2. A. El paraboloide hiperbólicoLos paraboloides de tipo hiperbólico son la gráfica de una función de la forma

Definida en todo R2. Utilizamos los pasos habituales para obtener la gráfica aproximada de laFunción.Cortes con los ejesLa superficie corta a los tres ejes en el origen de coordenadas; la diferencia con respecto alos hiperboloides de tipo elíptico es que z puede tomar valores positivos y negativos, es decir, laSuperficie corta el plano XY en dicho punto en vez de ser tangente al mismo.

2. A. REPRESENTACIÓN DE SUPERFICIES CUÁDRICAS Curvas de nivelProcedemos de la forma habitual y substituimos z = d en la ecuación de la superficie

y separando la expresión en dos según el signo de la constante d resulta

En el primer caso estamos ante hipérbolas que cortan al eje X en los puntos x = ±a√d,mientras que en el segundo las ramas de las hipérbolas cortan al eje Y en y = ±bp|d|. Enninguno de los dos casos existe restricción sobre d: puede tomar valores arbitrariamente grandeso pequeños, de manera que la superficie no está acotada.SeccionesLas expresiones definitorias de las secciones correspondientes a planos x = d e y = d son

Se trata de parábolas verticales; el punto de corte con el eje Z es z = γ(d, a)2 para planosx = d, y z = −γ(d, b)2 cuando los planos son del tipo y = d.

Utilizando estas expresiones para realizar una representación gráfica cualitativa deducimosque los hiperboloides hiperbólicos presentan el siguiente aspecto

Figura 2.20: Paraboloide hiperbólicodonde se aprecia que la superficie no está acotada y su simetría especular con respecto a losplanos x = 0 e y = 0. Por último mostramos en tres figuras, realizadas con MAPLE, la gráficay las secciones x = 0 e y = 0 del paraboloide hiperbólico de ecuación x2/4 − y2 − z = 0.

Definicón ampliada

El Paraboloide Hiperbólico también se lo conoce bajo los nombres de silla de montar o paso de montaña por su conformación geométrica, pues es una superficie que en una dirección tiene las secciones en forma de parábola con los lados hacia arriba y, en la sección perpendicular, las secciones son en forma de parábola con los lados hacia abajo. Se puede simplificar el concepto afirmando que es un plano alabeado.

Las secciones según planos perpendiculares a los dos anteriores (según la tercera dimensión del espacio) son en forma de hipérbola. Si están por debajo del punto de la silla, en el centro de la figura, los lados de la hipérbola dan la forma de valles. Si están por arriba de este punto, las secciones de la hipérbola dan forma a los picos que flanquean el paso.

EcuaciónEcuación cartesiana:

Paraboloide Hiperbólico

Con los planos z =k: , hipérbolas que cambian de eje con el signo de k.

Si k = 0 se reduce a un par de rectas

Con x =k: parábolas de eje con ramas descendentes y vértices en ascenso.

Con y =k: quedan determinadas parábolas de eje z con ramas ascendentes y vértices en descenso.

La superficie tiene la forma de una silla de montar.

Así el origen parece un máximo local desde una dirección, pero un mínimo local desde una dirección distinta. Tal punto de una superficie se llama punto silla.

PropiedadesEl Paraboloide Hiperbólico tiene las siguientes propiedades:

Aun siendo una superficie curvada, se puede construir con líneas rectas.

Dados cuatro puntos en el espacio que no estén en un mismo plano, hay un único paraboloide hiperbólico que pasa precisamente por estos cuatro puntos.

AplicacionesEl Paraboloide Hiperbólico ha sido una de las superficies que más se han aplicado en arquitectura. Gaudí fue uno de los que la emplearon, pero quien más la ha trabajado ha sido Félix Candela. Dentro de la fauna de las superficies, esta curva es un espécimen ya conocido por los griegos.

La propiedad realmente importante, que motivó el interés tanto de Gaudí como de Candela, es el hecho de que el paraboloide hiperbólico, aun siendo una superficie curvada, se puede construir con líneas rectas. Lo único que se tiene que hacer es ir variando el ángulo de inclinación de una recta que se mueve encima de otra curva. Este tipo de superficies los geómetras las denominan superficies regladas y existen ejemplos en cantidad suficiente en otro arte, en la escultura.

Es de suponer que esta propiedad es la que permitía a Gaudí dar las instrucciones precisas a sus obreros y al capataz cuando éstos tenían que construir un paraboloide hiperbólico en el techo de la Sagrada Familia (iniciada el año 1883).

Gaudí utilizó el paraboloide hiperbólico y también otras superficies doblemente regladas como el Hiperboloide de revolución. El arquitecto de origen español, exiliado a México y después nacionalizado norteamericano, Félix Candela fue quien mostró una maestría sublime en su utilización.

Ejemplos

El mejor ejemplo se puede encontrar en 

Restaurant Los manatiales

el restaurante Los Manantiales (1958) del parque de Choximilco en la ciudad de México. El techo está formado por ocho paraboloides hiperbólicos. La misma estructura se puede encontrar ahora en el nuevo

Oceanogràfic (2002) de la Ciudad de las Artes y de las Ciencias de Valencia. Otro ejemplo fue El Parque_Güell diseñado por el arquitecto Gaudí con códigos del estilo modernismo catalán, con cubiertas de bóvedas catalanas en forma de paraboloide hiperbólico.

Su construcciónDados cuatro puntos en el espacio que no estén en un mismo plano, hay un único paraboloide hiperbólico que pasa precisamente por estos cuatro puntos. Ésta es la misma propiedad que dice que dos puntos determinan una única recta.

Lo que tenían que hacer los obreros era unir con sendas barras uno de los pares de puntos de una parte, y el otro par opuesto por la otra. Después sólo se tiene que dejar resbalar otra barra sobre las dos anteriores manteniendo una velocidad constante en los extremos.