CS254 Clase 3 - Circuitos booleanos «en la teoría

5/9/2018 CS254 Clase 3 - Circuitos booleanos en la teora

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en teoria''M arge, estoy de acuerdo con u sted - en teo ria en teo ria, fim cion a el co munism o en la teo ria ... " - H om erSimpson

CS254 Clase 3 - Circuitos booleanos25 de abri120 10 en C S254 I T ag s: la c onmlejid ad d el circu ito , C S2 54 2 01 0En esta co nferen cia se p resen ta el m od elo comp utacio nal d e lo s circu ito s b oo lea no s y d em ostrar q ue lo sc irc uito s d e tama iio p olin om ia l p ue de s in ru la r t od os lo s c ale ulo s d e tiempo p olin 6m ic o. T amb ie n emp ie za n ahablar de a lgo ri tr nos a le ator io s .1.Circuitos

U n circuito ctiene nentradas, m salidas, y esta construido con puertas A ND , O R y NOT puertas. C adapuerta tiene en grado 2, excepto la puerta que no en grado 1. E l grado de salida puede ser cualquier nUmero.U n circu ito n o debe tener ningUn cicIo. La s ig u ie nte imagen r rr ue st ra un e jemplo de un c ir cu it o bool ea nocak ulo de la fim ci6nf (J; 1J;2X3X4) =x 1 EElX2 EElJ;3 EElX4

- - ~ - - - - - - r - - ' I

XOR --circuits

,..-----------.I I

II I..------T-----. ,------------.

I_ , ; :00- I

Definir SIZE (C) =#de AND y OR de C. Por convenc i6n , 1 0 que hac emos no c on ta r c on la s p ue rta sNOT.P ara ser co mpatib le co n otras clases d e la com plejidad, es necesario ex ten der el m odelo a los tam aiios d eentrada arbi tra ria :


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2. Relacion con otras clases de la complejidadA diferencia de otras m edidas de com p1ejidad, com o el tiem po y el espacio, para los que no son 1enguas de lac omp1 ejid ad a rb itra riame nte ah a, la c omp le jid ad tama fio d e 1lllprob1em a es siem pre en la m ayoria deexponencial

Teorema 3 Para cada idioma L, L-E S I Z E { 0 ( 2 1 1 ) ) .Prueba: T enem os que dem ostrar que para cada fim ci6n de una salida f : {o } 1 } 1 1 --+ {o } 1 } , ftiene unt ama fi o d e c ir cu it o021 1 ) .Uti liza r la ident idad f ( ; 1 ;11 ;2 . . . ; 1 ;1 1 )= (x 1!\ f ( l x 2 . . . ; 1 ;1 1 ) ) V (X l !\ f ( 0 ;1 ;2 . . . ; 1 ;1 1 )p ara c on stru ir u nc ir cu it o d e f orma r ec ur si va f, como se n ruestra en la sig uien te fig ura

L a relaci6 n d e recu rren cia p ara el tamafio del c ir cu ito e s l a s ig ui en te : s (n) =3 + 2s {n - 1 )con el caso bases(l) = 1 , qu e resu elv e a1 .s(n) = 2.21 1 -3 = 0 ( 2 1 1 ) . 0L a e xp on en cia l e s ca si o blig ad o ap re ta do .

Teorema 4 Existen lenguajes L-detal manera que L f i / . S I Z E ( 0 ( 2 1 1 In)). En particular,para cada n~.11, existe f : {O} 1 } 1 1 --+ {O} 1 }de que no se puede calcular por un circuitode tamaho 2 1 114n.

Prueba: E ste es u n a rg um en to d e c on te o. H aY2'J "fim cio nes f : { O } 1 } 1 1 --+ { O } 1 } , Y q ue afirm an que eln6m ero de circuitos de tam afio ses com o miximo 20o!Ilogo!l), en el supuestos ~. n. Para limitar e l n :Umerodec irc uito s d e tam afio ss e cre a u na c od i:fic ac i6 n b in aria c ompa cta d e d ic ho s c irc uito s. Id en ti:fica r l as p ue rta s c onlos n :Um ero s1 } ... }s. P ara cada p uerta, esp eci:ficar ellu gar d on de las d os en trad as d e p ro ced en cia, ya seaq ue se comp 1em en tan , Y e l tip o d e p uerta. E l nUm ero to tal d e b its necesario s para rep resen tar el circu ito esta


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E sto se cum ple sis ~. ~yn ;;::.tOE l s igui en te re su lt ado n ru es tra que l os c al cu lo s d e e fi cie nc ia s e pue de s ir rru 1a rp eque fi os c irc uit os .

Teorema 5 Si L E DTIME(t(n)), entonces L E SIZE(O(t2(nl))'Demostracion: V am os a Lser un problem a resuelto por decision de una m iquina Men e l t iempo t{n). Fix ny ;1;st I x I =n, y c on si de ra r e l t (n) X t (n )cuadro de la com putacion de A 4 { ; 1 ; ) . Ve r la s ig ui en te figura.

tape posllIon

time

Xj


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En primer 1 u g a r vam os a describir el m odelo probabilistico de calculo, E n este m odelo lID a1goritmo Arecibecom o entrada una secuencia de bits aleatorios ry el''real'' de entrada xdel problem a. La s al id a del a1gor itmoes la respuesta correcta para la entrada J';con alguna probabilidad.

Definicion 7 Un algoritmo Ase llama algoritmo de tiempo polinomial probabilistico si eltamaiio de la secuencia aleatoria Irles polinomio en la entrada 1 ; r ; 1 Y A.{pe ejecuta entiempo polinomial en IJ';I.

Si querem os hablar de la correcci6n del a1goritm o, entonces de m anera inform al podem os decir que por cadaentra da zqu e n ec es itamo s W [ A . ( J ' ;} r) =orrect answer for J';] ~. ~. Es decir, por cada entrada de ladistribuci6n de probabilidad sobre todas las secuencias al azar debe ser una constante acotado lejos de ~.V am os ahora a definir la clase BPP .

Definicion 8 Un problema de decision r,esta en BPpsi hay un algoritmo de tiempopolinomico .AY un polinomio pOtal que:

\ ; / ; 1 ; E L lP [A.{x} r} =1] ~. 2/31'E{O,1}p(I.:oll

\ ; / ; 1 ; ~ L lP [A.(x} r) =1]~.1/31'E{O,1}p(I:oll

Podem os ver que en este contexto tenem os lID a1goritmo con dos entra da s y a lg un as re stric cio ne s en la sprobabilidades de los resuhados. De la m ism a m anera tam bien podem os definir la clase P com o:

Definicion 9 Un problema de decision L,esta en psi hay un algoritmo de tiempopolinomico .AY un polinomio pOtal que:

\;Ix E L lP [ A . ( J ' ; } r) =1] =1l'E {O,1}p( 1 . : 0 Il

\; IJ ' ;~ L ,: u P [ A . ( J ' ; } r) =1] =1 'E {O ,1 }p( I '" I l

D el m ism o m odo, se definen las clases RPY ZPP .Definicion 10 Un problema de decision r,esta en RPsi hay un algoritmo de tiempopolinomico .AY un polinomio pOtal que:

\;Ix E L lP [A.(x} r) =1] ~. 1/21E{O,1}p(I.:oll

\;Ix ~ L lP [A.(xJ) =1] ~ 01'E{O,1}p(I-"ll


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4. Las relaciones entre clases de la complejidadDespu es de defin ir estas clases d e eomp lejidad pro babilistiea, vam os a ver com o se relacio nan con o traselases de eom plejidad y con los dem as.

Teorema 12RP CNP .Prueba: S up on gamo s q ue ten emos lID R palgo ritm o para lID idioma L. A contiouacion, este alg oritm o espuede ser visto com o lID ''v eri fic ador'', mo stra ndo que L e st a e n NP . Si;.1;E Len tonee s hay una seeueneiaaleatoria " por 1 0 q ue las resp uestas algo ritm o de si, y ereem os qu e d e tales seeu en eias ren ea lid ad d et es tig os que x E L. Six Lentonces no hay testigos. rjT am bien se puede dem ostrar que la elase ZPP no es mayor que RP .

Teorema 13ZPP CRP .Demostracion: V am os a eonvertir una ZPP en lID a lgor itmo de RP alg oritm o. L a c on stru cc io n e on sis te en laejecucion d e la ZPP alg oritm o yen eualqu ier m om en ta qu e los p rod ucto s ?, el n uevo alg oritm o de respu esta 0. D e esta m anera, si la resp uesta eorreeta 0, e nto nces e l alg oritm o re sp on dera o eo n u na p ro ba bilid ad 1- Poro tro lad o, eu an do la re sp ues ta eo rre eta 1, ento nees el alg oritm o dan ! la resp uesta ineo rreeta con un ap ro ba bilid ad d e m en os 1/2, ya que la probabilidad de la ZPP a lgori tmo de dar la salida res m en or 1/2.0O tra earae teristica in tere san te d e la ela se ZPP es que es equivalente a la elase de idiom as para los que existelID a lg oritm o p olin om ia l p rome dio d e tiempo q ue s iempre d a la re sp ues ta eo rre eta . M as fo rrra lm en te,

Teorema 14 Un lenguaje Lesta en la clase zppsi y solo si Viene un algoritmopolinomial promedio de tiempo que siempre da la respuesta correcta.

Prueba: En primer lugar v amos a ae lara r 1 0 que entendem os por tiem po m edio. Para eada entrada znostom am os el tiem po prom edio de A { ; . 1 ; } ,)m as de tod as las seeu en eias aleato rias r'. A continuacion, el tarnafion,se tom a el peor m om ento en todas las posibles entradas zde tarnaf io 1 ; .1 ;=,. Con el fin de eonst ru ir lIDalgoritm o que siem pre da la respuesta eorreeta se eorre el zppalgoritm o y si esta una ?, entonees se ejeeutade nuevo. Supongam os que el tiempo de ejecucion del zppalgoritm o es T, el tiem po promedio de ejeeuciOnd el n uev o alg oritm o e s el sig uien te:

1 1 1Ta'lo'fl=-.T + - . 2T + ' , , + -,:;- kT =O(T)2 4 2'"Aho ra, qu erem os dem ostrar q ue si ellen gu aje L tien e lID algoritm o que se ejeeuta en el tiem po prom edio depolinomio t( 1;.1;), entonees esto es en la ZPP . C orrem os el alg oritm o para el tiem po 2t( 1;.1;)y la salid a de lIDO?si el algoritm o no se ha detenido. Es sencillo ver que este perteneee a la ZPP . En primer lugar, e l peo r


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Demostracion: Vam os a con vertir un R palgo ritm o en u n B Ppalgo ritm o. En e1 caso de que la e ntr ad a xnoperten ece a la len gu a en to nces e1Rp alg oritm o siem pre d a la respu esta correcta, p or 1 0 qu e sin du da satisfaceesa BPpnecesidad de dar la re sp ue sta c orrecta c on una probabilidad de por 10m enos 2/3. En e1 caso deque la entrada zpertenece a la le ng ua e nto nces ten emos q ue m ejo rar la p roba bili da d de una re spue st aco rrecta p or 1 0me no s I!a por 10 menos 2/3.Vamos a Aser un RP alg oritm o para u n pro blem a de d ecisi6 n L . F ijamos u n mimero 1 o , Y definir e1siguientealgoritmo:

o de ent rada : x,

o siA.(x} rt l =A.(x} r'1) =,,,=A.(x} rx J =Oen to nce s d ev ue lv e 0o else return 1

Con sid er emos a ho ra la cor re cc ion del a lgo ri tmo . En e1 caso de la resp uesta correcta es O la sa lida s iempretiene la raz6n En e1 caso de que la respuesta correcta es jla salida que es correcto, excepto cuando todosA .{x} ri) =O.

lP [Ak{x} 'I}' ,,}k) =1] =01' 1 e':':': ~1'. 'f;.

E s rncil v er q ue la e le cc i6n de una apropiada 1o, lae gunda p roba bi lid ad pue de ir arbi trar ia trente cerca 1- Enparticular, la elecci6n 1 0 , =2es suficiente para tener una probabilidad m ayor de 2/3que es 10 q ue se requiereen la defin ic i6n de BPP . D e hecho, a1 elegir ka un polinom io en Ix I,podem os hacer que la probabilidadexponencial cerca 1. Es to s ign if ic a que la defin ic i6n de la RPque dim as anteriorm ente habria sidoeq uiv alen te a u na d efin ic i6 n e n la que, en vez de la cota de 1!2la p ro ba bilid ad d e u na re sp ues ta co rre ctacuando la en trad a e sta en el1 en gu aje L, que han tenido un limite de 1 _ (~) q(lxl), por un periodo :fijopolinomio c.nV am os, ahora, un ser BPP alg oritm o p ara u n p ro blem a d e d ec isio n L. Luego , : fi ja rkY definir e1siguientealgoritmo:

o de ent rada : xo recoger 'I}''1} , , , }'ko C = : = l A.(x} ,do si c ~. ~luego regresar una


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