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Crescimento das gotas por Crescimento das gotas por Colisão e CoalescênciaColisão e Coalescência
Colisões podem ocorrer a partir de diferentes respostas das gotículas com as forças gravitacional, elétrica e aerodinâmica.
O efeito gravitacional predomina nas nuvens, ou seja, as gotas grandes caem mais rápido que as pequenas, logo passando e capturando uma fração das gotículas que ficam ao longo do seu caminho.
O efeito elétrico e turbulento necessário para produzir um número comparável de colisões, deve ser muito maior do que usualmente existe na natureza. Em tempestades entretanto, campos elétricos intensos criam efeitos locais significativos
Uma vez que a gota cai, ela irá colidir com somente uma fração das gotículas em seu caminho, porque algumas gotículas serão expelidas pelo fluxo de ar em volta da gota.
Dessa maneira, podemos definir a eficiência de colisão como a razão das gotículas com raio “r” que serão varridas ao longo do caminho pela gota coletora que irá colidir com elas.
Neste sentindo temos que a eficiência de colisão depende do tamanho da gota coletora e do tamanho das gotículas a serem coletadas
A colisão não garante coalescência, pois quando um par de gotas colide várias interações são possíveis:
1) Rebatem a parte;1) Rebatem a parte;
2) Coalescem;2) Coalescem;
3) Coalescem 3) Coalescem temporariamente e se temporariamente e se separam, aparentemente separam, aparentemente retendo suas identidades retendo suas identidades inicias;inicias;
4) Coalescem 4) Coalescem temporariamente e se quebram temporariamente e se quebram em várias gotículas menoresem várias gotículas menores
Para gotas com raios menores que 100 m as interações (1) e (2) são as mais importantes
Dessa maneira podemos definir a Eficiência de Coalescência como sendo a razão entre o número de gotículas que coalesceram pelo número de colisões que ocorreram na gota coletora.
O crescimento de gotas pelo processo de colisão-coalescência é governado pela eficiência de coleta, que é o produto das eficiências de colisão e de coalescência.
Observações em laboratório indicam que para gotículas com raios menores que 100 μm a eficiência de coalescência é ~ 1 e a eficiência de coleta é igual a de colisão.
Definindo a velocidade de queda dos hidrometeoros
a) Velocidade Terminal das gotículasa) Velocidade Terminal das gotículas
temos que a Força de Fricção sob um fluido viscoso pode ser definido como:
e a Força gravitacional pode ser definida como:
onde é a viscosidade, l é a densidade do liquido e ar é a
densidade do ar, “r” é o raio da gota, g é a aceleração da gravidade e V é a velocidade.
mrrVFD 50,6
grgrF larlG 33 44
Quando FD=FG temos que V VT (Velocidade terminal da gota)
Logo temos que VT pode ser expresso como:
R (m) VT (cm/s)
1 0,01210 1,2
30 10,9 50 30,2
grV lT
2
9
2
Podemos ainda expressar a velocidade terminal em função do número de Reynolds
onde é a viscosidade dinâmica, Re é o número de Reynolds, CD é
o coeficiente de arrasto.
Para gotas bem pequenas, a solução de Stokes para um fluxo ao longo de esferas mostra que:
gRC
rVeD
lT
249
2 2
124
eDRC
logo, temos que a velocidade terminal pode ser descrita por:
onde K1 ~ 1,19 x106 cm-1s-1.
Esta dependência quadrática da velocidade terminal é conhecida como lei de Stokes e aplica-se para gotículas com raios menores raios menores que 30 que 30 m.m.
21
2
9
2rKgrV l
T
Para raios no intervalo de: 40 Para raios no intervalo de: 40 m à 0.6 mm, m à 0.6 mm,
, sendo que
rKVT 3
)(,108 133
sxK
Para CD grandes, este coeficiente torna-se independente do Re e CD
~ 0.45, sendo que isto é valido para gotículas com raios no intervalo com raios no intervalo de: 0.6 mm à 2 mmde: 0.6 mm à 2 mm
, sendo que
onde é a densidade do ar e o = 1,20 kg/m3 à P = 101.3 kPa e
T = 20 oC
2/12rKVT
12/1
2/1
032 102,2
scmxK
(b) Eficiência de Colisão(b) Eficiência de Colisão Xo é a distância do colisão
Portanto a eficiência de colisão é igual a fração das gotículas com raio “r” que são varridas pela gota coletora de raio “R” que atualmente colide. Por outro lado, E(R,r) pode ser interpretado como sendo a probabilidade de colisão de uma gotícula se ela estivesse em um volume cheio de gotículas aglutinadas.
2
20
2
20,
rR
X
rR
XrRE
Equação de Crescimento por Equação de Crescimento por Colisão/Coalescência Colisão/Coalescência
Suponha uma gota coletora de raio R e velocidade Terminal V2, caindo em uma população uniforme de gotículas menores com raio “r” e velocidade terminal V1.
Durante uma unidade de tempo, a gota coletora irá coletar gotículas de raio “r” em um volume descrito por:
dtVVrRdV 122
Assumindo um crescimento contínuo, a massa da gota coletora crescerá:
onde Wl é o conteúdo de água líquida (massa de água líquida por
unidade de volume)
ldVWdM
dtWVVrRdVWdM ll 122
como a gota coletora somente coleta uma fração das gotículas, temos que:
onde E(R,r) é a eficiência de coleta, que é o produto da eficiência de colisão e pela eficiência de coalescência,
quando as gotículas são iguais em tamanho e menores que 100 microns, é usualmente assumido que a eficiência de coalescência = 1, logo eficiência de coleta = eficiência de colisão.
dtrREWVVrRdM l ,122
2
20,rR
XrRE
Dessa maneira temos:
mas a massa da gota coletora pode ser expressa por:
rREWVVrRdt
dMl ,12
2
lRM 3
3
4
então
logo temos:
dRRdRRRddM lll223 43
3
4
3
4
rREWVVrRdt
dRR
dt
dMll ,4 12
22
ll
WrREVV
R
rR
dt
dR,
412
2
2
Assumindo que E(R,r) e Wl são constantes e
V2 >> V1 e
Dessa maneira, a equação de crescimento pode ser descrita como:
1
2
2
R
rR
l
lEWV
dt
dR
42
MODELO DE BOWENMODELO DE BOWEN
Logo para sabermos com a gota coletora evolui no tempo, podemos assumir a lei de Stokes por exemplo
22 CRV
21
22
44RK
EWCREWV
dt
dR
l
l
l
l
cteCEW
Kl
l 41
Portanto o modelo de Bowen pode ser descrito como:
Então integrando de um estágio inicial Ro até R(t)
ttR
Ro
dtKR
dR
0
1
)(
2
tRK
RtR
01
0
1)(
Porém se queremos saber como esta gota sai de uma nuvem, temos que derivar que analisar a variação do raio com a altura (dR/dz)
Assumindo que
12
2
R
rR
l
lEWVVVu
dz
dR
dt
dz
dz
dR
dz
dz
dt
dR
dt
dR
412
2
Integrando de R0 a R(t), o que implica em uma altura Z0 a Z.
)(
4
00 12
2
zfW
dzWdREVV
Vu
l
z
z
l
Rf
R
l
Agora se quisermos saber qual é o raio que emerge da base da nuvem, temos que:
Assumindo que V2 >> V1 e
00
0
z
z
ldzW
22 CRV
,
CR
uR f
0
o raio final depende somente da velocidade da corrente o raio final depende somente da velocidade da corrente ascendente.ascendente.
Distribuição de Gotículas
S1 = 10 m S2 = 20 m
(a) Todas as colisões possíveis
(b) Somente colisões entre a S1
Distribuição de Gotículas
S1 = 10 m S2 = 20 m
(c) Somente colisões entre as goticulas S1 e S2(d) Somente colisões entre as goticulas S2
Condensação e Coalescência via processo Estocástico
(a) Sem Condensação
(b) Com Condensação
Nc(cm-3)=105 S0.63
Nc(cm-3) = 1450 S0.84.