CURSUL 1CURSUL 133REZISTENTA MATERIALELOR

ELEMENTE SOLICITATE LA INCOVOIERE PURA (1)

UAUIMELEMENTE DE MECANICA STRUCTURILOR

ELEMENTE SOLICITATE LA INCOVOIERE PURA (1)

Conf. dr. ing. Mihaela Georgescu

c13. REZISTENTA SI RIGIDITATEAELEMENTELOR DE TIP BARA.

REZISTENTA MATERIALELOR

ELEMENTELOR DE TIP BARA.ELEMENTE SOLICITATE LA

INCOVOIERE PURA (1)

DEFINITIE:Incovoierea pur este solicitarea simpl n prezena creia, n seciunea transversal interaciunea este

exprimat printr-o pereche de momente ncovoietoare (vectori cuplu cuprini n planul seciunii).

Sub form pur, ncovoierea apare rar. Sunt prezentate dou cazuri; tronsoanele 1 - 2 ale

celor dou grinzi (unde T=0) sunt solicitate la ncovoiere pur.

IN PRACTIC

De obicei, ncovoierea apare nsoit de forfecare;aceast form este tipic grinzilor.In funcie de direcia vectorului moment ncovoietorfa de axele principale de inerie ale seciuniitransversale, se disting 2 cazuri:

ncovoierencovoiere pepe doudou direciidirecii//ncovoierencovoiere oblicoblic (cazulgeneral), cnd direcia vectorului cuplu esteoarecare fa de direcia axelor;

ncovoierencovoiere pepe oo direciedirecie//ncovoierencovoiere simplsimpl (cazulparticular), cnd direcia vectorului cuplu coincidecu direcia uneia din axe.

Grinzile cu seciuni simetrice (n raport cu cel puin o ax), ncrcatecu fore n planul de simetrie longitudinal, sunt solicitate la ncovoierepe o singur direcie. Este cazul cel mai des ntlnit n practic.O pan de acoperi este solicitat la ncovoiere oblic (pe doudirecii); dar fiecare din cele dou componente Mx i My (pe direciileprincipale de inerie) este msura unei solicitri de ncovoiere simpl.

REZISTENTA BARELOR INREZISTENTA BARELOR INCOVOIATECOVOIATE

Eforturi unitare pe sectiunea transversala

a. Studiul geometric (privind modul de deformare).

In regim de solicitare:- liniile longitudinale se curbeaz,- liniile transversale se rotesc, rmnnd cf. ipotezei lui Bernoulli -drepte i normale pe cele longitudinale.

Se constat:

- lipsa deformaiilor unghiulare ( = 0), cci unghiurile reelei nu se - lipsa deformaiilor unghiulare ( = 0), cci unghiurile reelei nu se modific;- prezena unor deformaii liniare pe direcia axei barei; in zonele cu ncovoiere pozitiv fibrele longitudinale de la partea inferioar se alungesc, iar cele de la partea superioar se scurteaz; exista un plan de fibre (fibre neutre) care se curbeaz fr a-i modifica lungimea; intersecia dintre acest plan i planul seciunii transversale se numete ax neutr.

y

Dou seciuni aflate la distana elementar dz se rotesc cu unghiul elementar d; fibra neutr AB cu lungimea neschimbat (AB = dz); raza de curbur a fibrei neutre (OA = OB = ).

Variaia de lungime a unei fibre oarecare (MNN) aflat la cota y fa de

firbra neutr este pus n evidena prin segmentul NN.

Din asemnarea triunghiurilor OAB i BNN rezult:primul raport (dintre alungirea fibrei i lungimea ei iniial) este

deformaia specific Deformaiile specifice , nule n dreptul axei neutre, variaz

liniar pe nlimea seciunii transversale

BNNN=

'

= y

OABN

ABNN

=

'

'' y

ABNN

=

1

b. Studiul fizic consemneaz condiia de elasticitate liniar (legea lui Hooke)

acceptat n Rezistena materialelor

= E . = G .

Sinteza studiu geometric - studiu fizic.

Dac = 0, rezult = 0.

= E (

y)

Dac = 0, rezult = 0. Dac = liniar, rezult = liniar

Pe seciunea transversal, interaciunea punctual este exprimat prin eforturi unitare normale liniare

= E ( y)1

Ca i deformaiile specifice , eforturile unitare Ca i deformaiile specifice , eforturile unitare normale , nule n dreptul axei neutre, variaz

liniar pe nlimea seciunii transversale

Axa neutr mparte seciunea n dou zone: una comprimat i alta ntins

STUDIUL STATIC

c. Studiul static c. Studiul static consemneaz echivalena dintre cele dou moduri de exprimare a

interaciunii: prin eforturi secionale (Mx 0; N = 0) i prin eforturi unitare normale ()

N = A dA = 0;

Mx = A ( dA). y

Sinteza studiu geometric Sinteza studiu geometric -- studiu static studiu static

1N = E . A ydA = 0

A ydA = 0

MOMENTUL STATIC (al suprafeei seciunii transversale fa de axa neutr a seciunii); din faptul c e nul, rezult c axa neutr trece prin centrul de

greutate al suprafeei seciunii; ea coincide cu axa x, motiv pentru care y i

y msoar aceeai distan.

1

FORMULA LUI NAVIER

Mx = E A y2dA

Mx = E A Ix,

unde Ix reprezint momentul de inerie ale suprafeei seciunii n raport cu axa x.

1

1

axa x.

E

Mx =

=

y

=

1

Ixy

yIx

Mx

FORMULA LUI NAVIER

=

Formula lui Navier precizeaz mrimea

yIx

Mx

Formula lui Navier precizeaz mrimeaefortului unitar normal ntr-un punct Msituat la distana y fa de axa neutr.

EFORTURI UNITARE MAXIME

Valorile maxime ale eforturilor unitare se dezvolt n fibrele extreme (cele mai deprtate de axa neutr). Dac ymax este distana de la fibra extrem la axa neutr rezult:

max = ymaxIx

Mx

max =

modulului de rezisten Wx al suprafeei seciunii n raport cu axa neutr x .

maxyIxMx

EFORT UNITAR MAXIM

Mrimea efortului unitar maxim deprinde de doi parametri:

max = WxMx

parametri:

- momentul ncovoietor M, parametrul global al interaciunii din seciune, msura solicitrii;

- modulul de rezisten W, parametrul geometriei seciunii transversale.

TREI FORME ALE INTERACTIUNII SECTIONALE

PROIECTAREA DE REZISTEN A SECIUNII PROIECTAREA DE REZISTEN A SECIUNII BARELOR BARELOR INCOVOIATEINCOVOIATE

CONDIIA DE REZISTEN impus de metodarezistenelor admisibile devine:

WM

a

Relaia conine trei parametri; ei corespund celor trei factori care apar n procesul proiectrii seciunii:

SOLICITAREA, exprimat prin momentul incovoietor M; MATERIALUL, exprimat prin rezistena sa admisibil a; GEOMETRIA SUPRAFEEI SECIUNII TRANSVERSALE,

exprimat prin modulul de rezistenta W.

Dup felul n care acetia intervin (ca parametrii cunoscui sau necunoscui), proiectarea de rezistenta mbrac trei aspecte: VERIFICAREA, DIMENSIONAREA determinarea CAPACITII PORTANTE a seciunii.

Aspectul proiectrii de

rezisten

Parametrii cunoscui

Parametrii necunoscui

Relaia de calcul

Verificare M, a,W - aWM

Dimensionare M, amodulul de

rezisten necesar Wnec

Wnec =

Capacitate portant W, a,

momentul capabil Mcap Mcap = aW

a

M

In problemele de DIMENSIONARE, dup stabilirea modulului de rezistenta necesar Wnec, dimensiunile seciunii (crora le va corespunde aria efectiv Wef) se aleg astfel, nct, indiferent de forma ei,

Wef Wnec.

CAPACITATEA PORTANT a unei seciuni se msoar prin momentul capabil, Mcap - corespunztoare unor eforturi unitare egale cu rezistena admisibil. eforturi unitare egale cu rezistena admisibil.

Rezistena barei este asigurat dac M corespunztor solicitrii (determinat n funcie de ncrcri) nu depete efortul capabil

M Mcap

MODULUL DE REZISTENTA

Pentru bare cu SECIUNE CIRCULAR,

Wnec

de unde rezult diametrul.

32

3dpi

de unde rezult diametrul.

Pentru bare cu SECIUNEA DREPTUNGHIULAR:

Wnec;

relaia conine dou necunoscute: b i h; determinarea lor se face propunnd fie una dintre ele, fie un anumit raport (orientativ) ntre ele.

6

2bh

Criterii de conformare. Seciuni raionale; randamentul seciunii

Criteriul de rezisten Wnec = M/a aplicat la dimensionareaseciunii ofer o infinitate de soluii.

El poate fi satisfcut de seciuni cu forme i arii diferite;urmrind reducerea consumului de material, se prefer formeleurmrind reducerea consumului de material, se prefer formelecu arie minim. Pe de alt parte, la arii egale, forme diferiteasigur capaciti diferite; forma raional va corespundecapacitii maxime.

CAPACITATEA SECIUNII (exprimat ca moment al cupluluirezultantelor forelor interioare de legtur) este proporionalcu valoarea - egal - a celor dou rezultante (Fc = Fi) i cu braullor de prghie z.

Creterea capacitii seciunii prin creterea valorii rezultantelor forelor interioare de legtur

Suprafaa seciunii nu este solicitat uniform.

Cu ct o parte ct mai mare din suprafaa seciunii seva afla n zonele cele mai solicitate (cu eforturiunitare mari), cu att rezultanta forelor interioareunitare mari), cu att rezultanta forelor interioarede legtur (ca sum a produselor dintre efortulunitar i elementul de arie) va fi mai mare.

Pentru o SECIUNE DREPTUNGHIULAR cu aria A,

Fc = Fi = 1/2*A/2*a; Fc = Fi = A/4 *

Pentru o seciune fictiv, ideal, cu aceeaiarie, cu suprafaa concentrat n mod simetricla cele dou extremiti (acolo unde toateeforturile unitare ating rezistena admisibil),eforturile unitare ating rezistena admisibil),rezultanta va fi dubl;

Fc = Fi = A/2*a

Creterea capacitii seciunii prin creterea braului de prghie

Braul z crete odat cu creterea nlimii seciunii. Darcreterea nlimii h este limitat de diferite considerente(funcionale, estetice, etc.).

La nlimea constant, braul z crete (ca i rezultanteleforelor interioare de legtur) tot prin ndeprtareaforelor interioare de legtur) tot prin ndeprtareamaterialului axa neutr.

Pentru seciunile de form dreptunghiular, indiferent deproporiile lor, z = 2/3*h.

Braul de prghie maxim, z = h, corespunde seciunii ideale cusuprafaa concentrat la cele dou extremiti.

- pentru seciunea dreptunghiular,

Mcap = A/4*a * 2/3*h = a;6

Ah

- pentru seciunea ideal,

Mcap = A/2*a . h = a;

6

2Ah

Dac seciunile au aceeai arie, aceeai nlime i sunt alctuite din aceleai material, capacitatea seciunii ideale este de trei ori mai mare dect capacitatea seciunii de form dreptunghiular.

O seciune raional tinde, prin conformarea ei, ctre forma ideal.

Aceast form constituie reperul seciunilor de tip I sau U ale profilelor laminate sau ale grinzilor din oel cu seciune compus, confecionate prin sudare sau solidarizarea cu nituri.

Caracteristica geometric a suprafeei seciunii caredetermin nemijlocit capacitatea portant estemodulul de rezisten W:

Mcap = W a;

Capacitatea portant este direct proporional cumodulul de rezisten.

In legtur cu seciunea ideal se definete modulul deIn legtur cu seciunea ideal se definete modulul derezisten ideal:

Wideal =

Wideal =

2

)2

(2

2

2

2

h

hA

hI ideal

=

2Ah

Raportul dintre modulul de rezisten W al uneiseciuni de form dat i modulul de rezisten idealreflect raportul dintre capacitile portante ale celordou seciuni i se numete RANDAMENT ALSECIUNII:

r =

Randamentul seciunii dreptunghiulare este doar 1/3.

Randamentul seciunii profilelor laminate de tip I i Ueste aproape 2/3, deci dublu.

idealWW