Cuaderno de Consignas Tercer Grado

CUADERNO DE CONSIGNAS MAESTRO

Educación Básica Secundaria

NOVENO GRADO

Matemáticas

2011 Edición: Profra Laura Milán Segovia, 2012

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INDICE

Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Estándares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Bloque 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Bloque 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Bloque 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Bloque 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

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PRESENTACIÓN

La Secretaría de Educación Pública, en el marco de la Reforma Integral de la Educación Básica (RIEB), pone en las manos de maestras y maestros los Programas de estudio 2011. Guía para el Maestro. Educación Básica. Secundaria. Matemáticas.

Un pilar de la Articulación de la Educación Básica es la RIEB, que es congruente con las características, los fines y los propósitos de la educación y del Sistema Educativo Nacional establecidos en los artículos Primero, Segundo y Tercero de la Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos y en la Ley General de Educación. Esto se expresa en el Plan de estudios, los programas y las guías para las maestras y los maestros de los niveles de preescolar, primaria y secundaria. La Articulación de la Educación Básica se centra en los procesos de aprendizaje de las alumnas y los alumnos, al atender sus necesidades específicas para que mejoren las competencias que permitan su desarrollo personal. Los Programas de estudio 2011 contienen los propósitos, enfoques, Estándares Curriculares y aprendizajes esperados, manteniendo su pertinencia, gradualidad y coherencia de sus contenidos, así como el enfoque inclusivo y plural que favorece el conocimiento y aprecio de la diversidad cultural y lingüística de México; además, se centran en el desarrollo de competencias con el fin de que cada estudiante pueda desenvolverse en una sociedad que le demanda nuevos desempeños para relacionarse en un marco de pluralidad y democracia, y en un mundo global e interdependiente. La Guía para maestras y maestros se constituye como un referente que permite apoyar su práctica en el aula, que motiva la esencia del ser docente por su creatividad y búsqueda de alternativas situadas en el aprendizaje de sus estudiantes. La SEP tiene la certeza de que los Programas de estudio 2011. Guía para el Maestro. Educación Básica. Secundaria. Matemáticas será de utilidad para orientar el trabajo en el aula de las maestras y los maestros de México, quienes a partir del trabajo colaborativo, el intercambio de experiencias docentes y el impacto en el logro educativo de sus alumnos enriquecerán este documento y permitirá realizar un autodiagnóstico que apoye y promueva las necesidades para la profesionalización docente.

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA

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ESTÁNDARES DE MATEMÁTICAS

Los Estándares Curriculares de Matemáticas presentan la visión de una población que sabe utilizar los conocimientos matemáticos. Comprenden el conjunto de aprendizajes que se espera de los alumnos en los cuatro periodos escolares para conducirlos a altos niveles de alfabetización matemática.

Se organizan en: 1. Sentido numérico y pensamiento algebraico 2. Forma, espacio y medida 3. Manejo de la información 4. Actitud hacia el estudio de las matemáticas

Su progresión debe entenderse como: • Transitar del lenguaje cotidiano a un lenguaje matemático para explicar procedimientos y resultados. • Ampliar y profundizar los conocimientos, de manera que se favorezca la comprensión y el uso eficiente de

las herramientas matemáticas. • Avanzar desde el requerimiento de ayuda al resolver problemas hacia el trabajo autónomo.

Cuarto periodo escolar, al concluir el tercer grado de secundaria, entre 14 y 15 años de edad

En este periodo los estándares están organizados en tres ejes temáticos: Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida, y Manejo de la información. Al egresar del nivel de secundaria, los estudiantes saben efectuar cálculos con expresiones algebraicas, cuyos coeficientes sean números racionales, formulan ecuaciones o funciones para resolver problemas, calculan volúmenes y resuelven problemas geométricos con apoyo de las propiedades de las figuras y cuerpos. Calculan porcentajes y probabilidades de eventos simples o compuestos, y comunican e interpretan información mediante el uso de diferentes tipos de gráficas. En este periodo se continúa promoviendo el desarrollo de actitudes y valores que son parte esencial de la competencia matemática y que son el resultado de la metodología didáctica que se propone para estudiar matemáticas.

1. Sentido numérico y pensamiento algebraico

Este eje temático se subdivide en cuatro temas: 1.1. Números y sistemas de numeración. 1.2. Problemas aditivos. 1.3. Problemas multiplicativos. 1.4. Patrones y ecuaciones.

Los Estándares Curriculares para este eje temático son los siguientes. El alumno: 1.1.1. Resuelve problemas que implican convertir números fraccionarios a decimales y viceversa. 1.1.2. Resuelve problemas que implican calcular el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor. 1.2.1. Resuelve problemas aditivos que impliquen efectuar cálculos con expresiones algebraicas. 1.3.1. Resuelve problemas multiplicativos con expresiones algebraicas a excepción de la división entre polinomios. 1.4.1. Resuelve problemas que implican expresar y utilizar la regla general lineal o cuadrática de una sucesión. 1.4.2. Resuelve problemas que involucran el uso de ecuaciones lineales o cuadráticas.

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2. Forma, espacio y medida

Este eje temático se subdivide en dos temas: 2.1. Figuras y cuerpos. 2.2. Medida.

Los Estándares Curriculares para este eje temático son los siguientes. El alumno: 2.1.1. Resuelve problemas que implican construir círculos y polígonos regulares con base en información diversa, y usa las relaciones entre sus puntos y rectas notables. 2.1.2. Utiliza la regla y el compás para realizar diversos trazos, como alturas de triángulos, mediatrices, rotaciones, simetrías, etcétera. 2.1.3. Resuelve problemas que impliquen aplicar las propiedades de la congruencia y la semejanza en diversos polígonos. 2.2.1. Calcula cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas de perímetro, área y volumen. 2.2.2. Determina la medida de diversos elementos del círculo, como circunferencia, superficie, ángulo inscrito y central, arcos de la circunferencia, sectores y coronas circulares. 2.2.3. Aplica el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas seno, coseno y tangente en la resolución de problemas.

3. Manejo de la información Este eje temático se subdivide en los siguientes temas: 3.1. Proporcionalidad y funciones. 3.2. Nociones de probabilidad. 3.3. Análisis y representación de datos.

Los Estándares Curriculares para este eje temático son los siguientes. El alumno: 3.1.1. Resuelve problemas vinculados a la proporcionalidad directa, inversa o múltiple, como porcentajes, escalas, interés simple o compuesto. 3.1.2. Expresa algebraicamente una relación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades. 3.2.1. Calcula la probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes. 3.3.1. Lee y representa información en diferentes tipos de gráficas; calcula y explica el significado del rango y la desviación media.

4. Actitudes hacia el estudio de las matemáticas

Al término de la Educación Básica, el alumno: 4.1. Desarrolla un concepto positivo de sí mismo como usuario de las matemáticas, el gusto y la inclinación por comprender y utilizar la notación, el vocabulario y los procesos matemáticos. 4.2. Aplica el razonamiento matemático a la solución de problemas personales, sociales y naturales, aceptando el principio de que existen diversos procedimientos para resolver los problemas particulares. 4.3. Desarrolla el hábito del pensamiento racional y utiliza las reglas del debate matemático al formular explicaciones o mostrar soluciones. 4.4. Comparte e intercambia ideas sobre los procedimientos y resultados al resolver problemas.

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BLOQUE 1

Aprendizajes esperados:

Explica la diferencia entre eventos

complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.

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9° Bloque Eje Tema Nombre de la consigna Contenido Plan Clave

1 1 LMS SN y PA Patrones y Ecuaciones Procedimientos personales 9.1.1 1/4 G9B1C1

Contenido: 9.1.1 Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando

procedimientos personales u operaciones inversas.

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos personales u operaciones inversas, al resolver

problemas que implican una ecuación cuadrática.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas. Si lo consideran necesario, utilicen su calculadora y traten de justificar sus respuestas. 1. El cuadrado de un número menos 5 es igual a 220. ¿Cuál es ese número?

2. El cuadrado de un número más el mismo número es igual a 306. ¿Cuál es ese número?

3. El producto de dos números consecutivos es 552. ¿Cuáles son esos números?

Consideraciones previas: Se sugiere que cuando la mayoría de los equipos termine de resolver el primer problema, hacer

un alto para analizar los procedimientos utilizados. Lo más probable es que utilicen el ensayo y error, es decir, que vayan

probando con diferentes números hasta encontrar el que cumple con las condiciones del problema. En este momento conviene pedirles que traten de formular una ecuación, darles unos minutos y analizar las ecuaciones formuladas. La

siguiente pregunta es ¿qué se puede hacer para resolver una ecuación como ésta? x2 – 5 = 220. Un recurso posible es

simplificar la ecuación: x2 = 225 y luego sacar raíz cuadrada en ambos miembros para obtener el valor de x. Otro

recurso es hacer el camino de regreso: a 220 sumarle 5, luego sacar raíz cuadrada al resultado.

La finalidad de hacer un alto después de resolver el primer problema es socializar los recursos utilizados para que más

alumnos tengan elementos para resolver los demás problemas. De cualquier manera, es importante dedicar el tiempo suficiente para revisar los resultados y procedimientos de los demás problemas.

Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?

3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.

Muy útil Útil Uso limitado Pobre

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2 1 LMS SN y PA Patrones y Ecuaciones Planteando ecuaciones I 9.1.1 2/4 G9B1C1



Intenciones didácticas: Que los alumnos planteen ecuaciones cuadráticas y las resuelvan mediante procedimientos

personales u operaciones inversas.

Consigna: En equipo resuelvan los siguientes problemas. Para ello, planteen y resuelvan una ecuación para cada caso. Si consideran

necesario, utilicen su calculadora y traten de justificar sus respuestas.

1. El cuadrado de un número es igual al triple del mismo. ¿De qué número se trata?

2. El cuadrado de un número menos el doble del mismo número es igual a 24. ¿Cuál es ese número?

3. El cuadrado de un número es igual a la tercera parte del mismo más 8. ¿Cuál es ese número?

Consideraciones previas: Las ecuaciones que resultan de los problemas anteriores son cuadráticas y pueden resolverse por ensayo y error, procedimiento muy probable que utilicen los alumnos. Es necesario considerar al menos 15 minutos

para la discusión e iniciar con la revisión de las ecuaciones para ver si son iguales, equivalentes o distintas. Después,

hay que analizar los procedimientos que usaron para resolverlas.

Conviene decir en esta sesión que las tres ecuaciones que resultan son de segundo grado y que a diferencia de las de primer grado, la incógnita está elevada al cuadrado.

Una vez que los alumnos son capaces de plantear y resolver problemas como los anteriores, se pueden proponer

ejercicios de resolución de ecuaciones como las siguientes:

a) 042 x

b) 14452x

c) 082 2 x

d) 3522 xx






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3 1 LMS SN y PA Patrones y Ecuaciones Planteando ecuaciones II 9.1.1 3/4 G9B1C1



Intenciones didácticas: Que los alumnos formulen la ecuación cuadrática que modela una situación y la usen para calcular datos faltantes empleando procedimientos personales u operaciones inversas.

Consigna. En equipo resuelvan los siguientes problemas. Para ello, planteen y resuelvan una ecuación para cada caso. Si consideran necesario, utilicen su calculadora.

1. El parque de una colonia está ubicado en un terreno cuadrado. Una parte cuadrada del terreno de 50m por lado se ocupa como estacionamiento y el resto es el jardín con un área de 14 400 m

2. Calculen cuánto mide por lado todo el terreno.

Ecuación: _______________

2. A una pieza de cartón de forma cuadrada (Fig. 2), se le recortan cuadrados en las esquinas para hacer una caja sin tapa, con las siguientes medidas: Altura = 10 cm; Volumen =1 000 cm

3. Calculen la medida por lado del cartón que se necesita para hacer la

caja.

Ecuación: ____________

Consideraciones previas: Para el primer caso, se espera que los alumnos plateen la ecuación cuadrática x2 – 2 500 = 14

400 y que realicen los cálculos necesarios para determinar el resultado del problema que es 130 m.

Es importante hacer notar que la ecuación tiene dos soluciones: x1=130 y x2=-130; sin embargo, sólo una de ellas

cumple con las condiciones del problema, puesto que las longitudes no pueden ser negativas. También hay que aprovechar este problema para informar a los alumnos que las ecuaciones de segundo grado pueden tener dos soluciones

como en el caso anterior, una solución o ninguna.

El razonamiento para formular la ecuación del segundo problema es más complejo, sin embargo hay que esperar a que los alumnos realicen la tarea por sí solos y sólo brindarles ayuda si es muy necesario. La ecuación que resulta es

)10()20(1000 2 x , misma que si se divide entre 10 se obtiene 100=(x-20)2 y si a ésta se le extrae raíz cuadrada

queda así: 10=x-20, de donde resulta que x=30.

Es probable que los alumnos obtengan este mismo resultado por otros medios, lo importante es que sepan explicar el procedimiento utilizado y por qué el resultado cumple con las condiciones del problema.






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4 1 LMS SN y PA Patrones y Ecuaciones Inventa problemas 9.1.1 4/4 G9B1C1



Intenciones didácticas: Que los alumnos traduzcan al lenguaje común ecuaciones cuadráticas y las resuelvan usando


Consigna: Organizados en parejas, inventen un problema que se pueda resolver con cada una de las ecuaciones presentadas. Resuelvan y comprueben resultados. Pueden utilizar calculadora.

a) 2703 xx b) 1322 aa c) 1023 2 nn

a) _______________________________________________________________________________________

b) _______________________________________________________________________________________

c) _______________________________________________________________________________________

Consideraciones previas: La traducción de una ecuación a un problema no es una tarea sencilla pero es importante que

los alumnos la llevan a cabo, con el fin de que le busquen sentido a una expresión algebraica.

Los problemas inventados pueden corresponder a diferentes contextos tales como, cálculo de áreas, edades, números, dinero, etcétera, sin embargo, para una misma ecuación, los problemas siempre tendrán la misma estructura. Por

ejemplo, para la del inciso a, los problemas pueden ser:

El largo de un rectángulo mide tres unidades más que el ancho y el área es 270 m2, ¿Cuáles son las

dimensiones del rectángulo?

El producto de dos números es 270. Si uno es tres unidades mayor que el otro, ¿cuáles son los números?

Juan es tres años mayor que su hermano Luis. Si el producto de sus edades es 270, ¿qué edad tiene cada

uno?

Los procedimientos para resolver las ecuaciones pueden ser todavía de ensayo y error, es hasta el siguiente bloque

cuando se empieza el estudio de procedimientos más sistemáticos.






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5 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos De la misma forma 9.1.2 1/4 G9B1C2

Contenido: 9.1.2: Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis

de sus propiedades.

Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionen sobre las propiedades que guardan los elementos homólogos al construir triángulos semejantes y que adviertan que la congruencia es un caso especial de la semejanza.

Consigna: Equipos resuelvan los siguientes problemas. 1. Cada integrante del equipos construya los triángulos cuyos ángulos midan:

a) 60º, 60º y 60º

b) 90º, 45º y 45º

c) 90º, 60º y 30º

2. Agrupen sus triángulos, de acuerdo con las medidas de sus ángulos. Después contesten: ¿Por qué creen que los triángulos de cada grupo tienen la misma forma

3. Elijan dos triángulos que tengan la misma forma y hagan lo siguiente:

a) Nombren uno de los triángulos con las letras ABC y al otro con A’B’C’

b) Nombren los lados de uno de los triángulos con las letras abc y los lados del otro con a’b’c’.

c) Midan los lados de ambos triángulos y anoten los datos que se piden en la siguiente tabla.

Triángulo ABC a= b= c= a´

a

b´

b

c´

c

Triángulo A’B’C’ a’= b’= c’= b

a

b´

a´

d) ¿Por qué se puede asegurar que los lados de los triángulos ABC y A’B’C’ son proporcionales?

Consideraciones previas:

En esta actividad se debe dejar la opción a los alumnos de hacer los trazos con el juego geométrico o con un software de

geometría dinámica (por ej. Cabri-Géomètre).

Es importante que los alumnos se den cuenta de que dados tres ángulos se obtienen triángulos cuyos lados pueden tener

diferentes medidas, pero conservan la misma forma, es decir, son triángulos semejantes.

Al encontrar la razón entre los lados homólogos deberán concluir que se trata de una constante, lo cual indica que las

medidas aumentan o disminuyen en la misma proporción.

Es probable que en la construcción de triángulos o en la elección de triángulos para encontrar las razones de lados homólogos, se trate de triángulos de lados iguales, es decir, que tengan la misma forma y el mismo tamaño, si así sucede

es importante que los estudiantes analicen sus propiedades y concluyan que también se trata de triángulos semejantes. Si

no sucede lo anterior, se sugiere que el profesor proponga dicho análisis, con la intención de que los alumnos adviertan que los triángulos semejantes tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño, que los triángulos

congruentes también son semejantes.






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6 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos Ampliación de una fotografía 9.1.2 2/4 G9B1C2


de sus propiedades.

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen las propiedades de la semejanza al resolver problemas.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema.

Se quiere ampliar una fotografía cuyas medidas son 4 cm de largo por 2 cm de ancho, de tal manera que el homólogo del lado que mide 4 cm, mida 7 cm en la fotografía ampliada, ¿cuánto deberá medir el otro lado?


Es necesario que durante la puesta en común los alumnos expliquen cómo determinaron la medida faltante. Un

procedimiento posible es la regla de tres. Otro es buscar la constante de proporcionalidad entre 4 y 7, que es 7/4 y la

multipliquen por 2.

En caso de que resuelvan este problema muy rápido y quede tiempo, se les puede pedir que:

Reproduzcan el siguiente rompecabezas (tangram), de manera que el lado que mide 2.5 cm, mida 4 cm en el tangram reproducido.

Si este problema no se concluye en clase, se puede dejar de tarea. Los alumnos podrán comprobar que están bien los

trazos que realizaron si las piezas embonan perfectamente.






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7 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos Vértices colineales 9.1.2 3/4 G9B1C2


de sus propiedades.

Intenciones didácticas: Que los alumnos verifiquen que los vértices de rectángulos semejantes que tienen un vértice común, son colineales.

Consigna: En equipos resuelvan el siguiente problema. Tracen los rectángulos que muestran el tamaño de las fotografías de la sesión anterior sobre el siguiente plano cartesiano, ubicando uno de sus vértices en el origen de éste y tracen otros dos rectángulos semejantes a los dos primeros, de manera que coincidan con el punto (0,0). Expliquen cómo pueden saber que los dos últimos rectángulos son semejantes a los primeros.


Es probable que los alumnos justifiquen la semejanza estableciendo la razón entre los lados de los rectángulos dibujados; sin embargo, también se les puede preguntar qué se observa con respecto a los vértices que no están sobre los ejes del

plano y establecer que todos ellos quedan sobre una recta, por lo que son colineales.

También se puede concluir que los segmentos paralelos entre dos líneas secantes son proporcionales; en este caso las

secantes son x (eje horizontal) y m (línea) que une los vértices de los rectángulos (Teorema de Tales).






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8 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos Polígonos semejantes 9.1.2 4/4 G9B1C2


de sus propiedades.

Intenciones didácticas: Que los alumnos usen las propiedades de la semejanza al construir dos polígonos semejantes.

Consigna: En equipos, construyan un pentágono regular semejante al que aparece abajo, pero cuyos lados midan el doble; tomen como referencia el punto E’.

a) Comparen los lados homólogos de ambos polígonos y escriban el factor de proporcionalidad entre ellos. Después digan

cómo son los ángulos correspondientes entre ambos polígonos.

Consideraciones previas: Nuevamente los alumnos deberán concluir que el factor de proporcionalidad de los lados homólogos es constante y que

los ángulos correspondientes entre ambos polígonos son iguales.

También se les puede pedir que unan el punto O con los demás puntos del polígono dado y con sus homólogos del

polígono que trazaron y observen que nuevamente se obtienen segmentos proporcionales entre dos secantes.

Se sugiere realizar la actividad “El pantógrafo” del fichero de actividades págs. 108 y 109.






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9 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos ¿Cómo deben ser las medidas de los lados? 9.1.3 1/6 G9B1C3

Contenido: 9.1.3 Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con

información determinada.

Intención didáctica. Que los alumnos concluyan que para formar un triángulo es necesario que la suma de dos de sus lados sea

mayor que el tercer lado.

Consigna 1. Organizados en equipos, realicen la actividad 1 de la ficha “Triángulos con palillos”, págs. 94 y 95, Fichero de actividades didácticas. Matemáticas, secundaria.

TRIÁNGULOS CON PALILLOS Fichero de Actividades Didácticas

Tema 5: Triángulos y cuadriláteros.

Material: Una caja de palillos (por equipo).

¿Cuántos triángulos diferentes se pueden construir con un mismo número entero de palillos? Para saberlo, van a construir triángulos y a llenar la siguiente tabla. Los palillos serán usados en el perímetro todos a la vez.

Número de palillos

Número de triángulos diferentes que pueden formarse

Medidas de los lados (unidad: palillo)

1 0

2 0

3 1 1-1-1

4

5

6

7

8

9

10

11 4 5-5-1, 5-4-2, 5-3-3, 4-4-3

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14

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Consigna 2. Individualmente dibuja, si es posible, el triángulo DEF con las medidas indicadas en cada inciso. Al terminar contesta las preguntas.

a) DE = 3 cm; EF = 4 cm y FD = 5 cm b) DE = 4 cm; EF = 5 cm y FD = 10 cm c) DE = 5 cm; EF = 7 cm y FD = 5 cm d) DE = 8 cm; EF = 3 cm y FD = 4 cm

1. ¿En cuáles casos no pudiste construir el triángulo solicitado? ¿A qué crees que se debe?

2. Da dos ejemplos diferentes donde no se pueda construir un triángulo y explica por qué.

Consideraciones previas.

Para realizar las actividades correspondientes a este apartado es necesario que los alumnos usen su juego de geometría, tijeras y en

especial para este plan se necesitan palillos.

Se pretende que los alumnos analicen cuándo es posible formar triángulos y cuándo no.

Es necesario que los alumnos se den cuenta de qué condiciones deben cumplir las medidas de los lados para construir un triángulo y

las enuncien con sus propias palabras: “la suma de las medidas de dos lados cualesquiera de un triángulo debe ser mayor que la

medida del tercer lado”, o bien, “la suma de las medidas de los dos lados menores debe superar la medida del lado mayor”.

Se anexa la ficha indicada en la consigna 1, como ANEXO 1






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ANEXO 1 DEL PLAN (1/6)

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10 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos Fíjate en los lados 9.1.3 2/6 G9B1C3



Intención didáctica: Que los alumnos enuncien el criterio de congruencia de triángulos basado en la medida de sus tres lados (LLL).

Consigna: Organizados en equipos, construya cada uno un triángulo con la medida de los segmentos que se dan enseguida, recorten sus triángulos y compárenlos con los de sus compañeros de equipo. Después contesten las preguntas.

a) ¿Los triángulos dibujados por cada uno de ustedes fue igual al de sus compañeros de equipo?

b) Si hubo diferencias, analicen sus trazos y digan a qué se debieron.

c) ¿Serán iguales los triángulos que ustedes trazaron con los trazados por el resto de sus compañeros de grupo? ¿Por qué?

d) ¿Dada la medida de los tres lados es suficiente para obtener triángulos iguales?

Consideraciones previas

En esta actividad es importante que los alumnos observen que sus triángulos son iguales, no importa la posición en que

los hayan dibujado (aquí se puede insistir que la posición no determina la igualdad o no de dos o más figuras). Asimismo, será necesario que todos los alumnos concluyan que si los tres lados de dos triángulos tienen la misma medida, entonces

ambos triángulos son congruentes. Es necesario pedir juego de geometría y tijeras.

Antes de llegar a esta conclusión el maestro puede cuestionarlos acerca de si creen que sea posible obtener un triángulo diferente, dadas las medidas de los tres lados.






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11 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos Con dos lados y un ángulo 9.1.3 3/6 G9B1C3



Intención didáctica: Que los alumnos enuncien el criterio de congruencia de triángulos basado en la medida de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (LAL).

Consigna 1. Organizados en equipos, cada uno construya un triángulo con los segmentos que aparecen enseguida de manera que entre ellos formen un ángulo de 60°. Comparen sus triángulos y digan qué sucedió.

Consigna 2. Con los mismos datos dibujen un triángulo diferente al anterior. Comenten con sus compañeros de equipo qué sucedió y por qué.

Consideraciones previas: Tal vez los alumnos digan que si el ángulo señalado se traza del lado izquierdo es diferente que si se traza del lado derecho. Será necesario cuestionarlos hasta que lleguen a la conclusión de que este hecho no importa.

Una vez realizado este ejercicio será necesario que concluyan que dadas estas tres condiciones (la medida de dos lados y

el ángulo que forman entre ellos) siempre se obtendrán triángulos iguales. Éste es otro criterio de congruencia.

En caso de que el ejercicio se realice rápido y haya tiempo, se les puede pedir que un alumno dé la medida de dos segmentos y el ángulo que forman entre ellos, para que sus compañeros tracen el triángulo correspondiente y lo

comparen. Pedir para esta clase su juego de geometría y tijeras.






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12 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos Con dos ángulos y un lado 9.1.3 4/6 G9B1C3



Intención didáctica: Que los alumnos, con base en las actividades realizadas, enuncien de manera precisa la

congruencia de triángulos a partir de la medida de dos ángulos y el segmento entre ellos (ALA).

Consigna 1: Organizados en parejas, construyan un triángulo con el segmento AC y los ángulos que se indican. Al terminar, compárenlo con el de otras parejas poniéndolos a contraluz.

A_____________________________C A = 40° C = 70°

Consigna 2: Cada integrante de la pareja dibuje un triángulo cualquiera. Después, cada uno anote en un papelito tres medidas del triángulo que construyó para que con esta información la pareja pueda construir un triángulo igual. Comparen los triángulos para ver si efectivamente son iguales.

Consideraciones previas: Es probable que algún alumno no sepa dónde y cómo trazar los ángulos que se indican, así que se les puede ayudar indicándoles cómo hacerlo. Antes de realizar la actividad de la consigna dos, posiblemente consideren que si cambian de

posición los ángulos, es decir que A = 70° y C = 40°, obtengan un triángulo diferente al anterior. Conviene que verifiquen si esto es cierto y, si es necesario, pedirles que recorten el triángulo y lo comparen con el anterior. De esta

manera se debe llegar a la conclusión de que dada la medida de dos ángulos y el segmento entre éstos, se obtienen

triángulos congruentes. No olvidar pedir juego de geometría y tijeras. La segunda consigna es para que concluyan que con tres medidas de un triángulo dado se puede construir otro triángulo

congruente, siempre y cuando las tres medidas no sean los tres ángulos. Si es necesario hay que ayudarlos a formular

esta conclusión. Se anexa la hoja de trabajo de Emat “Figuras directa o inversamente congruentes”, páágs.124 y 125, para

trabajar con Cabri. ANEXO 2






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ANEXO 2 DEL PLAN (4/6)

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13 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos Con la misma forma 9.1.3 5/6 G9B1C3



Intenciones didácticas: Que los alumnos enuncien los criterios de semejanza de triángulos a partir de las construcciones

y la discusión acerca de la existencia y la unicidad.

Consigna: De manera individual traza, sobre una hoja blanca, un triángulo equilátero. Cuando termines el trazo, haz lo que se indica más abajo. 1. Reúnanse en equipos y comparen sus triángulos. Verifiquen que, aunque sean de distintos tamaños, todos son semejantes

porque tienen la misma forma. ¿A qué creen que se debe que todos son semejantes?

2. Tomen dos de los triángulos que construyeron y contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la razón entre los lados de esos triángulos?

b) ¿Cuál es la razón entre sus perímetros?

c) ¿Cuál es la razón entre sus áreas?

3. Construya cada quien un cuadrado, procurando que sean de distintos tamaños, después contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Por qué creen que todos los cuadrados que construyeron son semejantes? Consideren solamente dos cuadrados para

contestar lo siguiente:

b) ¿Cuál es la razón entre sus lados?

c) ¿Cuál es la razón entre sus perímetros?

d) ¿Cuál es la razón entre sus áreas?

Consideraciones previas: La idea de iniciar el estudio de este apartado con el análisis de dos figuras regulares (lados y

ángulos iguales), es que los alumnos tengan una idea general de lo que es la semejanza (figuras que tienen la misma forma), para después analizar algunos casos particulares. Es probable que varios alumnos pregunten qué es razón, ante

lo cual hay que recordarles que una razón es un cociente entre dos cantidades. Por ejemplo, si un lado de un triángulo

equilátero mide 3 cm y un lado de otro triángulo equilátero mide 5 cm, la razón entre los lados es 3/5 o bien 5/3,

dependiendo de cuál triángulo se toma como punto de partida. A los alumnos les llamará la atención el hecho de que la razón entre los perímetros sea la misma que la razón entre los

lados, pero no sucede lo mismo con la razón entre las áreas. Hay que pedirles que traten de explicar a qué se debe esto.






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14 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos Una razón constante 9.1.3 6/6 G9B1C3



Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen la relación que existe entre las medidas de los lados homólogos de dos

triángulos semejantes.

Consigna: De manera individual traza, en una hoja blanca, un triángulo escaleno (tres lados desiguales) cuyos ángulos

midan respectivamente 80°, 60° y 40°. Cuando termines tu trazo, haz y contesta lo que se indica en seguida.

a) Reúnete con tu equipo y comparen sus triángulos.

b) ¿Por qué creen que resultaron semejantes?

c) Tomen dos triángulos cualesquiera de los que construyeron, identifiquen los lados correspondientes y

márquenlos como se indica en el siguiente dibujo. Después, calculen las razones expresadas con letras.

´´BA

AB

´'CB

BC

´´AC

CA

d) ¿Cuál es la razón entre los lados correspondientes de los triángulos que trazaron? _________________

e) ¿Cuál es la razón entre los perímetros? _______________________________

f) ¿Cuál es la razón entre las áreas? ___________________________________

Consideraciones previas: Es importante que durante la puesta en común se explicite el hecho de que, en dos o más

triángulos que son semejantes se cumplen dos propiedades importantes:

Primera: sus ángulos son respectivamente iguales Segunda: la razón entre sus lados correspondientes es constante.

Esta segunda propiedad puede expresarse con letras de la siguiente manera:

'' BA

AB=

''CB

BC=

'' AC

CA






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15 1 LMS MI Proporcionalidad y funciones

Diferentes representaciones de la misma situación

9.1.4 1/2 G9B1C4

Contenido: 9.1.4 Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas), que corresponden a una misma

situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.

Intenciones didácticas:

Que los alumnos calculen el valor faltante en una gráfica cartesiana y logren identificar la variación directa en diversas representaciones.

Consigna: Reunidos en equipos resuelvan los siguientes problemas:

1. Con base en la gráfica de la travesía de una moto de carreras que va a una velocidad constante y se encuentra en determinado momento en el punto A (abscisa 20, ordenada 50) contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es el valor de la ordenada del punto cuya abscisa es 1?

b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

c) ¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde a esta gráfica?

2. ¿Cuál de las siguientes situaciones puede asociarse con la representación anterior?

a) Luis tiene 50 años de edad y su hija Diana 20 ¿Qué edad tenía Luis

cuando su hija tenía 1 año?

b) En una librería hay una pila de 20 libros iguales que alcanzan una altura de 50 cm. ¿De qué grosor es cada libro?

Consideraciones previas: Si es necesario, en el problema 1, propiciar que los alumnos reflexionen sobre la obtención de la constante de proporcionalidad y la expresión algebraica. En el problema 2 sugerirles que usen la misma representación gráfica del

problema 1 para validar los resultados a) y b) antes de responderlo. Si el tiempo lo permite, plantear otros problemas

usando la misma gráfica, considerando que el eje de las x corresponda al tiempo (minutos) y el eje de las y, a la distancia

(kilómetros) tales como: a) ¿Cuál es la distancia que recorrió la moto a los 10 minutos?

b) ¿Cuánto tiempo empleó en recorrer 40 km?

c) ¿Cuál es la velocidad constante a la que se desplaza esta moto?






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A

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30

y

x

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16 1 LMS MI Proporcionalidad y funciones ¿Cuáles son directamente proporcionales? 9.1.4 2/2 G9B1C4

Contenido: 9.1.4 Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas), que corresponden a una misma

situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.

Intenciones didácticas: Que los alumnos calculen el valor faltante en tabulaciones y a partir de expresiones algebraicas;

asimismo, logren identificar la variación directa en diversas representaciones.

Consigna 1. En equipos resuelvan el siguiente problema:

Un automóvil viaja a una velocidad constante, algunas distancias y tiempos de recorrido se muestran en la tabla. Completa los datos que hacen falta en ella y contesta las preguntas.

Tiempo (h)

1.5 3 5

Distancia (km)

240 720

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?_____________________

b) ¿Cuál de las siguientes expresiones td 40 , td 80 , td 120 es la que

corresponde? Argumenten su respuesta,

c) Con base en la expresión algebraica identificada, calculen la distancia recorrida por el automóvil en:

10 horas ________________________________

12 horas y media ______________________________

Consigna 2. Dadas las siguientes situaciones identifiquen las que son variación proporcional directa y argumenten sus respuestas.

a) En la taquería de la esquina tienen esta tabla para calcular el precio de los tacos:

tacos Precio ($)

3 12

5 20

8 32

b) El número de obreros que se necesitan para la construcción de una casa en un tiempo flexible se muestra en la siguiente gráfica:

c) La fórmula para calcular el 30% de descuento en una tienda está dada

por la expresión xy 30.0

.

Consideraciones previas: Tener en cuenta que el inciso b) de la consigna 2 es variación inversa y si es necesario, ayudar a los alumnos a reflexionar en esta actividad.

Si el tiempo lo permite, para el caso del inciso a, se les puede pedir a los alumnos que construyan la gráfica y

determinen la expresión algebraica que representa la relación de los datos. En el caso del inciso c, se les puede pedir que construyan una tabla y una gráfica que representa dicha expresión algebraica.






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0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

40.0

45.0

50.0

1

ob

rero

s

tiempo

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17 1 LMS MI Proporcionalidad y funciones Los víveres 9.1.5 1/3 G9B1C5

Contenido: 9.1.5 Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes

situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas.

Intenciones didácticas: Que los alumnos relacionen dos conjuntos de datos que guardan una relación cuadrática e

identifiquen la expresión que modela dicha relación.

Consigna: En equipos resuelvan el siguiente problema:

Un avión dejó caer un paquete con víveres desde una altura de 245 metros. Algunos datos que se registraron son los siguientes:

Tiempo transcurrido (seg) 0 1 2 3 4

Distancia de caída (m) 0 5 20 45 80

a) De acuerdo con la información, completen la siguiente tabla:

Tiempo Distancia de caída Altura a la que se encuentra

el paquete

0 0 245

1 5 240

2 20

3 45

4 80

5

6

7

b) ¿Cuánto tiempo tardó el paquete en llegar al suelo?

c) ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular la distancia de caída (d) en función del tiempo transcurrido ( t )?

________ Justifiquen su respuesta. 25td td 5 td 25

25 td


La finalidad de la pregunta del inciso b es que los alumnos, por sí solos, encuentren la relación que hay entre las dos primeras columnas de la tabla, siendo conscientes de que no es fácil encontrar dicha relación. En todo caso, el inciso c

permitirá a los alumnos probar las fórmulas que se proponen y encontrar la que permite relacionar el tiempo con la

distancia de caída. Una vez encontrada la fórmula 25td , es necesario que los alumnos prueben que funciona en todos

los casos y después explicarles que en dicha fórmula hay una constante (5) que tiene que ver con la fuerza de gravedad.






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18 1 LMS MI Proporcionalidad y funciones El proyector y la pantalla 9.1.5 2/3 G9B1C5



Intenciones didácticas: Que los alumnos relacionen dos conjuntos de datos que guardan una relación cuadrática y

determinen la expresión que modela dicha relación.

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema:

Cuando se proyecta una película, el área de la imagen depende de la distancia entre el proyector y la pantalla, como se ilustra a continuación

Distancia entre el proyector y la pantalla (m)

1 2 3

Área de la imagen en m

2

4 16 36

a) Escriban la expresión algebraica que muestre la relación entre las distancias y las áreas.

b) Anoten los datos que hacen falta en la siguiente tabla.

Distancia entre el proyector y la pantalla (m)

1.5 2.5 3.5 4.5

Área de la imagen (m2)

c) Utilicen la expresión anterior para encontrar a qué distancia se debe colocar el proyector de manera que el área de la imagen sea

de 24.01 m2. d = ______________


Es probable que los alumnos no tengan mucha dificultad para encontrar la relación entre las variables que intervienen

en este problema, puesto que es muy similar a la que se encontró en la sesión anterior. Para gestionar la actividad

adecuadamente, es necesario que primero se encuentre la expresión algebraica, con base en la información de la primera tabla, y después se use para encontrar los datos que faltan en la segunda tabla.

En el inciso c se trata de ver cómo los alumnos manejan la fórmula encontrada para encontrar la distancia cuando se conoce el área. El despeje que deben hacer no es simple pero ya se ha estudiado anteriormente.






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19 1 LMS MI Proporcionalidad y funciones ¿Quién depende de quién? 9.1.5 3/3 G9B1C5



Intenciones didácticas: Que los alumnos expresen algebraicamente relaciones de variación cuadrática.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas:

1. Se tiene un cuadrado que tiene por lado x cm, ¿cuál es la expresión algebraica que permite determinar el área (y)? _____________________ Si al cuadrado se le aumentan 2 cm en una de las dimensiones y 3 cm en la otra dimensión, ¿cuál es la expresión que determina el área (y) del rectángulo que se ha formado?

2. En la escuela se organizó un torneo de Voleibol. Antes de iniciar un partido entre dos equipos de 10 integrantes cada uno, los jugadores de cada equipo saludarán a todos los elementos del equipo contrario.

a) ¿Cuántos saludos se realizan en total?

b) Si uno de los equipos tiene nueve integrantes, ¿cuántos saludos se realizaran en total?

c) ¿Qué expresión algebraica permite obtener el total de saludos (y), si uno de los equipos tiene x cantidad de integrantes y otro

tiene un jugador menos?

3. Se tiene un rectángulo que tiene un perímetro de 20 metros, el cual tiene un lado de longitud x metros. Escriban una expresión algebraica que represente la variación del área (y) en función de x.


Dado un tiempo razonable, si los equipos tienen problemas para construir

estrategias para llegar a las soluciones de los problemas, se les puede sugerir

que utilicen tablas con los valores de las variables o bien algún dibujo que

representa la situación.

Para el primer problema, una tabla como la siguiente permite deducir más

fácilmente la relación de las variables.

Medida de un lado

del cuadrado

Área del

cuadrado

2 cm 4 cm2

3 cm 9 cm2

5 cm 25 cm2

x cm ¿ ?

Para el tercer problema un dibujo como el siguiente permite comprender mejor el

problema y empezar a deducir la expresión del otro lado del rectángulo en función de x.

El otro lado puede escribirse como 10 - x.

Es importante subrayar que las expresiones que se piden en los problemas pueden escribirse de formas diferentes:

(x) (x) o bien x2

(x + 2) (x + 3) o bien x2 + 5x + 6

x (x – 1) o bien x2 – x

x (10 – x) o bien 10x – x2

Antes esta situación, se puede pedirles que resuelvan los factores para verificar su equivalencia con la otra expresión o bien pedirles que construyan una tabla con diferentes valores para la literal en cada expresión y que comparen los resultados, éstos deben ser

iguales si las expresiones son equivalentes.






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20 1 LMS MI Nociones de probabilidad Los volados 9.1.6 1/2 G9B1C6

Contenido: 9.1.6 Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos

complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.

Intenciones didácticas: Que los alumnos expresen la medida de la probabilidad mediante una fracción común, una expresión decimal o a través de un porcentaje y formalicen la escala de la probabilidad.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas: 1. Si se realiza el experimento de lanzar tres monedas al mismo tiempo. ¿Cuántos resultados puede haber? Represéntenlos de tal

manera que puedan verse todos.

2. Con base en los resultados de lanzar tres monedas al mismo tiempo, contesten lo siguiente:

a) La probabilidad del evento “Obtener 0 águilas” es 125.08

1

b) La probabilidad del evento “Obtener 1 águila” es _____8

3

c) La probabilidad de evento “Obtener 2 águilas” es _______8

d) La probabilidad del evento “Obtener 3 águilas” es ______

e) De los cuatro eventos anteriores, ¿cuál tiene mayor probabilidad? ________ ¿Por qué?

3. Completen las siguientes afirmaciones: a) Probabilidad del evento “Obtener 0 águilas”: 12.5 %. b) Probabilidad del evento “Obtener 1 águila”: ______% c) Probabilidad del evento “Obtener 2 águilas”: ______% d) Probabilidad del evento “Obtener 3 águilas”: ______%

4. En el experimento de lanzar tres monedas al mismo tiempo, ¿puede haber un evento cuya probabilidad sea 8

10?¿Por qué?


El primer reto de este plan es que los alumnos determinen el espacio muestral del experimento de lanzar tres monedas al

mismo tiempo y de representarlo de tal manera que se visualicen todos sus elementos. Algunas posibles representaciones son las siguientes:

Primer moneda

Segunda moneda

Tercer moneda

Resultado del experimento

A A A AAA

A A S AAS

A S A ASA

A S S ASS

S A A SAA

S A S SAS

S S A SSA

S S S SSS

Con respecto a los problemas 2 y 3, la intención es que los alumnos reconozcan que la probabilidad de un evento puede

escribirse con una fracción común, con una expresión decimal o con un porcentaje.

Con el problema 4, se espera que los alumnos deduzcan que la máxima probabilidad de un evento es 1 o el 100%. Este

momento es pertinente para plantear preguntas de reflexión que lleven a los estudiantes a definir un evento seguro y un

evento imposible y relacionarlos con su probabilidad, 1 y 0.

Se sugiere seguir construyendo y utilizando las siguientes nociones:

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La medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento o suceso A cuando se realiza un experimento aleatorio se llama probabilidad del evento o suceso A y se representa con P(A).

La probabilidad es una medida sobre la escala 0 a 1 de tal forma que:

• Al evento o suceso imposible le corresponde el valor 0

• Al evento o suceso seguro le corresponde el valor 1.

Espacio Muestral. Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, al conjunto de todos los

resultados posibles de dicho experimento. Ejemplo:

Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {sale águila, sale sol} o E = {A, S}.

Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6} o E = {1,

2, 3, 4, 5, 6}

Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es E = {(A, A), (A, S), (S, A), (S, S)}.

Evento o Suceso. Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio

muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:

Obtener un número primo, A = {2, 3, 5}

Obtener un número primo y par, B = {2}

Obtener un número mayor o igual a 5, C = {5, 6}






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21 1 LMS MI Nociones de probabilidad Lanzar el dado 9.1.6 2/2 G9B1C6

Contenido: 9.1.5 Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y

fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas.

Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen las características de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e

independientes.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas: 1. Analicen el siguiente experimento e identifiquen las características de los eventos B y C y M y N.

Experimento: Lanzar un dado. Espacio muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos Condición Conjunto solución Características de los eventos B y C

Evento B: “Cae un número menor que tres” B = {1, 2}

Evento C: “Cae un número mayor que cuatro” C = {5, 6}

Eventos Condición Conjunto solución Características de los eventos M y N

Evento M: “Cae el número tres” M = {3}

Evento N: “Cae un número distinto de tres” N = {1, 2, 4, 5, 6}

2. Contesten las preguntas siguientes: a) Se lanzan cuatro volados consecutivos y en todos ellos ha caído águila. ¿Cuál es la probabilidad de que en el quinto volado también caiga

águila?

b) En una caja hay cinco pelotas, una verde, una amarilla, una azul, una negra y una roja. Se realizan extracciones de una pelota al azar y se devuelve la misma a la caja. Si en la primera extracción resulta la pelota roja, en una segunda la verde y en una tercera nuevamente la roja,

¿qué probabilidad hay de sacar la pelota azul en una cuarta extracción.

Consideraciones previas: Con respecto a los eventos B y C, se espera que los alumnos se den cuenta que los dos eventos no pueden ocurrir en forma simultánea cuando se lanza el dado; es decir, el evento “Cae un número menor que tres” no ocurre en forma simultánea con el evento “Cae un número mayor que cuatro”, porque ningún elemento del evento B = {1, 2} aparece en los elementos del evento C = {5, 6} y viceversa. Posteriormente, el profesor puede comentar que este tipo de eventos reciben el nombre de “mutuamente excluyentes” y que su característica fundamental es que no pueden ocurrir en

forma simultánea. Es muy probable que adviertan que los eventos M y N tampoco pueden ocurrir simultáneamente, por lo tanto, ahora la tarea, es que los estudiantes adviertan la diferencia entre los eventos B y C y los eventos M y N. La diferencia es que la suma de las probabilidades de M y N es igual al 100%, mientras que esto no sucede necesariamente con los eventos B y C. El profesor puede comentar que los eventos que cumplen con las características de M y N se les llaman “eventos complementarios”. El complemento de M es N (Mc = N) y el complemento de N es M (Nc = M) En el caso de las dos preguntas del problema 2, es muy probable que dados los resultados anteriores, los estudiantes contesten que sea más probable que caiga águila y que la pelota azul tenga menos posibilidades de salir respecto a la roja y la verde. Si fuera necesario los alumnos pueden simular los experimentos, la idea es que deduzcan que cada vez que se realiza un volado o se extrae una pelota, los espacios muestrales son iguales, por lo tanto, siempre que se lanza un nuevo volado, la probabilidad de que caiga águila siempre es igual a ½ o al 50%; en el caso de las

pelotas, en cada extracción cada una de las cinco tiene el 20% de salir. Finalmente el profesor puede recapitular diciendo que cuando la probabilidad de un evento no es afectada por el resultado del otro, estos eventos se les llaman “eventos independientes”. Una vez que los alumnos han discutido ampliamente las características de los eventos mutuamente excluyentes, complementarios e independientes; se les puede solicitar que ellos busquen algunos ejemplos más de cada tipo.

También se pueden plantear actividades como las siguientes:

Señala en cada caso qué tipo de eventos corresponden y por qué.:

a) Experimento: Lanzamiento de un dado” Evento B = {2}

Evento C = {5, 6} Los eventos son: _______________________ porque _______________________________________________

b) Experimento: Lanzamiento de un dado” Evento B = {1, 3, 5} Evento C = {2, 4, 6}

Los eventos son: _______________________ porque _______________________________________________

c) Experimento: Lanzamiento de un dado y una moneda”

Evento B = {6, A} Evento C = {(1, S), (2, S), (3, S), (4,S), (5,S) } Los eventos son: _______________________ porque _______________________________________________






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22 1 LMS MI Análisis y representación de datos Los deportes preferidos 9.1.7 1/2 G9B1C7

Contenido: 9.1.7 Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre

las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas

convenientes para su presentación.

Intenciones didácticas: Que los alumnos diseñen y lleven a cabo un estudio estadístico, desde la planificación del proceso hasta la presentación de los resultados.

Consigna: Organizados en equipos, planifiquen y lleven a cabo las actividades necesarias para contestar la siguiente pregunta: ¿Cuáles son los deportes preferidos por los estudiantes de tu escuela?

Consideraciones previas: El hecho de que únicamente se les plantee a los alumnos una pregunta es con la intención de que ellos hagan un trabajo amplio, desde definir la información que necesitan y cómo obtenerla hasta la presentación de

los resultados. Cabe aclarar que esta actividad no es para una sesión de clase, sino para tres o cuatro. En la primera

sólo se integran los equipos y se ponen de acuerdo sobre la información que van a recabar, cómo y cuándo la van a recabar y de qué manera la van a registrar. Una segunda sesión sería para organizar la información recabada. La

tercera sería para hacer la presentación y una cuarta para analizar algunos resultados. Obviamente no serían sesiones

seguidas sino en función del trabajo que los alumnos van realizando.

Es probable que para algunos alumnos la pregunta planteada no sea interesante y hay que dejar abierta la posibilidad de

que la cambien.

Es importante comparar los resultados de los diferentes equipos y analizar las ventajas y desventajas de los trabajos

realizados, por ejemplo, hay que ver si sólo recabaron información de una muestra o de toda la población; por qué

decidieron una u otra forma de presentar los datos. Se sugiere que las muestras consideran al menos el 10% de la población.






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23 1 LMS MI Análisis y representación de datos Los deportes preferidos 9.1.7 2/2 G9B1C7

Contenido: 9.1.7 Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre

las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas

convenientes para su presentación.

Intenciones didácticas: Que los alumnos diseñen y lleven a cabo un estudio estadístico, desde la planificación del proceso hasta la presentación de los resultados.

Consigna: Organizados en equipos planifiquen y lleven a cabo las actividades necesarias para contestar la siguiente pregunta: ¿Cuál fue el comportamiento del peso frente al dólar a lo largo del mes?

Consideraciones previas: Igual que en el plan anterior se trata de que los alumnos asuman la responsabilidad de todo el proceso, desde la planificación de las actividades hasta la presentación de los resultados. En este caso está muy acotada

la información que se necesita pero hay que averiguar dónde se puede obtener para que sea confiable. Al final, hay que

elegir un tipo de gráfica que resulte adecuada para este tipo de información.

Igual que en el caso anterior, hay que dejar abierta la posibilidad de que los alumnos puedan cambiar la pregunta por

otra que les resulte más interesante.






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BLOQUE 2


Explica el tipo de transformación (reflexión,

rotación o traslación) que se aplica a una figura para obtener la figura transformada. Identifica las propiedades que se conservan.

Resuelve problemas que implican el uso del teorema de Pitágoras.

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24 2 LMS SN y PA Patrones y ecuaciones Los cuadrados 9.2.1 1/4 G9B2C1

Contenido: 9.2.1 Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.

Intenciones didácticas: Que los alumnos usen la factorización al resolver problemas y ecuaciones de la forma

02 bxax .

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas.

1. El área de un cuadrado es igual a 8 veces la medida de su lado. ¿Cuánto mide por lado el cuadrado?

2. El triple del área de un cuadrado menos seis veces la medida de su lado es igual a cero. ¿Cuánto mide por lado el cuadrado?


En el primer caso se espera que los alumnos escriban la ecuación xx 82 ; luego, es muy probable que vayan probando

con diferentes números hasta encontrar el valor de x que cumple con las condiciones del problema, que en este caso es 8.

Quizás algunos intenten despejar y lleguen a lo siguiente:

082 xx

Si esto sucede, ayudarles a ver que se puede factorizar el primer miembro de la ecuación como 8xx y que como este

producto es igual a cero, uno de los factores, o los dos, debe ser cero. De manera que, o bien 0x , o 08 x . De

esta última ecuación se desprende que 8x . De estas dos soluciones, 01 x y 82 x , claramente la que cumple con

las condiciones del problema es 8.

Puede ocurrir que en la ecuación xx 82 , algunos alumnos hagan lo siguiente:

8

8

8

2

2

x

x

x

x

x

xx

Esta es otra manera de encontrar una de las soluciones de la ecuación.

En el segundo problema la ecuación que se espera que planteen los alumnos es: 063 2 xx . Una vez que han

planteado la ecuación correctamente, pedirles que expresen a xx 63 2 como el producto de dos factores. En esta parte

es muy probable que lleguen a cualquiera de las siguientes ecuaciones equivalentes: 063 xx ; 023 xx ;

luego, que encuentren que los valores de x son 0 y 2.






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25 2 LMS SN y PA Patrones y ecuaciones Luis y su hermano 9.2.1 2/4 G9B2C1


Intenciones didácticas: Que los alumnos usen la factorización al resolver problemas y ecuaciones de la forma

02 bxax .

Consigna. En equipo resuelvan el siguiente problema:

La edad de Luis multiplicada por la de su hermano, que es un año mayor, da como resultado cinco veces la edad del primero. ¿Cuáles son las edades de Luis y de su hermano?

Consideraciones previas: Se espera que los alumnos planteen la ecuación: xxx 51

Una vez que hayan planteado la ecuación y traten de despejar x, es probable que lleguen a cualquiera de las siguientes

ecuaciones: 042 xx ó xx 42 .

En este caso, conviene retomar el primer caso y ayudarles a ver que se puede factorizar el primer miembro de la

ecuación, transformándose la expresión en 04 xx , y que los valores para x son 0 y 4.

En el segundo caso, es conveniente pedirles que igualen a cero la ecuación.

Una vez que hayan logrado determinar los valores de x, es necesario que verifiquen cuál de ellos es la solución del

problema.

Con la finalidad de que los alumnos se familiaricen con esta técnica que consiste en factorizar la ecuación para

encontrar las soluciones, hay que plantearles muchos otros problemas como los siguientes:


1. Con la finalidad de que te familiarices con esta técnica que consiste en factorizar la ecuación para encontrar las soluciones, resuelve estos problemas:

a) Calcular el lado de un cuadrado, sabiendo que el triple de su área es igual a 21 veces la longitud del lado.

b) El cuadrado de un número es igual al triple del mismo número. ¿Cuáles es ese número?

2. Ahora resuelvan algunas ecuaciones como las siguientes y propongan otras:

a) xxx 42

b) 012 xx

c) 042 2 xx






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26 2 LMS SN y PA Patrones y ecuaciones Aumentos a un cuadrado 9.2.1 3/4 G9B2C1


Intenciones didácticas: Que los alumnos usen la factorización al resolver problemas y ecuaciones de la forma 02 bxax .

Consigna. En equipo, resuelvan los siguientes problemas:

A un cuadrado (Fig. A) se le aumenta 7 cm de largo y 3 cm de ancho, con lo que se forma un rectángulo (Fig. B) cuya área es

21102 xx . Con base en esta información, contesten y hagan lo que se indica.

a) ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo construido (Fig. B)?

Base:_________ altura:_____________

b) Verifiquen que al multiplicar la base por la altura obtienen 21102 xx

c) Si el área de un rectángulo similar al de la figura B, es 1892 xx , ¿cuántos centímetros se le aumentó de largo y cuántos

de ancho?

d) Si el área 1892 xx es igual a 40 cm2, ¿cuántos centímetros mide de largo y cuántos centímetros mide de ancho el

rectángulo?

Consideraciones previas: Aunque en el primer apartado del bloque 1 se haya trabajado la factorización, hay que tomar en cuenta

que factorizar es una tarea compleja, por lo que en el caso del inciso c, hay que ayudarles a que se den cuenta que para encontrar los términos no comunes basta con descomponer el tercer término en dos factores tales que, sumados den el coeficiente del segundo

término y multiplicados den como resultado el tercer término del trinomio. Con ello, se espera que los alumnos factoricen al trinomio

como )3)(6( xx y determinen que se le aumentó 6cm de largo y 3cm de ancho.

En el caso del inciso d, se espera que los alumnos primero establezcan la igualdad 401892 xx , luego igualen a cero y

después factoricen; sin embargo es muy probable que algunos alumnos hagan lo siguiente: 40)3)(6( xx y luego por ensayo

y error determinen el valor de x. Si esto sucede hay que decirles que un camino es igualar a cero y luego factorizar, es decir, obtener

la ecuación: 02292 xx y luego factorizarla para obtener 0)2)(11( xx . Al llegar a esta forma hay que ayudarles a

ver que cada uno de los binomios se puede igualar a cero y se despejan las incógnitas, con lo cual se obtienen las dos soluciones de

la ecuación: 111 x y 22 x . Como no hay longitudes negativas, entonces el valor de x que satisface el problema es 2. Por lo

tanto, las dimensiones del rectángulo son 8cm de largo por 5cm de ancho.

Para consolidar lo aprendido hay que plantearles muchos otros problemas para resolver en el salón y de tarea. Por ejemplo:

a) ¿Cuántos metros mide por lado el siguiente cuadrado?

b) ¿Cuántos centímetros mide la base y cuántos centímetros mide la altura del siguiente paralelogramo?

c) ¿Cuáles son las dimensiones del siguiente rectángulo?






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27 2 LMS SN y PA Patrones y ecuaciones Marcos y fotografías 9.2.1 4/4 G9B2C1


Intenciones didácticas: Que los alumnos usen la factorización para resolver problemas y ecuaciones de la forma

02 cbxax .


Al desarmar las piezas que forman el marco de una fotografía y colocarlas alineadamente, como se muestra en el dibujo, se forma un rectángulo cuya área es 72 cm

2. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo que se forma?

Consideraciones previas: Al relacionar los datos del problema, se espera que los alumnos formulen la ecuación

72428 xx y después a su equivalente: 72284 2 xx . Después, plantearles la siguiente pregunta. ¿Qué se puede

hacer para simplificar la ecuación?

La idea de es que dividan entre 4 para llegar a lo siguiente: 1872 xx

Una vez que los alumnos lleguen a la ecuación anterior hay que pedirles que la igualen a cero y que la expresen como producto de dos factores que tienen un término común. Esta expresión escrita en su forma general es la siguiente:

0 bxax , misma que es equivalente a: abxbaxabbxaxx 22, es decir, se trata de encontrar

dos números que sumados den el coeficiente de x y multiplicados den el término independiente. Para la ecuación

1872 xx esos números son: 029 xx . A partir de aquí, las soluciones están a la vista: 2 9 21 xx , .

Como no hay longitudes negativas, entonces el valor de x que satisface el problema es 2. Por lo tanto, las dimensiones del rectángulo que se forma con las ocho piezas es 36cm de largo por 2cm de ancho.

Una variante del problema consiste en plantearles que el área de todo el rectángulo, formado por la foto y su marco es

72488262 xx . Pedirles que resuelvan esta ecuación para hallar el ancho y el largo del marco armado.

Para consolidar esta técnica que resuelvan por factorización ecuaciones las siguientes:

1. Resuelvan por factorización ecuaciones como las siguientes:

a) 0105 2 xx

b) 064 2 xx

c) xxx 742

d) 021102 mm

e) 0862 xx

f) nn 62

g) 025102 xx

h) 962 xx

i) 23612 xx

2. Encuentren una ecuación cuyas soluciones sean por ejemplo:

a) 1 3 21 xx ,

b) 7 5 21 xx ,

c) 1 4 21 xx ,

d) 3 4 21 xx ,

Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?




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28 2 LMS FE y M Figuras y cuerpos Completa las figuras 9.2.2 1/2 G9B2C2

Contenido: 9.2.2 Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras.

Intenciones didácticas: Que los alumnos comprendan que al trazar el simétrico de una figura, las medidas de los lados y los ángulos de la figura

original se conservan; además que reflexionen acerca de qué cualidades de las figuras se conservan al trazar su simétrico con respecto de un eje.

Consigna: Organizados en equipo, completen las siguientes figuras de manera que la recta m sea eje de simetría de cada figura y contesten las preguntas.

a) ¿Qué figura se formará en el tercer dibujo?

b) ¿A qué distancia de m estará el punto B’ en la primera figura?

c) ¿Cuál va a ser la medida de los lados simétricos en cada figura?

d) ¿Cuánto medirá el ángulo B’?

e) ¿Cuál va a ser la medida de los ángulos O’ y P’ en la segunda figura?

f) ¿Qué figura se formó en cada caso?

g) Las figuras anteriores ¿tienen otros ejes de simetría, además de m? Trázalos.

h) ¿Con qué otras figuras que tú conozcas sucede algo semejante?

Consideraciones previas: Los alumnos ya han realizado ejercicios en la primaria acerca de obtener la figura simétrica o de trazar todos los ejes de

simetría de una figura dada, pero no se ha formalizado el concepto de que los lados de una figura conservan su longitud

y su ángulo al trazar la figura simétrica. Es conveniente ir formalizando el lenguaje geométrico.






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29 2 LMS FE y M Figuras y cuerpos ¿Cómo se reflejan? 9.2.2 2/2 G9B2C2

Contenido: 9.2.2 Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras.

Intenciones didácticas: Que los alumnos figuras simétricas para que apliquen las propiedades.

Consigna. Tracen la figura simétrica a la dibujada. Consideren la línea q como eje de simetría. Al terminar los trazos, respondan las preguntas.

a) Describe el procedimiento que seguiste para trazar las figuras anteriores.

b) ¿Cómo son los lados y los ángulos de la figura simétrica con respecto de la original?

Consideraciones previas: En los casos donde el eje de simetría es diagonal, se les hará reflexionar en la perpendicularidad de las líneas auxiliares

y el eje de simetría, así como la medida de su longitud.






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30 2 LMS FE y M Figuras y cuerpos Trasladando y rotando 9.2.3 1/3 G9B2C3

Contenido: 9.2.3 Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de

figuras.

Intenciones didácticas. Que los alumnos anticipen cómo cambia una figura, al aplicarle una simetría, una rotación o una traslación.

Consigna. Organizados en parejas, averigüen cuáles transformaciones se realizaron para pasar de la figura original a la final. En cada

uno de los casos, señalen con líneas punteadas las transformaciones que identificaron. En cada caso, escribe qué tipo o tipos de

transformaciones sufrió la primera figura para obtener la segunda. CASO 1

Trapecio isósceles:

CASO 2

Cuadrilátero PQRS:

CASO 3

Pentágono ABCDE:


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Con respecto al primer caso, es probable que surjan diferentes

respuestas, por ejemplo, algunas de ellas podrían ser:

primero se realiza una simetría axial con relación al eje x,

luego una simetría central con centro de simetría sobre el eje

y.

primero una simetría axial con relación al eje y, luego una

traslación con dirección vertical y sentido hacia abajo.

una traslación con dirección oblicua y sentido hacia abajo.

Dos traslaciones, una con dirección horizontal y sentido a la

derecha y otra con dirección vertical y sentido hacia abajo.

Cualquiera de estas respuestas es válida, siempre y cuando se

indiquen con líneas punteadas las transformaciones realizadas, como

se muestra en la siguiente figura.

Con respecto al caso 2, también pueden surgir diferentes respuestas,

por ejemplo, aplicar dos simetrías axiales como se muestra en la

siguiente figura.

En el caso 3, no está marcado ningún eje de simetría, esto es con la finalidad de que los alumnos tracen los que consideren necesarios.

Seguramente la mayoría de los alumnos identificarán una simetría

axial y una traslación, pero puede haber otras respuestas válidas, como se muestra en la siguiente figura.

Durante el análisis colectivo de los tres casos, hay que tratar de que los alumnos se familiaricen con el lenguaje

convencional, como lados homólogos, la imagen de un punto, dirección, sentido, etcétera, así como con la idea de que en este tipo de transformaciones las medidas de lados y ángulos se conservan.






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31 2 LMS FE y M Figuras y cuerpos Describiendo figuras 9.2.3 2/3 G9B2C3


figuras.

Intenciones didácticas. Que los alumnos identifiquen el proceso de construcción corto o directo de figuras.

Consigna. Organizados en parejas describan el proceso más corto para construir los siguientes logos, empleando traslación, rotación y simetrías.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

Consideraciones previas: Se espera que los alumnos puedan reconocer varios tipos de procesos de construcción que pueden deducir a partir del análisis de sus formas y relaciones da cada uno de los logos. Por ejemplo, para el primer logo, a partir de dos simetrías

axiales de un rombo se forma el logo. E el caso del segundo logo, puede ser una simetría central o dos traslaciones.

Para reafirmar los conocimientos, se puede proponer que analicen los siguientes mosaicos e identifiquen un patrón que a

partir de la combinación de diferentes movimientos giros o simetrías se puede cubrir el plano.

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32 2 LMS FE y M Figuras y cuerpos Diseña tu mosaico 9.2.3 3/3 G9B2C3


figuras.

Intenciones didácticas. Que los alumnos construyan diseños que impliquen realizar transformaciones de rotación

traslación, simetría axial o central.

Consigna. De manera individual, elije cualquiera de las siguientes figuras y construye mosaicos por traslaciones, por rotaciones o por simetrías.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Consideraciones previas: Se espera que a partir de realizar rotaciones, simetrías o traslaciones puedan generar mosaicos. Por ejemplo, para el primer caso, podrán llegar a lo siguiente:

En el caso del inciso c) podrían generar mosaicos como por ejemplo:

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En los casos de los incisos d) y f), podrían formar mosaico como por ejemplo:

Los mosaicos que podrían generar, depende del tipo de transformaciones que vayan haciendo los alumnos con las figuras.

Para profundizar en el estudio de mosaicos generados por simetrías o por rotaciones, se les puede sugerir que consulten la siguiente página electrónica, donde podrán ver algunos ejemplos de cómo se generan mosaicos a partir de una figura

llamada motivo; es decir, una pieza teórica, lo más pequeña posible de un mosaico.

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/geometria/movimientos/mosaicos/mosai

cos.htm

Luego, se les puede pedir que inventen un motivo y generen mosaicos combinando varios tipos de transformaciones.






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http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/geometria/movimientos/mosaicos/mosaicos.htm

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/geometria/movimientos/mosaicos/mosaicos.htm

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33 2 LMS FE y M Medida Jardines cuadrados 9.2.4 1/3 G9B2C4

Contenido: 9.2.4 Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo

rectángulo.

Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen las relaciones entre las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo, mediante la superposición de superficies y el cálculo de áreas.

Consigna 1: Organizados en equipos, construyan en una hoja dos cuadrados tomando como base las medidas de los lados menores del siguiente triángulo.

Después tracen una diagonal en cada cuadrado que construyeron, recorten las figuras resultantes y con éstas intenten cubrir el cuadrado trazado en el lado mayor

a) ¿Con las figuras recortadas lograron cubrir toda la superficie del cuadrado mayor? ¿Por qué crees que sucede esto?

b) ¿Qué clase de triángulo es el que está sombreado?

Consigna 2: En los mismos equipos, resuelvan el siguiente problema:

Se van a construir 3 plazas cuadradas adyacentes a los límites de un jardín, como el que aparece en el dibujo, tomando como base las medidas de sus lados.

a) ¿Cuánto mide el área de cada una de las plazas?

b) Encuentren qué relaciones hay entre las áreas de las tres plazas.

c) ¿Qué figura geométrica representa el jardín?

.


Para realizar la actividad de la primera consigna se requieren tijeras, hojas de

colores o de foami. Esta forma de comprobar la relación entre las áreas de los

cuadrados es válida para el triángulo rectángulo isósceles. El armado de la figura

de la primera consigna puede quedar así:

Se espera que los alumnos digan que es un triángulo rectángulo isósceles y que

determinen que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados iguales es equivalente al área del cuadrado del lado mayor.

En la segunda consigna, mediante el cálculo de las áreas de las plazas, se espera que los estudiantes se den cuenta que al sumar las

áreas de los cuadrados menores el resultado es igual al área del cuadrado mayor.

Es importante que los alumnos adviertan que no es la única relación, sino que determinen que hay otras relaciones, el área de un

cuadrado menor es igual al área del cuadrado mayor menos el área del otro cuadrado menor.






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34 2 LMS FE y M Medida Relacionando Triángulos con cuadrados 9.2.4 2/3 G9B2C4

Contenido: 9.2.4 Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un

triángulo rectángulo.

Intenciones didácticas: Que los alumnos verifiquen las relaciones entre las áreas construidas sobre los lados de un

triángulo rectángulo, mediante la comparación de superficies y de forma algebraica. Consigna 1. Reunidos en binas, comparen las superficies de las figuras siguientes y determinen qué relación hay entre el cuadrado interior de la figura 2 y los cuadrados interiores de la figura 1.

Figura 1

Figura 2

Con base en la relación que

encontraron y considerando la

figura 3, elaboren una conclusión

Figura 3

Consigna 2: En la misma bina, analicen las siguientes figuras y comprueben algebraicamente que la suma de las áreas sombreadas de la figura A es igual al área sombreada en la figura B

Figura A

Figura B

Con base en la equivalencia que

encontraron y considerando la

Figura C, elaboren una conclusión

Figura C

.


Para efecto de cálculos, en la consigna 1 cada cuadrado de la cuadrícula representa una unidad de medida. La expectativa es que los alumnos adviertan que los cuatro triángulos de la figura 1 son iguales entre sí y con los cuatro

triángulos de la figura 2, por lo tanto, la suma de las áreas de los dos cuadrados interiores de la figura 1 equivale al área

del cuadrado interior de la figura 2.

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A partir de la equivalencia anterior y considerando la figura 3, se trata que los estudiantes verifiquen que se cumplen las relaciones entre los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo.

Esta actividad puede realizarse utilizando el recurso tecnológico llamado “geogebra”, con la ventaja que al mover un

vértice de la figura para cambiar sus dimensiones se puede apreciar que la relación entre las áreas de los cuadrados se conserva.

Si cuenta con Geogebra en su equipo, esta actividad la podrá descargar en:

http://www.supervision12sectec.com.mx/Documentos/matematicas/plan%20de%20clase%20para%203%b0%20pagina%20web.ggb

En la segunda consigna se trata que los alumnos recurran a sus conocimientos de álgebra para comparar las áreas de las figuras A y B y determinar que la suma de las áreas de los cuadrados internos de la figura A es equivalente al área

del cuadrado interno de la figura B. Una forma de proceder es la siguiente:

Que al contrastar dichos cuadrados con la figura C, puedan verificar una vez más las relaciones entre las áreas de los

cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo.

También se les puede solicitar que representen algebraicamente el área de uno de los cuadrados menores, si se conoce el

área del cuadrado mayor y la del otro menor, para lo cual tendrán que despejar en .






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35 2 LMS FE y M Medida Formando cuadrados 9.2.4 2/3 G9B2C4

Contenido: 9.2.4 Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un

triángulo rectángulo.

Intenciones didácticas: Que los alumnos infieran que sólo en los triángulos rectángulos se cumple que el área del

cuadrado construido con la medida del lado mayor es equivalente a la suma de los cuadrados construidos con las

medidas de los lados menores, mediante el cálculo de las áreas.

Consigna: Organizados en equipos calculen el área de los cuadrados que se pueden construir con las medidas de los lados de cada triángulo, posteriormente completen la tabla y contesten lo que se pide.

No. Figura

Suma de las áreas de los cuadrados con las medidas de los lados

menores

Área del cuadrado con la medida del lado

mayor

Nombre del triángulo por la medida de sus

ángulos

Nombre del triángulo por la medida de sus

lados

1

2

3

4

a) ¿En qué triángulos se cumple que la suma de las áreas de los cuadrados construidos con la medida de los lados menores es igual

al área del cuadrado construido con la medida del lado mayor? b) Escriban una conclusión acerca de la relación que encontraron.


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Después que los alumnos analizan diferentes triángulos, la expectativa es que determinen que sólo en los triángulos rectángulos la suma de las áreas de los cuadrados construidos con las medidas de los lados menores es igual al área del

cuadrado construido con la medida del lado mayor.

Después de todas las experiencias relacionadas con este contenido, el profesor puede comentar que en un triángulo rectángulo el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa (lado mayor) y los lados que forman el ángulo recto se

denominan catetos (lados menores) y que la propiedad estudiada “la suma de las áreas de los cuadrados construidos con

las medidas de los lados menores es igual al área del cuadrado construido con la medida del lado mayor”, la cual es exclusiva de los triángulos rectángulos, recibe el nombre de “Teorema de Pitágoras”. Esta propiedad se puede

enunciar de manera sintética así, “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

En internet hay muchas opciones para consolidar este conocimiento, algunas de ellas se muestran a continuación:

http://basica.sep.gob.mx/dgdgie/cva/gis/index.html En matemáticas 3°, Forma espacio y medida. Reactivo 38,

teorema de Pitágoras /demostración/sumar áreas.

www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras.html.

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/pitagoras.htm

Videos:

http://www.youtube.com/watch?v=9wexfpHMDCk

http:/www.youtube.com/watch?v=CAkMUdeB06






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http://basica.sep.gob.mx/dgdgie/cva/gis/index.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras.html

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/pitagoras.htm

http://www.youtube.com/watch?v=9wexfpHMDCk

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36 2 LMS FE y M Medida Buscando dimensiones 9.2.5 1/3 G9B2C5

Contenido: 9.2.5 Explicitación y uso del Teorema de Pitágoras.

Intención didáctica: Que los alumnos expresen algebraicamente las relaciones entre los cuadrados de los lados de triángulos

rectángulos.

Consigna. Reunidos con dos compañeros, realicen lo que se indica enseguida:

1. Expresen algebraicamente los valores solicitados en función de las otras dos variables.

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

________________2 z

________________2 x

________________2 y

________________z

________________x

________________y

________________2 c

________________2 a

________________2 2 a

________________c

________________a

________________2 c

________________2 a

________________2 b

________________a

________________b

________________c

2. En cada figura, ¿cuál es la expresión algebraica que representa la siguiente afirmación conocida como Teorema de Pitágoras? Escríbanla en cada espacio correspondiente.

“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

Figura 1: _________________ Figura 2: _________________ Figura 3: _________________


En los planes de clase del contenido 9.2.4, los alumnos realizaron varias actividades que implicaron determinar las relaciones entre

las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo y concluyeron que “la suma de las áreas de los

cuadrados construidos con las medidas de los lados menores es igual al área del cuadrado construido con la medida del lado

mayor”, esta propiedad es exclusiva de los triángulos rectángulos y recibe el nombre de Teorema de Pitágoras. Ahora se trata de

simbolizar esta propiedad y las relaciones que se desprenden de ella.

Con respecto a la primera actividad, es probable que algunos alumnos se les dificulte escribir las expresiones algebraicas

solicitadas; si esto ocurre, se les puede plantear preguntas de reflexión sobre los significados de cada expresión, por ejemplo, para el

primer caso, se les puede plantear las siguientes preguntas:

Si se construye un cuadrado que tenga por lado la hipotenusa representada como z, ¿qué representa z2? ¿Qué representa x2? ¿Y y2?

¿A qué equivale z2?

Con ello, se espera que los alumnos puedan reconocer que z2 representa el área del cuadrado sobre la hipotenusa; por lo que z2 equivale a x2 + y2. Una vez que los alumnos logren establecer la igualdad z2 = x2 + y2, se espera que no haya dificultad en escribir

las relaciones restantes, ya que sólo implica realizar despejes de la relación z2 = x2 + y2.

Con respecto a la segunda actividad, es probable que para la figura 2, los alumnos digan que hay un error, es decir, que un cateto del

triángulo rectángulo isósceles debe asignarse con otra letra. Si esto ocurre, aclarar que se usa la misma letra o literal “a” porque los

dos catetos son iguales. En este caso, se espera que los alumnos escriban cualquiera de las dos expresiones algebraicas siguientes:

c2 = a2 + a2 c2 = 2a2






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37 2 LMS FE y M Medida Con Pitágoras 9.2.5 2/3 G9B2C5


Intención didáctica: Que los alumnos apliquen el teorema de Pitágoras para resolver problemas.

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas, pueden utilizar calculadora. 1. Un albañil apoya una escalera de 5 m de largo contra un muro vertical. El pie de la escalera está a 2 m del muro. Calculen a

qué altura se encuentra la parte superior de la escalera. 2. En la esquina de una plaza rectangular se encuentra un puesto de helados. Si estoy en la esquina opuesta diagonalmente,

¿cuántos metros tengo que recorrer en diagonal para llegar al puesto? Los lados de la plaza miden 48 m y 64 m. 3. ¿Cuál es la máxima distancia que puedes recorrer sin cambiar de dirección en una pista de patinaje en forma de rombo, si

cada lado mide 26 m y la diagonal menor 40 m? 4. El pueblo B está, en línea recta, 40 km al norte del pueblo A y el pueblo C está, en línea recta, 30 km al este de B.

¿Cuál es la distancia entre los pueblos A y C?

Consideraciones previas: En los problemas anteriores será muy común encontrar que los alumnos dibujen la situación para ayudarse a

comprenderla, sin embargo, en la puesta en común se pueden compartir las diversas estrategias aplicadas. En todos los

casos, es pertinente utilizar el teorema Pitágoras para encontrar la respuesta.

Con respecto al problema 4, es probable que los alumnos no sepan interpretar adecuadamente el problema. Si sucediera

que nadie en el grupo hace una clara interpretación de las posiciones de A, B y C, será necesario orientarlos al respecto a través de preguntas como: ¿cuál es el primer punto que debemos ubicar? ¿Dónde está el siguiente pueblo (B)?, etc.,

incluso se les puede pedir que justifiquen sus respuestas. Una vez hecho un dibujo semejante al de abajo, se les dejará

buscar la manera de responder la pregunta del problema.






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38 2 LMS FE y M Medida Un buen problema 9.2.5 3/3 G9B2C5


Intención didáctica: Que los alumnos usen el Teorema de Pitágoras y las propiedades de figuras semejantes para resolver problemas.

Consigna: Los dos triángulos que aparecen abajo son semejantes. Individualmente, calculen el perímetro de cada uno.


Para resolver este problema no basta aplicar el teorema de Pitágoras, sino que es necesario recordar y aplicar las

propiedades de los triángulos semejantes.

Para llegar a la respuesta, existen varios caminos, por ejemplo, es probable que algunos alumnos se les ocurra primero

determinar el valor de x por teorema de Pitágoras, luego, por semejanza determinar el valor de z, para finalmente

determinar por semejanza o por Pitágoras el valor de y.

Es importante que mientras los alumnos trabajan, observar si han quedado claros los dos conceptos o si hay dificultad en

alguno de ellos.

Si el tiempo lo permite se puede pedir al grupo que resuelva los siguientes problemas, si no, se pueden dejar de tarea y

revisar sus procedimientos en una puesta en común en la siguiente clase.

Resuelvan los siguientes problemas para confirmar conocimientos

1. En la siguiente figura los triángulos son semejantes.

Calcula la longitud x y determina la distancia entre los

puntos A y B.

2. Calcular el área de un hexágono regular si se sabe que la longitud de cada uno de sus lados mide 4 m.






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39 2 LMS MI Nociones de probabilidad Un dado de cuatro caras 9.2.6 1/3 G9B2C6

Contenido: 9.2.6 Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos

complementarios (regla de la suma).

Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionen sobre el espacio muestra de un experimento aleatorio, sobre el significado de eventos

simples, compuestos y complementarios y calculen su probabilidad.

Consigna: Las siguientes figuras representan un tetraedro (poliedro regular de cuatro caras) y una ruleta. En forma individual resuelve los problemas que se plantean y comenta tus resultados con tres de tus compañeros más cercanos.

1. Al girar la ruleta, ¿qué probabilidad existe de que la ruleta se detenga en... a) el número 5?

b) un número menor que 4?

c) un múltiplo de 2?

d) un número impar?

2. Si se lanza el tetraedro, ¿cuál es la probabilidad de que la cara que quede sobre la superficie plana, sea… a) color rojo?

b) verde o rojo?

c) verde o blanco o rojo?

Consideraciones previas: Es conveniente plantear primero el problema uno y hacer una puesta en común para analizar los resultados de los seis incisos. Debe quedar claro que el espacio muestra en el experimento de la ruleta es el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y que a cada

elemento le corresponde una probabilidad de 1/8. Con base en esto se podrán contestar las primeras seis preguntas. Si los alumnos preguntan cuáles son los múltiplos de dos hay que decirles que son todos los resultados de la tabla del dos.

El evento “que se detenga en un número que no sea impar” es complementario del evento “que se detenga en un número

impar”. Dos eventos se denominan complementarios cuando su unión da el espacio muestra y su intersección es vacía. Dicho de otra manera, el complemento de un evento A son todos los elementos del espacio muestra (E) que no se encuentran en A. La probabilidad de un evento complementario A

c es:

APAc 1

Así, la probabilidad de que la ruleta se detenga en un número impar es 4/8 o bien ½. La probabilidad de su complemento “que

se detenga la ruleta en un número que no sea impar” es 1 – ½ = ½. La suma de las probabilidades de dos eventos complementarios es igual a 1.

Por lo que la probabilidad de que se detenga la ruleta en un número impar o par, es la suma de las probabilidades: “La probabilidad de que se detenga en un número par” más “la probabilidad de que se detenga en un número impar”, es decir, 4/8 + 4/8 = 1

En el segundo problema también conviene destacar el espacio muestra y enfatizar el hecho de que en los incisos c y d, se trata

de eventos compuestos y que los conectivos “o” indican que se trata de la probabilidad de que suceda cualquiera de los dos o de los tres eventos, a diferencia del conectivo “y”, que se refiere a la probabilidad de que sucedan dos o más eventos a la vez.

Por lo tanto, la probabilidad en el inciso c) es ¼ + ¼, mientras que en d) es ¼ + ¼ + ¼.






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40 2 LMS MI Nociones de probabilidad La ruleta 9.2.6 2/3 G9B2C6



Intenciones didácticas: Que los alumnos distingan dos eventos que son mutuamente excluyentes de aquellos que no lo son y busquen, en este

último caso, la manera de calcular la probabilidad.

Consigna: Resuelvan en equipos los siguientes problemas. Se hace referencia a la ruleta de la sesión anterior.

1. Si se tienen los eventos:

A: Que la ruleta se detenga en un número menor que cuatro. B: Que se detenga en un número múltiplo de cuatro.

a) ¿Cuál es la probabilidad del evento A? p(A) = ___________

b) ¿Cuál es la probabilidad del evento B? p(B) = ___________

c) ¿Qué significa que ocurra A o B?___________________________________

d) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? p(A o B) = ______________

Expliquen su respuesta.

2. Ahora se tienen los eventos siguientes:

C: Que la ruleta se detenga en un número mayor que cuatro. D: Que la ruleta se detenga en un múltiplo de cuatro.

a) Obtengan: p(C) = __________ p(D) = __________

b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra C o D? P(C o D) = ____________ c) Comparen los resultados de d) del ejercicio 1 y de b) del ejercicio 2 y comenten las formas de obtenerlos.

¿Existe alguna diferencia en estos eventos? ¿Cuál?

Consideraciones previas: Es conveniente que siempre que los alumnos calculen la probabilidad de un evento compuesto

obtengan primero el espacio muestra y la probabilidad particular de cada evento, esto les permitirá apreciar si hay

elementos comunes o si no los hay. Si no los hay ya saben que el resultado es la suma de las probabilidades particulares, si los hay, es probable que por sí solos concluyan que no se puede contar dos veces el mismo elemento del espacio

muestra.






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41 2 LMS MI Nociones de probabilidad Dado rojo y azul 9.2.6 3/3 G9B2C6



Intenciones didácticas: Que los alumnos consoliden los procedimientos para calcular la probabilidad de eventos compuestos.

Consigna 1. Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema:

Se tienen dos dados, uno azul y otro rojo, que tienen sus caras marcadas con puntos del uno al seis. El experimento consiste en lanzar simultáneamente los dos dados. Los resultados posibles del experimento son parejas de números en los cuales el primero es el número de puntos del dado rojo y el segundo del azul. Completen la tabla.

D A D O A Z U L

1 2 3 4 5 6

DA

DO

R

OJO

1 1,1

2 2,2

3

4

5 5,4

6 6,5

a) ¿Cuántos resultados posibles tiene el experimento? ________________

b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra cada uno de ellos? ____________

c) Anoten los resultados que hacen falta en la siguiente tabla.

EVENTO RESULTADOS POSIBLES PROBABILIDAD

A {La suma es dos}

B {La suma es tres}

C {La suma es siete} 6 6/36

D {La suma es diez}

E {La suma es 3 o 10}

F {La suma es mayor que 10 o múltiplo de 4}

d) ¿Qué evento tiene mayor probabilidad?

e) ¿Qué evento tiene menor probabilidad?

f) Formulen un evento compuesto por dos eventos que sean mutuamente excluyentes.

g) Formulen un evento compuesto por dos eventos que NO sean mutuamente excluyentes.


Es necesario prever el tiempo suficiente para analizar las respuestas de una en una y detenerse en las que hay diferencias.

Hay que centrar la atención sobre todo en los dos últimos incisos, analizando algunas respuestas para ver si los alumnos logran distinguir lo que son eventos compuestos y cuándo éstos se forman con eventos mutuamente excluyentes o no

excluyentes.






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BLOQUE 3


Resuelve problemas que implican el uso de

ecuaciones de segundo grado.

Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura.

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36 3 LMS SN y PA Patrones y Ecuaciones Modelando problemas 9.3.1 1/3 G9B3C1

Contenido: 9.3.1 Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para

resolver dichas ecuaciones.

Intenciones didácticas: Que los alumnos formulen ecuaciones cuadráticas de la forma 02 cbxax y que las resuelvan

mediante procedimientos ya conocidos.

Consigna 1. Organizados parejas, encuentren las ecuaciones que modelan estos problemas y resuélvanlos.

a) Un terreno rectangular mide 2m más de largo que de

ancho y su área es de 80 m2 ¿Cuáles son sus

dimensiones?

b) Erick es dos años mayor que su hermano. Si la suma

de los cuadrados de sus edades es 340, ¿cuántos

años tiene Erick?

.

Consideraciones previas: En el caso del primer problema se espera que los alumnos asignen valores a los lados del rectángulo, tales

como x y 2x , y que planteen la ecuación 802 xx . Esta ecuación permite probar con distintos valores y encontrar la

solución. Sin embargo, hay que pedir que se hagan las operaciones necesarias para llegar a la expresión 08022 xx y pedir

que la resuelvan por factorización.

El problema del inciso b implica un camino más largo para formular la ecuación, ya que primero hay que representar las edades, por

ejemplo x y x+2. Después plantear las relaciones que se establecen en el texto del problema: 340222 xx y finalmente

efectuar las operaciones y simplificar para llegar a la expresión 033642 2 xx o 016822 xx . Aunque es posible

resolver esta ecuación por factorización, los números se prestan para proponer el uso de la fórmula general, misma que deberá ser

explicada y puesta en práctica con muchos otros ejemplos. Para ello, plantearles que la forma de las ecuaciones cuadráticas que se

han estudiado es 02 cbxax , donde 0a y a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática.

Luego, formalizar los términos de la ecuación de segundo grado, que se nombran como se indica en la siguiente tabla:

ax2

bx C Término de segundo grado o cuadrático

Término de primer grado o lineal

Término independiente

Esto llevará a los alumnos a identificar los valores a, b y c; que usarán en la aplicación de la fórmula general que es:

a

acbbx

2

42

Para reafirmar lo anterior se pude dejar de tarea lo siguiente:

Determina los valores de a, b y c de las siguientes ecuaciones y resuélvelas usando la fórmula general.

Ecuación a b c

0322 2 xx

025 2 xx

6236 2 xx .

En la siguiente clase conviene retomar el trabajo que hayan hecho los alumnos porque es muy probable que cometan errores en las

sustituciones de los valores de a, b y c en la fórmula, por lo que es importante estar al pendiente de apoyarlos y guiarlos haciendo las aclaraciones que sean necesarias. Por ejemplo, el significado del +/- y el hecho de que el valor del discriminante indica si la ecuación

tiene una solución, dos soluciones o ninguna, en los números reales.






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37 3 LMS SN y PA Patrones y Ecuaciones Valorando el discriminante 9.3.1 2/3 G9B3C1

Contenido: 9.3.1 Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula

general para resolver dichas ecuaciones.

Intenciones didácticas: Que los alumnos asocien el valor del discriminante, que forma parte de la fórmula general, con el tipo de solución de la ecuación.

Consigna: Organizados en binas calculen el valor numérico de acb 42 (discriminante) y las soluciones de cada

ecuación. Luego contesten lo que se pide:

ECUACIÓN VALOR DEL DISCRIMINANTE

acb 42 SOLUCIONES

0273 2 xx ______ ______, 21 xx

0144 2 xx ______ ______, 21 xx

0573 2 xx ______ ______, 21 xx

a) Si el valor del discriminante es mayor que cero, ¿cuántas soluciones tiene la ecuación?

b) Si el valor del discriminante es igual a cero, ¿cuántas soluciones tiene la ecuación?

c) Si el valor del discriminante es menor que cero, ¿cuántas soluciones tiene la ecuación?

Consideraciones Previas: Es muy probable que algunos alumnos calculen la raíz negativa sin considerar el signo; en ese

caso, el maestro pedirá que hagan la comprobación con la calculadora, que marcará como error; entonces se

aprovechará esto para explicar que la raíz cuadrada de un número negativo pertenece a otro campo de números llamados imaginarios.

La discusión generada acerca de la relación que los alumnos encuentren entre el discriminante y las soluciones deben

encauzarse a determinar tres tipos de soluciones:

Discriminante Tipo de solución

042 acb Dos raíces reales, por ejemplo: 7 ,3 , 3.2 ,5 , 0 ,5 , 4 ,4 , etc.

042 acb Solución única (dos raíces iguales). Por ejemplo: (3, 3), (-2, -2), etc.

042 acb Sin solución dentro del conjunto R de los números reales, es decir, su

solución es imaginaria i). Por ejemplo ((5 + 4 i) /6, (5 – 4 i)/6)

Se sugiere realizar la actividad complementaria “Funciones Cuadráticas”, en Hoja electrónica de cálculo. EMAT, México, SEP, 2000,pp. 129-130.

También se pueden platear otros problemas retomados del libro de texto para que los alumnos reafirmen lo aprendido.






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38 3 LMS SN y PA Patrones y Ecuaciones Dimensiones de un terreno 9.3.1 3/3 G9B3C1

Contenido: 9.3.1 Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula

general para resolver dichas ecuaciones.

Intenciones didácticas: Que los alumnos usen la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado, al resolver problemas.

Consigna: Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema:

Si el área de un terreno, como el indicado en la figura, mide 207 m2, ¿cuáles son sus dimensiones?

Consideraciones previas: Se espera que las alumnos encuentren la ecuación cuadrática que resuelve el problema:

020382 xx y utilicen la fórmula general para encontrar las soluciones a dicho problema.

En la confrontación se deberá hacer la observación de que sólo una de las raíces cumple con las condiciones del

problema.

Con el fin de consolidar el uso de la fórmula general resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 0253 2 xx

b) 024112 xx

c) 04129 2 xx

d) 2226 2 xx

e) 2368 xx






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39 3 LMS FE y M Figuras y Cuerpos Los congruentes 9.3.2 1/2 G9B3C2

Contenido: 9.3.2. Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas.

Intenciones didácticas. Que los alumnos usen los criterios de congruencia de triángulos, al resolver problemas.

Consigna. Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas.

1. Sea ABCD un cuadrilátero, ¿qué condiciones debe cumplir para que al trazar una de sus diagonales resulten dos triángulos congruentes?

2. Se tiene dos triángulos con el mismo perímetro; los lados del LMN miden 35 xLM , 22 xLN y

18 xMN ; y los lados del RST miden 133 xRS , 84 xRT y 96 xST , ¿Los triángulos LMN Y

RST son congruentes? ¿Por qué?


La construcción de figuras congruentes (triángulos y cuadriláteros), así como la explicitación de los criterios de congruencia de triángulos se estudiaron en bloques anteriores, ahora se trata de utilizar estos criterios para resolver

problemas.

Para el problema 1, es necesario que los alumnos realicen conjeturas y que las argumenten ampliamente. Es posible que

la atención se centre en el cuadrado y que el argumento sea que tiene los cuatro lados iguales, si es así, puede sugerirse

que se analice el rectángulo, la idea es que adviertan que esta figura no tiene lados iguales y también cumple con las

condiciones del problema. Ante esto, es posible que ahora la atención sea en los ángulos, es decir, que contesten que las figuras deben tener los ángulos iguales, ante esto, se puede sugerir que analicen si el rombo cumple con las condiciones,

ya que éste no tiene sus ángulos iguales. Finalmente, se trata de que los alumnos adviertan que los paralelogramos

cumplen con las condiciones del problema, por lo tanto, al trazar una diagonal en un cuadrado, rectángulo, rombo o en un romboide, se obtienen triángulos congruentes. Es importante preguntar las razones para considerar congruentes a los

triángulos obtenidos y que para dicho fin utilicen los criterios de congruencia, por ejemplo, en el caso del cuadrado, los

triángulos resultantes tienen un ángulo igual (el ángulo recto) y los dos lados que lo forman también son iguales, así, por el criterio LAL, estos triángulos son congruentes.

En relación con el problema 2, una forma de iniciar es averiguar las medidas de los lados de los triángulos, para ello, considerando que los triángulos tienen el mismo perímetro, los estudiantes podrán establecer la siguiente igualdad:

1339684351822 xxxxxx

Al resolver la ecuación anterior se darán cuenta que x vale 5 y que al sustituir este valor en las expresiones que indican las medidas de los lados, resulta que los triángulos tienen sus lados respectivamente iguales, razón suficiente para

considerarlos congruentes por el criterio LLL.

Una pregunta de reflexión es la siguiente, ¿todos los triángulos de igual perímetro son congruentes?






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40 3 LMS FE y M Figuras y Cuerpos Los semejantes 9.3.2 2/2 G9B3C2

Contenido: 9.3.2. Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas.

Intenciones didácticas. Que los alumnos usen los criterios de semejanza de triángulos, al resolver problemas.

Consigna. Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas.

1. Analicen los siguientes casos y determinen si se trata o no de triángulos semejantes, argumenten sus

respuestas:

a) Dos triángulos isósceles ABC y MNL en los que el ángulo desigual mide 45°.

b) Dos triángulos rectángulos cualesquiera.

2. El siguiente dibujo representa una parte lateral de una piscina, la cual

tiene 2.3 m de ancho. Con base en la información de la figura, contesten

lo que se pide.

a) ¿Qué profundidad x tiene la piscina?

b) ¿Cuál es la distancia que hay desde el punto G hasta H?

3. Dos caminos que son paralelos entre sí, se unen por dos puentes,

los cuales se cruzan por un punto O, como se muestra en la figura.

Considerando las medidas que se muestran, ¿cuál es la longitud total

de cada puente?


Ahora se trata de utilizar los criterios de semejanza de triángulos para resolver diversos problemas. Es importante que los alumnos justifiquen ampliamente sus resultados.

Recordemos que la intención es que los alumnos utilicen los criterios de semejanza de triángulos, en ese entendido, en la

primera situación del primer problema, se espera que los alumnos adviertan, en primer lugar, que en un triángulo

isósceles hay dos lados iguales y entre ellos el ángulo desigual, por lo tanto, si se tienen dos triángulos isósceles con el

ángulo diferente de la misma medida y además los lados que lo forman, por medir lo mismo, resultan ser proporcionales, así, por el criterio LAL, los triángulos ABC y MNL son semejantes. Otra reflexión importante en esta situación es pensar

en una misma figura con los dos triángulos, donde la diferencia es la longitud de los lados iguales y en el lado opuesto al

ángulo de 45°. En este caso el sustento teórico para considerarlos semejantes es AA (dos ángulos iguales) Una herramienta útil e importante para argumentar las respuestas de las dos situaciones del problema 1 es el trazo y

medición de las figuras. Si algún equipo hace referencia a triángulos congruentes, vale la pena discutir ampliamente en

plenaria la relación entre la semejanza y congruencia de triángulos, es decir, deducir que la congruencia es un caso

especial de la semejanza.

La expectativa en los problemas 2 y 3 es que los estudiantes, en primer lugar reconozcan la semejanza de los triángulos

involucrados, considerando como argumento alguno de los criterios de semejanza de triángulos, posteriormente que puedan establecer las proporciones necesarias para encontrar los valores solicitados.

Así, para el problema 2, los triángulos semejantes involucrados son CDG y HIC por tener al menos dos ángulos iguales (caso AA). Por lo tanto, se puede establecer lo siguiente:

65

45.316.1

74.13.2

74.116.1

3.2

x

x Entonces, la profundidad de la piscina es 3.45 m.

Para determinar la distancia GH se puede recurrir al teorema de Pitágoras y para ello los alumnos pueden encontrar

primero la hipotenusa de los dos triángulos rectángulos CDG y HIC y después sumar ambos resultados; o bien

considerar un solo triangulo rectángulo, donde los catetos miden (2.3 + 1.16) y (3.45 + 1.74).

Del problema 3, es necesario que los alumnos tengan claro lo que deben calcular, la longitud de un puente es 2.10x ; y

la del otro es 5.6y , por lo tanto, es necesario calcular primero los valores de x e y.

Considerando la relación de ángulos que se forman por dos paralelas que se cortan por una transversal, se puede

determinar que los triángulos que forman al cruzarse los dos puentes son semejantes (caso AA), los cuales se pueden

representar con los dibujos siguientes:

De lo anterior se puede establecer la proporcionalidad entre los lados, tal como se muestra:

mxx

8.69.15

2.106.102.10

6.10

9.15

y my

y75.9

6.10

5.69.15

5.66.10

9.15

Los resultados anteriores se pueden sustituir así:

172.108.62.10 x y en 25.165.675.95.6 y

Lo anterior muestra la longitud total de cada puente, uno de 17 metros y el otro de 16.25 metros. La resolución de problemas de congruencia y semejanza de triángulos demanda que los alumnos utilicen una gran cantidad de recursos

que no se restringe solo a las relaciones geométricas, en este sentido es importante que si los alumnos no pueden

establecer o realizar las figuras, se les brinde el apoyo necesario para continuar con el análisis de los problemas.






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41 3 LMS FE y M Figuras y Cuerpos El portón 9.3.3 1/3 G9B3C3

Contenido: 9.3.3 Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales.

Intención didáctica. Que los alumnos determinen el teorema de Tales mediante el análisis de las relaciones entre segmentos.

Consigna: Trabajen en equipo con el problema siguiente:

El dibujo corresponde a un portón hecho por un herrero. Su ayudante dice que existe relación entre los segmentos (ED’,

D’C’, C’B’, B’A’) de la barra reforzadora ( EA’) y la medida del ancho de cada lámina (ED, DC, CB, BA) que forma el

portón. ¿Cuánto deben medir de ancho las láminas que hay en los extremos?

a) Describan en forma breve qué relación existe entre esas

medidas.

b) Observen y comenten qué otras relaciones encuentran,

además de las que señala el ayudante del herrero.

Justifícalas

Consideraciones previas: Se espera que los alumnos logren expresar la proporcionalidad entre los segmentos que se forman entre las paralelas

atravesadas por las transversales (BC

AB=

''

''

CB

BA, etc.). Pero que también observen que los segmentos paralelos entre las

transversales son proporcionales (BB

AA

'

'=

CC

BB

'

', etc.). También es importante que se den cuenta que los triángulos A’AE,

B’BE, C’CE, D’DE son semejantes y el porqué de dicha afirmación. Con esta idea el docente puede mencionar que esta

relación se cumple cuando dos o más paralelas son cortadas por transversales (secantes) y esta condición fue descubierta hace muchos años por el sabio matemático griego Tales de Mileto y en su honor recibe el nombre de

“Teorema de Tales”.






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42 3 LMS FE y M Figuras y Cuerpos Partiendo segmentos 9.3.3 2/3 G9B3C3


Intención didáctica: Que los alumnos justifiquen, a partir del teorema de Tales por qué funciona una hoja rayada para dividir un segmento en partes iguales y dividan cualquier segmento en partes iguales.

Consigna 1. Organizados en parejas señalen los puntos donde el segmento corta a las rayas de la hoja de un cuaderno.

a) ¿Cuántos puntos obtuvieron? _________________________________________

b) ¿En cuántas partes quedó dividido el segmento? ________________________

c) ¿Por qué se puede asegurar que todas esas partes son iguales? _________________

Consigna 2. Enseguida, dividan el segmento que aparece abajo en 7 partes iguales; pueden usar escuadras y compás.

Describan el procedimiento utilizado y justifíquenlo


Se espera que la consigna 1 no represente dificultades para los alumnos. En la consigna 2 es probable que algunos midan

el segmento y dividan la longitud entre 7, obteniendo una segmentación aproximada; sin embargo, será importante observar si se les ocurre el uso de un segmento auxiliar y el trazo de paralelas, o bien una hoja rayada, basándose en el

teorema de Tales. Si son necesarios más ejercicios, se sugiere resolver los del libro de texto del alumno.






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43 3 LMS FE y M Figuras y Cuerpos Escher 9.3.3 2/3 G9B3C3


Intención didáctica: Qué los alumnos apliquen el teorema de Tales en diversos problemas geométricos.

Consigna 1: Reunidos en equipos, realicen las siguientes actividades:

a) Dividan el segmento AB en dos partes, de tal forma que la razón entre las medidas de las dos partes sea 2:3

b) Dividan los segmentos en partes cuya razón sea la indicada.

Consigna 2: La siguiente fotografía, es un homenaje a Escher.

Las líneas negras se colocaron para resaltar las dos alturas que

se observan de la construcción. Digan qué relación existe entre

dichas alturas y los segmentos que las unen. Justifiquen su

respuesta.

Consideraciones previas: En la consigna uno, es probable que los alumnos se auxilien del juego de geometría o de las hojas rayadas

de la libreta para dividir cada segmento en partes iguales. Es muy probable que la dificultad principal no sea la división de los

segmentos en partes iguales, sino la división en una razón dada. Por ejemplo, ¿qué quiere decir dividir un segmento en una razón de

2 a 3? Si es necesario, hay que volver a explicar que en este caso se requiere dividir el segmento en 5 partes iguales, de las cuales

una parte tendrá dos y la otra tendrá tres. En la consigna dos se les puede pedir que consulten acerca de Maurits Escher y su obra, también acerca de las proyecciones o el

concepto de punto de fuga que se usa en pintura. Si son necesarios más ejercicios se pueden resolver los del libro de texto del

alumno.

Si se tienen los medios se puede usar la propuesta del Teorema de Tales de Geometría Dinámica.EMAT sugerido en el programa (se

anexa la lección).

Se les podría presentar también la siguiente fotografía y dejarlos en libertad de que la analicen y

encuentren relaciones.






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ANEXO

TEOREMA DE TALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Semejanza y teorema de Pitágoras

Propósito: Presentar el resultado fundamental de la semejanza, es decir, el teorema de tales

El resultado fundamental de la semejanza se conoce como teorema de Tales y puede enunciarse así: dado cualquier triángulo ABC, si se traza una recta paralela a uno de los lados del triángulo, por ejemplo, recta PQ paralela al lado BC, ésta intersecta los otros dos lados del triángulo AB y AC en los puntos P y Q, respectivamente; los lados quedan así divididos en segmentos proporcionales, esto es, P divide al lado AB en los segmentos AP y PB, mientras que el punto Q divide al lado AC en los segmentos AQ y QC. Entonces dividimos la longitud de AP entre la longitud de PB, este cociente es el mismo que el obtenido al dividir la longitud AQ entre la longitud QC. Como la recta PQ es paralela a BC, verifica (midiendo) que:

QC

AQ

PB

AP

Es decir, los segmentos AP, PB y QC son proporcionales

Traza otras rectas paralelas al lado BC y escribe en el espacio qé segmentos son proporcionales.

________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________

Traza rectas paralelas a otro de los lados del triángulo ABC y explica en el espacio siguiente qué segmentos son proporcionales

________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________

Ahora, si eliges el punto medio de un lado, por ejemplo del lado AC, y por éste trazas la paralela al lado AB, ¿en qué punto intersectará el lado BC? ______________________________________________________-______________

Describe qué ocurre si arrastras con el puntero el vértice C

________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________

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44 3 LMS FE y M Figuras y Cuerpos Proyectando objetos 9.3.4 1/5 G9B3C4

Contenido: 9.3.4 Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas.

Intenciones didácticas: Que el alumno, a través de la observación de un experimento, tenga un primer acercamiento

hacia la homotecia.

Consigna: Organizados en equipos realicen el siguiente experimento:

1. Utilizando la pared como pantalla o fondo, coloquen un objeto (por ejemplo: un vaso, el borrador, un lápiz, una

vela, un CD o una de tus manos) a 1 m de distancia de ella. Después, iluminen dicho objeto con una lámpara de

mano a 50 cm de distancia de él en línea recta, de tal forma que se proyecte la sombra del objeto en la pared.

2. Enseguida, acerquen y alejen la lámpara del objeto, y observen qué sucede en ambos casos.

3. Dejen fija la lámpara a 1 m de la pared, acerquen y alejen el objeto de ella. Expliquen lo que sucede en ambos

casos.

4. Midan las distancias entre la lámpara y el objeto y entre éste y la sombra. También midan la longitud del objeto y

la de la sombra. Verifiquen que la razón entre las distancias es igual a la razón entre las longitudes.

Consideraciones previas: En función del espacio y del material con que cuente el grupo, el maestro determinará la pertinencia de usar una pantalla o algún otro recurso disponible (cartulina, fólder, entre otros). El objeto que se proyectará deberá ser de dimensiones

que faciliten su manejo por los alumnos. La lámpara podrá ser sustituida por otro dispositivo que emane luz directa

(foco, vela, retroproyector, etc.).

El propósito es que los alumnos verifiquen que la razón entre m y n es la misma que hay entre a y b, como se muestra en el siguiente dibujo.

También se puede coordinar con el profesor de física para realizar el experimento de la formación de imágenes en la

caja negra.






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45 3 LMS FE y M Figuras y Cuerpos El pino 9.3.4 2/5 G9B3C4


Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen y sepan calcular la razón de homotecia.

Consigna 1: En equipos, analicen la siguiente figura y contesten las preguntas planteadas.

El foco alumbra un pino y éste proyecta una sombra de mayor tamaño sobre la pared. Los segmentos de recta unen todos los vértices del árbol con los de su sombra y la prolongación de éstos hacia la izquierda coincide en el punto O

a) ¿Cuál es la razón entre OA’ y OA?______________________________

b) Elijan otro par de segmentos, sobre una misma recta, y verifiquen que guardan la misma razón que OA’ y OA.

c) Comparen la altura de la sombra con la del pino y anoten la relación entre ambas

medidas._____________________

Consideraciones previas: Es importante que los alumnos verifiquen que todas las razones del tipo: punto de convergencia-sombra sobre punto de convergencia-objeto, son constantes y que éstas coinciden con las razones que se

pueden establecer entre una longitud de la sombra y su correspondiente en el objeto. Por otra parte, este es el momento

adecuado para decir a los alumnos que a las razones del tipo OA’/OA se les llama razón de homotecia, mientras que al punto O donde convergen los segmentos, se le llama centro de homotecia. Además, la sombra proyectada lleva el nombre

de figura homotética.

Los alumnos han estudiado con profundidad la proporcionalidad, por lo que se espera que le encuentren sentido a la razón de homotecia. Asimismo, es importante que concluyan que dos figuras homotéticas son semejantes, basándose en la

razón entre las medidas de sus lados.






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46 3 LMS FE y M Figuras y Cuerpos Proyectando polígonos 9.3.4 3/5 G9B3C4


Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen la razón de homotecia, las características que permanecen

invariables y las que cambian en las figuras homotéticas.

Consigna: Organizados en equipos, realicen la siguiente actividad.

Tomen el punto O como centro de homotecia y únanlo con el punto A, prolónguenlo una distancia igual a OA para ubicar el punto A’; hagan lo mismo con los puntos: B, C, y D para encontrar los puntos B’, C’ y D’, Después, unan los cuatro puntos obtenidos para formar el polígono A’B’C’D’ y contesten las preguntas.

a) ¿Qué relación existe entre la medida de los lados de ambos polígonos?

b) ¿Cómo son los ángulos de las dos figuras?

c) ¿Qué relación existe entre los perímetros de ambas figuras?

d) ¿Qué relación existe entre las áreas de ambas figuras?

e) ¿Cuál es la razón de homotecia?

Consideraciones previas: Con esta actividad se pretende que los alumnos construyan una figura homotética y encuentren

la razón de homotecia. También deberán analizar las características que varían en una homotecia y las que se conservan

(la medida de los ángulos permanece invariante, mientras que, en este caso, la medida de los lados y por tanto el perímetro en la imagen se duplican; el área se cuadruplica). Es importante que en la puesta en común, los alumnos

concluyan que es lo mismo decir que los lados de ABCD miden la mitad que los de A’B’C’D’, o bien, que los lados de

A’B’C’D’ miden el doble que los de ABCD y que esta relación se conserva en el perímetro de las figuras.






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47 3 LMS FE y M Figuras y Cuerpos Proyectando al contrario 9.3.4 4/5 G9B3C4


Intenciones didácticas: Que los alumnos construyan una figura homotética con razón igual a -1 e identifiquen las

características que permanecen y las que cambian.

Consigna: Organizados en equipo realicen la siguiente actividad: Tomen como centro de homotecia el punto O, tracen los segmentos AO, BO, CO y prolónguenlos hacia la izquierda la misma distancia. Ubiquen los puntos A’, B’, C’ y únanlos para formar un nuevo triángulo.

a) ¿En qué posición está el nuevo triángulo con respecto al original?

b) ¿Dónde quedó el punto de homotecia con respecto de las dos figuras?

c) ¿Cuál es la distancia OA?

d) ¿ Y cuál la de OA’?

e) Si consideran el punto de homotecia O, como origen en una recta numérica, ¿cuál es el sentido que tiene la distancia

OA?________________ ¿Y el sentido de OA’?

f) ¿Cuál es la razón de homotecia?

g) ¿Cuál es el perímetro de ambas figuras?_______________ ¿Cuál es su área?

Consideraciones previas: En este caso, los alumnos van a observar que la figura homotética se encuentra al otro extremo del centro de homotecia,

está invertida con respecto a la original y probablemente consideren que hay cambios en los ángulos y lados, por lo que

conviene pedirles que los analicen y obtengan como conclusión que la medida de los ángulos se conserva y cuando la distancia al punto de homotecia es la misma, también la medida de los lados de la figura se conserva.

Es probable que los alumnos no relacionen el sentido positivo y negativo de los segmentos y puntos resultantes, por lo

que es necesario tomar como referencia la recta numérica, teniendo el centro de homotecia como origen, el punto A

positivo y el punto A’ negativo; posteriormente se les puede pedir que realicen la división del valor negativo OA’ entre el valor positivo OA, haciendo hincapié en que la razón resultante es negativa (k = -1)

Actividad complementaria: Si el tiempo lo permite y el profesor lo considera conveniente puede plantear a los alumnos

una homotecia con razón igual a 2

1, o bien, dejarlo como tarea para que hagan el análisis correspondiente.






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48 3 LMS FE y M Figuras y Cuerpos Estrellas 9.3.4 5/5 G9B3C4


Intenciones didácticas: Que los alumnos comprueben que una composición de homotecias con el mismo centro es igual

al producto de sus razones.

Consigna: Organizados en parejas, analicen el siguiente dibujo y contesten las preguntas.

La figura 1 es la original, la figura 2 es la primera figura homotética (sombra 1) y la figura 3 es la segunda figura homotética (sombra 2). Se sabe que OP = 4 cm, OP’ = 8 cm, P’P’’ = 8 cm y QR = 3cm.

a) ¿Cuál es la razón de homotecia de la figura 2 con respecto de la 1?_____________

b) ¿Cuál es la razón de homotecia de la figura 3 con respecto a la 2?______________

c) ¿Cuál es la razón de homotecia de la figura 3 con respecto a la 1?______________

d) Si el segmento QR mide 2.6cm, ¿Cuánto mide el segmento Q’’R’’?_____________


Es necesario resaltar el hecho de que las dos imágenes proyectadas tienen un mismo centro de homotecia. Hay que

decirles que a esto se le conoce como composición de homotecias con un mismo centro.

Se espera que los alumnos concluyan que la distancia Q’’R’’puede calcularse considerando tanto la razón homotética de 3 a 1 por la distancia QR, como la razón homotética de 3 a 2 por la distancia Q’R’.

De igual modo se espera que se den cuenta de que el producto de las razones homotéticas de las figuras 2 a 1 por 3 a 2 es

igual a la razón de homotecia de las figuras 3 a 1.

Actividades complementarias: Con el apoyo del software CabriGeometre, se pueden efectuar ejercicios de homotecia positiva y negativa.

En la siguiente página web se puede analizar con mayor detenimiento las relaciones de homotecia entre figuras:

http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Semejanza_y_homotecia/Homote1.htm






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49 3 LMS MI Proporcionalidad y funciones La pelota 9.3.5 1/3 G9B3C5

Contenido: 9.3.5 Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o

fenómenos.

Intenciones didácticas: Que los alumnos construyan gráficas de una función cuadrática.

Consigna: Reunidos en equipos, analicen la información y luego hagan lo que se pide. 1. Se soltó una pelota en caída libre y se registraron algunos datos en la tabla.

Tiempo en segundos

0 1 2

Distancia del punto inicial hacia el

suelo en metros 0 4.9 19.6

a) Tracen la curva que pasa por los puntos marcados.

b) Si se propone una función cuadrática de la forma como modelo continuo, ¿cuáles son los valores de a, b y c de la

función para 0t , 1t , 2t ? Para encontrar dichos valores, completen y resuelvan las ecuaciones.

Para 0t : cba 000 2 de esta ecuación se desprende que c = _______

Para 1t : 119.4 2 ba de esta ecuación resulta que 4.9 =________

Para 2t : 19.6 =

c) La segunda y tercera ecuaciones forman un sistema de ecuaciones simultaneas del que se obtienen los valores de a

y b. ¿Cuáles son esos valores?

a = ____ b = ___

d) Escriban la función que modela el fenómeno, luego, completen la tabla y grafiquen los datos.

t d ( t, d )

0 0 ( 0, 0 )

1 4.9 ( 1, 4.9 )

2 19.6 ( 2, 19.6)

3 ( 3, )

4 ( 4, )

.

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Consideraciones previas: La intención de esta actividad es que los alumnos determinen la función cuadrática que modela el fenómeno.

Con respecto al planteamiento del inciso b, se pretende que los alumnos completen el proceso para calcular los valores

de a, b y c de la función cbtattd 2)( , aplicando conocimientos que ya han sido estudiados. Es probable que

algunos requieran ayuda.

En este caso, se espera que sustituyan los valores de t en la función y con ello determinen que:

60.1924

9.4

0

ba

ba

c

Una vez que los alumnos hayan llegado al sistema de ecuaciones anterior, se espera que lo resuelvan por el método que más se les facilite. Finalmente, se espera que puedan determinar que los valores son:

0

9.4

0

b

a

c

Con respecto al inciso c, una vez que hayan llegado a los resultados anteriores, se espera que no tengan dificultades en

determinar la representación algebraica (29.4 td ) que modela el fenómeno, así como su representación gráfica.






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50 3 LMS MI Proporcionalidad y funciones Perímetros iguales 9.3.5 2/3 G9B3C5


fenómenos.

Intenciones didácticas: Que los alumnos interpreten gráficas de funciones cuadráticas.


1. Analicen la siguiente gráfica, ésta representa la variación del área de un rectángulo en función de la medida de la base, cuando el perímetro es constante (10 cm).

Perímetro: 1022 yx

→ xx

y

52

210

Área: xyA →

25)5( xxxxA

a) ¿Por qué la curva no inicia en el origen del plano?

b) ¿Cuántos rectángulos de 10 cm de perímetro pueden formarse? ¿Por qué?

c) ¿Cuánto puede medir la base cuando el área es igual a 4 cm2?

d) ¿Entre qué valores enteros de la base se encuentra el rectángulo de área máxima?

e) ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de área máxima?

Consideraciones previas: Es importante que los alumnos identifiquen claramente que las magnitudes representadas en

los ejes son el largo y el área de los diferentes rectángulos cuyo perímetro siempre es igual a 10 cm.

La curva no pasa por las coordenadas (0,0), porque el rectángulo no puede tener de base 0 cm, ni su área puede ser igual a 0 cm

2. Sería conveniente que cuando los alumnos comenten sus respuestas, tengan a la vista una imagen grande de la

gráfica, la cual apoye sus comentarios.

Se espera que los alumnos no tengan dificultad en interpretar la gráfica y logren identificar las longitudes enteras de la

base (2 cm y 3 cm), entre las cuales se ubica el área máxima. Si es necesario se puede sugerir que localicen en la gráfica puntos entre estas abscisas para observar la variación del área del rectángulo.

A partir de esta observación se espera que los alumnos puedan llegar a la conclusión de que el área máxima del

rectángulo se obtiene cuando se convierte en un cuadrado, es decir; su largo y ancho son iguales; en este caso el largo y el ancho miden 2.5 cm y el área máxima será de 6.25 cm

2.






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51 3 LMS MI Proporcionalidad y funciones El proyector 9.3.5 3/3 G9B3C5


fenómenos.

Intenciones didácticas: Que los alumnos interpreten gráficas de funciones cuadráticas y que expresen algebraicamente

la relación.


1. La siguiente gráfica representa la relación entre el área de una imagen proyectada en la pared y la distancia a la que se coloca el proyector. Posteriormente contesten lo que se pide.

Rela

ció

n d

el áre

a d

e la p

anta

lla q

ue s

e p

royecta

y la d

ista

ncia

del pro

yecto

r

a) ¿Cuál es el área de la imagen en la pantalla si el proyector se

encuentra a una distancia de 5 m?

b) ¿A qué distancia deberá colocarse el proyector con respecto a la

pantalla para que la imagen tenga un área de 4 m2?

c) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la

imagen proyectada en función de la distancia a que se coloca el

proyecto?

d) ¿Cuál es el área de la imagen en la pantalla si el proyector se

encuentra a una distancia de 5.5 m?

Consideraciones previas: En este plan, a diferencia del anterior, además de interpretar la gráfica de la función cuadrática, se pide que los alumnos encuentren la expresión algebraica que modela la relación de dependencia entre las

magnitudes; para lograrlo son fundamentales las respuestas de las dos primeras preguntas, mismas que pueden

escribirse en una tabla como la siguiente:

Distancia (m) Área (m2)

5 1

10 4

La expresión algebraica que modela la relación de dependencia entre las magnitudes es:

2

25

1da , donde a es el área y d es la distancia.

Para contestar la última pregunta, los alumnos podrán hacer una estimación utilizando la gráfica, en tal caso se sugiere

pedirles que verifiquen el resultado empleando la expresión algebraica encontrada o en su defecto utilizar ésta de manera directa. A una distancia de 5.5 m, el área de la imagen es 1.21 m

2.






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52 3 LMS MI Proporcionalidad y funciones Juan va a la tienda 9.3.6 1/4 G9B3C6

Contenido: 9.3.6 Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones

de movimiento, llenado de recipientes, etcétera.

Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen e interpreten información contenida en una gráfica formada por

segmentos de recta.

Consigna: En parejas, analicen la siguiente gráfica que representa el recorrido que hizo Juan para realizar una compra. Posteriormente contesten las preguntas.

a) ¿A qué distancia de la casa de Juan

queda la tienda?

b) ¿Cuánto tiempo tardó en hacer la

compra?

c) ¿A qué velocidad se desplazó de la tienda

a su casa?

d) Si llegó a las 11:30 horas a la tienda, ¿a

qué hora salió de su casa?

.

Consideraciones previas: Se sugiere tener preparada la gráfica en rotafolio, pizarrón u otro material de manera que sea visible para

todos durante la puesta en común.

Si los alumnos tuvieran dificultad para contestar la pregunta c), hay que recordar la relación entre velocidad, distancia y tiempo.

Como actividad complementaria, se puede proponer la siguiente situación:

Analiza la siguiente gráfica que representa la variación de la cantidad de agua en un tinaco de una casa, a partir de que se abre la llave de llenado, misma que permanece abierta y descarga 18 litros cada 2 minutos. Posteriormente contesta lo que se pregunta

a) ¿Cuántos litros de agua tiene el tinaco al minuto 10?

b) ¿Por qué no es uniforme el llenado del tinaco?

c) ¿En qué lapsos no se utiliza agua?

d) ¿Qué sucede con la cantidad de agua entre los minutos 10 y 20? ¿Por qué?

e) ¿Cuántos litros de agua se utilizaron entre los minutos 20 y 25?




3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

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53 3 LMS MI Proporcionalidad y funciones Describiendo gráficas 9.3.6 2/4 G9B3C6



Intención didáctica: Que los estudiantes analicen gráficas con secciones rectas y curvas y las asocien con la situación que representan.

Consigna 1. En equipos, seleccionen el texto que mejor describe la siguiente gráfica:

a) Ricardo salió a caminar cerca de una pendiente y le tomó menos tiempo bajar por el lado más bajo que por el más alto.

b) Maribel manejaba su coche a cierta velocidad, un policía le dijo que se detuviera y después de recibir una infracción y de que el policía se retiró, ella manejó más rápido, llegó a una velocidad mayor a la que venía circulando y mantuvo esa velocidad durante cierto tiempo para recuperar el tiempo perdido por la infracción.

c) En un tanque había cierta cantidad de agua que quedó de la noche anterior. Pedro se empezó a bañar e hizo que la velocidad del flujo de salida de agua se redujera a cero. Tiempo después llegó el agua al tanque hasta que quedó lleno.

d) Beatriz vive en una casa a desniveles. Se

encuentra sentada en la cocina de su casa durante cierto tiempo. Sube las escaleras hacia la sala de su casa y se queda viendo la televisión durante algún tiempo, finalmente sube las escaleras hacia su recámara y se queda dormida.

Consigna 2. Con el mismo equipo, ahora relacionen cada una de las siguientes gráficas con el texto que mejor describe su información.

I

II

III

a) La permanencia de una medicina en el cuerpo de un paciente, la cual es administrada por medio de una inyección.

b) La permanencia de una medicina en el cuerpo de un

paciente, la cual es administrada por medio de píldoras cada cierto tiempo.

c) La permanencia de una medicina en el cuerpo de un

paciente, la cual es administrada por medio de una mezcla del medicamento con suero y vía intravenosa.

Consideraciones previas: Si bien la argumentación es una competencia que se promueve de manera permanente en el estudio de las matemáticas, las actividades de este plan representan una oportunidad inmejorable para dicho fin. En el

caso de la primera consigna se espera que los alumnos puedan concluir que la situación que mejor describe la gráfica es

la del inciso b.

Es probable que en la consigna 2 los alumnos tengan dificultad para interpretar el texto del inciso c, el profesor puede intervenir para indicar que un medicamento administrado con suero por vía intravenosa es por goteo y con una

frecuencia constante. Finalmente se espera que los alumnos relacionen la gráfica I con c); gráfica II con a) y la gráfica

III con b).






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54 3 LMS MI Proporcionalidad y funciones Describiendo gráficas 9.3.6 3/4 G9B3C6



Intención didáctica: Que los estudiantes interpreten gráficas con secciones rectas y curvas y argumenten sus respuestas.

Consigna 1. La gráfica que aparece a continuación representa el comportamiento de la temperatura de cierta solución (compuesto químico) en diferentes instantes. Organizados en parejas, hagan lo que se indica.

Describan y argumenten

a) ¿Qué ocurrió del inicio a los 5 minutos?

b) ¿De los 5 minutos a los 8 minutos?

c) ¿De los 8 a los 9 minutos?

Consigna 2. Las siguientes gráficas representan el llenado de recipientes conforme varía la altura que va alcanzando el líquido en relación con el tiempo. Asocien cada uno de los 4 recipientes con su respectiva gráfica. Justifiquen sus respuestas.

a)

b)

c)

d)

Consideraciones previas: La primera consigna es muy acotada y se espera que los alumnos no encuentren mucha

dificultad para explicar lo que pasa en diferentes periodos de tiempo, con base en lo que se puede leer en la gráfica.

Básicamente se trata de que puedan interpretar cuando la temperatura sube, baja o se mantiene estable y si el aumento o disminución sucede de manera rápida o lenta.

La consigna dos es más compleja pero más interesante porque permitirá a los alumnos hacer deducciones considerando

el conjunto de los recipientes y las gráficas. Dichas deducciones pueden ser como la siguiente: “hay un recipiente en el que la altura del líquido avanza de manera constante en relación con el tiempo y este hecho debe estar representado con

una sola recta”. Sin embargo hay que estar muy pendiente de las interpretaciones incorrectas y es necesario analizarlas

y discutirlas. El caso más común consiste en asociar la forma de la gráfica con la forma del recipiente. En todo caso lo

más importante es que se discutan las opiniones que viertan los alumnos y que traten de convencerse entre ellos sin la intervención del maestro.






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55 3 LMS MI Proporcionalidad y funciones Bosquejando gráficas 9.3.6 4/4 G9B3C6



Intención didáctica. Que los estudiantes bosquejen gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan ciertas situaciones.

Consigna: Organizados en equipos, bosquejen una gráfica que represente cada una de las siguientes situaciones:

a) La altura de los rebotes de una pelota que cae desde la azotea de una casa con respecto al tiempo.

b) La altura con respecto al tiempo de izar manualmente una bandera en un asta.

c) La altura que alcanza el líquido en el recipiente que se muestra en relación con el tiempo

d)

Consideraciones previas: Es importante tener en cuenta que los alumnos deben hacer un bosquejo de las gráficas; es decir, una idea integral o general del fenómeno donde se indiquen los principales cambios de las variables, sin ser

preciso en las magnitudes y las escalas.

En la confrontación se pueden discutir las diferentes gráficas construidas y seleccionar entre todos aquella que mejor represente el fenómeno.

Para el caso de la pelota puede resultar una gráfica semejante a la siguiente:






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56 3 LMS MI Nociones de Probabilidad A lanzar dados 9.3.7 1/4 G9B3C7

Contenido. 9.3.7 Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto).

Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen puntos muestrales en un espacio muestra, al tener que calcular la

probabilidad de eventos.

Consigna: En equipos, determinen el espacio muestral del experimento que consiste en lanzar dos dados y observar los números de ambas caras, después contesten:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos caras tengan en número par? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en ambas caras aparezca el mismo número?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 10?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 10 o 6?

e) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 10 y que ambos números sean

iguales?

Consideraciones previas: La idea fundamental de este plan es que los alumnos puedan identificar los puntos muestra que corresponden a un evento, teniendo a la vista el espacio muestral. Para este caso, se puede sugerir un arreglo rectangular incompleto para que los estudiantes lo completen. Es importante

resaltar que se trata de dos dados, y por lo tanto el par (3, 2) es un punto muestra diferente de (2, 3), puede pensarse en dos dados de distinto color, de manera que, por ejemplo, el primer par puede ser: dado blanco 3, dado rojo 2; mientras que el

segundo sería: dado blanco 2, dado rojo 3. Así puede entenderse que el espacio muestra consta de 36 puntos muestra o

sucesos.

1 2 3 4 5 6

1 (1,1)

2 (2,5)

3 (3,4)

4 (4,3)

5 (5,2)

6 (6,6)

En este plan sólo se trata de que los alumnos identifiquen puntos muestra y los cuenten para determinar la probabilidad, considerada ésta como la frecuencia relativa que resulta de dividir los casos favorables entre los casos posibles. Por ejemplo,

en el inciso a), hay que ubicar en el espacio muestra todos los pares en los que ambos números son pares, (9 de 36), por lo que

la probabilidad es 4

1

36

9 .

Los incisos d) y e) tienen una dificultad adicional porque se trata de la probabilidad de eventos compuestos. En el primer caso son dos eventos mutuamente excluyentes, suma 10 o suma 6, no tienen elementos en común.

En el segundo caso, suma 10 y números iguales los alumnos notarán que sólo hay un punto muestra que cumple con esta

condición. Si se presentan las diferentes formas de expresar la probabilidad (fracción, decimal o %), hay que aprovecharlas para analizar sus equivalencias y conversiones.





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57 3 LMS MI Nociones de Probabilidad Seguimos lanzando dados 9.3.7 2/4 G9B3C7


Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen eventos dependientes e independientes y que calculen su

probabilidad.

Consigna: En equipos, calculen la probabilidad de los siguientes eventos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en ambas caras aparezca el número 2?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 7 o que ambos números sean iguales?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 7 y que ambos números sean iguales?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 4 y que ambos números sean iguales?

Consideraciones previas: A diferencia del plan anterior en el que sólo se trata de identificar y contar puntos muestrales para determinar la probabilidad, en éste se trata de combinar dichos recursos con el cálculo de probabilidades y analizar

la dependencia y la independencia de dos eventos.

Los alumnos podrán determinar con facilidad, teniendo a la vista el espacio muestra, que la probabilidad en el inciso a) es 1/36. Con base en este resultado conviene plantear la pregunta: ¿Se puede obtener este mismo resultado considerando

la probabilidad de que salga 2 en cada uno de los dados? La probabilidad de que salga 2 cuando se lanza el dado blanco

es 1/6; cuando se lanza el dado rojo también es 1/6; el producto 1/6 × 1/6 = 1 /36. Así, otra manera de calcular la

probabilidad en el inciso a) es mediante lo que se llama “regla del producto”. Además, en los casos en los que es posible aplicar esta regla, se trata de eventos independientes. Dicho de otra manera, la probabilidad de que salga 2 en un dado

NO altera la probabilidad de que salga 2 en el otro dado.

El inciso b) es un caso de eventos mutuamente excluyentes en el que se espera que los alumnos apliquen la regla de la

suma que ya ha sido estudiada.

En el inciso c) se espera que los alumnos se den cuenta de que no hay puntos muestrales que cumplan con ambas

condiciones (suma 7 y números iguales), por lo tanto la probabilidad es cero.

El inciso d) requiere un análisis más minucioso por lo siguiente: En el espacio muestra se podrá apreciar que suma 4 y números iguales sólo hay un punto muestral, por tanto la probabilidad es 1/36. Sin embargo, aplicando la regla del

producto como en el inciso a), se podrá ver que: la probabilidad de suma 4 es 3/36 = 1/12; la probabilidad de números

iguales es 6/36 = 1/6. Ahora bien, 1/12 x 1/6 = 1/72 y 1/72 ≠ 1/36. Está claro que en este caso no es aplicable la regla del

producto, por lo que se trata de dos eventos dependientes o no independientes. Otra manera de ver esto mismo es: si ya apareció una suma cuatro la probabilidad de que ambos números sean iguales es 1/3 y no 1/6 como se estableció

originalmente. Por otra parte, si ya se sabe que los números son iguales la probabilidad de que la suma sea 4 es 1/6 y no

1/12 como se estableció al inicio.

Hay dos ideas importantes que se espera dejar en claro en esta sesión y que están vinculadas a los eventos independientes.

La primera es que dos eventos se consideran independientes cuando la aparición (o no aparición) de cualquiera de ellos

no afecta la probabilidad asignada a la aparición del otro.

La segunda es que dos eventos se consideran independientes cuando su probabilidad puede calcularse mediante la regla del producto.





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58 3 LMS MI Nociones de Probabilidad Calcula probabilidades 9.3.7 3/4 G9B3C7


Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen diversos experimentos de azar e identifiquen los eventos que son independientes, que adviertan que la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad asignada a la ocurrencia del otro.

Consigna: Organizados en equipos analicen y resuelvan las siguientes situaciones.

Situación 1. a) Calcular la probabilidad de obtener 1 y águila al

lanzar un dado y una moneda. b) Calcular la probabilidad de obtener 1 al lanzar el

dado, sabiendo que ya salió águila al lanzar la moneda.

Situación 2.

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par y menor que 4 al lanzar un dado?

b) Sabiendo que ya salió par, ¿cuál es ahora la probabilidad que sea menor que 4?

Consideraciones previas: Igual que en los planes anteriores, las probabilidades pedidas pueden obtenerse a partir de la

determinación del espacio muestral correspondiente. La atención de este plan se centra en identificar la dependencia o

independencia de los eventos que se presentan en cada situación. En la primera se trata de eventos independientes, la aparición de uno no tiene efecto en la probabilidad de aparición del otro, la probabilidad de obtener 1 al lanzar el dado

no depende del resultado de lanzar la moneda, siempre es 1/6, aún sabiendo que la moneda ya cayó águila.

En cambio, en la segunda situación, se trata de eventos dependientes, la probabilidad de que el número sea menor que 4

es 2

1 (1, 2 y 3), pero si se sabe que ya salió par, el espacio muestra se reduce a (2, 4 y 6), de los cuales uno (el 2) es

menor que 4, por lo tanto la probabilidad es 3

1.

Para contribuir con la intención didáctica de este plan es conveniente que se analicen otras situaciones que incluyan

eventos independientes, algunos ejemplos son:

1. Se lanzan cinco volados consecutivos y en todos ellos ha caído sol. ¿Cuál es la probabilidad de que en el sexto volado también caiga sol?

2. Se va a realizar una rifa con 200 boletos que han sido numerados del 1 al 200. Todos los boletos se han vendido.

El boleto ganador será el primero que se saque de una urna. Ana compró los boletos 81, 82, 83 y 84. Juan adquirió los boletos 30, 60, 90 y 120. ¿Quién tiene más oportunidades de ganar?






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59 3 LMS MI Nociones de Probabilidad Calculando probabilidades 9.3.7 4/4 G9B3C7


Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen y utilicen la regla del producto para calcular la probabilidad de

ocurrencia de dos eventos independientes.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas: 1. La mamá de Enrique y la Tía de Ana están embarazadas y próximamente darán a luz a sus bebés. ¿Qué

probabilidad hay de que las dos tengan un hijo varón?

¿Crees que los eventos varón y varón son independientes? Explica por qué 2. Se lanzan simultáneamente un dado y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga sol y el número 4?

Explica por qué los eventos caer sol y número 4 son independientes

Consideraciones previas: Es muy probable que los alumnos obtengan por separado las probabilidades de cada evento en

cada problema, para el primero ½ y ½ y para el segundo 1/6 y ½; sin embargo el asunto es averiguar cómo se relacionan estas medidas para obtener la probabilidad de que ocurran, en cada caso, los dos eventos a la vez, para el primero ¼ y

para el segundo 1/12. Un arreglo rectangular o un diagrama de árbol permiten visualizar el espacio muestral y los casos

favorables de cada situación. La aplicación de la regla del producto puede ser útil para confirmar la respuesta.

Otros problemas que permitirán aplicar la regla encontrada son los siguientes:

1. Variantes del problema 2. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila y 2? ¿Cuál es la probabilidad de que caiga sol y 6? ¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila y un número mayor que 4?,

2. Pedro y Mario van a extraer sin mirar una canica de una caja que contiene dos amarillas, una verde y tres rojas. Si

después de cada extracción se regresa la canica a la caja, ¿cuál es la probabilidad de que Mario tome una canica roja y Pedro una amarilla?






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BLOQUE 4


Utiliza en casos sencillos expresiones

generales cuadráticas para definir el enésimo término de una sucesión.

Resuelve problemas que implican el uso de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.

Calcula y explica el significado del rango y la desviación

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66 4 LMS SN y PA Patrones y ecuaciones Sigue la sucesión 9.4.1 1/2 G9B4C1

Contenido: 9.4.1 Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión.

Intenciones didácticas: Que los alumnos encuentren una expresión general cuadrática de la forma y = x2 que represente

el enésimo término de una sucesión figurativa usando procedimientos personales. Consigna: Organizados en equipos, analicen la siguiente sucesión de figuras y respondan lo que se cuestiona. Si lo desean pueden utilizar su calculadora.

a) Si la sucesión continúa en la misma forma, ¿cuántos cubos se necesitan para formar la figura 5? ¿Y para la figura

10? ¿Y para la figura 100?

b) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite conocer el número de cubos de cualquier figura que esté en la sucesión?

c) Se sabe que una de las figuras que forman la sucesión tiene 2 704 cubos, ¿qué número corresponde a esa figura en la sucesión?

d) Una figura con 2 346 cubos, ¿pertenece a la sucesión? ¿Por qué?


Para las preguntas a) y b) tal vez sea necesario dar a los alumnos alguna orientación, por ejemplo, indicarles que elaboren una tabla de dos columnas y pedirles que en ella anoten el número de cubos que tienen las primeras figuras de

la sucesión. Luego pedirles que analicen la tabla y que traten de buscar la relación que existe entre el número de la

posición de la figura y el número de cubos con los que está formada. Esto les permitirá ver que el número de cubos de la sucesión es: 1, 4, 9, 16, 25, …; y que se trata de los cuadrados de los números que expresan el orden de las figuras. Por

consiguiente, la expresión algebraica que permite conocer el número de cubos de cualquier figura que esté en la sucesión

es n2

En el caso del inciso c, es probable que algunos alumnos recurran al ensayo y error, otros tal vez planteen una ecuación

como: 70422 n y a partir de ella determinen que la figura 52 es la que estaría formada por 2 704 cubos.

En el caso del inciso d, se espera que los alumnos digan que una figura con 2 346 cubos no pertenece a la sucesión

porque no cumple con la regla general.






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67 4 LMS SN y PA Patrones y ecuaciones Otra sucesión 9.4.1 2/2 G9B4C1

Contenido: 9.4.1 Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión.

Intenciones didácticas: Que los alumnos encuentren una expresión general cuadrática de la forma y = ax2 que

represente el enésimo término de una sucesión figurativa usando procedimientos personales.

Consigna: En equipos, con base en la siguiente sucesión de figuras, contesten las preguntas que se plantean.

Fig.1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 2

a) ¿Cuántos cuadritos tendrá la figura 7, 10 y 13, respectivamente?

b) ¿Cuántos cuadritos tendrá la figura 100?

c) Encuentren una expresión algebraica que permita determinar la cantidad de cuadritos de cualquier figura que corresponda a la sucesión anterior.


En el primer inciso se espera que los alumnos no tengan dificultad en encontrar el número de cuadros de las figuras

solicitadas. Sin embargo, en el caso del b) y c), tal vez sea necesario ayudarlos. Por ejemplo, se les puede sugerir que encuentren la relación que existe entre el número de la posición de la figura, el número cuadritos de la base y el número

de cuadritos de la altura; esto es con la finalidad de que se den cuenta que el número de cuadritos de la altura es el doble

del número de cuadritos de la base y que el número de la posición de la figura es el mismo número de cuadritos de la

base. Con la determinación de estas relaciones se puede establecer la regla general de la sucesión que se pide en el c). Por ejemplo, como la altura de cada figura es el doble de la base, entonces si la base es n, la altura es 2n; por lo que el

número de cuadritos de cualquier figura es n(2n) que es lo mismo que 2n2.






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68 4 LMS FE y M Figuras y Cuerpos La revolución 9.4.2 1/3 G9B4C2

Contenido: 9.4.2 Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un triángulo

rectángulo, un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros

rectos.

Intenciones didácticas: Que los alumnos anticipen las características de algunos cuerpos de revolución.

Consigna 1: Organizados en equipos utilicen tres popotes como eje y peguen a cada uno de éstos un triángulo rectángulo, un rectángulo y un semicírculo.

1. Anticipen qué cuerpo geométrico se describe al girar cada figura.

2. Escriban las características de cada cuerpo generado.

Consideraciones previas: Es importante prever que los alumnos cuenten con los materiales necesarios (pueden ser otros

similares a los propuestos) para realizar esta actividad y alentarlos para que con sus propias palabras describan las características de cada uno de los cuerpos generados: base(s), cara(s) curva(s) y plana(s), altura, generatriz (que

corresponde a la hipotenusa del triángulo que lo genera y que no es la altura), cúspide o vértice, radio y diámetro, entre

otras. Que concluyan por qué estos cuerpos se conocen como sólidos de revolución. Consigna 2: Comenten con sus compañeros de equipo: ¿qué cuerpo geométrico se genera al trasladar un círculo de un plano a otro paralelo?

Consigna 2: Comenten con sus compañeros de equipo: ¿qué cuerpo geométrico se genera al trasladar un círculo de un plano a otro paralelo?

Consideraciones previas: Es importante que los alumnos analicen y comenten sus

estrategias para realizar la traslación de un círculo. Es probable que algunos digan que

basta con trasladar el radio y trazar el nuevo círculo, respuesta que es correcta si la traslación se efectúa en un plano, pero el propósito de esta actividad es que imaginen el

cuerpo que se describe (cilindro) al trasladar el círculo de un plano a otro paralelo.






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69 4 LMS FE y M Figuras y Cuerpos Los tubos 9.4.2 2/3 G9B4C2



rectos.

Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan la relación entre las medidas de un cilindro y su desarrollo plano.

Consigna: Organizados en equipos, realicen las siguientes actividades: 1. Usen un tubo de cartón, de los que trae el papel sanitario, para trazar los círculos que puedan servir de tapa superior

e inferior del tubo y recórtenlos.

2. Corten longitudinalmente el tubo y, completamente aplanado, péguenlo en un pliego de cartoncillo.

3. Peguen donde corresponda las dos tapas para formar el desarrollo plano del cilindro.

4. Anoten sobre las líneas que corresponda las siguientes medidas:

a) Altura del cilindro

b) Radio del cilindro

c) Perímetro de la base del cilindro.

5. A partir del modelo pegado en el cartoncillo, construyan el desarrollo plano de un cilindro cuyas medidas sean 4 cm

de radio y 10 cm de altura. Recórtenlo y armen el cilindro.

Consideraciones previas: Es necesario solicitar con anticipación el material que usarán los alumnos para garantizar que

sea el adecuado, ya que puede darse el caso de que los tubos sean de cartón muy grueso o de metal, con lo que no sería

posible realizar la actividad.

Es importante analizar la relación entre las medidas del cilindro y las del desarrollo plano y enfatizar el hecho de que la

cara curva del cilindro es un rectángulo tal, que uno de sus lados coincide con la altura del cilindro y el otro coincide

con el perímetro de la base.






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70 4 LMS FE y M Figuras y Cuerpos Los conos para agua 9.4.2 3/3 G9B4C2



rectos.

Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan la relación entre las medidas de un cono y su desarrollo plano.

Consigna: Organizados en equipos, usen un cono de papel para tomar agua y realicen las siguientes actividades:

1. Tracen el círculo que puede servir de tapa al vaso. 2. Identifiquen y midan la altura del cono; asimismo, determinen el diámetro de la

base. 3. Corten longitudinalmente el cono, desde la base hasta el vértice y extiéndanlo. 4. Peguen el desarrollo plano del cono sobre un pliego de cartoncillo. 5. Anoten sobre las líneas que corresponda las siguientes medidas:

a) Radio del cono b) Altura del cono c) Generatriz del cono d) Perímetro de la base del cono e) Ángulo del sector circular que permite formar el cono.

6. Construyan el desarrollo plano para hacer un vasito en forma de cono que mida

4 cm de radio y 10 cm de altura. Armen el vaso y verifiquen que tiene las medidas indicadas.

Consideraciones previas: Es importante que se distingan la altura del cono y la generatriz, pues es muy común que los

alumnos las confundan. También se debe tomar en cuenta que los alumnos han estudiado el teorema de Pitágoras anteriormente y se espera que lo pueden usar para calcular la altura del cono. De igual forma, para calcular la medida

del ángulo que determina el arco de circunferencia que se necesita para que éste corresponda a la medida del perímetro

de la circunferencia de la base, el alumno puede establecer una relación de proporcionalidad. Por ejemplo, si la base del

cono mide 8 cm de diámetro, su perímetro es: cmd 1.25 (aprox.). Si la generatriz a utilizar es de 12 cm, los 360º de

la circunferencia cubrirían una longitud de 75.4 cm (aprox.), por lo tanto; si 1.25:::4.75:360 x , entonces x es el

número de grados de amplitud buscada.

24 (π) : 360° : : 8 (π) : x

x = 3

1(360°)

x = 120°





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71 4 LMS FE y M Medida Una pendiente 9.4.3 1/2 G9B4C3

Contenido: 9.4.3 Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma

con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente.

Intención didáctica: Que los estudiantes, a partir de la gráfica de una recta, identifiquen a la pendiente como la razón de los catetos de los triángulos rectángulos construidos con la recta y el eje de las abscisas.

Consigna: Organizados en binas, y a partir de la gráfica de la recta 15.0 xy , realicen lo que se pide:

a) Determinen la medida del ángulo “A” que se forma con la recta y el eje x. b) Construyan tres triángulos rectángulos, considerando la recta y el eje de las abscisas o una paralela a ésta. c) Identifiquen y midan los catetos opuestos y adyacentes al ángulo “A” en cada triángulo. d) Obtengan los cocientes de las razones formadas por el cateto opuesto entre el adyacente. e) Verifiquen que los cocientes obtenidos son iguales y expliquen por qué. f) Contesten: ¿Qué relación existe entre la pendiente de la recta y los cocientes de los catetos? Argumenten su respuesta.


Con respecto a la primera pregunta, seguramente los alumnos se auxiliarán de transportador para determinar la medida del

ángulo, sin embargo, después de que hayan concluido que la razón entre los catetos de los triángulos formados entre la recta y el eje de las abscisas o una paralela a esta, es la pendiente de la recta o ángulo de inclinación, se podrá explicar que esta

razón (cateto opuesto entre cateto adyacente) se le llama tangente y que en una tabla de funciones trigonométricas o en una calculadora se puede ver que el ángulo cuya Tangente es 0.5 vale 26.6° aproximadamente.

La idea principal de la actividad es que los alumnos determinen que el

valor de la pendiente de la recta (0.5) es el cociente de la razón entre el

cateto opuesto y el cateto adyacente de cualquier triángulo rectángulo que se forma con la recta. En este caso, se espera que los alumnos puedan determinar que los cocientes de las razones formadas por el

cateto opuesto entre el cateto adyacente es 0.5 de cualquier triángulo rectángulo formado entre la recta y el eje de las abscisas.

Es muy probable que los alumnos dibujen diferentes triángulos

semejantes, por ejemplo:






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72 4 LMS FE y M Medida Ángulos especiales 9.4.3 2/2 G9B4C3

Contenido: 9.4.3 Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma

con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente.

Intención didáctica: Que los estudiantes analicen la relación entre la medida del ángulo y el valor de la pendiente en diferentes rectas.

Consigna. Organizados en equipos realicen la siguiente actividad:

Consideren las rectas de la siguiente ilustración, las cuales

forman con el eje horizontal un ángulo de 30°, uno de 45° y otro

de 60°; para formar tres triángulos rectángulos, uno para cada

ángulo, posteriormente completen la tabla y contesten las

preguntas. Pueden utilizar un juego de geometría y una

calculadora.

Ángulo Medida del cateto

opuesto Medida del cateto

adyacente

Razón

(

)

Cociente (decimal)

Pendiente

30º

45º

60º

Comparen los resultados de su tabla con la elaborada por otro equipo, verifiquen que aunque los datos de las tres primeras columnas fueran diferentes, los de las dos últimas coinciden y expliquen por qué. ¿Sucederá lo mismo con otros ángulos? Compruébenlo y concluyan.


Si a algunos estudiantes les pareciera mejor trazar cada recta en un plano cartesiano, permítales que lo hagan para que tengan más claridad en los procedimientos.

Es posible que al construir los triángulos rectángulos algunos equipos no consideren las medidas de los catetos con

números enteros, permita que lo hagan para comparar libremente los cocientes, identifiquen que están tratando con

triángulos semejantes y puedan llegar de manera más natural a la generalización. Priorice la atención a las dudas que surjan y aproveche el trabajo de los equipos para que ellos mismos puedan

identificar y aclarar sus diferencias.

Observe que las conclusiones se dirijan a identificar la relación entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente de los catetos (opuesto/adyacente).






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Cuaderno de Consignas Tercer Grado