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Cálculo Integral CECYTEJ
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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE JALISCO
1
COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE
JALISCO
GUÍA DE APRENDIZAJE
Asignatura: MATEMATICAS APLICADAS
Cálculo Integral
Elaboró: Ing. Hugo Damián Córdova Avalos.
e-mail: [email protected].
Enero 2010
COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE JALISCO
2
¡BIENVENIDOS ¡
Este guía de aprendizaje, representa un acercamiento importante al programa de Matemáticas en el CECyTEJ, ten en cuenta que los contenidos que encontrarás en este material, parten de la asignatura de Matemáticas Aplicadas (Calculo integral). Aquí, se encuentran las bases que te ayudarán en todo el recorrido del sexto semestre en el CECyTEJ.
Aprovecha al máximo este material que hemos planeado y desarrollado para Ti, y recuerda, te será de gran utilidad, por lo tanto, no dudes en consultarlo cuantas veces sea necesario, y realiza las anotaciones que consideres en el mismo. Que tengas un excelente desempeño. Atentamente: Academia Estatal de Matemáticas.
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3
ÍNDICE
Índice 2
Introducción 3
Propósito de la asignatura 3
Objetivo general 3
Competencias disciplinares y genéricas 4
Diferenciales 5
Calculo integral 5
Integral indefinida 6
Conceptos básicos de la integración 7
Actividad # 1 9
Integración de una función compuesta 10
Actividad # 2 13
Constante de integración 13
Actividad # 3 14
Integración de funciones trigonométricas directas 15
Actividad # 4 17
Funciones trigonométricas inversas 18
Funciones exponenciales y logarítmicas 19
Actividad # 5 22
Técnicas de integración 23
Actividad # 6 30
Integración por partes 31
Actividad # 7 33
Integral definida 34
Actividad # 8 35
Suma de Riemann 36
Actividad # 9 37
Calculo de área bajo la curva 38
Actividad # 10 43
Glosario 44
Bibliografía 45
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4
INTRODUCCIÓN
Las guías de aprendizaje son textos diseñados de manera especial, con el fin de
facilitar la realización de un proceso de aprendizaje autónomo, centrado en el
alumno, quien participa activamente en la construcción social de los
conocimientos. Su gran ventaja es que integran contenidos y procesos, se
presentan a través de un conjunto de actividades que los alumnos deben
desarrollar, casi siempre en pequeños grupos, con la orientación, evaluación y
seguimiento permanentes del profesor.
Esta guía está diseñada para aplicarse en el curso de sexto semestre de
bachillerato del Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de
Jalisco en la asignatura de cálculo integral.
PROPÓSITO DE LA ASIGNATURA:
Cálculo integral: Integrar los contenidos de la matemática antecedente para
desarrollar habilidades y capacidades suficientes en el cálculo de la integral
definida e indefinida, en un clima de colaboración y respeto.
OBJETIVO GENERAL
Lograr la aplicación analítica y representación gráfica del comportamiento de
fenómenos mediante formulación de modelos, área bajo la curva, volúmenes de
sólidos en revolución, longitud de curva, superficies de sólidos en revolución,
trabajo, presión, centros de gravedad, entre otros que se relacionen con las
especialidades de cada plantel para proponer soluciones a través del cálculo
integral
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5
COMPETENCIAS DISCIPLINARES (MATEMÁTICAS).
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales o formales.
2. Argumenta la solución de un problema obtenida con métodos numéricos, gráficos, analíticos y variacionales, mediante el lenguaje verbal o matemático.
COMPETENCIAS GENÉRICAS (ATRIBUTOS).
Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas.
Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento.
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6
Diferenciales
La diferencial de una función es igual al producto de la derivada por la diferencial
de la variable independiente.
Ejemplos:
Calcular la diferencial de 25 3 xxy
dxx
xdx
dyy
115
115
2
2
Calcular la diferencial de 132 23 xxxy
dxxx
xxdx
dyy
166
166
2
2
Cálculo Integral
La adición y la sustracción son operaciones inversas al igual que la división y la
multiplicación; lo mismo puede decirse de elevar una potencia y extraer la raíz
correspondiente. En el cálculo diferencial se estudia el problema para obtener la
derivada xf de una función xf . Ahora nos ocuparemos del problema
inverso, es decir, dada la derivada xf buscaremos obtener la función xf .
¿Qué es integración? Es una operación inversa a la diferenciación. Las
expresiones “Integral Indefinida” y “función primitiva” son sinónimos de la palabra
“anti derivada”.
Ejemplos: Diferenciación
23 3 x dxx29
Integración
Diferenciación
163 3 x dxx29
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7
Integración
En los ejemplos anteriores nos damos cuenta que las expresiones de la izquierda
difieren de la otra en una constante, sin embargo, su diferencial es la misma
( dxx29 ), ahora bien, al integrar las expresiones de la derecha no aparecen esas
constantes, por lo tanto, es necesario anotar una letra “c” que las represente a la
cual llamaremos constante de integración. Por ejemplo:
dxx29 = 33x + c
Constante de integración
Interpretación geométrica de la Integral
En la misma forma que se estudiaron las pendientes de las rectas tangentes para
motivar la definición de derivada, nos referimos a las áreas a fin de facilitar el
estudio de la integral.
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8
Integrales Indefinidas
En la expresión anterior no sabemos cuál es el valor de la constante, es decir, es
un valor indefinido y por esta razón llamaremos a estas operaciones, Integrales
Indefinidas.
El signo de integración es una “s” deformada que nos representa la inicial de
la palabra suma.
La función por integrar se llama integrando.
dxx3 Diferencial de la variable
Integrando
Formulas de diferenciación
1.- 0cd
2.- dxxd
3.- dwdvduwvud
4.- cducud
5.- vduudvuvd
6.- dunuud nn 1
7.- 2v
udvvdu
v
ud
8.- udusenud cos
9.- senuduud cos
10.- uduud 2sectan
11.- uduud 2csccot
12.- uduuud sectansec
13.- uduuud csccotcsc
Integrales Inmediatas.
1.- cudu
2.- cwvudwdvdudwdvdu
3.- cauduaadu
4.-
cn
uduu
nn
1
1
para n 1
5.- cuu
duln
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9
Conceptos básicos de la integración
La integral de la suma de un número finito de funciones es igual a la suma
algebraica de las integrales de las funciones
cwvudwdvdudwdvdu
Ejemplo:
dxxx 275 2 = dxxdxdxx 275 2
= cxxx 22
7
3
5 23
La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante
por la integral de la función
Si a es una constante que esta como factor en el integrando se puede poner
como factor de la integral.
cauduaadu
Ejemplo:
dxx47 = dxx47
= cx 5
5
7
La integral de una función u de una variable x elevada a un exponente es igual a
la función elevada al exponente original más uno, todo dividido entre el exponente
original más uno.
cn
uduu
nn
1
1
Para n 1
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10
Ejemplo:
dxx2 = cx
3
3
Por ningún motivo se puede sacar la variable de integración del signo de
integración
Ejemplo:
dxx2
xdxx
En algunos casos la integración se facilita si se efectúan previamente las
operaciones indicadas (productos o cocientes de polinomios).
Ejemplos:
dxxx 312 2 = dxxxx 362 3
= dxxx 352 3
= dxxdxdxx 352 2
= cxxx 32
5
3
2 23
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11
Calculo Integral
Actividad # 1
Nombre: ________________________________________________
Integra lo siguiente
1.- xdx2 9.- x
dx
2.- dxxa3 10.- 3x
dx
3.- dxxbax 233 82 11.- dxx5 3
4.- dxxx 386 3 12.- dxx
2
5
1
5.- xdx2
1 13.- dxxxx 1234 23
6.- dxxx 1212 14.- 3 2x
dx
7.- dxx 3
1
2 15.- dx
8.-
dxxx 223 4
1
2
1
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12
Integración de una función compuesta
Sustitución por cambio de variable
Existen varias técnicas para aplicar una sustitución pero el propósito de todas
es identificar en el integrando una función que este multiplicada por la diferencial
de esa función, y así, poder aplicar una formula de integración.
En el método de sustitución, llamado también cambio de variable, se escoge una
literal. En nuestro caso elegiremos la u, que se iguala a la función, que incluye el
integrando, por ello es necesario señalar que está en función de la variable de
dicha función.
Ejemplos:
dxxx 2322
32 xu
xdxdu 2
El integrando esta completo pues incluye la función multiplicada por su diferencial,
en consecuencia se puede aplicar la formula de integración de potencia de una
función.
Sustituyendo
2u du Integrando c
u
3
3
Con el valor de u, queda
cx
3
332
Otra solución se encuentra desarrollando la operación en el integrando.
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13
Ejemplo:
13x dx
Para poder aplicar la formula duun es necesario identificar u(x) y calcular su
diferencial du(x).
13 xu
dxdu 3
Se observa que falta un 3 en el diferencial de la función. Para lo cual procedemos
a despejar la dx.
dxdu
3
Sustituyendo
duu 2
1
3
1
Se integra
c
u
2
33
12
3
= cu 2
3
9
2
Con el valor de u queda
cx 2
3
139
2, simplificando cx
313
9
2
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14
Calculo Integral
Actividad # 2
Nombre: ________________________________________________
1.- 3 232x dx 11.- x55 dx
2.- 2
23x dx 12.- 3243 524 xxxx dx
3.- 2
36x dx 13.- 4 3
2
1x
xdx
4.- 3
42x dx 14.- 332 13 xx dx
5.- 3
86x dx 15.- 4
3
1
4
x
xdx
6.- 3
52x dx
7.- 4
1x dx
8.- 4
32x dx
9.- 4
43x dx
10.- xxx 10252 2 dx
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15
Constantes de integración
Calculo del valor numérico de la constante C Para calcular el valor de la constante de integración es necesario tener la expresión diferencial que se ha de integrar y algunos otros datos.
Ejemplo:
1.- Obtener la función xfy tal que 169 2 xxxf cuando 51 f
Como xfy , se tiene que
dx
xdf
dx
dy
Pero
169 2 xxdx
xdf
Entonces
169 2 xxdx
dy
dxxxdy 169 2
Integrando
dxxxdy 169 2
dxxdxdxxy 69 2
cxxxy 23
2
6
3
9
cxxxy 23 33 Calculamos el valor de la constante C, que considerando las condiciones del problema, este resultado debe ser igual a 5 para 1f
cf 11313123
c 133
Condición que señala el problema
51 f
4
15
15
C
c
c
Al sustituir el valor de C
cxxxy 23 33
433 23 xxxy
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16
Calculo Integral
Actividad # 3
Nombre: ________________________________________________
1.- Obtener la función xfy tal que 223 2 xxxf cuando 21 f
2.- Obtener la función xfy tal que 5234 23 xxxxf cuando 102 f
3.- Obtener la función xfy tal que 142 23 xxxxf cuando 103 f
4.- Obtener la función xfy tal que 1423 234 xxxxxf cuando
53 f
5.- Obtén la función original xF de 169 2 xxxf cuando 60 f
6.- ¿Cuál es el valor de la constante de integración de 169 2 xxxf , cuando
60 f ?
7.- Obtén la función original xF de 22 xxxf cuando 70 f
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17
Integrales inmediatas de funciones trigonométricas directas
Identidades trigonométricas
xxx
senx costancsc
1
xsenxx
x cotsec
1cos
x
senx
xx
coscot
1tan
senx
x
xx
cos
tan
1cot
xx
cos
1sec
senxx
1csc
Identidades trigonométricas (Pitagóricas)
1cos22 xxsen
xsenx
xxsen
22
22
1cos
cos1
1tansec 22 xx
xx
xx
22
22
tan1sec
1sectan
1cotcsc 22 xx
1csccot
cot1csc
22
22
xx
xx
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18
Formulas de integración de las funciones trigonométricas
1.- cusenudu cos 6.- cuuduu csccotcsc
2.- csenuuducos 7.- cuLudu sectan
3.- cuudu tansec2 8.- csenuLudu cot
4.- cuudu cotcsc2 9.- cuuLudu tansecsec
5.- cuuduu sectansec 10.- cuuLudu cotcsccsc
Ejemplos:
1.- senxdx
Por formula tenemos
senxdx = Cxcos
2.- xdx2cos
Tenemos que hacer un cambio de variable, en este caso hacemos lo siguiente:
Llamaremos
dxdu
dxdu
xu
2
2
2
Sustituyendo en la integral nos queda:
uducos2
1,
Resolviendo por formula, tenemos:
Csenu 2
1,
Dándole su valor original a u, nos queda:
Cxsen 22
1
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19
Calculo Integral
Actividad # 4
Nombre: ________________________________________________
Resuelve las siguientes Integrales Trigonométricas
1.-
2.- x4cos dx
3.- senx4 dx
4.- x
dx
sec
4
5.- x
dx
csc
5
6.- dxxx cotcsc
7.- dxxx524 csc
8.- 2217sec xx dx
9.- dxx 3sec3 2
10.- dxxx 43 cos
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20
Funciones trigonométricas inversas
Formulas de integración de funciones trigonométricas inversas
1.- ca
uarcsen
ua
du
22
2.-
ca
u
aua
duarctan
122
3.-
ca
uarc
aauu
dusec
122
Ejemplos:
1.- 29 x
dx
Para poder aplicar la formula, ca
uarcsen
ua
du
22
es necesario identificar los
valores de: uuaa ,,, 22 y calcular xu y xdu .
3
92
a
a
dxdu
xu
xu
22
El integrando esta completo, entonces podemos aplicar la formula de integración
citada.
22 ua
du =
29 x
dx
Integrando:
= ca
uarcsen
Al sustituir los valores de a, y de u
= Cx
arcsen 3
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21
Funciones exponencial y logarítmica
Formulas de integración exponencial
1.- cedue uu
2.- Caa
dua uu
ln
1
Formulas de integración logarítmica:
1.- cuu
duln
2.- cuLudu sectan
3.- csenuLudu cot
4.- cuuLudu tansecsec
5.- cuuLudu cotcsccsc
Ejemplos:
1.- dxe x
Haciendo cambio de variable dxdu
xu
Sustituyendo en la integral nos queda
dueu
Por formula tenemos
dxe x
= Ce x
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22
2.- dxe x
5
En este caso tenemos que hacer un cambio de variable, para lo cual haremos:
dxdu
dxdu
xu
5
5
5
Sustituyendo en la integral nos queda:
dueu
5
1
Resolviendo por formula tenemos:
Ceu 5
1
Dándole su valor original a u, nos queda: Ce x 5
5
1
3.- dxx
2
Haciendo cambio de variable
2
a
dxdu
xu
Sustituyendo en la integral nos queda:
duau
Integramos
Caa
u
ln
1
Con los valores de a y u, queda
Cx
2
2ln
1
4.- xdxtan
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23
Haciendo un cambio de variable, para lo cual haremos: dxdu
xu
Sustituyendo en la integral nos queda:
duutan
Por formula tenemos:
xdxtan = CxL sec
5.- xdx2cot
En este caso tenemos que hacer un cambio de variable, para lo cual haremos:
dxdu
dxdu
xu
2
2
2
Sustituyendo en la integral nos queda:
uducot2
1 Resolviendo por formula tenemos:
CsenuL 2
1
Dándole su valor original a u, nos queda: CxsenL 22
1
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24
Calculo Integral
Actividad # 5
Nombre: ________________________________________________
Resuelve las siguientes Integrales Exponenciales y logarítmicas.
1.- dxe x
22
2.- dxex x
2
2
3.- dxex
1
4.- dxx
3
5.- 15x
6.- dxx2tan
7.- dxxx2cot
8.- dyy4sec4
9.- 2x
dx
10.- dxx
23
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25
Técnicas de integración
Integración de funciones trigonométricas
Calculo de integrales de la forma uduusen nm cos
Se presentan dos casos:
Primer caso:
Cuando m y n son pares y positivos, o alguno de ellos es nulo. Se aplican las
formulas del Angulo medio, para bajar el grado de la expresión, con este fin
usaremos las siguientes formulas:
usenusenu 22
1cos
uusen 2cos2
1
2
12
uu 2cos2
1
2
1cos2
Ejemplo:
1.- xdx2cos
Buscamos en las formulas del Angulo medio y tenemos:
xdx2cos = dxx
2cos
2
1
2
1
= dxxdx 2cos2
1
2
1,
La primera integral la podemos resolver directamente, para el caso de la segunda
necesitamos hacer un cambio de variable,
Donde:
dxdu
dxdu
xu
2
2
2
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26
Sustituyendo en la integral tenemos:
=
duudx cos
2
1
2
1
2
1 = Csenux
4
1
2
1
Regresándole su valor original a u nos queda:
= Cxsenx 24
1
2
1
2.- xdxxsen 22 cos
Buscamos en las formulas del Angulo medio y tenemos:
xdxxsen 22 cos = dxxx
2cos
2
1
2
12cos
2
1
2
1
Desarrollando el producto nos queda:
dxx
2cos
4
1
4
1 2 ,
Separando integrales
dxxdx 2cos4
1
4
1 2
La primer integral la podemos resolver directamente, para el caso de la segunda
necesitamos sustituir de acuerdo a las formulas del ángulo medio, le aplicamos la
identidad,
dxxdx 4cos
2
1
2
1
4
1
4
1
xdxdxdx 4cos8
1
8
1
4
1,
Resolviendo las primeras dos integrales
xdxxx 4cos8
1
8
1
4
1
Haciendo un cambio de variable:
dxdu
dxdu
xu
4
4
4
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27
Y sustituyendo en la integral:
uduxx cos
4
1
8
1
8
1
4
1
Resolviendo
Csenuxx 32
1
8
1
4
1
Simplificando y regresándole su valor original a u:
Cxsenx 432
1
8
1
Segundo caso:
m y n son pares y positivos.
Si m es impar y positivo se factoriza la función senxdx y se aplica la identidad
pitagórica xxsen 22 cos1
Si n es impar y positivo se factoriza la función xdxcos y se aplica la identidad
pitagórica xsenx 22 1cos
1.- xdxsen3
Factorizando el integrando
xdxsen3
= senxdxxsen .2
Sustituyendo la identidad pitagórica xxsen 22 cos1
dxsenxx 2cos1
Desarrollando el producto
dxxsenxsenx 2cos
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28
Separando integrales
xdxsenxsenxdx 2cos ,
Resolviendo la primera integral y haciendo cambio de variable en la segunda
tenemos:senxdxdu
xu
cos
duux 2cos = duux 2cos = Cu
x 3
cos3
Regresándole su valor original a u y ordenando términos:
Cxx
cos3
cos3
Integrales de la forma udun
tan o udun
cot
Cuando n es un número entero, estas formas se integran fácilmente, para lo cual
sustituimos las siguientes identidades:
1sectantantantan 2222 uuuu nnn
1csccotcotcotcot 2222 uuuu nnn
Ejemplo:
1.- xdx4tan
De acuerdo a las identidades anteriores, tenemos:
xdx4tan = dxxu 1sectan 22
Realizando la multiplicación
dxxxx 222 tansectan
Separando integrales
xdxxdxx 222 tansectan
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29
Haciendo un cambio de variable en la primera integral, y sustituyendo la identidad
en la segunda integral.
Tenemos: xdxdu
xu
2sec
tan
dxxduu 1sec22
Resolviendo y separando integrales
dxxdxu 2
3
sec3
Regresándole su valor original a u, y resolviendo integrales, tenemos:
Cxxx
tan3
tan3
2.- xdx3cot
De acuerdo a las identidades anteriores, tenemos:
xdx3cot = 1csccot 2 xx
Realizando la multiplicación
dxxxx cotcsccot 2
Separando integrales
xdxxdxx cotcsccot 2
Haciendo un cambio de variable en la primer integral, y resolviendo por formulas
directas de integración la segunda.
Tenemos: xdxdu
xu
2csc
cot
xdxudu cot
CsenxLu 2
2
1
Regresándole su valor original a u, tenemos: CsenxLx 2cot2
1
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30
Integrales de la forma udun
sec o udun
csc
Las integrales de esta forma se calculan fácilmente cuando n es numero entero
positivo par, para lo cual utilizaremos las siguientes identidades:
uuuuun
nn 22
2222 sec1tansecsecsec
uuuuun
nn 22
222 csc1cotcsccsccsc
Ejemplos:
1.- xdx4sec
De acuerdo a las identidades anteriores, tenemos:
xdx4sec = xdxx 22 sec1tan
Realizando la multiplicación
dxxxx 222 secsectan
Separando integrales
dxxxdxx 222 secsectan
Haciendo un cambio de variable en la primer integral, y resolviendo por formulas
directas de integración la segunda.
Tenemos: xdxdu
xu
2sec
tan
xdxduu 22 sec
Cxu
tan3
3
Regresándole su valor original a u, tenemos:
Cxx
tan3
tan3
COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE JALISCO
31
2.- xdx4csc
De acuerdo a las identidades anteriores, tenemos:
xdx4csc = xdxx 22 csc1cot
Realizando la multiplicación
dxxxx 222 csccsccot
Separando integrales
xdxxdxx 222 csccsccot
Haciendo un cambio de variable en la primer integral, y resolviendo por formulas
directas de integración la segunda.
Tenemos: xdxdu
xu
2csc
cot
xdxduu 22 csc
Cxu
cot3
3
Regresándole su valor original a u, tenemos:
Cxx
cot3
cot3
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32
Calculo Integral
Actividad # 6
Nombre: ________________________________________________
Resuelve correctamente las siguientes Integrales
Caso I Soluciones:
1.- xsen3
xcos dx cxsen
4
4
2.- x5cos dx cxsenxsensenx 53
5
1
3
2
3.- x4cos xsen3 dx cxx
7
cos
5
cos 75
4.- xsen5dx cxxx 53 cos
5
1cos
3
2cos
Caso II
1.- axsen 4dx
a
axsen
a
axsenx
32
4
4
2
8
3
2.- x4cos dx cxsenxsenx
32
4
4
2
8
3
3.- x2cos dx cxxsen
24
2
4.- xsen2
dx cxsenx
4
2
2
Caso III
1.- x3tan dx cxx coslntan2
1 2
2.- 3
cot3 x dx c
xsen
x
3ln3
3cot
2
3 2
3.- x3tan4dx cxx 3tan
3
13tan
9
1 3
4.- x4cot dx cxxx
cot3
cot3
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33
Caso IV
1.- x3sec4dx cxx 3tan
9
13tan
3
1 3
2.- x3csc4dx cxx 3cot
9
13cot
3
1 3
Integración por Partes
La integración por partes tiene por objeto calcular la función primitiva del producto
de una función por la diferencial de otra función de la misma variable. Se basa en
la formula de la derivada de un producto de dos funciones. vduudvvud . .
Su fórmula es: vduuvudv
Se utiliza si al poner el integrando en la forma udv resulta fácil de calcular v y la
integral de vdu. La elección de quien es u y quien es dv en el integrando es
arbitraria y es acertada en el caso de que la integral del segundo miembro resulte
más sencilla que la dada. Se usa para integrar gran número de integrales no
inmediatas que se plantean como producto de funciones algebraicas, logarítmicas
y trigonométricas inversas.
Ejemplo:
1.- xsenxdx
Se descompone el integrando en dos factores, u y v.
Hagamos xu senxdxdv
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34
De la expresión del integrando que se iguala a u, se calcula su diferencial, y la
que se iguala a dv se calcula su integral para obtener v. Entonces
dxdu y xsenxv cos
Aplicando la formula de integración por partes:
xsenxdx = dxxxx coscos
= dxxxx coscos
= Csenxxx cos
2.- xdxxcos
xu xdxdv cos
dxdu senxv
Aplicando la formula:
Cxxsenx
senxdxxsenx
cos
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35
Calculo Integral
Actividad # 7
Nombre: ________________________________________________
Resolver las siguientes Integrales, por el método de integración por partes.
Soluciones
1.- 2
xxsen dx c
xx
xsen
2cos2
24
2.- xx 3cos dx cxxxsen
9
3cos
3
3
3.- xx 2csc dx csenxLxx cot
4.- xxsen5 dx cxsenxx 525
15cos
5
1
5.- 2cos
xx dx
22
2cos4
xxsen
x
6.- xex
dx cxe x 1
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36
La Integral Definida.
La integral definida de una diferencia dada, calculada entre extremos de un
intervalo cerrado, es el incremento de la función primitiva o anti diferencial
propuesta cuando la variable pasa de un valor inicial a hacia un valor final b.
Se expresa.
b
aaFbFdxxf
Representa el área de la superficie limitada por la curva de una función xf
cuyos extremos tienen como abscisas a y b. El resultado de una integral definida
se expresa en unidades cuadradas de superficie.
Procedimiento para calcular una integral definida.
A).- Integrar la expresión diferencial dada.
B).- Sustituir en el resultado obtenido (integral definida) inicialmente con el valor
del extremo superior, a continuación con el inferior, y se resta el segundo
resultado del primero.
C).- No es necesario tomar en cuenta la constante de integración, pues siempre
se cancela en la sustracción.
Ejemplo:
1.- 4
12xdx
= dxx4
12
= 2
x 4
1
= 22 14
= 215u
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37
2.- dxx5
1
2
= 3
3x 5
1
=
3
1
3
533
= 3
1
3
125
= 2
3
124u
Calculo Integral
Actividad # 8
Nombre: ________________________________________________
Resuelve las siguientes Integrales Definidas.
Solución
1.- 4
1dx 3
2.- 4
0
2
1
x dx 3
16
3.- 2
6
cos
xdx 2
1
4.- 1
1
2 2x dx 3
10
5.- 4
12x dx 15
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38
Suma de Riemann
La suma de n términos (a1, a2, a3, … an) se expresa: n
n
mi
i aaaaa ...321
, en
donde: el símbolo es la letra sigma mayúscula del alfabeto griego que
corresponde a la letra s y se usa en matemáticas para indicar la suma.
i Se llama índice de la suma o variable de la suma.
an Representa el n – esimo término de la suma.
n y m Indican los valores extremos, y son el extremo superior e inferior de
la suma, respectivamente, donde .nm
Ejemplos:
1.- Calcula la suma indicada.
4
1
12i
i
en este ejemplo .12 iai para calcular la suma indicada se sustituye la i
sucesivamente por los enteros 1,2,3,4 desde 1 hasta 4, que en el ejemplo son los
extremos de la suma, luego se suman los términos así obtenidos.
4
1
12i
i = 142132122112
= 3 + 5 + 7 + 9
= 24.
Cualquier variable puede ser usada como índice de la suma. Se prefieren las
letras i,j,k porque normalmente están asociadas con los enteros. El extremo
inferior no tiene que ser necesariamente uno, pues cualquier número entero
menor o igual al extremo superior es válido.
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39
2.- Calcula la suma indicada.
4
0 2
2
i
i
i
4
0 2
2
i
i
i =
24
2
23
2
22
2
21
2
20
2 43210
= 6
16
5
8
4
4
3
2
2
1
= 30
8048302015
= 30
193
Calculo Integral
Actividad # 9
Nombre: ________________________________________________
Desarrolla las siguientes sumas de Riemann.
SOLUCIÓN
1.-
10
1 2
1
j
j 5.32
2.-
5
2
1i
i 18
3.-
4
1
1
k k
12
25
4.-
3
1 1
1
i i
12
13
5.-
5
2
23k
k 50
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40
La integral definida en el cálculo de áreas
El teorema fundamental del cálculo señala:
Si una función f es continua en el intervalo ba, , entonces
b
aaFbFdxxf
Donde F es cualquier función tal que xfxF para toda x en ba, . El resultado
de esta integral es igual al área bajo la curva xf representada en el plano.
Ejemplos:
1.- calcula el área limitada por la grafica de 322 xxxfy , el eje de las x
y las líneas verticales 0x y 2x . Graficar.
Área = dxxx 2
0
2 32
= 2
0
2
0
2
0
2 32 dxdxxdxx
Integramos por separado
dxx2
0
2 = 3
3x
2
0 =
233
3
8
3
0
3
2u
dxx2
02 = 2x
2
0 = 222 402 u
2
03 dx = x3
2
0 = 260323 u
Por lo tanto
dxxx 2
0
2 32 = 643
8
= 3
18128
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41
= 2
3
22u
Grafica del ejemplo resuelto
Áreas entre dos curvas
En general se procede en forma semejante a como ya se hizo al calcular el área
bajo la curva en un intervalo. Si xf y xg son dos funciones continuas
definidas para x en un intervalo ba, . El área de la región entre las rectas
ax , bx y las dos curvas está dada por:
Área = b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf
Ejemplo:
1.- obtener el área de la región limitada por las graficas de 22
1 xy , 12 xy ,
con las líneas verticales 1x y 2x .
Integramos cada una de las funciones.
2
1
2 2 dxx = 2
1
2
1
2 2 dxdxx
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42
Integramos por separado
dxx2
1
2 = 3
3x 2
1 = 2
33
3
7
3
1
3
2u
2
12 dx = x2
2
1 = 22241222 u
2
1
2 2 dxx = 2
3
132
3
7u
2
3
13u Es el área limitada por la curva 22
1 xy y el eje de las x. el signo positivo
del área significa que la curva en el intervalo 2,1 está arriba del eje de las x.
2
11 dxx =
2
1
2
1dxxdx
Integramos por separado
2
1xdx =
2
2x
2
1 =
222
2
3
2
1
2
4
2
1
2
2u
2
1dx = x
2
1 = 2112 u
Por lo tanto
2
11 dxx = 1
2
3 = 2
2
1u
El signo negativo del área significa que la recta 12 xy y el eje de las x en el
intervalo 2,1 esta debajo del eje de las x.
Por lo tanto el área entre estas dos funciones en el intervalo es:
2
1
2
1dxxgdxxf =
2
1
3
13
= 2
1
3
13
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43
= 2
6
29u
La integración definida en el cálculo de volúmenes
A).- cuando el eje de revolución es horizontal
Volumen = dxxfb
a
2
dxxfvb
a2
B).- cuando el eje de revolución es vertical
Volumen = dxyfb
a
2
dxyfvb
a2
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44
Ejemplo:
1.- Calcula el volumen del sólido de revolución al girar la superficie limitada por la
curva 2
1
xy , desde el eje de la y, hasta la línea vertical 2x , al girar alrededor
del eje de las x.
dxxfvb
a2
= dxxv
2
0
2
2
1
= dxx2
0
= 2
2x
2
0
= 22 022
= 2 3u
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45
Calculo Integral
Actividad # 10
Nombre: ________________________________________________
Resolver las siguientes integrales
1.- Calcula el área de la región comprendida por la grafica seny x , entre 0x
y 2
x . Graficar. Sol. 1 2u
2.- Calcula el área de la región comprendida por la grafica 442 xxy , entre
0y y 1y . Graficar. Sol. 2
3
7u
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46
3.- Obtener el área de la región limitada por las graficas 2
1 xy , 22 xy , con,
las líneas verticales 0x , 2x . Graficar. Sol. 2
3
14u
4.- Obtener el área de la región limitada por las gráficas xxy 42
1 , 12 xy ,
con, las líneas verticales 0x , 4x . Graficar. Sol. 2
3
68u
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47
GLOSARIO
Área. Superficie comprendida dentro de un perímetro.
Cálculo diferencial. Parte de las matemáticas que opera con las diferencias infinitamente pequeñas de las cantidades variables. Cálculo infinitesimal. Conjunto de los cálculos diferencial e integral. Cálculo integral. Parte de las matemáticas que trata de obtener una función a partir de su derivada.
Constante. Cantidad que tiene un valor fijo en un determinado proceso, cálculo, etc.
Derivada. Valor límite de la relación entre el incremento del valor de una función y el incremento de la variable independiente, cuando este tiende a cero.
Diferencial. Diferencia infinitamente pequeña de una variable
Función. Relación entre dos conjuntos que asigna a cada elemento del primero un elemento del segundo o ninguno.
Función exponencial. La representada por f(x) = aˣ, en la que la x, variable
independiente, es un exponente.
Función inversa. Función recíproca asociada a una función invertible.
Función trigonométrica. Cada una de las funciones que dan las distintas relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo.
Integral. Se dice del signo (∫) con que se indica la integración. Resultado de
integrar una expresión diferencial.
Volumen. Espacio ocupado por un cuerpo.
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48
BIBLIOGRAFÍA
LIBRO: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.
AUTOR: MARCELO SANTALO. VICENTE CARBONELL.
EDITORIAL: ÉXODO.
LIBRO: CÁLCULO DIFERENCIAL.
AUTOR: SAMUEL FUENLABARADA.
EDITORIAL: MC GRAW HILL.
LIBRO: CÁLCULO INTEGRAL.
AUTOR: RENÉ JIMÉNEZ.
EDITORIAL: PEARSON, PRENTICE HALL.
LIBRO: CÁLCULO INTEGRAL.
AUTOR: SAMUEL FUENLABARADA.
EDITORIAL: MC GRAW HILL.
LINKS DE INTERNET.
http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Ejdefinida.htm