Curs 3FILTRAREA CLASICĂ NELINIARĂ

Filtrarea cu bandă constantă

Fie semnalul masurat de traductor si semnalul la iesirea filtrului (fig. 3.1).

Se consideră că evoluţia semnalului este relativ lentă, iar efectul zgomotului

constă în variaţii bruşte ale mărimii . În aceste condiţii, dacă diferenţa dintre mărimea

curentă măsurată, , şi ieşirea anterioară a filtrului, , este mai mică decât o limită

dată, L, atunci se consideră că diferenţa respectivă se datorează evoluţiei semnalului şi,

în consecinţă, se adoptă . Dacă diferenţa respectivă este mai mare decât L,

atunci ea poate fi cauzată de zgomot şi se calculează după relaţia (3.2).

(3.1)

(3.2)

În fig.3,2 este ilustrată funcţionarea algoritmului de filtrare. Variaţia mărimii , la

, este practic eliminată de filtru, iar variaţia în treaptă a mărimii , de la , 9, 10,

11 este filtrată cu relaţia (3.2).

Fig. 3.2. Filtrarea cu bandă constantă (L - lărgimea benzii)

y[k]O yf[k]

y[k]yf[k]

Traductor(iesire

numerica)Filtru numeric

neliniar

Fig. 1 Filtru neliniar

y k fy k

Observatie. De regula, se utilizeaza filtrul de ordinul 1, atunci cand

. Functia de transfer a filtrului implicat în relaţia (3.2) este

(3.3)

şi are polul p = a = 1 – b şi are coeficientul de amplificare static H(1) = 1. Funcţia de transfer (3.3) se mai poate scrie sub forma

(3.4)

Cu cât polul a este mai apropiat de valoarea unitară (v. fig.3.3), cu atât efectul de filtrare este mai pronunţat.

Lărgimea benzii afectează nivelul zgomorului de înaltă frecvenţă care este lăsat să treacă, împreună cu variaţia lentă (reală) a semnalului. Filtul este caracterizat de 2 parametri:

- banda L;- polul a.

Ambii parametri se aleg în funcţie de contextul aplicaţiei: - particularităţile semnalului purtător de

informaţie;- particularităţile zgomotului (conţinutul fluctuaţiilor de înaltă frecvenţă;

existenţa impulsurilor parazite datorate comutaţiilor din circuitele de forţă etc).

AplicaţieSă se realizeze şi să se studieze filtrul neliniar cu bandă constantă, pentru: a=0.75,

L=0.1; a=0.9, L=0.2; a=0.85 şi valori diferite ale lărgimii benzii. L = 0.2 şi L = 0.1.Lista programului Matlab este dată în Anexa 3.In Fig. 3.4.a,b,c,d sunt date rezultatele filtrării pentru a=0.75, L=0.1 (fig. 3.4.a, cu

detaliu în fig. 3.4.c) şi pentru pentru a=0.9, L=0.2 (fig. 3.4.b, cu detaliu în fig. 3.4.d). In fig. 3.5a şi b sunt detaliate răspunsurile filtrului în bandă constantă, pentru acelaşi

pol a=0.85 şi valori diferite ale lărgimii benzii. L = 0.2 şi L = 0.1.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9a=0.75; L=0.1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9a=0.9; L=0.2

a b

Im

Rex

a

Fig.3.3 Polul filtrului de ordinul 1

1

1.95 2 2.05 2.1 2.15 2.2 2.25 2.3 2.35

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

1.9 1.95 2 2.05 2.1 2.15 2.2 2.25 2.3

1

2

3

4

5

6

a=0.9; L=0.2

c d

Fig. 3.4 Răspunsuri ale filtrului în bandă constantă

2.95 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

a=0.85 L=0.2

2.9 2.95 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

a=0.85 L=0.1

a bFig. 3.5 Detalii ale răspunsului filtrului în bandă constantă

Filtrarea cu bandă adaptivă

Faţă de algoritmul anterior, mărimea benzii nu este constantă, ci se adaptează la tendinţele de variaţie ale mărimii . Valoarea benzii la pasul este:

(3.5)

unde este valoarea minimă impusă benzii, iar este o variabilă prin care se exprimă algoritmul de adaptare a benzii.

Funcţionarea filtrului constă în parcurgerea, la fiecare pas , a două etape: deducerea mărimii de ieşire a filtrului, , cu banda de la pasul anterior, ,

utilizând algoritmul: (3.6)

(3.7)

unde semnul din (3.7) este cel al diferenţei ; adaptarea benzii la pasul curent, utilizând algoritmul:

(3.8)

(3.9)

(3.10)

în care este un parametru prin care se impune viteza de adaptare a benzii. Pentru adaptarea este lentă, la adaptarea este cu viteză moderată, iar la adaptarea este rapidă.

Funcţionarea filtrului cu bandă adaptivă este ilustrată în fig.3.4. Se observă că, faţă de filtrarea în bandă constantă, se asigură o urmărire mai fidelă a tendinţei de variaţie a mărimii

, în condiţiile unei sensibilităţi reduse la zgomot.

Dacă se aplică algoritmii prezentaţi la filtrarea mărimii de ieşire din convertorul analogic-digital, a cărui mărime de ieşire este un număr întreg, atunci toate relaţiile de calcul se reduc la operaţii cu numere întregi, fără înmulţiri şi împărţiri; întrucât calculul mărimii

cu relaţia (3.5) se realizează prin deplasări la dreapta [cazul (3.8)] sau la stânga [cazul (3.10)], cu biţi, a numărului întreg .

AplicaţieSă se analizeze performanţele filtrului neliniar în bandă adaptivă, utilizând semnalul de test.Lista programului Matlab este dată în Anexa 4.Răspunsul filtrului este dat în Fig. 3.7Acest răspuns este detaliat în Fig 3.8.a şi b. Se constată că:

- filtrul elimină practic impulsurile parazite;- are un răspuns foarte bun la variaţia în treaptă (reală) din cadrul semnalului (Fig.

3.8.b); în schimb, diminuarea fluctuaţiei de înaltă frecvenţă este redusă.

Fig. 3.6. Filtrarea cu bandă adaptivă (L - lărgimea benzii)

y[k]O yf[k]

y[k]yf[k]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Fig. 3.7

1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

1

2

3

4

5

6

2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

a bFig. 3.8

Dacă s-ar utiliza un filtru liniar de ordinul 2, cu constanta de timp T=0.1 s, s-ar obţine rezultatul din Fig. 3.9. Componenta de înaltă frecvenţă este practic eliminată, însă:

- răspunsurile la impulsurile parazite sunt încă vizibile;- răspunsul la variaţia în treaptă (reală) din compunerea semnalului este lent;- semnalul la ieşirea filtrului (cu linie îngroşată în fig. 3.9) este întârziat, în raport cu

media semnalului la intrare, ceea ce ar diminua rezerva de stabilitate a buclei de reglare unde se utilizează filtrul.

Dacă după filtrul în banda adaptivă se pune un filtru liniar de ordinul 2, cu constanta de timp mai redusă (T=0.06s), se obţine rezultatul din fig. 3.10 . Se observă ameliorarea răspunsului.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Fig. 3.9 Fig. 3.10

In fig. 3.11 şi fig 3.12 se detaliază evoluţia lărgimii benzii şi a parametrului Ji.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5Largimea de banda

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Parametrul Ji

Fig. 3.11 fig. 3.12