Curs 2009-2010

Tehnici de optimizare - Cursul 1 1

Istoric

Dificulti de abordare i/sau rezolvare

Planul de nvmnt (= 10 sptmni)

TEHNICI DE OPTIMIZARE

ANTON BTTORESCU


TEHNICI DE OPTIMIZARE

CURS = 2 ORE / SPTMN

SEMINAR = 1 OR / SPTMN

FORMA DE EXAMINARE: examen ! (scris)

2 subiecte de teorie:

enunuri cu demonstraii;

enunuri descriptive.

1 exerciiu de seminar (cu subpuncte)


Coninutul cursului:

Modele de optimizare liniar i programe software.

Algoritmul simplex primal i algoritmul simplex dual.

Interpretarea economic a valorilor i soluiilor.

Metode de partiionare i relaxare.

Metode pentru probleme de optimizare neliniar.


Bibliografie

A. tefnescu, C. Zidroiu, "Cercetri Operaionale", Ed. Did. i Pedagogic, Bucureti, 1981.

H. Karloff, Linear Programming, Progress in Theoretical Computer Science, Birkhuser, 1991, Berlin.

A. Bttorescu, "Metode de optimizare liniar", Ed. Universitii din Bucureti, 2003.

V. Preda, M. Bad, "Culegere de probleme de cercetri operaionale", Tipografia Universitii din Bucureti, 1978.

http://www.ilog.com/ www.maximalsoftware.com


Exemplu optimizare neliniar( ) ( )( )( ) ( ) 4 3 2: , 2 1 3 5 7 5 31 30f f x x x x x x x x x = + = + + R R


[ ] ( ) 4 3 2: 0, 5.6 , 7 5 31 30f f x x x x x = + + R


Exemplu optimizare liniar

{ }2 3 , unde min maxoptim x y optim+ = Cu ndeplinirea condiiilor:

S se determine:

48 2 35 3 15

2 102 16

x yx yx yx y

x y

+ +

+

+


Rezolvare grafic


Notaii i cteva definiii

Vom nota cu o matrice cu m linii i n coloane: m nA R

( )11 12 1

21 22 211

1 2

n

n

i mijj n

m m mn

a a a

a a aA a

a a a

= =

, 1 ,1 ,ija i m j n Runde,

Transpusa matricei A o vom nota cu

.

n mA Rf

Mulimea matricelor de aceeai dimensiune formeaz un spaiu vectorial peste corpul numerelor reale.

( ) ( )1 11 1

, , , ,m n

i m i mij ij ijj n j n

A B A B a b B b

+ = + =R R


Produsul matricelor: este matricea:,m k k nA B R R

1, , 1 , 1 .

km n

ij il ljl

A B C c a b i m j n=

= = R

Determinantul unei matrice ptratice este numruln nA R

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2detn

n nA a a a

= S

Dac matricea A se numete nesingular, iar n acest caz, exist o unic matrice A-1 numit matrice invers:

det 0,A

1 1

1 0 00 1 0

0 0 1

n n

nA A A A

= = =

I

R


Un vector coloana este considerat ca fiind o matriceiar transpusa acesteia este un vector linie.

nv R1,

nv R

( ) ( )1

21 2 1 2, , , , , , ,n n

n

v

vv v v v v v v v

v

= = =

f f

Produsul scalar a doi vectori1

, , .

nn

i ii

x y x y x y y x=

= = R f f

pentru orice 1, ,

pentru orice 1, ni i

i i

x y x y i n

x y x y i n y x +

= = =

= R

Definim relaiile:

n particular, 0, 1, .n ix x i n =0 R


Sisteme de ecuaii liniare

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x ba x a x a x b

A x b

a x a x a x b

+ + + = + + + =

= + + + =

Fie: i considerm sistemul de ecuaii liniare:,m n mA b R R

nx Runde reprezint vectorul necunoscutelor.Notm: ( )

( )1 2

1 2

, , , linia '' '' a matricei ;

, , , coloana '' '' a matricei .

i i i in

jj j mj

A a a a i A

A a a a j A=

=

f

1, 1, .

nj

i i jj

A x b A x b i m A x b=

= = = =


Teorema Kronecker-Capelli :

Ecuaii principale, respectiv variabile principale.

Ecuaii secundare, respectiv variabile secundare.

Prin eliminarea ecuaiilor secundare, considerm:

Pentru m = n, avem soluia unic:

Pentru m < n, avem o infinitate de soluii.

Exist m coloane liniar independente ale matricei A, care formeaz

o matrice de baz:

Restul coloanelor formeaz matricea R.

( ) ( ) { }min ,rang A rang A b r m n= =

( ) .rang A m n= 1

.x A b=

( )1 2 ... .mss sB A A A=


Partiionarea matricei: ( ).A B R= Notm mulimea de indici corespunztoare coloanelor lui B cu

{ }1 2, ,..., ,ms s s=Biar mulimea de indici corespunztoare coloanelor lui R cu

{ }1,2,..., \ .n=R B

Partiionarea variabilei n care,, ,nx

x xx

=

R

B

R

( ) ( )1 2, ,..., m mi s s six x x x x= = RB B f variabile de baz (principale)( ) n mj jx x = RR R variabile secundare


1 1A x b B x R x b x B b B R x = + = = B R B R

Vectorul se numete soluie a sistemului dacnv R .A v b =

O soluie a sistemului este numit soluie de baz, dac componentele ei diferite de zero corespund unor coloane liniar independente ale matricei A.

Deoarece rang(A) = m, cel mult m componente ale unei soluii de baz pot fi nenule. Dac soluia de baz are exact m componente nenule, ea se numete nedegenerat; n caz contrar ea este degenerat.

Pentru orice baz B, se poate obine o soluie de baz: 1B bv

vv

= = 0

B B

R R


Probleme de optimizare liniar

maximizare

concordant neconcordant

O problem de optimizare const din minimizarea sau maximizarea unei anumite funcii - numit funcie obiectiv - n prezena unor restricii care trebuie satisfcute.

( ){ } ( ){ }inf | sup |f x x f x x = P PEste suficient s studiem doar probleme de minimizare, deoarece

n R . RFie iTipuri de restricii n raport cu felul problemei de optimizare:

,x f ,x f ,x f ,x f

minimizare

concordant neconcordant


Forma general:

Conine toate tipurile de restricii i variabile care pot aprea.

{ }1 1 2 2 3 311 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

1 3

concordante egalitate necon

inf

n rapo

cordante

rt cu

c x c x c x

A x A x A x bA x A x A x bA x A x A x b

x x

+ +

+ + + + =

+ + 0 0

f f f

Datele problemei: , , , 1 3, 1 3.i j jim n nmij i jA b c i j R R RNecunoscutele problemei sunt grupate n trei variabile vectoriale:

,1 3,jnjx j R1

2

3

are componente nenegativeoarecare

are componente nepo

;

;

zitive.

x

x

x


Forma standard:

Conine restricii egalitate i variabile nenegative.

{ }inf , 0c x A x b x = fDatele problemei: , , .m n m nA b c R R R

Forma canonic:

Conine restricii concordante i variabile nenegative.

{ }inf , 0c x A x b x fDatele problemei: , , .m n m nA b c R R R


Forma mixt:

Conine restricii concordante i egalitate, i variabile nenegative.

1 1

2 2

inf , 0A x b

c x xA x b

=

f

Datele problemei:1 1

2 2

1 1

2 2

,

, .

,

m n m

n

m n m

A bc

A b

R RR

R R

Formele problemelor de programare liniar sunt echivalente!

Alegerea formei n funcie de necesiti:

forma standard pentru algoritmi;

forma canonica pentru dualitate.


Transformri echivalente:

Sensul unei inegaliti se schimb prin nmulire cu 1. Transformarea unei inegaliti ntr-o ecuaie:

y se numete variabil ecart (slack variable). Transformarea unei ecuaii n inegaliti:

O variabil nepozitiv

O variabil oarecare

, 0x x y

yx x y

+ =

=

f f

f f

xx

x

=

f

f

f

0 0.x x x =

,

unde 0, 0.x x x x

x x

+

+

=

R


Teorema fundamental a programri liniareConsiderm problema de programare liniar n forma standard:

{ }inf | ,c x A x b x = 0f (P)Fr a restrnge generalitatea, presupunem: ( ) .rang A m n= =f

este evident o soluie de baz.

Dac sunt liniar independente, atunci v este o soluie admisibil de baz.

0k v= = 01.k { }1 2, ,..., kA A A

Considerm: Rezult:( )1 2, , ,..., ,0,...,0 .n ky y y y y =R f,i .y A y =0 0

Definim vectorul: ( ) , .x v y = + RAvem: ( ) ( ) ,A x A v y A v A y A v b = + = + = =deci, este o soluie a sistemului pentru orice( )x A x b = . R

Dac sunt liniar dependente,astfel nct:

1, 1, , 0,

k

i ii

y i k y=

= >R

1.

k iii

A y=

= 0{ }1 2, ,..., kA A A


Deoarece avem:( ) 0, 1, ,ix i k n = = +( ) ( ) 0, pentru 1, .i i ix x v y i k = + =0

dac 0, dac 0.i ii ii i

v vy yy y

> > =

>

<


nv RFie o soluie optim a problemei (P) cuRaionm analog ca n cazul precedent:

0, 1, .iv i k> =

Dac sunt liniar dependente, exist un interval astfel nct este soluie admisibil.

{ }1 2, ,..., kA A A[ ] ( )', '' x v y = +

( )c v c x c v c y = + f f f fDin relaia: [ ], avem 0.c y f

Observaie: Deoarece 0, 0 0.c y < > =f

n caz contrar, lund contradicie!

{ } 0,sign c y c y =


n general, mulimea soluiilor admisibile a problemei (P) este infinit, spre deosebire de cea a soluiilor admisibile de baz, care are cel mult elemente. Importana teoremei fundamentale a programrii liniare const n aceea c, pentru determinarea unei soluii optime, dac ea exist, cutarea este redus de la o mulime infinit, la una finit, fiind suficient investigarea doar a soluiilor de baz.

Cnm


Teoremele algoritmului simplexConsiderm problema de programare liniar n forma standard:

{ }inf | ,c x A x b x = 0f (P)( ), , , .m n m nA b c rang A m n =


n raport cu baza B, soluia de baz este:1x x B b

xx

= = =

0 0B

R

Matricea de baz B se numete primal admisibil, dac 1 .B b 0Funcia obiectiv se poate exprima astfel:

( ) ( )j

jj

jj j j j j

j j

z c x c x c x c x Y x c x

c x c Y c x z z c x

= = + = + =

= =

f f f f f

f f

B B R R B R RR

B BR R

unde am notat: , ,1 .jjz c x z c Y j n= = B Bf f

Teorem (optim): Fie B o baz primal admisibil. Dac ( ) 0,j jz c pentru orice atunci baza B este optim.,j RDemonstraie. Pentru orice soluie admisibil avem:nv R

( ) .j j jj

z c v z z c v z

= = R

f


Teoremele algoritmului simplexConsiderm problema de programare liniar n forma standard:

{ }inf | ,c x A x b x = 0f (P)( ), , , .m n m nA b c rang A m n =


Soluia de baz corespunztoare lui B :1x x B b

xx

= = =

0 0B

R

Matricea de baz B se numete primal admisibil, dac 1 .B b 0Funcia obiectiv se poate exprima astfel:

( ) ( )j

jj

jj j j j j

j j

z c x c x c x c x Y x c x

c x c Y c x z z c x

= = + = + =

= =

f f f f f

f f

B B R R B R RR

B BR R

unde am notat: , ,1 .jjz c x z c Y j n= = B Bf f

Teorem (optim): Fie B o baz primal admisibil. Dac ( ) 0,j jz c pentru orice atunci baza B este optim.,j RDemonstraie. Pentru orice soluie admisibil avem:nv R

( ) .j j jj

z c v z z c v z

= = R

f


Teorem (optim infinit): Fie B o baz primal admisibil. Dac exist un indice astfel nct i atunci problema (P) are optimul (-)infinit.

( ) 0,k kz c >,k R 1 ,k kY B A= 0

Demonstraie. Fie Definim vectorul:

( ) ( )( ) ( )( )

, undek

loc k n mloc k

x x Yx e

x e

= =

=

R

R

B

R

R

este vector unitar.

, 0. R

Se verific fr dificultate c: ( )( ) ( ) ( )

,

.

k k

x

A x B x R x b A A b

= + = + =

0

B R

Rezult, este soluie admisibil pentru (P).( )0, x Funcia obiectiv este: ( ) ( ) ( )

( ) ( )k k k kc x c x c x

c x Y c z z c

= + =

= + =

B B R R

B

f f f

f

Deoarece rezult:( ) 0,k kz c > ( )lim .c x = f


Observaie.

n condiiile Teoremei de optim infinit, baza B definete o soluie nenul a sistemului omogen

( ),k

n

loc k

v Yv v

v e

= =

= R

B

R

R

{ }, :A x x = 0 0

Acest vector reprezint o direcie (raz) de-a lungul creia soluiile admisibile

( ) xx v = + 0

B

Rsunt nemrginite.

Vectorul v se mai numete direcia spre ()infinit, i mpreun cu soluia de baz, pentru descrie o muchie nemrginit a domeniului de admisibilitate.

[ )0, ,


Lema (substituiei): Fie nesingular i vectorul Considerm matricea:

( )1 2 mss s m mB A A A = R{ }1 2, , ,..., .k m mA k s s s =BR

( )1 1 1 .mr r ss s k sAB A A A A += Notm vectorul ( )1 1 2, ,..., .k k k k mkY B A y y y= = fAu loc urmtoarele afirmaii:

.

Pentru avem:

( )det 0 0, .rk rB y unde r loc s = B0,

rky ( )1 1rB E B =

unde 1, 1,1 1,..., , , ,...,r k r kk mkrk rk rk rk rk

y yy yy y y y y

+

=

f

( ) ( )1 1 11

,

10

ik

rkr r m

r

rk

yy

E e e e e

y

+

= =

1 .i me este vector unitar cu in pozitia iR


Demonstraie. Din notaia rezult:1k kY B A=1

jm

sk kjk

jA B Y A y

=

= =

Prin absurd, coloanele lui liniar dependente. Contradicie!0rky = B

Prin absurd, are coloanele liniar dependente. Deci, existdet 0B =

1, 0,

m

j jj

=

>R astfel nct1,

.

jm

s

jr

kr

j jA A

=

+ = 0

Avem: n caz contrar obinem Contradicie!det 0.B =nlocuind pe Ak i regrupnd termenii, obinem:

( )1,

,j r

ms s

j jk r rk rj j r

A y A y =

+ + = 0

adic o combinaie liniar de coloane ale matricei B care este egal cu zero i deci toi coeficienii trebuie s fie nuli. Dar, Contradicie!0.rk ry

Fie det 0.B

Fie acum 0.rky

0.r


Coloanele lui B i coincid pentru Avem deci,B .j r

, .

js jA B e j r=

1

jm

skjk

jA A y

=

=0,rky Deoarece din relaia rezult:

1,

1jrm

s jks k

j j r rk rk

yA A A B

y y

=

= + =

Prin urmare, putem scrie:

( ) ( )1 1.r rB B E B E B = =


Teorem (schimbarea bazei): Fie o baz primal admisibil. Presupunem c exist astfel nct i vectorul are cel puin un element pozitiv. Dac alegem indicele astfel nct

( ) 0k kz c >,k R1k kY B A=

( ), ,r rs loc s r =BB

1min 0 ,ir iki m

rk ik

xx yy y

= >

( )1 2 mss sB A A A=

atunci, matricea este o baz primal

admisibil, pentru care

( )1 1 1 mr r ss ks sAB A A A A += )

1 1.z c B b c B b z

= = BBf f

Demonstraie. Evident, Din Lema substituiei rezult c este o matrice nesingular.Trebuie artat c

B0.rky >

1.B b

0


( ) ( )1 1r rB b E B b E x = = =

1

10

ik iki r

rk rki

r r

rk rk

y yx x

y yx

x x

y y

= =

0.rrk

x

yEvident, Dac 0, 0.rik i ik

rk

xy x yy

<

Dac 0

0

0, 0.ir rik i ik ikrk ik rk

xx xy x y yy y y

>

> =

14243


innd seama c pentru avem obinem: k B ( ) ,loc k r=B ( ) ( )1 1r rz c B b c E B b c E x = = = = B B Bf f f

( )1

, , , ,

10

i

ik

rk

s k

rk

yy

c c x

y

= =


, , , ,i

i

s ik ks

i r rk rk

c y cc x

y y

= + =

i i

rs i s ik k

i r i r rk

xc x c y c

y

=

r r

rs r s rk

rk

xc x c y

y+ =

( )1 1 0

0

.

i i

k

m m

r rs i s ik k k k

i i rk rk

z z

x xc x c y c z z c z

y y= =

>

= =

14243123 14243


Paii algoritmului simplex Pasul 0. Se determin (dac exist?!) o baz primal admisibil B i se

calculeaz B-1. Pasul 1. Se calculeaz

Pasul 2. (test de optimalitate) Dac atunci s-a obinut valoarea optim i soluia optim de baz STOP.

Pasul 3. (test de optim infinit) Dac pentru care i atunci problema are optim (-)infinit. STOP.

Pasul 4. (schimbarea bazei) Se alege cu i de determin astfel nct

Se formeaz matricea se calculeaz inversa

1 1, , , .x B b z c x Y B A z c c Y c = = = = B B

f f f f f

,z c 0, .x x x= = 0B R

k R 0k kz c > ,kY 0

k R 0k kz c >( ), ,r rs loc s r =B1min 0 .ir iki m

rk ik

xx yy y

= >

\ ,rs kB B A A= U ( )1 1rB E B = i se revine la Pasul 1.

,z


Formule pentru schimbarea bazei

Fiecare iteraie a algoritmului simplex este caracterizat de inversa bazei primal admisibile B-1. 1

1

1

1; ;;

;

x B bz c x c B bY B Az c c

u c Bb

AY c

u

u c

=

= = =

=

=

=

=

B B

B

Bf f

f f f ff

f f

f

f

Componentele vectorului u se numesc multiplicatori simplex.Componentele lui z c se numesc costuri reduse.

Recalcularea elementelor din algoritmul simplex n urma schimbrii unei baze se face cu ajutorul Lemei substituiei. (Sunt cunoscui indicii sr i k , precum i vectorul Yk .)

Valoarea nou Formul de calcul cu valori vechi


Notm: ( )1 11

i mijj m

B

= ( )1 11

ij i mj m

B

=

pentru 1, , , 1, ;

pentru 1, .

rj ikij ij

rk

rjrj

rk

yi m i r j m

y

j my

= = =

= =

Valorile pentru noua invers a matricei de baz:

( )1 1,rB E B = Avem:

de unde rezult:


( ) ( )1 1

1

10

r r

ik iki r

rk rki

r r

rk rk

x B b E B b E x

y yx x

y yx

x x

y y

= = = =

= =

( ) pentru ;

unde pentru .

iki i r

rk

rr

rk

yx x x i r

yx

x r loc k ky

=

= =

B

Valorile soluiei de baz:


( ) ( )1 1, , , ,is k ru c B c c E B = = Bf f

, , , ,i

i

i i r r

ijs ik k

j si r rk rk

rj

rj rks ij s ik k s rj s rj

i r i r rk rk

c y cu c

y y

yc c y c c c

y y

= + =

= +

Componenta j:

( ) , 1 .rjj j k krk

u u z c j my

=

Valorile pentru multiplicatorii simplex:


( ) ( )1 1ik

ij rjrk

j j j jr r

rj

rk

yy yy

Y B A E B A E Yyy

= = = =

Pentru matricea coloana este: 1

,Y B A

=

, 1,j

Y j n=

pentru 1, , ;ikij ij rjrk

rjrj

rk

yy y y i m i ry

yy

y

= =

=


1

1

m

j jj

z c B b u b u b

=

= = = Bf f

Valoarea funciei obiectiv:

( ) ( )1 1 1

m m mrj k k

j k k j j j rj jj j jrk rk

z cz u z c b u b b

y y

= = =

= =

( )k kr

rk

z cz z x

y

=


( )( )

1

1 1

1 1

j jj j j j

m m

rii ij j i k k ij j

i i rk

m mk k

i ij j ri iji irk

z c c B A c u A c

u a c u z c a cy

z cu a c a

y

= =

= =

= = =

= = =

=

Bf f

Valoarea costurilor reduse:

( ) ( ) , 1 .k k rjj j j jrk

z c yz c z c j n

y

=


Organizarea calculelor

Tabloul simplex standard

cj ck

cB V.B x x j x k

csi x si x i yij yik

csr x sr x r yrj yrk

z zj cj zk ck

xB x Y B1 A

z z c

1i

m

s ii

z c x=

=

1i

m

j j s ij ji

z c c y c=

=


Tabloul simplex revizuit xB x B1

z u

cB V.B. x k

csi x si x i ij yik

csr x sr x r rj yrk

z uj zk ck

1i

m

s ii

z c x=

=

1i

m

j s iji

u c =

=

0kk k kz c u A c = >f

1k kY B A=


Regula dreptunghiului

Linia pivotului se mparte la pivot:

Coloana pivotului devine un vector unitar:

Restul elementelor din tablou, se calculeaz dup regula dreptunghiului:

Elementul se numete pivot. Restul elementelor le redenumim0,rky .ijt

, 0, .rjrj

rk

tt j n

y= =

1i 0, 1, 1, .rk ikt t i m i r= = = +

1, 1, ,,

0, , .rj ik

ij ijrk

t t i m i rt t

y j n j k = +

= =


Determinarea unei baze primal admisibileConsiderm problema de programare liniar n forma standard:

{ }inf | ,c x A x b x = 0f (P), .,,

m n m nbA b c 0R R Runde

{ }min | , ,a a amx A x x b x x + = e I 0 0fAcestei probleme i asociem problema artificial:

(Pa)( )1,...,1 ,m= e f R ( )1 2, ,..., ,a mn n n mx x x x+ + += f Runde

iar Im este matricea unitate de ordinul m .

Proprieti ale problemei (Pa) :

matricea restriciilor:

Im este o baz primal admisibil:

are o soluie optim finit:

( ) ( ) ( ), ;m n mm mA rang A m n m + = < +I I R1 ;m b b

= I 0

10.

ma a

a n ii

x z x x +=

= 0 = ef


Concluzie: (Pa) se poate rezolva cu algoritmul simplex.Fie B baza optim a problemei (Pa) iar mulimea indicilor de baz.BTeorem. Dac valoarea minim a problemei (Pa), atunci problema iniial (P) nu are soluie.

0,az >

Demonstraie. Prin absurd, dac (P) are o soluie admisibil, conform TFPL are i o soluie admisibil de baz.

Fie B* baza corespunztoare. Ea este format doar din coloane ale matricei A !

Avem: deci B* este baz primal admisibil i pentru (Pa), iar

variabilele xa sunt secundare!

Deci, (Pa) are o soluie admisibil (de baz), pentru care,

Teorem. Dac atunci i B este o baz primal admisibil a problemei iniiale (P).

{ }1,..., ,n n m + + = B 0az =

Demonstraie. Evident, B este format doar din coloane a matricei A.

1*

,B b 0

valoarea optim. Contradicie.0a a ax x z= =


Teorem. Dac valoarea minim a lui (Pa) este i exist pentru care atunci,i restricia i0 din (P) este o combinaie liniar de celelalte restricii.

0az = 0 ,n i+ B( )

0 0 00, 1, , ,i jy j n i loc n i= = = +B ( ) 1rang A m

Demonstraie. Notm: i( )1 11

i mijj m

B

= ( ) 1 .i jY y B A= = Din ipotez,

0 0 0 0 0 001 1,

0 , 1, .m m

i j i k kj i k kj i i i jk k k i

y a a a j n = =

= = = + =

Deoarece B conine vectorul n B-1 vom avea0 ,ie0 0

1.i i =Deci,

0 001,

, 1, ,m

i j i k kjk k i

a a j n=

= = 0 001,

,

m

i i k kk k i

A A=

=

adic, linia este combinaie liniar de celelalte linii. Deci,0i

A ( ) 1.rang A m Sistemul fiind compatibil, rezult i

0 001,

.

m

i i k kk k i

b b=

=


Observaie. Dac toate variabilele artificiale au valoarea zero ! inclusiv cele care au mai rmas n baz.

0,az =

Variabilele artificiale din bazcare au valoarea zero, pot fi:

eliminate mpreuncu restricia asociat.

Teorem. Dac valoarea minim a lui (Pa) este i exist pentru care atunci, se poate

efectua o schimbare de baz prin care vectorul unitar din B s fie nlocuit de coloana Ak.

0az = 0 ,n i+ B( ) { }

00 0, 1,..., , 0 ,i ki loc n i k n y= + B

0ie

Demonstraie. Din Lema substituiei, ( )0 0 det 0.i ky B n plus, din formulele de schimbare a bazei, deoarece

0

1 1, 1, ,0

.

i ii

x x i m B b B bx

z z

= = = =

=

0

sau

nlocuite cu o variabila problemei date.


Metoda celor dou faze

Faza 1. Se rezolv (Pa)cu baza iniial Im.

0az =(P) nu are

soluie.nu

0n i + B

Faza 2. Se rezolv (P)cu baza admisibil B.

00i jy =

1,j n =

Se elimin restricia i0Se nlocuiete cu0n ix + kx

da

da da

nu

nu

(P) are optim infinit.(P) are optim finit. STOP

STOP


Exemple


Degenerare i ciclare

Descreterea funciei obiectiv:( )k k

r

rk

zxz

cz

y

=

Metoda perturbrii (A. Charnes, 1952)( ){ } ( )

1inf , cu , 0.

nj j

jc x A x b x b b A

=

= = + >0f

Propoziia 1. Fie B = (A1, , Am) o baz primal admisibil. Atunci exist astfel nct0B > ( ) ( ) ( )1 0, 0, .Bx B b = > Demonstraie. Avem ( ) ( )11 , unde ,..., I .n j j m mjx x Y Y Y == + =

0r

x

Pe componente, pentru ( )1

1, , 1 .n

i j ii i ij

j mi m x x y

= +

= = + +

Rezult, 0,i >Lum { }1min ,..., .B m = Rezult, ( ) ( )0, , 0.B x >

( ) 0.i ix >suficient de mic, pentru care


Propoziia 2. Fie B primal admisibil n condiiile Teoremei de schimbare a bazei i Atunci, astfel nct criteriul de ieire din baz este ndeplinit pentru un singur indice

Observaie. Dac n algoritmul simplex alegerea indicelui r nu este unic, dup efectuarea iteraiei se obine o soluie de baz degenerat.

( ) ( )0, 0, .Bx > ' 0 >( ), 0, ' :r

Demonstraie. Trebuie ca

( ) ( )1min 0 .r i iki m

rk ik

x xy

y y

= >

( ) ( ), cu 0, 0 ,s st t stsk tk

sk tk

x xs t y y

y y

> >

10.

nsj tj js t

stjsk tk sk tk

y yx xy y y y

=

+

adic, Dac 0,s t

sk tk

x x

y y

=

,1 , 0. Altfel, det 0 !sp tpsk tk

y yp p n B

y y

=

Lum { }' min 0 , 0, 0 .st sk tks t y y = > > >


Dualitate n optimizarea liniarProblema 1.

D1 = 13 D2 = 17

B1 = 12

B2 = 8

B3 = 10

5

2

3

3

4

2

S se distribuie marfa din depozite la beneficiari, n aa fel nct, costul total de transport s fie minim.

{ }11 12 13 21 22 2311 12 13

21 22 23

11 21

12 22

13 23

min 5 2 3 3 4 21317

128

100, 1, 2, 1, 2,3.ij

x x x x x x

x x x

x x x

x x

x x

x x

x i j

+ + + + +

+ + +

= =

Dac notm

cantitatea de marf transportat de la depozitul Di ctre beneficiarul Bj, modelul matematic este:

, 1, 2, 1,2,3,ijx i j= =


Problema 2.

D1 = 13

D2 = 17

Cumpr Vnd

B1 = 12

B2 = 8

B3 = 10

u1

u2

v1

v3

v2

Condiie: diferena dintre preul de vnzare i cel de cumprare s nu depeasc costul unitar de transport de la depozitul Di la beneficiarul Bj.

{ }1 2 1 2 31 1

2 1

3 1

1 2

2 2

3 2

max 13 17 12 8 10523342

0, 1, 2, 0, 1,2,3.i j

u u v v v

v u

v u

v u

v u

v u

v u

u i v j

+ + +

= =

S se stabileasc costurile de cumprare i vnzare a mrfii n aa fel nct s se obin un beneficiu maxim.


{ }1 1 2 2 3 311 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

1 3

inf

n raport cu

c x c x c x

A x A x A x bA x A x A x bA x A x A x bx x

+ +

+ +

+ + =

+ +

0 0

f f f

{ }1 1 2 2 3 311 1 21 2 31 3 1

12 1 22 2 32 3 2

13 1 23 2 33 3 3

1 3

sup

n raport cu

b u b u b u

A u A u A u cA u A u A u cA u A u A u cu u

+ +

+ +

+ + =

+ +

0 0

f f f

f f f

f f f

f f f

Problema primal:

Problema dual:

( P )

( D )

=========================================================================


Reguli de asociere a problemelor duale

Unei probleme de minimizare i corespunde o problem de maximizare, i reciproc.


{ }1 1 2 2 3 311 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

1 3

inf

n raport cu

c x c x c x


+ +

+ +

+ + =

+ +

0 0

f f fProblema primal:

Problema dual:

( P )

( D )

=========================================================================

{ }1 1 2 2 3 311 1 21 2 31 3 1

12 1 22 2 32 3 2

13 1 23 2 33 3 3

1 3

sup

n raport cu

b u b u b u


+ +

+ +

+ + =

+ +

0 0

f f f

f f f

f f f

f f f




Coeficienii din funcia obiectiv a unei probleme devin coeficienii termenului liber n cealalt problem, i reciproc.


{ }1 1 2 2 3 311 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

1 3

inf

n raport cu

c x c x c x


+ +

+ +

+ + =

+ +

0 0

f f f

{ }1 1 2 2 3 311 1 21 2 31 3 1

12 1 22 2 32 3 2

13 1 23 2 33 3 3

1 3

sup

n raport cu

b u b u b u


+ +

+ +

+ + =

+ +

0 0

f f f

f f f

f f f

f f f

Problema primal:

Problema dual:

( P )

( D )

=========================================================================





Matricea restriciilor dintr-o problem este matricea transpus din cealalt problem, i reciproc.


{ }1 1 2 2 3 311 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

1 3

inf

n raport cu

c x c x c x


+ +

+ +

+ + =

+ +

0 0

f f f

{ }1 1 2 2 3 311 1 21 2 31 3 1

12 1 22 2 32 3 2

13 1 23 2 33 3 3

1 3

sup

n raport cu

b u b u b u


+ +

+ +

+ + =

+ +

0 0

f f f

f f f

f f f

f f f

Problema primal:

Problema dual:

( P )

( D )

=========================================================================





Matricea restriciilor dintr-o problem este matricea transpus din cealalt problem, i reciproc.

Fiecrei restricii dintr-o problem i corespunde o variabil n cealalt problem, i reciproc.Relaia de asociere este urmtoarea: unei restricii concordante i corespunde o variabil nenegativ

i reciproc; unei restricii egalitate i corespunde o variabil oarecare (fr

condiii de semn), i reciproc; unei restricii neconcordante i corespunde o variabil nepozitiv

i reciproc.

( )0 ,

( )0 ,


{ }1 1 2 2 3 311 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

1 3

inf

n raport cu

c x c x c x


+ +

+ +

+ + =

+ +

0 0

f f f

{ }1 1 2 2 3 311 1 21 2 31 3 1

12 1 22 2 32 3 2

13 1 23 2 33 3 3

1 3

sup

n raport cu

b u b u b u


+ +

+ +

+ + =

+ +

0 0

f f f

f f f

f f f

f f f

Problema primal:

Problema dual:

( P )

( D )

=========================================================================


{ }{ }{ }{ }

{ }

primala n form standard: inf | ,problema dual: sup |primala n form canonic: inf | ,problema dual: sup | ,

inf

primala n form mixt: n raprt cu:

c x A x b x

b u A u c

c x A x b x

b u A u c u

c x

=

0

0

0

f

f f

f

f f

f

{ }

1 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1

,

sup

problema dual: n raprt cu:,

A x bx

A x b

b u b u

A u A u cu

=

+

+

0

0

f f

f f


Teoreme de dualitateFie , ,m n m nA b c R R R i definim domeniile de admisibilitate:

{ } { }| , , | ,n mx A x b x u A u c u= = 0 0R RP D fConsiderm perechea de probleme (canonice) duale:

{ }{ }

inf | ...........................sup | ...........................

c x x

b u u

P

D

f

f

( P )( D )

Teorem (dualitate slab). Dac domeniile de admisibilitateatunci are loc relaia:

, , P D, ,x u P D

.c x b u f f

Demonstraie. Pentru avem:

,

A x bu A x u b

u

00

f f.

xx A u x c

A u c

00

f f f

f

, ,x u P D

Prin urmare, .c x x A u u A x b u = f f f f f


Teorem (dualitate tare). Dac domeniile de admisibilitatei astfel nct atunci, este soluie

optim pentru (P) i este soluie optim pentru (D) .

, , P D, ,x u P D ,c x b u = f f x

u

Demonstraie. Presupunem prin absurd c nu este optim pentru (P).xAtunci, astfel nct Contradicie!0x P 0 .c x c x b u < = f f f

Teorema (fundamental a dualitii). Fiind dat perechea de probleme duale (P) i (D) doar una din urmtoarele afirmaii are loc:

a) i n cazul acesta i soluii optime pentru (P), respectiv (D), astfel nct

b) i c) i sau i n cazul acesta problema

care are soluii admisibile are optimul infinit.

. P D.c x b u = f f,x u P D

.= = P D = P D .= P D


Demonstraie. Considerm matricea ptratic de ordinul n+m+1:

0

n

m

A cS A b

c b

=

00

f

f f

Deoarece putem aplica consecina Lemei Farkas-Minkowski:exist astfel nct i

,S S= f1, ,

n mz z+ + 0R .S z S z z + >0 0Notm: unde Avem:

, , .n mx u r R R R

,

,

0,

x

u

r

00

, (1), (2)

0, (3)

A u crA x br

c x b u

+

+

00

f

f f

, (4), (5)

0. (6)

x A u crA x u br

c x b u r

+ >

+ >

+ + >

00

f

f f

( ), , ,z x u r= f

0r > 0r =


Cazul 0.r > Definim: i x ux u

r r= =

Evident, mprind relaiile (1) i (2) la r, obinem:i .x u 0 0 i .A x b A u c f

Deci, i ,x u P D

Din dualitatea slab

Din relaia (3) / rc x b uc x b u

f f

f f.c x b u = f f

Din dualitatea tare rezult optime pentru (P), respectiv (D).ix u

i . P Dadic,


00 0 din (2)

0,x

x c x A uA u c

00 123

f f f

f

Nu putem avea i . P DPrin absurd, dac exist avem:

0 0i ,x u P D

0

00 din (1)

0,A x b

u b u A xu

00

f f

deci, Contradicie! cu (6)0 .x c u b f f

Rezult:

i .= = P D

i sau i . = = P D P D

Cazul 0.r =


Presupunem, spre exemplu, c exist 0 .x P

Definim vectorul ( ) 0 , , 0.x x x = + RAvem evident i( )x 0

( ) 0 00 din (2)

.A x A x A x A x b

= +

Deci, ( ), 0 , .x R P

00, din (1)din (6)

0,c x b u x A u

< f f f fDeoarece

rezult, ( ) 00

lim lim .c x c x c x

+ >

0

0

f

Demonstraie. Rezult din (4) i (5) pentru cazul r > 0 .Teorem (slab a ecarturilor complemetare). FieAtunci,

, .x u P Dx este soluie optim pentru (P) u este soluie optim pentru (D)

( )( )

0,

0.

u A x b

x c A u

=

=

f

f f

Demonstraie. Din TFD a) rezult: Deci,0.c x b u =f fc x b u A x x Au u+ = f f ff f ( ) ( ) 0.u A x b x c A u + =f f f

0 0Adunm membru cu membru relaiile din enun i obinem: .c x b u = f f

Din teorema de dualitate tare rezult ca soluiile sunt optime.


Algoritmul simplex dualConsiderm problema de programare liniar n forma standard:

{ }inf | ,c x A x b x = 0f (P)i duala ei, { }sup |b u A u c f f (D)

( ), , , .m n m nA b c rang A m n =


Matricea de baz B se numete dual admisibil, dac 1c B A c f fB

Teorem (optim): Dac baza B este primal i dual admisibil, atunci ea este optim pentru problemele (P) i (D).

Algoritmul simplex primal:

Determin B(i)primal admisibil

i = 0

STOP

B(i) dual admisibil ?

B(i) optim !

i i + 1

da

da

nu

nu(P) are optim

( ) ?


Algoritmul simplex dual:

Determin B(i)dual admisibil

i = 0

STOP

B(i) primal admisibil ?

B(i) optim !i i + 1

da

da

nu

nu

Teorem (domeniu vid). Fie B o baz dual admisibil. Dac exist o component pentru care atunci problema (P) nu are soluie.

0,ix < 0, 1, ,ijy j n =

Demonstraie. Notm i linia i a lui B1.1u c B= f fB1

iB

Definim vectorul: ( ) 1, , 0.iu u B = f f R

(D) are optim (+ ) ?


Pentru orice avem:1, ,j n=

( ) 1j j jiu A u A B A = f fijyjz

j ijz y= 0

dual admis.B

deci, este o soluie admisibil pentru problema (D).( )0, u

Valoarea funciei obiectiv este: ( ) 1i iu b u b B b z x = = f f

( ) ( )lim lim .iu b z x = + = +f0>

Problema (D) are optimul + i din T.F.D. rezult c (P) nu are soluie.

jcjz jc( ) ju A f


Teorem (schimbarea bazei): Fie o baz dual admisibil i componenta pentru care exist Dac alegem indicele astfel nct

( )1 2 mss sB A A A= 0,rx < 0.rjj cu y


( ) ( ) .k k rjj j j jrk

z c yz c z c

y

=

Din formulele de schimbare a bazei avem:

B fiind dual admisibil, rezult: ( ) 0, 1, .j jz c j n =Dac evident0,rjy 0.j jz c

Dac avem:0,rjy < 0.j j k kj j rjrj rk

z c z cz c y

y y

=

0

0 0 este suficient s lum

Notm1 1 1 1

0.m n m n

i j iji j i j

S a b x= = = =

= = = Dac 0 0 0, , .i j ijS a b x i j= = = =

1 1 1, 1, .

m m mi j j

ij i ji i i

a b bx a b j n

S S= = =

= = = =

1 1 1, 1, .

n n ni j i

ij j ij j j

a b ax b a i m

S S= = =

= = = =

Observaie. Putem considera mereu , 1, ,0 1, .ij i m jc n= =

0, 1, , 1, .i jija b

x i m j nS

= = =

{ }11

0pentru max ,0iji m

j nc

=

( )1 1 1 1 1 1 1 1

m n m n m n m n

ij ij ij ij ij ij iji j i j i j i j

c x c x x c x S = = = = = = = =

+ = + = +

= constant1 10

m n

iji j

ij xc= =

(PT) are optim finit !


1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

= a1

= a2

= am

= b1= b2

= bn

x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmnoferta

cererea

Structura matricei restriciilor:

Teorema. Rangul matricei este = m + n 1.Demonstraie. Rangul este < m + n .

( )11 21 1,1 1 2det , , , , , , 1 0.m m m mnA A A A A A = Se elimin linia m + 1

i atunci,


Metoda colului de N V.

1i j= = { }min ,ij i jx a b= i i ijj j ij

a a x

b b x

?0ia =

1j j +

1i i +

?i j m n+ +Stop

da

danu

nu

13

17

11

19

7 18 9 16 10

Exemplu.

Determinarea unei soluii iniiale de baz



x11 13

17

11

19

7 18 9 16 10

Exemplu.


a a x

b b x

?0ia =

1j j +

1i i +

?i j m n+ +Stop

da

danu

nu




7 6

17

11

19

0 18 9 16 10

Exemplu.


a a x

b b x

?0ia =

1j j +

1i i +

?i j m n+ +Stop

da

danu

nu




7 x12 6

17

11

19

0 18 9 16 10

Exemplu.


a a x

b b x

?0ia =

1j j +

1i i +

?i j m n+ +Stop

da

danu

nu




7 6 0

17

11

19

0 12 9 16 10

Exemplu.


a a x

b b x

?0ia =

1j j +

1i i +

?i j m n+ +Stop

da

danu

nu




7 6 0

x22 17

11

19

0 12 9 16 10

Exemplu.


a a x

b b x

?0ia =

1j j +

1i i +

?i j m n+ +Stop

da

danu

nu




7 6 0

12 5

11

19

0 0 9 16 10

Exemplu.


a a x

b b x

?0ia =

1j j +

1i i +

?i j m n+ +Stop

da

danu

nu




7 6 0

12 x23 5

11

19

0 0 9 16 10

Exemplu.


a a x

b b x

?0ia =

1j j +

1i i +

?i j m n+ +Stop

da

danu

nu




7 6 0

12 5 0

11

19

0 0 4 16 10

Exemplu.


a a x

b b x

?0ia =

1j j +

1i i +

?i j m n+ +Stop

da

danu

nu




7 6 0

12 5 0

x33 11

19

0 0 4 16 10

Exemplu.


a a x

b b x

?0ia =

1j j +

1i i +

?i j m n+ +Stop

da

danu

nu




7 6 0

12 5 0

4 7

19

0 0 0 16 10

Exemplu.


a a x

b b x

?0ia =

1j j +

1i i +

?i j m n+ +Stop

da

danu

nu




7 6 0

12 5 0

4 x34 7

19

0 0 0 16 10

Exemplu.


a a x

b b x

?0ia =

1j j +

1i i +

?i j m n+ +Stop

da

danu

nu




7 6 0

12 5 0

4 7 0

19

0 0 0 9 10

Exemplu.


a a x

b b x

?0ia =

1j j +

1i i +

?i j m n+ +Stop

da

danu

nu




7 6 0

12 5 0

4 7 0

x44 19

0 0 0 9 10

Exemplu.


a a x

b b x

?0ia =

1j j +

1i i +

?i j m n+ +Stop

da

danu

nu




7 6 0

12 5 0

4 7 0

9 10

0 0 0 0 10

Exemplu.


a a x

b b x

?0ia =

1j j +

1i i +

?i j m n+ +Stop

da

danu

nu




7 6 0

12 5 0

4 7 0

9 x45 10

0 0 0 0 10

Exemplu.


a a x

b b x

?0ia =

1j j +

1i i +

?i j m n+ +Stop

da

danu

nu




7 6 0

12 5 0

4 7 0

9 10 0

0 0 0 0 0

Exemplu.


a a x

b b x

?0ia =

1j j +

1i i +

?i j m n+ +Stop

da

danu

nu




7 6 13

12 5 17

4 7 11

9 10 19

7 18 9 16 10

Exemplu.


a a x

b b x

?0ia =

1j j +

1i i +

?i j m n+ +Stop

da

danu

nu



Determinarea unei soluii iniiale de bazMetoda costului minim.

{ }min ,ij i jx a b= i i ijj j ij

a a x

b b x

?0ia =

{ }\I I iStop

da

nu

{ }{ }1,2, ,1, 2, ,

I m

J n

=

=

{ }

,

minij rkr I k J

c c

=

{ }\J J j? ?

I J= =

nu

da

13

17

11

19

7 18 9 16 10

Exemplu.

5 8 2 4 3

4 3 4 1 5

3 4 2 1 3

2 3 2 1 3

Matricea costurilor




a a x

b b x

?0ia =

{ }\I I iStop

da

nu

{ }{ }1,2, ,1, 2, ,

I m

J n

=

=

{ }

,

minij rkr I k J

c c

=

{ }\J J j? ?

I J= =

nu

da

13

x24 17

11

19

7 18 9 16 10

Exemplu.

5 8 2 4 3

4 3 4 1 5

3 4 2 1 3

2 3 2 1 3

Matricea costurilor




a a x

b b x

?0ia =

{ }\I I iStop

da

nu

{ }{ }1,2, ,1, 2, ,

I m

J n

=

=

{ }

,

minij rkr I k J

c c

=

{ }\J J j? ?

I J= =

nu

da

Exemplu.

Matricea costurilor

13

16 1

11

19

7 18 9 0 10

5 8 2 4 3

4 3 4 1 5

3 4 2 1 3

2 3 2 1 3




a a x

b b x

?0ia =

{ }\I I iStop

da

nu

{ }{ }1,2, ,1, 2, ,

I m

J n

=

=

{ }

,

minij rkr I k J

c c

=

{ }\J J j? ?

I J= =

nu

da

Exemplu.

Matricea costurilor

x13 13

16 1

11

19

7 18 9 0 10

5 8 2 4 3

4 3 4 1 5

3 4 2 1 3

2 3 2 1 3




a a x

b b x

?0ia =

{ }\I I iStop

da

nu

{ }{ }1,2, ,1, 2, ,

I m

J n

=

=

{ }

,

minij rkr I k J

c c

=

{ }\J J j? ?

I J= =

nu

da

Exemplu.

Matricea costurilor

9 4

16 1

11

19

7 18 0 0 10

5 8 2 4 3

4 3 4 1 5

3 4 2 1 3

2 3 2 1 3




a a x

b b x

?0ia =

{ }\I I iStop

da

nu

{ }{ }1,2, ,1, 2, ,

I m

J n

=

=

{ }

,

minij rkr I k J

c c

=

{ }\J J j? ?

I J= =

nu

da

Exemplu.

Matricea costurilor

9 4

16 1

11

x41 19

7 18 0 0 10

5 8 2 4 3

4 3 4 1 5

3 4 2 1 3

2 3 2 1 3




a a x

b b x

?0ia =

{ }\I I iStop

da

nu

{ }{ }1,2, ,1, 2, ,

I m

J n

=

=

{ }

,

minij rkr I k J

c c

=

{ }\J J j? ?

I J= =

nu

da

Exemplu.

Matricea costurilor

9 4

16 1

11

7 12

0 18 0 0 10

5 8 2 4 3

4 3 4 1 5

3 4 2 1 3

2 3 2 1 3




a a x

b b x

?0ia =

{ }\I I iStop

da

nu

{ }{ }1,2, ,1, 2, ,

I m

J n

=

=

{ }

,

minij rkr I k J

c c

=

{ }\J J j? ?

I J= =

nu

da

Exemplu.

Matricea costurilor

9 x15 4

16 1

11

7 12

0 18 0 0 10

5 8 2 4 3

4 3 4 1 5

3 4 2 1 3

2 3 2 1 3




a a x

b b x

?0ia =

{ }\I I iStop

da

nu

{ }{ }1,2, ,1, 2, ,

I m

J n

=

=

{ }

,

minij rkr I k J

c c

=

{ }\J J j? ?

I J= =

nu

da

Exemplu.

Matricea costurilor

9 4 0

16 1

11

7 12

0 18 0 0 6

5 8 2 4 3

4 3 4 1 5

3 4 2 1 3

2 3 2 1 3




a a x

b b x

?0ia =

{ }\I I iStop

da

nu

{ }{ }1,2, ,1, 2, ,

I m

J n

=

=

{ }

,

minij rkr I k J

c c

=

{ }\J J j? ?

I J= =

nu

da

Exemplu.

Matricea costurilor

9 4 0

x22 16 1

11

7 12

0 18 0 0 6

5 8 2 4 3

4 3 4 1 5

3 4 2 1 3

2 3 2 1 3




a a x

b b x

?0ia =

{ }\I I iStop

da

nu

{ }{ }1,2, ,1, 2, ,

I m

J n

=

=

{ }

,

minij rkr I k J

c c

=

{ }\J J j? ?

I J= =

nu

da

Exemplu.

Matricea costurilor

9 4 0

1 16 0

11

7 12

0 17 0 0 6

5 8 2 4 3

4 3 4 1 5

3 4 2 1 3

2 3 2 1 3




a a x

b b x

?0ia =

{ }\I I iStop

da

nu

{ }{ }1,2, ,1, 2, ,

I m

J n

=

=

{ }

,

minij rkr I k J

c c

=

{ }\J J j? ?

I J= =

nu

da

Exemplu.

Matricea costurilor

9 4 0

1 16 0

x35 11

7 12

0 17 0 0 6

5 8 2 4 3

4 3 4 1 5

3 4 2 1 3

2 3 2 1 3




a a x

b b x

?0ia =

{ }\I I iStop

da

nu

{ }{ }1,2, ,1, 2, ,

I m

J n

=

=

{ }

,

minij rkr I k J

c c

=

{ }\J J j? ?

I J= =

nu

da

Exemplu.

Matricea costurilor

9 4 0

1 16 0

6 5

7 12

0 17 0 0 0

5 8 2 4 3

4 3 4 1 5

3 4 2 1 3

2 3 2 1 3




a a x

b b x

?0ia =

{ }\I I iStop

da

nu

{ }{ }1,2, ,1, 2, ,

I m

J n

=

=

{ }

,

minij rkr I k J

c c

=

{ }\J J j? ?

I J= =

nu

da

Exemplu.

Matricea costurilor

9 4 0

1 16 0

6 5

7 x42 12

0 17 0 0 0

5 8 2 4 3

4 3 4 1 5

3 4 2 1 3

2 3 2 1 3




a a x

b b x

?0ia =

{ }\I I iStop

da

nu

{ }{ }1,2, ,1, 2, ,

I m

J n

=

=

{ }

,

minij rkr I k J

c c

=

{ }\J J j? ?

I J= =

nu

da

Exemplu.

Matricea costurilor

9 4 0

1 16 0

6 5

7 12 0

0 5 0 0 0

5 8 2 4 3

4 3 4 1 5

3 4 2 1 3

2 3 2 1 3




a a x

b b x

?0ia =

{ }\I I iStop

da

nu

{ }{ }1,2, ,1, 2, ,

I m

J n

=

=

{ }

,

minij rkr I k J

c c

=

{ }\J J j? ?

I J= =

nu

da

Exemplu.

Matricea costurilor

9 4 0

1 16 0

x32 6 5

7 12 0

0 5 0 0 0

5 8 2 4 3

4 3 4 1 5

3 4 2 1 3

2 3 2 1 3




a a x

b b x

?0ia =

{ }\I I iStop

da

nu

{ }{ }1,2, ,1, 2, ,

I m

J n

=

=

{ }

,

minij rkr I k J

c c

=

{ }\J J j? ?

I J= =

nu

da

Exemplu.

Matricea costurilor

9 4 0

1 16 0

5 6 0

7 12 0

0 0 0 0 0

5 8 2 4 3

4 3 4 1 5

3 4 2 1 3

2 3 2 1 3




a a x

b b x

?0ia =

{ }\I I iStop

da

nu

{ }{ }1,2, ,1, 2, ,

I m

J n

=

=

{ }

,

minij rkr I k J

c c

=

{ }\J J j? ?

I J= =

nu

da

Exemplu.

Matricea costurilor

9 4 13

1 16 17

5 6 11

7 12 19

7 18 9 16 10

5 8 2 4 3

4 3 4 1 5

3 4 2 1 3

2 3 2 1 3



Matricea costurilor

9 4 13

1 16 17

5 6 11

7 12 19

7 18 9 16 10

5 8 2 4 3

4 3 4 1 5

3 4 2 1 3

2 3 2 1 3

7 6 13

12 5 17

4 7 11

9 10 19

7 18 9 16 10

Metoda colului de N V.Costul total = 193

Metoda costului minim. Costul total = 137


Soluii iniiale de baz

Matricea costurilor

9 4 13

1 16 17

5 6 11

7 12 19

7 18 9 16 10

5 8 2 4 3

4 3 4 1 5

3 4 2 1 3

2 3 2 1 3

7 6 13

12 5 17

4 7 11

9 10 19

7 18 9 16 10

Metoda colului de N V.Costul total = 193

Metoda costului minim. Costul total = 137Este soluia optim ?


Matricea costurilor

9 4 13

1 16 17

5 6 11

7 12 19

7 18 9 16 10

5 8 2 4 3

4 3 4 1 5

3 4 2 1 3

2 3 2 1 3

3 10 13

6 11 17

6 5 11

7 12 19

7 18 9 16 10

O soluie mai bun.Costul total = 132



Testul de optimalitate

1 1min

m n

ij iji j

c x= =

n raport cu1

, 1, ,n

ij ij

x a i m=

= =

1, 1, ,

m

ij ji

x b j n=

= =

0, 1, , 1, .ijx i m j n = =

Forma standard a problemei de transport:

(PT)

Condiia de existen a soluiei:

1 10, 1, ; 0, 1, ; .

m n

i j i ji j

a i m b j n a b= =

= = =


1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

= a1

= a2

= am

= b1= b2

= bn

x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn

c11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmn

Structura datelor n problema de transport:

Rangul matricei restriciilor este m + n 1.Matricea restriciilor este total unimodular: orice minor = +1, 1 sau 0.


Fie B o baz optim i soluia optim de baz a problemei (PT).

( ), ,ijx i j B

( )0, , , 1 ,1 .ij ijz c i j i m j n n particular, pentru ( ), , 0.ij iji j z c =BDar, unde( ) ( ) ( ) ( )1 1o o o, , .ij ij ij m nij i jz c B A u v A u v A + = = = + RBf f fRezult,

( )( )

, , ,

, , .

i j ij

i j ij

u v c i ju v c i j

+ = +

BB

Dac este o soluie optim de baz, atunci

va fi soluia optim a dualei problemei (PT).( ), ,ijx i j B

( ) ( ), , ,i ju v i j B

Avem:


1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

= a1

= a2

= am

= b1= b2

= bn

x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn

c11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmn

Duala problemei de transport:

u1

u2

um

v1

v2

vn

1 1max , 1, , 1,

m n

i i j j i j iji j

a u b v u v c i m j n= =

+ + = =

(DT)


Teorema slab a ecarturilor complementare: Fie soluiile admisibile respectiv pentru (PT) i (DT).Acestea sunt optime, dac i numai dac,

( ), , , 1 ,1 ,ij i jx u v i m j n

10, 1, ,

n

i ij ij

u x a i m=

= =

10, 1, ,

m

j ij ji

v x b j n=

= =

( ) 0, 1, , 1, .ij i j ijx u v c i m j n + = = =Dac soluia admisibil de baz este: ( )0, , ,ijx i j> B

( )0, , .i j iju v c i j+ = Bpentru ca aceasta s fie optim, trebuie ca:

Condiii evident satisfcute !

Problem: Cum putem identifica existena unei soluii admisibile a problemei duale (DT) care s verifice condiia de optimalitate ?

Condiii evident satisfcute pentru

( )0, , .ijx i j= B


( ), , .i j iju v c i j+ = BConsiderm sistemul:Acesta are ecuaii i m + n variabile.( ) 1card m n= + BRangul matricei acestui sistem este m + n 1, deci sistemul este compatibil nedeterminat.

Rezolvarea sistemului: se d unei variabile ui sau vj o valoare arbitrar, iar restul variabilelor se calculeaz succesiv din ecuaiile respective.

Fie soluia obinut., 1, , , 1, ,i ju i m v j n= =Dac ( ), , ,i j iju v c i j+ B soluia este dual admisibil.Teorema ecarturilor complementare

soluie de baz optim pentru problema (PT).

( ), , ,ijx i j B

Dac ( ), , 0 ,r k rk rk rkr k u v c z c + = >Bsoluia de baz nu ndeplinete condiia de optimalitate pentru problema (PT).

( ), , ,ijx i j B


Schimbarea soluiei de bazFie ( ), , .r k rkr k u v c + >B Se introduce n baz variabila 0.rkx x= Schimbarea bazei conform algoritmului simplex:

( )( )

( )( )( ) ( )

( )( )

, , \ , ,

0.

ij rkij ij st

st rk

strk

st rk

yx x x i j s t

y

xx x

y

=

= =

B

( )( ) ( ) ( )( )( )( )min 0

ijstij rkij

st rk ij rk

xx yy y

= >B

Criteriul de ieire din baz:( )\ ,s tB

Recalcularea valorilor corespunztoare noii baze: ( ) ( )\ , ,s t r k= UB B

Care sunt valorile componentelor vectorului ?( ) ( )1 ork rkY B A=


Considerm dou selecii de cte p indici distinci:{ } { }1 2 1 2, , , 1, 2, , , , , , 1, 2, , .p pi i i m j j j n

Definiie. Mulimea perechilor ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 1, , , , , , , , , ,p p pi j i j i j i j i jse numete ciclu.

Observaie: orice ciclu are un numr par de elemente = 2p.Propoziie. Dac mulimea indicilor (i,j) a unor coloane A(ij) din matricea restriciilor a problemei (PT) formeaz un ciclu, atunci aceste coloane sunt liniar dependente.

Demonstraie. Notm vectorul unitar: .i m ne +R ( )ij i m j m nA e e + + = + R

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 31 1 1 2 2 231 1 1 2 2 2 2

1

p p p

p p p

i j i ji ji j i j i j

m ji m j i m j i m j i

i m j i m j

A A A A A Ae e e e e e e e

e e e e

++ + +

+ +

+ + + =

+ + + +

+ +

0.=

Corolar. Mulimea indicilor de baz nu conine cicluri.B


Propoziie. Pentru orice pereche exist un ciclu unic format din aceast pereche i elemente din

( ), ,r k B.B

Determinarea elementelor lui ( ) ( )1 o .rk rkY B A=

( ) ( )( )( )

( )( )

o o

rk rk ijij rk

ijA B Y y A

= = B

Avem: Combinaie liniar (unic) cu vectorii A(ij) din baz.

Dar exist i un ciclu unic: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 1 1, , , , , , , , , ,p p pr k r j i j i j i k= CBB

pentru care ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 .p p pi j i krk rj i j i jA A A A A A= + +

0 1 2 2p-2 2p-1

Rezult: ( )( )

( )( )( )

1 pentru , de ordin 1 pentru , de ordi pan

0 pentru ,

imparrij rk

i jy i j

i j

=

CCC


= + 1

( )( ) ( ) ( )( )( )( )min 0

ijstij rkij

st rk ij rk

xx yy y

= >B

Criteriul de ieire din baz:

( ){ }min , de ordin impar st ijx x i j= Cadic,

Perechea de indici va prsi baza( ),s t .B


Formulele de schimbare a soluiei de baz:

( )( )

( )( )( ) ( )

( )( )

, , \ , ,

0.

ij rkij ij st

st rk

strk

st rk

yx x x i j s t

y

xx x

y

=

= =

B

= + 1, 1, 0

= + 1

Rezult:( )( )( )

pentru , de ordin imparpentru , de ordin parpentru ,

ij

ij ij

ij

x x i jx x x i j

x i j

= +

CCC


Matricea costurilor

9 4 13

1 16 17

5 6 11

7 12 19

7 18 9 16 10

5 8 2 4 3

4 3 4 1 5

3 4 2 1 3

2 3 2 1 3


Exemplu( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,5 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 2 , 3,5 , 4,1 , 4, 2=B


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,5 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 2 , 3,5 , 4,1 , 4, 2=B

Matricea costurilor

9 4 13

1 16 17

5 6 11

7 12 19

7 18 9 16 10

0

5 8 2 4 3

4 3 4 1 5

3 4 2 1 3

2 3 2 1 3

ui

vj

Rezolvarea sistemului: pentru

Valoare iniial: v2 = 0 .( ) ,i j iju v c i j+ = B


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,5 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 2 , 3,5 , 4,1 , 4, 2=B

Matricea costurilor

9 4 13

1 16 17

5 6 11

7 12 19

7 18 9 16 10

0

5 8 2 4 3

3 4 3 4 1 5

3 4 2 1 3

2 3 2 1 3

ui

vj




( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,5 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 2 , 3,5 , 4,1 , 4, 2=B

Matricea costurilor

9 4 13

1 16 17

5 6 11

7 12 19

7 18 9 16 10

0

5 8 2 4 3

3 4 3 4 1 5

4 3 4 2 1 3

2 3 2 1 3

ui

vj




( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,5 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 2 , 3,5 , 4,1 , 4, 2=B

Matricea costurilor

9 4 13

1 16 17

5 6 11

7 12 19

7 18 9 16 10

0

5 8 2 4 3

3 4 3 4 1 5

4 3 4 2 1 3

3 2 3 2 1 3

ui

vj




Matricea costurilor

9 4 13

1 16 17

5 6 11

7 12 19

7 18 9 16 10

0 -2

5 8 2 4 3

3 4 3 4 1 5

4 3 4 2 1 3

3 2 3 2 1 3

ui

vj



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,5 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 2 , 3,5 , 4,1 , 4, 2=B


Matricea costurilor

9 4 13

1 16 17

5 6 11

7 12 19

7 18 9 16 10

0 -2 -1

5 8 2 4 3

3 4 3 4 1 5

4 3 4 2 1 3

3 2 3 2 1 3

ui

vj



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,5 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 2 , 3,5 , 4,1 , 4, 2=B


Matricea costurilor

9 4 13

1 16 17

5 6 11

7 12 19

7 18 9 16 10

-1 0 -2 -1

5 8 2 4 3

3 4 3 4 1 5

4 3 4 2 1 3

3 2 3 2 1 3

ui

vj



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,5 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 2 , 3,5 , 4,1 , 4, 2=B


Matricea costurilor

9 4 13

1 16 17

5 6 11

7 12 19

7 18 9 16 10

-1 0 -2 -1

4 5 8 2 4 3

3 4 3 4 1 5

4 3 4 2 1 3

3 2 3 2 1 3

ui

vj



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,5 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 2 , 3,5 , 4,1 , 4, 2=B


Matricea costurilor

9 4 13

1 16 17

5 6 11

7 12 19

7 18 9 16 10

-1 0 -2 -2 -1

4 5 8 2 4 3

3 4 3 4 1 5

4 3 4 2 1 3

3 2 3 2 1 3

ui

vj



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,5 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 2 , 3,5 , 4,1 , 4, 2=B


Matricea costurilor

9 4 13

1 16 17

5 6 11

7 12 19

7 18 9 16 10

-1 0 -2 -2 -1

4 5 8 2 4 3

2 4 3 4 1 5

4 3 4 2 1 3

2 2 3 2 1 3

ui

vj



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,5 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 2 , 3,5 , 4,1 , 4, 2=B


Matricea costurilor

9 4 13

1 16 17

5 6 11

7 12 19

7 18 9 16 10

-1 0 -2 -2 -1

4 5 8 2 4 3

3 4 3 4 1 5

4 3 4 2 1 3

3 2 3 2 1 3

ui

vj

Test de optimalitate: pentru ?( ) ,i j iju v c i j+ B( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,5 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 2 , 3,5 , 4,1 , 4, 2=B


Matricea costurilor

9 4 13

1 16 17

5 6 11

7 12 19

7 18 9 16 10

-1 0 -2 -2 -1

4 5 8 2 4 3

3 4 3 4 1 5

4 3 4 2 1 3

3 2 3 2 1 3

ui

vj

Test de optimalitate: pentru ?( ) ,i j iju v c i j+ B( )3 4 34 3, 4u v c+ > B !

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,5 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 2 , 3,5 , 4,1 , 4, 2=B


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,5 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 2 , 3,5 , 4,1 , 4, 2=B

( ){ }3,4=C

Matricea costurilor

9 4 13

1 16 17

5 +x 6 11

7 12 19

7 18 9 16 10

-1 0 -2 -2 -1

4 5 8 2 4 3

3 4 3 4 1 5

4 3 4 2 1 3

3 2 3 2 1 3

ui

vj

mbuntirea soluiei de baz.Determinarea unui ciclu.


( ) ( ){ }3,4 , 3,2=C

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,5 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 2 , 3,5 , 4,1 , 4, 2=B

Matricea costurilor

9 4 13

1 16 17

5-x +x 6 11

7 12 19

7 18 9 16 10

-1 0 -2 -2 -1

4 5 8 2 4 3

3 4 3 4 1 5

4 3 4 2 1 3

3 2 3 2 1 3

ui

vj



( ) ( ) ( ){ }3,4 , 3,2 , 2,2=C

Matricea costurilor

9 4 13

1+x 16 17

5-x +x 6 11

7 12 19

7 18 9 16 10

-1 0 -2 -2 -1

4 5 8 2 4 3

3 4 3 4 1 5

4 3 4 2 1 3

3 2 3 2 1 3

ui

vj


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,5 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 2 , 3,5 , 4,1 , 4, 2=B


Matricea costurilor

9 4 13

1+x 16-x 17

5-x +x 6 11

7 12 19

7 18 9 16 10

-1 0 -2 -2 -1

4 5 8 2 4 3

3 4 3 4 1 5

4 3 4 2 1 3

3 2 3 2 1 3

ui

vj


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,5 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 2 , 3,5 , 4,1 , 4, 2=B

( ) ( ) ( ) ( ){ }3,4 , 3,2 , 2,2 , 2,4=C


( ) ( ) ( ) ( ){ }3,23,4 , , 2 , 4,2 , 2=C

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,5 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 2 , 3,5 , 4,1 , 4, 2=B

Matricea costurilor

9 4 13

1+x 16-x 17

5-x +x 6 11

7 12 19

7 18 9 16 10

-1 0 -2 -2 -1

4 5 8 2 4 3

3 4 3 4 1 5

4 3 4 2 1 3

3 2 3 2 1 3

ui

vj


x = min { 5, 16 } = 5


Matricea costurilor

9 4 13

6 11 17

5 6 11

7 12 19

7 18 9 16 10

2 3 2 1 3

0 5 8 2 4 3

0 4 3 4 1 5

0 3 4 2 1 3

0 2 3 2 1 3

ui

vj


Valoare iniial: u1 = 0 .( ) ,i j iju v c i j+ = B

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,5 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 4 , 3,5 , 4,1 , 4, 2=B


Matricea costurilor

9 4 13

6 11 17

5 6 11

7 12 19

7 18 9 16 10

2 3 2 1 3

0 5 8 2 4 3

0 4 3 4 1 5

0 3 4 2 1 3

0 2 3 2 1 3

ui

vj

Test de optimalitate: pentru ?( ) ,i j iju v c i j+ B( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,5 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 4 , 3,5 , 4,1 , 4, 2=B


Matricea costurilor

9 4 13

6 11 17

5 6 11

7 12 19

7 18 9 16 10

2 3 2 1 3

0 5 8 2 4 3

0 4 3 4 1 5

0 3 4 2 1 3

0 2 3 2 1 3

ui

vj

Test de optimalitate: pentru ?( ) ,i j iju v c i j+ BSoluie optim. Valoarea optim = 137 + 5(1 4 + 3 1) = 132

+

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,5 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 4 , 3,5 , 4,1 , 4, 2=B


Matricea costurilor

9 4 13

6 11 17

5 6 11

7 12 +x 19

7 18 9 16 10

2 3 2 1 3

0 5 8 2 4 3

0 4 3 4 1 5

0 3 4 2 1 3

0 2 3 2 1 3

ui

vj

Condiie: pentru De exemplu,( ) ( ) , . .4,3i j iju v c i j+ = B BDeterminarea unei alte soluii optime:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,5 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 4 , 3,5 , 4,1 , 4, 2=B

( ){ }4,3=C


Matricea costurilor

9-x 4 13

6 11 17

5 6 11

7 12 +x 19

7 18 9 16 10

2 3 2 1 3

0 5 8 2 4 3

0 4 3 4 1 5

0 3 4 2 1 3

0 2 3 2 1 3

ui

vj


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,5 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 4 , 3,5 , 4,1 , 4, 2=B

( ) ( ){ }4,3 , 1,3=C


Matricea costurilor

9-x 4+x 13

6 11 17

5 6 11

7 12 +x 19

7 18 9 16 10

2 3 2 1 3

0 5 8 2 4 3

0 4 3 4 1 5

0 3 4 2 1 3

0 2 3 2 1 3

ui

vj


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,5 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 4 , 3,5 , 4,1 , 4, 2=B

( ) ( ) ( ){ }4,3 , 1,3 , 1,5=C


Matricea costurilor

9-x 4+x 13

6 11 17

5 6-x 11

7 12 +x 19

7 18 9 16 10

2 3 2 1 3

0 5 8 2 4 3

0 4 3 4 1 5

0 3 4 2 1 3

0 2 3 2 1 3

ui

vj

Condiie:

Documents

Curs 2009-2010