Cuaderno 8

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Cuadernos de Investigación y Formaciónen Educación Matemática es una colecciónde publicaciones que incluye trabajos de in-vestigación, reseñas de experiencias acadé-micas, documentos informativos orientadosa la capacitación y formación de estudian-tes y profesores de matemáticas. Busca nu-trir la comunidad de Educación Matemáti-ca con instrumentos teóricos que permitanpotenciar los quehaceres dentro de esta co-munidad.Cuadernos de Investigación y Formaciónen Educación Matemática es una iniciati-va del Centro de Investigación y Forma-ción en Educación Matemática, que inte-gra proyectos y actividades realizadas porel Centro de Investigaciones Matemáticas yMeta-Matemáticas y la Sede de Occidentede la Universidad de Costa Rica, la Escuelade Matemática de la Universidad Nacional,la Escuela de Ciencias Exactas y Natura-les de la Universidad Estatal a Distancia, yel Departamento de Investigaciones Educa-tivas del Ministerio de Educación Públicade Costa Rica. Se conciben como un me-dio para expresar los resultados de investi-

gación y docencia que obtiene este colecti-vo de proyectos y personas.Cuadernos tiene una doble presentación:por un lado, de manera impresa, y, por elotro, de forma digital que se pone a la dis-posición de los usuarios por medio de Inter-net.Cuadernos no es una publicación abierta,los artículos se escriben por invitación delConsejo Editorial o del Director, pero enocasiones se aceptan algunos trabajos de in-vestigadores o académicos externos al Pro-grama, para lo cual se debe enviar una soli-citud formal al Director de Cuadernos. Lasreglas de publicación, en este último caso,se encuentran en la página web de Cuader-nos.Cada número de los Cuadernos se concen-tra en una temática específica, aunque in-cluye otros temas de interés.Los Cuadernos cuenta, además, con el apo-yo del Comité Interamericano de Educa-ción Matemática CIAEM, organismo regio-nal de la International Commission on Mat-hematical Instruction ICMI.

510.1C961c

Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática / Centro de Investiga-ciones Matemáticas y Metamatemáticas, Universidad de Costa Rica; Escuela de Matemá-tica, Universidad Nacional; Escuela de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Estatala Distancia. - Año 6, No. 8 (Junio. 2011). San José, C.R.: Centro de Investigaciones Mate-máticas y Metamatemáticas, Universidad de Costa Rica; Escuela de Matemática, Univer-sidad Nacional; Escuela de Ciencias Exactas y Naturales Universidad Estatal a Distancia,2011- viii.

ISSN: 1659-2573

1. MATEMATICAS - PUBLICACIONES SERIADAS2. MATEMATICAS - ENSEÑANZA - COSTA RICA

CUADERNOS DE INVESTIGACIÓN Y FORMACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Consejo asesor internacionalLuis Carlos ArboledaExpresidente, SociedadLatinoamericana de Historiade las Ciencias y la Tecnología,Universidad del Valle,Colombia.Michèle ArtigueExpresidenta, InternationalCommission on MathematicalInstruction, UniversitéParis-Diderot, Francia.Bill BartonPresidente, InternationalCommission on MathematicalInstruction, Universityof Auckland, Nueva Zelandia.Carmen BataneroExpresidenta, InternationalAssociation for StatisticalEducation, Universidadde Granada, España.María Salett BiembengutExpresidenta, ComitéInteramericano de EducaciónMatemática, Brasil.

José María ChamosoUniversidad de Salamanca,España.

Ubiratan D’AmbrosioExpresidente, ComitéInteramericano de EducaciónMatemática,Brasil.

Juan Díaz GodinoUniversidad de Granada,España.

Claudia GroenwaldUniversidade Luteranado Brasil, Brasil.

Bernard HodgsonEx Secretario General,International Commissionon Mathematical Instruction,Université Laval,Canadá

Eduardo ManceraVicepresidente ComitéInteramericano de EducaciónMatemática, México.

Luis Moreno ArmellaCentro de Investigación yde Estudios Avanzados delInstituto Politécnico Nacional,México.

Eliana RojasUniversity of Connecticut,Estados Unidos.

Carlos SánchezUniversidad de la Habana,Cuba.

Patrick ScottVicepresidente, ComitéInteramericano de EducaciónMatemática, Estados Unidos.

Michael ShaughnessyPresidente, National Council ofTeachers of Mathematics,University of Portland,Estados Unidos.

Carlos VascoExpresidente, ComitéInteramericano de EducaciónMatemática, Colombia.

Consejo editorialJosé Alfredo ArayaUniversidad Estatal aDistancia (Costa Rica).Hugo BarrantesUniversidad de Costa Rica,Universidad Estatal aDistancia (Costa Rica).Víctor BujánOlimpiada Costarricense para laEducación Primaria.

Eduardo ChavesUniversidad Nacional(Costa Rica).Edwin ChavesUniversidad Nacional,Universidad de Costa Rica.Edison De FariaUniversidad de Costa Rica.Ma. de los Ángeles JiménezOlimpiada Costarricense para laEducación Primaria.

Hernán MirandaUniversidad de Santiago (Chile)Luis Roberto MorenoUniversidad de Panamá.Angel RuizDirector, Centro deInvestigaciones Matemáticasy Metamatemáticas,Universidad de Costa Rica.Óscar SalasUniversidad Nacional,Universidad de Costa Rica.

Director: Angel Ruiz ([email protected])Dirección ejecutiva:Hugo Barrantes ([email protected])Óscar Salas ([email protected])

Versión en línea: http://cimm.ucr.ac.cr/cuadernos

Artes finales: Hugo Barrantes

Teléfono fax: (506) 25115742

La impresión de Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática 8 fue financiadapor la Universidad Nacional, Costa Rica. En su diseño y elaboración se contó con el apoyo del Centro deInvestigaciones Matemáticas y Metamatemáticas y la Vicerrectoría de Investigación de la Universidadde Costa Rica.

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Tabla de contenidosCIAEM, 50 años 7

Editorial 9

INVESTIGACIÓN Y ENSAYOS 11

Tecnología y enseñanza de las matemáticas: desarrollo yaportes de la aproximación instrumental 13

Michèle Artigue

1. Introducción 142. De la programación a los recursos en línea: trayectoria de una investigadora 153. La aproximación instrumental: nacimiento y desarrollo 184. Los inicios de la aproximación instrumental 195. Aproximación instrumental: más allá de los CAS 236. La aproximación instrumental: de los CAS y las hojas de cálculo a

los recursos en línea 297. Conclusión 31

La Educación Matemática, resolución de problemas, y elempleo de herramientas computacionales 35

Luz Manuel Santos Trigo

1. Introducción 362. Un Ejemplo sobre el Empleo del Software Dinámico 393. Sobre los Marcos Conceptuales y las Herramientas Computacionales 444. Comentarios Finales 50

La lección de matemáticas a través de estudiosinternacionales con videos 55

Angel Ruiz

1. El uso de videos 562. Estudio de videos TIMSS 1995 613. Estudio de videos TIMSS 1999 734. Learner’s Perspective Study, LPS 845. Patrones nacionales 996. La lección en Japón 1057. Conclusiones 111

Euler y el entrañable encanto del quehacer matemático 123Carlos Sánchez Fernández

1. Introducción 1242. La obra de Euler 1253. Euler y la solución del problema de Basilea 1284. ¿Qué nos enseña Euler y la historia del problema de Basilea? 131

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Las artes y la arquitectura como herramientas en ladidáctica de la matemática 135

Mauricio José Orellana Chacín

1. Planteamiento 1362. Marco teórico 1363. Metodología 1404. Resultados 1535. Conclusiones 153

EXPERIENCIAS 159

Análisis de una experiencia de contenidos estadísticos contecnología hipermedia para la formación de docentes 161

Jose María Chamoso SánchezJuan Francisco García SánchezMaría Mercedes Rodríguez Sánchez

1. Introducción 1622. La tecnología en Educación Matemática 1633. Las posibilidades de los sistemas hipermedia 1654. Objetivos 1685. Metodología de la experimentación de sistemas hipermedia como

instrumentos de formación de docentes 1696. Resultados 1707. Discusión y conclusiones 173

Aprendiendo Matemática con tecnología portátil 1 a 1:resultados de una experiencia de innovación en Chile 181

María Ester Lagos CéspedesHernán Miranda VeraClaudia Matus ZúñigaGonzalo Villareal Farah

1. Introducción 1822. Marco conceptual 1843. Metodología 1874. Resultados 1905. Conclusiones 198

SOFTWARE 203

El ordenador de mano (PDA, UMPC, Tablet PC) comorecurso para investigar en el entorno 205

María Mercedes Rodríguez SánchezJose María Chamoso SánchezJosé Manuel Vacas PeñaCarmen Urones Jambrina

1. Introducción 2062. Acercar el entorno al aprendizaje mediante rutas matemáticas 207

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3. El programa eFieldBook 2094. Conclusiones 214

DOCUMENTOS 217

XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática 219

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CIAEM, 50 años

El Consejo Editorial de los Cuadernos de Investigación y Formación en E-ducación Matemática y la directiva del Comité Interamericano de EducaciónMatemática CIAEM decidieron la publicación de una serie especial de losCuadernos orientada a conmemorar los 50 años del CIAEM. Esta organiza-ción fue fundada en diciembre de 1961 durante la primera Conferencia Inter-americana de Educación Matemática, celebrada en Bogotá, Colombia, en unmomento histórico muy especial: en mitad de la Guerra Fría y de una épocaque a pesar de su cercanía parece hoy tan distante. El CIAEM es la primera or-ganización regional asociada a la International Commission on MathematicalInstruction ICMI, que nació en el año 1908, y que constituye la principal re-ferencia en la comunidad internacional de Educación Matemática. El CIAEM,aunque con diferentes etapas y con logros variados, ha constituido el marcoorganizativo más permanente e importante en América Latina para potenciarla Educación Matemática. En él han participado, y de él se han nutrido, cen-tenares de educadores, investigadores y administradores de las matemáticas.Más detalles sobre el CIAEM se pueden ver en http://www.ciaem-iacme.org.Al cumplir 50 años, se ha querido rendir un homenaje a esta red de personas ya los temas disciplinares que ha ayudado a potenciar durante tantos años.

Hemos intitulado esta serie especial como: CIAEM, 50 años. Esta incluirá 3números de los Cuadernos. En los mismos se encontrarán artículos y documen-tos de protagonistas directos y centrales en la historia del CIAEM, en diferen-tes épocas, así como de investigadores de Iberoamérica que incursionan, másrecientemente, en los tejidos de esta nueva disciplina científica y profesionalque se construye alrededor de la Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas.

El primer número de esta serie está constituido por dos secciones: Historia yperspectivas y Ubiratan D’Ambrosio: primeros escritos. La primera secciónrecoge artículos de intelectuales asociados a las conferencias y sobre todo depersonas que dedicaron mucho de su esfuerzo al crecimiento de esta discipli-na en la región: Stone, Fehr, Santaló, D’Ambrosio, Vasco y otros, algunos deellos de grata memoria. Las reflexiones en algunos casos expresan las preocu-paciones de los años en las que estos trabajos fueron escritos, en otros casostrazan perspectivas sobre el futuro. La segunda sección, incluye 3 artículos es-critos a finales de los años 50 y principios de los 60 del siglo pasado por UbiD’Ambrosio, una de las figuras de la región americana de mayor influenciaen la comunidad internacional de Educación Matemática. Hay un propósito

Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2011. Año 6. Número 8. pp 7-8. CostaRica

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común en ambas secciones: la búsqueda por mostrar en el papel un poco deuna compleja historia de ideas, voluntades y esfuerzos. Es como un retrato delpasado, aunque no faltan las perspicaces miradas hacia adelante.

Los siguientes números poseen una perspectiva diferente: más bien aquí setrata de tocar algunos temas muy relevantes, contemporáneos, en donde la co-munidad de educadores matemáticos trabaja desde diferentes trincheras.

El segundo número incluye artículos sobre una temática esencial: Medios ehipermedios en la Educación Matemática. Se invoca de una manera muy ge-neral la participación de trabajos sobre tecnologías, videos, historia, arte endiferentes contextos educativos, así como aproximaciones distintas. Hay pre-misas implícitas en la escogencia de estos trabajos, como la apreciación de ladiversidad e integración obligada de los enfoques o instrumentos que intervie-nen en los quehaceres del aula de matemáticas.

Un tercer número recoge otras contribuciones relevantes sobre diferentes as-pectos de la Educación Matemática, pero que giran alrededor de un tema ca-pital cual es la formación de educadores: currículo, competencias, evaluación,percepciones, formación inicial, capacitación . . . La atención recae sobre unaimbricada convergencia alrededor de la Enseñanza de la Matemática. Este nú-mero incluye algunos trabajos sobre investigaciones y experiencias en CostaRica, un prisma nacional a través del cual se pueden apreciar los colores quese encuentran también presentes en otras latitudes.

En toda la serie, se han incluido trabajos presentados en las conferenciasCIAEM, desde sus primeros inicios, así como artículos publicados o nuevos,inéditos. Se han modificado algunos aspectos formales en los artículos origi-nales, solo con el propósito de uniformar la presentación de estos materialesy compatibilizarlos con el formato usual de los Cuadernos: incorporación deresúmenes en 2 idiomas, palabras clave, la forma de citación y otros pequeñosdetalles.

El CIAEM y Cuadernos agradecen a los autores por darnos esta valiosa opor-tunidad para publicar todos estos artículos y documentos, testimonios de laevolución y presente de nuestra disciplina.

Refuerza esta serie una importante colaboración, ya existente, entre el equipode investigadores en Educación Matemática que trabaja en Costa Rica y elCIAEM, alianza que potencia los esfuerzos que en toda la región americana sellevan a cabo en esta disciplina central para el destino de sus pueblos.

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Editorial

Es ya un lugar común el afirmar que estamos en una Sociedad del Conocimien-to. Y con ello se invoca el papel extraordinario de las tecnologías en la vidasocial, en lo cultural, lo económico y lo social en general. Para algunos es elsalto hacia una Sociedad Postindustrial, para otros el reino del Postmodernis-mo. Sin duda, los tiempos han cambiado en ritmos vertiginosos, y lo que eraciencia ficción es ahora, en tantos casos, una realidad viviente. Se usen unostérminos u otros, no se puede negar: la máxima de Heráclito “Todo Cambia”,se ha vuelto el signo de una época.

Uno de los espacios que se ven poderosamente arrastrados por el cambio esla educación. Y eso no ha dejado de afectar a la Educación Matemática, demúltiples maneras. Ya sea con las calculadoras de todos los tipos o las compu-tadoras grandes o pequeñas, o, sobre todo, con los nuevos flujos de comuni-cación humana, la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas han tenido querepensarse de muchas maneras. Y si en algunas latitudes no se ha hecho con lafuerza requerida, en el futuro todo obligará ir en esa dirección.

No obstante, los nuevos instrumentos, que se basan en la tecnología y sus po-sibilidades, no se deben ver ajenos a la problemática general del uso de mediospara la Educación Matemática. Los objetivos cognoscitivos y pedagógicos másgenerales siguen presentes -como siempre- y los medios son eso: medios paraesos propósitos en los nuevos entornos, aunque los propósitos sufran muta-ciones. Entender esa relación que convoca lo nuevo, las transformaciones ra-dicales, los instrumentos “viejos”, y su integración en la práctica de aula, esesencial para colocarnos en la mejor perspectiva.

Hemos querido en este segundo número de la serie CIAEM, 50 años, concen-trar trabajos en el uso de medios en la Educación Matemática; y añadimos eltérmino hipermedios para mostrar que le damos mucha relevancia en este Cua-dernos a esos medios que hoy nos colocan encima los nuevos tiempos. Este nú-mero se ha formado con trabajos presentados en la XII CIAEM en Querétaro,México, en julio del 2007, así como con otros artículos de investigadores queaportan sus reflexiones y sus experiencias alrededor de estos temas. Aquí, a lavez que se introducen las tecnologías, los multimedios o la Internet, tambiéningresan la historia, el arte y los museos, como recursos valiosos para analizarlas lecciones o para provocar directamente los aprendizajes.

Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2011. Año 6. Número 8. pp 9-10.Costa Rica

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Para los Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemáticaes un honor ofrecer en nuestras páginas estos trabajos a la comunidad interna-cional de Educación Matemática.

Angel Ruiz

10 de marzo del 2011

San José, Costa Rica

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Investigación y ensayos

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Tecnología y enseñanza de las matemáticas: desarrolloy aportes de la aproximación instrumental1

Michèle Artigue2

Université Paris Diderot - Paris 7, Laboratoire de Didactique André [email protected]

Resumen

¿Qué esperamos ahora de la enseñanza de las matemáticas? ¿Qué con-sideramos como un progreso, una regresión, o un fracaso? Estas inte-rrogantes perfilan cuestiones fundamentales de la educación matemáti-ca. Está claro que hoy no sabríamos dar respuesta a tales preguntas sintomar en cuenta el factor tecnológico. Lo anterior en parte motivó laelección de este tema para mi contribución en esta conferencia. La otrarazón que motivó la elección de este tema, son mis más de veinte añosinteresada en estas preguntas, sea como profesora o como investigado-ra y desearía compartir con ustedes las reflexiones que me inspira estaexperiencia.

Palabras clave

Enseñanza de la matemática, Tecnología, Aproximación instrumental,ICMI.

Abstract3

What do we consider now from the teaching of mathematics? What weconsider as progress, regression or a failure? These questions are key is-sues in Mathematics Education. We cannot answer these questions with-out taking into account the technological factor. This in part promptedthe choice of topic for my contribution to this conference. The other rea-son is that I have been working in that area for more than twenty yearsdealing with these questions, whether as a teacher or as a researcher andI would like to share with you the thoughts that inspired me this experi-ence.

1 Trabajo presentado como conferencia en la XII Conferencia Interamericana de EducaciónMatemática, celebrada en Querétaro, México, en julio de 2007.

2 La autora es expresidente de la International Commission on Mathematical InstructionICMI.

3 El abstract y las key words fueron agregados por los editores.


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14 Michèle Artigue

Key words

Mathematics Instruction, Technology, Instrumental approach.

1. Introducción

Hace más de veinte años, el primer estudio propuesto por la Comisión Interna-cional de la Enseñanza de las Matemáticas (ICMI) tenía por tema: la influenciade los ordenadores sobre las matemáticas y su enseñanza. La conferencia aso-ciada a dicho estudio tuvo lugar en 1985 en Estrasburgo y la obra que resultófue re-editada, bajo el auspicio de la UNESCO en 1992 (Cornu & Ralston,1992). El estudio trataba la cuestión de esta influencia considerando tres di-mensiones: la influencia sobre las prácticas matemáticas, sobre los procesosde enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, sobre los planes de estudio yla formación de profesores. Se señalaba que la influencia sobre las matemáticasy las prácticas matemáticas no necesitaba probarse más pero que la situaciónera mucho menos clara para la enseñanza. La obra, anunciaba el prefacio, pre-sentaba numerosas proposiciones de mejoras curriculares apuntando a sacarprovecho de estas nuevas maneras de hacer matemáticas; se daban numero-sos ejemplos de experimentaciones exitosas pero, según los autores, faltabareconocer que,

. . . todas estas sugerencias permanecían fundamentalmente espe-culativas en lo que se refiere a su puesta en escena a gran escala,es decir en su conversión en un plan de estudio bien desarrolla-do y probado, y concebido para profesores y alumnos ordinarios(Cornu & Ralston, 1992, p.3) [Traducción de la autora].

Los autores agregaban que, para superar este estado, era necesario desarrollarla investigación y las experimentaciones, particularmente en contextos realis-tas.

En el pasado mes de diciembre, en Hanoi, se tuvo la conferencia asociada alsegundo estudio ICMI dedicado a este tema y con la encomienda de revisar elprimer estudio. En 25 años nuestros conocimientos han seguramente progre-sado de manera significativa, pero, en lo que se refiere al éxito de proyectos agran escala, es necesario admitir que la situación no ha evolucionado conside-rablemente. Herramientas como las calculadoras, los programas computacio-nales de geometría dinámica, las hojas de cálculo plantean siempre problemasa nuestros sistemas educativos, aún cuando la evolución tecnológica ofreceperspectivas radicalmente nuevas, en particular nuevas formas de interaccio-nes sociales y didácticas, además de la cosificación de objetos matemáticos en

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Tecnología y enseñanza de las matemáticas: desarrollo y aportes de la aproximación instrumental 15

formas directamente manipulables, de la visualización y simulación de fenó-menos.

Sin embargo, se observan evoluciones innegables que no se limitan a los paí-ses que se dicen desarrollados como lo mostró bien el “Diversity Panel” en laconferencia de Hanoi. Además, se plantean cuestiones que estaban ausentes enel primer estudio, por ejemplo el del control que pueden tener las institucio-nes sobre las evoluciones o el caracter benéfico de las influencias observadas.A través de estas interrogaciones, se perfilan unas cuestiones fundamentales:¿Qué esperamos ahora de la enseñanza de las matemáticas? ¿Qué conside-ramos como un progreso, una regresión, un fracaso? Está claro que hoy nosabríamos dar respuesta a tales preguntas sin tomar en cuenta el hecho tec-nológico. Es lo que, al menos en parte, motivó la elección de este tema parami contribución en este congreso. Otra razón es que desde hace más de veinteaños, me he interesado en estas preguntas, tanto como profesora, que comoinvestigadora y desearía compartir con ustedes las reflexiones que me inspiraesta experiencia. Para ubicarme mejor, evocaré en primer lugar unos episodiosde esta experiencia personal. Más allá de ser sólo una experiencia personal,me parece reflejar la evolución de los trabajos en este dominio, marcados almismo tiempo por la evolución tecnológica, la evolución de los contextos yla evolución de la investigación en matemática educativa en un sentido am-plio. Me centraré después sobre lo que hoy se conoce como la aproximacióninstrumental de las cuestiones de integración tecnológica, aproximación quecontribuí a desarrollar.

2. De la programación a los recursos en línea: trayectoria de unainvestigadora

Al inicio de los años 80’s comencé a trabajar en este dominio como joven uni-versitaria utilizando la informática, principalmente a través de actividades deprogramación, en una sección experimental físico-matemática de primer añode universidad. En esa época, las posibilidades gráficas ofrecidas por la tec-nología eran muy limitadas. Pero, afortunadamente, la situación evolucionórápidamente, y percibí en estos avances el medio de hacer accesible para losestudiantes principiantes una aproximación cualitativa de las ecuaciones dife-renciales, reservada en aquella época a los estudiantes de maestría (Artigue &Rogalski, 1990). Este primer proyecto de investigación fue un éxito, pero rá-pidamente entendí que su generalización no iba a ser evidente. Su éxito exigíaen efecto un cambio importante en el estatus dado al registro gráfico (Artigue,1992). Incluso en el contexto ecológicamente protegido de nuestra investiga-ción, habíamos podido medir la fuerza de la resistencia cultural a este cambio.

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16 Michèle Artigue

Por razones evidentes de coherencia, este cambio de estatus no podía estar li-mitado solo al tema de las ecuaciones diferenciales. Nos había sido necesariousar toda nuestra legitimidad de matemáticos expertos en el ámbito, para lograrconvencer a nuestros colegas en la experimentación realizada.

Poco tiempo después, como miembro del IREM París 7, me involucré en unsegundo proyecto, esta vez con alumnos de nivel medio (13, 14 años) de bajorendimiento. En este nuevo proyecto, el programa computacional Euclides, de-rivado de Logo y ofreciendo macro-construcciones geométricas, era utilizadopara reconciliar a estos alumnos con las matemáticas. Una vez más este proyec-to fue un éxito, pero el programa computacional presentaba límites evidentescomparado con los programas computacionales de geometría dinámica comoCabri-geometra, que aparecían en el mercado y muy rápido se volvió obsoleto.Dicha investigación también llamó mi atención sobre los cambios que una uti-lización eficaz de tales herramientas requería en las prácticas de profesores, ya poner seriamente en duda la pertinencia de las estrategias de formación con-tinua de los profesores en este dominio. De forma evidente, subestimaban lacomplejidad del trabajo del profesor en entornos informáticos y no sostenían eldesarrollo de nuevas competencias técnico-matemáticas y de manejo de claserequeridas por los profesores (Artigue, 1991, 1998).

A principios de los años 90’s, se inició un tercer episodio cuando la Direcciónde la Tecnología del Ministerio de la Educación Nacional me solicitó cola-borar, en tanto que especialista en la disciplina de la Matemática Educativa,en los trabajos de un grupo de profesores, expertos en la utilización de calcu-ladoras y programas computacionales. Dicho grupo trabajaba para identificarel potencial ofrecido por los programas computacionales de cálculo formal oCAS para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en la enseñanza se-cundaria, y debía preparar las evoluciones curriculares que la introducción detales herramientas a nivel bachillerato (grados del 10 al 12) pudiera necesitar.Era un nuevo tipo de tecnología para la enseñanza, mucho más perturbador desus normas y valores que las calculadoras gráficas, entonces obligatorias en elbachillerato o incluso que los programas computacionales de geometría diná-mica. Era también una tecnología mucho más compleja. El contraste entre eldiscurso idealista de los expertos del grupo, totalmente coherente con la litera-tura de la época sobre los CAS y lo que mostraban las observaciones llevadasa cabo en sus clases, se volvió una pregunta de investigación (Artigue, 1997).Y esto fue el comienzo de la aproximación instrumental la cual retomaré en lasegunda parte de este texto.

En estos últimos años, mi relación con la tecnología ha tomado nuevas vías.En efecto, he tenido la responsabilidad de dirigir un proyecto regional con unalcance de más de 5000 estudiantes y de 100 profesores, concerniente al uso de

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recursos en línea. Es necesario saber, que en Francia las regiones tienen la res-ponsabilidad de los “liceos” (enseñanza media superior). Estas pagan por losedificios, los libros, las computadoras. Hace tres años la región Ile de Francia,la más grande del país, decidió poner en marcha un nuevo proyecto, pagandoel acceso a recursos en línea en matemáticas a alumnos de primer año de ba-chillerato viviendo en zonas socialmente desfavorecidas. Por medio de dichoproyecto, se trataba de compensar el acceso limitado que estos alumnos teníana los diversos sistemas de acompañamiento escolar que existen en Francia, porrazones financieras evidentes. La región decidió también que este proyecto de-bía ser seguido y evaluado por un equipo universitario y así nuestro IREM fuecontactado. Este proyecto era un desafío al menos por dos razones: su tamañoy la tecnología utilizada. Hasta entonces sólo habíamos participado en estudiosque consideraban un número limitado de clases. Dichos estudios también con-sideraban programas computacionales abiertos, micro-mundos, muy distantesde los recursos en línea utilizados en esta experimentación. Experimenté unsentimiento de regresión dramática, debido a la baja calidad de la interaccióncon el saber matemático que estos recursos a priori permitían. No obstante,aceptamos este desafío porque nos parecía necesario interesarnos en estos pro-ductos cada vez más presentes en el universo escolar y extra escolar. Dentro dealgunos años podrían tener mayor influencia sobre la enseñanza y el aprendi-zaje de las matemáticas que los micro-mundos habían alcanzado tener en másde veinte años. Este proyecto nos confrontó a cambios importantes en la eco-nomía y la ecología de los procesos de aprendizaje, y a cambios diferentes deéstos hasta entonces observados y estudiados. Asimismo, nos obligó a trabajarnuevamente la aproximación instrumental para adaptarla a este nuevo contextotecnológico.

La última experiencia que mencionaré es también muy reciente, puesto que hacomenzado en el 2004, con la creación de la red de excelencia Europea Ka-leidoscope y del equipo de investigación europeo TELMA (Technology En-hanced Learning in Mathematics) que es uno de sus componentes. Una delas ambiciones de Kaleidoscope es el desarrollo de herramientas, permitiendola mejora de los intercambios y el desarrollo de proyectos cooperativos en eldominio del aprendizaje con tecnologías digitales. El equipo de investigaciónTELMA reagrupa seis equipos de cuatro países, y se centra en las matemáti-cas. Una de las hipótesis hechas por sus miembros es que la multiplicidad y elcarácter fragmentado de los marcos teóricos utilizados en el dominio del “tech-nology enhanced mathematics learning” es un obstáculo para la comunicacióny la capitalización de los conocimientos. En consecuencia, buscamos conectarlos marcos teóricos y las aproximaciones que utilizábamos respectivamente através del desarrollo de una metodología y de herramientas conceptuales espe-cíficas. No entraré en los detalles de este trabajo ni del proyecto ReMath que

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18 Michèle Artigue

le sucedió, sólo diré que es un trabajo fascinante que influencia profundamen-te mi visión de las necesidades teóricas en la Matemática Educativa y de lamanera en la que pueden satisfacerse (Ver páginas web de web de TELMA yReMath: http://telma.noe- kaleidoscope.org y www.remath.cti.gr).

Este itinerario, si bien es particular, no es extraordinario, y entre los participan-tes de este congreso, otros sin duda comparten historias parecidas, donde losproyectos de investigación se encadenan llevados por la evolución tecnológi-ca, las demandas institucionales así como por la sensibilidad del investigador,combinando trabajo teórico y experimental. A continuación voy a presentar unejemplo de tal combinación: el desarrollo de la aproximación instrumental.

3. La aproximación instrumental: nacimiento y desarrollo

Como he mencionado anteriormente, fui parte de un grupo de expertos quetrabajaban sobre la integración de CAS en la enseñanza media superior. Rá-pidamente, un proyecto de investigación fue puesto en marcha, financiado porel Ministerio. Dicho proyecto puso en evidencia la diferencia entre el discursode los expertos sobre el potencial de los CAS para el aprendizaje de las mate-máticas y la realidad en las aulas. Asimismo nos permitió identificar posiblescausas de esta diferencia y tres de entre éstas llamaron particularmente nuestraatención (Artigue, 1997):

la oposición entre técnico y conceptual que aparecía en la literatura exis-tente y se reflejaba en el discurso de los expertos,

la poca atención dada a los cambios en la economía de las prácticasmatemáticas inducidos por la utilización de CAS,

la subestimación de las cuestiones instrumentales.

Un segundo proyecto sucedió al primero, esta vez implicando varios equipos,en el momento en que la calculadora simbólica TI-92 era comercializada (Guin& Trouche, 2001). Dicho proyecto nos permitió poner a prueba nuestras con-jeturas y profundizar nuestra reflexión. Para conducir de la mejor manera estetrabajo, consideramos necesario tomar distancia del discurso usual sobre losCAS y de los marcos teóricos cognitivos y constructivistas que lo sostenían.Necesitábamos un discurso que permitiera considerar conceptos y técnicas ensus relaciones dialécticas, un discurso menos centrado en el alumno y que tra-tara las cuestiones de integración en su dimensión sistémica. De la misma ma-nera, debía permitirnos considerar la dimensión instrumental de los procesosde aprendizaje.

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Estoy perfectamente consciente que estas necesidades podrían haber sido sa-tisfechas de diferentes maneras. Siendo nosotros investigadores franceses, fa-miliarizados con la Teoría Antropológica de la Didáctica (TAD en adelante)desarrollada por Chevallard (Chevallard, 1992, 1999, 2002), (Gascón, 1998),habituados a colaborar con investigadores en Ergonomía Cognitiva (Rabar-del, 1995), (Vérillon & Rabardel, 1996), naturalmente se impuso la idea queuna concatenación apropiada entre la TAD y las perspectivas desarrolladas porRabardel y Vérillon en la Ergonomía Cognitiva pudiera darnos el marco depensamiento buscado. Es así como nació la aproximación instrumental.

4. Los inicios de la aproximación instrumental

Más precisamente, para el desarrollo de esta aproximación, la TAD nos dio unmarco macro-teórico:

centrado en la noción de institución, sensible a las normas y valoresinstitucionales y a la manera en la que éstas influencien los procesos deenseñanza y aprendizaje,

concibiendo los saberes matemáticos en tanto que objetos relativos, emer-gentes de prácticas matemáticas institucionalmente situadas, y sensiblea la influencia de las herramientas de las prácticas sobre los saberes queemergen de éstas,

y, lo no menos importante, desarrollando una visión positiva de las téc-nicas y reconociendo, a través de la noción fundamental de praxeología,el rol clave que las técnicas juegan en las construcciones conceptuales yteóricas.

La TAD analiza, en efecto, las prácticas matemáticas en términos de praxeolo-gías. En su nivel más fino, el de las praxeologías puntuales, una práctica ma-temática remite necesariamente a un tipo de tareas que dicha práctica permiterealizar por medio de una técnica, que es una manera de hacer y no necesaria-mente algorítmica, ni siquiera algoritmizable. La dupla (tipo de tarea, técnica)constituyen la parte práctica de la praxeología, la praxis. Pero lo que postula laTAD, es que, casi siempre, esta praxis está acompañada de un discurso que per-mite comunicarla, explicarla en vistas de una justificación y que especialmentees el caso de las praxeologías que viven en las instituciones escolares. Este esel discurso que Chevallard llama la tecnología, remitiéndose al sentido etimo-lógico del término, y designa por teoría el discurso más o menos elaboradoque estructura y justifica en su turno a la tecnología. Tecnología y teoría cons-tituyen el elemento teórico de la práctica y una praxeología es de hecho una

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cuádrupla (tipo de tarea, técnica, tecnología, teoría). Es una combinación depraxis y logos. En otros términos, técnico y conceptual son dimensiones cons-titutivas y en cierto sentido indisociable. Estas praxeologías puntuales, más omenos completas en la realidad institucional, se organizan así mismas en pra-xeologías locales unificadas en torno a una misma tecnología, posteriormenteen regionales unificadas en torno a una misma teoría. Se entiende entonces quela TAD nos haya parecido un marco conceptual capaz de hacer frente a las ne-cesidades teóricas que experimentábamos, las de un análisis sistémico amplioque sobrepasara al sujeto que aprende, sensible al rol que juegan la técnicasen las prácticas humanas, al desarrollo conceptual que emerge de éstas y a lasherramientas de estas prácticas.

Por su parte, la Ergonomía Cognitiva, nos dio distinciones y herramientas par-ticularmente bien apropiadas para estudiar el rol que las tecnologías digitalesjuegan en los procesos de aprendizaje:

la distinción fundamental entre el objeto tecnológico, el artefacto, y elinstrumento en que va a transformase para un individuo, un colectivo ouna institución,

la atención dada a la complejidad de las génesis instrumentales que ase-guran esta transformación del artefacto en instrumento, la distinción he-cha entre las dos dimensiones estrechamente interrelacionadas de estasgénesis: la instrumentalización dirigida hacia el artefacto, la instrumen-tación dirigida hacia el sujeto, y los esquemas de uso y acción instru-mental cuyo desarrollo acompaña estas génesis,

la importancia dada al hecho de que las herramientas de la actividadmatemática, sean las que sean, modelan los procesos de aprendizaje, susformas, pero también los conocimientos y saberes que ellas producen,

el reconocimiento que dichas herramientas tienen una función pragmá-tica, porque ellas permiten actuar sobre el mundo y transformarlo, perotambién una función epistémica, participando en nuestra comprensióndel mundo, y una heurística, influenciando la manera en la cual nos or-ganizamos y controlamos nuestras acciones.

La TAD, como la gran mayoría de las teorías didácticas, aún siendo sensible alas herramientas y a los diversos utensilios que sostienen las prácticas, ha sidodesarrollada en una cultura, que es la cultura de las herramientas tradicionalesde la actividad matemática. Dicha teoría nos parecía, y todavía aún nos pare-ce, menos desarrollada sobre las cuestiones instrumentales que la ErgonomíaCognitiva que, trabajando sobre los aprendizajes en el mundo del trabajo, nopuede subestimar los efectos de la evolución tecnológica sobre las prácticas

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profesionales. Por su parte, la Ergonomía Cognitiva no nos parecía ser muchosensible a los problemas de la legitimidad existentes en los sistemas educati-vos, y al hecho de que la legitimidad científica y social no es suficiente paraasegurar la legitimidad didáctica. Por esta razón, la concatenación de estas dosaproximaciones nos pareció potencialmente productiva.

Personalmente trabajé y desarrollé esta aproximación, primero analizando lasgénesis instrumentales de la TI-92 en las clases de 1ro. S (grado 11), en cola-boración con B. Defouad (Defouad, 2000). Más específicamente estudiamos eltema de variación de funciones, el cual es emblemático en Francia de la ense-ñanza del análisis en el bachillerato. No entraré en los detalles de estos trabajospero quisiera mostrar cómo esta aproximación ha modificado mi visión de lascuestiones de integración tecnológica, dándome la impresión de comprendermejor las causas de los efectos limitados de los esfuerzos institucionales reali-zados y cómo pudieran provocarse cambios significativos en el futuro.

Para mostrar lo anterior, utilizaré la distinción entre el valor epistémico y elvalor pragmático de las técnicas que introducimos en la aproximación ins-trumental, inspirados por distinciones similares hechas para los esquemas deacción instrumentada por Vérillon y Rabardel. Las técnicas tienen un valorpragmático en el sentido de que éstas producen resultados que transformanel mundo, pero también poseen un valor epistémico en el sentido de que nosayudan a comprender los objetos matemáticos que movilizan. Esta distinciónfue para mí un catalizador y, una vez que lo tuve integrado, no pude ver lascuestiones de integración tecnológica de la misma manera, ver tampoco de lamisma manera las resistencias de los profesores, los debates recurrentes sobrela utilización de calculadoras en la educación básica y el lugar que se le debedar a la maestría de técnicas operatorias como ésta de la división. Todo estopodía ser replanteado en términos de perturbación de los equilibrios tradicio-nales entre el valor epistémico y pragmático de las técnicas y así surgía unanueva visión de la integración (Artigue, 2002).

Esta perturbación se puede analizar de la siguiente manera: las tecnologías in-formáticas trastornan los equilibrios tradicionales entre el valor epistémico ypragmático de las técnicas, equilibrios que se han establecido progresivamen-te al filo de la historia, en una cultura de lápiz y papel, aunque los cálculoshan estado durante todo el tiempo instrumentados por diversas herramientas:ábacos, tablas numéricas, herramientas gráficas, etc. Los sistemas educativosencuentran dificultades evidentes para reaccionar de manera apropiada a estostrastornos. Pero estas dificultades no son independientes de la manera en lasque, generalmente, estos sistemas tiende a adaptarse a las evoluciones tecno-lógicas, sólo viendo a la tecnología como un coadyuvante pedagógico o di-dáctico. Burdamente expresado, lo que se le pide a la tecnología, es permitir

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aprender más rápido y mejor, más o menos, las mismas matemáticas. Esta po-sición misma está implícitamente sustentada por una visión de las matemáticascomo el campo de conocimiento universal, por excelencia, tanto en el tiempocomo en el espacio. Estas visiones sostenidas por la cultura, inducen, comobien lo muestran las investigaciones didácticas, un uso educativo de las tec-nologías jugando sobre el potencial pragmático en detrimento de su potencialepistémico. Pero lo que da la legitimidad educativa a una técnica, no es sólo suvalor pragmático, sino también su valor epistémico. Y en esto reside una dife-rencia esencial e irreductible entre el mundo de la escuela y el mundo exterior.Convertir una tecnología en legítima y matemáticamente útil desde un puntode vista educativo, sea cual sea la tecnología en cuestión, supone, si exclui-mos el caso de las formaciones más profesionales, modos de integración quepermiten un equilibrio satisfactorio entre el valor epistémico y el pragmáticode las técnicas instrumentadas asociadas. Y esto, como también lo muestra lainvestigación, si se examinan sus resultados con esta perspectiva, necesita quelas tareas propuestas en los planes de estudio, no sean simples adaptaciones delo que se hace con lápiz y papel. Desgraciadamente, tales tareas no son creadastan fácilmente cuando se entra en el mundo de la tecnología con una culturade lápiz y papel. De este punto de vista, la investigación que ha sido llevada acabo en Grenoble con Cabri-geometra, estudiando durante varios años la evo-lución de escenarios construidos por profesores, que tenían diversas relacionescon las tecnologías informáticas y participaban en un mismo grupo de trabajo,es particularmente instructiva (Laborde, 2001).

La aproximación instrumental nos hizo particularmente sensibles a estas cues-tiones y por eso a los límites de la ayuda que los documentos curriculares,como la literatura de investigación existente, aportaban a los profesores parapermitirles poner en marcha de manera razonada y eficaz la integración tecno-lógica deseada por la institución. Los primeros trabajos que hemos efectuadosobre los CAS han mostrado, por ejemplo, una vida particular, de las técni-cas instrumentadas dentro de las clases experimentales. Dichas técnicas eranlegítimas pero no trabajadas oficialmente; no eran parte de los procesos deentrenamiento y de rutinización, como lo eran las técnicas en lápiz y papel.Tampoco eran objeto de una institucionalización. El discurso tecnológico enel sentido de la TAD que las enmarcaba era limitado y esencialmente des-criptivo. Aparentemente, éstas no estaban concernidas por las evoluciones delcontrato didáctico que daba pauta al avance del conocimiento en la clase. Sequedaban en un estado artesanal y no llegaban a adquirir, convenientemente se-leccionadas y trabajadas, un estatus de técnicas expertas. Estas característicascondujeron a B. Defouad a llamarlas técnicas semi-oficiales. Pero tales carac-terísticas son incompatibles con una integración eficaz de los CAS, porque sonincompatibles con el alcance de un equilibrio satisfactorio entre lo pragmático

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y lo epistémico. Cuando finalmente lo comprendimos, también comprendimoscómo podíamos ayudar a los profesores implicados en esta investigación, ayu-dándolos a organizar una génesis instrumental institucional que sustentaría lasgénesis individuales esperadas, a organizar el trabajo de selección y de mejo-ramiento de las técnicas instrumentadas, a desarrollar un discurso tecnológi-co combinando saberes matemáticos y saberes artefactuales que no existía enninguna parte para sustentar su institucionalización, a organizar la evoluciónde la relación de estas técnicas a lo largo del avance de los conocimientos alinterior de la clase. En las clases experimentales concernidas, los efectos deeste trabajo fueron evidentes. Pero esta investigación también nos mostró quelas necesidades matemáticas de una instrumentación apropiada de los CASno eran necesidades fáciles de satisfacer en el contexto curricular existente yque la generalización de esto, que habíamos logrado hacer vivir y hacer mate-máticamente productivo, en el contexto ecológicamente protegido de nuestrasexperimentaciones, no podía ser extendido fácilmente a todo el sistema.

5. Aproximación instrumental: más allá de los CAS

En los últimos diez años, la sensibilidad a las cuestiones instrumentales enla comunidad didáctica han aumentado considerablemente, favorecida por eldesarrollo de aproximaciones socio-culturales y el acento que dichas aproxi-maciones ponían en el rol de las mediaciones semióticas en los procesos deaprendizaje. La aproximación instrumental que habíamos desarrollado ha si-do cada vez más utilizada por investigadores que trabajaban en el dominio delos CAS. Dan cuenta de ello los recientes coloquios del Grupo InternacionalComputer Algebra in Mathematics Education (CAME) y diversas publicacio-nes como por ejemplo, los diversos artículos publicados en la revista Interna-tional Journal of Computers for Mathematical Learning por L. Trouche, J.B.Lagrange y J. Monaghan, en los años recientes. También ha sido utilizada estaaproximación por investigadores que trabajaban con otras tecnologías: progra-mas computacionales de geometría dinámica (Laborde et al., 2006) y hojas decálculo (Haspekian, 2005b). Paralelamente, otras construcciones se desarrolla-ron combinando las ideas ofrecidas por las investigaciones de P. Rabardel y deP. Vérillon cada vez más conocidas en el escenario internacional con las delas teorías de la actividad que les son subyacentes y ya compartidas por mu-chos investigadores en matemática educativa. Es el caso, por ejemplo, de lostrabajos de investigadores italianos con los cuales colaboro al interior de losproyectos europeos TELMA y ReMath citados anteriormente. En lo que prosi-gue, me centraré en dos extensiones de esta aproximación en las cuales estuveparticularmente involucrada: la primera tiene que ver con la hoja de cálculo y

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ha sido llevada a cabo por M. Haspekian en el marco de su tesis (Haspekian,2005a), la segunda concierne a los recursos en línea y al proyecto regional yacitado.

La hoja de cálculo es un artefacto informático en el cual los usos son a priorimúltiples. Inicialmente fue concebida para automatizar los cálculos contables ypermitir las simulaciones en este dominio. Actualmente ha migrado de manerasignificativa fuera de este hábitat. En la enseñanza, se observa un movimientosimilar. Los primeros usos escolares de la hoja de cálculo han sido contablespero se han ido extendiendo progresivamente. Por ejemplo, en Francia, la ho-ja de cálculo es ahora asociada a la enseñanza de las matemáticas desde losprimeros años de secundaria (grado 7) y su uso es preconizado en aritméti-ca, cálculo, estadística y probabilidad a lo largo de la escolaridad media. Elprograma de la sección Humanidades en primero (grado 11) le otorga una im-portancia particular y las competencias adquiridas son evaluadas en la pruebadel baccalauréat para esta sección. En su tesis, M. Haspékian se centró en laenseñanza obligatoria y en un dominio particular: el álgebra. Existía una razónsimple para esta elección: el hecho de que las investigaciones didácticas másconocidas concernientes a la hoja de cálculo estaban inscritas en este dominioy tendían a presentar la hoja de cálculo como un artefacto que ayudaba a su-perar las dificultades, bien conocidas, de la transición entre la aritmética y elálgebra (Bednarz, Kieran & Lee, 1996), (Kieran & Yerushalmy, 2004).

M. Haspekian realizó su investigación combinando diferentes perspectivas.Después de haber analizado la hoja de cálculo con las herramientas de la apro-ximación instrumental, procedió a un estudio de la literatura existente, adop-tando como filtro esta misma aproximación. Posteriormente, y teniendo comobase dicho estudio, desarrolló una ingeniería didáctica (Brousseau, 1997), conel objetivo de abordar simultáneamente una introducción a la hoja de cálculo yuna inicialización al álgebra con alumnos de segundo año de secundaria (gra-do 7). Decidió realizarlo en condiciones compatibles con el plan de estudio envigor en Francia (es decir con un número limitado de clases). Por otra parte,también realizó un estudio sistemático de los recursos de la hoja de cálculopropuestos a los profesores de la enseñanza obligatoria, por el sitio web delMinisterio de Educación Nacional. Finalmente, vía cuestionarios y entrevis-tas, intentó comparar los usos de la hoja de cálculo de futuros profesores en elInstituto Universitario de Formación de Maestros (IUFM) y de formadores acargo de la tecnología en estos IUFM.

¿Qué se destaca de esta investigación? El estudio instrumental mostró que ob-jetos matemáticos como éstos de variable y fórmula son asociados en la hojade cálculo con una pluralidad de objetos, ninguno de éstos coincidiendo exac-tamente con su correspondiente matemático. Como se escribe en (Haspekian& Artigue, 2007) partiendo del ejemplo siguiente:

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A B12 5 = A22

�A2 es la celda argumento

Figura 1: Celda argumento

Existe, aún ahí, una variable escrita con la ayuda de símbolos (pro-pios del lenguaje de la hoja da cálculo) y que se refiere, comoen lápiz/papel, a un conjunto de valores posibles. Pero aquí, esteconjunto referente pasa por un intermediario importante, la celda-argumento, que es al mismo tiempo:

referencia abstracta, general: representa la variable (es a éstaque se refiere la fórmula haciéndole jugar el rol de variable),referencia concreta particular: aquí es un número (cuandono hemos editado nada, ciertas hojas de cálculo atribuyen elvalor 0) pero esto puede ser también otra fórmula,referencia espacial/geográfica (es una dirección espacial enla hoja de cálculo,referencia material (es una casilla de la hoja de cálculo, cier-tos alumnos la ven como una caja).

Así, la variable “letra” es transpuesta en la hoja de cálculo en unacelda argumento embarcando con ella, además de la representa-ción abstracta, general, otras tres representaciones sin equivalen-tes en el contexto del papel. Para hacer visible esta diferencia,hemos introducido la denominación “variable- celda” (véase la fi-gura 2).

contenido numerico

direccion variable abstracta

casilla de la

hoja de calculo

corresponde a la

nocion de variable

del algebra

Figura 2: La “variable-celda”.

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Además, siguiendo las funcionalidades utilizadas en la hoja decálculo, van a emerger otras nociones de variable ‘variable-colum-na’, ‘variable-línea’, ‘variable-nombre’, cada una dotada de carac-terísticas propias.

Análisis similares fueron realizados en la tesis, sobre la noción de fórmula, to-mando en cuenta la instrucción de re-copiar, sobre la distinción existente entrereferencia absoluta y relativa, distinción puesta en relación con la diferenciaentre variable y parámetro en matemáticas. Esta diversidad de objetos y lasdiferencias que presentan con los objetos matemáticos existentes, pueden sereficazmente utilizadas para hacer evolucionar la relación a las nociones de va-riable y de fórmula en los estudiantes (Willson, Ainlry & Bills, 2005), perola aproximación instrumental conduce a pensar que una tal utilización no va,necesariamente, a ser fácil y requiere que la institución se haga cargo de lasgénesis instrumentales asociadas, combinando su gestión con la progresión delos conocimientos algebraicos propuesta por los planes de estudio. El estudioque realizó M. Haspékian de la literatura de investigación muestra que, hastaestos últimos años, dicha literatura ha quedado relativamente poco sensible aestas cuestiones. En las publicaciones, las variables matemáticas de las tareaspropuestas a los estudiantes son cuidadosamente descritas, pero lo que se re-fiere a las génesis instrumentales y a su gestión por parte del profesor, quedaimplícito. Por ejemplo, la manera en la que es introducida la instrucción dere-copiar y es acompañada su instrumentación con alumnos principiantes enálgebra no se precisa, y el lector no tiene los medios para comprender cómo seorganizan las relaciones entre esta instrucción y la noción de fórmula.

¿Es un conocimiento previamente construido en otro ambiente sobre lanoción de fórmula, el que ayuda a los estudiantes a darle sentido a laacción de re-copiar y a reconocer el invariante que existe detrás de unaexpresión formal, que cambia de una línea a la otra?

¿Es la acción de re-copiar que, en sentido inverso, es utilizada para cons-truir este invariante y una noción de fórmula que sobrepasa el contextode la hoja de cálculo?

Los vínculos, en la práctica, son sin duda de naturaleza dialéctica pero gene-ralmente son considerados transparentes, establecidos de manera natural. Noes el caso, en lo absoluto, y el profesor tiene que jugar un rol muy importantepara organizar y dirigir la mediación instrumental.

El análisis de los recursos destinados a los profesores de secundaria, puestos enlínea en los sitios académicos y accesibles vía el sitio Educnet del Ministerio,muestran implícitos aún más fuertes. Más de la tercera parte de los recursos

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(35 %) son hojas de actividades en bruto sin documentos guías y únicamenteel 19 % de los recursos precisan conocimientos de pré-requisito concernientesa la hoja de cálculo. Sin embargo, un análisis sucinto muestra que para la granmayoría de dichos recursos tales pre-requisitos son necesarios. De hecho, co-mo se señala en la tesis, la naturaleza misma de los recursos contribuye a estefenómeno. Más del 90 % de las proposiciones de tareas o de sesiones de claseestán aisladas y no se inscriben en una progresión matemática y/o de la hoja decálculo. Entonces, parece difícil que dichas proposiciones consideren de unamanera o de otra las cuestiones de instrumentación. Por otra parte, en oposi-ción con esto que mostraba la literatura de la investigación, el álgebra no es eldominio privilegiado. Sólo el 14 % de los recursos están directamente ligadosal aprendizaje del álgebra y, de hecho, es la estadística el dominio que domina.Las entrevistas llevadas a cabo con formadores de Tecnología de la Informa-ción y de la Comunicación para la Enseñanza (TICE) en los IUFM quienesson, de manera privilegiada, los diseñadores de los recursos para los profeso-res, muestra que esta característica se refleja en sus prácticas. Consideran lahoja de cálculo mucho más eficaz para reforzar la enseñanza de la estadísti-ca descriptiva en el programa de secundaria o para el estudio de problemasfuncionales, una vez instaladas las bases del lenguaje algebraico. Encuentranmucho más delicado utilizar la hoja de cálculo para fortalecer la introducciónal mundo algebraico. Es efectivamente, en este tipo de uso que las cuestionesde génesis instrumental se plantean con una mayor importancia, lo que con-firma la ingeniería didáctica exploratoria puesta en marcha con alumnos delsétimo grado en la tesis.

Estos análisis condujeron a M. Haspekian a introducir la noción de distanciainstrumental. Se puede conjeturar que una tecnología es interesante para laenseñanza de las matemáticas porque crea una distancia en relación a los am-bientes de trabajo previamente existentes, abriendo así nuevas potencialidades.Sin embargo, es necesario que esta distancia se mantenga institucionalmenteaceptable para que la tecnología pueda ser eficazmente utilizada. ¿Cómo ca-lificar y cuantificar esta distancia instrumental? ¿Cómo lograr distinguir suselementos productores de sus elementos problemáticos? En (Haspekian & Ar-tigue, 2007), nos propusimos estructurar el análisis en torno a dos polos: porun lado la transposición informática (Balacheff, 1994) y por el otro la legitimi-dad institucional. La transposición informática es en efecto una fuente esencialde distancia instrumental por las transformaciones de los objetos matemáticos,de sus representaciones ostensivas y de los medios de acción sobre ellos quenecesariamente produce. Sin embargo, hay que notar que la consideración delas normas y valores de la cultura de referencia es necesaria para comprendercuáles pueden ser los efectos didácticos, positivos y negativos, de estas trans-formaciones.

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Si consideramos este primer polo, es claro que, para el universo intermediarioentre aritmética y álgebra que crea la hoja de cálculo (pues es aritmética ensus estrategias de resolución de problemas, pero algebraica en su organizaciónsimbólica), la hoja de cálculo crea una distancia instrumental a priori producti-va si se compara con la cultura algebraica lápiz-papel que tiende a oponer estosdos mundos. Pero esta productividad depende de la capacidad de la institucióny de los profesores para gestionar una distancia instrumental en términos deobjetos y lenguajes que puede ser una posible fuente de dificultades cuandodebuta la enseñanza del álgebra. Si nos situamos más adelante en la escolari-dad, estas dificultades pueden debilitarse y se comprende que la hoja de cálculopuede ser vista como una herramienta adecuada para permitir a personas, porejemplo estudiantes en el área de humanidades o adultos en situación profe-sional, resolver problemas tradicionales del álgebra con una cultura algebraicamuy limitada.

Si consideramos el polo de la legitimidad, es interesante comparar los CASy las hojas de cálculo, pues las segundas se pueden asociar a una cultura al-gebraica mínima y los primeros a una cultura algebraica bastante elaborada.Por eso se podría pensar que plantean problemas de legitimidad diferentes, yque los CAS se vuelven más fácilmente legítimos. Como se explica en el textocitado, las cosas son menos sencillas:

La cultura CAS es mucho más cercana de la cultura algebraicausual que la cultura de la hoja de cálculo puesto que los CAS ma-nipulan formalmente ecuaciones e inecuaciones. Pero dicha cer-canía no les da por ende, ni obligatoria, ni fácilmente, la legiti-midad, porque lo que ambiciona la enseñanza no es una prácticainstrumentada eficaz; las prácticas instrumentadas deben ayudar aun aprendizaje cuyos valores son definidos esencialmente sin con-sideración instrumental. Proporcionando herramientas particular-mente eficaces para resolver las tareas emblemáticas de la parteintroductoria del álgebra, los CAS pueden hacerse cargo del tra-bajo tradicionalmente devuelto al alumno para permitirle aprenderel álgebra. Se plantea entonces la pregunta didáctica delicada dela construcción de una génesis instrumental que sirva a los apren-dizajes matemáticos deseados. De este punto de vista, la hoja decálculo que no permite el cálculo formal puede ser menos per-turbadora y por ende menos problemática. Pero se plantean lascuestiones siguientes: ¿Perciben los profesores esta herramientacomo pertinente para los aprendizajes algebraicos que ellos quie-ren desarrollar? ¿O por el contrario, consideran que permitir alestudiante vivir en un mundo intermediario entre la aritmética y el

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álgebra, puede ser un obstáculo para los cambios de modos de fun-cionamiento matemático deseados? ¿Es ésta una de las razones,por las cuales encontramos en Francia tan pocos recursos para laintroducción al álgebra, una de las razones por las cuales prefierenlos autores valorar y legitimar la hoja de cálculo en este dominiodescendiendo a niveles inferiores problemas de optimización y defunciones típicos del álgebra a nivel bachillerato? ¿Y si encontra-mos gran cantidad de recursos sobre la estadística, no es porqueel domino de la estadística está particularmente bien adaptado a lahoja de cálculo, la cual ha sido inicialmente concebida para ges-tionar las tablas de números y efectuar simulaciones numéricas,y también porque las prácticas que ésta favorece son coherentescon una enseñanza de la estadística que quiere ser experimental yexploratoria? (Haspekian & Artigue, 2007).

No puedo, en el espacio de esta conferencia, entrar en los detalles del análisispero espero haber mostrado cómo la aproximación instrumental, por la maneraen la que orienta el cuestionamiento didáctico, por las herramientas conceptua-les que otorga para sostenerlo, ayuda a abordar la dimensión tecnológica de laenseñanza de las matemáticas, de una manera nueva y a problematizarla, aexpresar los aspectos importantes de la integración tecnológica, consideradospor mucho tiempo como transparentes. Los desarrollos más recientes de estaaproximación se interesan en nuevos objetos tecnológicos y, para terminar estapresentación de la aproximación instrumental, desearía hacerles entrever lasnuevas cuestiones que dichos objetos suscitan.

6. La aproximación instrumental: de los CAS y las hojas de cálcu-lo a los recursos en línea

La aproximación instrumental se interesó primero en las tecnologías que hoypodemos calificar de clásicas: CAS, hojas de cálculo, programas computacio-nales de geometría dinámica, calculadoras gráficas y simbólicas. No es sinorecientemente que dicha aproximación se ha interesado en una nueva categoríade artefactos, cada vez más presentes en entornos educativos: los recursos enlínea o tutoriales. En mi equipo de investigación, DIDIREM, este trabajo hasido particularmente desarrollado en el marco del proyecto regional evocadoal principio de este texto. Este cambio tecnológico plantea las preguntas deinstrumentalización de manera renovada:

¿Qué significa para un estudiante transformar tales recursos tutoriales en uninstrumento de aprendizaje y qué tipos de instrumentos se obtienen?

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¿Qué significa para un profesor transformar tales recursos tutoriales en un ins-trumento profesional y qué resulta?

¿Qué tienen en común estas génesis instrumentales con éstas que hemos es-tudiado desde hace ya más de una década? ¿En qué se diferencian? ¿Y porqué? ¿Qué nuevos fenómenos didácticos resultan de estas diferencias? ¿Cómogestionarlos?

Los resultados que hemos obtenido hasta ahora son todavía muy fragmentarios,pero algunas regularidades comienzan a emerger, y las diferencias con lo queya conocíamos, son evidentes. La aproximación instrumental, hasta aquí, ha-bía centrado su atención en los objetos matemáticos y en las representacionesostensivas asociadas, buscando comprender las dimensiones productivas y pro-blemáticas de la transposición informática. Cuando se consideran tutoriales yse busca interpretar en términos de génesis instrumental las observaciones rea-lizadas con alumnos, no son estos efectos de la transposición informática queparecen los más importantes, sino aprendizajes instrumentales del tipo tácticoo relativo al contrato didáctico. Esto tendería a confirmar que se produce, co-mo lo conjetura L. Souchard (Souchard, 2006), aún si se queda implícito, undesdoblamiento institucional y qué lo más visible en las génesis instrumenta-les, es la adaptación de los alumnos a este desdoblamiento. Del punto de vistadel profesor, la génesis experimental supone en este caso por lo menos una re-organización de las praxeologías didácticas. ¿En qué momento(s) del estudiova a elegir por ejemplo utilizar tal herramienta, cómo va a organizar y a guiarel trabajo de los alumnos en clase o fuera de clase, cuáles reglas va a instauraren relación a los usos? ¿Qué estatus institucional va a darse a estos usos? En elproyecto regional, todo esto ha sido dejado a la elección de los profesores sinque se dispongan de referentes para anticipar los posibles efectos de sus deci-siones. Además de esto, y no de manera independiente, se plantea la cuestiónde las praxeologías matemáticas implementadas en el artefacto y de su relacióncon éstas sostenidas por la institución escolar, de las diferencias eventuales yde su gestión.

Lo anterior constituye un nuevo espacio de estudio y de preguntas que se abre ala aproximación instrumental, obligándonos a diferenciar de mejor manera lasgénesis instrumentales del profesor y del alumno, a hacer intervenir en su análi-sis nuevas dimensiones ligadas al hecho de que estas tecnologías implementanno sólo interacciones matemáticas sino también interacciones didácticas. Así,el análisis de las distancias instrumentales y de sus efectos potenciales tambiénse encuentra renovado (Artigue et al., 2006).

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7. Conclusión

En esta conferencia en la cual me interrogué sobre las tecnologías informáti-cas y la enseñanza de las matemáticas, pretendía mostrar lo que la aproxima-ción instrumental que se ha desarrollado en la última década podía aportar ala reflexión didáctica. Haciendo tal elección, necesariamente he mostrado unavisión muy parcial de los avances de la investigación en este dominio de latecnología, si se considera la evolución de las problemáticas, de los marcosteóricos, del desarrollo tecnológico o de las prácticas efectivas. La conferenciade Hanoi, asociada al estudio ICMI en curso, ha dado una visión mucho másamplia y espero que la obra que resultará de este estudio y debería ser publi-cada en 2008 4, permitirá a un gran público, más allá del reducido público delos investigadores en Matemática Educativa, construirse una visión clara de losconocimientos y del saber-hacer con que disponemos hoy, para abordar estascuestiones tecnológicas complejas y siempre renovadas.

Agradecimiento: Agradezco mucho a Avenilde Romo Vazquez quien se en-cargó de la traducción de este texto.

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4 Este estudio ya fue publicado: C. Hoyles, J.B. Lagrange (Eds.) (2010)

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La Educación Matemática, resolución de problemas, yel empleo de herramientas computacionales1

Luz Manuel Santos TrigoCentro de Investigación y de Estudios Avanzados, IPN.Mé[email protected]

Resumen

Las propuestas recientes del currículum matemático sugieren que los es-tudiantes utilicen herramientas computacionales en sus experiencias deaprendizaje. Sin embargo, ante el notable desarrollo de la tecnología y elreconocimiento de que distintos instrumentos pueden ofrecer diferentescaminos y oportunidades para los estudiantes en los procesos de com-prender y resolver problemas matemáticos, se hace necesario investigarel potencial que ofrecen algunas de esas herramientas en la construc-ción del conocimiento de los estudiantes. ¿Qué tipo de representacionesy formas de razonamiento muestran los estudiantes cuando emplean he-rramientas computacionales en el estudio de las matemáticas? ¿Cómose caracterizan los procesos que exhiben los estudiantes al transformarartefactos como Excel, el software dinámico o la calculadora simbólicaen herramientas de aprendizaje y de resolución de problemas? Estas pre-guntas orientan la discusión sobre la relevancia de utilizar distintas he-rramientas computacionales y proporcionan información relevante sobrelas transformaciones curriculares y enfoques de instrucción que el em-pleo de tales herramientas demanda.

Palabras clave

Educación Matemática, resolución de problemas matemáticos, herra-mientas computacionales.

Abstract

Recent curriculum proposals recognize the importance for students touse diverse computational tools; however different tools may offer dis-tinct opportunities for students to represent and solve mathematical prob-lems. Thus, it is important to investigate not only the types of tools thathelp students construct mathematical knowledge; but also to document

1 Trabajo presentado en la XII Conferencia Interamericana de Educación Matemática, ce-lebrada en Querétaro, México, en julio de 2007.


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36 Luz Manuel Santos Trigo

the type of reasoning that students develop as a result of using thosetools. What types of representations and ways of reasoning do teachersand students show when they incorporate the systematic use of com-putational tools in problem solving activities? This question is used toorganize and discuss elements of a framework to address issues relatedto the use of those tools in instructional practices.

Key words

Mathematics Education, Mathematical Problem Solving, Computationaltools.

1. Introducción

¿Qué conocimiento matemático se debe estudiar en el nivel preuniversitario?¿Qué procesos del pensamiento matemático2 deben desarrollar los estudiantesen ese nivel? ¿Qué significa pensar matemáticamente? ¿Cómo organizar o es-tructurar una propuesta curricular? ¿Qué escenarios de instrucción favoreceno promueven la construcción del conocimiento matemático de los estudiantes?¿Cuál es el papel del uso de distintas herramientas computacionales en la com-prensión y resolución de problemas? ¿Qué significa que los estudiantes apren-dan o construyan el conocimiento matemático? Estas son algunas preguntasque han guiado el desarrollo de la educación matemática en los últimos veinteaños y han inspirado la formulación de programas de investigación sobre as-pectos que involucran el desarrollo de marcos conceptuales que caractericenlos procesos de aprendizaje de los estudiantes, la resolución de problemas, eluso de la tecnología y las propuestas curriculares (Schoenfeld, 1985; Santos,2007; Lehrer & Chazan, 1998; Kelly & Lesh, 2001; English, 2002). Entre lasreflexiones importantes alrededor de los temas de investigación en la educaciónmatemática se destaca el reconocimiento deque aprender matemáticas va másallá de que el estudiante domine un conjunto de reglas, algoritmos, fórmulas oprocedimientos para resolver listas de problemas rutinarios. Se resalta que du-rante el proceso de aprender matemáticas, los estudiantes necesitan desarrollaruna disposición y forma de pensar consistente con la práctica o el quehacerde la disciplina. En este contexto, los estudiantes constantemente buscan yexaminan diferentes tipos de relaciones, plantean conjeturas, utilizan distintossistemas de representación, establecen conexiones, emplean varios argumen-tos y comunican sus resultados (Santos, 2007). Con esta visión, las reformasrecientes sobre la educación preuniversitaria sugieren estructurar el currículumalrededor de:

2El Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM, por sus siglas en inglés) iden-tifica a la resolución de problemas, el razonamiento y la prueba, la comunicación, las conexionesy las representaciones como los procesos inherentes del quehacer de las matemáticas.

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La Educación Matemática, Resolución de Problemas, y el Empleo de Herramientas Computacionales 37

(i) líneas de contenidos que comprenden el desarrollo del pensamiento numéri-co, algebraico, geométrico, y aspectos relacionados con la actividad de medir,ordenar y el manejo de información (estadística); y

(ii) procesos inherentes del quehacer de la disciplina donde se destaca la re-solución de problemas, el razonamiento matemático, las conexiones matemá-ticas, el empleo de representaciones y la comunicación de resultados (NCTM,2000). Además, se reconoce que un factor importante en el crecimiento y evo-lución de las matemáticas y el aprendizaje es el poder que ofrece el empleo dedistintas herramientas tecnológicas en la resolución de problemas y compren-sión de las ideas matemáticas.

De hecho, el NCTM (2000) identifica el uso de la tecnología como un elementoesencial que debe sustentar las propuestas curriculares:

Las computadoras y las calculadoras cambian lo que los estudian-tes pueden hacer con las representaciones convencionales y ex-panden el conjunto de representaciones con las que pueden traba-jar. Por ejemplo, los estudiantes pueden mover, invertir, reducir,visualizar relaciones a través de programas de utilidades o soft-ware dinámico. . . . pueden manipular expresiones, e investigarconjuntos complejos de datos usando hojas de cálculo. Cuandolos estudiantes aprenden a utilizar estas nuevas herramientas ver-sátiles, pueden también analizar las formas en que algunas repre-sentaciones que se realizan empleando la tecnología difieren delas representaciones convencionales (p.68-69).

Estos componentes apuntan a una visión de las matemáticas que promueveel estudio de diversas líneas del pensamiento matemático desde la educaciónbásica y rompe con el esquema de proponer un arreglo por asignaturas (aritmé-tica, álgebra, geometría, trigonometría, cálculo, etc.). Es decir, los estudiantesconstantemente reflexionan sobre conceptos e ideas fundamentales que invo-lucran variación, medición, estimación, ponderación, comparación, búsquedade patrones, lugares geométricos, y comunicación de resultados durante to-do el periodo de la enseñanza preuniversitaria. Así, por ejemplo las ideas devariación o cambio que aparecen en las experiencias de los estudiantes a ni-vel primaria, eventualmente se transforman en las ideas poderosas del cálculo(Camacho & Santos, 2004a). La actividad de identificar y describir el caminoo huella que dejan partes de una figura al mover ciertos componentes dentro deuna configuración dinámica llega a ser una estrategia importante para distin-guir y analizar propiedades de lugares geométricos que aparecen en el estudiode la geometría analítica.

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En esta perspectiva destaca la necesidad de conectar las líneas de contenidoscon los procesos del quehacer de la disciplina y resulta importante investigarel papel e impacto del uso de herramientas tecnológicas en el aprendizaje delos estudiantes.

Es importante reconocer que existen varios tipos de artefactos tecnológicosque el estudiante puede utilizar durante sus experiencias de aprendizaje. Cadaartefacto puede ofrecer distintas oportunidades a los estudiantes para represen-tar, identificar, examinar y comunicar resultados matemáticos (Santos, 2007).Por ejemplo:

(i) El empleo de las hojas de cálculo “Excel” puede resultar una herramientapoderosa para que los estudiantes representen información en forma tabular ygráfica que permite investigar patrones de parámetros asociados con un fenó-meno o situación. Además, es una herramienta eficiente para realizar cálculosu operaciones relacionadas con patrones de comportamiento de problemas o si-tuaciones particulares. Los modelos de explicación que los estudiantes puedendesarrollar a partir del uso de esta herramientas se basan en representacionesdiscretas del fenómeno. Un ambiente donde se promueva el empleo de calcula-doras simbólicas puede ayudar a los estudiantes a explorar el comportamientode expresiones generales a partir de la consideración y análisis de casos parti-culares o encontrar una expresión que describa el patrón o comportamiento deuna relación numérica o algebraica. Además, con la ayuda de la calculadoralos estudiantes pueden también analizar la conexión entre las representacio-nes algebraicas de ciertos fenómenos y sus gráficas correspondientes (Moreno& Santos, 2007). Aquí, el uso de la herramienta propicia que los estudiantesconstruyan modelos de explicación basados en representaciones continuas dela situación o problema.

(ii) El software dinámico resulta una herramienta útil en la construcción de re-presentaciones “exactas” de entidades geométricas (puntos, segmentos, rectas,círculos, polígonos, medianas, etc.) y permiten visualizar de manera precisael comportamiento de partes de cierta configuración o representación del pro-blema (Santos, Espinosa, 2010). Aquí los estudiantes tienen la oportunidad demover elementos de estas configuraciones y observar cambios o invariantes enel proceso de análisis del problema. La observación de invariantes en una re-presentación resulta fundamental en el desarrollo de conjeturas y en el procesode argumentación y comunicación de esas conjeturas por parte del estudiante.En particular, el uso de software dinámico como Cabri Geometry, Sketchpado Geogebra, ofrece una herramienta poderosa para examinar relaciones geo-métricas desde diversos ángulos (Goldenberg & Cuoco,1998). Por ejemplo, engeneral, resulta difícil imaginar el lugar geométrico que describe un punto unalínea u otro objeto geométrico cuando se mueve dentro de una configuración.

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El uso de este tipo de software permite fácilmente trazar el camino que dejaparte de la configuración (punto, segmento, triangulo, etc.) cuando se muevecon respecto a otros elementos dentro de esa misma configuración y cómo con-secuencia ofrece la oportunidad al estudiante de analizar y describir tal lugargeométrico en términos de propiedades. Además, los estudiantes pueden reali-zar variaciones precisas e instantáneas de sus propias representaciones visualesque se producen bajo el uso de este tipo de software. Esto les permite realizarconstantes exploraciones y probar sus ideas matemáticas y conjeturas en unaforma visual, eficiente y dinámica. Arcavi & Hadas (2000) afirman que:

Los ambientes dinámicos no sólo permite a los estudiantes cons-truir figuras con ciertas propiedades y visualizarlas, sino que tam-bién les permite transformar esas construcciones en tiempo real.Este dinamismo puede contribuir en la formación de hábitos paratransformar (mentalmente o por medio de una herramienta) unainstancia particular, para estudiar variaciones, invariantes visua-les, y posiblemente proveer bases intuitivas para justificacionesformales de conjeturas y proposiciones (pp. 26).

Así, el empleo del software puede funcionar como una herramienta de granutilidad para que los estudiantes participen en procesos de búsqueda y formu-lación de conjeturas o relaciones y argumentos o justificaciones matemáticas(Santos & Espinosa, 2010). Sin embargo, ante la variedad de artefactos dis-ponibles es necesario identificar no sólo las ventajas que le puedan brindar alestudiante durante la comprensión de las ideas matemáticas y la resoluciónde problemas, sino también caracterizar las representaciones, estrategias y for-mas de razonamiento que exhiban los estudiantes como resultado de usar talesherramientas en sus experiencias de aprendizaje.

2. Un Ejemplo sobre el Empleo del Software Dinámico

Se presenta un problema donde se muestra que el uso de la herramienta puedeayudar a los estudiantes a construir una representación que permita identificary explorar propiedades matemáticas y buscar extensiones y formas de susten-tarlas. Se destacan fases importantes asociadas con el proceso de resolución.

El Problema: Sea Q un punto de la función f(x) =1

x(en el primer cuadran-

te). Una recta tangente a la gráfica que pasa por el punto Q genera (con losejes) un triángulo rectángulo. ¿Cuáles deben ser las coordenadas del punto Qpara que la longitud de la hipotenusa sea máxima o mínima? (Arcavi, 2005,p.44).

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Representación y Comprensión del problema. ¿Cómo representar la función

f(x) =1

xgráficamente? ¿Cuál es el dominio de f(x)? ¿Cómo representar

y relacionar los elementos del dominio con los valores de la función? Estetipo de preguntas resultan relevantes para que los estudiantes puedan construiruna representación gráfica o geométrica del problema. Con el uso del softwaredinámico los estudiantes pueden situar sobre el sistema Cartesiano el punto

P sobre el eje X y encontrar el valor correspondiente1

xsobre el eje Y para

determinar el punto Q (figura 1).

x

y

P(1.67,0.00)

Q(1.67,0.60)

O

1

1

Figura 1: Representación del puntoQ(x, 1/x) sobre el plano.

x

y

P(1.73,0.00)

Q(1.73,0.58)

O

1

1

Figura 2: El lugar geométrico de Qcuando P se mueve sobre el eje X .

En (Camacho y Santos 2009) se muestra que un aspecto importante en la re-presentación gráfica de objetos matemáticos y relaciones entre ellos es el usode cierta notación que permita distinguir y comunicar las propiedades y com-portamientos de esos objetos. Si nos planteamos cuál es el lugar geométricodel punto Q cuando el punto P se mueve a lo largo del eje X , el softwarepermite encontrar el camino que deja el punto Q (Figura 2).

Búsqueda de relaciones. Construyamos ahora la recta PR, la cual forma conlos ejes un triángulo rectángulo. Se observa que al mover el punto P sobre eleje X , la inclinación de la recta PR con respecto al eje X cambia (Figura 3).¿Cómo se puede medir esa inclinación? ¿Cómo se determina la pendiente de larecta PR? ¿Existe alguna relación entre la recta PR y la recta tangente a f(x)en el punto Q? ¿Nos ayudará conocer el significado geométrico del conceptode derivada puntual, es decir, interpretar la derivada de f(x) en el punto Q?

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x

y

P(0.73,0.00)

Q(0.73,1.36)

O

R 1

1

Figura 3: Trazo de la línea tangente a f(x) como la pa-ralela a PR que pasa por Q.

Se observa que para cualquier posición de P (x, 0), se tendrá que las coorde-nadas del punto R serán (0, 1/x) y la pendiente de la recta PR será −1/x2.Esta pendiente corresponde a la de la recta tangente a f(x) = 1/x en el puntoQ(x, 1/x). Esto es porque f �(x) = −1/x2 (la interpretación geométrica de laderivada). Así, para trazar la recta tangente a f(x) en el punto Q, es suficientetrazar la recta paralela a la recta PR que pase por el punto Q (Figura 3).

Justificando Relaciones. Las representaciones dinámicas del problema per-miten identificar invariantes o relaciones al mover objetos dentro de la repre-sentación. ¿Existe alguna relación entre los puntos O, R, y S? (Figura 4).

x

y

P(1.07,0.00)

Q(1.07,0.94)

O

R

S

T

1

1

Figura 4: ¿Qué relación existe entre los puntos O, R, y S

Aplicando criterios de congruencia de triángulos se observa que los triángulosRQS, OPR y PTQ son congruentes y por lo tanto R y P son puntos mediosde los segmentos SO y OT respectivamente. Con esta información se tieneque ST = 2RP , que se sustenta aplicando el teorema “un triángulo STO, si

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R y P son puntos medios de los lados SO y TO respectivamente, entoncesla recta PR que pasa por los puntos medios es paralela a la recta ST y secumple que la longitud del segmento RP es la mitad de la longitud del ladodel triángulo ST ”.

Examinando las variaciones gráficamente. Se observa que cuando el puntoP se mueve sobre el eje X , la longitud del segmento PR cambia. ¿Cómovaría la longitud de la diagonal PR del rectángulo OPQR? ¿En que posiciónalcanza un valor mínimo? Con la ayuda del software, se puede representar larelación entre la posición del punto P y el valor correspondiente de la longitudde la diagonal (Figura 5).

x

y

P(1.33,0.00)

Q(1.33,0.75)

O

R

S

T

1

1

Figura 5: Representación gráfica de lavariación de PR cuando P se mueve alo largo del eje X .

x

y

P(1.00,0.00)

Q(1.00,1.00)

O

R

S

T

1

1

Figura 6: ¿Cuándo la longitud del seg-mento PR es mínima?

Se observa además que, al mover el punto P sobre el eje X en una posiciónel rectángulo OPQR, se convierte en cuadrado y es en esa posición dondela longitud de la diagonal es mínima. Es decir, cuando Q tiene coordenadasQ(1, 1) la longitud de la diagonal es mínima (Figura 6).

Conexiones. Se observa también, que para cualquier posición del punto Q, elárea del rectángulo OPQR es siempre una unidad, es decir el área del rectán-gulo que se forma para cualquier posición de Q es constante. Algebraicamentese tiene que las dimensiones del rectángulo se pueden expresar como x y 1/xy por lo tanto el área del rectángulo OPQR será x(1/x) = 1. También secumplirá que el área del rectángulo OTUS siempre será 4 unidades cuadradaspara cualquier posición del punto Q (Figura 7).

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x

y

P(1.10,0.00)

Q(1.10,0.91)

O

R

S

T

U

1

1

Area of OTUS=4.00cm2

Area of OPQR=1.00cm2

Figura 7: Área del cuadrado OTUS.

La relación entre las áreas de las figuras que se forman al trazar la recta tan-

gente que pasa por un punto Q de la función f(x) =1

xse puede expresar de

la forma siguiente:

Si Q es un punto de la función f(x) =1

xen el primer cuadrante, la recta

tangente a la función que pasa por Q corta a los ejes y genera un triangulorectángulo. Para cada posición de Q el triangulo rectángulo generado tieneun área de dos unidades cuadradas.

¿Qué ocurre con el área de esos triángulos cuando se considera la funciónf(x) =

n

xpara n = 2, 3, . . .?

Utilizando el software de geometría dinámica se puede explorar algunos casosparticulares y observar el comportamiento del área de los triángulos que se for-mas. La figura 8 muestra el valor del área que se forma en el primer cuadrante

cuando la función es f(x) =3

xy al analizar otros casos (lo que se realiza

fácilmente con el uso del software) es inmediato conjeturar que

El área del triangulo que se forma tiene el doble del área del rectángulo quese forma al trazar la rectas perpendiculares desde el punto Q a ambos ejes.

Esta conjetura puede sustentarse al observar que las coordenadas del punto Q

en f(x) =n

xson Q(x, n/x) y que el área correspondiente del rectángulo que

se forma al trazar rectas perpendiculares desde Q es x(n/x) = n. Otra vez, elempleo del software genera información valiosa para analizar el caso general.

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x

y

(1.83,1.64)

Q(1.83,1.64)

O

S

T

L(1.83,11.85)

1

1

Area of triangle SOT=6.00cm2

Figura 8: ¿Cuál es el área del triangulo OTS cuando f(x) = 3/x?

Hemos visto a lo largo del desarrollo de esta segunda actividad, que en elcamino de representar el problema en forma dinámica, utilizando el softwa-re, aparecen resultados importantes: la relación entre la pendiente de la rectatangente a la hipérbola y = 1/x y la pendiente de la recta PR. Con esta in-formación, el trazo de la recta tangente a la función en Q es inmediato. Seconstata además que la representación del problema ofrece la oportunidad debuscar y explorar una serie de relaciones matemáticas.

3. Sobre los Marcos Conceptuales y las Herramientas Compu-tacionales

Un tema crucial en la educación matemática es el desarrollo o construcciónde marcos conceptuales que permitan documentar y explicar cómo y cuándolos estudiantes construyen conocimiento matemático nuevo (Santos & Barre-

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ra, 2007). En particular las preguntas relevantes que orientan la discusión alre-dedor de los marcos conceptuales incluyen ¿Cómo promover un ambiente deaprendizaje en el salón de clases donde los estudiantes tengan oportunidad derevelar sus ideas y participar en el proceso de construcción del conocimien-to matemático? ¿Cómo caracterizar y explicar el desarrollo del aprendizaje delos estudiantes? ¿Qué significa pensar matemáticamente? ¿Qué es la resolu-ción de problemas y cómo se relaciona con el aprendizaje de los estudiantes?En este contexto, se identifican los temas y resultados importantes que hanorientado el desarrollo de la investigación en el área de la resolución de pro-blemas como propuesta para que los estudiantes aprendan matemáticas. En losúltimos 30 años la resolución de problemas ha sido reconocida como una acti-vidad fundamental en el aprendizaje de los estudiantes. Numerosos proyectosde investigación en esta área han enfocado la atención sobre temas donde sedestacan:

(I) El quehacer matemático y su relación con el aprendizaje. Una metaimportante en la instrucción matemática es crear un ambiente de aprendizajedonde los estudiantes tengan oportunidad de participar activamente en el pro-ceso de construcción del conocimiento matemático. Así, caracterizar lo quesignifica aprender la disciplina es un aspecto fundamental que conlleva ne-cesariamente a reflexionar sobre las ideas y conceptos fundamentales de ladisciplina y el desarrollo del quehacer matemático. Por ejemplo, el trabajo deSchoenfeld (1985) documenta las cualidades importantes del quehacer de ladisciplina y su relación con el aprendizaje de los estudiantes. En particularreconoce que para que los estudiantes vean a las matemáticas como una activi-dad con sentido, éstos necesitan aprenderla en un salón de clase que refleje unmicrocosmos de la cultura matemática. Es decir, que se promuevan los valorespropios de la disciplina en las actividades de aprendizaje del salón de clases.Romberg y Kaput (1999) en la misma dirección plantean que sin importar elcontenido específico, el propósito de enseñar matemáticas puede ser descrito,en términos prácticos, como enseñarles a los estudiantes a emplear las mate-máticas, a construir y comunicar ideas, usarlas como una herramienta analíticapoderosa para resolver problemas y apreciar y describir los patrones que se en-cuentran en diversos contextos. Devlin (1994) identifica a las matemáticas co-mo la ciencia de los patrones. “Es una forma de ver al mundo físico, biológicoy sociológico que habitamos y el mundo de nuestras mentes y pensamientos”(p. 6). Así, el poder matemático consiste no solamente en detectar, construir,inventar, entender, o manipular patrones; sino también en ser capaz de comuni-car esos patrones a otros. En esta dirección, el quehacer matemático se puedecaracterizar como la actividad de encontrar y examinar patrones asociados oproductos de esos mundos. Estos patrones pueden ser numéricos, entre figuraso formas, patrones de movimiento y en general patrones de comportamiento de

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relaciones. Además, los patrones pueden ser reales o imaginarios, visuales omentales, dinámicos o estáticos, cualitativos o cuantitativos, de interés utilita-rio o de carácter recreativo. El referente de estudio de estos patrones puede serel mundo que nos rodea o una reflexión pura de la mente del individuo. Santos(2002a; 2004c) muestra que el uso de tecnología resulta una herramienta útilen la búsqueda de distintos tipos de patrones.

(II) Las creencias de los maestros y alumnos acerca de las matemáticasy en particular acerca de la resolución de problemas. Un aspecto notableen el aprendizaje de los estudiantes es que tengan oportunidad de revelar susideas y formas de razonamiento al interactuar con distintas situaciones o pro-blemas. Es decir, el conocimiento previo que traen los estudiantes al escenariode instrucción donde se promueve al resolución de problemas desempeña unpapel crucial en términos de lo que se valora en el proceso de resolución yentendimiento de los problemas. Es común que los estudiantes crean que po-seen recursos limitados que no les permite pensar distintas formas de solucióno proponer preguntas relevantes que les permita investigar conexiones entredistintas representaciones (Schoenfeld, 1998). Es aquí donde el ambiente deinstrucción debe ofrecer oportunidades para que los estudiantes mismos reco-nozcan que es posible que participen activamente no sólo en los procesos dereflexión acerca del uso de distintas representaciones y métodos de solución,sino que también en la actividad misma de proponer problemas (Camacho, etal, 2010). En esta dirección los estudiantes deben reconocer que las matemáti-cas son más que estudiar un conjunto de reglas, definiciones y procedimientosque necesitan aplicar en la solución de algunos problemas. Esta incluye aceptarque son una disciplina donde es fundamental plantear conjeturas, utilizar unavariedad de representaciones, buscar diferentes métodos de solución, plantearpreguntas y emplear distintos argumentos para comunicar soluciones o resulta-dos (Santos, 2007). En este sentido, las creencias tanto de los profesores comode los alumnos deben reflejar los aspectos que se muestran en el quehacer dela disciplina (Santos, 2004).

(III) El desarrollo de marcos conceptuales que den cuenta de las compe-tencias de los estudiantes en la resolución de problema. Lester (2005) ar-gumenta que un marco teórico es una estructura básica de ideas (abstraccionesy relaciones) que sirven como base [para justificar y explicar] un fenómeno ainvestigar. Estas abstracciones y las (supuestas) interrelaciones entre ellas re-presentan [y ayudan a explicar] los aspectos relevantes del fenómeno [de cómoes estudiado] y determinado dentro de la perspectiva de investigación que hasido adoptada (p. 458). ¿Qué aspectos fundamentales dan cuenta del quehacerde la disciplina?¿Cuáles son las dimensiones del pensamiento matemático? Es-tas preguntas han sido parte de la agenda de investigación en la resolución de

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problemas. En particular, el programa de investigación desarrollado por AlanSchoenfeld durante la época de los noventa aporta información valiosa acercade lo que caracteriza el proceso de resolver problemas. Identifica cuatro ca-tegorías importantes que caracterizan el proceso de aprender matemáticas: (i)los recursos básicos que comprende el entendimiento de definiciones, hechos,reglas y procedimientos junto con las distintas formas de accederlos; (ii) lasestrategias heurísticas que incluye el empleo de diagramas, el análisis de casosparticulares, el relajamiento de condiciones, y el planteamiento de submetas;(iii) las estrategias de monitoreo que permiten al estudiante evaluar y controlarconstantemente el proceso de solución de problemas; y (iv) las creencias y engeneral las concepciones que muestren los estudiantes acerca de las matemáti-cas y en particular hacia la resolución de problemas.

Es importante mencionar que la abundante literatura incluye la construcciónde marcos teóricos que dan cuenta de los aspectos esenciales alrededor de laresolución de problemas y además sugiere algunas ideas para implementar laactividad de resolución de problemas en el salón de clase (Whimbey & Loch-head, 1976; Schoenfeld, 1985, 1998; Curcio, 1987; Silver, 1987; Charles, &Silver, 1988; NCTM, 2000, Santos, 2007, 2001, 2003, 2004; Perkins, 1995;PMENA, 2001, 2002, 2003, 2004). Sin embargo, también es importante re-conocer que la mayoría de los trabajos publicados en los últimos 10 años sebasan en investigar las competencias de los estudiantes para trabajar proble-mas o actividades que incluían fundamentalmente el empleo de lápiz y papel.Por ejemplo, en el programa de investigación de Alan Schoenfeld se exploray documenta el trabajo que muestran estudiantes y matemáticos al interactuarcon conjuntos de problemas no rutinarios (Schoenfeld,1998). En los procesosde solución de esos problemas no incluye el uso de herramientas tecnológicas.Es decir, los resultados son producto del trabajo de los participantes basadoexclusivamente en el uso de lápiz y papel. ¿Qué tipo de transformaciones yajustes se requieren en los marcos teóricos cuando se incorporan herramientasdigitales en el estudio de las matemáticas? Este tipo de preguntas orientan ladiscusión sobre la importancia de examinar constantemente los principios, mé-todos y resultados de la investigación en educación matemática. En particular,se reconoce que el empleo de distintas herramientas digitales influye directa-mente en la forma de desarrollar y comprender las ideas matemáticas. Artigue(2002) afirma que el uso de herramientas computacionales en la práctica mate-mática ha cambiado no solamente los métodos que se emplean en la disciplina,sino también los temas y problemas que se investigan. De manera similar, elempleo sistemático de este tipo de herramientas ofrece a los estudiantes dis-tintas oportunidades para aprender y reconstruir el conocimiento matemático(Heid, 2002). En esta línea de ideas, resulta importante documentar y anali-zar los diferentes elementos del razonamiento matemático que desarrollan y

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exhiben profesores y estudiantes al desarrollar actividades de aprendizaje enescenarios de resolución de problemas que promuevan el uso sistemático dedistintas herramientas digitales. Lester (2005) indica que cuando un investiga-dor decide utilizar un marco teórico particular también decide seguir la agendapragmática de investigación reconocida en esa teoría o marco teórico. Es decir,el investigador acepta y utiliza las convenciones y formas de argumentación yexperimentación asociadas con ese marco.

Santos y Barrera (2007) proponen evaluar los principios y métodos asociadoscon los marcos teóricos a partir de analizar temas alrededor de:

(a) la visión del conocimiento matemático (¿qué significa desarrollar o cons-truir y comprender matemáticas?),

(b) el tipo de problemas que promueven el aprendizaje de la disciplina (¿quées lo que caracteriza un problema? ¿qué tipo de actividades promuevenel aprendizaje?),

(c) las formas de explicar el aprendizaje de los estudiantes (¿cómo se cons-truye o aprende el conocimiento matemático? ¿Cómo generan o produ-cen nuevos conocimientos los estudiantes?),

(d) las prácticas de instrucción que promueven el aprendizaje de los estu-diantes (¿qué formas de interacción y desarrollo de actividades fomen-tan la construcción y comprensión del conocimiento matemático de losestudiantes?) y

(e) las formas de evaluación del conocimiento matemático (¿cómo evaluarlas competencias de los estudiantes?

Es decir, se reconoce la importancia de incorporar en la agenda de investiga-ción en educación matemática aspectos o temas directamente relacionados conel análisis de los marcos teóricos relevantes que sustentan distintos programasde investigación. En este contexto, se hace necesario desarrollar formas y he-rramientas que nos permitan evaluar y contrastar la relevancia y pertinencia enel uso de esos marcos de investigación.

(IV) Sobre el Empleo de Diversas Herramientas Computacionales. El de-sarrollo notable de herramientas tecnológicas ha generado diversas oportunida-des para incorporar su uso en el aprendizaje de las matemáticas. Kaput (1992)en una revisión del impacto del uso de la tecnología en la construcción delconocimiento matemático afirmó que “las limitaciones mayores del uso de lacomputadora en las siguientes décadas serían probablemente menos debidas alas limitaciones tecnológicas y más a las limitaciones de la imaginación hu-mana y a las restricciones [producidas por] de los viejos hábitos y estructurassociales” (p. 515). A más de una década, la predicción de Kaput se confirma

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ya que las reformas recientes de las propuestas curriculares y las formas deinstrucción no han incorporado de manera sustantiva los cambios necesariosque reclaman el empleo sistemático de las herramientas computacionales. Seobserva por ejemplo que las evaluaciones internacionales del aprovechamien-to matemático de los estudiantes no incluyen, en general, evaluar los métodosy estrategias que aparecen al resolver problemas con el empleo de la tecno-logía (PISA, 2006). El uso de las herramientas implica investigar las formasde razonamiento matemático que se producen durante la comprensión de losconceptos matemáticos y en la resolución de problemas. La existencia de unavariedad de herramientas tecnológicas con distintos potenciales para ser uti-lizadas en la instrucción matemática plantea un reto no sólo a los profesoressino también a los investigadores en educación matemática en términos deofrecer información sustentada acerca de cómo utilizar esas herramientas enel desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes. Es decir, resultaimportante conocer el potencial o ventajas reales que puede ofrecer el uso dedeterminada herramienta en la construcción del conocimiento matemático delos estudiantes.

Zbiek, Heid, Blume & Dick (2007) distinguen dos tipos de actividad mate-mática donde el empleo de herramientas computacionales juega un papel im-portante: las actividades técnicas y conceptuales. Las técnicas se refieren alas acciones sobre los objetos matemáticos o sobre sus representaciones co-mo realizar una construcción geométrica, una medición, un cálculo numérico,una manipulación algebraica, resolver una ecuación, recoger datos, ordenarlos,etc. Mientras que una actividad conceptual se refiere a aspectos relacionadoscon formas de comprender ideas y resolver problemas matemáticos. En eseproceso, es necesario que los estudiantes desarrollen recursos que les permitacomunicar y buscar conexiones, estructuras y relaciones matemáticas. Algu-nos ejemplos incluye encontrar y describir patrones, conjeturar, generalizar,abstraer, conectar representaciones, predecir, probar y refutar. Las dos acti-vidades se complementan ya que ambas demandan una actitud inquisitiva porparte de los estudiantes que los conduzca a lograr una articulación y una jus-tificación de resultados. Es decir, las actividades técnicas que se realizan conel empleo de la tecnología pueden involucrar una combinación de acciones ru-tinarias orientadas o justificadas a partir de un razonamiento conceptual. Heid(2002) afirma que los resultados de investigaciones que involucran el uso deCAS (Computer Algebra Systems) niegan la afirmación que las habilidades delos estudiantes a realizar procedimientos deben preceder al desarrollo de unentendimiento conceptual de las ideas matemáticas.

. . . [Estudios con CAS] han generado evidencias de que antes deldesarrollo relacionados con procesos rutinarios, los estudiantes

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pueden aprender a mayor profundidad que en un currículum tra-dicional que recomienda el desarrollo de procedimiento rutinariosante de los conceptos (Heid, 2002, p. 98).

Aquí nos interesa ilustrar el papel del uso de algunas herramientas compu-tacionales en la resolución de problemas que se abordan en un primer curso decálculo. La idea es mostrar las formas de razonamiento que emergen a parir deluso de las herramientas. En particular, se destaca la construcción de modelosdinámicos de los problemas los cuales permiten visualizar y explorar diversasrelaciones matemáticas. En este proceso resulta esencial buscar diversas ma-neras de resolver los problemas y contrastar las ventajas y limitaciones queofrezcan los distintos acercamientos.

¿Qué tipo de representaciones de los problemas y objetos matemáticos re-sultan importantes con el uso de herramientas computacionales? ¿cuál es elpapel del uso de las herramientas en la exploración de conjeturas o relacionesmatemáticas? ¿qué tipo de razonamiento matemático pueden desarrollar losestudiantes cuando utilizan una o varias herramientas computacionales? Estaspreguntas señalan los temas relevantes que surgen en escenarios de resoluciónde problemas que fomenten el uso sistemático de herramientas computaciona-les. El proceso de solución de los problemas aporta información acerca de lasestrategias, los recursos, las representaciones y las formas de explorar y pre-sentar resultados. Los problemas, uno en el dominio del cálculo diferencial yel otro del cálculo integral son ejemplos típicos que se estudian en un cursoinicial de cálculo. Con el uso de las herramientas se muestra que durante elproceso de solución a los problemas aparecen representaciones que favorecenla búsqueda y exploración de relaciones matemáticas. Además, el empleo delas herramientas permite visualizar y explorar el significado de esas relaciones.

4. Comentarios Finales

Es sabido que una de las metas más importantes en la instrucción matemáti-ca, es la de propiciar un ambiente de aprendizaje donde los estudiantes ten-gan oportunidad de participar directamente en los procesos de construccióny demostración de relaciones matemáticas. El empleo sistemático de algunasherramientas puede ayudar a los estudiantes a utilizar representaciones de ob-jetos matemáticos que faciliten la búsqueda de relaciones. Para conseguir esto,es necesario que los profesores conozcan el potencial de esas herramientas ysean capaces de identificar diferentes estrategias que les permitan utilizarlas ensus prácticas de enseñanza. Un elemento importante que ayuda a la selecciónde las herramientas a utilizar en la instrucción, se relaciona con las formas de

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razonamiento y las estrategias de solución que se surgen en la resolución deproblemas con la ayuda de la tecnología. Como consecuencia de lo anterior, esnecesario que los profesores reflexionen y exploren el potencial de las herra-mientas. Para orientar el desarrollo de su práctica profesional, los profesoresdeben hallar respuestas a cuestiones tales como: ¿cuáles son los aspectos delquehacer matemático que resultan significativos al emplear el software diná-mico en la resolución de problemas? ¿qué tipo de representaciones y formasde razonamiento emergen en los procesos de resolución de problemas con eluso del software dinámico? ¿qué relación existe entre los acercamientos o pro-cesos de solución que se realizan con lápiz y papel y aquellos donde se utilizael software dinámico? En este artículo se ha intentado mostrar el potencialdel software dinámico en la solución de dos tipos de problemas o actividadescon características esencialmente distintas. Se destaca que el uso del softwa-re de geometría dinámica permite construir una representación del problemaen términos de las propiedades de los objetos del problema. En el ejemplo semuestra que las facilidades del software permiten representar gráficamente lafunción como un lugar geométrico para poder así establecer conexiones entrela pendiente de una de las diagonales del rectángulo que se forma al proyectarel punto Q sobre los ejes coordenados y la pendiente de la recta tangente de lafunción en el punto Q. De esta forma, la representación del problema se analizaen términos de preguntas que eventualmente generan una serie de resultados orelaciones matemáticas. En particular, el estudio de la variación continua de lalongitud de la diagonal del rectángulo se presenta desde el punto de vista grá-fico, sin hacer uso de recursos algebraicos. Desde esta perspectiva, el empleode la herramienta no sólo facilita la representación dinámica de los proble-mas que involucran variación de parámetros, sino que ofrece la oportunidad alos estudiantes de conectar distintos contenidos y buscar nuevas relaciones oresultados (Camacho y Santos, 2004b).

De manera general, se observa que el uso del software dinámico puede resul-tar una herramienta poderosa para los estudiantes en términos de generar re-presentaciones dinámicas del problema que les permitan identificar relacionesmatemáticas. Se destaca que durante la construcción y análisis de las repre-sentaciones dinámicas, los estudiantes deben pensar el problema en términosde preguntas que los conduce al planteamiento de conjeturas o relaciones. Es-te ciclo de visualizar, reconocer y argumentar son procesos fundamentales delquehacer de la disciplina que los estudiantes pueden practicar sistemáticamen-te con la ayuda de este tipo de herramientas.

Finalmente se resalta la importancia de presentar distintos argumentos mate-máticos que le den sustento a las conjeturas y en algunos casos generar nuevoconocimiento matemático.

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Nota: El autor agradece el apoyo del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnolo-gía, por medio de los proyectos Conacyt 47850 y 80359, donde se investiga eluso de distintas herramientas computacionales en la resolución de problemasmatemáticas en el nivel medio superior.

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La lección de matemáticas a través de estudiosinternacionales con videos

Ángel RuizPresidente, Comité Interamericano de Educación Matemática CIAEM.Vicepresidente, International Commission on Mathematical Instruction ICMI.Director, Centro de Investigaciones Matemáticas y Metamatemáticas,Escuela de Matemática, Universidad de Costa RicaCosta Ricahttp://[email protected]

Resumen

Se busca apuntalar el uso de videos en la investigación en EducaciónMatemática, por lo que se describen algunas de sus ventajas así comoalgunas de sus limitaciones. Se analizan tres estudios de videos sobrelas lecciones en la enseñanza de la matemática: los dos primeros reali-zados dentro de las pruebas comparativas Trends in International Mathe-matics and Science Study (TIMSS) y el tercero: el Learners PerspectiveStudy (LPS), por un equipo de investigadores con una metodología máscomprehensiva desarrollada originalmente por David Clarke en Austra-lia. Por medio de esos estudios se buscan detectar algunos elementosinteresantes para la práctica de la enseñanza de las matemáticas. Se es-tablecen comparaciones y balances globales sobre el significado de es-tos estudios. Además, se incluye un apartado sobre las característicasparticulares de la lección en Japón, la que ocupa un papel relevante enlos estudios realizados. Las conclusiones apuntan a subrayar fortalezas,problemas y perspectivas de este tipo de estudios comparativos interna-cionales, en su relación con la labor de aula en matemáticas.

Palabras clave

Enseñanza de las matemáticas, aprendizaje de las matemáticas, estudioscomparativos internacionales, lección de matemáticas, videos.

Abstract

It is intended to support the use of Video Technology in Mathemat-ics Education Research, and for that reason advantages and limitationsof this tools are described. Three studies of videos are analyzed aboutthe lessons in the Teaching of Mathematics. The first 2 studies were


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done within the Trends in International Mathematics and Science Study(TIMSS), and the third one, the Learners Perspective Study (LPS): by ateam of researchers with a one more comprehensive methodology orig-inally developed by David Clarke in Australia. By means of those stud-ies we intend to detect some interesting elements for the practice of theTeaching of Mathematics. Global comparisons and reviews settle downon the significance of these studies. Additionally, a section about thecharacteristics of the Japanese Lesson is included, an issue which oc-cupies an important place within these studies. The conclusions aim toemphasize strengths, problems and perspectives of this type of interna-tional comparative studies, in their close relation with the activity withinthe Mathematics classroom.

Key words

Teaching of Mathematics, Learning of Mathematics, International com-parative studies, Lesson of Mathematics, Videos.

En los últimos 15 años se desarrollaron tres amplios estudios internacionalessobre las lecciones de matemáticas que usaron videos como principal apoyopara obtener su información de referencia: Primer estudio TIMSS 1995, Se-gundo estudio TIMSS 1999, y el Estudio Learners’ Perspective Study LPS.Los primeros dos estudios guardan una estrecha relación, y el segundo com-plementa al primero. El tercero posee un enfoque totalmente distinto, e inclusocrítico de los dos primeros. En este trabajo se van a analizar algunos de los ele-mentos que aparecen en esos estudios.

1. El uso de videos

El uso de videos (películas) fue usado en estudios de carácter antropológicodurante el siglo XX. Por ejemplo, informan Ulewicz & Beatty (2001): Marga-ret Mead y Gregory Bateson usaron cámaras fijas y en movimiento en Bali enlos años 1936-1938, para estudiar comportamientos no verbales. Más adelanteGeorge y Louise Spindler realizaron estudios antropológicos en aulas dentrode algunos contextos culturales distintos: Schoenhausen, Alemania, y Rosevi-lle, Wisconsin, Estados Unidos –EUA- (Spindler & Spindler, 1992).

Tobin, Wu y Davidson (1989) usaron los videos para analizar significados cul-turales en la enseñanza preescolar en Japón, China y los EUA, aunque con elpropósito de generar reflexión sobre las prácticas educativas distintas y la in-fluencia de la cultura (de hecho, los videos apoyaron entrevistas realizadas porestos investigadores).

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La lección de matemáticas a través de estudios internacionales con videos 57

Figura 1: Foto de los antropólogos M. Mead y G. Bateson.

Si bien desde la tercera década del siglo pasado se ha introducido en investi-gaciones educativas el uso de videos, aunque esto fue realizado de una maneramuy simple, no es sino hasta el Estudio de Videos TIMSS 1995 que se usó afondo este importante recurso. Los estudios TIMSS 1995 y 1999, después delos primeros usos mencionados, fueron los más ambiciosos en lo que se refierea la educación, y en particular en las matemáticas.

En un mundo cada vez más globalizado los estudios comparativos se han vuel-to muy comunes, y aportan ventajas (así como plantean problemas distintos)para la comprensión de los procesos de enseñanza aprendizaje.

¿Ventajas de los videos? En los estudios sobre la práctica de aula que se hanrealizado ha predominado el uso de instrumentos que miden la percepción y lasacciones de los protagonistas: cuestionarios, censos, grupos focales, etc. Estosinstrumentos, sin embargo, son limitados en cuanto son fuentes muy indirectasde lo que sucede en un aula, lo que es algo efímero, no replicable. He aquíla relevancia de los videos: aportan una observación directa sobre lo que hapasado en el aula, y revisable muchas veces.

Hiebert et al (2003) condensan muy bien los aportes generales de este tipo deestudios:

Revelan las prácticas que uno tiene en un país con mayor claridad, porcomparación con otras.

Permiten descubrir nuevas alternativas.

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Estimulan la discusión sobre las escogencias que se pueden hacer dentrode un país.

Profundizan la comprensión de la enseñanza por parte de los profesores.

Hay, sin embargo, muchos más elementos a favor del uso de videos:

El estudio de diferentes estrategias de enseñanza con este grado de “vi-sibilidad”, en distintos países, puede generar luz sobre sus posibles im-pactos en los aprendizajes.

Posibilidad de múltiples reanálisis. Nuevas preguntas de investigaciónpueden contestarse con base en los videos existentes.

Facilitan la colaboración entre investigadores con perspectivas distintas,que serían muy limitadas con otros métodos tradicionales.

Los grandes avances modernos en la digitalización de videos y de exten-sas codificaciones y referencias permiten analizar múltiples situacionesde una manera efectiva y rápida. Lo que intensifica las posibilidades demayor conocimiento.

La misma codificación y sus análisis cuantitativos permiten observar de-talles muy difíciles de apreciar con otro medios: por ejemplo, los tiem-pos dedicados a cada fase de la lección, o las interacciones entre estu-diantes y profesores.

Es posible la incorporación de otras fuentes o instrumentos como cues-tionarios, entrevistas anteriores o posteriores a los videos, que permitenañadir aspectos culturales o contextuales.

Hiebert et al (2003) añaden:

Los videos ofrecen la posibilidad de estudiar procesos complejos, llenosde múltiples detalles difíciles de captar por los mismos protagonistas enuna forma simple (hay objetivos curriculares, acciones de varios prota-gonistas del aula, etc.).

Los videos incrementan la confiabilidad en la comparaciones de lec-ciones en distintas circunstancias, especialmente separadas por miles dekilómetros: siempre se puede revisar una y otra vez una lección por partede varios especialistas de distintos contextos para asegurar codificacio-nes homogéneas y consensuadas.

Los videos permiten la codificación de perspectivas múltiples, que invo-lucren a distintas personas y especialistas para obtener una visión másintegrada y completa de la realidad que se estudia, lo que es usualmentemuy difícil de captar por solo una persona.

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Los videos facilitan la integración de información cualitativa y cuantita-tiva, reenfocando y reconstruyendo el estudio de los mismos videos conópticas distintas complementarias.

Los videos facilitan la comunicación de resultados, pues los mismos ex-presan imágenes y representaciones explícitas o completas de fenóme-nos estudiados con una precisión o riqueza difíciles de obtener por otrosmedios.

Lambert, citada por Ulewicz & Beatty (2001), consigna algunos usos educati-vos para los videos:

Aprendizaje de una técnica específica de enseñanza.

El uso de evidencia de que una técnica de enseñanza esté asociada a unaprendizaje.

La exposición de nuevas ideas, inspiraciones o alternativas para el edu-cador.

La discusión y comprensión de las diferencias en la práctica de enseñan-za, lo que puede permitir un lenguaje más preciso sobre la enseñanza quesolo la caracterización de una práctica como buena o mala.

Pueden ayudar al desarrollo profesional de los profesores, potenciandola enseñanza como una profesión basada en la práctica.

Hay, sin embargo, limitaciones y advertencias:

¿Cuáles son los tamaños óptimos de las “muestras”, para que las con-clusiones tengan validez?

¿Cómo se asegura la credibilidad de los participantes en la investiga-ción?

¿Es mejor incorporar (o no) otros medios complementarios a los videosmismos (cuestionarios antes y después, etc.)? Hiebert, por ejemplo, sos-tiene que con solo los videos y los subtítulos asociados se tiene suficienteinformación para el análisis.

¿Cuántos videos son necesarios para llegar a conclusiones sobre un de-terminado elemento?

¿Se requiere una muestra probabilística a nivel nacional para poder es-tablecer una comparación internacional?

Otros cuidados son necesarios: incluso, las decisiones de dónde colocaruna cámara encierran premisas que a veces están ocultas, o son incons-cientes. Esto se complica más cuando la investigación es internacional yemergen o participan diferencias culturales o nacionales evidentes.

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Figura 2: Imagen de un reporte general sobre el TIMSS 1995.

También se pueden usar videos para subrayar prácticas exitosas en al-gunas latitudes. Como veremos, esto está implícito en las voluntades dealgunos estudios. Sin embargo, se debe ser muy precavido puesto quese pueden pasar por alto diferencias contextuales o culturales relevan-tes, y no está claro que los videos sean suficiente prueba para demostraruna relación entre una práctica de enseñanza y resultados positivos en elaprendizaje (o que haya una correlación directa).

Los nuevos problemas refieren a muchos asuntos: la necesidad de lograr quelos procedimientos en el manejo de las cámaras sea uniforme o estándar, lascaracterísticas y la validez de las muestras a seleccionar, la validez de la codifi-cación de los elementos presentes en la situación, las fronteras de las imágenesque se obtienen (hasta dónde comunican la realidad, especialmente de muchassituaciones). Vayamos a las matemáticas.

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2. Estudio de videos TIMSS 1995

El estudio TIMSS 1995 fue financiado por el gobierno de los EUA a travésdel National Center for Education Statistics y la National Science Foundationde ese país y organizado por la International Association for the Evaluation ofEducational Achievement.

2.1. Descripción general

Fue realizado en 1994 y 1995. De 41 países que participaron en el estudioTIMSS de ese año se escogieron Alemania, Japón y Estados Unidos para hacerese estudio de videos. Se grabaron 100 lecciones completas en Alemania, 81en Estados Unidos y 50 en Japón. Además de los videos se recogió materialcomo copias de cuadernos de los estudiantes, hojas de trabajo y planeamientode los educadores. También se les pidió a los educadores señalar los objetivosde la lección por medio de un cuestionario y decir si la lección que dieron erala usual, típica, para ellos.

Los aspectos enfocados con relevancia fueron:

a) El entorno de trabajo. Es decir: número de estudiantes, aprendizaje porgrupos o individual, acceso y uso de libros y materiales, interrupcionesen el desarrollo de la lección. . .

b) La participación de los estudiantes en la clase.c) Los métodos empleados por los educadores. Es decir: habilidades, reso-

lución de problemas, el nivel de matemáticas, la coherencia interna, . . .d) La secuencia en las lecciones. O sea: la estructura de las lecciones, traba-

jo individual o de toda la clase, el papel de los maestros en los diferentesmomentos, el discurso de la clase, las expectativas de desempeño. . .

¿Cómo se seleccionaron? Primero las escuelas, luego los profesores y final-mente las clases (Stigler y Hiebert, p. 19). Se tuvo cuidado en que la presenciade las cámaras no afectara el desempeño en casi todos los casos.

Una vez hechas las grabaciones se trataba de codificar lo que en ella aparecíamediante un trabajo muy meticuloso. Varios equipos de personas analizaroncuidadosamente cada uno de los videos. Los resultados de este estudio se pue-den consignar en varias dimensiones. Para empezar nos vamos a concentrar enla estructura de las lecciones.

2.2. La estructura en las lecciones.

Un resultado importante según este estudio fue la determinación de lo que lla-maron “guiones de la lección”, o incluso “patrones de la lección”, distintos

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para cada uno de los países estudiados. Es decir, los investigadores concluye-ron que había más cercanía entre las lecciones en cada país de lo que existíaentre éstas y las de las otras naciones estudiadas. ¿Cuáles fueron estos guionesen lo que se refiere a la estructura de las lecciones? Se pueden sintetizar pormedio de los siguientes diagramas:

Revision delmaterial previo• desde revision de tareao resumiendo lo que sevio en la leccion anterior

Presentacion del temay problema del dıa

Desarrollo deprocedimientos pararesolver el problema

Practica general• de aquı algo podrıaquedar de tarea

Diagrama 1: Guión de la lección en Alemania según TIMSS 1995.

Revision delmaterial previo

Presentacion delproblema del dıa• Un problema clave

Trabajo individual o engrupo de los estudiantes

Discusion de los metodosde solucion

Enfasis y sumario por parte deleducador de los puntos principales• A veces se hace en la parte mediade la leccion, y/o en el final

Diagrama 2: Guión de la lección en Japón según TIMSS 1995.

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Revision delmaterial previo

Demostracion de comoresolver el problema del dıa• Frecuentemente se comprometea los estudiantes en estoacompanando paso a pasocon preguntas

PracticaCorreccion de trabajoindividual de la clasey asignacion de tarea

Diagrama 3: Guión de la lección en Estados Unidos según TIMSS 1995.

Los investigadores, si bien notaron la existencia de aspectos en común, tambiénseñalaron lugares distintos para cada acción.

... presentar un problema en Alemania establece el escenario paraun desarrollo largo de procedimientos de solución, una actividadde toda la clase, guiada por el maestro. En Japón, la presentaciónde un problema es para desencadenar el trabajo de los estudian-tes ya sea individual o en grupo, para desarrollar procedimientosde solución. En los Estados Unidos, la presentación del proble-ma es el contexto para demostrar un procedimiento y estableceel escenario para que los estudiantes practiquen el procedimiento.(Stigler y Hiebert (1999), p. 81)

¿Cuál es el origen de estos patrones? Stigler y Hiebert (1999) señalan:

. . . aunque los maestros aprenden algunas cosas sobre la enseñan-za de su formación formal, la mayoría aprende de una participa-ción cultural. Después de todo, los maestros pasan al menos 13años en las aulas, como estudiantes, antes de que entren en pro-gramas de preparación de maestros (p. 83).

Es decir: la enseñanza es un asunto cultural, y por eso la cultura condicionaesa práctica.

Según Stigler y Hiebert (1999), creencias culturales son las que refuerzan lospatrones que encontraron en esta investigación. Contraponiendo sus hallazgosen relación con EUA y Japón, para ellos, la clase típica en los EUA parte de lacreencia que las matemáticas son un conjunto de procedimientos para resolver

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problemas, aunque los maestros entiendan que las matemáticas están consti-tuidas por más elementos (p. 89). Y además que: “el aprendizaje de términosy destrezas de práctica no son muy excitantes” y que, por eso mismo, debenintroducirse “diversiones fuera de las matemáticas” (p. 89). Mientras tanto, enlas lecciones japonesas aparecen otras creencias entre los profesores. Por ejem-plo, las matemáticas son “un conjunto de relaciones entre conceptos, hechos yprocedimientos” (p. 89), que las matemáticas “son intrínsicamente interesan-tes y que los estudiantes estarán interesados en explorarlas con el desarrollode nuevos métodos para la resolución de problemas” (p. 90). Esto lo confirma-ron con un cuestionario que pasaron a los maestros sobre los objetivos de lalección.

Las creencias sobre la naturaleza de las matemáticas condicionan las ideassobre su enseñanza. Procedimientos son el corazón en los EUA: se trata de ge-nerar las destrezas asociadas, con mucha práctica bien realizada (paso a paso)de los procedimientos (Stigler y Hiebert, 1999). Hay poco lugar para valorar,por ejemplo, el sentido o utilidad del error. Para los japoneses “pelear” conlos problemas para resolverlos y luego discutir las posibles vías de solución esclave (p. 91).

De igual manera, los profesores en los EUA asumen que deben proporcionarla información suficiente a los estudiantes para completar sus tareas, al detalley de la misma forma como se plantea en los ejercicios de práctica: “Los ma-estros actúan como si la confusión y la frustración son signos de que ellos nohan hecho bien su trabajo” (p. 92). En Japón los educadores dejan que los estu-diantes se enfrenten a los problemas, y “difícilmente mostrarán cómo resolverun problema en la mitad de la lección”.

Los maestros en los EUA ven como un problema las diferencias individua-les de los estudiantes, pues obligan a colocar diferentes niveles de desempeñoindividual y adaptar diferentes instrucciones para distintos niveles; mientras,en Japón esto se aprecia como “una característica natural del grupo”, y pue-de favorecer la participación de más visiones o métodos o discusiones en laresolución colectiva de problemas y, además, permitir una “preparación máscompleta de la lección” por parte del maestro (p. 94).

Finalmente, para los japoneses la clase es casi “sagrada”: como si fueran “con-ferencias universitarias” o “servicios religiosos” ( p. 95). Se planean meticu-losamente, con su introducción, desarrollo medio y conclusión. Deben sercoherentes. Y “no tener interrupciones”. Stigler y Hiebert (1999) sintetizan:

En este sistema de creencias, las matemáticas se reconstruyen conrelaciones entre ideas, hechos y procedimientos. Para entenderesas relaciones, los estudiantes deben analizar problemas mate-

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máticos y diferentes métodos que pueden usarse para resolverlos.Ellos deben enfrentarse a los problemas solos para lograr darlesentido a discusiones posteriores sobre cómo resolverlos y paraentender el resumen final hecho por el maestro. Entonces, la lec-ción debe decir una historia estrechamente conectada y coherente:el maestro debe construir un record visible de las piezas que ellosvan develando para que las conexiones entre ellas se puedan tra-zar: y la lección no puede ponerse de lado o ser quebrada porinterrupciones (p. 96).

En los EUA hay otra situación: la lección se desarrolla por módulos, con pocasconexiones entre ellos, y donde los procedimientos pueden realizarse en cual-quier momento, ya sea en esa lección, o en otras. Aunque las interrupcionespueden resultar molestas, éstas no rompen la lección porque ésta no se concibecomo un todo estructurado (p. 96).

Las conclusiones de estos investigadores sobre el papel de las creencias en eldesarrollo de la lección y del aprendizaje de las matemáticas, se pueden yux-taponer con las de Schoenfeld en cuanto a la resolución de problemas. Paralos estudiantes de los EUA, mayoritariamente, un problema matemático debepoder resolverse en 5 o 10 minutos, y de lo contrario no se puede resolver o notiene sentido. Y el enfrascamiento en problemas que no se resuelven no dejaninguna enseñanza. Para los estudiantes japoneses, no hay tiempos definidosrígidamente para resolver un problema, y aun si no se resuelve el problema selogra un aprendizaje. Para los estudiantes en EUA, el éxito en la resolución deproblemas depende mucho de las habilidades innatas de los individuos, mien-tras que para los japoneses el trabajo y la persistencia provocan ese éxito.

2.3. Contrastación de estrategias de enseñanza según TIMSS 1995

Con base en cuadros e información del primer estudio TIMSS que menciona-mos, vamos, en primer lugar, a consignar algunos asuntos centrales que nosparecen relevantes:

a) Coherencia e integración cognoscitivas: la relación explícita sobre lostemas desarrollados ya sea en la misma lección o en otras lecciones.

b) El enfoque hacia temas matemáticos importantes: el porcentaje de lec-ciones con calidad baja, media o alta de sus contenidos matemáticos.

c) Aprendizaje con comprensión: el peso de las actividades rutinarias, deaplicación o novedosas.

d) Porcentaje de conceptos enunciados en la lección o conceptos desarro-llados plenamente.

e) Participación de los estudiantes con métodos de solución alternativos.

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Antes de proseguir, sin embargo, conviene mencionar una interesante diferen-cia de partida en ese estudio: el número de problemas tratados en cada unode los tres países fue distinto. Japón mostró el menor número de problemasmientras que Estados Unidos el mayor (Neubrand, J., 2006, p. 296).

a. Coherencia e integración cognoscitivas: la relación explícita sobre lostemas desarrollados ya sea en la misma lección o en otras lecciones. Esteasunto refiere al cierre o a la conclusión cognoscitiva que se realiza despuésde recorrer diferentes aspectos específicos en relación con los contenidos, con-ceptos o métodos matemáticos estudiados. Este cierre cognoscitivo se puedehacer en la misma lección, en otras lecciones posteriores o no hacerse. Segúneste análisis comparativo internacional, entre Alemania, Japón y los EstadosUnidos se reveló que hay diferencias significativas entre estos tres países desa-rrollados.

En Japón: en más del 90 % de las lecciones el cierre se realizaría ya sea en lalección inmediata o en otra, aunque en general más en la misma lección. EnAlemania y los Estados Unidos la situación es diferente: el cierre cognoscitivoo pedagógico se realiza en mucha menor proporción que en Japón y cuando sehace se hace en lecciones posteriores. Véase el gráfico 1.

Alemania Japon Estados Unidos0

20

40

60

80

100

120

55

41

91 96

70

40

EN OTRA LECCION EN LA MISMA LECCION

COHERENCIA COGNOSCITIVA

Gráfico 1: Coherencia cognoscitiva

b. El enfoque hacia temas matemáticos importantes: el porcentaje de lec-ciones con calidad baja, media o alta de sus contenidos matemáticos. Esteestudio sostiene que en Japón predominarían las clases con calidad media, se-guidos por aquellas de calidad alta, como en pocos contenidos de calidad baja.En Alemania los contenidos medios predominan pero con porcentajes muy

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similares a los de calidad alta y baja. En los Estados Unidos los contenidosmatemáticos de baja calidad predominarían notablemente, los de calidad altaserían insignificantes y un porcentaje de calidad media apenas se compara alos de calidad baja que se desarrollan en Japón.


102030405060708090100

34 3828

11

5139

89

110

BAJA MEDIA ALTA

ENFOQUE HACIA TEMAS MATEMATICOSIMPORTANTES

Gráfico 2: Enfoque hacia temas matemáticos importantes

Estos investigadores al consignar estos datos apuntaron un importante debate,que, adelantado nuestro criterio, apunta a que un énfasis en las dimensionesde menor nivel matemático debilita la formación en la naturaleza de las mate-máticas, sus conceptos y métodos abstractos, así como restringe competenciasmatemáticas de mayor pertinencia.

c. Aprendizaje con comprensión: el peso de las actividades rutinarias, deaplicación o novedosas. Un tercer elemento que aportó el estudio es acercadel aprendizaje con comprensión: el porcentaje de trabajo en tipos de activida-des ya sea rutinarias (con énfasis en procedimientos), de nuevas soluciones, yaplicaciones. En Japón, aquellas actividades que involucran nuevas solucionesy mayor pensamiento ocuparon la mayor parte, mientras que un poco más del15 % se destinó a aplicaciones. La práctica de procesamiento rutinario tieneun porcentaje similar a aquella dedicada a las nuevas soluciones, alrededor del40 %. En el caso de Alemania la práctica de procesamiento rutinario sobrepasael 80 % y en los Estados Unidos el 90 %. En estos dos últimos países el tiempodedicado a nuevas soluciones y aplicaciones fue muy bajo.

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20

40

60

80

100

120

89,4

4,3 6,3

40,8 44,1

15,1

95,8

0,7 3,5

PRACTICA DE PROCESAMIENTO RUTINARIO

NUEVAS SOLUCIONES / PENSAMIENTO

APLICACIONES

APRENDIZAJE CON COMPRENSION

Gráfico 3: Aprendizaje con comprensión

Cuando se enfatiza lo rutinario, es muy probable que se dedique mucha aten-ción a procedimientos más que a la comprensión y dominio de conceptos. Poreso, los resultados son coherentes con los otros aspectos que hemos comenta-do.

Es interesante señalar que en Japón habría diferencias en cuanto a la disciplinamatemática considerada. Mientras en el caso del álgebra predominaron los én-fasis en procedimientos (un 71 %) en geometría solo un 4 % es procedimental.El Alemania se observaron los problemas algorítmicos en un 91 % en álgebra yun 85 % en geometría (Neubrand, 2006, p. 300). En los EUA 83 % de los pro-blemas de álgebra y 75 % de los de geometría fueron de ese tipo (Neubrand,2006, p. 300). La conclusión apunta a que, en este estudio, el mayor énfasisque se encontró en tareas conceptuales en el caso de Japón fue debido a laforma como abordan la geometría.

d. Porcentaje de conceptos enunciados en la lección o conceptos desarro-llados plenamente. Como se puede ver en la gráfica, en Japón 83 % de losconceptos sería desarrollado plenamente, casi igual que en Alemania (76,9 %).

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23

70,5

17

8378

21,9

AFIRMADOS DESARROLLADOS

DESARROLLO DE CONCEPTOS

Gráfico 4: Desarrollo de conceptos

Esto es significativamente diferente en los Estados Unidos donde sólo un 21,9 %de los conceptos -se consigna- fueron desarrollados plenamente.

Otro de los hallazgos, que está relacionado con la anterior consideración, esrelativo a la cantidad de contenidos en cada lección. Para Stigler y Hiebert(1999), las lecciones en Estados Unidos contienen “significativamente más tó-picos que las lecciones japonesas, y significativamente más cambios de tópicoa tópico que las lecciones alemanas y japonesas. Esto significa que los mate-riales curriculares en los Estados Unidos están tratando de cubrir más terrenoque los materiales en otros países pero, como lo encontramos en la secciónprevia, están cubriéndolos con menor profundidad” (p. 62). Lo que esto invocaes un asunto que consideramos como un hallazgo para el aprendizaje efectivo:la conveniencia de establecer mayor profundidad que amplitud en el currículopara favorecer el aprendizaje (Ruiz, 2010).

e. Participación de los estudiantes con métodos de solución alternativos.Como se puede apreciar en los gráficos siguientes, uno de los rasgos particu-lares de la lección japonesa es la participación estudiantil en la lección. Haydiferencias significativas entre Estados Unidos y Japón. El primer gráfico re-fiere al porcentaje de lecciones que incluyen la presentación por parte de losestudiantes de métodos alternativos. El segundo refiere al promedio de vecesque participan los estudiantes con métodos alternativos en una lección.

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1214

7

42

19

8

PRESENTACION EDUCADORES

PRESENTACION ESTUDIANTES

PORCENTAJE PARTICIPACIONEDUCADORES-ESTUDIANTES EN LAS LECCIONES

Gráfico 5: Porcentaje de participación con métodos al-ternativos de educadores estudiantes en las lecciones.


0.10.20.30.40.50.60.70.8

0.2

0.4

0.1

0.7

0.5

0.2

PRESENTACION EDUCADORES

PRESENTACION ESTUDIANTES

Gráfico 6: Promedio de presentación con métodos alter-nativos de educadores estudiantes en una lección

Un comentario de Stigler y Hiebert (1999):

Aunque el nivel de matemáticas era más alto en Alemania, en am-bos países el educador es quien hace el trabajo mayor. En Japón,lo que parece que se da es lo inverso. La lección típica japone-sa convoca más a los estudiantes a hacer el trabajo matemático.(p. 66).

Es otro tema relevante en la educación: aprendizajes activos solo se puedendesarrollar si el grueso de la actividad de aula logra la participación estudiantil.

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2.4. Reanálisis del TIMSS 1995

Se han reanalizado los videos del TIMSS 1995 para poder extraer más con-clusiones. Neubrand (2006), por ejemplo, informa que una de las diferenciaso nuevas percepciones que el reanálisis ha señalado, en relación con Stigler yHiebert (1999), reside en una distinción relevante entre álgebra y geometría.En los resultados sobre Japón esto posee mucha influencia por la forma comose enseña geometría en ese país. El reanálisis sostiene que se debe diferenciarcon mayor precisión el tema de problemas propuestos y aquellos desarrolladosen la clase (p. 295).

¿Cómo se hizo este reanálisis que consigna Neubrand? Se tomaron 22 vi-deos de las lecciones del TIMSS 1995 de cada país, de álgebra y geometríay donde el trabajo individual era “más o menos extendido”. Se cambiaron y re-codificaron “las secuencias de problemas en las lecciones y la relación entrelos problemas, creando una muestra de 1153 problemas” (p. 295). Se usó uninstrumento de clasificación de problemas desarrollado por Neubrand (2002).

Las principales conclusiones del reanálisis se condensan en 3 dimensiones:

Número de problemas y su implementación en las lecciones

Tipos de problemas, según actividades cognitivas requeridas

Problemas trabajados o compartidos con toda la clase.

a. Número de problemas y su implementación en las lecciones. El estu-dio reafirmó que el numero de problemas propuestos en una lección era muydiferente entre EUA, Alemania y Japón. En este último se obtenía el menornúmero. No obstante se clasificaron los problemas en 5 tipos:

1. Problemas trabajados individualmente por estudiantes pero no compar-tidos en el trabajo general de la clase.

2. Problemas propuestos o solo revisados en trabajo general de la clase.

3. Problemas trabajados y resueltos en forma individual por los estudiantesy compartidos en el trabajo general de la clase.

4. Problemas trabajados y resueltos en ambos trabajo individual y en laclase general.

5. Problemas trabajados, resueltos y compartidos completamente en la cla-se general.

Un detalle interesante del reanálisis: las diferencias que aparecen entre los paí-ses en cuanto a los problemas resueltos son debidas a las categorías 1 y 2.

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Tanto en algebra como en geometría considerados conjuntamente, los proble-mas relevantes (los que impactan más la lección) son los que pertenecen a lastres últimas categorías. Y aquí los números son similares: aproximadamente 3en Alemania y Japón y 4 en los EUA; no obstante, mientras que en Japón estosproblemas incluyen trabajo individual, casi nunca sucede eso en los EUA, y enAlemania ocurren ambos casos (Neubrand, 2006, p. 297).

b. Tipos de problemas, según actividades cognitivas requeridas. Neubrand(2002) establece 3 tipos de categorías para clasificar las tareas matemáticaspresentes en una lección:

1. “Carácter del conocimiento”. Con esto se refiere a si el conocimiento que seinvoca es procedimental o es conceptual, o una combinación de ambos.

2. “Complejidad del conocimiento”. Es decir, si se trata de un proceso de mo-delización o resolución de problemas. Entonces: si convoca una o varias uni-dades de conocimiento explícitamente en la resolución de la tarea o sin sonimplícitas y deben ser extraídas por el resolutor desde su base original de co-nocimiento.

3. “Aplicación”. Si hay aplicaciones externas o internas a las matemáticas o nohay ninguna aplicación del todo (p. 298)

Los tres aspectos pueden dar origen a: tareas procedimentales y explícitas, oavanzadas.

Las conclusiones son interesantes: de nuevo, en el caso de Japón se observa unadiferencia si se refiere al álgebra o a la geometría. En el primer caso predominacon un 71 % lo procedimental, sin modelización. Mientras que en la geometríase da un predominio de problemas conceptuales con aplicaciones internas a lasmatemáticas. Solo un 4 % son tareas procedimentales y explícitas.

Según Neubrand (2006), en el caso de Alemania predominan tareas procedi-mentales y explícitas tanto en el álgebra (90 %) como en la geometría (85 %).En los EUA: igual que en Alemania predominan mucho las tareas procedimen-tales y explícitas tanto en álgebra (83 %) como en geometría (75 %).

c. Problemas trabajados o compartidos con toda la clase. Neubrand (2006)resume las conclusiones: en los EUA la mayoría de los problemas trabajadostotalmente o compartidos frente a toda la clase son tareas procedimentales yexplícitas tanto en geometría como en álgebra. Entonces: “la lección en losEUA se dedica mayoritariamente a problemas que requieren pensamiento pro-cedimental, sin modelización esperada” (Neubrand, 2006). Pero además: “losproblemas avanzados solo se proponen en el trabajo individual de estudiantesy no se comparten frente al conjunto de la clase” (Neubrand, 2006). En Alema-nia hay algunas diferencias porque mientas que en la parte de álgebra dominan

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los ejercicios de tipo procedimental y explícitos, en geometría se dedica la mi-tad a cada tipo de problema; es decir: un 50 % a procedimentales y otro 50 %a conceptuales y de modelización. En Japón: en álgebra predominan los pro-cedimentales, aunque en una proporción menor que en EUA y Alemania. Lointeresante es que en geometría se resuelven problemas complejos en su vas-ta mayoría: en el trabajo individual los estudiantes deben enfrentar problemascomplejos con aplicaciones dentro de las matemáticas y en el trabajo frenteal conjunto de la clase se resuelve más de un 80 % de problemas complejosque se han planteado tanto en el trabajo individual como para el conjunto de laclase (Neubrand, 2006, 3001). Cabe mencionar que en la parte de álgebra losproblemas más complejos se plantean también en el trabajo individual.

La conclusión más interesante a la que llega Neubrand (2006) es el lugar quejuega la geometría en el caso japonés: presencia de pocos problemas procedi-mentales. Esto precisa las observaciones de Stigler y Hiebert (1999), en rela-ción con la lección japonesa: el predominio de métodos de razonamiento másmatemático en Japón obedece en gran medida a la manera como abordan lageometría (p. 303).

3. Estudio de videos TIMSS 1999

Un nuevo estudio a través de videos se hizo en relación con el TIMSS-R(TIMSS Repeat) de 1999, con un análisis similar al del año 1994-1995 (siem-pre con estudiantes de octavo nivel). Este, en conjunción con la InternationalAssociation of the Evaluation of Education Achievement (IEA), fue condu-cido por el National Center for Education Statistics, del U.S. Department ofEducation, bajo un contrato con el LessonLab Research Institute de Santa Mo-nica, California. El estudio de videos TIMSS 1999 se completó en dos fasesseparadas: la parte de matemáticas fue completada en marzo del 2003, y la deciencias en abril del 2006. Los resultados fueron condensados en el documen-to Teaching Mathematics in Seven Countries. Results from the TIMMS 1999Video Study, publicado en el 2003.


Uno de los objetivos de este nuevo estudio fue el saber si la organización dela lección y las tareas matemáticas en países con rendimiento alto en pruebascomparativas internacionales, como TIMSS, eran similares a lo que sucedíaen Japón. La motivación original arrancaba de una percepción sobre los bajosrendimientos (relativamente) de los EUA en la prueba TIMSS 1995 (Hiebertet al, 2003, p. 9). Los países escogidos para el estudio tuvieron todos mejoresresultados en esa prueba que los EUA.

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Esta vez fueron analizados datos de 7 países: Australia, República Checa,Hong Kong, Japón, Holanda, Suiza y los EUA. En el caso de Japón, se usa-ron los videos que fueron recolectados en el estudio de 1995, para hacer lascomparaciones: 638 lecciones de octavo año fueron recolectadas. Y los asun-tos analizados fueron muy similares a los del estudio de 1995: la estructura dela lección, tiempos destinados al contenido, tareas, el flujo de la informaciónen la lección, etc. (Neubrand, 2006).

Tabla 1Países participantes en el Estudio de Videos TIMSS 1999. Rendimiento en

TIMSS 1995 y TIMSS 1999

TIMSS 1995, puntuación enmatemáticas

TIMSS 1999,puntuación enmatemáticas

País Promedio Error estándar PromedioAustralia 519 3,8 525República Checa 546 4,5 520Hong Kong (SAR) 569 6,1 582Japón 581 1,6 579Holanda 529 6,1 540Suiza 534 2,7 -Estados Unidos 492 4,7 502Promedio internacional - - 487Nota: Tomado de Hiebert et al (2003).

Nótese la gran distancia en la puntuación entre EUA y Japón o Hong Kong.

Otro detalle interesante de tomar en cuenta es la cantidad de horas destinadasa las matemáticas en cada uno de estos países, tanto por semana como por año.

Tabla 2Tiempo medio destinado a trabajo matemático por semana y por año

en el octavo grado, por país, 1999.

PaísTiempo medio estimadoa trabajo matemático porsemana (en minutos)

Tiempo medio estima-do a trabajo matemáti-co por año (en horas)

Australia 174 113República Checa 179 90Hong Kong (SAR) 175 105Japón 200 116Holanda 127 84Estados Unidos 179 107Nota: Tomado de Hiebert et al (2003).

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Japón superaba a todos los países en ambos tiempos consignados en ese año.La distancia entre Japón y Holanda fue la mayor.

Un elemento distinto al TIMSS 1995 en este nuevo estudio fue el énfasis da-do a las prácticas instruccionales dirigidas directamente a las asignaciones detrabajo de aula a realizar por los estudiantes. Se puede afirmar que “se consi-deraron las asignaciones de trabajo de aula como las unidades que creaban elproceso instruccional” (Neubrand, 2006).

Pare empezar, un dato que suministran Hiebert et al (2003) concierne al tiempodestinado al trabajo independiente de los alumnos en un solo problema.

Tabla 3Tiempo medio destinado a un problema independiente en la lección

en el octavo grado, por país, 1999

País Tiempo medio estimado aun problema (en minutos)

Australia 3República Checa 4Hong Kong (SAR) 4Japón 15Holanda 2Suiza 4Estados Unidos 5Nota: Tomado de Hiebert et al (2003).

De nuevo Japón, ofreció los mayores tiempos al trabajo con un solo problema.Esto pareciera indicar que se concentrarían en pocos problemas, a diferenciade los otros países donde el tiempo medio es similar.

Este asunto del número de problemas desarrollados en una lección es relevan-te para estudios comparativos. Por ejemplo, como reportan Wang & Murphy(2004): ya en 1990, Stigler y Perry comparando clase de quinto grado en Taipeiy en Chicago encontraron que, después de segmentar la lección en intervalosde 5 minutos, 55 % de todos los segmentos en Taipei se enfocaron en un tópicocomparado con un 17 % en Chicago. Más aun, otros investigadores encontra-ron que los maestros en China tendían a dedicar 40 minutos de su lección a lasolución de solo un problema matemático, con la presencia de varias caminosde solución. Esto ya lo ha señalado Ma (1999): los maestros chinos estimulansoluciones múltiples de problemas propuestos.

Una diferencia de estos países con Japón es el porcentaje de lecciones en lascuales se asignan tareas para la casa. Véase la tabla 4.

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Tabla 4Porcentaje de las lecciones en la lección en el octavo grado en las que

se asigna tarea para la casa, por país, 1999País PorcentajeAustralia 62República Checa 78Hong Kong (SAR) 69Japón 36Holanda 71Suiza 61Estados Unidos 57Nota: Tomado de Hiebert et al (2003), p. 57.

¿Obedecerá esto al mayor tiempo que se invierte por semana y por año enmatemáticas en Japón? ¿A una estrategia pedagógica específica en este país?

Al analizar la presencia de demostraciones en las lecciones de matemáticas enestos países se encontró de nuevo otra diferencia con Japón.

Figura 3: Portada del informe del TIMSS 1999 sobre el estudio de videos.

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Tabla 5Demostraciones en las lecciones, por país, 1999

País

Porcentaje mediode problemas en lalección queincluyerondemostraciones

Porcentaje mediode lecciones queincluyeron almenos unademostración

Porcentaje mediode lecciones queincluyerondemostraciones enlas lecciones degeometría plana

AustraliaRepública Checa 1 5 4Hong Kong (SAR) 2 12 5Japón 26 39 35HolandaSuiza 3 11Estados UnidosNota: Tomado de Hiebert et al (2003), pp. 74-75.

Si se analiza la presencia de las demostraciones en las columnas 2 y 3 se ob-servan otras diferencias de Japón con los otros países. Sin embargo, debido aque la muestra en Japón involucró más geometría, que exige más participaciónde argumentación y prueba, se analizó el subconjunto de lecciones destinadassolo a geometría plana, lo que se consigna en la columna 4 de esa misma tabla.Los datos muestran, de nuevo, la mayor presencia de demostraciones mate-máticas. No obstante, Hiebert et al (2003) hacen un llamado a manejar conprecaución esos datos, por lo pequeño de la muestra.

Otro asunto interesante es la conexión con problemas de la vida real o no delos problemas analizados en las aulas de esto países.

Tabla 6Porcentajes promedio de problemas que se dieron con el uso de conexiones a la

vida real, o solo usando lenguaje o símbolos matemáticos, por país, 1999

País Con conexiones ala vida real

Solo lenguaje y símbo-los matemáticos

Australia 27 72República Checa 15 81Hong Kong (SAR) 15 83Japón 9 89Holanda 42 40Suiza 25 71Estados Unidos 22 69Nota: Tomado de Hiebert et al (2003), p. 85.

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78 Ángel Ruiz

Japón exhibe el menor porcentaje en problemas conectados con la vida real, yHolanda el mayor. El resto oscila entre 15 y 22 por ciento. La mayoría de estaconexiones fueron hechas por los profesores al principio de la lección.

¿Cuál es la presencia de métodos alternativos para resolver los problemas delaula? La siguiente tabla nos lo indica.

Tabla 7Porcentajes promedio de problemas con más de una solución, por país, 1999

País

Porcentajes promediode problemas porlección con más de unasolución

Porcentajes promedio delecciones con al menos unproblema en el cual sepresentó más de una solución

Australia 2 25República Checa 2 16Hong Kong (SAR) 4 23Japón 17 42Holanda 5 30Suiza 4 24Estados Unidos 5 37Nota: Tomado de Hiebert et al (2003), p. 94.

De nuevo, Japón establece una diferencia.

Vamos ahora a analizar 4 situaciones adicionales, siguiendo la clasificación deNeubrand (2006):

Problemas propuestos y declarados.

Procesos matemáticos sugeridos por problemas declarados.

Procesos matemáticos usados al resolver problemas.

Problemas: de declarados a resueltos.

a. Problemas propuestos y declarados. En el reanálisis de los videos delaño 1995, en Japón se observó que la mitad de subproblemas, asociados aasignaciones de trabajo o problemas principales de naturaleza procedimental,activaban conocimiento conceptual (Neubrand, 2006). Lo cual evidencia la ne-cesidad de distinguir entre problemas “propuestos” y “resueltos” (pues en elproceso de resolución se puede cambiar el sentido, procedimental o concep-tual del problema). Los términos se deben a Smith (2000). Esto lo observarontambién Hiebert & Handa (2004) en el caso de Hong Kong.

b. Procesos matemáticos sugeridos por problemas declarados. El nuevoestudio de 1999 distinguió varios procesos cognitivos posibles de implicar enlos problemas declarados:

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A1: Provocan el uso de procedimientos.

A2: Invocan convenciones o ejemplos de conceptos.

A3: Provocan conexiones o relaciones entre ideas, hechos y procedi-mientos matemáticos.

Se observó entonces: “. . . el predomino del A1 en todos los países exceptoen el caso de Japón. Y además este último presentó el número más grande deproblemas propuestos y declarados de A3, seguido de Holanda” (Neubrand,2006). Los resultados se condensan en la gráfica.

Au R.C. H.K. J. H. EUA0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

61

24

15

77

716

84

413

41

5

54

57

18

24

69

13

17

HACE CONEXIONES DECLARA CONCEPTOS USA PROCEDIMIENTOS

Gráfico 7: Porcentaje de problemas declarados por país. Au. Australia, R.C.República Checa, H.K. Hong Kong, J. Japón, H. Holanda, EUA. Estados Uni-dos de América. Fuente: Hiebert et al (2003).

En las comparaciones se debe tomar en cuenta que el número de problemasde geometría planteados en el caso de Japón eran más que en los otros países.Como hay más invocación de conocimiento conceptual en geometría, se con-cluye que esa es una posible explicación en estos países debido a la presenciade un menor número de tareas conceptuales en los países distintos de Japón.

Neubrand (2006) concluye:

. . . uno puede sugerir que favorecer las tareas que “provocan co-nexiones” parece ser una característica de los países con mejordesempeño y no una característica que diferencie los países delEste de los del Oeste. (. . . ) la interpretación más probable es queentre los países de mayores logros hay caminos diferentes perocaracterísticos para enseñar matemáticas, donde al menos se daun alto porcentaje de problemas del tipo “provocan conexiones”en algunos campos de las materias (p. 309).

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80 Ángel Ruiz

Au R.C. H.K. J. H. EUA0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

36

41

202

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38

19

10

15

48

24

12

3

27

33

37

11

36

32

22

36

55

81

HACE CONEXIONES

DECLARA CONCEPTOS

USA PROCEDIMIENTOS

DA SOLO RESULTADOS

Gráfico 8: Porcentaje de problemas resueltos, por país. Au. Australia, R.C. Re-pública Checa, H.K. Hong Kong, J. Japón, H. Holanda, EUA. Estados Unidosde América. Fuente: Hiebert et al (2003).

c. Procesos matemáticos usados al resolver problemas. Los problemas querealmente impactan una clase son aquellos trabajados y resueltos frente al con-junto de la clase. Para Hiebert et al (2003) los problemas resueltos se puedencolocar en 4 categorías:

B1: Problemas en los que solo se da la respuesta.

B2: Problemas resueltos a través de un procedimiento algorítmico (lospasos a seguir, no los conceptos involucrados).

B3: Problemas en los que se mencionan las propiedades o definicionesque se usan sin dar argumentaciones matemáticas (las razones de su uso,por ejemplo).

B4: Problemas que hacen conexiones explícitas con las relaciones y ar-gumentos matemáticos al resolver los problemas.

Los resultados usando esas categorías se consignan en el gráfico 8.

Los problemas del tipo B1 tuvieron porcentajes elevados solo en RepúblicaCheca, Australia y los EUA. Un poco menos en Hong Kong y Holanda. Y soloun 3 % en el caso de Japón (Neubrand, 2006). Con más problemas tipo B4aparece Japón y luego Holanda.

Una observación que consigna Neubrand (2006): los EUA y Australia prácti-camente no resolvieron problemas del tipo B4.

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Au R.C. H.K. J. H. S. EUA

0

20

40

60

80

100

65

24

84

14

81

18

28

65

74

12

62

25

75

9

Sin repetición de procesos u otros

Repetición de procesos

Gráfico 9: Porcentaje promedio de tiempo privado por lección dedicado a re-petir procedimientos. Au. Australia, R.C. República Checa, H.K. Hong Kong,J. Japón, H. Holanda, EUA. Estados Unidos de América, S. Suiza. Fuente:Hiebert et al (2003).

d. Problemas: de declarados a resueltos. Hubo problemas que, al proponer-los, aparecían como de tipo A1, pero en su resolución se convirtieron en A3:un 22 % de los problemas en Japón (Neubrand, 2006). Esto también se dio enHong Kong y en Holanda. No en Australia ni en los EUA.

¿Qué pasó con los problemas inicialmente propuestos de tipo A3 a la hora deresolverlos? En Hong Kong, República Checa, Japón y Holanda preservaronsu carácter, pero no en los EUA, y en parte en Australia (Neubrand, 2006).

Otro asunto: ¿qué tipo de problemas predomina en el trabajo individual o depequeños grupos en el aula? Solo en el caso de Japón los estudiantes se vie-ron confrontados a problemas avanzados de resolución de problemas, y con-ceptualmente complejos. En el resto de países predominaron procedimientosrepetitivos.

Los resultados del estudio de videos TIMSS 1999 son compatibles con losdel año 1995. Consignan, según Neubrand (2006), al menos dos importantesasuntos:

La unicidad de la lección japonesa en cuanto a sus métodos de enseñanzade las matemáticas.

Una perspectiva en los países de alto rendimiento hacia la inclusión deproblemas que provocan conexiones de ideas, métodos y procedimientosmatemáticos.

Mientras que en el Estudio de Videos TIMSS 1995 sus coordinadores parecíansacar la lección que lo que había que copiar era la lección de Japón debido a

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su performance en las pruebas TIMSS 1995, en el nuevo estudio, Hiebert etal (2003), que consignan sus hallazgos, expresan que no se puede sacar unalección similar, puesto que todos estos países de alto rendimiento en esas prue-bas mostraron una gran diversidad de diferencias en sus formas de enseñanza(p. 14).

Un buen ejemplo de estas diferencias es el que existe entre Japón y Hong Kong.

Tabla 8Similitudes y diferencias en las lecciones de Japón y Hong Kong (SAR)

Variable de la lección Japón Hong KongRevisión 24 % de la lección 24 % de la lecciónNuevo contenido 76 % de la lección 76 % de la lección

Introducción delnuevo contenido 60 % 39 %

Práctica del nue-vo contenido 16 % 37 %

Problemas (como pro-puestos)

Hacen conexiones (54 %de los problemas)

Usan procedimientos(84 % de los problemas)

Actividad privada por elestudiante

Algo más allá de prácticade procedimientos o unamezcla (65 % del tiempode trabajo)

Práctica de procedimien-tos (81 % del tiempo detrabajo).

Nota: Hiebert et al, 2003, p. 150.

No hay diferencias en el porcentaje de tiempo asignado a la revisión y losnuevos contenidos en los dos países, pero sí una grande en la composicióninterna del tiempo destinado a introducir nuevo contenido o practicar con él.Lo mismo sucede con el tipo de problemas favorecido: en Hong Kong losprocedimentales, en Japón otros. Y el trabajo estudiantil de práctica en HongKong es mayor que en Japón.

Ambos países puntuaron en los primeros lugares de la pruebas TIMSS 1995 y1999.

En esta discusión, sin embargo, hay que tener precaución en torno a las dife-rencias culturales que podrían intervenir en torno a lo que podría representarlo procedimental en los contextos de Japón y Hong Kong (o en China en gene-ral). Podríamos invocar una observación interesante de An, Kulm, Wu, Ma &Wang (2006) quienes, al comparar las diferencias culturales entre los EUA yChina señalan: en los EUA los profesores separan la comprensión conceptualy el desarrollo procedimental en dos dimensiones distintas, los procedimien-tos aparecen aquí como una colección de pasos. Mientras, en China: “. . . los

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profesores si bien enfocan más procedimientos, éstos reconocen la interrela-ción entre las dos áreas y creen que los conceptos pueden ser abstraídos delos desarrollos procedimentales y que el principal objetivo de la comprensiónconceptual y el desarrollo procedimental es el desarrollo de habilidades depensamiento en el estudiante” (p. 457). En China: “procedimiento” apela a ac-tividades de comparación, análisis, aplicación y síntesis. Es decir, que a “travésde los procedimientos se puede generar comprensión conceptual”. Lo mismoopina Leung (2006): para los chinos la enseñanza procedimental no significarepetición mecánica sin comprensión (“la compresión es un proceso continuo,no de blancos y negros”), sino que a través de la práctica los estudiantes vanganando comprensión. Especialmente si los ejercicios de procedimientos vanvariando de manera sistemática (p. 42-43). Una creencia se invoca: conceptos yprocedimientos son importantes por igual, y “la enseñanza de las matemáticases la enseñanza del método del pensamiento” (An, 2004, p. 462).

Gu, Huang & Marton (2004) llegan a afirmar una “enseñanza por variación”como uno de los rasgos claves de la enseñanza en China, que incluso ex-plicaría los buenos resultados que los estudiantes chinos obtienen en pruebascomparativas internacionales. Brevemente, se consignan dos formas de varia-ción: conceptual y procedimental. En el primer caso, se realiza de dos maneras:por un lado, mostrando materiales visuales u otras instancias, variando los as-pectos no esenciales de un concepto (para captar su esencia), y, por otro lado:mostrando lo que no será el concepto (contraejemplo). En ambas formas devariación conceptual se pretende que el estudiante experimente los conceptosen diversas o múltiples maneras (Gu, Huang & Marton, 2004, p. 315). Se ca-racteriza como un proceso “estático”. La variación procedimental (Gu, 1981)se asume más bien como un proceso “dinámico” en el que se van creando “an-damios” de manera sistemática para la formación de un concepto. Se trata decrear “un sistema jerárquico de procesos de experiencia a través de la forma-ción de conceptos o etapas de solución de problemas” (Gu, Huang & Marton,2004, p. 324). Mientras que en las teorías de Dienes la formación de concep-tos se subraya como dinámica, en la de Gu lo dinámico se da en la “variaciónprocedimental”.

Algunas de las conclusiones a que llega este estudio son las siguientes:

En esos 7 países, de alto rendimiento en la pruebas TIMSS, hay algunos rasgosen común:

La mayoría de estos estudiantes de octavo año recibieron matemáticas através de resolución de problemas, al menos un 80 % en promedio deltiempo de las lecciones se dedicó a resolver problemas matemáticos.

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En los 7 países las lecciones se organizaron incluyendo trabajo de to-da la clase (público), en pequeños grupos o individualmente. Al trabajarprivadamente en la mayoría de los países se realizó el trabajo individual-mente más que en grupos o en parejas.

En promedio, las lecciones de todos estos países incluyeron revisión delcontenido previo y también atención a nuevo.

Al menos un 90 % de las lecciones usaron textos o hojas de trabajo dealgún tipo.

Los profesores hablaron más que los estudiantes en una razón de 8 a 1palabras respectivamente.

También se encontró una variedad de métodos de enseñanza entre los países.Incluyendo la duración de tiempo para introducir nuevos contenido, la cohe-rencia a lo largo de los problemas matemáticos y dentro de su presentación, lostópicos cubiertos, y la complejidad procedimental de los problemas escogidos,y las prácticas de aula en relación con el trabajo individual y las labores en elaula.

4. Learner’s Perspective Study, LPS

En el año 2006 se publicaron los resultados de otro estudio internacional com-parativo con videos: el Learner’s Perspective Study LPS. Este estudio inició en1999 y ha ido incorporando distintos países. La visión de este estudio fue, sinembargo, muy diferente de la que fundamentó los estudios TIMSS. En esencia,complementar los estudios que enfocaban la actividad del profesor, con otrosaspectos y un enfoque: la actividad y percepción del estudiante.

En el corazón de sus fundamentos está la idea que la actividad del aula es unapráctica colaborativa construida con la participación del educador y el estu-diante, y no se puede fragmentar en enseñanza y aprendizaje.


LPS recogió secuencias de al menos 10 lecciones usando 3 cámaras de video,así como una reconstrucción de los participantes en las lecciones obtenidas enentrevistas motivadas por los videos después de las lecciones; también incluyódatos producto de pruebas y cuestionarios así como copias de los materialesescritos (Clarke, Emanuelsson, Jablonka & Mok, 2006). En cada clase pre-viamente se trabajó durante una semana para familiarizarse, con filmación devideos y entrevistas post lección para que estudiantes y maestros se acostum-braran a la presencia de los investigadores. En cada país, se enfocaron hacia

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Figura 4: Portada del libro Making Connections. Com-paring Mathematics Classrooms Around The World.

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las clases de 3 maestros, que fueron seleccionados por considerarse –segúnsus comunidades locales– maestros competentes. En cada país, entonces, segeneraron al menos 30 lecciones “bien impartidas”, involucrando 120 videos,60 entrevistas de estudiantes, 12 entrevistas de maestros, notas de campo delos investigadores y los datos de pruebas y cuestionarios así como material es-crito escaneado de los estudiantes. Los criterios para la “competencia” fueronen esencia: “visibilidad como presentadores en conferencias para otros maes-tros”, “papel de liderazgo en organizaciones profesionales” y “aclamación porcolegas y estudiantes” (Clarke, Emanuelsson, Jablonka & Mok, 2006, p. 8).

Originalmente, el estudio se planteó para complementar investigaciones sobreel desempeño estudiantil y las prácticas de enseñanza en Australia, Alemania,Japón y los EUA (Clarke, Keitel & Shimizu, 2006, p. 1). Los datos fueron,ya en definitiva, completados en los siguientes países: Australia, China (HongKong, Shangai y Macao), la República Checa, Alemania, Israel, Japón, Corea,Filipinas, Singapur, Sudáfrica, Suecia y los EUA.

Los promotores del proyecto LPS fueron Clarke, Keitel y Shimizu, sobre la ba-se de un metodología desarrollada por Clarke (1998) y que, también, se puedever descrita en Clarke (2001).

¿Por qué el énfasis en lecciones impartidas por profesores competentes y noen la búsqueda de una lección promedio? Para los investigadores del LPS estadecisión apela a lo que ellos consideraron resulta de interés para un profesor:no tanto saber sobre la lección supuestamente promedio de uno o varios países,sino estar informado de lo que profesores muy competentes hacen en sus lec-ciones, para poder tener a mano estrategias exitosas para sus propias lecciones(Clarke, Mesiti, Jablonka & Shimizu, 2006, p. 43).

Para estos investigadores, el objetivo en los estudios TIMSS de buscar unmuestra nacional representativa generaba la consecuencia inmediata de ana-lizar solo una lección. Más aun:

El poder para hacer generalizaciones sobre patrones nacionalesen cuanto a una estructura de la lección se compró al costo de unamenor fuerza explicatoria en relación con las condiciones ante-cedentes y consecuentes por medio de las cuales podían ser en-tendidas las motivaciones y consecuencias de las acciones de losmaestros. Similarmente, el interés de los investigadores en la prác-tica de la enseñanza condujo a enfocar exclusivamente la “comu-nicación pública” dejando de lado una documentación del trabajocolaborativo “privado” de los estudiantes (Clarke, Emanuelsson,Jablonka & Mok, 2006, p. 10).

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De alguna manera, estos investigadores se colocan en una perspectiva que asu-me cuestionamientos a muchos de los estudios comparativos internacionales.Retoman el criterio de que las comparaciones internacionales del rendimien-to de estudiantes como PISA o TIMSS, producen, además de comparaciones,concepciones de lo que es importante valioso en la educación matemática. Poreso invocan las palabras de Keitel y Kilpatrick (1999) en su fundamentaciónteórica: “Un pseudo consenso ha sido impuesto (primeramente por el mundoangloparlante) a través de los sistemas de tal manera que el currículo puedeasumirse como una constante más que una variable, y tal que la operación deotras variables pueda ser examinada”. Keitel y Kilpatrick (1999, p. 253) tam-bién afirman la existencia de un “currículo internacional idealizado”, y por lotanto demasiado abstracto. Para Clarke, Emanuelsson, Jablonka y Mok (2006),“El análogo de ese currículo idealizado es una clase idealizada con participan-tes idealizados” (p. 4). Por eso el objetivo de estos investigadores con LPSera más bien incrementar la “sensibilidad cultural y contextual” en los estu-dios comparativos internacionales, reportando sobre la diversidad de prácticasde maestros competentes en diversas partes del mundo (Clarke, Emanuelsson,Jablonka & Mok, 2006, p. 4).

Los investigadores de LPS consideran que su estudio generó resultados más“finos”, precisos, debido a su metodología, pues sus datos eran más “com-prehensivos”.

4.2. La secuencia en las lecciones

Estos investigadores tomaron en cuenta las secuencias consignadas por Siglery Hiebert en el caso de Alemania, Japón y los EUA, y exploraron su presenciaen los datos que recolectaron. Es decir, por ejemplo, en el caso de los EUA:revisión de material previo, demostración de cómo resolver el problema de día,practica y corrección del trabajo individual de los estudiantes y asignación detarea. Para ellos, de primera entrada, estas categorías eran vagas.

Sus conclusiones, en el fondo, apuntan a que, si bien encontraron esas catego-rías en los EUA, no ocurría esa secuencia como un “patrón regular recurrente”en la estructura de las lecciones estudiadas (Clarke, Mesiti, Jablonka & Shi-mizu, 2006, p. 34). Esto mismo encontraron en el caso de las lecciones enAlemania y Japón. Un ejemplo: mientras que Sigler y Hiebert no encontrarontípica la asignación y el chequeo de tareas para la casa en la lección japonesa,LPS encontró que sí estaba presente en todas las 3 secuencias de lecciones queestudiaron en ese país (Clarke, Mesiti, Jablonka & Shimizu, 2006, p. 41).

Clarke, Mesiti, Jablonka & Shimizu (2006) condensan su opinión: “Los maes-tros cuyas lecciones hemos consignado mostraron poca evidencia de un patrónde lección consistente, y más bien variaron la estructura de sus lecciones in-tencionalmente a través de la secuencia de un tópico (p. 41).

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Para Shimizu (2006), el patrón afirmado por Stigler y Hiebert no funcionaen el caso de la lección japonesa por dos razones básicas: por un lado, porla diversidad en la estructura que encontraron en las diferentes lecciones enla que se desarrolló un tópico o varios tópicos, y, en segundo lugar, porquelos elementos en un patrón suelen tener significados distintos dependiendo delmomento particular en la secuencia de lecciones.

Este estudio no buscó identificar patrones nacionales de enseñanza. Lo quebuscaban era similitudes y diferencias en lecciones “bien impartidas” en lospaíses estudiados (Clarke, Mesiti, Jablonka & Shimizu, 2006, p. 34). Inclusoen el caso de Japón sugieren que se debe utilizar un conjunto más amplio decategorías para analizar las actividades en la lección japonesa, que el usado porStigler y Hiebert con 5 categorías. Por eso, auque los investigadores del LPSexpresan su “simpatía con el objetivo de encontrar patrones y estructura en lapráctica del profesor en la clase”, consideran que las categorías que usaron Sti-gler y Hiebert eran demasiado “incluyentes” (es decir, que incluían demasiadascategorías, que más bien deberían identificarse por separado). Tanto para el ca-so de Alemania como de los EUA, LPS también propone aumentar el númerode categorías.

¿Por qué ofrece algo más el LPS que el estudio de videos TIMSS-R? En par-te, según los investigadores del LPS: porque TIMSS-R no puede contestar apreguntas del tipo “¿cuáles fueron los antecedentes por lo que se usó ciertaactividad? ¿Propósito instruccional? ¿Consecuencias en el aprendizaje?” Parapoder responder ese tipo de asuntos se requeriría de una grado de documen-tación mayor, incluyendo secuencias de lecciones, entrevistas de profesores yestudiantes, etc.

Como señalamos en la introducción de este trabajo, aquí hay un debate meto-dológico. ¿Es válido introducir estos otros medios aparte de los videos y suscodificaciones? ¿La presencia de esos otros instrumentos introduce mayoresniveles de subjetivismo en el proceso?

Clarke, Mesiti, Jablonka & Shimizu (2006) subrayan lo que ven como una dife-rencia en el TIMSS 1999: “El Informe del Estudio de videos TIMSS-R (Hiebertet al, 2003) reinterpretó la idea de modelos de lección representativos nacional-mente (por implicación, si no fue una afirmación explícita) y consignó ‘firmasde una lección’ (Hiebert et al, 2003, pp. 123-151)”. Con este concepto mencio-nado, Hiebert et al construyeron una forma de ver cómo ciertos elementos dela lección aparecían con mayor intensidad dentro de una lección. Por ejemplo,la revisión de material anterior, que encontraron aparecía con mayor frecuen-cia en el primer 20 % de la lección y decrecía en el resto de la misma. LPSse replantea el asunto: situarse en un momento de la lección (por ejemplo, al

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pasar un 40 % del tiempo de la lección) y analizar ahí la frecuencia en la queaparecen ciertos elementos de la clase.

4.3. Eventos de la lección

Esta óptica condujo en LPS a buscar una forma distinta de distinguir similitu-des y diferencias en los estudios comparativos internacionales. Para el LPS losresultados obtenidos apuntaron a la existencia de otras unidades dentro de laslecciones, que, en su opinión, son elementos más adecuados para desarrollarlos estudios comparativos: los “eventos de la lección”. Con ello se refieren aasuntos como:

comienzo de la lección,

final de la lección,

número de introducciones al contenido que se va a tratar,

importancia dada por el profesor a las síntesis cognoscitiva,

forma de presentación de la primera tarea en el aula,

los tareas de aprendizaje que se plantea en la lección,

tiempos y acciones del profesor al estar los estudiantes en el trabajoindividual o de subgrupos,

participación de los estudiantes en la pizarra frente al conjunto de laclase, etc.

Los propósitos de este estudio, entonces, se enfocaron hacia la búsqueda delmovimiento de estos eventos en los 12 países que participaron, con el objetivode: “ . . . expandir el repertorio de los profesores de estrategias instruccionalesa través de información sobre una variedad de formas y funciones en que loseventos de la clase se desarrollan en las lecciones de profesores competentesen el mundo” (Clarke, Mesiti, Jablonka & Shimizu, 2006, p. 44).

Debe mencionarse, sin embargo, que la primera vez que se usó el término“Evento de la lección” para realizar estudios comparativos legítimos en laslecciones de matemáticas fue en el año 2003: en una reunión de la AmericanEducational Research Association (Mo y Kaur, 2006, p. 148).

Vamos a consignar algunos ejemplos de la manera cómo se analizaron los vi-deos en LPS, en el caso de algunos de estos “eventos de la lección”.

a. El comienzo de la lección. Este evento de la lección fue analizado por Me-siti & Clarke (2006) con base en los videos tomados en los siguientes países:Australia, EUA, Japón, y Suecia. Ellos hicieron un recuento de los principalescomponentes que encontraron, divididos en 6 categorías distintas globales:

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1. Pre-educativas (sin entrar en materia)De administración (control de asistencia,. . . )De organización (distribución de equipo, . . . )De estímulo educativo general (sobre responsabilidad estudiantil,coordinación de actividades sociales, . . . ).

2. Revisión (el profesor ya cubrió el tema anteriormente)Actividades de calentamiento (trabajo estudiantil en silencio, 5 mi-nutos, . . . )

• Respuestas cortas no relacionadas• Respuestas cortas relacionadas• Corrección de tareas individualmente

Actividades de recapitulación y repaso• Problemas rutinarios• Problemas no rutinarios• Preguntas de la tarea

3. Instrucción (un tema o concepto no conocido se introduce)Presentación de problemasReflexión estructuradaIntroducción de habilidades o conceptosAplicación a un contexto simpleUso de un contexto elaborado

4. Práctica de los estudiantesActividad independiente guiada

5. Evaluación de los estudiantesCon propósitos de diagnósticoCon propósitos de evaluación formal

6. Corrección (resolución de un problema,. . . )Corrección en toda la clase

• Dirigida por el profesor• Dirigida por el estudiante

Corrección del trabajo individual• Preguntas de la tarea

En LPS se detectaron algunas secuencias de estos componentes de manera do-minante, que fueron llamadas por estos investigadores: “secuencias icónicas”(p. 55 y sgtes.).

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S1. La familiaridad genera comprensión

Revisión: Actividades de calentamiento (Respuestas cortas no relacio-nadas, y Respuestas cortas relacionadas).

Corrección: Corrección en toda la clase (Dirigida por el profesor, Diri-gida por el estudiante)

Esta fue predominante en las lecciones estudiadas en los EUA (Mesiti y Clarke,2006).

S2. Instrucción conectada

Revisión: Actividades de recapitulación y repaso (Problemas rutinarios,Preguntas de la tarea).

Instrucción: Presentación de problemas (Introducción de habilidades oconceptos).

S3. De lo específico a lo general.

Revisión: Actividades de calentamiento (Respuestas cortas no relacio-nadas).

Corrección: Corrección en toda la clase (Dirigida por el profesor).

Instrucción: Presentación de problemas (Reflexión estructurada).

S4. Revisión corregida dirigida por estudiantes

Revisión: Actividades de calentamiento (Corrección de tareas indivi-dualmente).

Corrección: Corrección del trabajo individual (Preguntas de la tarea).

Corrección: Corrección en toda la clase (Dirigida por el estudiante).

En este caso los dos primeros se hacen simultáneamente.

S5. Guía educativa: Actividades pre-educativas.

S6. Presentación elaborada de problemas

Instrucción. Presentación de problemas (Uso de un contexto elaborado).

Las secuencias usadas predominantes por los profesores competentes se-leccionados en LPS expresan, cada una de ellas, varios elementos clave:

El énfasis relativo que el profesor le da a la estimulación cognitiva yafectiva de los estudiantes en el comienzo de la lección (Secuencia 1).

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92 Ángel Ruiz

La situación de la lección particular dentro de la secuencia curricular yel tópico y la naturaleza de las conexiones (en ambas direcciones), lascuales los profesores se sienten obligados a promover (Secuencia 2);

El significado acordado por el profesor a tales estrategias instruccionalescomo la repetición (Secuencia 1), reto, o la contextualización elaboradadel contenido (Secuencia 6) . . .

El énfasis relativo que el profesor acuerda a formulaciones matemáticasespecíficas o generales, la relación entre ellas, y el desarrollo óptimo deesa relación (Secuencia 4) (Mesiti y Clarke, 2006, p. 70).

b. El cierre de la lección. En el Japón, esta parte se llama “Matome”. Y puedeocurrir al final propiamente o, también, en mitad de la lección para concluiralgunos temas (Shimizu, 2006, p. 133). El uso de “Matome” no es único, de-pende del momento en la secuencia de lecciones. Por ejemplo, se puede usarpara encontrar conexiones u objetivos con temas de distintas lecciones de lasecuencia. ¿Cuáles son las principales funciones encontradas? Subrayar lospuntos clave de la lección, “promover la reflexión de los estudiantes sobre susexperiencias al revisar lo que han hecho”, preparación para la introducción denuevos conceptos, y el establecimiento de conexiones con los tópicos previosy el que se desarrolla en el aula.

Shimizu (2006) resume su análisis con base en las clases de octavo grado deAustralia, Alemania, Hong Kong, Japón, China (Shangai), y los EUA:

En el caso de Shangai, el uso de “Matome” es similar al japonés, aun-que en todas las lecciones estudiadas éste se hizo al final de la lección(Shimizu, 2006).

En el caso de los EUA, “Matome” no fue un evento “consistente estruc-turalmente” como en Japón, pero sí fue identificado.

En Australia, los cierres no se dan dentro o al final de la lección sinomás bien al final del desarrollo de un tópico después de varias lecciones.Sin embargo, sí usan el principio de la lección para retomar los temasestudiados en la lección o lecciones anteriores.

En Hong Kong, la situación es muy similar a la de Japón y Singapur.Pero el profesor resume y subraya los puntos clave solo muy ocasional-mente.

En Alemania: “en el evento de la lección los profesores añaden algo ohacen algunos comentarios sobre los procedimientos de los estudiantespara resolver un problema. Pero no parece común para ellos concluir lalección mencionando algo que hicieron antes en la lección” (Shimizu,2006, p. 140).

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El estudio LPS confirma la relevancia para los japoneses de un cierre. Paraellos, en efecto la clase es como una obra de teatro que requiere un comienzo,un desarrollo medio y un final, el final es como un clímax, y la clase en muchamedida se construye en función de ese clímax.

Shimizu (2006) consigna muy bien la clara relación entre este uso del Matomeen la lección japonesa con el proceso de institucionalización que ha señaladoBrousseau (1997).

c. Entre pupitres. O’Keefe, Xu y Clarke (2006) analizaron el evento de lalección llamado “Kikan-Shido”, la acción del profesor en el momento que dejatrabajos individuales o de grupos, y se mueve entre los pupitres. Su análisis sehizo con base en 18 clases situadas en Berlín, Hong Kong, Melbourne, SanDiego, Shangai y Tokio.

Estos autores establecen una categorización interesante de los propósitos yacciones que realiza el profesor en este tipo de actividades, que vale la penaconsignar aquí:

Monitoreo de la actividad de los estudiantes (observación del progreso de lostrabajos y la tarea de casa).

Selección de trabajo: los estudiantes se escogen para compartir su traba-jo, o los métodos o razonamientos con toda la clase.

Progreso del monitoreo: el profesor camina alrededor de la clase obser-vando el progreso de los trabajos . . .

Interrogación de estudiantes: una indagación que busca una respuesta.

Monitoreo de si se finalizó la tarea de casa.

Actividad de orientación de los estudiantes (el profesor ofrece información,provoca respuestas de los estudiantes para promover reflexión, etc.)

Estímulo a los estudiantes: motivación y soporte.

Dar instrucciones y consejos en el pupitre

Orientación a través de preguntas

Redireccionamiento de los estudiantes.

Respondiendo preguntas

Dar consejo en la pizarra

Orientación a toda la clase.

Organizativas: (el profesor distribuye y colecciona materiales, organiza la dis-tribución física del aula,. . .

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94 Ángel Ruiz

El profesor distribuye materiales sobre la el trabajo planteado.

El profesor colecciona materiales de los estudiantes.

El profesor acomoda físicamente el aula.

Conversación social: el profesor conversa con los alumnos sobre temas que noson de la materia . . .

Relacionadas con la escuela o colegio.

No relacionadas con la escuela o colegio.

O’Keefe, Xu y Clarke (2006) concluyen que hay muchas variaciones en lostiempos que los profesores dedican a esta parte de la lección, tanto en lo que serefiere a la comparación entre países (lo que destinan en la primera, segunda,. . . lecciones), o dentro de la secuencia en cada país (destinan menos o mástiempo a lo largo de las 10 lecciones estudiadas). Todo esto en dependencia delas necesidades para el desarrollo de un tópico. Por eso subrayan:

La variación en el uso de Kikan-Shido a través de 10 lecciones impartidas poHK-T3 (el profesor 3 en Hong Kong) . . . confirma que . . . cualquier intentode caracterizar la práctica de un profesor por medio del patrón de una sola lec-ción ignora la selección planeada por el profesor de elementos estructurales deacuerdo a la localización de la lección en la secuencia de un tópico (O’Keefe,Xu y Clarke, 2006, p. 92).

d. Los alumnos al frente de la clase. Jablonka (2006) analizó las formas yfunciones del evento de la lección “Estudiantes en frente de la clase”, en 6clases de Alemania, Hong Kong y los EUA. Sus hallazgos se pueden resumiren la tabla 9.

Las diferencias son relevantes. Las funciones no son las mismas. Y hay asuntosde contexto. Por ejemplo, en las clases de Hong Kong, el uso de la pizarra nose podía caracterizar como un evento “público”, porque era un trabajo que nonecesariamente era para toda la clase (Jablonka, 2006, 118). Algunos detallesobservados:

En los 6 casos aquí estudiados se dieron “presentaciones silenciosas”por parte de los estudiantes.

También, se observó una tendencia de los profesores de “apropiarse” delas soluciones presentadas por los estudiantes.

Solo en el caso de una lección entre 60 hubo un largo periodo de presen-tación por parte de estudiantes ofreciendo una explicación coherente deltrabajo de un grupo y respondiendo a las preguntas de sus compañerosy no las del profesor (Jablonka, 2006, p. 119).

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Tabla 9Estudiantes en frente de la clase, en 6 clases de Alemania, Hong Kong y los EUA

Funciones Formas Clases

Una oportunidadadicional paraobtener uncomentario delprofesor

Los estudiantes escriben soluciones en lapizarra después de la práctica mientrasotros estudiantes continúan trabajando enlas asignaciones individualmente. Espe-cialmente se pide a los estudiantes que tie-nen problemas (solo en HK1).

HK1,HK3

Resolviendo unanueva tarea enpúblico

A los estudiantes se les pide resolver partesde una trabajo no familiar en público.

A3, HK1,EUA2

Haciendo públicoun trabajo

Uno o más estudiantes escriben solucio-nes en la pizarra después de un periodode práctica, después de un calentamientoo de la tarea; el profesor pregunta a losestudiantes o se extiende en las solucio-nes si está incorrectas. Los otros estudian-tes comparan con su propio trabajo. Oca-sionalmente 2 estudiantes colaboran en lapizarra (solo en EUA2).

A1, A3,EUA1,EUA2

Haciendo público yexplicando untrabajo

Los estudios presentan y dan un recuentocoherente del trabajo completo y ocasio-nalmente son interrumpidos por el profe-sor. Los estudiantes explican su trabajo yresponden las preguntas hechas por otrosestudiantes mientras el profesor escucha(Solo en A1).

A1,EUA1,EUA2

División del trabajoentre profesor yestudiantes

Los estudiantes señalan partes de los di-bujos, tablas y gráficas en la pizarra, di-bujan un esquema, completan en una tabla(EUA2) o ayudan al profesor en una de-mostración (A3).

A3, EUA2

Mostrando eltrabajo

Muestran productos del trabajo de grupoen afiches o en pequeñas pizarras bancas;el profesor evalúa e ilumina el proceso.

EUA2

Notas. A: Alemania. EUA: Estados Unidos. HK: Hong Kong.Los números a la par de las iniciales consignan la clase (el profesor) a la que hacenreferencia, pues usaron en LPS 3 profesores, y secuencias de al menos 10 leccionespara cada uno.Tomado de (Jablonka 2006, p. 118).

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Al frente de la clase, los estudiantes no se inician en “hablar matemáti-cas”, es decir no hacen mucha argumentación matemática.

Hay temor en los estudiantes de expresar en frente de la clase sus ar-gumentos o constructos verbales porque se sienten más vulnerables: sepueden equivocar, o el profesor les puede corregir. La atmósfera de laclase es competitiva (Jablonka, 2006, p. 120).

e. El manejo de nuevo contenido. Uno de los asuntos más interesantes delestudio LPS fue acerca de la introducción de nuevo contenido en la lección.

En primer lugar, para Häggsström (2006) la relevancia del tema arranca de loshallazgos ya presentes en la comunidad de educación matemática que sostie-nen que, al estudiar cómo se dan las lecciones en países de gran desempeñoeducativo, las dimensiones que realmente cobran importancia en la práctica deaula no están tan asociadas con el uso de textos, la organización de la clase,o si la instrucción está liderada por el profesor o centrada en el estudiante. Ymás bien: “Para entender las diferencias en el aprendizaje por parte de los estu-diantes, estas variables parecen tener menos importancia que cómo es tratadoel contenido matemático por el profesor y los estudiantes” (Häggsström, 2006,p. 187). Este autor invoca los mismos hallazgos por Stigler y Hiebert (2004):

Un enfoque en la enseñanza debe evitar la tentación de considerar solamentelos aspectos superficiales de la enseñanza: la organización, los instrumentos,el contenido del currículo y los textos. La actividad cultural de la enseñanzalos caminos en los cuales los profesores y estudiantes interactúan sobre unamateria- puede ser más potente que los materiales curriculares que usan losprofesores (p. 15).

Un comentario pertinente que nos añade elementos sobre los estudios de vi-deos analizados aquí: ninguno de estos estudios estuvo interesado particular-mente en qué matemática era enseñada en las lecciones (Häggsström, 2006,187). Este investigador estudió 3 lecciones bajo el LPS, en Hong Kong, Shan-gai y Suecia, y usó la “teoría de la variación” (Marton y Booth, 1997; Runessony Marton, 2002, Marton, Runesson y Tsui, 2004) como sustrato teórico.

En esencia, la “teoría de la variación” considera que hay objetivos de aprendi-zaje en una lección, compuestos de varios elementos o aspectos. El aprendizajede un elemento ocurre cuando se experimenta una variación: ver este elementode una manera nueva. Si un elemento se da por asumido, y no hay variación,entonces las oportunidades para que haya aprendizaje son mucho menores. Dealguna manera, esto querría decir que el arte de la enseñanza persigue crearestas variaciones, y para ello se deben poner en movimiento diferentes estrate-gias pedagógicas.

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La presencia o ausencia de variaciones en el desarrollo de un contenido reve-laría, entonces, las estrategias que se siguen en la lección.

Häggsström (2006) consigna con el uso de una tabla sus hallazgos para 3 lec-ciones de los lugares mencionados en torno a un tema común en las leccionesanalizadas: el sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Tabla 10Patrones de variación

Aspecto del concepto Hong Kong Shangai SueciaUn método para la resolución de problemas X XHay diferentes sistema de ecuaciones XDos ecuaciones X X X

Pueden integrarse en una sola expresión X

Dos incógnitas XNo 3 incógnitas X

Incógnitas de grado 1 X

No son de grado 1: (x+ y)2, xy, 1/y X

Las mismas incógnitas en ambas ecuaciones X XNo tiene que estar presentes en ambasecuaciones X

Se pueden usar diferentes letras XNotas: La X significa aspectos de tema usado elaborados y expuestos a la variaciónen el aula.Un espacio vacío indica que el aspecto en cuestión se asume y se mantiene inva-riante durante su introducción.Häggsström (2006, p. 196)

La tabla muestra que aunque en el caso de la lección en Shangai el sistemade ecuaciones lineales con dos incógnitas no se plantea para la resolución deproblemas, se busca generar más variaciones que en las clases observadas deHong Kong y Suecia. Una de las razones de estas diferencias, profundizandosu estudio, la encontró en el uso fuerte de ejemplos y contraejemplos que creaimportantes contrastes en el curso de la clase provocando variaciones (Häggss-tröm, 2006, p. 197).

Otro de sus hallazgos importantes: el tamaño de la clase no hizo diferenciaen las oportunidades de aprendizaje que estudió. De hecho, la lección en laque más variaciones se provocaron fue en la de Shangai, que tenía el númeromayor de estudiantes en el aula.

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Esto es muy interesante: el tamaño de la clase es una variable que se valora mu-cho en los contextos educativos y es objeto de debate. El tamaño es relevante:con pocos estudiantes, y en dependencia del nivel educativo, se puede facilitarla adopción de más estrategias pedagógicas. Una clase grande ofrece un retomayor al profesor, lo que invoca el uso de estrategias pedagógicas cuidadosasque deben adecuarse a ese entorno.

En este contexto, las características de la enseñanza en China, donde intervie-nen creencias y criterios culturales, juegan un papel crucial en relación con elmanejo de clases grandes. Podemos traer a colación la opinión de An (2004)que identifica como una estrategia central el método instruccional de “Aprendi-zaje preguntando” y “Aprendizaje repasando”. Las conclusiones de An (2004)fueron recolectadas con base en una investigación realizada con 4 grupos dequinto grado de escuela, en la provincia china de Jiangsu. El método, en esen-cia, plantea el diseño por parte del profesor de preguntas y problemas (en dife-rentes niveles de dificultad, por capas) para promover y apoyar el razonamientode los estudiantes. Las respuestas deben ser respondidas algunas oralmente yotras por escrito. Estas preguntas y problemas refieren primero a la materiavista anteriormente, para reforzar los temas previos; y con eso empieza cadalección: una práctica de repaso (en ocasiones en competencia entre estudian-tes). Se da un cierto énfasis en las respuestas orales. Por medio de las preguntasse puede guiar al estudiante en la comprensión de conceptos matemáticos y enla corrección de posibles errores en los razonamientos por parte de los estu-diantes. El diseño de la lección por medio de estas preguntas y problemas enniveles ofrece una orientación para el planeamiento que debe hacer el profesor(An, 2004, pp. 476-479).

¿Cuál es el origen de este método? Remite a la tradición propiamente Con-fuciana planteada en los Nueve capítulos sobre el Arte Matemático (JiuzhangZhuanzu) de la Dinastía Tang (581-618 d. C.): una colección de 246 proble-mas orientados a dar métodos para resolver asuntos de la vida cotidiana eningeniería, topografía impuestos, etc. (y que jugó en esa zona del planeta unrol parecido al de los Elementos de Euclides). Para el Confucianismo: el cono-cimiento implica un proceso de cuestionamiento del conocimiento nuevo a lavez que una retención de conocimiento previo. Incluso la palabra “conocimien-to” en chino se compone de 2 verbos: “aprender” y “preguntar”, y “aprender”a su vez se forma con otras dos: “aprender” y “repasar” (An, 2004, p. 465).La idea confuciana: “al repasar se aprende nuevo conocimiento” [Cai & Lai,1994, citados por An (2004, p. 465)]. Este método que invoca preguntar y re-pasar en la enseñanza aprendizaje se ha usado por siglos en China (An, 2004,p. 466).

Esta estrategia pedagógica puede usarse efectivamente en clases de gran ta-maño.

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5. Patrones nacionales

En la descripción de esos estudios de videos existe un debate explícito: ¿haypatrones nacionales en las lecciones de las matemáticas? Las respuestas hansido distintas: con base en el estudio TIMSS 1995 para los EUA, Alemania yJapón, Stigler y Hiebert (1999) afirman que sí, e incluso señalan las secuen-cias distintas dominantes en cada país, y otros elementos de la lección. TIMSS1999 asume esta óptica y establece un análisis más específico, que incluye máspaíses. LPS adopta una visión distinta, cuestionando esta posición y manifes-tándose, más bien, por otro tipo de estudio que busca colocar la atención de losinvestigadores en las similitudes y diferencias de los “eventos de la lección”entre los países, especialmente de lecciones “bien impartidas” por profesores“competentes”. Las posiciones sobre esto no se reducen a éstas: por ejemplo,Le Tendre, Baker, Akiba, Goeling y Wiseman, citados por Givvin et al (2005),afirman, con base en cuestionarios llenados por los profesores que participa-ron en el TIMSS 1995, que, más bien, a lo largo del mundo lo que existe es unpatrón global en lo que se refiere al trabajo de toda la clase, el individual y elque se da en grupo.

Givving et al (2005), investigadores participantes en el TIMSS-R, con base enlos videos del TIMSS 1999, analizaron tres dimensiones básicas de la lección:el propósito de la lección, la interacción en el aula (discusión del conjunto dela clase o trabajo independiente por parte de los estudiantes) y el contenidode las actividades de las lecciones (cómo se presentan los problemas en elaula, como problemas individuales orientados a una actividad de toda la claseu orientados hacia el trabajo individual de los estudiantes). Para ello realizaronuna codificación en cada una de estas dimensiones:

Esta metodología nos permite examinar los puntos en una leccióndada cuando un elemento particular ha ocurrido y cómo muchaslecciones exhiben ese mismo patrón. Vamos a definir el resultan-te ‘patrón de enseñanza’ como la duración y secuencia de tiposparticulares de actividades y eventos durante las lecciones diarias(Givving et al, 2005, p. 316).

Analizaron entonces puntos temporales (longitudes o cortes de tiempo), y exa-minaron qué pasaba allí.

En su estudio usaron dos criterios para determinar que un elemento de la lec-ción era persistente en las lecciones de un país: “mayoría simple” de 51 % y“super mayoría” de 67 %.

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Tabla 11Propósito, interacción de aula y actividad de contenido

Elementos, Dimensiones y DefinicionesDimensión y elementos estudiados DefiniciónPropósito

Revisión de contenido introdu-cido en una lección previa

Para revisión, reforzamiento, conduc-ción hacia nuevo contenido, chequeartareas para la casa o evaluar estudiantes

Introducción de nuevo conteni-do

Para adquirir conocimiento, conceptos,procedimientos o habilidades.

Práctica o aplicación de conte-nido introducido en esta mismalección

Para practicar, consolidar o aplicar co-nocimiento.

Interacción en el aula

Interacción públicaTiempo durante el cual había un diálogopúblico dirigido por el profesor o uno omás estudiantes.

Interacción privada Tiempo durante el cual los estudiantestrabajaron en sus pupitres.

Actividad de contenidoProblema independiente Tiempo durante el cual un solo proble-

ma fue trabajado.

Problemas concurrentes

Tiempo durante el cual la clase trabajóo discutió problemas que fueron asigna-dos como parte de un conjunto. Esto in-cluyó el tiempo durante el cual el con-junto de problemas fue asignado, traba-jado privadamente, y trabajado pública-mente.

Ausencia de problema Tiempo que incluyó información mate-mática pero no problemas matemáticos.

Nota: Tomado de Givving et al, 2005, p. 321

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Revisaron 638 lecciones sacadas del TIMSS 1999 (entre 50 y 140 de cadapaís). Y estudiaron la convergencia que podía existir en relación con toda lamuestra (global, conjunto de países), y aquella convergencia dentro de cadapaís, todo en relación con las 3 dimensiones escogidas. Su expectativa inicialfue que debían existir mayores niveles de convergencia dentro de cada país,que aquellos a nivel global (Givving et al, 2005, p. 317).

Para la codificación usaron representantes de cada país y un especialista mate-mático en todo el proceso de desarrollo de esta codificación. Además, teníandos grupos de asesores: uno de investigadores de cada país y un comité directi-vo compuesto por 5 investigadores norteamericanos en educación matemática.

La codificación se hizo así: identificaron 11 puntos temporales espaciadosidénticamente: “el comienzo, el cierre y 9 puntos intermedios que se dieronen incrementos del 10 % del tiempo de la lección” (Givving et al, 2005, p.320). Eso hacía 33 puntos temporales (pues eran 3 dimensiones). Y en cadauno de esos puntos, el estudio buscó si los elementos seleccionados (revisión,introducción de nuevo material o práctica) aparecía de manera “mayoritaria” o“super mayoritaria”.

La tabla 11 muestra las definiciones de los elementos dentro de cada una delas dimensiones estudiadas por estos investigadores.

Los hallazgos, según estos investigadores: el análisis reveló que las leccionesdentro de un país son más similares entre ellas que las lecciones de un paíscomparadas con las de otros (Givving et al, 2005, p. 323). Pero se dieron gran-des diferencias en cuanto a los niveles de convergencia que existían dentrode cada país. Si se tomaba solo el estudio de la convergencia de los elementosconsiderados, los investigadores no pudieron concluir la existencia de patronesnacionales en la lección de los países estudiados.

Para tratar de profundizar en sus objetivos, los investigadores crearon entonces“patrones compuestos de la lección” en cada país. ¿Cómo? Graficando de unamanera particular el número de lecciones ya codificadas durante cada uno delos intervalos constituidos por algunos segundos del tiempo de la lección. Aesto le llamaron “marcas de la lección”. Su propósito: “ilustrar la naturalezay el flujo de las lecciones dentro de cada país” (Givving et al, 2005, p. 327).Crearon algo así como un histograma para cada país.

Las conclusiones fueron muy cautas:

Aunque las tres dimensiones exploradas . . . mostraron niveles deconvergencia a favor del argumento para patrones nacionales deenseñanza, las dimensiones desplegaron niveles distintos de apo-yo. La interacción de la clase fue altamente convergente cuando

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se usó la mayoría simple como el criterio pero se mantuvo comola dimensión más convergente cuando se pasó a usar el criteriode la super mayoría. Entonces, la dimensión de la interacción deaula mostró ser el patrón más consistente. En cuanto al propósitoéste mostró el patrón menos consistente. Dentro de cada una delas dimensiones algunos elementos convergieron más que otros.La revisión, la interacción pública y los problemas independien-tes fueron los elementos más consistentes en términos de cuándoocurrieron en las lecciones dentro de un país. Dimensiones y ele-mentos diferentes presentados en este artículo pueden dar distintasimpresiones acerca del grado en que existen patrones de enseñan-za nacionales. Usando dimensiones y elementos no incluidos enestos análisis podrían dar todavía impresiones distintas”. (Givvinget al, 2005, p. 339).

Eso sí: encontraron en Japón una mayor evidencia para un patrón nacional dela lección. Y un cierto nivel mayor de diferencias en Suiza, lo que explican porlas diferencias de lengua y cultura que conviven en ese país.

¿Qué puede potenciar mayores niveles de convergencia en las lecciones de unpaís? Por un lado, los límites organizativos o físicos de la clase (número de es-tudiantes, tiempo de la lección), políticas nacionales en cuanto a la educación(ministerios de educación pública), un currículo nacional que se debe compar-tir. Sin embargo, para Givving et al (2005), en acuerdo con Stigler y Hiebert(1999), lo que más potencia las convergencias dentro de una país en cuanto aun patrón nacional de enseñanza es la “naturaleza cultural de la enseñanza”:

. . . los profesores frecuentemente aprenden a enseñar siendo apren-dices durante al menos 16 años. Muchos estudios han mostradoque los profesores que empiezan reproducen o imitan a los pro-fesores que tuvieron cuando eran estudiantes. No es difícil de verque con el tiempo métodos particulares de enseñanza, incluyendolos detalles de cómo estructurar e implementar una lección, pue-den ser compartidos y copiados (p. 340).

¿Y las variaciones entre países? En la enseñanza en el mundo hay más varia-bilidad que convergencia. Potenciadores de las diferencias son, por una lado,las diferencias individuales (experiencia, calidades, circunstancias), pero, tam-bién, las características dentro de un país que empujan diferencias, por ejemplola frecuencia de evaluaciones dentro de la clase, que predominan en los EUA(Givving et al, 2005, p. 341), y la presencia de varios patrones internos de en-señanza que obedecen a diferencias marcadas entre etnias, culturas y lenguas(como en Suiza).

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Para estos investigadores, se puede afirmar razonablemente la existencia depatrones nacionales de enseñanza, pero la extensión, presencia y naturaleza deestos patrones depende mucho de las características de cada país. Para ellos,no hay respuestas concluyentes sobre esta temática, y mucho depende de laamplitud de los lentes que se usen para examinar la situación. Si éstos son muyamplios se pueden encontrar patrones globales y nacionales, pero si se usanlentes menos amplios emergen diferencias. Se requerirán, entonces, mejoreslentes y más investigaciones que arrojen luz sobre la naturaleza de la lecciónde matemáticas.

La investigación de Givving et al (2005), fue abiertamente cuestionada porClarke, Mesiti, Jablonka y Shimizu (2006) en cuanto a la metodología seguida,en 4 aspectos:

i. El lugar de la lección en el estudio: no se usó como fuente paraexplicar la variabilidad el lugar que juega una lección dentro deuna secuencia de lecciones para el desarrollo de un tópico (tantoen su análisis como en la discusión siguiente);

ii. La lección como unidad de análisis: no se abordó la posibilidadque los patrones de enseñanza se pueden manifestar en el nivel deuna unidad instruccional diferente a la lección.

iii. Independencia de categorías. Las tres dimensiones (Propósito,Interacción en el aula, y Actividad de contenido) no son indepen-dientes (. . . )

iv. Codificación demasiado “inclusiva”. Las tres dimensiones (Pro-pósito, Interacción en el aula, y Actividad de contenido), sobre lascuales su análisis comparativo fue realizado, se definieron de ma-nera extremadamente simple, con lo que aumentaba la posibilidadde convergencias entre los países y menos la variabilidad entre laslecciones (p. 28).

A pesar de su crítica, Clarke, Mesiti, Jablonka y Shimizu (2006) no pretendendebilitar los intentos por estudios comparativos que consignen patrones de en-señanza en las naciones, pero sí que se use una lección aislada como unidadbase de análisis.

Dentro de la misma perspectiva, Lopez-Real, Mok, Leung y Marton (2004),que participaron en la investigación de LPS, igualmente han cuestionado laexistencia de un “patrón nacional”, en un artículo publicado antes de los libros“oficiales” que condensaron los resultados de LPS: Clarke; Emanuelsson; Ja-blonka & Mok, (2006) (Eds.) y Clarke; Keitel & Shimizu (2006) (Eds.). En

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el caso de Japón, ellos subrayan que la lección típica japonesa que los estu-dios TIMSS 1995 y 1999 consignan, no corresponde al estereotipo asiático,no es la típica en esos países y que, más bien, si se parece a alguna es más almodelo “alemán” que describieron en aquella investigación, con conceptos ex-plicados con mucho cuidado pero predominio de una transmisión directa –pocaexploración de estudiantes) (p. 383). Con base en datos tomados de 3 leccio-nes consecutivas de un profesor competente, llegaron a conclusiones sobre lalección en China, que si bien no pueden generalizarse ofrecen importantes in-dicaciones de estilos de enseñanza en esa cultura. Ellos definen, a pesar de sucuestionamiento a la metodología de TIMSS, un “patrón de enseñanza”, y lodefinen como: “los elementos identificables dentro de la práctica en el aula porun profesor, que ocurre repetidamente en un periodo de tiempo, y que juntasconstituyen las características del estilo del profesor” (p. 409).

Para realizar su argumentación, estos últimos investigadores describen 2 mo-delos de enseñanza que -se interpretarían- emergen de TIMSS 1995 (sin queeso signifique que los acepten como precisos o válidos):

Los principales elementos de las lecciones en los EUA parecen serla demostración y la práctica. Es decir, el profesor explica algunasnuevas técnicas o conceptos a la clase y esto es seguido por la de-mostración de varios ejemplos y una práctica por los estudiantesde ejemplos similares. La impresión general es de una matemá-tica procedimental y una enseñanza muy directiva. En contraste,los principales elementos de las lecciones japonesas parecen in-volucrar resolución de problemas y discusión. Es decir, a los es-tudiantes se les presenta un problema desafiante para explorar alprincipio de la lección y después de intentar el problema, indi-vidualmente o en grupos, los intentos de solución son discutidos(p. 404).

Aunque los autores no asumen válidos estos modelos, los usan como un puntode partida para proponer lo que sienten es el modelo de enseñanza en China,a partir del estudio en Shangai. Y concluyen: éste es en esencia una combina-ción, donde los momentos dominantes (que más tiempo consumen) son:

fase directiva inicial (como en los EUA), seguida de

fase exploratoria (como en Japón), y otra de

práctica guiada.

Esta secuencia se puede repetir.

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El debate y las diferentes visiones persisten en el tiempo: recientemente, Sti-gler (2009) sigue apegado a sus “viejas” ideas:

La enseñanza es una actividad cultural. En Japón, los educadorestodos enseñan más o menos de la misma manera. Lo mismo escierto en los EUA. La mayoría de educadores no hacen lo que leenseñaron a hacer en sus programa de formación de profesores,sino que retroceden a rutinas culturales que son aprendidas implí-citamente. La mayor parte de la enseñanza se aprende porque seha experimentado por 13 años antes de decidir ser un educador.En Japón, los educadores le darán a los estudiantes problemas pa-ra resolver que ellos no han visto nunca. Nosotros no hacemos esoen nuestro país. En Japón tienen una gran tolerancia por lo que yodiría es “confusión en el aula.”

Ellos pondrán un problema matemático y nadie sabe qué hacer.Se sientan allí y sudan y parecen confundidos y se jalan el pelo ytratan de descubrir qué hacer. En los EUA si usted le da un pro-blema matemático y alguien parece confundido, el profesor saltainmediatamente para parar la confusión. Las actividades cultura-les son muy difíciles de cambiar. Y una de las razones para eso esque hay una cantidad de fuerzas que trabajan en contra del cambiode normas culturales. Tenemos que reconocer ese hecho mientrastratamos de describir cómo mejorar la enseñanza.

6. La lección en Japón

En el análisis que hemos realizado en las páginas anteriores, emerge con fuerzala presencia de características particulares e incluso, para algunos, únicas, dela lección en Japón (Clarke, Emanuelsson, Jablonka & Mok, 2006; Neubrand,2006; Shimizu, 2006 y 2009). Nos parece apenas pertinente para dar conclu-sión a este trabajo ofrecer algunas breves consideraciones sobre este tema.

Ha sido documentado el éxito educativo japonés en lo que se refiere a las ma-temáticas. Desde el Primer Estudio Internacional de Matemáticas en el año1964, pasando por el Segundo Estudio en los años 1980 y 1982, y los recientesThird International Mathematics and Science Study, TIMSS (“Trends” ahora,los estudios comparativos realizados en 1995, 1999, 2003 . . . ), se ha tomadoconciencia de este hecho. Y, precisamente, uno de los temas clave es el desarro-llo de la lección. En muchos países el estilo de enseñanza de las matemáticasen la clase sigue un patrón muy común, grosso modo: una revisión del materialprevio y de la tarea dejada para resolver en la casa, exposición de un tema por

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parte del profesor, ilustración de un ejemplo por parte del profesor, introduc-ción de ejercicios a resolver, supervisión del trabajo realizado por estudiantesen la clase (trabajos normalmente individuales), revisión de estos problemasplanteados en la clase y, finalmente, asignación de nuevas tareas para realizaren el hogar. Todo con un énfasis en procedimientos de bajo nivel que imitan aaquellos mostrados por el profesor.

¿Cuál es el esquema de la clase japonesa? El estudio de Stigler y Hiebert(1999) consignó un patrón que se puede calificar como una orientación ba-sada en la resolución de problemas. De hecho, ya al margen que se acepte ono que ese es el patrón de la lección japonesa, la opinión de algunos es queel estilo de la lección japonesa integra muchos de los planteamientos en reso-lución de problemas que emergieron en los Estados Unidos en los años 80 y90 del siglo anterior y que -una gran cantidad de investigadores afirma- Japónusaba desde los años 40 del siglo anterior. Una primera visión nos la aportanlas características de ese patrón en cuanto al esquema de desarrollo de la clase,que repetimos:

revisión de la lección anterior,

presentación del problema del día,

trabajo individual o en grupo sobre resolución de problemas,

discusión de los métodos de solución, y

énfasis en los puntos importantes y resumen de la lección.

Stigler y Hiebert (1999) afirman que existe un influjo cultural en la base de estetipo de patrón. Shimizu (1999), reseñado por Hino (2007, p. 508), sostenía queeste “patrón” debe inscribirse en un uso tradicional del marco teórico japonéspara el planeamiento y la implementación de las lecciones.

Los investigadores de LPS señalaron que los elementos a considerar en la lec-ción japonesa deben ser más. Shimizu (2006), como parte del grupo que desa-rrolló LPS, propuso 13 posibles categorías que consignamos en la tabla 12.

No obstante, en otra ocasión el mismo Shimizu (2007, p. 185), vuelve sobrelo mismo: las características únicas de las lecciones de matemáticas japonesasson, resumidamente:

presentación de problemas matemáticos que valen la pena de introduciren el aula (que son relevantes o interesantes matemáticamente),

énfasis en la realización de conexiones matemáticas dentro de la leccióny a lo largo de varias lecciones (coherencia cognoscitiva e interrelacio-nes),

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presentación e intercambio sobre los métodos diversos de solución dadospor los estudiantes (participación activa de los estudiantes),

clarificación de los objetivos de la lección (resumen por parte del profe-sor, cierre intelectual y pedagógico de la lección).

Tabla 12Categorías para el análisis de la lección japonesa

Revisión de la lección previa*Chequeo de la tareaPresentación de un tópicoFormulación del problema del díaPresentación del problema del día*Trabajo en subproblemasTrabajo individual o en grupo de los estudiantes*Presentación por parte de los estudiantesDiscusión de los métodos de solución*PrácticaÉnfasis y resumen del punto principal*Asignación de tarea para la casaAnuncio del siguiente tópicoNotas: * códigos de las actividades del patrón japonés planteadopor Stigler y Hiebert (1999).Fuente: Clarke, Mesiti, Jablonka & Shimizu, 2006, p. 40.

De alguna manera, se puede percibir la dinámica de esta lección, ya sea que seuse una categorización u otra. Shimizu (2009) resume sus conclusiones sobrela lección en Japón:

Los profesores organizan la lección alrededor de soluciones múltiplesde un problema dentro de una modalidad dirigida a toda la clase (p.312): reafirma lo que Stigler y Hiebert (1999) afirmaron: una clase “es-tructurada por la Resolución de problemas”, pero con la invocación desoluciones múltiples por parte de los estudiantes.

En todas las fases de la lección donde se da un involucramiento relevantede los estudiantes (p. 314).

Es posible evocar la metáfora de la lección como una obra de teatro conla necesidad de tener un clímax: KI-SHO-TEN-KETSU, que resume elpunto de inicio KI hasta el resumen de la historia KETSU.

Existe una correlación directa entre los valores, objetivos e intencionesdeseadas por el profesor para el desarrollo de la lección y aquellos por

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parte de los estudiantes: la respuesta directa a las acciones instruccio-nales de los maestros, en armonía, es la forma en que se desarrolla lapráctica construida de manera compartida por profesores y estudiantesen el aula (p. 317).

La valoración del pensamiento de los estudiantes se incorpora, también,directamente en los “Estudios de Lecciones” (lección-estudio), el meca-nismo privilegiado para la formación continua y para el diseño de buenaslecciones en el Japón. En el “Estudio de lecciones”, uno de los rasgoscentrales es la anticipación de la conducta y reacción de los estudiantes,de las formas posibles de su pensamiento, para así diseñar o planificarbien las lecciones: la discusión general de toda la clase depende de lassoluciones aportadas por los estudiantes, y por lo tanto la anticipación delo que pueda aportar el estudiante es central. Esto es: “el aspecto crucialdel planeamiento de la lección en el enfoque japonés para la enseñanzade la matemática a través de la resolución de problemas” (p. 318).

Para algunos autores no se puede comprender bien la naturaleza de la lecciónjaponesa si no se toma en cuenta que se enfatiza en ella la cooperación y no lacompetencia (Kaiser, Hino & Knipping, 2006).

Sin duda, la naturaleza de la lección japonesa solo puede comprenderse enrelación con las estrategias de resolución de problemas, y donde se invocantambién varios factores, que incluyen no solo lo cultural y contextual, sinolos mecanismos de formación continua y investigación acción. Pero hay otrosaspectos.

El lugar central de la resolución de problemas es un asunto que se incorporóen Japón en la década de los 80 en el siglo pasado, precisamente cuando enlos EUA el National Council of Teachers of Mathematics lanzaba su Agen-da for Action, aunque una primera mención se puede consignar desde 1951(Hino, 2007, p. 504). Este influjo se corporalizó en un contexto educativo enque se alejaban de las premisas de la reforma de las “Matemáticas modernas”(como sucedía en muchas partes del mundo), y constituyó el principal meca-nismo para reexaminar la Educación Matemática en el Japón. Si bien se dioun “Back to Basics”, como también sucedió en otras latitudes, Hino (2007)sostiene que quedó como un principio que debían incorporar las matemáticasmás modernas en el currículo para potenciar la creatividad y el pensamientomatemático. Sin embargo, tal vez lo más interesante de mencionar es que losprimeros First and Second International Mathematics Studies revelaron quesi bien los estudiantes japoneses mostraban buenas destrezas de cómputo noera así en cuanto al pensamiento matemático. La resolución de problemas sepercibía también como la orientación para enfrentar esa situación de debilidad(Hino, 2007, p. 504).

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Nagasaki (1990), reseñado por Hino (2007), afirmaba la existencia de 3 en-foques hacia la resolución de problemas: 1) como un objetivo de instrucciónen la educación matemática hacia el desarrollo de la destreza en la resolu-ción de problemas para potenciar el pensamiento, 2) como el proceso mismode instrucción, para la adquisición de destrezas de pensamiento directamenterelacionadas con la matemática, y 3) como el contenido de la instrucción, esdecir los procedimientos, fases, o estrategias metodológicas de la resoluciónde problemas se enseñan como contenido. Para Nagasaki, este último enfoquees el que se apuntala en los años 80. Durante los años 1980-1995, se con-dujeron numerosas y amplias investigaciones científicas sobre resolución deproblemas. De igual manera, muchas investigaciones prácticas, desarrolladaspor los maestros y profesores en servicio (en espacios como los “Estudios dela lección”) se multiplicaron (Hino, 2007, p. 507). Estas últimas orientadas endos direcciones: construcción de materiales de enseñanza para potenciar lasdestrezas estudiantiles, y, por otra parte, hacia la organización de la lección.Debe decirse, sin embargo, que la investigación sobre la organización de laslecciones no empezó en estos años por la resolución de problemas, ya desdelos años 1960 se pueden consignar investigaciones; sin embargo la resoluciónde problemas jugó un papel crucial en la profundización y generalización deeste tipo de investigaciones.

Se dio entonces una imbricación entre investigadores de universidades y deeducadores en servicio en torno al uso de la resolución de problemas, una uni-dad de propósitos colectivos. Casi todas las lecciones que se desarrollan enlos “Estudios de lecciones” se realizan desde entonces siguiendo la resoluciónde problemas (Hino, 2007, p. 509). Los japoneses se “casaron” con la resolu-ción de problemas, la ampliaron y la potenciaron. Se puede decir que la mismaestructura y organización de la lección, aparte de los influjos culturales o lastradiciones de planeamiento e implementación de la lección, se deben asociarcon el uso de esta estrategia y política educativa.

Un caso particular de la enseñanza con la resolución de problemas para lo-grar esos objetivos de apuntalar las destrezas de pensamiento matemático delestudiante, es el “open-ended approach”, un enfoque de final abierto. Segúnconsigna Shimada (1997): durante los años 1971 y 1976 se dieron varios pro-yectos de investigación sobre la efectividad de los problemas de final abiertoen la enseñanza japonesa. Un problema se llama “de final abierto” si es for-mulado de tal manera que tenga múltiples respuestas correctas incompletas;contrapuesto a problemas que poseen una y solo una respuesta predetermina-da. La estrategia “de final abierto” es aquella en la que la lección empieza conun problema de final abierto “. . . luego procede con el uso de muchas respues-tas correctas al problema para generar la experiencia de encontrar algo nuevo

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en el proceso. Esto se puede hacer combinando el conocimiento propio queposee el alumno, destrezas o formas de pensamiento que han sido aprendidaspreviamente” (Shimada, 1997, p. 1). Lo que se busca con este enfoque es pro-mover las destrezas de pensamiento matemático de gran nivel (Hino, 2007,p. 509).

Según Sawada (1997) esta estrategia posee ventajas y desventajas:

Ventajas1. Los estudiantes participan más activamente en la lección y ex-presan sus ideas frecuentemente.

2. Los estudiantes tienen más oportunidades para hacer uso com-prehensivo del conocimiento y destrezas matemáticas.

3. Incluso los estudiantes de bajo rendimiento pueden responderal problema en maneras propias significativas

4. Los estudiantes son motivados intrínsicamente a dar pruebas

5. Los estudiantes tienen experiencias ricas en el placer del descu-brimiento y reciben la aprobación de sus compañeros.

Desventajas1. Es difícil hacer o preparar situaciones matemáticas con signifi-cado.

2. Es difícil para los maestros proponer problemas con éxito. Aveces algunos estudiantes poseen dificultad para entender cómoresponder y dar respuestas que no poseen significado matemático.

3. Algunos estudiantes de gran destreza pueden experimentar an-siedad sobre las respuestas

4. Los estudiantes pueden sentir que su aprendizaje es insatisfac-torio debido a la dificultad de sintetizar con claridad. (pp. 23-24)

Se plantea como una estrategia complementaria de las actividades de enseñan-za de la matemática regulares. Se incluye este tipo de problemas en todos lostextos, aunque no son muchos (Hino, 2007, p. 508). Es evidente que no sepuede usar este tipo de problemas en cada una de las lecciones, pero su inclu-sión como estrategia revela dimensiones interesantes de la comprensión de losprocesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

Se pueden subrayar los éxitos de la Educación Matemática japonesa, pero tam-bién es interesante, a la vez, mencionar las advertencias. Hirabayashi (2006),por ejemplo, es muy agudo:

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El estado actual del rendimiento de los estudiantes japoneses enmatemáticas: podemos decir que lo hacen bastante bien compara-dos con otros países, pero ellos poseen una fuerte aversión hacialas matemáticas. Sí, lo digo en una manera algo cínica: parece queen nuestro país el objetivo de la Educación Matemática es hacer alos alumnos odiar las matemáticas, y en esto podemos haber teni-do bastante éxito.

Pero, ¿cuál de los dos casos se puede considerar mejor: uno “noser tan hábil pero que le gusten mucho de la matemática” y otro“ser hábil pero que no le gusten”? Yo preferiría el primero por-que si les gusta la matemática, incluso si no la pueden hacer bienahora, se puede esperar que la reaprendan de nuevo cuando seanecesario en el futuro, pero en la última opción nunca volverán alas matemáticas a lo largo de sus vidas (p. 51).

La opinión de Hirabayashi se entiende bien, sobre todo cuando varios es-tudios internacionales han demostrado que los estudiantes japoneses valoranmal, ofrecen bajos resultados en creencias y actitudes positivas hacia las ma-temáticas (Hino, 2007, p. 504; Mullis et al, 2004), algo que sin embargo noes ajeno a algunos otros países asiáticos (Leung, 2006, p. 40). No obstante,es interesante señalar que para abordar ese problema los japoneses están rea-lizando cambios educativos desde hace años. Ya en 1998, el nuevo “Curso deestudio” (que es el documento oficial que ofrece las directrices y estándareseducativos centrales del país, y que se revisa cada 10 años más o menos) esta-bleció el “Disfrute de la actividad matemática” como uno de los objetivos dela educación matemática en las escuelas del país. Más aun, se ha empezadoa apuntalar en sus investigaciones la modelización matemática hacia las aulas(Hino, 2007, p. 506), como una línea que permita conectar las matemáticascon el mundo real y promover un sentimiento más positivo y lúdico con estadisciplina.

Esta conducta de respuesta social ante las situaciones de conflicto o los puntosvulnerables, que determinan como colectividad que existen en su país, y eldiseño, política y concentración de esfuerzos múltiples para abordarlas, es sinduda una característica que posee rasgos influenciados por la cultura especificade esa nación.

7. Conclusiones

La investigación sobre las lecciones es un tema central en la Educación Ma-temática internacional. Más aun si se considera que esta nueva disciplina y su

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profesión asociada deben estar fundamentadas en la labor de aula. Es decir:con la presencia de un fuerte componente práctico.

El uso de los videos ofrece una gran variedad de posibilidades para progresaren el estudio de las lecciones, de formas que estudios tradicionales no podríanrealizar. Sus amplias ventajas deben sopesarse con sus limitaciones, y con laparticipación mancomunada de otros instrumentos de investigación. Pero nohay duda que su utilización, y no solo para estudios comparativos de lo quesucede en el aula, sino como recurso metodológico dentro de la misma, estállamada a potenciarse extraordinariamente en la investigación educativa.

La comparación de los 3 principales estudios de videos en la Educación Ma-temática que hemos reseñado ofrecen hallazgos y provocan al mismo tiempodebates intelectuales que son cruciales. Podemos sistematizar algunas de lasdiferencias de LPS 2005 con los estudios TIMSS 1995 y TIMSS-R 1999, parair a conclusiones:

En los estudios TIMSS se estudió lecciones representativas en cada país(aisladas), mientras que en el LPS fueron secuencias de 10 lecciones.

Como la perspectiva era la del “aprendiz”, en LPS usaron 3 cámaras pararecoger entre otras cosas la acción de los estudiantes, tal como las con-versaciones estudiante-estudiante en trabajos colaborativos en la clase.

De igual manera, en el LPS se incluyó entrevistas posteriores a la leccióncon los estudiantes, lo que permitía recoger “múltiples subjetividades”presentes en las interacciones del aula (Clarke, Emanuelsson, Jablonka& Mok, 2006, p. 10).

La escogencia de los maestros fue distinta: en los estudios TIMSS fueun proceso más o menos aleatorio, en el LPS fue una escogencia concriterios específicos (competencia de los profesores).

Mientras que los estudios TIMSS deliberadamente no le dieron relevan-cia a la parte de la evaluación, LPS asumió que ese era un elementoimportante, parte integral de la práctica de clase (Mesiti & Clarke, 2006,p. 54).

Los objetivos y la metodología de, por un lado, los estudios TIMSS 1995 y1999 y, por otro, LPS, fueron distintos. Por lo tanto, es difícil hacer compara-ciones de la mayor validez de uno sobre el otro. Sí se puede analizar el sig-nificado y la pertinencia de los objetivos de cada uno. ¿Cuál es el significadoo utilidad de buscar un patrón nacional en la estructura de la lección? ¿Sonmás útiles y de mayor interés las descripciones precisas de lecciones imparti-das por profesores competentes? No obstante, los datos consignados en LPS

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en torno a la estructura de las lecciones plantean algunas interrogantes. Porejemplo, en relación con la estructura sugerida por Sigler y Hiebert (1999) co-mo representativa o patrón de tres países: ¿por qué tanta diferencia en relacióncon las 10 lecciones que consignó LPS? ¿Fue motivada por las diferencias enmetodología o los profesores “buenos” no se apegan a una estructura o patrónnacional?

Los 3 estudios introducen unidades distintas para establecer las comparacio-nes: en el caso de TIMSS 1995 se trata de algunas acciones por el profesor(Revisión del material de la case pasada, Presentación del problemas del día,etc.), en el TIMSS-R sin romper con el anterior esquema se pone especial cui-dado a las características de las “tareas de aula” (el manejo de los problemas,por ejemplo); en el LPS el énfasis son los “eventos de la lección”. No parecieraque deba haber una actitud de exclusión de una unidad de análisis en beneficiode otra. Pareciera que, independientemente de que la muestra que se use sea“representativa estadísticamente” o no, las categorías planteadas por Stigler yHiebert son útiles para comprender también similitudes y diferencias de es-trategias pedagógicas y de contextos, y posibilidades para incorporar posiblesestrategias por parte del profesor. ¿Cuánto útiles y válidas son para el estudiocomparativo? El estudio LPS pensamos no invalida los estudios TIMSS. Noexiste otro estudio que realmente invalide esos primeros estudios de videos ensu conjunto. Ahora bien, la metodología seguida por LPS es más comprehensi-va que la de los TIMSS. Especialmente en el sentido que incluye más elemen-tos (en particular participantes) a la hora de hacer la descripción de la lección.La participación de los estudiantes y el uso de secuencias de lecciones le da unaposición superior. Sin embargo, la diferencia de partida en la escogencia delsegmento de profesores y lecciones a estudiar, invalida cualquier pretensión dedescalificar los resultados de uno con base en los resultados del otro.

Los estudios TIMSS provocan una gama de resultados muy importantes para laEducación Matemática. La comparación “con el otro”, aunque se tenga dudasen los criterios a seguir, ofrece nuevas perspectivas para el desarrollo de ladisciplina y la práctica profesional.

En todo esto, hay algunos asuntos más generales, que merecen una recapitula-ción ulterior.

No se puede negar el peso fuerte de condicionantes culturales específicas (ade-más de valores familiares, situaciones socioeconómicas del entorno, etc.) enlas características de la organización y desarrollo de la lección en un país:contextos culturales, sociales y pedagógicos diferentes. Por ejemplo, podemosañadir, la conveniencia de la presentación y abordaje de un problema más difí-cil y complejo, de una calidad matemática alta, depende de algunas creencias

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específicas. Si los estudiantes consideran que un problema matemático deberesolverse en cinco o menos minutos o que si le dedican un largo periodo a unproblema infructuosamente y (no encontrar la solución) no aprenden nada, en-tonces en esta situación precisa se puede volver un elemento de desmotivacióny fracaso. Por el contrario, si los estudiantes asumen que todo trabajo dedica-do a un problema matemático, el tiempo que sea, va a redundar en su progresocognoscitivo y pedagógico, la introducción de problemas complejos y de altacalidad matemática será abordada de una manera diferente. Igual sucede si losestudiantes piensan que hay que dedicar todo el tiempo que sea necesario aun problema y no sólo 5 minutos para resolverlo. Estas diferencias, como loseñalamos antes, se han estudiado comparativamente. Es un mérito de la inves-tigación TIMSS 1995 y 1999 subrayar estos contextos culturales en la lecciónde matemáticas, y con medios de gran utilidad como los videos.

Muchos estudios internacionales confirman la existencia de “tradiciones dis-tintas” en la Educación Matemática entre Occidente y Asia del Este, lo queincluso se refleja en las pruebas comparativas internacionales (Wu, 2006). Lasmatemáticas significan cosas distintas en culturas diferentes. Aunque se debetener cuidado en no estereotipar modelos de enseñanza, ni hacer extrapola-ciones. La investigación Learners Perspective Study revela que no es tan fácilencontrar una lección típica nacional, y que más bien pueden coexistir varias.Más que concentrarse en la búsqueda de un modelo nacional, es muy razona-ble, observar prácticas que parecen ser exitosas, o, mejor dicho, que puedencondensar algunos de los hallazgos internacionales sobre el aprendizaje y laenseñanza. Puesto en otros términos: más que pensar en un modelo japonés oalemán, habría que analizar en todas las experiencias documentadas prácticasapropiadas, mecanismos que puedan ser útiles en algunos países o en otros.

Los estudios comparativos internacionales, que no solo utilizan pruebas es-tandarizadas para mediciones frías y generales, se revelan como instrumentosmuy importantes para comprender muchos de los aspectos de la EducaciónMatemática.

Podemos, para finalizar, invocar algunas de las dimensiones que mencionamosal describir el estudio de videos TIMSS 1995 (ya sea que caractericen o no untipo de lección en un país), para expresar nuestras opiniones.

Es conveniente incluir como un objetivo en la lección la coherencia e integra-ción cognoscitivas, y establecer una relación explícita sobre los temas desa-rrollados ya sea en la misma lección o en otras lecciones. Si se provoca unadispersión en los temas de una lección el resultado es una menor comprensión.Es esencial que se haga explícito el razonamiento matemático que se desarro-lla, el pensamiento y la estructura intelectual involucradas. Dejar explícito el

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sentido de las lecciones (los tópicos analizados) señala la participación-influjodel educador, que es el actor que posee un conocimiento más amplio del tema yes capaz de hacer síntesis y trazar las perspectivas de la materia que se enseña.El cierre y la guía de la lección son de las principales acciones que debe asu-mir el educador en una orientación que favorece la construcción cognoscitivadel aprendizaje. Si bien resulta apropiado que el estudiante lo obtenga comoun proceso propio de abstracción, el cierre intelectual y formativo es tarea delprofesor. Este cierre intelectual y pedagógico que expresa explícitamente elsignificado de los conceptos vistos en la lección, es, aunque solo parcialmen-te, a lo que apela la “teoría de las situaciones didácticas” en la llamada fasede “institucionalización”, como bien señala Shimizu (2009). Ahora bien, es-to no necesariamente tiene que darse en cada una de las clases consideradasde manera aislada; puede resultar conveniente en otro momento, consideradoadecuado por el profesor, dentro de una secuencia de lecciones.

¿Por qué es clave el enfoque hacia temas matemáticos importantes? Si el ob-jetivo se reduce a mostrar la solución de un problema particular o un procedi-miento solamente, no se provoca una formación matemática mejor. Las mate-máticas son ciencias de lo abstracto y trabajan los aspectos más generales delo que existe. Se debe encontrar en los elementos específicos la estructura deconocimiento y la abstracción de la disciplina; es decir, establecer un puenteentre lo particular y lo abstracto, no quedarse en lo particular. Se trata de en-fatizar los conceptos de alta calidad y pertinencia matemática que puedan darsentido al tópico tanto para el estudiante como dentro de los objetivos de desa-rrollo de competencias y aprendizajes generales en la disciplina. Ahora bien,debe existir un equilibrio estratégico con el “andamiaje”: se requiere de anda-mios pedagógicos y pasos cognoscitivos y de aprendizaje, con “variación”, ocomo se quiera conceptuar, que pavimenten el camino hacia la abstracción.

El debate sobre qué es lo decisivo si lo procedimental o lo conceptual ya hasido superado, pero de una manera precisa: el aprendizaje conceptual arrastratras de sí el procedimental. Pero lo procedimental se puede interpretar, comoen China, con otra mentalidad. La presentación de procedimientos con “varia-ción”, o el entorno pedagógico provocado por el profesor con “interrogacionesy respuestas”, permite dar salidas de comprensión de conceptos y métodos (ba-jo la premisa de que no existe una separación drástica entre lo procedimental ylo conceptual). Se debe tener un equilibrio de actividades rutinarias, de aplica-ción y novedosas, pero es decisivo salirse de los esquemas que solo favorecenlo rutinario. Todo apunta a dar un espacio amplio a actividades de pensamientono rutinarias que sirvan para la generación de actividades de pensamiento máselevadas en busca de potenciar estas habilidades en los estudiantes, darle unlugar a la complejidad, puesto que el enfrentar situaciones complejas permite

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la búsqueda de diferentes opciones: se invoca epistemología aquí, el alumnoconstruye sus representaciones conceptuales por medio de un proceso comple-jo que parte de un conflicto “cognoscitivo” entre las concepciones que poseeoriginalmente el alumno y el que va a resultar de la experiencia de aula (Ruiz,Alfaro y Gamboa, 2006).

Stigler (2009) tiene razón al invocar dos hallazgos importantes para el aprendi-zaje en la lección de matemática, que han sido consignados, por ejemplo, porHiebert y Grows (2007): es clave que en el aula se establezcan relaciones ma-temáticas entre conceptos, procedimientos e ideas, y, por el otro lado, también,que los estudiantes se enfrenten durante un cierto tiempo con matemáticas im-portantes.

En nuestra opinión, el enunciar simplemente los temas y no desarrollarlos,es inapropiado; se arriesga con desperdiciar el tiempo en listados o referenciasque no pueden ser aprehendidas por los estudiantes (a no ser por memorizaciónmecánica). Muchas veces esto es producto de la ausencia de suficiente tiempopara hacerlo en el aula, pero también de concepciones equivocadas. Aunque,también, invoca el problema del privilegio de la amplitud sobre la profundidad,que es lo que suele predominar en la enseñanza aprendizaje de muchos países,y que constituye un gigantesco error.

Sin lugar a la duda, en la lección se debe favorecer la participación de los estu-diantes con métodos de solución alternativos, múltiples estrategias, falibilidady diversidad. Es una visión sobre la construcción cognoscitiva y el aprendizaje.

Puesto todo lo anterior de manera “inversa”, se trata de:

no dejar de realizar las conclusiones y las interrelaciones cognoscitivasde los temas enseñados,no concentrarse en practicas rutinarias, repetitivas ni privilegiar concep-tos de baja calidad matemática,no caer en el hábito de solo enunciar o listar sin desarrollar en profundi-dad los conceptos y temas, yno debilitar la participación activa y cooperativa de los estudiantes enparticular potenciando soluciones únicas.

La Educación Matemática se orienta a detectar las mejores prácticas en la en-señanza aprendizaje de las matemáticas en el mundo, no con el propósito deprescribir líneas sino de proporcionar un arsenal de recursos para el educadoren cualquier parte del mundo. No obstante, es una dirección relevante la bús-queda de algunos patrones y un marco teórico integrador de prácticas efectivas.Hay una perspectiva hacia la integración de manera teórica de resultados en:aprendizaje, enseñanza, recursos educativos, dimensiones socioculturales.

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Las pruebas y estudios comparativos internacionales que podemos llamar “ho-lísticos”, por otra parte, revelan esas dos dimensiones: prácticas “exitosas” quepodrían adecuarse lúcidamente en otros contextos, y la diversidad y especifi-cidad de escenarios. Se cometería un error si solo se buscase empujar a lamedición de resultados cognitivos abstractos y fríos, y se subestimase el es-tudio cuidadoso de los contextos socioculturales y políticos que afectan losmedios y los mecanismos en que se desarrolla la enseñanza y aprendizaje delas matemáticas, de las estrategias y lecciones en particular. Es aquí donde ad-quieren un lugar relevante estudios sociales, etnomatemáticos, antropológicos,y algunos más recientes en torno al papel de la política y el tema de la demo-cratización de la enseñanza aprendizaje de las matemáticas. En esta situaciónjuegan, también, un papel relevante los estudios de lenguaje, tanto como la es-tructura de comunicación de significados de manera general y el significadode la diversidad lingüística; es una temática que se ha ido consolidando en losúltimos 15 años. La práctica educativa como fenómeno asociado a la comu-nicación se invoca fuertemente aquí. Todo esto expresa el influjo de lo que esotra tendencia consolidada en la Educación Matemática: la sociología y antro-pología matemáticas. Una ampliación de este tipo de estudios se prevé en lossiguientes años.

Como siempre, en torno a investigaciones internacionales es relevante conocersus resultados, que se multiplican cada día y buscar y usar, con mentalidad crí-tica, ideas y derroteros lúcidos que podrían nutrir el progreso de la enseñanzaaprendizaje de las matemáticas en cada país y región.

La comunidad de la Educación Matemática se orienta a potenciar una ampliagama de estudios comparativos internacionales, como éstos que hemos con-siderado aquí. El TIMSS 1995 fue el primero, con sus debilidades o puntosfuertes, constituyó una importante contribución para ofrecer una mejor com-prensión de los secretos y misterios de la enseñanza de las matemáticas enel aula. El uso de videos es un recurso que, aunque todavía tiene un caminomuy largo que recorrer, está llamado a impactar de una manera profunda lametodología de investigación en la educación matemática.

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Euler y el entrañable encanto del quehacermatemático1

Carlos Sánchez FernándezUniversidad de La [email protected]

Aquellos que aseguran que las ciencias matemáticasno tienen nada de lo bello están en un error.

Las formas que mejor expresan la belleza son el orden,la simetría, la precisión.

Y las ciencias matemáticas son las quese ocupan de ellas especialmente.

Aristóteles. Metafísica. Libro XII. Cap. III.

Resumen2

Se presenta una aproximación al problema de la inteligibilidad matemá-tica en un marco teórico que privilegia la sinergia entre lo histórico, lológico y lo didáctico. Para ello, se describe detalladamente el problemade Basilea, como un caso de los más simples y atractivos en los comien-zos del cálculo infinitesimal y que pretende conmemorar el tricentenariodel nacimiento de Euler y al mismo tiempo mostrar cómo el conoci-miento de la historia del pensamiento matemático se puede aprovecharpara favorecer la inteligibilidad matemática y desentrañar algunos de losencantos que posee la Matemática. Se utilizan fuentes originales comoEuler (2000) con la Introducción al Análisis de los Infinitos reciente-mente editada en castellano y otras referencias actualizadas como Dun-ham (2000), Dunham (2007), Sánchez & Valdés (2004) que el intere-sado puede utilizar como complementación. En definitiva la pretensióndel autor es transmitir el auténtico y entrañable encanto del quehacermatemático.

Palabras clave

Historia de la Matemática, Euler, inteligibilidad matemática.

1 Trabajo presentado en la XII Conferencia Interamericana de Educación Matemática, cele-brada en Querétaro, México, en julio de 2007.

2 El resumen, las palabras clave, el abstract y las key words fueron agregados por los edito-res.


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124 Carlos Sánchez Fernández

Abstract

We present an approach to the problem of mathematical intelligibilityin a theoretical framework that privileges the synergy between the his-toric, logical and didactic. The problem of Basel is described in detail,as a case of the simplest and most attractive in the beginning of cal-culus and aims to commemorate the third centenary of Euler’s birth.Also, we intend to show how the knowledge of the history of mathe-matical thought can be leveraged to promote mathematical intelligibil-ity and unravel some of the charm that Math has. Original sources areused as Euler (2000) with the Introducción al Análisis de los Infinitosrecently published in Spanish and other updated references: Dunham(2000), Dunham (2007), Sanchez & Valdés (2004), that can be used ascomplementary documents. In short, the author’s claim is to convey theauthentic and intimate charm of mathematical endeavor.

Key words

History of Mathematics, Euler, Mathematical intelligibility.

1. Introducción

En una de las conferencias plenarias del ICME 8 realizado en Sevilla, su pre-sidente el profesor Guzmán (1996), declaraba:

Euler es el gran maestro de todos los matemáticos posteriores através de su obra. Y no solamente por el contenido, sino tambiénpor razón de la forma y modos de transmitir. La obra de Euler esen general, una muestra en ejemplos de lo que un buen enseñantede matemáticas debe hacer...

Ahora que en todo el mundo se recuerda el tricentenario del nacimiento deLeonard Euler es oportuno buscar algunos de estos ejemplos y aprender deellos para mejorar nuestra actividad educativa. El estilo de pensamiento deEuler y su afán como activista del quehacer matemático nos parece muy con-veniente para enfrentar los retos de la Educación Matemática actual.

De entre todos los retos actuales quisiera compartir algunas ideas para enfren-tar los siguientes:

Crear una asociación mental favorable hacia las matemáticas.

Enseñar a apreciar la belleza y el encanto del quehacer matemático.

Para alcanzar estos objetivos contextualizo a continuación la obra de Euler.

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Euler y el entrañable encanto del quehacer matemático 125

2. La obra de Euler

Euler nació en la ciudad de Basilea, famosa por haber recibido en su universi-dad y conservar los restos en su catedral de uno de los más grandes humanistasdel renacimiento, Erasmo de Rotterdam (1469-1536). Quizás fueron las ideasprogresistas de Erasmo en su obra Sobre el método del estudio (1511) contrael escolasticismo racionalista y con su insistencia en despertar ante todo el in-terés de los alumnos por el saber y la reflexión, las que impregnaron las obrasde Euler de un estilo tan sugestivo y claro. Pero sin dudas quién influyó másen su inclinación por las matemáticas fue Johann Bernoulli quién, junto a sushijos y sobrinos, marcó la vida científica de Euler no solo en su periodo deformación en Basilea, sino también más tarde durante sus largas estancias enlas Academias de Ciencias de San Petersburgo y Berlín.

Johann Bernoulli, conocido como un arrogante pendenciero, pero también co-mo el mejor enterado de los avances matemáticos de la época, pronto recono-ció el talento de Euler, lo guió por los vericuetos de las Ciencias matemáticas,mantuvo con él una amplia correspondencia y siempre lo consideró su alumnomás brillante. Para dar muestra de ello, refiramos tres calificativos que apare-cen en tres cartas dirigidas a Euler en tres momentos diferentes de su vida:

1728: “sabio y talentoso joven”

1737: “célebre y agudo matemático”

1745: “Incomparable Leonhard Euler-líder de los matemáticos”

Realmente, en 1745 no existía mortal que pudiera compararse a Euler comomatemático. Como se sabe, su vida estuvo consagrada a las Ciencias Matemá-ticas, entendiéndose con esto no sólo análisis, álgebra, geometría y teoría denúmeros, las clásicas ramas de la llamada matemática pura, que constituyen58 % de su obra, sino también mecánica y física que representa 28 %, astro-nomía 11 %, arquitectura y artillería 2 % y hasta música y filosofía con 1 %.Y este 1 % es significativo, porque a lo largo de su extensa vida Euler produjomás de 800 publicaciones. Sus obras completas Opera Omnia ya ocupan másde 80 volúmenes y aún no se han concluido. Sin lugar a dudas es el matemáticomás prolífico de la historia. Pero, con ser importante la cantidad de trabajos,el aprecio se debe más a la originalidad, belleza y agudeza de su obra que a suvolumen.

A finales de 1988 en la revista internacional Mathematical Intelligencer apare-ció una convocatoria para elegir las 10 fórmulas más bellas de las matemáticasde todos los tiempos. Dos años después en la revista aparecieron los resultados

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(Wells, 1990). No sorprendió a muchos que en la relación aparecieran cuatrofórmulas de Euler entre los cinco primeros lugares:

1. La relación exponencial: eπi + 1 = 0, donde aparecen las 5 constantesmatemáticas más populares 0, 1, π, e, i, que sirvió para comprendercómo definir los logaritmos de los números negativos.

2. La fórmula de los poliedros convexos: L+ V −A = 2, que enlaza lostres elementos principales del poliedro, sus caras (L), sus vértices (V ) ysus aristas (A).

3. La densidad de los números primos:�

p1p = ∞, que sirvió no sólo

para dar una demostración nueva y directa de la infinidad de los núme-ros primos, sino que fue la primera tentativa de relacionar la aritmética,estudio de las cantidades discretas, con el Análisis, estudio de las canti-dades continuas. Después de este trabajo de Euler la distribución de losnúmeros primos fue objeto de numerosas especulaciones antes de queotras hipótesis más precisas fueran formuladas.

4. El problema de Basilea: 1 +1

4+

1

9+

1

16+ · · · = π2

6.

Detengámonos brevemente en la historia de este famoso problema para tratarde mostrar el encanto del quehacer matemático.

El interés de asignar un valor a las sumas infinitas nació en la edad antigua,ligado a especulaciones filosóficas y al cálculo de magnitudes geométricas yfísicas. Estudiar si las sumas convergen hacia un número o si existe un valorplausible asignable a la suma de infinitos sumandos, ha sido uno de los retos decualquier matemático que se precie. Y encontrar el valor preciso hacia el queconverge una suma infinita de cierta dificultad siempre ha aportado prestigio yreconocimiento a su descubridor.

En el siglo XVII ya se conocía que la serie armónica,

∞�

n=1

1

n= 1 +

1

2+

1

3+

1

4+

1

5+

1

6+ . . .

formada por los inversos de los números naturales no es convergente; sus su-mas parciales crecen indefinidamente sin estar acotadas por ningún valor finito.

También se conocía la suma de algunas series con términos simples, pero cuyassumas parciales crecían con un aparente capricho. Por ejemplo, en 1672 elprestigioso físico y matemático Chistian Huygens le planteó al joven abogadoy diplomático Gottfried Wilhelm Leibniz este reto:

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Calcular la suma de la serie de los inversos de los números triangulares

S = 1 +1

3+

1

6+

1

10+

1

15+

1

21+ . . .

La respuesta de Leibniz, tras unos pocos días, fue original y reflejó una menteingeniosa:

S = 2

�1

2+

1

6+

1

12+

1

20+

1

30+

1

42+ . . .

�

Escribió esas fracciones sumando de esta otra forma:

1

2= 1− 1

2;

1

6=

1

2− 1

3;

1

12=

1

3− 1

4;

1

20=

1

4− 1

5; . . .

Sustituyendo en la serie obtuvo:

S = 2

��1− 1

2

�+

�1

2− 1

3

�+

�1

3− 1

4

�+

�1

4− 1

5

�+ . . .

�

O lo que es lo mismo:

S = 2

�1− 1

2+

1

2− 1

3+

1

3− 1

4− . . .

�= 2 · 1 = 2.

Si la suma de los inversos de los números triangulares constituyó un problemafácil para Leibniz, no ocurrió lo mismo con la suma de los inversos de losnúmeros cuadrados:

∞�

n=1

1

n2= 1 +

1

4+

1

9+

1

16+

1

25+

1

36+ . . .

El problema le fue planteado a Leibniz por Oldenburg, secretario de la RoyalSociety en 1673 y Leibniz se esforzó por hallar la suma exacta, pero no loconsiguió.

Leibniz comunicó a sus corresponsales Jacob y Johann Bernoulli el problema,y les dijo que en apariencia debía tener una solución tan simple como la delos números triangulares inversos. Y así lo pensaron Jacob y Johann Bernoulli,pero pronto se dieron cuenta de que algo no marchaba bien.

No fue difícil demostrar por comparación que su suma estaba acotada supe-riormente por la suma de la serie de los inversos de los números triangulares,es decir por 2:

1

4<

1

3,

1

9<

1

6,

1

16<

1

10, . . . ,

1

n2<

1

n�n+12

� , . . . para n > 1.

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Pero el resultado preciso de la suma se les negaba, hasta tal punto que lanzanpúblicamente este grito de socorro: “Grande será nuestra gratitud si alguienencuentra y nos comunica lo que hasta ahora ha escapado a nuestros esfuer-zos”.

Desde entonces al problema se le conoce como Problema de Basilea.

3. Euler y la solución del problema de Basilea

En 1729 Euler recibió una carta de su amigo Christian Goldbach donde le se-ñala un método de aproximación que lo lleva a estimar el valor entre 1, 64y 1, 66. Goldbach reta a Euler para que lo mejore. En el momento de reci-bir este desafío, Euler, que contaba solo 22 años de edad, se encontraba enla Academia de San Petersburgo enfrascado en varios problemas concretos decosmografía y de mecánica. Sin embargo, no se olvidó del reto y dos años mástarde, hizo pública una asombrosa aproximación de seis cifras decimales exac-tas: 1, 643934, transformando habilidosamente la serie en otra de convergenciamucho más rápida:

∞�

k=1

1

k2=

∞�

k=1

1

k22k−1+ (ln 2)

2.

Varios años más tarde, un día que leía con interés una de las obras de Newton,la genialidad de Euler se desbordó al encontrar la idea de que el desarrolloen serie de la función seno estaba relacionado con la solución exacta del pro-blema. Lo ingenioso será utilizar el desarrollo del seno no solo como sumassino también como producto de infinitos factores. Newton, precisamente enesta obra, utilizaba con mucha eficacia la relación entre los coeficientes de laspotencias y las raíces de los polinomios. Esto mismo intentó Euler con la seriede los inversos de los cuadrados.

Basándose en el desarrollo en series de potencias del seno:

sinx = x− x3

3!+

x5

5!− x7

7!+ . . .

Euler introduce la función:

P (x) =sinx

x= 1− x2

3!+

x4

5!− x6

7!+ . . .

Utilizando el hecho de que los ceros de la función P (x) se producen paralos valores en que el numerador se anula (con excepción de x = 0, donde

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P (0) = 1, es decir, para todo

x = n · π, donde n = ±1, ±2, ±3, . . .

Entonces factoriza como si P (x) fuese un polinomio

P (x) =�1− x

π

��1− x

−π

��1− x

2π

��1− x

−2π

�. . .

=

�1− x2

π2

��1− x2

4π2

��1− x2

9π2

��1− x2

16π2

�. . .

Compara los términos de segundo grado en ambas expresiones:

− 1

3!= − 1

π2

�1 +

1

4+

1

9+

1

16+ . . .

�

Y despeja:

∞�

n=1

1

n2= 1 +

1

4+

1

9+

1

16+ · · ·+ 1

n2+ · · · = π2

3!=

π2

6.

He encontrado ahora y contra todo pronóstico una expresión ele-gante para la suma de la serie que depende de la cuadratura delcírculo...

He encontrado que seis veces la suma de esta serie es igual alcuadrado de la longitud de la circunferencia cuyo diámetro es 1.

Así le comunicaba Euler su extraordinario hallazgo a Daniel Bernoulli, el hijode Johann, en una carta fechada en 1735 y lamentablemente perdida.

Pero Euler no se detiene aquí. Entre 1740 y 1744, utilizando las mismas he-rramientas va a encontrar la suma de las series de los inversos de las potenciaspares de los números naturales hasta el orden 26:

∞�

n=1

1

n26=

1315862

11094481976030578125π26

Ahora que su heurística (¡sin computadora electrónica!) lo ha llevado a tamañahazaña está listo para incluir todos estos resultados en una obra más didáctica.Así, Euler (2000), en el capítulo X del tomo primero de la Introducción alanálisis de los infinitos publicado en 1748, en la proposición 168, escribe unade las más llamativas páginas de la historia de las matemáticas:

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Se hace patente así que de todas las series infinitas contenidas enla forma general

1 +1

2n+

1

3n+

1

4n+ . . .

que, cada vez que n fuere número par, se podrían expresar me-diante la periferia del círculo π; en efecto, la suma de la seriemantendrá siempre una proporción racional con π.

Pero el espíritu inquieto y perspicaz de Euler no podía sentirse satisfecho coneste resultado. Además, faltaban las sumas en el caso de n impar. En 1750publica otro artículo donde señala los valores aproximados de las series armó-nicas de orden impar n = 2k+1, para k = 1, 2, . . . , 7. Y en su famoso Tratadode Cálculo Diferencial de 1755, al fin consigue exponer una elegante fórmulaque relaciona el valor de las series armónicas de orden par con los númerosracionales de Bernoulli Bn:

∞�

n=1

1

2k= (−1)

k−1 2k−1

(2k)!B2kπ

2k

y entusiasmado lanza la conjetura sobre el caso impar:

¿∞�

n=1

1

2k + 1=

p

qπ2k+1

?

Los esfuerzos de Euler para probar la validez de esta conjetura fueron vanos.Pero puede servirle de consuelo que aún hoy, 255 años después, no se ha con-seguido ni validar ni refutar su conjetura.

Lo más que se ha conseguido en la conjetura de las sumas de Euler ζ(2k+1) hasido probar la irracionalidad de algunos de los valores. En efecto, en fecha tancercana a nosotros como 1976, el francés Roger Apéry probó la irracionalidadpara n = 3. En el año 2000 se consiguió demostrar que existen infinitos valoresde n impar para los que la suma es irracional. El último resultado hasta ahoraconocido es de 2002, cuando el ruso Vladimir Zudilin, un joven investigador dela Universidad Lomonosov de Moscú, probó que al menos uno de los primerosvalores para n = 5, 7, 9, 11 es también irracional.

Pero, ¿cuáles son de la forma pqπ

2k+1? Hasta el momento (noviembre de 2008)no sabemos nada mejor. La conjetura de Euler sigue siendo todo un misterio.

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4. ¿Qué nos enseña Euler y la historia del problema de Basilea?

Ante todo que el cacareado rigor lógico depende del tiempo, de la madurez delas ideas en el enfrentamiento de los problemas. Por otra parte, y no menos im-portante, que la belleza del quehacer matemático no está en lo que apreciamossuperficialmente, que uno de sus valores inestimables reside precisamente enla búsqueda perseverante del orden, la simetría y la precisión en las profundi-dades del pensamiento. Solo después de realizar ese maravilloso viaje a las en-trañas históricas y epistemológicas del pensamiento matemático y comprendersu mecanismo de desarrollo, cómo se hace y para qué nos sirve la matemática,entonces y solo entonces, nos convertimos en sus admiradores incondicionalesy estamos en condiciones de convencer a otros de sus encantos intelectuales.

Estoy seguro que a muchos nos ha pasado que en los primeros encuentroscon la música llamada “culta” la hemos sentido fría, austera, enigmática. Subelleza la hemos ido percibiendo poco a poco, pero cuando aprendemos a apre-ciarla nos seduce para siempre. En la pintura, la literatura, el cine y en todaslas expresiones artísticas podemos encontrar ejemplos semejantes. Cuando lo-gramos despertar nuestros sentimientos estéticos hacia la obra, entonces nosdeja una huella imperecedera. Y ¿por qué no puede ser igual o parecido en lamatemática?

Y ¿quién debe guiar al joven ávido de saber por el camino hacia la residenciade las bondades de la matemática?, ¿quién debe sensibilizar a los aprendicespara que aprecien la verdadera belleza de las fórmulas y teoremas matemáti-cos? Por supuesto que los profesores de matemáticas. Y ¿cualquier profesores capaz de lograr esto? Nos parece evidente que para ser un tal profesor senecesita una formación y un íntimo deseo de trasmitir la auténtica belleza dela Matemática.

Uno de los primeros maestros criollos de Cuba expresó con firmeza que “ins-truir puede cualquiera, educar solo quién sea un evangelio vivo”. En muchostrabajos de Educación matemática de las últimas dos décadas encontramosconcordancia con estas palabras del presbítero José Agustín Caballero (1762-1835). Citemos un artículo de Alsina (2001), que nos atrajo significativamentedesde su título: Why the professor must be a stimulating teacher. En este sinté-tico artículo se critican varios mitos y prácticas que existen en la enseñanza delas matemáticas y lo recomendamos al interesado. En particular, se desmitificala tradición del self-made-teacher que se ha extendido sobre todo en el niveluniversitario. No basta ser un buen investigador, para ser un buen profesor. Noes suficiente tener talento para el pensamiento lógico, para ser un comunicadoreficaz.

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Como dijera un matemático del siglo XX investigador y educador de muchasgeneraciones de científicos de primer nivel y que no escatimó tiempo, ni es-fuerzo para divulgar las bellezas de la matemática, Andrei Nikolayevich Kol-mogórov (1903-1987):

De los profesores de matemática tanto en la escuela media comoen la superior, se debe exigir no sólo un conocimiento profundode su ciencia. Enseñar bien las matemáticas puede sólo aquel quela ame con pasión y la comprenda como una ciencia viva, en de-sarrollo.

Para aprender la matemática como una ciencia viva hay que tomar en cuentael recurso de la historia. No han sido pocos los pensadores que han señalado laimportancia de la dialéctica entre lo lógico y lo histórico para lograr la mayoreficacia didáctica. Recordemos al menos, el influyente libro de Lakatos (1982)donde como apéndice, en la edición española, aparece una atractiva discusiónsobre el enfoque deductivista y el enfoque heurístico del que reproducimos unfragmento a continuación:

El estilo deductivista esconde la lucha y oculta la aventura. To-da la historia se desvanece, las sucesivas formulaciones tentativasdel teorema a lo largo del procedimiento probatorio se condenanal olvido, mientras que el resultado final se exalta al estado deinfalibilidad sagrada.

Nuestra propuesta parte del principio elemental de que una nueva cuestión deestudio debe presentarse formalmente al educando solo cuando éste se encuen-tre suficientemente motivado. Y para aproximarnos a este nivel de motivaciónconsideramos que la historia de la matemática debe ser nuestra guía principal.(Sánchez & Valdés, 1999).

El nuevo paradigma de la enseñanza de la matemática tiene que considerar to-da la experiencia anterior y discriminar aquello que no aporta, lo que escondela esencia, lo que impide ver la belleza del quehacer matemático y dejar lorelevante, lo pertinente, lo que trasciende no sólo del punto de vista lógico opráctico, sino también del punto de vista estético. Entonces, y solo entonces,el profesor podrá convencer a sus alumnos para que se dediquen a la búsque-da de aquello que el sabio Aristóteles calificaba como las supremas formas debelleza: el orden, la simetría y la precisión. Tenemos que partir de la premisaque nadie esta obligado a seguir el complicado sendero de las matemáticas, nitampoco de usarla en la solución de sus problemas. Nosotros con pasión de-bemos mostrar a todos, expertos y aprendices, matemáticos y no matemáticos,

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las bondades de las ciencias matemáticas y su lugar en la sociedad del cono-cimiento que se construye hoy. En definitiva, nuestro reto principal es logrartrasmitir el auténtico y entrañable encanto del quehacer matemático.

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Las artes y la arquitectura como herramientas en ladidáctica de la matemática1

Mauricio José Orellana ChacínProfesor Titular (J)Facultad de IngenieríaUniversidad Central de [email protected]

Resumen2

En este artículo se presentan la didáctica de la matemática, las artes yla arquitectura como herramientas útiles en la divulgación y aprendizajede la matemática. Se han abortado tres componentes fundamentales: laprimera, presenta las diversas actividades que desempeñan los matemá-ticos y los docentes de matemática en cuanto a la parte conceptual, loaplicado y lo pedagógico; la segunda, está enfocada hacia la matemáticaaplicada y vinculaciones de la matemática con otras áreas y, por último,la belleza de las obras de arte desde el punto de vista matemático. Paraesto, se expone una gran variedad de ejemplos que vinculan la matemá-tica y el arte.

Palabras clave

Matemática, arte, arquitectura, geometría, didáctica de la matemática.

Abstract

In this paper, the teaching of mathematics, the arts and architecture arepresented as tools for outreach and learning of Mathematics. Three keycomponents are addressed: First, the various activities performed by themathematicians and mathematics teachers are presented in terms of theconceptual, the applied and the pedagogical. Second, it focuses on ap-plied Mathematics and Mathematics connections with other areas and,finally, the beauty of works of art from the point of view of Mathemat-ics. For this, we present a variety of examples that relate to Mathematicsand Art.

Key words

Mathematics, Art, Architecture, Geometry, Mathematics Education.

1 Este artículo se basa en la conferencia paralela que el autor presentó en la XII CIAEM(Conferencia Interamericana de Educación Matemática) realizada del 15 al 18 de julio de 2007en Querétaro, México.

2 El resumen, las palabras clave, el abstract y las key words fueron agregados por los editores.Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2011. Año 6. Número 8. pp 135-157.Costa Rica

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136 Mauricio José Orellana Chacín

1. Planteamiento

En la enseñanza-aprendizaje (EA) de la matemática es usual, y bastante co-nocida, la utilización de la física, especialmente la mecánica, la ingeniería, laeconomía, y otras disciplinas. Dicha situación no está vigente en el caso dela arquitectura y mucho menos en las artes, donde hay un largo camino porrecorrer. En este sentido, el autor ha dictado conferencias en instituciones deeducación superior y de formación docente desde hace varios años, y algunaspara docentes de la educación básica y diversificada (primaria y secundaria),mostrando la faceta de vinculaciones matemática-artes-arquitectura, ha escritotrabajos al respecto y concebido cursos para docentes de la educación secun-daria y superior.

La importancia de relacionar matemática, artes y arquitectura, se debe a que lovisual, la belleza de la visualización, permite mostrar conceptos abstractos porintermedio de entidades físicas (Bruter, 2002). Asimismo con la música cuan-do al escuchar una melodía, asistir a un concierto, u otro espectáculo musical,expresamos con palabras la satisfacción que experimentamos mediante “estoes bello”, “que hermoso fue”, u otras frases análogas. Se trata en este caso deuna “belleza auditiva”.

Además de la didáctica de la matemática, las artes (y la arquitectura) constitu-yen una herramienta útil en la divulgación de la matemática.3

Notemos que en los Congresos Internacionales de Educación Matemática(ICME por sus siglas en inglés) hay un grupo temático sobre arte y matemática,iniciado en el ICME 7 en Québec (1992).

2. Marco teórico

Esto se apoya en tres mapas:

1) El mundo matemático.

En el mapa dado en la figura 1 se presentan las diversas actividades que desem-peñan los matemáticos y los docentes de matemática en cuanto a la parte con-ceptual, lo aplicado y lo pedagógico. El grosor de las flechas indica la inten-sidad con que se desarrolla la enseñanza de la matemática según a quien sedirija.

3 Como es mencionado en varios artículos del libro de la “ICMI Study Series”, The Popula-rization of Mathematics, por Jean-Pierre Kahane & Geoffrey Howson (1990), University Press,Cambridge.

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Las artes y la arquitectura como herramientas en la didáctica de la matemática 137

EL MUNDO MATEMATICO(Anexo 1)

Extension y

divulgacion

CREACION MATEMATICA

Cita de M. Gromov (1998)

Industria,

produccion, banca,

finanzas, segurosolimpiadas matema-ticas, conferenciasy textos para todopublico, pelıculas,obras de teatro,novelas, ...

DEFINICIONES (CONCEP-

TOS), AXIOMAS, TEORE-

MAS, DEMOSTRACIONES

(PRUEBAS), CONJETURAS

aplicaciones, mode-los matematicos, ma-tematica industrial

Pregrado nomatematicos

Pregradoeducacionmatematica

Pregradomatematicos

Posgradomatematicos

Posgradoeducacionmatematica

Posgrado nomatematicos

Ejercicios evaluacion,trabajo de grado,pasantıas, seminarios, ...

Investigacion,tesis

(MUNDO ESCOLAR) (MUNDO PROFESIONAL)MJOCH/mjoch/agosto2003

Cita de D.Munford (1997)

Figura 1: Actividades de los matemáticos y docentes de matemática

En relación con el sector de aplicaciones y vinculaciones con no matemáticostraemos a colación la siguiente cita de Gromov (1998) adecuada para el pro-pósito de este trabajo que si bien se refiere a ciencia e ingeniería, podemosadaptarla para artes y arquitectura-ingeniería:

... Nosotros, los matemáticos, muchas veces tenemos poca ideasobre lo que está pasando en ciencia e ingeniería y, por otra parte,los científicos experimentales y los ingenieros muchas veces noperciben las oportunidades ofrecidas por el progreso de la mate-mática pura. Este desequilibrio peligroso debe ser restaurado tra-yendo más ciencia para la educación de los matemáticos y expo-niendo a los futuros científicos e ingenieros la matemática central.Esto requiere nuevos currículos y un gran esfuerzo de parte delos matemáticos para llevar las técnicas e ideas matemáticas fun-damentales (principalmente aquellas desarrolladas en las últimasdécadas) a una audiencia mayor. Necesitamos para eso la crea-ción de una nueva generación de matemáticos profesionales capa-ces de transitar entre la matemática pura y la ciencia aplicada. Lafertilización cruzada de ideas es crucial para la salud tanto de lasciencias como de la matemática. (Gromov, 1998, pp. 846-847).

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Figura 2: Vinculaciones de la matemática con otras áreas

2) Las cuatro vertientes o corrientes del desarrollo de la matemática y la edu-cación matemática a partir de la década de los setenta (y algunas en la décadade los sesenta).

De estas vertientes interesa, para los fines de este artículo, la referida a la mate-mática aplicada y vinculaciones de la matemática con otras áreas. En el caso delas artes no es adecuado decir “aplicación” de la matemática pues la misma noes utilizada para establecer leyes, demostrar propiedades, enunciar principios,como se hace en las ciencias y la ingeniería.

Ya el gran artista suizo Max Bill4 (1908-1994, arquitecto, pintor, escultor ydiseñador) escribió en 1949:

¿Hace falta decir que yo creo que un enfoque matemático del arteno se identifica en absoluto a ningún ingenioso sistema de cálculoque se base en fórmulas ya hechas? No obstante en lo que con-cierne a la composición, se puede afirmar que todas las escuelasartísticas, hasta la fecha han tenido fundamentos más o menos ma-temáticos.(Emmer, 2005, p. 73)

4 Max Bill fue uno de los primeros artistas en utilizar la banda de Möbius en escultura enuna obra titulada “Banda sin fin” (1935), en granito de 4,5 m de altura.

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3) Once componentes de la belleza desde el punto de vista matemático5.

La indicada como “Diseño con computadora” está presente en las otras perose ha separado con el fin de destacarla.

En las conferencias, señaladas en la primera sección “planteamiento”, se pre-senta una galería de obras de arte y arquitectura (diapositivas) en las que sehace referencia y análisis de las componentes matemáticas intervinientes endichas obras. Además, en aquellas dedicadas a los institutos de formación do-cente se dan ejemplos de tipo didáctico, algunos de éstos los presentamos enla próxima sección de metodología.

Figura 3: Matemática, arte, arquitectura

5 Al finalizar los tres ejemplos que desarrollaremos en la próxima sección se citarán, a títulode información, una variedad de vinculaciones de la matemática con las artes, la arquitecturay la vida cotidiana, dando los nombres de algunos de los artistas, arquitectos, diseñadores,ingenieros y matemáticos que los han hecho posibles.

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3. Metodología

1) Recopilación y análisis de trabajos vinculados con el tema en consideración.

2) Diseño de cursos sobre el tema.

3) Dictado de minicursos y conferencias acerca de las vinculaciones matemática-artes-arquitectura, desde hace más de diez años. En éstas se presenta, como seindicó anteriormente, una galería de obras de arte y arquitectura y el análisisde las mismas en cuanto a las componentes matemáticas del tercer mapa. Elautor tiene recopilado unas 700 diapositivas en cuestión.

4) Algunos trabajos escritos (Orellana, 2002) y su contribución en (FundaciónEmpresas Polar y Últimas Noticias, 2006), además de los dos tomos previos(2004) auspiciados por la Fundación Empresas Polar y publicados en el diarioÚltimas Noticias (Carrera de Orellana, Chovet, Orellana y Valdivieso, 2007).

3.1. Ejemplos de tipo didáctico

1. Compensaciones o correcciones visuales

Frecuentemente es necesario escribir en columnas, torres o pare-des; acerca de esto, el que quiera escribir algo en lo alto de maneraque las letras cercanas a la parte más alta se vean tan grandes co-mo las cercanas a la parte más baja, éste debe hacer las más altasmás grandes que las inferiores... (Durero, 1987, p. 158)

Lo escribió Durero6 en el siglo XVI. Los problemas de geometría y visiónvienen desde la Óptica de Euclides, puesto que un objeto que se aleja de no-sotros aparece progresivamente de tamaño más pequeño y, al contrario, si seacerca se ve más grande. Este efecto visual debe ser tomado en cuenta cuandose construyen estructuras muy elevadas desde el piso, como estatuas, tambiéncon pinturas en techos muy altos, pues en tal caso nuestro ángulo visual es algogrande. Así, es necesario grabar motivos más grandes en lo alto de una colum-na monumental que en su base, si se quiere que los primeros sean percibidosdel “mismo tamaño”, es decir bajo el mismo ángulo desde el punto de vista deun observador.

La famosa Columna de Trajano en Roma (aproximadamente 40 m de alturaincluyendo el pedestal), conmemorando las victorias del emperador Trajano(53-117) sobre los dacios (pueblo de Rumania), con un relieve esculpido enforma helicoidal (23 vueltas a la columna). Como se lee desde abajo, para

6 A. Durero (artista y geómetra, Alemania, 1471-1528) escribió obras dirigidas a los pinto-res, canteros y arquitectos, entre otros.

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lograr el efecto de perspectiva se hace necesario escribir las letras superioresligeramente más grandes que las inferiores.

Figura 4: Columna de Trajano en Roma. Hélice circulardextrógira. Fotografía M. Orellana, agosto de 2008

¿Cuánto más grandes?

Para encontrar la respuesta observemos las siguientes figuras de Durero (1987),que sugieren la construcción matemática a realizar.

Figura 5: Figuras de Durero

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En las mismas se observa que ángulos iguales proyectados sobre una recta sub-tienden segmentos verticales desiguales. Análogamente, segmentos verticalesiguales proyectados sobre un arco subtienden ángulos desiguales.

La parte matemática entra ahora en juego mediante la función tangente expli-cada con el siguiente gráfico:

Figura 6: Funcióntangente

Consideremos OA = 1. Luego, los segmentos ver-ticales miden AA1 = tanα, AA2 = tan 2α,. . . , AAN = tan(nα), si hay n ángulos α (n =

14 en el dibujo). Supongamos, para aclarar quen = 5◦, entonces (redondeando a 5 decimales):AA1 = tan 5◦ = 0, 08749 < AA2 = tan 10◦ =

0, 17633 < . . . < AAN = tan 70◦ = 2, 74748, locual es consecuencia de que la tangente es crecien-te en [0◦, 90◦), no uniformemente (no es una fun-ción lineal). De forma general se tiene que AA2 =

tan 2α �= 2 tanα = 2AA1 y 0, 08884 = A1A2 =

AA2 − AA1 > AA1. Análogamente para los otrossegmentos. Por lo tanto, este tipo de construcción,justificada en trigonometría, compensa la percep-ción visual para objetos elevados.

Se puede demostrar de manera general que resulta una sucesión creciente desegmentos.7

A medida que crece el ángulo visual la tangente crece y los segmentos vertica-les se hacen bastante grandes. El gran genio del Renacimiento italiano, MiguelÁngel (1475-1564), utilizó una construcción análoga a la de Durero (1987) pa-ra la decoración de la Capilla Sixtina en el Vaticano, como puede observarseen El Juicio Final en donde, al mirar una fotografía, las figuras superiores seven más grandes pero al nivel de un observador colocado en el piso lucen de“un mismo tamaño”.

Un problema del mismo género fue planteado también el año que nació Du-rero, 1471, por Johannes Müller (llamado Regiomontano; Alemania, 1436-1476): “A qué punto sobre el piso debe levantarse perpendicularmente unavara para que aparezca lo más grande”.

Es posible que el mismo tenga su origen como un problema de arquitectura, depintura o de escultura a los fines de encontrar la posición más favorable paramirar desde el piso una ventana, un cuadro o una estatua.

7 Apéndice I

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Figura 7: El Juicio Final, de Miguel Ángel

O

A

B

Px

a

b

OA

B

P

α

βθ

Figura 8: Esquema del problema

Sean OA = a, OB = b, OP = x, y los ángulos allí marcados. Se debe encon-trar θ máximo (ángulo visual) que relacionamos con la distancia x mediante lafunción tangente o la función cotangente. Actualmente es un problema sencillode extremos de una función:

y = tan θ = tan(β − α) =tanβ − tanα

1 + tanβ tanα=

b/x− a/x

1 + (ba)/x2=

(b− a)x

x2 + ab.

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Derivando en relación a x e igualando a cero se obtiene x =√ab, esto es la

media geométrica de las alturas de los bordes inferior y superior de la vara(ventana o cuadro). Fácilmente se construye x con la circunferencia que pasapor A y B y es tangente al piso OP , lo cual se deduce con la potencia delpunto O respecto de dicha circunferencia (OP 2 = OA ·OB).8

Este ejemplo, derivado de la perspectiva y la arquitectura, pone en juego di-versos contenidos matemáticos: función tangente o función cotangente de án-gulos, derivadas, ángulos en una circunferencia, potencia de un punto respectode una circunferencia, medias aritmética y geométrica, desigualdades.

2. Cálculo sobre pirámides

El gran historiador griego Herodoto (ca.485–425a.C.) visitó el valle de Giza enel s. V a.C., tomó algunas medidas sobre la Gran Pirámide (Khufu, en griegoKeops), una de las Siete Maravillas del mundo antiguo, e interrogó a algunosde sus moradores, entre ellos al Sumo Sacerdote, en relación a cómo y porqué se determinaron las medidas de la Gran Pirámide. La respuesta fue: “LaPirámide fue construida tal que el área de cada cara lateral sería igual al áreade un cuadrado cuyo lado es igual a la altura de la Pirámide”.

Sabemos que tal pirámide es de base cuadrangular.

Figura 9: Pirámides en el valle de Giza

La imagen (figura 9) muestra las tres pirámides: Micerinus, Kefren y Keops enel valle de Giza. Esta última data de 2480 a.C.±5.

En Egipto se construyeron unas cincuenta pirámides. Una de ellas es la deMaydun, la pirámide desplomada que es escalonada, cuyo triángulo meridiano

8 Apéndice II

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obtenido al extrapolar los lados es un triángulo de oro 72◦ − 36◦ − 72◦. Encambio, en la de Keops el triángulo meridiano VEF es 52◦ − 76◦ − 52◦.

¿Cuáles relaciones cuantitativas podemos deducir a partir de este dato y de larespuesta del Sumo Sacerdote?

O

A B

V

E

F

a

h

a

H

Figura 10: Esquema de la pirámide

Sean AB = 2a el lado del cuadrado base, h la altura de la pirámide y H laaltura de una cualquiera de sus caras triangulares, como la indicada medianteV AB.

Según lo expresado por el Sumo Sacerdote se tiene h2 = aH .

Como H2 = h2+a2 = aH+a2, se deduce que (H/a)2 = H/a+1, ecuacióncuya raíz positiva es el número de oro

φ =1 +

√5

2≈ 1, 618.

Luego, H/a = φ.

De otra parte, de h2 = aH se deduce H2/h2 = H/a = φ, de donde h/a =

H/h =√φ.

Estas relaciones se comprueban mediante mediciones que hizo Herodoto: elperímetro de la base L = 8a = 2000 codos. Como 1 codo = 46 cm, entoncesL = 920 m y el lado 2a = 230 m. De otra parte, originalmente la altura medíah = 146, 4 m, por lo tanto, comprobamos que: h/a = 146, 4/115 ≈ 1, 273 ≈√φ (= 1, 272 . . . , error porcentual 0, 079%). Como H =

√h2 + a2 ≈ 186, 166,

se tiene H/a ≈ 1, 619 ≈ φ (error porcentual 0, 062%). Además ∠OEV =

arctanh/a ≈ 51, 849◦ ≈ 52◦ el ángulo de inclinación de la pirámide en laparte más baja (en el medio el ángulo cambia a 43, 5◦).

Para la arista mayor de la pirámide, V B, se tiene: V B =√H2 + a2 =

a�(H/a)2 + 1 = a

�φ2 + 1 y de aquí se deduce que V B/a =

�φ2 + 1 =√

φ+ 2 ≈ 1, 902 (pues φ2 = φ+ 1); además V B ≈ 218, 821 m.

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Otra relación interesante fue encontrada por Kepler: Si ∆ denota 4 veces elárea de una cara lateral (4 · aH = 4 · h2 ≈ 85732 m2) y S el área de labase cuadrada (2302m2 = 52 900m2), resulta que (∆ + S)/∆ = ∆/S puesφ = 1/φ+ 1.

De otra parte, haciendo “la cuadratura” del círculo “físicamente” mediante unacuerda y con un equipo de trabajadores tirando de la misma, de tal forma quela longitud de la circunferencia y el perímetro de la base cuadrada sean iguales(2πR = 8a) y construyendo la pirámide de tal manera que su altura sea el radioR, resulta h = R = 8a/2π = 4a/π, entonces tan(∠OEV ) = h/a = 4/π, dedonde ∠OEV = arctan 4/π ≈ 51, 855◦ ≈ 52◦ (con π = 3, 1416). Ademásh = 4a/π ≈ 146, 42 y L/h = 920/146, 42 ≈ 6, 283 ≈ 2π.

¿Cuál fue el factor en el diseño de la Gran Pirámide, φ o π?

Además, no olvidemos que en el s. VI a.C. Thales determinó la altura de unapirámide utilizando la sombra de un bastón y la semejanza de triángulos rec-tángulos. Este ejemplo, con la obra excelsa de la arquitectura egipcia, pone enjuego diversos contenidos matemáticos relacionados con φ, π, área de triángu-los, teorema de Pitágoras, teorema de Thales (semejanza de triángulos), errorporcentual, aunado a la riqueza de la parte histórica. En Ghyka (1998) hay unestudio bastante completo de la pirámide de Keops.

3. Espirales

El gran genio del Renacimiento, Leonardo da Vinci 9 (1452-1519) se apoyabafrecuentemente en la naturaleza para el diseño de sus obras:

Así, se tiene el yelmo de Escipión el Africano y el estudio de Leda basado enla amonita, mostrando el cabello arreglado como una espiral logarítmica, loque utilizó en “Leda y el cisne” (1519).

9 Leonardo encarna el ideal del Renacimiento en cuanto a la unidad de la ciencia, la tec-nología y las artes. Dos de sus citas famosas relacionadas con matemática son: a) “No me leaquien no sea matemático”; b) “Ninguna investigación puede ser ciencia a menos que ella sigasu camino a través de la exposición matemática y la demostración”.

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Figura 11: Fuente: Theodore A. Cook “The Curves of the Life” (1914).

Figura 12: Estudio de Leda y Leda y el Cisne de Leonardo Da Vinci

Mostramos otra vinculación con el mito de Leda, en el s. XX:

Figura 13: Leda AtómicaSalvador Dalí

Salvador Dalí (España, 1904-1989; uno de los máximosexponentes del surrealismo)también pintó a Leda, en “Ledaatómica” (1949). Este cuadrolo comenzó a trabajar en 1945,posterior a la explosión de labomba atómica en Hiroshima, y loconcluyó en 1949.Aquí un organizador es el penta-grama vinculado con la proporcióndivina φ.

Dalí realizó varios estudios y en la armonía con el pentagrama intervino elmatemático húngaro Matila Ghyka de quien Dalí era amigo10.

El mito de Leda es el siguiente: Leda (hija del rey de Etolia, Testio, y de Eurí-temis) se casó con Tindáreo. Zeus, padre de los dioses del Olimpo, se enamoró

10Dalí, así como Leonardo, intentó fusionar arte y ciencia. Tuvo contacto y vínculos de amis-tad con renombrados científicos, algunos de ellos matemáticos, como M. Ghyka, René Tom yThomas Banchoff y los premios Nobel Severiano Ochoa, Denis Gabor, James Watson e IlyaPrigogine. Dalí expresó: “Los pensadores y literatos no me aportan absolutamente nada. Loscientíficos, todo, incluso la inmortalidad del alma”.

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de Leda y como ésta no lo aceptaba, se convirtió en cisne. Se dice que la mismanoche que Tindáreo se unió con Leda también lo hizo Zeus, en forma de cisne,y de esta unión resultaron dos huevos de los que nacieron gemelos: Cástor yPólux (conocidos como los Dioscuros) y Helena y Clitemestra, uno de cadapareja era mortal y el otro inmortal. Helena es la famosa de la Ilíada, esposa deMenelao, raptada por Paris y llevada a Troya, lo que provocó la guerra entrelos griegos y los troyanos. Cástor y Pólux, héroes mitológicos de Esparta, estánidentificados como las dos estrellas más brillantes de la constelación Géminis(tercer signo del zodíaco).

En relación con Leda atómica de Dalí, se señala que Dalí se identificó conPólux y su hermano fallecido, Salvador, podría representar al hermano gemelomortal, Cástor y, de la otra pareja, su hermana Ana María sería la mortal Cli-temestra y Gala, su esposa y musa quien le sirvió de modelo, la divina Helena.

Las dos espirales más usuales son la espiral de Arquímedes o uniforme y laespiral logarítmica o equiangular. En la de Arquímedes las vueltas tienen elmismo ancho, están en progresión aritmética, y en la logarítmica el ancho delas vueltas crece en progresión geométrica, como mostramos a continuación:

Las vueltas tienenel mismo ancho(progresiónaritmética).

Espiral de Arquímedes:ρ = aθ, a > 0.

P0(ρ0, θ0), . . . , Pn(ρn, θn)con θn = θ0 + nα, ρn = aθn,n ≥ 0

ρn − ρn−1 = aα

El ancho de lasvueltas crece enprogresióngeométrica.

Espiral Logarítmica:ρ = aebθ, a, b > 0.ln ρ = bθ, a = 1.

ρn = aebθn

ρn/ρn−1 = ebα

Caso θ0 = 0, α = 2π, θn = 2πn

Coloquemos dos ejemplos más recientes: un relieve (1982, Ex Nihilo, La Crea-ción) de Frederick Hart (Estados Unidos, 1943-1999) y un vitral de RodneyWinfeld (1974, El vitral del espacio, conmemorando el lanzamiento del ApoloXI en 1969 por la NASA), ambos en la Catedral Nacional de Washington D.C.

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Figura 14: La Creación de Hart (Foto de M. Orellana, 2006) y vitral de Winfeld.

La espiral logarítmica pasa por cinco codos en el relieve (ordena la escultura)(Atalay, 2006). En la Creación (Ex Nihilo, sacar de la nada), figurativamente:fuera del caos que precede a la Creación. Se refiere a la creación de los huma-nos mostrando la vida emergiendo de la nada: “Una representación del génerohumano emanando del torrente arrollador del caos”. F. Hart expresó: “Yo veoEx Nihilo (de la nada), el arco del portal central, como una simple expresiónde la Creación, como la metamorfosis del espíritu y la energía divina. Las figu-ras emanan del vacío del caos, capturadas en el momento de la transformacióneterna -la majestad y misterio de la fuerza divina en un estado apropiado”.

En cuanto al “Vitral del Espacio” (Space Window), tiene incrustado en el polode la espiral un pedazo de roca lunar de 3,5 millardos de años de antigüedad. Escomo un ocho con una doble connotación: la trayectoria del vehículo espacialy el símbolo de infinito, (Atalay, 2006).

En la naturaleza, en el arte y en la arquitectura son frecuentes las hélices ylas espirales, especialmente la espiral logarítmica. Las hélices y las espiralesfiguran en muchas conchas de moluscos, en cuernos de animales, en el ordenjónico, en la cultura Celta, en la doble escalera circulatoria en el Museo delVaticano diseñada por Leonardo da Vinci, en cabezas de violines, en el diseñodel museo Guggenheim en Nueva York de Frank Lloyd Wright (la rampa enespiral inspirada en la cámara del Nautilus), escalera en espiral del Arco deTriunfo en París. Además, el vuelo de los halcones para atacar a su presa serealiza según esa espiral (espiral equiangular).

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¿Qué razón matemática hay para ese uso intensivo de la espiral logarítmi-ca, además de suministrar belleza y organización en arte y arquitectura?

Jacobo Bernoulli (Suiza, 1654-1705) le dedicó un tratado y la denominó SpiraMirabilis (espiral maravillosa). Es una espiral equiangular (la única curva quetiene esta propiedad), es invariante por muchas transformaciones: por inver-sión, es su propia evoluta11, es su propia curva podaria o pedal, es su propiacáustica, una homotecia lo que hace es rotarla.

Figura 15: Tumba de Jacobo Bernoulli

Por lo mismo, en la tumba de Bernoulli, en Basilea, está grabado “Eademmutata resurgo” (Aunque me cambien, volveré a aparecer de la misma forma.También se dice: Mudada, resurge por el mismo camino).

Finalizamos con una obra de M. Escher (Holanda, 1898-1972): Superficieesférica con peces (1958, grabado sobre madera con dos planchas, diáme-tro 32 cm).

11 La cicloide tiene la misma propiedad con la diferencia que la evoluta de una cicloide esotra cicloide idéntica pero cambiada de lugar respecto de ella.

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Figura 16: Superficie esférica con peces, Escher.

Las loxodromas de la esfera o curvas de igual rumbo son las que cortan a losmeridianos bajo ángulo constante. En el mapa de Mercator (1569) los parale-los, los meridianos y las loxodromas se representan como rectas. En cambio,en la proyección estereográfica desde el polo Norte, los paralelos se proyectanen circunferencias concéntricas en el polo Sur (S), los meridianos en rectas quepasan por S y las loxodromas en espirales logarítmicas de polo en S.

Notamos que en ese grabado de Escher (figura 16) los peces son de mayor ta-maño cuando están cerca del ecuador y son más pequeños cerca de los polos.Son dos filas alternas de peces blancos y negros que nadan en espiral (loxodro-mas) partiendo del polo visible. Aquí se tiene una “representación del infinito”con dos centros: el inicio y el fin entre los cuales se desplazan los peces.

Observemos que en estos tres ejemplos, lo primero que se presenta es un con-texto histórico o artístico o arquitectónico y, a posteriori, lo correspondiente amatemática. No siempre es posible hacer esto pero luce lo más conveniente.

Existe gran “variedad de ejemplos” vinculando matemática-artes-arquitectura,y la vida cotidiana, útiles como herramienta en la didáctica de la matemáti-ca. Se derivan del tercer mapa e indicaremos a continuación algunos de ellos,colocando entre paréntesis los nombres de artistas, arquitectos, diseñadores,ingenieros y matemáticos, relacionados con los mismos, así como títulos dealgunas obras. Entre otros:

1. Curvas: cónicas, catenarias, espirales, hélices, loxodromas, hipocicloi-des, curvas de anchura constante especialmente el triángulo de Reuleaux(Leonardo da Vinci, J. Bernoulli, Diego Velázquez, Jesús Soto, Patri-cia van Dalen, Eero Saarinen, V. Tatlin, A. Gaudí, M. Escher, Frederick

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Hart, Rodney Winfeld, Frank Lloyd Wright, Edward Edwards, Zvi Hec-ker, Doerthe Gatermann, Helaman Ferguson, M. Emmer).

2. Superficies, topología, nudos y anillos de Borromeo: banda de Möbius,botella de Klein, esfera cornuda de Alexander, helicoides rectos, toros,paraboloides, hiperboloide de una hoja, paraboloide hiperbólico, ademásde lo clásico con cilindros, conos y esferas (Leonardo da Vinci, MaxBill, M. Escher, Paul Ryan y John Lee, Jose de Rivera, Charles Perry, M.Escher, Bob Maiden, Charles Ray McBride, Ben van Berkel y CarolineBoos, Max Reinhardt, Nicky Stephens, Elisabeth Zimmermann, KeishoUshio, V. Shújov, A. Pevsner, O. Niemeyer, Alfredo Jahn, Jan Berkam,F. Candela, E. Torroja, Guy Obata, Pier L. Nervi, Miguel Fisac, AngelDuarte, Paul Bloch, Norman Foster, Helaman Ferguson, John Robinson,Nathaniel Friedman).

3. La cuarta dimensión. Poliedros en tres y cuatro dimensiones. Diagramasde Schlegel. (Kepler, Leonardo da Vinci, Luca Pacioli, E. Abbott, M.Duchamp, Max Weber, M. Escher, George Hart, Araka Isozaki, SanfordPonder, Salvador Dalí, Buckminster Fuller, Jimmy Alcock, La Defense,José Yturralde, Attillio Pierelli, Jorge Castillo, Thomas Banchoff).

4. Superficies mínimas (Plateau, J. L. Lagrange, K. Weierstrass, Otto Frei,Paul Bloch, Celso Costa, Enneper, H. F. Scherk, H. Ferguson, R. Long-hurst, Brent Collins, D. Schwalbe, John Bruning, Andy Cantrell, StanWagon, M. Emmer).

5. Isometrías y grupos. Mosaicos, teselaciones periódicas y no periódicas,polígonos nazaríes (La Alhambra, John Robinson, M. Escher, R. Penro-se, Eleni Mylonas, Tony Robbin, Lisbeth Clemens, Arlene Stamp, TejaKrašek).

6. Geometría hiperbólica (Coxeter, M. Escher, D. Dunham, H. Ferguson).

7. Fractales (arquitectura de la India, B. Mandelbrot, Fractal de Sierpinskien el Anoka High School y la NCTM, Jackson Pollock, Arlene Stamp,Pedro Morales, Anrika Rupp, Damián Jones, Agustín Mancilla, RonEglash).

8. Perspectiva y geometría proyectiva (Murales y esculturas egipcias, Lavesica, arte bizantino, miniaturas en la Edad Media, A. Lorenzetti, Du-cio, Giotto, Brunelleschi-Masaccio-Donatello, Leon Battista Alberti, Pe-rugino, Rafael Sanzio, Piero della Francesca, Leonardo da Vinci, D. Ve-lázquez, Dick Termes; G. Désargues, B. Pascal, G. Monge, V. Poncelet).

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4. Resultados

La motivación y el interés despertado que han generado las distintas opinionesde los asistentes a las conferencias, evidenciadas en encuestas realizadas alfinalizar las mismas (130 encuestas). Varios docentes han manifestado interésen incorporar estos temas a sus cursos.

5. Conclusiones

Este es un campo que se encuentra en etapa incipiente, donde hay un largocamino por recorrer. Aquí caben dos preguntas claves:

1) ¿De qué manera las artes y la arquitectura ayudan en la enseñanza-apren-dizaje de la matemática?

2) ¿Qué forma apropiada podemos utilizar para incluir las artes y la arquitec-tura en la dimensión pedagógica de la matemática?

Matemática-artes-arquitectura, es propicio para que docentes de la última eta-pa de la educación secundaria, de los institutos de formación docente y lasuniversidades, lo introduzcan en sus planes de estudio y realicen experienciasen tal sentido. Al respecto consultar Denner (2002) y Bruter (2002).

Concluimos con otra cita de Max Bill ante la pregunta: ¿Cómo puede la mate-mática ser útil a un artista?

Bill responde:

La matemática no es sólo uno de los medios esenciales del pen-samiento primario y, por tanto, uno de los recursos necesarios pa-ra el conocimiento de la realidad circundante, sino también, ensus elementos fundamentales, una ciencia de las proporciones delcomportamiento objeto a objeto, de grupo a grupo, de movimientoa movimiento. Y ya que esta ciencia tiene en si elementos funda-mentales y los pone en relación significativa, es normal que es-tos hechos puedan ser representados, transformados en imágenes.(Emmer, 2005) (Cursivas nuestras)

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Bibliografía

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Apéndices

I

La demostración general que los segmentos AA1, A1A2, . . . , An−1An for-man una sucesión creciente, es la siguiente (Figura 6, página 142): AAm−1 =

tan(m− 1)α, AAm = tan(mα), AAm+1 = tan(m+ 1)α. Se tiene

tan(m+ 1)α− tan(mα)

tan(mα)− tan(m− 1)α

=tan[(m+ 1)α−mα][1 + tan(m+ 1)α · tan(mα)]

tan[(mα)− (m− 1)α][1 + tan(mα) · tan(m− 1)α]

=(tanα)[1 + tan(m+ 1)α · tan(mα)]

(tanα)[1 + tan(mα) · tan(m− 1)α]

=1 + tan(m+ 1)α · tan(mα)

1 + tan(mα) · tan(m− 1)α

Por reducción al absurdo se demuestra que ese cociente es mayor que uno (losángulos considerados pertenecen al intervalo (0◦, 90◦) y la función tangente escreciente en el mismo).

En consecuenciaAAm+1 −AAm

AAm −AAm−1=

AmAm+1

Am−1Am> 1 ⇒ AmAm+1 > Am−1Am.

II

¿Cómo construir una circunferencia que pase por dos puntos dados A, B y seatangente a una recta dada t que no es paralela a la recta AB?

t

C1

A

B

M

O P

C

Figura 17: Esquema de la situación

Se traza una circunferencia C1 que pase por A y B. La recta AB corta t en elpunto O. Se traza la tangente OM a C1. Se verifica OM2 = OA·OB = OP 2,

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de donde OP = OM y esta igualdad determina el punto P . Ahora es fácilconstruir la circunferencia C que pasa por los tres puntos no alineados A, B yP . Otra solución con OP � a la izquierda de O.

Desde el punto de vista geométrico se puede comprobar que esa construcciónsuministra el ángulo visual máximo θ en el punto P , es decir que la circun-ferencia que pasa por los puntos A, B y el punto buscado P tiene que sertangente a t.

Si C corta la visual horizontal en dos puntos M y N , entonces el ánguloAPB subtendido por cualquier punto P en el segmento MN es mayor quelos ángulos inscritos ANB (AMB) puesto que ∠ANB = (arcoAB)/2,∠APB = (arcoAB + arcoA�B�)/2 > (arcoAB)/2, pues P es un puntointerior del círculo. Luego, el ángulo en P no sería el mayor.

A

B

A�B�

PM NO

C


En ese siglo no se había creado el cálculo infinitesimal y la solución teníaque ser de tipo geométrica (ángulos inscritos y ángulos interiores a una cir-cunferencia) o algebraica (la propiedad que la media aritmética de dos núme-ros positivos es no menor que su media geométrica) (Maor, 2002, pp. 46-49):y = tan θ = [(b−a)x]/(x2+ab) = [(b−a)/x]/[1+ (ab)/x2] = (1/u)/(1+v/u) siendo u = x/(b − a), v = ab/(b − a)x = (ab/x2)/[(b − a)/x] =(ab/x2)/(1/u). Luego, utilizando la desigualdad u + v ≥ 2

√uv, u, v > 0, y

la igualdad teniendo lugar si y solo si u = v, resulta:

y = tan θ = (1/u)/(1 + v/u) = 1/(u+ v) ≤ 1/2√uv.

Como tan θ = 1/(u + v) es creciente en el intervalo [0◦, 90◦) y está acotadapor 1/2

√uv, el máximo valor se alcanza con la igualdad u = v, esto es,

x/(b− a) = ab/(b− a)x, de donde x =√ab.

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Se puede proponer un ejemplo de tipo numérico como el siguiente: ¿ a quédistancia del pie de una estatua debe colocarse un observador de altura 1,7 mpara ver lo mayor posible una estatua de 3,5 m de altura situada en un pedestalde 3 m?

C

O

A

B

P

H = 3, 5m

h = 1, 7m


Sea P el punto de corte de la recta que une los dos extremos verticales dela estatua con la horizontal a la altura de la cabeza del observador, H =

AB = 3, 5 m (altura de la estatua), h = 1, 7 m (altura del observador),CA = altura del pedestal = 3 m. Se tiene: OA = 3 − 1, 7 = 1, 3; OB =

1, 3 + 3, 5 = 4, 8. OP =√4, 8 · 1, 3m =

√6, 24m ≈ 2, 50m. Este es el caso

en que h < CA. Otro caso sería con h > CA, por ejemplo, vista desde laparte superior de un edificio. Si h = CA, es decir, el observador está situado ala altura de la estatua, la verá más grande cuanto más se acerque.

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Experiencias

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Análisis de una experiencia de contenidos estadísticoscon tecnología hipermedia para la formación dedocentes1

Jose María Chamoso SánchezDpt. de Didáctica de las Matemáticas y de las Ciencias Experimentales,Facultad de Educación, Universidad de SalamancaEspañ[email protected] Francisco García Sá[email protected]ía Mercedes Rodríguez Sá[email protected]

Dpt. de Didáctica de las Matemáticas y de las Ciencias Experimentales,Escuela de Magisterio, Universidad de SalamancaEspaña

Resumen

Se presenta una experiencia en la que se utiliza hipermedia como ins-trumento para formación de docentes. Más concretamente, estudiantesuniversitarios futuros docentes, de forma conjunta con futuros informá-ticos, diseñan e implementan contenidos matemáticos relacionados conconceptos estadísticos en soporte hipermedia con el objetivo de que losfuturos docentes tengan que plantearse su propia enseñanza pensando ensus estudiantes, en el concepto que se pretenda trabajar y en la forma enque se desee que éste llegue a aquellos. Se analizan los resultados y seexponen conclusiones del trabajo realizado.

Palabras clave

Educación Matemática, Tecnología, Hipermedia, Formación de Profe-sores, Estadística.

Abstract

An experience using hypermedia as a tool for education of teachers is

1 Este trabajo fue publicado por primera vez en Aula: Revista de Pedagogía de la Universi-dad de Salamanca 14, pp. 51-67.


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162 Jose María Chamoso Sánchez, Juan Francisco García Sánchez, María Mercedes Rodríguez Sánchez

presented. More exactly, university students to become school teachers,with university computer science students, design and implement statis-tics topics through hypermedia with the aim that the future teachers mustorganize their teaching thinking in their students (both the concept in-tended to be worked and the form to reach the students). Results areanalysed and conclusions of this work are exposed.

Key words

Mathematics Education, Technology, Hypermedia, Teacher Preparation,Statistics.

1. Introducción

La influencia de las Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC) enla sociedad tiene que tener su repercusión en la enseñanza de las Matemáti-cas. Sin embargo no es fácil por diversas razones como, por ejemplo, insufi-ciencia de ordenadores, escasez de software, aulas no preparadas, necesidadde una metodología diferente donde se modifica el papel del profesor y delalumno, escasez de directrices para desarrollarla, enseñanza tradicional fuer-temente arraigada o falta de preparación del profesorado. Las investigacionessobre ello también son escasas. Además, la comunidad de educación matemáti-ca suele mostrar una actitud pasiva de manera que, ante las diversas propuestase innovaciones con ellas, se aceptan como algo novedoso sin ninguna críticay sin estudiar sus posibilidades educativas. Por ejemplo, muchos estudiantespueden utilizar las tecnologías para hacer Matemáticas pero, en algunos casos,ello se convierte en un obstáculo al considerarse como algo nuevo y distinto,lo que hace que se centren más en las propiedades del sistema que utilizan queen el aprendizaje de los contenidos.

Pero los sistemas hipermedia presentan características especiales como la inte-gración de diversos medios, la motivación, la interactividad, la retroalimenta-ción, la multirrepresentación, la animación, la simulación y los enlaces, posi-bilidades que permiten organizar los contenidos de forma diferente a la usual,aunque ésta no está claramente definida ni tampoco su validación pedagógica.El objetivo de esta experiencia es utilizar el soporte hipermedia para la forma-ción de docentes. Para ello se pretende que los futuros profesores diseñen elplanteamiento de un conocimiento pensando en el que va a aprender y no en elque lo va a enseñar. Ello obliga a una estructuración atendiendo a la esencia delconcepto. Posteriormente se implementará en soporte hipermedia y se validaráen las aulas con el fin de comprobar sus posibilidades, sus aspectos positivos ysus carencias, lo que se espera que proporcione una forma innovadora de ense-ñanza, más motivadora para los estudiantes y el profesor, con el desarrollo de

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Análisis de una experiencia de contenidos estadísticos con tecnología hipermedia 163

un trabajo más significativo. De esa forma se confía que contribuya a cambiarla actitud negativa existente hacia las Matemáticas y se mejore el rendimientode los componentes de la comunidad educativa hacia ellas.

2. La tecnología en Educación Matemática

Las interacciones entre la investigación en Educación Matemática, el desarro-llo de la tecnología en la escuela y el proceso de aprendizaje son complejos.La enseñanza y aprendizaje envuelven procesos complicados y las TIC aña-den más complejidad. Las herramientas tecnológicas influyen en el aprendi-zaje pero frecuentemente lo hacen de forma impredecible. Los resultados delas investigaciones tienden a reflejarse en forma de avance de conocimiento ysuelen conducir a nuevas preguntas y nuevas perspectivas más que a respues-tas definitivas. La literatura presenta cada vez más aspectos de esa compleji-dad pero carece de un entendimiento global. Quizás sea preciso reconceptua-lizar el aprendizaje matemático aunque queda mucho por investigar (Hoyles yNoss, 2003; Kaput y Thompson, 1994; Lagrange, Artigue, Laborde y Trouché,2003).

Una cuestión importante es si el desarrollo tecnológico realmente mejora nosólo la forma en que tiene lugar el aprendizaje sino también el conocimien-to de cómo aprendemos. Se necesita identificar qué es diferente en la nuevaera electrónica y qué significan esas diferencias en términos de conocimien-to, aprendizaje, enseñanza y otros asuntos relacionados con éstos. Hay queexaminar la manera en que la tecnología electrónica se puede utilizar para re-presentar ideas y procesos matemáticos, y cómo difiere esa representación dela tradicional (Kaput, 1992).

Por ejemplo, el ordenador permite construir muchas formas de representar unafunción pero eso no aporta nada si no existe una fuerte interpretación de loque se hace. Los ordenadores proporcionan una nueva forma de pensar, no só-lo una herramienta de cálculo (Noss, 2001). La forma de representación y lavisualización son una de las áreas de especial interés en Educación Matemá-tica dado que el pensamiento visual puede ser un poderoso recurso para quelos estudiantes hagan Matemáticas (Nemirovsky y Noble, 1997). Por ejemplo,un estudio sobre las reacciones de los niños a los colores y gráficos en un en-torno de aprendizaje de Matemáticas, basado en ordenadores, puede verse enSedighian y Sedighian (1997). También los juegos forman parte importanteen la introducción de las TIC’s en la educación puesto que pueden ser alta-mente efectivos para el aprendizaje de las Matemáticas al poseer propiedadesatractivas para los estudiantes (Klawe, 1998, 2000; Sedighian y Klawe, 1996).

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No obstante, su efectividad para ir más allá del propio juego y favorecer unaprendizaje significativo depende de factores como el software empleado, lainterface, el nivel de integración con las actividades de aprendizaje, etc. Ade-más, la facilidad para el acceso a Internet también ha favorecido su inclusióncomo una herramienta más en la Educación Matemática. Este uso se lleva a ca-bo tanto por los profesores que conocen algunas de las aplicaciones de Internet(Halpin, 1999; Pugalee y Robinson,1998), como por quienes lo utilizan parala enseñanza a distancia o como fuente de recursos para el aula (Chen Wang,2001; Koehler, Petrosino y Lehrer, 1999; Sala, 2002; Tuckman, 2002).

Parece difícil hacer Matemáticas sin hacer manipulaciones. Sin embargo, elordenador sustituye ese hecho con el de realizar representaciones diversas ysimulaciones interactivas que llevan a permitir interpretar soluciones que sepueden comprobar con herramientas tecnológicas. Además, sus posibilidadespermiten que se adapten a los diversos tipos de personas, lo que las conviertenen un instrumento importante en el campo de las necesidades sociales (porejemplo, Keitel, 1986).

Otro aspecto importante es la formación de profesores de Matemáticas. Se handesarrollado varias aplicaciones de tecnología electrónica que han contribuidoa ese campo pero las herramientas que hay en la actualidad en los diferentespaíses es desalentadora. Se hacen nuevos desarrollos cada año, tanto en soft-ware como en hardware, pero no se introducen en las aulas. Sin embargo, unamplio rango de tecnologías se está usando en la formación del profesor deMatemáticas con diversos objetivos. Mousley, Lambdin y Koc (2003) distin-guen tres:

Creación y uso de videotapes, videodiscos y multimedia para conseguirun amplio rango de interacciones pedagógicas que se puedan analizar. Sehan trascrito interacciones verbales de video y audio que han ayudadoa explicar lo que se ve. Para ello se han utilizado recursos multimediaque permiten más posibilidades (por ejemplo, Daniel 1996; Herrington,Herrington, Sparrow y Oliver, 1998).

Utilización de internet para, por ejemplo, facilitar la comunicación.

Uso de ordenadores, calculadoras y otros recursos electrónicos para pre-parar a los profesores para utilizarlos para hacer Matemáticas en las au-las.

El objetivo de este artículo es el diseño e implementación de un contenido consistemas hipermedia como instrumento para formación de docentes, que noestá recogido en la clasificación anterior.

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En definitiva, “la tecnología puede ser una herramienta útil para cambiar lo quepensamos acerca de las Matemáticas y la forma en que enseñamos Matemá-ticas a nuestros estudiantes” (Van Voorst, 1999). Por eso, utilizar ordenadoresobliga a reformular lo que se entiende por Matemáticas y lo que se busca alenseñarlas. Pensar en ordenadores en Educación Matemática no debería que-rer decir pensar en ordenadores sino repensar la Educación Matemática (Cle-ments, 2000; Noss, 2001; Smith, 1999).

Para ello hay que tener en cuenta algunos aspectos además de los objetivospropios del proceso educativo (Hoyles, 2001):

El uso de tecnología, tanto para estudiantes como para profesores, tieneque considerar lo que ellos desean conseguir y cómo la tecnología puedeayudarles.

La tecnología tiene que estar cuidadosamente integrada dentro del curri-culum y no añadida a él.

El objetivo de cualquier actividad no tiene que ser el software o el hard-ware sino que lo más importante ha de ser, sin duda, el conocimientomatemático.

3. Las posibilidades de los sistemas hipermedia

Los sistemas hipermedia posibilitan organizar el conocimiento de manera dife-rente a la de otros medios de enseñanza pues permiten estructurar la informa-ción en bloques, conectados mediante enlaces, a través de los cuales se puederecuperar la información almacenada cuando sea necesario. Además, se ca-racterizan porque permiten la integración de texto, sonido, locución, imagen,animación, vídeo, interacción y enlaces en un mismo soporte. Cada uno deestos medios son, por sí mismos, sistemas de comunicación informática, en-tendidos éstos como formas de transmisión de la información que se puedenutilizar según el objetivo que se pretenda. Así se pueden usar diferentes pre-sentaciones de texto o sonido, distintos tonos de voz, exposiciones en vídeocomo refuerzo, animaciones motivadoras, simulaciones explicativas, etc. Alpresentarlos de forma conjunta suman sus posibilidades independientes como,por ejemplo, mostrar el mismo mensaje de manera visual y auditiva, lo cualse puede acompañar con una simulación o animación explicativa. Ello permiteuna presentación atractiva que suele llevar consigo una mayor motivación delusuario, tanto por el efecto visual inicial como por el contexto posterior al posi-bilitar un acercamiento a situaciones similares de la vida real (donde aparecencolores, sonidos, figuras, representaciones...). Esta motivación suele ser muyimportante para cualquier tipo de presentación. Además se pueden proponer

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tareas y medir el grado de ayuda que se necesita para terminarlas satisfactoria-mente. En este sentido, la necesidad de que los enlaces y la interacción seanadecuados es fundamental (López, 1999).

Algunas características que un sistema hipermedia puede presentar son las si-guientes (Chamoso, Hernández, López y Rodríguez, 2002; Chamoso, Hernán-dez, Martín, Pereña y Rodríguez, 2003):

Interactividad y retroalimentación. Permiten establecer una relaciónentre la persona que utiliza el sistema y la máquina que responde a susacciones. Esta respuesta analiza si el camino elegido es adecuado, ofreceayuda para solucionar dificultades, remarca errores, etc. Estas posibili-dades pueden adaptar el ritmo y nivel de trabajo de cada usuario al con-trol activo que éste pueda o quiera ejercer. Por tanto, su utilización enla enseñanza permitiría implicar al alumno en el proceso de enseñanza-aprendizaje y ayudar a una construcción del conocimiento de una formamás personalizada (Kaput, 1992).

Multirrepresentación. Cuando un conocimiento se presenta con repre-sentaciones diversas se favorece la consecución del mismo y suele con-llevar una interiorización más significativa. Aunque esto es posible ha-cerlo mediante un libro de texto, las posibilidades de los sistemas hi-permedia lo hacen más apropiado, especialmente por medio de soni-do, tonos de voz, imágenes, animaciones, simulaciones, etc. (Ainsworth,1999; Confrey y Smith 1994; Kaput, 1986; Shaffer y Kaput, 1999).

Animación y simulación. La posibilidad de realizar animaciones y si-mulaciones permite representar procesos dinámicos o secuenciales en eltiempo. Ese dinamismo contrasta con los desarrollos fundamentalmenteestáticos de los libros de texto. Estos dos elementos, utilizados de for-ma adecuada, pueden dar una visión diferente de la enseñanza (Kaput,1992; Resnick, 1994).

Enlaces. Permiten establecer una estructura reticular de la informaciónque posibilita el acceso de unas partes a otras, la obtención de distintostipos de ayuda o el uso de elementos accesorios que puedan ser de uti-lidad. Trabajar los contenidos de esta forma, similar a como se organizala mente, ayuda al usuario a vincular el nuevo conocimiento con el yaexistente favoreciendo un aprendizaje más significativo. En cambio, elcontenido del libro de texto es lineal (Kaput, 1992).

Refuerzo. Se refiere a la posibilidad de consolidar los contenidos pre-sentados mediante la introducción adecuada de actividades, ejemplos ycontraejemplos, imágenes, simulaciones y juegos. Para ello es funda-mental la organización de los enlaces, la multirrepresentación y la in-

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teracción, sin olvidar que una buena simulación puede aclarar muchasdificultades.

Estas propiedades permiten que el usuario controle el trabajo que quiera ejer-cer pudiendo insistir en los aspectos que le presenten dificultades, recordaro aprender conceptos que no tenga suficientemente asimilados o avanzar enaquellos que domine con seguridad, con lo que el proceso de enseñanza-apren-dizaje se adaptará a cada persona. El objetivo es mejorar los procesos deenseñanza-aprendizaje. Además, es posible llevar a cabo una evaluación con-tinua de cada usuario y una autoevaluación. Todo ello permite organizar el co-nocimiento de una forma diferente a la usual del libro de texto (Kaput, 1992).

Cabe destacar que un trabajo en soporte hipermedia desarrolla una motivaciónespontánea que favorece el aprendizaje. También impulsa una autonomía enel estudiante, caracterizada por distintos aspectos: puede aprender a su propioritmo de manera que se respeten sus diferencias individuales y se ofrezca unaeducación más adaptada a cada uno de ellos; facilita que construya su propioconocimiento de forma más acusada que en otros soportes, bajo la dirección deun docente pero sin la necesidad de la presencia constante de éste; se posibi-lita su trabajo personal, pudiendo completar la tarea encomendada a su propioritmo; permite la autoevaluación permanente del alumno, lo cual ayuda a lamotivación de logro.

Además, el empleo de herramientas hipermedia puede mejorar el proceso deenseñanza-aprendizaje de los contenidos matemáticos más que el de otras dis-ciplinas por diversas razones fundamentales (López, 1999):

El conocimiento matemático no es lineal, sino que está organizado enforma de redes proposicionales cuyos nodos se conectan entre sí pormúltiples enlaces transversales y de distinto nivel, lo que hace que seadifícil plasmarlo en el lineal libro de texto. Por eso, las Matemáticasse convierten en uno de los principales campos en que han trabajadolos sistemas hipermedia, ya que la organización de éstos por medio deenlaces permite emular dicho conocimiento.

Las Matemáticas, quizás más que cualquier otra disciplina, necesitanuna buena codificación y organización de la información, así como si-mulaciones y multirrepresentaciones que faciliten la adquisición de losdiversos conceptos. Los libros permiten recoger representaciones gráfi-cas, incluso ilustradas con gran detalle, pero es más difícil desarrollarprocedimientos. Los sistemas hipermedia ofrecen estas peculiaridadesde forma más adecuada que otros soportes de enseñanza conocidos, conlo que se espera que se consiga un aprendizaje más eficiente.

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4. Objetivos

La enseñanza tradicional siempre se ha basado en la presentación del profesorque, normalmente y a pesar de su interés, en la mayor parte de los casos losuele hacer de la forma que acostumbra sin tener en cuenta a los alumnos a losque va dirigido. Los estudios actuales hacen mucho hincapié en considerar alestudiante. Los docentes deben ser conscientes de ello. Una de las dificultadesde la enseñanza en general, y de las Matemáticas en particular, es presentar loscontenidos de forma adecuada para que se puedan adaptar a los conocimientosy disposición de los alumnos a los que se les pretende impartir, de manera queéstos formen una imagen en su mente del contenido de que se trate.

Para ello se desea utilizar la hipermedia como un instrumento con el que losdocentes tengan que plantearse su propia enseñanza pensando en sus estudian-tes, en el concepto que se pretenda trabajar y en la forma en que se deseeque éste les llegue. Más concretamente, con ese objetivo, se pretende que lospropios estudiantes universitarios diseñen las actividades para que se puedanimplementar en soporte hipermedia. Existen precedentes de trabajos con ob-jetivos similares como, por ejemplo, el proyecto de Noss (2001) sobre juegosde ordenador para niños. El objetivo era que éstos los diseñaran por sí mismosy no que lo hicieran los adultos pensando en ellos. Esto es importante porquetrabajan en el nivel que ellos necesitan y no en el que se cree que necesitan.

Los resultados de algunas experiencias reseñadas anteriormente han puesto demanifiesto la importancia del diseño de las aplicaciones y simulaciones paraque puedan ser programadas de modo que se adapten a la idea de los conte-nidos que se quieren organizar. Ello lleva consigo el replanteamiento de de-terminados conceptos de modo que pasen de ser meros algoritmos que sólose utilicen para realizar determinadas operaciones, a convertirse en estructu-ras con un significado muy preciso que dejen traslucir la esencia y sentidodel concepto más que la forma de computarlo. Bajo esta nueva perspectiva, laherramienta hipermedia pasa a ser un instrumento con el que los diseñadoresdeben replantearse sus propios procesos de enseñanza, así como la forma deentender determinados contenidos matemáticos y la forma de transmitirlos.

Por todo ello, el objetivo fundamental es demostrar que las herramientas hiper-media permiten construir las Matemáticas de una forma diferente que favorez-ca una mayor eficacia en el aula, de manera que se mejoren las actitudes de losestudiantes hacia las Matemáticas así como el aprendizaje de sus contenidos.De forma más específica se pretenden:

1. Realizar el diseño, implementación y evaluación de una experiencia consistemas hipermedia como instrumento para la formación de docentes.

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2. Extraer conclusiones y propuestas que puedan proporcionar informaciónsobre las posibilidades de las TIC y de los sistemas hipermedia en el aulapara ayudar a mejorar la enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas.

5. Metodología de la experimentación de sistemas hipermedia co-mo instrumentos de formación de docentes

Participantes

La experimentación se hizo con estudiantes universitarios de alguna de lasespecialidades de Magisterio y de Informática, en una asignatura denomina-da Informática aplicada a la enseñanza, en la Facultad de Educación de laUniversidad de Salamanca, en la que participaban estudiantes de ambas diplo-maturas. Se desarrolló durante dos horas semanales a lo largo de tres meses declase aunque algunos alumnos, libremente, avanzaron en casa.

Forma de trabajo

En una primera fase, se presentaron a los estudiantes universitarios ejemploshipermedia donde se estudió, analizó y discutió su diseño y objetivo. Para ellose utilizaron diversos trabajos en soporte hipermedia como, por ejemplo, Re-solución de Problemas en Matemáticas (Chamoso, Hernández, López y Ro-dríguez, 2004), Pitágoras y los pitagóricos (Chamoso y Rodríguez, 2004).

Posteriormente se pidió a los futuros docentes que hicieran el diseño de uncontenido de Matemáticas para que pudiera ser implementado en soporte CD-ROM, de lo que se encargarían los estudiantes de Informática. En concreto, laforma de trabajo fue en grupos de dos personas, uno de los cuales era estudian-te para maestro que se encargó del diseño de un conocimiento de manera quese adaptara a la idea del contenido que se quería organizar para que se pudieraprogramar, y el otro estudiante de los estudios universitarios de Informáticaque se ocupó de la implementación y programación, ya fuera con MacromediaDirector, Power Point o Neo Book, todo ello trabajado de común acuerdo en-tre ellos. Tenían que decidir qué conceptos querían enseñar y, especialmente yen función de ello, la manera de hacerlo. Se aconsejó que buscaran la imagendel contenido que reflejara la esencia del mismo y que se adaptara al futurousuario. Se esperaba que, de esta forma, fueran conscientes de la dificultad dela enseñanza y de la obligación constante del docente de pensar en el que va aaprender. Por otro lado, dada la complejidad de Macromedia Director y debidoa que los estudiantes no lo conocían, con la pretensión de que no se descentraseel objetivo pretendido, tuvieron un experto que dio pautas básicas de funcio-namiento y ayudó a implementar algunos aspectos a aquellos estudiantes quelo solicitaron.

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En definitiva, el desarrollo de este trabajo pretendió seguir una colaboraciónque responde a lo que entendemos que debe ser el trabajo en hipermedia: entreespecialistas en Educación Matemática y en Informática, con una colaboracióncontinua a lo largo de todo el proceso. Parece evidente que el formato hiperme-dia crea un marco que permite, al especialista en educación, construir enlacesy conexiones en función de sus propias experiencias, lo que le lleva a persona-lizar y reformular la presentación de los temas según su conocimiento; pero,además, se hace necesaria la cooperación con especialistas en programaciónpara poner estas estrategias en práctica.

Finalmente, durante una sesión de dos horas, hubo una presentación final deltrabajo realizado por cada grupo de estudiantes a toda la clase y un debate pos-terior que se prolongó durante tres semanas más. Los aspectos más destacadosse detallan posteriormente.

Contenidos

Se decidió trabajar con estadística descriptiva elemental porque se consideróque presentaba muchas posibilidades, aunque se dejó libertad para que cadagrupo eligiese lo que le pareciese. Según nuestra experiencia docente, muchosestudiantes para maestro consideran la media, por ejemplo, como el resultadode una operación en que se suman los valores de todos los casos existentes y sedivide entre el número de ellos. Eso no tiene sentido en un diseño multimediaporque no sería más que el procedimiento para calcular la media pero no laesencia del concepto. Por ello se hace necesario pensar en el significado delmismo. Una posibilidad sería organizar columnas para cada valor formadaspor cubitos de manera que, para hacer la media, se trasvasaran unos cubos deuna columna a otra hasta que todas tuvieran la misma altura. De esa forma,la media de un conjunto de valores se entendería como el resultado de juntartodos los elementos de los diversos valores y repartirlos a partes iguales entrecada uno de ellos.

6. Resultados

El resultado se clasificó en función de la forma en que organizaron la presen-tación del contenido al estudiante. En concreto, si lo hicieron de una maneraen que se abordaba directamente los contenidos que se pretendían estudiar deuna manera tradicional o, por el contrario, si lo hacían a partir de una situacióncotidiana en que, aparentemente, no existían contenidos matemáticos y éstosiban surgiendo en el desarrollo de la misma. Detallemos ambos casos:

El primer caso lo forman aquellos grupos de estudiantes que, en el desarrollode su presentación, primeramente se refieren a los contenidos que se desea

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trabajar, ya sea de forma teórica o por medio de una actividad, sin participacióndirecta del usuario aunque con pantallas de ayuda a las que éste puede accedersi lo desea, ya sea para consultar aspectos teóricos o comprobar los resultadosobtenidos (4 grupos). Concretamente:

Con el plano de una ciudad en el que se pide calcular la media de lasalturas de los edificios de algunos barrios (1 grupo).

Con una actividad en que se solicita hallar la media, mediana y moda dela temperatura que alcanza un cierto número de personas cuando se lessuministra una vacuna (1 grupo).

Con un problema en el que se pide calcular media, mediana y moda delas notas de alumnos de varias aulas (1 grupo).

Con conceptos de geometría elemental donde, después de la presenta-ción teórica a partir de elementos cotidianos, se relaciona con cancionesinfantiles (1 grupo).

El segundo grupo está formado por aquellos trabajos que comienzan con unapresentación de un aspecto cotidiano en el que, explícitamente, no aparecencontenidos matemáticos para, posteriormente y a partir de ella, introducir elconcepto (8 grupos). Concretamente:

En una carretera, con varios carriles de circulación en el mismo sentido,hay un semáforo cerrado y un guardia que, a toque de silbato, intenta or-ganizar los coches que van llegando con el objetivo de agilizar el tráficocuando el semáforo se abra. El mismo programa los reorganiza cuandoel usuario lo solicita, a partir de lo cual aparece el contenido matemá-tico. Es decir, a partir de una presentación atractiva consistente en filasde diferente número de coches, se plantea que todas tengan el mismonúmero, lo que equivale a hallar la media y lo que permite enlazar conla imagen del concepto.

Figura 1: Carretera con los coches y el guardia

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Una actividad similar basada en el reparto equitativo de caramelos. Adiferencia del caso anterior en el que el programa hacía la reordenaciónautomática ante el requerimiento del usuario, ahora es éste el que mue-ve y, directamente, coloca los caramelos en los montones adecuados. Acontinuación se estudian los resultados de los lanzamientos a una dia-na en la que varias personas obtienen la misma media. Ello no permitedecidir el ganador lo que obliga a buscar otros referentes como estudiarla regularidad de los valores obtenidos, lo que introduce el concepto dedesviación típica (1 grupo).

Una actividad basada en el lanzamiento de monedas de forma aleato-ria. Concretamente, situaron varios galgos en la parrilla de salida de unapista de carreras y, cuando lo decide el usuario, se lanzan cinco mo-nedas de manera que el galgo de la calle cuyo número coincide con elnúmero de caras obtenidas avanza un espacio. El objetivo es descubrirel que llega primero, algo que se puede prever teóricamente al estudiarlas distintas posibilidades que existen al lanzar monedas. Al terminar, sepuede acceder a una pantalla en la que aparece el espacio muestral conlas posibilidades existentes. Posteriormente se puede enlazar con otrosjuegos de desarrollo similar que utilizan dados en vez de monedas y losgalgos avanzan dependiendo del resultado de sumar o restar los puntosobtenidos al lanzar dos de ellos (2 grupos trabajaron conjuntamente enla misma actividad).

Figura 2: Carrera de galgos

Varios grupos trabajaron en actividades parecidas aunque independien-temente. Detallamos una de ellas: En un intento de catalogar la calidadde las bebidas de una bodega, al tratarse de datos cualitativos y no ser po-sible utilizar la media, se hacía necesario buscan otras referencias comoordenar las botellas en función de su calidad lo que lleva a la introduc-ción del concepto de mediana (3 grupos).

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Figura 3: Concurso de triples

Un concurso de triples en unas canastas de baloncesto. A partir de losresultados obtenidos y situados en una tabla, para conocer la media saleun muñequito que va desplazando cajitas de las columnas más altas de lagráfica a las más bajas hasta que todas tengan la misma altura. Posterior-mente también escenifica la esencia del concepto de varianza señalando,en cada caso, lo que sobra y falta para la media. A continuación se pideal usuario que asocie cada resultado con la gráfica correspondiente conel objetivo de reforzar la asociación del concepto de varianza con el dedispersión (1 grupo).

7. Discusión y conclusiones

Los estudiantes quedaron muy satisfechos del trabajo realizado. Concretamen-te, los alumnos para maestro que hicieron el diseño de un contenido estadísticodeclararon que, de esa forma, debían colocarse en el lugar del que aprende pa-ra que éste comprendiera la esencia del concepto algo a lo que, decían, “noestaban acostumbrados”. Llegaron a afirmar que, aunque se trataba de concep-tos estadísticos elementales que sabían, realmente nunca habían pensado en susignificado y lo que muchos de ellos conocían era, únicamente, la forma de

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realizar el cálculo. Este trabajo les obligó a pensar en la manera de expresar susignificado.

En el caso de los galgos, el diseño hipermedia permite corroborar lo que ocu-rre de forma teórica. Además, los estudiantes explicaron que habían decididodejar casos imposibles para que el usuario se diera cuenta de la existencia deposibilidades nulas (los galgos ocupaban los lugares del 1 al 12 y avanzabansi su número coincidía con la suma de los dados). En algunas simulacionesel resultado obtenido podía no coincidir con el más probable lo que recuerdaque la probabilidad es una esperanza de lo que puede ocurrir pero sin certezaabsoluta de que suceda.

Fue este grupo el que, a partir de la discusión final en la sesión de presentaciónde los trabajos de todos los estudiantes, sugirió hacer un diseño conjunto detodos los alumnos con el profesor. En concreto, se decidió realizar el diseñoe implementación de un ábaco en soporte hipermedia. Para ello, inicialmente,se decidió aclarar qué se entendía por ábaco. Todos lo conocían pero no seponían de acuerdo en su objetivo ni en algunos detalles de su funcionamiento.Un estudiante recordó el de un parque cercano (Fotografía 1). Alguien sugirióque, si el objetivo del ábaco era representar el valor posicional de las cifras,las barras deberían estar en vertical porque los dígitos de cada número se en-cuentran uno a continuación de otro y no uno encima de otro. Otro estudiantecriticó que, en cada apartado, debería haber 9 bloques en vez de 10 porque losdígitos varían de 0 a 9 en las cifras de cada número.

Fotografía 1: Ábaco de un parque

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El resultado de los diversos puntos de vista hizo que se diseñara un ábaco ver-tical plano, en que en cada apartado podía haber 9 piedrecitas como máximoy en el que el color fuera el mismo para todas las piedrecitas con el objetivode resaltar el valor del sistema posicional en que todas las cifras son iguales yse diferencian únicamente cuando están situadas en lugares distintos. Su fun-cionamiento es el siguiente: Cuando se desea representar un número, todas laspiedrecitas que lo representan se colocan en la casilla que está más a la derechapero eso contradice el acuerdo de que no podía haber más de nueve cuentas encada espacio. Por tanto, a partir de la décima, las piedrecitas que van llegandoempiezan a parpadear porque no deberían estar allí. Una vez que están todas enese espacio, cada diez piedrecitas se sustituyen por una que se sitúa en el espa-cio contiguo de su izquierda, el de las decenas, y así sucesivamente hasta queen cada compartimento queden, como máximo, nueve (más detalle, Chamoso,Hernández, López, Martín y Rodríguez, 2002).

Una vez construido el ábaco, había que decidir cómo utilizarlo para realizaroperaciones elementales. Para efectuar la adición sin llevadas se simuló el pro-ceso mental de esa operación considerando el valor relativo de las cifras. Porello se decidió que fueran cayendo piedrecitas en el espacio situado más a laderecha del ábaco y que simboliza las unidades, una por una hasta representarel primer número que se desea sumar. Posteriormente surge otro ábaco que sesitúa debajo del anterior, donde se repite el mismo proceso con el segundo su-mando. Y, cuando ambos números están representados, aparece un tercer ábacoque es el que se va a utilizar para realizar la operación, que se hace sin másque llevar las unidades y decenas de ambos sumandos al espacio respectivocorrespondiente de este último ábaco (ver figura 4).

Figura 4: Pantallas del ábaco en la adición “sin llevadas”

Cuando se trata de adición con llevadas el procedimiento es parecido pero,cuando en algún espacio haya más de nueve piedras, cada diez de ellas setransforman en una del espacio situado inmediatamente a su izquierda.

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La utilización del ábaco para la sustracción es similar. Si en la adición subyacíala idea de juntar todas las piedras en el tercer ábaco, en la sustracción lo hace lade eliminar el mismo número de piedrecitas en el minuendo y en el sustraendopara cada uno de los dígitos. De esa forma en el ábaco inferior, aquél en elque se va a reflejar el resultado de la operación, quedarán las restantes. Si enla operación hubiese que realizar llevadas, sería preciso sustituir una piedra deun cierto orden por diez del orden inmediatamente inferior en aquellos casosen que fuera necesario. A partir de ahí ya se puede seguir todo el procesoanteriormente explicado (ver figura 5).

Figura 5: Pantallas del ábaco en la sustracción “con llevadas”

Con todo ello se está yendo a la misma esencia del desarrollo de las opera-ciones elementales, con lo que se demuestra que el descubrimiento del siste-ma posicional, especialmente por las ventajas que aporta para poder expresarcualquier número que se desee con pocos dígitos y la forma en que posibilitarealizar cualquier operación elemental, se convierte en uno de los más grandesdescubrimientos de la historia de la humanidad.

Como reflexión final podemos decir que las Nuevas Tecnologías y, en parti-cular, los sistemas hipermedia permiten crear situaciones de aprendizaje quepueden favorecer la adquisición de conceptos y procedimientos matemáticosaunque no existen indicaciones claras de cómo el profesor debe utilizarlas enel aula de Matemáticas (Kaput y Thompson, 1994). Con este planteamiento,se han utilizado los sistemas hipermedia como instrumento de formación dedocentes. Utilizarlo de esa forma obligaría al futuro docente o al docente enejercicio a crear un nuevo contexto de enseñanza, desarrollar actividades varia-das, redefinir estrategias, cambiar la manera de presentación de la informaciónmatemática, organizar la evaluación, etc. No se trata de que realice el diseño eimplementación de las actividades hipermedia por sí mismo, pero sí de que lasorganice según su concepción de enseñanza.

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Pero las nuevas tecnologías no pretenden arrinconar otros recursos e instru-mentos educativos sino que convendrá utilizar unos u otros en cada momento,o una combinación de ellos, siempre tratando de conseguir una clase más re-ceptiva, práctica, motivadora, amena y, sobre todo, de favorecer que el conoci-miento sea más significativo para el alumno.

Autores importantes consideran que la información tecnológica producirá lamayor transformación en Educación Matemática en todos los aspectos. Lasinvestigaciones desarrolladas muestran que se han abierto las puertas a nuevasformas de enseñanza y aprendizaje que pueden ayudar a que los estudiantesentiendan, comprendan y aprendan mejor las Matemáticas, aunque esto no serealiza automáticamente. Para que esto sea posible hay que utilizarla de formareflexiva y adecuada dependiendo del objetivo de que se trate. Es decir, no seconsidera que el objetivo de los recursos hipermedia sea sustituir al profesor,sino ayudar a éste y crear diferentes papeles para ellos (Lampert y Ball, 1998).

Sin embargo surge la pregunta: Hasta ahora se ha intentado que los estudian-tes trabajen Matemáticas de muchas formas pero siempre con lápiz y papela mano. Estudiante, lápiz y papel, un pensamiento colectivo. ¿Eso es posiblemantenerlo en un ambiente de ordenador? (Villarreal, 2000).

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Aprendiendo Matemática con tecnología portátil 1 a 1:resultados de una experiencia de innovación en Chile

María Ester Lagos Cé[email protected]án Miranda [email protected] Matus Zúñ[email protected] Villarreal [email protected]

Centro Comenius,Universidad de Santiago de ChileChile

Resumen

En los últimos años, en Chile, se han desarrollado diversos proyectosque fomentan el uso de tecnología portátil en el aula, en particular tecno-logía portátil 1:1 (un computador por niño). Las experiencias muestranque la tecnología por sí sola no basta para producir cambios. Se requie-re implementar modelos de intervención pedagógica que permitan a losdocentes utilizar adecuadamente estas tecnologías con la finalidad de fa-vorecer diversos aprendizajes. Así, se implementó en el 2009 el proyecto“Aprendiendo Matemática con Tecnología Portátil 1:1”, el cual proveede un modelo didáctico integrado, que permite abordar el sector curricu-lar de Matemática. Se trata de un modelo que considera aspectos como eltrabajo colaborativo, las habilidades del siglo XXI, integración curricu-lar de la tecnología, entre otros, y a su vez considera la particularidad dela didáctica asociada a este sector. La propuesta incluye el desarrollo desoluciones para crear ambientes de aprendizajes interactivos y dinámi-cos, además de un proceso de formación y acompañamiento permanentea los docentes. Para apoyar todos los procesos formativos, se utilizaronrecursos digitales interactivos y material impreso diseñado especialmen-te para tal efecto y se midió el aprendizaje de los estudiantes, el cual seincrementó positivamente durante el proceso.


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182 María Ester Lagos Céspedes, Hernán Miranda Vera, Claudia Matus Zúñiga, Gonzalo Villarreal Farah

Palabras clave

Educación matemática, tecnología portátil, computación 1 a 1, aprendi-zaje colaborativo, habilidades del Siglo XXI.

Abstract

In the last years, a variety of projects promoting the use of portable tech-nology in the classrooms has been carried out in Chile, in particular1 to 1 technology (one computer per child). These experiences showthat technology by itself is not enough to produce changes in teachingand learning. Appropriate pedagogical models, then, allowing the properuse of technology by teachers are required in order to favor meaning-ful uses of technology to promote learning. Thus, the project “Aprendi-endo Matemática con Tecnología Portátil” was implemented in 2009 inChilean schools (7th grade) in order to provide an integrated pedagogi-cal model for teaching mathematics. This model considers a variety ofaspects such as collaborative learning, XXI century skills, technology in-tegration, and particular aspects of teaching mathematics. The proposalalso considers the development of solutions for creating interactive anddynamic learning environments as well as an on site teachers´ compan-ion process. To support all the formative process, specially designed in-teractive digital resources and teaching materials were developed andstudents´ learning outcomes were measured. A positive increment inlearning results was detected.

Key words

Mathematic Education, Portable Technology, 1 to 1 Computing, Collab-orative learning, XXI Skills.

1. Introducción

Una tendencia global respecto de las tecnologías digitales de uso cotidiano -tales como los computadores personales, los dispositivos de audio portátilesy los teléfonos celulares – es la miniaturización y la portabilidad, haciéndolascada vez más accesibles, poderosas y portables (Intel, 2005). Por lo mismo,se ha hecho más accesible para las escuelas el poder contar con tecnologíasportátiles que hagan plausible y viable el considerar aulas experimentales yambientes de enseñanza y aprendizaje donde cada estudiante y su respectivoprofesor cuenten con un computador portátil conectado en red. Destacan al res-pecto experiencias en países como Estados Unidos, Inglaterra y Australia, lasque muestran resultados interesantes, aunque no del todo concluyentes respec-to a su efectividad en los aprendizajes de los estudiantes (Balanskat y Blamire,2007; BECTA, 2007; European Schoolnet, 2006).

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Aprendiendo Matemática con tecnología portátil 1 a 1 183

En este ámbito, Chile, a través del proyecto Enlaces del Ministerio de Edu-cación, ha sido pionero en impulsar el uso y experimentación de tecnologíasportátiles en esta modalidad y con propósitos educativos. En el año 2007 sedesarrolló en Chile una primera experiencia piloto con escuelas públicas. Es-ta experiencia arrojó como resultados mejoras en el ambiente de la clase, unincremento del uso de la tecnología en algunos sectores curriculares y una ac-titud positiva de los profesores hacia la incorporación de tecnología (Cabezas,Flores, Garrido & Pica, 2008). Sin embargo, como era una experiencia pilotoy de duración limitada en el tiempo, no fue posible establecer claramente losefectos de tal ambiente en los resultados de aprendizaje de los estudiantes.

Para superar estas limitaciones, era necesario estudiar con mayor profundidady rigurosidad el tipo de habilidades que desarrollan los estudiantes que estánexpuestos al uso intensivo de tecnología y sistematizar un modelo pedagógicocon tecnología 1 a 1 que promueva un ambiente de aprendizaje enriquecidoy eficaz. En este contexto, el Ministerio de Educación de Chile a través delCentro de Educación y Tecnología, Enlaces, encargó la realización del estudio“Aprendiendo Matemática y Lenguaje con Tecnología Portátil 1 a 1” con elpropósito de implementar un modelo de integración curricular en estudiantesde séptimo año básico con énfasis en el desarrollo y potenciación de habili-dades del siglo XXI a través del uso intensivo de tecnología portátil 1 a 1.Este estudio se focalizó en cuatro sectores curriculares, a saber: Matemática,Lengua Castellana y Comunicación, Inglés y Ciencia.

El estudio focalizado en las áreas curriculares de Matemática y Lenguaje fuerealizado por un equipo multidisciplinario del Centro Comenius USACH y delCentro Costadigital de la Pontificia Universidad Católica de Valparaíso. Es-te artículo da cuenta de los resultados de la implementación de dicho estudioen el sector curricular de Matemática, focalizando la mirada en los recursosdigitales interactivos multimediales construidos especialmente para apoyar laintervención y en el análisis cuantitativo de los resultados de aprendizaje logra-dos por los estudiantes. También se complementa con algunos de los resultadoscualitativos que ayudan a entender mejor el contexto de la intervención.

Así, en este artículo se resume el marco conceptual que orientó el estudio, elcual evidencia que se hace necesario sistematizar un modelo pedagógico contecnología 1:1 que promueva un ambiente de aprendizaje eficaz y propiciar am-bientes realistas y enriquecidos que faciliten las interacciones de grupo y quepotencien el desarrollo del pensamiento estratégico, el desarrollo metacogni-tivo y el descubrimiento y representación de problemas. Además, se explicitala metodología de intervención e investigación empleada, la cuál apunta a im-plementar un Modelo de Integración Curricular en estudiantes de séptimo añobásico con énfasis en el desarrollo y potenciación de habilidades del siglo XXI

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a través del uso intensivo de tecnología portátil 1 a 1 en el sector curricular deMatemática. Por último, se da cuenta de los resultados de la implementación,en donde, para los estudiantes, se evidencian avances significativos entre lasmediciones de pre y posttest, llevando a la conclusión de que los estudiantespueden aprender en un ambiente enriquecido con tecnología y, además, desa-rrollan otras habilidades que no son triviales de lograr en otros ambientes.

2. Marco conceptual

En la última década, los rápidos avances tecnológicos han provocado un inte-rés en la utilización de computadoras portátiles como una herramienta de ins-trucción para mejorar el aprendizaje de los estudiantes (Cengiz & Demirtas,2005). Mundialmente, los estudios se han focalizado en el diseño de herra-mientas instruccionales educativas que potencien el desarrollo de habilidadesy competencias en los estudiantes, pero que a su vez permitan el surgimientode otras experiencias y dinámicas de trabajo dentro del aula. Países como Es-tados Unidos, Inglaterra y Australia cuentan en la actualidad con experienciaseducativas que ya reflejan los beneficios que se alcanza al trabajar con compu-tadores portátiles dentro del aula (Balanskat & Blamire, 2007; BECTA, 2007;European Schoolnet, 2006).

En Chile, las iniciativas impulsadas por investigadores chilenos han apuntado,en general, al mejoramiento de los aprendizajes de los alumnos, a la adquisi-ción de habilidades relacionadas con la tecnología, a la reducción de la brechadigital y en algunos casos al desarrollo de una fuerza de trabajo para el sigloXXI. Mientras que en el ámbito gubernamental, se han iniciado experienciascomo el proyecto “Enlaces Portátil” (Cabezas et al., 2008), cuyo objetivo fueexplorar los efectos del uso intensivo de computadores portátiles e Internet enlas actividades de aprendizaje dentro del aula. Sin embargo, aún se hace ne-cesario estudiar con mayor detalle el tipo de habilidades que desarrollan losalumnos. En este sentido, el aprendizaje colaborativo es una estrategia que hagenerado beneficios en los estudiantes. Cuando los alumnos tienen la oportu-nidad de trabajar juntos para construir nuevos conocimientos, desarrollan unentendimiento unánime del propósito del grupo y desarrollan la necesidad deapoyar el aprendizaje de unos con otros (Guilles, 2006). En un ambiente deaprendizaje colaborativo, el alumno se vuelve protagonista activo y centro delas actividades de aprendizaje, desarrollando un aprendizaje significativo conla ayuda de la tecnología y en colaboración con otros para construir nuevos co-nocimientos (Takahashi, 2000). En tanto, el profesor actúa como mediador, fa-cilitador y guía del aprendizaje, ayuda a los alumnos a construir conocimiento,planifica a partir de la consideración de las características de los estudiantes,

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propone actividades, proporciona instrumentos, orienta, motiva y evalúa conlos estudiantes (Miranda & Villarreal, en prensa).

La actual generación de estudiantes vive la tecnología como parte de su en-torno habitual. Por tanto, para satisfacer sus necesidades, la tecnología debeestar siempre disponible (Pedró, 2006; Prensky, 2009). En ambientes de apren-dizaje 1:1 cada estudiante tiene acceso a un computador portátil para usarloen el colegio y en la casa, permitiendo la comunicación y colaboración entrecompañeros y profesores, y conectando a los padres con el aprendizaje de sushijos. En tanto los profesores tienen a su disposición herramientas digitalespara crear planes de aprendizaje, manejar contenidos educativos y monitorearel progreso de los estudiantes.

Un aspecto conocido en la literatura, es que el aprendizaje de las matemáti-cas es complejo para los estudiantes, entre otras cosas, porque no las visua-lizan, son abstractas y con una simbología propia (Monereo, 2000; Onrubia,Cochera & Barberà, 2001). Para organizar la forma en que la tecnología pue-da tener efectos importantes en la formación matemática de los estudiantes,Martín, Beltrán y Pérez (2003) proponen propiciar ambientes realistas y enri-quecidos que faciliten las interacciones de grupo y que potencien el desarrollodel pensamiento estratégico, el desarrollo metacognitivo y el descubrimientoy representación de problemas (Santos, 2008). Las TIC permiten generar es-tos ambientes utilizando diagramas dinámicos que facilitan a los estudiantesel visualizar, manipular y entender los modelos matemáticos, motivándolos arealizar conjeturas en forma intuitiva para verificarlas posteriormente (Baugh& Raymond, 2003; Santos, 2008; Takahashi, 2000). Además, permiten a losestudiantes pasar de elementos concretos a lo abstracto para desarrollar gene-ralizaciones de las situaciones trabajadas, lo cual aumenta sus posibilidades deadquisición de conocimientos y habilidades (Schoenfeld, 1989; Feicht, 2000;Baker & Sugden, 2003) facilitando aspectos relacionados con el cálculo, lasgráficas y las construcciones geométricas, lo que permite centrar la instruccióny el trabajo en los aspectos más analíticos y reflexivos (de Guzmán, 1993).

Una dificultad al incorporar herramientas tecnológicas en matemática, es elcambio necesario en la estrategia de enseñanza y en el rol pedagógico del pro-fesor. Ya no es útil un esquema expositivo y lineal. Se requiere diseñar y expe-rimentar estrategias para facilitar la interacción del alumno con los conceptosmatemáticos para que surjan actividades como experimentar, conjeturar, gene-ralizar, poner a prueba hipótesis, deducir y reflexionar, las cuáles no siempreocurren en una situación de clases expositiva normal (Pifarré, 2004; Santos,2008).

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Una propuesta pedagógica que apunta en superar las limitaciones señaladas,es lo que se ha llamado el modelo interactivo para el aprendizaje matemáti-co. Este modelo fue desarrollado por el Centro Comenius de la Universidadde Santiago de Chile en el marco del proyecto de investigación y desarrollo“Aprender matemática creando soluciones”. El modelo corresponde a una for-mulación teórica (ideal) acerca de los elementos básicos que constituyen unasituación apropiada de enseñanza y aprendizaje del conocimiento matemáticoy de la interrelación dinámica que existe entre dichos elementos (ver Oteiza &Miranda, 2004). Ha sido usado para implementar soluciones en diversos nive-les del sistema educativo chileno así como también para desarrollar recursosdigitales interactivos y material de enseñanza que apoya el desarrollo de lasdinámicas e interrelaciones que postula el modelo (Miranda & Villarreal, enprensa).

Cuando se introduce las TIC en la clase, se requiere que los profesores ges-tionen más recursos y, posiblemente, controlen más de cerca a los estudiantes.Otra problemática puede surgir al existir un conflicto entre los diferentes pro-cesos durante la actividad. Por ejemplo, cuando se trabaja con simuladores serequiere una investigación y exploración por parte de los estudiantes y si setienen docentes muy centrados en un rol de impartir el conocimiento (claseexpositiva) y a los alumnos como receptores de estos, aparecen nuevos con-flictos.

El enseñar matemática por medio de una clase expositiva, puede ser lo másfácil para los docentes, pero que los estudiantes escuchen en forma pasiva, nogarantiza la comprensión de conceptos y procedimientos matemáticos, por loque se requiere una participación más activa de los estudiantes en su aprendi-zaje. Para esto, es necesario disponer de problemas matemáticos interesantes,material didáctico sofisticado, maestros calificados pedagógica y matemática-mente y estudiantes que participen de un ambiente de aprendizaje colaborativo(Takahashi, 2000).

En la medida que se avanza en la era de la información, los alumnos necesita-rán nuevos y distintos conocimientos, habilidades y técnicas para enfrentarsea tareas cognoscitivas de mayor complejidad, tales como las de trabajar enla resolución de problemas en general y la resolución de problemas en cam-pos mal estructurados o abiertos en particular (Goldenberg, 2000; Jonassen,2001; Reigeluth, 2000). Muchos problemas requieren usar y manipular mode-los, donde las TIC, además de generar estos modelos, permiten la visualizacióny utilización de diagramas dinámicos, donde los estudiantes visualicen, mani-pulen y entiendan, junto con motivarlos a realizar conjeturas en forma intuitivay posteriormente verificar estas conjeturas. Por ejemplo, los estudiantes pue-den trabajar y experimentar realizando simulaciones de probabilidades, donde

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la tecnología maneja grandes cantidades de datos y funciones en segundos,permitiendo obtener conclusiones (Baugh y Raymond, 2003). En este sentido,un ambiente de alta disponibilidad tecnológica como lo es el uso de tecnología1 a 1, presenta un escenario propicio para explorar el potencial en el desarrollode estas habilidades por parte de los estudiantes.

3. Metodología

Objetivos

El propósito general de este estudio fue el implementar un Modelo de Integra-ción Curricular en estudiantes de séptimo año básico con énfasis en el desarro-llo y potenciación de habilidades del siglo XXI a través del uso intensivo detecnología portátil 1 a 1 en el sector curricular de Matemática.

Más específicamente, el estudio consideró los siguientes objetivos específicos:

Proveer a los docentes de una estrategia metodológica 1:1 basada en laaplicación del modelo interactivo para el aprendizaje matemático delCentro Comenius.

Favorecer el uso de estrategias de colaboración y de comunicación através del uso intensivo de tecnología portátil 1:1.

Proveer recursos educacionales impresos y digitales para apoyar la im-plementación del modelo por parte de profesores y alumnos.

Implementar un proceso formativo con los docentes de Matemática parala apropiación de una metodología de aula centrada en el desarrollo delas habilidades del siglo XXI.

Acompañar a los docentes en la implementación de las estrategias peda-gógicas propuestas a través de visitas presenciales y de una plataformavirtual.

Evaluar el nivel de logro de los aprendizajes curriculares y de las habi-lidades del siglo XXI que se generan a partir del uso intensivo de tecno-logía portátil 1:1 por parte de los estudiantes; y el nivel de apropiaciónde la metodología y de habilidades tecnológicas en los docentes.

El modelo pedagógico

La metodología propuesta en este estudio, respondió a la necesidad de generarun modelo pedagógico con tecnología portátil 1:1 que permitiera:

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Promover un ambiente de aprendizaje eficaz.

Producir un impacto positivo en los aprendizajes.

Integrar buenas prácticas pedagógicas que signifiquen soluciones inno-vadoras y adoptables por los profesores.

Conectar a los alumnos y sus dispositivos de manera productiva me-diante una red inalámbrica que cumpla ciertas cualidades y requisitospedagógicos, por ejemplo comunicación controlada por el profesor.

Desarrollar aplicaciones pedagógicas basadas en tecnología móvil e inalám-brica simple, pero ricas en prácticas sociales.

Entender las prácticas sociales por las cuales las nuevas capacidades dela tecnología favorecen poderosas interacciones educativas.

Integracion Curricular de

TIC

Evaluacion

Desarrollo de HabilidadesSiglo XXI

Trabajo Colaborativo conuso de TIC

AcompanamientoFormacion de docentes

Figura 1: Representación esquemática del modelo pedagógico implementado

El modelo pedagógico propuesto en la Figura 1, consideró como lineamientofundamental el desarrollo de habilidades del siglo XXI en los estudiantes quese encuentran inmersos en un ambiente de aprendizaje donde se hace uso in-tensivo de tecnología portátil 1:1 en Matemática. Las habilidades consideradasse basaron en las propuestas por la organización Partnership for 21st CenturySkills de los Estados Unidos (http://www.21stcenturyskills.org) las cuales sealinean con las propuestas en la reforma curricular chilena:

Habilidades de información y de comunicación.

Habilidades de pensamiento y de solución de problemas.

Destrezas interpersonales y de autonomía.

En el marco de esta propuesta, los factores que intervienen en el desarrollode dichas habilidades guardan relación con cinco elementos. En primer lugar,

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trabajo colaborativo que, en la dimensión del estudiante, sirve para la cons-trucción de conocimiento a través de la interacción con los pares. En segundolugar, el acompañamiento, que sirve de vínculo entre el equipo investigadory los docentes participantes para apoyar el proceso de implementación peda-gógica del modelo. En tercer lugar, la formación docente, que sirve comoestrategia de instalación de competencias en los ámbitos pedagógicos y téc-nicos relacionados con el modelo propuesto. En cuarto lugar, la evaluación,que es concebida como una estrategia de constatación y valoración del esta-do de apropiación por parte de docentes y estudiantes del modelo propuesto.En quinto lugar, la integración curricular de TIC, que se entiende como lasestrategias a través de las cuales el curriculum escolar se articula de maneraconcreta con los recursos tecnológicos disponibles en el sector curricular pro-puesto por el modelo. Finalmente, todos los elementos anteriormente descritosconfluyen en un modelo pedagógico que es la propuesta concreta con la que seinterviene en el aula, y que sirve para desarrollar las habilidades del siglo XXI.

Los participantes en el estudio

El modelo se implementó durante el primer semestre del año escolar 2009 yabarcó un período de tiempo de dos meses. Los participantes en el estudiocorrespondieron a estudiantes y profesores de 10 establecimientos de dos re-giones administrativas de Chile: la Región Metropolitana y la V región. Entotal, en el área curricular de matemática participaron 373 estudiantes y 10profesores.

Los recursos digitales interactivos

Un elemento central en la intervención propuesta fue el contar con recursos di-gitales interactivos especialmente diseñados para usar en la sala de clases en elmarco del modelo interactivo y con una alta disponibilidad de tecnología. Paraello se diseñaron un conjunto de recursos y guías de enseñanza focalizadas enlos temas de geometría y números.

3.1. Análisis y sistematización de información

Se desarrolló un proceso de evaluación al inicio, durante y al término del pro-yecto para la constatación de los logros alcanzados a nivel de alumnos de cadaestablecimiento educacional. Para ello, se utilizaron tanto instrumentos estan-darizados como informales para recopilar información, además del uso de bi-tácoras y portafolios para los docentes.

Dentro de los procedimientos de evaluación para la constatación de logros al-canzados por alumnos y docentes se utilizaron las siguientes estrategias:

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Con los estudiantes:

Diseño y validación de instrumentos de pretest y postest

Evaluaciones a modo de pre y postest de los aprendizajes esperados deMatemática, utilizando para ello un instrumento diseñado para tal efecto.

Con los docentes:

Evaluación de los aprendizajes metodológicos y tecnológicos a través defocos grupales, entrevistas en profundidad y observación en aula.

Sistematización de todos los materiales y recursos didácticos elabora-dos y desarrollados por los docentes y alumnos durante la ejecución delproyecto.

La información de carácter cuantitativo fue procesada y analizada mediante elsoftware de análisis estadístico SPSS. Junto con los análisis descriptivos usua-les, se utilizaron pruebas t para muestras dependientes para analizar diferenciasentre el pre y post test entre grupos (por colegios participantes y por región).La información de carácter cualitativo, fue procesada mediante el software li-bre de análisis documental Weft QDA. La información analizada provenientede la transcripción de entrevistas y de los grupos focales con estudiantes yprofesores fue codificada y categorizada en temas emergentes y concurrentesconsiderados relevantes para efectos de este estudio. Sin embargo, el énfasisen este artículo está puesto en la información cuantitativa.

4. Resultados

Descripción de los participantes

En este estudio participaron 10 establecimientos municipales y particularessubvencionados, cinco de la V Región y cinco de la Región Metropolitana. Lasiguiente tabla muestra el detalle de los establecimientos que fueron seleccio-nados para participar según región y dependencia.

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Tabla 1Establecimientos participantes según región y dependencia

Establecimiento Región DependenciaColegio Santiago Metropolitana Particular subvencionadoColegio Santa María de Santiago Metropolitana Particular subvencionadoLiceo Abdón Cifuentes Metropolitana MunicipalColegio El Sembrador, Anexo 2 Metropolitana Particular subvencionadoColegio Sagrado Corazón Metropolitana Particular subvencionadoWindmill Collage Quinta MunicipalColegio Ana María Janer Quinta Particular subvencionadoColegio María Auxiliadora Quinta Particular subvencionadoEscuela Alemania Quinta MunicipalColegio Guardiamarina Quinta Municipal

Guillermo Zañartu Irigoyen

Por cada establecimiento participante se seleccionó un curso de séptimo añobásico para implementar el modelo y un profesor de matemática de ese cur-so, constituyéndose una muestra de 10 profesores de matemática. En la tablasiguiente se muestran los cursos seleccionados por cada establecimiento y elnúmero de estudiantes participantes en el estudio.

Tabla 2Número de estudiantes por establecimiento seleccionado

Establecimiento Curso Nro. deestudiantes

Colegio Santiago 7º A 43Colegio Santa María de Santiago 7º A 30Liceo Abdón Cifuentes 7º B 36Colegio El Sembrador, Anexo 2 7º A 37Colegio Sagrado Corazón 7º A 35Windmill College 7º C 38Colegio Ana María Janer 7º C 40Colegio María Auxiliadora 7º A 35Escuela Alemania 7º A 43Colegio Guardiamarina Guillermo Zañartu Irigoyen 7º C 36Total 373

En la distribución de los estudiantes por región, un 51 % (192) correspondea la V región y un 49 % (181) a la Región Metropolitana. Sin embargo, paraefectos de los resultados, la muestra original se ajustó en función de aquellosestudiantes que rindieron las pruebas pretest y postest, llegando a un total de266 estudiantes.

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4.1. Recursos digitales interactivos

Para implementar el modelo propuesto, se utilizó un computador portátil Class-Mate PC de Intel para cada estudiantey un computador portátil para cada profe-sor. Además, cada sala estuvo provista de un proyector con telón de proyeccióny de un mueble que permitiera guardar y cargar los computadores al mismotiempo. Para apoyar todos los procesos formativos y de implementación en elaula, se utilizaron recursos digitales e impresos, diseñados especialmente paratal efecto. A continuación se presentan y describen brevemente una muestraseleccionada de seis de los recursos digitales interactivos diseñados, los queestuvieron disponibles para los profesores y estudiantes en una plataforma vir-tual y en un CD de recursos.

Este recurso permite explorar la condiciónde existencia de un triángulo dadas las di-mensiones de cada uno de sus lados. Elmanipulativo permite al usuario crear tressegmentos específicos moviendo una barrade desplazamiento y, luego de determinar-los, acomodarlos en la pantalla arrastrán-dolos hasta formar un triángulo. La idea esdescubrir condiciones para la construcciónde un triángulo, basada en la dimensión delos lados representada por la desigualdadtriangular (a < b+ c).

Figura 2: Construcción de un triángulo según sus lados

Este recurso interactivo permite observar lavariación de la sombra de un árbol cuandose modifica su altura y descubrir que la re-lación entre estas dos medidas es siempreuna razón constante. El manipulativo per-mite al usuario mover el sol y observar di-ferentes proyecciones de sombras, modifi-car la altura y obtener distintas dimensio-nes de sombras, calcular la razón entre laaltura y la sombra, y estudiar cuándo estarazón se mantiene y cuándo cambia.

Figura 3: El árbol y su sombra

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Esta aplicación permite visualizar como sepuede obtener las bisectrices en un trián-gulo de papel usando papiroflexia. La se-cuencia mostrada ayuda a comprender quecada bisectriz divide exactamente al ángu-lo en la mitad, y que las tres bisectrices enun triángulo se intersectan en un punto in-terior llamado Ortocentro.

Figura 4: Bisectrices: Dividiendo ángulos a la mitad

Este recurso digital permite conocer unmétodo novedoso para encontrar la direc-ción Norte. Se puede manipular el relojanálogo para ubicar el 12 frente a la di-rección del sol, identificar el ángulo que seforma y trazar su bisectriz. El recurso per-mite comprobar la ubicación del norte y elvalor de cada ángulo descrito por la bisec-triz. Es una buena forma de introducir elconcepto de bisectriz de un ángulo.

Figura 5: Bisectrices. Método del reloj

Este recurso digital permite estudiar la re-ducción y ampliación de imágenes mani-pulando las dimensiones del largo y anchode la reproducción de una foto determina-da. Se puede elegir entre tres fotos de pai-sajes y luego cambiar el largo y ancho dela imagen a ampliar o reducir mediante dosbarras de desplazamiento. La idea es sabercon qué pares de medidas se puede crearimágenes proporcionales y así diferenciar-las de otras no proporcionales.

Figura 6: Ampliación y reducción

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Este recurso digital permite comprender laidea de un porcentaje como una parte deun total. El estudiante puede crear una gri-lla de hasta 20x20 y sombrear una parte deella para explorar de manera interactiva ydinámica la relación entre números y por-centajes.

Figura 7: Porcentajes

Resultados de la implementación con los estudiantes

Los resultados muestran un importante incremento general en el puntaje delos estudiantes, medido como porcentaje de respuestas correctas (PRC), entreel pre y el post test. En promedio, los estudiantes ganaron 24,7 puntos porcen-tuales entre el pre y el post test, diferencia que es estadísticamente significativa(t(265) = 17,8, p < 0,01). En el análisis realizado para cada una de las ca-tegorías consideradas en las variables dependientes controladas en el estudio,se establecieron diferencias significativas entre el pre y el post test para todasellas. Estos resultados se resumen en la Tabla 3.

Tabla 3Comparación de diferencias de medias entre pre y post test para matemática

por género, dependencia y región

Variable CategoríasDiferenciade medias(post - pre)

SD N t p

Género Mujeres 22,5 21,6 116 11,2 (**) 0,000Hombres 26,1 23,2 150 13,8 (**) 0,000

Dependencia Municipal 20,9 19,3 82 9,8 (**) 0,000Particular sub-vencionado 26,2 23,7 184 14,0 (**) 0,000

Región V Región 28,2 21,5 117 14,2 (**) 0,000Metropolitana 21,7 23,0 149 11,5 (**) 0,000

Total 24,7 22,6 266 17,8 (**) 0,000Nota: (**) p < 0,01

Es interesante notar que la diferencia de medias por dependencia es menor pa-ra los establecimientos municipales que para los particulares subvencionados

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(20.9 vs 26.2 puntos porcentuales de diferencia respectivamente), lo que sugie-re un mayor impacto, en general, a favor de los particulares subvencionados.Sin embargo, el tamaño de la muestra considerada para los municipales (N=82vs N=184 respectivamente) puede estar influyendo en este resultado, dado queestán subrepresentados en la muestra.

La Figura 8 permite comparar la diferencia de puntajes para cada uno de los es-tablecimientos participantes que aportaron datos válidos para el estudio. Aquíse puede observar que hay un incremento consistente en el post test para todoslos establecimientos, no obstante que dicho incremento varía notablemente deescuela en escuela. Claramente aquí se ratifica el hecho que los incrementostienden a favorecer a los colegios particulares subvencionados (e.g. SagradoCorazón) respecto de los colegios municipales (e.g. Abdón Cifuentes o Wind-mill).

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

Santia

go

Sta.

María

ElSem

bra

dor

Abdón

Cifuentes

Sagra

do

Cora

zón

CO

GG

ZA

I

Ana

Ma.

Javie

r

Ma.

Auxilia

dora

Win

dm

ill

Pre test

Post test

Escuela

PRC

Figura 8: Gráfico con la distribución por escuela de lospuntajes (porcentaje de respuestas correctas) del pre ypost test.

En la Figura 9, se muestran los resultados del post test por región y agrupa-dos por dependencia. Aquí se puede observar claramente de nuevo como losresultados tienden a favorecer a los colegios particulares subvencionados. Sinembargo, al analizar los resultados por región se observa que la diferencia tien-de a acentuarse en la V Región y, en cambio, es sólo levemente superior en laRegión Metropolitana.

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0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

Región Metropolitana V Región

Dependencia

Municipal

Particular

subvencionado

Región

Post

test

(PRC)

Figura 9: Gráfico con los resultados del post-test segúnregión y dependencia.

En las tres figuras siguientes (Figuras 10, 11 y 12), se muestra y compara ladistribución de los puntajes del pre y post test según región, género y depen-dencia. Aquí se puede observar que la distribución de puntajes del pretest eshomogénea para el género (rango, mediana y rango intercuartil similares), pe-ro no así por región y dependencia. También se puede observar un corrimientopositivo de la mediana al comparar el pre y el post test para todos los casos, loque confirma los resultados de incremento positivo encontrados al comparar ladiferencia de medias entre el pre y el post test.

0

20

40

60

80

100

Región Metropolitana V Región

Pre test

Post test

Región

◦37

◦108

◦12

◦68

◦90

Figura 10: Distribución por región de los puntajes de losestudiantes para el pre y post test

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0

20

40

60

80

100

Hombre Mujer

Pre test

Post test

Género

◦90

Figura 11: Distribución por género de los puntajes de losestudiantes para el pre y post test

0

20

40

60

80

100

Municipal Particular subvencionado

Pre test

Post test

Dependencia

Figura 12: Distribución por dependencia de los puntajesde los estudiantes para el pre y post test

Resultados de la implementación con los profesores

Los antecedentes analizados se generaron a partir de entrevistas a docentes,observación de clases y focus grupales. Los docentes manifiestan que la par-ticipación en este proyecto les significó reflexionar sobre sus propios conoci-

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mientos y prácticas, además de desarrollar habilidades de orden superior. Esto,a su vez, les permitió apoyar de mejor manera el desarrollo de estas habilida-des en sus estudiantes. La formación permanente fue altamente valorada porlos docentes, quienes manifiestan una mejor disposición y prefieren una ca-pacitación tecnológica práctica por sobre una teórica. El desarrollo de dichashabilidades tecnológicas fue también un logro importante para los docentesparticipantes. A medida que avanzaba la experiencia, los docentes señalaronque se iban apropiando del uso de elementos tecnológicos y se sentían másseguros y satisfechos de su labor. El apropiarse de la metodología propuestales permitió variar sus métodos de enseñanza y mirar desde otra perspectivalas actividades, privilegiando el desarrollo de habilidades de pensamiento másque el llegar a resultados uniformes.

5. Conclusiones

El proyecto “Aprendiendo Matemáticas con tecnología portátil 1 a 1”, tuvocomo principal propósito contribuir al desarrollo de habilidades de matemáticaa través de la implementación de una propuesta didáctica curricular donde losestudiantes estuvieran inmersos en un ambiente con acceso a un uso frecuentede tecnología portátil 1 a 1. El modelo fue diseñado para estudiantes de séptimoaño de la enseñanza básica chilena y puesto a prueba en diez establecimientosdistribuidos en las regiones V y Metropolitana.

Los principales elementos puestos en juego al momento de implementar esteproyecto fueron la existencia de una propuesta curricular de uso en el aula contecnología 1 a 1, una oferta formativa desarrollada para la apropiación docentede estos recursos, la oportunidad curricular que ofrecen los planes y programasde estudio del subsector de Matemática y una propuesta para el desarrollo deacompañamiento en sus prácticas de aula.

En cuanto al desempeño de los estudiantes, se evidencian avances significa-tivos entre las mediciones de pre y postest. Esto muestra que los estudiantespueden aprender en un ambiente enriquecido con tecnología y, además, desa-rrollan otras habilidades que no son triviales de lograr en otros ambientes. Enefecto, los estudiantes declaran haber desarrollado aprendizajes asociados a labúsqueda de información y al manejo efectivo de la misma, así como las posi-bilidades de profundizar y relacionar temáticas que abordaban en clases por elhecho de utilizar la tecnología portátil para esos fines.

En un período tan corto de tiempo de implementación en aula del proyecto(dos meses durante el primer semestre del año escolar 2009), y con un núme-ro escaso de intervenciones, los estudiantes igualmente evidencian desarrollo

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de habilidades que se alinean con las de pensamiento superior, lo que se pue-de explicar de alguna manera por el trabajo de la determinación y búsquedade argumentos y resolución de problemas implementadas por el modelo. Losestudiantes, a partir de las propuestas didácticas y los recursos utilizados enclases, comienzan a comprender la importancia de desarrollar un discurso queconsidere razones y argumentos. Del mismo modo, aprenden a razonar ma-temáticamente a través de hacer explícitas sus conjeturas y colaborar con suspares en la búsqueda de patrones y soluciones a problemas desafiantes y abier-tos.

A nuestro juicio, otro de los grandes aportes de la utilización de la tecnologíaportátil 1 a 1 en el aula fue en la generación de espacios de comunicación, tan-to a nivel académico como personal, para los estudiantes. Las posibilidades deconectividad e interconexión entre los estudiantes permitieron la retroalimen-tación entre pares, así como la entrega de opiniones y apreciaciones frente a lostrabajos que desarrollaban en clases. Este es un aspecto de mucho potencial,pero también muy desafiante para la cultura escolar imperante, y que requieremás atención e investigación.

Los estudiantes reconocen que las actividades propuestas para ser desarrolla-das con tecnología resultaron más motivadoras. Además destacan que el traba-jo colaborativo desarrollado favoreció la reflexión y la posibilidad de compar-tir puntos de vista y soluciones negociadas frente a los problemas planteados.Todo ello contribuye a un ambiente positivo en donde se favorece el logro delos aprendizajes esperados. Los estudiantes destacan muy especialmente la po-sibilidad de acceder a clases con tecnología en la cual tienen oportunidad dedesarrollar sus competencias de búsqueda, selección, sistematización y presen-tación de información, teniendo con ello un rol más protagónico en la clase.

Los docentes, en su mayoría, modificaron sus prácticas, principalmente en loque dice relación con la incorporación de tecnología en su quehacer pedagó-gico, la utilización de nuevas estrategias de enseñanza y aprendizaje y la ge-neración de condiciones dentro del aula para que los alumnos desarrollen lashabilidades de pensamiento superior y los aprendizajes esperados para el sec-tor. No obstante, se pudo observar que el grado de autonomía que se le entregaal estudiante para que se haga cargo de su aprendizaje requiere de condicionestécnicas y de implementación de las actividades en el aula particulares y deprofesores muy bien preparados y asumidos en su nuevo rol, lo que no siemprees posible de lograr. En este sentido, no es la tecnología la limitante sino el rolque asume el profesor en un modelo pedagógico que demanda menos clasesfrontales y mucho más gestión de los procesos de aprendizaje.

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Por último, es importante volver sobre el rol jugado por los estudiantes en esteproceso, rol que ha sido diverso y también crítico para generar los cambios ylogros que se esperaban en el aula. Ha faltado, en general, protagonismo delos estudiantes en el proceso. Emerge así la necesidad importante de generarinstancias reales para que ellos puedan participar de las actividades propuestasde manera sistemática y asumir un rol protagónico en su aprendizaje. Hay quetrabajar más y con mayor profundidad en el cambio de percepción por parte delos profesores respecto de las capacidades creativas de los estudiantes. Esto esparticularmente importante si consideramos que el uso de la capacidad creativaes una de las habilidades del siglo XXI que se destaca como relevante y crucialen la sociedad del conocimiento, que es el espacio que les tocará desenvolversea los estudiantes que asisten a la escuela hoy.

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Software

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El ordenador de mano (PDA, UMPC, Tablet PC) comorecurso para investigar en el entorno1

María Mercedes Rodríguez Sá[email protected]é María Chamoso Sá[email protected]é Manuel Vacas Peñ[email protected] Urones [email protected]

Departamento de Didáctica de la Matemática yDidáctica de las Ciencias ExperimentalesFacultad de Educación, Universidad de SalamancaEspaña

Resumen

La utilización del entorno real para el aprendizaje de contenidos ma-temáticos se puede facilitar con el uso del ordenador de mano (PDA,UMPC, Tablet PC). eFieldBook es un programa que hemos diseñadocon esos objetivos y permite que el ordenador pueda convertirse en unaherramienta que pueda guiar las observaciones de los alumnos cuandorealizan rutas matemáticas en el entorno, utilizar recursos multimediay de otro tipo, acceder a bases de datos, realizar conexiones a internet,establecer conexiones con los compañeros y con el profesor o realizarfotografías, por ejemplo. De esa manera se espera que se facilite con-seguir un aprendizaje significativo y que se mejore el rendimiento y laactitud de los estudiantes hacia el aprendizaje de la matemática.

Palabras clave

Tecnología, entorno cotidiano, rutas matemáticas.

Abstract2

The use of real-world environment for learning mathematical contentcan be facilitated with the use of handheld computer (PDA, UMPC,Tablet PC). eFieldBook is a program that we designed with those goalsand allows the computer can become a tool that can guide students’ ob-

1 Este trabajo fue presentado en la XIV Jornadas para el Aprendizaje y Enseñanza de lasMatemáticas (XIV JAEM), realizada del 1 al 4 de julio de 2009 en Girona, España.

2 El abstract y las key words fueron agregados por los editores.


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206 M. M. Rodríguez Sánchez, J. M. Chamoso Sánchez, J. M. Vacas Peña, C. Urones Jambrina

servations when doing math routes in the environment, using multime-dia resources and otherwise, accessing databases, Internet connections,connections with peers and with teacher or take pictures, for example.Thus it is expected to facilitate meaningful learning and achieving animproved performance and student attitude towards learning mathemat-ics.

Key words

Technology, Everyday environment, Mathematical routes.

1. Introducción

Los docentes de Matemáticas no pueden olvidar su responsabilidad de formarciudadanos en una cultura acorde con el estado de la sociedad actual. Durantela escolaridad obligatoria el estudiante debe ser instruido, junto con técnicasespecíficas de cada materia, en la cultura general que constituye la base delconcepto actual del mundo. El objetivo principal es conseguir una formaciónintegral del alumno por medio de un aprendizaje significativo con el que seespera mejorar su rendimiento y su actitud.

Esto se puede hacer mediante una forma de enseñanza abierta y participativa,cercana a la calle y al ciudadano usual. Para ello se pueden utilizar situacionescercanas a la vida diaria que sean enriquecedoras, tengan en cuenta las ex-periencias previas y los diferentes intereses, y permitan organizar actividadespara el disfrute, la motivación y el estímulo y para lo que también se puedeutilizar la tecnología. De esta forma las Matemáticas se convertirían en algocotidiano y familiar que se podrían encontrar en cualquier lugar y con lo quese espera que los estudiantes se dieran cuenta de que, lo que estudian en elaula, existe fuera de ella.

Específicamente se pretende:

Conseguir que las Matemáticas sean parte de la vida real, de la sociedady de la cultura.

Acercar las Matemáticas, hacerlas útiles, interesantes, cotidianas y di-vertidas.

Dar sentido a los contenidos matemáticos.

Tener en cuenta la diversidad.

Conseguir diferentes formas de presentar una situación.

Fomentar el espíritu de innovación y creatividad.

Facilitar la exploración y la expresión.

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El ordenador de mano (PDA, UMPC, Tablet PC) como recurso para investigar en el entorno 207

Orientar y dar fluidez a las tareas.

Conectar actividades.

Desarrollar técnicas visuales y de recodificación.

Desarrollar argumentaciones y razonamientos.

Trabajar de forma cooperativa para construir relaciones sociales y orga-nizar discusiones.

Enseñar y aprender de forma diferente.

Para lograrlo se puede hacer uso del entorno cotidiano en forma de rutas ma-temáticas con apoyo de la tecnología donde se persiguen dos aspectos impor-tantes: la posibilidad real de encontrar Matemáticas en el medio físico y suutilidad como recurso didáctico que permite extraer actividades para desarro-llarse con los estudiantes. De esa forma se estarían integrando las Matemáticasen el contexto del alumno con el objetivo de aumentar su motivación y de con-seguir que se adquieran unos conocimientos más significativos y duraderos.

2. Acercar el entorno al aprendizaje mediante rutas matemáticas

Entendemos por ruta matemática a utilizar el entorno real para enseñar conte-nidos matemáticos. Mediante una observación exhaustiva y reflexiva del con-texto cercano ya sea, por ejemplo, paseando por una calle, comprando en elsupermercado o examinando un monumento, se pueden entresacar contenidosmatemáticos enriquecedores (por ejemplo Chamoso, Cáceres, Azcárate y Car-deñoso, 2007; Chamoso, Graña, Rodríguez y Zárate, 2005; Chamoso, Fernán-dez y Reyes, 2009; Chamoso y Rawson, 2003a, 2003b, 2004). De esa formase espera que el estudiante muestre interés por tales contenidos, los aprenda demanera significativa e intente descubrir otras Matemáticas en su entorno ex-trayendo las aplicaciones que encuentre. Así las Matemáticas pasarían de seralgo extraño a formar parte de la vida real y de la existencia cotidiana.

Se debe ser consciente de que la vida diaria no está organizada como lo está unlibro de texto, donde se cuida con especial esmero el orden didáctico de pre-sentación de los contenidos, pero también se debe tener en cuenta que se debepreparar a los estudiantes para esa “desordenada” vida diaria porque es la quevan a encontrar. Además se considera que esa forma de aprender Matemáticaspermite que el estudiante sea protagonista de su propio aprendizaje y desarrollehábitos de observación, análisis y reflexión sistemática de la realidad.

En esencia se trata de organizar una serie de actividades matemáticas que sur-gen a partir de objetos o situaciones que se encuentren en la calle o en un cierto

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entorno concreto, normalmente fuera del aula, que faciliten a los estudiantesconseguir ciertos conocimientos, afianzar aprendizajes adquiridos y favorecersu generalización a diferentes contextos y realidades. Si esto fuera posible, laestrategia de enseñar y aprender Matemáticas utilizando el entorno real inme-diato se convertiría en un recurso pedagógico de gran interés que los docentesdeberían considerar. Los estudiantes dispondrían de múltiples ejemplos sobrela realidad para un mismo contenido, primeramente ofrecidos por su profesory, después, descubiertos por ellos mismos. Así se facilitaría la comprensión yaplicación de los conceptos de diferentes maneras, y se incrementaría su inte-rés y motivación.

Una ruta se puede plantear de distintas maneras como, por ejemplo, pasear ydiscutir sobre cualquier aspecto que se vea con relación a las Matemáticas; ir asitios concretos, marcados previamente, para ver cosas determinadas; basarseen aspectos concretos como, por ejemplo, la proporcionalidad; identificar losobjetivos de la unidad didáctica que se está trabajando y usar la ruta para con-seguirlos o hacer la ruta, anotar lo que se descubra y, posteriormente, observarsi se cumplen los objetivos iniciales.

Se pueden organizar rutas para presentar una unidad o para afianzar concep-tos. O de muchas otras formas. Pero, si se decidiese trabajar de esa manera,antes de organizar la ruta sería fundamental tener en cuenta aspectos como lascaracterísticas y edades de los estudiantes a los que se dirija, la parte de las Ma-temáticas sobre la que se quiere hacer hincapié, el tiempo del que se disponey las personas que van a supervisar el trabajo de los alumnos. Posteriormentehabrá que organizar cómo se quiere desarrollar, si se hará de forma individualo en grupo (en este caso habría que considerar el número de miembros de cadauno de ellos), cómo se enfocará la supervisión, el material necesario y cómose completará el trabajo de la ruta en sesiones posteriores en el aula.

Para que esta forma de trabajo sea realmente productiva es fundamental la la-bor del profesor quien debe realizar un trabajo previo y otro posterior en elaula. En concreto el docente deberá planificar cuidadosamente el objetivo dela ruta. Se considera necesario profundizar en el aprendizaje derivado de estasactividades a través del análisis, el razonamiento y la reflexión posterior. Porejemplo las ventanas despiertan ideas de fracciones y porcentajes. Enseguidael profesor puede disponer de ejemplos de cómo expresar las fracciones deformas distintas en el aula, incluyendo actividades prácticas e ideas para reali-zar posteriormente investigaciones en el aula. También debe saber orientar lasobservaciones de los alumnos. Para ello se deben tener en cuenta los pasos si-guientes: familiarización, realización, aplicaciones prácticas y extensión a lasinvestigaciones. Los dos primeros se pueden dar en la ruta y los dos últimos enel aula aunque el tercero se puede realizar, o al menos iniciar, en la ruta. To-

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das estas decisiones que el profesor tiene que tomar deben estar condicionadaspor dos aspectos básicos: el desarrollo evolutivo de los alumnos y su nivel deconocimientos previos.

3. El programa eFieldBook

Para ayudar a introducir la tecnología en la realización de rutas matemáticashemos desarrollado el programa eFieldBook (más detalle Vacas et al., en pren-sa) que, en su versión actual, permite flexibilidad para la toma de datos, elcuaderno de notas y las fotografías para que se pueda realizar de forma similarque con herramientas tradicionales.3 Además ofrece otras posibilidades, algu-nas configurables por el usuario, que pueden facilitar que esta herramienta seadapte a las características personales del que la utilice. Por ejemplo, guiar lasobservaciones de los usuarios utilizando, si parece apropiado, recursos multi-media por ejemplo, lo que le otorga un alto potencial didáctico; aumentar laseguridad de los datos del que lo utiliza al facilitar su envío y posición a inter-valos regulares de tiempo; exportar los datos a otros programas como Word,Excel e incluso a paquetes estadísticos. Por otro lado, al facilitar la recogida yel análisis de la información hace que el programa pueda ser una herramientapara la investigación. Se trata de un proyecto abierto que se irá perfeccionan-do a lo largo de los años a partir tanto de la propia experiencia como de lasopiniones de los usuarios.

3.1. Objetivos

El objetivo fundamental por el que se creó fue aprovechar las posibilidades dela tecnología para favorecer las posibilidades de investigar en el entorno, eneste caso cuando se realizan rutas matemáticas, y de fácil utilización. Ademáspermite que cada usuario pueda tomar datos diferentes. En concreto posibilitael acceso a recursos como, por ejemplo, imágenes o fotos de cualquier tipo,cámara fotográfica digital, GPS, telefonía móvil y acceso a la red WWW porconexión de telefonía móvil o conexión Wi-Fi desde cualquier lugar que posi-bilita, por ejemplo, acceder a una base de datos personal o institucional (Figura1). Algunas de sus posibilidades son:

Enviar datos y posición a intervalos regulares.

Exportar datos a Word y Excel.

Guardar información con datos de localización en 3D.3 Este programa se puede descargar gratuitamente en la página http://web.usal.es/˜jmvp .

Añadido por la Dirección de los Cuadernos.

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Figura 1: Pantalla inicial del programa que muestra el menú y un TabControlcon una página activa. En (a) se muestran los datos GPS y otras tres pestañasque muestran los mapas cuando son seleccionadas. A la derecha, botones conlas opciones más utilizadas. En (b) Se ha seleccionado en el TabControl elMapa 3. Si está conectado a un GPS, señala la posición geográfica del usuario.Los mapas 1 y 2 también indican la posición geográfica del usuario.

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Figura 2: Muestra la pantalla de “chat”. Se pueden establecer tantas redesindependientes como sean necesarias simplemente cambiando el nombre de lared.

Guiar las observaciones, la toma de datos, y dar explicaciones con soni-do y vídeo.

Intercambiar información en tiempo real con otras personas, chatear yenviar o recibir imágenes y archivos (Figura 2).

Facilitar información personal previa de cualquier tipo.

3.2. Lenguaje de programación y posibilidad de utilización

El programa fue desarrollado con Visual Studio 2008. El sistema de bases dedatos propuesto es SQL y se utilizaron los dispositivos Tablet PC y UMPC.Funciona con Windows Vista.

3.3. Estructura del programa

La pantalla de inicio incluye un menú principal con las opciones Parámetros,GPS, Mapas, Recursos; un TabControl para poder acceder a los datos del GPSy a tres planos o mapas y un Panel con 12 botones que permite acceder a lasopciones más utilizadas. A continuación se detalla cada uno de ellos.

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Parámetros. Permite las siguientes opciones:

Importar y calibrar: Permite importar y calibrar cualquier imagen o fo-tografía.

Exportar a PDA: Permite dividir cualquier imagen previamente calibra-da en trozos y calibrarla para poder ser utilizada en una PDA.

Transformación de coordenadas ED50-GSW84: Permite calcular los da-tos en coordenadas geográficas y UTM.

Cuaderno de campo: Permite crear fichas en una base de datos SQL encada una de las cuales se recoge la posición, fecha y hora de la observa-ción . Además tiene las opciones:

1. Barra de herramientas: Permite acceder de unas fichas a otras.2. Entorno: Permite acceder a datos de texto e imagen.3. Foto: Permite acceder a la posibilidad de hacer fotos.4. TabControl:

• Dibujo: Permite dibujar incluso sobre una foto importada.• Descripción: Permite escribir de manera similar a como se ha-

ce en un cuaderno, incluso a mano alzada.• Estratigrafía: Permite introducir datos que pueden ser modi-

ficados por el usuario para adaptarlos al objetivo que se pre-tenda, con opciones abiertas para que se pueda, por ejemplo,modificar el nombre.

• Tectónica: Permite introducir fácilmente datos que pueden sermodificados por el usuario para adaptarlos a su objetivo, conopciones rediseñables.

• Otros datos: Incluye 22 opciones rediseñables por el usuario.• Tabla: Permite mostrar los datos introducidos en una tabla y

conservar cambios.

Editar Base de Datos: Permite diseñar el cuaderno de notas con editoresindependientes para cada opción para que pueda ser modificado por elusuario.

Parámetros: Permite modificar algunas propiedades del programa paraadaptarlo al tipo de ordenador que se utilice y al usuario que lo manejecon las siguientes posibilidades:

• Puerto de comunicaciones. Permite especificar el puerto de cone-xión del GPS (Com1. . . Com12) y su velocidad en baudios.

• Guardar recorrido: Permite guardar el recorrido que se realice pordistancia o tiempo.

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• Enviar posición: Envía la posición del investigador, a intervalos detiempo, en coordenadas UTM, junto con la fecha y hora.

• Puntos de estudio: Avisa acústicamente de que se está cerca delugares de interés.

• Correo: Permite introducir la dirección de correo a la que se deseaque se envíen los datos de posición seleccionados.

Guardar recorrido: Guarda las coordenadas UTM, fecha, hora y alturade acuerdo con los valores que se hayan seleccionado en la opción Pará-metros.

Salvar recorrido: Ofrece la opción de guardar los datos del recorrido.

Enviar datos y posición: Permite activar la opción del envío periódico dedatos de acuerdo con los valores seleccionados en la opción Parámetros.

Programa: Muestra datos sobre el programa y autores.

GPS: Conecta y desconecta el GPS al ordenador o a lo que esté asociado.

Mapas: Tiene las opciones:

Mapa 1, Mapa 2 y Mapa 3: Carga planos, mapas o fotos que se hayanintroducido previamente con las opciones de Mapa1, donde la imagen secentra en la posición que en ese momento indica el GPS; en la pestañaMapa2, que ocupa toda la ventana y, en Mapa3, que incluye deslizadoresque permiten que se desplace con un puntero o con el dedo si se trata deuna ventana activa.

Cartografía: Permite dibujar de forma similar a como se hace en un cua-derno de notas tradicional ya sea a mano alzada, con líneas y rectángulosde diferentes grosores y colores e incluso borrar lo que parezca adecua-do.

Descarga de imágenes y fotos: Permite descargar imágenes y fotos dediferentes servidores de Internet. Dispone de un ComboBox que posibi-lita seleccionar el servidor de internet de descarga. Tiene otras opcionescomo la posibilidad de elegir resolución de la imagen que se desea des-cargar.

Recursos: Tiene las siguientes opciones:

Fotografía: Permite realizar fotografías si el ordenador dispone de cá-mara fotográfica.

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Reconocer escritura: Permite reconocer lo que se escriba a mano alzadae incluso exportarlo a la opción “Descripción” de la base de datos.

Correo: Permite escribir y enviar directamente correo electrónico sinningún otro programa.

Buscar coordenadas: Permite buscar las coordenadas UTM de cualquierpunto de un mapa o foto previamente calibrado.

Proyección de datos: Permite proyectar datos previamente guardados enel cuaderno de campo de diferentes ocasiones o de diversos miembros deun grupo de trabajo y el cuaderno de notas donde se pueden proyectar,por ejemplo, puntos de observación.

Chat: Permite chatear en tiempo real con varias personas simultánea-mente y enviar una imagen o un fichero a los miembros de la red queestén conectados.

4. Conclusiones

Las rutas matemáticas ofrecen la posibilidad de utilizar el entorno como fuen-te de actividades matemáticas, como un recurso que contribuye a enriquecerla enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas en el aula. Su importancia radi-ca, fundamentalmente, en tres aspectos relacionados: permiten descubrir quelas Matemáticas son algo familiar y próximo a los estudiantes, favorecen unaprendizaje significativo de los contenidos matemáticos y estimulan el inte-rés y la curiosidad de los alumnos para investigar Matemáticas. El primero deellos contribuye a desmitificar la concepción tradicional de las Matemáticascomo disciplina poco útil. Con el segundo se intenta conseguir que los estu-diantes aborden los contenidos matemáticos de una manera más comprensiva,interrelacionada, cercana y estable. Y, con el tercero, se pretende luchar contralas actitudes negativas de los estudiantes hacia las Matemáticas. Sin embargono se debe olvidar que una ruta matemática puede servir para sugerir ideas yaumentar la concentración en una programación corta pero no es más que unrecurso entre los muchos existentes. Que cada docente lo utilice o no dependede su confianza en esta forma de trabajo.

El programa que se presenta permite guiar las observaciones y la toma de da-tos, (incluso con voz y video), dar explicaciones y proponer actividades a losalumnos a lo largo de un recorrido. Además añade una forma rápida y condiversas posibilidades de introducir datos y tenerlos a disposición para hacertodo tipo de cálculos y representaciones gráficas ya que pueden ser exportadosa otros programas como Excel y Word. Incluso permite dirigir la observación

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del alumno a lo largo de un recorrido y, por ejemplo, cuando se alcanzan pun-tos de interés seleccionados por el profesor, se puede facilitar información yproponer actividades que se pueden guardar para poder ser valoradas poste-riormente por el profesor.

Agradecimientos

Este trabajo ha sido parcialmente subvencionado por el Ministerio de Edu-cación y Ciencia de España, SEJ2007-61428/EDUC, y por la Consejería deEducación de la Junta de Castilla y León (España), SA116A07 y SA032A08.

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Documentos

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El Comité Interamericano de Educación Matemática (CIAEM) convoca a edu-cadores, investigadores, especialistas y estudiantes en Educación Matemática ala XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática en Recife (Bra-sil), 26-30 junio del 2011, cuando cumplirá 50 años de existencia. EL CIAEMes el primer grupo regional creado, en 1961, por la International Commissionon Mathematical Instruction ICMI.

Conferencias plenarias

Alan Schoenfeld (Estados Unidos), Bill Barton (Nueva Zelandia), Michèle Ar-tigue (Francia), Mogens Niss (Dinamarca) –conferencia inaugural-, UbiratanD’Ambrosio (Brasil)

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Mesas redondas plenarias

¿Cómo debe ser la formación de profesores para seguir una estrate-gia de resolución de problemas en la Educación Matemática? ClaudiaGroenwald (Brasil), Darío Fiorentini (Brasil), Luz Manuel Santos (Mé-xico), Salvador Llinares (España).

Contribución intelectual de Ubiratan D’Ambrosio a la Educación Ma-temática. Carlos Vasco (Colombia), Luis Carlos Arboleda (Colombia),Marcelo Borba (Brasil), Patrick Scott (EUA).

¿Cómo impactan las tecnologías los currículos de la Educación Mate-mática? Fidel Oteiza (Chile), Luis Moreno Armella (México), MichèleArtigue (Francia), Tania Campos (Brasil).

CIAEM: 50 aniversario

Un panel con protagonistas de la historia del CIAEM en los últimos 50 años.César Carranza (Perú), Claude Gaulin (Canadá), Ed Jacobsen (EUA), EduardoLuna (República Dominicana), Ricardo Losada (Colombia), Ubiratan D’Ambrosio(Brasil).

Medalla Luis Santaló

El CIAEM entregará la primera medalla Luis Santaló, a un educador y amigodel CIAEM cuyo esfuerzo dentro de instituciones educativas internacionaleshaya contribuido mucho al desarrollo del CIAEM.

Mesas redondas paralelas

La Educación Matemática y los estudios históricos comparativos. Jo-sé Manuel Mattos (Portugal). María Teresa Astudillo (España). RenaudD´Enfert (Francia). Luis Carlos Arboleda (Colombia). Wagner Rodri-gues Valente (Brasil).

La Educación de las Ciencias y la Educación Matemática. Roberto Nar-di (Brasil). Luz María de Guadalupe González-Álvarez (México). Car-men Teresa Kaiber (Brasil). Patricia Camarena (México).

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Inscripción y más información actualizada

Todo a través de la página oficial del evento:

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Cuaderno 8