m + 32 m

3

1m

2

1

c) Z(p) = p5 – 2p

2 + 7

Un polinomio esta completo si tiene todas las potencias respecto a la indeterminada de

grado mayor hasta el grado cero, estos pueden estar ordenados en forma decreciente o

creciente.

a) R(x) = 6x4 – 5x

3 + x

2 – 3x -1; esta completo. b) Q(s) = s

4 -

2s2

1- 3; esta incompleto

Para completar un polinomio se agregan los términos que faltan con coeficientes cero.

a) M(x) = x5 + 3x

3 – 1 = x

5 + 0x

4 + 3x

3 + 0x

2 + 0x – 1

b) N(m) = 4m4 + 2m

2 = 4m

4 + 0m

3 + 2m

2 + 0m + 0

c) K(s) = s6 – 3 = s

6 + 0s

5 + 0s

4 + 0s

3 + 0s

2 + 0s – 3

14

Adición y Sustracción de polinomios.

La suma de varios monomios semejantes es otro monomio semejante cuyo coeficiente es la

suma de los coeficientes de los monomios dados.

Ejemplos: a) 2x3 + x

3 + 6x

3 = 9x

3 b) 6m

5 +

5m2

1 + m

5 =

5m2

15

c) y + 2y +5y = 8y

* Para restar dos monomios se suma al minuendo el opuesto del sustraendo

P(m) = 6m4 y Q(m) = -3m

4 P(m) – Q(m) = 6m

4 + 3m

4 = 9m

4

Para sumar varios polinomios entre sí, se completan y ordenan, luego se encolumnan sus

términos semejantes y se suman los coeficientes de los mismos.

Ejemplo: Dados: P(x) = -3 + 2x2 – 5x

3 + x

4; y Q(x) = -9x

3 + x

2 + x – 1.

P(x) + Q(x)

x4 – 5x

3 + 2x

2 + 0x – 3

+ 0x4 – 9x

3 + x

2 + x – 1

x4 – 14x

3+ 3x

2 + x – 4

Para restar dos polinomios, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

Ejemplo: Dados: M(p) = -2p + 3p2 -

3p2

1- 7; y N(p) = 3p – 5p

2 – p

4 + 2.

M(p) - N(p)

0p4 -

3p2

1+ 3p

2 – 2p – 7

+ p4 - 0p

3 + 5p

2 – 3p – 2

p4

- 3p

2

1+ 8p

2 – 5p – 9

Ejercicio: dados los siguientes polinomios hallar las siguientes sumas y restas que se

indican:

P(x) = 3x + x3 – 5 ; q(x) = -4x

3 + 2x - 7; r(x) = 5x – 2x

3 + x

2 + 6;

s(x) = 6x3 – 8x + 1; U(x) =

3xx2

1

5

4

a) p(x) + q(x) + r(x) = d) s(x) - r(x) + p(x) =

b) r(x) + s(x) + u(x) = e) u(x) – [s(x) + q(x)] =

c) q(x) - p(x) + U(x) =

Multiplicación de Polinomios

Para multiplicar dos monomios se deben multiplicar los coeficientes y las indeterminadas

entre sí, aplicando la regla de los signos y las propiedades de la potenciación antes

mencionadas:

Ejemplos: a) 3x.2x = 6x2 b) 10x

4. (-5x

4) = -50x

8 c) (-6x

5).(-3x

2) = 18x

7

15

Para multiplicar un polinomio por un número real, se aplica la propiedad distributiva de la

multiplicación respecto de la suma y resta: acabc)a(b

Ejemplo: -3 12xx6x3x3

1)3(x2)3(x34x

3

1x2x 232323

Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva, efectuando luego la

multiplicación de monomios: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Ejemplo: P(m) = 2m2 – 5m + 2; y Q(m) = 3m

2 – m

P(m) .Q(m) = (2m2 – 5m + 2)( 3m

2 – m)

= 2m2.3m

2 + 2m

2(-m) + (-5m).3m

2 + (-5m)(-m) + 2.3m

2 + 2(-m)

= 6m4 – 2m

3 – 15m

3 + 5m

2 + 6m

2 – 2m

P(m) .Q(m) = 6m4 – 17m

3 + 11m

2 – 2m

Resuelvan los siguientes productos de polinomios

a)

6448162

2

1 2 xxx d)

1y3y2yy

3

2 23

b) (5s2 – s

3 + 4s)(-3s +7) = c) (p

4 – 3p

2 + 3p)(5p

2 + p - 2) =

Productos notables:

Cuadrado de un binomio: el cuadrado de un binomio se desprende del siguiente producto

de un binomio por sí mismo dos veces.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

En síntesis: ( )

Ejemplos:

a) (x + 3)2 = x

2 + 2.3x + 3

2 = x

2 + 6x +9

b) 432222

22

2 xx3x4

9xxx

2

32x

2

3xx

2

3

Cubo de un binomio: el cubo de un binomio se desprende del siguiente producto de un

binomio por sí mismo tres veces.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

En síntesis: ( )

Ejemplos:

a) (x + 4)3 = x

3 + 3.4.x

2 + 3.4

2x + 4

3 = x

3 + 12x

2 + 48x + 64

b) (2x – 3)3 = (2x)

3 + 3(-3)(2x)

2 + 3.2x.(-3)

2 + (-3)

3 = 8x

3 – 36x

2 + 54x -27

16

Desarrollen los siguientes cuadrados y cubos de un binomio:

a) (2x + 1)2 = b)

2

33

1

x = c) (x +

5

3)2 = d) (-4x

3 – 3)

2 =

e) (-5 + 2x)3 = f) (-2x – 3)

3 = g)

3

3

2

x = h)

323 23 xx

División de Polinomios. Regla de Ruffini

La Regla de Ruffini es un método practico que se utiliza para dividir un polinomio P(x) por

otro cuya forma sea x - a, siendo a un número real.

Dados P(x) = 5x3 - 4x – 42 y Q(x) = x – 3

5 0 -4 -42 Coeficientes del dividendo

completo y ordenado

Opuesto de a sumar sumar sumar

3 15 45 123

Multiplicar 5 15 41 81 Resto de la división

Cociente: 5x2 + 15x + 41 el cociente siempre resulta de un grado menor que el dividendo

Ejemplos:

a) (m3 – m + 2) : (m – 2) b) (2p

4 + 5p

2 – p -5) : (x + 2)

1m3 + 0m

2 – 1m + 2 Dividendo 2p

4 + 0p

3 + 5p

2 – 1p -5 Dividendo

1 0 -1 2 2 0 5 -1 -5

2 2 4 6 -2 -4 8 -26 54

1 2 3 8 2 -4 13 -27 49

Cociente: m2 + 2m + 3 Cociente: 2p

3 – 4p

2 + 13p -27

Resto: 8 Resto: 49

Aplicar la Regla de Ruffini para resolver cada una de las siguientes divisiones:

a) (x4 – 5x

3 + 3x – 9) : ( x + 2) = c) (1 + x

7) : (1 + x) =

b) (a2 + a - 56) : (a - 7) = d) (x

2 – 4) : (-2 + x) =

17

Utilizando las operaciones con polinomios, las propiedades de la potenciación y radicación

reduzca las siguientes expresiones algebraicas:

1) 52 .xx 2) 72 .xx 3) 3

6

x

x 4)

9

2

y

y

5) x

xx 33 32 6) 62y 7) 54z 8) xx 5.6

9) 3

225

x

xx 10)

73.xx 11) 9 1125 .. yyy

12) 52

7

y

yy 13)

x

x 23

14)

z

z3

2 15)

y

yy3

3

16) x

x

2 17) 113.yy 18) 253 zz 19)

3

52

x

x

20) 43 .yy 21) 42 . zz

22)

4

32

4

2

x

x 23)

x

x

5

4525

24) 352 2. yyy 24) 3222 2. xxx 26) 4

3

.2

xx

27)

1

)1( 5

x

x

Factorización de Polinomios

Factorizar un polinomio, de n términos es expresarlo como un producto de polinomios

primos.

Para ello utilizamos lo que se conoce con el nombre de Casos de Factoreo

1° caso: Factor común

El factor común de una expresión algebraica puede ser la indeterminada de dicha expresión

elevada a la menor potencia, el Máximo Común Divisor de todos los coeficientes del

mismo o ambos.

Primero se debe reconocer cual es el factor que se repite en cada término y luego, para

encontrar el factor que va entre paréntesis, se divide cada término por el factor común.

18

Ejemplos:

a) P(x) = 2x2 – 4x

En primer lugar buscamos el factor común tanto de la parte numérica como de la literal.

El divisor de 2 y 4 es 2. La indeterminada de menor grado es x. Por lo tanto el factor

común de la expresión es 2x

Dentro del paréntesis va lo que resulta de dividir cada término por 2x que es el factor

Común de los dos Términos.

P(x) = 2x . (x – 2) Expresión factorizada de P(x) a través del factor común

b) P(x) = -12x6 + 6x

5 – 15x

3 = 3x

3. (-4x

3 + 2x

2 – 5)

Factorizar los siguientes polinomios utilizando el 1° caso:

a) 16ax5y – 6ax

3y

2 b)

25 x32

3x

4

3

2° caso: Factor Común por grupos

Se aplica factor común por grupos a polinomios que no tienen un factor común en todos

sus términos.

Para aplicar este caso se deben tener en cuenta las siguientes condiciones:

Cantidad par de términos.

Formar grupos de igual cantidad de términos.

Extraer el factor común de cada grupo.

Luego extraer el factor común de cada grupo.

Ejemplos: P(x) = x5 – 2x

4 – 3x + 6

P(x) = (x5 – 2x

4) + (-3x + 6) Se forman grupos de igual cantidad de términos, de

forma tal que en cada uno de ellos haya un factor

x4 -3 común

P(x) = x4 (x – 2) – 3 (x – 2) En cada término debe aparecer el mismo factor

para poder extraerlo nuevamente como factor común.

P(x) = (x – 2)(x

4 – 3) Al sacar nuevamente factor común, la expresión

queda factorizada a través del factor común por grupo

b) Q(x) = 3x3 + 3x

2 + 2x + 2

= (3x3 + 3x

2) + (2x + 2)

= 3x2(x + 1) + 2(x + 1)

Q(x) = (x + 1)(3x2 + 2)

Factoricen los siguientes polinomios utilizando el 2° caso:

a) x5 – x

4 + x

2 – x d) 2x

5 – x

4 + 6x

3 – 3x

2 + 8x - 4

19

3° caso: Trinomio Cuadrado Perfecto

Llamamos trinomio cuadrado perfecto a un polinomio de tres términos que tenga esta

forma: a2 + 2 . a . b + b

2 y lo factorizamos expresándolo como el cuadrado del binomio:

a2 + 2 . a . b + b

2 = (a + b)

2

Para aplicar este caso se deben tener en cuenta las siguientes condiciones:

Debe ser un trinomio

Tener dos términos cuadráticos perfectos

El término restante debe ser el doble producto de las bases de los otros dos

términos.

Ejemplos:

a) P(x) = x2 + 6x + 9 = x

2 + 2 . 3x + 3

2 = (x + 3)

2

x 3

b) Q(x) = x6 – 6x

3 + 9 = (x

3)2 + 2 . (-3)x

3 + (-3)

2 = (x

3 – 3)

Factoricen los siguientes polinomios aplicando el 3° caso:

a) P(x) = m2 – 6m + 9 d) G(x) = x

2 -

9

4x

3

4

4° caso: Cuatrinomio Cubo Perfecto

Llamamos cuatrinomio cubo perfecto a un polinomio de cuatro términos que tenga esta

forma: y lo factorizamos expresándolo como el cubo del

binomio:

( )

Para aplicar este caso se deben tener en cuenta las siguientes condiciones:

Debe ser un cuatrinomio

Tener dos términos cúbicos perfectos

Los otros dos términos deben ser el triple producto de la base de uno de los otros

dos términos por el cuadrado de la base del otro término.

Ejemplo: ( )

Los términos cúbicos son y 8, por lo tanto las bases son z y 2.

Luego hacemos los siguientes cálculos auxiliares:

que es el segundo término de nuestro polinomio

que es el tercer término de nuestro polinomio

Por lo tanto como cumple las condiciones se puede realizar la factorización y queda

expresada de la siguiente forma: ( )

Factorizar los siguientes polinomios aplicando el 4° caso:

a) ( ) b) ( )

c) ( )

20

5° caso: Diferencia de Cuadrados

Llamamos diferencia de cuadrados a un polinomio que tiene la forma: a2 – b

2

Estos polinomios pueden expresarse como producto entre la suma y la diferencia de las

bases a y b.

a2 – b

2 = (a + b)(a – b)

Ejemplos:

a) x2 – 25 = (x + 5)(x – 5)

b) x6 – 36 = (x

3 – 6)(x

3 + 6)

Resuelvan aplicando la diferencia de cuadrados:

a) 1 – x2 = b) x

6 – a

6 = c) – 100 + z

2 =

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas utilizando los distintos casos de factoreo:

a) x2 -

9

4 b) 12xy

2 + y

3 + 48x

2 + 64x

3

c) x2 + 2xy + y

2 d) 3x

15 –20 x

12 + 51x

9 – 70x

6 + 46x

3 - 20

e) -4m7x + 12m

5n

2x – 28m

3n

4x f) xy + 3x + ay + 3a

g) 2x2 + 3xy + 5x – 4xy – 6y

2 – 10y h) 9x

2 – 16 =

i) H(x) = 9a4 + 30a

2x

3 + 25x

6 j) S(x) = a

4x

2 + 2a

2bxy

2 + b

2y

4

k) 64x6 – 25 =

l) 6x

4 – 3x

3 – 24x

2 + 12x

m) 323233

5

9

2

3

10

9cxabxaxa n) 36y

2 – 27 – 8y

3 – 54

Simplificar las siguientes expresiones algebraicas racionales empleando los casos de

factoreo.

)

)

)

)

)

( ) )

) ( )

)

)

)

)

)

21

RAZON Y PROPORCION

Razón: se denomina razón, al cociente entre dos magnitudes, distintas de cero, expresadas

en la misma unidad.

Ejemplo:

Las edades de dos hermanos son 9 y 12 años, entonces la razón entre la edad del menor

y del mayor es:

Proporción: Una proporción está formada por una igualdad entre dos razones:

Donde a, b, c y d son distintos de cero y se lee " es a como es a ".

Por ejemplo,

son dos razones iguales, entonces podemos construir la proporción:

Que se lee " 3 es a 4 como 6 es a 8 ".

Es decir, para tener una relación proporcional, necesitamos tener dos razones que sean

equivalentes. Existen dos tipos de proporcionalidad: directa e inversa.

Ambas sirven para resolver problemas donde se conoce una razón y un dato de la segunda.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES:

En cada proporción se cumple lo siguiente:

si y solo si

En esta relación a y d reciben el nombre de extremos, b y c se los llama medios

Ejemplo:

pues 3 × 8 = 4 × 6

Ejemplo de aplicación: las alturas de dos edificios están en la razón 4 / 5. Si el primero

mide 20 (m), ¿cuánto mide el segundo?

Solución:

Respuesta: el segundo edificio mide 25 (m)

22

PROPORCIONALIDAD DIRECTA:

Si en una razón al aumentar una cantidad, la otra también aumenta, se dice que la

proporcionalidad es directa.

Por ejemplo, si el valor de una se duplica, entonces el valor de la otra también se duplica.

Ejemplo: Si 5 computadoras cuestan $ 5000, entonces 10 de esas mismas computadoras

cuestan $ 10000.

Ejemplo de aplicacion: un poste de 4 m de altura, en cierto instante, da una sombra de

6 m. ¿Cuánto mide de alto otro poste, si en ese mismo instante, da una sombra de 15 m?

Solución:

Respuesta: el poste mide 10 m de altura.

PROPORCIONALIDAD INVERSA:

Cuando en una razón una cantidad aumenta y la otra disminuye se habla de

proporcionalidad inversa. Por ejemplo, si el valor de una se duplica, entonces el valor de la

otra se reduce a la mitad.

Ejemplo: si con una cantidad fija de dinero se pueden comprar 3 bebidas que cuestan $ 8

c / u, entonces con esa misma cantidad de dinero se pueden comprar 6 bebidas que cuestan

$ 4 c / u.

3 × $ 8 = 6 × $ 4

Ejemplo de aplicación: un móvil, con una velocidad media de 80 ( km / hr ) , recorre una

distancia en 6 (hr) . Si se quiere realizar el mismo recorrido en 5 ( hr ) , ¿cuánto debería ser

el valor de la velocidad media?

Solución: 80 ( km / hr ) × 6 ( hr ) = v × 5 ( hr ) entonces v = 96 ( km / hr )

Respuesta: la velocidad tiene que ser de 96 ( km / hr ).

Resuelve los siguientes problemas de proporcionalidad:

a) Por cuatro horas de trabajo, Alberto ha cobrado $20. ¿Cuánto cobrará por 5

horas?

b) Tres obreros descargan un camión en dos horas. ¿Cuánto tardarán 6 obreros?

c) Trescientos gramos de queso cuestan $ 12. ¿Cuánto cuestan el kilo?

d) Un camión, a 60 km/h, tarda 40 minutos en cubrir cierto recorrido. ¿Cuánto

tardará un coche a 120 km/h?

23

e) Tres cajas de cereales pesan dos kilos y cuarto. ¿Cuánto pesarán cinco cajas

iguales a las anteriores?

f) Dos palas excavadoras hacen la zanja de una conducción de cable telefónico en

10 días. ¿Cuánto tardarían en hacer la zanja cinco palas?

g) Un camión que carga 3 toneladas necesita 15 viajes para transportar cierta

cantidad de arena. ¿Cuántos viajes necesita para hacer el mismo porte otro

camión que carga 5 toneladas? (1 t_1 000 kg).

h) Un taxi que va a 100 km/h necesita 20 minutos para cubrir la distancia entre dos

pueblos. ¿Cuánto tardaría si fuera a 80 km/h?

i) Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20 minutos. ¿Cuántas botellas

llenará en hora y media?

PORCENTAJE: para resolver problemas con porcentaje se debe plantear una proporción

con los datos conocidos y luego se resuelve aplicando el Teorema fundamental de las

proporciones.

Ejemplo: calcular el 35% de 170.

Solución: en esta situación 170 representa el 100%, por lo tanto la proporción queda de la

siguiente forma:

entonces

por lo tanto x = 59,5

Nota: también se puede utilizar la Regla de Tres Simple para calcular porcentaje.

En nuestro ejemplo se plantea la siguiente relación:

170 100%

x 35%

Para calcular x hacemos el producto de los medios dividido en el extremo restante, es decir

por lo tanto x = 59,5.

Resolver los problemas con Porcentaje:

a) Calcula el 46% de 764.

b) ¿Cuánto es el 120% de 523?

c) El monto a pagar en una boleta de servicio es $320. Si al pagarla fuera de termino

me recargaron un 5%.¿Cuanto pague la factura con recargo?

d) En una clase de 30 alumnos, el 60% son chicos y el 40% chicas. ¿Cuántos chicos y

cuántas chicas hay en la clase?

e) En una ciudad de dos millones de habitantes, el 82% son europeos; el 9%,

africanos; el 6%, asiáticos, y el resto, americanos. ¿Cuál es el porcentaje de

americanos? ¿Cuántos hay en cada grupo?

f) Una CD de música cuesta $ 23,50. ¿Cuánto pagaré si me hacen una rebaja del

40%?

g) Un DVD costaba $50 y he pagado $40. ¿Qué porcentaje me han rebajado?