Curs 6 StructuraMat DEF Teoreme

8/9/2019 Curs 6 StructuraMat DEF Teoreme

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S t r u c t u r a m a t e m a t i c i i ( I I )

O a n a C o n s t a n t i n e s c u

M a r c h 2 6 , 2 0 0 9

C o n t e n t s

1 N o t i u n i - d e n i t i i 1

2 P r o p o z i t i i a d e v a r a t e : a x i o m e s i t e o r e m e 5

2 . 1 E l e m e n t e d e l o g i c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 . 2 T e o r e m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 A p l i c a t i i - e x e r c i t i i s i p r o b l e m e 1 1

1 N o t i u n i - d e n i t i i

P e n t r u a i n t r o d u c e o n o t i u n e i s e i n d i c a t o t a l i t a t e a p r o p r i e t a t i l o r , d e c i c o n t i n u -

t u l n o t i u n i i , s a u t o t a l i t a t e a o b i e c t e l o r r e p r e z e n t a t e d e a c e e a n o t i u n e , a d i c a s f e r a

n o t i u n i i . C o n t i n u t u l n o t i u n i i e s t e f o r m a t d e r e e c t a r e a i n g a n d i r e a i n s u s i r i l o r

e s e n t i a l e c o m u n e o b i e c t e l o r , f e n o m e n e l o r , e t c c a r e s e c o n s t i t u i e i n n o t i u n e a r e -

s p e c t i v a . P r i n i n s u s i r i e s e n t i a l e i n t e l e g e m a c e l e i n s u s i r i c a r e s u n t n e c e s a r e s i

s u c i e n t e d e t e r m i n a r i i u n u i o b i e c t s i d e o s e b i r i i l u i d e a l t e l e . C o n t i n u t u l n o t i u n i i

s e r e a l i z e a z a p r i n o p e r a t i a d e a b s t r a c t i z a r e . C o n s t i t u i r e a s f e r e i u n e i n o t i u n i s e

f a c e m a i a l e s p r i n g e n e r a l i z a r e . R a r e o r i s f e r a u n e i n o t i u n i s e p o a t e e p u i z a p r i n

e n u m e r a r e a t u t u r o r e l e m e n t e l o r . D e e x e m p l u , n o t i u n e a d e n u m a r n a t u r a l s e

f o r m e a z a l a e l e v i p r i n e x e m p l e , p r i n a c t i u n i a s u p r a l o r ( n u m a r a t o a r e , o p e r a t i i )

d a r i n m o d e v i d e n t s e m i z e a z a p e g e n e r a l i z a r e a i n z o n e i n d e p a r t a t e ( m i i , m i l i -

o a n e ) a c e e a c e s - a v e r i c a t i n z o n e l e f a m i l i a r e ( n u m e r e m i c i ) .

I n t r e s f e r a s i c o n t i n u t u l u n e i n o t i u n i e x i s t a o l e g a t u r a i n v e r s a : c u c a t c o n -

t i n u t u l e s t e m a i b o g a t , c u a t a t s f e r a e s t e m a i r e s t r a n s a ( e x i s t a m a i p u t i n e o b i e c t e

c u u n n u m a r m a r e d e i n s u s i r i ) . D e e x e m p l u , c o n t i n u t u l n o t i u n i i d e n u m a r p r i m

e s t e m a i b o g a t d e c a t c o n t i n u t u l n o t i u n i i d e n u m a r n a t u r a l . D e c i s f e r a n o t i u n i i

d e n u m a r p r i m v a c o n t i n u t a d e c e a a n o t i u n i i d e n u m a r n a t u r a l . I l u s t r a r e a

a c e s t o r s i t u a t i i s e f a c e p r i n d i a g r a m e V e n n - E u l e r s i p r i n u t i l i z a r e a s i m b o l u r i l o r

d i n t e o r i a m u l t i m i l o r . A s t f e l d e i l u s t r a r i s u n t u t i l e p e n t r u x a r e a c u n o s t i n t e l o r

r e s p e c t i v e .

1


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C o m p a r a n d n o t i u n i c u c o n t i n u t d i f e r i t , p u t e m g a s i u n e l e n o t e e s e n t i a l e c o -

m u n e i n c a r e c a z n o t i u n i l e d e v i n c o m p a r a b i l e (C(A) C(B) = ) : d e e x e m p l u p o l i g o a n e l e s i c e r c u r i l e s u n t g u r i c o p l a n a r e . S a u , e s t e p o s i b i l s a n u e x i s t e a s t f e l

d e n o t e e s e n t i a l e c o m u n e (C(A) C(B) = S(A) S(B) = ) s i i n a c e s t c a z l e d e c l a r a m n e c o m p a r a b i l e . D e e x e m p l u p o l i g o a n e l e s i n o t i u n e a d e c o m b i n a r i

d e m l u a t e c a t e n .

N o t i u n i l e c o m p a r a b i l e p o t c l a s i c a t e a s t f e l :

1 . c a n d s f e r e l e c e l o r d o u a a u e l e m e n t e c o m u n e S(A) S(B) = s p u n e m c a n o t i u n i l e s u n t c o n c o r d a n t e :

i d e n t i c e ( C(A) : p a t r u l a t e r c o n v e x c u l a t u r i l e o p u s e r e s p e c t i v p a r a - l e l e ,

C(B) : p a t r u l a t e r c o n v e x c u d i a g o n a l e l e a v a n d m i j l o c u l c o m u n , e v i d e n t C(A) = C(B) d a r S(A) = S(B) ) ;

u n a s u b o r d o n a t a a l t e i a ( s f e r a n o t i u n i i n u m a r r a t i o n a l e s t e i n c l u s a i n s f e r a n o t i u n i i n u m a r r e a l , d e a c e e a s p u n e m c a n o t i u n e a n u m a r

r a t i o n a l e s t e s u b o r d o n a t a c e l e i d e n u m a r r e a l ) ;

d o u a n o t i u n i c o s u b o r d o n a t e u n e i a t r e i a n o t i u n i ( S(A) S(B) S(C) : n o t i u n i l e d e t r a p e z s i p a r a l e l o g r a m s u n t c o s u b o r d o n a t e n o t i u n i i d e p a t r u l a t e r c o n v e x ) ;

i n c r u c i s a t e : n i c i u n a d i n s i t u a t i i l e a n t e r i o a r e ( n o t i u n e a d e p a t r u l a t e r c i r c u m s c r i p t i b i l s i c e a d e p a t r u l a t e r i n s c r i p t i b i l ) .

2 . d a c a s f e r e l e n o t i u n i l o r s u n t d i s j u n c t e S(A) S(B) = e l e s u n t n e c o n c o r - d a n t e :

c o n t r a r e ( C a . i . S(C) (S(A) S(B)) = , s u n t n o t i u n i a l e c a r o r s f e r e n u p o t a r m a t e d e o d a t a d a r p o t n e g a t e c o n c o m i t e n t ; t r i -

u n g h i u l s i p a t r a t u l s u n t n o t i u n i c o n t r a r e , c a c i u n t r i u n g h i n u p o a t e

p a t r a t , s i n i c i p a t r a t u l n u p o a t e t r i u n g h i , d a r e x i s t a p o l i g o a n e

c a r e n u s u n t n i c i p a t r a t e , n i c i t r i u n g h i u r i ) ;

contradictorii ( C, S(C) (S(A) S(B)) = , s f e r e l e a c e s t o r n o t i u n i n u p o t n i c i a r m a t e , n i c i n e g a t e c o n c o m i t e n t , c o n t i n u t u r i l e l o r

n e g a n d u - s e r e c i p r o c ; d e e x e m p l u f u n c t i a c o n t i n u a s i c e a d i s c o n t i n u a ) .

I n m a t e m a t i c a e x i s t a c i n c i m e t o d e d e a d e n i o n o t i u n e .

I P r i n t r - u n s i s t e m a x i o m a t i c s e m i f o r m a l i z a t O n o t i u n e p r i m a r a a u n u i

s i s t e m a x i o m a t i c e s t e i n i t i a l u n s i m b o l , d a r d u p a i n t r o d u c e r e a a x i o m e l o r s e

p r e c i z e a z a c o n t i n u t u l a c e s t e i n o t i u n i : a x i o m e l e s i t e o r e m e l e d e d u s e d i n e a .

D e e x e m p l u , n o t i u n e a d e n u m a r n a t u r a l a s i s t e m u l u i a x i o m a t i c a l l u i P e a n o ,

s a u n o t i u n e a d e d r e a p t a a s i s t e m u l u i a x i o m a t i c a l l u i H i l b e r t .

2


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I I P r i n g e n p r o x i m s i d i f e r e n t a s p e c i c a S a p r e s u p u n e m c a v r e m s a

d e n i m o n o t i u n e N. E a e s t e i n g e n e r a l c o n e x a t a c u m a i m u l t e n o t i u n i . S p u n e m c a o n o t i u n e N1 e s t e s u b o r d o n a t a u n e i n o t i u n i N2 d a c a s f e r a n o t i u n i i N1 e s t e i n - c l u s a i n s f e r a n o t i u n i i N2. I n t r - u n m o d i n t u i t i v , N1 e s t e m a i c o m p l e x a d e c a t N2.D e e x e m p l u , n o t i u n e a d e p a r a l e l o g r a m e s t e s u b o r d o n a t a c e l e i d e p a t r u l a t e r .

R e l a t i a d e s u b o r d o n a r e e s t e o r e l a t i e d e o r d i n e p a r t i a l a p e m u l t i m e a n o t i u n i l o r .

P e n t r u a f o r m u l a d e n i t i a u n e i n o t i u n i N, c a u t a m n o t i u n i l e l a c a r e e a e s t e s u b - o r d o n a t a ( m a i s i m p l e d e c a t e a ) , s i d i n t r e e l e o a l e g e m p e c e a m a i a p r o p i a t a

i n s e n s u l s u b o r d o n a r i i ( c o m p l e x i t a t i i ) d e

N,n u m i t a g e n p r o x i m . D e e x e m p l u ,

p e n t r u p a r a l e l o g r a m g e n u l p r o x i m e s t e p a t r u l a t e r u l ( c o n v e x ) . A p o i p r e c i z a m

n o t e l e e s e n t i a l e c e s e a d a u g a l a n o t i u n e a g e n p r o x i m p e n t r u a o b t i n e p e N, a d -i c a d i f e r e n t a s p e c i c a f a t a d e g e n u l p r o x i m . I n e x e m p l u l a n t e r i o r , d i f e r e n t a

s p e c i c a e s t e p r o p r i e t a t e a d e a a v e a l a t u r i l e o p u s e r e s p e c t i v p a r a l e l e . C h i a r s i

c u a c e l a s i g e n p r o x i m , d i f e r e n t a s p e c i c a s e p o a t e d a i n m o d u r i d i f e r i t e . D e

e x e m p l u p r o p r i e t a t e a d e a a v e a d i a g o n a l e l e c o n g r u e n t e . A l e g e r e a n o t i u n i i g e n

p r o x i m s i a d i f e r e n t e i s p e c i c e d e p i n d e d e n e c e s i t a t i t e o r e t i c e s a u d i d a c t i c e .

S e p o a t e i n t a m p l a c a d i f e r e n t a s p e c i c a s a c o n t i n a p r e a m u l t e p r o p r i e t a t i , i n

s e n s u l c a u n a d i n e l e e s t e o c o n s e c i n t a a c e l o r l a l t e . D e n i t i a d e v i n e s u p r a a b u n -

d e n t a , s i e b i n e s a s e e v i t e a c e s t l u c r u . D a r u n e o r i , p e n t r u a e v i t a d e m o n s t r a r e a

p r e a c o m p l i c a t a a d e p e n d e n t e i u n o r p r o p r i e t a t i d e a l t e l e , s e a c c e p t a s i a c e a s t a

s i t u a t i e . D e e x e m p l u , p e n t r u a d e n i n o t i u n e a d e g r u p , s e c e r e e x i s t e n t a e l e -

m e n t u l u i n e u t r u p r i n t r - o c o n d i t i e c e a r p u t e a s l a b i t a .

I I I E n u m e r a r e a o b i e c t e l o r d i n s f e r a A c e a s t a e s t e o m e t o d a r a r f o l o s i t a ,

c a c i n o t i u n i l e c u o s f e r a n i t a s u n t d e s t u l d e r a r e . I n t a l n i m e x e m p l e c a : p a -

t r u l a t e r e l e p a r t i c u l a r e s u n t p a r a l e l o g r a m u l , t r a p e z u l s i p a t r u l a t e r u l c o n v e x i n -

s c r i p t i b i l .

I V D e s f a c e r e a n o t i u n i i p e c o m p o n e n t e D e e x e m p l u , p e n t r u a d e n i

n o t i u n e a d e g r u p , a r m a m c a e s t e o p r e r e c h e (A, ),u n d e A e s t e o m u l t i m e n e v i d a ( d e c i a m p r e c i z a t u n a d i n c o m p o n e n t e ) i a r e s t e o l e g e d e c o m p o z i t i e : A A A c u u r m a t o a r e l e p r o p r i e t a t i : . . .

V P r i n f a c t o r i z a r e S e c o n s i d e r a o m u l t i m e A s i o r e l a t i e d e e c h i v a l e n t a p e A. P e n t r u e c a r e e l e m e n t a A m u l t i m e a e l e m e n t e l o r d i n A, e c h i v a l e n t e c u a, a d i c a [a] = {b A/ab} s e n u m e s t e c l a s a d e e c h i v a l e n t a a l u i a. S ec o n s t a t a c a o r i c e c l a s a d e e c h i v a l e n t a e s t e n e v i d a s i e s t e c l a s a d e e c h i v a l e n t a a

e c a r u i a d i n t r e e l e m e n t e l e s a l e . R e z u l t a c a , a t u n c i c a n d

ap a r c u r g e

A,c l a s e l e d e

e c h i v a l e n t a c o r e s p u n z a t o a r e f o r m e a z a o p a r t i t i e a m u l t i m i i A. F i e c a r e e l e m e n t a l l u i A a p a r t i n e e x a c t u n e i m u l t i m i d i n a c e a s t a p a r t i t i e . P e n t r u p a r t i t i e s e f o l o s e s t e n o t a t i a A/ s i d e n u m i r e a d e m u l t i m e f a c t o r a l u i A p r i n r e l a t i a d e e c h i v a l e n t a .

3


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S u n t m u l t e e x e m p l e i n m a t e r i a p r e d a t a l a l i c e u c a n d s e f o l o s e s t e a c e a s t a

m e t o d a . N u m a r u l i n t r e g a p a r e c a u n e l e m e n t a l m u l t i m i i f a c t o r a l l u i

N Np r i n r e l a t i a d e e c h i v a l e n t a (a, b)(c, d) a + d = b + c. S a u v e c t o r u l l i b e r e s t e o c l a s a d e e c h i v a l e n t a i n r a p o r t c u r e l a t i a d e e c h i p o l e n t a p e m u l t i m e a s e g m e n t e l o r

o r i e n t a t e . D a r a c e a s t a i d e e d e f a c t o r i z a r e e s t e p r e g a t i t a i n c a d i n g i m n a z i u . P a r -

a l e l i s m u l i n s e n s l a r g e s t e o r e l a t i e d e e c h i v a l e n t a p e m u l t i m e a d r e p t e l o r u n u i

p l a n d a t . C l a s a d e e c h i v a l e n t a c o r e s p u n z a t o a r e p o a r t a n u m e l e d e d i r e c t i e . I n -

s a s i n o t i u n e a d e n u m a r n a t u r a l e d a t a c a o c l a s a d e e c h i v a l e n t a i n r a p o r t c u

r e l a t i a d e e c h i p o t e n t a p e m u l t i m e a m u l t i m i l o r .

P r i m u l p a s d u p a i n t r o d u c e r e a u n e i d e n i t i i e s t e d o v e d i r e a c o n s i s t e n t e i a c e s -

t e i a , a l t f e l s p u s t r e b u i e v e r i c a t c a s f e r a n o t i u n i i d e n i t e e s t e n e v i d a . I n g e n e r a l

s e e v i d e n t i a z a o b i e c t e c e a p a r t i n s f e r e i n o t i u n i i r e s p e c t i v e . I n c a z u l u n o r d e n i -

t i i p r i n f a c t o r i z a r e , u n e l e d e n i t i i u l t e r i o a r e v o r f o l o s i c l a s e l e d e e c h i v a l e n t a ,

d e c i t r e b u i e s a s e d e m o n s t r e z e i n d e p e n d e n t a d e a l e g e r e a r e p r e z e n t a n t i l o r a c e s -

t o r c l a s e .

4


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2 P r o p o z i t i i a d e v a r a t e : a x i o m e s i t e o r e m e

2 . 1 E l e m e n t e d e l o g i c a

A r i s t o t e l c o n s i d e r a c a j u d e c a t a e s t e f o r m a l o g i c a i n c a r e s e x e a z a r e e c t a r e a r a -

p o r t u r i l o r r e a l e p r i n c a r e a r m a m s a u n e g a m c e v a d e s p r e c e v a . J u d e c a t a a c c e p -

t a t a i n a c e s t s e n s a r e s t r u c t u r a l i g i c a f o r m a t a d i n s u b i e c t , p r e d i c a t s i p a r t i c u l a

d e l e g a t u r a ( n u c o n f u n d a t i c u n o t i u n i l e s i m i l a r e d i n g r a m a t i c a ! ) . S u b i e c t u l l o g i c

e s t e n o t i u n e a d e s p r e c a r e s e a r m a s a u s e n e a g a u n a n u m i t r a p o r t . P r e d i c a t u l

l o g i c e s t e n o t i u n e a c a r e r e e c t a i n s u s i r i l e a r m a t e s a u n e g a t e s u b i e c t u l u i . P a r -

t i c u l e l e d e l e g a t u r a s u n t c u v i n t e l e c a r e e x p r i m a r e l a t i i l e p o s i b i l e i n t r e s u b i e c t s i

p r e d i c a t c a : a r m a t i a , n e g a t i a , e x i s t e n t a , a p a r t e n e n t a , c a u z a l i t a t e a , e t c .

D u p a c a l i t a t e , j u d e c a t i l e p o t a m a t i v e s a u n e g a t i v e :

S P : p a t r a t u l a r e p a t r u l a t u r i ,

S P : f u n c t i a p u t e r e n u e s t e p e r i o d i c a . N u c o n f u n d a t i j u d e c a t a n e g a t i v a c u n e g a r e a u n e i j u d e c a t i ! c a l i t a t e a u n e i j u d e c a t i s e r e f e r a l a

s i e s t e d e t e r m i n a t a d e p r e d i c a t .

P u t e m c l a s i c a j u d e c a t i l e s i i n f u n c t i e d e c a n t i t a t e , c a r e s e r e f e r a l a s u b i e c t .

A v e m a s t f e l j u d e c a t i s i n g u l a r e ( N u m a r u l e s t e i r a t i o n a l t r a n s c e n d e n t ) , p a r - t i c u l a r e ( u n e l e f u n c t i i n u m e r i c e s u n t i n j e c t i v e ) , u n i v e r s a l e ( t o a t e n u m e r e l e

i r a t i o n a l e i n s c r i e r e z e c i m a l a a u u n n u m a r i n n i t d e z e c i m a l e ) .

D u p a n a t u r a r e l a t i e i i n t r e s u b i e c t s i p r e d i c a t , j u d e c a t i l e p o t c a t e g o r i c e s a u

i p o t e t i c e . J u d e c a t i l e c a t e g o r i c e r e e c t a l e g a t u r a n e c o n d i t i o n a t a d i n t r e s u b i e c t

s i p r e d i c a t : c u b u l a r e 1 2 m u c h i i . C e l e i p o t e t i c e r e e c t a c o n d i t i i l e i n c a r e a r e

l o c a t r i b u i r e a p r e d i c a t u l u i c a t r e s u b i e c t : d a c a u n t r i u n g h i a r e d o u a l a t u r i c o n -

g r u e n t e , a t u n c i e l a r e s i d o u a u n g h i u r i c o n g r u e n t e . C e l e m a i d e s i n t a l n i t e f o r m e

i n p r e d a r e a m a t e m a t i c i i s u n t s t r u c t u r i l e d e d o u a j u d e c a t i c a t e g o r i c e , l e g a t e p r i n

d a c a . . . a t u n c i . C e a c a r e c o n d i t i o n e a z a s e n u m e s t e a n t e c e d e n t , i a r c e a r e a l i z a t a

c o n d i t i o n a t s e n u m e s t e c o n s e c v e n t .

D u p a m o d a l i t a t e , j u d e c a t i l e p o t : a s e r t o r i c e ( r e e c t a l e g a t u r i l e r e a l e s i

c e r t e a l e l u c r u r i l o r : s o l u t i a a c u a t i e i 2x + 1 = 0 e s t e x = 12

) , s a u a p o d i c t i c e

( o g l i n d e s c a p a r t e n e n t a u n o r i n s u s i r i c a r e n u p o t l i p s i o b i e c t u l u i : o r i c e s o l u t i e

a e c u a t i e i 4n 12m = 0, i n N2 e s t e o p e r e c h e d e n u m e r e n a t u r a l e , c u u n a d n c o m p o n e n t e m u l t i p l u d e 3 ) .

J u d e c a t i l e s u n t r e p r e z e n t a t e p r i n p r o p o z i t i i l o g i c e . A s u p r a a c e s t o r a s e p o t

e f e c t u a d i f e r i t e o p e r a t i i l o g i c e :

n e g a t i a : p : t r i u n g h i u l e s t e u n p o l i g o n c o n v e x , p : t r i u n g h i u l n u e s t e u n p o l i g o n c o n v e x ;

c o n j u n c t i a : p : p a r a l e l o g r a m u l e s t e u n p a t r u l a t e r p a r t i c u l a r , q : p a r - a l e l o g r a m u l e s t e u n p a t r u l a t e r i n s c r i p t i b i l , p q : a r m a s i m u l t a n c e a r m a p s i c e a r m a q : p a r a l e l o g r a m u l e s t e u n p a t r u l a t e r p a r t i c u l a r s i p a r a l e l o g r a m u l e s t e u n p a t r u l a t e r i n s c r i p t i b i l ;

d i s j u n c t i a : pq a r m a c e a r m a p s a u c e a r m a q : p a r a l e l o g r a m u l e s t e u n p a t r u l a t e r p a r t i c u l a r s a u p a r a l e l o g r a m u l e s t e u n p a t r u l a t e r i n s c r i p t i b i l ;

5


6/13

i m p l i c a t i a : p q : a d e v a r u l l u i p a t r a g e a d e v a r u l l u i q s i f a l s i t a t e a l u i qa t r a g e f a l s i t a t e a l u i p.

R e a l i z a t i t a b e l e l e d e a d e v a r p e s t r u o p e r a t i i l e l o g i c e a n t e r i o a r e !

O p e r a t i i l e l o g i c e p r i n c a r e s e e v i d e n t i a z a u n a d e v a r c o n t i n u t i m p l i c i t i n t r - o

j u d e c a t a d a t a s a u p r i n c a r e d e d u c e m u n a d e v a r d i n a l t e a d e v a r u r i d e j a a r m a t e

s a u c u n o s c u t e , c o n s t i t u i e i n f e r e n t e l o g i c e . R a t i o n a m e n t u l e s t e o s u c c e s i u n e d e

j u d e c a t i c u n o s c u t e c a r e c o n d u c l a o j u d e c a t a n o u a .

R a t i o n a m e n t e l e p o t :

d e d u c t i v e : s e p l e a c a d e l a a d e v a r u r i g e n e r a l e s i s e a j u n g e l a u n a d e v a r p a r t i c u l a r s a u l a u n a d e v a r c u a c e l a s i g r a d d e g e n e r a l i t a t e ; d e d u c t i a s e

d e s f a s o a r a i n p l a n u l i d e i l o r ; d a c a s u n t r e s p e c t a t e l e g i l e l o g i c i i , c o n c l u z i i l e

d e d u c t i e i s u n t c e r t e ; a c e s t t i p d e r a t i o n a m e n t e s t e s p e c i c d e m o n s t r a t i e i

m a t e m a t i c e ; i n s a o r i c e s u r a i n l a n t u l d e j u d e c a t i c o m p r o m i t e r e z u l t a t u l

n a l ;

i n d u c t i v e : d e p l e a c a d e l a p a r t i c u l a r s p r e g e n e r a l , p u n c t u l d e p l e c a r e e s t e o e t a p a s e n z o r i a l a , r e c e p t a r e a u n u i a d e v a r i n u r m a u n e i e x p e r i e n t e s a u u n

a d e v a r p a r t i c u l a r d e j a s t a b i l i t ; c o n c l u z i i l e i n d u c t i e i s u n t d o a r p l a u z i b i l e .

I n m a t e m a t i c a , a m b e l e t i p u r i d e r a t i o n a m e n t e : i n d u c t i v ( p l a u z i b i l ) s i d e d u c t i v

( c e r t ) s u n t n e c e s a r e , e l e c o m p l e t a n d u - s e u n u l p e a l t u l . U n s t u d i u i n t e r e s a n t

a s u p r a a c e s t o r t i p u r i d e r a t i o n a m e n t e i n p r e d a r e a m a t e m a t i c i i s i i n a c t i v i t a t e a

d e c e r c e t a r e e s t e f a c u t d e G . P o l y a i n M a t e m a t i c a s i r a t i o n a m e n t e l e p l a u z i b i l e .

E l a r m a c a n e i n t a r i m c u n o s t i n t e l e m a t e m a t i c e p r i n r a t i o n a m e n t e d e m o n s t r a -

t i v e , i n s a n e s p r i j i n i m i p o t e z e l e p r i n r a t i o n a m e n t e p l a u z i b i l e . R a t i o n a m e n t e l e

d e m o n s t r a t i v e p a t r u n d s t i i n t a i n a c e e a s i m a s u r a c a s i m a t e m a t i c a , i n s a , c a a t a r e ,

e l e n u s u n t c a p a b i l e ( l a f e l c a m a t e m a t i c a i n s a s i ) s a n e f u r n i z e z e c u n o s t i n t e e s -

e n t i a l m e n t e n o i d e s p r e l u m e a i n c o n j u r a t o a r e . M a t e m a t i c a e x p u s a i n t r - o f o r m a

i n c h e g a t a s e p r e z i n t a c a o s t i i n t a p u r d e m o n s t r a t i v a , c o n s t a n d n u m a i d i n d e m o n -

s t r a t i i . I n s a i n p r o c e s u l d e f o r m a r e , m a t e m a t i c a s e a m a n a c u t o a t e c e l e l a l t e

s t i i n t e u m a n e a a t e s i e l e i n a c e s t p r o c e s . T r e b u i e s a i n t u i t i o t e o r e m a m a t e m -

a t i c a i n a i n t e d e a o d e m o n s t r a ; t r e b u i e s a i n t u i t i i d e e a d e m o n s t r a t i e i i n a i n t e

d e a o e f e c t u a i n t o a t e d e t a l i i l e e i . T r e b u i e s a c o m b i n a t i o b s e r v a t i i l e s i s a u r -

m a t i a n a l o g i i l e , t r e b u i e s a i n c e r c a t i s i i a r a s i s a i n c e r c a t i . R e z u l t a t u l m u n c i i d e

c r e a t i e a m a t e m a t i c i a n u l u i e s t e u n r a t i o n a m e n t d e m o n s t r a t i v , o d e m o n s t r a t i e ;

i n s a d e m o n s t r a t i a s e d e z v a l u i e c u a j u t o r u l u n u i r a t i o n a m e n t p l a u z i b i l , c u a j u -

t o r u l u n e i i p o t e z e . D a c a p r e d a r e a m a t e m a t i c i i r e e c t a m o d u l i n c a r e s e c r e e a z a

m a t e m a t i c a , a t u n c i e a t r e b u i e s a f a c a l o c i p o t e z e i , i n f e r e n t e i p l a u z i b i l e .

O a l t a f o r m a f u n d a m e n t a l a d e r a t i o n a m e n t e s t e s i l o g i s m u l . A c e s t a e s t e u n

r a t i o n a m e n t p r i n c a r e d i n d o u a j u d e c a t i n u m i t e p r e m i z e s e o b t i n e o a l t a j u d e c a t a

n u m i t a c o n c l u z i e . D i n t r e c e l e d o u a p r e m i z e u n a e s t e u n i v e r s a l a . N o t i u n i l e c a r e

i n t r a i n c o m p o n e n t a s i l o g i s m u l u i s e n u m e s c t e r m e n i s i s e c l a s i c a i n t e r m e n i

6


7/13

m a j o r i ( c u s f e r a c e a m a i m a r e ) , p r e m i s a c a r e c o n t i n e t e r m e n u l m a j o r n u m i n d u -

s e m a j o r a , s i o v o m n o t a c u P, d e o a r e c e v a p r e d i c a t u l c o n c l u z i e i . T e r m e n u l c u s f e r a m a i m i c a s e n u m e s t e m i n o r , i a r p r e m i s a c e c o n t i n e t e r m e n u l m i n o r

e s t e p r e m i s a m i n o r a , n o t a t a c u S d e o a r e c e v a s u b i e c t u l c o n c l u z i e i . T e r m e n u l i n t e r m e d i a r ( c a s f e r a ) s e v a n o t a c u M.

S c h e m a g e n e r a l a a s i l o g i s m u l u i e s t e

M PS M

. . . . . . . . . . .

S P

U n e x e m p l u e x t r e m d e c u n o s c u t e s t e :

T o t i o a m e n i i s u n t m u r i t o r i .

S o c r a t e e s t e u n o m .

D e c i S o c r a t e e s t e m u r i t o r .

T e r m e n u l i n t e r m e d i a r M e s t e o a m e n i , c e l m i n o r S e s t e S o c r a t e i a r c e l m a j o r

Pe s t e m u r i t o r .

E x i s t a d i f e r i t e t i p u r i d e s i l o g i s m e , n u v o m i n s i s t a a s u p r a l o r c i d o a r v o m d a

c a t e u n e x e m p l u .

S i l o g i s m u l a n t e r i o r e s t e u n u l c a t e g o r i c .

U n e x e m p l u d e s i l o g i s m d i s j u n c t i v e s t e u r m a t o r u l :

D i s c r i m i n a n t u l u n e i e c u a t i i d e g r a d u l a l I I l e a , c u c o e c i e n t i r e a l i , p o a t e

n e g a t i v , n u l s a u p o z i t i v .

D i s c r i m i n a n t u l ( u n e i e c u a t i i d a t e ) e s t e n u l . D e c i n u e s t e n i c i n e g a t i v , n i c i p o z i t i v .

U n e x e m p l u d e s i l o g i s m i p o t e t i c :

D a c a

pa t u n c i

q.D a c a q a t u n c i r.D e c i : d a c a p a t u n c i r.A c e s t a e s t e c e l m a i u t i l i z a t i n d e m o n s t r a t i i l e m a t e m a t i c e . ( E l p o a t e f o r -

m u l a t a s t f e l : d i n a r m a t i i l e ( i p o t e z a , a x i o m a , t e o r e m a ) p r e z u l t a a r m a t i a ( c o n - c l u z i a , c o n s e c i t a ) q, e t c . ) N u a n t a r e a a c e s t u i t i p d e s i l o g i s m i p o t e t i c c o n d u c e l a d i f e r e n t i e r e a :

s i l o g i s m i p o t e t i c p r o p r i u - z i s , i n c a r e a m b e l e p r e m i s e s u n t j u d e c a t i i p o t e t i c e

s i l o g i s m i p o t e t i c c a t e g o r i c , i n c a r e u n a d i n t r e p r e m i s e e s t e i p o t e t i c a , i a r c e a l a l t a p r e m i s a s i c o n c l u z i a s u n t j u d e c a t i c a t e g o r i c e ; a c e s t e a d i n u r m a

p o t :

p o n e n s : d a c a p a t u n c i q

p ( e d a t , e x i s t a , e a d e v a r a t )

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7


8/13

D e c i : q ( e a d e v a r a t ) .

t o l l e n s : d a c a

pa t u n c i

q

q f a l s

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D e c i : p f a l s .

O b s e r v a t i c a m o d u l t o l l e n s e s t e f o l o s i t i n d e m o n s t r a t i i l e p r i n r e d u c e r e l a a b s u r d .

P r o b l e m a t i c a s i l o g i s m e l o r e s t e m u l t m a i c o m p l e x a , d a r n e o p r i m a i c i , a v a n d

i n v e d e r e s i f a p t u l c a i n a n u l I a t i u r m a t u n c u r s d e l o g i c a m a t e m a t i c a .

2 . 2 T e o r e m e

D e o a r e c e i n c u r s u l a n t e r i o r a m e x p l i c a t c e r e p r e z i n t a o a x i o m a s i a m d a t n u -

m e r o a s e a s t f e l d e e x e m p l e , v o m t r a t a d i r e c t c e l a l a l t t i p d e p r o p o z i t i e m a t e m a t i c a

a d e v a r a t a , s i a n u m e t e o r e m a .

C o n s i d e r a t i i l e u r m a t o a r e s u n t p r e l u a t e d i n [ 1 ] .

T e o r e m e l e m a t e m a t i c e s u n t p r e z e n t a t e s c h e m a t i c s u b f o r m a d a c a p a t u n c i q

, f o r m a t r a n s c r i s a l o g i c p r i n

p q. ( 1 )

C o n s i d e r a m ( 1 ) c a t e o r e m a d i r e c t a . S u n t c u n o s c u t e u r m a t o a r e l e d e n u m i r i

p e n t r u t e o r e m e l e d e r i v a t e d i n c e a d i r e c t a :

t e o r e m a r e c i p r o c a :q p, ( 2 )

t e o r e m a c o n t r a r a :p q, ( 3 )

t e o r e m a c o n t r a r a r e c i p r o c e i :

q p. ( 4 )

P e n t r u a p u t e a f o r m u l a u s o r a c e s t e t e o r e m e d e r i v a t e , d e m u l t e o r i e b i n e c a i n

i p o t e z a

ps a s e d i s t i n g a o s e r i e d e d a t e c e f o r m e a z a c a d r u l t e o r e m e i r e s p e c t i v e .

A c e s t c a d r u r e p r e z i n t a o c o n j u n c t u r a c a r e o f e r a s e n s p r o p o z i t i e i c o n c l u z i e , e l

p r e c i z e a z a d e o b i c e i o c o n g u r a t i e . P e l a n g a a c e a s t a c o n g u r a t i e , i n c a d r u

s u n t s u b i n t e l e s e ( f a r a e n u n t a r e e x p l i c i t a ) d e n i t i i a l e u n o r n o t i u n i p r e z e n t e i n

q, a d e v a r u r i a c c e p t a t e ( a x i o m e s a u t e o r e m e d e j a d e m o n s t r a t e ) , c o n v e n t i i d e n o t a t i e . D e a c e e a p o a t e e s t e p r e f e r a b i l c a f o r m a ( 1 ) a t e o r e m e i d i r e c t e s a e

i n l o c u i t a c u u n a d e t i p u l

c (p q). ( 5 )

8


9/13

V o m i n t e l e g e p r i n a c e a s t a n o t a t i e i n c a d r u l c a r e l o c : d a c a p a t u n c i q .

E x e m p l e :

1 . T . P i t a g o r a : c a d r u l c : t r i u n g h i u l ABC. P r o p o z i t i a p : A e s t e u n g h i d r e p t . P r o p o z i t i a q : a2 = b2 + c2 . O b s e r v a m c a t o t i n c a d r u a p a r n o - t a t i i l e c u n o s c u t e p e n t r u l u n g i m i l e l a t u r i l o r o p u s e v a r f u r i l o r u n u i t r i u n g h i

c a t s i d e f n i t i a u n g h i u l u i d r e p t .

2 . T . C e v a : c a d r u l c : t r i u n g h i u l ABC, p u n c t e l e M , N , P s i t u a t e p e d r e p t e l e BC, CA, AB

d a r f a r a c a v r e u n u l s a c o i n c i d a c u u n v a r f a l t r i u n g h i u l u i .

T o t i n c a d r u e s t e i n c l u s a d e n i t i a s e g m e n t u l u i o r i e n t a t s i a r a p o r t u l u i i n

c a r e u n p u n c t i m p a r t e u n s e g m e n t o r i e n t a t d a t . P r o p o z i t i a

p : d r e p t e l e

AM,BN,CP s u n t c o n c u r e n t e . P r o p o z i t i a q : MBMC

NC

NA

PA

PB= 1 .

O b s e r v a m c a p u t e m c o n s t r u i f o r m a l o r e c i p r o c a d e t i p u l

c (q p).

R e c i p r o c a t e o r e m e i l u i P i t a g o r a e s t e a d e v a r a t a , s i o n u m i m a t u n c i t e o r e m a

r e c i p r o c a : d a c a i n t r i u n g h i u l ABC a r e l o c a2 = b2 + c2 , a t u n c i u n g h i u l A e s t e d r e p t . S e p o t g a s i d e m o n s t r a t i i p e n t r u t e o r e m a r e c i p r o c a i n d e p e n d e n t e d e c e a

d i r e c t a , d a r s i d e m o n s t r a t i a p r i n r e d u c e r e l a a b s u r d .

D a c a f o r m a m a c e l a s i t i p d e r e c i p r o c a p e n t r u t e o r e m a l u i C e v a , o b s e r v a m

c a e a n u m a i e s t e a d e v a r a t a . D e c i n u o r i c e r e c i p r o c a e s t e o t e o r e m a ! P e n t r u

a o b t i n e o r e c i p r o c a a d e v a r a t a , s e i n l o c u i e s t e p r o p o z i t i a

pp r i n p r o p o z i t i a

p : d r e p t e l e

AM,BN,CPs u n t c o n c u r e n t e s a u p a r a l e l e . A s t f e l r e c i p r o c a t e o r e -

m e i l u i C e v a e s t e : F i e t r i u n g h i u l ABC, p u n c t e l e M , N , P s i t u a t e p e d r e p t e l e

BC, CA, ABd a r f a r a c a v r e u n u l s a c o i n c i d a c u u n v a r f a l t r i u n g h i u l u i . D a c a

MB

MC

NC

NA

PA

PB= 1 a t u n c i d r e p t e l e AM,BN,CP s u n t c o n c u r e n t e s a u p a r a l e l e .

C o n t r a r a u n e i t e o r e m e f o r m u l a t e p r i n ( 5 ) e s t e d e t i p u l

c (p q).

A t e n t i e ! N u n e g a m p r o p o z i t i i l e m a t e m a t i c e c o n t i n u t e i n c a d r u .

C o n t r a r a r e c i p r o c e i :

c (q p).

E x e r c i t i u : p r e c i z a t i c a r e s u n t c o n t r a r a , r e s p e c t i v c o n t r a r a r e c i p r o c e i p e n t r u

c e l e d o u a t e o r e m e p r e z e n t a t e a n t e r i o r . C a r e d i n e l e s u n t t e o r e m e ?

O r a n a r e a s c h e m e i ( 5 ) e s t e d e s i n t a l n i t a :

c (p1 p2 q). ( 6 )

B i n e i n t e l e s c a i p o t e z a p o a t e c o n t i n e u n n u m a r n i t d e c o n j u n c t i i d e p r o p o -

z i t i i .

9


10/13

E x e m p l u : T . c e l o r t r e i p e r p e n d i c u l a r e : c a d r u l c : u n p l a n , o d r e a p t a d s ip u n c t e l e A,B,O c e s a t i s f a c r e s t r i c t i i l e : (r1) : A / , (r2) : O / d, (r3) : B d,

(r4) : d , (r5) : O . P r o p o z i t i a p1 : AO , p r o p o z i t i a p2 : OB d s i p r o p o z i t i a q : AB d .

A c e s t e i t e o r e m e d i r e c t e i i p u t e m a s o c i a f o r m a l d o u a r e c i p r o c e :

(R1) : c (p1 q p2), (R2) : c (q p2 p1).

R e c i p r o c a (R1) e s t e a i c i a d e v a r a t a , d a r (R2) e s t e f a l s a . E s t e a c c e p t a t a i n s a d r e p t r e c i p r o c a a T . c e l o r 3 p e r p e n d i c u l a r e t e o r e m a s c h e m a t i z a t a p r i n c (q p2 p3 p1), u n d e p3 e s t e AO OB . D e c i s e a c c e p t a c a r e c i p r o c a p e n t r u ( 5 ) o t e o r e m a d e t i p u l c (q q p), u n d e q e s t e o c o n s e c i n t a a l u i p.

E x e r i t i u : f o r m u l a t i i n c u v i n t e c e l e d o u a r e c i p r o c e . L a f e l p e n t r u c o n t r a r a

s i c o n t r a r e l e r e c i p r o c e l o r . C a r e s u n t a d e v a r a t e ?

U n a l t t i p d e t e o r e m e s u n t c e l e c u c o n c l u z i e r a m i c a t a :

c q1 q2. ( 7 )

I n a c e a s t a s i t u a t i e n u a m m a i p r e c i z a t d i s t i n c t p r o p o z i t i a p, e a p u t a n d i n - t e r p r e t a t a c a o p a r t i c u l a r i z a r e a c a d r u l u i . R e z o l v a r e a a c e s t e i t e o r e m e s e r e d u c e

l a r e z o l v a r e a s u c c e s i v a a d o u a t e o r e m e : c q1 s i c q2 q2.

E x e m p l u : c: e OBC i s o s c e l (OB = OC) s i A (OC) a . i . OA = AB =

BC. A t u n c i a u l o c u r m a t o a r e l e a r m a t i i : q1 : BOC = 36

; q2 :OA

OC=

512

;

q3 : sin 18 =514

; q4 : cos36 =5+1

4.

E x e r c i t i u : d e m o n s t r a t i t e o r e m a a n t e r i o a r a i m p a r t i n d - o i n p a t r u t e o r e m e

a s a c u m s - a p r e c i z a t m a i s u s .

M u l t e t e o r e m e s e i n c a d r e a z a i n s c h e m a

c (p q). ( 8 )

A c e s t t i p d e t e o r e m a p o a t e g a n d i t i n m o d e c h i v a l e n t

c (p q) (q p).

C u m p r o p o z i t i i l e c e a l c a t u i e s c c o n c l u z i a t e o r e m e i d e m a i s u s s u n t r e c i p r o c e u n a

a l t e i a , u n e o r i e s t e u t i l s a s e i n l o c u i a s c a u n a d i n e l e c u c o n t r a r a c e l e i l a l t e .

E x e m p l e : ( T 1 : t e o r e m a b i s e c t o a r e i i n t e r i o a r e )

c : e ABC s i D (BC).

A t u n c i a r e l o c p : DAB =DAC d a c a s i n u m a i d a c a q : BDDC

= cb

.

( T 2 : t e o r e m a b i s e c t o a r e i e x t e r i o a r e ) c : e ABC c u AB = AC s i E BC\[BC]. A t u n c i p : (AE e s t e b i s e c t o a r e a e x t e r i o a r a a u n g h i u l u i A d a c a s i

1 0


11/13

n u m a i d a c a q : BEEC

= cb

.

O m e t o d a d e o b t i n e r e d e n o i t e o r e m e i n t e r e s a n t e p o r n i n d d e l a d o u a ( s a u

m a i m u l t e ) t e o r e m e d a t e , e s t e j u x t a p u n e r e a t e o r e m e l o r .

A s t f e l , d a c a s u n t f o r m u l a t e d o u a t e o r e m e T : c s s i T : c s ( u r m a r i t i c e l e d o u a t e o r e m e a l e b i s e c t o a r e l o r ) , s e o b t i n e o s u m a a a c e s t o r t e o r e m e : cc s s.

A s a s e f o r m e a z a c u n o s c u t a t e o r e m a a c e l o r d o u a b i s e c t o a r e : e

c : ABCc u

AB = AC, D (BC) s i E BC\[BC]. D a c a p : (AD s i (AE s u n t b i s e c - t o a r e l e i n t e r i o a r a , r e s p e c t i v e x t e r i o a r a a u n g h i u l u i

A,a t u n c i

q : BDDC

= cb

= BEEC

.

I n p l u s q : DAE = 90.

F o a r t e i n t e r e s a n t a e s t e r e c i p r o c a a c e s t e i t e o r e m e , c u n o s c u t a d r e p t r e c i p r o c a

c o m u n a t e o r e m e l o r b i s e c t o a r e l o r : c (p q q).E x e r c i t i u : f o r m u l a t i a c e a s t a r e c i p r o c a i n c u v i n t e s i d e m o n s t r a t i - o .

N e o p r i m a i c i c u a c e s t m i c s t u d i u p r i v i n d d i f e r i t e l e t i p u r i d e t e o r e m e . M e t o d e l e

d e d e m o n s t r a r e a l e a c e s t o r a v o r p r e c i z a t e i n c u r s u l u r m a t o r , d e d i c a t s t r a t e g i -

i l o r d i d a c t i c e d e p r e d a r e a m a t e m a t i c i i .

3 A p l i c a t i i - e x e r c i t i i s i p r o b l e m e

P r o b l e m e l e c o n s t i t u i e m o t i v u l , m i j l o c u l s i s c o p u l i n v a t a r i i m a t e m a t i c i i s c o l a r e .

M o t i v u l , d e o a r e c e a c e s t e a s u s c i t a c u r i o z i t a t e a e l e v i l o r s i i m p u n a c o m o d a r i c u

t e o r i a c e a j u t a l a r e z o l v a r i . M i j l o c u l , d e o a r e c e s t u d i u l e x c l u s i v a l t e o r i e i n u

p o a t e c e r t i c a i n c e m a s u r a a c e a s t a a f o s t i n s u s i t a c r e a t i v . S c o p u l , d e o a r e c e

m a j o r i t a t e a e l e v i l o r i n v a t a m a t e m a t i c a s p r e a a v e a r e z u l t a t e b u n e l a e x a m e n e ,

i n c a r e r e z o l v a r e a d e p r o b l e m e e s t e p r i o r i t a r a , a d e s e a e x c l u s i v a . [ 2 ]

V a r e c o m a n d a m c a r t e a C u m r e z o l v a m o p r o b l e m a , G . P o l y a , E d , S t i i n -

t i c a , 1 9 6 5 .

P r o b l e m e l e d i d a c t i c e d e m a t e m a t i c a s e i m p a r t i n :

p r o b l e m e d e a p l i c a r e ( a s t i s a f a c i ) ;

p r o b l e m e d e l o g i c a ( a s t i s a j u d e c i ) ;

p r o b l e m e d e g a n d i r e e u r i s t i c a ( a i n c e r c a s a c r e e z i ) .

B i n e i n t e l e s c a a c e a s t a c l a s i c a r e n u e s t e s t r i c t a , a c e e a s i p r o b l e m a p o a t e c o m b i n a

a b i l i t a t i l e d e m a i s u s .

1 1


12/13

I n [ 3 ] H . B a n e a p r o p u n e u r m a t o a r e a s c h e m a ( g a n d i m p r o b l e m a d e t i p u l

I C, p r i n I n o t a n d i p o t e z e l e , p r i n r a t i o n a m e n t e l e c e f o r m e a z a d e m o n s t r a - t i a , i a r p r i n C c o n c l u z i i l e ) :

C u n o s c u t e N e c u n o s c u t e D e n u m i r e o r i e n t a t i v a

1 I, , C - e x e r c i t i u d o a r d e v e r i c a r e 2 I, C e x e r c i t i u 3 I, C e x e r c i t i u , p r o b l e m a 4 , C I p r o b l e m a 5 I , C p r o b l e m a 6 C I, p r o b l e m a d e d e s c o p e r i r e 7 I, C p r o b l e m a d e c r e a t i v i t a t e 8 - I, , C c r e a t i e

1 . I n a c e a s t a g r u p a s u n t c u p r i n s e e x e r c i t i i l e d e t i p u l : s a s e a r a t e c a e c u a t i a

2x + 3 = 0 a r e s o l u t i a x = 32

( c h i a r d a c a t o a t e e l e m e n t e l e s u n t d a t e s i

m e t o d a d e r e z o l v a r e e s t e c u n o s c u t a , t o t u s i e l e v u l d e p u n e e f o r t m a t e m a t i c

p e n t r u a r e z o l v a a c e s t e x e r c i t i u ) ;

2 . d e e x e m p l u r e z o l v a r i d e e c u a t i i s a u s i s t e m e d e e c u a t i i ; a c e s t e d o u a n i v e l e

s u n t c e l e p e c a r e t o t i e l e v i i , i n d i f e r e n t d e a n i t a t i , a r t r e b u i s a l e a t i n g a ;

3 . p r o b l e m e d e g e o m e t r i e p l a n a , l a c a r e s e d a i p o t e z a s i c o n c l u z i a s i e l e v u l

t r e b u i e s a d e s c o p e r e d e m o n s t r a t i a ;

4 . a c e s t t i p d e p r o b l e m e a p a r e f o a r t e r a r , d e e x e m p l u p e n t r u c a o f u n c t i e d a t a

s a e b i n e d e n i t a , c u m t r e b u i e a l e s d o m e n i u l a c e s t e i a ? s a u p r o b l e m e i n

c a r e s e c e r c o n d i t i i s u c i e n t e p e n t r u c a o a n u m i t a p r o p r i e t a t e s a a i b a l o c ;

5 . s u n t p r o b l e m e l e d e i n c e p u t d e c a p i t o l , c a r e i n c i t a e l e v i i s a g a s e a s c a m e t o d a

c a t s i r e z u l t a t u l : i n a i n t e c a e l e v i i s a c u n o a s c a f o r m u l a d e r e z o l v a r e a e c u -

a t i e i d e g r a d u l I I , a p a r e c e r i n t a : r e z o l v a t i e c u a t i a

x2 10x + 24 = 0; a i c i s e a p l i c a , d r e p t s t r a t e g i e , p r o b l e m a t i z a r e a ; e l e v i i s i m t c a n u a u s u c i e n t e

c u n o s t i n t e p e n t r u a a p l i c a o t e o r i e c u n o s c u t a , o m e t o d a , o r e g u l a d e c a l c u l ,

s i i n c e a r c a s a d e s c o p e r e s i n g u r i s o l u t i a ;

6 . s u n t p r o b l e m e a n a l o a g e c e l o r d e l a 4 . d a r m a i d i c i l e : s a s e g a s e a s c a f o r m a

u n e i e c u a t i i d e g r a d u l . . . a s t f e l i n c a t s o l u t i i l e e i s a a i b a p r o p r i e t a t e a . . . . ;

7 . e x e m p l u : f a c e t i o p r o b l e m a i n c a r e s a f o l o s i t i r e g u l a d e t r e i s i m p l a ;

8 . a i c i e v o r b a d e s t i m u l a r e a e l e v i l o r s a c r e e z e s i n g u r i p r o b l e m e ( d e e x e m p l u

p e n t r u G a z e t a M a t e m a t i c a ) ; p r o f e s o r u l p o a t e d i r i j a t o t u s i e l e v u l p a n a c e

a c e s t a c a p a t a e x p e r i e n t a .

I n c h e i e m c u e n u m e r a r e a c a t o r v a a s p e c t e i n c a r e s e m a n i f e s t a r o l u l p r o b l e m e l o r

i n i n v a t a r e a m a t e m a t i c i i :

1 2


13/13

p r i n s i t u a t i a p r o b l e m a s e a n t i c i p e a z a s i s e p r o v o a c a i n t r o d u c e r e a t e o r i e i ;

p r o b l e m e l e i n t e r v i n d i r e c t i n f o r m a r e a u n e i n o t i u n i ; p r i n v a r i e t a t e a l o r ,

p r o b l e m e l e d e l i m i t e a z a s f e r a n o t i u n i i s i i n t e l e g e r e a e i ;

p r i n r e z o l v a r e a d e p r o b l e m e s e f o r m e a z a p r i c e p e r i s i d e p r i n d e r i ;

r e z o l v a r e a p r o b l e m e l o r a s i g u r a f e e d - b a c k - u l n e c e s a r ;

d e z v o l t a c a p a c i t a t i d e i n v e s t i g a r e s i c r e a t i v i t a t e ;

a s i g u r a l e g a t u r a c u p r a c t i c a , c a r a c t e r u l i n t e r d i s c i p l i n a r ;

u n e l e p r o b l e m e p o t a v e a c a r a c t e r l u d i c .

R e f e r e n c e s

[ 1 ] R . B r a n z e i , D . B r a n z e i , A s u p r a u n o r t i p u r i d e t e o r e m e i n g e o m e t r i e , C a i e t e

M e t o d i c o - S t i i n t i c e , U n i v e r s i t a t e d i n T i m i s o a r a , n r . 4 7 , 1 9 8 7 ;

[ 2 ] D . B r a n z e i , R . B r a n z e i , M e t o d i c a P r e d a r i i M a t e m a t i c i i , P a r a l e l a 4 5 , P i t e s t i ,

2 0 0 7 ;

[ 3 ] H . B a n e a , M e t o d i c a P r e d a r i i M a t e m a t i c i i , P a r a l e l a 4 5 , P i t e s t i , 1 9 9 8 ;

[ 4 ] I . R u s , D . V a r n a , M e t o d i c a P r e d a r i i M a t e m a t i c i i , E d . D i d a c t i c a s i P e d a g o g -

i c a , B u c u r e s t i , 1 9 8 3 .

1 3

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