INTRODUCEREIN MECANICA CLASICA:TEORIE SI APLICAT IIStanCHIRIT AiiCuprins1 Cinematica 11.1 Cinematica punctului material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Spat iu si timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Miscarea unui punct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 Viteza si accelerat ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 Miscari plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.5 Viteza areolara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.6 Miscari centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.1.7 Miscari uniform variate si periodice . . . . . . . . . . . . . 211.1.8 Miscari circulare si uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 221.1.9 Miscari armonice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.1.10 Miscari elicoidale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2 Cinematica sistemelor materiale si corpurilor rigide. . . . . . . . 301.2.1 Legaturi si sisteme olonome . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.2 Cinematica sistemelor rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.2.3 Miscari particulare ale rigidului . . . . . . . . . . . . . . . 411.2.4 Unghiurile lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.2.5 Starea de miscare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.2.6 Formula lui Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.2.7 Teorema lui Mozzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.2.8 Aplicat ii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.2.9 Cinematica miscarilor relative . . . . . . . . . . . . . . . . 591.2.10 Miscari de transport speciale . . . . . . . . . . . . . . . . 641.2.11 Miscari relative pentru corpurile rigide. . . . . . . . . . . 651.2.12 Aplicat ii si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.2.13 Miscari rigide plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.2.14 Traiectorii n coordonate polare . . . . . . . . . . . . . . . 741.2.15 Accelerat ia unei miscari rigide plane . . . . . . . . . . . . 791.2.16 Miscarea unui corp rigid cu un punct x. . . . . . . . . . 80Bibliograe 82Index 86iiiiv CUPRINSCapitolul1Cinematica1.1 Cinematicapunctuluimaterial1.1.1 Spat iusitimpCinematica studiaza miscarea corpurilor dintr-un punct de vedere pur descrip-tiv. Astfel, miscarea este reprezentata si studiata folosind mijloace matematiceadecvateporninddelalegilezice, carepun nlegaturamiscareacucauzele(fort ele) care o determina.Fiecarefenomendemiscareareloc ntr-unmediuspat iotemporal. Prinurmare, prima ntrebare care urmeaza a discutata este descrierea conceptelorde spat iu si timp. Este cunoscut faptul ca acestea sunt not iuni primare, adica,ele nu sunt deduse din alte cantitat i, dar nu acesta este motivul pentru care nueste posibil sa se obt ina o reprezentare matematica precisa a lor. Presupunemca spatiul si timpul sunt continue, n sensul ca este semnicativ de spus ca uneveniment are loc ntr-un un anumit punct din spatiu si la un anumit moment detimp si ca exista standarde universale de lungime si timp; cu alte cuvinte, obser-vatori din locuri diferite la momente diferite de timp pot compara masuratorilelor.Presupunem n continuare ca exista o scala universala pentru timp, ceea censeamna ca doi observatori care si-au sincronizat ceasurile lor, vor ntotdeaunadeacordcuprivirelatimpul deproducereaoricarui eveniment, nplus, noipresupunem ca geometria spatiului este euclidiana si faptul ca, n principiu, nuexista nicio limita a preciziei cu care putem masura pozit iile si momentele.Astfel, nacestcadrulalmecaniciiclasice,spat iu nconjuratorestedescrismatematic ca un spat iu an euclidian tridimensional (1). Aceasta nseamna unspat iumetricparticular E, alecarui elementeP, Q, . . . suntnumitepunctesipentru care distant a are unele proprietat i particulare (2).1Aceasta alegere, care, ncontextul actual poate parea a evidenta, este de o mareimportant a pentru dezvoltarea teoriei, asa cum este strict legata de pricipiile mecanicii clasice.Defapt,diferitereprezentarialeconceptuluidespat iupotduceladescrieridiferite.212 CAPITOLUL1. CINEMATICAAsociem E cu spat iul vectorial tridimensional V , ale carui elemente u, v, . . .sunt numite vectori. Fiecare vector u poate poate individualizat ca diferentaa doua puncte ale spat iului E, adicau = P Q.PeV , consideramnot iunileobisnuitedeprodusscalar siprodusvectorial,care vor notate si respectiv .In cadrul mecanicii clasice, not iunea de timp este denita ca un concept ab-solut, adica, derularea sa este independenta de obiectele si entitat ile exterioare.Acestfaptnepermitesadamoreprezentarerelativsimplaaacestei not iuni.De fapt, folosind omogenitatea timpului (adica, faptul ca momente privilegiatedetimpnuexista), esteposibil sa-l reprezintamprinintermediul unui spat iuaneuclidianunudimensional R,alecaruielementesuntmomente. Sanotamcaaceastaabordareaconceptului detimpnuestecompatibilacuprincipiilemecanicii relativiste, deoarece, nacestcaz, durataunui fenomendepindedecadrul de referint a.In cele din urma, sa introducem o scala pentru a masura distant ele si inter-valele de timp folosind din nou proprietatea de omogenitate a spat iului si tim-pului, sau, chiar mai bine spus, structura lor ca spat ii ane euclidiene. De fapt,esteposibil, pedeoparte, saintroducemscalapentrumasurareadistant elorprinintermediul unui esantionconsiderataounitatedelungime, si, pedealta parte, sa folosim fenomene periodice pentru a reproduce unitatea de masur-are a timpului si, n consecint a, pentru a deni ceasul. Comunitatea stiinticafolosestecaetalondemasurapentrulungime, careeste, delungimeaunbarfabricatdintr-unaliajdeplatinasi iridiupastratlaBureauInternational desPoids et Mesures de S`evres care ar trebui sa corespunda la 107din distanta dela Ecuator la Polul Nord masurata de-a lungul meridianul care trece prin Paris.Cel de-al doilea etalon a fost ales pentru o unitate de masura a timpului si afost init ial denit ca 241602dintr-o zi solare.Ar trebui saeclar careprezentareaconceptelor despat iusi timpprinintermediulunormodelematematiceesteofazafoartedelicata nconstruct iaDenit ie1.1.1 Unspat iumetric E este numit spat iueuclidianantridimensional dacametricasad : E E R+esteastfel ncatmult imea Haizometriilor,denitaastfelH = { : E E, inversabila; d(P, Q) = d[(P), (Q)], pentruorice P, Q E} ,areurmatoarelepropriet at i:1. Hestegrup nraportculegeadecompunere;2. Hcont ineunsubgrupV ,numitgrupul translat iilor,careesteabelian nraportculegeadecompunere;3. exista operat ia de nmult ire cu scalari : RV Vcare face din Vun spat iu vectorialtridimensional,cuoperat iadeadunare(+)calegedecompozit ie;4. existaprodusul scalarpeV, notatprinpunct(), astfel ca, pentruoriceP, Q Esipentruoriceu V astfel cau(P) =Q, avem(d(P, Q))2= u u.1.1. CINEMATICAPUNCTULUIMATERIAL 3principiilormecanicii clasice. Defapt, diferitereprezentari arputeaconduceelacomplicat ii formalealeteoriei sauunelecontradict ii logicecareducladezvoltari complet diferite ale acesteia. De asemenea, ar trebui sa e clar faptulc a astfel de modele matematice sunt doar reprezentari ideale ale lumii zice siacestea ar trebui sa e considerate a n buna corespondent a cu realitatea numaipentru studiul unor fenomene si ntr-o aproximare adecvata.In particular, elesunt adecvate pentru cazul n care vitezele sunt mici, fat a de viteza luminii sidistant ele sunt mari cu privire la distante atomice.Pentruaspecicapozit iilesi momentele, ecareobservatorpoatealegeoorigine pe scala temporala, o origine n spat iu si un set de trei axe de coordonatecarteziene. Ne referim la toate acestea impreuna spunand ca s-a ales un cadrude referint a.Pozit iasi timpul ecarui evenimentpotspecicatefat adeacestsistemcarteziandecoordonatesi timp. Deoarecespat iul euclidian Eestetridimen-sional, esteposibil saxamunpunct Osi saconideramtrei direct ii mutualortogonalex1, x2, x3 pornind dinO. Asociem aceste direct ii cu trei vectori uni-tari i1, i2, i3care formeaza un triplet drept, adica, direct iile lor coincid cu celeale degetul mare, aratatorului si degetului mijlociu de la mana dreapta. Acesttriplet centrat nO deneste un sistem de referint a(3)Prin urmare, este necesar sa introducem pentru nceput conceptul de sistemmaterial B. De fapt, acesta este denit ca o mult ime constituita dintr-un numarnit (sau innit) de elementeX1, X2, X3, . . . , numite puncte materiale, nzestratcuofamilie Pdeaplicat ii injective si netedeP: B E. Oaplicat iePestenumita localizare a corpului B si determina congurat ia specica lui Bn spat iulE.Denit ie1.1.2Un sistem material B este numit corp rigid daca, pentru oricepereche de localizariP1,P2 P, avemd_P1 (X1) ,P1 (X2)_ = d_P2 (X1) ,P2 (X2)_for all X1, X2 B. (1.1)PunctulP(X) poate acum identicat cu vectorul x = ( P(X) O).Cu alte cuvinte,un sistem de material este un corp rigid,daca toate posi-bilelecongurat iipastreazadistant eledintrepuncteledematerialcutrecereatimpului.Inmodnatural, ncadrul mecanicii clasice, estepresupuscaastfelde sisteme rigide material exista. Prin utilizarea acestei ipoteze fundamentale,esteposibil saconsideramunsistemreferint acartezianinvariantcutrecereatimpului, ca si cum ar xat ntr-un corp rigid.) n spat iu (Figure 1.1). Astfel,ecare vector x = P O poate reprezentat n urmatoarea forma:x = x1i1 +x2i2 +x3i3,3Cuscopuldeadadenit iacorectaasistemuluidereferinta,sanereamintimfaptulcanotiuneademiscareesteunconceptrelativcareimplicaprezent aaltorobiectesaucorpuricapabileaobservate, astfel ncatesteposibil sanereferimlaeacamiscarefat adeacesteobiecte.4 CAPITOLUL1. CINEMATICAx2x2i2i1i3x3x3x1x1POFigura 1.1:unde x1, x2, x3sunt numitecoordonate alelui xnraport cuceletrei axe.Elesuntobt inutecaproiect ii alelui xpeaxelei1, i2, i3, adica, x1= x i1,x2 = x i2, x3 = x i3. Un sistem de referint a exista n afara not iunii de timpsi, nacestmoment, areunsenspurmatematic. Cualtecuvinte, unrepercartezian ortogonal nu poate pastra propriile caracteristici cu trecerea timpului.Denit ie1.1.3Numimcadrudereferinta, unset detrei axedecoordonate(sistemul de referinta), xat ntr-un corp rigid mpreun a cu un sistem de masurarea timpului (ceasul).Esteclarca, nscopuldeaintroducenot iuneadecadrudereferint a, estenecesar sa presupunem existent a unui corp rigid. Mai mult, sistemul de referint ax ntr-un corp rigid va uneori confundat cu tripletul ortogonal (O, x1, x2, x3).1.1.2 MiscareaunuipunctInprimaparteacinematicii, studiemmiscareaunui punctmaterial, aceastanseamna, miscarea unui sistem de material format dintr-un unic punctP. Unastfel desistemdematerial reprezintafoartefrecvent unbunmodel pentrustudiul corpurilor ale caror dimensiuni sunt sucient de mici pentru a permiteaceastareprezentare; deasemenea, poatereprezenta, unanumitpunctal sis-temului material.Miscarea unui punctPeste denita complet de aplicat iaP: I E, (1.2)1.1. CINEMATICAPUNCTULUIMATERIAL 5undeIResteintervalul detimp ncareestedenitamiscarea, si Eestespat iul euclidian care poate asociat cu un cadru de referint a sau cu un tripletrigid. Miscarea va notata cu simbolulP=P(t),sau prin funct ia vectoriala x(t) denita dex(t) =P(t) O, (1.3)sau prin intermediul funct iilor componente ale ecuat iilor vectoriale (1.3)x1 = x1 (t) , x2 = x2 (t) , x3 = x3 (t) . (1.4)Ulterior, funct iilecaredenescmiscareasuntpresupuseacel put indeclasaC2. Imaginea intervaluluiI n Edeneste traiectoria punctuluiPrelativlamiscareaP(t). Putemdescrieaceastatraiectorieintrinsec, independentdevariabila temporala. Fie un punct xO1 si o direct ie pozitiva pe traiectorie sisaindicamprinsabscisacurbiliniealui P,carereprezintadistant acusemnde laPlaO1 masurata de-a lungul traiectoriei (a se vedea Figura 1.2), Atunci,traiectoria este data de funct iaP=P(s). (1.5)Maimult, nmiscare, abscisacurbiliniesesteofunct iedetimpt, exprimataprintr-o funct ies = s(t), pe care o numim ecuat ie oraraa miscarii luiP.Prin urmare, miscarea punctuluiPpoate descrisa de catre sistemulP=P(s), s = s(t), (1.6)undeprimafunct iedenestetraiectoria, ntimpcelegeatemporalaasociatapunctuluiPofera pozit ia instantanee a punctului de-a lungul traiectoriei.Traiectoria punctuluiPcu privire la cadrul de referint a ales poate descrisprinfunct iilede x1(s), x2(s), x3(s) denitecaproiect ii alerelat iei vectoriale(1.5), adicax1 = x1 (s) , x2 = x2 (s) , x3 = x3 (s) . (1.7)Exercit iu1.1.1Miscarea unui punct este data de x1 = Rcost, x2 = Rsint,x3=R3t, t [0, 2], R> 0. Sasedeterminetraiectoria siecuat iaoraraaacestei miscari.Solut ie. Deoareceds= |dx| =_(dx1)2+ (dx2)2+ (dx3)2, deducemca,pentru miscarea noastra,s =_t0ds(z) =_t0Rzdz = 2Rt,si deci ecuat ia orara este s = 2Rt. Substituindt =s2R n ecuat iile de miscare,obt inemurmatoareaexpresieatraiectoriei: x1=Rcoss2R, x2=Rsins2R,x3 =s32,s [0, 2R].6 CAPITOLUL1. CINEMATICAx2x3x1O1PsOFigura 1.2:Exercit iu1.1.2Presupunem ca traiectoria unui punct Peste cercul de intersect iedintresfera x21 +x22 +x23=R2, R>0, cuplanul x3=Rcos 0, 0xatn(0, ). Sasedeterminemiscareapunctului Pavandecuat iaoraras=t,t [0,2Rsin 0].Solut ie. Traiectoria este descrisa dex1 = Rsin 0 cos , x2 = Rsin0 sin , x3 = Rcos 0, [0, 2].Deoareces=(Rsin 0) si ecuat iaoraraestes=t, rezultaca=tRsin 0,t [0,2Rsin 0]. Daca alegema = Rsin 0, atunci miscarea este data dex1 = a costa, x2 = a sinta, x3 = Rcos 0, t [0,2a].1.1.3 Vitezasiaccelerat ieConsideram unpunctmaterialacarui miscare estedescrisa desistemul(1.6).Presupunandtraiectoria P =P(s) xata, miscareaeste denitasimpludeecuat ia oraras = s(t).Denit ie1.1.4Numimviteza apunctului P de-alungul traiectorieiP(s)derivata lui s n raport cu timpul, si o notam cu (4) prinv(t)def=d s(t)dt. (1.8)4Pentruaevitaconfuziile, vomnota ntotdeaunaderivata nraportcutimpul printr-unpunctplasatdeasuprafunct iei considerate, adica, d s/dt= s,si nuvomfacedistinct iedintrepunctulPsifunct iacorespunzatoareP.1.1. CINEMATICAPUNCTULUIMATERIAL 7Daca s >0, atunci miscareaestenumitadirecta,ntimpcepentru s 0, si deci s2esteofunct iecrescatoare ntimp, ntimpce, ncel de-aldoilea caz,ddt s2< 0 si atunci s2este o funct ie det descrescatoare.Exercit iu1.1.3Punctul Psemiscapecurbax1= 2e2t, x2= 3 sin 2t, x3=2 cos 2t,t R. Sa se determine vectorul viteza si vectorul accelerat ie la momen-tul t. Calculat i marimile vitezei si accelerat iei la momentul t = 0.Solut ie. Vectoruldeplasareestex=2e2ti1 + 3 sin 2ti2 + 2 cos 2ti3sidecideducem ca v(t) = x(t) = 4e2ti1 +6 cos 2ti24 sin 2ti3 si a(t) = x(t) = 8e2ti112 sin 2ti2 8 cos 2ti3. Pentrut = 0, avem v(0) = 4i1 + 6i2si a(0) = 8i1 8i3si prin urmarev =16 + 36 = 213 sia =64 + 64 = 82.Exercit iu1.1.4UnpunctPpornestedinpozit iaP0(3, 2, 1)latimpul t = 0cu viteza init ialav0 = i1 +2i2 +3i3 si se deplaseaz a cu accelerat ia a = eti1 +4 cos 2ti2 + 8 sin 2ti3. Sasegaseascavectorul vitezaapunctului siecuat iiledemiscare.Solut ie. Dinrelat ia v(t) =a(t), prinintegrarenraport cutimpul t,deducem ca v(t) = eti1 + 2 sin 2ti2 4 cos 2ti3 + c1, unde c1este un vectorconstant arbitrar. Deoarece v(0) = v0, obt inemi14i3+c1 = i1+2i2+3i3 sideci avem c1=2i2+7i3si viteza este v(t) = eti1+2(sin 2t+1)i2+(4 cos 2t+7)i3.12 CAPITOLUL1. CINEMATICADin relat ia x(t) = v(t), obt inem x(t) = eti1+(cos 2t+2t)i2+(2 sin 2t+7t)i3 + c,undecesteoconstantaoarecare. Deoarecex(0) = 3i1 + 2i2 + i3,rezultacai1 i2 + c= 3i1 + 2i2 + i3si deci c= 4i1 + 3i2 + i3. Astfel,miscarea punctului este descrisa de x(t) = (et4)i1 + (cos 2t + 2t + 3)i2 +(2 sin 2t + 7t + 1)i3.Exercit iu1.1.5Miscareaunui punct Pestex(t)=ti1 +12t2i2 +16t3i3. Sasedetermineaccelerat iatangent ialasi accelerat ianormalaapunctului launmomentt.Solut ie. Deoarece x = i1 +ti2 +12t2i3 si x = i2 +ti3, rezulta cads = | x| dtsi deci s=12(t2+ 2), s=t. Mai mult, versorul tangentei lacurbaestet=1t2+2_2i1 + 2ti2 +t2i3_ sidtds=dtdtdtds=2(t2+ 2)2[2ti1(t22)i2 + 2ti3]dtds==4(t2+ 2)3[2ti1(t22)i2 + 2ti3] =1n,si decin =1t2+ 2[2ti1(t22)i2 + 2ti3],1=4(t2+ 2)2.Deci, putem concluziona ca accelerat ia tangent iala este at = tt si accelerat iacentripeta este an = n.1.1.4 MiscariplaneConsiderampunctul Pcaresemisca ntr-unplan. Esteposibil sadescriemmiscarea luiPprin intermediul unui sistem de ecuat ii de urmatoarea forma:x1= x1(t),x2= x2(t),unde x1, x2sunt coordonatele carteziene ale lui P relativlaunsistemdereferint adinplanul demiscare. Atunci, vitezasi accelerat iapotdetermi-nate aplicand formulele din sect iunea de mai sus.Un interesant capitol particular n studiul miscarii plane este cel al sistemuluide coordonate polare (, ), unde = |P O| si = (OP, Ox1) sunt numitedistant a polar asi respectiv unghi polar. Miscarea punctuluiPva descrisa ncoordinate polare de sitemul (Figura 1.5) = (t), = (t).Eliminand variabila t din acest ultim sistem, obt inem ecuat ia polara = ()a traiectoriei punctuluiP. Deci, dacaO este originea sistemului de referint a sir =PO|PO|, atunci, prin derivarea identitat ii(P O) = r, (1.25)1.1. CINEMATICAPUNCTULUIMATERIAL 13rhPx2x1OFigura 1.5:obt inemv =d(P O)dt= r+drdt. (1.26)Vectorul unitar r depinde de timp prin variabila, adica,r(t) = r((t)), (1.27)si prin urmare, din (1.26), obt inemv = r+drd. (1.28)Dac a consideram reperul cartezian (O, x1, x2) cu originea nO, si axax1coin-cizand cu axa polara, avemr = cos i1 + sin i2. (1.29)Dac a h = sin i1 + cos i2, rezulta din (1.29) cah =drd, (1.30)si, nconsecint a, |h| =1si h r=0. Prinurmare, hesteunvectorunitarortogonal pe r inclus n planul (x1, x2). Pe de alta parte, este usor de observatc adhd= r. (1.31)Intorcandu-ne la (1.28), obt inemv = r+h. (1.32)Observat ie1.1.1Vitezapunctului P, exprimata ncoordonatepolare, poatereprezentatacasumaadoi termeni: primul termen, v= r, estenumitviteza radiala, iar cel de-al doilea termen, v = h, este numit vectorul viteza14 CAPITOLUL1. CINEMATICAunghiulara(transversala). Deoarecevsivsuntortogonali,marimeavitezeieste data de formulav =_ 2+2 2.Prin derivare directa a relat iei (1.32), obt inem urmatoarea expresie a accelerat iein coordonate polare:a =dvdt= r+ drd + h +h +2dhd. (1.33)Folosind relat iile (1.30) si (1.31) n (1.33), deducem caa = ( 2)r + ( + 2 )h. (1.34)Observat ie1.1.2Accelerat ia punctului P, exprimatancoordonate polare,poate reprezentata ca suma a doi termeni:primul termen, a = ( 2)r, estenumit accelerat ie radiala, si cel de-al doilea termen, a = (+2 )h, este numitaccelerat ie unghiulara (sau transversala). Deoarece + 2 =1(2 + 2 ),putem de asemenea exprima aca a =1ddt(2 )h.Exercit iu1.1.6Miscareaunui punct estedescrisade x1=etcos t, x2=etsin t, t R. Determinat i vectorii accelerat ie radialasi transvesala ai punctului.Solut ie. Trebuie sa introducem sistemul de coordonate polare (, ), astfelcax1 = cos ,x2 = sin . Luand n considerare ecuat ia de miscare, deducemca(t) =_x21 +x22 = et, (t) = arctan x2x1= t.Mai mult, avemr = cos ti1 + sin ti2, h = sin ti1 + cos ti2,sia = ( 2)r = 0, a =1ddt_2 _h = 2eth.Exercit iu1.1.7Determinat i traiectoriapunctului P caresemiscantr-unplancumarimeavitezeiconstante,siastfel nc atmarimeavitezeiradialefat ade punctul Oeste de asemenea constanta.Solut ie.Introducem coordonatele polare (, ) n planul considerat. Atunci,vitezaestedatadeformulav= r +h. Luand nconsiderareipotezeleproblemei, obt inem 2+2 2= c1, = c2,undeconstantele c1sic2ndeplinescnmodevident c1>c22. Astfel, avem=c2t + 0, unde0=(0)si prinurmare, rezultadin 2+ 2 2=c1ca1.1. CINEMATICAPUNCTULUIMATERIAL 15x2x1P0POFigura 1.6:=k, undek= _c1c22esteconstant. Atunci, avem=kc2t+0si nconsecint a, daca(0) = 0, deducem ca =kc2log(c2 +0)|t0 =kc2log0.Rezulta din ultima expresie ca = 0 exp(c2k),si traiectoria este spirala logaritmica (Figura 1.6).Exercit iu1.1.8Traiectoriaunei miscari esteparabola cos22=p2, p>0.Unpunct Psemisc apeaceastaparabol aasfel ncat v=k, undekesteoconstantapozitiva. Lamomentul t=0punctul este nvarful parabolei si semisca nsensul ncarecreste. Determinat i ecuat iiledemiscaresi vectoriiaccelerat ie radiala si transversala.Solut ie. Avem urmatoarele condit ii init iale:(0) =p2, (0) = 0,si, nplus,(t) >0. Dinrelat iav=k, deducemca 2+ 2 2=k22.Incontinuarevomdetermina si. Pentruaceasta, derivamecuat iaparaboleipentru a obt ine cos2 sin2= 0. Astfel, din aceste doua relat ii de mai sus,deducem ca = k sin 2, = k cos 2,16 CAPITOLUL1. CINEMATICAdin care, luand n considerare pozitivitatea luik si a lui(t), obt inem = k sin 2, = k cos 2.Prin integrare, din ecuat ia diferent iala = k cos2, obt inemlntan_4 +4_+c =k2t, c = constant,si deci, din condit iile init iale(0) = 0, obi ntemc = 0 si prin urmaretan 4=ekt21ekt2+ 1=ekt4ekt4ekt4+ekt4= tanh kt4.Deoarececos 2=1 tan241 + tan24, sin 2=2 tan41 + tan24,gasimcos 2=1coshkt2, sin 2=_1 cos22= tanh kt2.Daca substituim = k sin2 n aceasta relat ie, obt inemd= k tanh kt2dt, (0) =p2.Astfel, obt inem urmatoarele ecuat ii de miscare: =p2 cosh2kt2, = 2 arccos1coshkt2.Din aceste relat ii obt inema= ( 2)r =k2p4[cosh (kt) 2] ra=1ddt_2 _h =3k2p4sinh_kt2_h.Exercit iu1.1.9Punctul Pseaa ntr-omiscareplana ncarecomponentaradiala a vitezei este direct proport ional a cu timpul t si componenta transversalaesteconstanta. Lamomentul t=0punctul ocupapozit iaP0(1, 0)fat adeunsistem de referint a. Sa se determine traiectoria unui punct si vectorii accelerat ieradiala si transversala.Solut ie. Alegemsistemul decoodonatepolare(, )cupolul norigineasistemului si axa polara sa coincida cu axax1. Din ipoteze avem ca = 2c21t, = c2,1.1. CINEMATICAPUNCTULUIMATERIAL 17P(t)P(t*)P(t + t)OO1Figura 1.7:undec1si c2suntconstantepozitiveprescrise. Notamcaavemurmatoarelecondit ii init iale: (0) = 1, (0) = 0. Atunci, prin integrare, obt inem = c21t2+c,c =constant, si deci, dincondit iileinit iale (0) =1, avem=c21t2+ 1.Apoi, avem=c2=c2c21t2+1si deci =c2c1 arctan (c1t) + c, c=constant.Dincondit iileinit iale(0)=0, obt inemc=0 si deci (t)=c2c1 arctan (c1t).Eliminand parametrul t din relat iile = c21t2+1, (t) =c2c1 arctan (c1t), deducemecuat ia traiectoriei = 1 + tan2_c1c2_.Accelerat iile radiala si transversala sunta =2c41t2+ 2c21c22c21t2+ 1r, a =2c21c2tc21t2+ 1h.1.1.5 VitezaareolaraPentru o miscare plana, introducem not iunea de viteza areolara. Daca un punctO1estexat petraiectorie, notamcuA(t) ariamaturataderazavectoare(P O), aceasta este aria regiunii delimitate de vectorii (O1 O), (P(t) O)si arcul

O1P(t)al traiectoriei, undeOesteorigineasistemului decoordonate(, ) (Figura 1.7).Denit ie1.1.8Numim viteza areolaraA a punctului Pfact a de polul O derivatafunct ieiA(t) n raport cu timpul.Rezulta din denit ia vitezei areolare caA =limt0A(t + t) A(t)t=limt0At. (1.35)Este usor de demonstrat ca aria maturata ntre momentele t si t +t este datade formulaA =122(t), (1.36)18 CAPITOLUL1. CINEMATICAunde t [t, t +t] si = (t +t) (t). Cu alte cuvinte, exista un momenttastfel ca aria A este egala cu aria sectorului circular cu unghiul la centru si raza(t). Astfel, din (1.35) si (1.36), obt inemA(t) =122(t)(t). (1.37)In coordonate carteziene, deoarecex1 = cos , x2 = sin , avem x1= cos sin , x2 = sin + cos ,x1 x2x2 x1= 2 cos2 + sin cos sin cos +2 sin2= 2 ,si deci ecuat ia vitezei areolare poate scrisa caA =12(x1 x2x2 x1). (1.38)Exercit iu1.1.10Miscareaunuipunct Ppesuprafat aplana(O, x1, x2)estedata de ecuat iile cartezianex1 = C exp(pt), x2 = C exp(pt), C> 0, p > 0.Sasedeterminetraiectoria,vitezaareolarafat adeO, sicomponenteleradial asi transversal a a vectorului accelerat ie.Solut ie. Eliminand timpult din ecuat iile de miscare, obt inemx1 x2 = C2.Prin urmare, traiectoria este o ramura a unei hiperbolei (Figura 1.8) situata nprimul cadran al sistemului de coordonate. Mai mult, viteza areolara este datade formulaA =12(x1 x2x2 x1)=12_C2p exp(pt) exp(pt) +C2p exp(pt) exp(pt)_ = C2p.Deoarece viteza areolara este constanta, componenta transversala a accelerat ieiestea = 0, n timp ce componenta radiala da accelerat ia totala si decia = a =_ x21 + x22 = Cp2_exp(2pt) + exp(2pt) = p2,unde este distant a dintrePsiO, care este data de formula =_x21 +x22 = C_exp(2pt) + exp(2pt).1.1. CINEMATICAPUNCTULUIMATERIAL 19x2x1OFigura 1.8:1.1.6 MiscaricentraleConsideram o miscare care este nu este neaparat plana.Denit ie1.1.9Miscareaunuipunct Pestenumitacentraladacaaccelerat iasaeste ntotdeaunadirect ionatade-alungulvectorului P O,undeOesteunpunct xat numit centrul miscarii.Teorema1.1.1Orice miscare centrala cu centrul Oeste plana si viteza areo-lara fat a deOeste constanta, si vice versa.Demonstrat ie. Din denit ia miscarii centrale, obt inema(t) (P(t) O) = 0 pentru oricet.Din ultima egalitate, rezulta caddt[v (P O)] v d(P O)dt=ddt[v (P O)] = 0,si deciv (P O) = k, (1.39)undekesteunvectorconstant. Presupunemcak =0, si apoi, din(1.39),obt inem0 = v (P O) (P O) = k (P O).Prin urmare, punctul Ptrebuie ca ramana n planul ortogonal la k si care treceprin punctulO. Daca k = 0, atunciv (P O) = 0 pentru orice t,20 CAPITOLUL1. CINEMATICAdeci vsi asunt ntotdeaunaparalelei, si deasemeneaambii suntparaleli cu(P O). Ultimaimplicacaan= s2=0pentruoricet, si deoarece1=0,misarea este rectilinie.Prin urmare, miscarea centrala este una plana. Astfel, putem sa o reprezentamncoordonarepolarecupolul O. Mai mult, vectorul accelerat ieesteradial,deoarece are aceeasi direct ie cu (P O), si va implica caa=1ddt_2 _ = 0.Prin urmare,2 = c (1.40)implica ca viteza areolara a miscarii luiPfat a deO este constanta si valoareasa este data de formulaA =c2, (1.41)undec este numita constanta ariilor.Sademonstramacumca, dacavitezaareolarafat adepolul Opentruomiscare plana este constanta, atunci miscarea este centrala. Intr-adevar, deoarecea= 0,faptulcavitezaareolaraesteconstantaimplicacaaccelerat iaa = aeste mereu ndreptata spreO.Teorema1.1.2Pentru o miscare centrala avand constanta ariilor c, accelerat iaapoatedeterminata, cunoscanddoartraiectoriapunctului ( = ()), prinintermediul formulei lui Bineta = c22_d2d2_1_+ 1_r. (1.42)Demonstrat ie. Fat adeunsistemdecoordonatepolareavandorigineanO, ecuat iatraiectoriei este= (). Dacamiscareaestecentrala, vitezaareolara este constanta si prin urmare avem,2 = c; unde acceleralt ia estea = ar = ( 2)r. (1.43)Pe de alta parte, avem =dd =c2dd= cdd_1_, (1.44)si deci = cd2d2_1_ = c22d2d2_1_. (1.45)Mai mult, folosind relat iile (1.40) si (1.45), din relat iile (1.43) deducem formulalui Bineta = c22_d2d2_1_+ 1_,care ne permite sa determinam accelerat ia folosind ecuat ia traiectoriei = ()si presupunand cunoscuta constanta ariilorc.1.1. CINEMATICAPUNCTULUIMATERIAL 21Exercit iu1.1.11Punctul Pdescrieocurbaplanaastfel ncataccelerat iasatrece mereu printr-un punct xO. Demonstrat i caa = vdvd,undev = |v| sia este componenta radiala a accelerat iei.Solut ie. MiscareaunuipunctPestecentrala. Folosindsistemulpolardecoordonate cu polul nO, avem2 =c, undec este constanta ariilor. Astfel,avem a =1ddt_2 _h = 0 si a = a = ( 2)r. Pe de alta parte, avemv2= 2+2 2,si deci, prin derivare directa n raport cut, obt inem2vdvdt= 2 + 2 2+ 22 = 2 _ 2_+ 2_ + 2 _.Astfel, obt inemvdvdt=ddta,si deci relat ia ceruta.1.1.7 MiscariuniformvariatesiperiodiceNumim uniforma orice miscare a carui viteza este constanta n timp; o astfel dedenit ie nu depinde de traiectoria punctului. Prin urmare, notand cuv0 = s(t)aceasta valoare constanta, ecuat ia orara devines(t) = v0t +s0, (1.46)unde cei doi parametri s0 si v0 reprezinta abscisa curbilinie init ial a si, respectiv,viteza punctuluiP.Sa consideram o miscare care nu este n mod necesar rectilinie.Denit ie1.1.10Miscarea unui punct Pse numeste uniform variata daca marimeaaccelerat iei tangent iale este constanta, adica, exista o constantaa0astfel ca s(t) = a0.Prin urmare, prin integrarea ultimei relat ii de doua ori n raport cu timpult, obt inem urmatoarea ecuat ie orara pentru miscarea uniform variata:s(t) =12a0t2+v0t +s0, (1.47)unde s0 si v0 reprezinta abcisa curbilinie si, respectiv viteza la momentul t = 0.Este evident din (1.47) ca ecuat ia orara pentru miscarea uniform variata estereprezentatagraccaoparabolacareesteconcavapentrua0< 0, siconvexa22 CAPITOLUL1. CINEMATICApentrua0> 0. Astfel, independent de concavitatea sau convexitatea parabolei,miscarea n direct ia de crestere a arcului parabolei este numita directa si cea ndirect ia de descrestere a arcului parabolei este numita retrograda.Inainte de a considera miscarea circulara si uniforma, explicam ce ntelegemprin miscare periodica a punctuluiPcare se misca pe o traiectorie asociata.Denit ie1.1.11Spunem ca miscarea unui punct t Peste periodica cu periodaTdaca ecuat ia orar a s(t) deneste o funct ie periodica de t cu perioada T, adica s(t +T) = s(t). (1.48)Observat ie1.1.3Dacamiscareaesteperiodica, atunci vitezasi accelerat iascalara (7) sunt periodice nt.1.1.8 MiscaricircularesiuniformeMiscarea circulara este o miscarea plana particulara denita astfel:Denit ie1.1.12Miscarea unui punct Peste numita circulara daca traiectoriasaesteuncercsauunarcdecerc.Inplus,dacavitezaesteconstanta,atuncieste numita circular si uniforma.Consideram o miscarea circulara relativ la un cerc de razaR(Figura 1.9).Dacanotamcus abscisacurbilie astfel ncat 0s2R, si dacapre-supunem cas = s(t) este ecuat ia orara corespunzatoare, atunci vectorii vitezasi accelerat ie sunt date de formulele (1.16) si (1.23 ), adicav = st, a = st + s2Rn, (1.49)undeResterazacercului. Deoarecen= PO|PO|= POR, ce-adeadouaecuat ie din (1.49) poate rescrisa caa = st s2R2(P O). (1.50)Teorema1.1.3Miscarea circulara uniforma reprezinta un exemplu importantde miscare periodica. Daca s = v0, atunci perioada unei astfel de miscari esteT=2Rv0. (1.51)Mai mult, accelerat ia este centripeta si este data de formulaa = 2(P O),unde = v0/R.7Prinaccelerat iescalara, nt elegemcomponentaaccelerat iei directede-alungul tangenteilacurba.1.1. CINEMATICAPUNCTULUIMATERIAL 23rnPsx2x1O1OFigura 1.9:Demonstrat ie. Avems(t) = R(t) +s0 si prin urmare obt inemv = st = Rt. (1.52)Deoarece s este constanta, rezulta ca este constanta si astfel, alegand = ,obt inem(t) = t +0, (1.53)unde0este valoarea unghiului la momentult = 0. Din (1.52) deducem cav0 = R = R,si deci = v0/R. Urmeaza din (1.53) ca funct ia satisface relat ia(t + 2 ) = (t) + 2,si prin urmare miscarea este periodica cu perioada 2/ (a se vedea Figura 1.9).Prin urmare, deoarece = v0/R, rezulta ca perioada miscarii circulare esteT=2=2Rv0. (1.54)Inversa acestei perioade este numita frecvent a =1T=2.Deoarece t =1Rk(P O), unde k este vector unitar, ortogonal cercului sidirect ionat astfel ca t, k, (P O) sa formeze un triplet drept, din (1.52) obt inemv =k (P O) = (P O), (1.55)24 CAPITOLUL1. CINEMATICAunde =k este numita viteza unghiulara.Expresia(1.55) pentruvitezalui Pntermenii vectorului poatedeasemenea scrisa folosind matricea antisimetrica W = (Whk) legata de vectorul = (1, 2, 3) si denita astfelW =__0 3230 1210__.Este usor de vericat (8) ca , daca x = (x1, x2, x3), atunci (PO) = Wx,si deciv = Wx.Mai mult, deoarece s(t) = R(t) = R(t +0),rezultacafunct ia sestedeasemeneaperiodicacuperioadaT=2Rv0,sidecimiscarea este periodica cu aceeasi perioadaT.In nal, deoarece miscarea este uniforma ( s = 0), accelerat ia este centripetaa =v20Rn = 2(P O). (1.56)Ecuat iile carteziene a miscarii circulare suntx1 = Rcos , x2 = Rsin , = (t).Daca miscarea este uniforma, atunci(t) = t +0, si astfelx1 = Rcos(t +0), x2 = Rsin(t +0).Exercit iu1.1.12Miscareaunuipunct Pestedescrisadex(t) = 3 cos ti1 +3 sin ti2, undeesteoconstantaprescrisa. Sasedemonstrezecamiscareaeste centrala. Calculat i x v si x v.Solut ie. Avemv= 3 sinti1 + 3 cos ti2anda= 32cos ti1 32sin ti2. Apoi, avema= 2xsi deci miscareaestecentrala. Obt inemxv = 9 sint cos t+9 sin t cos t = 0 si xv = (3 cos ti1+3 sin ti2)(3 sin ti1 + 3 cos ti2) = 9i3.Exercit iu1.1.13Unpunct P semiscapeuncercacarui razaeste Rcuaccelerat ia tangent iala constanta at. Punctul Pporneste din P0la momentult = 0. Determinat iintervalul detimp ncareaccelerat iacentripetaandevineegala cu accelerat ia tangent ial aat.Solut ie. Avemat = s si an = s2= s2R . Astfel, deducem ca s =att + c si,din condit ia init iala s(0) = 0, obt inem s =att. Aveman =atunde s2R=at sideci (att)2= Rat. Prin urmare, intervalul cerut estet =_Rat.8AsevedeaTeoremaD.2dinAppendixD.1.1. CINEMATICAPUNCTULUIMATERIAL 25Exercit iu1.1.14Unpunct semiscapecercul deraza Rdupaurmatoareaecuat ieoraras=v0t c2t2, unde v0si csunt constante. Sasedeterminemarimea accelerat iei.Solut ie. Avem s = v0ct si s = c, si astfel obt inema = st + s2 n = ct + (v0ct)2Rn.Deci, avema =c2+ (v0ct)4R2.Exercit iu1.1.15Un punct se misca pe un cerc de raza R cu accelerat ia unghi-ularaconstanta. Lamomentul t =0, punctul pornestedinrepaus. Sasedemonstrezecalamomentul tvitezaunghiularaeste=tsi caaparcurslungimea de arcs =12Rt2.Solut ie. Deoarece =, rezulta ca =12t2+ 1t + 0, unde0, 1suntconstante. Luand nconsiderarecondit iileinit iale, deducemca1= 0 sideci 0 =12t2. Apoi, avem = t sis = R[(t) 0] =12Rt2.1.1.9 MiscariarmoniceIncepem cu studiul unei miscari circulare uniforme a unui punctPpe un cercdecentruOsi razaR. NotamcuPproiect ialui PpeundiametruxatAB. Atunci, ntimpcePdescriecercul, Psemiscapediametrul ABdupaurmatoarea lege (Figura 1.10):x = Rcos(t +0),unde x este componenta lui P O de-a lungul diametrului AB, si este unghiul

POB. In nal, 0 este valoarea lui la t = 0. Deoarece miscarea este uniforma, = este constant si avemx = Rcos(t +0), (1.57) x = R2cos(t +0). (1.58)Denit ie1.1.13O miscare rectilinie este numita oscilat ie armonica daca ecuat iaorara este data des(t) = C cos(t +), (1.59)undeconstantele C, si sunt numiteamplitudine, pulsat ie(saufrecvent aunghiulara) si faza.Rezulta din (1.57) ca miscarea lui Pde-a lungul diametrului ABeste ar-monica.In plus, din (1.57) si (1.58), obt inem proprietatea importanta descrisade ecuat ia s = 2s, (1.60)26 CAPITOLUL1. CINEMATICAPAP*xxB OFigura 1.10:adica, ntr-o miscare armonica, accelerat ia scalara s este proport ional a cu distant aparcurs as, aresemnopussicoecient ul saudeproport ionalitateesteegal cupatratul frecvent ei unghiulare.Notamcaexpresia(1.60)nucont ineniciamplitudinea, nicifazainit ialaamiscarii armonice. Intr-adevar, avem urmatorul rezultat:Teorema1.1.4Orice miscare armonica de frecvent a unghiulara(cu ampli-tudine a si faza arbitrara) satisface ecuat ia diferent ial a (1.60), si vice versa.Demontrat ie. Daca Aesteamplitudineasi estefazainit ialaauneimiscari armonice dates(t) = Acos(t +),atunci, n baza relat iilor (1.57) si (1.58), satisface ecuat ia (1.60).Vice versa, data ecuat ia diferent iala (1.60), concluzionam ca ecuat ia carac-teristica este2+2= 0,acarui solut ii sunt 1= i, 2=i; astfel, solut iageneralaestedatadeformulas(t) = C1 cos t +C2 sin t. (1.61)Alegand doua constanteA siastfel caC1 = Acos , C2 = Asin ,din (1.61) obt inems(t) = Acos t cos Asin t sin = Acos(t +).Astfel, ecuat ia (1.60) este caracteristica miscarilor armonice cu frecvent a unghi-ulara.1.1. CINEMATICAPUNCTULUIMATERIAL 27Observat ie1.1.4Omiscarearmonicacufrecvent aunghiularaareaceeasiperioadacumiscareacircularauniforma,adica, T= 2/; ntimpceampli-tudinea oscilat iei coincide cu rasa cercului, si faza coincide cu valoarea unghiuluilat = 0.Exercit iu1.1.16Un punctPare o miscare oscilatorie armonica descrisa deecuat iax = Asin_2Tt_.Pentrux =x1vitezapunctuluiestev1, ntimpcepentru x =x2vitezaestev2. Sasedetermineamplitudinea Asi perioada T amiscarii oscilatorii apunctuluiP.Solut ie. Vitezapunctului Pestev=A2Tcos_2Tt_. Atunci,dinipoteza,avemx1 = Asin_2Tt1_, v1 = A2Tcos_2Tt1_,x2 = Asin_2Tt2_, v2 = A2Tcos_2Tt2_.Elimin andt1 sit2, obt inemx21 +T242v21 = A2, x22 +T242v22 = A2,din care deducemA =x21v22x22v21v22v21, T= 2x21x22v22v21.Exercit iu1.1.17Legea de miscare a unui lift estex =H2 (1 cos ), undeHeste cea mai mare nalt ime la care ajunge liftul si =_2kH t,k = constant. Sase determine viteza si accelerat ia liftului. Determinat i timpul necesar liftului petru a ajunge la nalt imeaH.Solut ie. Prin derivari succesive, obt inemv =_kH2sin , a = k cos .Inplus,pentrux =H,deducemH2 (1 cos ) =Hsideci =. Astfel,relat ia =_2kH t ne ofera timpult = _H2k.28 CAPITOLUL1. CINEMATICAx2x3x1PPP *OFigura 1.11:1.1. CINEMATICAPUNCTULUIMATERIAL 291.1.10 MiscarielicoidaleConsideramuncilindrucircular derazaR. Numimelicecirculara oformadescrisa de o curba care intersecteaza mereu generatoarea cilindrului sub un altunghi (Figura 1.11).Denit ie1.1.14Miscarea unui punctPpe o suprafat a cilindrica este numitaelicoidala daca punctul Pse misc a pe cilindru dupa o elice.Alegemunsistemcartezianortogonal (O, x1, x2, x3)astfel caaxax3sacoincida cu axa cilindrului. Apoi, notam cu unghiul dintre proiect ia (PO)a lui (P O) pe planulx1Ox2 si axax1.Este posibil sa reprezentam miscarea punctului folosind urmatoarea expresiea vectorului (P O) :P O = (P P) + (PO). (1.62)Deoarece miscarea punctului P este una circulara, alegand convenabil sistemulde referint a (O, x1, x2, x3), obt inemP O = Rcos i1 +Rsin i2 +hi3,undeh este un parametru ales astfel ca |P P

| = 2h. Observa ca |P P

|reprezinta distant a dintre doua puncte consecutive ale elicei, situate pe aceeasigeneratoare si numita pasul elicei. Din ultima relat ie obt inemx1 = Rcos , x2 = Rsin , x3 = h.Acest sistem reprezinta (elicea) drumul lui P, n timp ce ecuat ia orara este datan termenii lui, de funct ia = (t).Dacamiscareaesteuniforma, atunciavem=constant,simiscareavanumita elicoidala si uniforma.Folosindformula(1.62),esteposibilsaobt inemurmatoareadescompunerea vitezei:v =d(P O)dt=d(P P)dt+d(PO)dt.Deoarece miscarea luiPeste circulara, avemv = hi3 +i3(PO).Astfel, din(t) =(t)i3, obt inemv = h + (PO).Ultima relat ie demonstreaza ca viteza are doua componente, prima corespundeuneimiscarirectiliniide-alungulaxei x3 sice-adeadouacorespundeunei30 CAPITOLUL1. CINEMATICAmiscari circulare. Sa denim acum vectorul tangent t si normala principala n.Deoareces = (R2+h2)1/2, avemdds= (R2+h2)1/2. Mai mult, obt inemt =dPddds=dds(Rsin i1 +Rcos i2 +hi3),n = dtds= dtddds= _dds_2R(cos i1sini2).Deoarece n este un vector unitar, deducem din ultima relat ie ca = _dds_21R=R2+h2R, si n consecint a avem n = POR. Astfel, normala principala la curbacoincide cu normala la suprafat a si astfel elicile sunt geodezice (9) ale cilindrului.Trebuiepunctatfaptul caodescrieregeneralaamiscarii folosindcoordo-natele curbilinii este prezentata n Appendix A.Exercit iu1.1.18Miscarea unui punct este data de x = a cos eti1+a sin eti2+beti3, unde a, b sunt constante pozitive. Sa se determine componentele tangent ialasi normala ale accelarat iei punctului.Solut ie. Avemomiscareelicoidala. Prinderivaredirecta, avemdx=et(a sin eti1 +a cos eti2 +bi3) dt, si deci ds = eta2+b2dt. Mai mult,avemt =dxds=1a2+b2_a sin eti1a cos eti2bi3_,sidtds=dtdtdtds= aa2+b2_cos eti1 + sin eti2_.Apoi, deducem cav = st = et_a2+b2t,siat = st = et_a2+b2t, an = s2dtds= ae2th,unde h = cos eti1 + sin eti2.1.2 Cinematica sistemelor materiale si corpurilorrigide1.2.1 LegaturisisistemeolonomeSa consideram un sistem material B de Npuncte materiale, care sunt notate cuP1, P2, . . ., PN. Daca punctele sunt libere sa ocupe pozit ii arbitrare din spat iu,atunci sistemul material este numit liber. Congurat ia sistemului material libera Npuncte data ntr-un sistem de referint a (O, x1, x2, x3) este cunoscuta atunci9Reamintimcageodezicalaosuprafat aesteaceacurbadepesuprafat aacarui normalaestedirect ionatade-alungulnormaleilasuprafat a(asevedeaAppendixA,denit iaA.13).1.2. CINEMATICASISTEMELOR MATERIALE SI CORPURILOR RIGIDE31c and sunt cunoscut i vectorii de pozit ie ai ecarui punct relativ la un punct xatn(O, x1, x2, x3). Astfel, Ncantitat i vectorialesau, echivalent, 3Ncantitat iscalare sunt cerute pentru a specica congurat ia sistemului material liber ntr-un sistem de referint a xat.Daca, spre deosebire, miscarea unui sistem material este afectata de prezent acorpurilorcarevin ncontactcucatevadintrepunctelelui B, legaturi potimpuseasuprapozit iilorpecarepunctelematerialelepotocupasauasupramanierei n care aceste pozit ii se pot schimba. In acest caz, clasa P, reprezentandtoatepozit iileposibilealesistemuluimaterial B, nuestedestuldelargapen-truapermitecorpului Bsaaibaocongurat iarbitrara n E. Sespuneastfelc a sistemul material Beste supus la legaturi. Daca, pornind de la cunoastereac atorva componente ale deplasarilor sistemului material, putem arma ceva de-spre deplasarile ramase, putem spune ca aceasta legatura este activa.Denit ie1.2.1Numim legatura orice mecanism care impune restrict ii privindpozit iasi vitezaalecelor Npunctecareformeaz asistemul material. Acesterestrict ii pot exprimate analitic prin intermediul unei relat ii ntre coordonatelesi vitezele punctelor sistemului de material n forma (x1, x2, . . . , xN, x1, x2, . . . , xN, t) 0. (1.63)Inrelat iiledemai sus, (xi, xi)reprezintapozit iasi vitezapunctului Pi, i =1, 2, ..., N. Mai mult, noi vom presupune ulterioe ca funct iaeste sucient deregulata.Ca un prim exemplu de sistem material care este supus legaturilor,putemconsideraunsistemrigid, careesteunsistemmaterial P1, P2, ..., PNpentrucare distant ele dintre punctele raman invariabile n raport cu timpul, adicad(Ph(t), Pk(t)) = dhk, h, k = 1, 2, ..., N,unded reprezinta distant a dintre puncte sidhksunt independente de timp.Unaltexempludesistemconstranspoategasit nstudiul miscariiunuipunctPfort at sa se miste pe un cerc. De fapt, dacaO este centrul cercului deraz aR, avem(P O)2= R2. (1.64)Denit ie1.2.2Spunem ca o legatura este bilaterala cand restrict iile sistemu-lui materil pot reprezentate de o relat ie de tipul (1.63) dar cuegalitate.Spunemcaavemolegatur aunilateralacandrelat iaceodescrieesteoine-galitate.Exemplele de mai sus reprezentand un sistem rigid si un punct ce se miscape cerc descriu legaturi bilaterale. Un exemplu de legatura unilaterla este acelaaunuipunctfort atsaramana ntr-unplansaucelaunuipunctconstranssaramana n interiorul unei sfere.32 CAPITOLUL1. CINEMATICAPR(t)x2x1OFigura 1.12:Denit ie1.2.3Spunemcaolegaturaestescleronomasauindependentadetimpdacarelat iacaredescrielegatur anucont inetimpul nmodexplicit. Olegatur a este reonoma sau dependenta de timp daca relat ia care descrie legaturadepinde explicit de timp.Un exemplu de legatura reonoma este descrisa de Figura 1.12 de un punctconstrans saramanapeuncercderazaR(t), variabila ntimp, adicaestelegatura reprezentata de(P O)2= x21 +x22 = R2(t).Denit ie1.2.4O legatura este numita olonoma sau geometrica sau de pozit iedacaearestrict ioneazadoarpozit iilesistemului sideciacestelegaturisuntin-dependente de vitezele punctelor, adica legaturaa are urmatoarea forma (x1, x2, . . . , xN, t) 0. (1.65)Ingeneral, olegaturaestenumitaneolonomasaucinematicasaudemiscaredaca relat iile care descriu legatura sunt dependente de vitezele punctelor si deciau forma (1.63).Exemplele pe care le-am considerat mai sus sunt toate referitoare la legaturiolonome. Unexempludelegaturaneolonomaestereprezentat delegaturaacare determina rostogolirea unei sfere pe un plan fara sa alunece. Vom discutaulterior modul n care aceasta legatura poate denita de o ecuat ie de forma(1.63).1.2. CINEMATICASISTEMELOR MATERIALE SI CORPURILOR RIGIDE33In domeniul mecanicii, legaturile neolonome nu sunt foarte frecvent ntalnite.Aceste legaturi sunt de obicei exprimate prin relat ii care sunt liniare n raport cuvitezele punctelor care formeaza sistemul. Pentru cazul unui sistem constituitdintr-unnumrnitNdepunctesupuseunorlegaturibilaterale,acesterelat iiau urmatoarea forma:N

s=1as(x1, . . . , xN, t) xs +(x1, . . . , xN, t) = 0. (1.66)De fapt, pentru a un sistem neolonom, forma diferent iala (1.66) trebuie sa nue integrabila. Aceasta nseamna ca nu exista nicio funct ieFcare depinde decoordonatele punctelor sistemului material, astfel caddtF(x1, . . . , xN, t) =N

s=1as(x1, . . . , xN, t) xs +(x1, . . . , xN, t) = 0. (1.67)Intr-adevar, daca o astfel de funct ie ar exista, din (1.67), putem obt ineF(x1, . . . , xN, t) = constant, (1.68)careesteorelat iedetipul (1.65), si carecaracterizeazaolegaturaolonoma.Prin urmare, pentru a avea o legatura neolonoma, este esent ial ca relat ia (1.66)sa nu e o forma diferentiala integrabila . In caz contrar, legatura olonoma s-arputea exprima ca relat ii reductibile la ecuat ia (1.68).Denit ie1.2.5Unsistemmaterial este numit olonomdaca posibilele salelegaturi sunt toateolonomesi posibilelesalecongurat ii pot identicate nmod unic de un numa r nitn de parametri independent i,q1,q2,. . . , qn, numit icoordonategeneralizatesaucoordonatelagrangiane. Numarul nestenumitnumarul gradelor delibertateal sistemului, sausespunecasistemul are ngrade de libertate.Unpunctmaterial liber(adica, unpunctacarui miscareanuestesupusala nicio legatura, si n consecint a la relat ii de tipul (1.63)) reprezinta un sistemolonomcutrei gradedelibertate. Unpunctmaterial fort atsasemistepeosuprafat a, adica este supus unei legaturi denite de o relat ie de urmatorul tip:(x, y, z, t) = 0,c reprezinta un sistem olonom cu doua grade de libertate. Intr-adevar, pentru adetermina pozit ia unui punct pe o suprafat a, ne trebuie doi parametri. In nal,un punct constrans sa se miste pe o curba reprezinta un sistem olonom cu doarungraddelibertate, deoareceunparametruestesucientpentruaidenticapozit ia punctului pe o curba data.Esteposibil saprezentamconceptul degraddelibertatesi numarul lorpornindcuunsistemconstituitdintr-unnumarnit Ndepunctemateriale34 CAPITOLUL1. CINEMATICAcu constrangeri olonome bilaterale. Daca sistemul este supus la r < 3Nlegaturibilaterale, denite der ecuat ii independentede urmatorul tip:h(x1, x2, . . . , xN, t) = 0, h = 1, 2, . . . , r, (1.69)atunci existanumai n=3N rparametri independent i, deoarecemfolosindsistemul (1.69), putem, pentruexemplu, exprimarcoordonatele ntermeniiacelor n=3N rramase. Vorbindmai general, putemgasi nparametriindependent i q1, q2,. . . , qncaredeterminapozit iaoricarui punctal sistemul,adica avemPs = Ps(q1, . . . , qn, t), s = 1, 2, . . . , N. (1.70)Prinurmare, numarul ndegradedelibertateasistemului poateobt inutscazand numarulral ecuat iilor legaturilor din 3N, care este numarul gradelorde libertate ale unui sistem constituit din puncte libere.Pentruunsistemmaterial dat, esteposibil saasociemncoordonatela-grangiane q1, q2, . . . , qnntr-unnumar innit de moduri.Intr-adevar, oricetransformare: RnRncareesteinjectivasi sucientderegulatapoatedetermina un nounuplu de parametri lagrangiani.Presupunemca, pelangalegaturilebilaterale, unsistemolonomestedeasemenea supus la legaturi unilaterale de urmatoarea forma

(x1, x2, . . . , xN, t) 0. (1.71)Este clar ca, daca luam n calcul doar legaturi bilaterale, folosind argumentat iisimilare cu cele folosite mai sus, putem deni de asemenea, n acest caz, n co-ordonatelagrangiane q1, q2, . . . , qn, si nconsecint aobt inemecuat iile(1.70).Deoarece coordonatele punctelor sistemului trebuie sa satisfaca inegalitat ile(1.71), acesti parametri lagrangiani vor satisfacedeasemeneainegalitat i deurmatoarea forma:(q1, q2, . . . , qn, t) 0. (1.72)Esteposibil saexplicamdeceacesteinegalitat i nupot reducenumarul degradedelibertate siprinramaneegalcuceaasistemuluicareestesupusnu-mai lalegaturi olonomesi bilaterale. Spreexemplu, numarul deparametriindependent i pentru un punct de constrans sa se miste ntr-o camera numarulgradelor de libertate ramane egal cu trei, chiar daca acesti parametri sunt legat ireciprocprinintermediul relatiilordetipul (1.72), deoarecepunctelenupotparasi sala.Denit ie1.2.6Un sistem material este numit neolonom daca este supus la celput in o legatura neolonoma.Desi legaturile neolonome impun unele restrict ii cu privire la vitezele punctelordinsistem, nuleinterzicesaaibaoricepozitiedecat dacaestesupusauneilegaturi olonome, astfel legaturileneolonomenureducnumarul deparametrilagrangiani ai sistemului. Prinurmare, nstudiul sistemelorneolonome, tre-buie mai ntai sa consideram sistemul material care este supus doar la legaturi1.2. CINEMATICASISTEMELOR MATERIALE SI CORPURILOR RIGIDE35olonome pentru a determina gradele de libertate si a parametrilor lagrangiani;apoi, trebuie sa introducem noi legaturi neolonome cum ar noi ecuat ii sau ine-galit at i. Daca q1, q2, . . . , qn sunt parametri lagrangiani a unui sistem cu n gradede libertate, atunci legatura neolonoma de tipul (1.66) poate reprezentata can

i=1Ai(q; t) qi +(q; t) = 0. (1.73)Exercit iu1.2.1Pentru oricare din urmatoarele cazuri, determinat i daca legaturaesteolonomasauneolonoma: a)unpunctmaterial caresemisc apeuncerc;b)unpunctmaterial greucaresemiscapeunplan nclinat;c)oplacarigidaalunecand pe un plan xat x1Ox2; d) un punct material Pde coordonate (x1, x2, x3)este fort at sa se miste n asa fel ncat componentele vitezei satisfac urmatoarearelat ie x1 =f(x2, x3) ( x2 + x3),cufx2 =fx3;e)olamasubt irerigidaxatape o placa rigida care aluneca pe un plan xatx1Ox2.Solut ie. a) Punctul se misca pe o curba si deci este o legatura olonoma.b) Punctul se misca pe o suprafat a si deci legatura este olonoma.c) Placa rigida se misca pe un planul nclinat xat si legatura este olonoma.d) Daca aceasta legatura ar olonoma, atunci poate scrisa n urmatoareaformaF(x1, x2, x3) = 0. Din aceasta ipoteza, deducem caFx1dx1 +Fx2dx2 +Fx3dx3 = 0,si aceasta coincide cu relat ia de legaturadx1f(x2, x3)dx2f(x2, x3)dx3 = 0,dac a si numai daca exista(x1, x2, x3) astfel caFx1= ,Fx2= f,Fx3= f.Daca vom egala derivatele mixte de ordinul doi ale funct ieiF, obt inemx2=x3= x1f, x3f fx3= x2f fx2,si deci deducem cafx2=fx3,orelat iecarecontraziceipotezacafx2=fx3. Prinurmare, avemolegaturaneolonoma.e) Deoarece avem o miscare de alunecare, fara rotat ie si fara pivotare, rezultaca viteza unui punctPal lamei subt iri este tangenta la lama. Daca vom notacux1 six2coordonatele punctului si cu unghiul format de lama cu axaOx1,36 CAPITOLUL1. CINEMATICAatunci x1, x2 si constituie coordonatele generalizate pentru lama subt ire si, nplus, avemdx2dx1= tan . (1.74)Legatura de mai sus este neolonoma, deoarece nu este integrabila. De fapt, dacapresupunem ca exista o relat ie de tipulF(x1, x2, ) = 0, deducem caFx1dx1 +Fx2dx2 +F d = 0, (1.75)si deci, luandn considerare legatura (1.74) si deoarece d este arbitrar, obt inemF= 0,Fx1+Fx2tan = 0. (1.76)Prima relat ie din (1.76) implica caFeste independent de, n timp ce a douarelat ie din (1.76) conduce laFx1= 0,Fx2= 0,deoarece tan este arbitrar. Astfel,putem concluziona caFeste independentde x1,x2 si si nu poate o legatura. Aceasta constradict ie provide din faptulca am presupuns ca (1.74) este o legatura olonoma. Asadar, legatura (1.74) esteneolonoma.Exercit iu1.2.2Determinat i numarul gradelor de libertate pentru urmatoarelecazuri: a)unpunctcaresemiscapeocurbadinspat iu: b)treipunctcaresemisca liber ntr-un plan: c) patru puncte care se misca liber n spat iu: d) douapuncte care se misca n spat iu, unite printr-o bara rigidaSolut ie. a) Curba din spat iu poate data de reprezentarea naturalax1 =x1(s),x2 = x2(s),x3 = x3(s). Prin urmare, pozit ia punctului pe curba poate descrisa de parametrul specicats. Astfel, sistemul are un grad de libertate.b)Fiecarepunctceredouacoordontatepentrua i specicapozit iasa nplan. Astfel, sunt necesare3 2 =6coordonatepentruaspecicapozit iatuturor celor trei puncte si astfel sistemul are 6 grade de libertate.c)Pentruaspecicapozit iaunui punctmaterial dinsistemul considerat,avem nevoie de trei coordonate. Astfel, sistemul necesita 4 3 = 12 coordonatesi deci are 12 grade de libertate.d) Coordonatele (x1, x2, x3) si (y1, y2, y3) ale celor doua punct sunt n asa felncat distant a dintre ele ramane constanta, adica (x1y1)2+(x2y2)2+(x3y3)2= constant. Prin urmare, una din cele sase coordonate poate exprimatan termenii celorlalte cinci si deci sistemul are cinci grade de libertate.Exercit iu1.2.3Categradedelibertateareuncorprigidcand: a)semiscaliber nspat iul tridimensional; b)areunpunctxsisemisca njurul lui; c)aredouapunctexe sisemisca njurulaxeicetreceprinacestedouapunctedistincte; d)semisca njurul unei axexe; e)semisca nasafel ncattreipuncte necoliniare raman ntr-un plan x.1.2. CINEMATICASISTEMELOR MATERIALE SI CORPURILOR RIGIDE37Solut ie.Daca trei puncte necoliniare Pi, i = 1, 2, 3, ale rigidului sunt xate,atunci ntregrigidulestexat. Astfel,miscareacorpuluirigidvacunoscutac and cunoastem cum se misca trei puncte necoliniare ae corpului rigid.a)Intr-un sistem x de coordonate (O, x1, x2, x3), e (x1, x2, x3), (y1, y2, y3),(z1, z2, z3) coordonatele a trei puncte. Deoarece d(P1, P2) = constant, d(P2, P3) =constant,d(P3, P1) = constant, rezulta ca(x1y1)2+ (x2y2)2+ (x3y3)2= constant,(y1z1)2+ (y2z2)2+ (y3z3)2= constant, (1.77)(z1x1)2+ (z2x2)2+ (z3x3)2= constant,si deci putem exprima trei coordonate n termenii a celorlalte sase. Prin urmare,avem nevoie de sase coordonate independente pentru a descrie miscarea corpuluirigid si deci aceasta miscarea are sase grade libertate.b) Presupunem punctul x ca ind P1 de la punctul anterior a) si deci avemx1 = a1, x2 = a2, x3 = a3. (1.78)Astfel, din sistemul de ecuat ii descris de relat iile (1.77) si (1.78), putem exprimasase coordonate n termenii a altor trei. Prin urmare, miscarea poate descrisaprin trei parametri independent i si are trei grade de libertate.c) Presupunem ca punctele xe suntP1 siP2de la punctul a), adicax1= a1, x2 = a2, x3 = a3, (1.79)y1= b1, y2 = b2, y3 = b3.Atunci, dinsistemul deecuat ii descrisde(1.77)si (1.79)putemexprimaoptcoordonate n termenii unei singure coordonate. Prin urmare, aceasta miscarepoate descrisa doar de un parametru si deci are un grad de libertate.d)Fieuversorul directoral unei dreptexe(d)si e P0_x01, x02, x03_unpunct xat pe (d). Atunci dreapta xa (d) are ecuat ia vectorialaP P0 = u, R. LuamP1 siP2 pe dreapta (d) siP3/ (d). Atunci, avemP1P0 = 1u,P2P0 = 2u, cu1,2 R si decix1x01 = 1u1, x2x02 = 1u2, x3x03 = 1u3,y1x01 = 2u1, y2x02 = 2u2, y3x03 = 2u3. (1.80)Prin urmare, din relat iile (1.77) si (1.80), puteam exprima noua coordonate ntermenii parametrilor1si 2. Bazandu-ne pe aceasta,putem concluziona caaceasta miscare poate descrisa prin doi parametri independet i si deci are douagrade de libertate.e) Fie () : ax1 + bx2 + cx3 + d = 0 un plan x. Presupunand caPi (),i = 1, 2, 3, avemax1 +bx2 +cx3 +d = 0,ay1 +by2 +cy3 +d = 0, (1.81)az1 +bz2 +cz3 +d = 0.Dinrelat iile (1.77) si (1.81),putemexprima sase coordonate n termeniialtortrei coordonate si deci putem concluziona ca miscarea are trei grade de libertate.38 CAPITOLUL1. CINEMATICAx2y2x3y3x1y1POO

Figura 1.13:1.2.2 CinematicasistemelorrigideMultesistemematerialesuntconstituitedecatreuncorprigidsaudintr-unnumar de corpuri rigide conectatentre ele. Amobservat dejacauncorprigid este un sistem material supus unor legaruti care conserva distant ele ntrepunctele corpului, adica, dacaPsi Q sunt doua puncte arbitrare ale corpului,avem(P(t) Q(t))2= constant.Este important sa ret inem ca un corp rigid este denit ca un model matem-aticpentruadescriemultealtecorpurisolide ntr-unmodsucientdeexact.Astfeldecorpurinuexista nnatura, deoareceultimeleparticulecomponenteale oricarui corp (atomi) sunt ntotdeauna supuse unor misci relative. Aceastamiscareestemicroscopicasi poateneglijataatunci canddescriemmiscareamacroscopica a corpului. Pe de alta parte, masuratori precise ale acestor corpuripotpune nevident aprezent aunormicideformari. Prinurmare, consideramcorpului arigidnumai ncazul ncareastfel dedeformari nuinuent eazamiscarea sa.Consideramuncorprigidliber, adica, unrigidsupusnumai lalegaturilede rigiditate. Pentru a studia miscarea sa, vom introduce un sistem ortogonaldereferint adrept(O, x1, x2, x3), pecare l numimx nspatiu, fat adeunobservator la care referim miscarea, si un sistem de referint a (ortogonal drept)(O

, y1, y2, y3) xat n corp (a se vedea Figura 1.13).Propozit ie1.2.1Pozit iaecarui punct al corpului rigidpoateidenticatadaca se cunoaste congurat ia tripletului xat n corp fat a de cel xat n spat iu.1.2. CINEMATICASISTEMELOR MATERIALE SI CORPURILOR RIGIDE39Demonstrat ie. Fie (c1, c2, c3) un sistem de coordonate carteziene cu orig-inea n punctul O

fat a de un sistem de referint a xat n spact iu, e i1, i2, i3 vec-torii unitari ai axelor x1, x2, x3 si e j1, j2, j3 vectorii directori ai axelor y1, y2, y3.Atunci, cosinusurile hk ale unghiurilor axelor y1, y2, y3 cu axele triedrului xatsunt date de matriceahk = ih jk, jk =3

h=1hkih. (1.82)Astfel, este posibil sadeducemformulacare denet e transformareace facelegaturadintre coordonatele punctului P calculatencele douasisteme dereferint a. Astfel, scriemP O = (P O

) + (O

O). (1.83)Daca (x1, x2, x3) and (y1, y2, y3) sunt coordonatele luiPfat a de sistemelede refet a cu originea n O si respectiv O

, atunci putem scrie mai departe (1.83)astfelx1i1 +x2i2 +x3i3 = y1j1 +y2j2 +y3j3 +c1i1 +c2i2 +c3i3(1.84)sau n forma echivalenta3

h=1xhih =3

k=1ykjk +3

h=1chih.Inmult ind ultima ecuat ie cu il, obt inemxl = cl +3

k=1lkyk. (1.85)Astfel,din(1.85),rezultacapozit iaecaruipunctPacorpuluirigidestede-terminata odata cu coordonatele punctuluiO

si matricei (hk), ale carui com-ponente sunt cosinusurile unghiurilor axelory1, y2, y3,. Folosind notat iax = x1i1 +x2i2 +x3i3, y = y1j1 +y2j2 +y3j3,c = c1i1 +c2i2 +c3i3, A = (hk) ,este posibil sa exprimam ecuat iile (1.84), (1.85) n urmaoarea forma compactax = c +3

k=1ykjk, (1.86)x = c +Ay. (1.87)Rezulta din denit ia luihk, din a doua ecuat ie a relat iilor (1.82), ca3

k=1ikjk = ij, unde ij =_1 pentrui = j0 pentrui = j. (1.88)40 CAPITOLUL1. CINEMATICAIn forma matriceala, (1.88) poate reprezentata astfelAAT= 1, unde 1 este matricea unitate.Prinurmare,matriceaA = (hk)esteortogonala, siastfelreprezintarotat ia,numita rotat ia tripletului (O

, y1, y2, y3) fat a de sistemul de referint a centrat nO

si avand axele paralele cu axele reperului x1, x2, x3. Deci, pentru a determinapozit iaunui rigid, estesucientsaspunemcongurat iatripletului xdinel.Pentruaceasta, estenecesarsadenim nmodprecisceletreicoordonatealepunctuluiO

si cele noua cosinusurihk, care, totusi, sunt legate ntre ele prinsase relat ii (1.88).Observat ie1.2.1Un rigid are sase grade de libertate. Totusi, pentru a deter-minacongurat iatripleteisolidarecurigidul, avemnevoiedenouaparametriindependent i. Acesti parametri potcoordonateleoriginii O

si trei unghiuriindependente,astfel sunt unghiurile lui Euler,care,dupa cum vom demonstra,pot folosit i pentru a deni componentele matricei de rotat ie.Innal, miscareasistemului rigidestecunoscutadacamiscareapunctuluiO

si legea de schimbare a cosinusurilorhksunt determinate; adicaxh(t) = ch(t) +3

k=1hk(t)yk, (1.89)unde yk sunt coordonatele punctului P relativ la sistemul de referint a (O

, y1, y2, y3)sicarenudepinddetimp. Astfel,miscareaunuirigidpoateconsideratacasuma a doua miscari independente, o translat ie a unui punct al corpului plus orotat ie n jurul acestui punct.Exercit iu1.2.4O lama dreptunghiulara ABCDcu dimensiunile AB = 10 siBC = 20 se misca astfel nc at ramane mereu paralel a cu un plan xatx1Ox2.Miscarea punctuluiO

(c1, c2, c3), de intersect ie a diagonalelor lamei, fat a de unsistemdereferint ax(O, x1, x2, x3)estedescrisade c1(t)=t2+ 1, c2(t)=t2 1, c3(t) =2t. Reperul solidar curigidul (O

, y1, y2, y3) areomiscaredescrisa de j1 = cos i1 + sin i2, j2 = sin i1 + cos i2, j3 = i3, si = t. Sase determine coordonatelex1,x2,x3ale varfurilor lamei la momentul t = 1.Solut ie. Fat a de un sistem de referint a (O

, y1, y2, y3), punctele A, B, C, Dpot date (de exemplu) de A(5, 10, 0), B(5, 10, 0), C(5, 10, 0), D(5, 10, 0).La momentul t = 1,pozit ia sistemului de referint a (O

, y1, y2, y3) este data deO

O = 2i1 + 2i3 si j1 = i1, j2 = i2, j3 = i3, si astfel avemx1i1 +x2i2 +x3i3 = 2i1 + 2i3 +y1j1 +y2j2.Deci, deducem cax1 = 2 y1, x2 = y2, x3 = 2.Prinurmare, nlocuidy1= 5, y2= 10 nrelat iile demaisus,deducemcoordonatele punctuluiA fat a de un sistem de referint a (O, x1, x2, x3) ca indAx(7, 10, 2). Similar, deducem ca Bx(3, 10, 2), Cx(3, 10, 2) si Dx(7, 10, 2).1.2. CINEMATICASISTEMELOR MATERIALE SI CORPURILOR RIGIDE411.2.3 MiscariparticularealerigiduluiInainte de a studia miscarea unui corp rigid n forma sa generala, vom consid-eracatevaformeparticularealemiscarii.Inplus, atunci candvorbimdespremiscare, ne vom referi ntotdeauna la un interval de timp alocat pe care l vomnota cuI R.Miscareadetranslat ieDenit ie1.2.7Spunem ca un rigid executa o miscare de translat ie daca oricereper solidar cu rigidul are o miscare de translat ie fat a de un reper x n spat iu,adica matricea cosinusurilor directoare hk este constanta n tot timpul miscarii.Deoarecexh(t) = ch(t) +3

k=1hkyk,sihk siyksunt constante, deducem xh = ch, xh = ch.Observat ie1.2.2Intimpul uneimiscaridetranslat ie,toatepunctelerigidu-luiauaceeasivitezasiaceeasiaccelerat ie. Vitezacomunaatuturorpunctelorcorpului poarta numele de campul vitezei de translat ie. Reciproca este de aseme-nea adevarata: daca la ecare moment toate punctele din rigid au aceeasi vitezaatunci rigidul executaomiscaredetranslat ie. Astfel, omiscaredetranslat iepoate denita prin formulavP(t) = u(t), t I, (1.90)undevPreprezintavitezaunui punctarbitrarP, si uesteunvectorcarenudepinde deP, pe care l vom alege sa e egal cu viteza v(O

) a originiiO

.Cuajutorul relat iei (1.90), putemdeduceurmatoareformulapentrude-plasarea relativa elementara a punctuluiP:dP= udt = dO

.Exemplu1.2.1Un paralelogram articulat ABCD (gure 1.14) este format dintrei bare AB, BCsi CD. Punctele Asi Dsunt xeiarbarele ABsi CDsepotroti njurul lor, ntimpcebarelesuntconenctate npuncteleBsi Cprinlegaturiarticulate. Astfelmiscareabarei BCestedetranslat ie,pentrucasistemul dereferint a(B, y1, y2)xatdebaraBCnu-si schimbaorientarea nraport cu sistemul x de referint a (A, x1, x2).Denit ie1.2.8Omiscaredetranslat iesenumestetranslat ierectilinie(uni-forma) daca miscarea unui punct arbitrar din rigid este rectilinie (uniforma).42 CAPITOLUL1. CINEMATICAA DB Cx2y2x1y1Figura 1.14:Miscareaderotat ieCosideram un corp rigid care cont ine o axa xa care face obiectul urmatoarelorconstrangeri: doua puncteO si O1raman xe, si deci, n particular, prin pro-prietat ile corpurilor rigide, ntregul segment cuprinsntre punctele Osi O1raman xe, de asemenea.Observat ie1.2.3Uncorprigidcarecont ineoaxaxaformeazaunsistemcunumaiungraddelibertate. Esteposibil saalegemunghiul formatdeunplanxal corpuluicarecont ineaxaO O1cuunaltplanxcarecont inedeasemenea axa xaO O1(gura 1.15) ca unic parametru.Denit ie1.2.9Miscarea unui corp rigid se numeste de rotat ie daca toatepunctelecareseaapeodreaptaxadincorpramanxe. Aceastadreapt apoart a numele de axa de rotat ie.Sa alegem, ca un triplet xn spat iu, un sistem de axe ortogonale cu originean O si axa x3 avand aceeasi direct ie ca (O1O). Ca de obicei, se alege tripletulatasatcorpului cuoriginea nOcuaxay3sacoincidedacux3, caredeci vaavea aceeasi direct ie cu (O1 O). Notand cu unghiul x1y1,putem exprimacosinusurile directoarehkca funct ii de acest unghi. Astfel avem(hk) =__cos sin 0sin cos 00 0 1__. (1.91)Prinurmare, ecuat iilemiscarii derotat iealeunui corprigidauurmatoareaforma:x1(t) = cos (t)y1sin (t)y2,x2(t) = sin (t)y1 + cos (t)y2, (1.92)x3(t) = y3.1.2. CINEMATICASISTEMELOR MATERIALE SI CORPURILOR RIGIDE43x2y2x3 y3x1O1y1OFigura 1.15:Folosind sistemul (1.92), putem concluziona ca miscare unui punct arbitrar dinrigid este circulara. Ridicand la puterea a doua si sumand primele doua ecuat iiale sistemului (1.92), obt inemx21(t) +x22(t) = y21 +y22 = constant,x3 = constant. (1.93)Sistemul (1.93)denotaecuat iaunui cerc. Prinurmare, vitezaunui punctarbitrar dintr-un corp rigid care executa o miscare de rotat ie este data de for-mula:vP= i3(P O), (1.94)unde O este un punct x de pe axa de rotat ie. Vectorul = i3 poarta numelede viteza unghiularaa corpului rigid.Folosind(1.94), putemimediatsadeterminamurmatoareaformulapentrudeplasarea elementara a luiP:dP= di3(P O).Miscareaderototranslatie Denit ie1.2.10Miscarea unui corp rigid n care o dreapta xa a corpului semisca de-alungul unei drepte din spat iu se numeste de rototranslat ie.Sa alegem din nou tripletul (O

, y1, y2, y3) cu axay3avand aceeasi direct iecu drepta xa a corpului si cu origineaO

ntr-un punct de pe aceasta dreapta,44 CAPITOLUL1. CINEMATICAde coordonate O

= (0, 0, c3). Este clar ca, n acest caz, hk sunt date de relat ia(1.91), n timp ce ecuat iile de miscare au urmatoarea forma:x1(t) = cos (t)y1sin (t)y2,x2(t) = sin (t)y1 + cos (t)y2, (1.95)x3(t) = c3(t) +y3.Astfel, deducemcaproiect iamiscarii punctului Ppeplanul (x1, x2)esteuncerc. Din (1.95), avemvP= c3(t)i3 + x1i1 + x2i2. (1.96)In cele din urma, luand n considerarea expresia vitezei de rotat ie, obt inemvP= c3(t)i3 + i3(P O

) = v(O

) + (P O

). (1.97)Din (1.97), deducem formula pentru deplasarea elementara relativa:dP= dO

+di3(P O

). (1.98)Miscareaderototranslat iesenumnesteelicoidala dacavitezav(O

)dinexpresia (1.97) este proport ionala cu.Exercit iu1.2.5Un rigid laminat n forma dreptunghiularaABCD se miscanplannpozit ia A

B

C

D

, adicavarfurile A, B, C, Dse deplaseazanvarfurileA

,B

,C

,D

, respectiv. Demonstrat i ca miscarea se poate scrie ca osuma a unor miscari de translat ie si de rotat ie n jurul unui punct corespunzatoral rigidului.Solut ie.Fie E un punct n dreptunghiul ABCD care corespunde punctuluiE

din dreptunghiul A

B

C

D

. In primul rand se executa translat ia din punctulEn punctul E

, astfel ca dreptunghiul ABCD devine A1B1C1D1. Mai departe,folosind peE

ca punct de rotat ie, executam rotat ia de unghi a dreptunghi-uluiA1B1C1D1, unde este unghiul dintre dreptele suport ale laturilorAB sirespectivA

B

. Astfel miscarea este compusa dintr-o translat ie si o rotat ie.1.2.4 UnghiurileluiEulerPresupunemca, pelangasistemuldereferint a(O

, y1, y2, y3)atasatrigidului,este dat un nou sistem de referint a (O

, z1, z2, z3), cu originean acelasi punct O

,dar care are axele paralele cu axele x1, x2, x3 (Figura 1.16). Congurat ia corpu-lui rigid se va deni din nou n funct ie de coordonatele luiO

si de cosinusuriledirectoare ale axelory1, y2, y3 n funct ie de tripletul z1, z2, z3.In mod normal,acesti cosinusi directori coincid cuhk. Astfel, matricea de rotat ie A = (hk)descriecompletorientarearelativaacelordouasisteme. Matriceaderotat ieA cont ine trei unghiuri independente. Sunt multe posibilitat i de a alege aceste1.2. CINEMATICASISTEMELOR MATERIALE SI CORPURILOR RIGIDE45x2y2x3y3x1z2z3z1y1POO

nFigura 1.16:unghiuri. O posibilitate foarte populara este reprezentata de schema de rotat iea lui Euler (10).Fie drepatan, numita linianodurilor, obt inuta ca intersect ia dintre planul(O

, y1, y2)cuplanul(O

, z1, z2).Alegemorientareaacesteidrepteastfel ncat(O

, z3), (O

, y3) sin sa formeze un triplet compatibil cu regula mainii drepte.Denit ie1.2.11Numimunghiul denutat ie unghiul format de(O

, y3)si(O

, z3);deasemeneanumimunghiul deprecesieunghiul formatde(O

, z1)cun; si nnal, numinunghiul derotat ieproprieunghiul formatdencu(O

, y1). Celetreiunghiuri , si poarta numeledeunghiurile lui Euler, sidirect iile lor pozitive se gasesc cu regula mainii drepte aplicata pentru n, (O

, z3)si (O

, y3).Observat ie1.2.4Dupaceceledouasisteme(O

, y1, y2, y3)si (O

, z1, z2, z3)aufost date, unghiurilelui Eulersedetermina nmodunic. Reciproc, dacasedatripletul (O

, z1, z2, z3)si unghiurilelui Euler , , , atunci tripletul(O

, y1, y2, y3)sedetermina nmodunic. Prinurmare, coecient ii hkpotdeterminat i din moment ce determina linia nodurilor, determina planul carecont ine pen, si determina planul denit de (O

, y3) si (O

, y1).Unghiurile lui Euler sunt generate prin urmatoarea serie de rotat iiare, careduc tripletul (O

, z1, z2, z3) n tripletul (O

, y1, y2, y3) :I.Primarotat ieestedeunghi nsensinversacelordeceasornic njurulaxei z3si transformasistemul (z1, z2, z3) nsistemul (z

1, z

2, z

3)=(z

1, z

2, z3).10Euler(1776).46 CAPITOLUL1. CINEMATICADin moment ce rotat ia are loc n planulz1O

z2, matricea transformarii esteA =__cos sin 0sin cos 00 0 1__(1.99)siz

= Az, (1.100)sii1= cos i

1sini

2,i2= sin i

1 + cos i

2, (1.101)i3= i

3.Viteza unghiulara, care corespunde acestei rotat ii innitezimale n jurul axeicare-l cont ine pe i3este data de =i3. (1.102)II. A doua rotat ie este de unghi n sens invers acelor de ceasornic n jurulaxeiz

1 si transforma (z

1, z

2, z

3) n (z

1, z

2, z

3) = (z

1, z

2, y3). Pentru ca rotat iaare loc n planulz

2O

z

3, n jurul liniei nodurilor, matricea transformarii esteA =__1 0 00 cos sin 0 sin cos __(1.103)siz

= Az

, (1.104)sii

1= i

1,i

2= cos i

2 sini

3, (1.105)i

3= sin i

2 + cos i

3.Dcaanotamprinnversorullinieinodurilor, adican=i

1, atuncivectorulvitezei unghiulare,corespunzator acestei rotat ii innitezimale este dat de =n =i

1. (1.106)III. A treia rotat ie este de unghi n sens invers acelor de ceasornic n jurulaxei z

3si transformasistemul (z

1, z

2, z

3) nsistemul (y1, y2, y3). Pentrucarotat ia are loc n planulz

1O

z

2, matricea transformarii esteA =__cos sin 0sin cos 00 0 1__(1.107)1.2. CINEMATICASISTEMELOR MATERIALE SI CORPURILOR RIGIDE47iary = Az

, (1.108)sii

1= cos j1sin j2,i

2= sin j1 + cos j2, (1.109)i

3= j3.Pentru ca rotat ia sistemului are loc n jurul axei j3, rezulta ca viteza unghiularaeste data de = j3. (1.110)Prin compunerea celor trei rotat ii prezentate mai sus, deducem ca transfor-marea completa din sistemulzi n sistemulyieste data dey = Az

= AAz

= AAAz, (1.111)si matricea de rotat ie A esteA = AAA. (1.112)T inand cont de relat iile (1.99), (1.103), (1.107) si (1.112), deducem ca aceastamatrice are urmatoarele componente11= cos cos cos sin sin ,21= sin cos cos sin cos ,31= sin sin,12= cos sin + cos cos sin ,22= sin sin + cos cos cos ,32= sin cos ,13 = sin sin, 23 = cos sin , 33 = cos . (1.113)Pentru ceea ce urmeaza, este cel mai convenabil sa exprimam cele trei vitezeunghiulare nfunct iedesistemul atasatcorpului, adica nfunct iedeversoriibazei j1, j2, j3. Astfel, prinintermediul relat iilor (1.101), (1.102), (1.105),(1.106), (1.109) si (1.110), avem = (sin sin j1 + sin cos j2 + cos j3) , (1.114) = (cos j1sin j2) , (1.115) = j3. (1.116)Exercit iu1.2.6In schema de rotat ie a lui Euler, gasit i relat iile dintre vectoriiunitari i1, i2, i3si j1, j2, j3.48 CAPITOLUL1. CINEMATICASolut ie. T inand cont de rotat iile efectuate prin schema lui Euler, date derelat iile (1.101), (1.105) si (1.109), deducem cai1= (cos cos cos sin sin ) j1(sin cos + cos sin cos ) j2 ++sin sin j3,i2= (cos sin + cos cos sin ) j1 + (sinsin + cos cos cos ) j2sin cos j3,i3 = sin sin j1 + cos sin j2 + cos j3. (1.117)Din aceste relat ii, vom deduce caj1= (cos cos cos sin sin ) i1 + (cos sin + cos cos sin) i2 ++sin sin i3,j2= (sin cos + cos sin cos ) i1 + (sin sin + cos cos cos ) i2 ++cos sin i3,j3 = sin sin i1sin cos i2 + cos i3. (1.118)Exercit iu1.2.7Inschemaderotat iealui Euler, exprimat i vectorii vitezaunghiulara,, n sistemul x de coordonate.Solut ie.Considerand deit iile unghiului de presesie si a vectorilui unitaten, avem (vezi Figura 1.16)n = cos i1 + sin i2.Astfel, relat iile (1.102), (1.106), (1.110) si (1.118), ne conduc la=i3, = (cos i1 + sin i2) ,= (sin sin i1sin cos i2 + cos i3.) (1.119)Exercit iu1.2.8Transformareadinsistemul xdecoordonate(O

, z1, z2, z3)n sistemul atasat corpului (O

, y1, y2, y3) este descrisa prin urmatoarea matricede rotat ieA =18__26 2 26 +2 236 226 22 626 26 4__.Utilizandschemaderotat iealuiEulerdemaisus,gasit iunghiurileluiEulercare descriu orientarea relativ a a corpului n sistemele de mai sus.1.2. CINEMATICASISTEMELOR MATERIALE SI CORPURILOR RIGIDE49Solut ie. Transformarea ntre doua baze corespondente este data dei1=28__23 1_j1_3 + 2_j2 + 23j3_,i2=28__23 + 1_j1 +_3 2_j223j3_,i3=14_3j1 + 3j2 + 2j3_.Astfel, vectorul director unitar al liniei nodurilor esten =i3j3|i3j3|=12_3j1j2_.Apoi, avemcos = i3 j3 =12, cos = i1 n =22, cos = j1 n =32,si deci unghiurile lui Euler sunt =3, =4, =6.1.2.5 StareademiscareDupa cum am observat deja, miscarea se raporteaza n permanent a la un anu-mit interval de timp.In particular, este de asemenea important sa cunoastemcomportarea corpului la un timpt din intervalulI.Denit ie1.2.12Numim stare de miscare sau stare cinetica a rigidului la tim-pul t, mult imea vitezelor tuturor punctelor singulare ale corpului la acel moment.Denit ie1.2.13Numimstaredemiscaredetranslat iesaustarecineticadetranslat ie la momentul t urmatoarea distribut ie a vitezelor pentru un corp rigidvP(t) = vO (t), (1.120)adica vitezele tuturor punctelor corpului la momentul t sunt egale cu viteza punc-tului particularO

.Observat ie1.2.5Daca miscare corpului rigid este una n care starea de miscarela ecare moment este de translat ie, atunci miscarea este de asemenea de translat iesi reciproc.Denit ie1.2.14Numim stare de miscare de rotat ie sau stare cinetica de rotat ielamomentul t urmatoarea distribut ie a vitezelor pentru un corp rigid:vP(t) = (t) (P O

), (1.121)adicadistribut iavitezelorlamomentul testeaceeasicalamiscarederotat ie.Vectorul este numit viteza unghiulara instantanee.50 CAPITOLUL1. CINEMATICAObservat ie1.2.6Dacamiscareaunui rigidestederotat ie, atunci laecaremoment corpul se aa ntr-o stare cinetica de rotat ie. Reciproca acestei remarcinu este adevarata n general.Intr-adevar, mai tarziu, vomaratacaomiscarerigidaplanasauuncorprigid cu un punct x la ecare moment se aa ntr-o stare cinetica de rotat ie,chiar daca miscarea nu este n general de rotat ie.Denit ie1.2.15Numim stare de miscare de rototranslat ie sau stare cineticaderototranslat iesaustareelicoidalalamomentul turmatoareadistribut ieavitezelor pentru un corp rigid:vP(t) = vO (t) + (t) (P O

), (1.122)undeO

este un punctcare are viteza vO paralela cu.Prin urmare, distribut ia vitezelor este aceeasi ca n cazul miscarii de rototranslat ie.Dacauncorprigidseroteste njurul unui punctxO, atunci, laecaremoment, este o linieL de puncte din corp sau dintr-o prelungire a sa care suntinstantaneu n repaus. LiniaL poarta numele de axainstantaneederotat ieacorpului. Se poate arata ca linia L trece prin O si este paralela cu . Rezulta ca,n orice moment, miscarea unui corp rigid cu un punct x poate consideratao rotat ie n jurul unei linii care trece printr-un punct x.Daca rigidul nu are nici un punct x, atunci n general nu exista nici o liniede puncte care instantaneu sa se ae n repaus, dar exista o linieL de punctecare se misca instantaneu de-alungul liniei L, adica o linie L de-alungul carei nuexista miscare perpendiculara pe L. Axa care trece prin O

si care este paralelacu poarta numele de axa instantanee de rototranslat ie. Punctele acestei liniiau vitezele paralele cu viteza unghiulara, presupusa a nenula. Rezulta ca,n orice moment, miscarea unui corp rigid, cand nici un punct nu este x, poate considerata instantaneu o miscare elicoidala: translat ia de-alungul unei axe sirotat ia n jurul ei.Exercit iu1.2.9Unconserostogolestefarasaalunecepeosuprafat aduraperfect orizontala. Gasit i axa instantanee de roto-translat ie a conului.Solut ie.Avem un corp rigid cu un punct x. Alegem ca originile sistemuluiatasat corpului si a sistemului x sa coincida, aceastanseamna O O

. Alegemsistemul x astfel ncat planulx1Ox2sa coincida cu planul orizontal si caOx3sacorespundacudirect iaverticala. Axay1ata atacorpului estealeasaastfelncat sa e axa de simetrie pentru con si planuly2Oy3sa e ortogonal cuOy1.Apoi, folosind schema de rotat ie a lui Euler, obt inem = constant si, mai mult, = sin pentru ca rostogolirea este fara alunecare. Astfel, viteza unghiularapentru aceasta miscare este data de = (sin i3 +j1). Din moment ce avemj1=cos n sin i3, undenesteversorul liniei nodurilor, rezultaca= cos n si deci axa instantanee de rotat ie are ecuat ia P O = , R, adicaP O = cos n. Prin urmare, axa instantanee de rotat ie este linia de contactdintre con si planu orizontal.1.2. CINEMATICASISTEMELOR MATERIALE SI CORPURILOR RIGIDE511.2.6 FormulaluiPoissonSadeterminastareageneralademiscarepentruuncorprigid.Inacestscop,vom diferent ia ecuat ia (1.83) n raport cu timpul pentru a obt inevP(t) = vO (t) +ddt(P O

). (1.123)Observand ca P O

= y1j1 +y2j2 +y3j3, unde yi (i = 1, 2, 3) nu se schimba ntimp, putem scrie (1.123) n forma urmatoare:vP(t) = vO (t) +3

h=1yhdjhdt. (1.124)Teorema1.2.1(FormulaluiPoisson)Fiej1, j2, j3untripletortonormatdevectoricarevariaza ntimp. Atunci,existaunvectordepinzanddetimpastfel ncatdjhdt (t) = (t) jh(t), h = 1, 2, 3. (1.125)Demonstrat ie. Pentru ca jhare modulul constant, adicajh jh = 1 pentru orice h = 1, 2, 3,printr-o diferent iere directa n raport cu timpul, obt inemdjhdt jh = 0 pentru orice h = 1, 2, 3.Pentru ca djh/dt si jh sunt ortogonali, rezulta din egalitatea din urma ca existao familie de vectorih(astfel ncat componentele lor de-alungul jhpot alesen mod arbitrar) care satisface (vezi A.6, (A.41))djhdt= hjh, pentru orice h = 1, 2, 3. (1.126)Folosindu-nedeposibilitateadeaalege nmodarbitrarpeh, vomaratacaexistaunastfel ncath=pentruh=1, 2, 3.Inacestscop, pentrucajh jk = 0 pentruh = k, deducem ca_djhdt_ jk = jh_djkdt_. (1.127)Astfel, folosind (1.126) si pentruh = 1, k = 2, din (1.127) obt inem1j1 j2 = j1 2j2.Folosind proprietat ile produsului mixt, din ultima egalitate rezulta ca1 j3 = 2 j3.52 CAPITOLUL1. CINEMATICAMai mult, pentru ca de-alungul lui j1 componenta 1 este arbitrara, putem alegeca ea sa e egala cu componenta 2 de-alungul lui j1, astfel ca (1j1) = (2j1).In mod analog, pentru ca2poate ales arbitrar de-alungul lui j2, vom alege2astfel ca (2 j2) = (1 j2).In acest mod, 1 si 2 au aceleasi componente de-alungul j1, j2, j3. Sa alegemacum3de-alungulj3saeegalacu1=2de-alungulj3. Atunci,pentruh=1, k=3, din(1.127), avem1 j1 j3= j1 3 j3,si nconsecint a,1 j2=3 j2.In mod analog,pentruh = 2, k = 3 (1.127),putem arata ca2 j1 = 3 j1. Astfel, putem concluziona ca1 = 2 = 3,si notam acest vector comun cu. Prin urmare, din (1.126), obt inem formulalui Poisson.In cele din urma, din (1.124) si (1.125), obt inem expresia generala a campuluiviteza:vP(t) = vO (t) + (t) (P O

). (1.128)Observat ie1.2.7Ceamai generalastaredemiscareacorpului rigidpoatereprezentata nforma(1.128)si poartanumeledeformulafundamentalaacinematicii sistemelor rigide. Vectorul este unic si nu depinde pe punctul P.De fapt, daca doi vectori si

exista astfel ncat (1.128) este satisfacuta,atunci ar trebui sa avem(

) (P O

) = 0pentru toate punctelePceea ce implica faptul ca =

.Vectorul nici nudepindedepunctul O

.Intr-adevar, dacaalegemaltpunctO

, rezulta din (1.128) cavO= vO + (t) (O

O

).Utilizand nca o data (1.128), avemvP= vO (O

O

) + (P O

) = vO + (P O

).Putem de asemenea sa concluzionam, din (1.128), ca ecare stare de miscarearigiduluiestecompusadintr-ostaredemiscaredetranslat ie sidintr-ostarede miscare de rotat ie. Putem vorbi de starea de rototranslat ie pentru ca vitezavO nu este n general paralela cu.Putem sa obt inem formula (1.128) pentru viteza punctelor unui sistem rigidfolosind relat ia (1.87)x(t) = c(t) +A(t)y. (1.129)Intr-adevar, prin diferent ierea relat iei (1.129) n raport cu timpul, obt inem x(t) = c(t) +A(t)y. (1.130)1.2. CINEMATICASISTEMELOR MATERIALE SI CORPURILOR RIGIDE53Pentru ca A este o matrice ortogonala, avem ca A1= AT. Astfel, rezolvandecuat ia (1.129) pentru y si nlocuind rezultatul n (1.130), avem x(t) = c(t) +A(t)AT(t) [x(t) c(t)] , (1.131)undeAATeste omatrice antisimetrica. Pentruavedeaacest lucru, vomdiferent ia egalitatea AAT= 1, si astfel avemAAT+A_AT_ = 0. (1.132)Pentru ca _AT_ = ( AT), din (1.132) deducemAAT= A AT= _ AAT_T.Inplus,pentrucamatriceaAATesteantisimetrica,existaunvector=1i1 +2i2 +3i3astfel ncatAAT=__0 3230 1210__. (1.133)In plus, considerand xc = P O

, x = vP, c = vO , din (1.131) concluzionamvP= vO + (P O

). (1.134)Observat ie1.2.8Din (1.128), rezulta ca cea mai generala expresie pentru de-plasarea elementara arbitrar a a unui rigid este data dedP= dO

+ dt (P O

).1.2.7 TeoremaluiMozziDinformulafundamentalaasistemelor rigide (1.128), rezultacastareademiscare a unui corp rigid poate totodeauna scrisa ca o suma de stari de miscaredetranslat ie siderotat ie. Cualtecuvinte,nurezultadinaceastaformulacastareademiscareaunui rigid, ceamai generalaesteceaderototranslat ie.Aceasta concluzie se bazeaza pe urmatoarea teorema.Teorema1.2.2(Mozzi)La ecare moment, cea mai generala stare de miscarepentru un sistem rigid, este cea de rototranslat ie sau elicoidala.In particular,poate de translat ie sau rotat ie.Demonstrat ie. Dacaavem =0 nformula(1.128)atunci vitezavO

poatescrisa ntotdeaunacasumaadouacomponente: primaestealeasasae paralela cu si este notata prin v

O (t), si cea cealalta este ortogonala cusi o notam cu vO (t). Reamintim ca, dand doi vectori ortogonali vO (t) si , va54 CAPITOLUL1. CINEMATICAexista ntotdeauna un vector notat prinO

O

, care este ortogonal cu vO (t),astfel ncatvO (t) = (O

O

). (1.135)De aceea, din (1.128), obt inemvP(t) = v

O +vO + (P O

).Prin intermediul relat iei (1.135), din ultima egalitate rezulta cavP(t) = v

O + (P O

). (1.136)DacaP=O

, putemconluzionadin(1.136)cav

O esteparalelcusiegalcu vO . Prin urmare, starea de miscare exprimata de catre (1.136) este una derototranslat ie.Daca(t)=0, atuncirezultacastareademiscarelamomentul testedetranslat ie.Inceledinurma, dacav

O (t)=0, atunci varezultacaatareademiscare la momentult este de rotat ie.Observat ie1.2.9Daca, ntimpulmiscariiunuicorprigid,unanumitpunctO

ramane x, t inand cont de faptul ca vO= 0, din (1.128) concluzionamvP(t) = (t) (P O

). (1.137)Astfel,starearelativademiscareestederotat ielaecaremomentt. Cutoateacestea, este clar ca miscarea nu este, n general, de rotat ie, pentru ca vectorul(t) si poate schimba direct ia n timp.Studiul miscarii unui rigidsepoateexprima ntotdeaunafat adesistemul(O

, z1, z2, z3) cu originean O

si cu axele z1, z2, z3 paralele cu axele din tripletulx1, x2, x3xat nspat iu.Inraportcuacestsistem, miscareapoatevazutacaomiscareaunuicoprrigidcuunpunctx. Din(1.137),pentrustareademiscare de rotat ie, obt inemv

P= (P O

),unde v

Peste viteza punctului P n raport cu (O

, z1, z2, z3). In plus, vectorul este acelasi can (1.128), din moment ce versorii tripletului (O

, z1, z2, z3) coincidcucei din(O, x1, x2, x3). Deaceea, vectorul dinformula(1.128)denestestareademiscarederotat ieacorpului nraport cusistemul decoordonate(O

, z1, z2, z3).Observat ie1.2.10Din moment ce avem identitatea ( v0) = ( v0) 2v0,deducem ca, pentru viteze unghiulare nenule,v0 = v02 12 ( v0) . (1.138)1.2. CINEMATICASISTEMELOR MATERIALE SI CORPURILOR RIGIDE55Substituind relat ia (1.138) n (1.122), obt inem urmatoarea forma pentru campulviteza:v = v02 + _P O

12 ( v0)_, (1.139)careesteosumaadouacomponente: unaesteparalelacuvitezaunghiularaiarcealaltaseaa ntr-unplanortogonal pe. Componentav02poart anumeledevitezadelunecare, ntimpcecealalt acomponenta, perpendicularape , reprezintaovitezaderotat ie. Dinmoment cevitezapunctelordepeaxa instantanee de rototranslat ieL este paralela cu viteza unghiulara(t), dinrelat ia (1.139) deducem ca ecuat ia vectoriala a drepteiL esteP O

=12 ( v0) +(t), R. (1.140)Luand produsul interior a relat iei (1.139) cu , obt inem urmatoarea proprietatev(t) (t) = v0(t) (t), (1.141)adica produsul v(t) (t) este independent de punctul Ppe axa instantanee derototranslat ie.Axainstantaneederototranslat ieaunui coprrigiddeobicei seschimban timp si nu este compusa dintr-o mult ime de punctexedinrigid. Locurilegeometricealeaxei instantaneederototranslat ienraport cusistemeledecoordonatex simobilsuntdouasuprafet eplane, cepoartanumeledeaxoidx si mobil, respectiv.Denit ie1.2.16Miscareaunui corprigidse numeste miscare rigidaplanadaca vitezele puntelor corpului sunt ntotdeauna paralele cu un plan x.Teorema1.2.3Pentru cazul miscarii rigide plane, starea de miscare este tot-deauna de rotat ie si de translat ie.Demonstrat ie. Alegem ca sistemul de referint a (O, x1, x2, x3) sa e x nspat iu, astfel ncat axa x3 sa e ortogonala pe . Sistemul de axe atasat corpului(O

, y1, y2, y3) poate ales totdeauna astfel ncat axa y3 sa aibe acceasi direct ieprecum x3. Prin urmare, versorul j3 este constant. Daca = 0, din formula luiPoisson avem cadj3dt= j3 = 0.Astfel, trebuie sa e paralel cu j3, n timp ce viteza vO din (1.128) esteortogonala pe j3. Prin urmare, luand n considerare ca n aceste ipoteze existaun punctO

astfel ncatvO= (O

O

),din (1.128) obt inemvP(t) = (t) (O

O

) + (t) (P O

) == (t) (P O

), (1.142)56 CAPITOLUL1. CINEMATICAcare este o stare de miscare de rotat ie.Daca, dincontra, =0, atunci, dinformulafundamentalaacinematiciisistemelor rigide (1.128), imediat rezulta ca aceasta corespunde unei starari demiscare de translat ie.Observat ie1.2.11Amintim ca formula fundamentala a cinematicii sistemelorrigide (1.128) poate de asemenea scrisa sub forma (1.124), adicavP(t) = vO (t) +y1dj1dt+y2dj2dt+y3dj3dt. (1.143)Dincolo de denit ia starii de miscare si, n consecint a, dincolo de distribut iavitezelor unui corp rigid, este folositor sa discutam despre mult imea accelerat iilorpunctelor unui corp rigid. Pentru aceasta, vom diferent ia ecuat ia (1.128) n ra-port cu timpul, pentru a obt ineaP(t) =d2O

dt2+ddt (P O

) + d(P O

)dt. (1.144)Folosind nca o data ecuat ia (1.128) scrisa n forma:d(P O

)dt= (P O

), (1.145)obt inemaP(t) =d2O

dt2+ddt (P O

) + [ (P O

)] , (1.146)unde primul termen reprezinta accelerat ia punctului O

, al doilea apare datoritavariat ieivectorului , iaral treileatermenpoateexprimatsuburmatoareaforma: [ (P O

)] = [ ((P P) + (PO

))] == [ (P P)] , (1.147)unde P este proiect ia lui Ppe axa care trece prin O

si este paralel . Folosindproprietatea dublului produs vectorial , din (1.147) obt inem [ (P O

)] = [ (P P)] 2(P P) == 2(P P). (1.148)Din pricina acestui rat ionament, ultimul termenn (1.146) reprezinta accelerat iapunctuluiPntr-o miscare uniforma de rotat ie n jurul axei care trece prinO

si este paralela cu. In acest caz, obt inemd2O

dt2= 0,ddt= 0.1.2. CINEMATICASISTEMELOR MATERIALE SI CORPURILOR RIGIDE57Observat ie1.2.12Distribut iaaccelerat iilorpentruuncorprigidpoateex-primatanunumaiprinecuat ia(1.146), cisiprintr-orelat iedetipul (1.143),adicaaP(t) = aO (t) +y1d2j1dt2+y2d2j2dt2+y3d2j3dt2. (1.149)Denit ie1.2.17Punctul Q ce apart ine rigidului n care accelerat ia se anuleazala momentul t poart a numele de pol al accelerat iei.Teorema1.2.4Daca = 0, atunci exista un singur pol Q al accelerat ieidat deQO

=1( )2___ +2_ aO

+ ( aO ) + ( aO ) _.(1.150)Demonstrat ie. SanotamprinQpolul accelerat iei, ceeace nseamnacaaQ(t) = 0, si sa consideram = QO

. Atunci, relat ia (1.146) ofera urmatoareaecuat ie pentru determinarea lui = QO

: + ( ) = aO . (1.151)Demonstramfaptul caaceastaecuat iedeterminaununic .Inacest scop,observam ca, avand n ipoteza faptul ca = 0, avem ( ) = ( )2> 0, (1.152)si deci tripletul {, , } constituie o bazan V . Astfel, putem descompune n baza {, , } dupa cum urmeaza: = 1 +2 +3 . (1.153)T inand cont de (1.152), din (1.153), obt inem1=1( )2 ( ) ,2=1( )2 ( ) ,3=1( )2 . (1.154)In plus, prin intermediul relat iei (1.151), obt inem ( ) = aO +2( aO ) ,( ) = aO , = aO . (1.155)Daca nlocuim relat ia (1.155) n (1.154) si rezultatul n (1.153), atunci obt inemrelat ia (1.150) si astfel demonstrat ia este completa.58 CAPITOLUL1. CINEMATICAx2x3x1O1OAA*GB*BFigura 1.17:Observat ie1.2.13Daca nlocuim (P O

) = (P Q)+(QO

) = (P Q)+n (1.146), obt inemaP(t) = (P Q) + [ (P Q)] . (1.156)Astfel, pentru = 0, relat ia (1.156) dovedeste ca miscarea unui corp rigid,la un moment dat, este echivalenta cu o miscare de rotat ie instantanee n jurulpolului accelerat ie.1.2.8 Aplicat iiSaconsideramobaraABdelungime2l, constransaasemiscaastfel ncatcapetele sale A si B sa ramanan doua plane paralele la distant a 2h (h < l) unulde celalalt (Figura 1.17). Alegem sistemul de referint a x astfel ncat origineaOsaeechidistantafat adeceledouaplane, mai mult, axax3trebuiesaeortogonala pe cele doua plane. Din alegerea facuta si din constrangerea impusa,rezulta ca, n timpul miscarii , mijlocul G al barei AB ramane n planul (x1, x2)tottimpul. Deaceea, acestsistemaretreigradedelibertate,dinmomentceesteposibil sadeterminapozit iabarei AB nfunct iedecoordonatelui G nplanul (x1, x2) si unghiul pe careproiect ia lui ABpe planul (x1, x2) l face,de exemplu,cu axax1. Folosindu-ne de formula (1.128) si alegand punctul Gcaorigineasistemuluiatasatbarei, esteusorsaexprimamvitezaunuipunctarbitrarPal barei cu ajutorulvP(t) = vG + (P G). (1.157)In plus, deoarece vitezele punctelor barei AB sunt paralele cu cele doua planexe, miscarea va plana. Miscarea barei AB, relativa la sistemul de referint acu originea nG si cu axele paralele cu cele ale sistemului x, este o rotat ie n1.2. CINEMATICASISTEMELOR MATERIALE SI CORPURILOR RIGIDE59jurul axei care trece prin G, paralela cu x3, si viteza unghiulara a acestei miscarieste =i3. Notand coordonatele luiG prin (x1G, x2G), din (1.157) ont inemvP= x1Gi1 + x2Gi2 +i3[(x1x1G)i1 + (x2x2G)i2 +x3i3]. (1.158)Pentru ca vG este ortogonal pe , ntotdeauna va exista un punct C astfel ncatvG =i3(GC) si, n consecint a,vP=i3(P C). (1.159)Aceasta nseamnacastareademiscareestederotat ie njurulaxeicaretreceprin C, paralela cu i3. Pentru a determinaa coordonatele (x1C, x2C, x3C) ale luiC, sa compara expresiile (1.158) si (1.159). Astfel obt inem[ x1G (x2x2G)]i1 +[ x2G + (x1x1G)]i2 = (x2x2C)i1 + (x1x1C)i2,astfel egalitatea de mai sus implica x1G +x2G=x2C, x2Gx1G= x1C.De aceea, toate punctele