CURSO CERO DE MATEMÁTICAS - web.ua.es · Curso cero de matemáticas Cálculo Diferencial -5- Sea f una función real de variable real, y . 0 o xD∈ f, entonces: es derivable enf

CURSO CERO DE

MATEMÁTICAS

Cálculo Diferencial Dra. Mónica Cortés Molina - Dr. Fernando García Alonso

Dr. José A. Reyes Perales - Dr. Ferran Verdú Monllor

Curso cero de matemáticas Cálculo Diferencial

-2-

RESUMEN TEORÍA DE CÁLCULO DIFERENCIAL Derivadas La derivada de una función se puede interpretar geométricamente como la pendiente de una curva y, físicamente como una razón “instantánea” de cambio. Interpretación geométrica - Tangente a una curva A principios del siglo XVII no se sabía cómo calcular la tangente a una curva en un punto de la misma. Este problema se presentaba con frecuencia en mecánica, en óptica y en geometría. Vamos a estudiar el concepto general de tangente a una curva en un punto dado. En general, no es un caso sencillo encontrar la pendiente de esta tangente. La razón es que, en principio, se necesita para esto otro punto, además del de tangencia. Supongamos que queremos encontrar la tangente a la curva de ecuación cartesiana y = f(x) en el punto (a, f(a)). La estrategia, utilizada primero por Pierre de Fermat y más tarde por Newton, consiste en aproximar la tangente por rectas secantes las pendientes de las cuales se pueden calcular directamente. En particular, consideramos la recta que une el punto (a, f(a)) con un punto próximo, (a+h, f(a+h)), de la gráfica de f. Esta recta se llama secante (recta que corta, pero no es tangente a la curva). La pendiente de esta secante es:

( ) ( ) ( ) ( )( )

f a h f a f a h f aa h a h+ − + −

=+ −

dicho número se suele decir cociente incremental de f en a.

Notemos que una secante es una buena aproximación de la tangente, siempre que el punto (x, f (x)) esté muy próximo a (a, f (a)). Estas consideraciones llevan a definir la tangente de f en el punto (a, f (a)) como la recta que pasa por dicho punto y, en la cual, la pendiente es igual al límite:

0

( ) ( )'(a) limh

f a h f afh→

+ −=

supuesto, claro es, que dicho límite exista (sea finito).


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Recta tangente: ( ) '( )( )y f a f a x - a− = Interpretación física - Razón de cambio Muchas leyes de la Física, la Química, la Biología o la Economía, son funciones que relacionen una variable “dependiente” y con otra variable “independiente” x, lo que suele escribirse en la forma y = f (x). Si la variable independiente cambia de un valor inicial a a otro a+h, la variable y lo hace de f (a) a f (a+h). La razón de cambio medio de y = f (x) con respecto a x en el intervalo [a, a+h] es:

Razón de cambio medio = ( ) ( )f a h f ah

+ −

Con frecuencia interesa considerar la razón de cambio en intervalos cada vez más pequeños. Esto lleva a definir lo que podemos denominar “razón de cambio puntual de y = f (x) con respecto a x en el punto a” como:

0

( ) ( )limh

f a h f ah→

+ −

El ejemplo más conocido de lo que estamos diciendo es el de una partícula que se mueve a lo largo de una recta sobre la cual hemos elegido un origen. Sea f(t) la distancia de la partícula al origen en el tiempo t. La razón de cambio medio tiene en este caso una interpretación física natural. Es la velocidad media de la partícula durante el intervalo de tiempo considerado. Parece intuitivo que, en cada instante, la partícula se mueve con una determinada velocidad instantánea. Pero la definición corriente de velocidad es en realidad una definición de velocidad media; la única definición razonable de velocidad instantánea es como la razón de cambio puntual. Es importante darse cuenta que la velocidad instantánea es un concepto teórico, y una abstracción, que no corresponde exactamente a ninguna cantidad observable. Derivada de una función en un punto Notación. En lo que sigue las letras Y y J representan intervalos abiertos no vacíos de números reales.

• Se dice que una función f : Y →R es derivable en un punto a Î Y, si existe el límite:

0

( ) ( )'( ) limh

f a h f af ah→

+ −=

• Se dice que f es derivable por la izquierda en a si existe el límite:

0

( ) ( )'( ) limh

f a h f af ah−

−

→

+ −=

El valor de dicho límite se llama derivada por la izquierda de f en a.

• Análogamente, se dice que f es derivable por la derecha en a, si existe el límite:


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0

( ) ( )'( ) limh

f a h f af ah+

+

→

+ −=

El valor de dicho límite se llama derivada por la derecha de f en a.

Reglas de derivación Sean f, g: Y →R dos funciones. Se verifican las siguientes afirmaciones:

1. La función suma f +g es derivable en todo punto a Î Y en el que f y g sean derivables; en tal caso, la derivada viene dada por:

(f +g)′(a) = f ′(a)+g′(a)

2. La función producto f · g es derivable en todo punto a Î Y en el que f y g sean derivables; en tal caso, la derivada será:

(f · g)′(a) = f ′(a) g(a)+ f (a) g′(a)

3. Si g(x) ≠ 0 para todo x Î Y, la función cociente f g es derivable en todo punto a Î Y en el que f y g sean derivables. En tal caso se verifica que:

( )

'

2'( ) ( ) ( ) '( )( )

( )f f a g a f a g aag g a

−=

Derivación de una función compuesta o regla de la cadena Sean f: Y →R y g: J →R con f(Y) ⊆ J, y sea p = g f : Y →R la función compuesta. Supongamos que f es derivable en a Î Y y que g es derivable en f (a). Entonces p es derivable en a y:

p′(a) = g′( f (a)) f ′(a). En particular, si g es derivable en J, la función compuesta p = g f es derivable en todo punto de Y donde f sea derivable. Diferencial de una función en un punto

Sea una función real de variable real, y 0

ofx D∈ , se dice que f es diferenciable en 0x , si

existe una aplicación lineal: 0

0

( ) :( )( )

df xh df x h→→

tal que 0 0 0

0

( ) ( ) ( )( )lim 0h

f x h f x df x hh→

+ − −= .

Dicha aplicación lineal, es única y se le llama diferencial de f en 0x .


-5-

Sea f una función real de variable real, y 0

ofx D∈ , entonces: f es derivable en 0x si, y

sólo si, f es diferenciable en 0x . Además: 0 0( )( ) ( )·df x h f x h′= . El número real 0 0( )( ) ( )·df x h f x h′= se escribe como 0( )·dy f x h′= . En el caso particular de ser ( )y f x x= = , como para todo 0x , 0( ) 1f x′ = , 0( )( ) 1·dx x h h= . En consecuencia, si para el caso general ( )y f x= se escribía 0( )( )df x h dy= , parece natural denotar 0( )( )dx x h por dx, luego dx = h. Obteniéndose, la notación habitual:

0( )·dy f x dx′=

Sea f una función real de variable real, y 0

ofx D∈ entonces f es diferenciable en

0 0 0 0( ) ( ) ( )( ) h (h)x f x h f x f x h ε′⇔ + − = + donde ε es una función real de variable real tal que

0lim ( ) 0h

hε→

= .

La diferencial en un punto 0x , es la aplicación lineal que mejor aproxima a

0 0( ) ( )f x h f x+ − , en un entorno suficientemente pequeño de 0x . Interpretación geométrica de la diferencial de una función en un punto La diferencial de una función en un punto es el incremento de la ordenada medido sobre la tangente a la curva representativa en ese punto. La diferencia entre la diferencial de la función dy, y el incremento de la función ∆y, se pone de manifiesto en las figuras siguientes:


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Tabla básica de derivadas Función Derivada Función Derivada

Reglas básicas de derivación

Suma

Producto

Cociente

Regla de la cadena

Función recíproca


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Derivación logarítmica

Tabla de primitivas

1) ∫ += Cxdx 2) ∫ += Ckxkdx , k es constante

3) Cnxfdxxfxf

nn +

+=′

+

∫ 1)()()(

1`

, 1−≠n 4) ( ) ln ( )( )

f x dx f x Cf x′

= +∫

5) Cedxxfe xfxf +=′∫ )()( )( 6) Ca

adxxfaxf

xf +=′∫ ln)(

)()( , 0>a

7) ∫ +−=′ Cxfdxxfxf )(cos)(sen)( 8) ∫ +=′ Cxfdxxfxf )(sen)(cos)(

9) ( ) tg ( ) ln cos ( )f x f x dx f x C′ = − +∫ 10) Cxfdxxfxf +=′∫ )(senln)(ctg)(

11) Cxfdxxf

xf+=

′∫ )(tg

)(cos)(

2 12) Cxfdxxf

xf+=

−

′∫ )(arcsen

)(1)(

2

13) Cxfdxxfxf

+=−

′−∫ )(cosarc

)(1)(

2 14) Cxfdxxfxf +−=′∫ )(cot)(csc)( 2

15) ∫ +=′ Cxfdxxfxfxf )(sec)(tg)(sec)( 16) ∫ +−=′ Cxfdxxfxfxf )(csc)(cot)(csc)(

17) ( )22

( ) 1 ( )( )

f x f xdx arctg Ca aa f x

′ = + +∫ 18)

( )22

( ) 1 ( )( )

f x f xdx arcctg Ca aa f x

′ = − + +∫

19) Caxfaxf

adxxf

xfa+

+−−

=′−∫ )(

)(ln2

1)()(

122 20) C

axfaxf

adxxf

axf+

+−

=′−∫ )(

)(ln21)(

)(1

22

21) ( )

( )22

22

( ) ( )argsenh ln ( ) ( )( )

f x f xdx C f x a f x Caa f x

′ = + = + − + −

∫

22) ( )

( )2 2

2 2

( ) ( )argcosh ln ( ) ( )( )

f x f xdx C f x f x a Caf x a

′ = + = ± − + −

∫

Fórmulas de sustitución: ( )( ) ( ) ( )duugdxxfxfg ∫∫ =′ , donde el cambio de variable es

( )xfu = .


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Fórmula de integración por partes: ∫ ∫−= vduuvudv

Primitivas racionales: ( )( )

P x dxQ x∫

1. Si P(x)=Q’(x) : ( ) ln | ( ) |( )

P x dx Q x CQ x

= +∫

2. Si Grado P(x) ≥ Grado Q(x): ( ) ( )( )( ) ( )

P x r xdx C x dxQ x Q x

= +

∫ ∫

3. Si Q(x) tiene raíces reales: Descomponer ( )( )

P xQ x

en fracciones simples e

integrar.

4. Si 2

1 dxax bx c+ +∫ y Q(x) tiene raíces complejas: Completar cuadrado e

integrar. Será de tipo arctg.

5. Si 2

mx n dxax bx c

++ +∫ y Q(x) tiene raíces complejas: Separar en 2, la primera

será de tipo ln y la segunda corresponderá a un caso 4.

6. Si Q(x) tiene raíces complejas múltiples: Aplicar HERMITTE.

a. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

P x U x V xdx dxQ x R x S x

= +∫ ∫ donde

R(x): m.c.d. (Q(x) y Q’(x)). S(x): cociente de Q(x)/R(x). U(x): Polinomio con coeficiente a determinar de un grado más pequeño que R(x). V(x): Polinomio con coeficiente a determinar de un grado más pequeño que S(x).

b. Derivar la expresión anterior y calcular los coeficientes

indeterminados.

c. Integrar ( )( )

U x dxS x∫ .


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Identidades trigonométricas:

1) 1cos22 =+ xxsen 2) x

senxtgxcos

= 3) senx

xx coscot =

4) x

xcos

1sec = 5) senx

x 1csc = 6) xxtg 22 sec1 =+

7) xx 22 csccot1 =+ 8) ( ) xsenxxsen cos22 = 9) xsenxx 22cos)2cos( −=

10) xtg

tgxxtg 212)2(−

= 11) ( )2

2cos12 xxsen −= 12)

2)2cos(1cos2 xx +

=

13) ( )( )x

xxtg2cos12cos12

+−

= 14) ( )xtg

tgxxsen 2122+

= 15) ( )xtgxtgx 2

2

112cos+−

=

Otras identidades: 1) ( ) xsenyysenxyxsen coscos ±=± 2) ( ) senxsenyyxyx coscoscos =±

3) ( )tgxtgy

tgytgxyxtg1±

=± 4) ( ) ( )[ ]yxyxsenxseny +−−= coscos21

5) ( ) ( )[ ]yxsenyxsenysenx −++=21cos 6) ( ) ( )[ ]yxyxyx −++= coscos

21coscos

Primitivas trigonométricas: [ ]sen( ),cos( )R x x dx∫

Primitivas irracionales:

Impar en sen(x) Impar en cos(x) Par en sen(x) y cos(x) Cambio general

2

2

cos( )

sen( ) 11

1

x t

x t

dxt

=

= −−

=−

2

2

sen( )

cos( ) 11

1

x t

x t

dxt

=

= −

=−

2

2

2

tg( )

sen( )1

cos( )1

11

x ttx

tdtx

t

dxt

=

=+

=+

=+

2

2

2

2

tg2

2sen( )11cos( )1

21

x t

txttxt

dtdxt

=

=+−

=+

=+


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Tipo Cambio

R función racional

m, n, , p, q enteros


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PROBLEMAS DE CÁLCULO DIFERENCIAL Derivadas 1.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones:

( )( ) ( ) ( )

( )2 3

62 3 4

2

3sin cos 5

) 3 5 ) ln ) sin

) ln 6 1 ) ln sin ) ln tan

) 3 ) ) ln 2 1x x x

a y x x b y x c y x

d y x x e y x f y x

g y h y e i y x+

= − + = =

= − + = =

= = = −

Solución:

( ) ( )

( )

( ) ( )2 3

52 2 3

2

sin cos 2 4

3) 6 3 5 2 3 ) ln ) 4sin cos

2 6 1 2) ) cot ) 6 1 cos sin sin 2

2430) 2 cos 3 ln 3 ) 3 cos sin ) ln 2 12 1

x x x

a y x x x b y x c y x xx

xd y e y x f yx x x x x

g y x x h y e x x i y xx

+

′ ′ ′= − + − = =

−′ ′ ′= = = =− +

′ ′ ′= + = − ⋅ = −−

2.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones:

( )

( )2

3 2322

22 3

3 5

2

) ) 5 ) 2 1

) 1 ) 5sin ) 6

3) sin ) ) 71

x x

x x x

e e x xa y b y x c yx

d y x e y x f y x

g y x h y i y ex

−

− −

+ −= = − =

+

= + = = +

−= = = ⋅

−

Solución:

( )( )

( )

( )( )( )2

4 22222

2 3

3 5

2 2

3 2) ) 6 5 ) 2 1

5cos 2) ) ) 2 5sin 3 61

1 3) cos ) ) 7 6 5 ln 7 12 1 1

x x

x x x

e e x x xa y b y x x c yx

x xd y e y f yx xxxg y x h y i y e x

x x x

−

− −

− + −′ ′ ′= = − =+

′ ′ ′= = =++

−′ ′ ′= = = ⋅ − −− −


( )

2 23 2

2

2

2

) ) log ) tan1 3

3) sin ) ln ) arcsin2 3

1) arctan 1 ) arccos ) arctan

x xa y b y c y xx x

xd y e y x f y

g y x h y i y xx

π

= = = + −

= = =

= + = =

Solución:


-12-

( )( ) ( )( )

( )

22 2 2 2

2 3

4

4 2 22

2 1 6 1) ) ) 6 tan 1 tan(1 ) 3 ln10

1 2) 0 ) ) 2 ln 9

2 1 1) ) ) 2 2 2 1 arctan1

x x xa y b y c y x x xx x x

xd y e y f yx x x

xg y h y i yx x x xx x

− −′ ′ ′= = = ++ −

′ ′ ′= = =−

′ ′ ′= = =+ + +−

4.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones.

( )

( )

2

2 2

2

1) arccos ) ) arctan1

1) ln ) ln ) ln1 1

) log tan ) ln ) ln1

x

x

xx

x

xa y e b y x x c yx

x xd y e y f y xex x

eg y x h y x i ye

−

−

− = = + = +

+= = =

− +

= = =−

Solución:

( )

( )

22 2

2

4 2

2 1 1) ) ) 11 4

4 1 1) ) ) 1 2 1

4 1 1) ) 1 ln ) ln10 sin 2 1

x

x

x

e xa y b y c yxe x x x

x x xd y e y f yx xx x

g y h y x i yx e

−

−

+ −′ ′ ′= = =+− +

− −′ ′ ′= = =− +

′ ′ ′= ⋅ = + =−


( )( )

( )

2 23

3 2 3

1) ) 2 ) 1 11

1 2 2) ln ) ) 2 2 2 2

) cos ) sin ) sin cos

m

p

xx x

a

n

xa y b y x x c y x x xxx

x ed y e y f y axx

g y a bx h y x i y x x

= = + − = − + −+

−= = =

+

= − = = ⋅

Solución: ( )( )( )

( )

( )

1 3 2

1 23 2 2

2 1

1 2 23

1 1 1 3 2 1) ) ) 21 3 1

1 3) ) ) ln2 1 2

2cos) sin ) ) sin 4cos 13 sin

m

p

xx x

a

n n

x m p x m x x xa y b y c yxxx x x

e x ad y e y f y x a a

x xxg y bnx a bx h y i y x xx

−

+

+

−

− + − + + −′ ′ ′= = + + =+ −

−′ ′ ′= = = ⋅

−

′ ′ ′ = − = = −


-13-

6.- Calcula las derivadas de funciones potenciales-exponenciales. Derivación logarítmica:

tg ln(cos )

1ln

) (sen ) )

) (sen ) )

x x

xxx

a y x b y x

c y x d y x

= =

= =

Solución:

( ) ( )

( ) ( )( )

2 tg ln(cos )

1ln

1

ln cos) sec ln(sin ) 1 (sen ) ) tan ln

ln sin(sen )) cot ) 1 ln lnln ln

x x

xx xxx

xa y x x x b y x x x

x

xxc y x d y x x x x xx x x

−

′ = ⋅ + = − ⋅ +

′ ′= − = + ⋅ +


( )

sin

22

2 2 2 2 2

1 ln) 5ln ) 2 ln )

cos 1) ln 1 ) lntg ) arctg ln2sen 2 2

1 cos) arcsen ) arctg ) arcsen1 cos

x xexa y x x b y x c y ax x

x x a x ad y x x e y f yx x x a

x x xg y x a x a h y i y a x aa x a

= + = + − =

− = + + = − + = + +

− = − + = = − + +

Solución: ( )sin

2

3

3 4 42

2 2

2 1 lnsin 5) cos ln ) ) ln

1 1 2) ) ) sin11) 2 ) ) 2

x x xex xxa y x x x b y c y e a ax x x

ad y e y f yx x ax

a xg y a x h y i ya x

− + ′ ′ ′= ⋅ + + = =

′ ′ ′= = =−+

−′ ′ ′= − = =+


2 2 4 32

2 2 2

2arcsin

2 2 2

3

cos 1 8 3 2 3) arccos ) ln tan ) arcsin 12sin 2 2 32 32

1 1 sin) ) ln ) ln1 1 sin

1 1 1 1 1) ) ln ) 3co3cos cos 51 1

a x

x

x

x a x x x x xa y b y c y x xx a x

x a x x xd y e e y f ya xa a x

eg y h y i yx x e

⋅

− − + = = − = + − +

+ − += = =

+ −+ −

+ −= − = =

+ +( )

( )

( ) ( )

2 3

2

2

22 2 2 2 2 2 2

s 5 cos

1) arcsin ) arcsin ) arcsin 1 21

1 1) arcsin ) ln ) ln ln2 2 2 2 2 2

x x

x bj y k y x l y x x xabx

x a m n x am y x x x x n y x a x x a ñ y x aa x a

−

= = = − + − +

− = − + − = − − + − = − + +


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Solución:

( )

3 32 2

arcsin

2 2

33 2

4

2 2 2

2 2

2) ) cos ) arcsin

) ) ) sec

sin 1) ) ) sin coscos 1

1 1) ) ) 1 2

) arcsin )

a x

x

aa y b y ec x c y x xx a

ad y e e y f y xx a x

xg y h y i y x xx e

xj y k y l yx a bx x x

m y x n y x a ñ

⋅

−′ ′ ′= = − =+

′ ′ ′= = =−

′ ′ ′= = =+

−′ ′ ′= = =+ − −

′ ′= = − 2 2) mx nyx a

+′ =−

Problemas geométricos 1.- Usando derivación implícita, hallar la pendiente de la recta tangente a la circunferencia:

2 2 4 2 11 0x y x y+ − + − = En el punto de abscisa x = 2 y la ordenada positiva. Solución: y = 3. 2.- Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva

2sen( ) 4 16x xy y x+ = + , en el punto de abscisa x = 0 y ordenada positiva. Solución:

Recta tangente: 216xy − =

Recta normal: 2 16y x− = −

3.- Hallar la ecuación de una parábola de la forma 2y x bx c= + + que sea tangente a la curva 3( 1)y x= − en el punto de abscisa x = 1. Solución: b = -2, c = 1. 4.- Determinar los puntos en los que la curva 3 2 6 1y x x x= + − + tiene tangente paralela a la recta 2 1y x= + . Solución: (-2, 9) y (4/3, -77/27).

5.- Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la función ln1

xyx

=+ paralelas a la

recta 4 1 0x y− + = .

Solución: ln 2 1 ( 1)2 4

y x+ = − y ln 2 1 ( 2)2 4

y x− = + .


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6.- Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva xy x= en el punto de abscisa x = 1. Solución: y x= . Variación de funciones (ritmos) 1.- Un gas escapa de un globo esférico a razón de 2 3m por minuto. Halle la disminución de su superficie en la unidad de tiempo, cuando el radio es 12 m .

Solución: 31 /3

m min− .

2.- De un embudo cónico sale agua a razón de 1 3cm por segundo. Sabiendo que el radio de la base es de 4 cm. y la altura de 8 cm., calcule el descenso del nivel en la unidad de tiempo en el instante en que la superficie libre se encuentra a una distancia de 2 cm. de la base del embudo.

Solución: 1 /9

cm sπ

− .

3.- Un líquido penetra en un tanque cilíndrico vertical de 6 m. de radio a razón de 8 3 /m min . Halle la variación de la altura del nivel del agua con respecto al tiempo.

Solución: 2 /9

dh m mindt π

= .

4.- Se forma un montículo cónico de arena cuya altura es constantemente igual a los 4/3 del radio de la base. Halle:

a) el incremento de volumen en la unidad de tiempo cuando el radio de la base es de 3 m., sabiendo además que éste aumenta a razón de 25 cm. cada minuto.

b) el incremento del radio en la unidad de tiempo cuando éste es de 6 m. y el volumen aumenta a razón de 24 3m por minuto.

Solución: a) 33 /dV m mindt

π= b) 1 /2

dr m mindt π

= .

5.- Un barco A navega hacia el sur a una velocidad de 16 millas por hora, y otro barco B, situado a 32 millas al sur de A, lo hace hacia el este con una velocidad de 12 millas por hora. Halle:

a) la velocidad a la que dichos barcos se aproximan o se separan al cabo de una hora de haberse iniciado el movimiento.

b) la velocidad a la que dichos barcos se aproximan o se separan al cabo de dos horas de haberse iniciado el movimiento.

c) El momento en que dejan de aproximarse y comienzan a separarse, así como la distancia a que se encuentran en dicho instante.

Solución: a) Se aproximan a razón de 5.6 millas/h b) Se separan a razón de 12 millas/h c) Dejarán de aproximarse cuando 1.28t = h y D=19.2 millas.


-16-

6.- Un objeto de 5 m. de altura se encuentra justamente debajo de un foco de luz de la calle situado a 20 m. de altura. Suponiendo que el objeto se mueve a una velocidad de 4 m. por segundo, calcule:

a) la velocidad del extremo de la sombra. b) La variación de la longitud de la sombra por unidad de tiempo.

Solución: a) 16 /3

m s b) 4 /3

m s .

7.- Un globo se eleva desde un punto A de la Tierra a una velocidad de 15 /m s y su ascenso se observa desde otro punto B situado en la horizontal que pasa por A y a una distancia de este punto de 309 m. Halle la variación de la distancia del punto B al globo cuando la altura de éste es de 40 m. Solución: 12 /m s . 8.- Si el radio de una esfera en el instante t, es r. Halle dicho radio cuando su incremento en una unidad de tiempo es igual numéricamente, al de la superficie.

Solución: 18

cmπ

.

9.- Dos lados paralelos de un rectángulo se alargan a razón de 2 cm. cada segundo, mientras que los otros 2, se acortan de manera que la figura resultante, en todo momento, es un rectángulo de área constante e igual a 50 2cm . Calcule la variación por unidad de tiempo del perímetro P cuando la longitud de los lados extensibles es de

a) 5 cm. b) 10 cm. c) Halle las dimensiones del rectángulo cuando el perímetro deja de

disminuir. Solución: a) -4 /cm s b) 2 /cm s c) 5 2 x y cm= = 10.- Un muchacho lanza una cometa a una altura de 150 m. Sabiendo que la cometa se aleja del muchacho a una velocidad de 20 /m s , halle la velocidad a la que suelta el hilo cuando la cometa se encuentra a una distancia de 250 m. del muchacho. Solución: 16 /m s . 11.- El efecto combinado de dos resistencias 1R y 2R conectadas en paralelo, es una

resistencia R dada por 1 2

1 1 1R R R

+ = donde 1 2, y R R R se miden en ohmios. 1R y 2R

están creciendo a razón de 1 y 1.5 ohmios por segundo, respectivamente. ¿ A qué ritmo está cambiando 1 2, cuando =50 y 75 ohmiosR R R = ? Solución: 0.6 / sΩ .


-17-

12.- Una escalera de 20 m. se apoya contra un edificio. Halle: a) la velocidad a la que se mueve el extremo superior cuando el inferior se aleja del

edificio a una velocidad de 2 metros por segundo y se encuentra a una distancia de él de 12 metros.

b) La velocidad a la que disminuye la pendiente.

Solución: a) 3 /2

m s b) 25 /72

m s .

13.- Se deja caer una piedra en un estanque en calma, lo que provoca ondas circulares. El radio del círculo exterior crece a un ritmo constante de 1 /m min . Cuando el radio es de 4 m. ¿A qué ritmo está cambiando el área total ( )A t de la región circular cubierta por las ondas? Solución: 28 /m min.π

Primitivas 1.- Calcula las siguientes primitivas:

4 22

322

22

) 3 ) (2 ) ) 5

7) ) ) cos (5 )3 7

3) sen(2 ) ) ) 4 sen

x

x

dxa x dx b x dx cx

dx dxd e e dx fxx

x x dxg x x dx h dx ixx

+−

−

−

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Solución: 3

5

3

2 5/2

3 2 1 5) ) ) ln5 ln 2 3 2 5 5

7 7 1 1) arcsen ) ) tan(5 )3 57 3

1 1) - cos(2 ) ) 6 ) -cotan( )4 10

x

x

x xa x C b C c Cx

xd C e e C f x C

g x C h x x C i x C

−+ + + +

+

+ + +

+ − + +

2.- Calcula las siguientes primitivas:

( )

2 2

2 22 2

2 2

) ) ) 1 cos 1 sin cos6

) ) ) 144

) ) ) 33 2 9 4x x

dx dx dxa b cx x xx x

dx dx xd e f dxxx xx x

dx dx dxg h ie ex x x

+ + −+ −

++−

−+ + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Solución:


-18-

( ) ( )

( )

2

2 tan 2 1) arctan ) arcsen2 52

2 4) ln tan ln 1 tan ) Realizar el cambio ; 2 2 4

1 1) arctan ) 2 2arctan4 8

1 1 3) 2 2 6ln 3 2 ) ln3 9

x

x x

x xa C b C

x x xc C d x Ct x

e x C f x x Cx

eg x x C he e

− + +

− − + + = − +

+ + − +

−+ − + + + +

21 9 4 3) ln3

C

xi Cx

+

+ −+

3.- Calcula las siguientes primitivas inmediatas:

( )

( )

2 2 2

2 2 2

2

2

2

7) ) ) 25 7 3 5

7 5) ) ) 16 9 25 9 16sin 1 tan sin) ) )

5cos 2 4 tan 2 5cos 2ln 1

) ) ) cos sin4 7

ln 1 s) ) )

1cos tan 1

dx dx dxa b cx x x

dx dx dxd e fx x x

x x xg dx h dx i dxx x x

xdxj dx k dx l x x dxxx

xdxm n dx oxx x

+ + −

− + ++

+ − +

+

+++−

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫( )

( )( )( )

2

2

32

in 2

1 sincos 2tan 1 ln) ) )

cos 2 3sin 2

xdx

xx dxx xp dx q r dx

x xx

+

+

+

∫

∫ ∫ ∫

Solución:

2 2

3

1 7 7 1 5) arctan ) arctan ) ln5 5 21 3 2 5 5

5 3 5) arcsin ) 7 ln 25 ) ln 3 4 163 4 31 1 2) ln 5cos 2 ) ln 4 tan 2 ) - 5cos 25 4 5

ln1) 4 7 ) ln2 3

x x xa C b C c Cx

xd C e x x C f x x C

g x C h x C i x C

xj x C k x C l

− + + + + + + + + + + +

+ + − + + +

+ + + + ( )

( )

( ) ( )( ) ( )

32

2

2

2 332

2) - cos3

ln 1) 2 tan 1 ) ) 2 1 sin

22 3sin 2 ln2 1) tan 1 ) )

3 6 2 3

x C

xm x C n C o x C

x xp x C q C r C

−

+

+− + + + +

++ + + +

−


-19-

4.- Calcula las siguientes primitivas inmediatas: 1

2

2

22 2 2 2 2 2

) ) ) 1 arcsin

arctan) ) ) 1

1) ) 1

xxdx aa b e x dx c dx

xx xdx dx x xd e f dx

xb x a a x b

x dxg dx hx x x

−

−−+− +

+

+

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

Solución:

( )

1

2 2 2 2 2 2 2

32

) ln arcsin ) ) 2ln

1 1 1) ln ) ln ) ln 12

4) 1 ) 4 13

xx aa x C b e C c C

a

d bx b x a C e ax a x b C f x Cb a

g x C h x C

+ − + +

+ − + + + + + +

+ + + +

5.- Calcula las siguientes primitivas por partes:

( )

2

3 2

23

) ) ln ) arcsin

) ) arctan ) cos

ln) 1 ) ln )

x

x ax

a xe dx b x x dx c x dx

d x e dx e x dx f e bx dx

xg x x dx h x x dx i dxx

−

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Solución:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

3 3

3 22 2

22 2

32 5 72

3 32 2

2

ln) )

3 93 3 3) arcsin + 1 )

2 4 4 8

cos sin1) arctan ln 1 + ) 2

2 1 8 16 2 4) - 1 1 ) ln3 15 105 3 9

ln 1) 2

x x

x

ax

x x xa xe e C b C

x x xc x x x C d e C

e a bx b bxe x x x C f C

a b

x xg x x x C h x x x C

xi

x

− + − +

− + − + − +

+

− + ++

−− − − − + − +

− − 24C

x+

6.- Calcula las siguientes primitivas racionales:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2 2 2

3 2 3 3

4 2 2 2

2

2 3 2 3 2

7 9 1 2 8) ) ) 1 2 3 1 2 2

2 3 4 2 1) ) ) 3 2 1 5 6

) ) ) 3 3 3 21 1

x x x dxa dx b dx cx x x x x x x x x

x x x x x xd dx e dx f dxx x x x x

dx x dxg h dx ix x x x x xx x

− +− − − − − + +

+ + + − + ++ + − − +

+ − − − +− +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫


-20-

Solución:

( )

( )

2

2

2

11 1 1 3) ln 1 ln 2 ln ) ln2 2 3 3

1 9 7) - ln 2 +ln ln 22 2 16 32 1) arctan + ln 2

213 7 2 1arctan112 73 1 7 2) ln 1 ln 1 ) +5 13ln 2 +34ln 32 2 2 51 1) ln 14 2 1

xa x x x C b Cx x

c x x x xx

d x x Cx C

x xe x x C f x x x C

g xx

−− + − + + − +

− −

−− − + + +

−+ +

++ +

− − + + + − − − +

− − − +−

1 1 1 9ln 1 ) ln 1 ln 1 ln 34 8 4 8

1 1) ln ln 1 ln 22 2

x C h x x x C

i x x x C

+ + − − + + + +

− − + − +

7.- Calcular el área limitada por la función ( ) exf x = y el eje OX, entre las abscisas x = 0 y x = ln 2. Solución: 1 u2. 8.- Hallar el área limitada por 2( )f x x= , la recta y = -x + 2 y el eje de abscisas. Solución: 5/6 u2. 9.- Hallar el área comprendida entre la parábola 28 2x y y= + − y el eje OY, entre las ordenadas y = -1 e y = 3. Solución: 92/3 u2. 10.- Calcular el área limitada por las funciones 2y x= e y = x. Solución: 1/6 u2. 11.- Hallar el área comprendida entre 2( ) 4f x x= − y el eje OX, entre las abscisas x = -2 y x = 4. Solución: 64/3 u2. 12.- Hallar el área limitada por 2( ) 6f x x x= − e 2g( ) 2x x x= − . Solución: 64/3 u2. 13.- Hallar el área limitada por la parábola 2 4y x= y la recta 2 4y x= − .

a) Integrando respecto a OY. b) Integrando respecto a OX.

Solución: 9 u2. 14.- Hallar el área de un círculo de radio r. Solución: π r2 u2.


-21-

15.- Hallar el área del menor de los sectores que la recta x = 2 determina en el círculo 2 2 25x y+ = .

Solución: 2 2525arcsen 2 215 2

π − −

u2.

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CURSO CERO DE MATEMÁTICAS - web.ua.es · Curso cero de matemáticas Cálculo Diferencial -5- Sea f una función real de variable real, y . 0 o xD∈ f, entonces: es derivable enf