Criteri per l'esistenza di punti uniti in trasformazioni topologiche del cerchio e loro applicazioni

Criteri per l ' es is teuza di punt i uni t i in t rasformuzioni topologiche del cerchio e loro applicaziot~i.

Memor la di GIUSF~t'I,~ S(.',OleZa DI~AGO~I (a Padova) (*).

Sunto. - L 'A . ind ica a l cun i cr i ter i per l 'es is tenza d i p u n t i u n i t i i n u n a t ra s fo rmaz ione top o. logica del cerchio. A p p l i c a p o i u~o d i quest i cr i ter i pe r d imos t rare due teoremi f onda- m e n t a I i d i BROUWER sul le t ra ie t tor ie di u n autoomeomorf i smo piano~ che conservi i l senso dells vo taz ion i e ~on lasci p u n t i i ~ v a r i a t i .

In questa Memoria, mi propongo di indicare dei eri teri suffieienti per l'esistenza di alrneno un punto unito in una trasformazione topologica di un eerehio. Espongo rap idamente lo stato della quest ione ed i nuovi teoremi che stabiliseo.

Lo spazio ambiente ~ il p iano reale, euclideo. Ivi, com'~ no lo : l) Una trasformazione topologicat di un cerchio G in un insieme F

ammette almeno un punto unito, se G contiene I ' , questo r isultato classico di BROUWER (~) ~ stato esteso du SPERbrEI~, nel senso the :

II) La trasformazione topologicat del cerchio G in F ammette almeno un punto unito, se nella frontiera g di G esiste un arco che contenga tutti gli eventuali punt i di G d'accumula~ione per F -- F. G e che sia mutato da t in un arvo eonlenuto in G (~); ed il rag ionamento usato da SPERNER in quell ' oceasione, mi ha condotto a r iconoseere che :

III} La trasformazione topologicat del cerehio G in F ammette at. meno un punto unito, se G e F hanno comune un punto inferno (ad en. trambi) e se ogJ~i eventuale punto della frontiera g di G, che non si possa congiungere con l'infinito senza incontrare ulteriormente l a g stessa o ta fron. tiera 7 di F, ~ por~ato d~ t in un punto di G (~).

(~') R ieevn ta dal Oomitato di Roda~,ione il i2 d icembre 194:5. (t) L. E. J . B~OUWEn, Ueber Abb i ldungen yon Mann ig fa l~ igke i t en [~< Mathemat i sche

A nn a l en , , vol . 7 i {1912),:~pagg. 97-115], pag. 115. Si vegga a n c h e - i l § 1 ctel iavoro di SPERNER eitato nel la suecess iva nora (8).

(~} E, SPERNER~ Ue')er die f i x p u n k t f r e i e n Abb i l dungen der Ebene [~ H a m b u r g e r Mathe- ma t i sche .E inze l schr i f t en ~. Teubner , L ips i a (1933); oppure ¢ AbhRndlungen aus dem Mathema- t ischen S e m i n a r der ] - Iamburgischen Universi t~tt ~ vol. 10 (1934)~ pagg. 1.47], § 1, t eo rema 2.

(3} G. SCO~ZA DRAGON]~ Un'osservaz ione sull 'e, s i s t~nza d i ¢lement i u n i t i hel le t~'asfor- m a z i o n i topologiche del cerchio ' ~ Annal i di ~v[atematiea pura ed appl iea ta ,~ ser ie 4 a, tomo X I X (1940), pagg. 4:549].

44 G. SCORZA D~-(~OXX : C~'deri per l'esisle~za di p u m i u~it,i

R a m m e n t o poi c he i t e o r e m i I) e I I ) sono va l id i a n c h e p e r t r a s f o r m a z i o n i

u n i v o c h e e c o n t i n u e , i n i spaz i a d u e o pifi d i m e n u i o n i [si v e d a n o i l u o g h i

c i t a t i in { ~) e (~)]; c he il t e o r e m a I I I ) va le a n c h e se G e F n o n h a n n o p u n t i

i n t e r n i c o m u n i , p u r c h ~ a l l o r a g e ~" a b b i a n o c o m u n i a h n e n o d u e p u n t i d i s t in t i

[cfr. loe. cir. (s), n. 3] ; c he si c o n o s c o n o a l t r i t e o r e m i d ' e s i s t e n z a di e l e m e n t i

un i t i in u n a t r a s f o r m a z i o n e t 0 p o l o g i c a di un c e r c h i o (*).

Orbene , u n e s a m e u l t e r i o r e de l l a d i m o s t r a z i o n e del t e o r e m a I I I ) mi ha

p e r m e s s o di r i c o n o s c e r e c he q u e l l e i po t e s i p o s s o n o e s se re e m o d i f i c a t e e

a t t e n u a t e in m a n i e r a n o t e v o l e .

P e r e sempio , u n p u n t o di g, che n o n p o s s a e s se re c o n g i u n t o con l ' i n f i -

n i to s e n z a i n c o n t r a r e u l t e r i o r m e n t e o g o ~', pub d a r s i che p o s s a e s se r l o

m e d i a n t e u n a s e m i l i n e a che t o c c h i si e g e ~', m a che n o n tag l i n~ g nb y.

O r b e n e :

IV) Per l 'es is tenza di u n p u n t o uni to ne l la t, basta the G e F a b b ~ n o

u n p u n t o in terno comune e che si.ano ~J~ulati in p u n t i i n t e rn i a G tut t i gl i eventual i p u n t i di g, che non si possono congiungere con l' inf inito senza ta.

gl iare o g o y, e i loro p u n t i d 'accumulaz ione .

Ed a n e o r a , si s u p p o n g a ehe 7 s ia un ' e l ] i s s e , col c e n t r o ne l c e n t r o C di g,

e t h e il r a g g i o di g s ia c o m p r e s o (in senso forte) f ra i d u e s e m i a s s i di y.

L ' i n s i e m e F - - I ' . G si spezza~ a l l o r a in d u e l unu l e , U~, c o n i-~--1, 2~ le eu i

f r o n t i e r e r i s u l t a n o c u r v e s e m p l i c i de l t ipo n~ + v~, con n ~ - ~ g . U~ a r c o di g

e v~ ~---7. U~ a r c o di y ; e u n p u n t o i n f e r n o di n~ n o n pub e s se r e c o n g i u n t o

c o n i ' i n f i n i t o s e n z a i n c o n t r a r e u l t e r i o r m e n t e {anzi s e n z a tagl iare} o g o 7.

E b b e n e , la d i m o s t r a z i o n e del t e o r e m a I I I ) , d a t a in loc. cir. (:~) n. 2, m o s t r a

che n o n b n e e e s s a r i o ehe le imma~ ' in i t(n~) e tin2) di n~ e n~ n e l l a t appa r -

t e n g a n o a G : b a s t a c he i p u n t i i n t e r n i a t(n~) n o n a p p a r t e n g a n o ad U ~ - - n ~ .

Gli a r c h i n~ si p o s s o n o a n c h e d e f i n i r e c o m e q u e l t i c h e p o s s o n o e s se r e con-

g i u n t i c o n C s e n z a i n e o n t r a r e u l t e r i o r m e n t e g o y : q u e s t o m o d o di v e d e r c

le cose n o n i m p l i c a n u l l a di n u o v o ne l ca so desc r i t t o , m a i m p l i c a q u a l e o s a di

0} Rieordev5 ~oltanto que]lo dato implicitamente da ]]. v. KER$]K.IJ~RT('} in The plane translation theorem of Brouwer and the last geometric theorem of Poinca~'d [~ Acta Litte- rarum ac Scienti/trium Regiae Universitatis Hungaricae Fraucisco.Josephinae ~, tomo IV [19'28h pagg. 86-102]. § 1. n. 1~ pagg. 8i-89. Esso ~ particolarmente interessanie per il seguito (si veda quanto ~ detio nel n. 2~ in rifle) e pub formular.~i ne] modo .the s~gue: La trasformazione uT~ivoca e continua t del cerchio G, de2imiiato datla circonferenza g, nell 'insieme F', ammette almeno un punto unit% se la trasformazione subordinaia da t su g' ~ topologica, e s% d~tta allora 7 l ' immagine d i g nella t e F l ' insieme limitato, delimitato da 7~ si presen. tano le seguenti eircostanze: 1) la trasformazione topologica di g in ,% subordinaia dalla t eonserva il senso delle rotazioni; 2) le curve g e 7 hanno comune un arco non degenere a.; 3) gl 'insiemi ~ e r giaeciono dalla stessa banda di u; 4)su g - - ~ esiste un arco s e su y - - ~ un arco v tali, che s e z conlengano ciascuno tutti i punti di (g - - u ) . [ 7 - - u ) ; ehe l ' imma. gine t(s) di s nella t e z abbiano in eomune a] piii gli estremi; e the gli archi ~. e t(s) non separino t 'uno da]l 'altro su 7 gli archi z e t(~), immagine~ questo, di z nella t.

i~q, trasfo.rmazioni topoIogiche del eerchio e Ioro appbicaziani 45

e s senz i a lmen te nuovo nel case genera le . P r i m a di p r e c i s a r e ques t a diversit '~ d i c o m p o r t a m e n t o , voglio os se rva re e h e l a cons ide raz ione del l ' i n s i eme G - - G . F

av rebbe condot to a un t e o r e m a d ' e s i s t enza di pun t i uni t i ne l l a t r a s f o r m a z i o n e inve r sa t --~ (e qu ind i a n e h e ne l la l).

Quel la divers i t~ di e o m p o r t a m e n t o nel case gene ra l e b dovu ta al fa t to ehe le condiz ioni degli a rchi di g ldi ~') t h e (a m e n o degli es t remi) non s iano separa t i d a l l ' i n f i n i t o m e d i a n t e g -~ -T , e degli a rchi d i g {di 3") che (~ m e n o deg l i es t remi) non s iano separa t i dal p u n t o C me d i a n t e g 4-~'~ non sono sim- m e t r i c h e rispett, o a l le ipotesi del t e o r e m a I I I ) (la t ~ de f in i t a so l tan to in G), o megl io r i spe t to a l ia tesi [infatti~ t si pub sempre e s t r apo l a r e in un auto-

omeomor f i smo del p iano (~), menSre nel t eo rema I I I ) si r i ch iede ch6 il ~punto un i t e appa r t enga a G].

Se si p r endono in cons ideraz io~e gli a rchi d cl p r imo ripe, si g iunge ad una propos iz ione che est, ende il t eo rema III), m e n t r e F a l t r a t h e d a r e mo in- t e r fe r i sce con questa . P r e e i s a m e n t e , r i eo rda to (6) t h e i pun t i di F - - F . G si d i s t r ibu i scono in tant i ins iemi h , A ... (e si badi che non si dice che sia F - - F . G - - - - A @ A ~- .... benst P - - F . GC_.:A~i-5~-}- . . .b de i imi t ati da c u rv e sempl ic i e ch iuse ~ , 8~,... tal i che g.~i e ~,.~i s iano due so t ta reh i d i g e ?, si r i conoscc c h e :

V) Per l 'esistenza di p u n t i ' u n i t i nella t, basra the le immag in i nella t dei p u n t i in lerni alla curva g. ~ non siano contenute in h ~ _ g. ~, per i = 1, 2, ... ; e che G e F abbiano p u n t i in tern i comuni.

N a t u r a l m e n t e , se di ins iemi qual i h~ ne esis te uno solo, q u e s t a eondi- z ione equivMe a quel la , che F i mma g i n e de l la c u r v a g.~i ne l la t a p p a r t e n g a a G : v. i nn. 16 e 18.

Nel t eo r ema V) le cu rv e g . ~ sono r i s p e t t i v a m e n t e ugual i a l le in terse- zioni di g e h~. Orbene, def in i t i g F i n s i e m i L~ in mode ana logo ai A~, ma dando a un pun to O, i n t e r n e a G e P (:), il ruo lo p r i m a avu to d a l l ' i n f i n i t o , e s cambiando gli uff ic i di g e '(, si d i mo s t r a c h e :

(~) Ci6 ~ una eonseguenza immediata del fatto ehe una trasformazione topologiea fra due curve sempliei e ehiuse si pub sempre pensare come subordinata da un autoomeomorfismo del piano: err. B. v. KnRE~.I£~Tb, Vorlesungen i~ber Topologie [Springer, Beriino (1923)], cap. II, § 2, pagg. 69-73.

(6) G. SCORZA DRAGONI~ Qualche teorema [sulle curve di Jordan I" I~endieonti della R. Aecademia Nazionale dei Lincei ,,, serie 6 a, vo]. XXII][ (1936)~ pagg: 181-186]~ n. 3. Se ne vedano specialmente il quarto e quinto alinea della pag. 184. Colgo ]'oceasione per riievare che quando scrissi quel]a Nota, mi ,sfugg] ehe il sue risultai~) c;entrale era gih conoseiuto: err. B. v. KSm::K.~AR'r(J, loc. eit . , nota (~), cap. l 1, .~ 5~ laag~. 87.89.

(~) Per ehiarire me~lio ]e eose dotte piit sopra nel test% essorv~rb osplicilamente (,he so si douse i] ruolo d~dPiufinit~) ad jm punto ()', s¢~paratc~ dall'infinito me(liant~ g-~-? ma est~rno sia ~ (~ ehe a F~ allora s'J ehe non si ottnrrebb<, nulla di mmvo rispetto a] lem'e.ma V). ma una proposizione dedueibile da questo per mezzo di una inversione per raggi vettori reeiproci opportnna.

46 G. SCORZA ])RAGONt : Criteri per l'esistenza di pu~ti u~dt4

VI) Per l'esistenza di pun t i uni t i nella t, basra che le immagini nella t dei pun t i interni a g.L~ non siano confenute in L t - g.L~.

Naturalmente, nei teoremi V) e VI) si possono scambiare gli uffici di G e F, pervenendo cosi a dei criteri d~esistenza di punti uniti nella t, passando at traverso quella di punti uniti nella t -~; ma natura lmente non si trova nulla d ~essenzialmente nuovo.

L ~ultimo teorema rappresenta il r isultato centrale della Memoria ed ~, in un certo senso, un risultato definitivo. Un presentimento, per eosl dire, di questo criterio si trova gii~ nel n. 4 della mia Nora citata in {~), nel quale davo una eerta quale estensione del teorema III) a trasformazioni univoehe in ispazi a tre dimensioni. Le ipotesi che facevo ivi e rano 'perb , come dissi gi/~ allora, molto restrittive. Quelle del teorema VI) mi sembrano invece pifi aderenti alla natura della questione. I1 tentativo di estendere ques t 'u l t imo a spazi pluridimensionali od a trasformazioni univoche dar/~ risultati pifi fel ici? Ci si pub anche proporre di dare per il V) e il VI) un risultato analogo a qu611o the il quarto rappresenta per il teorema III).

I teoremi IV), V) e~VI) s0no dimostrati nei §§ 3 e 4 ~nei nn. 15.18 sono dati degli esempi). I §§ 1 e 2 eontengono invece i lemmi e le definizioni oeeorrenti per procedere con una certa chiarezza: quanto ~ detto nel § 1 sufficiente per la le t tura delte dimostrazioni dei teoremi V) e VI). I §§ 5 e 6 sono invece dedicati alle applicazioni: ecco quali.

Lo SPER~E~ [loe. cit. (~), § 2, teorema 4] si ~ servito del teorema II} per dimostrare che le traiettorie di un autoomeomorfismo piano ~, che conservi il senso delle rotazioni e che non abbia punti uniti, sono linee semplici ~8), in conformit~t di un bel teorema di BROUWER (~). Ebbene, nel § 5 mostrerb the allo stesso risultato si perviene con pifi eleganza, se si applica il teorema VI) - non si dimentiehi perb che questo richiede qualeh(; sviluppo, superf luo per

la dimostrazione del IlL Invece nel § 6 mi propongo di dimostrare un ' a l t r a proposizione fonda-

mentale di B~OVWER [loc. cir. (:~), pag. 44, teorema 6], seeondo la quale una eurva semplice ed aperta ~, di estremi P e Q, taglia la propria immagine • (~), se P e Q si possono pen,~are come e~tremi di un tale areo a di traiettoria, che sia ~.~ ~ P + Q e che a eontenga nel l ' in terno l ' immagine in "~

di uno dei suoi estremi (~0).

(s} Per una deduzione analoga, a partire da] teorema ricordato in 0), si vegga appunto loc. cir. (% § L n. 2, pagg. 89-91.

(9) L. E. J. BROUWER~ Beweis des ebenen Transtationssatzes [,i ~:[atematisehe Annalen ~, vol. 72 (1912). pagg. 37-54], pag. 38.

0 °) Per una deduzione analoga~ a partjre dal teorenm ricordato in (% si ~,egga ancora loc. cir. (~), § 1, n. 3, pagg. 91-92, teoremi II) e II').

,i,~ tr~s)'e'rm~,zio'ni t epolegi<'hc dcl cerchio c lore alOfl~icezi~rni 47

.~ 1. R l c h l a m ! e d e f l n i z l o n L

1. Rammento che, per tutta la Memoria, lo spazio ambiente ~ il piano reale euclideo.

Inoltre in questa Memoria faccio spesso use dei termini di taglio e contatto di due curve semptici (aperte o chiuse) di una curva semplice (aperta o chiusa) e di una linea (di una semilinea) semplice,.. , utilizzandoli con lo stesso significato a~tribuito lore neUa mia Memoria I n t e r n e ad a lcuni teoremi sulle t r a s l a z i o n i p i a n e (1,}. Quel sense r ispet ta natura lmente il contenuto intui- tive di quelle fras'i nell ' accezione del l inguaggio comune, posse quindi esi- mermi dal r iprodurre le definizioni relative, senna ledere la chiarezza.

2. Riporto era, pereh~ utili per il seguito, alcuni lemmi, le cut dime. strazioni si trovano, p. es., nella mia. i~lota ci tata in (~}. I1 primo ed il secondo sono traseritt i l e t te ra lmente :

I) Se .} ~ u n a curva semplice ch iusa ; J l' ins ieme dei p u n t i di j e di quell i che j separa dall' in f ini te (brevemente: 1' insieme limitato, del imitate da j) ; v u n a curva semplice ed aperta, i c~/ti estremi s iano p u n t i di j ed i cut p u n t i in terni (ciob diversi dagli estremi) s iano tutt i esterni a 5 : al lora uno conveniente dei due ins iemi l imitati , de l imi ta t i dalle due curve semplici e ehiuse ollenute associando v a ciaseuno dei due arehi in cut gl i estremi di v divi- done j, uno conveniente co~tiene la s o m m a dell' altro e di J ; e :

H) Se le curve del la suecessione v,, v. .... sono semplici , aperte e pr ive a due a due di p u n t i in tern i comuni ed a1~artengono a d u n a medes ima curva semplice (aperta o chiusa), il d iametro di v~ d inf ini les imo per i in f in i tamente grande.

Dal primo lemma segue subito che tutti i punti interni ad uno conveniente, ~, dei due sottoarchi, in cut gli estremi di v dividono j , sono separati dal l ' inf ini to mediante la curva semplice e chiusu v-4-( j - - t~) . Diremo ehe tt ~ l ' a rco di j sotteso a v, ehe ~ sottende v. A1 contrario, v ~ sutteso o so. vrateso a j, o v sut lende .i. Gli arehi I~ e v saranno detti corrisl)ondenti .

3. I1 risultato centrale della mia Nota eitata in (6) era, nel case di due C u r v e :

Se .j~ e j~ sono due curve se~pl ic i e chiuse, se gl i ins iemi l imi ta t i J, e J~, ch 'esse r ispet t ivamente del imitano, hanno comune :un p u n t o in terne ( a d e n . trambi), esiste u n a ed u n a sola eurva ch iusa j di Jordan, contenuta i n j~ -~- j~, ehe separa dal l ' in f in i te tut t i i p u n t i di j~ d- j~ che non le appartengono, mentre

{i,) ,, M e m o r i e d e l l a 1~. A c c a d e m i a d ' I t a l i a , , Clas~e di S e i o n z e fisiehe~ m a t e m a t i c h e o laaturali~ vo l . I V (1033)~ p a g g . I59 .~12 : nn . 3.6.

4S (~. SCORZA DRAGONI : Criteri pe~ ° l'esiste,nza di ~unti uniti

non separa dall' infinito tutti e solo i punt i del piano che si possono unire con l' infinito mediante una semilinea semplice [semilinea ( s e m p l i c e ) ~ immagine (biunivoca e) b icont inua di una semiretta, non pr ivata del l 'or igine (la quale d,~ luogo all' origine della semilinea)] priva di punt i comuni con .i~ e j~, a meno eventualmenle dell' origine.

Diremo che j ~ l' involucro (di JORDAn) di j , e j~; che l' ins icme limi- talc J, det imitato da j , ~ l ' involucro (di JomJA~) eli J~ e J.2.

4. Se, e soltanto se, J~ ~J -2 {oppure J~ ~ J ~ ) , l ' i nvo lucro di j~ e j.~ coincide con j~ (con J2), ed il teorema det n. 3 ~ banale. 5tel caso eontrar io ci convertS, qui come gi~ in loc. cit. (8), r icordare la costruzione della curva j, quale r isul ta dalla mia Nota eitata in (6), ed aleune proposizioni .ivi implici.- tamente stabilite nell ' indicate quel la costruzione. 1~ superf luo avvert ire che, in quanto segue, gli uffici di j~ e j , possono essere scambiati .

Sia J ' l' ins ieme (aperto) dei punt i del piano e h e s i possono congiungere con l' infini to mediante una semil inea (semplice) che non abbia punt i su j ~ : - J 2 . Scelto un punto P (certo esistente) di j , , esterno a J~ e d' accumulazione per J', s i a v il massimo arco di j~ the contenga P ed i cut punt i in. terni siano esterni a J.2. Al lora:

I) Nelle i1~otesi poste, i pun t i interni di v son d' accumulozione per .V e gli eslremi di v son dislinti; sicch~ :

II) La curva j~ contiene almeno un arco ~ sotteso a j~. Inol t re ~ facile vedere che gli archi di j~ quali v sono al pifi un'infinith~

numerabi le , e che : III) Da J~-~ J.~ :+:J~ segue che due (eventuali) a rch i v di j~, dislinti, o

due (eventuali) archi ~ distinti di J2 hanno comune al pii~ un estremo. Si dicano v~, ,1.2, v3,.., gli archi quali v di j~ .e ~ ~.~, ~3,... gli archi di

J2 loro r i spe t t ivamente sottesi. Si ponga u~---~ ~t~ + v~ e s' indichi con U~ l ' in- sterne l imitato del imitato da u~. Al lora:

IV~ Due (eventuali) insiemi IY~ distinti sono privi di punt i inlerni comuni; un punto comune ad [7~ ed Uq (p ~ q) ~ eslremo di ~%, p.q, %, Vq; inoltre :

V) Ogni evenluale punto di J~ esterno a J., appartiene a uno ed uno solo degli insiemi I7~;

Vll L'involuc~v di .j~ e ,i~ .~i ottiene da j~, sostiluendo ri.~peltivamenfe [ ~ [~ , . . . CO~ v ~ V,~ .. . .

Diremo ehe v~, v~,.., sono gli archi ma~simi di j~ sullesi o ~ovratesi a j..~ t h e ?~, ~ , . . . sono gli archi massimi di ]~ soltesi a j , tsi noti che un arco massimo di j~, sovrateso a j : , pu6 essere parle propria di un areo di j~ privo di punt i interni a ,)~; the un areo massimo di j~ sottoso ~ j~ pub contener - dei punt i (.st erni a J~t.

q:n trasfarmazioni topologiche del cerchio e lore appl'~'cazioni 49

5. Mediante un' invers ione per raggi reciproei , dal teorema n. 3 segue subito che :

Se j~ e j~ sono due curve semplici e chiuse e se gli ins iemi l imi tat i J~ e J~, che esse delimilarnO, hanno u n pun to in terne 0 comune, l' ins ieme dei p u n t i ehe si posso~w coJ~giungere co~ 0 med ian le u n a curva semi)lice, aperta e p r i va di p~,nti comun i con .j~ e j.,, ha per f ron t iera u n a curva semplice e chiusct j (~), ehe pot remo de f in i t e come l' involucre {di JORDA=~) di j~ e j.~ rispelto a l p u n t o O, ment re l' ins ieme ] imi ta te J , de l imi ta te da j , sar,~, 1' invotucro (di ,[O~DAI~) di J~ e J.: rispelto a O.

Dope di cib (~ chiaro elm cosa si debba in tendere per a rco moss imo v d i j~ sutleso alla eurva j~ rispetto ad O: v 5 un arco di j . j~ avente gli estremi e quest i sol tanto su )'~. Dei due arehi in cui gli es t remi di v dividono J.2 (supponiamo sempr( , . J~ =4-=- J~ -]- J~, J.~ =4=- J , 4- J~), uno conveniente , V, ha i suoi punt i in tern i separat i da 0 med ian te v ~t-(J2--~t) : d i remo che ~t ~ .un arco mclssimo d i j~ sotteso a j~ rispello ad 0 e che ~t e v sono due archi corrispon. denti. Essi ind iv iduano una curva semplicc e ch iusa v .~-~-~-V , i punt i del. l ' i n s i e m e l imi ta to V, de l imi ta te da v, sono tut t i non in te rn i a J ; un punto di J.2 separrato da 0 med ian te j , - ~ j ~ a p p a r t i e n e ad un ins ieme del ripe V 4e ad uno sol tanto, Me non b es t remo di qua lehe arco v); ecc. e tc . Tu t t e ques te prOl)riet/t, seguono subito da quel te e lencate nel n. 4.

6. Ramment ia~ .o floe. ci't. nora (5); si vegga a n c h e : ibidem, pag. 69, teo. r ema IX)J che, data, uHa t ras formazione topologica di una c i rconferenza g in itl una cu rva semplice e ch iusa -; (di un segmento s in u n a curva sempl ice e apevta c), e s i s tv a lmeno un au toomeomorf i smo (tie6, una t ras formazione tope. logica) (:) del piano, che su g, (su s) si r i duca al ia t ras formazione prefissata . N a t u r a l m e n t e 0 por ta il cerchio G, de l imi ta te da g, nell ~insieme l imi ta to 1 ~, de l imi ta te da ~'. Sia C il cent re di G.

( 'ons ider iamo era una success ione erescente di cerehi Gt , G.2,... , in te rn i a G (~ col centre in C, invaden te G [c iobta le che G - - g : = G ~ - + (G. 2-G~)- ,~-

-~-IG~ - G~) -~-..,I, denot iamo con g~ la f ron t ie ra di G~. Dieiamo 7i e I'~ le immagin i r i spet t ive d i g , e G, ne l l ' au toomeor f i smo 0 del piano. Allora~ ]a suc. cessione l ' , , 1'.~,... ~ c rescente ed invade P; detto ~ il mass imo del la d is tanza del punto eor rente di ~'~ da ~, r i sul ta ~ - . 0 per i - ~ c~.

7. In virtfi del teo~'ema rico~'dato nel u. 6 e nel la no ta (~), non sarebbe s ta te esseuzialmenti~ restr ict ive supporre che u n a delle due curve j , e j~ con- s idera te nei humer i 3-5 fosse una ci~'conferenza. Epperb nel seguito noi ci limite/~emo di mass ima a cons ide ra te una eireonfe~'enz~ g ed una, eurva semplice ~. P e r esse G e P; g~, g.~,.., e .~. ~ . . . ; O~, G.~,... e F~, P.~ .... av ranno semi>re il s ignif ica to del n. pre(~. (un;+ volta assegnato l 'autoomeomo],f ismo (-)).

(~:) Cfr. lee. t i t . ~(~}, n. J~; r e d . anche B. v. KE~f,:KJA~'r('~, lee. t i t , ~)~ pagg. Sl7.89.

50 G. SCOl~ZA ])naGOXi : Criteri per l'csi,itcnza di punti ~nili

P r e m e s s o cib, un pun to P d i g sarh de t to : separato in senso lalo dal- l' inf ini to median te Ig, Y I, se ogni semi l inea semplice, con l ' o r ig ine in P. che vada all ' infini to, incontra u l t e r io rmen te o g o "(: separato in senso stretto da l l ' i n f in i to mediante Ig, "~1, se ogni semi l inea semplice, aven te 1" or igine in P e r agg iungen te l' inf ini to; tagl ia o g o 7. Indi , se P ~ separa to dall ' infini to med ian te t g, Y I in senso late, ma non in senso s t re t to (per un esempio si veda al n. 15), P ~ .o r ig ine di una semi l inea semplice , che ragg iunge 1' infini~o, che non tagl ia n8 g n~ .~'~ ma che tocc~ u l t e r io rmen te o g o 7 [e non pub fare a meno di toecare o g o y, anzi e g e 7 (come segue dai lemmi del n. 10, cfr. n. 12].

§ 2. L e m m i .

8. Dimos t r i amo che : Se ~ e ~' sono due curve semplici e aperte, di estremi r ispel t iv i P, Q e

P', Q' ; se ~' non p a s s a n~ per P n~ per Q, e non taglia m a t ~ ; se ~ ~ u n numero posi t ivo prefissato, netl ' ~ - - in lorno di ~ (J'~} esi~le u n a curva sempliee, aper ta ~*, che ha gl i slessi estremi di ~, per la quale l' intersezione ~'*. ~' ~ vuota.

]~ leci to suppor re che ~ sia un segmento (v. n. 6}. Sia A un even tua le pun to di ~.~', di gu isa ehe A ~ inferno a ~. Poss i amo de t e rmina re un in torno a di A (su ~) i n m o d o c h e g l i e s t r e m i di a s iano in ~ - -~ . i~ ' ; e c h e l a e u r v a ~ ' tocchi ~ sempre da una s tessa b a n d a (di ~} lungo tutt i i punt i o segment i eomuni a ~ e ~' eon tenut i in ¢¢, o, meglio Iper eomprende re anche il caso ehe :~ con tenga un es t remo di ~', nel qua le es t remo la nozione di conta t to non 6 stata da ta nel luogo ci tato nel la nora ('~)1, in modo ehe tutt i i punt i di ~..it' s iano contenut i in un (eonveniente) areo di /5', che non abbia mat punt i s i tuat i da bande oppos te r i spet to alia re t ta con tenen te ~. Queste ipotosi son . leeite, appun to pereh~ ~' non passa per P e Q. 3Ia F ins ieme ~.~' b ehiuso e l imitato, qu indi median te un numero finito di intorni %, . . . , :¢p, cor r i spondent i ai punt i A~,. . . , Ap di ,~.~', poss iamo r ieopr i re ~.~'.

Cons ider iamo ora, p. es., % ed % (se p ~ 1). Se % ed % hanno punt i comuni, sono possibi l i due eas t : % . % . ~ ' - - 0 , oppure %.%.t~' :4=0. Nel pr imo caso posso sos t i tu i re :~ ed % con due inierval l i pifi eorti, tali, chc que~ti siano privi di punt i comuni , ma contengano comples s ivamen te tuiti i punt i di :¢~.~'-~ %.~ ' . :Ne] secondo caso posso sos t i tu i re ad ~ e g2 ]a loro somma. In def in i t iva si comprende fac i lmen te (per esemlfiO rag ionando p(~,r induziene} (;he ~ leeito suppor re a~,. . . , ap privi a due a due di punt i comuni .

Sia ora e~ una semiel l i sse avente ~, come a~s~. m~ggiore, s i tuata ri~p~,tt. ~ dalla band~ opl)o.~ta a quell~ nel la quale [~' si snodu n e l l ' i n t o r n o di A,,

ed avente un semiasse minore tanto piccolo da non ineon t ra re mai ~' (st ram- menti ehe gli es t remi di e~, cio~t di z~, non app~r ten~ono a ~'t e da appart~;nerc a l i ' s - - in torno di ~. La eurv~ ~* si o t t iene da ~: ~ost i tuendo a, con e~ per i - - 1, ...p.

l)sl Luogo dei punt i de] ]dano t he hamlo da ~ una d i s i . n z a minor, , di ~.,

in lrasforma~io,i Iol~oloqichc dcl c~rchio c Ioro appl:icazioni 51

9. Supponiamo sempre the ~ sin un segm~nto, ~ PQ, e sia b una semieir- conferenza di estremi P e Q. Si ponga j ~ b + ~. Allora, se gli assi minori delle semiellissi e; sono suff ic ientemente piccoli, anche la curva 3"* -= b -~-~* ~ semplice e chiusa. Si indichino con J e J* gli insiemi limitati, r ispet t ivamente delimitati da j e j*. Ailora 6 evideme che si pub defini te 'una trasformazione topologica di J in J* the su b subordini l' ideutit'~ (e quindi conservi il senso delle votazionit e talc che i punti tr~sformati distino per meno di ~ dai rispettivi trasformandi.

Natura lmente l' ipotesi che J sia un semicerhio non ~ essenziale.

10. Si r iconosee facihnente che : Se nel lemma del n. 8 si suppone che ~' pass i o per P, o per Q, o per P

e per Q, tulle le eom:lusioni dei nn. 8 e 9 continua~w a sussislere, a pat to di sosl i tuire la ~*.~' ~---0 r ispel t ivamenfe con la ~ * . ~ ' ~ P, con la ~ * . ~ ' - - Q , con

la ~* . i¢ - -P + Q. Inf~itti supponiamo p~r esempio ehe si presenti il primo caso. Allora, se

P 6 d 'accumulazione p(,r ~ - -~ .~ ' , basra applicare le considerazioni svolte nel n. 8 ad un scgmento P,Q, con P~ eontenuto in ~ - - ~ . ~ ' , e poi far tendere P, a P. Sc P non b d' aeeumulazione per ~ - ~.~', ~ e ~' hanno eomune tutto un s~'gmcnto con l' estremo in P e la eostruzione della curva ~* ~ an- cor~t immediata.

I I . Dopo di ci6, 6 facile s tabi | i re t h e : l} Se c ~ una curva semplice aperta, the abbia gli eslremi, P e Q, su

una circonferenza g; s e e non ta, gl ia mai g; se E ~ un numero positivo pre. fissato, nel l 'e ~ inlorao di c esiste una ourva semplice aperta c*, di estremi P e Q, per la quale riesce g.c*---~ P + Q.

Sia infatti R u n punto di g - - g . c . Si apra g in R e si appliehi il lcmma del n. 10. Ed allo stesso modo si riconosce che :

II) Se nel lemma I) si soslituisce la g. Q - - Q con la g.Q ~ 0, i l l emma cont inua a sussislere, p u t di sost i tuire la g. c* ~ P + Q con l a g . c* -- P.

12. Date ora la circonferenza g e la curva sempliee e chiasa 7, e prefissato ad arbitrio un autoomeomorfismo (-) del piano, che muff g in ~,, consideriamo gl ' insiemi G, F, r~, P~,... e le curve ~,~, ,(~,... introdotte nel n. 6 (ved. anche il n. 7). E dimostriamo che:

I} Se P ~ u n punto di g separato dal l ' in f in i to ( in senso slretto o in senso lato) medianle I g, Yqt, per un certo intero q, B ~ separato dal l ' in f in i to in senso strelto mediante ~g, -(~; vale a dire che :

I[} On punto l ) di g, che non sia separago dal l ' in f in i to in senso stretto medianle I g, ~( I, non ~ separato da l l ' in f in i to n~ in senso strelto n~ in senso lato medianle Ig, Yql, per q --~ i, 2, ...

52 G. SCOI~ZA DnAGONI : Criterf per lYsistenza di punti uniti

lnfatti , sia l una semilinea, di origine P che vada all ' infinite, senza tagliare g e 7. I punti di 1 non sono mai interni a G e P; quindi l ha una distanza posit iva 2% (da 1Pq eio6) da ~tq. Scegliamo su l un punto ,K tale che la semilinea % eontenuta in 1 e di origine K, non incontri mai n6 g, n¢'~ 7q. Dieiamo k Fa rce di 1 di estremi P e K. Allora, p t l lemma II) del n. p rec , esiste una eurva semplice, aperta k*, cogli estremi in P e K, contenuta nel. F % - interne di k (di guisa ehe k*.Tq == O) e tale da essere g . k * : P. Per . eorriamo k* a par t i te da P fine at primo punto comune a k* ed co e poi, a part ire da quest% percorr iamo (o dirigendoci verso l ' infinito. La semilinea, ehe eosi si ottiene, 6 semplice, ha l 'or igine in P, non incontra mai 7q e non incontra ul ter iormente g ; ecc.

18. Pe r le appl icazioni che mi propongo di fare nel § 6 mi 6 ancora necessario un 1emma, di ripe un po' diverse da qut l l i incontrati sin qui. E teo di ehe si t ra t ta :

I} Siano j e j' due curve semplici e chiuse ; P e Q due pun t i dist int i di j ; a e ~ i due sottoarchi di j i~dividuat i da P e Q; P', Q', £ e ~' a~bbiano u n sOnificato ana~ogo per j ' ; J e jr 8iano gt'insiemi limitati ehe j e j' delimi. tano rispettivamente. E si supponga che : 1) il 1)unto P' sia interne ad ~, mentre Q sia interne ad :¢'; 2) l 'arco (non degenere) s di ~ di estremi P' e Q coincida con l 'arco s' di a' di estremi P' e Q: 3) l ' intersezione di ~ e :~' si r iduca ad s--:-s ' ; 4) gl' insiemi J e J' giaceiano dal la stessa banda di s ; 5) l' intersezione di ~ e ~' sia vuota. A llora P non appartiene a j', Q~ non appartiene a j. Inoltre se P ~ interne (esterno) a J', Q' ~ esterno #nlerno) a J.

La P . f - ~ 0 ' s e g u e subito da P . j ' = P.~ ' + P . ~ ' : = P . s ~ - O , per 5), 3), 1). Analogamente Q'.j ~ Q'. a: ~ 0.

lnol t re non b restritti \ 'o supporre ehe j sia una circonferenza. Costruiamo quindi~ com'b certo lecito, una spezzata s tmpl icc ¢p, contc-

nuta in J ' , con un e~trtmo, P", in s - - Q~ e F altro, Q", in a ' - s, tanto pros- sima a ~' da aversi ~.~--~ 0 e da ess t re Q" int t rno {esterno) a J s t tale 5 Q', tale che, detto £ ' Farce di a' di estremi P" e Q", la curva j" -~ ~ -~:.a" sia semplice e chiusa. L ' ins ieme limitato J'+, the j" delimita, b eontenuto in Jr e per- tanto giace dalla stessa banda d i s dalla quale giace J. Percorr iamo q~ a part ire da P". Poichb q~ b una poligonale ed ~ un arco di circonferenza cui P" b interne, q~ 6 iniziahnente diret ta o verso F int t rno o verso Fes t e rno di J. Ma J e J " giacciono dalla stessa banda di s; qulndi se noi ci spostiamo su ~. a part ire da P" verso P, inizialmente ci t roveremo: diretti verso F esterno di J" nella prima delle al ternative preeedent i ; diretti verso F interne, n t l la seconda.

S t Q" 6 interne lesterno) a J, la poligonale ¢? nella prima al ternat iva taglia j, e quindi o¢--s, date le ~.~ ~ 0, ~.8 ~ P", un numero pari (dispari) di volte; nella seconda invece, un numero dispari (pari) di volte. Ma allora P

in ogni ease esterno (interne) a J". Di qui, dal l 'a rbi t rar ie th di ~ e quindi

iq~ trasformazio~i topologicI~e del cerchio c loro appl~icazioni 53

di J" e da.1 fatto che P non appart iene a .j', segue faci lmente che P b esterno (interno) a J', come appunto volevamo.

]~ poi immediato che : II) Se la 5) viene sostitu, ita dalla ~ . ~ ' ~ P + Q', le co~wlusioni del lem.

m a precedente ~wn saranno piit, verificale in generale per P e Q; m a lo saranno~ se si soslituisco~w P e Q' con due p u n t i Pt e Q'~, rispeltivamenle inte, rn i a e ~' sufficienlemente prossimi a P e Q'.

§ 3. I1 t e o r e m a IV) d e l l ' i n t r o d u z i o n e . E s e m p i .

14. I1 lemma I} del n. 12 ci pone senz' ~ltro in grudo di dimostra,re il teorema in oggetto, ore si rammentino gli sviluppi eontenuti nel n. 2 della mbl Nota citata in (~), c riprodotti nel seguito a. gra,ndi linee per comoditfi. del lettore. Proviamo dunque che:

L a trasformazione topologica t del cerchio G nel l ' insieme F, delimitati rispettivamente dalla circonferenza g e dalla curva 7, ammette almeno u n punto unito, se G e F hanno dei pun t i inlerni eomuni e se i pun l i d i g sepa. rati dall'infi~ito in senso strelto mediante l g, Y t, e i loro p u n t i d 'aecumula- zione, sono portali da t in p u n t i interni a G.

Consideriamo unu successione crescente di numeri positivi p,, p~,... tendente verso 1, e dieiamo ~ la. t rasformazione di G nel cerchio eoneen- trico G~ ot tenuta assoeiando al punto corrente (x, y) di G, con x e y coordinate cartesiane ortogonali con Forigine nel centro C di G, il punto ( ~ , 9~y); indichiamo con t~ la trasformazione ottenutu applicando prima la ~f a G, indi la t a G~. Le trasformazioni t~ tendono uniformemente alla t.

Diumo alla t il ruolo dell,~ 0 del n. 6, poniamo cio~ P~ ~ t(G~), y~--t(gi) . Supponiamo 9~ abbastanza vicino ad 1 perch~ G, e F~, ed a fortiori G~ e I'~ (i ~ 1, 2,...}, abbiano punti interni eomuni.

Un (eventuale) punto F di g, separato dall ' infinito mediante I g, ~'~}, separato dall' infinito in senso/s t re t to mediante I g~ Y 1, in virtfi appunto del primo lemma del n. 12. I n d i t(F) appart iene ad un insieme chiuso (chiuso perch~ immagine cont inua di un irisieme siffatt0, quello dei punti d i g separati dall ' infinito in senso stre tto mediante lg, 7I e dei toro punti d'accumulazione), costituito tutto da punti interni a G. Epperb la distanza di t(F) da g maggiore di una eonveniente eostante positiva ~ (indipendente cio~ da F). Ma, per i ~ + ~ , t , - ~ t uniformemente) quindi si pub determinate it numero p in modo che, per i > p, la distanza di tifF) da t(F} non superi ~. Ne segue che, per i > T ~ tiIF) ~ interno a G.

Premesso cib. per ogni leventuale} arco massime vi.q di ~'~ sutteso a g ti----1, 2,... ; q ~ 1, 2 .... ~ si denoti il corrisl)ondente arco .~otteso di g con n~, q. Si ponga, vi. q ~--- n~, q -t- v~,q : V~, q s i a l ' insieme limitat( b che v~, q delimita ; ~. ,,q sia una trasformazione univoca e continua di Vi,,~ in n~,q, che subordini

54 G. SCORZA DRAGONI : C riteri per l'esi.sle~z(t di ,p~tti until

l ' ident i th su n~,~. E, dato il punto corrente P di G, sis T~ ta trasformazione univoca di G, in una sun porzione, definita ponendo : T~(PI ~ t~P), se I~(P) appartiene a G; e T~(P)---t'~.~(t~iP}), se tdPt appart iene a V~,~ (ed 5 esterno a G). La trasformazione T~ ~ continua, come si r iconosce facilmente tenendo pre- sente il lemma II} del n. 2 e quelli del no 4 e come del resto i~ dimostrato nel n. 2 della mia Nots citata in f~), essa quindi ammette almeno un punto unito [pel teorema di B~ovwER sulle trasformazioni continue del l ' e lemento a due dimensioni, loc. cit. nots (~)]. Sia P~ un punto siffatto (i ~ 1, 2,...).

Se t~(P~ ~ esterno a G, T~(P~) appar t iene a u n e degli archi n~,~. Ma T~(P~) ~ P~; quindi, helle ipotesi poste~ P~ appart iene ad uno degli archi ni,~. Indi P~ ~ separato dall ' infinito mediante lg~ ~'~l; ne segue, in virtfi di quanto si ~ detto a proposito del punto F, che allora deve essere i _ ~ p . Vale a dire, ~e i ~ p , t~IP~) ~ contenuto in G. Ma allora, ~ t~(P~}---- T~(P~)~ P~: epperb P~

unito anche nella t~. Donde il teorema, passando al limite per i - * ~-c~.

15. Se si suppone soltanlo che i punti di g, separati dalFinfinito in senso streito mediante lg, "(f~ siano portati in punti di G, ta conelusione precedente pub non essere pifi vera. La si r iconosce subito sli m~ esempio 4nel quale g non ~ una circonferenza, ma cib non al tera la sostanza delle cose). Nel piano si fissi un sistema di coordinate polari (~, ~). Una trasformazione topologica t*, che muti la semicorona circolare G* : 1 ~ ~ ~ 2~ 0 ~ 9 ' ~ u nel-

l ' insmme F*: 1 ~ 2 _ ~.__~ , 4 r : - ~ 2 n in modo che il segmento s*: l ~ 2 , ~ ' : - = n

sia portato nel segmento a*: 1 ~ ~ ~ 2, ~ - - 2% pub benissimo esser priva di punti uniti, com'(~ evidente, eppure i punti interni di s* sono i soli punti ~iella frontiera g* di G* separati da l l ' inf in i to in sense stretto mediante l g*, ~*1, dove naturalmente ~'* ~ la frontiera di F*.

16. ]~ istrutt ivo applieare alia t* i teoremi II), III}, V}, VI) del l ' introdu- ~ione.

I1 teorema di SPERNER ci dice, p. es., che t* ammette almeno un punto unite, se porta in punti di G* i punti d i s* , di s* (in quanto punti di G*) e ~[uelli della semicirconferenza ~*',~ ~ l, 0 ~ ~ ~ ~x. ~[a allora, l ' immagine di ~*--;-~*-~-~*, dovendo essere contenuta in G* e F*, si r idurr~ ad una curva

~ontenuta in z* oppure nel l 'o t tavo di corona E ' I ~__~._2, 3 ~ ) , , ~ ~_~z. Lo

~tesso risultato ci 6 fornito dal tcorcma Ill}, il quale quindi non rappresenta in questo ease nessun progresso rispctto al teormna ]I} - - n6 poteva essere ~ltrimenti, p(.1 metivo accennato pifi av~nli - - ; ma v ~ dell 'altro. 11 teorema di SPERNER ('i ~ssicura ('~h~' t* ammette almeno un punt~ m~ito, and:he se ports in punti di G ~, i punti di s*, di ~* e della s~.micirc~mt'erenza ,~:'~::,~--~--

2, 0 ~ '3 ' ~ ~ (cioS, se porta la curva ~* -i- ~:~: -t- z* in una curva contenuta

in trasformazioni topologiche del cerchio c lore app~eazieni 55

in E oppure in ~*); e questo case sembra sfugga al teorema III), a pr ima vista. Ma si eomprende subito ehe basta applieare una conveniente ' invers ione per raggi reciproei, per r icondurre subito anche quel case nel l 'ambi to del teorema III}. L'osserva,zione fatta, ehe ~ d indole generale, mostra ehe nel case in esame i teoremi II) e II]) sono equivalenti . Peral tro 6 facile capire cite il teorema III) pub rappresentare un progresso rispetto al teorema II), soltanto se gli archi d i g separati dall ' infinite mediante g + y sono almeno due elistinti.

I1 teorema V} iu questo case conduce allo stesso r isultato del ieorema III), sempre pe rch6 di insiemi quali i h~, ehe eompaiono in quel l ' enuncia te , ve n '6 at tualmente soltanto uno, troppo pochi, cio6, perch6 il teorema V) possa segnare un progresso rispetto al l 'a l tro, come si ~ gia. osservato anehe nelFin- troduzione.

]noltre, se t* t rasforma la s* -~- c¢* +- a*, oppure la s* -t-. '];* ~-- ~*, in una curva eontenuta in ~*, t* muta il segmento z* in una sua parte. Ma allora l 'esistenza di un punto unite segue subito dal teorema di BROUWER pel case delle trasfol'mazioni continue del l ' e lemento a una dimensione, case ehe si ri- conduce subito al teorema d 'es is tenza di uno zero almeno per u n a funzione, continua in un intervallo ed assumente ivi valori di segno coutrario (~').

Sieeh6 i teoremi II), III) e V) ci dieono qual eosa di nuovo per t*, sol- tan |o se questa porta in una, curva contenuta in E o la curva s* + ~* + o*, o la curva s* +. ~b* + ~* [previa una inversione anche pe] . teorema V)].

Si applichi era il teorema VI). Seeondo esso, la t* ammette un punto unite ahneno, per poco ehe appartenga ad E la solo immagine t*(s*) d i s * .

17. Allo stesso risultato si pub pervenire, applicando il teorema di SPER1;ER ad uua. conveniente successione di trasformazioni di G* e passando al limitc. Ecco come. Poich~ s* ~ t ras formato in u n a curva oontenuta in E, 6 possibile

3 t t rasformare G* ne t l ' ins ieme ~i*" t ~ ~ ~ 2, 4 ~ ~ ~ -< 2r~ - - _ {per i = 1,2,...),

$

mediante una t,*, ehe su s* si r iduca a l l a t* . Allora t~* muta s* in una curva contenuta in G*, quindi, pel teorema di SPERNER [O pei teoremi III) e V)], lascia un punto invariato, eec. it~ia si vede subito ehe in tai mode non abbiamo fatto ehe appiieare il procedimento dimostrativo tenuto net n. 14, in condizioni at- tuahnente molto semplici. Anzi, le condizioni attuali ci hanno permesso di approssimarc I'* mediante gl ' insiemi E~*, inveee the mediante insiemi F~* co- stltuiti tutti da puuti interni a I'*, e di supporre t~* coincidente con t* su s+; e.pper5 in questo ease non si 5 aw~to bisogno di supporre s* trasformato da t* in un insieme di punli in lerni a G*.

O~j Cfr., p v r o s . , C. MII'.ANI~A, tTn'ossevvazione sul teo~'ema di Bvoun,er [~ Boliott lno de l l 'Un imlo .Matemntiea l i a l i aml ,,, serio lI~ vol. l l l (1.q40.4t). pagg. 5-7].

56 G. Seor:zA l)r:~(~()N~ : Critc'ri Wr t'esis/e~tza di pt~tti t.~iti

18. Supponiamo era che t* sia sempre una trasformazione topologica della solita semieorona G* in un insieme F*, ma ehe stavolta F* sia 1' insieme

3 9 1 ~ 2 , 4~ ~ y ~ ~,

Allora, per peter applicare il teorema di SPERNER oeeorre ehe t* muff in una curva di G* o s* + ¢~* + ~*, o s* -~- +* + z*. Per peter applicare il tee. rema IV) oecorr~ the t* muff in una eurva interna a G* la s*-~-~*--~ ~*, oppure la s* + +* A:- ~* (in questo secondo ,case, previo ricorso ad un'in~ersione). I1 teorema IV) ci d~ quindi m e n o di quello di SPER~ER, e difatti esso non si pub eonsiderare come un 'es tens ione di quello di SPERNER; ma se nel case at tuale esso dh di meno, cib dipende dal fatto ehe nel case at tuale i punti di g* separati dal l ' infini to in sense stretto mediante I g*, y* /eos t i tu i scono un unico arco d i g * ; invece basterebbe modif icare F* in mode che quei punti costituis- sere due sottoarchi disgiunti d i g * , perch6 i teoremi II 1 e IV} dessero dei ri. sultati interferenti.

Anehe in questo case, il teorema V) non b pifi penetrante del III), per ld stesso motive indicate nel n. 16. Invece il teorema VI) assicura l 'esistenza di un punto unite nella t*, se t*(s*) appart iene al l ' insieme E~ . 1 ~ ~ ~ 2, 3 ~:

~ ~ ~ ~ =, oppure se t*(z*) appart iene all' insieme E._, " 1 ~ ~ ~ 2, 0 ~ oD, ~ 4.

Anzi, nella dimostrazione ehe daremo, nel n. 20, per quel teorema, 6 implieito che: nel primo case esisle (almeno) ~vn punlo unilo in E~ e nel secondo (al. meno) un allro in E.~; sicch~: se quelle condizioni sono soddisfatle e~trambe. i punt i unit i sono (ahneno) due (~).

4. I t e o r e m i V) e VI) d e l l ' i n t r o d u z i o n e .

19. Facciamo era vedere t h e : La trasformazione topologica t del cercMo G, delimilato da ~. nell'insie.

(15) L ' e s s e n z a del pro(;c~,dimento t he si v i ene a t e n e r e iml , l i c i t amente con l ' ap l , l i ea re a l ia t* i tooremi l i b l i [ ) , V) e V I i consis te in el6: de f in i r e u n a t r a s fo rmaz ione aus i l i a r i a T* u n i v o e a e cont inua , in mode tale, che pe r essa 1 ' e s l s t enza di un pun to un i t e s e g u a dal teo- r e m a di BROIrWER citato in 0) : v e d e r e sotto che condiz ioni per la $* si ]pith essere cert i t h e un pun to s iffat to sia un i t e anche np l la t*. N a t u r a l m e n t e ques te condiz ioni s a r a h n o pifi o meno r e s t r i t t i ve a seconda del la de f in iz ione di T*. O~'bene: te dimos~razioni dei t eoremi H) , I I l ) e V) impongono tutti a l ia T* di eo ine idere con t* ne i punf i A* di G* por ta t i da t* in p a a l i di ~* stesso ; d i f f e r i s co ,o le une dal le a l t re so l tan to nel la de f in iz ione di T* pet punf i B* di G~:~ le eui i m m a g i n i nel ta t* a p p a r t e n g a n o a F* - I '* . G*: tu t te i m p o n g o n e n a t u r a l m e n t e a T* la eondiz ione di t r a s fo rmaro O* in u n a sua par le . Ora 6 el,taro ehe pe r r ieenoseore I ' es i s lonzq di un c~ventuale p/lille uni te nel la t* e eontenuto : pel: es., in /G~ aitr~ver.~e la ( .ons ideraz iene di u n a T* aus i l ia r ia , non 5 affs~tto necessa r io ehe T* a b b i a lo s lesso ef fe t to di t* pe r tu t t i i ]mnli del fil m 2l*, bas ta t h e lo abb ia pe r quel l i t h e la F .~: por ta in lmnt i di E~. Anzi non i, n e m m e n o neeessa r io elm T* sia d e f i n i t a in G*, tmsta t he lo sia in E 1. ~Jhltlo eib ;q)punto r isul ta imp l io i t amon ie a n e h e da l l a d i m o s i r a z i , n e del t eo rema Vl) .

in trasformazivni topologiche dcl ccrchio c loro appliicazioni 57

me F, delimitato da "(, ammette almeno u n pun to unito, se G e r hanno pun t . interni comuni e se le immagini , nella t, dei pun t i interni ad uno qualunque m degli (eventuali) arehi mass imi di g sottesi a y non a:ppartengono ma. al l ' insieme U-- . m, dora U ~ l ' insieme limitato, delimitato dalla curva semi plice e chiusa costituita da m e dall'arco massimo di ,(, sutteso a g, eorrisponi dente ad m.

I1 quale teorema equivale evidentemente al teorema V) del] ' introduzione. Per il nostro seopo basra riprodurre, con una leggera variante, il ragio-

namento svolto nel n. 2 della mia Nora citata in(3). Ed inf;~ti, se G ~ F , oppure G ~ F, basta applicare il teorema I~ dell ' introduzione. Net caso contrario, lx~, 1~2,... siano gli archi massimi di y. sovratesi a g ed mi sia l ' a rco di g corrispondente a I~,. Si ponga u~ = m~ + I~; U, sia l ' ins ieme "limitato, delimitato da u, ; t'i sia una trasformazione univoca e continua di U~ in mi , che subordini l ' ident i t~ su m~ e ehe porti i punti di U~--m~ in punti interni ad mi {~6).

Si defiuisca ora, analogamente a quanto si b fatto nel n. 2 della mia Nora citata in (3} e nel n. 14 di questa, una trasformazione univoca e continua T di G ponendo: T ( P ) = t(P) se pel punto (eorrente} P di G b t t P t ~ G; T(P) == t',(t(P)), se t(P) ~ (esterno a G e) eontenuto in Ui. La, T trasforma G in una sua par le ; epperb Iv. loc. cir. (~)] T lascia almeno un punto invariato, P0. Se t(P,J app , rtiene a G, Po ~ senz'altro unito ne]la t, perclff; allora t(P,)-= T ( P o ) ~ P~. Quindi basra dimostrare che tiP,,) non I)t~b essere esterno a G. Infatti, se cosi fosse, t(P.~) appar terebbe ad uno, U~o, degl ' insiemi U~; anzi t(Po), in quanto punto di U~,, esterno a G, appar terebbe ad U~o--m~o ; quindi TIP0), eiob P~[= T(Po)J, sarebbe un pun to di mi~, inferno a m~o. Ma tutto eio 5 contrario al l ' ipotesi , che l ' ins ieme U~,,--m~,, non contenga punti interni a t(mio). E la dimostrazione b ultimata.

20. Un ragionamento analogo ci permette di dimostrare che:

L a trasformazione topologica t del cerchio G, delimitato dal la circonferenza g, nell ' insieme F, delimitato dalla eurva .;~ ammelte alme~m un punto unito, se esiste un punto 0 inferno a G e F , tale che i punt i interni ad uno qualunque n degli (eventuali) archi mass imi d i g suttesi alla curva y rispetto ad 0 non appartengano mai al l ' insieme U - n, dove U ~ l ' insieme limitato, delimitato dalla curva semplice e chiusa costituita d a n e dal corrispondente arco massimo di ~, sotteso a g rispetto ad O; e dalla dimostrazione risulter~ implicitamea~e che:

2telle ipotesi precedenti ~ assicurata l'esistenza di (almeno) un punto unito contenuto nell' involucro di J o n D . ~ di G e I~ preso rispetto ad O;

(~e,) Anche nel n. 14 avremmo potuto supporre, volendo, ehe t'i,q portasse tutti i punti di V - mi, q in ]Dunti interni ad mi, q.

A~i~a,[i di Matem~tiea, ~ e r i e [~ ' , Tomo X ~ V ,

58 G. ScoI~za D n ~ o ~ : Criteri per I'esistc~tza di pu~ti m~i~,i

la quale circostanza ~ a,ppunto quella cbe ci ha permesso l 'affermazione fat ta alla fine del n. 18.

I1 teorema enunciato non b altri che il teorema YI) dell ' introduzione. Se G C I', oppure se l ' c G, esso segue subito dal teorema I) della stessa.

Se questo non ~ il caso, sia J l ' involucro di JORDA~ di G e F, rispetto ad O; j quello di g e y, rispetto ad 0 (v. n. 5); j ~ una curva semplice, ehiusa e delimita J . Siano poi n~, n~,.., gli arehi massimi di g suttesi, rispetto ad 0, a y; essi costituiscono dei sottoarchi di j. Sia quindi v~ l ' a rco di ~, sotteso a g rispetto ad O, corrispondente ad n,. Si ponga v~ ~--n~-i-v~; V~ sia l ' insieme limitato delimitato dalla eurva semplice e chiusa v~. L'insieme Vi ~ n~ non contiene punti interni a t(n~), per ipo te s i .S i a l'~ una trasformazione univoca e continua di V~ in n~, che su n~ si r iduca all ' identi t~ e ohe muti i punti di V~, esterni ad n(, in punti interni a n~.

Si definisca poi una trasformazione univoca T di J in se stesso, nel modo che segae: P sia il punto corrente di J ; se t(P) a ppart iene a J, si ponga T(P)-~ t(P); se t(_P) ~ (esterno a J e} appa, r t iene a V i - - n , , si ponga T(P) ~ t'~(I(P)). La T(P} b continua, come si dimostra con un ragionamento analogo a quello del n. 2 delia mia Nora citata in (a)e tenendo conto di quanto qui i~ detto nel n. 5. Quindi T ammette almeno un punto uni to ; dieiamolo Po-

Supponiamo, se possibile, ehe t(Po), sia esterno a J ; esso appart iene allora ad un l~; dieiamolo V¢, di guisa che t(Pio) apparfiene a V~o~ he; quindi T(Po)= t'i(t(Po)) ~ un punto interno ad nio; come tale P0[~-T(P~)] non pub essere portato in un punto di V ¢ - - h e , per l ' ipotesi fatta sui punti comuni a I~o--n¢ e t(n¢). Epperb b assurdo supporre che t(Po) sia esterno a J. Ma allora b t(P~)----T(P0) ; e da qui e da T(Po)=-'-Po segue appunto~ come volevamo, ehe t ~ dotata di punti uniti (~7}.

§ 5. A p p l l c a z i o n i .

21. In questo e nel § successivo indicherb quMche applicazione dell' ultimo teorema dimostrato agli a.utoomeomoJfismi de1 piano, cbnservanti il senso delle rotazioni~ privi di punti uniti.

(t~) Ne l l a d imos t r az ione p receden t% 5 implici~o q u i n d i t h e J e t{J) h a n n o a lmeuo u n pun to comune. A ti toto di eonivollo d iamo u n a dim6strazion(~ d i r - i l a di ques to fat~o. Ne l l e ipotesi del Wsto 5 im])ossibile t h e uno~ V p - - ~ p , d e g l ' i n s i e m i V i - - n i con tenga tutti i p u n t i i n t e r n i di c iascuna del le c u r v e tOq), t(ne) .... Quindi . se non si sa gih che J . t (J)=~: O~ si pub eerto t r o v a r e un pun to A~ di t ( j ) conlenu(o, pea- es., in U~ ni ed un pun to A.2 di t ( j ) conte. nuto, per es., in U-2-- n.2. E t ( j t pe r pas sa re da Ai ad A2 deve i n c o n t r a r e ~i ed n-2. [Vera . m e n t e la deduz ione fatt'~ p r e s u p p o n e in modo taci to t h e di ins iemi V i - - n i v e ne s iano a lmeno due d i s t in t i ; ma se dl ins iemi s i f fa t t i ne esis te uno sol% i p u n t i i n t e r n i a t(ni)~ non po tendo a p p a r t e n e r e ad l ) ' j - - ~ t , non posson(, che a p p a r t e n e r c a J : se non ne es is te nessun%

J con t i ene t(,/)].

in ,trasfo,rmazioni topologiche dcl cerchio e loro app~icazioni 59

Sia -~ un au toomeomor f i smo siffat to. E sia ~ un arco di t ras laz ione di % cio5 una c u r v a sempl ice , aper~a, aven te un es t remo P t r a s fo rmato ne l l ' a l t ro , ~(P), dal la -: ed aven te il solo pun to ziP} c o m u n e con la p ropr i a immagine . Dimos t r iamo, pe r ora, i] s eguen te t eo rema di BROVWER IV. loe. cir. (9)]:

Se ~ ~ un arco di traslazione (di ~), e se p e q sono due in ter i re lat iv i verifioanti la q <_ p - 2 , ~q(k) e ~(),) non hanno p u n t i comuni,

r i se rvandoc i di r i to rna re net n. success ivo su a l cune note es tens ion i di ques to r isul ta to .

L a p r ima pa r t e del la de~uzione coinc ide in sos tanza con cose gi~ de t te da BI~OUWER in loc. cir. (~) [cfr. anche ¥. KEI~KJ£R~b. loc. cit. (~), pa- gine 197-198], da v. KER~KJhRTO in lOC. cir. (8), da SP]~R~ER in loc. cit. ('~), § 2, t eo rema 4 ; essa ~ un r i a s sun to di quan to d ice SPER:NER nel passo ricordato. La d imost raz ione ~ condot ta rag i0uando per assurdo.

Suppon iamo, corn' ~ lecito, q :== 0 e ),.x.2~),} _ ~ - - ~ .~°-~() , ) - -0 , ),.~(),)=~:0, - - di guisa chc 5 anche zh(k).,:k()~)~. 0 per h, k----: 1,..., p e h==~=k. Percor - r iamo z~(k) a par t i re da -cp~p) e sia Q il p r imo pun to di k che eosi si incontra . Det to r il so t toarco ( even tua lmen te degenere! di -:~(.~)di .estremi ":~!P)e Q, s l ' a rco di es t remi Q e ~IP} di ),, la cu rva j = s q- ~()~) ~- ... -~- ,c,-,(),) ~_ r ~ sempl ice , chiusa ; J s i a l ' ins ieme l imitato ch' essa del imita .

L a cu rva ztj ) c o m p r e n d e quel l ' arco, c, di ] di es t remi ~(Q) e Q ehe non con t iene s; c non 5 degenere . Se il punto R descr ive j in un certo verso, il pun to ~(R} descr ive zlj} in un eer to verso. E ques t i vers i ne subo rd inano due concordi su e. Ma la ~ eonse rva il senso del le ro t az ion i . Quindi J e ":(J) g iacc iono dal la s tessa ba~da di c ; epppe rb hanno dei pun t i in tern i comuni .

I punt i in te rn i all ' a rco a di )~ d i es t remi P e Q (arco ehe pub degene- r a t e in un punto} non appa r t engono mai a j . Quindi 1' in te rno di ~/ g iaee o tu t to nel l ' i n te rne o tu t to nell ' e s te rno di J. Co r r i sponden t emen te ]' in te rno di z(a) giace o tu t to nell ' in fe rno o tu t to nell ' es te rno di x(J}. E fin qui abb iam segui to 1' espos iz ione di SPERNER.

Sia, adesso O un pun to in te rno a J e z{J}, cosi p ross imo ad un pun to (9' in ferno a c, da po te r essere congi~unto con O' med ian t e una c u r v a sempl ice , aper ta , t h e a l l ' infuor i de l l ' e s t r emo O' sia tu t t a in t e rna a J e -:(J), - - tu t te ques t e ipotes i sono leci te appun to perch~ J e x(J) g iacc iono da l la s tessa pa r t e di c. Al lora ~ agevole vede re ehe non so l tan to 0' ma tu t t a la c ~ppar t i ene all ' invo lucro di JORDA:~ di j e "el j) r i spe t to ad 0 [si eonfront i con quan to b det to a l la f ine del la pag. 183 ed all ' inizio del la pag. 184 del la mia Nora c i ta ta in (~}; red . anche, v. KER]~:Z£~"~), loc. cir. (~), pag. 88, p r imo alinea].

Ed ora d i s t ingu iamo due casi, a s eeoada che 1' ( even tua l e ) in t e rno di a es te rno od in te rno a J.

~ e l p r imo caso (v. fig. 1), un pun to di j pub essere in te rne a ~(J} soltanto se esso appa r t i ene a d s . Quindi un arco m di j pub essere un arco mass imo sut teso a z(j), r i spet to ad 0, so] tanto se esso appa r t i ene ad s. L ' in -

60 'O. SCORISA ])RAGONI : Cri.teri per l'esisteuza :di puuti un~ti

te rno d e l l ' a r e o mass imo ~t di ~:(j) sot teso a j , r i spe t to ad 0, e co r r i sponden te ad m, ~ invece con tenu to in ~ { j ) - c [come per ogni even tua l e arco mass imo di "~(j) sot~eso a j r i spet to ad 0], appun to perehb c appa r t i ene a l l ' i nvo luc ro

1 ~ " " . ~ I# ~ ~ .

g~

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", ,: i

Fig . 1

di j e .~(j). L a cu rva sempl iee ch iusa u ----- m-+- ~ de l imi ta un ins ieme limitato U; pel mot ivo anzi detto, ogni pun- to di o - - [Q + ~:(Q)] i~ es terno ad U - m; quindi c . ( U - - m) ~ Q. D'a l t ra par te ~(s) appa r t i ene a c, perch~ s ~ con tenu to in ), - - (a - - Q), m e n t r e c con t iene z(),) - - (':(a) - - -:(Q) ). E pperb ~(m). ( U - m) ~ Q. Indi , pel t eo rema del n. 20, app l i cab i l e anche al caso che g sia la e u r v a sempl iee e eh insa j (v. n. 6 e 7), l ' au to-

omeor f i smo • ha u n pun to unito. ~Ia cib ~ contro F ipotesi fat ta . Quindi il p~imo easo non si pub p resen ta re .

Se invece l' in te rno di a ~ inferno a J , e qu ind i l' in te rno di z{a) a ":(J), osserviamo, v. fig. 2, che anche ~(a) appa r t i ene all ' invo luero di j e ~(j), rispe~to ad 0 [si r icord ino di nuo. vo i pass i miei e di ¥. KER]:~KJ~k]~.T6 or ora citati]. Dopo di che conside r i amo un even tua le arco mas. s imo n di -:(j), su t teso a j r i spe t to ad 0. Al lora n ha gli es t remi con tenu t i in s, perch6 c i-~:(a) appa r t i ene all ' in~,olucro di j e "cO" ) r i spet to ad 0. L ' u r c o mass imo v

, , . , ....... . \ ,,

di j, sot teso a ~(j) r i spe t to ad 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fig. e co r r i sponden te ad n, ~, con tenu to in s ed i suoi pun t i in torni appa r t engono a j - - c , sempre perch~ c ~-~(a) appa r t i ene a l l ' i n v o l u c r o di j e ~(j} r i spe t to ad 0. P e r ques to stesso mot ive i pun t i in terni di c ~-z(:¢) sono al lora es terni a V - - n , se V b l ' i n s i e m e limi- taro, delimita, to dal la cu rva sempl ice e ch iusa v ~ n 5~ v. Quind i : (V ...... n). • (c t -~{a) )~z(P} t Q. D ' a l t r a pa r te "~-qn) ap.part iene a e-~--c(a}, pereh~ ~:~(P} appa r t i ene a c. Quindi (V --- n ) . z - ~{n) ~ ' : (P) -~- Q. Ma al lora bas ta app l i ca re il t eo rema del n. 20, sos t i tuendo la c i rconfe renza g con la c u r v a ":(j}, pe r r i conosee re che z-~ ammet t e a lmeno un pun to unito.

Anche il secondo easo conduce quindi a un assurdo. Epperb non pub essere )..z~(),)=~= 0 ; donde il t eorema.

22. ~ e l l e ipotesi del n. prec. e ra p ~ 2 e, se l ' a r co a non era degenere , il pun to P era o inferno o es te rno a J ins ieme con l ' i n t e rno di a. Ma noi

in tra~fo'~'~)~azioni topologiche del cerchio e loro app~c<tzioni 61

ei s iamo sempre l imitat i a s f ru t t a re sol tanto il fa t to che l ' interno di a era o tu t to in terno o tut to es terno a J ; ed invece della p ~ 2, abb iamo s f ru t ta to sol tanto del le sue eonseguenze , ehe non la impl ieano di neeessit~t. Queste e i reos tanze fanno sl, che il r ag ion~mento del n. 21 si pres t i a d imos t ra re un t eo rema pifi genera le .

S u p p o n i a m o infat t i che la eu rva sempl ice ed aper ta ), abbia sempre come es t remi P e ~(P), ma inveee del la ),.~(),} = ,(P), faee iamo l ' ipotesi ehe ), non con tenga nessun pun to in te rno a -c(t). Al lora le deduzioni svolte r iman. gono presso t h e ina l te ra te . L ' u n i c a va r ian te ~ che adesso, se k.~(1) non si r iduee a z(P), ma cont iene anehe z~(P), si dovr~t porre Q----'c2(P), di guisa che Q ~ sempre un punto di ,~(k), men t re z'-'(P) appa r t i ene sempre a quel lo ehe nel caso a t tua le ~ la eu rva c, cose ehe ei pe rme t tono di r ipe te re al la le t te ra tu t te le deduzioni precedent i . Se invece della 1 .~ ( ) , )~z (P j + ~ ( P ) , si suppone la )~.x{),)~P t-'c(P), si o t t iene un easo non essenz ia lmente dis t in to dal p reeeden te , esso ~ per la z -~ quel lo ehe il p reeoden te ~ per la ":. S icehb:

Se ) , .~{) , )CP V ~(P). oppure I .~(1)C~(P)-t-~ '~(P), ~ ( X ) e ":q(),) non hanno p u n l i comuni, se p ~ q ~ 2 (~s).

Ma c ' b de l l ' a l t r o : suppon iamo sempre che i abb ia per es t remi P e z(P) ed a m m e t t i a m o t h e ), e "~(t) non abb iano comuni punt i in tern i per en t rambi . h l l o r a non ~ escluso che k con tenga z~(P) e z(X) con tenga P. Ma se ), con. t iene z~(P) e -c(I) eont iene P, le deduzioni del n. prec. si possono r ipe te re a l la let tera, purch~ si a s suma come cu rva j que l l a r i su l t an te da l la somma di ~(),) e dell ' arco di ), di es t remi ,:'~(P) e z(P). Anche in ques to easo ~ Q ~ z'~(P) e l ' i n t e rno di a non appa r t i ene mai a j. S i ech~ :

Se i.z(),) contiene al pi i t i pun t i P, z(P) e ~*(P), ), essendo u n a eurva sere. pliee aperta di eslremi P e "~(P), z;~(),) e zq(),) non hanno pun t i comuni, se p ~ q ~- 2, di guisa che ),.z(),) ~- z(P) (~9).

Si o s s e r v i inf ine c h e l a deduzione del n. 21 p resen ta del le notevoli sim- met r ie n e l l ' e s a m e dei due casi, che abb iamo dis t int i su l l ' esempio dello SPEI~- ~ER; s immet r i e maggior i di que l le p resen ta te dal]a deduz ione r i corda ta dello SPEI~CEn.

L a d imos t raz ione de] n. 21 ~ molto pifl v ic ina a que l la data d a v . K~.I~I~- K,~Art~0 in loc. cir. (s), che non a que l la dello SPER~CER. Cosi pu re io riavvi- c inerei a posleriori il t eo rema del n. 20 pifl a quel lo di v. K~rtEKZItR~6, ci ta to in {*),che non a qae l lo di SP]~n~En, ci tato in (~); sebbene nel fat to ques to mi abbia forni to lo spunto per ques ta r icerca. Anzi, in ques t a oeea-

(,8) Cfr. V. Kt~l/l~KJkl'~T0, lOC. cir. (s). Si ve~'ga anehe I-I. ~I~ERASAKA, E in Be~veis des ~rou~verschen ebenen Tra**slationssatzes [¢ Japanese Journa l of Mathemat ics ~, vol. V I I (1930), pagg. 61-69], pag. 61. SPERNER in ]oc. cit. (s), § 2, teorema 4, ha supposto invece ehe i e z (),) avessero al pifl g]i stessi e~,~tremi.

(t9) Cfr. G. SCORZ,x DRAgOOns, 1o(-. cit. (i,), n. 11. Si vogga ancho quanto ivi dic,~ nolla nora (c.) a proposito de] passo di TEICASAKA~ citato qui in (is).

62 G. SCORZA DRAGONI : Cr#eri per l'esiste~z~ di pun~4 u ni~i

stone non sar?t i n o p p o r t u n e r i cordare , a propos i to di que l che ha t ra t to ad u n a poss ib i le e s t ens ione del t e o r e ma del n. 20 a t r a s fo rmaz ion i un ivoche , che in lee. t i t . (4) v. K E ~ : K J 3 ~ O d~, in sostanza, un t eo rema per l ' es i s tenza di pun t i uni t i in una t r a s fo rma z i o n e un ivoca e c o n t i n u a di un ce rch io G, la

qua le su l la f r o n t i e r a g di G si r i duca ad u n a t r a s fo rmaz ione topologica (~)).

§ 6. A l t r e a p p l l c a z i o n i .

23. S i a sempre da te l ' a u t o m o r f i s m o z del piano, c o n se rv a n t e il sense del le ro~azioni e p r ivo di pun t i uni t i . R a m m e n t i a m o che a l lora pe r ogni pun to del p iano passano inf in i t i a rch i di t ras laz ione [la d imos t raz ione pifi e l egan te di ques to fa t to ~ que l l a da ta da TEnASA~:A nel la pag. 62 del lavoro c i ta to in (~s}]; e c h e la l inea (semplice, in vir tf i di quan to ~ det to nel § prec.) eos t i tu i t a da l le immagin i di u n a reo di t r as laz ione nol le success ive po tenze di z, d i r e t t e e inverse , si c h i a ma u n a t r a i e t t o r i a (di z). P r e m e s s o cib, dime.

s~riamo t h e : Se ~ ~ una curva semplice, aperta, che dia luogo ad una curva semplice

chiusa j, quando l a s i associ ad un conveniente arco a di traiettoria contenenle nel l ' in terno u n axco di traslazione, l ' inlersezione ~.x{~} non ~ vuola e conliene p u n t i dis t int i dagli estremi di ~ e dalle lore immagin i .

Siano P e Q gli es t remi (comuni) di a e ~ e seegl iamo i s imbol i in mode ehe P sia quel lo la cut immag i n e x(P~ ~, per ipotesi , i n t e rn a ad a. S ia s l ' a rco (non degenere) di :¢ di e s t r emi ~(P~ e Q. L ' a r e o s ~ c o m u n e ad .a e z(a). Se il pun to R desc r ive j , pa r t endo da P e pe rco r r endo , p. es., p r i m a a e pot ~, R e z(R} desc r ivono s secondo verst eoneordi . Ma • eonserva il sense del le rotazioni, qu ind i J e z(Jt, dove J b, al solito, l ' i n s i e m e l imi ta to che j de l imi ta , g iacc iono da l la s tessa banda d i s . Eppe rb J e ":{J} h a n n o dei p u n t i i n t e rn i

eomuni . S ia 0 uno di quest i , e lo si s u p p o n g a abbas t anza v ie ino ad un pun to i n t e rne di s, perch6 s a p p a r t e n g a a l F i n v o l u c r o di ] e ":(.3") r i spe t to ad O - - si con f ron t i con quan to si b det to net n. 21 a propos i to di c, j e ":{j} ~ .

E suppongas i e ra t h e ~ e z(~ non abbiano, se possibi le , pun t i comun i d ivers i dagl i es t remi . Al lora ~ e z(~) a v r a n n o eomuni al pifi P e ~(Q): in fa t t i

(~0) E vi sarebbe detl'altro da dire. :p. es. le dimostrazioni stesse date net § 4 sono forse molto pih affini, di quanto non sembri a prima vista, a quella data da v. KE~1;~K.TART6 net 1)asso citato in (4). Io ritengo infattl the basterebbe partieolarizzare opportunamente le trasformazioni t'~ considerate net nn. 19 e 20~ per dedurre che t e T hanno s u g (orientata) la stessa caratteristica secondo Klt~)NECKEJt, caratteristica che per T non ~ nulla. Ed ~ pro- babile che, per arrivare a questo risultaie, basti dire che le ipotesJ dei teoremi ~r) e YI) siano soddisfatte non da t, bens~ dalla trasformazione c h e t subordina per g. Di guisa ehe si otterrebbe un teorema analogo a que]lo dacu i v. KEI~]K.IhltT~) ha dedotto il oriterio indicate nella nora (4); e si avrebbe il mode di estoridere i teoremi del § 4 ~ trasformazioni univoche e continue di G, che subordinino trasformazioni topologiche sug. Di tutto questo si occuper~ un mio allievo. [nora aggiunta suite bozze di stampa].

i~t irozformazioni topolo.qichc det cerchio c loro ~tppticazio.ni 63

~.z(P) = O, perch6 "~(P) 6 in te rno ad a ed a q - ~ 6 sempl i ce ; ~:(~).Q:-= O, per- ch6 Q 6 in te rno a z(:¢) per le ipotes i fa t te su ~¢ e z(P), ment re ~(¢¢)-~-x(~) 6 sempl ice .

P o s s i a m o a l lo ra app l i ea re il l e m m a II) del n. 13 e d i re che se P~ e ":(Q,) sono dt~e pun t i r i spe t t i vamen te di ~ e "c(~), abba. s tanza pross imi r i spe t t i vamen te a P e x(Q!, a l lora P~ ~ es te rno o in te rno ~ z(J) a seeonda ehe x(Q~) 6 in te rno o es te rno a J. :Natura lmente non 6 ese luso ehe possa esse re P~ ~-P , "~(Q~): z(Q), come nel caso de l la fig. 3.

Spos t i amoci su ~ da P verso Q e sia H il pr imo pun to di ~.~(~¢) t h e si incontra . R iesce P=4: H, perch6 una t ra ie t to r ia 6 semplice , men t re pub essere H ~ Q. Spos t i amoe i su z~) a par t i re da z(Q) e sia K il p r imo pun to di a.z(~) che si ineont ra ; r iesce K=~: z(Q). Denot i ~0 l ' a reo di ,~ di

/ " $

Fig. 3

es t remi P e H ; ~ quel lo di es t remi K e ~(Q) di "c(~). Po ieh6 ~.~:(~)c P + ~:(Q), r i esce ¢?.z(j) c P -4= H~ . j .~ ~ K + ~:(Q).

D i s t i ngu i amo e ra due easi, a s econda che l ' i n t e r n o di ¢~ 6 es te rno od i a t e rno a z{J).

Allora, pe r la conseguenza del l emma II) del n. 13 gih r ieordata , si rico- nosee ehe nel p r imo caso l ' i n t e r n o di ,~ 6 in terno a J, e s te rno nel seeondo.

Nel p r imo caso, v. fig. 3, eons ide r i amo un {eventuaie) arco .mass imo m di j su t teso a z{j) r i spe t to ad 0 ; ne sia p. l ' a r c o mass imo di z(j) eorr ispon- dente, sot teso a j r i spe t to ad 0. Allora, m 6 eon tenu to nel l ' a rcQ h di ~ di es t remi H e Q oppure nel so t toarco r di a di es t remi P e z(P); tut to cib pereh~ l ' i n t e rno di c? 6 es te rno a x(J) e perch6 s appa r t i ene a l l ' i nvo luc ro di JORDAN di j e z{j) r i spe t to ad '0 . Nel secondo caso se r ive remo n e v in luogo di m e I~.

lqel p r imo easo gli es t remi di m non sono in tern i a z(~), perch6 h.x{~)cz(Q); ma appa r t engono per def iniz ione a z(j); qu indi gli e s t remi di m, epperb anche quel l i di ~, appa r t engono a ":(~}; e ~ 6 qu ind i u n so t toarco di ~{~), perch6 non pub con tene re s, che fa pa r te d e l l ' i n v o l u c r o di . j e z(j) r i spe t to a d O. Cons ider iamo ora la cu rva sempl ice e ch iusa u ~ m +- 1~ e l ' i n s i eme l imi ta to ~J, ch ' essa del imita . La c u r v a -~(~) non ha punt i in terni comun i con u : infat t i xI~) .m~z(~) .h~z(Q), mentre-c(~) non ha punt i inlerni a 1~, perch6 quet l i di l~ a p p a r t e n g o n o a z(~) e z(~) :+ z([~) : "~(j} 6 una, eu rva sempl ice e chiusa . Ino l t r e "~{~) con t iene ziP} e x(P}, in quan to pun to ( d i s epperb) de l l ' i nvo lue ro di j e "c{j), e es terno ad U - - m (e qu ind i anehe ad U); d u n q u e (U--m).z(~)~.:(Q). Ma z(m) appa r t i ene a z(~), qu ind i (U--m).x(m)~x(Q), clo6 U - - m non con- t iene punt i in tern i di x(m}.

Res ta d~t esaminaxe il c o m p o r t a m e n t o di n, che 6 eon tenu to in r - - a - -

64 (k S(~(mT~A ])l~h(~ON~ : (~rilcxi pt~r lYsi.~tcn,~a di l~t~nli ,~i l i

- - [ s - z(P)]. In ques to caso al pifi uno degli es t remi di n pub a p p a r t e n e r e a z(a), pereh~ r.z(:¢) --- ziP). Quindi gli es t remi di v nppar tengono en t r ambi a z(~); m a v non pub con tenere s, ch~ quest i fa pa r te de l l ' i nvo luc ro di j e e ztj) r i spet to ad O; epperb v ~ un so t toareo di zt~). In t rodo t t a lu cu rva v--- - -n- i -v e l ' i n s i eme l imi ta to V, ch ' e s sa del imita , z(at ha al pifi gli es t remi su v; d ' a l t r a pa r te con t iene s ed i punt i in terni ad s sono es terni n~ V - - n , sempre pereh~ s ~ co~tenuto s u l l ' i n v o h c r o di j e z(j} r i spet to ad O ; quindi l ' in terno di z(~) non ha punt i in V ~ n ; ma z(n) appa r t i ene a -~(a), quindi z(n) ha M pifi gli es t remi in V - - n . In def in i t iva V - n non cont iene mai punti in terni a z(n).

Ma allora, pel t eo rema del n. 20, x ammet t e a lmeno un pun to uni to in J. E l ' ipo~esi ehe t ' i n t e rno di ~ sia es te rno a z(J} Conduce ad un assurdo.

R e s t e r e b b e da e samina re il secondo easo, nel qua le l ' i n t e r n o di ~ 6 es te rno a J . Ma ques to caso non ~ essenz iMmente dis t in to dal p receden te . Esso coincide add i r i t tu ru col p reeeden te , se si se~tmbiamo i ruol i di z e z -~. Qu ind i F ipotesi che ~.z(~) non con tenga punt i s i m u l t a n e a m e n t e interni a e zf~ ) conduce ad un assurdo, come appun to vo levamo d imos t ra re .

24. Ci p ropon iamo di a f f inare u l t e r io rmen te il r i su l ta to del n. 23, dimo-

s t rando che : L a curva semplice e aperta ~ taglia la propria immagine z(~), 8e gli estre~ni

di ~ si possono pensctre come estremi di u n arc, o ~ di traielloria, i l quale con. tenga hell ' inferno (ctlmeno) u n arco di traslazione di z e, insieme con ~, costi-

tuisca uni t curv~ semplice e chiusa. Siano di nuovo P e Q gli es t remi di a (e di ~), z(P) r iesca in terno ~d a,

e ~ e .:(~t) non si t~glino mai, se possibi le . Allora in virtfi di quan to ~ det to nel n. 10, date, una success ione decre-

scenic, in f in i t e s ima di numer i (necess~r iamente) posi t ivi e~, %,. . . poss iamo cos t ru i re una success ione di cu rve ,~, ~ , . . . semplici , aper te , avent i per es t remi P e Q e tali ehe : 1) ~, si~ con t enu t a n e l l ' ~ i - - i n t o r n o di ~; 2) ~ e z(~) abbiano comune al pi/i il punto P [si r ammen t i ehe Q'~{~ = 0 ] ; 3) le curve j~ = ~ + ~, ~iano semplic, i e eh iu se ; 4) posto J,: uguale all ' ins ieme l imitato, de l imi ta to da ,j~, e,~ista una, t ras formazione topologica t~ di J in J~ che si r idnea su ~ a t t ' ident i t f i e che spost i ogni punto di J al pifi di ~ . Inol~re g l ' ins iemi J e J~ g iaee iano dalla st~ssa b a n d a di a.

La t ras formaz ione zl. prodot to di t~ -~ e % mu ta Ji in ":iJ); su ~ la ":i si r iduce Mla z; epper~ ~,l~) -= :tzt, men t rc z~(P) 6 in lerno ad :¢; z~(~,} 6 ugua le

~ . ~,(~,}~ Inol t re J~ e z~{,l~) = =(J) g iaec iano dal la a z([~), di ffuisa ehe " - ~ P. , _ , : v "

s tessa banda de l l ' a rco ¢.z,t-z). Ma at lera sono soddis fa t te tut te le ipotesi cssen- ziali per la val idi th det le deduzioni sv i tuppa te net numero p receden te . Eppe rb z~ ammet t e a lmeno un pun to in~,ariat0 pe r ogni va lor d e l F i n d i c e i.

Ora cib 6 assnrde. 1)ercht~ la dist~nza del pun to cor ren te R di J da ":(R)

in trasfa~mazioni topologiche del cerehio c lore apph~cazloni 65

ha un minimo positivo in J, perch~ • non ammette punti uniti, mentre invece la distanza di ~(R) da z,(z(R)) non supera la quanti th ~ , infini tesima per i inf ini tamente grande. E lo scopo ~ raggiunto.

In un prossimo lavoro spero di poter estendere questo risultato dalle traiettorie alle qua si-traiettorie, in maniera da ul t imare una ricerca che avevo iniziata anni or sono {~).

(~i) U n r i su l t a to del t ipo v o l u t e nel testo ~ r a g g i u n t o nol la mia ~ o t a : Estens ione alle quas i . t ra ie t tar i e di u n teorema di B r o u w e r sul le t ra ie t tor ie di u n autoomeomorf i smo del p i a n o [,, R e n d i c o n t i d e l l ' A c c a d e m i a ~-azionale dei L i n t e l ~, serie ' V I I I ~ vol. I ,1946), pagg. 156-161] ed ~ ampl ia to ne l la mia M e m o r i a : A propos i to di a l cun i teoremi sul le t~'aslazioni p i a n e gene. r a l i z z a t e [ill corse di s t a m p a neg l i , ,Annal i d e l l ' U n i v e r s i t h di Tr ies te ))], ne l l a qua le ~ condot ta anche a t e r m i n e la ricorca~ cui si a l lude nel testo. Q u e s t a n o t a a pib di p a g . ~ s ta ta a g g i u n t a sul le bozze.

~;'nall di Matematic~t, Serie l V, '1 omo XX ~', 9

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Criteri per l'esistenza di punti uniti in trasformazioni topologiche del cerchio e loro applicazioni