Upload
fabio-castro
View
371
Download
4
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Livro cálculo uma variávelProf Marco Cabral IM - UFRJMelhor livro de cálculo em português!!Distribuição gratuita
Citation preview
Curso de Calculode Uma Variavel
Terceira Edicao
ddx
ddx
ddx
ddx
dx
dx
dx
dx
senx
cosx
senx
cosx
ddx
dx
exddxdx
senhx
coshx
1
0!
x
1!x2
2!
x3
3! x
n
n!
ddx
dx
ddx
dx
ddx
dx
ddx
dx
ddx
dx
log x0!
x 1!x2
2!
x3 3!x4
(1)nn!
xn+1
ddx
dx
ddx
dx
ddx
dx
ddx
dx
ddx
dx
ddx
dx
Marco Cabral
ii
Curso de Clculo de Uma Varivel
Terceira Edio
1 de Agosto de 2013
Marco Aurlio Palumbo Cabral
PhD em Matemtica pela Indiana University EUA
Professor do Instituto de Matemtica
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Departamento de Matemtica Aplicada
Instituto de Matemtica
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Rio de Janeiro - Brasil
Cpias so autorizadas e bem vindas: divulgue nosso trabalho! Consulte o stio
www.labma.ufrj.br/~mcabral/livros ou entre em contato com o autor em
mapcabral(at)ufrj(dot)br.
ii
Este trabalho est licenciado sob uma Licena Creative Commons Atribui-
o (BY) Uso No-Comercial (NC) Compartilhamento pela mesma Licena (SA) 3.0
Unported. Para ver uma cpia desta licena, visite
creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/br/
ou envie uma carta para Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco,
California 94105, USA.
Esta licena permite que outros possam copiar ou redistribuir esta obra sem ns comerciais,
adaptar e criar obras derivadas sobre esta obra sem ns comerciais, contanto que atribuam
crdito ao autor e distribuam a obra resultante sob a mesma licena, ou sob uma licena
similar presente.
Ficha Catalogrca
Cabral, Marco A. P.
Curso de Clculo de Uma Varivel / Marco Cabral - Rio de Janeiro: Instituto de
Matemtica, 2010.
1. Clculo I. Ttulo
CDD: 512.5
516.3
ISBN XX-XXXX-XXX-X
Sobre o AutorMarco Aurlio Palumbo Cabral carioca (natural do Rio de Janeiro) e tricolor (torcedor do
uminense).
Fez o Bacharelado em Informtica na UFRJ, o Mestrado em Matemtica Aplicada na
UFRJ e o Doutorado em Matemtica na Indiana University (Bloomington, EUA).
professor no Instituto de Matemtica da Universidade Federal do Rio de Janeiro desde
1996, atuando na graduao e na ps-graduao. Suas reas de interesse so equaes
diferenciais parciais (EDP), Anlise Numrica e Finanas.
iii
iv SOBRE O AUTOR
Agradecimentos
Primeiro aos alunos dos cursos de Clculo, pelas erros detectados e pelas perguntas em
sala de aula que inspiraram vrias ideias para este livro. Aos alunos Jos Guilherme T.
Monteiro (Engenharia de Controle e Automao UFRJ turma 2011) e Joshua Silveira Kritz
(Matemtica Aplicada UFRJ turma 2013) pelas inmeras correes de erros.
Aos professores do IMUFRJ que colaboraram de forma direta e indireta para este projeto.
Aos programadores que criaram os programas que permitiram a produo deste material.
Este produto herdeiro da cultura GPL (Gnu Public License), que permite o reuso de cdigo
fonte. Agradecemos:
em primeiro lugar, Douglas Knuth pelo TE
X, software que permite que este material
seja to bonito;
Leslie Lamport pelo LATE
X, pacote baseado no T
E
X;
Linus Torvalds pelo kernel do sistema operacional GNU-Linux;
Richard Stallman, responsvel pelo projeto GNU, pelos diversos programasdo sistema operacional GNU-Linux e milhares de pessoas por dezenas de softwares
utilizados: tar (compactao de arquivos), make (gerenciador de programa), aspell
(corretor ortogrco), grep, find, ghostview, xpdf, . . . ;
Mark Shuttleworth criador da distribuio do Linux que uti-lizei para produzir este livro;
Bram Moolenaar pelo (editor de texto);
Till Tantau pelo TikZ e PGF e Supoj Sutanthavibul, Brian Smith, Paul King e outrospelo Xfig, que possibilitaram a gerao de grcos to bonitos;
Raimundo dos Santos Moura pelo vero (Vericador Ortogrco em portugus);
v
vi AGRADECIMENTOS
a e seus milhes de colaboradores, por algumas guras e ideiasutilizadas em vrios exemplos.
PrefacioTodo aspecto deste livro foi inuenciado pelo desejo de apresentar o Clculo no
somente como um preldio, mas como um primeiro encontro real com a Matem-
tica. (. . . ) Alm de desenvolver a intuio do estudante sobre os belos conceitos
de Anlise, certamente igualmente importante persuadi-los que a preciso e o
rigor embora no sejam um m em si mesmo so o meio natural para
formular e pensar sobre questes matemticas. (Prefcio do livro de Clculo do
Spivak [Sp], em traduo livre)
Para o estudante
Este livro tem como foco o aluno e suas diculdades, tratando-os de forma inteligente. No
texto colocamos em destaque, dentro de uma caixa de texto:
(a) dvidas de Pr-Clculo incorporadas diretamente aos conceitos de Clculo, ao invs
de apresentadas em Captulo inicial de reviso, recurso didtico desmotivante para o aluno (e
para o Professor);
(b) Erros Comuns cometidos pelos alunos.
Alm de diversos livros modernos de clculo, recomendamos a consulta e leitura de livros
(mais antigos) clssicos de Clculo:
(a) Courant [Co]: Dierential and Integral Calculus vol. 1(1934);
(b) Spivak [Sp]: Calculus (1967);
(c) Apostol [Ap2]: Calculus Vol. 1 (1967).
Recomendo fortemente que os alunos que tenham seu interesse despertado utilizem
o livro de Clculo do Spivak. interessante tambm folhear sem compromisso o livro do
Courant. Experimente ler o captulo sobre limites do livro do Spivak. Experimente ler sobre
a frmula de Stirling (fatorial) no livro do Courant. Voc corre o risco de car fascinado pelo
Clculo.
(c) Livros de Anlise Real, a teoria que fundamenta a matemtica: Neri e Cabral [NC]
Curso de Anlise Real (disponvel online em www.labma.ufrj.br/~mcabral/livros).
Para a fundamentao terica do Clculo necessrio estudar anlise, curso que alguns de
vocs podem querer fazer depois do Clculo.
(d) Livros de Divulgao Matemtica:
Courant, R.; Robbins, H.. O que Matemtica? Editora Cincia Moderna, 2000.
Polya, G.; A arte de resolver problemas. Editora Intercincia.
Kasner, E.; Newman, J.; Matemtica e Imaginao. Jorge Zahar.
Davis, Philip J.; Hersh, Reuben; A Experincia Matemtica. Editora Francisco Alves
(1985).
Estas leituras vo abrir um pouco os horizontes. So todos clssicos. Incluem todo tipo
de Matemtica, passando por lgica, nmeros, topologia, teoria da computao, losoa da
vii
viii PREFCIO
matemtica.
parte fundamental do aprendizado de Matemtica resolver exerccios, tantos quanto for
possvel. Deve-se tentar resolver os Exemplos que aparecem ao longo do texto. Ao nal de
cada captulo existem exerccios, todos com soluo e resposta no nal do livro, divididos em
4 grupos:
Exerccios de Fixao: Devem ser feitos imediatamente aps a leitura do texto. So deresposta curta. No saber resposta correta sugere um retorno ao texto. Deve-se fazer
todos antes de seguir adiante.
Problemas: So os principais exerccios do captulo. Todos (ou quase) devem ser feitos. Problemas Extras: Caso o aluno tenha feito todos os problemas e deseje mais prtica. Desaos: Para se aprofundar na disciplina. So opcionais.Sees marcadas por uma estrela ? so opcionais.
Para o Professor
Com a massicao do ensino de Clculo necessrio mudar os paradigmas de avaliao. Para
isto, a escolha do tipo de exerccio importante. comum cobrar em avaliaes exerccios
do tipo Determine o cilindro com maior volume inscrito . . . . Para avaliao em massa
melhor separar em itens independentes a modelagem (determine a funo e o intervalo onde
ela deve ser maximizada) da resoluo (determine o mximo da funo f no intervalo). Maisainda, deve-se cobrar a aplicao dos Teoremas corretos que garantem a existncia do mximo
(Teorema do Valor Extremo) em intervalos fechados e limitados e mtodos para determinar
mximo em intervalo aberto ou ilimitado.
O mesmo vale para clculo de reas e volumes. Deve-se pedir a integral (ou soma de
integrais) que determinam a rea ou volume. A integrao em si deve ser um exerccio
parte.
No esboo de grcos de funes racionais melhor fornecer a derivada e a derivada
segunda. Embora seja fcil calcular, fcil errar um sinal ou outro, prejudicando toda a
questo. Deve-se cobrar derivar em questo parte.
Alm disso, deve-se colocar mais nfase na formao de conceitos e entendimento dos
Teoremas. Isto passa por exerccios de natureza conceitual: Verdadeiro ou Falso, d exemplo
ou contraexemplo, etc.
Por que um novo livro?
A escolha da licena do tipo copyleft (o contrrio do copyright) parte funda-mental deste projeto. A licena Creative Commons Atribuio (BY)
Uso No-Comercial (NC) Compartilhamento pela mesma Licena permite que ou-
tros possam copiar ou redistribuir esta obra sem ns comerciais, adaptar e criar obras
derivadas sobre esta obra sem ns comerciais, contanto que atribuam crdito ao autor
e distribuam a obra resultante sob a mesma licena, ou sob uma licena similar pre-
sente. Desta forma este livro poder ser aperfeioado daqui por diante, ao invs de todo
esforo envolvido se perder caso o livro pare de ser editado. Para detalhes consulte:
ix
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/br/. Isto incentiva tam-
bm a colaborao com o projeto, pois o esforo investido ser revertido para toda
humanidade. Mande sugestes, erros e solicite o fonte (latex) para o autor Marco
Cabral em mapcabral (at) ufrj (dot) br.
Permitir aos alunos de todo o Brasil acesso fcil (internet) e grtis; O material de pr-clculo est disseminado ao longo do texto, dentro dos captulos delimite, derivada e integral. A soluo usual de incluir um captulo inicial somente com
pr-clculo pouco motivante, o que faz com que frequentemente seja ignorado pelos
alunos e professores. nosso desejo tambm que o aluno comece a aprender clculo
desde o primeiro dia de aula.
Os exerccios so por captulo, evitando exerccios desintegrados. Exerccios por Seotendem a cobrir pouco material e treinar o aluno numa nica tcnica.
fundamental que o livro seja pequeno para que alunos leiam o texto e que a quantidadede exerccios seja razovel, para no desencorajar os alunos. A tentao grande de
colocar muitos tpicos. Por esta razo os livros de Clculo chegam a ter 500 ou mais
pginas. Mas hoje em dia desnecessrio colocar detalhes de tpicos pois podemos
remeter os alunos para a internet. Levantamos diversos tpicos em observaes ao
longo do texto e nos Desaos de nal de captulo.
Criar um pacote completo, com livro texto, exerccios (com respostas) e transparnciaspara um curso de Clculo.
Como foi escolhido o material?
Determinamos os tpicos tomando por base o curso usualmente ministrado na UFRJ. Alm
disso o componente esttico foi fundamental: os alunos devem perceber a beleza da Mate-
mtica. Algumas escolhas importantes foram feitas:
material de pr-clculo est disseminado pelos diversos captulos do livro, ao invs decolocado no primeiro captulo. Por exemplo, optamos por colocar os tpicos:
modelagem: na Seo de max/min;
composio e inversa de funes: na Seo de regra da derivada da cadeia e da
inversa;
equao da reta: no incio do Captulo de Derivada;
anlise de sinal de funes (desigualdades): no Captulo de Limites, na seo de
limites no innito;
translao de grco, funo denida por partes: no Captulo de Limites;
log/exp: na parte de Limites e de novo na de derivada da composta e funo
inversa.
O limite fundamental trigonomtrico (sen(x)/x quando x 0) apresentado no naldo Captulo de Limites como uma das aplicaes do Teorema do sanduche (ou con-
fronto). um resultado bonito que merece o devido destaque, ao invs da opo usual
de apresent-lo como mero passo de clculo da derivada do seno.
x PREFCIO
Denimos o nmero e (base do logaritmo natural) atravs do limite (1 + h)1/h quandoh 0 no nal do Captulo de Limite. Conectamos com aplicaes da exponencial:juros compostos contnuos, crescimento populacional, decaimento radioativo. um
resultado bonito que merece o devido destaque, ao invs da opo usual de apresent-lo
como mero passo de clculo da derivada do logaritmo ou da exponencial. Outra opo,
ainda menos feliz, adiar isto, juntamente com a denio do logaritmo, para depois
do Captulo de Integral. Isto no impede que se faa a denio do log com integral
depois.
Esboo de grco de funo aparece logo no incio, no Captulo de Limites (com focoem funes racionais). Vai reaparecer depois no Captulo de Aplicaes da Derivada.
O clculo de volume de slidos feito com somente uma tcnica: Cavalieri. A tcnicapara slidos de revoluo uma mera aplicao de Cavalieri.
Provamos (ou indicamos a prova) de todos os Teoremas interessantes, com padro derigor varivel, acessvel aos estudantes.
Apresentamos atravs de Lemas e Teoremas, com demonstrao, as tcnicas de in-tegrao, no somente por substituio e por partes como tambm para substituio
trigonomtrica e fraes parciais. Creio que o Teorema de integrao trigonomtrica
no tenha aparecido anteriormente em livro algum de Clculo.
Sobre a Segunda Edio
Na segunda edio (outubro de 2011) acrescentamos no Captulo de Integral sees de integra-
o e substituio trigonomtrica e da teoria da decomposio por fraes parciais. Tratamos
de Integrao Trigonomtrica atravs de um Teorema, ao invs do modo usual, atravs de
truques. Reescrevemos a Seo de Integrao de Funes Racionais. Acrescentamos muitos
exerccios de Desao. Alm disso corrigimos os erros detectados no texto.
Sobre a Terceira Edio
Na terceira edio (agosto de 2013) foram retirados pequenos erros, gerado pdf com links,
melhorado o sistema de numerao dos exerccios e includo ndice remissivo. Foi reescrita a
Seo Funes Transcendentes e Raiz. Colocamos a Seo de Derivao Implcita no Captulo
de Derivada. Foi includo exerccios de integrao por cascas cilndricas.
Sumario
Sobre o Autor iii
Agradecimentos v
Prefcio vii
Sumrio xiv
1 Limite 1
1.1 Softwares Gratuitos e o Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Denio de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Limites e Innito: Assntotas Verticais e Horizontais . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Indeterminaes do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5 Esboo de Grcos (parte I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6 Limites Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7 Exerccios de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.7.1 Exerccios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.7.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.7.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.7.4 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Continuidade 45
2.1 Denio de Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Teorema do Valor Intermedirio (TVI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3 ?Funes Transcendentes e Raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3.1 Funo Raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.2 Funes Exponencial e Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.3 Funes Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.4 Funes Hiperblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.5 Outras Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4 ?Introduo Anlise Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4.1 Cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4.2 O que R? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.4.3 Racionais, Irracionais, Algbricos, Transcendentes . . . . . . . . . . . 58
2.4.4 Denio de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4.5 Denio de Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5 Exerccios de Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5.1 Exerccios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
xi
xii SUMRIO
2.5.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5.4 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3 Derivada 65
3.1 Denio de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Derivada de Funes Transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3 Propriedades Bsicas da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4 Derivada da Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.5 Derivada da Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.6 ?Derivao Implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.7 Teorema do Valor Mdio (TVM): Crescimento e Decrescimento . . . . . . . 81
3.8 Exerccios de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.8.1 Exerccios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.8.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.8.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.8.4 ?Problemas (Derivao Implcita) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.8.5 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4 Aplicaes da Derivada 93
4.1 L'Hospital e Hierarquia dos Innitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 ?Taxas Relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.3 Aproximando Funo Localmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4 Mximo e Mnimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4.1 Mximo e Mnimo Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4.2 Mximo e Mnimo Global e o TVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.5 Esboo de Grcos (parte II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.6 Problemas de Otimizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.7 Exerccios de Aplicaes da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.7.1 Exerccios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.7.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.7.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.7.4 ?Problemas (Taxas Relacionadas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.7.5 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5 Integral 133
5.1 Denio e Propriedades Bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.1.1 Denio (informal) de Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.1.2 Propriedades Bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2 Teorema Fundamental do Clculo (TFC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3 Integrais Imprprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.4 ?Denio (com rigor) de Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.5 Tcnicas Bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.5.1 Integrao por Substituio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.5.2 Integrao por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.6 Tcnicas Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.6.1 Integrao Trigonomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.6.2 ?Substituio Trigonomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.7 ?Tcnica para Funes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.7.1 Integrao de Funes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
SUMRIO xiii
5.7.2 Teoria da Decomposio por Fraes Parciais . . . . . . . . . . . . . 158
5.8 Exerccios de Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.8.1 Exerccios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.8.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.8.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.8.4 ?Problemas (Integrao e Substituio Trigonomtrica) . . . . . . . . . 1655.8.5 ?Problemas (Integrao de Funes Racionais) . . . . . . . . . . . . . 1665.8.6 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6 Aplicaes da Integral 171
6.1 rea no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.2 Volume de Slidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.3 Valor Mdio de Funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.4 ?Comprimento de Curvas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.5 ?rea de Superfcie de Slido de Revoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1846.6 ?Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1846.7 ?Srie de Fourier e MP3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1866.8 Exerccios de Aplicaes da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.8.1 Exerccios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.8.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.8.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.8.4 ?Problemas (Comprimento de Curvas no Plano) . . . . . . . . . . . . . 1926.8.5 ?Problemas (rea de Superfcie de Slido de Revoluo) . . . . . . . . 1926.8.6 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
A Respostas dos Exerccios 195
A.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
A.1.1 Exerccios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
A.1.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
A.1.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
A.1.4 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
A.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
A.2.1 Exerccios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
A.2.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
A.2.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
A.2.4 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
A.3 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
A.3.1 Exerccios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
A.3.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
A.3.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
A.3.4 ?Problemas (Derivao Implcita) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210A.3.5 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
A.4 Aplicaes da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
A.4.1 Exerccios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
A.4.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
A.4.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
A.4.4 ?Problemas (Taxas Relacionadas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225A.4.5 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
A.5 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
xiv SUMRIO
A.5.1 Exerccios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
A.5.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
A.5.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
A.5.4 ?Problemas (Integrao e Substituio Trigonomtrica) . . . . . . . . . 234A.5.5 ?Problemas (Integrao de Funes Racionais) . . . . . . . . . . . . . 235A.5.6 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
A.6 Aplicaes da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
A.6.1 Exerccios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
A.6.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
A.6.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
A.6.4 ?Problemas (Comprimento de Curvas no Plano) . . . . . . . . . . . . . 242A.6.5 ?Problemas (rea de Superfcie de Slido de Revoluo) . . . . . . . . 242A.6.6 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Bibliograa 245
ndice Remissivo 246
Captulo 1LimiteO conceito de limite certamente o mais importante e provavelmente o mais
difcil de todo o Clculo. (. . . ) O que denimos neste Captulo no a palavra
limite, e sim a noo de uma funo se aproximando de um limite. [Sp, p.72]
Objetivos: Apresentar o conceito de limite e diversos tipos de funes: exponencial,
logaritmo, raiz e translaes destas; funes denidas por partes; funes mais complicadas
como IQ (funo indicadora dos racionais) e sen(1/x).
Apresentar o material de pr-clculo integrado com limites por ser mais motivador e
funcional com prtica de sala de aula. Introduzir assntotas (verticais e horizontais) e ensinar
a esboar grcos de funes racionais logo no primeiro captulo.
Destacar, apresentando como um lema, a tcnica de mudana de variveis do limite, que
uma prvia da mudana de variveis na integral. Apresentar limite fundamental do seno e
da exponencial (o limite que dene o nmero e).
1.1 Softwares Gratuitos e o Clculo
interessante utilizar softwares para aprender Clculo. Apresentamos alguns softwares gra-
tuitos que podem ser utilizadas no Windows e no Linux (Ubuntu, Debian, etc.):
fooplot um site com software que permite visualizar grcos.
KmPlot: Software de visualizao de grcos de funes nativo do Linux.
Winplot: Software de visualizao de grcos de funes nativo do Windows mas queroda com emulao do Wine no Linux. Pode-se visualizar grcos 2D e 3D dados por
funo, parametrizao explicita e implcita. Pode-se fazer animaes.
WxMaxima: Software de computao algbrica. Calcula, de forma exata, limites, deriva-das e integrais (entre outras centenas de coisas). Um exemplo o limite fundamental:
limit(sin(x)/x, x, 0);. Calcula tambm limites laterais: limit(exp(1/x), x,
0,minus); (esquerda) limit(exp(1/x), x, 0,plus); (direita).
Utilize estes softwares para visualizar funes que apresentamos nos exemplos.
1
2 CAPTULO 1. LIMITE
1.2 Denio de Limite
Dada uma funo real f estamos interessados em saber o que acontece com o valor de f(x)quando x se aproxima de um ponto c sem, entretanto, assumir este valor. A denio delimite formaliza isto. O resto do captulo ser dedicado a entendermos a denio de limite.
Denio 1.1 (limite) Seja f uma funo real denida perto de c R (mas no necessa-riamente denida em c). Dizemos que o limite de f(x) quando x tende a c igual a L R,denotado por lim
xcf(x) = L, se f(x) ca to prximo de L quanto quisermos para todo x
sucientemente prximo de c mas x 6= c. Escreve-se tambm que f(x) L quando x c.
Na denio de limite nos aproximamos de c pelos dois lados. Podemos denir o limitelateral, esquerda e direita, restringindo o lado em que camos prximos de c.
Denio 1.2 (limite lateral pela direita (esquerda)) Considere uma funo real f de-nida perto de c R (mas no necessariamente denida em c). Dizemos que o limite def(x) quando x tende a c pela direita (esquerda) igual a L, denotado por lim
xc+f(x) = L
( limxc
f(x) = L), se f(x) ca to prximo de L R quanto quisermos para todo x sucien-temente prximo de c R mas x > c (x < c).
Das denies acima segue o seguinte lema.
Lema 1.3 (limites e limites laterais) Existe limxc
f(x) se, e somente se, existem os limites
laterais e limxc+
f(x) = limxc
f(x).
'
&
$
%
Observao 1.1 Valor da funo no ponto no importa para o clculo do limite. Desta
forma o limxc
f(x) no necessariamente igual a f(c). Pode ocorrer ainda:
(a) do limite no existir; (b) da funo no estar denida em c.Muitas vezes f(x) se aproxima de f(c) com x prximo de c. Neste caso, quando lim
xcf(x) =
f(c) (o limite existe e igual ao valor da funo no ponto), dizemos que a funo f contnua em c (veja Denio 2.1 da p.45). So contnuas as funes que aprendemosno ensino mdio f(x) = x2 3x 4, senx, tanx, arcsenx, 10x, log10 x . . .Em Anlise utilizamos o termo vizinhana de c ao invs de prximo de c.
Denio 1.4 (vizinhana) Dado um c R, uma vizinhana de c um intervalo abertoV = (a, b) contendo c, isto , tal que c V .
Observao 1.2 (vizinhana e limite) Com a denio de vizinhana pode-se ver
limxc
f(x) = L signica: Dada vizinhana V qualquer de L, existe vizinhana W de c
tal que se x W , mas x 6= c, ento f(x) V .
Observao 1.3 (denio rigorosa) Apresentamos a denio informal (no-
rigorosa, intuitiva) de limite. Veja Denio 2.16 da p.59 para denio rigorosa.
Exemplo 1.1 Esboce o grco e determine (caso exista):
(a) limx2
x
x; (b) lim
x0x
x; (c) lim
x3x2
x; (d) lim
x0x2
x; (e) lim
x2x
x2; (f) lim
x0x
x2.
1.2. DEFINIO DE LIMITE 3
Soluo: Para (a) e (b) f(x) = x/x uma funo que vale 1 em todos os pontos a no serem zero, pois f no est denida em 0 (f(0) = 0/0!), mas isto no afeta o valor do limite(veja o grco). Assim, os dois limites valem 1. Na verdade o limite 1 para qualquer valorque x tenda.
x
y
y = 1
2
Para (c) e (d), de forma similar ao anterior, f(x) = x2/x = x para todo x 6= 0. Emx = 0 a funo f no est denida. Assim o grco (veja gura) uma reta com um furona origem. Assim, (c) 3 e (d) 0.
x
y
y = x
3
3
Para (e) e (f), f(x) = x/x2 = 1/x para x 6= 0. Novamente, f(0) no est denida(veja o grco). Assim (e) 1/(1/2) = 1/2. Para (f) o limite no existe pois assumevalores muito grandes e positivos, se tendermos pela direita, e muito grande e negativos, se
tendermos pela esquerda.
x
y
y = 1/x
21/2
'
&
$
%
Observao 1.4 Quando empregar f ou f(x)? Tem diferena?A funo f , f(x) o valor da funo calculada em x. Mais exatamente, f funo, f(x) um nmero. Frequentemente abusamos a linguagem e dizemos a funo f(x) = x2+3xquando o correto seria a funo f denida por f(x) = x2 + 3x.Na linguagem C este erro no seria perdoado pelo compilador: confundir f (ponteiro para
funo) com f(x) (valor retornado pela funo) ( ^ ).
4 CAPTULO 1. LIMITE
Pr-Clculo: Recorde o signicado e como esboar o grco de uma funo denida
por partes como por exemplo f(x) =
{2; x > 1;
3; x 1.
Exemplo 1.2 Para cada item abaixo, esboce o grco de f(x) e determine (caso existam)limxc+
f(x), limxc
f(x) e limxc
f(x).
(a) c = 0, c = 1, c = 0.9999, c = 1.0001 de f(x) =
{2; x < 1;
3; x 1.
(b) c = 2, c = 0 de f(x) =
{xx
; x 6= 0;2; x = 0.
(c) c = 0.0001, c = 0.0001, c = 0, f(x) ={1; x 6= 0;3; x = 0.
(d) c = 0.99, c = 1.01, c = 1 de f(x) =
{x; x 1;4 x; x > 1.Soluo: (a) A funo vale 2 at x = 1 e depois vale 3 (veja grco abaixo). Assimquando x 0, que longe de 1, tanto pela esquerda quando direita, f(x) 2. Agora,limx1
f(x) = 2, limx1+
f(x) = 3 e portanto limx1
f(x) no existe pois f(x) difere quando
nos aproximamos pela esquerda ou direita do 1. Como 0.9999 < 1, a funo prxima (bemprxima mesmo!) de 0.9999 constante igual a 2 pois estamos a esquerda do 1. Assim
limx0.9999+
f(x) = limx0.9999
f(x) = limx0.9999
f(x) = 2. De forma anloga, limx1.001+
f(x) =
limx1.001
f(x) = limx1.001
f(x) = 3.
x
y
y = 2
y = 3
1
(b) Note que f(x) = 1 para todo x 6= 0. No x = 0 no interessa o valor (que f(0) = 2)para efeito do calculo do limite (veja grco abaixo). Assim o limite (incluindo os laterais)
quando x 2 ou x 0 sempre 1.
x
y
y = 1
y = 2
(c) Note que f(x) = 1 para todo x 6= 0. No x = 0 no interessa o valor (que f(0) = 3) para efeito do calculo do limite (veja grco abaixo). Assim o limite (incluindo oslaterais) quando x 0.0001 ou x 0.0001 ou x 0 sempre 1.
1.2. DEFINIO DE LIMITE 5
x
y
y = 1
3
(d) Como 0.99 < 1, f(x) para x prximo (bem prximo mesmo!) de 0.99 vale x (vejagrco abaixo). Assim lim
x0.99+f(x) = lim
x0.99f(x) = lim
x0.99f(x) = 0.99. Analogamente,
como 1.01 > 1, f(x) para x prximo (bem prximo mesmo!) de 1.01 vale 4 x. Assim,lim
x1.01+f(x) = lim
x1.01f(x) = lim
x1.01f(x) = 4 1.01 = 2.99.
x
y
1 4
y = xy = 4 x
1
3
#
"
!
Observao 1.5 A diviso 0/0 gera limites interessantes. De forma geral deve-se eliminarrazes em comum do numerador e denominador. O limite pode ser qualquer coisa. Compare,
por exemplo o valor de cada um destes limites entre si: limx0
x
x, limx0
x2
x, limx0
x
x2. Pode-se
eliminar razes comuns no caso de quociente de polinmios ou ento racionalizar.
Pr-Clculo: Manipular expresses algbricas, fatorar razes, dividir polinmios e Teo-
rema D'Alembert
1
: se c raiz de um polinmio ento x c fator do polinmio (vejaTeorema 5.20 da p.158). Ao invs do algoritmo de Briot
2
-Runi
3
, utilize a diviso de
polinmios por ser algoritmo fcil de se recordar, similar ao de diviso de inteiros.
Exemplo 1.3 Determine os limites:
(a) limx2
x2 3x+ 2x2 4 ; (b) limx1
x3 + 1
x+ 1; (c) lim
y3
1y 1
3
y 3 ; (d) limh0(x+ h)3 x3
h;
(e) limt1
t2 t3 + t 1t2 2t+ 1 ; (f) limx1 f(x) se f(x) =
x6 1x+ 1
; x 6= 1;4; x = 1.Soluo:
(a) Como 2 raiz do numerador e denominador, pode-se dividir por (x 2) ambos,obtendo-se
(x 2)(x 1)(x 2)(x+ 2) . Eliminando o fator comum, obtemos limx2
x 1x+ 2
=2 12 + 2
= 1/4.
(b) Dividindo-se x3 + 1 por x + 1 obtemos x2 x + 1. Logo, para x 6= 1, x3 + 1
x+ 1=
x2 x+ 1. Logo o limite vale (1)2 (1) + 1 = 3.1
Jean Le Rond d'Alembert: ?1717 Paris, Frana 1783 Paris, Frana.2
Charles Auguste Briot: ?1817 Doubs, Frana 1882 Bourg-d'Ault, Frana.3
Paolo Runi: ?1765 Valentano, Itlia 1822 Modena, Itlia.
6 CAPTULO 1. LIMITE
(c) Primeiro expandimos o numerador obtendo 1/y 1/3 = 3 y3y. Portanto,
1y 1
3
y 3 =3 y
3y1y3 . Simplicando o fator y 3 do numerador e denominador obtemos
13y. Quando
y 3 obtemos 1/9.(d) Expandindo (x + h)3 e subtraindo x3 obtemos 3hx2 + 3h2x + h3. Dividindo por h(para h 6= 0) obtemos 3x2 + 3hx+ h2. Quando h 0, obtemos 3x2.(e) Dividindo-se ambos por t 1 obtemos (t 1)(1 t
2)
(1 t)2 =(t 1)(1 t)(1 + t)
(1 t)2 =(1)(1 + t) para t 6= 1. Logo o limite (1)(1 + 1) = 2.(f) O valor da funo em x = 1 irrelevante para efeito do clculo do limite. Como
x = 1 anula o numerador e o denominador, x(1) = x+1 fator comum pelo Teorema deD'Alembert. Seguindo como em (b), dividindo x61 por x+1 obtemos x5x4+x3x2+x1.Quando x 1 obtemos (1)5 (1)4 + (1)3 (1)2 + (1) 1 = 6.Pr-Clculo:
9 6= 3! Sempre, x 0, portanto, 9 = 3 e 9 = 3. Com isso,
x2 6= x, pois falso para x < 0. Na verdade, x2 = |x|. Mas (x)2 = x se x > 0 (sex < 0 a raiz quadrada no est denida).
Pr-Clculo: O que mdulo de x?
(a) algebricamente, |x| ={x; x 0;x; x < 0.(b) geometricamente, a distncia entre x e 0. De forma geral, |x c| = |c x| adistncia entre x e c. Pode ser escrito como |x c| = (x c)2. Isto generalizadopela distncia entre dois pontos (x1, y1), (x2, y2) R2 por
(x1 x2)2 + (y1 y2)2 quedenotamos (veja livro de geometria analtica) por (x1, y1) (x2, y2).(c) gracamente, obtm-se o grco de y = |f(x)| reetindo no eixo x os pontos do grcode y = f(x) abaixo do eixo x (pontos onde f(x) < 0).
Exemplo 1.4 Esboce o grco e determine (caso exista):
(a) limx0
x
|x| ; (b) limx0+x
|x| ; (c) limx0 |x29|; (d) lim
x3|x29|; (e) lim
x3|x2 9|x+ 3;
(f) limxpi+
sen(x)
| sen(x)| ; (g) limx2pi+sen(x)
| sen(x)| ; (h) limx0 f(x) se f(x) ={|x2 1|; x > 0x+ 1; x 0.Soluo: (a) e (b): como x/|x| vale 1 para x > 0 e 1 para x < 0 (veja grco abaixo),(a) 1 e (b) 1.
x
y
y = 1
y = 1
f(x) =x
|x|(c) e (d): Obtemos o grco de |x29| (veja gura abaixo) reetindo no eixo x o grcoda parbola x2 9 (indicada por linha pontilhada). Para calcular o limite, observe que em
1.2. DEFINIO DE LIMITE 7
torno dos pontos x = 0 e x = 3 basta substituir o valor da funo: (c) |029| = |9| = 9.(d) |(3)2 9| = |9 9| = 0.
x
yf(x) = |x2 9|
3 3
(e) Primeiro esboamos o grco da parbola x2 9.
x
yf(x) = x2 9
3 3
Assim para x 6 (3, 3), |x2 9| = x2 9 (pois a funo positiva) e para x (3, 3),|x2 9| = (x2 9) = 9 x2 (pois a funo negativa). Portanto para x 6 (3, 3),|x2 9|x+ 3
=x2 9x+ 3
=(x+ 3)(x 3)
x+ 3= x 3 e para x (3, 3), |x
2 9|x+ 3
=9 x2x+ 3
=
(3 + x)(3 x)x+ 3
= 3 x. Portanto o grco de |x2 9|x+ 3:
x
y
f(x) =|x2 9|x+ 3
3 3
y = x 3
y = 3 x
Note o salto que ocorre no grco em x = 3. Neste ponto a funo no est denidapois aparece uma diviso por zero. Gracamente claro que os limites laterais neste ponto
so distintos. Como para x prximo de 3 mas x < 3 a funo vale x 3, o limite quandox 3 vale (3) 3 = 6. Como para x prximo de 3 mas x > 3 a funo vale3 x, o limite quando x 3+ vale 3 (3) = 6. Como os limites laterais so distintos,o limite no existe.
(f) e (g): a funo alterna entre 1, se sen(x) > 0, e 1, se sen(x) < 0 conforme indicadono grco abaixo. Nos pontos onde sen(x) = 0 ela no est denida. Assim (f) 1, (g) 1.
8 CAPTULO 1. LIMITE
x
y
f(x) =sen(x)
| sen(x)|
pi pi 2pi 3pi
y = 1
y = 1
(h) Obtemos o grco (vide gura) reetindo no eixo x o grco de x2 1 para x > 0 ecom a reta 1 x para x < 0. O limite quando x 0+ |02 1| = 1 e quando x 0 0 + 1 = 1. Como os limites laterais existem e so iguais, o limite 1.
x
y
Pr-Clculo: Racionalize expresses multiplicando o numerador e o denominador pelo
conjugado: o conjugado de
a b a + b. Veja no Exemplo 1.37 da p.35 como fazerracionalizao trigonomtrica.
Exemplo 1.5 Determine os limites: (a) limh0
h+ 1 1
h; (b) lim
x9x 9x 3 .Soluo: (a) Para h perto de 0, h + 1 > 0. Logo (
h+ 1)2 = h + 1. Multiplicando onumerador e denominador por
h+ 1 + 1 obtemos que
h+ 1 1
h=
(h+ 1 1)(h+ 1 + 1)
h(h+ 1 + 1)
=(h+ 1)2 12
h(h+ 1 + 1)
=
=h+ 1 1
h(h+ 1 + 1)
=h
h(h+ 1 + 1)
=1
h+ 1 + 1.
Quando h 0 obtemos 1/2.(b) Para x prximo de 9, x > 0 e portanto (
x)2 = x. De modo anlogo, multiplicamospor
x+ 3 e obtemos
(x 9)(x+ 3)(x 3)(x+ 3) =
(x 9)(x+ 3)(x)2 32 =
(x 9)(x+ 3)x 9 =
x+ 3.
Quando x 9 obtemos 9 + 3 = 3 + 3 = 6.Pr-Clculo: O grco de y =
r2 x2 somente meio crculo de raio r (porque?). Ogrco de r2 x2 outra metade. O grco parte do crculo pois y2 = r2 x2, eportanto x2 + y2 = r2.
Exemplo 1.6 Esboce o grco de f(x) =
9 x2; |x| 3,x; x > 3,
0; x < 3.e determine (caso existam)
limxc+
f(x), limxc
f(x) e limxc
f(x) para: (a) c = 3; (b) c = 3.
1.2. DEFINIO DE LIMITE 9
Soluo: O grco da funo :
x
y
3 3
3
(a) limx3
f(x) =
9 32 = 0 e limx3+
f(x) = 3. Como os limites laterais so distintos, o
limx3
f(x) no existe. (b) limx3
f(x) = 0 e limx3+
f(x) =
9 (3)2 = 0. Como os limiteslaterais so iguais, o lim
x3f(x) = 0.
Pr-Clculo: Grco da funo inversa: como esboar y =x e y = log x?Reetindo em torno da reta y = x os grcos de y = x2 e y = ex.
Observao 1.6 log(x) em clculo sempre na base e = 2.718 . . . (natural, veja Ob-servao 1.20 da p.38). Assim, log(x) = ln(x) = loge(x) 6= log10(x). Quando quisermoso log na base dez (uma nica vez no texto) escrevemos log10.
Exemplo 1.7 Esboce o grco e determine limx0
f(x) e limx1
f(x) para
f(x) =
ex; x 0;x; 0 < x < 1;
log(x); x 1.Soluo: Juntando os trs grcos em cada parte indicada, obtemos o grco da funo
denida por partes abaixo.
x
y
1
1 log(x)
ex
x
Como limx0
f(x) = e0 = 1 e limx0+
f(x) =
0 = 0, o limx0
f(x) no existe. Como
limx1
f(x) =
1 = 1 e limx1+
f(x) = log(1) = 0, limx1
f(x) no existe.
Pr-Clculo: Fazer translao de grcos de funes: tanto vertical quanto horizontal.
Por exemplo, obtemos o grco de y = f(x + 3) 7 transladando o grco de y = f(x)em 3 unidades para esquerda (no direita!) e 7 unidades para baixo.
10 CAPTULO 1. LIMITE
Exemplo 1.8 Esboce o grco e determine:
(a) limx0
f(x) para f(x) =
{x+ 1; x > 0;
sen(x) + 1; x 0.
(b) limx1
f(x) e limx1
f(x) para f(x) =
x2 2; x < 1;x+ 1; 1 x 1;
log(x 1); 1 < x.Soluo: (a) Aplicando translaes apropriadas obtemos o grco da gura abaixo. Como
limx0
f(x) = sen(0) + 1 = 1 igual ao limx0+
f(x) =
0 + 1 = 1, limx0
f(x) = 1.
x
y
y = 1
y = 2
(b) Aplicando translaes apropriadas obtemos o grco da gura abaixo. Como
limx1
f(x) =
1 + 1 =
2 e limx1+
f(x) = log(11) = log(0) = , limx1
f(x) no existe.
Como limx1
f(x) = (1)2 2 = 1 e limx1+
f(x) =1 + 1 = 0, lim
x1f(x) no existe.
x
y
1 1 2
Apresentamos funes (estranhas) interessantes para o teoria do clculo e anlise.
Exemplo 1.9 Considere f(x) = sen(
1x
).
(a) Determine todos os valores de x tais que f(x) = 0.(b) Determine todos os valores de x tais que f(x) = 1 e f(x) = 1.(c) Usando isto, esboce o grco da funo f .
(d) Calcule limx0
sen
(1
x
).
Soluo: (a) para que sen(y) = 0 basta que y = kpi. Assim y = 1x
= kpi. Logo, se x = 1kpi
para k Z ento f(x) = 0.(b) Analogamente, f(x) = 1 se x = 1
2kpi+pi/2e f(x) = 1 se x = 1
2kpipi/2 .(c) partindo destes pontos obtemos o grco abaixo.
1.2. DEFINIO DE LIMITE 11
x
y
f(x) = sen( 1x)
1pi
12pi
1pi
12pi
y = 1
y = 1
(d) o limite no existe pois f(x) oscila entre 1 e 1 quando x 0.
Exemplo 1.10 A funo indicadora de Q denida por IQ(x) =
{1, x Q,0, x 6 Q.Ela indica (por 0 ou 1) se x Q ou no e conhecida tambm como funo caracterstica.Calcule o lim
xpiIQ(x).
Soluo: O grco desta funo formada por duas retas pontilhadas: uma em y = 0,nos irracionais e outra no y = 1, acima dos racionais (vide gura abaixo). Como existemracionais to prximos de pi quanto se queira (como por exemplo 3.14, 3.141, 3.1415 . . . ), olimite no existe. De fato o limite no existe em ponto algum.
x
y
y = 1
y = 0f(x) = IQ(x)
Exemplo 1.11 A funo parte inteira (ou menor inteiro ou oor) de x, denotada por bxc denida como sendo o nico inteiro n tal que n x < n+ 1. Exemplos: b1, 5c = 1, b1c = 1e b1, 5c = 2. Esboce o grco de f(x) = bxc e determine:(a) lim
x1+bxc; (b) lim
x1bxc; (c) lim
x1bxc; (d) lim
x0+bxc; (e) lim
x0bxc;
Soluo: Veja grco na gura abaixo. (a) 1; (b) 0; (c) como laterais so distintos, limiteno existe. (d) 0; (e) 1.
x
y
f(x) = bxc
3 2 1 1 2 3
1
2
3
Seguem as propriedades dos limites com relao a soma, produto, multiplicao e diviso.
A demonstrao remetida para o Desao 2.10 da p.63 e [NC].
12 CAPTULO 1. LIMITE
Lema 1.5 Considere f(x) = k (uma funo constante) e g(x) = x (a funo identidade).Ento dado c R qualquer,
limxc
f(x) = k e limxc
g(x) = c.
Teorema 1.6 (propriedades bsicas do limite) Considere f e g duas funes e c, k R.Se os limites lim
xcf(x) e lim
xcg(x) existem, ento tambm existem os limites:
(a) limxc
(f(x) + g(x)) = limxc
f(x) + limxc
g(x) (limite da soma igual soma dos limites);
(b) limxc
(f(x) g(x)) = limxc
f(x) limxc
g(x) (limite da diferena igual diferena dos
limites);
(c) limxc
(f(x) g(x)) = limxc
f(x) limxc
g(x) (limite do produto igual ao produto dos
limites);
(d) limxc
f(x)
g(x)=
limxc
f(x)
limxc
g(x)(limite do quociente igual ao quociente dos limites) se
limxc
g(x) 6= 0 .
importante o aluno entender a demonstrao do Corolrio abaixo para apreciar como
poucas propriedades podem gerar novas proposies.
Corolrio 1.7 (limites de polinmios) Se p(x) = a0+a1x+a2x2+ +anxn para n N(ou seja, p um polinmio de grau n) ento lim
xcp(x) = p(c) .
Prova: Aplicando n+ 1 vezes o Teorema 1.6 (a) (limite da soma) obtemos que limxc
p(x) =
limxc
a0 + limxc
a1x + + limxc
anxn. Pelo Lema 1.5, lim
xca0 = a0 (limite de constante). Pelo
Teorema 1.6 (limite do produto), limxc
a1x = limxc
a1 limxc
x. Aplicando o Lema 1.5, limxc
a1 limxc
x = a1c. Agora podemos fazer algo similar em cada termo. Para o termo x3, por exemplo,
basta aplicar seguidamente o Teorema 1.6 (c) (limite do produto): limxc
x3 = limxc
x limxc
x limxc
x = c c c = c3. Complete o argumento.
Exemplo 1.12 Aplique o Teorema 1.6 para determinar limx2
6x2 + 3x
x+ 1.
Soluo: Deixamos para o leitor aplicar com cuidado cada uma das propriedades. Basta
fazer um mutatis mutandis
4
na prova do Corolrio 1.7.
Denio 1.8 (funo racional) Dizemos que f uma funo racional se for o quoci-
ente entre dois polinmios, isto , se f(x) =p(x)
q(x), onde p e q so polinmios.
4
latim para modique o que tem que ser modicado
1.2. DEFINIO DE LIMITE 13
Conclumos que podemos calcular o limite de uma funo racional qualquer contanto que
o denominador no se anule. Caso o denominador se anule precisamos de mtodos especiais
para os casos onde, por exemplo, obtemos 3/0 ou 0/0.
No prximo exemplo apresentamos (gracamente) possibilidades de comportamento de um
funo quando x se aproxima de um ponto.
Exemplo 1.13 Determine, em cada um dos itens abaixo, caso exista: os limites lateraisquando x 1+ e x 1; o limite quando x 1. Compare com o valor da funo emx = 1.
x
y
1
2
3
(a)
x
y
1
1
2
(b)
x
y
x = 1
y = 1
(c)
x
y
11
2
(d)
Soluo: (a) limite quando x 1 2, limite quando x 1+ 3, limite quando x 1no existe (laterais so distintos), f(1) = 2.(b) limite quando x 1 1 , limite quando x 1+ 1, limite quando x 1 1(limites laterais so iguais), f(1) = 2.(c) limite quando x 1 no existe (funo oscila), limite quando x 1+ 1, limitequando x 1 no existe (um dos limites laterais no existe), f(1) = 1.(d) limite quando x 1 1, limite quando x 1+ 2, limite quando x 1 noexiste (limites laterais so distintos), f(1) = 2.Pelo teorema abaixo podemos trocar o limite com a composio caso os limites existam.
Teorema 1.9 (limite e composio) Se limyL
f(y) = f(L) (dizemos que f contnua em
L) e limxc
g(x) = L, ento limxc
f(g(x)) = f(
limxc
g(x))
= f(L).
14 CAPTULO 1. LIMITE
Prova: Veja prova em [NC].
Denio 1.10 (funo algbrica e transcendente) Dizemos que f uma funo al-gbrica se pode ser expressa como soma, diferena, produto, quociente ou raiz de funes
polinomiais. Caso contrrio dita transcendente.
Exemplo 1.14 So funes algbricas:
4x2 + 1 x6 + 11 +x+ x3,
1 x2
(3 x)3 .
So funes transcendentes: sen
(x+ 1
x 1), e3x+4, log(x2 + 1).
Teorema 1.11 (limites de funo raiz e algumas transcendentes) Se f(x) igual anx, sen(x), cos(x), tan(x), log(x), ex, arcsen(x), arccos(x), ou arctan(x), ento paratodo c R onde f(c) existe, lim
xcf(x) = f(c).
Prova: Leia a Seo 2.3, p.52.
Exemplo 1.15 Aplique os teoremas acima para determinar:
(a) limx1
log
(x2 1
2(x 1)); (b) lim
x0sen(pix
2x
); (c) lim
x14
4x+ 1(x+ x2).
Soluo: (a) Como limx1
(x2 1
2(x 1))
= 1, o limite vale log(1) = 0.
(b) Como limx0
(pix2x
)=pi
2, o limite vale sen(pi/2) = 1. (c) 2 4
5.'
&
$
%
Observao 1.7 Combinando os Teoremas 1.6 (propriedades bsicas do limite), 1.9 (li-
mite e composio) e 1.11 (funo raiz e transcendente) conclumos que sabemos calcular
o limite de funes bem complicadas (se denominador no se anula). Por exemplo:
limxpi
x3esen(x2pi2)log x
cos(2x+ pi)=pi3esen(0)log pi
cos(3pi)= pi2.
1.3 Limites e Innito: Assntotas Verticais e Horizon-
tais
Nesta seo estendemos a denio de limite para x prximo de, isto , x grande e positivoe para x prximo de , isto , x grande (em mdulo) e negativo. Alm disso, denimosquando o valor do limite ou para x prximo de c (Veja na Observao 1.16 da p.28como enxergar o innito).
Denio 1.12 (limite igual a ()) Considere uma funo real f denida perto dec R (mas no necessariamente denida em c). Dizemos que o limite de f(x) quando xtende a c (), denotado por lim
xcf(x) = (), se f(x) ca to grande e positivo(negativo) quanto quisermos para todo x sucientemente prximo de c R mas x 6= c.
1.3. LIMITES E INFINITO: ASSNTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS 15
#
"
!
Observao 1.8 Deixamos para o leitor denir os limites laterais limxc+
f(x) = ,limxc
f(x) = , limxc+
f(x) = , limxc
f(x) = de forma anloga ao que j foifeito no incio deste captulo. Basta fazer um mutatis mutandis
5
. Veja denio rigorosa
no Exemplo 2.14 da p.59.
Observao 1.9 (innito: ou +?) Alguns livros usam + ao invs de .Denio 1.13 (assntota vertical) Se, quando x c+ ou x c, f(x) ou ,dizemos que a reta x = c uma assntota vertical do grco de f .
Exemplo 1.16 Esboce o grco, determine os limites e as assntotas verticais:
(a) limx0
1
x3; (b) lim
x0 1x2; (c) lim
x01
x4; (d) lim
x0+ 1x3;
(e) limx3 1
(x 3)3 ; (f) limx21
(x 2)2 ; (g) limx11
(x 1)9 ;
Soluo: Os grcos de (a), (b), (c) e (d) so:
x
y
y =1
x3
(a)
x
y
y = 1x2
(b)
x
y
y =1
x4
(c)
x
y
y = 1x3
(d)
Nesses quatro itens a assntota vertical x = 0. Observando-os obtemos os limiteslaterais: (a) ; (b) ; (c) ; (d) .Com translao podemos obter os grcos de (e), (f) e (g):
x
y
y = 1(x 3)3
(e)
x = 3
x
y
y = 1(x 2)2
(f)
x = 2
x
y
y =1
(x 1)9
(g)
x = 1
(e) o limite no existe pois pela direita vale e pela esquerda (mesmo sinal que1/x perto do 0). Assntota vertical x = 3.(f) o limite (mesmo sinal que 1/x2 perto do 0). Assntota vertical x = 2.(g) o limite no existe pois pela direita vale e pela esquerda (mesmo sinal que
1/x perto do 0). Assntota vertical x = 1.
5
latim para modique o que tem que ser modicado
16 CAPTULO 1. LIMITE
Pr-Clculo: Fazer a anlise de sinal do numerador e denominador o chamado quadro
de sinais para determinar o comportamento do grco perto da assntota.
Exemplo 1.17 Determine para quais x R verdade que f(x) = 16 x2
(x+ 1)(3 x) 0.
Soluo: Faremos a anlise de sinal de cada um dos elementos: 16 x2, x + 1, 3 x ecombinamos tudo numa tabela do sinal de f(x). Os pontos de troca de sinal so: 4,1, 3.Agora cuidado com a interpretao do zero. Os pontos onde f(x) = 0 so os pontos onde onumerador se anula 4. Nos pontos onde o denominador se anula (1 e 3), f(x) .
4 1 3 416 x2 + + + x+ 1 + + +3 x + + +
0 0f(x) + + +Assim Portanto f(x) 0 para x 4, x (1, 3), x 4.
Observao 1.10 Poderamos no exemplo anterior (e em todos os exemplos) decompor
o termo quadrtico 16 x2 em dois termos lineares 4 x e 4 + x, o que aumentaria otamanho da tabela. Na prtica, se o termo quadrtico simples, da forma a bx2 oubx2 a, analisamos o sinal diretamente.
Exemplo 1.18 Faa quadro de sinais e esboce grco de p(x) = (x 2)(25 x2)(x2 x).Soluo: (a) Faremos a anlise de sinal de cada um dos elementos: x 2, 25 x2, x2 xe combinamos numa tabela do sinal de p(x). Faremos a anlise dos termos quadrticosdiretamente. Note que um (25 x2) possui concavidade para baixo e outro (x2 x) possuiconcavidade para cima. Os pontos de troca de sinal so: 5, 0, 1, 2.
5 0 1 2 5x 2 + +
25 x2 + + + + x2 x + + + + +
0 0 0 0 0p(x) + + + Assim obtemos o grco abaixo. Esta funo, um polinmio de grau 5, possui 5 razes.
x
y
p(x)
1.3. LIMITES E INFINITO: ASSNTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS 17
Pr-Clculo: Como determinar sinal de um polinmio ax2 + bx+ c com razescomplexas (no-reais)?
O grco da parbola estar inteiramente acima do eixo x ou abaixo do eixo x, pois senoteramos razes reais. Assim basta olharmos para o sinal de a: se a > 0, ax2 + bx+ c > 0para todo x, se a < 0, ax2 + bx+ c < 0 para todo x.Exemplos:
(a) x23x+3. = (3)24 1 3 = 3 < 0. Logo razes complexas. Como a = 1 > 0,x2 3x+ 3 > 0 para todo x R.(b) x2 + 4x 5. = 42 4 (1) (5) = 4 < 0. Logo razes complexas. Comoa = 1 < 0, x2 + 4x 5 < 0 para todo x R.
Exemplo 1.19 Faa anlise de sinal e determine os limites:
(a) limx3
2x2
9 x2 ; (b) limx29 x2
(x 2)(x2 5x+ 6) ; (c) limx1x3 x 1(1 x)3 .
Soluo: (a) Faremos o quadro de sinais. Os pontos onde numerador ou denominador se
anulam: 3, 0. A funo f(x) = 0 onde o numerador se anula (0). Nos pontos onde odenominador se anula (3), f(x) .
3 0 32x2 + + + +
9 x2 + + 0
f(x) + + Assim a funo tem sinal negativo quando x 3 e sinal positivo quando x 3+.Logo quando x 3 o limite e quando x 3+ o limite . Portanto o limitequando x 3 no existe.(b) Faremos o quadro de sinais. Como x2 5x + 6 = (x 2)(x 3), o denomina-dor (x 2)2(x 3). Os pontos onde numerador ou denominador se anulam: 3, 2. Nox = 3 o numerador e o denominador se anulam. Neste ponto, caso queira pode calcular
o limx3
9 x2(x 2)(x2 5x+ 6) = 6. Assim a indeterminao 0/0 = 6 neste caso. A fun-o f(x) = 0 onde o somente o numerador se anula (3). Nos pontos onde somente odenominador se anula (2,3), f(x) .
3 2 39 x2 + + x 3 +
(x 2)2 + + + +0 6
f(x) + Logo o limite quando x 2 .Outra Soluo: Perto de 2 o numerador positivo (9 22 = 5). Como x2 5x+ 6 =
(x2)(x3), devemos analisar o sinal do denominador que (x2)2(x3). O primeiro termo sempre positivo e o segundo, perto de 2 negativo (2 3 = 1). Assim o denominador negativo. Logo o limite quando x 2 .(c) Neste caso no temos como analisar o sinal do numerador em detalhes pois um
polinmio do terceiro grau que no conhecemos as razes (na realidade possui duas razes
complexas). Podemos, no entanto calcular o limite analisando o sinal prximo do 1. Perto de
18 CAPTULO 1. LIMITE
1 o numerador sempre negativo (1311 = 1). O denominador (1x)3 possui o mesmosinal que (1 x). Assim, o denominador tem sinal positivo quando x 1 e sinal negativoquando x 1+. Logo, combinando sinais do numerador (sempre negativo) e denominador,quando x 1 o limite e quando x 1+ o limite . Portanto o limite quandox 1 no existe.Erro Comum: Nos limites do exemplo anterior, tentar calcular o limite sem fazer quadro
de anlise de sinais caminho quase certo para cometer um erro.
Em resumo, se f(x) =p(x)
q(x) uma funo racional (Denio 1.8 da p.12) e se no limite o
denominador q(x) se anula sem que o numerador p(x) se anule ou seja, quando x ca funo f(x) k
0com k 6= 0 existem quatro possibilidades para o comportamentoda funo perto de c conforme representado nas guras abaixo. Precisamos fazer quadrode anlise de sinais para determinar qual delas ocorre.
x
x = c
(I)
x
x = c
(II)
x
x = c
(III)
x
x = c
(IV)
Erro Comum: No prestar ateno nestas 4 possibilidades e concluir de forma errada
que o limite pois o denominador se anula. Um exemplo deste erro o aluno dizer queo limx2
1 + x
x 2 pois o denominador se anula em x = 2.
Exemplo 1.20 Determine o comportamento da funo perto de c e calcule o limite quando
x c para: (a) y = 3 x4 + x, c = 4; (b) y = x
2 9x2 4x+ 4 , c = 2.Soluo: Deixo para o leitor fazer o quadro de sinais de cada exemplo.
(a) perto de x = 4, o numerador positivo prximo de 3 (4) = 3 + 4 = 7. Odenominador negativo para x < 4 e positivo para x > 4. Assim temos que perto dox = 4 a funo negativa para x < 4 e positiva para x > 4. O limite no existe poisos limites laterais diferem. O comportamento :
x
x = 4
1.3. LIMITES E INFINITO: ASSNTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS 19
(b) perto de x = 2 o numerador negativo prximo de 22 9 = 5. O denominador igual a (x 2)2, que sempre no-negativo. Assim temos que perto do x = 2 a funo negativa O limite quando x 2 O comportamento :
x
x = 2
Se a funo no racional temos que analisar com cuidado os sinais.
Exemplo 1.21 Esboce o grco perto do ponto do limite e calcule:
(a) limxpi
1
sen(x); (b) lim
x0e1/x; (c) lim
x0log(|x|); (d) lim
x0+| log(x)|.
Soluo: (a) Se x pi+, o seno negativo prximo do pi e portanto o limite . Sex pi a situao oposta e o limite . Como os limites laterais diferem, o limite quandox pi no existe.
x
x = pi
(b) Se x 0+, 1/x . Portanto, e1/x e = . Se x 0, 1/x .Portanto, e1/x e = 1/e = 1/ = 0. Como os limites laterais diferem, o limitequando x 0 no existe.
x
x = 0
(c) Se x 0, |x| 0. Como log(0) = , o limite .x
x = 0
(d) Pelo item anterior log(x) . Aplicando o mdulo conclumos que o limite .No podemos calcular o limite quando x 0 pois log no est denida para x < 0!
20 CAPTULO 1. LIMITE
x
x = 0
Denio 1.14 (limite quando x tende a ()) Considere uma funo real f de-nida para todo x grande e positivo (negativo). Dizemos que o limite de f(x) quando x tendea () igual a L, denotado por lim
xf(x) = L ( lim
xf(x) = L), se f(x) ca to
prximo de L R quanto quisermos para todo x grande e positivo (negativo) o suciente.
Observao 1.11 Este limite , por natureza, um limite lateral: somente podemos chegar
a pela esquerda e a pela direita. Logo no temos limites laterais no innito.
Observao 1.12 Deixamos s para o leitor denir (mutatis mutandis), os limites:
limx
f(x) =, limx
f(x) = , limx
f(x) =, limx
f(x) = . Veja deni-o rigorosa no Exemplo 2.14 da p.59.
Denio 1.15 (assntota horizontal) Se, quando x ou x , f(x) L R,dizemos que a reta y = L uma assntota horizontal do grco de f .
Exemplo 1.22 Esboce o grco e determine os limites e a assntota horizontal de:
(a) limx 1x6
+ 1 (b) limx
1x5 1 (c) lim
x2x+ 1
x(d) lim
x2 + sen
1
x
Soluo: (a) o limite 1 e a assntota horizontal y = 1. O limite 1. Obtemos o grcocom a translao vertical de 1/x6.
x
y
(a) y = 1x6
+ 1
y = 1
(b) o limite 1 e a assntota horizontal y = 1. Obtemos o grco com a translaovertical de 1/x5.
1.3. LIMITES E INFINITO: ASSNTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS 21
x
y
(b) y = 1x5 1
y = 1
(c) como (2x + 1)/x = 2 + 1/x, quando x a funo vai para 2 pois o segundotermo vai para 0. A assntota horizontal y = 2. O grco a translao vertical de duasunidades de 1/x.
x
y
(c) y =2x+ 1
x
y = 2
(d) 2 pois 1x 0 e portanto sen 1
x sen 0 = 0. A assntota horizontal y = 2. Ogrco a translao vertical de sen(1/x).
x
y
y = 2
(d) y = 2 + sen(1/x)
Exemplo 1.23 Determine, caso exista, os limites quando x e x e a assntotahorizontal:
x
y
(a)
x
y
(b)
22 CAPTULO 1. LIMITE
x
y
y = 1
(c)
x
y
(d)
Soluo: (a) Nenhum dos dois limites existe pois a funo oscila de valor tanto para x grandee positivo como para grande e negativo. No existe assntota horizontal.
(b) limite quando x , limite quando x . Nos dois casos ela seaproxima oscilando (cada vez menos). Embora no tenha assntota horizontal, possui o que
chamamos de assntota oblqua (veja Desao 1.5 da p.43).
(c) limite quando x 1 (oscilando cada vez menos), limite quando x no existe pois funo oscila com amplitude cada vez maior. A reta y = 1 uma assntotahorizontal.
(d) limite quando x , limite quando x . Nos dois casos elase aproxima assintoticamente (sem oscilar). Embora no tenha assntota horizontal, possui
o que chamamos de assntota oblqua (veja Desao 1.5 da p.43). Possui uma assntota
vertical.
Observao 1.13 Note por um dos exemplos apresentados (qual?) que o grco de uma
funo pode cruzar a assntota horizontal uma innidade de vezes. Isto no ocorre para a
assntota vertical (porque?)
Exemplo 1.24 Determine, caso exista: os limites quando x e x ; oslimites laterais quando x 1+ e x 1; o limite quando x 1. Compare com o valorda funo em x = 1.
x
y
x = 1
1
2
(a)
x
y
x = 1
2
(b)
Soluo: (a) limite quando x , limite quando x 0, limite quando x 1 2, limite quando x 1+ , limite quando x 1 no existe (laterais so distintos),f(1) = 1.
1.3. LIMITES E INFINITO: ASSNTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS 23
(b) limite quando x 0, limite quando x no existe pois o valor da funooscila, limite quando x 1 , limite quando x 1+ , limite quando x 1 (laterais so iguais), f(1) = 2.
Para calcular o limite quando x ou de uma funo f(x) = p(x)q(x), comparamos
o crescimento do numerador com o do denominador. Quem crescer mais rpido ganha. Se
o denominador ganhar o limite ser zero. Se o numerador ganhar, ser ou . Sehouver empate, depender de cada caso.
Uma tcnica determinar a maior potncia do numerador e do denominador para x grande
e positivo (ou negativo). Assim teremos que f(x) =p(x)
q(x) x
p
xq. Dependendo se p > q
ou p = q ou p < q determinamos o limite. Para se aplicar esta tcnica com rigor deve-secolocar em evidncia termo de maior grau do numerador e do denominador.
Exemplo 1.25 Calcule: (a) limx
3x2 + 1
1 2x2 ; (b) limxx5 + x3 + 10
x8 x+ 1 ;
(c) limx
x3 5x7 + 10x6 x5 + 1 ; (d) limx
x7 + x2 + 10
x4 x5 + 1 ; (e) limxx x2.
Soluo: (a) Colocando em evidncia os termos de maior grau,
3x2 + 1
1 2x2 =x2
x2 3 + 1/x
2
1/x2 2 =
1 3 + 1/x2
1/x2 2 =3 + 0
0 2 = 3
2.
(b) Colocando em evidncia os termos de maior grau,
x5 + x3 + 10
x8 x+ 1 =x5
x8 1+1/x2+10/x5
11/x7+1/x8 =
1x3 1+1/x2+10/x5
11/x7+1/x8 . Calculando os limites separadamente utilizando a propriedade do produto
dos limites:
1
x3 0 e 1 + 1/x
2 + 10/x5
1 1/x7 + 1/x8 1 + 0 + 0
1 0 + 0 = 1. Logo o limite vale 0 1 = 0.
(c) Colocando em evidncia os termos de maior grau,
x3 5x7 + 10x6 x5 + 1 =
x7
x6 1/x45+10/x711/x+1/x6 =
x 1/x45+10/x711/x+1/x6 . Calculando os limites separadamente utilizando a propriedade do produto doslimites: x e 1/x45+10/x711/x+1/x6 05+010+0 = 51 = 5. Logo o limite vale 5 = .(d) Colocando em evidncia os termos de maior grau,
x7+x2+10x4x5+1 =
x7
x5 1+1/x5+10/x7
1/x1+1/x5 =
x2 1+1/x5+10/x71/x1+1/x5 . Calculando os limites separadamente utilizando a propriedade do produto
dos limites: x2 e 1+1/x5+10/x71/x1+1/x5 1+0+001+0 = 11 = 1. Logo o limite vale(1) = .(e) Trata-se de uma indeterminao do tipo . Coloque em evidncia x: x x2 =
x(1 x). Calculando os limites separadamente utilizando a propriedade do produto doslimites: x e (1 x) obtemos que o limite vale () = . no umaindeterminao.
Erro Comum: Confundir tcnicas de x com x a. Assim o aluno calcula (deforma errada) o limite lim
x1x2 1x 1 = limx1
x 1/x1 1/x , obtendo 1 (j que erradamente o alunopensa que 1/x vai para zero).
Nos exemplos abaixo em que aparecem razes, a tcnica similar, tomando o devido
cuidado com o sinal pois, como j chamamos ateno,
x2 = |x| 6= x.
24 CAPTULO 1. LIMITE
Exemplo 1.26 Calcule os limites:
(a) limx
16x+ 3
x+ 1; (b) lim
x
x2 + 3
5x 7 ; (c) limxx6 3x2 + 2x 33x3 x2 + x 1 .
Soluo: (a) O termo de maior grau do numerador
16x e do denominador x. Colocando-
os em evidncia obtemos:
16x+3x+1
=
16x
1+3/(16x)
x(1+1/x). Separando em dois limites temos que
calcular limx
16x
x= 4 lim
x1x
= 0 e limx
1 + 3/(16x)
1 + 1/x=
1 + 0
1 + 0= 1. Assim o limite
0. Pode-se ver de forma sucinta o mesmo resultado tomando os termos de maior grau,16x+ 3 16x e x+ 1 x (vlidos para x grande!). Assim,
16x+3x+1
16xx
= 4x
x=
4x. Se x ento isto tende a 0.(b) Colocando-os em evidncia
x2 = |x| e 5x e prosseguindo como no caso anteriorbasta calcular o limite lim
x|x|5x. Como x negativo, |x|
5x= x
5x= 1
5, o valor do limite.
(c) Colocando-os em evidncia
x6 = |x|3 e 3x3 e prosseguindo como no caso anteriorbasta calcular o limite lim
x|x|33x3. Como x negativo, |x|
3
3x3= x
3
3x3= 1
3, o valor do limite.
Nos prximos exemplos precisamos racionalizar antes.
Exemplo 1.27 Calcule: (a) limx
x2 + 3x+ 1 x; (b) lim
x
x+xx.
Soluo: (a) Racionalizando com
x2 + 3x+ 1 + x obtemos
(x2 + 3x+ 1)2 x2x2 + 3x+ 1 + x
=x2 + 3x+ 1 x2x2 + 3x+ 1 + x
=3x+ 1
x2 + 3x+ 1 + x.
Agora podemos calcular o limx
3x+ 1x2 + 1 + x. Coloque x em evidncia no numerador e de-
nominador e obtenha
x(3 + 1/x)
x(
1 + 1/x2 + 1). O x entrou na raiz como x2. Cancelando o x
obtemos
3 + 1/x1 + 1/x2 + 1. Se x obtemos 3 + 0
1 + 0 + 1=
3
2.
(b) Racionalizando com
x+x+x obtemos
(x+x)2 (x)2
x+x+x
=x+x x
x+x+x
=
x
x+x+x.
Dividindo-se o numerador e denominador por
x (ou, o que d na mesma, colocando-se
x em evidncia) obtemos
11 +x/x+ 1
=1
1 + 1/x+ 1. Se x obtemos
11 + 0 + 1
=1
2.'
&
$
%
Observao 1.14 Quase sempre o limite no e no o mesmo. Isto verdadepara funes racionais quando o limite nito. Quando o limite innito podemos ter por
exemplo limx
x2
x+ 1= 6= lim
xx2
x+ 1= . Outro exemplo onde o limite distinto limx
ex = 6= limx
ex = 0.
1.3. LIMITES E INFINITO: ASSNTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS 25
Erro Comum: Escrever que limx
9x2 + 3
5x 7 = 3/5. Note que
9x2+35x7
9x2
5x= 3 |x|
5x.
Se x > 0,
9x2 = 3|x| = 3x e se x < 0, 9x2 = 3|x| = 3x.Assim, lim
x
9x2 + 3
5x 7 =3
5e limx
9x2 + 3
5x 7 = 3
5.
Nos exemplos abaixo (e alguns que j apareceram) no existe tcnica geral pois envolvem
funo transcendente (Denio 1.10 da p.14) como por exemplo: senx, cosx, ex, log x.
Exemplo 1.28 Calcule os limites, esboce o grco e determine todas as assntotas (verticais
e horizontais).
(a) limx
ex + 1; (b) limxpi/2
2
cos(x); (c) lim
x0e1/x
2
;
(d) limx1
1
log(x); (e) lim
x0+1
log(x).
Soluo: (a) ex e = e = 1/e = 1/ = 0. Logo, ex+ 1 1. Para o esboo,quando x aumenta o valor da funo diminui. Faa translao vertical. A nica assntota y = 1, assntota horizontal.
x
y
y = 1
(a) y = ex + 1
(b) Como cos(x) > 0 para x prximo de pi/2 mas menor que isto, o limite .Para o esboo comece com o grco do cosseno (pontilhado na gura abaixo). Quando o
valor, em mdulo, da cos, o valor de 2/ cos diminui em mdulo. Nos pontos onde cos(x) = 0,isto , nos pontos x = 2kpipi/2 para k Z, 1/ cos(x) . Assim as assintotas verticaisso nestes pontos.
x
y
x = pi2
x = pi2 x =
3pi2
x = 3pi2
x = 5pi2
x = 5pi2
y = cos(x)
(b) y =2
cos(x)
(c) quando x 0, 1/x2 . Assim, e1/x2 e = 1/e = 1/ = 0.
26 CAPTULO 1. LIMITE
Para o esboo, a funo sempre positiva. Perto do zero se aproxima de zero e longe se
aproxima e0 = 1.
x
y
y = 1
(c) y = e1/x2
(d) Como log(1) = 0 e log(x) > 0 para x > 1, limx1+
f(x) = . Como log(x) < 0 parax < 1, lim
x1f(x) = . Como os limites laterais so distintos, o limite no existe.(e) Como log(x) , 1/ log(x) 0.Para o esboo de 1/ log, comece com o esboo de log (pontilhado na gura abaixo).Quando log zero, 1/ log . O que ocorre prximo do 0 que o grco cola no eixoy, embora neste grco isto no que claro. Convido o leitor a utilizar um programa (vejaSeo 1.1) que plote grcos para investigar este ponto.
x
y
x = 1
y = log(x)
(d), (e) y =1
log(x)
Exemplo 1.29 Calcule: (a) limx
log(|x|); (b) limx
sen(x);
(c) limx
1
sen(x); (d) lim
x(log(3x) log(x 5)).
Soluo: (a) |x| e portanto, log(|x|) . (b) Este limite no existe pois o senooscila entre 1 e 1. (c) Este limite no existe pois como o seno oscila, 1/ sen(x) vai oscilar de1 at e de 1 at . (d) Temos um caso de indeterminao . Por propriedadedo logaritmo, (log(3x) log(x 5)) = log
(3x
x 5). Como lim
x3x
x 5 = 3, a resposta log(3).
Exemplo 1.30 Calcule: (a) limx
IQ(x). (b) limxbxc.
1.4. INDETERMINAES DO LIMITE 27
Soluo: (a) Veja o grco na p.11. Limite no existe pois funo oscila entre 0 e 1.(b) Veja denio e grco da funo bxc no Exemplo 1.11 da p.11. Limite poisquando x a funo se aproxima de passando somente pelos inteiros.
1.4 Indeterminaes do Limite
As propriedades bsicas do limite (da soma, do produto, etc.) que apresentamos anterior-
mente no podem ser aplicadas quando o denominador se anula ou quando surge ou .Algumas extenses destes resultados so possveis. Alguns exemplos:
Se limxc
f(x) = limxc
g(x) =, ento limxc
(f(x) + g(x)) = limxc
(f(x) g(x)) =. Se lim
xcf(x) = e lim
xcg(x) nito, ento lim
xc(f(x) + g(x)) =.Estes teoremas podem ser apresentados atravs do seguinte quadro.
So limites determinados:
Para soma/subtrao, qualquer k R (incluindo k = 0),+ = k + =, = k = .Para produto/diviso:
= () =, () = = .Para qualquer k R (incluindo k = 0), k =
k
= 0.Se k > 0: k =
k=, k () =
k= .Se k < 0: k () =
k=, k =
k= .Para exponenciao, para k R:Se |k| < 1: |k| = 0, |k| = 1|k| =
1
0+=.
Se |k| > 1: |k| =, |k| = 1|k| =1
= 0.
=, = 1 = 0, (0+) = 0, (0+) =
1
(0+)=
1
0+=.
Indeterminaes do limite: O perigo que no nmero! Assim temos as seguintesindeterminaes:
, (), +, + () ,
0
0,
k
0,
0, 0 (), 1, 00, ()0.
'
&
$
%
Observao 1.15 A indeterminao 1, que estudaremos no limite fundamental da ex-ponencial no Teorema 1.19 da p.37, surge no modelo de juros contnuos compostos. Este
caso a fronteira do comportamento de a. Se 0 < a < 1 ento a = 0 (multipliqueum nmero positivo menor que 1 por ele mesmo uma innidade de vezes). Se a > 1 entoa =. Mais exemplos de indeterminaes no Desao 4.1 da p.130.
Exemplo 1.31 Calcule os limites abaixo (que ilustram casos de indeterminao indicados
entre colchetes):
(a) limx0
1
x2 1x4
[]; (b) limx0
1
x4 1x2
[];
(c) limx
x2 + 1
3x2 + 5[
]; (d) lim
x06x2
2x
[0
0
]; (e) lim
x06x
2x
[0
0
];
28 CAPTULO 1. LIMITE
(f) limx0
x 1x4
[0 ]; (g) limx0
x 1x
[0 ].
Soluo: (a) Colocando o mesmo denominador vemos que
1
x2 1x4
=x2 1x4. Para x
prximo de zero o numerador negativo (1) e o denominador sempre positivo. Portantoo limite quando x 0 . (b) Fazendo anlise similar, o numerador ser 1 x2.Portanto o sinal ser positivo e o limite ser. (c) Divida numerador e denominador por x2:x2 + 1
3x2 + 5 =1 + 1/x2
3 + 5/x2 1 + 0
3 + 0 = 1/3. (d)6x2
2x=
6x
2 0. (e) 6x
2x=
6
2 3.
(f) Como x 1x4
=1
x3, o limite quando x 0 no existe pois dependendo do lado que sechega em zero: pela direita , pela esquerda . (g) x 1
x= 1 1.
Exemplo 1.32 Se f(x) = x2(3 + senx) e g(x) = 1/x2, determine o tipo de indeterminaoe calcule lim
xf(x)g(x).
Soluo: Como 3 + senx 2, f(x) 2x2. Como 2x2 quando x, f(x).Por outro lado, g(x) 0. Trata-se de indeterminao 0. Como f(x)g(x) = (3 + senx),o limite do produto no existe (pois oscila entre 2 e 4).
Limites que no sabemos calcular no momento: Hierarquia do innito.
Quem cresce mais rpido: x2, log x, 2x, xx, xn (n N)? Determinamos isto calculando olimite quando x do quociente entre duas funes. Com isto estabelecemos a hierarquiado innito: entre os innitos, quem mais innito. Sabemos fazer isto com
x, xn, masno com estas funes. No sabemos calcular agora mas vamos em breve (Seo 4.1 da
p.93) saberemos com a tcnica de L'Hospital limx
ex
xn, lim
xlog(x)
xn.
Exemplo 1.33 Determine quem cresce mais rpido entre: x, 3x,x, x3.
Soluo: Como
3xx
=x1/3
x1/2=
1
x1/6, limx
3xx
=1
= 0. Logox mais rpido que
3x. De forma anloga obtemos que, para x grande, 3
x = x1/3 0. Determine os limites:(a) lim
x0(1+ax)b/x; (b) lim
x
(cx2 + a
cx2 + b
); (c) lim
x
(cx2 + ax bx
);
(d) limx
(cx2 + ax
cx2 + bx
); (e) lim
x
(cx2 + ax
cx2 + bx
).
Prob 1.8:Considere os polinmios p(x) = axm + x2 3x+ 1, q(x) = bxm + 2x5 4,r(x) = cx2m + 3x7 + 2 com m > 10, a, b 6= 0 e c > 0. Determine os limites:(a) lim
xp(x)
r(x)(b) lim
xq(x)
p(x)(c) lim
xr(x)
x2p(x)
(d) limx
xmp(x)
r(x)(e) lim
x
r(x)
p(x)(f) lim
x
r(x)
xq(x)
Prob 1.9:Determine os limites laterais quando x 0 para:(a) h(x) =
1
1 + e1/x; (b) h(x) =
1
x 1|x| .Prob 1.10: Sabendo que o quadro de sinais de f(x) dado pela tabela abaixo e quelimx
f(x) = 4 e limx
f(x) = , esboce o grco de f(x) e determine todas as assn-totas verticais e horizontais.
3 2 3 40 0
f(x) + +Prob 1.11:Esboce o grco de cada uma das funes abaixo seguindo o roteiro abaixo.
(i) Faa um estudo do sinal da funo (onde ela zero, positiva e negativa).
42 CAPTULO 1. LIMITE
(ii) Determine assntotas horizontais e verticais.
(iii) Baseado em (i) e (ii) esboce o grco.
(a) y =x2 1x 1 ; (b) y =
1
x2 1 ; (c) y =x
x2 + 1
(d) y =x2 1x(x 2) ; (e) y =
3x2 34 x2 ;
Prob 1.12:Considere h(x) =
{x; x Qx; x 6 Q. Esboce o grco e determine (se existir):
(a) limxpi
h(x); (b) limx1
h(x); (c) limx0+
h(x)
x2; (d) lim
xh(x)
x2; (e) lim
x0h(x)
x.
Prob 1.13: (a) Suponha que h satisfaz
x
x3 + x h(x) x
x2 + 1. Determine lim
xh(x).
(b) Suponha que f(x) satisfaz |f(x) 3| 2|x 5|4. Calcule limx5
f(x).
Prob 1.14:Calcule os limites abaixo (quando eles existirem) justicando seus passos (sem
utilizar a regra de L'Hospital): Limites trigonomtricos e exponenciais.
(a) limx0
(tan(3x))2 + sen(11x2)
x sen(5x); (b) lim
x3x2sen
(1
x2
); (c) lim
x0cosx cos3 x
3x2;
(d) limh0+
sen(h) tan(2
h)
5h; (e) lim
x1sen
(7x+ 1
sen(pix/2) 1)
(ex1 1);
(f) limh0+
(1 5h3)2/h3 ; (g) limxpi
senx
x pi ; (h) limx0senx
|x| .
1.7.3 Extras
Ext 1.1:Partindo de grco de funes simples (x2,1/x,1/x2,x, sen(x), |x|), utili-zando translaes verticais e/ou horizontais e/ou reexes, esboce o grco de:
(a) y = | sen(x)| 1; (b) y = ||x| 1|; (c) y = |x+ 2| 1.Ext 1.2:Faa um esboo de um grco de uma funo f tal que, simultaneamente:lim
xf(x) = 4, lim
xf(x) = , lim
x1f(x) = , f(1) = 1, lim
x1+f(x) = 2.
Ext 1.3:Determine limx0
sengr(x)
x, onde sengr a funo seno do ngulo x medido em graus.
Note que para a funo seno utilizada em clculo, o ngulo medido em radianos.
Ext 1.4:Esboce o grco de: (a) y = x+ |x|; (b) x bxc.Ext 1.5:Determine os limites:
(a) limx1|x| 1|x 1| ; (b) limx1
x3 + 1
(x 1)2 ; (c) limx2x2 + 2x
x3 x ; (d) limx1x3 x
x2 3x+ 2 ;
(e) limxpi
cos
(1
x pi)
(x pi); (f) limx2
x2 + 3x 1x2 + 2x 1 ; (g) limx1
x3 1x2 1 .
Ext 1.6:Determine: (a) limx
(x4 + x x2
); (b) lim
x2x+ |x|x+ 1;
(c) limx
2x+ |x|x+ 1; (d) lim
xx+ 1
x+ |x|+ 1 .
Ext 1.7:Dado a R, determine: (a) limx
(x+ ax); (b) lim
x
(x2 + a x
).
Ext 1.8:Esboce o grco de: (a) f(x) =
{1; x Q;2; x 6 Q. (b) g(x) =
{x; x Q;x2; x 6 Q.
1.7. EXERCCIOS DE LIMITE 43
1.7.4 Desaos
Des 1.1:Considere as curvas no plano Cn = {(x, y) R2; |x|n + |y|n = 1} eC = {(x, y) R2; lim
n(|x|n + |y|n) = 1}. Esboce: (a) C2. (b) C1. (c) C.Des 1.2:A funo parte inteira de x, denotada por bxc denida no Exemplo 1.11 da p.11.(a) Calcule, se existir: lim
xx
1
x
. (b) Calcule, se existir: lim
xx
1
x
.
(c) Esboce o grco de f(x) = x
1
x
. (d) Calcule, se existir: lim
x0x
1
x
.
Des 1.3:Considere f(x) = A sen(mx) + B cos(mx). Prove que existem C (potncia dosinal) e (fase do sinal) tais que f(x) = C sen(mx+ ).
Des 1.4:Determine: (a) limx
(ex + x)1/x. (b) limx
(1 + x)/ log x, com 6= 0.Des 1.5: Como calcular assntotas oblquas e generalizaes?
Dividindo os polinmios e separando em quociente e resto.
Assim,
x2 + 3x+ 2
x 1 = q(x) +6
x 1 . Para x grande,x2 3x+ 2
x 1 q(x), sua assntotaoblqua. Plote uns grcos para ver como se parecem. O mesmo ocorre quando a diferena
entre os graus do numerador e denominador maior que 1.
Des 1.6:Determine limx0+
1
x sen(1/x). Tente esboar o grco perto do zero desta funo.
Utilize algum software para isso.
Des 1.7: (Caricatura de sen(1/x) do livro do Spivak de Clculo) Esboce o grco da funof que satisfaz:(i) f(1/n) = (1)(n+1),(ii) f linear entre [1/(n+ 1), 1/n] (segmento de reta),(iii) f(x) = 1 para x > 1,(iv) f(x) = f(x).Des 1.8:Prove que a rea do crculo de raio r pir2 seguindo o seguinte roteiro:
(a) Mostre que a rea do polgono de n-lados inscrito no crculo n
2r2 sen(2pi/n).
(b) Mostre que a rea do polgono de n-lados circunscrito no crculo nr2 tan(pi/n).(c) Faa n e conclua o argumento.Des 1.9: Sejam f e g duas funes tais que |f(x)| M para todo x R e lim
x1g(x) = 0.
Mostre que
limx1
f(x)g(x) = 0.
Des 1.10:Objetivo desta atividade aproximar a funo fatorial. fcil ver que ( ^ )
n! =
(1
2
)(2
3
)2(3
4
)3(4
5
)4 (n 1n
)n1nn.
Logo n! = nnn1j=1
(j
j + 1
)j= nn/
n1j=1
(1 + 1/j)j. J sabemos que o termo (1 + 1/j)j
tende para e quando j tende para innito. Portanto n! nn/en1 = e(n/e)n (vide [Fe]).Utilizando esta aproximao, determine os limites, quando n vai para innito, de:
(a)
n!
n; (b)
n!
n5; (c)
n!
en; (d)
n!
nn/2; (e)
n!
nn.
44 CAPTULO 1. LIMITE
Obs: Podemos denir fatorial de no-inteiros (e at mesmo de complexos) com a funo
gama de Euler (ver Desao 5.13 da p.168).
Obs: Utilizando outro caminho (vide [C] p.361364 ou [Sp] p.483) obtemos a frmula
de Stirling
7
: n! =
2pin(n/e)nen com || 1/12.
Des 1.11: Dena o nmero e por e =n=0
1
n!e prove que e 6 Q ( irracional) seguindo oroteiro abaixo.
(a) Suponha por absurdo existem p, q N tais que e = p/q. Mostre que
p(q 1)!q
n=0
q!
n!=
n=q+1
q!
n!.
Dica: Multiplique e por q!.(b) Mostre que o lado esquerdo da igualdade em (a) um inteiro.
(c) Mostre que o lado direito da igualdade em (a) igual a um nmero entre 0 e 1.
Dica: Simplique o fatorial e compare com a PG de razo 1/2.(d) Conclua a prova mostrando que (b) + (c) contradiz (a).
Des 1.12: (sequncia de Fibonacci
8
) Considere a sequncia Fn denida da seguinte forma:(a) F0 = 0, (b) F1 = 1, (c) Fn+2 = Fn + Fn+1 para todo n > 1. conhecida como sequncia de Fibonacci e modela o nmero de par de coelhos depois
de n meses (ver detalhes na internet). Alguns termos: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .
Supondo que o limite de Fn+1/Fn exista quando n, prove que limn
Fn+1Fn
= , onde
= (1 +
5)/2, conhecida como razo urea.Dica: Divida a relao (c) por Fn. Supondo que o limite exista, mostre que
2 = + 1.
7
James Stirling: ?1692 Garden, Esccia 1770 Edinburgh, Esccia.8
Leonardo Pisano Bigollo: ?1170 Pisa, Itlia 1250 Pisa, Itlia.
Captulo 2ContinuidadeObjetivos: Apresentar denio de continuidade em um ponto e em um intervalo. Apre-
sentar, demonstrar e aplicar o Teorema do Valor Intermedirio (TVI), o primeiro teorema
importante do Clculo. Os Teoremas bsicos de continuidade (da soma, diferena, produto,
composta de funes contnuas) so consequncia direta de Teoremas correspondentes do
limite.
Deixamos para uma seo opcional questes delicadas como o que (como denir) e
porque so contnuas: funo raiz e transcendentes (seno, cosseno, exp, log). Terminamos o
captulo com uma seo opcional de introduo anlise, disciplina que fundamenta o clculo.
2.1 Denio de Continuidade
Denio 2.1 (continuidade num ponto) Dizemos que f contnua em c R se:(a) f est denida perto de c (numa vizinhana de c, veja Denio 1.4 da p.2).(b) lim
xcf(x) = f(c) (o limite existe no ponto e igual a f(c)).
Pela Denio 1.1 da p.2, a funo f contnua em x = c se f(x) ca to prximo def(c) quanto quisermos para todo x sucientemente prximo de c.
Observao 2.1 Na linguagem de vizinhana (Denio 1.4 da p.2), dada vizinhana Vqualquer de f(c), existe vizinhana WV de c tal que se x WV , ento f(x) V . Paradenio rigorosa de continuidade veja Denio 2.17 da p.59.
Denio 2.2 (continuidade em intervalos)
Dizemos que f contnua em (a, b) se f contnua em c para todo c (a, b).Dizemos que f contnua em [a, b] se f contnua em (a, b) e alm disso os limiteslaterais so iguais ao valor da funo no extremos:
(a) limxa+
f(x) = f(a) e (b) limxb
f(x) = f(b).
Exemplo 2.1 Considere f esboada no grco abaixo.
(a) Determine se contnua ou no nos pontos a, b, c, d, e. Determine, caso no sejacontnua, qual (quais) condies so violadas.
(b) Determine se contnua ou no nos intervalos: (a, b), [a, b], [b, c], (c, d), (c, e), [c, d].
45
46 CAPTULO 2. CONTINUIDADE
x
y
a b c d e
Soluo: (a) Como limxa
f(x) existe e igual a f(a), f contnua em a.
O limxb
f(x) no existe pois o valor da funo oscila bruscamente prximo (e esquerda)
de b (um modelo deste comportamento y = sen(1/x) do Exemplo 1.9 da p.10 em x = 0).O limite direita existe e igual ao valor da funo: f(b) = lim
xb+f(x). De todo modo, como
um dos limites laterais no existe, o limxb
f(x) no existe. Portanto, f descontnua em b.
Em c os dois limites laterais existem mas so distintos entre si: f(c) = limxc+
f(x) 6=limxc
f(x). Portanto, f descontnua em c. Observe que o grco quebra em c.
Em d o limite existe mas diferente do valor da funo: f(d) 6= limxd
f(x). Portanto, f
descontnua em d. Observe que o grco pula em d.Em e os dois limites laterais existem mas so distintos entre si e do valor da funo:
f(e) 6= limxe+
f(x) 6= limxe
f(x). Portanto, f descontnua em e. Observe que o grco
quebra e pula em e.(b) contnua em (a, b) e (c, d) (comportamento de f nos extremos do intervalo noimporta). contnua em [b, c] pois lim
xb+f(x) = f(b) e lim
xcf(x) = f(c) (embora no
existam limites limxb
f(x) e limxc
f(x))).
No contnua em [a, b] pois no existe o limite quando x b.No contnua em [c, d] pois lim
xc+f(x) 6= f(c) (ou lim
xdf(x) 6= f(d)).No contnua em (c, e) pois d (c, e) e lim
xdf(x) 6= f(d).
Observao 2.2 Informalmente, uma funo f contnua em um intervalo se pudermosdesenhar o grco de f neste intervalo sem retirar o lpis do papel. Ou ainda, f contnua se o grco no contm pulos, quebras ou oscilaes bruscas.
Exemplo 2.2 Verique se so contnuas em c = 0:
(a) g(x) =
x2
x+ 3; x 6= 0
3; x = 0; (b) h(x) =
senx
|x| ; x 6= 02; x = 0;
(c) j(x) =
{x2 9; x 03x 9; x < 0 ; (d) f(x) =
{sen(1/x); x 6= 01; x = 0;
(e) k(x) =
{x sen(1/x); x 6= 01; x = 0.
Soluo: (a) Como o limite quando x 0 3 = f(0), a funo contnua no 0.(b) O limite quando x 0 no existe. Isto ocorre pois quando x 0+, |x| = x e a funo
2.1. DEFINIO DE CONTINUIDADE 47
senx
x: o limite 1 neste caso. Quando x 0, |x| = x e a funo senxx : o limite
1 neste caso. Portanto a funo descontnua no 0. (c) Como os limites laterais em 0 soambos = 9 = f(0), f contnua em 0. (d) Veja o grco na p. 11. Como esta funo nopossui limite quando x 0, a funo descontnua em 0. (e) Veja sequncia de grcos nap. 32. Como o limi