SLOVENSKÁ POĽNOHOSPODÁRSKA UNIVERZITA

V NITRE

TECHNICKÁ FAKULTA1130686

NÁZOV FAKULTYNÁZOV VYSOKEJ ŠKOLY

MODELOVANIE ELEKTRICKÝCH OBVODOV V

PROSTREDÍ MATLAB

2011 Peter Skokan

SLOVENSKÁ POĽNOHOSPODÁRSKA UNIVERZITA V NITRE

TECHNICKÁ FAKULTA

MODELOVANIE ELEKTRICKÝCH OBVODOV V PROSTREDÍ MATLAB

Bakalárska práca

Študijný program: Kvalita produkcie

Študijný odbor: 2386 700 Manažérstvo kvality produkcie

Školiace pracovisko: Katedra elektrotechniky automatizácie a informatiky

Školiteľ: Ing. Ondrej Lukáč, PhD.

Nitra 2011 Peter Skokan

Čestné vyhlásenie

Podpísaný Peter Skokan vyhlasujem, že som záverečnú prácu na tému „Modelovanie

elektrických obvodov v prostredí MATLAB“ vypracoval samostatne s použitím uvedenej

literatúry. Som si vedomý zákonných dôsledkov v prípade, ak uvedené údaje nie sú

pravdivé.

V Nitre 15. marca, 2011

Poďakovanie

Touto cestou sa chcem poďakovať pánovi Ing. Ondrejovi Lukáčovi, PhD., za

pomoc a cenné odborné rady, pripomienky a námety, ktoré mi poskytol pri vypracovaní

tejto bakalárskej práce.

Abstrakt

Bakalárska práca je zameraná na porovnanie a vymodelovanie elektrických

obvodov použitím rôznych zapojení prvkov R, L, C, a porovnanie klasickej metódy

výpočtu pomocou Laplaceovej transformácie s metódou modelovania v programe

MATLAB. R, L, C, sú základne prvky skoro každého elektrického obvodu, ktoré sa

používajú najme ako filtre signálov a pri vf technike kde pracuje s frekvenciami rádovo

kHz až MHz. Aby sme mohli namodelovať daný elektrický obvod musíme pochopiť ako

pracujú jednotlivé prvky samostatne. Vo vlastnej práci sme pre demonštráciu danej

problematiky namodelovali 3 základne zapojenia týchto prvkov. Konkrétne obvody sme

najskôr vyrátali klasickou metódou Laplaceovej transformácie a následne namodelovali

obvod v programe MATLAB. Získané výsledky sme porovnali z hľadiska presnosti

a rýchlosti získaných dát a vyviedli záver.

Abstrakt

Bachelor thesis focuses on the comparison of modeled electrical circuits using a different

connection of the elements R, L, C, and the comparison with classical methods of

calculating Laplace transformation method for modeling in the MATLAB program. R, LC

are the basic elements of almost every circuit that is particularly used as the filters for

signal and RF technology which works with the frequencies of the order of kHz to MHz.

So that we can model the electrical circuit that we have to understand how work the

individual elements separately. In our own work we modeled 3 bases involvement of these

elements to demonstrate of that issue. Specific circuits, we first calculate with the classical

method of Laplace transformation and then we modeled the circuit in MATLAB program.

The results were compared in terms of accuracy and speed of the data collected and we

brought out the conclusion.

ObsahZoznam skratiek a značiek..................................................................................................................8

Úvod....................................................................................................................................................91 Súčasný stav riešenia problematiky doma a v zahraničí................................................................10

1.1 Použité základy elektrotechniky........................................................................................101.1.1 Ohmov zákon....................................................................................................................10

1.1.2 Prvý Kirchhoffov zákon...................................................................................................11

1.1.3 Druhý Kirchhoffov zákon.................................................................................................11

1.2Elektrický obvod a jeho základné prvky..................................................................................121.2.1 Elektrický obvod..............................................................................................................12

1.2.2 Základné prvky elektrického obvodu...............................................................................12

1.3 RLC obvody............................................................................................................................16

1.3.1 rezonančné vlastnosti RLC členov...................................................................................16

1.3.2 Sérioví zapojenie RLC obvodu........................................................................................16

1.3.3 Paralelne zapojenie RLC obvodu.....................................................................................17

1.4 Frekvenčná charakteristika v elektrických obvodoch.............................................................17

1.4.1 Frekvenčná charakteristika v komplexnej rovine.............................................................18

1.5 Prechodové javy v elektrických obvodoch.............................................................................19

1.5.1 Úvod do prechodových javov...........................................................................................19

1.5.2 Metódy riešenia prechodových javov...............................................................................22

1.5.3 Operátorove charakteristiky obvodových prvkov............................................................25

1.6 Systém MATLAB...................................................................................................................27

1.6.1Užívateľské prostredie MATLABu...................................................................................27

1.6.2 Načítanie a uloženie dátového súboru..............................................................................29

1.6.3 M-súbory v MATLABe....................................................................................................29

1.6.4 Vytváranie grafov v MATLABe......................................................................................31

1.6.5 prechodová charakteristika v MATLABe........................................................................31

1.6.6 Frekvenčná charakteristika v komplexnej rovine v MATLABe......................................32

2 Cieľ práce.......................................................................................................................................333.Metodika práce...............................................................................................................................34

3.1 Požiadavky na modelovaný systém.........................................................................................343.2 Rozdelenie práce do bodov.....................................................................................................34

3.3 Prístrojové a materiálne zabezpečenie.....................................................................................344 Riešenie úlohy................................................................................................................................35

4.1 Modelovanie RC obvodu...................................................................................................354.1.1 Matematické riešenie........................................................................................................35

4.1.2 Modelovanie obvodu v MATLABe.................................................................................36

4.2 Modelovanie RL obvodu...................................................................................................37

4.2.1 Matematické riešenie.................................................................................................38

4.1.2 Modelovanie obvodu v MATLABe.................................................................................39

4.3 Modelovanie rezonančného RLC obvodu...............................................................................414.3.1 Matematické riešenie........................................................................................................41

4.3.2 Modelovanie obvodu v MATLABe.................................................................................43

5. Výsledky práce a možnosti ďalšieho využitia...........................................................................45

6. Záver..........................................................................................................................................467. Zoznam použitej literatúry........................................................................................................47

Prílohy...............................................................................................................................................49

Zoznam skratiek a značiek

R Odpor Ω

U Napätie V

I Prúd I

L Cievka H

C Kondenzátor F

u1 Napätie na vstupe V

u2 Napätie na výstupe V

Td Čas oneskorenie s

Tmax Čas maximálneho preregulovania s

Tr Čas nábehu s

Ts Čas ustálenia s

ymax Maximálna hodnota prechodovej charakteristiky -

y∞ Ustálená hodnota prechodovej charakteristiky -

vf Vysoká frekvencia -

nf Nízka frekvencia -

Jsm Jednosmerný -

τ Časová konštanta -

ω Fázový posun -

DR Diferenciálna rovnica -

8

Úvod

Elektrické obvodov sú systémy, ktoré možno opísať rôznymi spôsobmi s použitím

diferenciálnych rovníc prvého, druhého a vyššieho rádu. Diferenciálna rovnica je

matematická rovnica pre neznámu funkciu jedného alebo viacerých premenných, ktorá sa

týka hodnoty funkcie samotnej a derivácie rôzneho poradia. Teória dynamických systémov

kladie dôraz na kvalitatívnu analýzu systémov opísaných diferenciálnymi rovnicami, zatiaľ

čo veľa numerických metód bolo vyvinutých na určenie riešenia s daným stupňom

presnosti. Ak obvod obsahuje akumulačný prvok, ako sú kondenzátory a cievka, možno

tieto obvody popísať ako integrálno-diferenciálne rovnice. Analytické riešenie takýchto

obvodov v komplexných sietiach je veľmi ťažké a zdĺhavé.

V rýchlo sa vyvíjajúcom svete výpočtovej techniky a programového vybavenia

majú od samého začiatku ich používania pre vedecké účely nezastupiteľné miesto

programy pre numerické výpočty. Z počiatku bola podpora používateľa realizovaná

matematickými knižnicami pre všeobecné programovacie jazyky. Neskôr sa vyvinuli

samostatné programy, ktoré možno rozdeliť do troch oblastí – tabuľkové procesory s

rozšírenými matematickými funkciami, špecializované balíky na riešenie určitého okruhu

problémov (štatistika, kvantová chémia) a profesionálne univerzálne matematické balíky,

kde patrí aj MATLAB.

Počítačová simulácia dneška predstavuje neoddeliteľnú súčasť procesu

elektrotechnického vývoja a výučby, uľahčuje overovanie správnosti návrhu a

optimalizáciu zložitých obvodov podľa zadaných požiadavkou. Pri návrhu na počítači je

možné okamžite a bez väčšej námahy získať spätnú väzbu o funkčnosti zapojenia v podobe

najrôznejších charakteristík. Oproti overovaniu funkčnosti zapojenia klasickou prácou

v laboratóriu, zahrnúc zložité a zdĺhavé pochody pri získavaní charakteristík zapojení,

nepožaduje počítačová simulácia tým odborníkov a časté využívanie drahého vybavenia

pre vytváranie veľkého množstva skúšobných zapojení, nutných pre získanie

optimalizácie. Tým sa ušetrí čas a prostriedky na vývoj fyzických prototypov, ktoré sú

v dobe návrhu skôr na obtiaž.

9

1 Súčasný stav riešenia problematiky doma a v zahraničí

1.1 Použité základy elektrotechniky

1.1.1 Ohmov zákon

Ohmov zákon popisuje chovanie elektrickej energie u lineárnych prvkov

elektrického obvodu. Hovorí, že prúd prechádzajúci vodičom z jedného jeho konca do

druhého je priamo úmerný rozdielu elektrického potenciálu na uvažovaných koncoch

vodiča a nepriamo úmerný rezistivite medzi uvažovanými koncami vodiča.

R=UI

(Ω;V , A) (1)

Kde R udáva rezistivitu v ohmoch[Ω], U vyjadruje elektrické napätie vo voltoch[A]

a I predstavuje elektrický prúd v Ampéroch [V] (Blahovec, 1999).

10

Obrázok 1 Meranie napätia a prúdu prechádzajúceho lineárnym rezistorom

Obrázok 2 Charakteristika závislosti napätia od prúdu pri lineárnom rezistore

1.1.2 Prvý Kirchhoffov zákon

Prvý Kirchhoffov zákon vychádza z vlastností prúdu definovaného ako celkový

elektrický náboj, ktorý prejde prierezom vodiča za jednotku sekundy. Tiež býva

označovaný ako zákon o zachovaní elektrických nábojov, ktoré vo vodiči nemôžu

samovoľne vznikať ani sa hromadiť. Pokiaľ dôjde v niektorom mieste k deleniu vodiča,

vzniknuté deliace miesto sa označuje ako uzol a platí, že súčet prúdov do uzla vstupujúcich

sa rovná súčtu prúdov z uzla vystupujúcich.

Prúdy vstupujúce do uzla sa označujú s opačným znamienkom ako prúdy z uzla

vystupujúce a preto platí že algebrický súčet všetkých prúdov v uzle sa rovná nule

(Blahovec, 1999).

∑k =1

n

I k=0 (2)

1.1.3 Druhý Kirchhoffov zákon

Druhý Kirchhoffov zákon vychádza z vlastností napätia definovaného ako práca,

potrebná pre premiestnenie elektrického náboja medzi dvoma potenciálmi v elektrickom

obvode. Býva označovaný ako zákon o zachovaní energie, ktorá musí byť nulová, pokiaľ

náboj prešiel po uzavretej dráhe do miesta s rovnakým potenciálom.

Teda platí, že algebrický súčet všetkých svorkových napätí zdrojov a všetkých

úbytkov napätia na spotrebičoch sa v uzavretej slučke rovná nule.

11

Obrázok 3 Orientácia prúdov v uzli

∑k =1

n

U k=0 (3)

Polaritu jednotlivých napätí v súčte je potrebné určovať podľa orientácie slučky, súhlasný

smer slučky  na danom prvku znamená kladné znamienko, opačný smer znamená záporné

znamienko (vid obr. 1.3) (Blahovec, 1999).

1.2Elektrický obvod a jeho základné prvky

1.2.1 Elektrický obvod

Elektrický obvod je súhrn prvkov tvoriacich uzavretú cestu pre elektrický prúd;

vodivé spojenie rôznych prvkov, napr. odporov, kondenzátorov, cievok, zosilňovacích

prvkov (elektrónok, tranzistorov), usmerňovačov, spotrebičov a zdrojov, usporiadaných v

jednoduchých alebo zložitých kombináciách a pripojených (resp. určených na pripojenie)

na zdroje elektrickej energie. Spojenie musí byť uzavreté ku zdroju, aby obvodom mohol

pretekať elektrický prúd. V každom elektrickom obvode platí prvý a druhý Kirchhoffov

zákon.

1.2.2 Základné prvky elektrického obvodu

Elektrický obvod sa skladá z aktívnych obvodových prvkov ako zdrojov

elektrickej energie (prúdový, napäťový zdroj) a pasívnych obvodových prvkov ako

rezistor, kondenzátor, cievka, žiarovka apod. 12

Obrázok 4 Orientácia napätí v slučke

1.2.2.1 Aktívne obvodové prvky

Aktívne prvky pôsobia v obvode ako zdroje elektrickej energie. V skutočnosti

samozrejme túto energiu nevyrábajú, ale získavajú ju z energie iného druhu, napr. energie

chemickej, tepelnej, svetelnej, mechanickej alebo inej.

Aktívne prvky delíme na : - nezávislé (autonómne) zdroje,

- závislé (riadené) zdroje.

Nezávislé zdroje elektrickej energie

Nezávislé zdroje dodávajú do obvodu elektrickú energiu nezávisle na obvodových

veličinách (napätia a prúdu). V zásade ide o nezávislé zdroje napätia a nezávislé zdroje

prúdu. U oboch typov rozlišujeme ideálny a reálny zdroj. Obecne ide rozlišovať tiež medzi

zdrojmi lineárnymi a nelineárnymi

Nezávislé zdroje napätia

Ideálny nezávislý zdroj napätia je základný aktívny prvok, ktorý udržuje na svojich

svorkách napätie určitého časového priebehu nezávisle na veľkosti odoberaného prúdu.

Jeho schematická značka je na obr. 5

Jediným parametrom ideálneho zdroja napätia je daný časový priebeh jeho napätia

u(t). Ideálny zdroj napätia má nulovú vnútornú impedanciu. Reálny zdroj napätia odpovedá

sériovému zapojeniu ideálneho zdroja napätia a ideálneho rezistora s hodnotou

zodpovedajúcou vnútornej impedancií reálneho zdroja. Veľkosť vnútornej impedancie

13

Obrázok 5 Ideálny zdroj napätia

zdroja je určený jeho tvrdosťou, t.j. miera úbytku napätia na svorkách zdroja, rastúca

s veľkosťou zo zdroja odoberaného prúdu.

Nezávislý zdroj prúdu

Ideálny nezávislý zdroj prúdu je základný aktívny prvok, ktorý je schopný dodávať

prúd určitého časového priebehu nezávisle na vlastnosti pripojenej záťaže. Jeho

schematická značka je na Obr. 6.

Jediným parametrom prúdového zdroja je časový priebeh jeho prúdu i(t). Ideálny

zdroj prúdu dodáva prúd, ktorého veľkosť nezávisí od výkonu odovzdávaného do záťaže.

Reálny zdroj prúdu je taký zdroj, ktorý má určitý vnútorný odpor a pri zaťažení prúdom sa

mení napätie v závislosti od odoberaného prúdu (svorkové napätie zdroja sa mení v

závislosti od odoberaného prúdu) (Blahovec, 1997).

Pasívne obvodové prvky

Za pasívny obvodový prvok považujeme tie prvky, ktoré nemôžu elektrickú energiu

do obvodu dodávať. Sú to prvky dispatývne, ktoré energiu spotrebovávajú (menia na inú

formu energie) a prvky akumulačné, ktoré ju akumulujú (dočasne uchovávajú) vo forme

elektrického alebo magnetického pola .

Rezistor

Rezistor je prvok obvodu s definovanou hodnotou rezistivity (odporu).

14

Obrázok 6 Ideálny zdroj prúdu

Pri reálnom rezistore sa v obvode so striedavým prúdom prejavuje indukčnosť

vývodov a vzniknutá indukčná reaktancia rastie s frekvenciou. Výsledné vlastnosti

reálneho rezistora odpovedajú sériovému spojeniu ideálneho rezistora a ideálnej cievky

s indukčnosťou odjedajúcou indukčnosti vývodov reálneho rezistora. Ideálny rezistor nie je

frekvenčne závislý (Blahovec, 1997).

Kondenzátor

Kondenzátor je prvok obvodu s definovanou hodnotou kapacity C elektrického

náboja. V jednosmerných obvodoch sa po odznení prechodového javu, v priebehu ktorého

sa kondenzátor voľne nabíja na hodnotu priloženého napätia a prechádza ním prúd, ideálny

kondenzátor sa chová ako rozopnutý spínač. Pri reálnom kondenzátore sa prejavuje

vodivosť dialektika. Výsledné vlastnosti reálneho kondenzátora odpovedajú paralelnému

spojeniu ideálneho kondenzátora a ideálneho rezistora s rezistivitou odpovedajúcou

rezistivite dielektrika.

Prúd prechádza kondenzátorom v obvode so striedavým prúdom, predbieha napätie

na kondenzátore o 90° (Blahovec, 1997).

15

Obrázok 7 Schematická značka rezistor

Obrázok 8 Ideálny kondenzátor v obvode striedavého prúdu

Cievka

Cievka je prvok obvodu s definovanou hodnotou indukčnosti L. V jednosmerných

obvodoch sa ideálna cievka po odznení prechodového javu chová ako vodič. U reálnej

cievky sa prejavuje vnútorný odpor. Výsledné vlastnosti reálnej cievky odpovedajú

sériovému zapojeniu ideálnej cievky a ideálneho rezistora s rezistivitou odpovedajúcej

vnútornej rezistivite reálnej cievky.

Prúd prechádzajúci cievkou v obvode so striedavým napätím sa oneskoruje o 90°

za napätím na cievke (Blahovec, 1997).

1.3 RLC obvody

RLC obvody je názov pre obvody, ktoré sú pripojené k zdroju striedavého napätia

a ktoré sú obecne tvorené rezistorom z odporom R, ideálnou cievkou s indukčnosťou L

a ideálnym kondenzátorom s kapacitou C. Paralelný a sériový RLC obvod je základnou

časťou každého elektronického oscilátora, ktorý sa využíva v rádiotechnike, televíznej

technike, rádiolokácii a pod.

1.3.1 rezonančné vlastnosti RLC členov

Obvykle tieto RLC obvody označujeme ako rezonančné. Jednoduché rezonančné

obvody, sériové alebo paralelné, tvorí vždy komplexný jednobran. Obvody sériovo-

paralelné potom tvorí komplexný dvojbran. Pri takzvanej rezonančnej frekvencii sa

v týchto obvodoch navzájom vyrovná pôsobenie indukčnej a kapacitnej reaktancie

(indukcie a kapacitancie) a celý obvod sa chová ako čistá rezistancia.

16

Obrázok 9 Ideálna cievka v obvode striedavého prúdu

1.3.2 Sériové zapojenie RLC obvodu

Prvkami obvodu prechádza rovnaký prúd, ale napätie na jednotlivých prvkoch sa

líši jak o hodnotu tak aj o vzájomnú fázu: napätie ur na rezistore ma rovnakú fázu ako prúd,

napätie uL na cievke predbieha prúd a napätie uC na kondenzátore sa za prúdom oneskoruje

(Reichel, 2006).

Obrázok 10 Sériový RLC obvod a jeho fázorový diagram(zdroj: http://www.jreichl.com/fyzika/vyuka/texty/rlc_obvody.pdf )

1.3.3 Paralelne zapojenie RLC obvodu

Fyzikálna podstata činnosti paralelného RLC obvodu obr.11 vyplýva z chovania

rezistora, cievky a kondenzátora v obvode striedavého prúdu. Odlišnosť spočíva

v skutočnosti, že paralelne spojené prvky obvodu majú rovnaké napätie, ale prechádzajúci

prúd je rozdielny. Tie sa líšia nie len hodnotou, ale aj fázou: prúd ir prechádzajúci

rezistorom má rovnakú fázu ako napätie na rezistore, prúd iL prechádza cievkou a napätie

sa oneskoruje o štvrť periódy a prúd iC prechádzajúci kondenzátorom ho o rovnaký fázoví

posun predbieha (Reichel, 2006).

Obrázok 11 Paralelný RLC obvod a jeho fázoroví diagram(zdroj: http://www.jreichl.com/fyzika/vyuka/texty/rlc_obvody.pdf)

17

1.4 Frekvenčná charakteristika v elektrických obvodoch

V lineárnych elektrických obvodoch v harmonickom ustálenom stave možno

vyjadriť vzťah medzi dvoma ľubovoľnými obvodovými veličinami. Ak určujeme takýto

vzťah v závislosti od zmeny určitého parametra, napr. od frekvencie, impedancie a pod.,

pri použití komplexnej metódy získame závislosť vo forme komplexnej funkcie (napríklad

fázorov U, I) komplexnej premennej (napr. Z) alebo reálnej premennej (napr. ω). Funkcia

komplexnej premennej sa graficky znázorňuje v komplexnej rovine fázorovými čiarami s

funkcionálnou stupnicou, tzv. hodografmi.

Často sa využívajú charakteristiky, pri ktorých je premennou frekvencia, čiže

frekvenčné charakteristiky. Nevýhodou pri ich grafickom znázornení v komplexnej rovine

je, že určitému rozsahu frekvencie zodpovedá len krátky úsek takejto charakteristiky

(hodografu), navyše na príslušnej charakteristike je nerovnomerná stupnica pre frekvenciu.

Preto sa častejšie používajú samostatné amplitúdové charakteristiky a fázové

charakteristiky, ktoré sa kreslia v kartézskej súradnicovej sústave, pričom pre frekvenciu sa

výhodne používa logaritmická stupnica.

Ak ide o frekvenčné charakteristiky podielu dvoch napätí (obvykle podiel

výstupného napätia k vstupnému napätiu),hovoríme o napäťovom prenose obvodu.

 V lineárnych obvodoch so zdrojom harmonického signálu, ktorý má frekvenciu

ω=2πf sú obvodové funkcie komplexnými funkciami frekvencie. Napríklad závislosť

medzi prúdom a napätím, charakterizovanú komplexnou veličinou Z = Z(ω) ejφ(ω)  sa

nazýva komplexná frekvenčná charakteristika impedancie.

1.4.1 Frekvenčná charakteristika v komplexnej rovine

Frekvenčnú charakteristiku môžeme považovať za priame zobrazenie komplexnej

veličiny (t.j. frekvenčného prenosu F(jω)) v rovine komplexných čísel o súradniciach

Re(F(jω)) a Im(F(jω)).

Ak máme frekvenciu v rozmedzí 0 až ∞ a zobrazíme príslušné body frekvenčného

prenosu F(jω), potom spojnica týchto bodov vytvorí krivku, ktorú nazývame frekvenčná

charakteristika.

F(jω)=P(ω) + j.Q(ω) (4)

P(ω)- reálna časť Q(ω)- imaginárna časť

18

F(jω)= A.ejφ (5)

A=√P2+Q2 (6)

φ (ω )=arctg P(ω)Q(ω)

=arctg ℑ( j ω)ℜ( jω)

(7)

-frekvenčná charakteristika :

Obrázok 12 Frekvenčná charakteristika v komplexnej rovine(Zdroj: http://web.tuke.sk/sjf-kaar/stranky/Predmetove_str/TK/material/Teor.prik/3frek.pdf )

1.5 Prechodové javy v elektrických obvodoch

1.5.1 Úvod do prechodových javov

Pod pojmom prechodové javy v elektrickom obvode rozumieme javy, ktoré

prebiehajú medzi dvoma ustálenými stavmi. Presnejšie povedané, prechodný jav je proces,

pri ktorom elektrický obvod neperiodicky mení veľkosť akumulovanej energie.

K prechodovému javu dochádza spravidla pri zmene štruktúry elektrického obvodu napr.:

- pripojenie, odpojenie zdroja,

- skrat, prerušenie úseku obvodu,

- pripojenie, odpojenie častí elektrického obvodu.

V elektrických obvodoch budeme vznik prechodového javu vyznačovať spínaním

ideálneho spínača, pričom zapnutie/vypnutie budeme uvažovať v okamžiku t=0, obr.14.

Do oblasti riešenia prechodových javov však môžeme zahrnúť aj javy elektrických

obvodoch so zdrojmi s neperiodickými časovými priebehmi (signálmi) obr. 13.

19

Je potrebné si uvedomiť, že analýza elektrických obvodov je v princípe riešenie

istého matematického modelu obvodu – sústavy diferenciálnych rovníc pri určitých

počiatočných podmienkach. Metódy riešenia obvodov v ustálenom stave sú len limitným

prípadom pre čas t →∞. Riešenie matematického modelu elektrického obvodu vedie

k nekonečnému trvaniu prechodového javu. Neskôr uvidíme, že pre lineárne obvody

výsledné riešenie obsahuje členy typu e-t/τ, kde τ je časová konštanta, daná parametrami

obvodu. V takomto prípade však považujeme prechodový jav za prakticky ukončený pre

časy rádovo ~ 5 . τ, kedy poklesne funkcia e-t/τ pod 1 % svojej hodnoty v čase t =0.

Fyzikálnou podstatou vzniku prechodových javov je nevyhnutnosť spojitej zmeny

energie v danej sústave. Pre spojitú zmenu energie by bol potrebný nekonečný okamžitý

výkon v bode nespojitosti.

Prechodové javy môžu vzniknúť len v elektrických obvodoch, ktoré obsahujú

aspoň jeden akumulačný prvok. Pre lineárne obvody to znamená, že obvod musí

obsahovať aspoň jeden induktor alebo kapacitor. Len v takom prípade dochádza

k vyrovnaniu energetických pomerov v nenulovom čase. V prípade čisto rezitívneho

obvodu (obsahujúceho zdroje a ideálne rezistory) k prechodovému javu nemôže dôjsť.

Vieme že pre energiu akumulovanú na lineárnom kapacitore C, resp. na lineárnom

induktore L v čase t platí:

W C (t )=12

C .uC2 (t ), (8)

W L (t )=12

L. uL2 (t ). (9)

Z týchto výťahov a predchádzajúceho textu vyplýva, že aj prúdy tečúce induktormi

iL(t) a napätia na svorkách kapacitorov uc(t) musia byť spojitými veličinami (spojité časové

funkcie).

20

Obrázok 15 Kmitavá prechodová charakteristika.(zdroj: http://www.kar.elf.stuba.sk/tar/tar1/prednasky/TAR1_6_prednaska_Charakteristiky.pdf)

Td= oneskorenie Tmax= čas maximálneho preregulovania

Tr= čas nábehu Ts= čas ustálenia

ymax= maximálna hodnota prechodovej charakteristiky

y∞= ustálená hodnota prechodovej charakteristiky

1.5.1.1 Definícia časovej konštanty

Grafická časová konštanta je vzdialenosť dotykového bodu dotyčnice

s exponenciálou a priesečníka dotyčnice s časovou osou sa rovná časovej konštante τ, bez

ohľadu na polohu dotykového bodu. Túto skutočnosť ilustruje obrázok 16. – vzdialenosť

bodov A a B, B a C, v smere časovej osi t, je vždy rovná časovej konštante t. Táto

skutočnosť platí aj pre situáciu nárastu exponenciálny, napr. pri nabíjaní kondenzátora.

Časovú konštantu môžeme definovať slovne aj z dotyčnice k exponenciálne v čase

t=0 s (kreslená červenou farbou), z ktorej je možné odvodiť, že časová konštanta odpovedá

dobe, za ktorú by prechodný dej poklesu obvodovej veličiny z maximálnej na nulovú

hodnotu skočil, keby prebiehala lineárne(konštantnou rýchlosťou). To platí aj pre

prechodový dej nárastu obvodovej veličiny z nulovej na maximálnu hodnotu.

21

Obrázok 16 Definícia časovej konštanty (zdroj : http://web.spseke.sk/prechjav/caskonst.htm )

Časovú konštantu číselne môžeme definovať tak, že je to čas, za ktorý klesne

veľkosť obvodovej veličiny na hodnotu 0,368 z jej maximálnej hodnoty (pri náraste

vzrastie na hodnotu 0,632 jej maximálnej hodnoty).

1.5.2 Metódy riešenia prechodových javov

Riešenie prechodových javov v elektrickom obvode je riešením sústavy

diferenciálnych rovníc (DR) pre stavové veličiny obvodu pri známych počiatočných

podmienkach. V prípade lineárnych elektrických obvodov sú stavovými veličinami prúdy

v induktoroch iL(t) a napätia kapacitoroch uC(t).

Po zostavení sústavy diferenciálnych rovníc pre príslušný obvod, túto sústavu

môžeme riešiť

- analyticky – analytické riešenie je možné jednoducho nájsť v prípade

sústavy DR1. a 2. Rádu; pre vyššie rády je to však pomerne prácna

metóda,

- numericky – v súčasnosti čoraz používanejší spôsob, keďže numerické

algoritmy na riešenie sústav DR sú podrobne rozpracované

a implementované prakticky v každom matematickom softvérovom

produkte ( napr. MathCad, MatLab, Mathematica atď.),

22

- použitím integrálnych transformácií – využívame tú istú analógiu

s riešením obvodov v ustálenom harmonickom stave zavedením tzv.

operátorových impedancií ako uvidíme neskôr. Problémom pri tomto

spôsobe riešenia je predovšetkým spätná transformácia výsledku

v operátorovom tvare do časovej oblasti.

1.5.2.1 Analytické riešenie

Obvody diferenciálnej rovnice sú v podstate založené na dvoch Kirchhoffových

zákonoch a pri ich vytváraní môžeme použiť všeobecné metódy. Najčastejšie používanou

metódou je metóda slučkových prúdov alebo uzlovo-napäťová metóda. Vytvorenie rovnice

konkrétnych vetiev obvodu je založená na základných výťahoch medzi aktuálnymi stavmi

premennej na jednotlivých prvkoch obvodu :

Rezistivita : u (t )=R∗i (t ) (10)

Kapacitancia : u ( t )= 1C

∗∫ i(t)dt=u0+¿+ 1

C∗∫

0

t

i (t ) dt , i (t )= C∗du(t )dt

¿(11)

Induktancia : i (t )= 1L∗∫u(t )dt=i

0+¿+1L∗∫

0

t

u (t ) dt , u (t )=L∗di(t )dt

¿(12)

Pomocou týchto vzťahov na základe vyššie uvedeného opisu komplexného obvodu

sa dajú stavové veličiny opísať ako súbor integrálno-diferenciálnych rovníc. Integrálne

rovnice možno ľahko previesť po derivácii na diferenciálne rovnice. Komplexný obvod je

potom opísaný ako systém lineárnych alebo nelineárnych diferenciálnych rovníc

s konštantnými koeficientmi, respektíve jednou diferenciálnou rovnicou n-tého rádu:

andn xdtn +an−1

dn−1 xdt n−1 +…a1

dxdt

+a0 x= y (t). (13)

Riešenie diferenciálnej rovnice sa skladá z homogénnej rovnice X0(t)

a partikulárneho riešenia Xp(t):

X(t) = X0(t) + Xp(t). (14)

Homogénna rovnica:

23

andn xdtn +an−1

dn−1 xdt n−1 +…a1

dxdt

+a0 x=0. (15)

Jej všeobecné riešenie závisí iba od vlastností obvodu bez nezávislých zdrojov.

Avšak, je zásadne ovplyvnené stavom energie obvodov, t.j. veľkosti naakumulovanej

energie v kondenzátoroch a cievkach na začiatku riešenia v čase t= 0s.

Charakter riešenia rovnice je daný koreňmi λ1, λ2,.... λn z charakteristickej rovnice,

ktorá je polynomická rovnica tvaru :

an λn+an−1 λ−1 n+an−2 λn−2+…+a1 λ+a0=0. (16)

Ak polynomické korene sú jednoduché a odlišné jeden od druhého riešenie

homegenénnej diferenciálnej rovnice je dané lineárnou kombináciou exponenciálnej

funkcie typu exp(λkt):

X 0 (t )=∑k=1

n

K k ekt. (17)

Kde K1, K2,... Kn, sú integračnými konštantami, ktorých hodnoty určujú špecifické

počiatočné podmienky v systéme.

Ak pôsobí v obvode zdroj striedavého alebo jednosmerného napätia a prúdu,

dosiahne obvod po odznení prechodového deja X0(t) stacionárny alebo periodicky ustálený

stav.

1.5.2.2Použitím integrálnych transformácií- Laplaceova transformácia

K analýze prechodových dejov v zložitých obvodoch je vhodné používať metódy

Laplaceovej transformácie. Postup pri použití tejto metódy ide rozložiť na niekoľko

krokov:

1. Zostavíme diferenciálnu rovnicu obvodu a zvážime aké sú počiatočné podmienky.

Nezávislá premenná v týchto rovniciach je čas t. Hľadané časové priebehy

obvodových veličín sú tzv. originály f(t).

2. Integrálno-diferenciálne rovnice pretransformujeme do oblasti komplexnej

premennej (s). Namiesto originálov vystupujú teraz v rovniciach tzv. obrazy F(s).

Touto, tzv. priamou transformáciou prešli pôvodné integrálno-diferenciálne rovnice

na rovnice nediferenciálne, algebrické.

24

3. Riešením získaných algebrických rovníc získame obrazy veličín, ktoré skúmame.

4. Spravíme tzv. spätnú transformáciu, pri ktorej nájdeme k obrazom hľadaných

obvodových veličín príslušné originály.

Laplaceovou transformáciou, definuje jednoznačný vzťah medzi tzv. originálmi

v oblasti premennej t a ich obrazmi v oblasti komplexnej premennej (s). Názorne to

ukazuje Obr.17.

Priama Laplaceova transformácia je definovaná ako nevlastný integrál :

F ( p )=∫0

∞

f (t )e−st dt . (18)

Pričom premenná p= σ + jω , σ>0

Spätná (inverzná) transformácia je definovaná vzťahom :

f ( t )= 12 πj ∫

c− jω

c + j ∞

F (s ) est dt . (19)

Pre priamu a spätnú transformáciu budeme používať skrátený zápis :

F(s)=L[f(t)] a f(t)=L-1[F(t)] . (20)

Hlavnou výhodou použitia Laplaceovej transformácie je algebrický charakter rovníc,

v ktorých sú hneď na začiatku riešenia zahrnuté počiatočne podmienky. Klasická metóda

až v poslednej etape prispôsobuje obecné riešenie počiatočným podmienkam.

1.5.3 Operátorove charakteristiky obvodových prvkov

25

Obrázok 17 Schematické znázornenie využitia priamej a spätnej Laplaceovej transformácie

V kapitole 1.5.2.2 o Laplaceovej transformácii sme uviedli, že pri analýze

prechodových dejov môžeme vychádzať z diferenciálnych rovníc obvodu, ktoré v ďalšom

kroku prevedieme pomocou Laplaceovej transformácie na rovnice nediferenciálne,

algebrické. Rovnice základných prvkov transformujeme nasledovne.

Vo všetkých prípadoch budeme používať zápis:

I(s) = L[i(t)], U(s) = L[u(t)] . (21)

Najskôr uvažujme s nulovými počiatočnými podmienkami.

Pre rezistor platí :

u ( t )=R .i (t )a teda U (s )=R . I (s ) ,

i (t )=G .u ( t )=¿ I (s )=G . U (s). (22)

Pre kapacitor:

u ( t )= 1C ∫

0

t

i ( t ) dt=¿U (s )= 1sC

I (s ) ,i (t )=C du(t)dt

=¿ I ( s )=sCU ( s ) .

(23)

Pre induktor:

u ( t )=L di(t )dt

=¿U ( s )=sLI (s ),

i (t )= 1L∫0

t

u ( t )dt=¿ I (s )= 1sL

U (s ) . (24)

Tak ako sa pre harmonický ustálený stav definuje prenos ako podiel fázoru F2(jω)

výstupnej a fázor F1(jω) vstupnej veličiny, definujeme analogicky tzv. operátorovi prenos

ako:

G(s)=F2(s)F1(s) . (25)

kde F2(s) a F1(s) sú príslušné obrazy.

Získaný a vypočítaný operátorovi obraz (prenosovú funkciu) už len zapíšeme do funkcie

v MATLABe a získame potrebné informácie o danom obvode.

26

1.6 Systém MATLAB

MATLAB je integrované prostredie pre vedecko-technické výpočty, modelovanie,

návrhy algoritmov, simulácie, analýzu a prezentáciu údajov, meranie a spracovanie

signálov, návrhy riadiacich a komunikačných systémov. MATLAB je nástroj tak pre

pohodlnú interaktívnu prácu, ako aj pre vývoj širokého spektra aplikácií.

1.6.1Užívateľské prostredie MATLABu

Spustenie MATLABu závisí od typu operačného systému v ktorom pracujete. V

operačnom systéme Windows ho môžeme spustiť z pracovnej plochy kliknutím na ikonku

MATLABu. Pod operačnými systémami spoločnosti Apple (Mac OS X) ho spustíme

dvojklikom na ikonku MATLABu, ktorá sa nachádza v adresári aplikácií (Applications).

Pod Unix-ovými systémami ho spustíme napísaním príkazom matlab do príkazového

riadku. Po spustení sa nám objaví užívateľské prostredie podobné nasledujúcemu obrázku. 

Obrázok 18Užívateľské prostredie MATLABu R2008a

27

Po spustení systému sa objaví okno zložené z niekoľkých častí. Najdôležitejšie z nich je

okno Command Window. Usporiadanie okien môžeme zmeniť, resp. môžeme niektoré

okna zavrieť.

Command window (okno príkazov)

Command Window je okno, do ktorého sa zadávajú vaše výrazy, spúšťajú funkcie a

matlabové skripty. Aktuálnu pozíciu v okne ukazuje symbol >>, ktorý sa aj nazýva

prompt. MATLAB si pamätá už zadané príkazy a v príkazovom riadku ich nalistujeme

šípkou hore (predchádzajúci príkaz) alebo šípkou dole (nasledujúci príkaz ak sme listovali

predchádzajúce príkazy).

Command history (história príkazov)

Každý príkaz zadaný v command window je uložený do command History.

V tomto okne môžeme kliknutím spustiť už vykonaný výraz, kopírovať jeho časti alebo

vytvoriť z výrazov matlabový skript. Každé spustenie MATLABu zaznamená command

History dátumom a časom.

Workspace (pracovná plocha)

Pracovnú plochu MATLABu tvoria premenné, ktoré sú vytvorené počas práce s

MATLABom a uložené v pamäti. Informáciu o stave Worspace MATLABu poskytuje jeho

prehliadač. V prehliadači môžeme premenné mazať, ukladať ich na disk alebo ich z disku

čítať. Detailnejší popis premennej z Worspace sa otvorí v okne Variable Editor po

dvojkliku na jej meno. Tu môžeme upravovať aj jej obsah. Workspace sa dá zobraziť v

Command Window pomocou príkazov who, whos a vymazať príkazom clear.

Current Director( pracovný adresár)

Akýkoľvek súbor, s ktorým chceme pracovať v MATLABe, sa musí nachádzať v

Current Directory. Prehliadač Current Directory je nástroj na prácu s adresármi prípadne so

súbormi. Samostatný pojem Current Directory predstavuje teda aktuálny adresár, v ktorom

sa nachádzame. Celú cestu k aktuálnemu adresáru môžeme vidieť na lište nástrojov

MATLABu, alebo ju získať príkazom pwd. V prehliadači môžeme vykonávať bežné

operácie so súbormi a adresármi (otvoriť, kopírovať, premenovať, zmazať), spúšťať skripty

28

napísané v MATLABe prípadne porovnať s inými súbormi. Výpis aktuálneho adresára

môžeme urobiť pomocou Command Window príkazmi ls, dir a zmenu aktuálneho adresára

urobiť príkazom cd.

( http://www.mathworks.com/help/techdoc/index.html )

1.6.2 Načítanie a uloženie dátového súboru

Po ukončení MATLABu sú neuložené údaje stratené. Uložiť sa dajú napríklad

pomocou príkazu save

Možný syntax :

save filename – uloží celý pracovný priestor do súboru, ktorý bude mať meno

filename a príponu mat

save dilename prom1 prom2 promn – do súboru filename.mat uloží premenné s

názvom prom1, prom2, promn

save filename prom1 –ascii do súboru filename sa uloží hodnota premennej prom1

bez názvu. Súbor bude mať textovú podobu!

Opačný postup načítania premenných zo súboru s príponou .mat sa robí s pomocou

príkazu load. V tom prípade sa načítajú všetky premenné z ich názvu. Ak bol súbor

textový, uložia sa dáta premennej identické z názvom súboru.

1.6.3 M-súbory v MATLABe

Okrem toho, že MATLAB sa dá používať ako dobrá sofistikovaná kalkulačka, jeho

hlavné možnosti spočívajú v práci s vlastnými programami a podprogramami. Editujeme

ich ako samostatné jednotky - tzv. M-súbory, buď priamo v prostredí MATLABu alebo v

akomkoľvek textovom editore a ukladáme vo vhodnom adresári s koncovkou .m .  Takto je

k nim zabezpečený priamy prístup a môžu sa kedykoľvek upravovať nezávisle od hlavného

programu. K dispozícii sú dva základné druhy M-súborov, tzv. skripty (z angl. script) a

funkcie. Funkcie majú svoje vlastné pracovné prostredie s vlastnými lokálnymi

premennými, ktoré pracujú oddelene od spoločného pracovného prostredia.  Všetky

lokálne premenné a ich hodnoty použité v priebehu vykonávania príkazov funkcie, po jej

ukončení zaniknú. Funkcie spravidla na spustenie vyžadujú názov a jednu alebo viacero

vstupných premenných. Výsledkom je výstup, ktorý môžeme priradiť globálnej premennej

spoločnej časti programu.

29

1.6.3.1 Ako vytvoriť M-súbor

Najskôr vytvoríme priečinok, v ktorom si budeme odkladať nami vytvorené

M-súbory. Po spustení MATLABu sa na pracovnej ploche objaví niekoľko okien. V okne

„current Directory“ klikneme na „new folder“. Novému priečinku dáme ľubovoľné meno

napríklad „ RLC obvody“.

M-súbor najrýchlejšie vytvoríme kliknutím na tlačidlo nového súboru . „new M-

Flie“ situovaného v ľavom hornom rohu pod záložkou „File“. Na obrazovke sa objaví

nové okno M-súboru

Obrázok 19 Okno M-súboru "editor"

Funkciu ktorá sčíta dve čísla sa vytvorí nasledovne. Vytvoríme M-súbor a uložíme

ho pod názvom add do pracovného priečinka (pozor, pod názvom add nesmie existovať

žiadny iný M-súbor!) potom doň napíšeme:

function [out] = add(x,y)

%ADD – sčituje dve čísla

out=x+y;

a uložíme. V prvom riadku sa nachádza označenie funkcie a komentár nasleduje až potom,

v druhom riadku. Keď teraz do príkazového okna napíšeme 30

add(2,3)

dostaneme výpis ans=5

(http://slovak.evlm.stuba.sk/elearning/elearning_files/Rukovat_studenta/kapitola24/

kapitola24.htm )

1.6.4 Vytváranie grafov v MATLABe

Základnou funkciou na vytváranie dvojrozmerných grafov je funkcia plot.

Popisy a texty: Nasledujúce príkazy umožňujú pomenovať každú os a umiestniť text na

ľubovoľné miesto grafu. Postupne do súboru graf1.m pridávajte:

title – pridá do grafu jeho názov, napr. title( ´Moj graf´ )

xlabel – pomenuje os x, napr. xlabel( ´x-sova os´)

ylabel – pomenuje os y, napr. ylabel( ´y-sova os´)

legend – do existujúceho grafu pridá legendu, napr.

legend( ´funkcia exp(-x)´)

text- zobrazí textový reťazec na špecifickom mieste, napr.

text(-0.5,0.3,´Tu sa nachádza môj text!´)

( http://www.iam.fmph.uniba.sk/institute/kilianova/files/04_grafika.pdf )

1.6.5 Prechodová charakteristika v MATLABe

Na vykreslenie prechodových charakteristík sa používa funkcia step(SYS), kde SYS

označuje lineárny časovo invariantný (v angl. LTI - linear time invariant) model systému.

Tento model je možné vytvoriť pomocou funkcií tf, zpk alebo ss. My sa budeme zaoberať

iba funkciou tf. Tf sa používa v prípade, keď potrebujeme prenosovú funkciu bloku

zapísať pomocou koeficientov polynómov v jej čitateli a menovateli, keď ju máme danú

pomocou koreňov čitateľa a menovateľa.

Pre tf funkciu je základná syntax nasledovná:

F = tf(NUM, DEN),

Kde NUM a DEN označujú polynómy čitateľa a menovateľa prenosovej funkcie. Zoberme

si napríklad bloky s prenosovými funkciami

31

F1 ( s)= 0,5s+1 (20)

F2 ( s )= 3s2+1

(26)

Pomocou funkcie tf ich v MATLABe zapíšeme nasledovne:

f1 = tf([0.5],[1 1])

f2 = tf([3],[1 0 2]).

Funkciu tf je možné použiť aj iným spôsobom a to tak, že najprv si zadefinujeme

Laplaceov operátor, ktorý následne použijeme pri definícii prenosovej funkcie. Pre

uvedené 2 prenosy potom platí

s = tf('s');

f1 = 0.5/(s+1), resp.

f2 = 3/(s^2+2)

Funkcia step sa dá použiť niekoľkými spôsobmi. Ak v príkaze nepoužijeme žiaden

výstupný parameter, tak výsledkom bude grafický výstup. Tak napríklad príkaz

step(SYS,TFINAL) simuluje prechodovú charakteristiku od času t = 0 do času t = TFINAL.

V prípade, že použijeme aj výstupné argumenty funkcie, napr. [Y,T] = STEP(SYS),

tak výstupom funkcie nebude vykreslený graf prechodovej charakteristiky, ale funkcia nám

numerické hodnoty výstupu Y a času T uloží do vektorov. Ak si chceme prechodovú

charakteristiku aj vykresliť, musíme použiť funkciu plot.

Príklady: F=tf([2],[1 0.2 0.2]) zadanie LTI modelu funkciou tf [y,t]=step(F) určenie výstupných hodnôt prechodovej charakteristiky plot(t,y) vykreslenie prechodovej charakteristiky z výstupných hodnôt

1.6.6 Frekvenčná charakteristika v komplexnej rovine v MATLABe

Na vykreslenie frekvenčných charakteristík v komplexnej rovine používa funkcia

nyquist(SYS), ktorá má presne takú istú syntax ako funkcia step.

32

Jediný rozdiel je v prípade, keď funkciu používame aj s výstupnými parametrami.

Teraz výstupné argumenty označujú reálne a imaginárne hodnoty bodov frekvenčnej

charakteristiky:

[RE,IM]=nyquist(SYS,w) alebo [RE,IM,w]=nyquist(SYS)

( http://www.kar.elf.stuba.sk/tar/tar1/topics/charakteristiky/ )

2 Cieľ práce

Simulácia a modelovanie elektrických obvodov s prvkami R, L, C v rôznych

variantoch zapojenia. Porovnať metódy simulácie v programu MATLAB s  klasickým

matematickým výpočtom z hľadiska presnosti a rýchlosti získaných údajov.

33

3.Metodika práce

Navolíme si konkrétne zapojenia elektrických obvodov, ktoré znázorníme graficky

a opíšeme prenosovou funkciou. Obvody si najskôr vypočítame klasickou metódou

Laplaceovej transformácie a získané hodnoty zapíšeme do tabuľky. Následne na to si

nasimulujeme prechodové a frekvenčné charakteristiky navolených elektrických obvodov.

Nakoniec porovnáme presnosť a rýchlosť získaných údajov z oboch metód.

3.1 Požiadavky na modelovaný systém

1. Všetky použité súčiastky sú ideálne.

2. Plynulý nábeh po jednotkovom skoku.

3. Simulácia v MATLABe musí prebehnúť v požadovanom čase.

3.2 Rozdelenie práce do bodov

1. Štúdium literatúry zameranej na výpočet elektrických obvodov klasickou

metódou.

2. Výpočet obvodov pomocou Laplaceovej transformácie.

3. Modelovanie a simulácia spojitých dynamických systémov v prostredí

MATLAB.

4. Simulácia elektrických obvodov v rôznych zapojeniach s prvkami R, L, C.

5. Prechodové a frekvenčné charakteristiky simulovaných obvodov.

3.3 Prístrojové a materiálne zabezpečenie

K vykonaniu bakalárskej práce potrebujeme osobný počítač s nainštalovaným

programom MATLAB, ktorý spĺňa minimálne hardwarové požiadavky MATLABu.

34

4 Riešenie úlohy

4.1 Modelovanie RC obvodu

RC filtre sa široko využívajú pre selekciu (výber) užitočných signálov a potlačenie

rušivých signálov. Dolno-priepustný filter (DPF) vyhladzuje jsm. napätie napájacieho

zdroja tým, že zoslabuje striedavú zložku signálu. Horno-priepustný filter (HPF) zas

prepúšťa striedavý a neprepúšťa jsm. signál do a zo stupňa tranzistorového zosilňovača bez

ovplyvnenia jsm. predpätia tranzistora.

RC filtre sa tiež využívajú na výber vf striedavého signálu z nf striedavej zložky.

RC členy sa často používajú vo „výhybkách“ reproduktorov na selekciu vysokých

frekvencií do 'tweeterov' (reproduktor pre vf tóny, light speaker) a nízkych frekvencií do

'wooferov' (reproduktor pre hlboké tóny, massive speaker).

4.1.1 Matematické riešenie

Obrázok 20 Schéma zapojenia RC obvodu

Uvažujme že hodnoty členov sú určené takto C= 505μF

R= RΩ

Pomocou 2 Kirhoffovho zákona dostaneme rovnicu súčtu napätí v obvode :

R i1+1C∫ i1 (t )dt=u1( t). (27)

Výstupná veličina v obvod je napätie na kondenzátore u2 :

1C∫ i1 (t ) dt=u2(t ). (28)

35

Prúd v obvode je :

i1(t)=Cd u2(t)

dt. (29)

Po dosadení (29) a (28) do (27) dostaneme matematický model v tvare lineárnej

diferenciálnej rovnice :

RCd u2(t )

dt+u2(t )=u1(t). (30)

Aplikujeme Laplaceovu transformáciu :

RCsU 2 ( s)+U 2 (s )=U 1(s). (31)

Vytvoríme prenosovú funkciu, pomer výstupného napätia k vstupnému :

G (s )=U2 (s )U1 (s )

= 1RCs+1

.

1RC1

RC

. (31)

Na vstup privedieme jednotkový skok :

U2 (s )=U1 (s ) .

1RC

s+ 1RC

=1s

.

1RC

s+ 1RC

. (32)

Spätnou Laplaceovou transformáciou dostaneme :

u2=1−e−tτ . (33)

τ = RC=0,0015Tabuľka 1hodnoty prechodovej charakteristiky RC obvodu

t(s) 0τ2 τ

3 τ2 3τ 4τ

9 τ2 5τ ∞

u2(v) 0 0,393 0,632 0,779 0,950 0,981 0,989 0,993 1

4.1.2 Modelovanie obvodu v MATLABe

Výpis M- súboru určeného na výpočet a zobrazenie daného obvodu

clear;

36

clc;

w=2*pi*50; % omega

C=0.000505; % hodnota kondenzátora

R=3; % hodnota odporu

RC=tf(1,[R*C 1]); % prenosová funkcie

subplot(2,1,1); % Vykreslenie grafu

step(RC); % prechodová charakteristika

grid on % Mriežka prechodovej charakteristiky

T=R*C % dobá nábehu

subplot(2,1,2); % vykreslenie grafu

nyquist(RC); % frekvenčná a fázová charakteristika

grid off

Obrázok 21 Prechodová a frekvenčná RC obvodu

Na danej prechodovej charakteristike je vidieť že kondenzátor sa po jednotkovom

skoku plynulo nabíja a svoju maximálnu hodnotu dosiahne približne za čas t= 5 τ pričom

hodnota časovej konštanty τ = 0,0015 s za tento čas sa kondenzátor nabil na 0,628v.

Frekvenčná charakteristika RC článku zapojeného podľa našej schémy je Nyquistova

charakteristika, daný systém určujú dve krivky. Krivka v prvom kvadrante je závislosť

absolútnej hodnoty prenosu na frekvenciu a krivka v druhom kvadrante vyjadruje priebeh

fázy.

37

4.2 Modelovanie RL obvodu

RL obvody sa taktiež ako RC používajú ako filtre signálov , selekciu užitočných,

potlačenie rušivých signálov. Dolno-priepustný RL filter (low-pass RL filter) na nízkych

frekvenciách sériová indukčnosť má zanedbateľný vplyv na signál. Tým sme v podstate

prepojili signál cez odpor až k zemi. Keď narastá frekvencia, tak cez L pôjde čoraz viac

a viac signálu cez L a ďalej na výstup a nie cez odpor na zem. Pri horno-priepustných RL

filtroch (high-pass filter) je to presne naopak.

My sa budeme zaoberať hlave prechodovou charakteristikou, kde budeme vidieť

ako a za aký čas sa na cievke naindukuje napätie.

4.2.1 Matematické riešenie

Obrázok 22 Schéma zapojenia RL obvodu

Uvažujme že hodnoty členov sú určené takto L= 3 H

R= 8Ω

Pomocou 2 Kirhoffovho zákona dostaneme rovnicu súčtu napätí v obvode :

R i1+Ldi1(t)

dt=u1(t ). (35)

Výstupná veličina v obvode je napätie na cievke u2 :

Ld i1(t)

dt=u2(t). (36)

Prúd v obvode je :

i1(t)=1L∫u2 ( t ) dt . (37)

Po dosadení (35) a (36) do (37) dostaneme matematický model v tvare lineárnej

diferenciálnej rovnice :38

RL ∫u2 (t ) dt+u2(t )=u1(t). (38)

Aplikujeme Laplaceovu transformáciu :

RLs

U2 (s )+U2 (s )=U1(s). (39)

Vytvoríme prenosovú funkciu pomer výstupného napätia k vstupnému :

G (s )=U2 (s )U1 (s )

= 1RLs

+1= Ls

Ls+R.

1L1L

. (40)

Na vstup privedieme jednotkový skok :

U2 (s )=U1 (s ) . s

s+ RL

=1s

. s

s+ RL

. (41)

Po úprave (32) dostaneme :

U2 (s )= 1

s+ RL

. (42)

Spätnou Laplaceovou transformáciou dostaneme:

u2=e−R

L t . (43)

τ=LR

=0,375 (44)

Tabuľka 2 Hodnoty prechodovej charakteristiky RL obvodu

t(s) 0τ2 τ

3 τ2 3τ 4τ

9 τ2 5τ ∞

u2(v) 1 0,606 0,368 0,223 0,05 0,018 0,011 0,007 0

39

4.1.2 Modelovanie obvodu v MATLABe

Výpis M- súboru určeného na výpočet a zobrazenie daného obvodu

clear;

clc;

w=2*pi*50; % omega

L=3 % hodnota cievky

R=8; % hodnota odporu

F=tf([L 0],[L R]); % prenosová funkcie

subplot(2,1,1); % Vykreslenie grafu

step(F); % prechodová charakteristika

grid on % Mriežka prechodovej charakteristiky

T=L/R % dobá nábehu

subplot(2,1,2); % vykreslenie grafu

nyquist(F); % frekvenčná a fázová charakteristika

grid off

Obrázok 23 Prechodová a frekvenčná RL obvodu

Na prechodovej charakteristike vidíme, že po uplynutí času t=5τ považujeme v

praxi prechodný dej za skončený. Prúd v obvode dosiahne hodnotu  i = 0,99.I0 a napätie na 40

cievke predstavuje len jedno percento hodnoty maximálneho napätia U0. Za čas t= τ, čo

predstavuje približne 0,375s bude na cievke napätie u2=0,368 V.

Frekvenčná charakteristika RL článku je takmer identická ako pri RC, s rozdielom

polohy šípky, ktorá znázorňuje fázový posun ω.

41

4.3 Modelovanie rezonančného RLC obvodu

Praktické využitie rezonančného RLC obvodu :

- vo vf technike, kde sa pracuje s frekvenciami radovo kHz a MHz,

- dlhy priamy vodič, ktorý slúži ako vysielacia anténna rádiových vĺn, predstavuje síce

nepatrnú indukčnosť a kapacitu, ale pri vf prúde nemá už Xl a Xc zanedbateľne (C

najmenej pF)) pri rezonančnej frekvencii, na ktorú je anténa naladená pre vysielací signál,

ma obvod najmenšiu impedanciu a signál nim veľmi ľahko prejde. Vo forme

elektromagnetického vlnenia sa vyžiari do éteru.

Pri matematickom riešení budeme rátať s konkrétnymi hodnotami na každom člene, no pri

modelovaní v MATLABe budeme meniť hodnotu odporu, aby sme videli ako vyzerá

rozdiel medzi pretlmeným, kriticky tlmeným a tlmeným oscilujúcim RLC obvodom.

4.3.1 Matematické riešenie

Obrázok 24 Zapojenie RLC obvodu

Hodnoty R, L, C pre matematické riešenie :

L= 5 H

C=1 F

R=2 Ω

Pomocou 2 Kirhoffovho zákona dostaneme rovnicu súčtu napätí v obvode :

1C∫ i1 (t ) dt+R i1+L

d i1( t)dt

=u1(t). (45)

Výstupná veličina v obvode je napätie na cievke u2 :

1C∫ i1 (t ) dt=u2(t ). (46)

42

Prúd v obvode je :

i1(t)=Cd i1(t)

dt. (47)

Po dosadení (45) a (46) do (47) dostaneme matematický model v tvare lineárnej

diferenciálnej rovnice :

RCd i1(t)

dt+u2+LC

d2i1(t)dt

=u1(t). (48)

Aplikujeme Laplaceovu transformáciu :

LC s2 U 2 ( s )+RCs U2 (s )+U2=U1(s). (49)

Vytvoríme prenosovú funkciu pomer výstupného napätia k vstupnému :

G(s)=U2(s)U1(s)

= 1LC s2+RCs+1

= 15 s2+2 s+1

. (50)

Použijeme rozklad na parciálne zlomky:

G (s )= 5

s2+25

s+1= A

s1+0,2−0,4 i+ B

s1+0,2+0,4 i (51)

15=A . (s+0,2+0,4 i )+B .(s+0,2−0,4 i)

s1=−0,2−0,4 i=¿ 15=B . (−0,8i )=¿1=B . (−4 i )=¿ B=−i

4 (52)

s2=−0,2+0,4 i=¿ 15=A .0,8i=¿ A= i

4 (53)

G (s )= 5

s2+25

s+1=

−i4

s+0,2−0,4 i+

i4

s+0,2+0,4 i . (54)

Privedieme jednotkový skok:

U2 (s )=1s

. 5

s2+ 25

s+1=1

s.

−i4

s+0,2−0,4 i+ 1

s.

i4

s+0,2+0,4 i (55)

43

¿

−i4

s2+(0,2−0,4 i)s+

i4

s2+(0,2+0,4 i ) s=

−i4

s .(s+ (0,2−0,4 i ))+

i4

s+((0,2+0,4 i )) (56)

Spätnou Laplaceovou transformáciou dostaneme:

u2=−i4

. 10,2−0,4 i

(1−e (0,4 i−0,2 ) t )+ i4

. 10,2+0,4 i

(1−e(−0,4 i−0,2 )t ). (57)

Po úprave dostaneme:

u2=1+ 12

e−0,2 t .(sin 0,4 t+2cos 0,4 t). (58)

Tabuľka 3 Hodnoty prechodovej charakteristiky RLC obvodut(s) 0 3 5 8 11 13 16 20 25

u2(v) 0 0,545 0,983 1,21 1,09 0,998 0,957 0,994 1,01

4.3.2 Modelovanie obvodu v MATLABe

Hodnoty R, L, C pre matematické riešenie :

L= 1 H

C=1 μF

R=320 Ω

R1= 820 Ω

R2= 6800 Ω

Výpis M- súboru určeného na výpočet a zobrazenie daného obvodu:

clear;

clc;

w=2*pi*50; % omega

L=1; % hodnota cievky

C=0.000001; % hodnota kondenzátora

R=320; % hodnota odporu

R1=820;

R2=6800;

44

F=tf(1,[L*C R*C 1]); % prenosová funkcie

F1=tf(1,[L*C R1*C 1]) ;

F2=tf(1,[L*C R2*C 1]) ;

subplot(2,1,1); % Vykreslenie grafu

step(F, F1, F2); % prechodová charakteristika

grid on % Mriežka prechodovej charakteristiky

subplot(2,1,2); % vykreslenie grafu

nyquist(F); % frekvenčná a fázová charakteristika

grid off

Obrázok 25 Prechodová a frekvenčná RLC obvodu

Z vymodelovanej prechodovej charakteristiky môžeme odčítať všetky potrebné

časové údaje : Tmax= 0,0031 s

Tr= 0,0016 s

Ts= 0,0221 s

Ďalej je možné vidieť ako sa mení prechodová charakteristika v závislosti na odpore, čím

väčší odpor dáme, tým bude obvod menej kmitať.

Na frekvenčnej charakteristike sa nám prejavil fakt, že obvod RLC je už obvod

druhého rádu a tak frekvenčná charakteristika prechádza dvoma kvadrantmi.

45

5. Výsledky práce a možnosti ďalšieho využitia

Úlohou bakalárskej prace bolo namodelovať elektrické obvody a porovnať metódy

simulácie v MATLABe s klasickou matematickou metódou použitím Laplaceovej

transformácie. Zo získaných výsledkov vyplýva, že v súčasnej dobe je oveľa efektívnejšie

použiť systém MATLAB. To ako aj z dôvodu presnosti nameraných výsledkov, tak aj

z časovej strany. Program je podstatne rýchlejší, keďže do programu zadávame prenosovú

funkciu daného obvodu a nie je potrebné zdĺhavé riešenie, ako je vidieť pri úlohe 4.3

matematické riešenie je veľmi zdĺhavé a vyžaduje si značné matematické znalosti, pričom

systém MATLAB vyžaduje len základné znalosti problematiky.

Namerané výsledky prechodových charakteristík sú prehľadnejšie a presnejšie

v MATLABe, ktorý preráta aktuálny stav napätia v každom časovom okamihu, pričom

matematickým riešením sme len vyrátali hodnotu napätia v určitých konkrétnych časoch.

Program MATLAB má obrovské využitie   v   modelovanání a matematických

simulácií v každom odbore a nie len elektrotechnike, ale prakticky v každom obore

modernej vedy, ďalej napríklad pri štatistickej kontrole kvality a množstvo ďalších.

46

6. Záver

Teória diferenciálnych rovníc, ktorá je bežne k dispozícii medzi vedeckou

literatúrou, výsledky podmienok stability systémov, hodnoty tlmenia, časovej konštanty

atď.. Riešenie prechodných javov elektrických obvodov vysokého alebo nízkeho napätia

pomocou matematického modelu diferenciálnych rovníc, umožňuje lepšie pochopenie

správania daného modelu. Napríklad, správanie systému (stabilita, tlmenie, atď.) je možné

meniť pomocou zmeny konštanty jednotlivých derivácií - zmenou hodnôt elektrických

súčiastok. Pre pochopenie a prenesenia do praktické využitie v procese navrhovania

elektrických obvodov, môžeme ľahko dosiahnuť keď jednotlivé komponenty obvodu nie

sú namodelované ako RLC bloky, ale použijeme ich vzťah medzi napätím a prúdom.

Mocný nástroj, akým MATLAB bezpochyby je a jeho znalosť sama o sebe žiadny problém nevyrieši. Až keď sme daný problém zvládli, teda vieme čo a prečo to robíme a sme schopní navrhnúť riešenie, až potom má zmysel siahnuť po nástroji umožňujúcom konkrétne riešenie. Samozrejme znalosť používaného nástroja a jeho možností môže pozitívne ovplyvniť návrh riešenia. Výsledný postup potom môže byť potom efektívny a rýchly. Výkonnosť a efektivitu nástrojov typu MATLAB používateľ naplno ocení až pri riešení zložitejších a rozsiahlejších problémov.

47

7. Zoznam použitej literatúry

1. BLAHOVEC, Anton. 1991. Elektrotechnika 1. Praha: Informatorium, 1999. 191 s.

ISBN 80-860-73-49-1.

2. BLAHOVEC, Anton. 1997. Elektrotechnika 2. Praha: Informatorium, 2000. 153 s.

ISBN 80-860-73-67-X.

3. REICHEL, Jaroslav. 2006. RLC obvody. [online]. B. m. : b.v., 2006 [cit. 2011-03-24].

180 s. Dostupné na: http://www.jreichl.com/fyzika/vyuka/texty/rlc_obvody.pdf

4. Charakteristiky lineárnych spojitých systémov. 2008 [online] Bratislava : FEI STU,

aktualizované 2008. [cit. 2011-04-02]. Dostupné na:

http://www.kar.elf.stuba.sk/tar/tar1/topics/charakteristiky/index.php

5. Technická kybernetika. 2006 [online] Košice : TUKE , aktualizované 2006. [cit. 2011-

03-22]. Dostupné na:

http://web.tuke.sk/sjf-kaar/stranky/Predmetove_str/TK/material/Teor.prik/

6. Elektrické obvody 2. 2005 [online] Bratislava : FEI STU , aktualizované 2005. [cit.

2011-03-18]. Dostupné na:

http://iris.elf.stuba.sk/~elo/Elektricke_obvody/EO_II_testpages/documents_html/

eo2.html

7. M-súbory v systéme MATLAB. 2008 [online] Bratislava : FEI STU , aktualizované

2008. [cit. 2011-0-14]. Dostupné na:

http://slovak.evlm.stuba.sk/elearning/elearning_files/Rukovat_studenta/kapitola24/

kapitola24.htm

8. BIOLEK, Dalibor – HÁJEK, Karel – KRTIČKA, Antonín. 2007. Analógové

elektronické obvody. [online]. B. m. : b.v., 2006 [cit. 2011-03-24]. 267 s. Dostupné na:

http://kre.elf.stuba.sk/~epo/BAEY_prednasky.pdf

48

9. MURINA, Milan – SEDLÁČEK, Jiří. 2003. Elektrotechnika 2 počítačové cvičenia.

[online]. B. m. : b.v., 2003 [cit. 2011-03-24]. 267 s. Dostupné na:

http://files.gamepub.sk/ET1/Elektrotechnika_%202_P.pdf

10. VALSA, Juraj – SEDLÁČEK, Jiří. 2003. Elektrotechnika 2. [online]. B. m. : b.v.,

2003 [cit. 2011-03-24]. 267 s. Dostupné na:

http://www.scribd.com/doc/39183749/Elektrotechnika-2-S

11. ŽATKOVIČ, Alexander. 2010. Prechodové javy. [online]. B. m. : b.v., 2010 [cit.

2011-03-24]. 267 s. Dostupné na: http://web.spseke.sk/prechjav/

49

Prílohy

Slovník základných originálov a odpovedajúcich obrazov Laplaceovej transformácie

Č. Originál f(t) Obraz F(s)

1. kks

2. e−at 1s+a

3. 1−e−at as . (s+a)

4.1a(1−e−at) 1

s . (s+a)

5. t1s2

6. dn f (t)dt

s2 .F (s)

50