3- LA CRISTALIZACION Y LOS CRISTALES

Un de las cosas que más saltan a la vista en los minerales, diferenciándoles netamente de los seres orgánicos, es la propiedad que tienen de cristalizar, es decir, de adoptar formas poliédricas de una perfección geométrica admirable, en cuyo estado se designan con el nombre de cristales. Como en el caso de las rocas, el término "cristal" tiene en mineralogía un sentido bastante distinto de su significado corriente; cuando se menciona el cristal en la conversación usual, lo primero que viene a la imaginación es su transparencia, mientras que desde el punto de vista mineralógico no tiene importancia este atributo. Muchos minerales cristalizados apenas pueden calificarse de traslúcidos, y hay también muchos que son perfectamente opacos. Lo esencial en ellos es su figura poliédrica. La delicada comparación empleada por Campoamor en una de sus poesías más populares sería una atrocidad si el poeta hubiera escrito teniendo presente la acepción científica del vocablo en cuestión.

Las formas poliédricas propias de los cristales son, según parece, una consecuencia de la disposición simétrica de los átomos de las substancias que componen el mineral, disposición que se ha comparado con la de los nudos de una red; pero para que los átomos adopten esta disposición es indispensable que el mineral se solidifique en determinadas condiciones. Así, hay ciertos minerales, entre ellos el alumbre y la sal común, que si están disueltos en agua cristalizan al solidificarse por evaporación de ésta, y hay otros, como el azufre o el bismuto, que forman cristales cuando, estando fundidos, pasan al estado sólido por enfriamiento. También se forman cristales por sublimación, esto es, por el paso del estado gaseoso al sólido sin mediar el estado líquido, como se observa en ciertos minerales de origen volcánico.

Naturalmente, puede ocurrir qu7e en el cambio de estado físico no se realice exactamente en las condiciones indispensables para que haya cristalización, y entonces, o bien ésta es incompleta, o bien resulta un mineral amorfo, es decir, sin forma poliédrica. De lo primero tenemos un ejemplo en los casos en que, por ser la solidificación efecto de un enfriamiento excesivamente rápido o de una evaporación demasiada intensa, se forman los llamados cristales esqueléticos, que son unos como cristales huecos, cual si estuvieran profundamente excavados. La sal presenta a veces cristales incompletos de esta clase. En cuanto a los minerales amorfos, con frecuencia parece como si los átomos no tuvieran tiempo de adoptar la disposición recticular durante los cambios de estado, y como resultado se forma una masa irregular, rígida y frágil, que recibe el nombre de substancia vítrea. Hay minerales, en fin, que se presentan como coloidales, es decir, como la mezcla de dos substancias, una de ellas dividida en pequeñísimas partículas dispersas en la otra, que es unida y homogénea, y que se denomina medio de dispersión. La arcilla y el mineral de hierro llamado limonita son ejemplos de coloides.

Volviendo a los minerales cristalizados, lo mismo pueden presentarse como cristales aislados que formando curiosas agrupaciones, ya en forma desordenada, o ya yuxtapuestos, en asociación paralela. A veces un conjunto de cristales descansa sobre una base amorfa del mismo mineral, denominándose este tipo de agrupación una drusa; y también son frecuentes los casos en que una masa amorfa profundamente cóncava, a modo de tosca olla o de gruta en miniatura, está interiormente tapizada de numerosos cristales, dando un poco la ilusión de una diminuta caverna de elfos o de hadas. En mineralogía se da a esto el nombre de geoda.

En ciertos minerales se encuentran con frecuencia dos cristales, o un corto número de ellos, íntimamente asociados entre sí, como si se hallasen entrelazados o adheridos, constituyendo lo que se denomina una macla. Hay maclas de los más variados aspectos: unas veces los dos cristales forman una cruz, ya latina o ya de San Andrés; otras, parece como si uno de ellos se hubiera metido dentro del otro, aunque en distinta posición, diciéndose entonces que es una macla de penetración; otras, se adosan dos cristales en posición simétricamente inversa, formando una punta de flecha, etc. También se puede dar el caso de que se asocien cristales de dos minerales diferentes, encontrándose los de uno de ellos dentro de un cristal del otro, que es lo que se conoce como inclusiones, y a veces un cristal de un mineral encierra fragmentos amorfos, fibras o delgadas láminas de un mineral distinto. Un aspecto muy curioso de esta asociación es el fenómeno del encapuchamiento, que se da algunas veces en el cuarzo, y que consiste en la existencia de grandes láminas de mica dentro de un cristal de

dicho mineral, paralelamente a sus caras, lo que permite separar del poliedro varias pirámides embutidas unas dentro de otras, como esas cajas chinescas que se van sacando desde la más grande a la más chica.

El tamaño de los cristales varía enormemente; un mismo mineral puede formar cristales microscópicos, o poco menos, y otros de dimensiones gigantescas. La forma varía igualmente mucho. En cambio, lo que dentro de cada especie mineralógica permanece invariable es el valor de los ángulos diedros formados, cualquiera que sea la forma, por las caras homólogas. Por ejemplo, la galena, que tan de moda se puso en los días de los primitivos aparatos radiotelefónicos, es un mineral que suele cristalizar en cubos, pero muchas veces el cubo no es perfecto, sino que presenta sus cuatro vértices truncados, formando unas facetas triangulares, de manera que el poliedro es entonces un cuboctaedro, o sea una combinación del hexaedro regular, o cubo, con el octaedro. Ahora bien, las caras que en este caso corresponden al cubo forman ángulos diedros de 90 grados, exactamente como en el cubo verdadero. Si teóricamente ampliásemos las facetas formadas en los vértices hasta su límite máximo, las caras del cubo desaparecerían y tendríamos un octaedro regular, y las caras de este nuevo poliedro formarían ángulos diedros exactamente del mismo valor que el de los ángulos formados por la prolongación ideal de los planos determinados por la facetas del cuboctaedro.

Esta constancia del valor de los ángulos diedros en cada especie mineral, reconocida ya por los mineralogistas del siglo XVII, se considera como una de las leyes fundamentales de la cristalización y proporciona, como es fácil comprender, un dato de verdadera importancia para la identificación de los minerales, así como para determinar con exactitud cuál es el tipo poliédrico de un cristal cualquiera, aunque por estar roto o por cualquier otra circunstancia no sea fácil apreciar su forma a primera vista. De ahí la utilidad que en mineralogía prestan los goniómetros, o aparatos para medir ángulos. Hay goniómetros de diversas clases, algunos de ellos muy complicados. Estos son, naturalmente, los que dan el valor de los ángulos con mayor precisión y los que se usan en los grandes laboratorios; pero al simple aficionado le basta el más antiguo de estos instrumentos, que se conoce como goniómetro de aplicación, y que es, al y al cabo, el que usaron para sus investigaciones los grandes maestros de la cristalografía. Consiste en dos reglitas metálicas articuladas por medio de un tornillo, a manera de tijeras, de modo que pueden formar ángulos variables, y una de las cuales forma el diámetro de un semicírculo graduado. Aplicando estas reglitas directamente contra las caras del cristal cuyo ángulo se desea medir, se obtiene su valor en el semicírculo graduado, que mide el ángulo opuesto por su vértice.

El ejemplo que acabamos de ver, de los cristales de galena, permite considerar muchas de las formas cristalinas como derivadas, en teoría, de otras formas, mediante el truncamiento o achatamiento, ya sea de las aristas formadas por la intersección de dos caras antiguas, o ya de los vértices formados por la concurrencia de varias aristas. Otras modificaciones resultan de la aparición en cada arista, no de una sola faceta, sino de dos facetas paralelas, en ángulo diedro más obtuso que el que forman las caras primitivas correspondientes, que es lo que se llama modificación por biselamiento; o también de la formación, en cada vértice, de un grupo de facetas dando un nuevo vértice menos saliente, en cuyo caso la modificación es por apuntamiento. De acuerdo con otra ley de la cristalización, en todo cristal normal los elementos homólogos, las aristas y los vértices definidos por caras iguales; pero también se ven cristales en que aparecen modificaciones solamente la mitad o la cuarta parte de dichos elementos. Dícese de ellos que son meroédricos, por oposición a aquellos en que todos los elementos homólogos, modificados o no, son simétricos, a los cuales se califica de holoédricos. Hay asimismo cristales, llamados hemimórficos, que presentan una mitad diferente de la otra; por ejemplo, un prisma con una de las bases en forma de pirámide y la base opuesta completamente plana, como si estuviera cortado al través.

Aparte de los elementos geométricos propios de todo poliedro (caras, aristas y vértices), reales y visibles, hay que considerar en los cristales otros elementos, llamados de simetría, que son puramente ideales o teóricos, no obstante lo cual tienen gran importancia para el reconocimiento de las diversas formas cristalográficas. Son estos elementos el centro de simetría, los planos de simetría y los ejes de simetría. El centro de simetría es un punto ideal que tiene la propiedad de dividir en dos partes exactamente iguales cualquier recta que pueda imaginarse a través del cristal y entre dos puntos opuestos del mismo. Plano de simetría es

aquel que divide cristal en dos mitades simétricas entre sí, de manera que, si la división fuera real, arrimando a un espejo una de estas mitades su imagen completaría la forma del cristal entero. Finalmente, es un eje de simetría cualquier recta que pase por el centro de simetría y que permita hacer girar el cristal alrededor de ella ocupando varias posiciones son dos, se dice que el eje es binario; si son tres, ternario; si cuatro, cuaternario, y si seis, senario. Tomando nuevamente como ejemplo un cristal cúbico de galena veremos que en él hay tres ejes cuaternarios, que une los centros de la seis caras; cuatro ejes ternarios, que van de vértices a vértices, y seis ejes binarios, que unen los puntos medios de las aristas. En el mismo cristal hay nueve planos de simetría, tres que lo cortan paralelamente a las caras y seis que lo hacen oblicuamente, dividiendo cada uno de los segundos al cubo en dos prismas de base triangular. Un cristal en forma de prisma hexagonal tendrá, en cambio, siete planos de simetría, uno de ellos paralelo a las bases y los otros seis perpendiculares a ellas, y siete ejes de simetría, seis binarios (tres que unen entre sí las caras opuestas y tres que une las aristas perpendiculares a las bases) y uno senario, que pasa por los centros de ambas bases.

Fundándose principalmente en los elementos de simetría, los mineralogistas distribuyen todas las formas cristalinas en siete grupos llamados sistemas, cada uno de los cuales comprende las formas holoédricas con igual número de planos y de ejes de simetría y la meroédricas que se consideran como derivadas de aquéllas, aun cuando en éstas, por ser su simetría incompleta, el número de algunos elementos sufre una reducción. Dichos sistemas se denominan regular o cúbico, hexagonal, trigonal, tetragonal, rómbico, monoclínico o monosimétricos, y triclinicos o simétricos.

El Sistema Regular: Comprende cristales con nueve planos de simetría y trece ejes, tres de ellos cuaternarios, cuatro ternarios y seis binarios. Hay muchos minerales que presentan cristales de este sistema, entre ellos la galena, ya mencionada, o la sal común y la fluorita, de las que se encuentran con frecuencia bellos grupos de cristales cúbicos, transparentes o traslúcidos, ora incoloros, ora teñidos de bellos matices. La pirita, mineral de hierro sumamente común, que a veces contiene algunas partículas de oro, cristaliza también en este sistema, formando cubos, dodecaedros pentagonales o combinaciones de ambas formas. El granate, ya sea transparente o ya opaco, tan pronto del color rojo característico como negro o amarillo, ofrece igualmente cristales del sistema regular, por lo general trapezoédricos o rombododecaédricos. El hermoso rubí, que también entra en este grupo, cristaliza, en cambio generalmente en octaedros.

 

 

 

 

 

Sistema Regular

3 ejes cuaternarios

4 ejes ternarios

El Sistema Hexagonal: Se caracteriza por tener sus cristales siete planos de simetría, un eje senario y seis ejes binarios; sus formas holoédricas típicas son el prisma hexagonal, la pirámide hexagonal (que en realidad se compone de dos pirámides unidas por la base), y el

prisma y la pirámide dihexagonales, estos últimos distintos de los primeros por presentar doble número de caras. El berilo, con sus estimadas variedades verde y azul pálida, respectivamente conocidas como esmeralda y aguamarina, forma cristales de este sistema, frecuentemente combinaciones de las diversas formas en él comprendidas. El agua cuando se solidifica constituyendo la nieve, cristaliza igualmente en este sistema, bajo el aspecto de cristalinos microscópicos hexagonales que se reúnen en diminutas maclas de las más variadas figuras, pero siempre hexagonales también.

 

 

 

 

 

 

Sistema Hexagonal

1 eje senario

El Sistema Trigonal: Fue durante mucho tiempo incluido en el hexagonal, y sus formas pueden ciertamente ser consideradas como derivaciones meroédricas de aquél, pero todas ellas ofrecen un rasgo distintivo, cual es el presentar un eje de simetría ternario. Son cristales con las caras frecuentemente en forma de rombos, de trapecios o de triángulos escalenos. El cuarzo, tan común en la corteza terrestre, forma prismas pertenecientes a este sistema. La calcita o carbonato de calcio, uno de los minerales más conocidos por constituir los mármoles y las calizas, y que , cristalizada, se suele conocer como espato de Islandia, en este caso entra también en el sistema trigonal, adoptando la forma de romboedro o de escalenoedro. También cristalizan en este sistema las bellas turmalinas, cuyo nombre, derivado de "turamali", que es como les llaman en Ceilán, nos recuerda que de esta isla se llevaron por primera vez a Europa por los joyeros holandeses en el siglo XVIII. Si se corta al través un prisma de turmalina se ve que tiene sección triangular, lo que revela su condición hemiédrica.

 

 

 

 

 

 

Sistema Trigonal

1 eje ternario

El Sistema Tetragonal: Los cristales presentan cinco planos de simetría, un eje cuaternario y cuatro binarios, éstos perpendiculares a aquél. Se ha llamado también sistema cuadrático porque en sus formas más típicas, que son el prisma tetragonal y la pirámide tetragonal, cualquier sección paralela a los radios binarios es perfectamente cuadrada. El circón y su hermosa variedad roja llamamos jacinto, cristalizan en este sistema, así como la casiterita, de la que se extrae el estaño.

 

 

 

 

 

 

 

Sistema Tetragonal

1 eje cuaternario

El Sistema Rómbico: tiene tres planos de simetría solamente y también tres ejes, los tres binarios, desiguales y perpendiculares entre sí. Entre los minerales que cristalizan en este sistema figuran algunas tan conocidos como es azufre, que forma a veces cristales gigantes, la baritina, que se utiliza para preparar sales de bario, y el topacio del Brasil o falso topacio, simple variedad del cuarzo o cristal de roca, o con el topacio oriental, que es un corindón amarillo. Los aficionados a las joyas saben, sin embargo, que este último tiene generalmente más valor, simplemente por el hecho de ser menos abundante en la naturaleza que el topacio propiamente dicho. Para un entendido en cristalografía la diferencia entre estas diversas gemas homónimas es fácil, pues tanto el topacio oriental como el del Brasil cristalizan en el sistema trigonal y no en el Rómbico.

 

 

 

Sistema Rómbico

1 eje binario

El Sistema Monoclínico o Monosimétrico: Solamente posee un plano de simetría, así como un eje único, que es binario. A él pertenece el vulgarismo de yeso, que suele formar curiosas maclas, con frecuencia en punta de flecha. Cristaliza igualmente en este sistema el feldespato ortosa, mineral que, agregado al caolín o caolinita (también monoclínico), se utiliza en la fabricación de las porcelanas.

 

 

 

 

 

Sistema Monoclínico

1 eje binario

El Sistema Triclínico: Entran cristales sumamente asimétricos, como que carecen de planos y de ejes de simetría, y a él pertenecen unos cuantos minerales no muy conocidos de quien no es mineralogista, como la redonita y la labradorita.

 

 

 

 

 

Sistema Triclínico

No tiene ejes

Proyección estereográficaDe Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegación, búsqueda

Proyecciones geográficas.

Proyección azimutal o Proyección ortográfica o Proyección estereográfica o Proyección gnomónica

o Proyección azimutal de Lambert

Proyección cónica o Proyección cónica simple o Proyección conforme de Lambert

o Proyección cónica múltiple

Proyección cilíndrica o Proyección de Mercator

o Proyección de Peters

Proyección estereográfica

Proyecciones modificadas

Esquema ilustrativo de una proyección azimutal estereográfica.

En la proyección estereográfica consideramos que el foco de luz está en los antípodas. La superficie que puede representar es mayor que un hemisferio. El rasgo más característico es que la escala aumenta a medida que nos alejamos del centro.

En su proyección polar los meridianos son líneas rectas. En la proyección ecuatorial sólo son líneas rectas el ecuador y el meridiano central.

Esta es una de las proyecciones conformes que existen

La proyección estereográfica de Riemann

Un lector me pregunta por la equivalencia topológica entre la esfera y el plano.

Intuitivamente, parece ser que ambas superficies no son equivalentes. Después de

todo, la esfera es una superficie muy diferente a un plano; no sólo por su forma

(cosa poco importante en topología) sino por propiedades globales, como

acotamiento.

En efecto, ambas superficies son distintas a nivel topológico. Lo que ocurre es que

basta con eliminar un punto a la esfera para que dejen de serlo.

Supongamos una esfera descansando sobre un plano. Llamaremos punto S (sur) al

único punto de contacto entre ambos, y punto N (norte) a la antípoda del punto S.

Haremos corresponder cada punto P de la esfera con cada punto P’ del plano de la

siguiente forma: unimos el punto N de la esfera con el punto P, y prolongamos la

recta de unión hasta que corte al plano. Ese punto de corte es el punto P’, imagen

de la proyección.

Es fácil darse cuenta de que cada punto de la esfera tiene su fiel reflejo en el plano,

y viceversa; si exceptuamos el propio punto N, que no tiene correspondencia. Esta

proyección se denomina proyección estereográfica de la esfera en el plano, o

proyección de Riemann .

Los círculos de la esfera paralelos al ecuador se convierten en círculos en el plano

con centro en el punto S, pero no se respetan las distancias (después de todo, la

topología es lo que queda de la geometría cuando hemos suprimido la noción de

distancia! ): cuanto mayor latitud norte tenga el paralelo, mayor es el radio del

círculo proyectado en el plano. Un minúsculo paralelo muy cercano al punto N

tendrá como reflejo un enorme círculo en el plano.

Un meridiano ( círculo máximo de la esfera que pasa por los puntos N y S, y es

perpendicular al ecuador) se reflejará como una circunferencia degenerada en una

recta que pasa por el punto S, y cualquier círculo máximo en la esfera intermedio se

reflejará como una elipse más o menos excéntrica.

Ahora sí lo podemos decir: una esfera menos un miserable punto es

topológicamente equivalente a un plano.

También podemos hacer que la esfera y el plano sean equivalentes de otra forma:

en vez de eliminar un punto de la esfera, añadimos un punto al plano. Parece una

estupidez añadir un punto a un plano (¿Dónde lo ponemos?) Sin embargo, no lo es.

Se puede definir perfectamente un "punto en el infinito" que será el reflejo (a estas

alturas espero que lo hayan adivinado) del puñetero punto N de la esfera; el único

que quedaba sin emparejar. Esta construcción se denomina compactificación del

plano mediante la adición de un punto en el infinito.

La simetría de los cristales

Muchas veces nos pasa desapercibido, pero convivimos contínuamente con la simetría ...

La simetría es la constancia, la repetición de algo en el espacio y/o en el tiempo, como muestran los ejemplos de abajo: grecas, pétalos de una flor, la sucesión de noche y dia, una pieza musical, etc.  

Simetría por repetición  de motivos en una greca o en los pétalos de las  flores

 

Simetría por repetición de eventos: Noche - Día - Noche ...

 

Simetría en una pieza musical. Fragmento de "Six unisono melodies" de Bartók. (El pentagrama de abajo representa la simetrización de la partitura de arriba)

Esta frase, probablemente conocida por muchos lectores, nos sirve también para ilustrar el concepto de simetría:  

Dábale arroz a la zorra el Abad

en donde si olvidamos los acentos y nos quedamos sólo con las letras, se convierte en:  

D A B A L E A R R O Z A L A Z O R R A E L A B A D

que se puede leer de derecha a izquierda con el mismo significado que más arriba. Es un caso parecido al de los números "capicúa" (232 ó 679976).

Existen muchas direcciones en donde el lector puede encontrar información sobre el concepto de simetría, de las cuales hemos seleccionado algunas: simetría y forma del espacio,  incluída en conceptos cristalográficos, con modelos decorativos, en los minerales, e incluso existe una sociedad internacional para el estudio de la simetría.

Concretándonos a los objetos, existen varias operaciones (elementos de simetría) que describen las repeticiones. En las grecas nos encontramos con operaciones de traslación (el motivo se repite por traslación). La repetición de los pétalos de las flores nos conduce a operaciones de giro (el motivo se repite por giro) alrededor de ejes de simetría y, aunque no exactamente, la simetría que nos muestra la partitura o la frase sobre el Abad nos llevaría a considerar las operaciones denominadas planos de simetría (la operación que ocurre cuando uno se mira en un espejo). Análogamente, por ejemplo, si nos fijamos en la relación entre los objetos tridimensionales de la figura de abajo,

descubriremos un  nuevo elemento de simetría denominado centro de simetría, que sería el punto imaginario colocado entre ambos objetos:

Dos objetos relacionados por un centro de simetría.

Combinando estos elementos de simetría con las traslaciones características de un cristal (que veremos más abajo), surgen nuevos elementos de simetría con componentes de deslizamiento (ejes helicoidales y planos de deslizamiento).  

Poliedro mostrando un eje de rotación binario que pasa por los centros de las

aristas de arriba y abajo

Poliedro mostrando un plano de simetría que relaciona la parte de arriba con la de abajo

Los elementos de simetría del tipo centro y plano, relacionan de un modo peculiar los motivos que repiten, el mismo modo que relaciona entre sí nuestras manos, que no son superponibles. Los motivos que no contienen en sí mismos ninguno de estos elementos de simetría (centro o plano) se denominan quirales y su repetición mediante estos elementos de simetría (centro o plano) genera objetos que se denominan enantiómeros respecto de los originales (la imagen especular de una de nuestras manos es enantiómera de la que ponemos delante del espejo).  

La imagen especular de cualquiera de nuestras manos es el enantiómero de la otra mano. Son objetos no superponibles y al no contener en sí mismas ni centros ni planos de simetría se denominan objetos quirales.

La asociación de elementos de rotación con centros o planos de simetría genera nuevos elementos de simetría llamados rotaciones impropias.  

Poliedro que muestra únicamente un centro de simetría en su punto medio

Eje de rotación impropia, en sentido vertical, en un cristal de urea (sobre las tríadas de índices que aparecen en la figura se hablará más adelante)

Para poder seguir hablando de la simetría, es necesario en este momento recordar un concepto fundamental relacionado con la repetición por traslación.

La repetición periódica por la que se describe la estructura interna de los cristales viene representada por un conjunto de traslaciones en las tres direcciones del espacio, de tal forma que el cristal puede considerarse como una apilamiento, en tres dimensiones, de bloques idénticos. Cada bloque, de una forma y tamaño determinados, se denomina celdilla unidad. Su tamaño viene determinado por la longitud de sus tres aristas (a, b, c) y la forma por el valor de los ángulos entre dichas aristas (alpha, beta, gamma: , , ).  

Apilamiento de celdillas formando un  cristal octaédrico

Parámetros que caracterizan la forma y tamaño de una celdilla elemental (ó celdilla unidad)

En los cristales, los ejes de simetría sólo pueden ser binarios (2), ternarios (3), cuaternarios (4) ó senarios (6), dependiendo del número de repeticiones que se

produzcan del motivo (orden de la rotación). Así, un eje de orden 3 (ternario) produce 3 repeticiones del motivo, una cada 360/3=120 grados de giro.

Las rotaciones impropias se designan con el número de orden de la rotación, con una barra encima del número.

Los ejes helicoidales se representan con el número de orden de la rotación, con un subíndice añadido que cuantifica el deslizamiento a lo largo del eje. Así, un eje helicoidal del tipo 62 representa que en cada una de las 6 rotaciones, la traslación asociada es de 2/6 de la periodicidad en la dirección del eje de la celdilla elemental.

Los planos de simetría se representan por la letra m.

Los planos de deslizamiento se representan por las letras a, b, c, n ó d, dependiendo de que la traslación asociada a la reflexión sea paralela a las traslaciones reticulares (a,b,c) o a una diagonal de un plano reticular (n) ó a una diagonal de la celdilla elemental (d).

Las letras o números que representan a los elementos de simetría tienen también una equivalencia con determinados símbolos gráficos.

El conjunto de elementos de simetría de un objeto finito, que pasan por un punto, definen la simetría total del objeto y se denominan grupo puntual de simetría.

Grupos puntuales hay muchos, pero en los cristales han de ser compatibles con la periodicidad (repetitividad por traslación) que los describe internamente. Así, en los cristales no son posibles las rotaciones (ejes de simetría) de orden 5 (un objeto que se repita a sí mismo, mediante giro, 5 veces). Con todo ello, en los cristales nos encontramos con sólo 32 posibles grupos puntuales que se denominan clases cristalinas.  

grupo puntual . periodicidad por traslación en el cristal   = 32 clases cristalinas

Representación gráfica de las 32 clases cristalinas

 

El motivo constituído por un simple ladrillo, que puede representarse por un punto reticular, contiene la simetría puntual 2mm

De las 32 clases cristalinas, sólo 11 contienen al operador centro de simetría y a éstas clases cristalinas centrosimétricas se les conoce con el nombre de grupos de Laue.  

clase cristalina . centro de simetría = 11 grupos de Laue

Representación gráfica de los 11 grupos de Laue (clases

centrosimétricas)

A su vez, en los cristales, las formas de repetición por traslación tienen que ser compatibles con la simetría puntual (las 32 clases cristalinas), de modo que sólo nos encontramos con 14 tipos de redes de traslación que son compatibles con las clases cristalinas. A estos tipos de redes (modos de repetición por traslación) de los cristales se les llama también redes de Bravais (las puedes ver aqui). La simetría traslacional de una distribución ordenada de objetos en 3 dimensiones se puede describir mediante muchos tipos de redes, pero hay una que se adecúa más al objeto, es decir, que describe mejor, a la vez, la simetría propia del objeto. Y es que, como las redes a su vez tienen su propia distribución de elementos de simetría, hay que adecuar éstos a los de la estructura.  

periodicidad por traslación en el cristal  . 32 clases cristalinas  =  14 redes de Bravais

Representación gráfica de las redes de Bravais

 

Una pared de ladrillos puede estructurarse con diferentes tipos de redes, pasando por diferentes orígenes, definiendo puntos reticulares que representan todo el ladrillo. Pero hay una que es más adecuada a la simetría del ladrillo y a la disposición de éstos al formar la pared.

La adecuación de una red a una estructura se muestra en los ejemplos bidimensionales inferiores, en donde en los tres casos hay dos redes, una primitiva oblícua y otra rectangular centrada. En los dos primeros casos, la red rectangular resulta la más adecuada, mientras que la deformación de la estructura alcanza, en el tercer ejemplo, unas relaciones métricas que hacen que la red más adecuada sea la primitiva oblícua, hexagonal en este caso.  

Adecuación del tipo de red a la estructura. La red azul es la más adecuada en cada caso.

Por último, al combinar los grupos puntuales de los cristales (las 32 clases cristalinas) con las 14 redes de Bravais, nos encontramos con 230 maneras posibles de repetir un objeto finito (motivo) en el espacio de 3 dimensiones. A estos 230 modos de repetición

de motivos en el espacio, que son compatibles con las clases cristalinas y con las redes de Bravais, se les denomina grupos espaciales, que representan las diferentes formas de adecuar la redes de Bravais con la simetría de las estructuras.  

32 clases cristalinas  + 14 redes de Bravais   =  230 grupos espaciales

 

Representación de la red de la pared de ladrillos, más acorde con el motivo (ladrillo) y sus elementos de simetría. Nótese que, en este caso, la simetría puntual del ladrillo y la puntual del

nudo de red coinciden. El grupo espacial, si consideramos el espesor del ladrillo, es Cmm2. 

Estas 32 clases, 14 redes y 230 grupos espaciales pueden clasificarse, según la simetría mínima que albergan, en 7 sistemas cristalinos. La simetría mínima produce restricciones en los valores métricos (distancias y ángulos) que describen la forma y el tamaño de la red.  

32 clases, 14 redes, 230 grupos espaciales  / simetría mínima  =  7 sistemas cristalinos

Todo ello se resume en el siguiente esquema (los subrrayados deberían ser sobrerrayados):  

Clases cristalinas (Laue con *)

Redes cristalinas compatibles y

su simetría

Número de  grupos

espaciales

Simetría mínima

Restricción métrica

Sistema cristalino

1    1*P 1

2 1    ó    1 ninguna Triclínico

2    m    2/m*P    C    (I)

  2/m13 Un  2  ó   2 ==90 Monoclínico

222    2mm    mmm*

P   C  (A,B)  I   F mmm

59Tres  2  ó 

2===90 Ortorrómbico

4     4    4/m*  4mm    4222    42m   4/mmm*

P     I 4/mmm

68 Un  4  ó  4a=b

===90Tetragonal

23      m3*  432     43m   

m3m*

P     I     F m3m

36Cuatro  3

ó  3a=b=c

===90Cúbico

6      6     6m*  6mm   622    

62m    6/mmm*

P 6/mmm

27 Un  6  ó  6a=b

==90 =120

Hexagonal

3      3*  3m     32    3m*

P      3m (R)   6/mmm

25 Un  3  ó  3

a=b=c ==

(o Hexagonal)

Trigonal

Total: 32,  11* 14 independientes 230     7

Los 230 grupos espaciales vienen recogidos y descritos en las International Tables for X-ray Crystallography, en donde se encuentran clasificados según los grupos puntuales y los sistemas cristalinos. Una composición de parte de la información contenida en estas Tablas se muestra a continuación para el grupo espacial Cmm2, en el que la C significa que la estructura se describe con una red centrada en las caras separadas por el eje c, la primera m representa un plano de simetría perpendicular al eje a, la segunda al eje b, y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c.  

Resumen de la información de International Tables for X-ray Crystallography para el grupo espacial Cmm2

El lector avanzado puede consultar el llamado servidor cristalográfico de Bilbao, que es una excelente herramienta de ayuda para el manejo de la simetría en Cristalografía.

Un cristalógrafo nunca se aburre!. Trata de disfrutar de todo esto buscando la simetría de los objetos que encuentres a tu alrededor y en particular en estos ejemplos de más

abajo.  

Ejemplos de estructuras con ladrillos

En cualquier caso, esto no acaba aquí y hay muchas más cosas que contar ...

La cristalografía es la ciencia geológica que se dedica al estudio científico de estructuras cristalinas.

Los métodos cristalográficos se apoyan fuertemente en el análisis de los patrones de difracción que surgen de una muestra cristalina al irradiarla con un haz de rayos X, neutrones o electrones. La estructura cristalina también puede ser estudiada por medio de microscopía electrónica.

Un material cristalino es aquel en el que los átomos se estructuran en redes basadas en la repetición tridimensional de sus componentes. A la estructura que se repite se le denomina célula o celda cristalina. Los cristales se clasifican según sean las propiedades de simetría de la célula cristalina. Estas propiedades de simetría también se manifiestan en ocasiones en simetrías macroscópicas de los cristales, como formas geométricas o planos de fractura. El estudio de la cristalografía requiere un cierto conocimiento del grupo de simetría.

Clases de Simetría

Armados de puntos, ejes y planos.

La simetría es una de esas nociones que nos resultan más fáciles de intuir que de describir o comprender con rigor. Tardamos menos en apreciar la simetría en las alas de una mariposa que lo que se tarda en decir "una operación de

simetría es una transformación matemática que da lugar a una figura idéntica a la original o una copia especular de la misma".

    Las primeras clasificaciones sistemáticas de la simetría llegaron con el estudio de los cristales minerales. El punto de partida fue la constatación de la

ley de la constancia de los ángulos diedros (s. XVII-XVIII) ( Para una misma especie mineral, el ángulo que forman dos caras determinadas de un cristal ¡no cambia de un cristal a otro!). Pero para clasificar  los cristales, había que sistematizar primero las posibles combinaciones de elementos de simetría. Armados de ejes de rotación, planos de reflexión y centros de inversión, los

cristalógrafos establecieron todas las posibles combinaciones de estos elementos, 32 clases cristalinas en total. La simetría puntual, aquella que se aplica a objetos finitos como los cristales estaba dominada. Pero si además

introducimos la traslación como elemento de simetría nos encontramos con el mundo de las redes y los mosaicos regulares, en los que el espacio (plano o tridimensional) se puede llenar de forma periódica con un número limitado de posibles combinaciones simétricas, los grupos espaciales (existen 17 grupos

espaciales planos y 230 en el espacio tridimensional).

La mano izquierda y la mano derecha de la figura se relacionan mediante un plano de simetría perpendicular al plano de la imagen (representado por la línea vertical)

Si en lugar de un plano, aplicamos un eje de rotación binario (giro 180º) a la mano izquierda, el resultado es la misma mano izquierda pero vista por el lado de su palma.

Un centro de inversión relaciona punto a punto un objeto o motivo con su imagen equidistante de un punto e invertida

La traslación en el espacio es otra operación de simetría que permite racionalizar redes periódicas -como las redes de átomos que forman los cristales o la red de manos que se muestra en la figura manostiling.jpg- a través de su simetría.

    Cuando todo esto estaba bien establecido y, como sucede a menudo en ciencia, alguien vino a cambiar el estado de la cuestión. Sin romper el conocimiento adquirido ni contradecir la establecido en cuanto a redes periódicas, Roger Penrose popularizó el concepto de cuasiperiodicidad con sus famosos mosaicos, que llenan el espacio plano con pautas inusuales, de repetición no periódica y que han tenido su colofón con el descubrimiento de materiales con redes atómicas no periódicas conocidas como cuasicristales

Formas cristalinas

 

Según la forma geométrica de sus cristales los minerales cristalinos se clasifican en 6 sistemas:

Isométrico Tetragonal Hexagonal Ortorrómbico Monoclínico Triclínico

En su gran mayoría los minerales presentan la particularidad de que cristalizan en sólidos geométricos de formas definidas.Esta circunstancia ha dado oportunidad al desarrollo de la cristalografía.

Un plano de simetría divide a un cristal en dos mitades exactamente iguales.Hay otras dos formas de simetría como los ejes y los centros,todos estos se subdividen en más de 30 clases agrupadas en los 6 sistemas.Cuando un mineral solidifica sin que se estorbe el proceso, las moléculas y las átomos se atraen según ciertos planos y lineas estructurales,con el resultado de que se produce una forma definida y uniforme del cristal.Los mineralogistas utilizan la forma cristalina junto con otras propiedades como el color para determinar la especie mineralógica correspondiente.Otras propiedades como como la dureza y el peso específico contributen a su identificación.El número de minerales conocidos llega a mas de 2000 y se van argando nombres nuevos todos los años pero sólo de 200 a 300 tienen importancia comercial ,el resto tiene interes científico únicamente.

FORMAS CRISTALINAS

Aunque se utiliza habitualmente el término "forma" para designar el aspecto externo de un cristal, lo apropiado es designar la forma externa (generalmente mal formada y defectuosa) con la palabra "hábito", y utilizar "forma" como un grupo ideal de caras cristalinas todas las cuales tienen la misma relación con los elementos de simetría y exhiben las mismas posibilidades físicas y químicas.

De esta manera, las caras se agrupan según conjuntos equivalentes por simetría; y estos conjuntos se denominan formas cristalinas y se simbolizan por {hkl}. Como para constituir una forma cristalina   únicamente necesitamos caras equivalentes por simetría, las formas pueden ser cerradas o abiertas, según limiten un espacio cristalino o no.

Un ejemplo de forma abierta sería el pinacoide, el cual, como vemos en la imagen se combina con otros tipos de formas cristalinas.

Como ejemplo de formas cerradas están el octaedro y el cubo. La denominación de las caras cristalinas se realiza, al igual que para los planos cristalinos, mediante los Índices de Miller.

 

   

La simetría presente en las formas cristalinas es la simetría sin traslación. Algunos ejemplos de búsqueda de esta simetría se  presentan a continuación.

   Ejes de simetría o de rotación: Girando alrededor de ellos, la cara cristalina se repite un número determinado de veces según el orden del eje.

(ejes de simetría de un hexaedro o cubo)

   Ejes de rotoinversión: Girando e invirtiendo alrededor de ellos, la cara cristalina se repite un número determinado de veces según el orden del eje.

   Planos de simetría:   ambos lados del plano aparecen idénticas caras cristalinas.

(planos de simetría de un hexaedro o cubo)

 

Según el esquema propuesto por Groth en 1895 y modificado por Rogers en 1935, existen cuarenta y ocho tipos diferentes de formas cristalinas que pueden ser distinguidas por las relaciones angulares de sus caras.

En nuestro sitio Web presentamos el Atlas de formas cristalinas con sus proyecciones estereográficas correspondientes.

En la descripción de los cristales resulta conveniente referir las formas externas, o la simetría interna, a una serie de tres (o cuatro) ejes de referencia "ejes cristalográficos", tomados paralelamente a las aristas de intersección de las caras cristalinas principales. Así, cada uno de los siete sistemas cristalinos se caracteriza por unas relaciones axiales y ángulos axiales diferentes.

Para seleccionar la cruz axial de una figura cristalina se pueden seguir, dependiendo de los casos, los siguientes caminos:

1. Situarla paralela a aristas reales (o figuradas) del cristal, que se corten en un vértice real (o figurado)

2. Situarla coincidente con los elementos de simetría más importantes del cristal (generalmente coinciden con los ejes de simetría o con las nomales a los planos de simetría.

La intersección de las caras cristalinas con estos ejes cristalográficos determina la notación de las caras cristalinas. La notación más universalmente conocida es la de los Índices de Miller (igualmente aplicada para cualquier plano cristalino) que consiste en una serie de números enteros que han sido deducidos de las intersecciones por su inversión y, si es necesario, la subsiguiente reducción de fracciones.

 

   Prácticas de morfología cristalina

A continuación se ofrecen algunas plantillas de formas cristalinas preparadas para imprimir, recortar y pegar, gentileza de la Editorial Paraninfo.

Puede pulsar sobre ellas, imprimir la imagen que le aparecerá, recortarlas, pegar las pestañas y construirse un sólido cristalino con el que practicar en la búsqueda de su simetría.

www.uned.es/cristamine/cristal/morfo_ formas http://www.cienciateca.com/simetria.htmlwww.uned.es/cristamine/cristal/curso_estruct.htmes.wikipedia.org/wiki/Cristalografía

Aunque se utiliza habitualmente el término "forma" para designar el aspecto externo de un cristal, lo apropiado es designar la forma externa (generalmente mal formada y defectuosa) con la palabra "hábito", y utilizar "forma" como un grupo ideal de caras cristalinas todas las cuales tienen la misma relación con los elementos de simetría y exhiben las mismas posibilidades físicas y químicas.

De esta manera, las caras se agrupan según conjuntos equivalentes por simetría; y estos conjuntos se denominan formas cristalinas y se simbolizan por {hkl}. Como para constituir una forma cristalina   únicamente necesitamos caras equivalentes por simetría, las formas pueden ser cerradas o abiertas, según limiten un espacio cristalino o no.

Un ejemplo de forma abierta sería el pinacoide, el cual, como vemos en la imagen se combina con otros tipos de formas cristalinas.

Como ejemplo de formas cerradas están el octaedro y el cubo. La denominación de las caras cristalinas se realiza, al igual que para los planos cristalinos, mediante los Índices de Miller.

 

   

La simetría presente en las formas cristalinas es la simetría sin traslación. Algunos ejemplos de búsqueda de esta simetría se  presentan a continuación.

   Ejes de simetría o de rotación: Girando alrededor de ellos, la cara cristalina se repite un número determinado de veces según el orden del eje.

(ejes de simetría de un hexaedro o cubo)

   Ejes de rotoinversión: Girando e invirtiendo alrededor de ellos, la cara cristalina se repite un número determinado de veces según el orden del eje.

   Planos de simetría:   ambos lados del plano aparecen idénticas caras cristalinas.

(planos de simetría de un hexaedro o cubo)

 

Según el esquema propuesto por Groth en 1895 y modificado por Rogers en 1935, existen cuarenta y ocho tipos diferentes de formas cristalinas que pueden ser distinguidas por las relaciones angulares de sus caras.

En nuestro sitio Web presentamos el Atlas de formas cristalinas con sus proyecciones estereográficas correspondientes.

En la descripción de los cristales resulta conveniente referir las formas externas, o la simetría interna, a una serie de tres (o cuatro) ejes de referencia "ejes cristalográficos", tomados paralelamente a las aristas de intersección de las caras cristalinas principales. Así, cada uno de los siete sistemas cristalinos se caracteriza por unas relaciones axiales y ángulos axiales diferentes.

Para seleccionar la cruz axial de una figura cristalina se pueden seguir, dependiendo de los casos, los siguientes caminos:

1. Situarla paralela a aristas reales (o figuradas) del cristal, que se corten en un vértice real (o figurado)

2. Situarla coincidente con los elementos de simetría más importantes del cristal (generalmente coinciden con los ejes de simetría o con las nomales a los planos de simetría.

La intersección de las caras cristalinas con estos ejes cristalográficos determina la notación de las caras cristalinas. La notación más universalmente conocida es la de los Índices de Miller (igualmente aplicada para cualquier plano cristalino) que consiste en una serie de números enteros que han sido deducidos de las intersecciones por su inversión y, si es necesario, la subsiguiente reducción de fracciones.

 

Concretándonos a los objetos, existen varias operaciones (elementos de simetría) que describen las repeticiones. En las grecas nos encontramos con operaciones de traslación (el motivo se repite por traslación). La repetición de los pétalos de las flores nos conduce a operaciones de giro (el motivo se repite por giro) alrededor de ejes de simetría y, aunque no exactamente, la simetría que nos muestra la partitura o la frase sobre el Abad nos llevaría a considerar las operaciones denominadas planos de simetría (la operación que ocurre cuando uno se mira en un espejo). Análogamente, por ejemplo, si nos fijamos en la relación entre los objetos tridimensionales de la figura de abajo, descubriremos un  nuevo elemento de simetría denominado centro de simetría, que sería el punto imaginario colocado entre ambos objetos:

Dos objetos relacionados por un centro de simetría.

Combinando estos elementos de simetría con las traslaciones características de un cristal (que veremos más abajo), surgen nuevos elementos de simetría con componentes de deslizamiento (ejes helicoidales y planos de deslizamiento).  

Poliedro mostrando un eje de rotación binario que pasa por los centros de las

aristas de arriba y abajo

Poliedro mostrando un plano de simetría que relaciona la parte de arriba con la de abajo

Los elementos de simetría del tipo centro y plano, relacionan de un modo peculiar los motivos que repiten, el mismo modo que relaciona entre sí nuestras manos, que no son superponibles. Los motivos que no contienen en sí mismos ninguno de estos elementos de simetría (centro o plano) se denominan quirales y su repetición mediante estos elementos de simetría (centro o plano) genera objetos que se denominan enantiómeros respecto de los originales (la imagen especular de una de nuestras manos es enantiómera de la que ponemos delante del espejo).  

La imagen especular de cualquiera de nuestras manos es el enantiómero de la otra mano. Son objetos no superponibles y al no contener en sí mismas ni centros ni planos de simetría se denominan objetos quirales.

La asociación de elementos de rotación con centros o planos de simetría genera nuevos elementos de simetría llamados rotaciones impropias.  

Poliedro que muestra únicamente un centro de simetría en su punto medio

Eje de rotación impropia, en sentido vertical, en un cristal de urea (sobre las tríadas de índices que aparecen en la figura se hablará más adelante)

Para poder seguir hablando de la simetría, es necesario en este momento recordar un concepto fundamental relacionado con la repetición por traslación.

La repetición periódica por la que se describe la estructura interna de los cristales viene representada por un conjunto de traslaciones en las tres direcciones del espacio, de tal forma que el cristal puede considerarse como una apilamiento, en tres dimensiones, de bloques idénticos. Cada bloque, de una forma y tamaño determinados, se denomina celdilla unidad. Su tamaño viene determinado por la longitud de sus tres aristas (a, b, c) y la forma por el valor de los ángulos entre dichas aristas (alpha, beta, gamma: , , ).  

Apilamiento de celdillas formando un  cristal octaédrico

Parámetros que caracterizan la forma y tamaño de una celdilla elemental (ó celdilla unidad)

En los cristales, los ejes de simetría sólo pueden ser binarios (2), ternarios (3), cuaternarios (4) ó senarios (6), dependiendo del número de repeticiones que se

produzcan del motivo (orden de la rotación). Así, un eje de orden 3 (ternario) produce 3 repeticiones del motivo, una cada 360/3=120 grados de giro.

Las rotaciones impropias se designan con el número de orden de la rotación, con una barra encima del número.

Los ejes helicoidales se representan con el número de orden de la rotación, con un subíndice añadido que cuantifica el deslizamiento a lo largo del eje. Así, un eje helicoidal del tipo 62 representa que en cada una de las 6 rotaciones, la traslación asociada es de 2/6 de la periodicidad en la dirección del eje de la celdilla elemental.

Los planos de simetría se representan por la letra m.

Los planos de deslizamiento se representan por las letras a, b, c, n ó d, dependiendo de que la traslación asociada a la reflexión sea paralela a las traslaciones reticulares (a,b,c) o a una diagonal de un plano reticular (n) ó a una diagonal de la celdilla elemental (d).

Las letras o números que representan a los elementos de simetría tienen también una equivalencia con determinados símbolos gráficos.

El conjunto de elementos de simetría de un objeto finito, que pasan por un punto, definen la simetría total del objeto y se denominan grupo puntual de simetría.

Grupos puntuales hay muchos, pero en los cristales han de ser compatibles con la periodicidad (repetitividad por traslación) que los describe internamente. Así, en los cristales no son posibles las rotaciones (ejes de simetría) de orden 5 (un objeto que se repita a sí mismo, mediante giro, 5 veces). Con todo ello, en los cristales nos encontramos con sólo 32 posibles grupos puntuales que se denominan clases cristalinas.  

. LA MATERIA CRISTALINA Y SUS PROPIEDADES.

1.2. Propiedades de la materia cristalina

La materia cristalina posee las siguientes propiedades características: homogeneidad, anisotropía y simetría:

Homogeneidad: En la materia cristalina, el valor de una propiedad medida en una porción de un cristal se mantiene en cualquier porción de él.

Anisotropía: Las distancias entre los elementos constitutivos varía con la dirección, afectando a ciertas propiedades. Así una propiedad puede dar valores diferentes dependiendo de la dirección en que la midamos.

Simetría: Por el hecho de ser periódica la materia cristalina es simétrica. Los elementos de simetría más comunes son:

* Ejes de simetría: A su alrededor, un elemento se repite regularmente por rotación.  Según el número de repeticiones alrededor del eje (número de orden) se denominan:

Nº orden Nombre Símbolo

2 Binarios

3 Ternarios

4 Cuaternarios

6 Xenarios

  

    

Actividad 4

* Planos de simetría o reflexión: Dividen a la materia cristalina en dos mitades que son imágenes   especulares la una de la otra. Se simbolizan con la letra m.

  

    

Actividad 5

* Centro de simetría. Es la mínima simetría que tiene la materia cristalina. A partir de él se dividen por la   mitad todos los segmentos que unen puntos equivalentes. Cualquier

nudo de una red cristalina es un   centro de simetría.

Cada sistema cristalino posee unos elementos de simetría característicos. Las combinaciones posibles de planos y ejes son limitadas, y reciben el nombre de clases de simetría. Sólo existen 32 clases de simetría.

Para familiarizarte con los elementos de simetría puedes imprimir y montar las siguientes formas cristalográficas ofrecidas en la página de Cristamine.

          Prisma monoclínico             Tetraedro tetragonal            Prisma dihexagonal

Bipirámide trigonal                  Hexaoctaedro