CURS 3(Integrarea ecuatiilor diferentiale de echilibru) 1 ...CGN).pdfChiorean C.G. / Stabilitatea Structurilor / Note de curs (pentru uzul studentilor)/ 2020 / 3 Constantele de integrare

Chiorean C.G. / Stabilitatea Structurilor / Note de curs (pentru uzul studentilor)/ 2020 / www.cosminchiorean.com

1

CURS 3(Integrarea ecuatiilor diferentiale de echilibru)

1. Integrarea ecuatiilor diferentiale de echilibru pentru bara dreapta

In continuare se va considera cazul barei drepte cu sectiune constanta fara luarea in

considerare a deformatiilor de lunecare.

1.1. Formularea in momente incovoietoare

Ecuatia diferentiala ce defineste echilibrul in calculul geometric neliniar, a barei drepte cu

sectiune constanta, incarcate cu forta uniform distribuita q si momente incovoietoare la capete

(Mi, Mj), in modelul Eurler-Bernoulli este data de ecuatia 1.2 (Fig.1):

2

0

2

2

2 )()(

)(

dx

xvdNqxM

EI

N

dx

xMd

(1.2)

Prezenta imperfectiunilor geometrice este inclusa in relatia de mai sus prin cel de-al doilea

termen din membrul drept.

Cu notatiile:

2

0

2

2

)(

dx

xvdNqx

EI

N

(2.2)

ecuatia (1.2) se scrie:

)(int0,)()(

)(0,)()(

2

2

2

2

2

2

indereNxxMdx

xMd

ecompresiunNxxMdx

xMd

(3.2)

care reprezinta o ecuatie diferentiala de ordinul al II-lea neomogena. Solutia este compusa din

solutia ecuatiei diferentiale omogene Mo(x) si solutia particulara Mp(x):

)()( xMxMxM po

(4.2)

Ecuatia diferentiala omogena:

0)()( 2

2

2

xMdx

xMd

(5.2)

are ecuatia caracteristica:

Calculul geometric neliniar al structurilor

2

022 r

(6.2)

si radacinile:

)(int0,

)(0,2,1

indereN

ecompresiunNir

(7.2)

Solutia se exprima atunci:

xCxCxM o sincos 21

(8.2)

pentru N>0 (compresiune) si

xCxCeCeCxM xx

o sinhcosh 2121

(9.2)

pentru N<0 (intindere).

Pentru determinarea unei solutii particulare, aceasta se cauta sub o forma asemanatoare

membrului drept ω(x). Aceasta depinde de expresia analitica acceptata pentru modelarea

imperfectiunii geometrice v0(x). Astfel daca acceptam o forma parabolica in lungul barei de

lungime L, cu valoarea maxima a imperfectiunii vm0 aceasta poate fi exprimata sub forma:

200

)(4

L

xLxvxv m

(10.2)

Astfel:

tconsL

Nvq

dx

xvdNqx m tan

8)(2

0

2

0

2

(11.2)

iar solutia particulara este:

0,

0,

)(

2

2

N

N

xM p

(12.2)

Solutia completa a ecuatiei diferentiale (3.2) se exprima atunci:

0,sinhcosh)(

0,sincos)(

221

221

NxCxCxM

NxCxCxM

(13.2)


3

Constantele de integrare C1 si C2 se vor determina impunand conditiile la limita, pentru x=0

(capatul i) si x=L(capatul j) al barei. Trebuie facuta aici observatia ca ecuatia diferentiala (1.2)

este dedusa conform conventiei pozitive de semne pentru momentele incovoietoare definita in

Figura 1.b. Altfel spus momentul incovoietor, solutie a ecuatiei diferentiale (1.2), este pozitiv

daca “intinde fibra de jos” si negativ daca “intinde fibra de sus”. De aceasta conventie de semne

trebuie tinut seama in impunerea conditiilor la limita in calculele practice, astfel ca valorile

momentelor incovoietoare Mi si Mj de la capetele barelor se vor lua cu semnul raportat la

conventia definita mai sus. Astfel cunoscand valorile momentelor incovoietoare Mi si Mj de la

capetele i si j, rezulta pentru cazul N>0 (compresiune):

j

i

MLCLCLM

MCM

221

21

sincos)(

)0(

(14.2)

Rezolvand sistemul de ecuatii de mai sus cu necunsocutele C1 si C2 obtinem:

L

L

ML

ML

LC

MC

ji

i

sin

1cos

sin

1

sin

cos 2

2

21

(15.2)

Solutia ecuatiei diferentiale exprimandu-se in acest caz:

x

L

Lx

L

xMx

L

LxMxM ji

sin

sin

1coscos1

sin

sinsin

sin

coscos)(

2

(16.2)

care mai poate fi rescrisa tinand cont de relatiile trigonometrice:

2cos

2cos

1sin

sin

sin

1sin

)(2 L

xL

L

xM

L

L

xL

MxM ji

(17.2)

Definind in continuare factorul de compresiune/intindere al barei:

EI

NLL

(18.2)

relatia (17.2) devine:


4

2cos

2cos

1sin

sin

sin

1sin

)(2

2

L

x

LL

x

ML

x

MxM ji

(19.2)

Similar se poate obtine solutia ecuatiei diferentiale in cazul intinderii (N<0) sau pentru alte tipuri

de incarcari distribuite aplicate in cuprinsul barei.

Spre exemplificare, sa consideram bara din figura 1.2. Considerand bara incarcata doar cu

momentele incovoietoare Mi si Mj si forta axiala N. Diagrama de momente incovoietoare in

lungul barei, pentru diferite valori ale fortei axiale N, este prezentata in Fig. 2.2 (Mi=-60kNm,

Mj=50kNm).

Figura 1.2: Bara dreapta cu imperfectiuni geometrice

Figura 2.2: Diagrama de momente incovoietoare paramterice in forta axiala.

Efectul imperfectiunilor geometrice este prezentat in Figura 3.2 unde pentru diferite valori

atribuite lui vm0 se prezinta diagrama de momente incovoietoare in cazul incarcarii barei cu

momentele Mi si Mj si o forta axiala de compresiune N=2500 kN.


5

Figura 3.2: Diagrama de momente incovoietoare. Influenta imperfectiunilor geometrice.

1.2. Formularea in deplasari

Pentru formularea in deplasari a ecuatiei diferentiale de echilibru a barei drepte consideram

ecuatiile de echilibru ale elementului infinitesimal (2E), (4E) si (6E). Derivand relatia (6E) si

tinand cont de relatiile (2E) si (4E) obtinem:

2

0

2

2

2

2

2

2

2 )()()()(

dx

xvd

dx

xvdNq

dx

xvdNq

dx

xMd t

(20.2)

Cu relatia constitutiva:

2

2 )()(

dx

xvdEIxM

(21.2)

relatia (20.2) devine:

2

0

2

2

2

4

4 )(1)()(

dx

xvdNq

EIdx

xvd

EI

N

dx

xvd

(22.2)

si care reprezinta ecuatia diferentiala de ordinul IV de echilibru a barei drepte cu imperfectiuni

exprimata in deplasari. Cu notatiile:

2

0

2

2

)(1

dx

xvdNq

EIx

EI

N

(23.2)



6

)(int0,)()(

)(0,)()(

2

22

4

4

2

22

4

4

indereNxdx

xvd

dx

xvd

ecompresiunNxdx

xvd

dx

xvd

(24.2)

O alta forma de reprezentare a ecuatiei diferentiale de echilibru, cu necunoscutele deplasari,

poate fi obtinuta astfel.

Figura 4.2: Formularea in deplasari a ecuatiei diferentiale de echilibru

Prin integrarea ecuatiei de echilibru (6E) obtinem:

Cdxdx

xdvNdxxVxM

x

t

x

00

)()()(

(25.2)

unde constanta de integrare C se determina prin conditia la limita x=0, M(0)=Mi iar V(x)

reprezinta forta taietoare verticala calculata exprimand echilibrul elementului de bara de lungime

x (Fig. 4.2). In exprimarea echilibrului si impunerea conditiei la limita se considera conventia de

semne pozitive din Figura 1.b. Astfel:

qxqL

L

MMxV

ij

2)(

(26.2)

iar momentul incovoietor in sectiunea x se obtine:

xNvxLqx

L

xM

L

xMxM tji

21)(

(27.2)

si introdus in ecuatia constitutiva2

2 )()(

dx

xvdEIxM obtinem:

0

21 02

2

xNvxL

qx

L

xM

L

xMxNv

dx

xvdEI ji

(28.2)

sau:

xNvxL

qx

L

xM

L

xM

EIxv

EI

N

dx

xvdji 02

2

21

1

(29.2)


7

si care reprezinta ecuatia diferentiala de ordinul al II-lea ce exprima echilibrul barei drepte cu

imperfectiuni in necunoscutele deplasari. Cu notatiile:

xNvxLqx

L

xM

L

xM

EIx

EI

N

ji 0

2

21

1

(30.2)


)(int0,)()(

)(0,)()(

2

2

2

2

2

2

indereNxxvdx

xvd

ecompresiunNxxvdx

xvd

(31.2)

Urmand un procedeu similar cu cel utilizat la rezolvarea ecuatiei diferentiale (3.2) solutia

ecuatiei (31.2) se scrie:

)()( xvxvxv po

(32.2)

unde vo reprezinta solutia ecuatiei diferentiale omogene iar vp reprezinta o solutie particulara:

xCxCxvo sincos 21

(33.2)

pentru N>0 (compresiune) si

xCxCeCeCxv xx

o sinhcosh 2121

(34.2)

pentru N<0 (intindere). Pentru determinarea unei solutii particulare, aceasta se cauta sub o forma

asemanatoare membrului drept ω(x). Asumand o forma parabolica pentru variatia imperfectiunii

geometrice cu valoarea maxima a imperfectiunii vm0 membrul drept al ecuatiei diferentiale se

exprima:

20

)(4

21

1

L

xLxNvxL

qx

L

xM

L

xM

EIx mji

(35.2)

iar solutia particulara este:

0,8)(4

21

1

0,8)(4

21

1

)(

22

0

202

22

0

202

NL

Nv

L

xLxNv

qxL

qx

L

xM

L

xM

N

NL

Nv

L

xLxNv

qxL

qx

L

xM

L

xM

Nxv

mmji

mmji

p

(36.2)


8

Constantele de integrare se vor determina prin impunerea conditiilor la limita. In acest caz

deplasarile la cele doua capete ale barei sunt nule. Astfel pentru N>0 (compresiune):

081

sincos)(

081

)0(

22

0

221

22

0

21

L

NvqM

NLCLCLv

L

NvqM

NCv

mj

mi

(37.2)

L

L

L

v

N

q

L

LMM

NC

L

v

N

qM

NC

mij

mi

sin

cos18

sin

cos12

81

22

0

2

22

0

21

(38.2)

22

0

202

22

0

222

0

2

8)(4

21

1

sinsin

cos18

sin

cos1cos

81

L

Nv

L

xLxNv

qxL

qx

L

xM

L

xM

N

xL

L

L

v

N

q

L

LMM

Nx

L

v

N

qM

Nxv

mmji

mijmi

(39.2)

22

0

20222

0

2

8)(4

2

1sin

sin

cos1cos

8

sin

sin

sin

sincos

L

Nv

L

xLxNv

qxL

qx

Nx

L

Lx

L

v

N

q

L

x

L

x

N

M

L

xL

L

x

N

Mxv m

mmji

(40.2)

2022

0

2

)(4

2

11sin

sin

cos1cos

81sin

sin

cos1cos

sin

sin

sin

sincos

L

xLxNvxL

qx

Nx

L

Lx

L

vx

L

Lx

N

q

L

x

L

x

N

M

L

xL

L

x

N

Mxv m

mji

(41.2)

rezultand urmatoarea expresie pentru deplasarea transversala a barei, v(x), solutia ecuatiei

diferentiale (31.2) pentru N>0 (compresiune):

21sin

sin

cos1cos

8

sin

sin

sin

sincos 2

22

0

2

xLxx

L

Lx

L

v

N

q

L

x

L

x

N

M

L

xL

L

x

N

Mxv mji

(42.2)

Revenind acum la ecuatia diferentiala de ordinul IV (Ec. 22.2) aceasta se rescrie tinand cont de

expresia asumata pentru variatia imperfectiunii in lungul barei:

EI

q

L

Nvq

EIdx

xvd

EI

N

dx

xvd m '81)()(2

0

2

2

4

4

(43.2)

Cu notatiile:

EI

q

xwdx

xvd

'

)()(

2

2

(44.2)

Ecuatia (43.2) se rescrie:


9

)()( 2

2

2

xwdx

xwd

(45.2)

a carei solutii sunt (vezi relatia (13.2)):

0,sinh'cosh')(

0,sin'cos')(

221

221

NxCxCxw

NxCxCxw

(46.2)

Revenind acum la substitutia (44.2) si integrand de doua ori obtinem, spre exemplu pentru cazul

N>0 (compresiune):

3221 cos1

'sin1

'3)()(

CxxCxCCdxxwdx

xdv

(47.3)

43

2

22221

3221

2sin

1'cos

1'

4cos1

'sin1

')(

CxCx

xCxC

CdxCxxCxCxv

(48.3)

sau:

2sincos)(

2

24321

xCxCxCxCxv

(49.2)

care reprezinta solutia generala a ecuatiei diferentiale si unde constantele de integrare (C1, C2,

C3, C4) se pot exprima in functie de conditiile la limita (de la capatul barei). Prin derivarea

succesiva a solutiei generale obtinem:

2321 cossin

)(

xCxCxC

dx

xdv

(50.2)

22

2

1

2

2

2

sincos)()(

xCxC

dx

xvd

EI

xM

(51.2)

xCxCdx

xvd

EI

xT cossin

)()(2

3

1

3

3

3

(52.2)

si cum din ecuatia de echilibru (6E) avem

dx

xdv

dx

xdvNxV

dx

xdMxT

)()()(

)()( 0

(53.2)

rezulta:


10

dx

xdvN

dx

xdvNxTxV

)()()()( 0

(54.2)

sau tinand cont de relatiile (52.2) si (50.2)

dx

xdv

EI

N

dx

xdv

EI

N

EI

xT

EI

xV )()()()( 0

(55.2)

dx

xdv

EI

NxCxCxC

EI

NxCxC

EI

xV )(cossincossin

)( 0

23212

3

1

3

(56.2)

xLL

vxC

EI

xV m 24

3)(

2

022

(57.2)

Notand cu z(x) vectorul de stare in sectiunea curenta x:

TxVxMxxvx )()()()( z

(58.2)

Relatiile (49.2), (50.2), (51.2) si (57.2) se poat aranja sub forma matriceala astfel:

xLL

vEIEIx

x

x

C

C

C

C

EI

xEIxEI

xx

xxx

xV

xM

x

xv

m 24

2

000

00sincos

01cossin

1sincos

)(

)(

)(

)(

2

02

2

2

2

2

4

3

2

1

2

22

(59.2)

sau in forma matriceala condensata:

xxx qCBz )()(

(60.2)

unde vectorul C colecteaza constantele de integrare iar vectorul q corespunde incarcarii

distribuite si imperfectiunii geometrice. Pentru determinarea acestor constante se vor utiliza

conditiile de la capete barei (la limita). Spre exemplu in cazul in care sunt cunoscute toate

conditiile in (v, θ, M si V) la capatul i al barei (x=0) rezulta:

0)0()0(1qzBC

(61.2)

Astfel ca vectorul de stare z(x) se mai poate scrie:


11

0)0(0)0()0(1qzUqzBBz xxx

(62.2)

unde U(x) reprezinta matricea de transfer corespunzatoare sectiunii curente x.

In cazul in care conditiile la limita se pot impune doar la cele doua capete (x=0 si x=L) in

deplasari si rotiri sistematizarea calculelor poate urma procedeul urmator. Ecuatia matriceala

(60.2) poate fi partitionata astfel:

x

x

xx

xx

x

x

2

1

2

1

2221

1211

2

1

)(

)(

q

q

C

C

BB

BB

z

z

(63.2)

si impunand conditiile la capetele barei rezulta:

LLLL 12121111

12121111

)()()(

0)0()0()0(

qCBCBz

qCBCBz

(64.2)

Constantele de integrare se vor determina prin rezolvarea sistemului de ecuatii definit de ecuatia

(64.2), rezultand:

LLLL 121212121

1

111

12121

1

1

)(0)0()0()0()()(

0)0()0()0(

11

11

qCBqCBzBBz

qCBzBC

(65.2)

0)0()()0()0()()0()0()()()(

0)0()0()0(

1

1

1111

1

11212

1

11121

12121

1

1

111111

11

qBBqzBBCBBBBz

qCBzBC

LLLLLL

(66.2)

0)0()()0()0()()()0()0()()(

)0()0()0(

1

1

1111

1

111

1

12

1

11122

12121

1

1

111111

11

qBBqzBBzBBBBC

qCBzBC

LLLLLL

x

(67.2)

Avand determinate constantele de integrare prin utilizarea relatiei (67.2) componentele

vectorului de stare in sectiunea curenta x se determina prin aplicarea relatiei (60.2). Un alt caz

practic intlanit in diferite aplicatii consta in definirea conditiilor la limita la cele doua capete ale

barei prin combinatii de deplasari, rotiri sau eforturi. Spre exemplu atunci cand se cunosc

deplasarile si momentele incovoietoare la capetele i si j ale barei procedeul descris mai sus poate

fi aplicat dar cu o rearanjare in prealabil a componentelor vectorului de stare z si in consecinta a

ecuatiilor ce formeaza ecuatia matriceala (60.2). Cu urmatoarea notatie:


12

Figura 5.2: Bare cu discontinuitati in lungul lor

TxVxxMxvx )()()()(' z

(68.2)

Ecuatia matriceala (60.2) se rescrie:


13

xLL

vEIEIx

x

x

C

C

C

C

EI

xx

xEIxEI

xxx

xV

x

xM

xv

m 24

2

000

01cossin

00sincos

1sincos

)(

)(

)(

)(

2

02

2

2

2

2

4

3

2

1

2

22

(69.2)

sau sub forma matriceala:

xxx ')(')(' qCBz

(70.2)

si cu partitionarea:

x

x

xx

xx

x

x

2

1

2

1

2221

1211

2

1

'

'

''

''

)('

)('

q

q

C

C

BB

BB

z

z

(71.2)

Relatia (67.2), prin similitudine, poate fi aplicata si in acest caz pentru determinarea constantelor

de integrare iar vectorul de stare se calculeaza cu ajutorul relatiei (70.2).

3.3 Bara dreapta cu discontinuitati in lungul ei

In cazul barelor cu incarcari discontinue aplicate in lungul lor sau in cazul variatiei bruste de

sectiune ecuatiile diferentiale ce definesc echilibrul barei vor fi definite pentru fiecare zona

(segment) pentru care se poate asimila un camp constant al variabilelor (rigiditati, incarcari, etc)

(Fig. 5.2). Spre exemplficare pentru bara din Fig. 5.2 sunt prezentate pentru fiecare segment

(interval) ecuatia diferentiala de echilibru respectiv modul de impunere a conditiilor de

continuitate si la limita. Considerand acum bara cu variatie brusca de sectiune reprezentata in

Fig. 6.2 modul de determinare a momentelor incovoietiare in calculul geometric neliniar este

prezentat in continuare.

Solutia completa pentru fiecare segment (interval) (Fig. 6.2) se poate exprima astfel:

LxlxhxgCxfCxM

lxxhxgCxfCxM

1224232

1112111

),()()()(

0),()()()(

(72.2)

unde pentru cazul incarcarii uniform distribuite pe toata lungimea barei si o forma parabolica

pentru imperfectiunea geometrica functiile f, g si h au expresiile date in Tabelul 2.


14

Figura 6.2: Bara cu variatie brusca a sectiunii.

Tabelul 2. Expresiile functiilor utilizate in calculul solutiei generale.

Functia Compresiune Intindere

f1(x) x1cos

x1cosh

g1(x) x1sin

x1sinh

h1(x) 2

1

2

1

f2(x) x2cos

x2cosh

g2(x) x2sin

x2sinh

h2(x) 2

2

2

2

Conditiile la limita si de continuitate, sintetizate in Fig. (6.2) sunt exprimate astfel:

)(')(')(')(')(')('

)()()()()()(

)()()(

)0()0()0(

1212412311112111

1212412311112111

22423

11211

lhlgClfClhlgClfC

lhlgClfClhlgClfC

MLhLgCLfC

MhgCfC

j

i

(73.2)


15

sau sub forma matriceala dezvoltata:

)(')('

)()(

)(

)0(

0

0

)(')(')(')('

)()()()(

)()(00

00)0()0(

1112

1112

2

1

4

3

2

1

12121111

12121111

22

11

lhlh

lhlh

Lh

h

M

M

C

C

C

C

lglflglf

lglflglf

LgLf

gf

j

i

(74.2)

respectiv in forma condensata:

hmfc

(75.2)

de unde rezulta:

hmfc 1

(76.2)

sau sub forma explicita:

4

3

2

1

444

1

343

1

242

1

141

1

42

1

41

1

4

434

1

333

1

232

1

131

1

32

1

31

1

3

424

1

323

1

222

1

121

1

22

1

21

1

2

414

1

313

1

212

1

111

1

12

1

11

1

1

H

ji

H

ji

H

ji

H

ji

hhhhMMC

hhhhMMC

hhhhMMC

hhhhMMC

ffffff

ffffff

ffffff

ffffff

(77.2)

Momentul incovoietor pentru fiecare interval se poate exprima astfel:

LxlxhxgHxfHxgxfMxgxfMxM

lxxhxgHxfHxgxfMxgxfMxM

xCxB

j

xB

i

xCxB

j

xB

i

1

)(

22423

)(

242

1

232

1

)(

241

1

231

1

2

1

)(

11211

)(

122

1

112

1

)(

121

1

111

1

1

,)()()()()()()()(

0,)()()()()()()()(

22,22,1

11,21,1

ffff

ffff

(78.2)

In forma generala se poate observa faptul ca momentul incovoietor poate fi exprimat in functie

de momentele incovoietoare de la cele doua capete ale barei:

)()()()( 21 xCxBMxBMxM ji

(79.2)

Documents

CURS 3(Integrarea ecuatiilor diferentiale de echilibru) 1 ...CGN).pdfChiorean C.G. / Stabilitatea Structurilor / Note de curs (pentru uzul studentilor)/ 2020 / 3 Constantele de integrare