1

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICASA. Principios de H. Cross

El método de Cross es un procedimiento numérico que esta basado en el método de

las deformaciones igual al método de las deformaciones es un método aproximado

ya que nos propone soluciones exactas.

Para analizar el principio de Cross analizaremos la siguiente estructura :

MA=

2 EIl

(−2∅ A−2∅ B )+MA

MA=

2 EIl

(−2∅ B−2∅ A )+MB

a. 1er Principio de Cross:

Hacemos la unidad de giro igual a 1 depende del giro q ha dado el ángulo.

La rigidez real de la viga es un momento pero que tiene característica

especial, el momento tendrá característica ya que hará girar un extremo a

la unidad

Si aplicamos el principio de ∅ B=0 a la primera ecuación tenemos

MA=

2 EIl

(−2∅ A−2∅B )+MA

2

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICASM

A=−4EIl

(∅ A )

MA=−4EI

l

K¿−4EI

l Rigidez real de la viga

b. 2do Principio de Cross

Si aplicamos el Mb y la rotación ∅ B=0 entonces se tiene:

Para vigas de momentos de inercia constante vale ½ dentro del tramo.

Si EI es variable se tiene que calcular el valor de propagación

MA=

2 EIl

(−2∅ B−2∅ A )+MB

MA=

−2 EIl

(∅ A )

Relacionando Ma /Mbo la inversa tenemos

MA

MB

=2EI / l4 EI /l

∅ A

∅ A

=12

MB=1

2 M A

c. 3er Principio de Cross

Si consideramos la siguiente estructura

3

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS

La suma de momentos será:

M=∅ A ¿

M=∅ A∑ K

Suma de las rigideces de todas las barras concurrentes al nudo.

K AB

∑ K Factorización de distribución (siempre es menor a la unidad)

FD=K AB

∑ K

Es una relación de rigideces donde el M se distribuye a cada barra

concurrente a un nudo.

De una tabla de momentos fijos de terminar las reacciones de:

o Doble empotrado con carga distribuida q

4

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS

o Empotrado y apoyo móvil con carga puntual P

5

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICASo Apoyo fijo y apoyo móvil con carga distribuida q

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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICASMETODO DE CROSS

Factores de distribución

Nudo A

DAB=0

Nudo B

DBA=5

5+5+3.5=0.37

DBC=5

5+5+3.5=0.37

DBH=3.5

5+5+3.5=0.26

Nudo C

DCB=5

5+3.5=0.59

DCD=3.55+3.5

=0.41

Nudo D

DDC=3.5

5+3.5+3.5=0.29

DDE=3.5

5+3.5+3.5=0.29

DDH=5

5+3.5+3.5=0.42

Nudo E

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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICASDED=

3.55+3.5

=0.41

DEF=5

5+3.5=0.59

Nudo F

DFE=5

5+5+3.5=0.37

DFG=5

5+5+3.5=0.37

DFH=3.5

5+5+3.5=0.26

Nudo G

DGF=0

Nudo H

DHB=3.5

5+3.5+3.5=0.21

DHD=5

5+3.5+3.5=0.29

DHF=3.5

5+3.5+3.5=0.21

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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICASDHI=

55+3.5+3.5

=0.29

Nudo I

D IH=0

BARRA I/L KAB I/3,5 5BC I/3,5 5CD I/5 3,5DE I/5 3,5EF I/3,5 5FG I/3,5 5BH I/5 3,5DH I/3,5 5FH I/5 3,5HI I/3,5 5

0.00MF -44.84

0.00MF 13.23

9

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS

Corrección en los nudos

Para el nudo B

Corrección del nudo

Corrección del nudo C

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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS

Sumando para la corrección

Como es simétrico la corrección es lo mismo para los nudos E y F

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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS

DIAGRAMA DE MOMENTOS

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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS

METODO DE FUERZAS VIRTUALES

γ H° A °=2400kg

m3

γ H° S°=2300kg

m3

Para 1

qH ° A°=1∗0.1∗0.24∗2∗2400

1∗1=115.2 kg

m3

qH ° A°=115.2∗3.6=414.720kg

m3

Para 2

qH ° A°=3.6∗0.06∗2400=518.4kg

m3

Para 3

qH ° S°=3.6∗0.03∗2300=248.4kg

m3

Para 4

qPar=3.6∗14=5.04kgm

qExtra=250∗3.6=900kgm

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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICASqTotal=∑ q i=2131.92 kg

m

Isostático

−2∗¿

V A=25583.04kg

∑❑

❑

F H=0

H A=¿0 kg

∑M A=¿¿

2 [ (2131,92∗6 )∗2 ]−MA=0

M A=51166.08kg∗m

Para X1 = 1

Para X2 = 1