Cuaderno Métodos Númericos

MODELOS, COMPUTADORAS Y ANALISIS DE ERROR

Los metodos numericos constituyen tecnicas, mediante las cuales el posible formular problemas matematicos, de tal forma que pueden resolverse utilizando operaciones aritmeticas.

Aunque existen muchos tipos de metodos numericos estos comparten una caracteristica comun. Invariablemente requiere n de un buen numero de tediosos calculos aritmeticos, no es raro que con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rapidas, el papel de los metodos numericos en la solucion de problemas de ingenieria, hayan aumentado de forma considerable en los ultimos años.

MÉTODOS SIN COMPUTADORA

Además de proporcionar un aumento en la potencia de cálculo, la disponibilidad creciente de las computadoras y su asociación con los métodos han influido de manera significativa de la solución a cuál de los problemas en ingeniería. Antes de la era de las computadoras los ingenieros solo contaban con 3 métodos para la solución de problemas.

1.- Se encontraban las soluciones de algunas problemas usando métodos exactos y analíticos dicho soluciones resultaban útiles y proporcionaban una comprensión excelente de comportamiento de algunas sistemas. No obstante las soluciones analíticas solo pueden encontrarse para una clase limitada de problemas. Estos incluyen aquellos que pueden aproximarse mediante modelos lineales y también aquellos que tiene una geometría simple y de bajas dimensiones. En consecuencia, las soluciones analíticas, tiene un valor práctico limitado porque la mayoría de los problemas reales son no lineales, e implican formas y procesos complejos.

2.- Para analizar el comportamiento de los sistemas que se usaban soluciones graficas, las cuales tomaban la forma o monograma; aunque las técnicas graficas se utilizan a menudo para resolver problemas complejos los resultados no son muy precisos. Además, las soluciones graficas sin la ayuda de una computadora son un extremo tediosas y difíciles de implementar. Finalmente, las técnicas graficas están limitadas a los problemas que pueden describirse usando 3 dimensiones o menos.

3.- Para implementar los métodos numéricos se utilizaban calculadoras y reglas de cálculo. Aunque en teoría dichas aproximaciones deberían de ser, perfectas adecuados para resolver problemas complicados, en la práctica se presentaban varias dificultades debido a que los cálculos manuales son lentos y tediosos.

Además los resultados no son consistentes ya que surgen equivocaciones cuando se efectúan los numerosos cálculos de esta manera.

La era antes de la computadora La era de las computadoras

MODELO MATEMÁTICO Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

El conocimiento y la comprensión son prerrequisitos para la aplicación eficaz de cualquier herramienta si no sabemos cómo funcionan las herramientas por ejemplo tendremos serios problemas para reparar un automóvil aunque la caja de herramientas sea la más completa.

Esta es la realidad particularmente cuando se utilizan computadoras para resolver problemas de ingenieros. Aunque las computadoras tienen una gran utilidad, son prácticamente inútiles si no se comprende el funcionamiento de los sistemas de ingeniería. Esta comprensión es inusualmente es empírica resulta esencial, solo estamos a la mitad del camino. Durante muchos años de observación y experimentación los ingenieros y los científicos han advertido que ciertos aspectos de sus estudios empíricos ocurren una y otra vez. Este comportamiento general puede expresarse como las leyes fundamentales que engloban en esencia el conocimiento acumulada de la experiencia pasada. Así muchos problemas de ingeniería que resuelven con el empleo de un doble enfoque: empírico y análisis teórico.

Formulación: leyes fundamentales explicadas brevemente.

Solución: métodos muy elaborados y con frecuencia complicados para hacer manejable el problema

Interpretación: análisis profundo limitado por una solución que consume tiempo

Formulación: exposición profunda de la relación del problema con las leyes fundamentales

Solución: método de la computadora fácil de usar

Interpretación: la facilidad de calcular permite holísticamente y desarrollar la intuición; es factible estudiar las sensibilidad y comportamiento de los

Debe destacarse que ambos estrechamente relacionados conforme se obtienen nuevos mediciones, las generalizaciones llegan a modificarse o a un descubrirse otros nuevas. En lo particular generalizaciones sirven para organizar principios que se utilizan para sintetizar los resultados de observaciones y experimentos en un sistema coherente y comprensible, del que se pueden obtener conclusiones. Desde la perspectiva de solución de un problema de ingeniería, el sistema es aun más útil cuando el problema se expresa por medio de un modelo matemático.

UN MODELO MATEMÁTICO SIMPLE

Un modelo matemático se define de manera general, como una formulación o una ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o de un proceso en términos matemáticos. En general, el modelo se representa mediante una relación funcional de la forma:

Variable dependiente = F (Variable independiente, parámetros, funciones de fuerza)

Donde la variable dependiente es una característica que generalmente refleja el comportamiento o estudio de un sistema, las variables independientes son, por lo común dimensiones tales como tiempo y espacio, a través de las cuales se determina el comportamiento del sistema; parámetros son el reflejo de las propiedades o la composición del sistema y las funciones de fuerza sin influencias externas que actúan sobre el sistema.

PROGRAMACIÓN Y SOFTWARE

Hemos vistos desarrollos de modelos matemáticos a partir de la fuerza total para predecir un dato. Para el modelo matemático hacer a mano sería muy laborioso y tomaría mucho tiempo pero, con la ayuda de la computadora tales cálculos pueden realizarse fácilmente.

PROGRAMAS COMPUTACIONALES

Los programas computacionales son únicamente conjunto de instrucciones que dirigen a la computadora para realizar una cierta tarea. Hay mucha gente que escribe programas para un amplio rango de aplicaciones en los lenguajes de alto nivel, porque tienen una gran variedad de capacidades.

Aunque habrá algunos ingenieros que usaran toda la amplia gama de capacidades, la mayoría necesitara realizar los cálculos numéricos orientados a una ingeniería.

PROGRAMACIÓN ESTRUCTURADA

En los comienzos de la computación, los programadores nos daban mucha importancia a que sus programas fueran claros y fáciles de entender. Sin embargo ahí se reconoce que escribir programas realizados y bien estructurados.

ALGORITMO

Procedimientos matemáticos general que vamos a aplicar a los problemas que se nos presentan; es un procedimiento matemático que nos indica la seria de pasos y decisiones que normas a tomar para la solución del problemas

CARACTERÍSTICAS.

Finito: Siempre debe terminar en un determinado número de pasos:

Definido: Las acciones deben definirse sin ambigüedad

Entrada: Puede tener una o varias entradas

Salida: Puede tener una o varias salidas

Efectividad.- Todas las operaciones deber de ser los suficientemente básicas para que pueden hacerse en un tiempo no mayor que el de una persona que tenga lápiz y papel.

ERROR

En los cálculos numéricos el optimista pregunta, que tan preciso son los resultados calculados. El pesimista pregunta, que tanto error se ha introducido; desde luego las 2 preguntas corresponden a lo mismo. Sólo que en raras ocasiones los datos proporcionados serán exactos, puesto que suelen originarse en el proceso de medida.

De modo que hay un error probable en la información de entrada. Además, el propio algoritmo introduce error, quizás redondeos innecesarios o inevitables y la información de salida contendrá entonces el error generado por ambas fuentes.

EXACTITUD

Se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa.

PRECISIÓN

Se refiere al número de cifras significativas que representa una cantidad, a esto se refiere cuando se habla de doble precisión, dependiendo de la máquina que estemos utilizando.

DÍGITOS SIGNIFICATIVOS

Son aquellos números diferentes de cero, en una cifra o guarismo, leyendo de izquierda a derecha; empieza con el primer dígito diferente de cero y terminan con el tamaño que permitan las celdas que guardan la matiza.

ERRORES INHERENTES O HEREDADOS

Son errores en los valores numéricos con que se va a operar, puede deberse a 2 causas, sistemáticos o accidentales:

Errores sistemáticos: Debido a la imprecisión de los aparatos de medición.

Errores accidentales: Debido a las apreciaciones del observador y cortas causas

ERROR DE TRUNCAMIENTO:

Se debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación. Sucede cuando se toman solo algunos términos de una serie inf. ó cuando se toma solo un numero finito de intervalos un caso adicional de error de truncamiento ocurre cuando una calculadora poco sofisticada solo toma en cuenta los dígitos que aparecen en la pantalla y no analizan los primeros dígitos perdidos.

ERROR DE REDONDEO

Debido a las limitaciones propias de la máquina para representar cantidades que requieres un gran número de dígitos.

ERROR DE REDONDEO INTERIOR

Se deprecian los dígitos que no pueden conservarse de la localización de memoria correspondiente (pensando de una manera estricta este caso puede considerarse como un truncamiento).

ERROR DE REDONDEO SUPERIOR

Este caso tiene dos alternativas, según el signo del número en particular:

a) Para números positivos: el último digito que puede conservarse en la localización de memoria se incrementa en una unidad si el primer digito despreciado es mayor o igual que el 5.

b) Para los números negativos: el último digito en la localización de memoria se reduce en una unidad si el primer digito despreciado es mayor o igual a 5.

ERROR ABSOLUTO:

Es la diferencia entre el valor de un número y su valor aproximado.

y= valor real

y*= valor aprox.

Ey = |y-y*| (valor absoluto)

ERROR RELATIVO:

Es el cociente del error absoluto entre el valor real

Ry= ey/y

Ry= y-y* Para todo y diferente a cero.

Ejemplos:

Cos x¿1n− x2ⁿ2 !

+ x4 ⁿ

4 !' −x6 ⁿ

6 !+…∑

n=0

∞

((−1)n x2n

(2n ) ! )cos 0.5= 0.8775825619 valor real

Aplicando la serie Taylor

n=0 1+(−1 )° (0.5) ²2 (0 )!

= 1 valor aprox.

Error absoluto:

ey= |y-y*|

ey= |0.877582 -1|

ey= 0.122418

Error Relativo:

ry= ¿ y− y∗¿

y =

eyy

ry= 0.1224180.877582

= 0.324215

Para n=1

1+(−1 )1(0.5)²

(2 (1 ) )!= 1+

−1(0.25)2!

=1−0.125=0.87500000

Ey=|y-y*|= |0.87758256 + 0.87500000 |= 0.00258256

Ry= 0.002582568.7758256

= 0.00294281

Para n=2

1+(−1 )2(0.5)4

(2 (2 ) )!= 1+

1(0.0625)4 !

=1+ 0.062524

=1−0.125+0.00260416=0.87760416

ey= |y-y*|= |0.87758256-0.87760416|= 0.00002160

ry=eyy

= 0.000021600.87758256

= 0.00002461

Para n=3

1+(−1 )3 ¿¿=

1+−1(0.5)6

6 !=1+

−1(0.015625)6 !

=1−0.125+0.00260416−0.00002170=0.87760416

ey= |y-y*|= |0.87758256-0.87760416|= 0.00000010

ry=eyy

= 0.000000100.87758256

= 0.00000011

*Calcular el Cos 0.5 (Rad) Valor real y valor aprox. Utilizando la serie Taylor para las interacciones: n=1, n=2, n=3, n=4.

- calcular el error absoluto, el error relativo

NOTA: como ya se resolvió por serie de Taylor interacción 1, 2, y 3 solo tomamos sus resultados y resolvimos la interacción 4.

n=4

1+ (−1)4(0.5)8

2 (4 )!= 1+

1(0.5)8

8 != 1+

1(0.00390625)40320

= 1-0.125+0.00260416-

0.00002170+0.00000010=0.87758256

ey= |y-y*| = |0.87758256 – 0.87758256| = 0

ry= eyy

= 0

0.87758256= 0

*Calcular para sen (0.5) con la serie de Taylor

- Para n=0 n=1 n=2 n=3 n=4

∑n=0

∞

((−1)n x ² ⁿ+1(2n+1 )! )

-Calcular valor real, valor aproximado, error absoluto, error relativo.

Sen (0.5) = 0.47942554

Para n=0

(-1)° (−1)0(0.5)o2+1

(2 (0 )+1)!=1(0.5)1 !

=0.5

Ey= |y-y*| = |0.47942554 – 0.5|= 0.02057446

Ry= eyy

= 0.20574460.47942554

= 0.04291482

Para n=1

(−1 )1(o .5)2 (1)+1

(2 (1 )+1 ) !=

−1(0.5)3

3 !=

−1 (0.125 )6

=−0.1256

=0.5 - 0.02083333 =0.47916667

Error absoluto

Ey = ly-y*l

Ey = l0.47942554-0.47916667l = 0.00025887

Error relativo

Ry= ¿ y− y∗¿

y= ey

y

Ry=0.000258870.47942554

=0.00053996

Para n=2

(−1)2(0.5)2 (2) +1

(2 (2 )+1 ) !=1(0.5)5

5 !=0.3125

120 = 0.5 – 0.02083333 +0.00026042 =0.47942709

Error absoluto

Ey= |y-y*|

Ey= |0.47942554 – 0.47942709| = 0.00000155

Error relativo

Ry= ¿ y− y∗1∨ ¿y= ey

y¿

Ry=0.000001550.47942554

=0.00000323

Para n=3

(−1)3(0.5)2 (3 )+1

(2 (3 )+1 )!=1(0.5)7

7 !=0.00781250

5040 =0.47942709- 0.00000155 =0.47942554

Error absoluto

Ey= |y-y*|

Ey= |0.47942554 – 0.47942554| = 0

Error relativo

Ry= ¿ y− y∗1∨ ¿y= ey

y¿

Ry=0

0.47942554=0

Para n=4

(−1)3(0.5)2 (4 )+1

(2 (4 )+1 ) !=1(0.5)9

9 !=0.00195313

362880=0.47952554 – 0.00000001=0.47942555

Error absoluto

Ey= |y-y*|

Ey= |0.47942554 – 0.47942555| = 0.00000001

Error relativo

Ry= ¿ y− y∗1∨ ¿y= ey

y¿

Ry=0.000000010.47942554

=0.00000002

*Calcular por exdonde x=0.3 interaccion n=0 a n=8

ex=1+x+ x2

2!+ x3

3 !+…

xn

n!

*Calcular valor real, valor aproximado, error absoluto, error relativo.

Valor real

e0.3=1.34985881 N = 0

Valor aproximado

(0.3)0

0 !=1

Error absoluto

Ey= |y-y*|

Ey= |1.3498588 –1| = 0.34985881

Error relativo

Ry= ¿ y− y∗¿

y= ey

y

Ry=0.349858811.34985881

=0.25918178

Para n=1

(0.3)1

1 !=1+0.3=1.3

Error absoluto

Ey= |y-y*|

Ey= |1.3498588 –1.3| = 0.04985881

Error relativo

Ry= ¿ y− y∗¿

y= ey

y

Ry=0.049858811.34985881

=0.03693631

Para n=2

(0.3)2

2 !=0.09

2=0.045

= 1.3 + 0.045 = 1.34500000

Error absoluto

Ey= |y-y*|

Ey= |1.34985881 –1.34500000| = 0.00485881

Error relativo

Ry= ¿ y− y∗¿

y= ey

y

Ry=0.004858811.34985881

=0.00359949

Para n=3

(0.3)3

3 !=0.027

6=0.0045 = 1.34500000 + 0.0045 = 1.3950000

Error absoluto

Ey= |y-y*|

Ey= |1.34985881 –1.39500000| = 0.00035881

Error relativo

Ry= ¿ y− y∗¿

y= ey

y

Ry=0.000358811.34985881

=0.00026581

Para n=4

(0.3)4

4 !=0.0081

24=0.00033750+1.34950000=1.34983750

Error absoluto

Ey= |y-y*|

Ey= |1.34985881 –1.34983750| = 0.00002131

Error relativo

Ry= ¿ y− y∗¿

y= ey

yRy=

0.000021311.34985881

=0.00001579

Para n=5

(0.3)5

5 !=0.00243

120=0.00002025+1.3498375=1.34985775

Error absoluto

Ey= |y-y*|

Ey= |1.34985881 –1.34985775| = 0.00000106

Error relativo

Ry= ¿ y− y∗¿

y= ey

y

Ry=0.000001061.34985881

=0.00000079

Para n=6

(0.3)6

6 !=0.000729

720=0.00000101+1.34985775=1.34985876

Error absoluto

Ey= |y-y*|

Ey= |1.34985881 –1.34985876| = 0.00000005

Error relativo

Ry= ¿ y− y∗¿

y= ey

y

Ry=0.000000051.34985881

=0.00000004

Para n=7

(0.3)7

7 !=0.0002187

5040=0.00000004+1.34985876=1.34985880

Error absoluto

Ey= |y-y*|

Ey= |1.34985881 –1.34985880| = 0.00000001

Error relativo

Ry= ¿ y− y∗¿

y= ey

yRy=

0.000000011.34985881

=0.00000001

Para n=8

(0.3)8

8 !=0.00006561

40320=0+1.34985880=1.34985880

Error absoluto

Ey= |y-y*|

Ey= |1.34985881 –1.34985880| = 0.00000001

Error relativo

Ry= ¿ y− y∗¿

y= ey

y

Ry=0.000000011.34985881

=0.00000001

*Calcular para x=0.7, n=1, n=2, n=3, n=4

*Valor real, valor aproximado, Error absoluto, Error relativo

ln(x+1)=(−1)n−1 xn

n

Para n=0

ln(0.7+1)=0.53062825 valor real

Valor aprox. (−1)0−1(0.7)0

0=(−1)−1 1

(−1)1=−1

Error absoluto

Ey= ly-y*l = l0.53062825-1l = 0.46937175

Error relativo

Ry= Iy− y∗I

y = 0.469371750.53062825

= 0.88455854

Para n=1

Valor aprox. (−1 )1−1 (0.7 )1

1=1(0.7)1

=−1+0.7=−0.30000000

Error absoluto

Ey= ly-y*l = l0.53062825-0.30000000l = 0.23062825

Error relativo

Ry= Iy− y∗I

y = 0.230628250.53062825

= 0.43463244

Para n=2

Valor aproximado (−1)2−1(0.7)2

2=

−1(0.49)2

=−0.245−0.30000000=−0.54500000

Error absoluto

Ey= ly-y*l = l0.53062825-0.54500000|=0.28562825

Error relativo

Ry= Iy− y∗I

y = 0.285628250.53062825

= 0.53828316

Para n=3

Valor aproximado (−1 )3−1 (0.7 )3

3=1(0.343)

3=0.11433333−0.245=−0.13066667

Error absoluto

Ey= ly-y*l = l0.53062825-0.13066667l= 0.39996158

Error relativo

Ry= Iy− y∗I

y = 0.399961580.53062825

= 0.75375101

Para n=4

Valor aproximado (−1 )4−1 (0.7 )4

4=1(0.2401)

4=−0.060025−0.13066667=−0.19069167

Error absoluto

Ey= ly-y*l = l0.53062825-0.19069167l= 0.33993658

Error relativo

Ry= Iy− y∗I

y = 0.339936580.53062825

= 0.64063038

SOLUCIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS NO LINEALES

Solución o raíz de una ecuación es el valor de x el cual logra satisfacer la ecuación. Su formula general esta expresada de la sig. Manera:

f ( x )=a2 xn +a2 x

n−1+a3 xn−2+a4 xn−3+…..anx+an−1=0

Graficar la sig. función en un plano cartesiano y tabular con:

Inicial para x= -5

Final para x= 5rango

Step incremento= 0.5

f ( x )=¿10x2+12x-5=0

x f(x)-5 185-4.5 143.5-4 107-3.5 75.5-3 49-2.5 27.5-2 11-1.5 -0.5-1 -7-0.5 -8.50 -50.5 3.51 171.5 35.52 592.5 87.53 1213.5 159.54 2034.5 251.55 305

F(x)=10x^2+12x-5=0

x=−b±√b2−4ac2a

A=10

B=12

C=-5

x1=−12+√(12)2−4 (10 )(−5)

2(10)

x1=−12+√144+20020

x1=−12+√34420

x1=−12+18.5472369920

X1= 0.32736184495

x2=−12−√(12)2−4 (10 )(−5)

2(10)

x2=−12−√144+20020

x2=−12−√34420

x1=−12−18.5472369920

X2= -1.52736185

f(x)= 10(0.327)2+12(0.327)-5=0

f(x)= 1.0692+3.924-5= 0.05

f(x)= 10(−1.5270)2+12(0.327)-5=0

f(x)= 23.31729-18.324-5= 0.00671

CAMBIO DE SIGNO DE DESCARTES

El cambio de signo de descartes es el análisis que se hace para localizar las raíces de la tabulación, es el rango.

x f

-2 11Rango donde se encuentra la raíz

-1.5 -0.5

-1 -7

-0.5 -8.5

0 -5

0.5 3.5

1 17

1.5 35.5

2 59

*Calcular las raíces para el sig. Sistema de ecuación.

f(x)= 11 x2-7x-13=0

a) Tabular de -5 a 5 de 0.3b) Graficarc) Realizar por formula general el cálculo d) Determinar el cambio de signo de

descartes

x f(x) x f(x)

-5 297 0.1 -13.59

-4.7 262.89 0.4 -14.04

-4.4 230.76 0.7 -12.51

-4.1 200.61 1 -9

-3.8 172.44 1.3 -3.51

-3.5 146.25 1.6 3.96

-3.2 122.04 1.9 13.41

-2.9 99.81 2.2 24.84

-2.6 79.56 2.5 38.25

-2.3 61.29 2.8 53.64

-2 45 3.1 71.01

-1.7 30.69 3.4 90.36

-1.4 18.36 3.7 111.69

-1.1 8.01 4 135

-0.8 -0.36 4.3 160.29

-0.5 -6.75 4.6 187.56

-0.2 -11.16 4.9 216.81

Nota: Los números sombreados significa en donde se encontró el cambio de signo.

Por formula general:

f(x)= 11 x2-7x-13=0

a= 11

b= -7

c=-13

x=−b±√b2−4ac2a

= 7±√49+57222

x=7±√6222

X2= 7−24.919

22

X2= -0.8145

x1=7+24.91922

X1= 1.4509

f(x)= 11(1.4509)-7(1.4509)-13= 23.15621-10.1563-13= 0.00008

f(x)= 11(-0.8145)-7(-0.8145)-13= 7.29751+5.7015-13= 0.00098725

RELACIÓN DE NEWTON

Sirve para determinar donde existen raíces positivas, su fórmula es la sig:

Xrmax ≤√( a2a1 )

2

−2( a3a1 )

Donde a1, a2, a3 son los primeros coeficientes del polinomio dado.

Ø

Intervalo donde existen raíces positivas

*Ejemplo:

Calcular la relación de newton para el intervalo donde existen raíces positivas.

Para f ( x )=x4−2.0374 x3−15.4245 x2+15.6696 x+35.4936=0


2

−2( a3a1 )

a1 = 1 Xrmax ≤√(−2.03741 )2

−2(−15.42451 )a2 = -2.0374

a4xa3xa2xa1x

a3 = -15.4245 Xrmax ≤√4.1509+30.849

a4 = 15.6696 Xrmax ≤√34.9999=≤5.9160

*Calcular el rango de raíces positivas en base a la relación de Newton

F(x) = x4−5x3−12 x2+76 x−79=0

F(x) = x3−25 x2+164 x−320=0

F(x) = x4−2x2+8 x−4=0

F(x)= x4−5x3−12 x2+76 x−79=0


2

−2( a3a1 )

a1 = 1

a2 = -5

a3 = -2

a4 = 76

El rango de las raíces positivas 0≤x≤5.9160

El rango de las raíces positivas 0≤x≤5.38

F(x) = x3−25 x2+164 x−320=0

a=1

a2=-25

a3=164

a4=-320

F(x) = x4−2x2+8 x−4=0

a1 = 1

a2 = -2

a3 = 8

a4 = -4

El rango de las raíces positivas 0≤x≤ 17.233= 17.233

REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES

La regla de los signos de los signos de descartes especifica que el número de raíces positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes o es menor que este número en una cantidad igual a un entero par.

*Método de búsqueda.

Este método sirve para determinar el intervalo donde existe una raíz

Fórmula: h= xb−xan

donde n= subintervalo

*Calcular las raíces positivas de la función:

f ( x )=x 4−2.0374 x3−15.4245 x2+15.6696 x+35.4936=0

a1= 1 Xrmax ≤√( a2a1 )

2

−2( a3a1 )a2=-2.0374

a3=-15.4245

a4=15.6696

Xrmax ≤√(−2.03741 )2

−2(−15.42451 )= √4.15099876+30.84900000= √34.99999876

=5.91607968 (0≤x≤5.91607968)

*Calcular los intervalos para los subintervalos de n=2

h=5.91607968−02

=2.95803984

f(x)

Raíz

Raiz

*Calcular las raíces positivas de la sig. Función

*Calcular los intervalos para los subintervalos n = 12


2

−2( a3a1 )

a1= 1

a2= -5

a3= -12

(0≤x≤7)

h= xb−xan

=7−012

=0.58333333

Este valor se sustituye en la función f(x)

2 raíces positivasxa 0 35.4936Xa+h 2.95803984 -29.29068846Xa+2h 5.91607968 -391.4689244

X

*Calcular las raíces positivas de las sig. Funciones.

f ( x )=x3−25x2+164 x−320=0

Raíz positiva

Xa 0 -79

Xa+h 0.58333333 -39.62668808Xa+2h 1.16666666 -12.75386825Xa+3h 1.74999999 -0.16796885Xa+4h 2.33333332 -0.87654307Xa+5h 2.91666665 -11.10816899Xa+6h 3.49999998 -24.31249960Xa+7h 4.08333331 -31.16025271Xa+8h 4.66666664 -19.54321105Xa+9h 5.24999997 25.42577779Xa+10h 5.83333330 121.4128013Xa+11h 6.41666663 288.8628822

Xa+12 6.99999996 550.9999782

a) Calcular b) Calcular los intervalosc) Calcular los subintervalos para n = 12d) Realizar la tabla de tabulación y determinar los cambios de signo de

Descartes

a1= 1

a2 =-25

a3=164

Xrmax ≤√(−251 )2

−2( 1641 )=√625−328=√297=17.23368794 (0≤x≤17.23368794)

h= xb−xan

=17.23368794−012

= 1.43614066

X f(x)

Xa 0 -320Xa+h 1.43614066 -133.0733915Xa+2h 2.87228132 -31.49954221Xa+3h 4.30842198 2.49378860Xa+4h 5.74456264 -13.32115847Xa+5h 7.18070330 -61.17214280Xa+6h 8.61684396 -123.2869238Xa+7h 10.05298462 -181.8932607Xa+8h 11.48912528 -219.2189131Xa+9h 12.92526594 -217.4916401Xa+10h 14.36140660 -158.9392014Xa+11h 15.79754726 -25.78935606Xa+12h 17.23368792 199.7301364

f ( x )=x 4−3 x3−2 x2+17.81 x−5=0

a) Calcular Xrmax

b) Calcular los intervalos para subintervalos de n = 13

Raíz positiva

Raíz positivaRaíz positiva

c) Determinar y marcar los cambios de signo de Descartes donde se encuentra la posible raíz

a1= 1

a2= -3

a3= -1

h= xb−xan

=3.60555128−013

=0.27735010

x f(x)

Xa 0 -5Xa+h .27735010 -0.27232758Xa+2h .55470020 3.84646954Xa+3h .83205030 7.18538590Xa+4h 1.10940040 9.71542788Xa+5h 1.38675050 11.54961370Xa+6h 1.66410060 12.94297339Xa+7h 1.94145070 14.29254886Xa+8h 2.21880080 16.13739383Xa+9h 2.49615090 19.15857386Xa+10h 2.77350100 24.17916636Xa+11h 3.05085110 32.16426057Xa+12h 3.32820120 44.22095757Xa+13h 3.60555130 61.59837029

METODO DE BISECCION , METODO DEL MEDIO INTERVALO, BÚSQUEDA BINARIA.

Para xa ≤ x ≤ xb

Raíz positiva

(0≤x≤3.60555128)

Xm = xa+xb2

+xb=xm

f (xm) * f (xb)

-xa=xm

¿ xa+xb2

| ≤ Ep

Una vez que el intervalo contiene la raíz, ha sido localizado por el técnico de búsqueda este puede todavía subdividirse reiteradamente para encerrar aun mas a la raíz localizada.

Este proceso se continúa hasta que el sub intervalo sea tan pequeño que la raíz será determinada. El procedimiento es el sig.:

1) Se determina el punto medio del intervalo

Xm = xa+xb2

2) Se determina el producto f (xm) * f (xb), si este producto es negativo o nos indica que las funciones son de signo contrario, quedando localizada la raíz entre xm y xb, si el producto es f(x) no la atravesado el eje x entre xm y xb y la raíz debe encontrarse entre xa y xm.

3) Se selecciona el intervalo el cual tiene la raíz, se bisecta y se vuelve a repetir el procedimiento, esto se realiza hasta que la raíz es localizada con la precisión deseada aplicando la formula .

|xa+xb2 |≤ Ep≤0.00001

f(x) = x3 - 25x2 + 164x - 320 = 0Intervalo= 2.8722812 ≤ x ≤4.30842189

xaxm =

(xa+xb)/2 xb f ( xa) f (xm) funcion f (xb)|(xa+xb)/2|

≤ Ep ≤ 0.00012.8722812 3.5403525 4.3084218 -31.4995422 -7.174221 2.4937886 0.7183.5403525 3.94938715 4.3084218 -7.174221 -0.64194669 2.4937886 0.179

3.94938715 4.12890448 4.3084218 -0.64194669 1.3329829 2.4937886 0.0853.94938715 4.03914582 4.12890448 -0.64194669 0.4498886 1.3329829 0.0443.94938715 3.99042268 4.03914582 -0.64194669 -0.11612114 0.4498886 0.0243.99042268 4.01478425 4.03914582 -0.11612114 0.17457277 0.4498886 0.0123.99042268 4.00260347 4.01478425 -0.11612114 0.3115348 0.17457277 0.0063.99042268 3.99651308 4.00260347 -0.11612114 -0.0420012 0.03115348 0.0033.99651308 3.99955828 4.00260347 -0.0420012 -0.005303 0.03115348 0.001

Intervalo= 4.30842189 ≤ x ≤ 5.74456264

xaxm =

(xa+xb)/2 xb f ( xa)f (xm)

funcion f (xb)|(xa+xb)/2|

≤ Ep ≤ 0.00014.30842189 5.02649227 5.74456264 2.49378821 -0.29841478 -13.32115847 0.359035194.30842189 4.66745708 5.02649227 2.49378821 2.51534999 -0.29841478 0.17951764.66745708 4.84697468 5.02649227 2.51534999 1.44552772 -0.29841478 0.08975884.84697468 4.93673348 5.02649227 1.44552772 0.65565201 -0.29841478 0.04487944.93673348 4.98161288 5.02649227 0.65565201 0.19887129 -0.29841478 0.02243974.98161288 5.00405258 5.02649227 0.19887129 -0.04474249 -0.29841478 0.011219854.98161288 4.99283273 5.00405258 0.19887129 0.0783259 -0.04474249 0.005609934.99283273 4.99844266 5.00405258 0.0783259 0.01710654 0.04474249 0.002804964.99844266 5.00124762 5.00405258 0.01710654 -0.01373938 -0.04474249 0.00140248

Intervalo= 15.79754726 ≤ x ≤ 17.23368796

xaxm =

(xa+xb)/2 xb f ( xa)f (xm)

funcion f (xb)|(xa+xb)/2|

≤ Ep ≤ 0.000115.7975472

6 16.51561761 17.23368796 -25.789356174.3134223

6 199.7301441 0.3590351815.7975472

6 16.15658244 16.51561761 -25.789356121.2366358

7 74.31342236 0.1795175915.7975472

6 15.97706485 16.15658244 -25.7893561 -3.01535338 21.23663587 0.089758815.9770648

5 16.06682365 16.15658244 -3.01535338 8.92372372 21.23663587 0.044879415.9770648

5 16.02194426 16.06682365 -3.01535338 2.90772722 8.92372372 0.022439715.9770648

5 15.99950456 16.02194426 -3.01535338 -0.06539309 2.90772722 0.0112198515.9995045

6 16.01072441 16.02194426 -0.06539309 1.41826865 2.90772722 0.00560993

15.99950456 16.00511449 16.01072441 -0.06539309 0.67571379 1.41826865 0.00280496

15.99950456 16.00230953 16.00511449 -0.06539309 0.30497999 0.67571379 0.00140248

F(x)= x4-5x3-12x2+76x-79 = 0

Intervalo= 4.66666664 ≤ x ≤ 5.24999997

xaxm = (xa+xb)/2 xb f ( xa)

f (xm) funcion f (xb)

|(xa+xb)/2| ≤ Ep ≤ 0.0001

4.66666664 4.95833331 5.24999997 -19.54321105 -2.26670882 25.42577779 0.14583333

4.95833331 5.10416664 5.24999997 -2.26670882

10.13816317 25.42577779 0.07291667

4.95833331 5.03124998 5.10416664 -2.26670882 3.59323003 10.13816317 0.03645833

4.95833331 4.99479165 5.03124998 -2.26670882 0.57983013 3.59323003 0.01822917

4.95833331 4.97656248 4.99479165 -2.26670882 -0.86402495 0.57983013 0.00911459

4.97656248 4.98567707 4.99479165 -0.86402495 -0.14727754 0.57983013 0.00455729

4.98567707 4.99023436 4.99479165 -0.14727754 0.21497737 0.57983013 0.00227865

4.98567707 4.98795572 4.99023436 -0.14727754 0.03352581 0.21497737 0.00113932

F(x)= x4-3x3-2x2+17.81x-5 = 0

Intervalo= 0.27735010 ≤ x ≤ 0.55470020

xaxm = (xa+xb)/2 xb f ( xa)

f (xm) funcion f (xb)

|(xa+xb)/2| ≤ Ep ≤ 0.0001

0.2773501 0.41602515 0.5547002 -0.27232759 1.87719663 3.84646954 0.069337530.2773501 0.34668763 0.41602515 -0.27232759 0.82356062 1.87719663 0.034668760.2773501 0.31201887 0.34668763 -0.27232759 0.28069208 0.82356062 0.017334380.2773501 0.29468449 0.31201887 -0.27232759 0.00542352 0.28069208 0.008667190.2773501 0.2860173 0.29468449 -0.27232759 -0.13314526 0.00542352 0.00433360.2860173 0.2903509 0.29468449 -0.13314526 -0.06378365 0.00542352 0.00216680.2903509 0.2925177 0.29468449 -0.06378365 -0.02916065 0.00542352 0.0010834

MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN

df (xa)

= xb−xa|f (xa)|+|f (xb)| d=

|f ( xa )||f ( xa )|+|f ( xb )|

(xb−xa)

xn=xa+|f ( xa )|

|f ( xa )|+|f ( xb )|( xb−xa )=xa+d

Criterio

XA

+ (positiva) xa ≤ x ≤ xn

|xn−xbxn |≤ Ep

XN

C B

A D

XB

E

F(xa)

Xb-xa

δ Xa ≤ x ≤ xb

Razón T.T

CBCA

= ADDE

F(xb)

Xn=xa+δ

F(xn)*f(xb)=

F(x)= x4-5x3-12x2+76x-79 = 0 d=|f ( xa )|

|f ( xa )|+|f ( xb )|(xb−xa)

Intervalo= 4.6666 ≤ x ≤ 5.24999 xn=xa+ɗ

xa xb f (xa) f(xb) d xn f (xn) Ep.4.6666 5.24999 -19.5461331 25.42462751 0.25356517 4.92016517 -5.07267633 0.051535914.6666 4.92016517 -19.5461331 -5.07267633 0.20131837 4.86791837 -8.63380116 0.01073288

4.86791837 4.92016517 -8.63380116 -5.07267633 0.03291061 4.90082898 -6.42778779 0.003945494.90082898 4.92016517 -6.42778779 -5.07267633 0.0108073 4.91163628 -5.67583669 0.00173647

F(x)= x3-25x2+164x-320 = 0 Ep=0.00001 ≤ x

Intervalo= 2.87228000 ≤ x ≤ 4.30842000 d=f (xb )∗(xa−xb)

f ( xa )−f (xb)

Criterio:

F(xa)*f(xn) < 0 xb=xn

F(xa)*f(xn) > 0 xa=xn

xn xa xb f(xa) f(xb) d xn = xb - d f (xn)

|xn−(xn−1)xn |

≤ Ep≤ 0.0001

-(negativo) xn ≤ x ≤ xb |xn−xaxn |≤ Ep

1 2.87228 4.30842 -31.49954221 2.49378015 0.10555254 4.20286746 190,774,0892 2.87228 4.20286746 -31.49954221 1.90774089 0.07598391 4.12688355 131,535,270 0.018411933 2.87228 4.12688355 -31.49954221 1.31535227 0.05028955 4.076594 0.84331102 0.012336174 2.87228 4.076594 -31.49954221 0.84331102 0.03140141 4.04519259 0.51585257 0.007762655 2.87228 4.04519259 -31.49954221 0.51585257 0.01889872 4.02629387 0.30655684 0.004693836 2.87228 4.02629387 -31.49954221 0.30655684 0.01112274 4.01517113 0.17906493 0.002770187 2.87228 4.01517113 -31.49954221 0.17906493 0.00646025 4.00871088 0.10354479 0.00161155

*Calcular las raíces positivas del siguiente polinomio utilizado el método de falsa posición, calcule las interacciones cuando n = 12

F(x) = -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2

a1=-0.1

a2=-0.15 Xrmax ≤√( a2a1 )

2

−2( a3a1 )

a3=-0.5

Xrmax ≤√(−0.15−0.1 )2

−2(−0.5−0.1 )=√2.25−10=√−7.75

F (x) = -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2

intervalo = -2 < x < -1.5 δ=f ( xb )∗(xa−xb)

f ( xa )−f (xb)

n xa xb F(xa) F(xb) d xn=xb-d F(xn) ep1 -2 -1.5 -0.70000000 0.45000000 0.19565217 -1.69565217 0.09090663 -------------2 -2 -1.69565217 -0.70000000 0.09090663 0.03498167 -1.73063384 -0.66709372 0.020213213 -1.73063384 -1.69565217 -0.66709372 0.09090663 0.00419534 -1.69984751 0.08206244 0.018111234 -1.73063384 -1.69984751 -0.66709372 0.08206244 0.00337233 -1.70321984 0.07491576 0.00197997

Cambio de signo

Cambio de signo

X F(x)-5 -53.80000000-4.5 -35.13750000

-4 -21.80000000-3.5 -12.62500000-3 -6.60000000-2.5 -2.86250000-2 -0.70000000-1.5 0.45000000-1 1.00000000-0.5 1.212500000 1.200000000.5 0.92500000

1 0.200000001.5 -1.312500002 -4.100000002.5 -8.800000003 -16.200000003.5 -27.237500004 -434.5 -64.725000005 -93.80000000

MÉTODO NEWTON – RAPHSON

m= y 2− y 1x 2−x1

−xn+1=f (xn)f ' (xn)

−xn

m=f ( xn )−f (xn+1)

xn−xn+1 xn+1=xn−

f (xn)f ' (xn)

f ' ( xn )= f (xn)xn−xn+1

|xn+1− xn

xn+1|≤ Ep

xn−xn+1=f (xn)f ' (xn)

f(xb)

f(x) xa ≤ x ≤ xb

xa xb

xn+1

m

f(xa)

Considera la grafica de la función xn es una primera aproximación a una raíz , si dibujamos una recta tangente a la curva x=a xn interceptarán el eje x en un valor xn + 1 que constituye una aproximación mejorada ala raíz la pendiente de la tangente es f(xn) – f (xn+1) la cual presenta la derivada de la función en punto n xn - xn + 1

Xn lo que simbolizamos con f´(xn) resolviendo la ecuación para xn+1 tenemos la siguiente ecuación xn+1= xn – f (xn) de donde se repite el procedimiento con d f´(xn)

Esta nueva aproximación obteniendo un valor mejorado ala raíz y continuamos hasta que 2 valores consecutivos de la raíz difieran en una cantidad menor que cierto valor de error permitido que controla el valor predecible de la raíz.

F (x) = x3 – 25x2 + 164x -320 = 0

F (x) =3x2 - 50x + 164 = 0

n xn F(xn) F´(xn) F(xn)/ F´(xn) Xn+1 ep1 4.308421986 2.49378862 4.26640073 0.58451814 3.72390385 0.156963812 3.72390385 -4.32517815 19.40718715 -0.22286478 3.94676863 0.056467663 3.94676863 -0.67576380 13.39251636 -0.05045831 3.99722694 0.012623334 3.99722694 -0.03337671 12.07212263 -0.00276478 3.99999172 0.000691205 3.99999172 -0.00009936 12.00021528 -0.00000828 4.00000000 0.000002076 4.00000000 0 12 0 4 0

F(x)= -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2

F´(x)= -0.40x3 - 0.45x2 -1x - 0.25=0

Intervalo = -2 < x < 1.5

n xn F(xn) F´(xn) F(xn)/ F´(xn) Xn+1 ep

1 -2 -0.700000000 3.15000000 -0.22222222 -1.77777778 0.125000002 -1.77777778 -0.09187624 2.35301784 -0.03904613 -1.73873165 0.022456673 -1.73873165 -0.00240055 2.23090205 -0.00107604 -1.73765561 0.000619254 -1.73765561 -0.00000170 2.22760807 -0.00000080 -1.73765481 0.000000465 -1.73765481 0 2.22760562 0 -1.73765481 0

F(x) = -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2

F´(x)= -0.40x3 - 0.45x2 -1x - 0.25=0

Intervalo = 1< x < 1.5

n xn F(xn) F´(xn) F(xn)/ F´(xn) Xn+1 ep1 1 0.20000000 -2.10000000 -0.09523810 1.09523810 0.086956532 1.0952381

0-0.01454231 -2.41054963 0.00603278 1.08920532 0.00553870

3 1.08920532

-0.00006219 -2.38995046 0.00002602 1.08917930 0.00002389

4 1.08917930

0 -2.38986189 0 1.08917930 0

*Determinar las raíces positivas por medio del método newton raphson

F(x) = x5- 3x4+3x3-17x-3=0

F´(xn)= 5x4-12x3+9x2-17=0

x F(x)-5 -5293-4.5 -3275.34375000-4 -1919-3.5 -1047.53125000

-3 -519-2.5 -222.21875000-2 -73-1.5 -10.40625000-1 7-0.5 4.906250000 -30.5 -11.281250001 -191.5 -25.968750002 -292.5 -18.156250003 273.5 141.156250004 3774.5 808.968750005 1537

Intervalo = -1.5≤x≤-1

n xn F(xn) F´(xn) F(xn)/ F´(xn) Xn+1 ep1 -1.5 -10.40625000 69.06225000 -0.15067873 -1.34932127 0.111670022 -1.34932127 -1.84880357 45.44015974 -0.04068656 -1.30863471 0.031090853 -1.30863471 -0.11252868 39.96926207 -0.00281538 -1.30581933 0.02156034 -1.30581933 -0.00051455 39.60403579 -0.00001299 -1.30580634 0.000009955 -1.30580634 -0.00000010 39.60235460 0 -1.30580634 0

Intervalo= -0.5 ≤ x ≤ 0

n xn f(xn) f'(xn) f(xn)/f'(xn)xn+1=xn-

(f(xn)/f'(xn))|(xn+1 - xn)/xn+1|

≤ Ep≤0.000011 -0.5 4.90625 -12.9375 -0.37922705 -0.12077295 3.142 -0.12077295 -0.95280868 -16.846522 0.05655818 -0.17733113 0.318941093 -0.17733113 -0.005242 -16.6451217 0.00031493 -0.17764606 0.001772784 -0.17764606 -0.00000022 -16.6437232 0.0000001 -0.17764607 0.00000007

5 -0.17764607 0 -16.6437232 0 -0.17764607 0

Raíz positiva (2.5≤x≤3)

Raíz positiva (-0.5≤x≤0)

Raíz positiva (-1.5≤x≤-1)

Intervalo= 2.5 ≤ x ≤ 3

n xn f(xn) f'(xn) f(xn)/f'(xn)xn+1=xn-

(f(xn)/f'(xn))|(xn+1 - xn)/xn+1|

≤ Ep≤0.000011 2.5 -18.15625 47.0625 -0.38579017 2.88579017 0.133686152 2.88579017 12.11760658 116.323194 0.10417189 2.78161829 0.03745013 2.78161829 1.20603414 93.7034892 0.01287075 2.76874754 0.004648584 2.76874754 0.01662911 91.1272124 0.00018248 2.76856505 0.000065915 2.76856505 0.0000033 91.0910189 0.00000004 2.76856502 0.000000016 2.76856502 0 91.0910117 0 2.76856502 0

MÉTODO DE LA SECANTE

xa ≤ x ≤xb

xa Xn-1

xn

F(xa)

F(xn-1)F(xn+1)

Xn+1

M=f’(x)

m=

y2− y1

x2− x1 =

f ( xn )−f (xn−1)xn−xn−1

Utilizando el método de Newton Raphson

xn+1=xn−f (xn)f ' (xn)

m=f ' ( xn )=f ( xn )−f (xn−1)

xn−xn−1

xn+1=xn−f (xn)

f ( xn )− f (xn−1)xn−xn−1

xn+1=xn−f ( xn ) ( xn−xn−1 )f ( xn )−f ( xn−1 )

|xn+1−xn

xn+1|≤ Ep

F(x)= x4-5x3-12x2+76x-79=0 xn+1=xn−f ( xn )(xn−xn−1)f ( xn )−f (xn−1)

Intervalo = 2.1 ≤ x ≤ 2.5 |xn+1−xn

xn+1|≤ Ep

n xn-1 xn f(xn-1) f(xn)

f ( xn )(xn−xn−1)f ( xn )−f (xn−1) xn+1 Ep≤0.001

1 2.5 2.1 -3.0625 0.8231 -0.084473337 2.184473337 0.03866

2 2.1 2.184473337 0.8231 0.40744376 -0.08280432 2.2672776570.0365214

7

3 2.18447334 2.26727766 0.40744376-

0.22348814 0.02933087 2.237946790.0131061

5

4 2.26727766 2.23794679-

0.22348814 0.02448622 -0.00289628 2.24084307 0.0013625

F(x)=x4-2.0374x3-15.424x2+15.6696x+35.4936=0

Intervalo = 3.944053118 ≤ x ≤ 4.4370599758



1 4.437059983.94405311

8 10.9819303 -25.656687 -0.34523472 4.28928784 0.080487662 3.94405312 4.28928784 -25.656687 -3.35947823 -0.05201586 4.3413037 0.01198162

3 4.28928784 4.3413037-

3.35947823 1.33107987 0.01476099 4.32654271 0.003411734 4.3413037 4.32654271 1.33107987 -0.03855114 -0.00041548 4.32695819 0.00009602

Intervalo = 1.972026559 ≤ x ≤ 2.465033199



1 2.46503321.97202655

9 -13.19723095.9108989

1 -0.15250642 2.12453298 0.0717835

2 1.97202656 2.12453298 5.910898910.0013437

8 -0.00003465 2.12456763 0.0000163

F(x)=25x3-6x2+7x-88=0

Intervalo = 1.5 ≤ x ≤ 2



1 2 1.5 102 -6.625 -0.03049982 1.53049482 0.01992481

2 1.51.5304945

2 -6.625-

1.71469495 -0.01064889 1.54114372 0.0069097

31.5304948

21.5411437

2-

1.71469495 0.047446 0.00028672 1.54085699 0.00018608*Calcular las raíces del sig. Polinomio.

F(x)= -0.5x2+2.5x+4.5=0 f’(xn)= -1x+2.5=0

Por el método de Newton Raphson

Intervalo= -1.5 ≤ x ≤ -1

n xn f(xn) f'(xn) f(xn)/f'(xn)xn+1= xn-

(f(xn)/f'(xn))|xn+1-xn/xn+1|

≤Ep≤0.000011 -1.5 -0.375 4 -0.09375 -1.40625 0.066666672 -1.40625 -0.00439453 3.906525 -0.001125 -1.405125 0.000800643 -1.405125 -0.0000063 3.905125 -0.00000016 -1.40512484 0.00000012

Intervalo= 6 ≤ x ≤ 6.5

n xn f(xn) f'(xn) f(xn)/f'(xn)xn+1= xn-

(f(xn)/f'(xn))|xn+1-xn/xn+1|

≤Ep≤0.000011 6 1.5 -3.5 -0.42857143 6.42857123 0.666666672 6.42857123 -0.09183673 -3.92857143 0.02337662 6.40519481 0.003649643 6.40519481 -0.00027323 -3.90519481 0.00006997 6.40512484 0.00001092

*Determinar las raíces de la función:

F(x)= -82x-90x2+44x3-8x4+0.7x5=0

Por el método de secante

Intervalo= -1 ≤ x ≤ -0.5



1 -0.5 -1 12.47812500 -60.70000000 -0.41474143 -0.58525857 0.70864649

2 -1.0 -0.58525857-

60.70000000 7.35649476 0.04483104 -0.63008961 0.071150263 -0.58525857 -0.63008961 7.35649476 3.59894824 0.04293881 -0.67302842 0.063799404 -0.63008961 -0.67302842 3.59894824 -0.73065376 -0.00724626 -0.66578216 0.010883835 -0.67302842 -0.66578216 -0.73065376 0.05154407 0.0004775 -0.66625967 0.00071670

6 -0.66578216 -0.66625967 0.05154407 0.00065209 0.00000612-

0.666265780 0.00000917

Intervalo= 0 ≤ x ≤ 0.5



1 0.5 0 -58.47812500 0 0 0 0

Intervalo= 4.5 ≤ x ≤ 5



1 5.0 4.5 27.50000000 -170.80312500 -0.43066171 4.93066171 0.087343592 4.5 4.93066171 -170.80312500 -6.39204599 -0.01674345 4.94740516 0.003384293 4.93066171 4.94740516 -6.39204589 1.58252140 0.00332267 4.94408249 0.000672054 4.94740516 4.94408249 1.58252140 0.01046623 -0.00002183 4.94410432 0.000004425 4.94408249 4.94410432 -0.01046623 -0.00001697 -0.00000004 4.94410436 0.00000001

*Calcular las raíces de la función f(x)= 5x3-5x2+6x-2=0 por el método de falsa posición

Intervalo= 0<x<0.5

n xa xb f(xa) f(xb) ∂ xn f(xn) Ep1 0 0.5 -2 0.375 0.0789474 0.4210526 0.013121452 0 0.4210526 -2 0.01312145 0.0027444 0.4183082 0.01312145 0.00656073 0 0.4183082 -2 0.00092207 0.0001928 0.4181155 0.00092207 0.0004614 0 0.4181155 -2 0.00006592 1.368E-05 0.4181017 0.00006592 3.296E-055 0 0.4181017 -2 0.00000472 9.9E-07 0.4181007 0.00000472 2.57E-066 0 0.4181007 -2 0.00000034 7E-08 0.4181006 0.00000034 1.7E-077 0 0.4181006 -2 0.00000002 1E-08 0.4181006 0.00000002 0

MÉTODO DE BIRGE-VIETA

El método de Birge-Vieta aplica Newton raphson para encontrar una raíz del polinomio p(x). Dado un punto x(k) evalua p(xk) y p’(xk) mediante división sintética cuando encuentra una raíz p; elimina el factor x-p mediante división sintética y continua trabajando sobre el polinomio restante. El proceso se repite hasta encontrar la raíz del polinomio.

Ejemplo:

P(x)= x3-2x2-5x+6 valor inicial 0.8333

xi=xk−p (xk )p '(xk )

División sintética

≠0

X1=0.8333-(1.0234/-6.2500)=0.997044

X1=0.997044=xk

≠0

X1=0.99704-(0.017746/-6.00589352)=0.999999

X1=0.999998

≈ ᴓ si es la raíz

1 -2 -5 60.999998 0.999998 -1 -5.999988

1 -1.000002 -6 0.000012

X=1 es la raíz

1 -2 -5 -60.997044 0.997044 -0.99999 -5.982254

1 -1.002956 -5.99999 0.0177460.997044 -0.005894

1 -0.005912 -6.005884

1 -2 -5 60.8333 0.8333 0.9722 -4.9766

1 -1.1667 -5.9722 1.02340.8333 -0.2778

1 -0.3333 -6.25

P(x)= x3-25x2+164x-320=0

2.8722812

Para xk: 4.3084218

15.79754

≠0

X1=2.8722812-(-31.49954763/44.69296858)=3.577079933

X1=3.577079933=xk

≠0

X1=3.577079933-(-7.475882852/23.53250588)=3.894763179

X1=3.894763179=xk

≠0

X1=3.894763179-(-1.40797958/14.76938172)=3.990094155

X1=3.990094155=xk

≠0

1 -25 164 -3203.990094155 3.990094155 -83.83150251 319.8798533

1 -21.00990584 80.168.49749 -0.1201467413.990094155 -67.91065112

1 -17.01981169 12.25784637

1 -25 164 -3203.894763179 3.894763179 -82.19989925 318.5920204

1 -21.10523682 81.80010075 -1.407979583.894763179 -67.03071903

1 -17.21047364 14.76938172

1 -25 164 -3203.57707993 3.577079933 -76.63149748 312.5241171

-21.42292007 87.36850252 -7.475882853.577079933 -63.83599664

-17.84584014 23.53250588

1 -25 164 -3202.8722812 2.8722812 -63.55703071 288.500452

1 -22.1277188 100.4429693 -31.49954762.8722812 -55.30703142

1 -19.2554376 44.69296858

X1=3.990094155-(-.01201467408/12.25784637)=3.999895774

X1=3.999895774

≈ᴓ Si es la raíz

X=4 es la raíz

1 -25 164 -3203.999895774 3.999895774 -83.99822815 319.9987491

1 -21.00010423 80.00177185 -0.001250853

Xk=4.3084218

≠0

X1=4.3084218-(2.49378783)/4.266405223=3.7239004461

X1=3.7239004461=xk

≠0

X1=3.7239004461-(-4.325166598/19.40717025)=3.946768822

X1=3.946768822=xk

1 -25 164 -3203.946768822 3.946768822 -83.09223642 319.3242388

1 -2105323118 80.90776358 -0.675761227≠03.946768822 -67.51525229

1 -17.10646236 13.39251129

X1=3.946768822-(-0.6757612266/13.38251129)=3.997226963

X1= 3.997226963=xk

1 -25 164 -3203.997226963 3.997226963 -83.95285068 319.9666236

1 -21.00277304 80.04714932 -0.033376428≠03.997226963 -67.9750273

1 -17.00554608 12.07212202

X1=3.997226963-(-0.03337642759/12.07212202)=3.999991715

X1=3.999991715=xk

1 -25 164 -3203.723900446 3.723900446 -79.23014709 315.6748334

1 -21.27609554 84.7698529 -4.325166593.723904461 -65.36268266

1 -17.55219108 19.40717025

1 -25 164 -3204.3084218 4.3084218 -89.59195341 322.4937878

1 -20.6915782 74.85195341 2.49377834.3084218 -70.58554819

1 -16.3831564 4.266405223

≈ᴓSi es la raíz

X=4 es la raíz

1 -25 164 -3203.999991715 3.999991715 -83.99985915 319.9999006

1 -21.00000829 80.0014085 -0.000994209

Xk= 15.79754

≠0

Xi= 15.79754-(-25.79024766/122.8098102)=16.00754153

Xi=16.00754153=xk

≠0

Xi=16.00754153-(0.9967897115/132.3470809=16.0000099

≈ᴓ

si es la raíz

X=16 es la raíz

1 -25 164 -32016.0000099 16.000001 -143.99999 320.001305

1 -8.99999 20.000008 0.001305

1 -25 164 -32016.0075415 16.00754153 -143.9471525 320.9967897

1 -8.992458473 20.05284754 0.996789712 16.00754153 112.2942334 1 7.015083057 132.3270809

1 -25 164 -32015.79754 15.79754 -145.3762299 294.2097523

1 -9.20246 18.62377005 -25.79024766 15.79754 104.1860401 1 6.59508 122.8098102

*Calcular las raíces reales o iguales a 0 del siguiente polinomio

P(x)=x4-5x3-5x2+23x+10

a) Encuentre posibles raíces con el cambio de signo de Descartes a partir del -4 a 6 de .6 en .6

b) Encontrar las raíces xi utilizando ando el método de Birge-Vieta

Xi= -

x f(x)-4 414

-3.4204.153

6-2.8 77.6256-2.2 11.8656-1.6 -12.5664

-1 -12-0.4 0.34560.2 14.36160.8 23.04961.4 22.5216

2 122.6 -6.18243.2 -26.58243.8 -40.64644.4 -36.7104

5 05.6 87.3696

Xk=-2.2 1 -5 -5 23 10

-2.2 2.2 15.84 -23.834 1.8656

1 -7.2 10.84 -0.84811.8656≠

0 -2.2 20.68 -69.344 1 -9.4 31.52 -70.192

Xi=-2.2-(11.8656/-10.192)=-2.030955095Xi=-2.030955095=xk

1 -5 -5 23 10-2.03096 -2.03096 14.27955 -8.4358 -8.43588

1 -7.03095 9.272534 4.1536421.564138≠

0 -2.03096 18.40443 -56.2249 1 -9.05191 27.68389 -52.071

Xi=-2.030955095-(1.564138841/-52.07108844)=-2.000916567Xi= -2.0009

1 -5 -5 23 10-2.0009 -2.0009 14.0082 -18.0247 -9.955

1 -7.0009 9.00082 4.9753 0.0449≠0 -2.0009 14.0082 -54.0641 1 -9.0018 27.0199 -49.0888

Xk=5

Xk=2

Xk=-1

Xk=-2.2

0.1428-(6.6286/24.1104)=-0.4177

Xi=-0.4177=xk

1 -5 -5 23 10-0.4177 -0.4177 2.2669 1.1432 -10.0846

1 -5.4177 -2.737 24.1432 -0.0846 ≠0 -0.4177 2.4372 0.1251 1 -5.8354 -0.2995 24.2683

1 -5 -5 23 10-0.4142 -0.4142 2.2426 1.1421 -9.9997

1 5.4142 -2.7424 24.1421 0.00093 ≠0

1 -5 -5 23 102 2 -6 -22 2

1 -3 -11 1 12≠0 2 -2 -26 1 -1 -13 -25

1 -5 -5 23 102.48 2.48 -6.2496 -27.899 -12.1495

1 -2.52 -11.2496 -4.899 -2.1495≠0 2.48 -0.0992 -28.145 1 -0.04 -11.3488 -33.044

1 -5 -5 23 102.4149 2.4149 -6.2429 -27.1428 -10.0214

1 -2.585 -11.2426 -4.1498 -0.0214≠0 2.4149 -0.4107 -28.1417 1 -0.1701 -11.6533 -32.2915

Xi= 2.4149-(-0.0214/-32.2915)= 2.4142 =xk

1 -5 -5 23 102.4142 2.4142 -6.2425 -27.1417 -9.999

1 -2.5857 -11.2425 -4.1417 0.0009 ≈ᴓ si es la raíz

X=2.4142 es la raíz.

Función p(x)= 2 x5+5 x4−8 x3−14 x2+6 x+9=0

2 5 -8 -14 6 9-3.4 -6.8 6.12 6.392 25.8672 -108.348

2 -1.8 -1.88 -7.608 31.8672 -99.3484≠0 -6.8 29.24 -93.024 342.1488 2 -8.6 27.36 -100.632 374.016

Xi=-3.4-(-99.3484/374.016)=-3.1343=xk

2 5 -8 -14 6 9-3.1343 -6.2687 3.9766 12.6104 4.3553 -32.4567

2 -1.2687 -4.0233 -1.3895 10.3553 -23.4567≠0

Xk=-3.4

Xk=0.8

Xk=1.4

x f(x)-4 -495

-3.4 -99.3485-2.8 21.1766-2.2 27.2794-1.6 8.1245

-1 0-0.4 4.97950.2 9.58460.8 3.44741.4 -2.0275

2 45

-6.2687 23.6244 -61.4359 196.9138 2 -7.5374 19.6011 -62.8254 207.2691

Xi= -3.1343-(-23.4567/207.2691)=-3.0211=xk

2 5 -8 -14 6 9-3.0211 -6.0422 3.1487 14.656 -1.9819 -12.1387

2 -1.0422 -4.8512 0.656 4.018 -3.1387≠0 -6.0422 21.4026 -50.0036 149.0842 2 -7.0844 16.5514 -49.3476 153.1022

Xi= -3.0211-(-3.1387/153.1022)=-3.0416=xk

2 5 -8 -14 6 9-3.0416 -6.0832 3.2946 114.3117 -0.9482 -15.3655

2 -1.0832 -4.7053 0.3117 5.0517 -6.3655≠0 -6.0832 21.7973 -51.987 157.1758 2 -7.1664 17.092 -51.6753 162.2275

Xi= -3.0416-(-6.3655/162.2275)=-3.0023=xk

2 5 -8 -14 6 9-3.0023 -6.0046 3.0161 14.9631 -2.8916 -9.3323

2 -1.0046 -4.9839 0.9631 3.1083 -0.3323≠0 -6.0046 21.0437 -48.2166 141.8692 2 -7.0092 16.0599 -47.2535 144.9775

Xi= -3.0023-(0.3323/144.9775)=-3=xk

2 5 -8 -14 6 9-3 -6 3 15 -3 -9

2 -1 -5 1 3 0X= -3 es la raíz

Xk= 0.8

2 5 -8 -14 6 90.8 1.6 5.28 -2.176 -12.9408 -5.5526

2 6.6 -2.72 -16.176 -6.9408 3.4473≠0 1.6 6.56 3.072 -10.4832 2 8.2 3.84 -13.104 -17.424

Xi= 0.8-(3.4473/-17.424)=0.9978=xk

2 5 -8 -14 6 90.9978 1.9956 6.9803 -1.0174 -14.9844 -8.9646

2 6.9956 -1.0196 -15.0174 -8.9844 0.0354≠0 1.9956 8.9714 7.9343 -7.0674 2 8.9912 7.9518 -7.083 -16.0518

Xi= 0.9978-(0.0354/-16.0515)=1=xk

2 5 -8 -14 6 91 2 7 -1 -15 -9 2 7 -1 -15 -9 0

X=1 es la raíz

Xk= 1.4

2 5 -8 -14 6 91.4 2.8 10.92 4.088 -13.8768 -11.0275

2 7.8 2.92 -9.912 -7.8768 -2.0275≠0 2.8 14.84 24.864 20.9328 2 10.6 17.76 14.952 13.056

Xi= 1.4-(-2.0275/13.056)=1.2447=xk

2 5 -8 -14 6 91.2447 2.4894 9.322 1.6455 -15.3775 -11.6722

2 7.4894 1.322 -12.3544 -9.3775 2.6722≠0 2.4894 12.4206 17.1054 5.9136 2 9.9788 13.7426 4.751 -3.4638

Xi= 1.2447-(2.6722/-3.4638)=2.0161=xk

2 5 -8 -14 6 92.0161 4.0323 18.21 20.5844 13.2748 38.86

2 9.0323 10.21 6.5844 19.2748 47.86

*Calcular las raíces del sig. Polinomio por el método de Birge-Vieta

P(x)= 5x3-x2-5x+1

a)Calcular las posibles raíces por el cambio de signo de Descartes a partir de -3 a 2 de 0.4 en 0.4

b)Calcular las raíces por método de Div. Sintética por el método de Birge-Vieta.

Raíz=1

Raíz= 0.2

Raíz=-1

x f(x)-3 -128.00

-2.6 -80.64-2.2 -46.08-1.8 -22.40-1.4 -7.68

-1 0.00-0.6 2.56-0.2 1.920.2 0.00

0.6 -1.28

1 0.00

1.4 5.761.8 17.92

*Calcular las raíces del siguiente polinomio:

P(x)= 2x6-3x5-13x4+29x3-27x2+32x-12

a) Realizar las tabulaciones y encontrar los cambios de signo según descartes para encontrar las posible raíz real de .3 en .3 de -5 a 5

b) Calcular las raíces por el método de Birge-Vietac) Realizar la grafica del polinomios

2 -3 -13 29 -27 32 -12

-3.2 -6.4 30.08 -54.656 82.0992 -176.3174 461.8158

2 -9.4 17.08 -681 55.0992 -144.3174 449.8185≠0 -6.4 50.56 -216.448 774.7328 -2655.462

2 -15.8 67.64 -242.104 829.832 -2799.78

Xi= -3.2 – (449.8158/-2799.7798) = -3.0393 = xk

-3.2

0.4

X F(x)-5 28028

-4.7 18325.49857-4.4 11441.73363-4.1 6706.626212-3.8 3573.483008-3.5 1603.25-3.2 449.815808-2.9 -153.635188-2.6 -407.219968-2.3 -455.904232-2 -400

-1.7 -304.613452-1.4 -218.043008-1.1 -129.127648-0.8 -73.545472-0.5 -39.0625-0.2 -19.7317120.1 -9.0423280.4 -2.0193280.7 3.7267881 8

1.3 9.0685281.6 5.7643521.9 0.6324922.2 4.1300482.5 39.8752.8 150.9447683.1 407.2245323.4 913.8053123.7 1820.4318084 3332

4.3 5720.1045084.6 9335.6357124.9 14622.42663

2 -3 -13 29 -27 32 -12

-3.0393 -6.0786 27.5928 -44.3519 46.6592 -59.7503 84.3416

2 -9.0786 14.5928 -15.3519 19.6592 -27.7503 72.3416≠0

-6.0786 46.0672 -184.3641 606.997 -1904.596

2 -15.1572 60.66 -199.716 626.6562 -1932.347

Xi= -3.0393 – (72.3416/-1932.3466) = -3.0018 =xk

2 -3 -13 29 -27 32 -12

-3.0018 -6.0037 27.0273 -42.1074 39.3457 -633 15.1879

2 -9.0037 14.0273 -13.1074 12.3457 -5.0596 3.1879≠0 -6.0037 45.0492 -177.3358 571.6726 -1753.106 2 -15.0074 59.0765 -190.4432 584.0183 -1758.166

Xi= -3-0393 – (3.1879/-1758.1658) = - 2.9999 = xk

2 -3 -13 29 -27 32 -12

-2.9999 -5.9999 26.999 -41.9956 38.9856 -35.9558 11.8672

2 -8.9999 13.999 -12.9956 11.9856 -3.9558 -0.1327≠0 -5.9999 44.9979 -176.9898 569.9222 -1745.665 2 -14.9998 58.9996 -189.9804 581-9078 -1749.621

Xi= -3-0393 – (3.1879/-1758.1658) = - 2.9999 = xk

X= -3 es la raíz

Xk= 0.4

2 -3 -13 29 -27 32 -12

0.4 -0.8 -0.88 -5.552 9.3792 -7.04832 9.9806

2 -2.2 -13.88 23.448 -17.6208 24.95168 -2.0193≠0 -0.8 -1.2 -6.032 6.9664 -4.2617 2 -3 -15.08 17.416 -10.5644 20.6898

Xi= 0.4 – (-2.0193/20.6898) = 0.4975 = xk

2 -3 -13 29 -27 32 -12

0.4975 -0.995 -0.9974 -6.9637 10.963 -7.9783 11.9507

2 -2.005 -13.9974 22.0362 -16.0369 24.0216 -0.0492≠0 -0.995 -0.5024 -7.2136 7.3741 -4.3096 2 -1.01 -14.4998 14.8225 -8.6627 19.7119

Xi= 0.4975 – (-0.0492/19.7119) = 0.4999 = xk

2 -3 -13 29 -27 32 -12

0.4999 -0.9999 -0.9998 -6.9985 10.9985 -7.9991 11.998

2 -2 -13.9998 22.0014 -16.0014 24.0008 -0.0019≠0

X= 0.5 es la raíz

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (ALGEBRAICAS)

a11 x1 + a12 x2+ a13 x3 + ... a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2+ a23 x3 + ... a2n xn = b2

a31 x1 + a32 x2+ a33 x3 + ... a3n xn = b3

am1 x1 + am2 x2+ am3 x3 + ... amn xn = bm

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ax= B

Donde: A = es la matriz de coeficiente b = es el vector del coeficiente X = es el vector de solución

Solución de Sistemas deEcuacionesLineales

x y y

-10 20 -13

0 10 -3

10 0 7

Inconsistentes (no tiene solución)

x + y = 10

x – y = 3

y= 10 – x

x = 3 + y

Indeterminados (familia de soluciones)

Consistentes

Determinados (solución única)

8

101214

(10, 7)(0, 10)

1618

20

(-10, -20)

MÉTODO DE GAUSS

El método de Gauss consiste en resolver un sistema de ecuaciones lineales transformándola en una matriz. Haciendo la diagonal principal “unos” y el triángulo inferior “ceros”.

Matriz Identidad:

Triangulo Inferior Diagonal Principal Triangulo Superior

Para hacer la diagonal principal “unos” y el triángulo inferior “ceros” se debe de proceder a hacer las operaciones básicas de las matrices.

1) Intercambiar filas.2) Dividir entre un escalar.3) Multiplicar entre un escalar y sumar una fila.

x = 3 + y

y = 10 – (3 + y )

y= 10 – 3 – y

2y = 7

-12

x = 3 + 3.5

x = 6.5

-2

-14

-6

(-10, -13)

-8-10

-4-6

(0, -3)

-8-10-2-42 4 6 8

4

10 12

2

6

(10, 0)

1 0 00 1 00 0 1

Ejemplo:

*Determinar la solución de un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2

3x + 4y = 3x + 5y = 7

[3 4 31 5 7] = [1 5 7

3 4 3] = [1 5 70 −11 −18 ] = [1 5 7

0 1 18/11] F2 F1 F1(-3)+F2 F2(-1/11)

y = 18/11 verificación:

x + 5(18/11) = 7 x + 5y = 7x = 7 – 90/11 -13/11 + 5(18/11) = 7x = -13/11 77/11 = 7

7 = 7

3x1 + 6x2 – 2x3 = 11x1 + 0x2 + 4x3 = 94x1 + 3x2 – 5x3 = -5

[3 6 −21 0 44 3 −5

119

−5] = [1 0 43 6 −24 3 −5

911−5] = [1 0 4

0 6 −140 3 −21

9−16−41] =

F1 F2 F1(-3)+F2 F2(1/6) F1(-4)+F3

[1 0 40 1 −7 /30 3 −21

9−8/3−41 ] = [1 0 4

0 1 −7 /30 0 −14

9−8/3−33 ] = [1 0 4

0 1 −7 /30 0 1

9−8/333 /14]

F2(-3)+F3 F3(-1/14)

x3 = 33/14

x2 = -8/3 + 77/14 = 119/42

x1 = 9 – 4(33/14) = 126/14 – 132/14 = -6/14 = -3/7

Verificación:

x1 + 0x2 + 4x3 = 9-3/7 + 132/14 = 9-3/7 + 66/7 = 963/7 = 99 = 9

Sistema de Ecuaciones 4 x 4:

20x1 - x2 – 4x3 + x4 = 30-x1 - 30x2 + 3x3 - x4 = 40x1 + x2 – 32x3 – x4 = 40-x1 - x2 – 2x3 -25x4 = 50

20 1 -4 1 30 1 1 -32 -1 40-1 -30 3 -1 40 = -1 -30 3 -1 401 1 -32 -1 40 20 1 -4 1 30-1 -1 -2 -25 50 -1 -1 -2 -25 50

F1 <-> F3 F1 (1) + F2

F1 (-20) + F3

F1 (1) + F4

1 1 -32 -1 40 1 1 -32 -1 40

0 -29-31

-2 80 = 0 1 31/29

2/29 -80/29

0 -21 636 21 -770 0 -21 636 21 -7700 0 -34 -26 90 0 0 -34 -26 90

F2 (-1/29) F2 (21) + F3

1 1 -32 -1 40 1 1 -32 -1 40

0 131/29

2/29 -80/29 = 0 1 31/29

2/29 -80/29

0 0 19095/29

651/29 -24010/29 0 01

217/6365

-4802/3819

0 0 -34 -26 90 0 0 -34 -26 90 F3(29/19095) F3(34)+F4

1 1 -32 -1 40 1 1 -32 -1 40

0 131/29

2/29 -80/29 0 1 31/29

2/29 -80/29

0 01

217/6365

-4802/3819=

0 01

217/6365

-4802/3819

0 0 0 -26 90 0 0 0 1 -90/26 F4(-6365/158112)

-158112/6365 506978/3819

x4 = 1267445/237168x3 = -770x2 = -80/29 +31 – 725/58 = 913/58x1 = 1604 – 98560/4 + 725/4 = 97675/4

Verificación:x1 + x2 – 32x3 – x4 = 40-97675/4 + 913/58 – 32(-770) – 725/4 = 40-5665150/232 + 3652/232 + 5716480/232 – 42050/232 = 409280/232 = 4040 = 40

*Otro ejemplo:

X1 + 10X2 - X3 = 10

X1 - 2X2 + 10X3 = 12

10X1 + 3X2 + X3 = 14

[ 1 10 −11 −2 1010 3 1

101214 ] = [1 10 −1

0 −12 110 −97 11

102

−86] = [1 10 −10 1 −11/120 −97 11

10−2/12−86 ] =

F1(-1)+F2 F2(-1/12) F2(97)+F3

F1(-10)+F3

[1 10 −10 1 −11/120 0 −935 /12

10−2 /12

−1226 /12] = [1 10 −10 1 −11 /120 0 1

10−2 /121226/935 ]

F3(-12/935)

X3 = 1226/935

X2 – 11/12 X3 = -1/6

X1 + 10X2 – 1X3 = 10

X2 – 11/12(1226/935) = -2/12 X1 + 10(88/85) – 1226/935 = 10

X2 – 613/510 = -2/12 X1 + 176/17 – 1226/935 = 10

X2 = -1/6 + 613/510 X1 = 10 – 176/17 + 1226/935

X2 = 88/85 X1 = 896/935

896/935 + 10(88/85) – 1226/935 = 10

PROBLEMA CORRECTO

2X1 + 3X2 – 5X3 = -34X1 – X2 – 2X3 = -12-3X1 + 10X2 - 5X3 = 11

[ 2 3 −54 −1 −2

−3 10 −5

−3−1211 ] =[ 1 3 /2 −5/2

4 −1 −2−3 10 −5

−3/2−1211 ] = [1 3 /2 −5 /2

0 −7 80 29 /2 −25 /2

−3 /2−613 /2 ] =

F1(1/2) F1(-4)+F2 F2(-1/7)

F1(3)+F3

[1 3 /2 −5 /20 1 −8 /70 29 /2 −25 /2

−3 /26/713 /2 ] [1 3 /2 −5 /2

0 1 −8 /70 0 57 /14

−3/26/7

−83/14] [1 3 /2 −5 /20 1 −8 /70 0 1

−3/26/7

−83/57]F2(-29/2)+F3 F3(14/57)

X3= -83/57X2 - 8/7X3 = 6/7X1 + 3/2X2 – 5/2X3 = 3/2

X2 – 8/7(-83/57) = 6/7 X1 + 3/2(-46/57) – 5/2(-83/57) = -3/2

X2 + 664/399 = 6/7 X1 – 23/19 + 415/114 = -3/2

X2 = 6/7 – 664/399 X1 = -3/2 + 23/19 -415/114 = -224/57

X2 = -46/57

-224/57 + 3/2(-46/57) – 5/2(-83/57) = -3/2

-224/57 – 23/19 + 415/114 = -3/2

PROBLEMA CORRECTO

MÉTODO DE GAUSS – JORDAN (MATRIZ AUMENTADA)

X1 + 2X2 – X3 = 10X1 – X2 + 3X3 = 53X1 + X2 – 4X3 = 3

1 2 -1 10 1 0 0 1 2 -1 10 1 0 0 1 2 -1 10 1 0 0

1 -1 3 5 0 1 0 = 0 -3 4 -5 -1 1 0 = 0 1 -4/3 5/3 1/3 -1/3 0 =

3 1 -4 3 0 0 1 0 -5 -1 -27 -3 0 1 0 -5 -1 -27 -3 0 1

F1(-1) + F2 F2(-1/3) F2(-2) + F1

F1(-3) + F3 F2(5) + F3

1 0 5/3 20/3 1/3 2/3 0 1 0 5/3 20/3 1/3 2/3 0

= 0 1 -4/3 5/3 1/3 -1/3 0 = 0 1 -4/3 5/3 1/3 -1/3 0 =

0 0 -23/3 -56/3 -4/3 -5/3 1 0 0 1 56/23 4/23 5/23 -3/23

F3(-3/23) F3(-2/3) + F1

F3(4/3) + F2

1 0 0 60/23 1/23 7/23 5/23

= 0 1 0 113/23 13/23 -1/23 -4/23

0 0 1 56/23 4/23 5/23 -3/23

X1 = 60/23

X2 = 113/23

X3 = 56/23

PROBLEMA CORRECTO

PROBLEMAS DE LAS HOJAS:

4x1 – 8x2 = -24

X1 + 6x2 = 34

4 -8 -24 1 0 1 6 34 0 1

1 6 34 0 1 = 4 -8 -24 1 0 =

F1 F2 F1 (-4)+ F2

1 6 34 0 1 1 6 34 0 1

0 -32 -160 1 -4 = 0 1 160/32 -1/32 4/32 =

F2 (-1/32) F2 (-6) + F1

1 0 4 -6/32 -24/32

0 1 5 -1/32 4/32

X1 = 4

X2 = 5

-1.1X1 + 10X2 = 120

-2X1 + 17.4X2 = 174

-1.1 10 120 1 0 = 1 -9.0909 -109.0909 -0.9090 0 =

-2 17.4 174 0 1 -2 17.4 174 0 1

F1 (-1/1.1) F1 (2) + F2

1 -9.0909 -109.0909 -0.9090 0 =

0 -0.7818 -44.1818 -1.8181 1

F2 (-1/.7818)

1 -9.0909 -109.0909 -0.9090 0 = 1 0 404.6623 20.2309 -11.627

0 1 56.5129 2.3254 -1.279 0 1 56.5129 2.3254 -1.279

F2 (9.0909) + F1

X1 = 404.6623

X2 = 56.5129

0.5X1 – X2 = -9.5

1.02X1 – 2X2 = -18.8

0.5 -1 -9.5 0 1 1 -2 -19 2 0

1.02 0.04 -18.8 0 1 = 1.02 -2 -18.8 0 2 =

F1 (2) F1 (-1.02) + F2

1 -2 - 19 2 0 1 -2 -19 2 0

0 0.04 0.58 2.04 2 = 0 1 14.5 51 50 =

F2 (1/0.04) F2 (2) + F1

1 0 10 104 100

0 1 14.5 51 50

X1 = 10

X2 = 14.5

10X1 + 2X2 – X3 =27

-3X1 – 6X2 + 2X3 = -61.5

X1 + X2 + 5X3 = -21.5

10 2 -1 27 1 0 0 1 1 5 -21.5 0 0 1

-3 -6 2 -61.5 0 1 0 = -3 -6 2 -61.5 0 1 0 =

1 1 5 -21.5 0 0 1 10 2 -1 27 1 0 0

F1 F3 F1 (3) + F2 F1 (-10) + F3

1 1 5 - 21.5 0 0 1 1 1 5 -21.5 0 0 1

0 -3 17 -126 0 1 3 = 0 1 -17/3 42 0 -1/3 1 =

0 -8 -51 242 1 0 0 0 -8 -51 242 1 0 0

F2 (-1/3) F2 (-1) + F1 F2 (8) + F3

1 0 32/3 -63.5 0 1/3 2 1 0 32/3 -63.5 0 1/3 2

0 1 -17/3 42 0 -1/3 -1 = 0 1 - 17/3 42 0 -1/3 -1

0 0 -289/3 578 1 -8/3 -8 0 0 1 -6 -3/289 8/289 24/289

F3 (-3/289) F3 (17/3) + f2 F3 (-32/3) + F1

1 0 0 0.5 32/289 11/289 322/289 X1 = 0.5

0 1 0 8 -1/17 -3/17 - 9/17 X2 = 8

0 0 1 -6 - 3/289 8/289 24/289 X3 = -6

8x1+2x2-2x3=-2

10x1+2x2+4x3=4

12x1+2x2+2x3=6

8 2 -2 -2 1 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 0

10 2 4 4 0 1 0 = 10 2 4 4 0 1 0 =

12 2 2 6 0 0 1 12 2 2 6 0 0 1

F1(1/8) F1(-10)+F2

F1(-12)+F3

1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 0 0 1/2 13/2 13/2 -5/4 1 0 = 0 1 -13 -13 5/2 -2 0 =

0 -1 5 9 -3/2 0 1 0 -1 5 9 -3/2 0 1

F2(2/1) F2(1/4)+F1

F2(1)+F3

1 0 3 3 - 1/2 1/2 0 1 0 3 3 - 1/2 1/2 0

0 1 -13 -13 5/2 -2 0 = 0 1 -13 -13 5/2 -2 0 =

0 0 -8 -4 1 -2 1 0 0 1 1/2 1/8 1/4 -1/8

F3(-1/8) F3(-3)+F1

F3(13)+F2

1 0 0 3 - 1/2 1/2 0 x1 = 3/2 x2=-13/2 x3 = 1/2

0 1 0 -13/2 7/8 5/4 -13/8

0 0 1 1/2 -1/8 1/4 -1/8

2x1-6x2-x3=-38

-3x1+x2+7x3=-34

-8x1+x2-2x3=-20

2 -6 -1 -38 1 0 0 1 -3 -1/2 -19 1/2 0 0

-3 -1 7 -34 0 1 0 = -3 -1 7 34 0 1 0 =

-8 1 - 2 20 0 0 1 8 1 - 2 -20 0 0 1

F1(1/2) F1(3)+F2

F1(8)+F3

1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 0 0 1/2 13/2 13/2 -5/4 1 0 = 0 1 -13 -13 5/2 -2 0

0 -1 5 9 -3/2 0 1 0 -1 5 9 -3/2 0 1

F2(2/1) F2(1/4)+F1

F3(1)+F3

1 0 3 3 - 1/2 1/2 0 1 0 3 3 - 1/2 1/2 0

0 1 -13 -13 5/2 -2 0 = 0 1 -13 -13 5/2 -2 0 =

0 0 -8 -4 1 -2 1 0 0 1 ½ 1/8 1/4 -1/8

F3(-1/8) F3(-3)+F1

F3(13)+f2

1 0 0 3 - 1/2 1/2 0 x1 = 4 x2=8 x3 = -2

0 1 0 -13/2 7/8 5/4 -13/8

0 0 1 1/2 -1/8 1/4 -1/8

METODO DE GAUSS SEIDEL

2x1 – 6x2 + x3 = 12 x1 = (12 + 6x2 - x3)/2-x1 + 7x2- x3 = -8 x2 = (-8 + x1 + x3)/7x1- 3x2 + 2x3 = 16 x3 = (16 - x1 + 3x2)/2

{0, 0, 0}

x1 = (12 + (6*0) -0)/2

x1 = 6

x2 = (-8+6+0)/7 x3 = (16-6+(3*-0.28))/2

x2 = -0.28 x3 = 4.58

{6, -0.28, 4.58}

x1 = (12 + (6*-0.28) -4.58)/2

x1 = 2.87

x2 = (-8+2.87+4.58)/7 x3 = (16-2.87+(3*-0.07))/2

x2 = -0.07 x3 = 6.46

Ep = | (6-2.87)/6 | Ep = 0.521

{2.87, -0.07, 6.46}

x1 = (12 + (6*-0.07) -6.46)/2

x1 = 2.56

x2 = (-8+2.56+6.46)/7 x3 = (16-2.56+(3*0.14))/2

x2 = 0.14 x3 = 6.93

Ep = | (2.56 -2.87)/2.56 | Ep = 0.121

{2.56, 0.14, 6.93}

x1 = (12 + (6*0.14) -6.93)/2

x1 = 2.95

x2 = (-8+2.95+6.93)/7 x3 = (16-2.95+(3*0.26))/2

x2 = 0.26 x3 = 6.91

Ep = | (2.95-2.56)/2.95 | Ep = 0.13

{2.95, 0.26, 6.91}

x1 = (12 + (6*0.26) -6.91)/2

x1 = 3.32

x2 = (-8+3.32+6.9)/7 x3 = (16-2.95+(3*0.31))/2

x2 = 0.31 x3 = 6.97

Ep = | (3.32-2.95)/3.32 | Ep = 0.111

{3.32, 0.31, 6.97}

x1 = (12 + (6*0.31) -6.97)/2

x1 = 3.44

x2 = (-8+3.44+6.97)/7 x3 = (16-3.44+(3*0.34))/2

x2 = 0.34 x3 = 6.7

Ep = | (3.44-3.32)/3.44 | Ep = 0.03

{3.44, 0.34, 6.7}

x1 = (12 + (6*0.34) -6.7)/2

x1 = 3.67

x2 = (-8+3.67+6.7)/7 x3 = (16-3.67+(3*0.33))/2

x2 = 0.33 x3 = 6.66

Ep = | (3.67-3.44)/3.67 | Ep = 0.05

{3.67, 0.33, 6.66}

x1 = (12 + (6*0.33) -6.66)/2

x1 = 3.66

x2 = (-8+3.66+6.66)/7 x3 = (16-3.66+(3*0.33))/2

x2 = 0.33 x3 = 6.66

Ep = | (3.66-3.67)/3.66 | Ep = 0.001

X1 = 3.66x2 = 0.33x3 = 6.66

PROBLEMA CORRECTO

POR MEDIO DE GAUSS

2x1-6x2+x3=12

-x1+7x2-x3=-8

X1-3x2+2x3=16

2 -6 1 12 1 -3 2 16

-1 7 -1 -8 -1 7 -1 -8

1 -3 2 16 2 -6 1 12

F1-- F3 F1(1)+F2

F1(-2)+F3

1 -3 2 16 1 -3 2 16

0 4 1 8 0 1 ¼ 2

0 0 -3 -20 0 0 -3 -20

F2(1/4) F3(-1/3)

1 -3 2 16

0 1 ¼ 2

0 0 1 20/3

X3=20/3 x2=2-1/4(20/3) X1=11/3

X2+1/4+3=2 x2= 2 -20/12->5/3 X2=1/3

X1-3x2+2x3=16 x2= 6/3 - 5/3 = 1/3 X3=20/3

Por Metodo De Gauss – Seidel

X1=12x+6x2-x3 0 , 0 , 0

2

X2= -8+x1+x3

7

X3=16-x1+3x2

2

X1=(12+6(0)-0)/2= 12/2=6 X2=(-8+6+0)/7=2/7 =-0.2857

X3=(16-6+3(-0.2857))/2=9/2=4 X1=(12+6(0.2857)-(4))/2= 6/2=3

X2=-(8+3+4)/7=1/7 =-0.1428 X3=(16-3+3(-0.1428))/2=13/2=7

3-6 =1

3

X1=(12+6(-0.1428)-(7))/2= 4/2=2 X2=(-8+2+4)/7=1/7 =0.1428

X3=(16-2+3(0.1428))/2=14/2=7

X1=(12+6(0.1428)-(7))/2= 5/2=2.5 X2=(-8+2.5+7)/7=1.5/7 =0.2142

X3=(16-2.5+3(0.2142))/2=15/2=7.5

2.5-2 =0.25

2.5

X1=(12+6(0.2142)-(7))/2= 6/2=3 X2=(-8+3+7)/7=2/7 =0.2857

X3=(16-3+3(0.2857))/2=14/2=7

X1=(12+6(0.2142)-(7))/2= 6/2=3 X2=(-8+3+7)/7=2/7 =0.2857

X3=(16-3+3(0.2857))/2=14/2=7

3-3 =0

3

X1+X2+6X3=8

X1+5X2-X3=5

4X1+2X2-2X3=4

1 1 6 8 1 1 6 8

1 5 -1 5 0 4 -7 -3

4 2 -2 4 0 -2 -26 -28

F1(-1)+F2 F2(1/4)

F1(-4)+F3

1 1 6 8 1 0 31/4 35/4

0 1 -7/4 -3/4 0 1 -7/4 -3/4

0 -2 -26 -28 0 0 -59/2 -59/2

F2(-1)+F1 F3(-2/59)

F2(2)+F3

1 0 31/4 35/4 1 0 0 1

0 1 -7/4 -3/4 0 1 0 1

0 0 1 1 0 0 1 1

F3 (-31/4)+F1 x1=1

F3 (7/4)+F2 x2=1

X3=1

ESCUELA PREPARATORIA“JOSÉ DE ESCANDÓN”

NOMBRE: HANNELORE GOVELA CONTRERAS

MATERIA: CÁLCULO NUMÉRICO

MAESTRO: ING. JOSÉ ALEJANDRO SALINAS ORTA

APUNTES DEL CUADERNO

6°SEMESTRE “B”

29 DE MAYO DEL 2012

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Cuaderno Métodos Númericos