cov783_mat[1]

Disciplina: COV-783 - Matemática para Engenharia Oceânica I Prof. Paulo de Tarso - [email protected] - Sala I207/C201

1

Bibliografia Básica:

• Notas de Aula

• Kreyszig, E. - Advanced engineering mathematics - 7th Ed.

Programa do Curso: 1. Revisão de Cálculo Vetorial e Matricial 2. Capítulo I - Equações Diferenciais de 1ª Ordem. 3. Capítulo II - Equações Diferenciais de 2ª Ordem. 4. Capítulo V - Soluções por Séries. 5. Capítulo VI - Transformada de Laplace. 6. Capítulo X - Séries de Fourier. 7. Capítulo XI - Equações Diferenciais Parciais.

1. REVISÃO DE CÁLCULO VETORIAL E MATRICIAL FUNÇÕES Função é um mapeamento de um conjunto D (domínio de f) em outro conjunto I (imagem de f).

Ex: Sejam Dxx ∈21, tal que 2121 )()( xxxfxf =⇒= , dizemos então que )(xf é bi-unívoca, e portanto admite função inversa. Ex:

2)( xxf = para [ ]1,0∈x é uma função bi-unívoca que admite a função

inversa xxf =− )(1 no domínio [ ]1,0∈x , e vale a propriedade xxff =− ))(( 1 e xxff =− ))((1 .

LIMITE Diz-se que L é o limite de f(x) quando x tende a xo, ou seja,

Lxfxx

=→

)(lim0

ou L)x(f → quando 0xx→ se:

0>∀ε existe 0),( 0 >xεδ tal que ε<− Lxf )( sempre que δ<−< 0xx0 .

Ex: Seja 3x2)x(f −= , o limite de f(x) quando x tende a 2 é igual a: 1)x(flim

2x=

→

CONTINUIDADE Uma função f(x) é contínua em x0 sempre que )x(f)x(flim 0xx 0

=→

ou em termos matemáticos

0>∀ε existe 0),( 0 >xεδ tal que ε<− )x(f)x(f 0 sempre que δ<− 0xx .

11,02)1(8)( 2

≤<+−=

xxxxxf


2

Ex: Seja uma função 2x)x(f = , para 4x0 ≤≤ , 3x ≠ e

27)x(f = , para 3x = Sabendo-se que 9)x(flim

3x=

→, podemos verificar que a função não é contínua no ponto

3x = , pois 27)3(f)x(flim3x

=≠→

.

DERIVAÇÂO A derivada )x('f de uma função )x(f é definida da seguinte forma:

h)x(f)hx(flim)x('f

0h

−+=

→, quando este limite existe.

Ex: Seja 2x)x(f = , sua derivada será calculada como segue:

x2hx2limhhxh2lim

hxhxh2xlim

hx)hx(lim)x('f

0h

2

0h

222

0h

22

0h=+=

+=

−++=

−+=

→→→→

PROPRIEDADES DOS VETORES ESCALARES, VETORES

• Escalar é uma grandeza que é determinada exclusivamente por sua intensidade (ou magnitude).

Ex: comprimento, temperatura,Voltagem.

• Vetor é uma grandeza que se determina por sua intensidade e direção.

É representado, usualmente por uma flecha.

Ex: Força, Velocidade, Aceleração

O tamanho de um vetor ar é chamado de norma e é representado por ar . Um vetor com norma igual a 1 é um Vetor Unitário. Por definição dois vetores ar eb

rsão iguais, isto é, ar = b

r se têm a mesma intensidade, mesma

direção e sentido.


3

COMPONENTES DE UM VETOR Seja um sistema cartesiano x y z, no qual um dado vetor ar tenha como ponto inicial P (x1, y1, z1) e final Q(x2, y2, z2). Segue-se que os 3 números:

são as componentes do vetor

O comprimento (norma) do vetor será

Por exemplo, o vetor ar com ponto inicial P: (3, 1, 4) e final Q: (1, -2, 4) tem componentes

portanto,

ADIÇÃO VETORIAL Definição: A soma ar +b

r de dois vetores ar =[a1,a2,a3] e b

r = [b1,b2,b3] é obtida somando as respectivas

componentes

VETORES UNITÁRIOS Outra forma de representação de vetores é:

LLLLLL 123122121 zza;yya;xxa −=−=−=

[ ]321 a,a,aa =r

23

22

21 aaaa ++=

r

044312231

3

2

1

=−=−=−−=

−=−=

aaa

[ ]0,3,2 −−=ar

( ) ( ) 13032 222 =+−+−=ar

[ ]332211 ,, babababa +++=+rr


4

ar = [a1,a2,a3] = kajaia 321

rrr++ onde k,j,i

rrrsão vetores unitários nas direções positivas dos

eixos x,y e z, assim: [ ]0,0,1i =

r, [ ]0,1,0j =r

, [ ]1,0,0k =r

PRODUTO INTERNO (ESCALAR) O produto interno (ou escalar) de dois vetores [ ]321 ,, aaaa =r e [ ]321 b,b,bb =

r

é definido como γcosbab.a =rr

se 0a ≠r e 0b ≠r

. Por outro lado 0b.a =rr

se 0a =r ou se 0b =r

O produto escalar pode ser calculado a partir das componentes dos vetores ar e br

da seguinte forma 332211 bababab.a ++=

rr

Um vetor ar é dito ORTOGONAL a um vetor b

r se 0b.a =

rr.

..... Teorema: “O produto interno de dois vetores não-nulos é zero se e somente se estes vetores são perpendiculares”. O comprimento do vetor ar pode ser calculado a partir do produto interno como segue:

γcosbab.a =rr

, logo fazendo ab rr= teremos que o ângulo 0=γ e portanto,

a.aa0cosaaa.a rrrrrrr=→=

Ex: 1: Ache o produto interno, os comprimentos e o ângulo entre os vetores

[ ]0,2,1=ar e [ ]1,2,3b −=r

11.0)2.(23.1. −=+−+=barr

5021a.aa 222 =++==rrr

141)2(3b.bb 222 =+−+==rrr

701

bab.acos

1451 −=== −rr

rr

γ , 0865,96=γ

PROPRIEDADES

• [ ] cbcacba rrrrrrr ... βαβα +=+ (Linearidade)

• a.bb.a rrrr= (Simetria)


5

• 0a0a.a

0a.arrrr

rr

=⇔=

≥ (Forma Positivo-Definida)

baba

rrrr+≤+ (Desigualdade Triangular)

PRODUTO VETORIAL O produto vetorial ba

rr⊗ de dois vetores [ ]321 a,a,aa =r e [ ]321 b,b,bb =

ré um vetor bav

rrr⊗=

cuja direção é perpendicular ao plano formado por ar .e br

tal que . ar , br

e barr

⊗ ...formam um triedo direto. Sejam ar =[a1,a2,a3], [ ]321 b,b,bb =

r e [ ] bavvvv

rrr⊗== 321 ,, . Podemos determinar as

componentes jv de vr da seguinte forma:

[ ] ( ) ( ) ( )122131132332

321

32132,1 , babakbabajbabaibbbaaakji

vvv −+−+−==rrr

rrr

PROPRIEDADES GERAIS ( ) )( bakbak

vrrr⊗=⊗ , onde k é um escalar

cabacba rrrrrrr⊗+⊗=+⊗ )(

cbcacba rrrrrrr⊗+⊗=⊗+ )( )

)( baabrrrr

⊗−=⊗

cbacba rrrrrr⊗⊗≠⊗⊗ )()(

OPERADORES VETORIAIS Seja ),,( zyxP um campo escalar e kVjViVVVVzyxV zyxzyx

rrrr++== ),,(),,( um campo vetorial,

podemos definir os seguintes operadores vetoriais: GRADIENTE

zPj

yPi

xPzyxP

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇rr

),,(

DIVERGENTE

zV

yV

xV

V zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∇r.

ROTACIONAL


6

)()()(yV

xV

kxV

zV

jzV

yViV xyzxyz

∂∂

−∂

∂+

∂∂

−∂∂

+∂

∂−

∂∂

=×∇rrrr

MATRIZES CONCEITOS BÁSICOS Uma matriz é um arranjo de números envolvido em chaves, como no exemplo abaixo:

−−

1052,32,1384,02

ou

22

3xexe

x

x

- N0 de linhas horizontais [linhas] - N0 de linhas verticais [colunas] Ex: Sistemas de equações Um sistema de equações pode ser representado na forma matricial como no exemplo:

025 =+− zyx 0403 =++ zyx

=

−00

403125

zyx

Uma matriz com m-linhas e n-colunas tem a forma

[ ]

==

mnmm

n

jk

aaa

aaaa

aA

KK

MM

MM

M

KK

21

21

11211

Onde o termo geral é dado por ija ,onde i representa a linha e j a coluna. Se o número de linhas m é igual ao número de colunas n diz-se que a matriz é quadrada. Uma submatriz de uma matriz A (mxn) é obtida eliminando-se alguma(s) linha(s) ou coluna(s) de A.


7

Ex: A matriz

=

232221

131211

aaaaaa

A admite as seguintes submatrizes:

2221

1211

aaaa

ou

2321

1311

aaaa

VETORES Um vetor é uma matriz de uma única linha [vetor linha] ou uma única coluna [vetor coluna]

Ex: br

é um vetor coluna

nb

bbb

M3

2

1

cr é um vetor linha [ ]nccc L2

TRANSPOSTA A transposta AT de uma matriz A= [ ]jka de tamanho m x n (m linhas e n colunas) é uma matriz de tamanho n x m em que são trocadas as linhas pelas colunas. Ex:

−=

004185

A

−=

010845

TA

MATRIZ SIMÉTRICA É uma matriz quadrada tal que A=AT ou seja

jiij aa =


8

Ex:

=

943472321

A

MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA É uma matriz quadrada tal que TAA −= , ou seja

jiij aa −=

Ex:

−−

−=

043402320

A

ADIÇÃO DE MATRIZES É definida apenas para matrizes de mesmo tamanho, isto é, sejam [ ]jkaA = , [ ]jkbB = . A matriz

soma BAC += terá como coeficientes jkjkjk bac +=

Ex:

−=

210364

A ,

−=

013015

B

=

++++−+−

=+=223351

021130031654

BAC

MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR O produto de um escalar α por uma matriz [ ]jkaA = é a matriz [ ]jkaA αα =

Ex: Seja

−=

210364

A , a matriz A3B = é dada por

−=

×××××−×

=63091812

2313033363)4(3

B

PRODUTO DE MATRIZES


9

O produto ABC = de uma matriz [ ]jkaA = mxn e uma matriz [ ]jkbB = rxp só está definido se n=r, isto é, o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B, tal que a matriz [ ]jkcC = terá elemento geral jkc

nkjnk22jk11jpkn

1p jpjk babababac +++== ∑ =L

Ex:Sejam

=

092734

A e

=

6152

B .

A matriz produto

=

++++++

==451847163811

6x05x91x02x96x25x71x22x76x35x41x32x4

ABC

OBS: AB ≠ BA (em geral) MATRIZ TRIANGULAR

−

205032001

(Matriz Triangular Inferior)

−

400320161

(Matriz Triangular Superior)

MATRIZ DIAGONAL

500020001

0a jk = se kj ≠

MATRIZ UNITÁRIA OU IDENTIDADE

=

100010001

I (Matriz Identidade com 3 linhas e colunas)


10

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM. CONCEITOS BÁSICOS: Equações Diferenciais são equações que contém derivadas da função incógnita y(x), que deve ser determinada para todo x.

Equação Ordem da maior derivada Observação

xxy cos)(' = 1ª Equação diferencial c/ 1 variável 0)(4)('' =+ xyxy 2ª Equação diferencial c/ 1 variável

)()2()(''2)(')(''' 222 xyxxyexyxyx x +=+ 3ª Equação diferencial c/ 1 variável. Produto de incógnitas ⇒ equação não-linear.

CONCEITO DE SOLUÇÃO: Uma solução de uma equação diferencial de 1ª ordem F[x,y(x),y'(x)]=01 em algum intervalo aberto a<x<b é uma função y(x) que satisfaça F[x,y(x),y'(x)]=0 para todo x∈(a,b).

Exemplo:

1. y(x)=x2 é a solução de xy'(x)=2y(x)

Verificação: y(x)=x2 ⇒ y'(x)=2x ⇒ x2x=2x2 ⇒ 2x2=2x2

2. y'(x)=cosx ⇒ ∫y'(x)dy=∫cosxdx+c ⇒ y(x)=senx+c

y(x)=senx+c é a solução geral; quando c for especificado (condições de contorno) tem-se a solução particular para aquelas condições.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SEPARÁVEIS. Muitas equações diferenciais podem ser transformadas para a forma: g(y(x))y'(x)=f(x) por meio de manipulações algébricas:

g(y)y'(x)=f(x) ⇒ )()( xfdxdyyg = ⇒ g(y)dy=f(x)dx ⇒ ∫g(y)dy=∫f(x)dx+c

cdx)x(fdxdx

)x(dy)]x(y[g += ∫∫ ⇒ ∫g[y(x)]dy=∫f(x)dx+c2

onde os termos que dependem de y e x aparecem separados e em lados opostos da equação.

Exemplo:

1 F[x,y(x),y'(x)]=0 é equação escrita na forma implícita. A equação 22 yxz += representa um cone superior e pode ser escrita na

forma implícita F(x,y,z) ou na forma explícita z=f(x,y) ⇒ 0yxz]z,y,x[F 22 =+−= .

2 ∫= x

0 dt)tsen()x(F ⇒ X


11

9yy'+4x=0 ⇒ 9yy'=-4x ⇒ ∫9ydy=∫-4xdx+c ⇒ 9∫ydy=-4∫xdx+c ⇒ cxy+−=

24

29

22

c2x4

2y9 22

=+ ⇒ c2x4

2y9 22

=+ ⇒ 18c

36x4

36y9 22

=+ ⇒ '49

22

cyx=+ ⇒ '

23 2

2

2

2

cyx=+

equação da elipse:

=+ 12

2

2

2

by

ax

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

123 2

2

2

2

=+yx

=+ 12

2

2

2

by

ax

a=3, b=2

PROBLEMA DE VALOR INICIAL (P.V.I.)

y'+5x4y2=0 e y(0)=1

y'+5x4y2=0 ⇒ y'=-5x4y2 ⇒ 42 5' xyy

−= ⇒⇒ 42 51 xdxdy

y−= ⇒ dxx

ydy 42 5−= ⇒

⇒ cdxxydy

+−= ∫∫ 42 5 ⇒ cdxxdy

y+−= ∫∫ 4

2 51 ⇒

⇒ cxy

+−=−5

51 5

⇒ cxy

−= 51 ⇒

cx1)x(y 5 −

=

Como y(0)=1 e c1

c01)0(y 5 −=−

= ⇒ 1c1=− c=-1 ⇒

11)( 5 +

=x

xy


12

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2ª ORDEM. Uma equação diferencial de 2ª ordem é linear se pode ser escrita na forma:

y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)

e será não-linear se não puder ser escrita nessa forma. Se r(x)=o essa equação é dita homogênea

Exemplos:

3y''+4y'+5y=x2 é uma equação linear não-homogênea

3y''+4y'+5y=0 é uma equação linear homogênea

As funções p(x) e q(x) são os coeficientes da equação diferencial.

Exemplos:

y''+4y=e-xsenx é uma equação linear

x[y''y+(y')2]-2xy'+6y=0 é uma equação não-linear

1')( 2+= yxy é uma equação não-linear

TEOREMA FUNDAMENTAL DA EQUAÇÃO HOMOGÊNEA: “Para uma equação diferencial linear e homogênea, y''+p(x)y'+q(x)y=0, qualquer combinação linear de 2 soluções num intervalo aberto I é também solução da equação diferencial linear homogênea nesse intervalo. Em particular, somas e constantes múltiplas de soluções são também soluções”. Observação: Esse teorema não vale para equações diferenciais não-homogêneas ou não-lineares. Exemplos:

1. y''+y=1 é uma equação diferencial linear e não-homogênea

y1(x)=1+cosx é solução

y2(x)=1+senx é solução

y3(x)=y1(x)+y2(x)=1+cosx+1+senx=2+cosx+senx não é solução

2. y''+y=0 é uma equação diferencial linear e homogênea

y1(x)=cosx é solução

y2(x)=senx é solução

y3(x)=y1(x)+y2(x)=cosx+senx é solução

3. y''y-xy'=0 é uma equação diferencial não-linear e homogênea

y1(x)=x2 é solução


13

y2(x)=1 é solução

y3(x)=y1(x)+y2(x)=x2+1 não é solução

Para as equações diferenciais lineares e homogêneas de 2ª ordem, a solução geral é da forma:

y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)

isto é, uma combinação linear de 2 soluções envolvendo 2 constantes (c1 e c2) arbitrárias.

PROBLEMA DE VALOR INICIAL O problema de valor inicial envolve a equação: y''+p(x)y'+q(x)y=0 e as condições iniciais y(x0)=k1 e y'(x0)=k2.

Exemplo: y''-y = 0, y(0)=5 e y'(0)=3

Admitindo que conhecemos duas soluções linearmente independentes, y1(x)=ex e y2(x)=e-x , a solução geral será dada por ⇒ y(x)=c1y1(x)+c2y2(x) =c1ex+c2e-x

Para obter as constantes c1 e c2 precisamos impor as condições iniciais,

y(x)=c1ex+c2e-x ⇒ y'(x)=c1ex-c2e-x ⇒ y''(x)=c1ex+c2e-x

como y(0)=5 ⇒ y(0)=c1e0+c2e-0=5 ⇒ c1+c2=5

como y'(0)=3 ⇒ y'(0)=c1e0-c2e-0=3 ⇒ c1-c2=3

Solucionando o sistema de equações c1+c2=5 e c1-c2=3

c1+c2+c1-c2=5+3

2c1=8 ⇒ c1=4

4+c2=5 ⇒ c2=1

então y(x)=c1ex+c2e-x ⇒ y(x)=4ex+e-x

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS HOMOGÊNEAS A COEFICIENTES CONSTANTES, y''+ay'+by=0.

Admitindo que a solução é da forma exponencial y(x)=eλx (λ pode ser complexo) ⇒ y'(x)=λeλx e y''(x)=λ2eλx

Substituindo na equação y''+ay'+by=0, teremos:

λ2eλx+aλeλx+beλx=0

eλx(λ2+aλ+b)=0

Para que a expressão acima seja nula para qualquer valor de x basta que λ2+aλ+b=0.

λ2+aλ+b=0 é a equação característica da equação diferencial de 2ª ordem

2b4aa 2 −±−

=λ ⇒ 2

b4aa 2

1−+−

=λ ⇒ 2

b4aa 2

2−−−

=λ

x1

1e)x(y λ= e x2

2e)x(y λ=

Existem 3 possibilidades:


14

1ª. ∆ = a2-4b>0 ⇒ (2 raízes reais e distintas) x

11e)x(y λ= e x

22e)x(y λ=

a solução geral é da forma: )x(yc)x(yc)x(y 2211 += ⇒ x2

x1

21 ecec)x(y λλ +=

2ª. ∆ = a2-4b=0 ⇒ (2 raízes reais e iguais 2a

21 −=λ=λ )

x2a

1 e)x(y−

= e x

2a

2 xe)x(y−

= (utilizando a técnica da redução de ordem)

a solução geral é da forma: x

2a

2

x2a

12211 xecec)x(yc)x(yc)x(y−−

+=+= ⇒ )xcc(e)x(y 21

x2a

+=−

3ª. ∆ = a2-4b<0 ⇒ (2 raízes complexas)3

ω+−=λ i2a

1 , ω−−=λ i2a

2 , onde 4ab

2

−=ω

x1

1e)x(y λ= e x2

2e)x(y λ=

xix2axix

2axi

2a

1 eeee)x(y ω−ω+−

ω+−

=== xix2axix

2axi

2a

2 eeee)x(y ω−−ω−−

ω−−

===

A partir destas duas soluções complexas podemos através de combinação linear conveniente obter duas funções reais e linearmente independentes

)cos()( 21 xexy

xa

ω−

= e )()( 22 xsenexy

xa

ω−

=

A solução geral será da forma:

)xsen(ec)xcos(ec)x(yc)x(yc)x(yx

2a

2

x2a

12211 ω+ω=+=−−

⇒ )]xsen(c)xcos(c[e)x(y 21

x2a

ω+ω=−

3 Revisão de números complexos:

z=x+yi onde 1i −= 22 yxr +=

=θ

xyarctan

z=x+iy=reiθ x=rcosθ (eixo horizontal = valores reais) y=rsenθ (eixo vertical = valores imaginarios) Identidade de Euler: eiθ=cosθ+isenθ

No plano complexo, multiplicar por i eqüivale a uma rotação de 90°, no sentido anti-horário.

Revisão de Expansão de Taylor:

...!3

)xx)(x('''f!2

)xx)(x(''f!1

)xx)(x('f)x(f)x(f3

002

00000 +

−+

−+

−+=

...!5

x!4

x!3

x!2

xx1e5432

x ++++++=

...!5

i!4

i!3

i!2

ii1e55443322

i +θ

+θ

+θ

+θ

+θ+=θ ⇒ ...!5

)i(!4

)1(!3)i(

!2)1(i1e

5432i +

θ+

θ+

θ−+

θ−+θ+=θ ⇒ ...

!5i

!4!3i

!2i1e

5432i +

θ+

θ+

θ−

θ−θ+=θ

...!4!2

1cos42

+θ

+θ

−+=θ e ...!5

i!3

iisen53

+θ

+θ

−θ=θ


15

SISTEMA MASSA+MOLA

1. SISTEMA SEM AMORTECIMENTO. m = massa k = constante da mola (rigidez) ks0 = mg⇒ Peso igual à deflexão inicial da mola ∑FEXT = my''(t) -ky(t) = my''(t) my''(t)+ky(t) = 0

0)t(y

mk)t(''y =+

Comparando 0)t(ymk)t(''y =+ com a forma geral da equação y''(t)+ay'(t)+by(t)=0 temos,

a=0, mkb = ⇒ ∆=a2-4b<0 ⇒ λ1 e λ2 complexos e distintos ⇒

−=−−

=λ

=−

=λ

mki

2mk4

mki

2mk4

2

1

Definindo mk

=0ω ⇒

+

=+=

−t

mkBsent

mkAtBsentAety

ta

cos)]()cos([)( 2 ωω

+

=+= t

mkBsent

mkAtwBsentwAty cos)()cos()( 00

é uma oscilação harmônica

Para determinar as constantes A e B, precisamos das condições iniciais y(0)=y0 e y'(0)=v0. A solução também pode ser escrita na forma y(t)=Ccos(ω0t-δ), onde C é a amplitude (A=Ccosδ, B=Csenδ) e δ é a fase.


16

y=C*cos(w0*t-δ)

-1,00

-0,75

-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0,00

0,79

1,57

2,36

3,14

3,93

4,71

5,50

6,28

7,07

7,85

8,64

9,42

10,21

11,00

11,78

C*cosδ

C

t

y

T

y(t)=Ccos(ω0t-δ)

y(t)=Ccos[ω0(t+T)-δ]

y(t)=Ccos(ω0t+ω0T-δ)

como 0

2Tωπ

= é o período de y(t)

δ−

ωπ

ω+ω=0

002tCcosy(t)

y(t)=Ccos(ω0t+2π-δ)

como cos(ω0t+2π)=cos(ω0t)

y(t)=Ccos[ω0t-δ]

A relação entre as constantes A,B,C,δ fica esclarecida a partir das relações:

A=Ccosδ e B=Csenδ ⇒

A2+B2=C2cos2δ+C2sen2δ=C2(cos2δ+sen2δ)=C2 ⇒ 22 BAC +=

δ=δδ

=δδ

= tancossen

cosCsenC

AB ⇒

=δ

ABarctan

2. SISTEMA COM AMORTECIMENTO

A forca de amortecimento linear é uma função proporcional à velocidade e com sentido contrário ao sentido desta.

∑FEXT=my''(t)

∑FEXT =-ky(t)-cy'(t)

-ky(t)-cy'(t)= my''(t) ⇒ my''(t)+cy(t)+’ky(t)=o

0)t(ymk)t('y

mc)t(''y =++

Comparando 0)t(ymk)t('y

mc)t(''y =++ com a forma geral y''(t)+ay'(t)+by(t)=0 vamos obter a

equação característica:

0mk

mc2 =+λ+λ ⇒

2

4

)1(2

)1(4

24 2

22

2 mkmc

mc

mk

mc

mc

baa−

±−=

−

±−

=−±−

=λ

⇒ m2

km4cm2c

m2km4cc

2

km4cm1

mc

222

−±−=

−±−=

−±−=λ

chamando m2c

=α e m2

km4c2 −=β ⇒ β±α−=

−±−=λ

m2km4c

m2c 2

⇒

β−α−=λβ+α−=λ

2

1

Numa EDO de 2ª ordem, a solução vai depender do valor relativo entre os parâmetros c,m,k a


17

partir do comportamento do termo ∆=c2-4mk (discriminante):

• ∆=c2-4mk<0 ⇒ λ1≠λ2 são 2 raízes complexas → CONDIÇÕES DE SUBAMORTECIMENTO4

• ∆=c2-4mk=0 ⇒ λ1=λ2 são 2 raízes reais iguais → CONDIÇÕES DE AMORTECIMENTO CRÍTICO (c0)

• ∆=c2-4mk>0 ⇒ λ1≠λ2 são 2 raízes reais distintas → CONDIÇÕES DE SUPERAMORTECIMENTO

Vamos analisar cada uma das condições acima definidas:

1. CONDIÇÃO DE SUPERAMORTECIMENTO

∆=c2-4mk>0 ⇒ λ1≠λ2 são 2 raízes reais ⇒ A solução é dada por:

t)(2

t)(1

t)(2

t)(1

t2

t1 ecececececec)t(y 21 β+α−β−α−β−α−β+α−λλ +=+=+=

Em consequência:

1. Não ocorre oscilação

2. Os coeficientes das exponenciais são ambos negativos, porque α>0, β>0, (α+β)>0 e:

m2km4c2 −

=β ⇒mk

mk

m2c

m4km4

m4c

m4km4c 2

2

22

2

2

22 −α=−

=−=−

=β ⇒ β<α ⇒ (α-β)>0 ⇒

exp(-x)

Logo, o comportamento assintótico da função para grandes valores de t ⇒ 0elim t

t1 =λ

∞→ e

0elim t

t2 =λ

∞→.

2. CONDIÇÃO DE AMORTECIMENTO CRÍTICO

∆=c2-4mk=0 ⇒ λ1=λ2=λ (2 raízes reais e iguais), com β=0, λ1=λ2=-α. A solução será dada por:

)(1)()()( 21212121 tcce

tececetccetccty ttttt +=+=+=+= −−−

ααααλ

exp(-x)

A função exponencial domina qualquer função polinomial quando t tende ao infinito, como se pode observar através da aplicação da Regra de L’Hopital:

4 Na prática, esta é a condição mais importante.


18

∞∞

=α∞→ tt etlim ⇒ aplicando a regra de L’Hopital5 ⇒ 01limlim ==

∞→∞→ tttt eet

αα α

3. CONDIÇÃO DE SUB-AMORTECIMENTO

∆=c2-4mk<0 ⇒ λ1≠λ2 são duas raízes complexas.

imc

mki

mckmi

mckm

mkmc

mc

*4

)4

4(

2)4(

24

2

2

2

2

22

22

ωααα

αλ

±−=−±−=−

±−

=−−

±−=−

±−=

2

2

2

2

444*

mc

mk

mckm

−=−

=ω

ω−α−=λω+α−=λ

i*i*

2

1

)t*cos(Ce)]t*sen(B)t*cos(A[e)t(y tt δ−ω=ω+ω= α−α−

RESUMO:

0''' =++ ymky

mcy ⇒ 0

mk

mc2 =+λ+λ ⇒

m2km4cc

2mk4

mc

mc

2

2

2,1−±−

=−

±−

=λ

m2km4c

m2c

m2km4cc 22

2,1−

±−

=−±−

=λ ⇒

−=β

=α

m2km4c

m2c

2 ⇒ β±α−=λ 2,1

Casos possíveis em função do valor de ∆=c2-4km:

5 Regra de L’Hopital: se

∞∞

=∞→ )t(g

)t(flimt

⇒ )t('g)t('flim

)t(g)t(flim

tt ∞→∞→=


19

1. ∆=c2-4km>0 ⇒ c2>4km ⇒ Superamortecimento ⇒ t2

t1

21 ecec)t(y λλ +=

2. ∆=c2-4km=0 ⇒ c2=4km ⇒ Amortecimento Crítico ⇒ ]tcc[e)t(y 21t += α−

3. ∆=c2-4km<0 ⇒ c2<4km ⇒ Subamortecimento ⇒ )]*sen()*cos([)( tBtAety t ωωα += − , com

2

2

4*

mc

mk−=ω


20

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NÃO-HOMOGÊNEAS

Uma equação diferencial ordinária não homogênea de 2ª ordem é dada por:

y''+p(x)y'+q(x)y=r(x) com [r(x)≠0]

Definição: uma solução geral da equação diferencial ordinária não homogênea de 2ª ordem em algum intervalo aberto I é do tipo: y(x)=yh(x)+yp(x), onde yh(x)=c1y1(x)+c2y2(x) é a solução geral da parte homogênea da equação diferencial em I e yp(x) é qualquer solução da parte não homogênea da equação diferencial.

A solução particular da equação diferencial não homogênea em I é uma solução obtida a partir de yh(x)+yp(x), quando atribuímos valores às constantes c1 e c2 de yh(x).

Passos para a resolução de problemas com equação diferencial ordinária não homogênea de 2ª ordem:

1. Resolver a equação homogênea [r(x)=0].

2. Encontrar uma yp(x) que satisfaça a equação diferencial ordinária não homogênea de 2ª ordem.

Exemplo: Resolva o seguinte problema de valor inicial:

y''-4y'+3y=10e-2x com y(0)=1, y'(0)=-3

Supondo que y(x)=eλx ⇒ y'(x)=λeλx ⇒ y''(x)= λ2eλx e substituindo y(x), y'(x) e y''(x) na equação y''-4y'+3y = 0 (porção homogênea) tem-se:

λ2eλx-4λeλx+3eλx=0

(λ2-4λ+3) eλx=0

λ2-4λ+3=0 (equação característica)

12224

244

212164

±=±

=±

=−±

=λ ⇒ λ1=1 e λ2=3

para λ1=1: y1(x)=ex

para λ2=3: y2(x)=e3x

então: yh(x)=c1ex+c2e3x

Para obter a solução não-homogênea temos que r(x)=10e-2x ⇒ supondo yp(x)=ce-2x

⇒ yp'(x)=-2ce-2x ⇒ yp''(x)=4ce-2x

substituindo yp(x), yp'(x) e yp''(x) em y''(x)-4y'(x)+3y(x)=10e-2x (solução particular) tem-se:

y''(x)-4y'(x)+3y(x)=10e-2x

4ce-2x+8ce-2x+3ce-2x=10e-2x

4c+8c+3c=10 ⇒ 15c=10 ⇒ 32

1510c == ⇒ x2

p e32)x(y −=


21

logo x2x32

x1ph e

32ecec)x(y)x(y)x(y −++=+= ⇒

x2x32

x1 e

34ec3ec)x('y −−+=

como y(0)=1 e )0(2)0(32

01 e

32ecec)0(y −++= ⇒ 1

32cc 21 =++ ⇒

31cc 21 =+ ⇒ 3c1+3c2=1

como y'(0)=-3 e )0(2)0(32

01 e

34ec3ec)0('y −−+= ⇒ 3

34c3c 21 −=−+ ⇒

35c3c 21 −=+ ⇒ 3c1+9c2=-5

Resolvendo o sistema de equações:

3c1+3c2=1

3c1+9c2=-5

Subtraindo a 2ª equação da 1ª tem-se:

3c1+3c2-3c1-9c2=1+5

-6c2=6 ⇒ c2=-1

Como 3c1+3c2=1 ⇒ 3c1+3(-1)=1 ⇒ 3c1-3=1 ⇒ 3c1=4 ⇒ 34c1 =

Então, a solução final é dada pela expressão:

x2x3xph e

32ee

34)x(y)x(y)x(y −+−=+=

OSCILAÇÕES FORÇADAS

Os movimentos livres do sistema massa+mola+amortecimento são governados pela equação:

my''(t)+cy'(t)+ky(t)=0

Se for imposta uma força externa r(t) sobre o corpo, obtém-se os movimentos forçados, com a seguinte equação diferencial:

my''(t)+cy'(t)+ky(t)=r(t)

onde r(t) é a força de excitação.

No caso particular, onde r(t)=F0cos(ωt), para F0>0 e ω>0 obtém-se:

my''(t)+cy'(t)+ky(t)=F0cos(ωt)

A solução geral desta equação consiste em somar a solução da porção homogênea yh(t) com alguma solução específica da porção não-homogênea yp(t).

Derivando yp(t)=acos(ωt)+bsen(ωt) obtemos:

yp'(t)=-ωasen(ωt)+ωbcos(ωt) e yp''(t)=-ω2acos(ωt)-ω2bsen(ωt).

Substituindo yp(t), yp'(t) e yp''(t) em my''(t)+cy'(t)+ky(t)=F0cos(ωt) obtém-se:

m[-ω2acos(ωt)-ω2bsen(ωt)]+c[-ωasen(ωt)+ωbcos(ωt)]+k[acos(ωt)+bsen(ωt)]=F0cos(ωt).

Reagrupando os termos teremos:

[-mω2a+cωb+ka]cos(ωt)+[-mω2b-cωa+kb]sen(ωt)=F0cos(ωt)


22

Comparando os termos comuns em ambos lados da equação obtemos:

[-mω2b-cωa+kb]=0 e [-mω2a+cωb+ka]=F0

Resolvendo o sistema de equações para determinar as constantes a e b:

-cωa+(k-mω2)b=0

(k-mω2)a+cωb=F0

⇒ 22220 c)mk(cFb

ω+ω−ω

=

⇒ 2222

2

0 c)mk()mk(Faω+ω−

ω−=

fazendo mk

=20ω ⇒ 222220

2

220

0 c)(m)(mFa

ω+ω−ωω−ω

= e 222220

20 c)(mcFb

ω+ω−ωω

=

Então

)sen()(

)cos()()()sen()cos()( 22222

02022222

02

220

0 tcm

cFtcm

mFtbtatyp ωωωω

ωωωωω

ωωωω

+−

+

+−

−=+=

CASO 1: OSCILAÇÕES FORÇADAS NÃO AMORTECIDAS (c=0 e ω≠ω0)

Impondo nas fórmulas anteriores um amortecimento nulo, (c=0) teremos:

)( 220

0

ωω −=m

Fa e 0b = ⇒

)cos()1(

)cos()1(

)cos()1(

)cos()(

)()cos()(

20

20

20

20

20

220

022

0

0

tk

Ft

mkm

F

tm

Ftm

Ftbsentatyp

ω

ωω

ω

ωω

ω

ωωω

ωωω

ωω

−=

−=

=−

=−

=+=

)cos(

1

)cos()cos()(

)cos()()()(2

0

0022

0

00 t

k

FtCtm

FtCtytyty ph ω

ωω

δωωωω

δω

−

+−=−

+−=+=

Fator de Ressonância 2

0

1

1

−

=

ωω

ρ ⇒ )cos()cos()()()( 00 tk

FtCtytyty ph ωρδω +−=+=

Se ω→ω0 ⇒ ρ→∞

O fenômeno da ressonância é uma amplificação da resposta do sistema quando existe a proximidade entre a freqüência natural (ω0) e a freqüência de excitação (ω).


23

CASO 2: OSCILAÇÕES FORÇADAS NÃO AMORTECIDAS (c=0 e ω=ω0) Neste caso não podemos utilizar as fórmulas anteriores devido à singularidade no denominador pois w=w0 e c=0. Voltando à equação original vamos obter a solução abaixo:

)cos()()('' 002

0 tmFtyty ωω =+

)sen(2

)cos()()()( 00

00 t

mtFtCtytyty ph ωω

δω +−=+=

Pode-se observar que a resposta forçada (yp(t)) tende a crescer conforme o tempo t tende para infinito. BATIMENTO É um fenômeno que ocorre quando a freqüência de excitação se aproxima da freqüência natural, ou seja, ω≈ω0. Neste caso, a solução é dada por:

)(,)]cos()[cos()(

)( 00220

0 ωωωωωω

≠−−

= ttm

Fty

Se as condições iniciais forem y(0)=0 e y’(0)=0 ⇒

−

+

−= ttm

Fty2

sen2

sen)(

2)( 0022

0

0 ωωωωωω

O gráfico vermelho é uma função com freqüência ω e o gráfico marron é uma função com freqüência ω0.

O gráfico vermelho é uma função com freqüência 2

0 ω+ω ,

o marron é uma função com freqüência 2

0 ω−ω e o

gráfico azul é uma função cuja freqüência é uma combinação das outras duas.

CASO 3: OSCILAÇÕES FORÇADAS SUB-AMORTECIDAS ( <0)


24

A solução homogênea é dada por )]*sen()*cos([)( tBtAety th ωωα += −

Quando t→∞ a solução yh(t)→0. Passada a fase transiente, o sistema entra em regime estacionário (steady state). Neste caso, a amplitude da resposta forçada será sempre finita, mas pode atingir um valor máximo para algumω , em função do valor do amortecimento c. A resposta forçada é dada pela expressão )cos()( * ηω −= tCty p

onde 22222

02

022*

)()(

ωωωω

cmFbaC

+−=+= e )(

)tan( 220 ωωωη−

==m

cab

A equação diferencial completa é dada por my’’+cy’+ky = F0cos(ωt), e a solução da parte não-homogênea (resposta forçada) é dada por: yp(t)=acos(ωt)+bsen(ωt), onde

2222

2

0 )( ωωωcmk

mkFa+−

−= e 22220 c)mk(

cFbω+ω−

ω= . Para obtermos o ponto de máximo a condição

necessária é a de que a primeira derivada se anule, 0)(*=

ωω

ddC

.

Sabendo que )(* ωC é dado por:

21

222220

2022222

02

0* ])([)(

)(−

+−=+−

= ωωωωωω

ω cmFcm

FC

Derivando e igualando a zero, teremos: 0)(*=

ωω

ddC

⇒ -2ωm2(ω02-ω2)+c2ω=0 ⇒ c2=2m2(ω0

2-ω2)

Se c2>2m2ω02=2mk ⇒ não existe solução real e portanto não existe máximo local da função.

Se c2≤2m2ω02=2mk ⇒ existe solução real e ω=ωmáx onde 2

2202

220

2

máx m2c

m2cm2

−ω=−ω

=ω .

A amplitude correspondente à freqüência máxima é dada por:

220

20*

42)(

cmcmFC máx

−=

ωω


25

MÉTODO DOS COEFICIENTES A DETERMINAR

Para se obter uma solução geral de uma equação diferencial não homogênea linear, necessita-se de uma solução para a porção homogênea yh(x) e uma outra para a porção particular yp(x). Um dos métodos para se determinar essa porção particular yp(x) da solução geral y(x) é o MÉTODO DOS COEFICIENTES A DETERMINAR. A vantagem desse método é que ele é muito mais simples e econômico que outros métodos mais gerais, como o da série de potências por exemplo. A desvantagem é que ele somente se aplica a certas equações lineares.

Seja a equação diferencial: y’’(x)+ay’(x)+by(x)=r(x) de coeficientes a e b constantes e r(x) uma função do tipo exponencial, polinomial, cosenoidal, senoidal ou uma soma destas. O método consiste em se imaginar como solução para a parcela não-homogênea yp(x) [y(x)=yh(x)+yp(x)] uma expressão semelhante à r(x), contendo coeficientes incógnitos que são determinados substituindo-se yp(x) e suas derivadas na equação diferencial original [y’’(x)+ay’(x)+by(x)=r(x)].

REGRA BÁSICA: Se r(x) é do tipo de uma das funções da coluna à esquerda da tabela abaixo, escolha a forma para yp(x) correspondente na coluna à direita da mesma tabela, e determine os coeficientes substituindo na equação diferencial dada:

r(x) yp(x) keαx βeαx kxn

(n=0,1,2,3,...) knxn+kn-1xn-1+

kn-2xn-2+...+k1x+k0 ksen(ωx) kcos(ωx)

k1cos(ωx)+k2sen(ωx)

keαxsen(ωx) keαxcos(ωx)

eαx[k1cos(ωx)+k2sen(ωx)]

MODIFICAÇÃO DA REGRA: Se um termo na escolha de yp(x) coincidir com uma solução da porção homogênea da equação diferencial, multiplique sua escolha de yp(x) por x (ou x2, se esta solução corresponder a uma raiz dupla da equação característica da equação homogênea).

REGRA DA SOMA: Se r(x) é uma soma das funções listadas na coluna esquerda da tabela citada, então sua escolha de yp(x) deve ser uma soma das funções correspondentes listadas na coluna direita da mesma tabela.


26

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EM SÉRIES DE POTÊNCIAS

A solução de equações diferenciais por este método fornece resultados sob a forma de séries de potências. É um processo padronizado que pode ser empregado para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes variáveis.

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Seja a seqüência (têrmo geral da série):

21nn =α , tal que 0lim nn

=α∞→

e a série convergente:

Snnnn

n =+++++==∑∑∞

=

∞

=

...1...31

2111

2221

21α

onde ∑=

=k

nk nS

121

é a soma parcial da série, 11 =S ; 41

411 12 +=+= SS ;

91

91

411 23 +=++= SS , ...

Se a série é convergente, o limite das somas parciais será o valor da série, isto é:

SSn kkn

==∞→

∞

=∑ lim11

2

As séries de potências são do tipo:

...)xx(a)xx(a)xx(aa)xx(a 303

202010

0n

n0n +−+−+−+=−∑

∞

=

onde a0,a1,a2,a3,... são constantes e são chamados de coeficientes da série, x0 é uma constante chamada de centro da série e x é a variável. Se x0=0 obtemos uma série de potências de x

...xaxaxaaxa 33

2210

0n

nn ++++=∑

∞

=

Exemplos: Séries de Maclaurin

x11...xxx1x 32

0n

n

−=++++=∑

∞

= (converge se |x|<1, série geométrica)

x3232

1n

n

e...6x

2xx1...

!3x

!2xx1

!nx

=++++=++++=∑∞

= (Taylor)

)cos(...242

1...!4!2

1)!2(

)1( 4242

0

2

xxxxxnx

n

nn

=−+−=−+−=−∑

∞

=

)(...1206

...!5!3)!12(

)1( 5353

0

12

xsenxxxxxxnx

n

nn

=−+−=−+−=+

−∑∞

=

+


27

TÉCNICA PARA RESOLVER EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM COEFICIENTES VARIÁVEIS: Seja y’’(x)+p(x)y’(x)+q(x)y(x)=0

1. Desenvolver todas as funções dadas [p(x) e q(x)] na forma de série de potências de x

2. Assumir uma solução y(x) na forma de série de potências: ∑∞

==

0n

nnxa)x(y

3. Inserir y(x) na equação diferencial e, em seguida, calcular as derivadas ∑∞

=

−=1n

1nnxna)x('y e

∑∞

=

−−=2n

2nnxa)1n(n)x(''y

4. Agrupar os termos de mesma potência iniciando com o termo constante, depois x1, x2,..., e igualar a soma dos coeficientes de cada termo a zero.

Exemplo: Seja a equação diferencial de 1ª ordem:

y’(x)-y(x)=0

onde p(x)=1 e q(x)=1

Se ∑∞

==

0n

nnxa)x(y ⇒ ∑

∞

=

−=1n

1nnxna)x('y

Substituindo em y’(x)-y(x)=0 ⇒ 0xaxna0n

nn

1n

1nn =− ∑∑

∞

=

∞

=

−

(1a1x0+2a2x1+3a3x2+4a4x3+ ... )-(a0x0+a1x1+a2x2+a3x3+ ...)=0

[a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+ ... +nanxn-1+(n+1)an+1xn+...]-[a0+a1x+a2x2+a3x3+ ... +an-1xn-1+anxn+…]=0

(a1-a0)+(2a2-a1)x+(3a3-a2)x2+(4a4-a3)x3+ ... +(nan-an-1)xn-1+[(n+1)an+1-an]xn+…= 0

(a1-a0)=0 ⇒ a1-a0=0 ⇒ a1=a0

(2a2-a1)x=0 ⇒ 2a2-a1=0 ⇒ 2a2-a0=0 ⇒ 2a2=a0 ⇒ 2aa 0

2 =

(3a3-a2)x2=0 ⇒ 3a3-a2=0 ⇒ 3a3=a2 ⇒ 2aa3 0

3 = ⇒ !3

a6aa 00

3 ==

(4a4-a3)x3=0 ⇒ 4a4-a3=0 ⇒ 4a4=a3 ⇒ 6aa4 0

3 = ⇒ !4

a24aa 00

4 ==

...

(nan-an-1)xn-1=0 ⇒ nan-an-1=0 ⇒ nan=an-1 ⇒ )!1n(

ana 0n −= ⇒

!na

)!1n(naa 00

n =−

=

forma geral: !n

aa 0n = , onde a0 é uma constante obtida a partir da condição inicial do problema.

Substituindo os valores dos coeficientes:

++++=++++==∑

∞

=

...!31

!211...

!3!2)( 32

03020

000

xxxaxaxaxaaxaxyn

nn

Lembrando que x32

e...!3

x!2

xx1 =++++ ⇒ y(x)=a0ex


28

Exemplo: Resolva a equação diferencial y’(x)=2xy(x) por:

1. Por meio de separação de variáveis: y’=2xy

Separando as varáveis em lados opostos: xyy 2'= ⇒ x

dxdyy

21= ⇒ xdxdy

y21

=

integrando ambos os lados: cxdxdyy

+= ∫∫ 21

ln(y)=2∫xdx+c ⇒ cxcxy +=+= 22

22)ln( ⇒ cxy ee +=

2)ln( ⇒ 222 xxcx e'c'ceee)x(y ===

2. Por meio de série de potências: y’=2xy

Fazendo ∑∞

==

0n

nnxa)x(y ⇒ ∑

∞

=

−=1n

1nnxna)x('y e substituindo em y’=2xy:

a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+6a6x5+...=2x[a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+...]

a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+6a6x5+...=2a0x+2a1x2+2a2x3+2a3x4+2a4x5+2a5x6+...

a1+(2a2-2a0)x+(3a3-2a1)x2+(4a4-2a2)x3+(5a5-2a3)x4+(6a6-2a4)x5+... =0

a1=0

(2a2-2a0)x=0 ⇒ 2a2-2a0=0 ⇒ 2a2=2a0 ⇒ a2=a0

(3a3-2a1)x2=0 ⇒ 3a3-2a1=0 ⇒ 3a3=2a1 ⇒ 11

3 a32

3a2a == como a1=0 ⇒ a3=0

(4a4-2a2)x3=0 ⇒ 4a4-2a2=0 ⇒ 2a4-a2=0 ⇒ 2a4=a2 ⇒ 22

4 a21

2aa == como a2= a0 ⇒ 04 a

21a =

(5a5-2a3)x4=0 ⇒ 5a5-2a3=0 ⇒ 5a5=2a3 ⇒ 33

5 a52

5a2a == como a3=0 ⇒ a5=0

(6a6-2a4)x5=0 ⇒ 6a6-2a4=0 ⇒ ⇒ 3a6=a4 ⇒ 44

6 a31

3aa == como 04 a

21a = ⇒ 006 a

61a

21

31a ==

...

então: y(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+...

∑∞

==

++++=++++=0n

n2

0642

06

04

02

00 !nxa...x

!31x

!21x1a...xa

!31xa

!21xaa)x(y

Como ...!5!4!32

15432

++++++=zzzzzez ⇒ ...

!5)(

!4)(

!3)(

2)(1

5242322222

++++++=xxxxxex

então 2x0

0n

n2

0642

0 ea!n

xa...x!3

1x!2

1x1a)x(y ==

++++= ∑∞

=

FUNÇÕES DE LEGENDRE Seja a seguinte equação diferencial da Física:

(1-x2)y’’(x)-2xy’(x)+n(n+1)y(x)=0 relacionada a problemas de valor de contorno com simetria esférica.

onde n é um número real dado e as soluções y(x) são conhecidas como Funções de Legendre. A equação anterior também pode ser escrita na forma:


29

[(1-x2)y’(x)]’+n(n+1)y(x)=0

Dividindo a equação (1-x2)y’’(x)-2xy’(x)+n(n+1)y(x)=0 por (1-x2) obtém-se a forma padrão:

y’’(x)+f(x)y’(x)+g(x)y(x)=0

onde 2x1x2)x(f

−−= e 2x1

)1n(n)x(g−+

= .

A existência dos termos y’(x) e y’’(x) implica no cálculo das derivadas de ∑∞

==

0i

iixa)x(y que são:

∑∞

=

−=1i

1iixia)x('y e ∑

∞

=

−−=2i

2iixa)1i(i)x(''y

Substituindo os termos na equação original (1-x2)y’’(x)-2xy’(x)+n(n+1)y(x)=0 obtém-se:

0xa)1n(nxiax2xa)1i(i)x1(0i

ii

1i

1ii

2i

2ii

2 =++−−− ∑∑∑∞

=

∞

=

−∞

=

−

0xa)1n(nxia2xa)1i(ixxa)1i(i0i

ii

1i

ii

2i

2ii

2

2i

2ii =++−−−− ∑∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

−∞

=

−

0xa)1n(nxia2xa)1i(ixa)1i(i0i

ii

1i

ii

2i

ii

2i

2ii =++−−−− ∑∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

−

0xa)1n(nxa)1n(nxa)1n(nxia2xa2xa)1i(ixa)1i(i2i

ii

221

2i

ii1

2i

ii

2i

2ii =++++++−−−−− ∑∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

−

0xa)1n(nxia2xa)1i(ixa)1i(ixa)1n(nxa)1n(nxa22i

ii

2i

ii

2i

ii

2i

2ii

2211 =++−−−−+++++− ∑∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

−

[ ] 0xa)1n(nxia2xa)1i(ixa)1i(ixa)1n(nxa)]1n(n2[2i

ii

ii

ii

2ii

221 =++−−−−+++++− ∑

∞

=

−

0}xa)]1n(ni2)1i(i[xa)1i(i{xa)1n(nxa)]1n(n2[2i

ii

2ii

221 =++−−−+−+++++− ∑

∞

=

−

0}xa)]1n(ni2ii[xa)1i(i{xa)1n(nxa]2)1n(n[2i

ii

22ii

221 =++−+−+−+++−+ ∑

∞

=

−

0}xa)]1n(nii[xa)1i(i{xa)1n(nxa]2)1n(n[2i

ii

22ii

221 =++−−+−+++−+ ∑

∞

=

−

0}xa)]1i(i)1n(n[xa)1i(i{xa)1n(nxa]2)1n(n[2i

ii

2ii

221 =−−++−+++−+ ∑

∞

=

−

Como resultado final obtém-se uma fórmula de recorrência que fornece os coeficientes de ordem i+2 em função do coeficiente de ordem i, exceto os coeficientes a0 e a1 que são arbitrários:

i2i a)1i)(2i(

)1in)(in(a++++−

−=+ para i=0,1,2,3,...

a0= arbitrário e a1= arbitrário


30

02 a2

)1n)(n(a +−=

113 a!3

)2n)(1n(a6

)2n)(1n(a +−−=

+−−=

00024 a!4

)3n)(1n)(n)(2n(a24

)3n)(1n)(n)(2n(a2

)1n)(n(12

)3n)(2n(a12

)3n)(2n(a ++−=

++−=

++−=

+−−=

111323 a!5

)4n)(2n)(1n)(3n(a120

)4n)(2n)(1n)(3n(a6

)2n)(1n(20

)4n)(3n(a20

)4n)(3n(a ++−−=

++−−=

+−+−=

+−−=+

Substituindo-se estes coeficientes em ∑∞

==

0n

nnxa)x(y :

...x!4

)3n)(1n(n)2n(x!2

)1n(n1)x(y 421 −

++−+

+−=

...x!5

)4n)(2n)(1n)(3n(x!3

)2n)(1n(x)x(y 532 −

++−−+

+−−=

POLINÔMIOS DE LEGENDRE Em muitos casos, o parâmetro n na Equação de Legendre é um número inteiro não-negativo

(n≥0), então, segue-se que o 2° termo da relação i2i a)1i)(2i(

)1in)(in(a++++−

−=+ é nulo quando i=n e

todos os termos pares, a partir de i=n serão nulos. Então:

se n é par ⇒ y1(x) é um polinômio de grau n

se n é ímpar ⇒ y2(x) é um polinômio de grau n

i2i a)1i)(2i(

)1in)(in(a++++−

−=+

Estes polinômios multiplicados por certas constantes são os Polinômios de Legendre:

∑=

−

−−−

−=N

0i

i2nn

in x

)!i2n()!in(!i2)!i2n2()1()x(P

onde Pn(1)=1 por definição.

Exemplo: Analiticamente, os Polinômios de Legendre são gerados pela relação:

∑=

−

−−

−−=

M

0m

m2nn

mn x

)!m2n()!mn(!m2)!m2n2()1()x(P

onde parnnMm2

0 =≤≤ ou imparnnMm210 −

=≤≤

As expressões dos Polinômios de Legendre de grau menor ou igual a 5 são:

1)x(P0 = , x)x(P1 = , )1x3(21

21x

23)x(P 22

2 −=−= , )x3x5(21x

23x

25)x(P 33

3 −=−= ,

)3x30x35(81

83x

830x

835)x(P 2424

4 +−=+−= e )x15x70x63(81x

815x

870x

863)x(P 3535

5 +−=+−=


31

x p0 p1 p2 p3 p4 p5-1,000 1,000 -1,000 1,000 -1,000 1,000 -1,000-0,900 1,000 -0,900 0,715 -0,473 0,208 0,041-0,800 1,000 -0,800 0,460 -0,080 -0,233 0,400-0,700 1,000 -0,700 0,235 0,193 -0,412 0,365-0,600 1,000 -0,600 0,040 0,360 -0,408 0,153-0,500 1,000 -0,500 -0,125 0,438 -0,289 -0,090-0,400 1,000 -0,400 -0,260 0,440 -0,113 -0,271-0,300 1,000 -0,300 -0,365 0,383 0,073 -0,345-0,200 1,000 -0,200 -0,440 0,280 0,232 -0,308-0,100 1,000 -0,100 -0,485 0,148 0,338 -0,1790,000 1,000 0,000 -0,500 0,000 0,375 0,0000,100 1,000 0,100 -0,485 -0,148 0,338 0,1790,200 1,000 0,200 -0,440 -0,280 0,232 0,3080,300 1,000 0,300 -0,365 -0,383 0,073 0,3450,400 1,000 0,400 -0,260 -0,440 -0,113 0,2710,500 1,000 0,500 -0,125 -0,438 -0,289 0,0900,600 1,000 0,600 0,040 -0,360 -0,408 -0,1530,700 1,000 0,700 0,235 -0,193 -0,412 -0,3650,800 1,000 0,800 0,460 0,080 -0,233 -0,4000,900 1,000 0,900 0,715 0,472 0,208 -0,0411,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

-1,500

-1,000

-0,500

0,000

0,500

1,000

1,500

-1,00

0-0,

900-0,

800-0,

700-0,

600-0,

500-0,

400-0,

300-0,

200-0,

100

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

0,800

0,900

1,000

p0 p1 p2 p3 p4 p5

ESPAÇO VETORIAL E VETORES

X Y

Z

X1

y2

y1

z2

z1

X2

P Q

Considerando um vetor ar

, definido em um sistema de refência cartesiano em R3, representado pelo segmento de retaorientado PQ , tal que P seja o ponto inicial e Q o ponto final, e (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2) sejam as coordenadas de P e Q, respectivamente então, os números ax=x1-x2, ay=y1-y2 e az=z1-z2 são as chamados de componentes do vetor a

r, em relação

ao sistema de referência considerado e a grandeza |a|r

(módulo do vetor ar

) é a distância PQ , que é definida como:

2z

2y

2x aaa|a| ++=

r

ESPAÇO VETORIAL

Um ESPAÇO VETORIAL sobre um campo K é um conjunto não vazio Xr

de elementos ,...y,xrr

(chamados vetores), ou seja ,...}y,x{X

rrr= junto com 2 operações algébricas (adição vetorial e

multiplicação de vetor por escalar, isto é, por elementos de K) tal que as seguintes propriedades (propriedades do espaço vetorial) são observadas:

• xyyxrrrr

+=+

• z)yx()zy(xrrrrrr

++=++

• x0xrrr

=+ ( 0r

= vetor zero)

• 0)x(xrrr

=−+ ( xr

− é o vetor simétrico de xr

)

• x)()x(rr

αβ=βα

• xx rr=⋅1

• yx)yx(rrrr

α+α=+α

• xxx)(rrr

β+α=β+α

NORMA (tamanho do vetor)


32

A NORMA DE UM ESPAÇO VETORIAL Xr

é uma função real em Xr

( ℜ|||| x

Xr

ar

), cujo valor para cada Xxrr

∈ é dado por ||x||r

(norma do vetor xr

) com as seguintes propriedades:

• 0||x|| ≥r

• 0x0||x||5 rrr

=⇔= 6

• ||x||||||x||rr

⋅α=α

• ||y||||x||||yx||rrrr

+≤+ (desigualdade triangular)

Produto interno (ou produto escalar)7

Um PRODUTO INTERNO SOBRE O ESPAÇO VETORIAL Xr

é um mapeamento (função ou transformação) de XX

rr⊗ sobre o campo escalar K (Real ou Complexo), isto é, Xz,y,x

rrrr∈∀ e α∈K:

• z,yz,xz,yxrrrrrrr

+=+

• y,xy,xrrrr

α=α

• x,yy,xrrrr

= (conjugado complexo8)

• 0x,x ≥rr

• 0x0x,xrrrr

=⇔=

Exemplos:

1. No 2ℜ , )2,1(a =r

e )4,3(b =r

⇒ 11834231ba =+=⋅+⋅=⋅rr

2. No 3ℜ , )3,2,1(a =r

e )5,4,3(b =r

⇒ 261583534231ba =++=⋅+⋅+⋅=⋅rr

PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE (P.S.L.) Uma equação diferencial que se apresente na forma:

0)x(y)]x(p)x(q[)]'x('y)x(r[ =λ++

é chamada de equação de Sturm-Liouville e suas soluções resultam em vários conjuntos ortogonais importantes. Essa equação é válida para a≤x≤b, onde assume-se a continuidade das funções r(x), y’(x), q(x) e p(x), sendo p(x)>0 ∀x∈[a,b] e λ∈ℜ . Nos pontos extremos x=a e x=b, são impostas as condições de contorno:

k1y(a)+k2y’(a)=0 em x=a

l1y(b)+l2y’(b)=0 em x=b

6 ⇔ = se e somente se 7 Produto escalar: É um número (escalar) representado por θ=• cos|b||a|ba

rrrr onde θ é o ângulo formado entre os vetores ar

e br

.

Produto vetorial: É um terceiro vetor cr

representado por ksenbabacrrrrrr θ||||=×= onde k

ré um vetor unitário perpendicular ao

plano formado pelos vetores ar e br

(regra da mão direita); θ é o ângulo formado entre os vetores ar

e br

. Neste caso, cr

é o vetor cuja norma ( cr ) é igual à área do paralelogramo em que os vetores a

r e b

r são lados adjacentes, cuja direção é perpendicular à direção

dos vetores ar

e br

e é tal que os vetores ar

, br

e cr

, nesta ordem, constituem um terno de vetores de orientação positiva (dextrógira:

regra da mão direita). Se a ordem dos vetores ar

e br

for invertida, o vetor cr

tem seu sentido invertido em 180° ( abc rrr×=− ).

8 se z=a+ib, o complexo conjugado de z é ibaz −=


33

com constantes k1 e k2 dadas que nunca podem se anular simultaneamente, e constantes l1 e l2 dadas que também nunca podem se anular simultaneamente.

As equações de Legendre, Bessel e outras podem ser escritas na forma de Sturm-Liouville.

Observação 1: y(x)≡0 para ∀λ∈ℜ sempre será uma solução para qualquer problema do tipo Sturm-Liouville. É a chamada solução trivial que no entanto, não tem qualquer valor prático, sendo em geral descartada. É necessário determinar as soluções não nulas que satisfaçam tanto a equação quanto as condições de contorno. Se existem tais soluções, elas são chamadas de funções características, funções próprias, autofunções ou autovetores e os valores de λ são chamados de valores característicos, valores próprios ou autovalores.

EXEMPLOS: 1. A Equação de Legendre:

(1-x2)y''(x)-2xy'(x)+n(n+1)y(x)=0

pode ser re-escrita na forma:

[(1-x2)y'(x)]’+λy(x)=0,

onde λ=n(n+1), r(x)=(1-x2), q(x)=0 e p(x)=1.

2. Ache os autovalores e as autofunções do seguinte problema de Sturm-Liouville:

y''(x)+λy(x)=0, y(0)=0 e y(π)=0

Observação importante: Embora a equação y''(x)+λy(x)=0 se pareça com a equação

0)x(ymk)x(''y =+ (sistema massa+mola), as técnicas de solução são bastante diferentes. Na

equação massa+mola os coeficientes são todos conhecidos, enquanto que na equação de Sturm-Liouville y''(x)+λy(x)=0, o parâmetro λ (autovalor) só será determinado após o processo de solução. Equações diferenciais com condições de contorno constituem o que se chama de problema de valor de contorno.

Solução padrão: Como a equação é de segunda ordem, a forma da solução vai depender da equação característica correspondente, que depende do parâmetro λ. Precisamos portanto, analisar três casos possíveis em função do sinal de λ.

1° CASO: λ<0

Impondo-se que λ=-v2, ∀v∈ℜ (v≠0) e substituindo λ=-v2 em y''(x)+λy(x)=0 tem-se:

y''(x)-v2y(x)=0

Como a equação resultante assume a forma de uma equação diferencial homogênea a solução geral pode ser obtida da seguinte forma:

Supomos y(x)=eαx ⇒ y'(x)=αeαx ⇒ y''(x)=α2eαx

Substituindo y(x) e y''(x) em y''(x)-v2y(x)=0:

α2eαx-v2eαx=0

eαx(α2-v2)=0

α2-v2=0 ⇒ (α+v)(α-v)=0 ⇒ α1=v e α2=-v


34

então y1(x)=evx e y2(x)=e-vx e a solução geral é da forma: y(x)= c1y1(x)+c2y2(x)=c1evx+c2e-vx

Como as condições de contorno são y(0)=0 e y(π)=0 tem-se:

y(0)=c1ev0+c2e-v0 ⇒ 0=c1e0+c2e-0 ⇒ 0=c11+c21 ⇒ 0=c1+c2 ⇒ c1=-c2 senh(x*pi)

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

-3,14

-2,83

-2,51

-2,20

-1,88

-1,57

-1,26

-0,94

-0,63

-0,31 0,0

00,3

10,6

30,9

41,2

61,5

71,8

82,2

02,5

12,8

33,1

4

y(π)=c1evπ+c2e-vπ ⇒ 0=c1evπ+c2e-vπ ⇒ 0=c1evπ-c1e-vπ

0=c1(evπ-e-vπ) ⇒

−=

π−π

2eec20

vv

1 =2c1senh(vπ)

Como a função senh(x) só se anula na origem (x=0), a única maneira de satisfazer a condição de contorno é a de termos c1=0 ⇒ c2=-c1=0 e isto recai na solução trivial, que não é a resposta procurada.

2° CASO: λ=0

Vamos agora analisar o caso λ=0.

Substituindo λ=0 em y''(x)+λy(x)=0 tem-se y''(x)=0.

A solução geral é dada por:

y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)=c1+c2x


y(0)=c1+c20=0 ⇒ c1+0=0⇒ c1=0

y(π)=c1+c2π =0⇒ 0+c2π=0 ⇒ c2=0

Como c1=0 e c2=0, obtemos novamente a solução trivial.

3° CASO: λ>0

Vamos agora analisar o caso λ>0. Admitindo que λ=+u2 , ∀u∈ℜ |u≠0 e substituindo λ=+u2 em y''(x)+λy(x)=0 tem-se: y''(x)+u2y(x)=0. Como a equação resultante assume a forma de uma equação diferencial homogênea a solução geral pode ser obtida da seguinte forma:

Supomos que y(x)=eαx ⇒ y'(x)=αeαx ⇒ y''(x)=α2eαx

Substituindo y(x) e y''(x) em y''(x)+u2y(x)=0:

α2eαx+u2eαx=0

eαx(α2+u2)=0 ⇒ α2+u2=0 ⇒ α2=-u2 ⇒ uiuiu ±=±=−±= 222 )(α ⇒ ui=1α e ui−=2α

então y1(x)=eiux e y2(x)=e-iux

e a solução geral é da forma:

y(x)=c1cos(ux)+c2sen(ux)


y(0)=c1cos(u0)+c2sen(u0) ⇒ 0=c11+c20 ⇒ 0=c1+0 ⇒ c1=0

y(π)=c1cos(uπ)+c2sen(uπ) ⇒ 0=0cos(uπ)+c2sen(uπ) ⇒ 0=0+c2sen(uπ) ⇒ se c2=0 temos a solução trivial.

Se sen(uπ)=0 ⇒ uπ=nπ ⇒ u=n para n=±1,±2,±3,... (n≠0 porque u=0 não interessa)

Neste problema, c2 fica indeterminado e as soluções do problema (autofunções) serão da


35

forma: yn(x)=sen(nx), para

n=±1,±2,±3,...

e os autovalores serão: λn=n2, para

n=±1,±2,±3,...

A REALIDADE DOS AUTOVALORES

0)x(y)]x(p)x(q[)]'x('y)x(r[ =λ++

Se p(x), q(x), r(x) e r’(x) são funções reais e contínuas no intervalo a≤x≤b, e p(x)>0 (função peso) neste intervalo, então, todos os autovalores λ do problema de Sturm-Liouville são reais. Os autovalores estão relacionados às grandezas físicas como freqüências de vibração de uma corda, etc...

ORTOGONALIDADE

Funções y1(x), y2(x), ..., ym(x) definidas em algum intervalo a≤x≤b são ditas ortogonais em [a;b] com relação à função p(x)>0 (função peso ou função de ponderação) se:

0dx)x(y)x(y)x(pb

a nm =∫ para m≠n

A norma ||ym(x)|| de ym(x) é definida como:

∫= b

a2mm dx)x(y)x(p||)x(y||

As funções y1(x), y2(x), ..., ym(x) são ditas ortonormais se são ortogonais e tem ||yi(x)||=1 para i=1,2,...,m.

Exemplo: As funções ym(x)=sen(mx) para m=1,2,..., formam um conjunto ortogonal em x∈[-π;π].

y1(x)=sen(x), y2(x)=sen(2x), y3(x)=sen(3x), ...

Demonstração:

Se as funções são ortogonais então 0dx)x(y)x(y)x(pb

a nm =∫ para m≠n


36

Neste caso, 0dx)nxsen()mxsen()x(p =∫π

π− para m≠n. Considerando que a função peso é dada por

p(x)=1, segue-se que a ortogonalidade vai implicar que 0dx)nxsen()mxsen( =∫π

π− para m≠n.

Pelas leis da Trigonometria, sabe-se que:

cos(mx+nx)=cos(mx)cos(nx)-sen(mx)sen(nx) ⇒ cos[(m+n)x]=cos(mx)cos(nx)-sen(mx)sen(nx)

⇒ sen(mx)sen(nx)=cos(mx)cos(nx)-cos[(m+n)x] (a)

Sabe-se também que:

cos(mx-nx)=cos(mx)cos(nx)+sen(mx)sen(nx) ⇒ cos[(m-n)x]=cos(mx)cos(nx)+sen(mx)sen(nx)

⇒ sen(mx)sen(nx)=cos[(m-n)x]-cos(mx)cos(nx) (b)

Somando-se então as equações (a) e (b) teremos:

[ ]n)x]cos[(m-n)x]-cos[(m21(nx)sen(mx)sen +=

então:

∫−π

πdxnxsenmxsen )()( }n)x]cos[(mn)x]-cos[(m{

21

∫∫ −−+−=

π

π

π

πdxdx

0}n)x]sen[(m)(

1n)x]-sen[(mn)-(m1{

21

=++

−=−

−

π

π

π

π nm para m≠n

Fica assim demonstrado que as funções ym(x)=sen(mx) para m=1,2,... são ortogonais.

O tamanho da função (norma) é dado por:

∫∫π

π−== dx)mx(sendx)x(y)x(p||)x(y|| 2b

a2mm

Das leis da Trigonometria, sabe-se que:

[ ]cos(2mx)-121(mx)sen2 =

então: [ ] ππ

π

π

π=

−=−=

−−∫ m

mxsenxdxmxxym 2)2(

21)2cos(1

21||)(|| 2

Logo, π=||)(|| xym

As funções π

=)mxsen()x(ym , para m=1,2,3,... formam uma base ortonormal.

TEOREMA DA ORTOGONALIDADE DAS AUTOFUNÇÕES Suponha que as autofunções p(x), q(x), r(x) e r’(x) na equação de Sturm-Liouville:

0)x(y)]x(p)x(q[)]'x('y)x(r[ =λ++

sejam reais, contínuas9 e p(x)>0 em [a;b]. Sejam as autofunções do problema de Sturm-Liouville ym(x) e yn(x) que correspondem a autovalores λm e λn diferentes, respectivamente. Então, as autofunções ym(x) e yn(x) são ortogonais naquele intervalo [a;b] em relação à função p(x) (função peso).

9 Função contínua: )x(f)x(flim 0xx 0

=→


37

Exemplo: A equação diferencial y’’(x)+λy(x)=0 é da forma [r(x)y’(x)]’+[q(x)+λp(x)]y(x)=0, onde r(x)=1, q(x)=0 e p(x)=1>0.

Do teorema da ortogonalidade das autofunções tem-se que as autofunções correspondentes a essa equação diferencial são ortogonais em x∈[0;π].

EXPANSÃO EM AUTOFUNÇÕES Por que os conjuntos de autofunções são importantes? Porque nos permitem expressar funções arbitrárias na forma de séries de termos (autofunções) de modo simples, tais como: séries de Fourier, Fourier-Legendre, etc.

Seja {y0(x), y1(x), y2(x), ...} um conjunto ortogonal com relação ao peso p(x)>0. Seja f(x) uma certa função que possa ser representada em termos de ym(x) por uma série convergente:

...)x(ya)x(ya)x(ya)x(ya)x(f 2211000m

mm +++== ∑∞

=

y0(x), y1(x), y2(x), ... são funções ortogonais

expansão ortogonal

série generalizada de Fourier

expansão de autofunções

Suponha que uma função f(x) possa ser expressa a partir de uma expansão em série

∑∞

==

0mmm )x(ya)x(f onde {y0(x), y1(x), y2(x), ...} formam um conjunto ortogonal. Para obter os

coeficientes am da expansão vamos utilizar as propriedades ortogonais das funções ym(x) como segue.

Vamos multiplicar ambos os lados da expansão ∑∞

==

0mmm )x(ya)x(f por p(x) e yi(x):

∑∞

==

0mimmi )x(y)x(y)x(pa)x(y)x(f)x(p

Integrando agora ambos os lados da equação teremos:

∑∫∫ ∑∫∞

=

∞

===

0m

b

a immb

a0m

immb

a i dx)x(y)x(y)x(padx)x(y)x(y)x(padx)x(y)x(f)x(p

...dx)x(y)x(y)x(pa...dx)x(y)x(y)x(padx)x(y)x(y)x(padx)x(y)x(y)x(padx)x(y)x(f)x(p b

a iiib

a i22b

a i11b

a i00b

a i +++++= ∫∫∫∫∫

como os pares são ortogonais, isto é, yi(x)⊥yj(x) quando i≠j, o único termo que não se anula é ∫ dx)x(y)x(y)x(pa iii , ou seja, 0dx)x(y)x(y)x(p)x(y),x(y b

a jiji == ∫ para i≠j, então:

∫∫ = b

a iiib

a i dx)x(y)x(y)x(padx)x(y)x(f)x(p ⇒ ∫∫ = b

a2ii

b

a i dx)x(y)x(padx)x(y)x(f)x(p

como [ ] ∫=b

a2i

2i dx)x(y)x(p||)x(y|| ⇒ [ ]2ii

b

a i ||)x(y||adx)x(y)x(f)x(p =∫ ⇒ 2

i2

i ||)(y||)(),(

||)(y||

)()()(

xxyxf

x

dxxyxfxpa i

b

a ii == ∫

Exemplo: Série de Fourier

Supondo que um problema de Sturm-Liouville [y’’(x)+λy(x)=0] forneceu um conjunto ortogonal dado pela série:

1, cos(x), sen(x), cos(2x), sen(2x), ...

no intervalo x∈[-π,π] com p(x)=1. A expansão ortogonal será dada por:

∑∞

=+=

0nnn )]nxsen(b)nxcos(a[)x(f


38

e os coeficientes pelas fórmulas:

∫π

π−π= dx)x(f

21a0 , ∫

π

π−π= dx)nxcos()x(f1an e ∫

π

π−π= dx)nxsen()x(f1bn

Exemplo: Série de Fourier

π<<<<π−−

=x01

0x1)x(f

f(x+2π)=f(x) (período igual a 2π)

00 =a

0)cos()1(1)cos()1(1)cos()(10

0=+−== ∫∫∫ −−

π

π

π

π πππdxnxdxnxdxnxxfan

=

==+−== ∫∫∫ −− ,...8,6,4,20

,...7,5,3,14)()1(1)()1(1)()(1

0

0

n

nndxnxsendxnxsendxnxsenxfbn ππππ

π

π

π

π

++++π

= ...7

)x7sen(5

)x5sen(3

)x3sen()xsen(4)x(f

Exemplo: Série de Fourier-Legendre Os polinômios de Legendre advém da equação de Legendre, (1-x2)y''(x)-2xy'(x)+n(n+1)y(x)=0,

que pode re-escrita na forma auto-adjunta (Sturm-Liouville) [(1-x2)y'(x)]’+λy(x)=0, onde λ=n(n+1), r(x)=(1-x2), q(x)=0 e p(x)=1. Deste modo, os polinômios de Legendre formam uma base ortogonal correspondente a este Problema de Sturm-Liouville e podem ser utilizados

como uma base de funções para a expansão em série de funções, tal como as funções cos(mx) e sen(mx) são utilizadas numa série de Fourier tradicional.

...)x(Pa)x(Pa)x(Pa)x(Pa)x(Pa)x(f 332211000n

nn ++++== ∑∞

=

...x23x

25a

21x

23a)x(a)1(a)x(Pa)x(f 3

32

2100n

nn +

−+

−++== ∑∞

=

Podemos calcular a norma dos polinômios de Legendre através da fórmula

122)()()(||)(|| 2

1

1

21

1

2

+=== ∫∫

−− ndxxPdxxPxpxP nnn , ou seja,

1n22||)x(P|| 2

n +=

Os coeficientes na podem ser obtidos a partir da fórmula ∫−+

== 1

1 n2n

nn dx)x(P)x(f

21n2

||)x(P||)x(P),x(f

a


39

TRANSFORMADA DE LAPLACE

A transformada de Laplace é um método de resolução de equações diferenciais lineares em etapas:

1. A equação diferencial é transformada em uma equação algébrica chamada de equação subsidiária,

2. A equação algébrica é resolvida

3. A solução da equação algébrica é transformada, em sentido contrário, de maneira a fornecer a solução da equação diferencial original.

DEFINIÇÃO: Se f(t) é uma função definida para todo t≥0, vamos multiplicar f(t) por e-st e integrar em t de 0 a ∞. A integral resultante será uma função de s

∫∞ −0

stdte)t(f

Se a integral existir, será denominada Transformada de Laplace.

∫∞ −= 0

stdte)t(f)s(F

O integrando f(t)e-st deve convergir para 0 (zero) quando t cresce para infinito.

F(s)=L[f(t)] ⇒ )]t(f[Ldte)t(f)s(F 0st == ∫

∞ −

A função f(t) é chamada de Transformada Inversa de F(s) que é denotada por:

L-1[F(s)]=f(t)

Exemplo: Ache a Transformada de Laplace de f(t)=1 para t>0.

s1

s10

se1

se1lim

se1e

s1dtedte1dte)t(f)s(F 0sstt

0st

0

st0

st0

st0

st =+−=+−

=−=−

====∞→

∞∞−∞ −∞ −∞ − ∫∫∫ para s>0

Formalmente, o limite da função quando t cresce para infinito deve ser analisado da seguinte forma:

011011lim1lim1limlim1]1[ 000

00>=+−=

+−=−=

−===

∞→∞→

−

∞→

−

∞→

∞ − ∫∫ ssesssesese

es

dtedteL ssaa

a

sta

ast

a

a st

a

st

Exemplo: Ache a Transformada de Laplace de f(t)=eat para t≥0 e a≠0 ∞

−

∞−−∞ −−∞ −∞ −∞ −

−−=

−−======= ∫∫∫∫

0t)as(

0

t)as(0

t)as(0

t)sa(0

stat0

statat

e)as(1e

)as(1dtedtedtedtee]e[L)]t(f[L)s(F

)as(1

e)as(1lim

e)as(1

e)as(1lim

e)as(1

e)as(1lim]e[L t)as(t0t)as(t0)as(t)as(t

at

−+

−−=

−+

−−=

−+

−−= −∞→−∞→−−∞→

se s>a ⇒ s-a>0 ⇒ as

1)as(

10)as(

1e)as(

1lim]e[L t)as(t

at

−=

−+−=

−+

−−= −∞→

se s<a ⇒s-a<0⇒


40

divergeasasas

easeas

eLttast

at ⇒−

+−∞=−

+−−

=−

+−−

=∞

∞→−∞→ )(1

)(1

)(lim

)(1

)(1lim][ )(

então: as

1]e[L)]t(f[L)s(F at

−=== para s-a>0 ⇒ s>a

TEOREMA DA LINEARIDADE DA TRANSFORMADA DE LAPLACE A Transformada de Laplace é uma operação linear, isto é, sejam f(t) e g(t) funções cujas transformadas existam, com a e b constantes, segue-se que:

L[af(t)+bg(t)]=aL[f(t)]+bL[g(t)] Prova:

∫∫∫∫∫∞ −∞ −∞ −∞ −∞ − +=+=+=+0

st0

st0

st0

st0

st dte)t(gbdte)t(fadte)t(bgdte)t(afdte)]t(bg)t(af[)]t(bg)t(af[L

como ∫∞ −=0

stdte)t(f)]t(f[L e ∫∞ −=0

stdte)t(g)]t(g[L ⇒ L[af(t)+bg(t)]=aL[f(t)]+bL[g(t)]

Exemplo: Sabendo que as

1]e[L at

−= , para s>a, calcule L[cosh(at)].

Por definição sabe-se que: ∫∞ −=0

stdte)t(f)]t(f[L então: ∫∞ −=0

stdte)atcosh()]at[cosh(L

As funções hiperbólicas indicam que 2

ee)xcosh(xx −+

= então:

Utilizando a propriedade de linearidade da Transformada de Laplace o problema se reduziria a:

][21][

21][

21

2)][cosh( atatatat

atat

eLeLeeLeeLatL −−−

+=+=

+=

Sabendo que as

1]e[L at

−= para s>a e

as1]e[L at

+=− , para s>-a⇒

22 ass

as1

as1

21)]at[cosh(L

−=

++

−= para s>a (supondo a>0).

Existência da Transformada de Laplace Definição: Uma função f(t) é dita contínua por partes (piecewise continuous) em um intervalo a≤t≤b, se f(t) está definida no intervalo [a,b] e esse intervalo pode ser subdividido em um número finito de subintervalos, nos quais f(t) é contínua e tem limites finitos quando se aproxima dos extremos.

Função contínua⇒ )x(f)x(flim 0xx 0

=→

Função contínua por partes


41

Teorema da existência: Seja f(t) contínua por partes em todo o intervalo finito t≥0 e satisfaça |f(t)|≤Meγt ∀t≥0 para certas constantes M e γ. Logo, a Transformada de Laplace de f(t) existe para todo s>γ.

TRANSFORMADA DA DERIVADA

Suponha que f(t) é contínua para t≥0, satisfaça a condição |f(t)|≤Meγt ∀t≥0 para algum M e γ e tenha derivada f'(t) contínua por partes em qualquer intervalo finito tal que t≥0. Segue-se que a transformada da derivada f'(t) existe para s>γ e:

L[f'(t)]=sL[f(t)]-f(0) para s>γ Prova:

∫∞ −=0

stdte)t('f)]t('f[L (por definição)

Utilizando integração por partes [ ] ∫∫ ′−=′b

a

b

a

b

a

dttgtftgtfdttgtf )()()()()()(

teremos:

)]t(f[sLe

)0(fe

)t(flimdte)t(fse

)t(fdte)s)(t(fe)t(fdte)t('f)]t('f[L 0sstt0st

0st0

st

0

st0

st +−=+=−−==∞→

∞ −∞

∞ −∞−∞ − ∫∫∫

logo: )]([)0()]([)0()]('[ 0 tfsLftfsLeftfL +−=+−= ⇒ )0(f)]t(f[sL)]t('f[L −=

Repetindo o argumento teremos:

)0(')0()]([)}0()]([{)0(')]('[)0(')](''[ 2 fsftfLsftfsLsftfsLftfL −−=−+−=+−== ⇒

)0(')0()]([)](''[ 2 fsftfLstfL −−=

Generalizando: [ ] 1n

1n

2

23n2n1nn

n

n

dt)0(fd...

dt)0(fds

dt)0(dfs)0(fs)t(fLs

dt)t(fdL −

−−−− −−−−−=

Exemplo 1:

Sabendo que f(t)=t2 e L[1]=s, calcule L[f(t)].

f(t)=t2 ⇒ f'(t)=2t e f''(t)=2

então: )]t(f[Ls0)0(s)]t(f[Ls)0('f)0(sf)]t(f[Ls)0('f)]t('f[sL)]t(''f[L 222 =−−=−−=−=

logo: )]([)(''[ 2 tfLstfL = ⇒ 3222

212]1[2]2[)]([ssss

LsLtfL ====

Exemplo 2:

Sabendo que f(t)=cos(ωt) e L[1]=s, calcule L[f''(t)].

f(t)=cos(ωt) ⇒ f'(t)=-ωsen(ωt) e f''(t)=-ω2cos(ωt)

como: )0('f)0(sf)]t(f[Ls)]t(''f[L 2 −−=

então: s)]t[cos(Ls)0()1(s)]t[cos(Ls)0sen()0cos(s)]t[cos(Ls)]tcos([L 2222 −ω=ω+−ω=ωω+ω−ω=ωω−

logo: s)]t[cos(Ls)]tcos([L 22 −ω=ωω− ⇒ s)]t[cos(Ls)]t[cos(L 22 −ω=ωω− ⇒ s)]t[cos(L)]t[cos(Ls 22 =ωω+ω


42

s)]t[cos(L)s( 22 =ωω+ ⇒ 22ss)]t[cos(Lω+

=ω

Exemplo:

Seja o seguinte problema de valor inicial: y''(t)+ay'(t)+by(t)=r(t) para y(0)=k0 e y'(0)=k1.

Aplicando a transformada em ambos os lados da equação y''(t)+ay'(t)+by(t)=r(t) teremos:

L[y''(t)+ay'(t)+by(t)]=L[r(t)]

Pela linearidade do operador:

L[y''(t)]+L[ay'(t)]+L[by(t)]=L[r(t)]

L[y''(t)]+aL[y'(t)]+bL[y(t)]=L[r(t)]

Usando L[f'(t)]=sL[f(t)]-f(0) e L[f''(t)]=s2L[f(t)]-sf(0)-f'(0),

s2L[y(t)]-sy(0)-y'(0)+a{sL[y(t)]-y(0)}+bL[y(t)]=L[r(t)]

como y(0)=k0 e y'(0)=k1

s2L[y(t)]-sk0-k1+asL[y(t)]-ak0+bL[y(t)]=L[r(t)]

(s2+as+b)L[y(t)]-(s-a)k0-k1=L[r(t)]

(s2+as+b)L[y(t)]=(s-a)k0+k1+L[r(t)]

bass)]t(r[Lkk)as()]t(y[L 2

10

++++−

= ⇒

++++−

= −

bass)]t(r[Lkk)as(L)t(y 2

101

Exemplo:

Seja o seguinte problema de valor inicial: y''(t)-y(t)=t para y(0)=1 e y'(0)=1.

y''(t)-y(t)=t

L[y''(t)-y(t)]=L[t]

L[y''(t)]-L[y(t)]=L[t]

usando L[f'(t)]=sL[f(t)]-f(0) e L[f''(t)]=s2L[f(t)]-sf(0)-f'(0) ⇒ s2L[y(t)]-sy(0)-y'(0)-L[y(t)]=L[t]

como y(0)=1 e y'(0)=1

s2L[y(t)]-s-1-L[y(t)]=L[t]

s2L[y(t)]-L[y(t)]=s+1+L[t]

(s2-1)L[y(t)]=s+1+L[t]

1s]t[L1s)]t(y[L 2 −

++=

Sabendo-se que 2s1]t[L = ⇒

)1(1

1

11)]([ 22

23

2

2

−++

=−

++=

ssss

ss

styL

)1s(s1

)1s(1

)1s(s1

)1s)(1s(s)1s(s

)1s(s1ss)]t(y[L 22222

2

22

23

−+

−=

−+

−++

=−++

=

Utilizando recursos de frações parciais podemos decompor em frações mais simples que possam ser reconhecidas numa tabela de Transformadas de Laplace:


43

)1s(sAs)BA(

)1s(sABsAs

)1s(sBsAAs

)1s(sBs)1s(A

1sB

sA

1s1

s1

)1s(s1

22

2

22

22

22

22

22

22

222222 −−+

=−−+

=−+−

=−+−

=−

+=−

=−

A única forma da expressão )1s(sAs)BA(

)1s(s1

22

2

22 −−+

=−

ser verdadeira é quando (A+B)s2-A=1

⇒ (A+B)=0 e -A=1

⇒ A+B=0 ⇒ A=-B

como A=-1 ⇒ B=1

logo: 1s

1s1

1sB

sA

)1s(s1

222222 −+−=

−+=

−

Retomando a expressão )1(

111)]([ 22 −

+−

=sss

tyL

1

1111)]([ 22 −

+−−

=sss

tyL

Sabendo-se que 1s

1]e[L t

−= , 2s

1]t[L = , 1s

1)]t[senh(L 2 −=

⇒ L[y(t)]=L[et]-L[t]+L[senh(t)]=L [et-t+senh(t)]

Aplicando a transformada inversa em ambos os lados da equação teremos:

L-1{L[y(t)]}=L-1{L[et-t+senh(t)]} ⇒ y(t)= et –t + senh(t)

TRANSFORMADA DE LAPLACE DA INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO Teorema da Integração: Se f(t) é contínua por partes e satisfaz uma desigualdade da forma

|f(t)|≤Meγt, ∀t≥0 para certas constantes M e γ, então:

)]([1})({0

tfLs

dfLt

=∫ ττ para s>0 e s>γ

Demonstração:

∫ ττ= t

0d)(f)t(g é contínua e g’(t)=f(t) exceto nos pontos de descontinuidade

então: L[f(t)]=L[g’(t)]=sL[g(t)]-g(0) para s>γ

0d)(f)0(g 0

0=ττ= ∫ ⇒ L[f(t)]=sL[g(t)] ⇒ )]t(f[L

s1)]t(g[L = ⇒ )]t(f[L

s1]d)(f[L t

0=ττ∫

Denotando L[f(t)]=F(s) ⇒

=ττ −− ∫ )]t(f[L

s1L]}d)(f[L{L 1t

01 ⇒

=ττ −∫ s

)s(FLd)(f 1t

0

Aplicação: Seja )s(s

1)]t(f[L 22 ω+= , achar f(t).

Pela tabela de transformadas tem-se: )tsen(1s

1L 221 ω

ω=

ω+

−


44

Então:

)()]cos(1[1)cos(1)(1)(

11)(

12

02022

122

1 tftwdsenss

Lss

Lt

t=−=−==

+

=

+ ∫−− ω

ωτ

ωτωτ

ωωω

DEFASAGEM EM S

Teorema: “ Se f(t) tem transformada F(s) para s>γ, então eatf(t) tem transformada F(s-a) com s-a>γ ”.

L[f(t)]=F(s) ⇒ L[f(t)eat]=F(s-a) Em resumo, a substituição de s por s-a na transformada corresponde à multiplicação da função original por eat.

PROVA:

∫∞ −=0

stdte)t(f)s(F ⇒ ])([])([)()()(000

)( atstatatsttas etfLdteetfdtetfdtetfasF ====− ∫∫∫∞ −∞ +−∞ −−

Exemplo: Sabendo-se que 22s1)]t[cos(Lω+

=ω , calcule a Transformada de Laplace da função

g(t)=e5tcos(ωt).

220

5

0

55

)5(5)cos()cos()]cos([)]([ω

ωωω+−

−==== ∫∫

∞ −∞ −

ssdteetdteteteLtgL sttsttt

DEFASAGEM EM T

Teorema: “ Se f(t) tem transformada F(s), então a função

>−<

=at)at(fat0

)t(f com a≥0 tem

transformada e-asF(s) “.

-1,20

-1,00

-0,80

-0,60

-0,40

-0,20

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0,00 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85 8,64

Exemplo:

1s1e)]t(sen[L 2

s

+=π− π−

O gráfico azul representa a função sen(t) e o gráfico vermelho afunção )t(sen π− .

Função degrau unitário (Heaviside)

><

=−at1at0

)at(u

>−<

=−−=at)at(fat0

)at(u)at(f)t(f


45

-1,20

-1,00

-0,80

-0,60

-0,40

-0,20

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00

Exemplo:

Se f(t)=cos(t) então )2t(u)2tcos()2t(u)2t(f)t(f −−=−−=

O gráfico azul representa a função cos(t) e o gráfico vermelho afunção cos(t-2)u(t-2).

Teorema da defasagem: “ Se L[f(t)]=F(s) então L[f(t-a)u(t-a)]=e-asF(s). Tomando a

transformada inversa L-1[e-asF(s)]=f(t-a)u(t-a) “. Prova:

∫∫∫∫∞ τ+−∞ τ−−∞ τ−−∞ τ−−− ττ=ττ=ττ=ττ=0

s)a(0

sas0

sas0

sasas d)(fed)(fed)(feed)(fee)s(Fe

se a+τ=t ⇒ τ=t-a ⇒ dτ=dt

∫∫∫∞ −∞ −∞ +−− −−=−==00

)( )()()()()( dtatuatfedtatfedfesFe ts

a

tssaas τττ

logo e-asF(s)=L[f(t-a)u(t-a)]

Exercício 1: Sabendo que s1]1[L = , calcule L[u(t-a)].

ases1)]at(u1[L)]at(u[L −=−=−

Exercício 2: Achar a transformada inversa de 3

s3

se−

, sabendo que 2t

s1L

2

31 =

− .

=

−−−

− s33

13

s31 e

s1L

seL

Lembrando que e-asF(s)=L[f(t-a)u(t-a)] L-1[e-asF(s)]=L-1[L[f(t-a)u(t-a)]]=f(t-a)u(t-a)

)3t(u)3t(fs1eLe

s1L 3

s31s33

1 −−=

=

−−−−

−

−=−−== −

−

)3t(u2

)3t(L)]3t(u)3t(f[Ls1e

se 2

3s3

3

s3

-1,0

4,0

9,0

14,0

19,0

24,0

29,0

34,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

O gráfico azul corresponde à curva

2t2

e o

gráfico vermelho corresponde à curva

)3t(u2

)3t( 2

−−

Função Delta de Dirac10

Em mecânica, a utilização do conceito de impulso de uma força f(t) sobre um intervalo a≤t≤a+k é

definido como ∫+

=ka

ak dttfI )( .

Vamos analisar o comportamento desta integral quando k for muito pequeno (k→0).

10 Utilizada para modelar, matematicamente, um impulso instantâneo.


46

+><+≤≤=

katouatkataktfk 0

1)(

1)(11)(0

=−+=== ∫∫+∞

kkak

dtk

dttfIka

akk

)]}ka(t[u)at(u{k1)t(fk +−−−=

ases

atuL −=−1)]([

[ ] { })]([1)(1)]([)()]([)()]([ katuLk

atuLkk

katuLkatuL

kkatuatuLtfL k +−−−=

+−

−

−

=

+−−−

=

]e1[ks

e]eee[ks1]ee[

ks1

se

k1

se

k1)]t(f[L ks

asksasass)ka(as

s)ka(as

k−

−−−−+−−

+−−

−=−=−=−=

No limite quando k→0, teremos:

00]11[

0]1[

0]1[lim)]([lim 0

0=−=−=−=

−−

−−

−

→∞→

ass

asks

as

kkk

ees

eeksetfL ⇒ (indeterminação)

Para resolver essa indeterminação pode-se aplicar a Regra de L´Hôpital:

asska

k

ksas

k

ksas

k

ksas

k

ksas

kk eeeeesesee

ksetfL −+−

→

−−

→

−−

→

−−

→

−−

→=====−= )(

00000limlimlim][lim]1[lim)]([

Assim, a transformada de Laplace das funções fk(t) é dada pela fórmula ask etfL −=)]([ . Por outro

lado, a “função generalizada” ou “distribuição” Delta de Dirac δ(t-a) apresenta a seguinte propriedade: )a(fdt)at()t(f =−δ∫

∞

∞− . Se calcularmos a transformada de Laplace do Delta de Dirac teremos:

asst edteatatL −∞ − =−=− ∫0 )()]([ δδ

Podemos portanto comparar as duas expressões para concluir que a transformada de Laplace do delta de Dirac e o limite da transformada das funções fk(t) nos dá o mesmo resultado, ou seja:

askk

eatLtfL −

∞→=−= )]([)]([lim δ

Exemplo: Determine a resposta do sistema y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=δ(t-a) com y(0)=0 e y’(0)=0.

Trata-se de um sistema massa+mola amortecido em repouso, representado por uma equação diferencial de coeficientes constantes, e que, no instante t=a recebe um impulso. Como no instante t=0 ele estava em repouso, y(0)=0 (posição de equilíbrio) e y’(0)=0 (parado).

1° passo:

y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=δ(t-a)


47

L[y’’(t)+3y’(t)+2y(t)]=L[δ(t-a)]

L[y’’(t)]+3L[y’(t)]+2L[y(t)]=L[δ(t-a)]

Lembrando que L[y’’(t)]=s2y(t)-sy(0)-y’(0), L[y’(t)]=sy(t)-y(0), L[δ(t-a)]= e-as e substituindo em

L[y’’(t)]+3L[y’(t)]+2L[y(t)]=L[δ(t-a)] obtém-se:

{s2L[y(t)]-sy(0)-y’(0)}+3{sL[y(t)]-y(0)}+2L[y(t)]=e-as

como y(0)=0 e y’(0)=0,

s2L[y(t)]+3sL[y(t)]+2L[y(t)]=e-as

[s2+3s+2]L[y(t)]=e-as

Fazendo Y≡Y(s)=L[y(t)]

Y[s2+3s+2]=e-as ⇒ 2s3s

e)s(Y 2

as

++=

−

Y(s)=F(s)e-as ⇒ 2s3s

1)s(F 2 ++=

)1)(2(2)(

)1)(2()2()1(

)1()2()1)(2(1

231)( 2 ++

+++=

+++++

=+

++

=++

=++

=ss

BAsBAsssBsA

sB

sA

sssssF

⇒ (A+B)=0 e A+2B=1

⇒ A+B=0 ⇒ A=-B

A+2B=1 ⇒ -B+2B=1 ⇒ B=1 ⇒ A=-1 ⇒ 1s

12s

1)1s(

1)2s(

1)1s(

B)2s(

A)s(F+

++

−=+

++−

=+

++

=

Da tabela de transformadas de Laplace sabe-se que: as

1]e[L at

−= então:

1s1

2s1)s(F

++

+−= ⇒

+

++

−= −−

1s1

2s1L)]s(F[L 11 ⇒

+

+

+

−= −−

1s1L

2s1L)t(f 11

logo t2ttt211 eeee1s

1L2s

1L)t(f −−−−−− −=+−=

+

+

+

−=

L-1[Y(s)]=L-1[F(s)e-as]=f(t-a)u(t-a)=[e-(t-a)-e-2(t-a)]u(t-a) ⇒

≤≤>−

=−−−−

at00atee)t(y

)at(2)at(


48

SÉRIE DE FOURIER (FUNÇÕES PERIÓDICAS)

• Uma função é dita periódica quando é definida para todo x∈R e existe algum número p>0 tal que f(x+p)=f(x) para todo x∈R.

Exemplo: sen(x+2π)=sen(x)

• Se p é período de f(x), então np (n=1,2,3,...) também será.

• O período mínimo positivo (p>0) de uma função periódica é chamado de período principal (ou fundamental).

• Se f(x) e g(x) são duas funções com período p, então a função h(x)= a[f(x)]+b[g(x)] também terá período p.

A questão que se apresenta é a de como representar funções periódicas com período p=2π a partir de funções do tipo: {1, sen(x), cos(x), sen(2x), cos(2x), sen(3x), cos(3x), ...}. A função periódica f(x) será representada por uma série infinita de funções trigonométicas, sendo necessário determinar os coeficientes an e bn:

∑∞

=

++=1

0 )]()cos([)(n

nn nxsenbnxaaxf

Seja f(x) uma função periódica de período 2π, f(x)=f(x+2π), representada pela série trigonométrica

∑∞

=++=

1nnn0 )]nxsen(b)nxcos(a[a)x(f

Para obter o coeficiente a0 vamos utilizar a propriedade da ortogonalidade das funções trigonométricas e integrar ambos os lados da expansão acima de -π a +π:

∫ ∑∫π

π−

∞

=

π

π−

++= dx)]nxsen(b)nxcos(a[adx)x(f

1nnn0

∫ ∑∫∫π

π−

∞

=

π

π−

π

π−++= dx)]nxsen(b)nxcos(a[dxadx)x(f

1nnn0

∑ ∫∫∫∞

=

π

π−

π

π−

π

π−++=

1nnn0 dx)]nxsen(b)nxcos(a[dxadx)x(f

∑ ∫ ∫∫∫∞

=

π

π−

π

π−

π

π−

π

π−++=

1nnn0 ]dx)nxsen(bdx)nxcos(a[dxadx)x(f

∑ ∫ ∫∫∫∞

=

π

π−

π

π−

π

π−

π

π−++=

1nnn0 ]dx)nxsen(bdx)nxcos(a[dxadx)x(f

como π=∫π

π−2dx , 0dx)nxcos( =∫

π

π− e 0dx)nxsen( =∫π

π− ⇒ 0a2dx)x(f π=∫π

π− ⇒


49

π

π

π

2

)(0∫−=

dxxfa

De forma análoga vamos utilizar a propriedade da ortogonalidade das funções seno e coseno para obter o coeficiente a3. Para tanto, devemos multiplicar ambos os lados da equação pela função correspondente ao coeficiente a3 ou seja, a função cos(3x).

co)]nxsen(b)nxcos(a[)x3cos(a)x3cos()]nxsen(b)nxcos(a[a)x3cos()x(f1n

nn01n

nn0 ∑∑∞

=

∞

=++=

++=

Integrando ambos os lados de -π a +π:

∫ ∑∫π

π−

∞

=

π

π−

++= dx)x3cos()]nxsen(b)nxcos(a[)x3cos(adx)x3cos()x(f

1nnn0

∫ ∑∫∫π

π−

∞

=

π

π−

π

π−++= dx)x3cos()]nxsen(b)nxcos(a[dx)x3cos(adx)x3cos()x(f

1nnn0

∫ ∑∫∫π

π−

∞

=

π

π−

π

π−++= dx)x3cos()]nxsen(b)nxcos(a[dx)x3cos(adx)x3cos()x(f

1nnn0

como 0dx)x3cos( =∫π

π− ⇒ 0dx)x3cos(a0 =∫π

π− , então:

Invertendo a posição entre o somatório e a integral, nos termos à direita da expressão:

∑∫∫∞

=

π

π−

π

π−+=

1nnn dx)x3cos()]nxsen(b)nxcos(a[dx)x3cos()x(f

∑ ∫∫∫∞

=

π

π−

π

π−

π

π−+=

1nnn }dx)x3cos()nxsen(bdx)x3cos()nxcos(a{dx)x3cos()x(f

∑ ∫∫∫∞

=

π

π−

π

π−

π

π−+=

1nnn }dx)x3cos()nxsen(bdx)x3cos()nxcos(a{dx)x3cos()x(f

Pela propriedade da ortogonalidade das funções seno e coseno: 0dx)x3cos()nxsen( =∫π

π− ∀n, então:

∑ ∫∫∞

=

π

π−

π

π−=

1nn dx)x3cos()nxcos(adx)x3cos()x(f

Utilizando a identidade trigonométrica:

b)cos(a)cos(2

b)-cos(a2

b)cos(a=+

+ teremos:

23x)-cos(nx

2)x3cos(nx(3x)cos(nx)cos +

+=


50

∑ ∫∫∑ ∫∫∞

=

π

π−

π

π−

∞

=

π

π−

π

π−

−

++

=

−

++

=1n

n1n

n dx2

)x3nxcos(dx2

)x3nxcos(adx2

)x3nxcos(2

)x3nxcos(adx)x3cos()x(f

[ ]∑ ∫∫∑ ∫∫∫∞

=

π

π−

π

π−

∞

=

π

π−

π

π−

π

π−−++=

−++=

1n

n

1nn dx)x3nxcos(dx)x3nxcos(

2adx)x3nxcos(

21dx)x3nxcos(

21adx)x3cos()x(f

∑ ∫∫∫∞

=

π

π−

π

π−

π

π−−++=

1n

n }dx]x)3ncos[(dx]x)3ncos[({2adx)x3cos()x(f

como 0dx]x)3ncos[( =+∫π

π− para ∀n, 0dx]x)3ncos[( =−∫π

π− para ∀n≠3

e π=−∫π

π−2dx]x)3ncos[( para n=3

∑ ∫∫∞

=

π

π−

π

π−−=

1n

n dx]x)3ncos[(2adx)x3cos()x(f

π=∫π

π−2

2adx)x3cos()x(f 3 ⇒ 3adx)x3cos()x(f1

=π ∫

π

π−

por analogia: ∫π

π−π= dx)nxcos()x(f1an e ∫

π

π−π= dx)nxsen()x(f1bn

Então tem-se:

∫π

π−π= dx)x(f

21a0 Valor médio da função

∫π

π−π= dx)nxcos()x(f1an para n=1,2,3,...

∫π

π−π= dx)nxsen()x(f1bn para n=1,2,3,...

Exemplo: Qual é o “tamanho” do cos(x)?

∫∫∫∫∫ −−−−−+=+=

+==

π

π

π

π

π

π

π

π

π

πdxxdxdxxdxxdxxx )2cos(

21

21)]2cos(1[

21

2)2cos(1)(cos||)cos(|| 22

π−−

π+π−−π=+=+=

π

π−

π

π−

π

π−

π

π− ∫∫ 2)2sen(

2)2sen(

21)]([

21

2)x2sen(

21x

21dx)x2cos(

21dx

21||)xcos(|| 2

ππππππ =+=

+++= )0(

21

2)2(

2)2(

21)(

21||)cos(|| 2 sensenx

||cos(x)||2=π


51

Exemplo: Calcule a série de Fourier da função f(x)=-4 para -π<x<0 e f(x)=4 para 0<x<π (periódico).

∫π

π−π= dx)x(f

21a0 Valor médio da função

02224

244

214

21)(

21

0

0

0

0

0

0

0 =+−

=+−

=+−==−−−− ∫∫∫∫∫

π

π

π

π

π

π

π

π πππππππxxdxdxdxdxdxxfa

00 =a

∫π

π−π= dx)nxcos()x(f1an para n=1,2,3,...

∫∫∫∫∫π

π−

π

π−

π

π− π+−

π=

π+

π=

π=

0

0

0

0n nxcos(41dx)nxcos(41dx)nxcos()x(f1dx)nxcos()x(f1dx)nxcos()x(f1a

π

π−

π

π− π+

π−

=π

+π−

= ∫∫0

0

0

0n n

)nxsen(4n

)nxsen(4dx)nxcos(4dx)nxcos(4a

−π

+

π+

π−

=

−π

π+

π−−

π−

=n0

n04

n)nsen(

n04

n)0nsen(

n)nsen(4

n)nsen(

n)0nsen(4an

[ ] 0)0(4)0(4004n004an =

π+

π−

=−π

+

+π−

=

0=na

∫π

π−π= dx)nxsen()x(f1bn para n=1,2,3,...

∫∫∫∫∫π

π−

π

π−

π

π− π+−

π=

π+

π=

π=

0

0

0

0n dx)nxsen(41dx)nxsen(41dx)nxsen()x(f1dx)nxsen()x(f1dx)nxsen()x(f1b

π

π

π

π

π

π ππππππ 0

0

0

0

0

0 )cos(4)cos(4)]cos([4)]cos([4)(4)(4nnx

nnx

nnx

nnxdxnxsendxnxsenbn −=

−+

−−=+

−=

−−− ∫∫

]1)1[(n4])1(1[

n4

n1

n)1(4

n)1(

n14

n)0ncos(

n)ncos(4

n)ncos(

n)0ncos(4b nn

nn

n −−π

−−−π

=

−

−π

−

−−

π=

−π

π−

π−−

π=

=

==−−=,...6,4,20

,...5,3,116])1(1[8

n

nnn

b nn ππ

+++π

= ...5

)x5sen(3

)x3sen()xsen(16)x(f


52

CONVERGÊNCIA E SOMA DA SÉRIE DE FOURIER

Teorema: “Se uma função f(x), periódica com período p=2π, é contínua por partes no intervalo -π≤x≤π e tem derivadas à esquerda e à direita em cada ponto do intervalo [-π,π], então, a série a0+∑[ancos(nx)+bnsen(nx)] de f(x) é convergente. Sua soma é f(x) exceto no ponto x0 em que f(x) é descontínua e a soma da série é a média dos limites à esquerda e à direita de f(x) em x0“.

FUNÇÕES DE PERÍODO p=2L Se uma função f(x), com período p=2L, tem uma série de Fourier, esta será da forma:

∑∞

=

+

+=

10 cos)(

nnn L

xnsenbLxnaaxf ππ

∫−= LL0 dx)x(f

L21a

∫−

π

= L

Ln dxL

xncos)x(fL1a e ∫−

π

= LLn dx

Lxnsen)x(f

L1b f(x) é uma função centrada na origem

Exemplo: Onda quadrada:

<<<<−−<<−

=2x1para01x1parak1x2para0

)x(f

período = 4 ⇒ p=2L=4 ∴ L=2

∑∑∞

=

∞

=

+

+=

+

+=

10

10 22

coscos)(n

nnn

nn xnsenbxnaaLxnsenb

Lxnaaxf ππππ

24100

41)(

21 1

1

2

1

1

1

1

20kkdxdxkdxdxdxxf

La

L

L==

++== ∫∫∫∫∫ −−

−

−−

⇒ 2ka0 =

∫∫ −−

π

=

π

= 22

LLn dxx

2ncos)x(f

21dx

Lxncos)x(f

L1a

∫∫∫∫∫ −−−−

π

=

π

=

π

+

π

+

π

= 11

11

21

11

12n dxx

2ncos

2kdxx

2ncosk

21dxx

2ncos0dxx

2ncoskdxx

2ncos0

21a

−−

=

=

=

−− 22222

2

1

1

1

1

πππ

ππ

ππ

nsennsennkxnsen

nkxnsen

nkan

como sen(-x)=-sen(x)


53

=

+

=

22

22π

πππ

πnsen

nknsennsen

nkan para n=1,2,3,...

=π

−

=π

=

=

π

π=

,...11,7,3nparank2

,...9,5,1nparank2

,...6,4,2npara0

2nsen

nk2an

∫−

π

= L

Ln dxL

xnsen)x(fL1b

∫∫ −−

π

=

π

= 2

2

L

Ln dxx2

nsen)x(f21dx

Lxnsen)x(f

L1b

∫∫∫∫∫ −−−

−

−

=

=

+

+

=

1

1

1

1

2

1

1

1

1

2 22221

20

220

21 dxxnsenkdxxnksendxxnsendxxnksendxxnsenbn

πππππ

π−−

π

π−=

−

π−

π

π−=

π

π−=

π

−

π=

−−2

ncos2

ncosnk)1(

2ncos1

2ncos

nkx

2ncos

nkx

2ncos

n2

2kb

1

1

1

1

n

como cos(-x)=cos(x)

0)0(nk

2ncos

2ncos

nkbn =

π=

π

−

π

π= ⇒ 0bn =

Então: ∑∑∞

=

∞

=

+=

+

+=

110 2

cos222

cos)(n

nn

nn xnakxnsenbxnaaxf πππ

−

+

−

+=

+= ∑

∞

= 27cos

71

25cos

51

23cos

31

2cos2

22cos12

2)(

1

xxxxkkxnn

kkxfn

πππππ

ππ

FUNÇÕES PARES E ÍMPARES A função g(x) é par se g(-x)=g(x), ou seja, é simétrica em relação ao eixo-y, e ímpar se g(-x)=-g(x); ou seja, é simétrica em relação à origem.

• O produto de uma função par por outra função par resulta em uma função par.

• O produto de uma função par por uma função ímpar resulta em uma função ímpar.

• O produto de uma função ímpar por outra função ímpar resulta em uma função par. Toda função f(x) pode ser escrita como a soma de uma função par P(x) e uma função ímpar I(x), pois:

f(x)=P(x)+I(x)

logo:

f(-x)=P(-x)+I(-x)=P(x)-I(x)


54

fazendo f(x)+f(-x)=P(x)+I(x)+P(x)-I(x)=2P(x) ⇒ 2

)x(f)x(f)x(P −+=

fazendo f(x)-f(-x)=P(x)+I(x)-P(x)+I(x)=2I(x) ⇒ 2)x(f)x(f)x(I −−

=

Se g(x) é uma função par, então ∫∫ =−

L

0

L

L dx)x(g2dx)x(g

Se h(x) é uma função impar, então 0)( =∫−L

Ldxxh

Então, os coeficientes de Fourier de uma função par g(x) serão dados por:

∫∫∫ ===−

LLL

Ldxxg

Ldxxg

Ldxxg

La

000 )(1)(22)(

21

:

∫∫

π

=

π

=−

L0

LLn dxx

Lncos)x(g

L2dxx

Lncos)x(g

L1a pois g(x) é par e

π x

Lncos é par ⇒

π x

Lncos)x(g (integrando) será par.

0dxxLnsen)x(g

L1b L

Ln =

π

= ∫− pois g(x) é par e

π x

Lnsen é impar ⇒

π x

Lnsen)x(g é impar

Analisando agora o caso de uma função h(x) ímpar, seus coeficientes serão dados por:

0)(21

0 == ∫−L

Ldxxh

La pois h(x) é ímpar e a integral de uma função ímpar no intervalo [-L,L] é

sempre 0 (zero).

0cos)(1=

= ∫−

L

Ln xLnxh

La π

pois h(x) é ímpar e

π x

Lncos é par ⇒

π xLncos)x(g é

ímpar.

∫∫

=

=

−

LL

Ln xLnsenxh

Lx

Lnsenxh

Lb

0)(2)(1 ππ

pois h(x) é ímpar e

π x

Lnsen é impar

⇒

xLnsenxh π)( é par

SÉRIE DE FOURIER DE FUNÇÕES PARES E ÍMPARES


55

A série de Fourier de uma função par com período p=2L é dada por:

∑∞

=

π

+=1n

n0 Lxncosaa)x(f

∫∫∫ ===−

L

0

L

0

L

L0 dx)x(f

L1dx)x(f

L212dx)x(f

L21a

∫∫

=

=

−

LL

Ln dx

Lxnxf

Ldx

Lxnxf

La

0

cos)(2cos)(1 ππ

0dxL

xnsen)x(fL1b

L

Ln =

π

= ∫−

A série de Fourier de uma função ímpar com período p=2L é dada por:

∑∞

=

π

=1n

n Lxnsenb)x(f

0dx)x(fL21a

L

L0 == ∫

−

0dxL

xncos)x(fL1a

L

Ln =

π

= ∫−

∫∫

=

=

−

LL

Ln dx

Lxnsenxf

Ldx

Lxnsenxf

Lb

0

)(2)(1 ππ

Teorema: “Os coeficientes de Fourier de uma soma de funções periódicas f=f1+f2 são

iguais às somas dos correspondentes coeficientes de f1 e f2”.

Exemplo: f(x) = x + 4 ⇒

+

+= ∑

∞

= Lxnsenb

Lxnaaxf n

nn

ππ1

0 cos)(

Seja f1(x)=x ⇒ f1(x) é ímpar ⇒ ∑∞

=

=

1

)1(1 )(

nn L

xnsenbxf π; 0)1( =oa e 0)1( =na .

e f2(x)=4 ⇒ f2(x) é par ⇒ 4)( )2(02 == axf ; 0)2( =nb ; 4)2(

0 =a e 0)2( =na .

Observação: A série de Fourier de uma função constante f(x)=k é a própria função, ou seja, apenas o coeficiente a0 (média da função) é diferente de zero.


56

Como a função f(x) é igual à soma das funções f1(x) e f2(x), (f(x)= f1(x) + f2(x)), os coeficientes de

Fourier de f(x) serão iguais à soma dos coeficientes de f1(x) e f2(x) ⇒ 4)2()1( =+= ooo aaa ,

0)2()1( =+= nnn aaa e )1()2()1(

nnnn bbbb =+= .

Teorema: “Os coeficientes de Fourier da função g(x)=c[f(x)] são iguais a c vezes os

coeficientes de f(x)”.

∫−= L

L)x(f

0 dx)x(fL21a

)x(f0

LL

LL

)x(g0 cadx)x(f

L21cdx)x(cf

L21a === ∫∫ −−

∫−

=

L

L

xfn dx

Lxnxf

La πcos)(1)( )()( cos)(1cos)(1 xf

n

L

L

L

L

xgn cadx

Lxnxf

Lcdx

Lxnxcf

La =

=

= ∫∫ −−

ππ

∫−

=

L

L

xfn dx

Lxnsenxf

Lb π)(1)( )()( )(1)(1 xf

n

L

L

L

L

xgn cbdx

Lxnsenxf

Lcdx

Lxnsenxcf

Lb =

=

= ∫∫ −−

ππ

EXPANSÃO EM MEIO PERÍODO

Às vezes precisamos calcular a série de Fourier de funções f(x) dadas em um intervalo 0≤x≤L (p=L).

função original tipo de expansão

expansão par

expansão ímpar


57

Exercício: Seja

<<−

<<

=

Lx2Lpara

L)xL(k2

2Lx0para

Lkx2

)x(f

Expansão par:

bn=0

∫=L

00 dx)x(f

L1a

∫

π

=L

0n dx

Lxncos)x(f

L2a

∫∫∫∫∫∫∫ −+=−

+=+==L

2L

2

2L

02

L

2L

2L

0

L

2L

2L

0

L

00 dx)xL(

Lk2xdx

Lk2dx

L)xL(k2

L1dx

Lkx2

L1dx)x(f

L1dx)x(f

L1dx)x(f

L1a

2222

22222

2

2

22

2

0

2

2

2

2

2

2

2

020

kxLkx

Lkx

Lkxdx

LkLdx

Lkxdx

Lka

L

L

LL

LL

L

L

L

L

=−+=−+= ∫∫∫

20ka =

∫∫∫

π

+

π

=

π

=L

2L

2L

0

L

0n dx

Lxncos)x(f

L2dx

Lxncos)x(f

L2dx

Lxncos)x(f

L2a

∫∫∫∫

π

−+

π

=

π−

+

π

=L

2L

2L

0

L

2L

2L

0n dx

Lxncos)xL(

Lk2

L2dx

Lxncosx

Lk2

L2dx

Lxncos

L)xL(k2

L2dx

Lxncos

Lkx2

L2a

∫∫∫

π

−

π

+

π

=L

2L

2

L

2L

2L

02n dx

Lxncosx

Lk4dx

Lxncos

Lk4dx

Lxncosx

Lk4a ⇒

−π−

π

π= 1)ncos(

2ncos2

nk4a 22n

para n≠2,6,10,14,... ⇒ an=0

( )[ ] [ ] [ ] 22222222 216222)1(211cos21)2cos(

22cos2

24

ππππ

πππ

πkkkkka −=−−=−−=−−=

−−

=

( )[ ] [ ] [ ] 22222226 31622

92)1(2

9113cos2

3641)6cos(

26cos2

64

ππππ

πππ

πkkkkka −=−−=−−=−−=

−−

=

+

π

+

π

+

π

π−≈ ...

Lx10cos

101

Lx6cos

61

Lx2cos

21k16

2k)x(f 2222


58

Expansão ímpar:

a0=0

an=0

∫

π

=L

0n dx

Lxnsen)x(f

L2b

π

π=

2nsen

nk8b 22n ⇒

+

+

−

≈ ...5

513

31

118)( 2222 L

xsenLxsen

Lxsenkxf πππ

π

SÉRIE DE FOURIER COMPLEXA

Seja ∑∑∞

=

∞

=+=++=

0nnn

1nnn0 )]nxsen(b)nxcos(a[)]nxsen(b)nxcos(a[a)x(f com período p=2π.

segundo a fórmula de Euler: eit=cos(t)+isen(t) e e-it=cos(t)-isen(t) (onde 1−=i ).

eit+e-it=cos(t)+isen(t)+cos(t)-isen(t)=2cos(t) ⇒ 2

ee)tcos(itit −+

=

eit-e-it=cos(t)+isen(t)-cos(t)+isen(t)=2isen(t) ⇒ i2ee)tsen(

itit −−=

Então: ∑∑∞

=

−−∞

=

−+

+=+=

00 22)]()cos([)(

n

inxinx

n

inxinx

nn

nn ieebeeanxsenbnxaxf

∑∑∞

=

−∞

=

−−

++

−=

+−+=0n

inxnninxnn

0n

inxninxninxninxn e2

ib2ae

2ib

2ae

2ibe

2ibe

2ae

2a)x(f

Definindo 22nn

nibac −= e

22nn

nibak += obtemos a expressão

[ ]∑∞

=

−++=1

0)(n

inxn

inxn ekeccxf

Introduzindo a notação nn ck −= teremos a expressão:

∑∞

−∞=

=n

inxnecxf )(

onde 2

ib2ac nn

n −= ⇒ 22nn

nnibakc +==− .

com ∫π+

π−

−

π= dxe)x(f

21c inx

n onde ,...3,2,1,0 ±±±=n


59

Exemplo: f(x)=ex, para -π≤x<π e p=2π.

−

−−π

=−π

=π

=π

=π

=π

=π−−π−π+

π−

−π+

π−

−π+

π−

−π+

π−

−π+

π−

− ∫∫∫∫ )in1(e

)in1(e

21

)in1(e

21dxe

21dxe

21dxee

21dxe)x(f

21c

))(in1()in1(x)in1(x)in1(inxxinxxinx

n

Utilizando as identidades:

einπ=cos(nπ)+isen(nπ)=(-1)n+i(0)=(-1)n

e-inπ=cos(nπ)-isen(nπ)=(-1)n-i(0)=(-1)n

++

−=

++−−−

=

++−

=−−−

222 11)()1(1

11

2)1()1(1

11

21

ninsenh

ninee

nineeeec n

nninin

n ππππ

ππππππ

Então: ∑∑+∞

∞−

+∞

∞− ++

−π

π=

++

π−π

== inx2

ninx2

nx en1in1)1()senh(e

n1in1)senh()1(1e)x(f

INTEGRAL DE FOURIER Observação: Funções não periódicas não têm série de Fourier

Vamos tomar a função fL(x) com período p=2L e observar o que acontece quando L→∞.

+<<++<<−−<<−

=Lx1para01x1para11xLpara0

)x(fL

Como a função é par ⇒ bn=0

Ldx

Ldx

Ldxxf

Ldxxf

Ldxxf

La

LLL 10111)(1)(1)(1

1

1

01

1

000 =+=+== ∫∫∫∫∫

∫∫∫

+

=

=

LL

n dxLxn

Ldx

Lxndx

Lxnxf

La

1

1

00

cos02cos1cos)(2 πππ

−

=

=

= ∫

Ln

LnLnsen

LLnLxnsen

Ldx

Lxn

Lan ππ

π

π

ππ 022cos2

1

0

1

0

Ln

Lnsen

L2an π

π

= , definindoLn

nπ

=ω ⇒ n

nn

n

n

n

n)sen(

n2)sen(

n2a

ωω

πω

=ωω

ωπ

=

Suponha agora que a função )(xfL é uma função periódica qualquer com período p=2L e vamos obervar o que ocorre com sua série de Fourier quando ∞→L .

∑∞

=

++=1

0 )]()cos([)(n

nnnnL xsenbxaaxf ωω , onde pn

Ln

nππω 2

==


60

∑ ∫∫∫∞

= −−−

+

+=

1

)()()(1)cos()cos()(1)(21)(

nn

L

LnLn

L

LnL

L

LLL xsendvvsenvf

Lxdvvvf

Ldvvf

Lxf ωωωω

como ∆ω=ωn+1-ωn ⇒ LL

nL

n πππω =−+

=∆)1(

⇒ L1

=πω∆

∑ ∫∫∫∞

= −−−

∆

+∆

+=

1)()()()cos()cos()(1)(

21)(

nn

L

LnLn

L

LnL

L

LLL xsendvvsenvfxdvvvfdvvf

Lxf ωωωωωω

π

Se L→∞ e assumindo que )x(flim)x(f LL ∞→= ⇒ dw

Lw →=∆

π e o somatório tende a uma integral,

isto é, ∫∑∞∞

→00

ωωωπ

ωωπ

dxsendvvsenvfxdvvvfxf ∫ ∫∫∞ ∞

∞−

∞

∞−

+

=0

)()()(1)cos()cos()(1)(

Definindo: ∫∞

∞−

= dvvvfwA )cos()(1)( ωπ e ∫

∞

∞−

= dvvsenvfwB )()(1)( ωπ

[ ] ωωω dxsenwBxwAxf ∫∞

+=0

)()()cos()()(

Esta representação da função f(x) é denominada de Integral de Fourier

Se a função for par ⇒ B(w)=0 e ωω dxwAxf ∫∞

=0

)cos()()(

Se a função for ímpar ⇒ A(w)=0 e ωω dxsenwBxf ∫∞

=0

)()()(

RESUMO:

Função Não-Periódica ⇒ Integral de Fourier

Função Periódica ⇒ Série de Fourier


61

Exemplo:

Ache a integral de Fourier da função:

>−<<

=1x e 1xpara0

1|x|para1)x(f


+=0

)()()cos()()(

−

−=====−−−

∞

∞−∫∫∫ ω

ωωω

πωω

πω

πω

πω

π))1(())1((1)(1)cos(1)cos(11)cos()(1)(

1

1

1

1

1

1

sensenvsendvvdvvdvvvfwA

ωω

πωω

πωω

ωω

πωω

ωω

π)(2)(21)()(1)()(1)( sensensensensensenwA =

=

+=

−

−=

−

+−

=−

====−−−

∞

∞−∫∫∫ ω

ωωω

πωω

πω

πω

πω

π))1(cos())1(cos(1)cos(1)(1)(11)()(1)(

1

1

1

1

1

1

vdvvsendvvsendvvsenvfwB

0)0(1)cos()cos(1)cos()cos(1))1(cos())1(cos(1)( ==

+−

=

−

+−

=

−

+−

=πω

ωωω

πωω

ωω

πωω

ωω

πwB

ωω

ωωπ

ωωωπω

ω dxsendxsenxsenxf ∫∫∞∞

=

+=

00

)cos()(2)(0)cos()(2)(

A partir do teorema de convergência da integral de Fourier e dos valores da função f(x) podemos concluir que:

>

=

<≤

=∫∞

10

14

102

wx)sen(w)cos(

0 xquando

xquando

xquando

d π

π

ωω

Teorema da Convergência: “Se f(x) é contínua por partes em todo o intervalo finito, tem

derivadas à esquerda e à direita em cada ponto e a integral ∫+∞

∞−

dx|)x(f| existe,

então, f(x) pode ser representada por uma integral de Fourier. Nos pontos de descontinuidade, a integral de Fourier converge para a média dos valores dos limites à esquerda e à direita”.


62

TRANSFORMADA DE FOURIER


+=0

)()()cos()()(

∫∞

∞−

= dvvvfwA )cos()(1)( ωπ

∫∞

∞−

= dvvsenvfwB )()(1)( ωπ

ωωωπ

ωωπ


∞−

∞

∞−

+

=0

)()()(1)cos()cos()(1)(

ωωωωωπ


∞−

∞

∞−

+

=

0

)()()()cos()cos()(1)(

ωωωωωπ

ddvxsenvsenvfdvxvvfxf ∫ ∫∫∞ ∞

∞−

∞

∞−

+=0

)()()()cos()cos()(1)(

ωωωωωπ

ddvxsenvsenvfxvvfxf ∫ ∫∞ ∞

∞−

+=0

)()()()cos()cos()(1)(

[ ] ωωωωωπ

ddvxsenvsenxvvfxf ∫ ∫∞ ∞

∞−

+=0

)()()cos()cos()(1)(

ωωωπ

ddvvxvfxf ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

−= )cos()(21)(

Aqui utilizamos a propriedade de que a função cos(wx-wv) é par com relação a w.

Por outro lado sendo a função sen(wx-wv) ímpar relativamente a w teremos:

0)()(21)( =

−= ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

ωωωπ

ddvvxsenvfxf

Utilizando agora a fórmula de Euler para variáveis complexas, e somando a integral em coseno

ωωωπ

ddvvxvfxf ∫ ∫∞ ∞

∞−

−=0

)cos()(1)(


63

com a integral em seno multiplicada pelo número imaginário i, vamos obter a seguinte expressão:

ωπ

ddvevfxf vxiw∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

−

= )()(21)(

Esta expressão é conhecida como a Integral de

Fourier Complexa. TRANSFORMADA DE FOURIER

A Transformada de Fourier de f(x) é definida por: dxexff xi∫

∞

∞−

−= ω

πω )(

21)(ˆ

A Transformada Inversa de Fourier de f(x) é definida por: ωωπ

ω defxf xi∫∞

∞−

= )(ˆ21)(

Exemplo: Ache a transformada de Fourier da função

><<<

=ax e 0x0

ax0k)x(f

−

−−

=

−

−−

=−

===−−−−

−∞

∞−

− ∫∫ ωωπωωπωπππω

ωωωωωω

iiek

ie

iek

iekdxkedxexff

aiiaiaxiaxixi 1

22221)(

21)(

0

00

)1(2

)( aieikf ω

πωω −−=

LINEARIDADE DA TRANSFORMADA DE FOURIER

O operador transformada de Fourier )]([)(ˆ xfwf ℑ= é linear, ou seja:

)]([)]([)]()([ xgbxfaxbgxaf ℑ+ℑ=+ℑ

TRANSFORMA DA DERIVADA DE FOURIER

[ ] )]([)()(21)('

21)]('[ xfidxeixfexfdxexfxf xixixi ℑ=

+==ℑ ∫∫∞

∞−

−∞+

∞−−

∞

∞−

− ωωππ

ωωω

)]([)]([)()]([ 22 xfxfixf ℑ−=ℑ=′′ℑ ωω

)]([)]([)()]([ )( xfixfixf nnnn ℑ=ℑ=ℑ ωω


64

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS – E.D.P.

• Uma equação diferencial parcial é uma equação diferencial envolvendo derivadas parciais de uma função incógnita que depende de 2 ou mais variáveis. Exemplo: u(x,y), v(x,t).

• A ordem da mais alta derivada é a ordem da equação.

• Uma equação diferencial parcial é linear quando é do 1° grau na variável dependente (função incógnita) e suas derivadas.

• Se todos os termos da equação diferencial parcial contém a variável dependente ou uma de suas derivadas, a equação é dita homogênea, ou seja, não possui termo independente.

• De modo geral, as equações diferenciais parciais possuem infinitas soluções. A unicidade da solução será obtida ao se aplicar as condições de contorno (na fronteira) e as condições iniciais (em t=0) [Problema bem posto].

Teorema: Superposição e Linearidade Se u1 e u2 são soluções de uma equação diferencial parcial homogênea e linear em uma região R, então u=c1u1+c2u2, para c1 e c2 constantes também é solução.

CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE 2ª ORDEM

Uma equação diferencial parcial de 2ª ordem pode ser escrita da seguinte forma:

0g)y,x(fuy

)y,x(uex

)y,x(udy

)y,x(ucyx

)y,x(ubx

)y,x(ua 2

22

2

2

=++∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂∂

+∂

∂

onde a, b, c, d, e e f podem ser variáveis independentes em x e y.

É usual classificar as equações diferenciais parciais de 2ª ordem como segue:

∆=b2-4ac<0 ⇒ elíptica ⇒ 0y

)y,x(ux

)y,x(u2

2

2

2

=∂

∂+

∂∂ ⇒ Equação de Laplace

∆=b2-4ac=0 ⇒ parabólica ⇒ 0t

)t,x(ux

)t,x(uc 2

22 =

∂∂

−∂

∂ ⇒ Equação do Calor

∆=b2-4ac>0 ⇒ hiperbólica ⇒ 0t

)t,x(ux

)t,x(uc 2

2

2

22 =

∂∂

−∂

∂ ⇒ Equação da Onda

EQUAÇÃO DA ONDA (corda vibrante) Vibrações transversais de uma corda elástica, por exemplo, uma corda de violão.

Hipóteses simplificadoras:

1. a massa da corda, por unidade de comprimento, é constante.

2. a força gravitacional é desprezível, quando comparadas com as forças de tensão a que está submetida a corda.


65

3. a corda desloca-se com pequenos movimentos transversais no plano vertical.

Na direção y=u(x,t):

2

2

12),()sen(T-)sen(T

ttxux

∂∂

∆= ραβ

Na direção x:

0)cos(T)cos(T- 21 =+ βα

cteT === )cos(T)cos(T 21 βα

Dividindo a equação na direção vertical por T1cos(α) teremos:

)cos(Tt

)t,x(ux

)cos(T)sen(T

)cos(T)sen(T

1

2

2

1

2

1

1

α∂

∂∆ρ

=αβ

+αα−

como cteT === )cos(T)cos(T 21 βα ⇒

⇒ Tttxux

TsenT

TsenT 2

2

2

2

1

1

),(

)cos()(

)cos()( ∂

∂∆

=+− ρ

ββ

αα

⇒ 2

2 ),()tan()tan(ttxu

Tx

∂∂∆

=+− ρβα

lembrando que xx

txu

∂∂

=),()tan(α e

xxxtxu

∆+

∂∂

=),()tan(β

⇒ 2

2 ),(),(),(ttxu

Tx

xtxu

xtxu

xxx ∂∂∆

=

∂∂

−

∂∂

∆+

ρ

⇒ 2

2 ),(),(),(ttxu

Tx

xtxu

xtxxu

∂∂∆

=∂

∂−

∂∆+∂ ρ

2

2 ),(),(),(1ttxu

Txtxu

xtxxu

x ∂∂

=

∂∂

−∂∆+∂

∆ρ

Definindo ρ

=Tc2 ⇒ 2

2 ),(),(),(1ttxu

Txtxu

xtxxu

x ∂∂

=

∂∂

−∂∆+∂

∆ρ

Fazendo ∆x→0 ⇒ 2

2

2

22 ),(),(

ttxu

xtxuc

∂∂

=∂

∂ ou 2

22

2

2 ),(),(xtxuc

ttxu

∂∂

=∂

∂

Esta é a chamada “equação uni-dimensional da onda”.


66

Para determinar solução para a equação da onda (ou “corda vibrante”) 2

2

2

22

t)t,x(u

x)t,x(uc

∂∂

=∂

∂

precisamos suplementar a equação com as seguintes condições de contorno: 00 =),( tu e

0=),( tLu e as seguintes condições iniciais: )(),( xfxu =0 e )(),( xgtxu

=∂

∂ 0.

Solução padrão: 1° passo: separação de variáveis

u(x,t)=F(x)G(t) ⇒

)t(G)x('Fx

)t,x(u=

∂∂ e )t('G)x(F

t)t,x(u=

∂∂

)t(G)x(''Fx

)t,x(u2

2

=∂

∂ e )t(''G)x(Ft

)t,x(u2

2

=∂

∂

como 2

2

2

22

t)t,x(u

x)t,x(uc

∂∂

=∂

∂ ⇒ c2F''(x)G(t)=F(x)G''(t) ⇒ )t(Gc)t(''G

)x(F)x(''F

2=

A única forma dessa expressão ser verdadeira, para qualquer x e t, é K)t(Gc)t(''G

)x(F)x(''F

2 == , onde K é

a constante de separação.

Da expressão K)t(Gc)t(''G

)x(F)x(''F

2 == depreende-se que:

K)x(F)x(''F= ⇒ F''(x)=KF(x) ⇒ F''(x)-KF(x)=0

K)t(Gc)t(''G

2 = ⇒ G''(t)=Kc2G(t) ⇒ G''(t)-Kc2G(t)=0

2° passo: solução de F''(x)-KF(x)=0

satisfação das condições de contorno

u(x,t)=F(x)G(t)

u(0,t)=0 ⇒ F(0)G(t) =0 ⇒ F(0)=0, ∀t.

u(L,t)=0 ⇒ F(L)G(t) =0 ⇒ F(L)=0, ∀t.

Sendo a equação diferencial em x de segunda ordem F''(x)-KF(x)=0, é necessário analisar três diferentes possibilidades dependendo do sinal da constante de separação K.

i) Para 0>K , podemos admitir que 02 ≠ℜ∈= µµµ ,,K .

00 2 =−′′⇒=−′′ )()()()( xFxFxKFxF µ

a solução da homogênea é dada por: xx BeAexF µµ −+=)(

Com as condições de contorno F(0)=0, ∀t e F(L)=0, ∀t tem-se:

BABABeAeF −=⇒=+⇒=+= − 000 00 µµ)(


67

0202

200 =−⇒=+

−⇒=+−⇒=+=−

−− )()()( LBsenhBeeBBeBeBeAeLFLL

LLLL µµµ

µµµµ

Como 0000000 ≡=⇒≡⇒=⇒=⇒≠≠≠ )()(),()()(,, tGxFtxuxFABLsenhL µµ

ii) para 0=K

BAxxFxFxKFxF +=⇒=′′⇒=−′′ )()()()( 00

A solução da homogênea: BAxxF +=)(

Impondo as condições de contorno F(0)=0 e F(L)=0, tem-se:

0000 =⇒=+= BBAF .)(

00 =⇒== ALALF .)(

Como 0000 ≡=⇒≡⇒==+= )()(),()(,,)( tGxFtxuxFBABAxxF

iii) Para 0<K , podemos admitir que 02 ≠ℜ∈−= pppK ,, .

00 2 =+′′⇒=−′′ )()()()( xFpxFxKFxF

a solução da homogênea é dada por: )()cos()( pxBsenpxAxF +=


0000000 =⇒=+⇒=+= ABABsenAF .)()cos()(

,...,,)()()( 32100 ==⇒=⇒=⇒== nLnpnpLpLsenpLBsenLF ππ

então, 2

2

LnpK

π

−=−= e

π

= xLnsenB)x(F nn , para n=1,2,3,...

3° passo: solução de G''(t)-Kc2G(t)=0

como K)t(Gc)t(''G

)x(F)x(''F

2 == e 2

LnK

π

−=

0)t(GcLn)t(''G 2

2

=

π

−−

0)t(GL

cn)t(''G2

=

π

+

Definindo L

cnn

π=λ ⇒ G''(t)+λn

2G(t)=0

A solução da homogênea será: Gn(t)=Cncos(λnt)+Dnsen(λnt)

como u(x,t)=F(x)G(t) ⇒ un(x,t)=Fn(x)Gn(t) ⇒ )]tsen(D)tcos(C[xLnsenB)t,x(u nnnnnn λ+λ

π

=

+= xLnsentsenFtEtxu nnnnnπλλ )]()cos(),( , para n=1,2,3,... , En=BnCn e Fn=BnDn


68

Pelo princípio da linearidade e da superposição:

∑∑∞

=

∞

=

λ+λ

π

==1n

nnnn1n

n )]tsen(F)tcos(E[xLnsen)t,x(u)t,x(u

4° passo: Satisfazendo as condições iniciais

1ª condição inicial, u(x,0)=f(x):

)()]()cos([),( xfxLnsenEsenFEx

Lnsenxu

nn

nnnnnn =

=+

= ∑∑

∞

=

∞

= 11000 πλλπ

Sendo nE coeficientes da série de Fourier,

∫

π

= L

0n dxxLnsen)x(f

L2E

2ª condição de inicial:

)(),(xg

txun =

∂∂ 0

)()]cos()([),( xgxLnsentFtsenE

ttxu

nnnnnn =

+−=

∂∂ ∑

∞

=1

πλλλ

∑∑∞

=

∞

=

+−=

+−=

∂∂

11

00000n

nnnn

nnnnn xLnsenFsenEx

LnsenFsenE

txu πλπλλλ )]cos()([)]cos()([),(

)()]()([),( xgxLnsenFx

LnsenFx

LnsenFE

txu

nnn

nnn

nnnn =

=

=

+−=

∂∂ ∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

= 111

100 πλπλπλ

como ∑∞

=

1nnn x

LnsenF πλ é uma série de Fourier

∫

=

L

nn dxxLnsenxg

LF

0

2 πλ )( ⇒ ∫

=

L

nn dxx

Lnsenxg

LF

0

2 πλ

)(

EQUAÇÃO DA CORDA VIBRANTE


69

Solução: ∑∑∞

=

∞

=

+==

11 nnnnn

nn x

LnsentsenFtEtxutxu πλλ )]()cos([),(),(

As funções un(x,t) são as autofunções ou funções características e os valores λn são os autovalores ou valores característicos da corda vibrante. O conjunto dos autovalores {λ1, λ2, λ3, ... , λn} é denominado espectro.

DISCUSSÃO DAS AUTOFUNÇÕES

Cada un(x,t) representa um movimento harmônico (oscilatório) com freqüência L2

cn2

n =πλ

ciclos/unidade de tempo (ou Hertz = Hz). Este movimento é o n-ésimo modo normal da corda. O 1° modo normal é o modo fundamental, com n=1, e os outros são os modos ou harmônicos

superiores (overtunes). Considerando que 0xLnsen =

π , em

nL)1n(,...,

nL3,

nL2,

nLx −

= , o modo

normal n tem (n-1) nós; isto é, pontos fixos internos:

n=1 n=2 n=3

A afinação (tuning) é feita mudando-se a tensão T, como se observa na fórmula:

T↑⇒λn↑

ρ↑⇒λn↓ L2nT

L2cn

2n

ρ==

πλ ⇒

L↑⇒λn↓

EQUAÇÃO DO CALOR

A equação do calor é dada por t

)t,x(u)t,x(uc 22

∂∂

=∇ 11 ou t

)t,x(uz

)t,x(uy

)t,x(ux

)t,x(uc 2

2

2

2

2

22

∂∂

=

∂

∂+

∂∂

+∂

∂ ,

onde σρkc =2 é a difusibilidade térmica, k é a condutividade térmica, σ é o calor específico e ρ é

a massa específica do material.

Vamos considerar a temperatura em uma barra longa com seção transversal constante, feita de um material homogêneo, orientada ao longo do eixo-x e isolada lateralmente, de modo que o fluxo de calor só se dê na direção x. Segue-se que:

0y

)t,x(u2

2

=∂

∂ e 0z

)t,x(u2

2

=∂

∂ ⇒ t

)t,x(ux

)t,x(uc 2

22

∂∂

=∂

∂

Vamos, ainda, considerar as seguintes condições de contorno:

11

2

2

2

2

2

22

z)t,x(u

y)t,x(u

x)t,x(u)t,x(u

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∇


70

u(0,t)=0 e u(L,t)=0

e a seguinte condição inicial:

u(x,0)=f(x)

Solução padrão: 1° passo: separação de variáveis

u(x,t)=F(x)G(t) ⇒

)t(G)x('Fx

)t,x(u=

∂∂ e )t('G)x(F

t)t,x(u=

∂∂

)t(G)x(''Fx

)t,x(u2

2

=∂

∂

como t)t,x(u

x)t,x(uc 2

22

∂∂

=∂

∂ ⇒ c2F''(x)G(t)=F(x)G'(t) ⇒

)t(Gc)t('G

)x(F)x(''F

2=

A única forma dessa expressão ser verdadeira, para qualquer x e t, é K)t(Gc

)t('G)x(F)x(''F

2 == , onde K é

a constante de separação.

Da expressão K)t(Gc

)t('G)x(F)x(''F

2 == depreende-se que:

K)x(F)x(''F= ⇒ F''(x)=KF(x) ⇒ F''(x)-KF(x)=0

K)t(Gc

)t('G2 = ⇒ G'(t)=Kc2G(t) ⇒ G'(t)-Kc2G(t)=0

2° passo: solução de F''(x)-KF(x)=0

satisfação das condições de contorno

u(x,t)=F(x)G(t)

u(0,t)=F(0)G(t) e u(0,t)=0 ⇒ F(0)=0 ∀t

u(L,t)=F(L)G(t) e u(L,t)=0 ⇒ F(L)=0 ∀t

F''(x)-KF(x)=0


00 2 =−′′⇒=−′′ )()()()( xFxFxKFxF µ



BABABeAeF −=⇒=+⇒=+= − 000 00 µµ)(

0202

200 =−⇒=+

−⇒=+−⇒=+=−

−− )()()( LBsenhBeeBBeBeBeAeLFLL

LLLL µµµ

µµµµ

Como 0000000 ≡=⇒≡⇒=⇒=⇒≠≠≠ )()(),()()(,, tGxFtxuxFABLsenhL µµ


71

ii) para 0=K

BAxxFxFxKFxF +=⇒=′′⇒=−′′ )()()()( 00


Impondo as condições de contorno F(0)=0 e F(L)=0, tem-se:

0000 =⇒=+= BBAF .)(

00 =⇒== ALALF .)(

Como 0000 ≡=⇒≡⇒==+= )()(),()(,,)( tGxFtxuxFBABAxxF


00 2 =+′′⇒=−′′ )()()()( xFpxFxKFxF



0000000 =⇒=+⇒=+= ABABsenAF .)()cos()(

,...,,)()()( 32100 ==⇒=⇒=⇒== nLnpnpLpLsenpLBsenLF ππ

então, 2

2

LnpK

π

−=−= e

π

= xLnsenB)x(F nn , para n=1,2,3,...

3° passo: solução de G'(t)-Kc2G(t)=0

como K)t(Gc

)t('G)x(F)x(''F

2 == e 2

LnK

π

−=

0)t(GcLn)t('G 2

2

=

π

−−

0)t(GL

cn)t('G2

=

π

+

para L

cnn

π=λ ⇒ G'(t)+λn

2G(t)=0

solução geral da homogênea de 1ª ordem: t2

Ce)t(G λ−= ⇒ tnn

2neC)t(G λ−=

como u(x,t)=F(x)G(t) ⇒ un(x,t)=Fn(x)Gn(t) ⇒ tnnn

2neCx

LnsenB)t,x(u λ−

π

=

π

= λ− xLnseneD)t,x(u t

nn2n , para n=1,2,3,... , Dn=BnCn


72

Pelo princípio da linearidade e da superposição:

∑∑∞

=

λ−∞

=

π

==1n

tn

1nn x

LnseneD)t,x(u)t,x(u

2n

4° passo: Imposição da condição inicial e verificação de u(x,t)

Condição de inicial: u(x,0)=f(x)

)(),(),( xfxLnsenDx

LnseneDxuxu

nn

nn

nn

n =

=

== ∑∑∑

∞

=

∞

=

−∞

= 11

0

1

2

00 ππλ

Sendo ∑∞

=

=

1nn x

LnsenDxf π)( uma série de Fourier, seu coeficiente será dado pela

expressão:

∫

π

= L

0n dxxLnsen)x(f

L2D

A solução da equação uni-direcional do calor será dada pela expressão abaixo:

∑∑∞

=

λ−∞

=

π

==1n

tn

1nn x

LnseneD)t,x(u)t,x(u

2n

Podemos verificar que as condições de contorno são satisfeitas por esta expressão pois:

000000111

22

==

=⇒= ∑∑∑

∞

=

−∞

=

−∞

= n

tn

n

tn

nn seneD

LnseneDtutu nn )(),(),( λλ π

00111

22

==

=⇒= ∑∑∑

∞

=

−∞

=

−∞

= n

tn

n

tn

nn nseneDL

LnseneDtLutLu nn )(),(),( ππ λλ

Além disso a solução tende assintoticamente para zero quando o tempo t cresce para infinito, o que significa que a temperatura da barra tende a se anular de forma homogênea, já que seus extremos estão permanentemente submetidos a uma temperatura nula.

Matematicamente temos que 0)t,x(ulimt

=∞→

porque 0e t2n →λ−


73

011

2

=

== ∑∑

∞

=

−

∞→

∞

=∞→∞→ n

tntn

nttx

LnseneDtxutxu nπλlim),(lim),(lim

EQUAÇÃO DO CALOR EM 2 DIMENSÕES E PERMANENTE A equação do calor em 2 dimensões é dada por:

∂

∂+

∂∂

=∇=∂

∂2

2

2

2222

y)t,y,x(u

x)t,y,x(uc)t,y,x(uc

t)t,y,x(u

Se o fluxo de calor for permanente, isto é, 0t

)t,y,x(u=

∂∂ , então a equação do calor se transforma

na equação de Laplace, onde ∇2u(x,y,t)=0, ou seja 0y

)t,y,x(ux

)t,y,x(u)t,y,x(u 2

2

2

22 =

∂∂

+∂

∂=∇ .

Neste caso, o problema de calor, consiste desta equação 0y

)t,y,x(ux

)t,y,x(u)t,y,x(u 2

2

2

22 =

∂∂

+∂

∂=∇ , que

deve valer em uma região R do plano xy, e de condições de contorno na fronteira C da região R, resultando em um problema de valor de contorno (PVC).

Dirichlet Neumann Misto

PROBLEMA DE DIRICHLET NO PLANO

u(0,y)=0 y∈(0,b)

u(a,y)=0 y∈(0,b)

u(x,0)=0 x∈(0,a)

u(x,b)=f(x) x∈(0,a)

Separando as variáveis:


74

u(x,y)=F(x)G(y)

0y

)y,x(ux

)y,x(u2

2

2

2

=∂

∂+

∂∂ ⇒ F''(x)G(y)+F(x)G''(y)=0 ⇒ F''(x)G(y)=-F(x)G''(y) ⇒ k

)y(G)y(''G

)x(F)x(''F

−=−=

k)y(G)y(''G

)x(F)x(''F

−=−= ⇒

=−=+

0)y(kG)y(''G0)x(kF)x(''F

As condições de contorno laterais são:

u(0,y)=0 ⇒ F(0)G(y)=0 ⇒ F(0)=0

u(a,y)=0 ⇒ F(a)G(y)=0 ⇒ F(a)=0

A equação a ser resolvida é dada por F''(x)+kF(x)=0 com condições de contorno, F(0)=F(a)=0.


00 2 =−′′⇒=−′′ )()()()( xFxFxKFxF µ


Com as condições de contorno F(0)=0 e F(a)=0, tem-se:

BABABeAeF −=⇒=+⇒=+= − 000 00 µµ)(

0202

200 =−⇒=+

−⇒=+−⇒=+=−

−− )()()( aBsenhBeeBBeBeBeAeaFaa

aaaa µµµ

µµµµ

Como 0000000 ≡=⇒≡⇒=⇒=⇒≠≠≠ )()(),()()(,, yGxFyxuxFABasenha µµ

ii) para 0=K

BAxxFxFxKFxF +=⇒=′′⇒=−′′ )()()()( 00


Impondo as condições de contorno F(0)=0 e F(a)=0, tem-se:

0000 =⇒=+= BBAF .)(

00 =⇒== AaAaF .)(

Como 0000 ≡=⇒≡⇒==+= )()(),()(,,)( yGxFyxuxFBABAxxF


00 2 =+′′⇒=−′′ )()()()( xFpxFxKFxF


Com as condições de contorno F(0)=0 e F(a)=0, tem-se:

0000000 =⇒=+⇒=+= ABABsenAF .)()cos()(


75

,...,,)()()( 32100 ==⇒=⇒=⇒== nanpnpapasenpaBsenaF ππ

então, 2

2

−=−=anpK π

e

= xansenxFnπ)( , para n=1,2,3,...

Resolvendo agora a equação em y, temos:

G''(y)-kG(y)=0

0G(y)a

n-(y)'G'2

=

π ⇒

yan

n

yan

nn eBeAyGππ

−+=)(

Impondo a condição de contorno no eixo horizontal, temos:

u(x,0)=0 ⇒ F(x)G(0)=0 ⇒ Fn(x)Gn(0)=0 ⇒ Gn(0)=0 ⇒ 0eBeA0

an

n

0an

n =+π

−π

⇒ Ane0+Bne0=0 ⇒ An+Bn=0

An+Bn=0 ⇒ An=-Bn ⇒

−

=

−=−=+=

π−

ππ

−ππ

−ππ

−π

2eeA2eeAeAeAeBeA)y(G

yany

an

n

yany

an

n

yan

n

yan

n

yan

n

yan

nn

=

= y

ansenhAy

ansenhAyG nnn

ππ ~)( 2

u(x,y)=F(x)G(y) ⇒ un(x,y)=Fn(x)Gn(y) ⇒

=

= y

ansenhx

ansenAy

ansenhAx

ansenyxu nnn

ππππ ~~),(

Utilizando o fato de ∇2u(x,y)=0 ser linear e homogênea, pode-se usar o princípio da superposição:

∑∑∞

=

∞

=

==

11 nn

nn y

ansenhx

ansenAyxuyxu ππ~),(),(

Impondo finalmente a condição de contorno no segmentoy=b, u(x,b)=f(x) temos:

∑∑∞

=

∞

=

=

=

11 nn

nn x

ansenb

ansenhAb

ansenhx

ansenAxf ππππ ~~)(

Fazendo

= bansenhAb nnπ~

⇒ ∑∞

=

π

=1n

n xa

nsenb)x(f = Série de Fourier ⇒

∫

π

=a

0n dxx

ansen)x(f

a2b

Então: ∫

=

a

n dxxansenxf

ab

ansenhA

0

2 ππ )(~ ⇒

=∫

bansenh

dxxansenxf

aA

a

n π

π

0

2 )(~


76

EQUAÇÃO DO CALOR POR INTEGRAIS DE FOURIER

2

22

x)t,x(uc

t)t,x(u

∂∂

=∂

∂ , u(x,0)=f(x) para -∞<x<+∞

u(x,t)=F(x)G(t)

F(x)G'(t)=c2F''(x)G(t) ⇒ 22 p

)t(Gc)t('G

)x(F)x(''F

−==

F(x)=Acos(px)+Bsen(px) tpc 22

e)t(G −=

tpce22

Bsen(px)][Acos(px)p)t;u(x, −+=

tpc

pp22

esen(px)]Bcos(px)[Ap)t,u(x, −+= :

Equação Linear homogênea ⇒ Princípio de Superposição

∫∫∞

−∞

+==00

22

)]B(p)sen(pxx)[A(p)cos(p dpedpptxutxu tpc);,(),(

Integral de Fourier

ωωω dxsenwBxwAxf ∫∞

+=0

)]()()cos()([)(

∫+∞

∞−

= dvvvfwA )cos()()( ωπ1

e ∫+∞

∞−

= dvvsenvfwB )()()( ωπ1

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

ω

ω−ω

π= ddv)vxcos()v(f

21)x(f


77

∫∞

+==0

)]B(p)sen(pxx)[A(p)cos(p0 dpxfxu )(),(

∫+∞

∞−

= dvpvvfpA )cos()()(π1

∫+∞

∞−

= dvpvsenvfpB )()()(π1

∫ ∫∞ +∞

∞−

−

−

π=

0

tpc dpdve)pvpxcos()v(f1)t,x(u22

Invertendo a ordem de integração:

∫ ∫+∞

∞−

+∞−

−= dvdpepvpxvftxu tpc

0

221 )cos()(),(π

Da tabela de integrais: 22 b

0

s e2

ds)bs2cos(e −∞

− π=∫

Definindo tcsp = ⇒ tc2

vxb −=

∫∫∞+

∞−

−∞+

∞−

−−

+π

=π

= dze)tcz2x(f1dve)v(ftc2

1)t,x(u22

2

ztc4)vx(

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