Upload
others
View
38
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
– :
'"
'1........................................................................................ .......................3
'2.......................................................................................................... .....6
'3.............................................................................................................. .9
'4........................................................................................... ..................12
'5................................................................................................. ............16
'6................................................................................................ .............20
'7.................................................................................................... .........23
'8................................................................................................... ..........26
'9................................................................................................. ............29
'"
'4). (................................................ ....................32
'5)............ (............................................... ..............38
'6) ,...... (....................... .............44
'7)....... (............................................... ....................48
'8)...................... (................................................... ...................54
'9)(..................................................................... ....57
'10)............ (............................................. ...............60
'11) ,............ (.............................................. ...............63
1
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
'"
'1) ,............... (....................................... .......................66
'2) ,.. (................................................................ .....72
'3) , , (...................................................... .81
'4). (............................................................................. ......96
'5) ,....................... (..................................... ............104
'6) ,............... (............................... .............108
'7).... (............................................................. ..................111
'8).......................... (.................................. ...................116
'"
'1) ,............ (............................................. ..................121
'2) ,.. (.............................................................. .....124
'3) ,... (....................................................................... .129
'4) , ,. (..................................... .................135
'5)............................. (....................................... ..............139
'6) ,................... (........................... .............147
'7).............. (................................................... ..................151
2
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
,-14.11.200512:00. :)( ,-) ( .
.
1) (20 (:
* :(
({x | x = 2k, k Z, 0 < k < 10 } ({8,6,2,4} (}x , {x | x < 10 ({4,8,6,4,4,8,6,3,8} ({4,6,2,6,2,4,8,4,2,6,6,4,2} ({x | x = 2k, k N, k < 10} (}k ,k < 10 ,x | x = k+1{
2) (40 (:
* :"- ":
a b a b T T T T F F F T T F F T
(((a b) a) aT(T (a (a b)) b(a b ~b ~a((a b) c a (b c)
3) (40 (:(a (b (~c)) (a b) (~ (a c))(a (~ (b (~c))) (a (~b)) (a c)
) :)( ,)( ,-()33(
3
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
1:
,'- ' .,'- ,' ,- ,'- ' , . ').(
2:
.((a b) a) a(a b) aa bba
TTTTTTTFFTTFTTFTFTFF
.(a (a b)) ba (a b)a bba
TTTTTTFFFTTFTTFTFTFF
.~b ~a~b~aa bba
TFFTTTFTFFFTTFTTTFTTTTFF
.a (b c)b c(a b) ca bcba
TTTTTTTFFFTFTTTTTFTFTTTTFFFTTTTFTTFTFTFFTFTTTFTFFTTTFFFF
4
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
3. .") :(a (b (~c)) (a b) (~ (a c))
(a b) (~ (a c)) = - ~ (A B)
= (a b) (~a ~c) = (A B) C
= a (b (~a ~c) = A ( B C )
= a ((b ~a) (b ~c)) = A ( B C )
= (a (b ~a)) (a (b ~c)) = A B
= (a (~a b)) (a (b ~c)) = A ( B C)
= ((a ~a) b) (a (b ~c)) = (a ~a) -
= (F b) (a (b ~c)) = " "
= F (a (b ~c)) = " "
= a (b ~c) ).. (.
." :a (~ (b (~c))) (a (~b)) (a c)
a (~ (b (~c))) = - ~ (A B )
= a (~b ~(~c)) = " "
= a (~b c)) = A ( B C)
= (a (~b)) (a c) .. .
5
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
-21.11.2005 ,12:00.
1) (40 ( ,:.a, a c b c.~a, a b c b.a c, c b, a c b.a, c a, ~b ~a c ~b
2) (20 (:i.a, a b b
ii.a b aiii.a (b c) (a b) (a c)iv.(~a ~b) (~a b) a
:.b a, b (a c) b c.~b, ~a b a
3) (30 ( ,:... { }. { }.{ } { }.{ } { }.{1, } {1,{1, }}.{1, } {1,{1, }}. {1,{ }, 2}.{{ }} {1,{ }, 2}
4) (10 (:P(A) = P(B) A = B
6
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
2-
1.
(a a c) (b c)b ca a ca ccbaTTTTTTTTFFFFTTTTTTTFTTTFFFFTTTFTTTFTFFTFTFTTFTTFFTTFTFFF
.(~a (a b)) (c b)c b~a (a b) a b~acbaTTFTFTTTTTFTFFTTTFFTFTFTTTFTFFFTTTTTTTTFTTTTTFTFTFFFTTFFTTFFTFFF
.(a (a c) (c b)) c bc ba (a c) (c b) (a c) (c b)c ba ccbaTTTTTTTTTTFFFTFFTTTFFFFTTFTTFFFTFFFTTTFTTTTTFTFFTTTFTFTFFFFTTFFTFFTTTFFF
7
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
.
(a (c a) ~b ~a) (c ~b)c ~ba (c a) (~b ~a)a (c a)~b ~ac a~b~a cba
TTTTTTFFTTTFFTTTTFFFTTTTFTFTTFTFTTTFTFTTFFFTTTFFTFFTTTFTFFFTTFTFTFTTFFTFTTTFFTTFFTTTTFFF
2.
3, b->(a->c) => (b->a)->(b->c)(b->a), (b->a)->(b->c), 1 => (b->c)
.2, ~b => ~a->~b
~a->~b, 4=> (~a->b)->a1, (~a->b)->a, ~a->b =>a
3. .)" ".(. ... .-}{.. . ,.. .} {-}{.. .} {) (}{.. .1}1, {-}},1,{1{.. .},1 {}},1,{1{.. .} {.. .}} {{)} { (}2},{,1{.
4a A .)(
{a} A) ({a} P(A))P(A)=P(B)({a} P(B))(
{a} B)(a B
8
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
-3
)5.12.2005 (12:00.
)10 (1. :A={1,2}, B={2,3} C={3,4} .:
.Ax(BxC) = ?
.AxBxC = ?.Ax((BxA)xC) = ?
)90 (2.:
.A B= P(A) P(B) =
.A B = { } P(A) P(B)={ ,{ }}.A (BxC) = (A B)x(A C).(R S)-1 = R-1 S-1
.RR..R,SA .RSRS=SR.RR R2..R,S,T .R(S T) = RS RT.R,S,T .R(S T) = RS RT)(
9
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
–3
1. .BxC = {(2,3), (2,4), (3,3), (3,4)} ,
Ax(BxC)={(1,(2,3)), (1,(2,4)), (1,(3,3)), (1,(3,4)), (2,(2,3)), (2,(2,4)), (2,(3,3)), (2,(3,4))} .AxBxC = {(1,2,3), (1,2,4), (1,3,3), (1,3,4), (2,2,3), (2,2,4), (2,3,3), (2,3,4)} .BxA = {(2,1), (2,2), (3,1), (3,2)}
(BxA)xC = {((2,1),3), ((2,1),4), ((2,2),3), ((2,2),4), ((3,1),3), ((3,1),4), ((3,2),3), ((3,2),4)}Ax((BxA)xC) = {(1, ((2,1), 3) ), (1, ((2,1), 4) ), (1, ((2,2), 3) ), (1, ((2,2), 4) ),
(1, ((3,1), 3) ), (1, ((3,1), 4) ), (1, ((3,2), 3) ), (1, ((3,2), 4) ), (2, ((2,1), 3) ), (2, ((2,1), 4) ), (2, ((2,2), 3) ), (2, ((2,2), 4) ), (2, ((3,1), 3) ), (2, ((3,1), 4) ), (2, ((3,2), 3) ), (2, ((3,2), 4) )}
2. ..
, ,{ } P(A) P(B) ,P(A) P(B) .
. . :A,B-A B = { }.
P(A) P(B) = { , { }}.X P(A) P(B) .
(X P(A)) (X P(B))(X A) (X B)
X=( A) ( B) , P(A) P(B).Xx X. x A x B .
x A BA B = { }x=X={ })X(
{ } P(A) P(B)..
. . :A=B=C={1}A (BxC) = {1} {(1,1)} =
(A B)x(A C) = ({1} {1}) x ({1} {1}) = {1} x {1} = {(1,1)}
. : (x,y) (R S)-1
(y,x) (R S) ((y,x) R) ((y,x) S) ((x,y) R-1) ((x,y) S-1) (x,y) R-1 S-1
10
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
.. : ,.
. .RS=SR= <RS. (x,y) RS .RS=SR (x,y) SRR,SA .(R=R-1, S=S-1) (x,y) S-1R-1
a A. (x,a) S-1 (a,y)eR-1
a A. (a,x) S (y,a)eR (y,x) RS...
:RSRS=SR. (x,y) RS .-RS (y,x) RS a A. (a,x) S (y,a)eR a A. (x,a) S-1 (a,y)eR-1
(x,y) S-1R-1R, S A. (x,y) SR...
.45.
."":" :R(S T) RS RT
(a,b) R(S T)x. (a,x) R (x,b) (S T)
x. (a,x) R ( (x,b) S) ( (x,b) T)x. ((a,x) R (x,b) S) ((a,x) R (x,b) T)
( x. (a,x) R (x,b) S)) ( x. (a,x) R (x,b) T))((a,b) RS) ((a,b) RT)
(a,b) RS RT...
:RS RT R(S T)(a,b) RS RT
(a,b) RS (a,b) RT( x. (a,x) R (x,b) S)) ( y. (a,y) R (y,b) T))T,S S T
( x. (a,x) R (x,b) S T)) ( y. (a,y) R (y,b) S T))((a,b) R(S T)) ((a,b) R(S T))a a = a
(a,b) R(S T)...
. :R={(1,2), (1,3)}, S={(2,4)}, T={(3,4)} :RS={(1,4)}, RT={(1,4)} ,RS RT={(1,4)} ,
S T= ,R(S T)=.
11
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
-4
)12.12.2005 (12:00.
)20 (1.)A ( , .
,. ,B A ,-RB.
.A={1,2,3,4}, R={(1,1),(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,1),(4,4)}
.A=Z, R={(x,y)| (x-y) mod 5=0}.A=P({1,2}), R={(X,Y)| X Y}.A=Z, R={(x,y)| k Z. (x-y)=5k}
)20+10 (2.)-A-B (". '" ,-A-B ,
'".
.A={5,...,100}, B={1,...,105}, R={(x,y)| x=y-5} .A=N, B=Z, R={(x,y)| y=5} .A=Z, B=N, R={(x,y)| y=x2} . A={x| (2x) N}, B=N, R={(x,y)| (y+3x+0.5) N}
)10 (3.R,SA .S R ,- S R?
)50+5 (4.f:A B, g:B C.
.f,g '" ,fg"? .f,g ' ,fg? .fg")f"g"( ? .-A=C ,-fg=IA .g=f-1?
12
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
–4
1) .20(. (1,1),(2,2),(3,3),(4,4).
(1,2) R (2,1) R ,(1,3) R (3,1) R,(1,4) R (4,1) R,(3,2) R (3,2) R,(4,2) R (2,4) R ,(4,3) R (3,4) R ..(1,1) R, (1,4) R(1,4) R(4,1) R, (1,1) R(4,1) R(1,4) R, (4,4) R(1,4) R(4,4) R, (4,1) R(4,1) R2,3 ,.
:A/R = { {1,4}, {2,3} }. :x Z.(x,x) R .x Z .(x-x)mod5=0 mod 5 = 0
. :x,y Z.(x,y) R (y,x) R .
x,y(x,y) R .)((x-y)mod5=0)x-y-5 ,-(x-y)-5((y-x)mod5=0)(
(y,x) R .... :x,y,z Z.(x,y) R (y,z) R (x,z) Rx,y,z Z :.(x,y) R (y,z) R)(
(x-y)mod5=0 (y-z)mod5=0((x-y)/5) Z ((y-z)/5) Z)(
[(x-y)/5 - (y-z)/5] Z ) (x-z)/5=[(x-y)-(y-z)]/5 = [(x-y)/5 - (y-z)/5]((x-z)/5 Z(x,z)mod5 = 0)(
(x,z) R :A/R={[0],[1],[2],[3],[4]} ,
[0]={0, 5, 10,...}, [1]={...,-9,-4,1,6,...}, [2]={...,-8,-3,2,7,...}[3]={...,-7,-2,3,8,...}, [4]={...,-6,-1,4,9,...}
.({1},{1,2}) R ,({1,2},{1}) R.A={ ,{1},{2},{1,2}} .
B A|B|=1) .(B={{1},{2}} ,({1},{2}), ({2},{1}) R.
. :x Z .(x-x)=0=0*5) .0-k( ,.
:x,y Z.(x,y) R (y,x) R .x,y(x,y) R .)(
k(x-y)=5k) :1-(k (y-x)=5(-k))z=-k(z(y-x)=5z)(
(y,x) R ....
13
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
:x,y,z Z.(x,y) R (y,z) R (x,z) R
x,y,z Z :.(x,y) R (y,z) R)(k1,k2 :(x-y)=5k1 (y-z)=5k2)2(k1,k2 :(x-z)=(x-y)+(y-z)=5*(k1+k2))k3= k1+k2(
k3 :(x-z)=5k3)((x,z) R
'.2) .20 +10(
.x Ay By-5=x ,y=x+5. :x A .5 x 100 ,)x (10 x+5 105 ,)x (
y=x+510 y 105 ,)y (y B. :x A ,) (y1 y2 B ,-
(x,y1),(x,y2) R) (x=y1-5, x=y2-5y1-5=y2-5y1=y2 ,- y1 y2.
" :x1 x2 A .y1,y2 B ,(x1,y1) R ,(x2,y2) R.) (y1=x1-5, y2=x2-5 .y1=y2 ,
-x1-5=x2-5x1=x2 , ,y1 y2. :-B-1-9.
19-B)-A.(. ,x A)B5( ,(x,5) R ,
-x).( '")5.( 'y B ,5.
-B{5}A.. ,-0 .-0 ,x Z-x2 N ,
-x2) .x-x2.(0-A ,)0B (.")0 :(y Ny=x2 ,
y=(-x)2 , ,).() ( ,y)3,5,6,7,8 (.
-0)( ,) ,x( ,
).(.x=k+0.5 ,k ,y Ny+3x+0.5 N ,
xy Ny+3x+0.5 N .-x) (-x).(
,-x)k+0.5k)( ,0.5( ,
-xy+3x+0.5 N ,1.
"?
14
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
y Nx ,x , ,.
"-x)1()0.5 ,-x(
,")0.5 ,.(
-{1.5, 2} 0.5, 1} ,{".
3)10(-S R .
:S-RIA S, IA R= <IA S R ,S R. :(a,b) S R)(
(a,b) S (a,b) R)-R,S((b,a) S (b,a) R)(
(b,a) S R :(a,b), (b,c) S R .)(
[(a,b) S (a,b) R] [(b,c) S (b,c) R])([(a,b) S (b,c) S] [(a,b) R (b,c) R])R,S(
(a,c) S (a,c) R)((a,c) S R
S R , , .:A={1,2,3}, S={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)}, R={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)}
:S R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(3,2),(2,1)} ,(1,3),(3,1) S R.
4)50- +5(.a1 a2 A .-f"f(a1) f(a2).
-f(a1) f(a2) B-g"g(f(a1)) g(f(a2)) .....c C .-g ,b B ,-g(b)=c.
b ,-f ,a A ,-f(a)=b.c Ca A ,g(f(a))=g(b)=c.
.)5:("fg"f ,g".
b1 b2 B .-f ,a1,a2 A ,-f(a1)=b1 ,f(a2)=b2 .-f ')-" ("a1 a2.-fg"g(f(a1)) g(f(a2)) ,g(b1) g(b2) ....
)(- :A={1}, B=C={1,2},
f={(1,1)}, g={(1,1),(2,2)}, fg={(1,1)} .g ,fg" ,f)-2-A.(
.:A=C={1}, B={1,2}, f={(1,1)}, g={(1,1),(2,1)}, fg={(1,1)}=IA
15
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
-5
)26.12.2005 (12:00.
1.A
,> ,<) .=223=223, 34>54, 34<54(A:
S={(a,b)| (a b) = True}W={(a,b)| (a b) = True}
R={(a,b)| (a ~b) (~a b)}."?." ??
2. ,.
, ,)(.R={ ((a,b), (c,d)) | a+b c+d}A=NxN.R={ ((a,b), (c,d)) | a c, d b }A=NxN.R={ ((a,b), (c,d)) | a 5c, b 5d}A=NxN.R={ ((a,b), (c,d)) | ab cd, a+b c+d}A={1,2,3}x{6,9,18}
3..
, ,).()(
.
.
.
5
1
3
4
2
5
1
3
4
2
5
1
3
4
2
16
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
4..- ,
, ..)-(?
17
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
–5
1) .30(.S , . :a
False ,bTrue .(a,b) S, (b,a) S ,a b = True, b a = False.
W . :aFalse ,a a = False ,(a,a) W.
R) . :})ab ()ba(|)b,a({=R :R={(a,b)| (a b)} ,(.
:a(a ~a) (~a a) :(a,b) R)(
(a ~b) (~a b))((b ~a) (~b a))(
(b,a) R :(a,b), (b,c) R)(
((a ~b) (~a b)) ((b ~c) (~b c)))(((~a b) (~b c)) ((a ~b) (b ~c))
):(x y) ~y = x(((~a c) (a ~c)))]''[(
(a,c) R.S)( ,-.
:a,bTrue ,(a,b) S ,(b,a) S ,a b = True ,b a = True)a-b.(
W)(R ,-)S(
2) .30(.- :((5,6),(6,5)),
((6,5),(5,6)) R ,5+6=6+5 ,((5,6),(6,5))((6,5),(5,6))..
:(a,b) NxN :a a, b b((a,b),(a,b)) R.- :
(a,b),(c,d) NxN ,((a,b),(c,d)) R ((c,d),(a,b)) R .) ((a c d b) (c a b d))(
(a c c a) (d b b d)(a=c) (b=d)(a,b)=(c,d). :
(a,b),(c,d),(e,f) NxN ,((a,b),(c,d)) R ((c,d),(e,f)) R .) ((a c d b) (c e f d))(
(a c c e) (f d d b)(a e) (f b))R (((a,b),(e,f)) R.
. :(1,1),(2,2) . :(1 2 2 1) (2 1 1 2) .((1,1),(2,2)) R ,((2,2),(1,1)) R
-(a,b) NxN :((a,b+1),(a,b)) R.)"(" , :((a,b),(a+1,b)) R
18
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
.- : .5<5*6, 6<5*5 ,((5,6),(6,5)), ((6,5),(5,6)) R ,
(5,6) (6,5)...
:(a,b) A :ab ab, a+b a+b((a,b),(a,b)) R.- :
(a,b),(c,d) A ,((a,b),(c,d)) R ((c,d),(a,b)) R .) ((ab cd a+b c+d) (cd ab c+d a+b)) ((ab cd cd ab) (a+b c+d c+d a+b)
(ab=cd) (a+b=c+d) .a+b=c+d)(a,b),(c,d) A (
(a,b)=(c,d) ,-{6,9,18}3 ,-{1,2,3}2 .-.:
(a,b),(c,d),(e,f) A ,((a,b),(c,d)) R ((c,d),(e,f)) R .) ((ab cd a+b c+d) (cd ef c+d e+f)) ((ab cd cd ef) (a+b c+d c+d e+f)
(ab ef) (a+b e+f))R (((a,b),(e,f)) R. : :((1,9),(3,6)) R ,((3,6),(1,9)) R ,:
(1*9 3*6) (3+6 1+9).(1,6)" " ,(3,18) ," "
" ".
3) .15(. .-2,3 .-.. .-3.. ,-
:(2,1),(1,4) ,(2,4)
4) .10 ,'15'(./ . ,
/..2.
-5 ,2 ,2 .
2-42 , 2.2 .3 .2-42.
2 .5" ."2-42.
19
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
-6
)2.1.2006 (12:00.
1.:
G=(V,E) .-G.
2.:
) (.
3.:K--K ,
. :2-.
20
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
–6
1 .] :[ :-G) .(
x . ,x.
x.-x ,
, . , ,
.-x , ,
, ,. :.
: : .- ,
) .(1 , ,
. ,) ..(
:m ,. : ,m+1.
- ,) .(x-c.
,c , ,
.c , .c
) .(c .c . ,
,-c ,c.
-c , . , .
c ..
2. :) (.
1 ,. :)n > 2 ( , ,) (.
) :n( :n=3 .3
.. :N) (.
21
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
) : (z- .) , ,( ,x
) ( .z .z-x , ,x .z-x ,x)
.(zyx ,y-x-z .zy ,-x.
3. :2-.
x) .(. , .
) ..( :""" ,". : ,y ,
)y .(" " , .
.
22
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
-7
)9.1.2006 (12:00.
1 . /:n ,n ,
.
2 . /:dG .G"d+1"-.
3 . /:.--3..-3-.
23
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
-7
1..
x,y .{x,y} .-|A|x ,-By.
x,yn ,|A|+|B| n.x,y-A-B)( ,
|A B| n-2 .|A B| = |A|+|B|-|A B| ,|A B|>0 ,z A B ,z Az B .zxy ,
-x-yz) ...(. :0 ,n-1
)( ,-n.
) ."(v .1 , .-v
, . , .
,)-.(
.x1 ,xm.
x1- xm , . .-Ax ,-B
xm .-C- xm.x1-C .- x1- xm
-C .|C|=|B| ,-B ,-C
)xm ,- xm-B.(n ,-|A|+|B| n ,
|A|+|C| n .x1-A-C ,|A C| n-1 . :|A C| = |A|+|C|-|A C| ,|A C|>0 ,xi-A-C ,xix1 ,-xi-1
xm .(x1, xi, xi+1,..., xm, xi-1, xi-2,..., x1) ,.
, ,. .) (z
" " xk .k<i , :(z, xk, xk-1,..., x1, xi, xi+1,..., xm, xi-1, xi-2,..., xk+1),
:(z, xk, xk+1,..., xm, xi-1, xi-2,..., x1, xi, xi+1,..., xk-1)..
..
24
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
2:dG .G"d+1"-.
"") "( , .
.d ,-d+1 ..
3 . /:.--3..-3-.
:G=((U,V),E).
-3 .-U-V , ." "
)-U ()V .(--V ,
....
: :5-(a,b,c,d,e,a) .a,b .b,cca .c,ddb .ed
,a , ...c.
25
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
-8
)16.1.2006 (12:00.
1 .4-14 ,.
."?
."?)(."?."?)(."2?)(."2?."(1,2,4)?."-?."-3-?)(."?
2 .4-14 ,-.
."5?
."5?)(."5?." ,5 ,?)(
3.)(4 ,.
."?)(
."?)(."?)(."5?)(."4?)(
:10)(?
-2) (10?-102.
:10-2)( ? :22*...*2)10 ( ,210.
26
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
–8
1-3 ,/.1.
.4 ,4)- ,
.(4 ,3"3*4=12) .(
, .2"4212.
.
.4-2) (4) .(2
424 ,6. ,2- ,"26.
.
.
.2 , .
' :3."4)(
.23 ,.
3 ,32)23( ,"4*4.
' :2 .a,b-c,d ,-c,d ,-a,b) .
(24 ,-2)
( ,42 ,3. ,3.
' '-"16+3=19.
.(1,2,4){1,2},{2,4} .- '46 .2"4
,24.
.--2 , . ,3)
-.(333
) =43 = (4.4 ,3 .
4 ,)3 ()31 ( ."4*3=12.
27
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
523 .56 ,6.23.
"3 ,4+12+6+1=23 ."62-23=39.
.
.- : .0-n-1 ,
,02 .v2 ,-2 ,1 ,-2 .2
)0 ()2.(
) :1 (2) .2 (320) .3 (0.
1)32 (-1.2)43 (2 ,4.3-.
3+4+1 = 8.
2..4) (1+2+3+4) .
4)( ,3 .(...-6 .4.
510" " .-" ") .(
)2"(" ,"" ,. , :5-10
) .5-10 .())10-1+(5 (5.
..
.12 .4) (16 .
) .05( ,'.) :16-1+00) + ... + (16-1+55.(
..
3) .() . ( : . :n-1 .n=4 .
43? ," " , .36 .2-3
)1( ,2 , .".
28
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
-9
)26.1.2006 (16:00. :.
1 .12100 .4
25?
2.- :x1+x2+x3+x4<5.
3.77-777-7 ,-11?
: .5.
4.80 :-4
19 . ,3 ,6 ,)9 ( .?
..
.,).(
5. . , ,
. ,n? ..
6. :n ,{0,1,2,3}
0-.
7. , :f(n)=2n-1.
f(1) = 1, f(n+1) = 2*f(n)+1 .
29
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
–9
1.12-34 .
-25 ,75 ,1275 ,12100.
2.-x1+x2+x3+x4<5 ,
:x1+x2+x3+x4=4 ,x1+x2+x3+x4=3 ,x1+x2+x3+x4=2 ,x1+x2+x3+x4=1 ,x1+x2+x3+x4=0 ,:
}]4)+4-1 [(4 { +}]3)+4-1 [(3 { +}]2)+4-1 [(2 { +}]1)+4-1 [({1+}]0)+4-1 [(0{.
3. :.
-A77-777-7.-B77-777-11.
:|Ac Bc| = ? :|Ac Bc| = |U|-|A|-|B|+|A B| .
77-777777+1-77 = 701.77-777-7700 / 7 + 1 = 101 .-77-777-777-11700/11 + 1 = 63 .-77-11.
-7-11-77 .77-777-77700 / 77 + 1 = 10.
:|Ac Bc| = 701-101-64+10 = 546.
4. . ,.
) :8019)*(6119)*(4219)*(2319*(4)]199)*(106)*(43.[()-.
,( . . ,
..) :41)*(7818)*(6119)*(4219)*(2319*(
4)]199)*(106)*(43.[(
5.n ,-.
,n-1. ,n-2.
,n-3.-f(n)n .:
f(n) = f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)3.
]f(0)– :[ ,- .f(1)=1
30
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
22 :- .- .f(2)=2.
3 , :-3 .-2" .- .
-- ."f(3)=4.
6.-f(n)n.
4 :0-3.-1,2 ,3 ,n-1 , '-.-0 ,n-1 '.
=-.
:f(n)=3*f(n-1)+[4n-1 - f(n-1)] = 2f(n-1)+ 4n-1.
7..
:f(1)=2-1=1 ..n ,-n+1.
:f(n+1)=2*f(n)+1 :2*[f(n)]+1= 2*[2n-1]+1.
2*[2n-1]+1 = [2n+1-2]+1 = 2n+1-1 ....
31
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
1
22.11.2004 '–"7.11.2004
– '4:
1( -Z-Z . . .
.11, gfgf
.1100, gfOrgfgf
.Zxallforxgxfgf 1,
.ZxallforZCsomeforCxgxfgf ,
.0110, gfandgfgf
2(PA A ,A R :
),(),( 22112211 yxPyxyxyxA = {0, 1, 2, 1/2, 1/4} ,A A-P .
A = R..
3(nRS ,n.
nn w
ww
w
v
vv
v 2
1
2
1
,P:
Pwv,ni1 :)00( ii wv
P.?
4 (21,0 , SSS2N:
22211 ),(,),( Nyxyx ,),(),( 220112121 yxSyxyyxx
22211 ),(,),( Nyxyx ,),(),( 221112121 yxSyxyyxx
22211 ),(,),( Nyxyx ,),(),( 22211
22
22
21
21 yxSyxyxyx
:??
32
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
2
- ? - ?
5 (RA . 1AA .1R1A":
111 AARR)1RR1AA . ( :
.R1R.
.R1R .
!
33
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
1
'–"6.12.2004
– '4:
1( . .. . ,. .. . .
2(P:
:2),( Ryxyxyx),(),( yxPyx.
:),(),( wzPyxwzyxyxwz.),(),( yxPwz
:),(),(),(),( lkPwzwzPyxlkwzyx:
lkyx,),(),( lkPyxP.
A = {0, 1, 2, 1/2, 1/4} ,:
A/P = { {pairs that their sum is 0} , {pairs that their sum is 1/4},{ pairs that their sum is 1/2} , { pairs that their sum is 3/4} ,
{ pairs that their sum is 1 } , { pairs that their sum is 5/4} ,{ pairs that their sum is 6/4} , { pairs that their sum is 2},
{ pairs that their sum is 9/4 } , { pairs that their sum is 10/4} ,{ pairs that their sum is 3} , { pairs that their sum is 4} }
A = R::
,
.2R.2
00 , Ryxbyx 00yx,-2Rbyxbxyb.
(-1) 'yb .
–(-1) , b .
:b-xy,|,, 200 linestaighttheonisyxpionttheRyxyx
34
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
2
: ,P1 - .
. ,
- . ,
. :
RbbyxyxRbbPR ||,}|)],0{[(/2 .:
Y. :.
3(
P:
:nPvni1ii vv00 ii vv .
vRv.
:vPwni100 ii wv00 ii vwwPv.
:vPwwPz)0000(1 iiii zwwvni :00 ii zvvPz.
P.
:
}00(1|{][ iin wvniRwv
,.
: ,
. ,"ni1
.)
.( :}|]{[/ vectorbinaryisvvPR n.
n2.
35
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
3
4(
.22211 ),(,),( Nyxyx ,),(),( 220112121 yxSyxyyxx
.
3,21,4 .
0,0).("
:x .
y-) . :(
.22211 ),(,),( Nyxyx ,),(),( 221112121 yxSyxyyxx.
3,25,4.
.
. . .
5(:
." :R1R
:1,, Acba .
:11 ,, RcbRba.
RR1 :RcbRba ,,R:Rca,[*]
1, Aca11, AAca[**]
[*] [**]1, Rca..
.1R .
:1Aa.
AA1:Aa.
R :Raa,[*]
36
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
4
:11, AAaa[**]
[*] [**]1, Raa..
:1, Aba.
:11 ,, RabRba.
RR1 :RabRba ,,R :ba
..
37
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
1
2.12.2004 '–"23.11.2004)28.11.2004(
– '5:
1((5
?) :5
2( .
(" .
2(105 ,3" ,2 .:
( ," ,.
(.("
.
3((62,3,7?
(?(?(?
4(7. .23? .3 .
? .3?
5((n2 .
?
(n-n?(n-kn 2 ,
?) :(
6 (59?
38
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
2
7(
.104
?
.710?
8 (254321 xxxx . :
(?(?
(4321 8,0,3,0 xxxx?
(106,32,80,61 4321 xxxx?)
.(
9( ,10 .4 -6)
( .?
10 (ABAAAPB .
TB :SdomRdomSRT ,.
)T( .
.10,..2,1A2,1R)BR (R ?
.TA?)TB /(
.? .A?
!
39
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
1
'–"12.12.2004
–'5:
1 ( .
52 .2)".(
:30225
.53 . .
--303)"30–.(
-- .3 .
:333035
2 ( .!5 ,!3
"!2 . :1440!2!3!5
.' , !3" " .!3 .
8640)!2!3!5(!3
. , -" ."!5 .
,"!2!5!5 . "
,)' . ( :8640!2!5!5 .
3 (. :63.
.2 . :53.
40
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
2
.7 :26
.""
3 :24
."
2 .
, :22
24
26
.
. ,2 . :
22
24
15
4(
.54 927
937
."710 ." " . :7103
.449 ."3
. :35
94
5 (.!2 n .!n2
) (n2 . :
nnn
2!!2
.) ( .n :!n
.n
kn 2 ."
!n .k2kkk2!
!2
) .( :
kkkn
nkn
2!!2!
2
41
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
3
6 (
-59
. .
,52 .
:5259
.
7(
. . .74
:710
.
. .710.
8( .
:2528
251425
.
4321 ,,, yyyy14,3,2,1 ii yxi :251111 4321 yyyy
:214321 yyyy
"2124
211421
.
4321 ,,, yyyy
11 yx322 yx
33 yx
42
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
4
844 yx :2583 4321 yyyy
:144321 yyyy
"1417
141414
9(
2
.210
.8
,448
."6
– .24 .
,24
48
210
10(
.R1 .
10,1,....,2,1,1,11 A ,
.R :/1 APR T .
1210.
. .
.
A ,102 , )TB /(.
. .1)
R. ( .
AA .) :AA(.
43
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
1
9.12.2004 '–"29.11.2004
–6: ,
1(Xn .YXm .
XY?
2(.1,2,3,4,5,6,7247?
.1,2,3,4,5,6,724
2747?
3(59-12 ..
( ?).(
(
3 ?
( , .
?
4 (40 ,
10 ,20–30?
5 (},,,,,,,{ ddccbbaa
?
6 ( A10-B .. '-AB -BA?
. 'ABBA?
!
44
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
1
'–"20.12.2004
–'6:
1 (" "Y .
XYmnYXYXP 22|)\(| |\| .XY ,Y .mnn 22.
2 (
.1,247,3,5,6 .!5.
.A=24
B=27
C=47
,
!5!6300!50!6!6!6|||||||||||||||| CBACBCABACBACBA
3 (. *-
954321 xxxxx , 913
9,5D.
* -
1254321 xxxxx , 1216
12,5D.
,1216
913
. * -
5954321 xxxxx , 48
4,5D.
45
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
2
*3
-31254321 xxxxx ,
913
9,5D.
,913
48
.n=5:
44!
1!5!055
!145
!235
!325
!415
!55
0k
k
k
4 (
40" ,
-40321 xxx ,242
40,3D.
4011231
)29,3(D.
4021221
)19,3(D.
4031211
)9,3(D.
401121
210
)8,3(D.
. ,4010
,2030
176210
211
221
231
242
5 (
42!8
iA},,,,,,,{ ddccbbaaii . :32!7|| iA
)ii .(
46
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
3
!4||2!5||
2!6|| 2
dcba
kji
ji
AAAA
AAA
AA
:
864!42!54
2!66
2!74
2!8
!444
2!5
34
2!6
24
2!7
14
2!8||
234
234''''dcba AAAA
6( .BAf : : A"fB .105.
ABf : :B"fB .510.
.ABf : ,|||| AB.
BAf ::
" 'AB105 'AB4104 ,5
.
'AB3103 ,35
.
'AB2102 ,
25
.
'AB1 ,5.
'ABi ' , .
:
5225
335
455 10101010
47
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
1
16.12.2004 '–"5.12.2004
– '7:
1(
.nnin
i in
430
.2
22 aaa
.2x82 )1( x?
2(n :nin
i in
320
..
3(nn
k kn
20
4 ()( :
123
32
2 nnnn
nnn
n
:n"},1,0{ aa.
5(
:
.n
k
k
kn
k0
3
.n
K
k
kn
05
6 ( .:
nkk
kkin
inn
i
i 111
0
48
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
2
:k- n.
!
49
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
1
'–"26.12.2004
–'7:
, :
Rba,Nn . :n
k
knkn bakn
ba0
1 (
.1;3 ba:n
k
kn
k
knknn
kn
kn
00313134
. :
2111!2!2
!22
2 aaaaaaa
aaa
a
.
8
0
8
2
8
0
8
28
2
81
8)1(
i
ix
i
ixix
ii
2x4
2x
48
.
2224
2 835
1670
1648
48
xxxx .2x835
.
2 (
"n :nin
i in
320
.1,2 ba .
. :n"
2,1,0 .)n3 .(
1-2.
50
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
2
3 (n
n
k kn
20
n.
:
0n:02100
1n:12211
01
2n:2212122
12
02
:n1n.
1
00
1
0
1
0
1
0
1
0
222
200211
...1011
...10
11
1
n
n
nnn
i
n
i
n
k
n
k
n
k
n
k
inn
nn
in
nnnnn
nn
nnnn
kn
kn
kn
kn
kn
..
4 ("n"},1,0{ aa .
:
:an ,01 .
11 221
nn nn
.
:n-a ,2
2n
2n ,1
a ,3
3n
3n ,2a ,kn
k
kn ,1ka)k ,
51
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
3
a (…n0 ,n-1a
. ,nn
nnn
n3
32
2.
5 (
.:
ninin
iaxax
in
0 .
x:
11
0)( nini
n
iaxnaxi
in
:1,3 ax:
111
04)13(3 nni
n
inni
in
.
3 :
1
0433 ni
n
ini
in
.1;5 ba:
nnknkn
k kn
415150
6(
nkk
kkin
inn
i
i 111
0
k- n.
:
nkxxx n...21 . :nk
knknkn 11)(
52
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
4
:k- nk- n) (
k- n .:
S–k- n).(
iA-–k- n-i.
:
kkn
S1
ni1k
knAi
11
nji1k
knAA ji
12
...
...
...
k- nn
i
i
kkin
in
0
11
..
53
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
1
23.12.2004 '–"13.12.2004
–8:)(
1 (':
F(0)=1
F(1)=1
F(n)=F(n-1)+F(n-2)n>1 .10.
.':
F(n+4)=3F(n+2)-F(n)n 0
2(
,50000 . ,.
.-n. .1350000?
3 (:
n ,) ,
( .) .( .
4("10-5 ,
..
n ,.)
i-i(.
.45?
!
54
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
1
'–"02.01.2005
–'8)(:
1 (
.1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 . :n=0,n=1
n=0F(4)=3F(2)-F(0)5=3*2-1
n=1F(5)=3F(3)-F(1)8=3*3-1n k 1:
F(k+4)=3F(k+2)-F(k)n +1 . ":
F(n+4+1)=3F(n+2+1)-F(n+1)F(n+5)=3F(n+3)-F(n+1)
':F(n+5)=F(n+4)+F(n+3)=3F(n+2)-F(n)+3F(n+1)-F(n-1)=
3(F(n+2)+F(n+1))-(F(n)+F(n-1))=3F(n+3)-F(n+1)
2 (
.A(1)=50000A(n)=3A(n-1)
n-1- n.
.1350000=33*500001350000.
3 (.nan ,
.
) (
.1na
,
) .(
2na.:
55
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
2
110
21
aaaaa nnn
.
4 (
{5,10}n5 , ,{1,2}n.
. .n , :
a(n-11
b(-2n2
,:
21 nnn aaa.)nan(
:0) -0( ,1–“1” .
.9545
12.55 .
55...789 aaa
1,1 10
21
aaaaa nnn
56
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
1
30.12.2004 '–"20.12.2004
– '9:
1(101 , '
) :abba.(
2(.
3(Gnvvv ...,, 21 ) 3n ( .2
}{\,},{\},{\ 21 nvGvGvG ,G.
4(ndddD ,,, 21.
.GDn
iid
1
.
.DGD .
:
1,3,3,4,5,6,62,3,3,4,5,6,7
5(Gn2/1nG.
6 (G4- ,
E(G)".
7 (G=(V,E) ,50.
.G50.
.G50.
!
57
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
1
'–"10.01.2005
–'9-:
1(
.v-u"vu .101. .
101 - . ,-
:Vv
Evree 2deg
2(
G . , . ,
) .( ,)
( ..
3 (
}{\},{\ 21 vGvG ,G .
}{\ 1vG ,nji2Gji vv , .}{\ 2vG ,
jinji 21Gji vv , .
G21 , vv .}2,1{\Vw .
}1{\Vw1wv ,2.
}2{\Vw2wv ,1.
21 ,G21 , vv.
G.
4 ( : ,n
ii Evd
1
||2)(.
:},,{ 21 ndddDn
iid
1 ,
GnD .G :ni121 ii kd)id (2ii kd)id .(id ,ikiv
.n
iid
1 ,id .
ivid , .G)
(n
ii
n
ii dvd
11)(.
:
58
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
2
(2,3,3,4,5,6,7 :7 , 7 .6.
1,3,3,4,5,6,6 :7 ,6 ,1.
5 (G . .
H .n/2)
<n .(Hn/2 -1)n/2 -1 ( (n-1)/2 ..
6(.
4321 ,,, xxxx4- .),(),,( 432211 xxexxe .
21 eeGG .C . , ,C
G.4-.
P ,"PG.
7( .
50" . .50 , 50 .
50 .49 . ,
-i ,150 i-1i . -50-51
.50 .
..
.
-50 .– . .50
50– . , , ,
. , ,50
.50.
..
59
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
1
6.1.2005 '–"28.12.2004
– '10:
1(}},...,1{},,...,1{|),{( mlnklknm,
.),(),,( lklk
llkk.
.nm,?
.nm,?
2(4|| 2
|| VE.
3 (
.1G) (n . ,3 , ,.
.2Gn ,1 G . ,3 , ,.
4 (n,..n?.3?
!
60
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
1
'–"16.1.2005
–'10)-:(
1(
.Gnm,,),(),,( lklk"llkk ,
),(),,(),,( lklklk),( lk.
.-Gnm , -Gnm)nm,nm, .(
2;1 nm1;2 nmnm .
2 (G|||||| 21 VVE
21 'VVK .|||| 21 VV|||| 21 VV)
( ,2
|||||| 21VVV .
4||
2||
2||||
2
21VVVVVE.
|||| 21 VV|||| 21 VV .
a .acb 2cb, .
iiaciab , . :222))(( aiaiaiacb0i ,acb .
3(
.3 ."4n
:!4
!n
n
.
326 nn3 .
3G2326!4
! nnn
n
61
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
2
4(.
n,.
3n)2 (
) (3n ,3n-.
.
nk3n
.
--n.
--4nn.
:
43
nnnn
62
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
1
13.1.2005 '–"05.01.2005
– '11:+
1(:G) (.
GwVE |||| ,wG.
2(
(G = (V, E) .-E -G .G.
(G = (V, E) .-EG .G.
3(
G = (V, E) .r1rG)
(
4 ( , ,n ,2?
!
63
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
1
'–"10.01.2005
–'11) +:(
1(::
G . G),( iii VEG .
."1|||| ii VE .
GG ,
wVVVVEEEE ww ||1111|||||||||||||| 2121
:GwVE ||||G.
||V:
1||V : 011|| EG.
nwnwVE |||| ,
n+1 wnwVE 1||||. :
01 :2 ,
||2
||2|| VVE .".
0 ,n ,|| E)
( ,1w) . (wnwVE )1(1||||
.0 ,.
1 ,n ,1|| E ,
w .wVE 1||1|| ,wnE || . ,
n+1.
2(
.G = (V, E) .-E-G
.G.
: .G .
-E -G.
u,vV .v-u(v, u)-G) .(*
G ....
W
64
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
2
.G = (V, E) .-EG .
G.
: .G .
-EG.
-G .u-v .
(u, v)-G .u-v) .(*....
(*) :Gv-u-v-u) .(
3 (x .
.r1r ..
4 (
21 , VVK:
21nV ,
22nV).. . (
22nnE
2)- (
2221 nnnn
.
2nn -n
2=
65
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
– "31.10.2002 '21/10/2002
– '1
1 ( , .
qpqp .;qpqrprqp .];)[()](
)()]() qppqqp
[
2 ( , , .[(
)()]()[( rprqqp(
(
3 ( :
.rqqp . ,rqp . ,
nkn 2
.
4 ()(:..k
)])()([)]()()([ xBxAxBxAx
..
+
5 ( , ,:
(((( )],(),()[)( xyPyxPyx(( )],()()()[ yxQyxPx
6 (
11...
1210
aaaaaa
nn1a
1n0n17 (:
. a a
66
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
" ":
: , a n101 0a0,1,2,…n-1 - ., :
1111
2
11
n
nnn
aaaa
0n.
n 8 (n(n-1)/2.
!
67
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
– '"6.11.2002
1 –
)12 ( 1(p=F , q=F . .
.
.: .
qpTqprrqprqprqpqrprqpqrprqpqrprqp
2()12 (
:.)()]()[( qppqqp
qppqqp
TTTFFTTFFTFTFFTFFTFTTTFTFTFTTTTTFTFFFTTTTTFTFFTFTFTFTFFFFTTF
.
.)()]()[( rprqqp
rprqqp
TTTTTTTTTTTFFTTFFTFTTTTTTTTTFFFFTFFTTFTFFFFTTTFTTTTTTTFFTFTFFTFTTFTTFTTTFTFTFFTFTFTFTFTF
.
baba ,-
1
68
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
" ": –
: .:
)()]()[( qppqqpF
T F T
T TF T
F T F T T T T T F F p=F ,q=T , .
,. F
:[( )()]() qppqqp
)()]()[( rprqqp
TF
FF T
F FF T F T F
T FF
,. T p=F , q=F
: .
F T F
T FT T T F
T F.
, . F
2
69
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
)12 ( 3(
. rqqprqqprqqp
:rqp
.rqprqqrqprqp ][
)()]( yQx
4()8 (
.[ xP)(])([ yQxPx
),( knkPn
:.
.),( knPknn
)(xP
- nkk2.
.)(xP)(xP
)(xxP)(xPx
)2()(),0()( 2xxBxxxA)0()(),0()(
, . ,-.
." "" " .–.
5()15 (- Z.
.: xxBxxA
))()()(( xBxAx
)(),( yxyxP .: )(),( yxyxP
.: )0(),(),0()( yxyxQxxP
)2(),(),0()(xyyxQxxP
baba qpqp
baba -
3
70
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
6( )14 (
" :1
1...1
210
aaaaaa
nn1a
:n
:n=0 :11
1100
aaa . .
.n n-1 ,n>0 :
:1
1...11
1210
aaaaaa
nn1a.
:
11
11
11
11
11...
111210
aa
aaaa
aaa
aaa
aaaaaaa
nnnnn
nn
nnn
12
..
7) (14 (
(n=0 "" ) .n=1
" "n-2) .( ,n=1 , , n
01an=0 . -1 .
, .
8) (13 ( ):( nn=0 :0 ,
) . :02/)10(
n=1 :.(
: , n 01n-1
221 nn.n
n-1 n .
" .2
21 nn
n-1 .
, :
21
222211
221 nnnnnnnn
..
4
71
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
:–" 14.11.2002 '
– '2: ,
1(},,{},2,1{ cbaBA.
ABAA , ABA
ABABBABA B A 2(,,,
}2,1},3,2{{},2,1{
) .(:
.BA}4},3,2,1{{},3,2,1{ .BA
})2,1({, PBA .
.)(},2{ NPBA.}}2,1{,1,{, BA
)\()\()(\ CABACBA
3(":
.
)(\)()\()\( DBCADCBA .
)( DBCADCBA .
)( DBCADCBA .
nA,...,nAAA ...21
1n
n
ii AA
1
AA , 21 4( :
1
AAn
ii , .
i,...,1iiAi , .1000,...,3,2,1i100
1iiA
)\()\( ABBABA
.
: , 100
1iiA.
A,B 5( :
BAAB
.:
. AA .
B CACA B. .
6()(\)( APAAP .
BABPAP .)()(BABPAP )()( .
72
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
– ” 7( .
. – :
.
.{ }}{, a
.{ }},{},{, aa
.}},{},{},{,{ baba
P(X) S 8(},,{ cbaX"
BAXPBABAS ,,,
RN "
.S ? ?
9( .R ,
,- , ?.
abNbabaR mod0,,,
NN" dcRba ,,
cbda
R 10( .R
.
.
11( .S
. . . xxxS
.S S. .SS.
73
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
1
'–"19.11.2002
–2
1(},,{},2,1{ cbaBA
2,2,1,2,2,1,1,12,,1,,2,,1,,2,,1,
AAccbbaaAB
:2,,1,,2,,1,,2,,1,,2,1 ccbbaaABA
2,,1,,2,,1,,2,,1,,2,2,1,2,2,1,1,1 ccbbaaABAA2 (
.BAB2,1
.BAB..BA) {1,2}( ,
.BA. .BAN2N}2{)(}2{ NP .BAB .
BA.
3(
.:
)(\)()()()()\()\(
CBACBACBACABACABACABA
c
cccccc
. :
)(\)()()()\()\()\()\(
DBCAxDBxCAxDxBxCxAxDxCxBxAxDCxBAxDCBAx
.")( DBCADCBA:
DBCAyxDByxCAyxDyBxCyAxDyCyBxAx
DCyBAxDCBAyx
,,,
,
74
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
2
.)( DBCADCBA
. :5;4;3;2,1 DCBA
5,43,2,1
DCBA
:5,3,4,3,5,2,4,2,5,1,4,1DCBA
5,33,2,3,1
DBCA
:5,3,3,2,3,1)( DBCA
:)( DBCADCBA
4( .nAAA ,...,, 21nAAA ...21
I(n
n
ii AA
1
".
" :"np
nppp ...21. ,
nAxnAxAxAx ...21" :n
iiAx
1
.
n
n
ii AA
1
.
n
iiAx
1
:nAxAxAx ...21 .iA
x) .(ni AA ,nAx .
.
II (11
AAn
ii" .
:XYXYXYX ,.
,n=1 :11 AA.
75
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
3
:1
1
1
AAn
ii1
1
AAn
ii.
:n
n
ii
n
ii AAA
1
11
.
n
n
ii AAA 1
1
:nAA1
1
1
1
AAn
ii.
.iiiAi ,...,1,1000,...,3,2,1i . :}1,0,1{1A
}2,1,0,1,2{2A.........
}1000,999,...,999,1000{1000A
nAAA ...21100
11
ii AA , 100
100
1
AAi
i
5 (.) .( .
:
ABBAABABBABA \\\\
.:
AAAAA \\
76
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
4
.
:CACBC.
A=B . ,BA .BAxABx .
,BAx .:
.Cx .CAx ,-CBx ,.
.Cx .CAx ,-CBx ,.
A=B.
6 (
.)(\)( APAAP . :
.BABPAP )()( .)(APB)()( BPAP
BA .:
xAxAP ,)(
xB ,xxBP ,,,,)(
:xx ,,,,x,
xx ,.
.BABPAP )()(:
:)()( BPAP ,X :)()( BPXAPX.
X :BXAX.
:BA
BaBPaAPaAa
7 (
. ,0||Nn02n.
. .})({}}{,{ aPa
AxxxAAPxxxxAP
xxA
,,,\,,,,
,
77
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
5
. ,3|},{},{,{| aaNn32n.
. .}),({}},{},{},{,{ baPbaba
8 ( :},,{ cbaX
cbacbcabacbaXP ,,,,,,,,,,,,)(
S:
8X.cbaa ,,,...}{,,, .
"8.
{a}-4X :{a} , {a,b} , {a,c}, {a,b,c}
{b}-{c}4"."12
.
{a,b} : {a,b,c}-{a,b}.
{a,c}-{b,c} ."6.
{a,b,c}–.
,S :2716128
.
9("x) (-ymx-ym
.)(mod myx.abNbabaR mod0,,,
"ab :"baNbabaR |,,,.
:
:.
:).( :R8,2-2
8 .82R2,8.
:- ,ab-ba .
ba-ab .a=b.
:ab , bc:
Nk11kab
78
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
6
Nk22kbc
,Nkk 21 ,21 kkac.ac.
10(R:
:NNba,abba ,
baRba ,,.
:dcRba ,,cbda .
adbc ." :baRdc ,,.
:dcRba ,,feRdc ,,:
I(cbda
II (edfc
fedc
fedbda
:ebfafeRba ,, .
R , ,.
11( . S .xxxS.
.SSSS , ,SS .
SS.
.SSS-S
.SS .SS.
" / " ,:
.
,. , ,'...
, , , .
79
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
7
: , ?
, . ,..
80
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
1
: '–"3.12.2002
– '3: ,,
1( , ,
RRS),(),( 22112211 yxPyxyxyx
2(nRS .
nn w
ww
w
v
vv
v 2
1
2
1
,P:
Pwv,ni1 :)00( ii wv
P , ,.
3(" .- .!
.1,: 2nnfNZf .nnfRQf 2,:
.NNf :"1nnfn- ,-1nnfn.
.A)()(: APAPfBABf \APB.
4(hgf ,,ZZ:
12)( xxf2)( 2xxg
0;0;
)(xx
xxxh
.".
. :2,,,,),( fgffghgghfgh
5(CBgBAf :,:" . :111 gffg.
6(BA, ,ABgBAf :,: ,
AIfg ."":
81
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
2
.1fg.f.g.f.g
7(X, YYXf : .
)()(: YPXPF"AaafAF )(XPA.
.F?
.YXF?
.f"F".
.fF.
8(A1r)0,0( ,-B
2r(0,1) .BA ~ .!
9(A,B,C . :
.BABA.
.CBACA
10( .ABBA.}|10{~}|10{ RxxRxx. :1.}|53{ Rxx
2.}Zxx |53{.N) ( ?
!
11(BA,AB .
|||,||,\| BABABA?
12(X .-xF -X1,0xFP(X) -.
13():(."0 ""1".(x,y,z).
.-0.
.-R{0,1}.
82
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
1
'–"6.12.2002
–3
1(P:
:2),( Ryxyxyx),(),( yxPyx. :),(),( wzPyxwzyxyxwz ,.
),(),( yxPwz:),(),(),(),( lkPwzwzPyxlkwzyx:
lkyx,),(),( lkPyxP.
: , .
2R.2
00 , Ryxbyx 00yx,-2Rbyxbxyb.
(-1) 'yb .–(-1) ,b
.
:b-xy,|,, 200 linestaighttheonisyxpionttheRyxyx
,P-1 ,:
83
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
2
) :(:.
,- .
, . :}|)],0{[(/2 RbbPR .:
Y. :.
2(P:
:nPvni1ii vv00 ii vv .vRv.
:vPwni100 ii wv00 ii vwwPv.
:vPwwPz)0000(1 iiii zwwvni:00 ii zvvPz.
P.
:
" " . :}00(1|{][ ii
n wvniRwv,
.
:n)-n( .
.
:
,"ni1 .)
.( :}|]{[/ vectorbinaricisvvRRn.
84
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
3
3(.
". :552655 ff . :7x712x
.f".ay,xyx aayx.yfxf
x = y.."
.
.f" :21 nn.
21 nfnf11 21 nn .
21 nfnf11 21 nn...1n-2n-111 nnf-122 nnf ,
:21 nfnf.
f :Ny .yNn-1ny .y-Nn1ny .NyNn
:ynf.
:f.
NNf :1
evenismwhenmoddismwhenm
mf;1;1
)(1
Nmn, :mmff 1 , nnff 1.
nnff 1 :nn-.
*n1nnf- ,:nnnfnff 11111
*n-1nnf ,:nnnfnff 11111
:nnff 1 .mmff 1.
. ,3,2,1A.
f" :
:21 BfBf :21 \\ BABA
85
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
4
,21 BxAxBxAx ,21 BxBx
:21 BB .
f:APSAS .AS .ACSAC \ .
*APC-S"f.
**X,YYXYXX \\ .ASSSASAA \\.
*- ** :SSAASAfCf \\\..
:f :)()(:1 APAPf .
SASf \1APS.
:f-1f **:SSASAASAfSffSff \\\11
BBABAABAfBffBff \\\111
4(.f". :121222 212121 xxxxxx g" .:729)3()3( ff33.h" . :3)3()3( ff33.
.
f . :8x128 x.g. :3x23 2x.h.h.
.---<
86
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
5
0144;1440144;144
)144()(
2)0;2
0;2)(()
0;0;
())(()(
11;211;2
02;202;2
2))(()(
321)2(2)2())(()(
1442)12()12())(()(
341)12(2)12())(()(
22
222
22
2
2
2
22
222
222
22
2
xxxxxxxx
xxhfgh
xxx
xxg
xxxx
gxhgxhg
xxxxx
xxxx
xhxghxgh
xxxfxgfxgf
xxxxgxfgxfg
xxxfxffxffxf
5(ACh : :11 gfh .hfg.
:AIfghcIhfg.
Aaaafgh )(
h , Cc :cgfch 11 . afggfafgh 11)(
g)"(:afafgg 1
:affafggf 111
f)" ( :aaff 1
:aafggfafgh 11)( .
AIfgh .
cIhfghfg.
h111 gffg.
87
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
6
6 (.
:
)}3,3(),2,2(),1,1{()}2,(),3,(),2,(),1,{(
)},3(),,2(),,1{(},,,{},3,2,1{
gfdcbag
cbafdcbaBA
AIfg , 1fg.
. :f"Axx 21)()( 21 xfxf ,
2211 ))(())(( xxfgxfgx .f".
.:' .)()( dgbgdb
.:' .df.
.:Aa ,Baf )())(( afga ,
)(af ,Ba.
7(.AaafAF )( .
XA .)(AFA .A-A .F.
..:XAAxxfyYyA ;ImAf.
AaafAF )(AfY.XAYAF )(XA.
:YXF )(.
.XPAA 21,11 AA .Xw)..( :21 AwAw.
f"wfafAa :2F:*2AFwf.
88
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
7
1AwF** :1AFwf .fYwf
*- ** -YP-1AF-2AF ,":21 AFAF .
..
.YPSY . XPSXSYSXF.
fSYyXxyxf . SXSYxfXxSX . FSYSXF.
8(BA ~ . :B
(0,0)) . ("A .B ."AB .
B .A '"BA .AB.
9(")34/(YX"X-Y .
X-YYX..
YX"A-B . :YXf : ,xxf.
.
A
B
F '"ABG '"BA
89
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
8
:CBA
":CA
""AB"B-C ."-A-C.:*CA.
) (AC.AC.
,CA .:CBA , A
C .ABA :)()( ABBA .
** :CA .
- * - ** CA...
10 (.
'"BAAf :aaf )( .|||| BAA .BA.
.:A–B-A .ABA.
:"-A-BA.
.,..., 21 ssS-AS .
..-Bm . :mbbbB ,...,, 21
BAAf ::Aa.
1-Saaaf.
2-Saisa :mis
mibsf
mi
ii ;
1;)(
" :ABA . ..
) :B(
.
90
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
9
}|10{ Rxx . ,1,0 . :
|}|10{|1,0}|10{||}|10{| RxxRxxRxx
..
.1.:
|}|53{||3}|53{||}|53{| RxxRxxRxx
..
2 . , :2|}4,3{||}|53{| Zxx
. . ,A|)(||| APA .:|)(|||0 NPN.
11(|\| BAA" ,
,.
|| BA0 , ,B.
|| BA ..
12(:
I (mnmn . XX2 . xF-X1,0
X2 .XX2 . xFP(X) - ...
(II
"
"
91
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
10
"-XP-XF . XFXPg :"AfAg) .AfA ,24 /.(
g":XPAA 21,11 AA .Xw).. :(21 AwAw.
11
wf A02
wf A .1A
2A ."g :21 AgAg .
g:hX}0,1{ .XPAh
hAf h":1xhXxAh .ghAg h.
13(.
n , :01 .nn2 .
Nn
n2 . ,
. ,
"0,1 "N" ,.
.|| R ."
|||||||| RRRR.
.N ,:
'1N0. '2NN0.
n00|| nnN.
0
00. ,N ,
N.
.12 . :
|||| 2|}1,0{||}1,0{| RRR.
92
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
:–" 18.12.2002 '
– '4:
k n 1( .
(?(?(?(?
n,k( ) .
2( ,' ,' ,' '3 . . 3 .
(?("?( '?
3( ,10 .4 - 6)
( .?
4(3 : ,' ,' ' .8 .
(?(4 '4? '(3 ? '( ' , ' , - '? ) :
(
5 (
105 ,3" ,2 .:
( ," ,.
(.("
.
6 (59?
m n 7(
?
1
93
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
8(
.4 10
?
.710?
m X Y n X 9( . .
Y X ?
10(8 ,3 . 5
.?
: .:
, .
...
PAPAPAPADAS 11( 11 .11
":
.
S .
PPPP .
.A
12 (5 .114)7 (:
(.(.(.
: ,.
13 (n ? .
n? .
2
94
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
},,,,{}10,2,1{ edcbaBA
254321
14 (
A B B A .? '
A B B A .? '"
A B B A .?) :( '
15 (xxxx
4321 8,0,3,0 xxxx
. :
(?(?
(?
(106,32,80,6 43211 xxxx
000,100
?
n1 7? 16 (
3
95
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
– '"16.12.2002
–4
1( 120. :
.5120 116*117*118*119*
.5)
( = !115
!5120
5
5412
511205
6443
242*3*4
!*5120
. :.
.
.120.
.5 ) (! . .
:
2( . .3
.4 ,3 2 ,
23
323
. " ." 3
") " ,"" , . (" "
1
96
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
3 (2 .
210
48
24
48
210
8
7048
38
52
38
828282
. 8 ,4
." 6– .
2 4 .
,
4 ( . :3 .
' .4 ,
. '
. ' .
' ' . . 52
." )' ('''.
.
')' - '(')' - '(')' - '(
' - ')"("' - ')"("' - ')"("
, :3233 88
!2
1440!2!3!5
38640)!2!3!5(!3
5( . 5 ,3
" . :!
!
.' , 3" " . .
!!
2
97
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
. ,-" ." 5 .
," . " ,
)' . ( :
!
!2!5!5
8640!2!5!5
59
5252
59
nm 1
01
nm
710
7
mnYXYXP 22|)\(| |\|
mnn 22
6 (
- . .
, . :
.
7(m) .(
, . , m+1 n
..
. m+1<n
8(.
. .
.
. . . 10
9(
X . Y " "X . Y
. . Y ,Y
10(
5 : 1(
3
98
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
78 3+2 ')(
3+1+1 '27
27
37
8
58
58
37
827
827
878
!
AP 5,4
8),
(
8 2+2+1 '
2+1+1+1 '
1+1+1+1+1 '
,.
11( 11 .
)!5!!
411. . (
.S' . !5!4!10
!8
.
PPPP 3 ( P ) 4 . .
A . !5!8
.A . !4!4!10
511
37
24
37
24
47
14
57
.
12(
. . :
. .3 .
:
. " " : , , . ,
. :
4
99
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
13 (
. n ' 2n),( aa
nn2
2
),( ba),( ab}|),(),, baabba
. .
" . n .nn2
'.
. 1 , ,
."{() ( . , 2
2 nn
,(a )a)" .("2
)1(2 2
2
2nnn n
BAf :10
ABf :5
BAf :|||| AB
n
14 ( . . B f " B : .5
. . B f " B : 10. " , .
ABf :
!5510
ABf :|| AB
A " : 5 ,"
." : f " B ,B .
)510(. , .||
BAf :105
104
10335
10225
5225
335
455 10101010
:B A " '
4 B A ' , 5 .
, 3 B A '
.
, 2 B A '
.B A ' 1 , 5
.i B A ' '
, .:
5
100
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
15 (
.
2528
251425
:
.4321 ,,, yyyy14,3,2,1 ii yxi
:251111 4321 yyyy214321 :yyyy
2124
211421
"
.4321 ,,, yyyy
11 yx322 yx33 yx844 yx
:2583 4321 yyyy144321 :yyyy
1417
141414
"
. : 4321 ,,, yyyy
111 yx50 1 === <y
22 yx80 2 === <y233 yx50 3 === <y644 yx40 4 === <y
254321 :xxxx :25621 4321 yyyy
204321 :yyyy
2023
201420
:
.
,. y -
6
101
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
)- y , (
.2023
: -
:1A204321 yyyy
61y
2A204321 - :
yyyy92y
3A204321 - :
yyyy63y
4A204321 - :
yyyy54y
, :43212023
AAAA
1A:
- . 206 431 2 zzz z
:1417
141414
1A
2A- . 9 204321 zzzz
:1114
111411
2A
3A- . 206 421 3 zzz z
:1417
141414
3A
:1518
151415
4A
21 AA204321
:
- : - .
-
. ,
yyyy692y 1y
96 321 204zzzz58
5145
21 AA
7
102
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
,811
8148
31 AA
,912
41 AA
58
32 AA
69
42 AA
912
43 AA
:0321 AAA
1421 AAA
36
431 AAA
1432 AAA
04321 AAAA
:
17610136
1912
69
58
912
811
58
1518
1417
1114
1417
4321 AAAA
:10176117712023
4321 AAAA
754321
16 (100,000 , ,
. ," .82 :00082 . :
- . xxxxx
711
7157
8
103
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
:–" 25.12.2002 '
– '5: +
1( :123
32
2 nnnn
nnn
},1,0{ a
2x
n
n" :
a .
2(82 )1( x
nin
i in
320
knm
ikn
imm
i 0
nnm
in
imm
i 0
},,,,,,, ddccbbaa
?
n 3( :
..
4(:
.
.
5(
.1,2,3,4,5,6,7247?
.1,2,3,4,5,6,724
2747?
b a {a,b,c,d} n. 6 (
7( 40 ,10 ,20–30?
{ 8 (?
1
104
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
1
'–"5.1.2003
–5
1 (
"n"},1,0{ aa .:
:an ,01 .
11 221
nn nn
.
:n-a ,2
2n
2n ,1
a ,3
3n
3n ,2a ,kn
k
kn ,1ka)k ,
a (…n0 ,n-1a . ,
nn
nnn
n3
32
2.
2 (8
0
8
2
8
0
8
28
2
81
8)1(
i
ix
i
ixix
ii
2x4
2x
48
.
2224
2 835
1670
1648
48
xxxx .2x835
.
3 (
"n :nin
i in
320
.1,2 ba .
. :n"
2,1,0 .)n3 .(
105
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
2
1-2.
4 (
.kn
-m .
.
nk
5(
.1,247,3,5,6 .!5.
.A=24
B=27
C=47
,
!5!6300!50!6!6!6|||||||||||||||| CBACBCABACBACBA
6(
, :ab . c,d ."
n2 . nn 24.
7 (40" ,
-40321 xxx ,242
40,3D.
4011231
)29,3(D.
4021221
)19,3(D.
4031211
)9,3(D.
401121
210
)8,3(D.
106
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
3
. ,4010
,2030
176210
211
221
231
242
8 (
42!8
iA},,,,,,,{ ddccbbaaii . :32!7|| iA
)ii .(
!4||2!5||
2!6|| 2
dcba
kji
ji
AAAA
AAA
AA
:
864!42!54
2!66
2!74
2!8
!444
2!5
34
2!6
24
2!7
14
2!8||
234
234''''dcba AAAA
107
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
:–" 2.1.2003 '
– '6:
n 1( :
}5,4,3,2,1,0{
31
6116
210
321
?
2( :
aaa
aaaa nnnn
12,5
96
10
21
3( :
aa
aaa nnn
3021 aaa
4(.
j 451 ia 5( .i,
ji a
521 aaa
14a
j 6(9ia1 .i,
ji aa 10.
108
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
– '"9.1.2003
6 , ,
na11a)0(
1
. n 1( . ,
: n ") " (n}5,4,3,2,1
15.{ .
nana1n
.) ( .0 .
1n16n
14665
1
11
11
1
aaaaa n
nn
nnn
1na.
' '
nn a321 6116 nnnn. 2(
3n
321
0)3)(2)(1(06116
6116
321
23
23
nnnn CBAa 321
:
nnn
nnnn
a
a
ACB
CACB
CBAnCBAn
CBAn
322
312212
21
23
20
94323211
10
1
1
109
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
3(
2,12,5
96
10
21
naa
aaa nnn
nn a21 96 nnn.
2n
30)3)(3(
096
21
2
nnn BnAa 33. ,
:
nnnn nna
B
BAnAn
3)5(3351
3312150
)()(, vdvfVv}1,,2,1,0{
: G . n G 4 ( .fn
1n1
.G . G f “0”
.0n1
f .fn
)( 21 vvff . ,, " .
() f 21 ,vvG – . .
}14,14,14,,{ ,3021,3021 aaaaaaAA . 5 ()591415( iai )451( iai 60 . A ,
A 1 59 .60 A , ,, j 3021 ,, aaa , A .i,
i 14
521 aaa
jaa.
j ia 6 (91 .i,
ia. 10ja
i j ia . 5 :i
}10,10,,, 51521 aaaa ,{aA
521 aaa
A .10 ,1 9 .
" . A
5ia
,
ji,. , i10ji aa ji aa10
2
110
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
:–"10.1.2003 '
, '7 –
G R2 R1 G 1(: - .
v u (v, u) R1 ". -
(v, u) R2u -v "w -u -v
.
2(101 , '
) :a b b a.(
3(
G E G = (V, E) - .- (
.G .
G E G = (V, E) .- (
.G .
G 4() (. :
GwVE ||||w , :
G.
5(4|| 2
|| VE
nvvv ,,, 213n
}{},{\ 1 nvGvG
},,,{ 21 ndddD
.
6(.
G 7( . ) ( 2
G \,},{\ 2 Gv . ,
8(.
n
iid
1
D G .
.
D G .D .
:
1,3,3,4,5,6,62,3,3,4,5,6,7
111
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
1
'–"14.1.2003
– '7
1(.
1R:- :- :G ,.
- :s-t" ,-s-t-G .(v, u) R1-(u, w) R1 .v-u
u -w .-G ,v-uu -w . -v-w ."v-w".
2R:
wv
u
v-u"s-v-u.u-w"t-u-w.
v-w"u.
2(101 , ') :abba.(
: .v-u"vu .101. .
101- . ,-
:Vv
Evree 2deg
3(
.G = (V, E) .-E-G
.G.
: .G .
-E -G.
u,vV .v-u(v, u)-G) .(*
G ....
.G = (V, E) .-EG .
G.
112
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
2
: .G .
-EG.
-G .u-v .
(u, v)-G .u-v) .(*....
(*) :Gv-u-v-u) .(
4(::
G . G),( iii VEG .
."1|||| ii VE .
GG ,
wVVVVEEEE ww ||1111|||||||||||||| 2121
:GwVE ||||G.
||V:
1||V : 011|| EG.
nwnwVE |||| ,
n+1 wnwVE 1||||. :
01 :2 ,
||2
||2|| VVE .".
0 ,n ,|| E)
( ,1w) . (wnwVE )1(1||||
.0 ,.
1 ,n ,1|| E ,
w .wVE 1||1|| ,wnE || . ,
n+1.
5 (G|||||| 21 VVE
21 'VVK .|||| 21 VV|||| 21 VV)
( ,2
|||||| 21VVV .
4||
2||
2||||
2
21VVVVVE.
|||| 21 VV|||| 21 VV .
W
113
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
3
a .acb 2cb, .
iiaciab , . :222))(( aiaiaiacb0i ,acb .
6 (CG .C , . ,)C
.(C ,C) ( .
-C.
7 (}{\},{\ 21 vGvG ,G .
}{\ 1vG ,nji2Gji vv , .}{\ 2vG ,
jinji 21Gji vv , .
G21 , vv .}2,1{\Vw .
}1{\Vw1wv ,2.
}2{\Vw2wv ,1.
21 ,G21 , vv.
G
8 ( : ,n
ii Evd
1
||2)(.
:},,{ 21 ndddDn
iid
1
,
GnD .G :nnvvv ,...,, 21.ni121 ii kd)id (2ii kd
)id .(id ,ikiv .n
iid
1
,
id .ivid ,
.G) (n
ii
n
ii dvd
11)(.
:5,1,2,1,3,4,6D:
114
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
4
(2,3,3,4,5,6,7 :7 , 7 .6.
1,3,3,4,5,6,6 :7 ,6 ,1.
115
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
:–"15.1.2003 '
, '8 –
1(
G=(V,E) .),( EVG
G },),(|) VyxGyxy,{(xGG ) , ,
G (.
G .G
G .G
n2n
n3
n3
n
mn
nk
?)(
2(
-) ,
():(
. , -
. , -
. , -
3(
A ,
.– –: .
.
. , ,
. , ,
. , ,
4(
– D. 1 ( , ) 0
.?
– . 1?
.- 1?
k .? .
1
116
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
5(
6 ,
.2
.
!
2
117
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
1
'–"10.1.2003
– '8
1(
. :G ,–G .Vyx, .
xyG .:
x–yG :x-yG ,
x–yG ,G ,–x–y-
G.
x–yG ,zG
) ,G .(x-zG ,
x–zG ,G ,
y–zG .yzxx–yG.
G
.GG :
2(
. , .
)!2()!3(
nn
.2n ,
. :nnnn
)3(23
.n–) .( , .
nnn
n1
12
GG
118
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
2
3(
. ,)}1,2(),2,1{(},3,2,1{ RA ,R
)(, bRaaRbAba .RRR )1,2()2,1(R)1,1(.
. .RAcba ,,
RcaRcbRba ),(),(),( .cbba
!–RRab ),( ,
Ra=b . ,
".
. , :)}2,2(),1,1(),1,2(),2,1{(},3,2,1{ RA .R
.)(, bRaaRbAbaRRR )2,2(),1,1()1,2(),2,1(
) .(R
R)3,3(.
. ,)}3,1(),3,2(),2,2(),1,1(),1,2(),2,1{(},3,2,1{ RAR
R)3,2(R)2,3( .RRR )1,2()2,1(
21 .R
RRRRRRRRR
RRR
)3,2()3,1()1,2()3,1()3,2()2,1()2,2()2,1()1,2(
)1,1()1,2()2,1(
4(
.01nm2.
.1nm , . ,
. ,0 .
1 .12 nm
..–m .m-1
.12m .n)1(2 mn.
. k kn
.
1 ." "m
119
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
3
112m) . (" " .kn
,"knm
kn
)12.(
5(
N ,
.1–5)1––1 ,
–5 .( ,",
.
120
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
'10/4/02
– '1
1.)20 ' (103 " : . .
"."?
2.)20 ' (..))(( .))((.)(.)(
)()(, ygxfyx3.)20 '(.
.
.32, yxxy)]0()0[(, .xyyyx
. .
4).20 ' (.
2222222 )1()2(
)1(12.....
325
213
nnn
nnn
12nyxn 73
5).20 ' (. x,y
.n=12,13,14 :-
121
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
'
– '1
. D , G , B 1. :)))(())(()((: DBGGDBDB
.GDB )D)( BG)(DBGDB
1 1 1 0 1 011 0 1 1 0 010 1 1 1 1 110 0 1 1 1 111 1 1 1 0 001 0 1 1 0 000 1 0 1 1 000 0 0 1 1 00
3,4DB ..
2..))((
)( .
111101010000
0)(,1)( II . .)(1))(( II , .)(
. . )(
)()(, ygxfyx3.
.
.32, yxxy)0()0[( .xyyyx
. .
122
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
4. : n=1 43
412
n-1 :
2222222 )()1)(1(
)()1(1)1(2.....
325
213
nnn
nnn
n
22
2
22
22
22
34
22
34
2222
2234
2222
22
2222
22
222
22222222
)1()2(
)1(2
)1()2(
)1(2
)1(12122
)1(12
)1()122(
)1(12
)1()12)(1(
)1(12
)1()1)(1(
)1(12)1)(1(
)1(12
)()1(1)1(2.....
325
213
nnn
nnn
nnnnn
nnnn
nnnnnn
nnn
nnnnnnn
nnn
nnnnn
nnn
nnnn
nnn
nnn
nnn
nnn
1
12=3*4 +7*0 n=12 5 . : 13=3*2+7*1 n=13
n=1414=3*0+7*2
12 nk
yxyxnn 7)1(337333
. :n
123
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
'6/5/0213:00
– '2
1..)()( BPAPBA
)()( BPAPBA ..)()( BPAPBA.)()( BPAPBA
)()()( BAPBPAP2A,B,C .
.
.)()()( 2APAPAP)(\)()\( CABACBA .)\()\()(\)( CABACBAA .
.)()()()( CABACBAA3 ..
.}5,4,3,2{)4{
.
.}{ .
}}4{{)4{}}4{{)4{
AB
..
AC C B - .ABA B .
: A - P . A 4 . }0{\RAPyxxy ),(0
T
. P ..?P
.A- . A- R,T 5 . R
6 . RRAAb a .AaRbR . R
124
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
125
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
126
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
127
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
128
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
'12/5/0216:00
– '3
1.NNNf : " )12(2 nmNnm,YZYg :fgh
BAfABg :,:
AIfg :1fg
}108,42|),
),( nmf ". , ". g " Y f 2.Xf :
. , B A 3..:
. ..f "..g ".. f..g .
13)( xxf||)( xxg
xxxx
xh0,
0,)(
2
2
.Z Z f,g,h 4.
"". .". .
: .h(f(x)), f(h(x)) ,f(g(h(x))), h(g(x))
5.) ( .
, 6.{( yxyx(|),{( xyx }4)5()1 22 y
..
7.
129
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
130
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
131
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
132
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
133
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
134
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
'19/5/0216:00
– '4x1+x2+x3+x4=70 1.
= <0. xi ..0<=x4 ,10<=x3 , -5<=x2 .15<=x1
.0<=x2,x3,x4 .<=x1<=200 , B={a,b,c,d,e} A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 2.
? A B ?B A .?B A , - A B '" .
? B A ? A B ' .X . - M = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 3.
- ? X 1 Xn A 4.
? .? .
4 .7 . 5.. .
. .6.8 ,3 .5
.?
135
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
136
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
137
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
138
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
'4/6/0216:00
– '51.
.kn
kn
k
k
03
ik
in k
i
in
i
i
00)5()2(
1
02n
n
kk k
n
1
02 n
n
kn
kn
k
2x
.
2.
.
.
". 3.
? 8)2
1( x 4.
n. 5.!2)!2(n
nn0
.
.|A|=r |B|=n 6.).
.(}1000...1 {2,3,5,7. 7.
8.a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p.
?bad,deaf,ape .?leading – , .
9.4 ,3 -5?
139
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
140
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
141
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
142
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
143
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
144
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
145
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
146
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
'13/6/0216:00
– '6ABCDE 1.) .
.1,2,3…,2n } n - n 2. {
.:t- 2 ,t. k,r N)12(2 rk
na
na
-'. n - 3.a,b 1,2,3,4, n - 4.
)1/2/3/4 ( ) .(.5.k - n ,
.
147
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
148
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
149
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
150
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
'16:00 19/6/02
– '7
.v u u,v 1.. n-k k - n 2.
. G " , G 3.. 4.
G : G-v1,…G-v4 v1,..,v4 G 5..
6.G 3 . ).(
G-v1…G-vn - V( G {) = v1,v2,..,vn} n>=3 7. . G
151
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
152
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
153
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
154
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים
155
http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים