CoursdeMathématiques - perso.univ-lemans.frperso.univ-lemans.fr/~benard/rt/master-pe/ue312/cours-mathonautes.pdf · Voici un petit lexique, qui vous permettra de savoir exactement

Cours de Mathématiques

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Table des matières

I Arithmétique 9

1 5ème - Enchaînements d’opérations 111.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Enchaînements d’opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 5ème - Nombres relatifs 152.1 Se repérer sur un axe gradué, dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Comparer des nombres relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Additionner des nombres relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Soustraire un nombre relatif à un autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 Simplifier l’écriture d’une somme de relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 6ème - Division 193.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Division décimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Division par 10, 100, 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 6ème - Fractions 234.1 Situation de partage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Ecriture fractionnaire d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Différentes écritures fractionnaires pour un même nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.4 Opérations sur les nombres en écriture fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 5ème - Fractions 295.1 Ecriture fractionnaire d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.2 Multiples et diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.3 Différentes écritures fractionnaires pour un même nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.4 Comparer des fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.5 Ajouter, soustraire des nombres en écriture fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.6 Multiplier des nombres en écriture fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6 4ème - Nombres en écriture fractionnaire 356.1 Transformer, simplifier une écriture fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.2 Produits en croix et égalité de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.3 Multiplier des nombres en écriture fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.4 Inverse d’un nombre relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.5 Diviser par un nombre en écriture fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.6 Ajouter, soustraire des nombres en écriture fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38



7 4ème - Puissances 397.1 Comprendre les notations an et a−n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.2 Effectuer des produits, des quotients de puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.2.1 Opérations sur les puissances d’un même nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.2.2 Calculer une puissance d’un produit ou d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.2.3 Prendre la puissance d’une puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7.3 Multiplier un nombre décimal par 10n, par 10−n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.4 Ecriture scientifique d’un nombre décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.5 Obtenir un ordre de grandeur ou un encadrement du résultat d’un calcul en utilisant la notation scientifique7.6 Effectuer à la main des calculs avec des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.7 Puissances et utilisation de la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

8 3ème - Racines carrées 458.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.2 Produit, quotient de racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.3 Equation x2 = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.4 Comment éliminer le radical du dénominateur d’une fraction ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.5 En géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

9 3ème - PGCD 499.1 Relation de divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9.1.1 Diviseurs d’un entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.1.2 Diviseurs communs à deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.1.3 Entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.1.4 Propriétés des diviseurs communs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

9.2 Calcul du PGCD de deux nombres à l’aide d’algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529.2.1 Algorithme des différences successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529.2.2 Algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

9.3 Fractions irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539.4 Eléments culturels et historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

II Algèbre 55

10 5ème - Calcul littéral et distributivité 5710.1 Distributivité de la multiplication sur l’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5710.2 Expressions littérales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5810.3 Simplification de l’écriture d’une expression littérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5910.4 Distributivité appliquée au calcul littéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5910.5 Tester si une égalité est vraie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

11 3ème - Ecritures littérales, identités remarquables 6111.1 Développer un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

11.1.1 Distributivité simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6211.1.2 Distributivité double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6211.1.3 Identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

11.2 Factoriser une somme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6311.2.1 Avec un facteur commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6311.2.2 Avec les identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64



12 4ème - Calcul littéral, équations 6512.1 Remplacer la lettre par un nombre dans une expression littérale ; tester une égalité . . . . . . . 6612.2 Développer un produit grâce à la règle de distributivité simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6612.3 Factoriser, réduire une expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6712.4 Règles de suppression des parenthèses précédées d’un signe +, d’un signe − . . . . . . . . . . . 6712.5 Double distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6812.6 Résoudre une équation du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6812.7 Mettre en équation et résoudre un problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

13 3ème - Equations et inéquations 7113.1 Equations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7213.2 Equations-produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

14 3ème : Systèmes d’équations 7514.1 Equation à deux inconnues, système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7514.2 Méthodes de résolution d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

15 3ème - Fonctions 8115.1 Fonction linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

15.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8215.1.2 Représentation graphique d’une fonction linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8315.1.3 Fonction linéaire et pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

15.2 Fonction affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8515.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8515.2.2 Représentation graphique d’une fonction linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8515.2.3 Proportionnalité des accroissements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

III Figures géométriques 89

16 5ème - Parallélogramme 9116.1 Reconnaître un parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9216.2 Centre de symétrie d’un parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9216.3 Utiliser les propriétés d’un parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9316.4 Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9416.5 Reconnaître un parallélogramme particulier grâce à sa définition . . . . . . . . . . . . . . . . . 9416.6 Utiliser les propriétés des parallélogrammes particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9516.7 Déterminer la nature d’un parallélogramme particulier (rectangle, losange, carré) . . . . . . . 96

17 5ème - Triangles 9917.1 Somme des mesures des angles dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10017.2 Angles et triangles particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10117.3 Utiliser l’inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10117.4 Construction de triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10217.5 Médiatrice d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10417.6 Comment construire la médiatrice d’un segment ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10417.7 Cercle circonscrit à un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10517.8 Médiane, hauteur dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105



18 4ème - Tangente, bissectrice 10718.1 Evaluer la distance d’un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10818.2 Reconnaître et tracer la tangente à un cercle en l’un de ses points . . . . . . . . . . . . . . . . . 10818.3 Tracer la bissectrice d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10918.4 Tracer le cercle inscrit dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

19 6ème - Symétrie centrale 11119.1 Figures symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11119.2 Symétrique d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11219.3 Symétrique de figures, propriétés de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

19.3.1 Segments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11319.3.2 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11419.3.3 Cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11519.3.4 Autres propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

19.4 Construire le symétrique d’une figure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11519.5 Symétrie axiale et figures usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

19.5.1 Segments et angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11619.5.2 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11619.5.3 Axes de symétries des triangles et quadrilatères particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

20 5ème - Symétrie centrale 11920.1 Figures symétriques dans une symétrie centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12020.2 Symétrique d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

20.2.1 Construire le symétrique d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12120.3 Propriétés de la symétrie centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

20.3.1 Construire le symétrique d’un segment, d’une droite, d’un cercle, d’une demi-droite . . 122

21 4ème - Triangle rectangle et cercle circonscrit 12521.1 Rappels : médiatrices, médianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12621.2 Tracer le cercle circonscrit d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12721.3 Démontrer qu’un point est sur un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12821.4 Calculer la longueur d’une médiane issue du sommet de l’angle droit dans un triangle rectangle12821.5 Démontrer qu’un triangle est rectangle en utilisant son cercle circonscrit . . . . . . . . . . . . . 12821.6 Démontrer qu’un triangle est rectangle en utilisant ses médianes . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

22 4ème - Théorème de Pythagore 12922.1 Vocabulaire et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13022.2 Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle13122.3 Utiliser le théorème de Pythagore pour démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle . . . . . . 13222.4 Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour démontrer qu’un triangle est rectangle . 133

23 4ème - Triangles : théorème des milieux 13523.1 Utiliser le théorème des milieux pour démontrer que deux droites sont parallèles. . . . . . . . 13623.2 Utiliser le théorème des milieux pour calculer des longueurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13623.3 Utiliser la réciproque du théorème des milieux pour montrer qu’un point est milieu d’un segment.137

24 3ème : configuration de Thalès 13924.1 Pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13924.2 Pour démontrer que deux droites sont parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14024.3 Pour démontrer que deux droites ne sont pas parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140



25 3ème - Géométrie dans l’espace 14125.1 Sphère et boule ; section d’une sphère par un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14225.2 Section d’un cube, d’un pavé, d’un cylindre par un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14425.3 Section d’une pyramide, d’un cône par un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

IV Grandeurs géométriques 147

26 4ème - Proportionnalité 14926.1 Proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15026.2 Calculer une quatrième proportionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15026.3 Pourcentages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15126.4 Proportionnalité et représentation graphique dans un repère du plan . . . . . . . . . . . . . . . 15126.5 Calculer une vitesse moyenne, une distance, une durée grâce à la relation d = v × t . . . . . . . 152

27 6ème - Longueurs & périmètres 15527.1 Unités de mesure de longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

27.1.1 Autrefois... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15527.1.2 Ailleurs... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15627.1.3 Particularités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15627.1.4 Le mètre, ses multiples et sous-multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

27.2 Longueur d’un segment, d’une ligne brisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15727.3 Périmètre d’un polygone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15827.4 Médiatrice d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16027.5 Le cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

27.5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16127.5.2 Longueur d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16127.5.3 Le nombre π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

28 6ème - Angles 16328.1 Qu’est-ce qu’un angle ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16328.2 Mesure d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16428.3 Différents types d’angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16528.4 Bissectrice d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

29 6ème - Aires 16929.1 Aire d’une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17029.2 Unités usuelles d’aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17129.3 Aires de polygones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

30 6ème - Volumes 17330.1 Représenter un solide en perspective cavalière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17430.2 Le pavé droit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17530.3 Unités de volume et de capacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17630.4 Volume d’un pavé droit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17730.5 Formulaire : Aires et volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178



Voici un petit lexique, qui vous permettra de savoir exactement la signification de chaque mot utilisé enmathématiques :

Mot Illustration

DéfinitionEnoncé qui explique ce qu’est un objet • "Un nombre pair est un nombre divisible par 2"ou ce que signifie un mot • "Un parallélogramme est un quadrilatère ayant ses

côtés opposés parallèles deux à deux"PropositionAffirmation qui peutêtre • "14 est un nombre pair" (proposition vraie)soit vraie, soit fausse • "Dans un plan, la somme des mesures des angles

d’un triangle vaut 200◦" (proposition fausse)ConjectureProposition dont on pense qu’elle est vraie, • Voir la conjecture de Syracuse (manuel page 37)

mais qui n’est pas démontrée • Voir les sept "problèmes du millénaire", du Clay Ins-titute (quelques conjectures à démontrer, pour 1 million

de dollars chacune !

Propriété, théorèmeProposition vraie qui peut être démontrée. • Voir le théorème de la droite des milieux,Le mot "théorème" est réservé pour une pro-priété d’une certaine importance

ou encore le théorème de Pythagore (des dizaines de dé-

monstrations différentes !)• Voir la propriété des diagonales d’un parallélogramme

RéciproqueSi une propriété est écrite sous la forme "Siproposition 1, alors proposition 2", la réci-proque s’obtient en inversant le sens de lapropriété, et s’écrit "Si proposition 2, alorsproposition 1". Cette réciproque peut êtrevraie ou fausse.

Propriété : "Si un quadrilatère est un parallélogramme,alors les diagonales de ce quadrilatère se coupent enleur milieu"Réciproque : "Si un quadrilatère a ses diagonales qui secoupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un pa-rallélogramme"

ExempleIllustration d’une règle, d’une propriété, d’unedéfinition

Règle : "un nombre est divisible par 3 si la somme de seschiffres est un multiple de 3"Exemple : 144 est divisible par 3 (car 1+4+4= 9, et 9 est

un multiple de 3)Contre-exempleExemple pour lequel une proposition estfausse

Proposition : un nombre est divisible par 3 s’il se ter-mine par 3"Faux ! Contre-exemple : 13 n’est pas un multiple de 3, etpourtant il se termine par un 3

Démonstration, preuveRaisonnement logique et structure qui permetd’établir qu’une propriété est vraie

•Voir la démonstration du théorème de la droite des mi-lieux dans votre cahier d’exercices• Voir la démonstration du théorème de Fermat (200pages !), trouvée en 1995 après 350 ans de recherches !



Première partie

Arithmétique



Chapitre 1

5ème - Enchaînements d’opérations

COMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :

(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de donnéeset fonctions)

Intitulé des compétences EvaluationsT1 Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours

T2 Résoudre un problème et rédiger sa solution

N1 Effectuer à la main une succession d’opérations avec parenthèses

N2 Effectuer à la main une succession d’opérations sans parenthèses

N3 Effectuer une succession d’opérations à la calculatrice

N4 Effectuer mentalement un enchaînement d’opérations de la forme

a+bc, a+b

c,

a

b +c,

abc

, . . .

N5 Ecrire une expression correspondant à une succession donnée d’opé-rations

Deux points verts : Je sais très bien faire

Un point vert : Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs

Un point rouge : Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs

Deux points rouges : Je sais pas faire du tout

Légende du tableau de compétences



1.1 Vocabulaire

– Le résultat d’une addition s’appelle une somme, et les nombres que l’on additionne entre eux sontles termes de la somme.

– Le résultat d’une soustraction s’appelle une différence, et les nombres que l’on soustrait entre euxsont les termes de la différence. La différence de deux nombres est le nombre qu’il faut ajouter àl’un pour trouver l’autre

Sommes et différences

24,3︸︷︷︸+3,57︸︷︷︸termes

=1

27,87︸︷︷︸somme

54,3︸︷︷︸− 33︸︷︷︸termes

=1

21,3︸︷︷︸différence

◮ Exemple : La différence de 13 et 4,4 est égale à 13−4,4= 8,6.Cette différence (8,6) est le nombre qu’il faut ajouter à 4,4 pour obtenir 13 ; autrement dit, cette différenceest le terme manquant dans l’addition à trous : 4,4+?= 13

• Le résultat d’une multiplication s’appelle un produit, et les nombres que l’on multiplie entre euxsont les facteurs de ce produit.

• Le résultat d’une division s’appelle un quotient. Le quotient de deux nombres est le nombre parlequel il faut multiplier le diviseur pour obtenir le dividende.

Produits et quotients

141︸︷︷︸× 8︸︷︷︸facteurs

=1

1128︸︷︷︸produit

24︸︷︷︸÷ 5︸︷︷︸dividende diviseur

=1

4,8︸︷︷︸quotient

◮ Exemple : Le quotient de 24 par 5 est égal à 4,8.Ce quotient (4,8) est le nombre par lequel il faut multiplier 5 pour obtenir 24 ; autrement dit, ce quotient estle facteur manquant dans la multiplication à trous : 5×? = 24

1.2 Enchaînements d’opérations

Pour calculer une expression avec parenthèses, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses, encommençant par les parenthèses les plus intérieures.

Enchaînement d’opérations avec parenthèses

Exemples :◮ 15− (7+5) = 15−12= 3◮ (37−19)× (7−5) = 18×2 = 36◮ 34−

[(7+5)×2

]= 34− (12×2) = 34−24= 10



Si, dans une expression, un quotient est écrit sous forme fractionnaire, il convient de faire les calculscomme s’il y avait des parenthèses autour du numérateur et du dénominateur.

Quotients sous forme fractionnaire

Exemples :

◮45

7+2= 45÷ (7+2)= 45÷9= 5 ◮

15−7

1+3= (15−7)÷ (1+3)= 8÷4 = 2

En l’absence de parenthèses, pour calculer une expression constituée uniquement d’additions et desoustractions, on effectue les opérations dans le sens de lecture (de gauche à droite).

Enchaînement d’additions et de soustractions

Exemples :◮ 15−7+5 = 8+5= 13 ◮ 10−9+8−7+6 = 1+8−7+6= 9−7+6 = 2+6 = 8Remarque : s’il n’y a que des additions, il est parfois intéressant de regrouper des termes !◮ 4,98+6,7+0,02= 4,98+0,02+6,7 = 5+6,7= 11,7

En l’absence de parenthèses, pour calculer une expression constituée uniquement de multiplicationset de divisions, on effectue les opérations dans le sens de lecture (de gauche à droite).

Enchaînement de divisions et de multiplications

Exemples :

◮ 3×7×5 = 21×5= 105◮ 8×9÷6 = 72÷6= 12

◮ 54÷9×3 = 6×3= 18◮ 28÷4÷10= 7÷10 = 0,7

Remarque : s’il n’y a que des multiplications, il est parfois intéressant de regrouper des facteurs !◮ 5×14,3×2= 5×2×14,3= 10×14,3= 143

En l’absence de parenthèses, pour calculer une expression constituée d’additions, de soustractions,de multiplications et de divisions, on effectue d’abord les multiplications et les divisions. On dit queles multiplications et les divisions sont prioritaires sur les additions et soustractions.

Enchaînement d’opérations sans parenthèses

Exemples :

◮ 3×7+5 = 21+5= 26◮ 5+8×9 = 5+72= 77

◮ 15−54÷9= 15−6 = 9◮ 20− (5+28÷4) = 20− (5+7) = 20−12= 8





Chapitre 2

5ème - Nombres relatifs



Intitulé des compétences Eval.1 Eval.2 Eval.3

T1 Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours

N19 Se repérer sur un axe gradué, dans le plan

N20 Comparer deux nombres relatifs

N21 Additionner deux nombres relatifs

N22 Soustraire un nombre relatif à un autre

N23 Simplifier l’écriture d’une somme de nombres relatifs

Taux de réussite :

. . . . . . . . . . . . %

Note du chapitre :

. . . . . . . . . . . . /20

Moyenne de la classe :

. . . . . . . . . . . . /20

∗ : cette compétence fait partie du socle commun.





Légende du tableau de compétences :



L’ensemble des nombres relatifs est composé de deux types de nombres :• les nombres positifs

On peut écrire ces nombres avec un signe "+", mais ce n’est pas obligatoire.Par exemple, +7 , +1,04 , 15,6 et 2

3 sont des nombres positifs.• les nombres négatifs

On écrit toujours ces nombres avec un signe "−".Par exemple, −4 , −5,2 et −5

6 sont des nombres négatifs. Il existe un seul nombre qui està la fois positif et négatif : c’est zéro (0)

Définition

2.1 Se repérer sur un axe gradué, dans le plan

◮ Se repérer sur un axe gradué

On appelle axe gradué une droite sur laquelle on a choisi un sens, un point nommé origine et une unitéque l’on reporte régulièrement à partir de l’origine.0 1O I

+4

A−6

B+6

CSur cet axe gradué :• à chaque point de la droite est associé un unique nombre relatif, qui est appelé abscisse du point.• à chaque nombre relatif est associé un unique point de la droitePar exemple, l’abscisse du point A est +4, le point d’abscisse −6 est B.

La distance à zéro d’un nombre relatif est le nombre d’unités qui séparent ce point de l’origine.

Définition

Par exemple :• la distance à zéro du nombre +4 est 4 (car le segment [OA] mesure 4 unités de long),• la distance à zéro du nombre −6 est 6 (car le segment [OB] mesure 6 unités de long).

Deux nombres relatifs qui ont la même distance à zéro, mais des signes différents, sont appelésnombres opposés.

Définition

Par exemple :• Les nombres +6 et −6 ont la même distance à zéro (6), mais pas le même signe : ce sont deux nombresopposés. Sur l’axe gradué, cela se traduit par le fait que les deux points B et C sont symétriques par rapportà l’origine.• L’opposé de 7 est −7, l’opposé de −3 est 3.



◮ Se repérer dans le plan

Deux axes gradués perpendiculaires (le premier horizontal, le second vertical) ayant la même origine formentce que l’on appelle un repère du plan. Dans un tel repère :• à chaque point du plan est associé un unique couple de nombres relatifs, qui est appelé couple de coor-données du point.• à chaque couple de nombres relatifs est associé un unique point du planLa première coordonnée, appelée abscisse du point, se lit sur l’axe horizontal.La seconde coordonnée, appelée ordonnée du point, se lit sur l’axe vertical.

O IJA +3

−6 axe des abs issesaxedesordonnées

Dans cet exemple, l’abscisse du point A est −6, et son ordonnée est +4.On dit que les coordonnées du point A sont (−6;4).B Attention : on donne toujours l’abscisse en premier et l’ordonnée en second !

2.2 Comparer des nombres relatifs

0 1O I+4

A−6

B−1

D+6

CDe deux nombres relatifs positifs, le plus grand est celui ayant la plus grande distance à zéro.

Règle 1

Par exemple, ici, on a +4 <+6 car +6 a la plus grande distance à zéro.

De deux nombres relatifs de signes contraires, le plus grand est le nombre positif.

Règle 2

Par exemple, ici, on a +4 >−1 car +4 est positif (et −1 est négatif).



De deux nombres relatifs négatifs, le plus grand est celui ayant la plus petite distance à zéro.

Règle 3

Par exemple, ici, on a −6 <−1 car −1 a la plus petite distance à zéro.

2.3 Additionner des nombres relatifs

Pour additionner deux nombres relatifs de même signe :• signe : on conserve le signe commun aux deux nombres,• distance à zéro : on additionne les distances à zéro des deux nombres.

Nombres relatifs de même signe

Exemples : (+5)+ (+8) =+13 (−7)+ (−4) =−11

Pour additionner deux nombres relatifs de signes différents :• signe : on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro,• distance à zéro : on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande.

Nombres relatifs de signes contraires

Exemples : (+5)+ (−13) =−8 (−7)+ (+9) =+2

2.4 Soustraire un nombre relatif à un autre

Soustraire un nombre relatif revient à ajouter l’opposé de ce nombre ;Si a et b sont deux nombres relatifs, alors a−b = a+ (opposé de b)

Définition

Exemples :• (+5)− (−7) = (+5)+ ( opposé de −7) = (+5)+ (+7) =+12• (−3)− (+8) = (−3)+ ( opposé de +8) = (−3)+ (−8) =−11

2.5 Simplifier l’écriture d’une somme de relatifs

Afin d’alléger l’écriture d’une somme de nombres relatifs, on peut :– supprimer les signes "+" d’addition,– supprimer les parenthèses,– supprimer le signe "+" du terme écrit au début, s’il est positif

Règle

Exemples :• (+5)+ (−3)+ (+11)= 5−3+11= 13• (−3)− (+8)+ (+7)− (−1) = (−3)+ (−8)+ (+7)+ (+1) =−3−8+7+1=−3



Chapitre 3

6ème - Division

Extrait du programme de la classe de Sixième :

CONTENU COMPÉTENCES EXIGIBLES

Division euclidienne – Reconnaître les situations qui peuvent être traitées à l’aide d’une divisioneuclidienne et interpréter les résultats obtenus.

– Calculer le quotient et le reste d’une division d’un entier par un entierdans des cas simples (calcul mental, posé, instrumenté).

– Connaître et utiliser le vocabulaire associé (dividende, diviseur, quotient,reste).

– Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2, 4, 5, 3 et 9.

Division décimale – Calculer une valeur approchée décimale du quotient de deux entiers oud’un décimal par un entier, dans des cas simples (calcul mental, posé,instrumenté).

– Diviser par 10, 100, 1 000

3.1 Division euclidienne

Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier a par un nombre entier non nul b, c’est :– déterminer combien de paquets de b unités sont contenus dans a : ce nombre de paquets est appelé

quotient, et sera ici noté q .– déterminer le nombre d’unités qui restent : ce nombre est appelé reste, et sera ici noté r .

Définition

Par exemple :

diviseur b

quotient q

dividende a

reste r2 3

273

On vérifie la division en posant :dividende= diviseur×quotient+ resteIci, on a bien 23= 7×3+2BAttention :le reste est toujours inférieur au diviseur.



Lorsque le reste de la division de a par b est égal à zéro (c’es-à-dire lorsque "la division tombe juste"),on dit que a est un multiple de b, ou bien que b est un diviseur de a, ou encore que a est divisible parb.

Définitions

Par exemple :◮ 15 est un multiple de 3, car 15= 3×5Autrement dit, 3 est un diviseur de 15, ou encore 15 est divisible par 3.◮ 17 n’est pas un multiple de 3, car 17= 3×5+2

Il est possible, grâce à quelques règles très simples, de savoir si un nombre entier est un multiple de 2, 3, 4,5, ou 9. Ces règles sont appelées critères de divisibilité :

• Un nombre sera divisible par 2 s’il se termine par 2, 4, 6, 8 ou 0.• Un nombre sera divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.• Un nombre sera divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4.• Un nombre sera divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.• Un nombre sera divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

Critères de divisibilité

Par exemple :726 est divisible par 2, car il se termine par 6.726 est divisible par 3, car 7+2+6 = 15 est un multiple de 3.726 n’est pas divisible par 4, car 26 n’est pas un multiple de 4.726 n’est pas divisible par 5 (car il ne se termine ni par 5, ni par 0).726 n’est pas divisible par 9, car 7+2+6 = 15 n’est pas un multiple de 9.

3.2 Division décimale

Le quotient d’un nombre décimal a par un nombre entier non nul b est le nombre qui, multiplié par b,donne a. Autrement dit, ce quotient est le facteur manquant dans la multiplication à trous suivante :b×? = a.Effectuer la division décimale du nombre a par le nombre b, c’est calculer la valeur exacte (ou unevaleur approchée) de ce quotient.

Définition



Technique :

Le quotient de 23 par 5 est 4,6 ; on a 5×4,6 = 23. On écrit 23÷5= 4,6

2 3− 2 0

3 0− 3 0

0

54,6

0,

Le quotient de 472,8 par 16 est 29,55 ; on a 16×29,55= 472,8. On écrit 472,8÷16= 29,55

4 7 2,8− 3 2

1 5 2− 1 4 4

8 8− 8 0

8 0− 8 0

0

1 62 9,5 5

0

au moment où l’on abaisse le chiffre des dixièmes dans le dividende, on pose une virgule dans lequotient.

A retenir :

Lorsque, comme dans l’exemple ci-dessous, la division "ne s’arrête jamais", ou encore lorsque le quotientcomporte un grand nombre de décimales, il est nécessaire de donner une valeur approchée du quotient.

5 2− 4 9

3 0− 2 8

2 0− 1 4

6 0− 5 6

4 0− 3 5

5 0− 4 9

1

77,4 2 8 5 7 . . .

. . .



Il y a plusieurs manières de donner une valeur approchée de ce quotient :

Troncature au dixième 52÷7≈ 7,4 On "coupe" (on "tronque") le nombre juste après le chiffredes dixièmes

Troncature au centième 52÷7 ≈ 7,42 On "coupe" (on "tronque") le nombre juste après le chiffredes centièmes

Arrondi au dixième 52÷7≈ 7,4On prend le nombre décimal ayant un chiffre après la vir-gule qui soit le plus proche du quotient

Arrondi au centième 52÷7 ≈ 7,43On prend le nombre décimal ayant deux chiffres après lavirgule qui soit le plus proche du quotient

En fait, pour déterminer un arrondi, c’est le dernier chiffre de la troncature qui est important. Si ce chiffreest 0, 1, 2, 3 ou 4 alors l’arrondi est la troncature elle-même. Mais si ce chiffre est 5, 6, 7, 8 ou 9, alors, pourtrouver l’arrondi, on augmente ce dernier chiffre de 1.

Remarque : On ne peut jamais diviser un nombre par 0 ; en effet, si on voulait diviser un nombre non nula par zéro, cela reviendrait à chercher le facteur manquant dans la multiplication à trous suivante : 0×? = a.Or on sait que, quel que soit la valeur que l’on donne au symbole " ?", le produit 0×? sera toujours égal à 0...et sûrement jamais à a ! !

3.3 Division par 10, 100, 1000

Pour diviser un nombre décimal par 10, il suffit de décaler la virgule de 1 rang vers la gauche.Pour diviser un nombre décimal par 100, il suffit de décaler la virgule de 2 rangs vers la gauche.Pour diviser un nombre décimal par 1 000, il suffit de décaler la virgule de 3 rangs vers la gauche. etc...(on complètera par des zéros si nécessaire)

Règle de calcul

Exemples :56÷10= 5,6 14,4÷100= 0,144 52÷1 000= 0,52



Chapitre 4

6ème - Fractions


CONTENU COMPÉTENCES EXIGIBLES COMMENTAIRES

Écriturefraction-naire

– Interpréter ab

commequotient de l’entier a

par l’entier b, c’est-à-dire comme le nombrequi multiplié par b

donne a.– Placer le quotient de

deux entiers sur unedemi-droite graduéedans des cas simples.

A l’école élémentaire, l’écriture fractionnaire est introduite en réfé-rence au partage d’une "unité".Les activités en sixième s’articulent autour de trois idées fondamen-tales :– le quotient a

best un nombre ;

– le produit de ab par b est égal à a ;

– le nombre ab peut être approché par un décimal.

Par exemple, 73 est un nombre que l’on pourra envisager comme

– 7 fois un tiers,– le tiers de 7 ou le nombre qui multiplié par 3 est égal à 7,– un nombre dont une valeur approchée est 2,33.

La remarque est faite que tout nombre décimal peut s’écrire sous

forme de quotient. Par exemple, 0,4 = 410 = 2

5 . En revanche, certains

quotients ne sont pas des nombres décimaux : 73 6= 2,33.

Le vocabulaire relatif aux écritures fractionnaires est utilisé : numéra-

teur, dénominateur.

Multiplier un nombre en-tier ou décimal par unquotient de deux entierssans effectuer la division.

Il s’agit de "prendre une fraction" d’une quantité. L’utilisation de quo-

tients, sous forme fractionnaire, permet de gérer plus facilement les

raisonnements et de repousser la recherche d’une valeur approchée

décimale à la fin de la résolution.

Le vocabulaire commun, introduit à l’école primaire, est utilisé :

double/moitié, triple/tiers, quadruple/quart. Les élèves doivent être

entraînés à effectuer mentalement des calculs utilisant ces expres-

sions, sur des nombres entiers ou décimaux simples.

Reconnaître dans des cassimples que deux écrituresfractionnaires différentessont celles d’un mêmenombre.

Le fait qu’un quotient ne change pas quand on multiplie son numé-

rateur et son dénominateur par un même nombre non nul est mis en

évidence et utilisé. La connaissance des tables de multiplication est

notamment exploitée à cette occasion.

La notation ab peut, à partir de là, être étendue au cas du quotient de

deux décimaux et des égalités comme 5,242,1 = 524

210 peuvent être utilisées,

mais aucune compétence n’est exigible à ce sujet.



4.1 Situation de partage

Un rectangle, partagéen cinq parts égales.

On a colorié unepart du rectangle, cequi représente uncinquième

(15

)du

rectangle.

On a colorié trois partsdu rectangle, ce quireprésente trois cin-quièmes

(35 = 3× 1

5

)du

rectangle.

On a colorié les cinqparts du rectangle, cequi représente cinqcinquièmes

(55 = 5× 1

5

)

du rectangle, et doncsa totalité

(5× 1

5 = 1).

On a colorié sept parts de cerectangle, ce qui représentesept cinquièmes

(75 = 7× 1

5

)du

rectangle.

– Quand on partage en deux parts égales, on obtient des demis,– Quand on partage en trois parts égales, on obtient des tiers,– Quand on partage en quatre parts égales, on obtient des quarts,– Quand on partage en cinq, six, sept,. . ., dix,. . ., cent parts

égales, on obtient des cinquièmes, sixièmes, septièmes,. . .,dixièmes,. . ., centièmes,. . ..

Vocabulaire :

4.2 Ecriture fractionnaire d’un quotient

On se rappelle que le quotient exact d’un nombre entier a par un nombre entier b (non nul) est le nombrequi, multiplié par b, donne a. (voir chapitre 6). Autrement dit, le quotient de a par b est le facteur manquantdans la multiplication a×? = b.

Le quotient de a par b peut s’écrire sous forme fractionnaire : a÷b =a

b, et on a b ×

a

b= a.

a est appelé numérateur de la fraction, alors que b est appelé dénominateur de cette fraction.

Définition

Par exemple,

– l’écriture fractionnaire du quotient de 8 par 5 est 85 ; de plus, ce quotient est exact, et vaut 1,6. On a 5× 8

5 =5×1,6= 8.

– l’écriture fractionnaire du quotient de 8 par 3 est 83 ; mais ce quotient ne peut pas s’écrire sous la forme

d’un nombre décimal (la division "ne s’arrête pas") : on ne peut en donner qu’une valeur décimale appro-chée (par exemple, son arrondi au centième est 2,67). On a 3× 8

3 = 8.



Il est donc important de retenir que le quotient ab

, écrit sous forme fractionnaire, est un nombre, quipeut s’écrire sous la forme d’un nombre décimal

(comme 8

5

)ou pas

(comme 8

3

).

Remarque

Par exemple, 73 est un nombre écrit sous forme fractionnaire : c’est le quotient de 7 par 3 (que l’on pourrait

aussi écrire 7÷3), c’est le facteur manquant dans la multiplication 3×? = 7. On a ainsi 3× 73 = 7. Le nombre

73 se lit "sept tiers", ou encore "le tiers de sept". Ce nombre ne peut pas s’écrire sous forme décimale, maison peut en donner une valeur décimale approchée (par exemple, 7

3 ≈ 2,33).Comme tous les autres nombres, on peut placer le nombre 7

3 sur une droite graduée :

0 1 2 3

73

On le fait en "comptant les tiers" à partir de 0 (sept graduations, donc).

4.3 Différentes écritures fractionnaires pour un même nombre

Un quotienta

bne change pas lorsque l’on multiplie (ou divise) son numérateur et son dénominateur

par un même nombre non nul :

a

b=

a×k

b ×ket

a

b=

a÷k

b ÷ket ceci, quel que soit le nombre k différent de 0

Propriété

Par exemple :8

5et

24

15sont deux écritures fractionnaires d’un même nombre, dont l’écriture décimale est 1,6.

En effet,8

5=

8×3

5×3=

24

15; ces deux nombres sont placés au même endroit sur la droite graduée :

0 1 2

85 = 24

1515

115

Illustration :

Les fractions3

4et

9

12sont égales :

en effet,3

4=

3×3

4×3=

9

12

On a colorié les 34 du

rectangle.On a colorié les 9

12 durectangle.



◮ Une première application : calcul mental

Exemple 1 :7

5=

7×2

5×2=

14

10= 1,4 Exemple 2 :

4

25=

4×4

25×4=

16

100= 0,16

◮ Une deuxième application importante : simplifier une fraction

Exemple 1 :63

45=

63÷9

45÷9=

7

5Exemple 2 :

36

44=

9× �4

11× �4=

9

11

◮ Une troisième application : quotient de deux nombres décimaux

Exemple 1 :15

0,4=

15×10

0,4×10=

150

4Exemple 2 :

3,24

4,8=

3,24×10

4,8×10=

32,4

48

ce qui permet de poser la division d’un nombre décimal par un autre : 3 2,4,− 2 8 8

3 6 0− 3 3 6

2 4 0− 2 4 0

0

4 8,0,6 7 5

où l’on décale la virgule dans le dividende et dans le diviseur du même nombre de rangs (ce qui revient àles multiplier par 10, 100,. . .), jusqu’à ce que le diviseur soit entier !

Tous les nombres décimaux (et donc aussi les nombres entiers) admettent des écritures fraction-

naires : par exemple : 2,4=24

10=

12

5= . . . 3=

3

1=

6

2=

30

10= . . .

Remarque importante

4.4 Opérations sur les nombres en écriture fractionnaire

Si les deux fractions ont le même dénominateur, on additionne (ou soustrait) les numérateurs entreeux, et on conserve le dénominateur commun :

a

b+

c

b=

a+c

bet

a

b−

c

b=

a−c

b

Addition et soustraction de deux nombres en écriture fractionnaire

◮ Si les deux fractions ont déjà le même dénominateur :

Exemple 1 :5

3+

8

3=

5+8

3=

13

3Exemple 2 :

33

100−

17

100=

33−17

100=

16

100= 0,16

◮ Si les deux fractions n’ont pas le même dénominateur :On commence par utiliser la règle des quotients égaux, pour que les deux fractions aient le même dénomi-nateur :



Exemple 1 :3

4+

5

8=

6

8+

5

8=

6+5

8=

11

8Exemple 2 :

16

5−

27

10=

32

10−

27

10=

32−27

10=

5

10= 0,5

Pour effectuer l’opérationa

b×c, il y a trois possibilités :

Méthode 1 : Méthode 2 : Méthode 3 :

On multiplie le nombre c par a,puis on divise le résultat par b

On divise a par b, puis on mul-tiplie le résultat par c

On divise c par b, puis on mul-tiplie le résultat par a

a

b×c = (a×c)÷b

a

b×c = (a÷b)×c

a

b×c = (c ÷b)×a

Multiplication d’un nombre décimal ou entier par une fraction

Par exemple :

,◮2

3×15 =

(2×15)÷3= 30÷3 = 10 avec la méthode 1

impossible avec la méthode 2

(15÷3)×2= 5×2 = 10 avec la méthode 3

,◮3

10×8 =

(3×8)÷10= 24÷10= 2,4 avec la méthode 1

(3÷10)×8= 0,3×8 = 2,4 avec la méthode 2

(8÷10)×3= 0,8×3 = 2,4 avec la méthode 3

,◮7

3×15 =

difficile avec la méthode 1

impossible avec la méthode 2

(15÷3)×7= 5×7 = 35 avec la méthode 3

Il s’agit ici de "prendre une fraction" ab

d’une quantité c ; par exemple, lorsque je dis que je prends les deux

tiers de quinze (euros, par exemple), je dois effectuer le calcul2

3×15.

Prendre t% d’une quantité, c’est multiplier cette quantité part

100.

Application : Appliquer un pourcentage

Par exemple, si je veux calculer 15% de 250, je fais15

100×250= 37,5.





Chapitre 5

5ème - Fractions





T2 Résoudre un problème et rédiger sa solution

N11 Reconnaître si un nombre entier est un multiple ou un diviseur d’unautre nombre (∗)

N12 Utiliser des écritures fractionnaires différentes d’un même nombre

N13 Comparer des nombres en écriture fractionnaire ayant le même dé-nominateur, ou dont le dénominateur de l’un est multiple du déno-minateur de l’autre

N14 Additionner et soustraire des nombres en écriture fractionnaire ayantle même dénominateur (∗), ou dont le dénominateur de l’un est mul-tiple du dénominateur de l’autre

N15 Multiplier des nombres en écriture decimale ou fractionnaire

N16 Effectuer à la main des calculs enchaînés avec des fractions

N17 Utiliser la calculatrice pour effectuer des calculs avec des fractions

N18 Utiliser l’écriture fractionnaire comme expression d’une proportion

Taux de réussite :

. . . . . . . . . . . . %

Note du chapitre :

. . . . . . . . . . . . /20


. . . . . . . . . . . . /20









5.1 Ecriture fractionnaire d’un quotient

Soient a et b deux nombres, b étant différent de 0.Le quotient de a par b peut s’écrire sous forme fractionnaire : a÷b = a

b, et on a b × a

b= a.

Si les deux nombres a et b sont entiers, le quotient ab

est appelé "fraction", a est appelé numérateur decette fraction, alors que b est appelé dénominateur de cette fraction.Par exemple,• l’écriture fractionnaire du quotient de 8 par 5 est 8

5 ; de plus, ce quotient est exact, et vaut 1,6.• l’écriture fractionnaire du quotient de 8 par 3 est 8

3 ; mais ce quotient ne peut pas s’écrire sous la formed’un nombre décimal (la division "ne s’arrête pas") : on ne peut en donner qu’une valeur décimale appro-chée (par exemple, son arrondi au centième est 2,67). Comme tous les autres nombres, on peut placer lenombre 8

3 sur une droite graduée :0 1 2 3

8

3

5.2 Multiples et diviseurs

Soient a et b deux nombres entiers positifs.Lorsque le reste de la division de a par b est égal à zéro, on dit que a est un multiple de b, ou que b estun diviseur de a, ou encore que a est divisible par b.

Définitions : multiple, diviseur, divisible

Exemples :• 15 est un multiple de 3, car 15= 3×5Autrement dit, 3 est un diviseur de 15, ou encore 15 est divisible par 3.• 17 n’est pas un multiple de 3, car 17 = 3×5+2

Pour savoir si un nombre donné est divisible par 2, 3, 4, 5, 9 ou 10, on utilise les critères suivants :• Un nombre sera divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8• Un nombre sera divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3• Un nombre sera divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4• Un nombre sera divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.• Un nombre sera divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9

Critères de divisibilité



Exemple : Le nombre 1380– est divisible par 2, car il se termine par le chiffre 2.– est divisible par 3, car 1+3+8+0 = 12 qui est un multiple de 3.– est divisible par 4, car ses deux derniers chiffres forment le nombre 80, qui est un multiple de 4– est divisible par 5, car il se termine par le chiffre 0.– n’est pas divisible par 9, car 1+3+8+0 = 12 qui n’est pas un multiple de 9.

5.3 Différentes écritures fractionnaires pour un même nombre

On ne change pas la valeur d’une fraction en multipliant (ou en divisant) son numérateur et sondénominateur par un même nombre non nul.

Autrement dit, si a, b et k sont trois nombres relatifs (avec b et k différents de 0) :a

b=

a×k

b ×ket

a

b=

a÷k

b ÷k

Propriété

◮ Application 1 : transformer l’écriture d’une fraction

•3

5=

3×2

5×2=

6

10•

4

9=

4×5

9×5=

20

45•

36

100=

36÷4

100×4=

9

25•

12

21=

12÷3

21÷3=

4

7

◮ Application 2 : simplifier une fraction

Simplifier une fraction signifie trouver une fraction qui lui est égale, mais avec un numérateur et undénominateur plus petits.

Définition : simplifier une fraction

Par exemple :

•8

12=

2× �4

3× �4=

2

3•

20

35=

4× �5

�5×7=

4

7•

24

30=

12× �2

�2×15=

12

15•

135

75=

45× �3

25× �3=

45

25

Lorsque l’on ne peut plus simplifier la fraction, on dit que celle-ci est irréductible

Définition : fraction irréductible

Par exemple : ci-dessus, les fractions 23 et 4

7 sont irréductibles, alors que les fractions 1215 et 45

25 peuvent encoreêtre simplifiées (par 3 pour la première, par 5 pour la deuxième).

◮ Application 3 : division par un nombre décimal

Pour diviser par un nombre décimal,– on commence par rendre le diviseur entier en le multipliant par 10, 100, 1000,. . .– on multiplie alors le dividende par le même nombre (10, 100, 1000 . . . )– on effectue la division obtenue en la posant.



Par exemple, si on veut calculer le quotient de 6,24 par 4,8 :

6,24

4,8=

6,24×10

3,2×10=

62,4

32= 1,3 Opération posée : 6 2,4,

− 4 81 4 4

− 1 4 40

4 8,1,3

5.4 Comparer des fractions

Comparer deux nombres signifie dire lequel est le plus grand, lequel est le plus petit, ou s’ils sontégaux.On utilise les symboles < ("est inférieur à", "est plus petit que"), > ("est supérieur à", "est plus grand

que") et = ("est égal à")

Définition

◮ Comparer deux fractions ayant le même dénominateur

Si deux nombres en écriture fractionnaire ont le même dénominateur,alors ils sont rangés dans le même ordre que leurs numérateurs.

Règle de comparaison 1

Exemples : •5

7<

8

7car 5 < 8 •

13

11>

8

11car 13 > 8

◮ Comparer deux fractions ayant le même numérateur

Si deux nombres en écriture fractionnaires ont le même numérateur,alors ils sont rangés dans l’ordre inverse leurs dénominateurs.


Exemples : •5

7>

5

9car 7 < 9 •

13

11>

13

15car 11 < 15

◮ Comparer deux fractions, le dénominateur de l’une étant un multiple du dénomina-teur de l’autre

On commence par réduire les deux fractions au même dénominateur, avant d’appliquer la règle 1.

Exemple : • Comparons5

7et

9

14; on a

5

7=

5×2

7×2=

10

14; or

10

14>

9

14donc

5

7>

9

14



◮ Comparer deux fractions en les comparant à un même nombre entier

• Si le numérateur d’un nombre en écriture fractionnaire est inférieur à son dénominateur, alors cenombre est inférieur à 1.

• Si le numérateur d’un nombre en écriture fractionnaire est supérieur à son dénominateur, alors cenombre est supérieur à 1.


Exemple : • Comparons5

7et

9

8; on a

5

7< 1 car 5< 7 ; de plus

9

8> 1 car 9> 8 donc

5

7<

9

8

◮ Comparer deux fractions dans les autres cas

Bien que réduire au même dénominateur soit toujours possible, il est parfois utile de comparer des nombresen écriture fractionnaire en effectuant les quotients, et en comparant leurs valeurs (exactes ou approchées).

Par Exemple : • Comparons5

4et

23

19; on a

5

4= 1,25 ; de plus

23

19≈ 1,21 Comme 1,25 > 1,21, on en

conclut que5

4>

23

19

5.5 Ajouter, soustraire des nombres en écriture fractionnaire

Pour additionner (ou soustraire) des fractions ayant le même dénominateur, il suffit de conserver ledénominateur commun, et d’additionner (ou soustraire) les numérateurs entre eux.

Si a, b et c sont des nombres (b non nul), on aa

b+

c

b=

a+c

bet

a

b−

c

b=

a−c

b.

Losque les dénominateurs sont les mêmes...

Exemples :

•3

4+

21

4=

3+21

4=

24

4= 6 •

4

3+

13

3=

4+13

3=

16

3•

25

14−

4

14=

25−4

14=

21

14=

3

2

Pour additionner (ou soustraire) des fractions ayant des dénominateurs différents, on commence parles réduire au même dénominateur, avant d’appliquer la règle précédente.

Losque les dénominateurs sont différents...

Exemples :

•21

8+

3

4=

21

8+

3×2

4×2=

21

8+

6

8=

21+6

8=

27

8

• 3−7

12=

3

1−

7

12=

3×12

1×12−

7

12=

36

12−

7

12=

36−7

12=

29

12



5.6 Multiplier des nombres en écriture fractionnaire

Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux, puison multiplie les dénominateurs entre eux.

Si a, b, c et d sont quatre nombres (avec b et d différents de 0) :a

b×

c

d=

a×c

b ×d

Règle de multiplication de deux fractions

Exemples :

• 5×4

9=

5

1×

4

9=

5×4

1×9=

20

9

•7

5×

4

3=

7×4

5×3=

28

15

Il est parfois préférable de simplifier avant d’effectuer les produits

Remarque

•24

35×

14

16=

24×14

35×16=

(8×3)× (7×2)

(5×7)× (8×2)=

(�8×3)× (�7× �2)

(5× �7)× (�8× �2)=

3

5



Chapitre 6

4ème - Nombres en écriture fractionnaire





T3 Résoudre un problème et rédiger sa solution ∗

N7 Transformer, simplifier l’écriture fractionnaire d’un nombre ∗

N8 Utiliser l’équivalence entre fractions égales et produits en croix égaux

N9 Multiplier deux nombres relatifs en écriture fractionnaire ∗∗

N10 Connaître et utiliser l’égalité a× 1b= a

b

N11 Diviser deux nombres relatifs en écriture fractionnaire

N12 Ajouter, soustraire des nombres relatifs en écriture fractionnaire ∗∗∗

N13 Organiser et effectuer à la main une succession de calculs avec desnombres relatifs en écriture fractionnaire

N14 Organiser et effectuer à la calculatrice une succession de calculs avecdes nombres relatifs en écriture fractionnaire

Taux de réussite :

. . . . . . . . . . . . %

Note du chapitre :

. . . . . . . . . . . . /20


. . . . . . . . . . . . /20

∗ : cette compétence fait partie du socle commun.∗∗ : cette compétence fait partie du socle commun pour les nombres positifs.∗∗∗ : cette compétence fait partie du socle commun pour les nombres positifs ayant le même dénominateur.



6.1 Transformer, simplifier une écriture fractionnaire

On ne change pas la valeur d’une fraction en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dé-nominateur par un même nombre non nul. Autrement dit, si a, b et k sont trois nombres relatifs (avec

b et k différents de 0) :a

b=

a×k

b ×ket

a

b=

a÷k

b ÷k

Transformer l’écriture fractionnaire d’un nombre

Exemple 1 : transformer l’écriture fraction-naire d’un nombre :

•−4

9=

−4×3

9×3=

−12

27

•28

−35=

28÷7

(−35)÷7=

4

−5

•17

2,5=

17×10

2,5×10=

170

25

Exemple 2 : simplifier une fraction :

•−24

39=

−8×3

13×3=

−8× �3

13× �3=

−8

13

•30

−42=

6×5

(−7)×6= �6×5

(−7)× �6=

5

−7

•2×3×5×7

3×7×11=

2× �3×5× �7

�3× �7×11=

10

11

6.2 Produits en croix et égalité de fractions

a, b, c et d sont quatre nombres relatifs (avec b et d différents de 0) ;

• Sia

b=

c

d, alors a×d = b ×c

• Si a×d = b ×c, alorsa

b=

c

d

Propriété des produits en croix

Exemple : déterminer si deux fractions sont égales :

•−12

27=

52

−117; en effet on a d’une part (−12)× (−117)= 1404 et d’autre part 27×52= 1404.

•75 025

46 3686=

196 418

121 393

en effet, le dernier chiffre de 75 025×121 393 est un 5, alors que le dernier chiffre de 46 368×196 418 est un4 ! Et pourtant, la calculatrice donne la même valeur approchée pour les deux quotients :

75025/46368

1.618033989

196418/121393

1.618033989



6.3 Multiplier des nombres en écriture fractionnaire

Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux, puison multiplie les dénominateurs entre eux.

Si a, b, c et d sont quatre nombres relatifs (avec b et d différents de 0) :a

b×

c

d=

a×c

b ×d

Règle de multiplication de deux fractions

Exemples :

• 5×−4

9=

5

1×−4

9=

5× (−4)

1×9=

−20

9

•7

5×−4

3=

7× (−4)

5×3=

−28

15

Il est parfois préférable de simplifier avant d’effectuer les pro-duits, comme le montre cet exemple :

•24

−35×

14

16=

24×14

(−35)×16=

(�8×3)× (�7× �2)

((−5)× �7)× (�8× �2)=−

3

5

6.4 Inverse d’un nombre relatif

Deux nombres (non nuls) seront dits inverses l’un de l’autre lorsque leur produit est égal à 1

Si a est un nombre relatif non nul, son inverse est1

a, qui se note aussi a−1.

Si a et b sont deux nombres relatifs non nuls, l’inverse dea

best

b

a.

Définition

En effet, pour tous nombres relatifs a et b non nuls :

a×1

a=

a

a= 1 et

a

b×

b

a=

a×b

b ×a=�a×��b

��b ×�a= 1

Exemples :

• 2,5 et 0,4 sont deux nombres inverses l’un de l’autre, car 2,5×0,4= 1

• L’inverse de −8 est1

−8=−0,125 BAttention à ne pas confondre : l’opposé de −8 est 8 ! !

• L’inverse de2

3est

3

2= 1,5. • L’inverse de 0,6 =

3

5est

5

3.

Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par l’inverse de ce nombre.

Si a et b sont des nombres relatifs (b non nul), alorsa

b= a×

1

b

Propriété

Exemples d’utilisation :

• L’inverse de 5 est 0,2 ; ainsi, on a, par exemple,23

5= 23×

1

5= 23×0,2= 4,6.

• L’inverse de 0,25 est 4 ; ainsi, on a, par exemple,3

0,25= 3×

1

0,25= 3×4 = 12.



6.5 Diviser par un nombre en écriture fractionnaire

Diviser par une fraction revient à multiplier par l’inverse de cette fraction.Si a, b, c et d sont des nombres relatifs (b, c et d non nuls),

alors on aa

b÷

c

d=

a

b×

d

c(ou encore

a

bc

d

=a

b×

d

c)

Propriété

Exemples :

• 5÷3

4= 5×

4

3=

20

3•−2

3÷5 =

−2

3×

1

5=

−2

15•

3

7÷

4

9=

3

7×

9

4=

27

28

6.6 Ajouter, soustraire des nombres en écriture fractionnaire

Pour additionner (ou soustraire) des fractions ayant le même dénominateur, il suffit de conserver ledénominateur commun, et d’additionner (ou soustraire) les numérateurs entre eux.

Si a, b et c sont des nombres relatifs (b non nul), on aa

b+

c

b=

a+c

b.

Losque les dénominateurs sont les mêmes...

Exemples :

•3

4+

21

4=

3+21

4=

24

4= 6 •

−4

3+

17

3=

−4+17

3=

13

3•

15

7−

4

7=

15−4

7=

11

7

Pour additionner (ou soustraire) des fractions ayant des dénominateurs différents, on commence parles réduire au même dénominateur, avant d’appliquer la règle précédente.

Losque les dénominateurs sont différents...

Exemples :

•3

4+

21

8=

3×2

4×2+

21

8=

6

8+

21

8=

6+21

8=

27

8(8 est le plus petit multiple commun à 4 et 8)

•−5

6+

7

4=

−5×2

6×2+

7×3

4×3=

−10

12+

21

12=

−10+21

12=

11


•−3

7+

5

8=

−3×8

7×8+

5×7

8×7=

−24

56+

35

56=

−24+35

56=

11


•−11

6+3 =

−11

6+

3

1=

−11

6+

3×6

1×6=

−11

6+

18

6=

−11+18

6=

7

6(3 est le plus petit multiple commun

à 1 et 3)



Chapitre 7

4ème - Puissances





N15 Comprendre les notations an et a−n (∗)

N16 Calculer à la main des produits, des quotients de puissances (∗)

N17 Multiplier un nombre décimal par 10n ou 10−n (∗)

N18 Ecrire un nombre décimal sous forme scientifique (ou d’autresformes faisant intervenir les puissances de 10)

N19 Utiliser la notation scientifique pour obtenir un ordre de grandeur durésultat d’un calcul

N20 Effectuer à la main des calculs contenant des puissances

N21 Effectuer à la calculatrice des calculs contenant des puissances

Taux de réussite :

. . . . . . . . . . . . %

Note du chapitre :

. . . . . . . . . . . . /20


. . . . . . . . . . . . /20









7.1 Comprendre les notations an et a−n

Soit a un nombre relatif (différent de 0), et n un entier positif (n ≥ 2).On note an , et on prononce "a exposant n", le produit de n facteurs, tous égaux à a :

an = a×a×a×·· · ×a︸︷︷︸n facteurs

De plus, on a a1 = a et a0 = 1

Définition : puissances d’exposant positif

Exemples :

• 74 = 7×7×7×7= 2401 • (−5)3 = (−5)× (−5)× (−5) =−125 •(

3

4

)5

=3

4×

3

4×

3

4×

3

4×

3

4=

243

1024

• (−35)1 =−35 • 170 = 1

Remarques : B Attention à l’importance des parenthèses ! !

• −34 =−3×3×3×3=−81 alors que (−3)4 = (−3)× (−3)× (−3)× (−3) = 81

•2

7

2

=4

7alors que

(2

7

)2

=2

7×

2

7=

4

49

En écriture décimale, 10n s’écrit avec le chiffre 1 suivi de n zéros : 10n = 1 00 · · ·0︸︷︷︸n zéros

Cas particulier : les puissances de 10

Exemples :

• 105 = 10×10×10×10×10= 100 000 • 1012 = 10×10×10×·· ·×10︸︷︷︸12 facteurs

= 1 000 000 000 000



Soit a un nombre relatif (différent de 0), et n un entier positif (n ≥ 1).On note a−n l’inverse de an :

a−n =1

a×a×a×·· · ×a︸︷︷︸n facteurs

Définition : puissances d’exposant négatif

Exemples :

• 3−2 =1

32 =1

9• 2−4 =

1

24 =1

16= 0,0625 • (−7)−3 =

1

(−7)3 =−1

343• 20−1 =

1

201 =1

20= 0,05

En écriture décimale, 10−n s’écrit avec le chiffre 1 précédé de n zéros, avec une virgule après le premier

zéro : 10−n =1

10n= 0,0 · · ·0︸︷︷︸

n zéros

1

Cas particulier : les puissances de 10

Exemples :

• 10−5 =1

105=

1

100 000= 0,000 01 • 10−9 =

1

109= 0,000 000 001 • 10−1 =

1

101=

1

10= 0,1

Remarque : peut-être comprenez-vous mieux à présent pourquoi la touche "inverse" de la calculatrice est

celle-ci : x−1

7.2 Effectuer des produits, des quotients de puissances

7.2.1 Opérations sur les puissances d’un même nombre

Prenons quelques exemples :

• Il est assez facile de multiplier deux puissances d’un même nombre :

43 ×42 = (4×4×4)× (4×4)= 4×4×4×4×4 = 45 d’où 43 ×42 = 45 ou encore

105×101 = (10×10×10×10×10×10)×10= 10×10×10×10×10×10×10= 106 d’où 105 ×101 = 106

• Il est également assez facile de diviser deux puissances d’un même nombre :

57

54=

5×5×5×5×5×5×5

5×5×5×5=

5×5×5× �5× �5× �5× �5

�5× �5× �5× �5= 5×5×5 = 53 d’où

57

54= 53 ou encore

102

105 =10×10

10×10×10×10×10= ��10×��10

��10×��10×10×10×10=

1

10×10×10=

1

103 = 10−10 d’où102

105 = 10−3

• Mais attention : il n’y a pas de règle "toute faite" pour additionner ou soustraire des puissances d’un

même nombre :

24 +27 = 16+128= 144 qui n’est pas une puissance de 2. . .

ou encore 107 −103 = 10 000 000−1 000= 9 999 000



7.2.2 Calculer une puissance d’un produit ou d’un quotient

Prenons là aussi quelques exemples :

• (5,2×10)2 = (5,2×10)× (5,2×10)= 5,2×10×5,2×10= 5,2×5,2×10×10= 5,22 ×102

d’où (5,2×10)2 = 5,22 ×102

•(

2

7

)3

=2

7×

2

7×

2

7=

23

73 d’où

(2

7

)3

=23

73

7.2.3 Prendre la puissance d’une puissance

Encore quelques exemples :

• (53)2 = (53)× (53) = (5×5×5)× (5×5×5) = 5×5×5×5×5×5= 56 d’où (53)

2 = 56

• (104)3 = 104 ×104 ×104 = 10 000×10 000×10 000= 1 000 000 000 000= 1012 d’où (104)

3 = 1012

Si n et p sont des entiers relatifs, on a :

• 10n ×10p = 10n+p •10n

10p= 10n−p • (10n)p = 10n×p

Formules de calcul sur les puissances de 10

7.3 Multiplier un nombre décimal par 10n, par 10−n

Soit n un entier positif ;• Pour multiplier un nombre décimal par 10n, il suffit de décaler la virgule de n rangs vers la droite, encomplétant par des zéros si nécessaire.• Pour multiplier un nombre décimal par 10−n , il suffit de décaler la virgule de n rangs vers la gauche,en complétant par des zéros si nécessaire.

Multiplier par 10n, par 10−n

Exemples :

52,147×102 = 5214,7 0,00019×107 = 1900

214758×10−4 = 21,4758 21,3×10−6 = 0,0000213



7.4 Ecriture scientifique d’un nombre décimal

La notation scientifique d’un nombre décimal est l’écriture de ce nombre sous la forme a×10n où :– a est un nombre décimal n’ayant qu’un seul chiffre avant la virgule (ce chiffre ne pouvant pas être

0),– n est un entier relatif (positif ou négatif).

Ecriture scientifique

Exemples : On peut s’aider d’un tableau comme celui-ci :

107 106 105 104 103 102 101 100 10−1 10−2 10−3 10−4 10−5 10−6 10−7 10−8

−2 4 5 9 , 1

9 5 3 0 0 0 0

0 , 0 0 0 6 3

L’écriture scientifique de −2459,1 est −2,4591×103

L’écriture scientifique de 9530000 est 9,53×106

L’écriture scientifique de 0,00063 est 6,3×10−4

B Attention ! On peut écrire que 9530000= 95,3×105, mais l’écriture ainsi obtenue n’est pas une écriture

scientifique (car 95,3 a deux chiffres avant la virgule).

B Attention ! On peut écrire que 0,00063= 0,63×10−3, mais l’écriture ainsi obtenue n’est pas une écriture

scientifique (car 0,63 a un seul chiffre avant la virgule, mais c’est un zéro).

7.5 Obtenir un ordre de grandeur ou un encadrement du résultat d’uncalcul en utilisant la notation scientifique

La notation scientifique est très pratique, entre autres, pour comparer de très grands nombres entre eux,

ou pour comparer de très petits nombres entre eux. Elle peut aussi nous permettre de travailler sur les

encadrements et sur les ordres de grandeur ; par exemple :

Soit A le nombre 629 547 200, et B le nombre 0,0000297.

Nombre Ecriture scientifique Encadrement Ordre de grandeur

A = 629 547 200 A = 6,295472×108 108 < A < 109 A ≈ 6×108.

B = 0,0000297 B = 2,97×10−5 10−5 < B < 10−4 B ≈ 3×10−5

◮ On peut en déduire, par exemple, un ordre de grandeur du produit A×B :(6×108

)×

(3×10−5

)= (6×3)×

(108 ×10−5

)= 18×103 = 18000

◮ ou encore, un ordre de grandeur du quotient AB

:6×108

3×10−5 =6

3×

108

10−5 = 2×1013 = 20 000 000 000 000



7.6 Effectuer à la main des calculs avec des puissances

Dans un enchaînement de calculs, les priorités sont les suivantes :

1. d’abord, on effectue les calculs entre parenthèses ;

2. ensuite, on calcule les puissances ;

3. ensuite, on effectue les multiplications et les divisions ;

4. pour finir, on effectue les additions et soustractions.

Priorités

Exemples :

A =−12+5×23

A =−12+5×8

A =−12+40

A = 28

B =−33 × (4−6)2

B =−27× (−2)2

B =−27×4

B =−108

C = 5×1017 −380×1015

C = 500×1015 −380×1015

C = (500−380)×1015

C = 120×1015

D =4×107 ×6×

(10−4

)2

8×103

D =4×6

8×

107 ×10−8

103

D =24

8×

10−1

103

D = 3×10−4

Remarques : • Dans les calculs A et B, les règles de priorité s’exercent de manière classique.

• Dans le calcul C, plutôt que de recourir à l’écriture décimale des deux termes de la différence, on a préféré

écrire chaque terme en utilisant la même puissance de 10, avant de mettre cette puissance de 10 en facteur.

• Dans le calcul D, on regroupe d’une part les puissances de 10, d’autre part les autres nombres, et on

effectue les calculs séparément.

7.7 Puissances et utilisation de la calculatrice

La touche pour les puissances est soit x� (sur les Casio), soit la touche∧

(sur les TI)

Lorsqu’il y a besoin de plus de 9 chiffres pour écrire un nombre, la calculatrice affiche directement l’écriture

scientifique de ce nombre.

On peut forcer la calculatrice à écrire les nombres sous forme scientifique en tapant SHIFT MODE , puis

choisir SCI (sur les Casio), ou encore en tapant 2nd MODE , puis choisir SCI (sur les TI)



Chapitre 8

3ème - Racines carrées

Extrait du programme de la classe de Troisième :


Calculs élémentairessur les radicaux (ra-cines carrées)Racine carrée d’unnombre positif.

Savoir que, si a désigne un nombrepositif,

pa est le nombre positif dont

le carré est a.Sur des exemples numériques où a

est un nombre positif, utiliser les éga-lités :

(pa)2 = a,

pa2 = a.

Déterminer, sur des exemples numé-riques, les nombres x tels que x2 = a,

où a désigne un nombre positif.

La touche p de la calculatrice, qui

a déjà été utilisée en classe de qua-trième, fournit une valeur approchéed’une racine carrée.Le travail mentionné sur les identi-tés remarquables permet d’écrire deségalités comme :

(p2+1

)(p2−1

)=

1,(1+

p2)2 = 3+2

p2.

Produit et quotient dedeux radicaux

Sur des exemples numériques, où a

et b sont deux nombres positifs, uti-liser les égalités :p

ab =p

ap

b,

√a

b=

pa

pb

Ces résultats, que l’on peut facile-ment démontrer à partir de la défini-tion de la racine carrée d’un nombrepositif, permettent d’écrire des égali-tés telles que :p

45= 3p

5,

√4

3=

2p

3,

1p

5=

p5

5.

On habituera ainsi les élèves à écrireun nombre sous la forme la mieuxadaptée au problème posé.

8.1 Définition

Soit a un nombre positif. Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à a ; ce nombre estappelé racine carrée de a, et est noté

pa.

Définition

Vocabulaire : Le symbole p est appelé radical ; dans l’expressionp

a, a est appelé radicande.

Par exemple :

◮ Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à 9 : c’est 3. On a doncp

9 = 3



◮ Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à 2, que l’on notep

2. Ce nombre n’est ni un

nombre décimal, ni un nombre rationnel ; on ne peut écrire sa valeur exacte que sous la formep

2, mais on

peut en donner une valeur approchée à la calculatrice, en utilisant la touchep

2 :p

2≃ 1@414213562 ◮ Les

nombres positifs dont la racine carrée est un entier sont appelés carrés parfaits ; voici la liste des premiers

carrés parfaits :

a 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225p

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

◮ Pour tout nombre a positif, on a(p

a)2 = a

◮ Pour tout nombre a, on a

pa2 = a si a > 0.

pa2 =−a si a 6 0.

Premières propriétés

La preuve de ces égalités est directement reliée à la définition précédente, à savoir :

–p

a est le nombre positif dont le carré est égal à a, ce qui se traduit par(p

a)2 = a

–p

a2 est le nombre positif dont le carré est égal à a2.

Par exemple, pour a = 3, cela donnep

32 =p

9 = 3 (p

a2 = a si a > 0.).

Pour a =−5, cela donne√

(−5)2 =p

25= 5 =−(−5) (p

a2 =−a si a 6 0.)

8.2 Produit, quotient de racines carrées

Pour tous nombres positifs a et b, on ap

a×b =p

a ×p

b

Propriété

Preuve :(pa ×

pb)2

=(p

a ×p

b)×

(pa ×

pb)=

(pa ×

pa)×

(pb ×

pb)=

(pa)2 ×

(pb)2

= a×b

Or, par définition,p

a×b est l’unique nombre positif dont le carré est égal à a×b.

On a doncp

a×b =p

a×p

b

Pour tous nombres positifs a et b (b 6= 0), on a

√a

b=

pa

pb

Propriété

Preuve :(pa

pb

)2

=p

ap

b×p

ap

b=

pa ×

pa

pb ×

pb=

(pa)2

(pb)2 =

a

b

Or, par définition,

√a

best l’unique nombre positif dont le carré est égal à

a

b. On a donc

√a

b=

pa

pb



Exemples d’utilisation :

•p

2×p

18 =p

2×18=p

36= 6

•p

45 =p

9×5=p

9×p

5 = 3×p

5 = 3p

5

•√

9

16=

p9

p16

=3

4

•√

9

5=

p9

p5=

3p

5

•p

3p

27=

√3

27=

√1

9=

p1

p9=

1

3

Un exercice important : Ecrirep

45+2p

5−3p

20 sous la forme la plus simple possible.p

45+2p

5−5p

20 =p

9×5+2p

5−5p

4×5

=p

9p

5+2p

5−5p

4p

5

= 3p

5+2p

5−5×2p

5

= 3p

5+2p

5−10p

5

= (3+2−10)p

5

= −5p

5

En règle générale,p

a+b 6=p

a+p

b

B Attention

Voyez l’exemple suivant :p

16+9 6=p

16+p

9 ; en effet :p

16+p

9 = 4+3 = 7 maisp

16+9=p

25= 5

8.3 Equation x2 = a

◮ Si a > 0, l’équation x2 = a a deux solutions, qui sontp

a et −p

a

◮ Si a = 0, l’équation x2 = a a une seule solution, qui est 0.◮ Si a < 0, l’équation n’a aucune solution

Un résultat important

Preuve :

Si a > 0 alors x2 = a

x2 −a = 0

x2 −(p

a)2 = 0

(x −

pa)(

x +p

a)= 0

Un produit est nul si et seulement si au moins l’un des facteurs est nul

x −p

a = 0 ou x +p

a = 0

x =p

a ou x =−p

a



Par exemple :

– l’équation x2 +4 = 0, qui équivaut à x2 =−4, n’a pas de solution ; en effet, un carré est toujours positif.

– l’équation 2x2 +3 = 3+x2, qui équivaut à x2 = 0, a une unique solution, qui est x = 0.

– l’équation 3x2 −6 = 9, qui équivaut à x2 = 5, a deux solutions, qui sontp

5 et −p

5.

8.4 Comment éliminer le radical du dénominateur d’une fraction ?

Premier exemple :

On considère le nombre A =2p

3+1

5p

2On va multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par

p2. On obtient alors :

A =(2p

3+1)×p

2

5p

2×p

2=

2p

3p

2+p

2

5×2=

2p

6+p

2

10

Deuxième exemple :

On considère le nombre A =p

2p

2+1On va multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par

(p2−1

), qui est appelée expression

conjuguée de(p

2−1). On obtient alors :

A =p

2×(p

2−1)

(p2+1

)×

(p2−1

) =2−

p2

(p2)2 −1

= 2−p

2

8.5 En géométrie

Diagonale d’un carréSoit ABC D un carré de côté 1d 2 = AC 2 = B A2+BC 2 = 12+12 = 1+1= 2d’où d = AC =

p2

A B

CD

d =p

2

45◦

1

1

Hauteur d’un triangle équilatéralSoit ABC un triangle équilatéral de côté 1

h2 = AH2 = B A2 −B H2 = 12 −(1

2

)2 = 1− 14 = 3

4

d’où h = AH =√

34 =

p3p4=

p3

2

A B

C

H

h =p

32

60◦

30◦1 1

On en déduit les valeurs exactesdes cosinus, sinus et tangentes desangles de 30, 45 et 60 degrés :

Mesure de l’angle (en degrés) 30◦ 45◦ 60◦

Sinus de l’angle 12

p2

2

p3

2

Cosinus de l’anglep

32

p2

212

Tangente de l’angle 1p3

1p

3



Chapitre 9

3ème - PGCD

Références au programme

Contenus Compétences exigibles Commentaires

Nombres entiers et rationnels

Diviseurs communs à deux entiersFractions irréductibles

Déterminer si deux entiers sont premiers entre eux.Savoir qu’une fraction est dite irréductible si son numé-rateur et son dénominateur sont premiers entre eux.Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréduc-tible.

Cette partie d’arithmétique permet une première syn-thèse sur les nombres, intéressante tant du point de vuede l’histoire des mathématiques que pour la culture gé-nérale des élèves.Depuis la classe de 5ème, les élèves ont pris l’habitudede simplifier les écritures fractionnaires : la factorisationdu numérateur et du dénominateur se fait grâce aux cri-tères de divisibilité et à la pratique du calcul mental.Reste à savoir si la fraction obtenue est irréductible ounon. On remarque que la somme et la différence de deuxmultiples d’un nombre entier sont elles-mêmes mul-tiples de cet entier. On construit alors un algorithme, ce-lui d’Euclide ou un autre, qui donnant le PGCD de deuxentiers permet de répondre à la question dans tous lescas. Les activités proposées ne nécessitent donc pas lerecours aux nombres premiers. Les tableurs et les logi-ciels de calcul formel peuvent, sur ce sujet, être exploitésavec profit.A côté des nombres rationnels, on rencontre au collègedes nombres irrationnels comme π et

p2.

On pourra eventuellement démontrer l’irrationnalité dep2. Une telle étude peut également être mise à profit

pour bien distinguer le calcul exact et le calcul appro-ché.

Les élèves ont déjà eu l’occasion de simplifier des écritures fractionnaires, mais sans disposer de critères pour déterminer si la fraction obtenue est irréductible

ou non. Les problèmes proposés à ce sujet en 3ème sont l’occasion d’enrichir les connaissances des élèves en arithmétique. Après avoir travaillé au cycle central

sur les notions de multiples et de diviseurs, il est nécessaire de savoir si deux entiers sont ou non premiers entre eux. Pour l’obtention du PGCD de deux entiers,

le programme préconise l’algorithme d’Euclide ou éventuellement un algorithme de différence - la répétition de la transformation qui à un couple d’entiers (a,

b) fait correspondre le couple constitué de leur minimum et de leur écart, par exemple qui à (285, 630) fait correspondre (285, 345) - plutôt que le recours à la

décomposition en facteurs premiers. Il n’est pas inutile de rappeler que l’arithmétique avait été bannie des programmes de mathématique du collège précisément

à cause de l’abus du recours à la décomposition en produit de facteurs premiers. Certes les facteurs premiers de petits nombres, 924 ou 1999 pour donner

des exemples, s’obtiennent facilement. Mais il n’en est plus du tout de même pour de plus grands nombres, dont l’ordinateur rend aujourd’hui naturelle la

considération. C’est ainsi qu’il sera par exemple beaucoup plus facile d’établir directement que les deux nombres 12345678910111213 et 10000000000000007

ne sont pas premiers entre eux que d’essayer de trouver leur décomposition en facteurs premiers. Certains domaines d’application avancée, tel le chiffrage de

messages (cryptage et décryptage), s’appuient largement sur la difficulté pratique d’obtention de certaines décompositions.

La synthèse sur les nombres rencontrés au collège permet par ailleurs de donner un nouvel éclairage sur les nombres rationnels, en mettant en évidence le

fait que tous les nombres ne sont pas rationnels. Le nombre π en est bien sûr un exemple, mais ce sont surtout les nombres qui ne peuvent pas être exprimés



exactement autrement qu’en utilisant le symbole p (lettre r stylisée) qui en sont la meilleure illustration. Il est donc intéressant de faire prendre conscience

aux élèves de toute la richesse, tant théorique que pratique, à laquelle peut conduire une réflexion sur un objet tel quep

2 : longueur de la diagonale du carré

unité ou côté du carré d’aire double. L’utilisation d’un symbole particulier (presque un nom propre) laisse à penser que les écritures antérieures ne suffisaient

pas. Sa découverte constitue un des premiers succès historiques des mathématiques. Une démonstration de l’irrationalité dep

2 pourra, dans cette optique,

éventuellement être envisagée. Le théorème de Pythagore, vu en classe de 4ème, est pour le concept de racine carrée une bonne opportunité de mettre en oeuvre

le principe d’appuis mutuels entre différentes parties du programme.

9.1 Relation de divisibilité

9.1.1 Diviseurs d’un entier

On considère deux nombres entiers a et b avec b 6= 0.Lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est nul, on dit que a est divisible par b et que b

est un diviseur de a.b est un diviseur de a signifie aussi que a est dans la table de multiplication de b (autrement dit a estun multiple de b).

Définitions :

Exemple :

• 2 est un diviseur de 18 car 18 est dans la table de 2 : 18 = 2×9.

• 5 n’est pas un diviseur de 48 car 48 n’est pas dans la table de 5 : 5×9 = 45 et 5×10 = 50.

Avec les petits nombres, en utilisant les tables de multiplications, il est facile de dire si un nombre est un

diviseur d’un autre nombre mais avec les grands nombres, en l’absence de calculatrice, on est obligés de

poser la division :

13 est-il un diviseur de 8021 ?

8 0 2 1 1 3

7 8 6 1 7

2 2

9 1

9 1

0

Le reste de la division euclidienne est nul donc 13 est un diviseur de 8021.

Tous les nombres entiers admettent au moins deux diviseurs évidents : 1 et le nombre lui-même. (car 1×a

= a×1 = a)

Il est donc possible de dresser la liste des diviseurs de n’importe quel nombre entier.

En général on procède ainsi :

Par exemple dressons la liste des diviseurs de 18 : 1 et 18 sont deux diviseurs evidents ; ensuite on regarde

les nombres entiers dans l’ordre croissant : 2 est un diviseur de 18 car 2×9 = 18 ce qui signifie que 9 en est

un aussi ; 3 aussi car 3×6 = 18, donc 6 en est un aussi ; 4 ne divise pas 18, 5 non plus, et on retrouve 6 que

l’on a déjà relevé. Ainsi, la liste des diviseurs de 18 est {1, 2, 3, 6, 9, 18}.



9.1.2 Diviseurs communs à deux entiers

Si deux entiers a et b sont divisibles par un même nombre entier k, on dit que k est un diviseur com-mun à a et b

Définition :

Exemples :

• 36 = 12× 3 et 24 = 12×2 donc 12 est un dviseur commun à 36 et 24 ;

• 36 = 8×4,5 et 24 = 8×3 donc 8 n’est pas un diviseur commun à 36 et 24 car ce n’est pas un diviseur de 36

Remarque : 1 est toujours diviseur commun à deux entiers a et b donc la liste des diviseurs communs à

deux entiers existe toujours.

En général, on procède ainsi : on dresse la liste de chaque entier et on regarde les nombres qui apparaissent

dans les deux listes.

Par exemple dressons la liste des diviseurs communs de 18 et 30 :

– liste des diviseurs de 18 : {1, 2, 3, 6, 9, 18} ;

– liste des diviseurs de 30 : {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

On en déduit la liste des diviseurs communs à 18 et 30 : {1, 2, 3, 6}. Ainsi, dans une liste de diviseurs com-

muns à deux entiers, il existe toujours un plus grand nombre, d’où la définition :

Parmi les diviseurs communs à a et b, l’un deux est plus grand que les autres.On l’appelle le Plus Grand Commun Diviseur (en abrégé PGCD) ; on le note PGCD(a ; b).

Propriété, Définition

Exemple : 6 est le PGCD de 18 et 30 : PGCD(18 ; 30) = 6.

9.1.3 Entiers premiers entre eux

Si deux entiers ont pour seul diviseur commun 1 (i.e PGCD(a ; b) = 1), on dit qu’ils sont premiers entreeux.

Définition :

Exemple : 12 et 35 on pour seul diviseur commun 1 : en effet

– liste des diviseurs de 12 : {1, 2, 3, 4, 6, 12} ;

– liste des diviseurs de 35 : {1, 5, 7, 35}

donc 12 et 35 sont premiers entre eux.

En revanche, 42 = 7×6 et 35 = 7×5 donc 42 et 35 sont divisibles par 7 donc 42 et 35 ne sont pas premiers

entre eux.

9.1.4 Propriétés des diviseurs communs

Si k est un diviseur commun aux entiers a et b avec a > b, alors k est aussi un diviseur de a+b et a−b.

Propriété :



Démonstration : Si k est un diviseur commun à a et b, alors a = k × a′ et b = k ×b′ avec a′ et b′ entiers,

donc a+b = k ×a′+k ×b′ = k ×(a′+b′) donc k divise a+b.

De même a−b = k ×a′+k ×b′ = k ×(a′−b′) donc k divise a−b.

9.2 Calcul du PGCD de deux nombres à l’aide d’algorithmes

9.2.1 Algorithme des différences successives

D’après la propriété précédente, on peut trouver le moyen de calculer rapidement un PGCD sans avoir à

dresser la liste des diviseurs communs aux deux entiers : le PGCD de deux nombres est le même que le

PGCD du plus petit et de la différence des deux.

Exemple : calculons le PGCD de 578 et 170

Différences

578 170 408

408 170 238

238 170 68

170 68 102

102 68 34

68 34 34

34 34 0

Par différences successives, on diminue les deux

nombres, jusqu’à ce que la différence fasse 0 ; à cette

étape on a PGCD(578 ; 170) = PGCD(170 ; 238) = . . . =

PGCD(34 ; 34) = 34 donc le PGCD est la dernière dif-

férence non nulle dans les différences successives.

9.2.2 Algorithme d’Euclide

Soient a et b deux nombres entiers avec a > b et b 6= 0. Si r est le reste de la division euclidienne de a

par b, alors PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r ).

Propriété :

Démonstration : Il suffit de montrer que si k est un diviseur commun à a et b, alors k est encore un diviseur

commun à b et r :

r est le reste de la division euclidienne de a par b signifie qu’il existe un nombre entier q tel que a = b×q+r ;

Si k est un diviseur commun à a et b, alors a = k ×a′ et b = k ×b′ avec a′ et b′ entiers donc l’égalité précé-

dente devient k ×a′ = k ×b′×q + r donc r = k ×a′−k ×b′×q = k ×(a′−b′×q

)donc k est un diviseur de r

donc c’est un diviseur commun à b et r .

remarque : Pour être totalement rigoureux, il aurait fallu montrer aussi que si k est un diviseur commun à b

et r alors c’est un diviseur commun à a et b ce qui se montre très facilement avec la relation a = b ×q + r .

Application : calcul du PGCD par l’algorithme d’Euclide

En utilisant la propriété précédente, on peut trouver le PGCD de deux nombres, par exemple 3150 et 1246 :



Restes

3150 1246 658 3150= 1246×2+658

1246 658 588 1246= 658×1+588

658 588 70 658= 588×1+70

588 70 28 588= 70×8+28

70 28 14 70= 28×2+14

28 14 0 28= 14×2+0

Par divisions successives du diviseur par le reste, on

diminue les deux nombres jusqu’à ce que le reste

fasse 0 ; à cette étape on a PGCD(3150 ; 1246) =

PGCD(1246 ; 658) = . . . = PGCD(28,14) = 14 donc le

PGCD est le dernier reste non nul dans les divisions

successives.

9.3 Fractions irréductibles

Lorsque le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont premiers entre eux, on dit que cettefraction est irréductible.

Définition :

Cela signifie que l’on ne peut plus la simplifier.

Exemple : 12 et 7 sont premiers entre eux donc 127 est une fraction irréductible.

On aura donc une fraction irréductible lorsqu’on aura simplifié la fraction par le plus grand diviseur com-

mun au numérateur et au dénominateur, c’est-à-dire par le PGCD :

En simplifiant la fraction ab

par PGCD(a ; b), on obtient une fraction irréductible.

Définitions :

Application : Simplifier la fraction 51481386 pour la rendre irréductible.

0n calcule le PGCD de 5148 et 1386 :

Restes

5148 1386 990 5148= 1386×3+990

1386 990 396 1386= 990×1+396

990 396 198 990= 396×2+198

396 198 0 396= 198×2+0

On a donc PGCD(5148 ; 1386) = 198 ; comme 5148 =

198×26 et 1386 = 198×7 on a donc :

5148

1386=

26

7

9.4 Eléments culturels et historiques

EUCLIDE d’Alexandrie grec, vers -285

On ne possède pas d’informations précises sur la vie d’Euclide. Il semble qu’il étudia à Athènes à l’Ecole des

successeurs de Platon et qu’il s’établit à Alexandrie sur l’invitation de Ptolémée II, roi d’Egypte.

Heureusement, ses Eléments, oeuvre monumentale en treize livres, nous sont parvenus et auront marqué

toutes les générations de mathématiciens jusqu’à nos jours : synthèse des mathématiques connues à son



époque auxquelles il apporte compléments, démonstrations et rigueur en arithmétique, algèbre et géomé-

trie. Les quatre premiers volumes sont consacrés à la géométrie plane (livres I à IV).

Cette dernière est mise en place au moyen de cinq postulats (les demandes) et de neuf axiomes relatifs aux

grandeurs ("notions communes" à l’usage de la géométrie et de l’arithmétique).

Il serait plus correct de dire en français PGDC plutôt que PGCD. Cela provient de l’abréviation anglo-

saxonne GCD : Greatest Common Divisor... Idem pour le PPCM : de l’anglais LCM : Least Common Multiple.

Calcul d’un PGCD - méthode des différences

Cette méthode par différences est parfois appelée anthyphérésie (mot dérivé du grec anti dans le sens de

devant et aphairesis = action d’enlever). Elle est due à Euclide, dans le livre septième de ses Eléments, pro-

position 2.



Deuxième partie

Algèbre



Chapitre 10

5ème - Calcul littéral et distributivité

10.1 Distributivité de la multiplication sur l’addition

Sous ce titre compliqué se cache un principe plutôt simple, que l’on utilise parfois sans même le savoir

consciemment. Prenons un exemple : Calcul de l’aire d’un rectangle

Dans chacun des cas suivants, il existe deux manières de calculer l’aire du rectangle hachuré :

4 6

9,7

Première façon Deuxième façon

forme "produit" forme "somme"

9,7× (6+4) 9,7×6+9,7×4

Les deux calculs, une fois effectués en respectant

les règle de priorité, produisent bien évidemment

les mêmes résultats. Mais dans ce cas précis, la

forme "produit" semble beaucoup plus facile à uti-

liser pour calculer l’aire de rectangle ; elle vaut

9,7× (6+4) = 9,7×10= 97 cm2.

101

7,8

Première façon Deuxième façon

forme "produit" forme "différence"

7,8× (10−1) 7,8×10−7,8×1

Les deux calculs, une fois effectués en respectant

les règle de priorité, produisent bien évidemment

les mêmes résultats. Mais dans ce cas précis, la

forme "différence" semble beaucoup plus facile à

utiliser pour calculer l’aire de rectangle ; elle vaut

7,8×10−7,8×1= 78−7,8= 70,2 cm2.



• Développer un produit consiste à le transformer en somme (ou en différence).On utilise les formulesk × (a+b) = k ×a+k ×b et k × (a−b) = k ×a−k ×b

• Factoriser une somme (ou une différence) consiste à la transformer en produit.On utilise les mêmes formules, mais lues "à l’envers" :k ×a+k ×b = k × (a+b) et k ×a−k ×b = k × (a−b)

Définitions - formules de distributivité

Exemples avec application au calcul réfléchi :

12,4× (10+1) = 12,4×10+12,4×1

On a "distribué" 12,4 sur chaque terme de la somme entre parenthèses ; on a développé cette expression

numérique. Il est plus simple de calculer cette expression sous sa forme développée (12,4×10+12,4×1=124+12,4= 136,4) que sous sa forme factorisée (12,4× (10+1)= 12,4×11=?)

19×12,7−19×2,7 = 19× (12,7−2,7)

19 est un "facteur commun" aux deux termes de la somme entre parenthèses ; on a factorisé cette expres-

sion numérique. Il est plus simple de calculer cette expression sous sa forme factorisée (19× (12,7−2,7)=19×10= 190) que sous sa forme développée (19×12,7−19×2,7=?−?=?)

10.2 Expressions littérales

Une expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont représentéspar des lettres.

Définitions

Exemples :



• Le périmètre d’un losange de côté c est donné parl’expression littérale 4×c.Si le losange considéré a un côté mesurant 6 cm, alorsson périmètre sera de 4×6 = 24 cm.

c

• Le périmètre d’un rectangle de longueur L et de lar-geur l est donné par l’une des deux expressions litté-rales suivantes : 2× (L+ l ) ou 2×L+2× l .Si la longueur de ce rectangle vaut 8 cm, et sa largeur 5cm,alors son périmètre sera de 2×8+2×5 = 16+10 = 26cm. (ou 2× (8+5) = 2×13= 26 cm).

l

L

10.3 Simplification de l’écriture d’une expression littérale

Pour simplifier l’écriture d’une expression littérale, on peut supprimer le signe "×" :– devant une lettre,– devant une parenthèse.

Suppression du signe ×

Exemples :

2× y s’écrira 2y a×3 s’écrira 3a 2×(x+1) s’écrira 2(x+1)

3× (5−a) s’écrira 3(5−a) B 2×5 ne peut pas s’écrire 25 ! !

– Le produit a×a s’écrit a2, et se prononce "a au carré".– Le produit a×a×a s’écrit a3, et se prononce "a au cube".

Carrés, cubes

Exemples :

3×3 s’écrira 32 5×5×5 s’écrira 53 x ×x s’écrira x2

u ×u ×u s’écrira u3 8×8×c ×c ×c s’écrira 82 ×c3 2× y ×2× y × y s’écrira 22 × y3

10.4 Distributivité appliquée au calcul littéral



Développement

• 8× (x +3) = 8×x +8×3= 8x +24

On a "distribué" 8 sur chaque terme de la somme

entre parenthèses ; on a développé cette expres-

sion littérale.

5(3−2x) = 5×3−5×2x = 15−10x

2(6x +5)= 2×6x +2×5 = 12x +10

Factorisation

• 12×x −12× y = 12× (x − y) = 12(x − y)

12 est un "facteur commun" aux deux termes de

la somme entre parenthèses ; on a factorisé cette

expression littérale.

14y −28= 14× y −14×2= 14× (y −2)

5m −5= 5×m −5×1 = 5× (m −1)

Un cas particulier intéressant de factorisation : la réduction d’une expression littérale

• 12b +5b = (12+5)b = 17b

• 10x −4x = (10−4)x = 6x

• 7m +m = 7m +1m = (7+1)mb = 8m

10.5 Tester si une égalité est vraie

Une égalité est composée de deux membres séparés par le symbole "=".Pour que l’égalité soit dite vraie (ou vérifiée), il faut que les deux membres aient la même valeur.

Notion d’égalité

Exemples :

5×3 = 7×2+1 est une égalité vraie, car

d’une part, le premier membre vaut 5×3 = 15

d’autre part, le second membre vaut 2×7+1 = 14+1= 15

5× (6−2) = 1+3×4 est une égalité fausse, car

d’une part, 5× (6−2)= 5×4 = 20

d’autre part, 1+3×4 = 1+12= 13

Pour tester si une égalité comportant des nombres indéterminés est vraie lorsqu’on leur attribue unevaleur numérique, il faut procéder ainsi :– d’une part, on évalue (calcule) l’expression numérique obtenue en remplaçant la (les) lettre(s) par

leur(s) valeur(s) dans le membre de gauche de l’égalité.– d’autre part, on évalue (calcule) l’expression numérique obtenue en remplaçant la (les) lettre(s) par

leur(s) valeur(s) dans le membre de droite de l’égalité.Si les deux résultats obtenus sont égaux entre eux, alors l’égalité est vérifiée ; par contre, si les deuxrésultats trouvés sont différents, l’égalité n’est pas vérifiée.

Tester une égalité

Exemple : Tester si l’égalité 2x +4 = 13−x est vraie pour x = 3

D’une part, le premier membre vaut 2×3+4= 6+4 =10, d’autre part le second membre vaut 13−3=10

Comme les deux membres ont la même valeur, l’égalité est vérifiée.



Chapitre 11

3ème - Ecritures littérales, identitésremarquables



Écritures littérales ;identités remar-quables

Factoriser des expressions tellesque :(x +1)(x +2)−5(x +2) ;(2x +1)2 + (2x +1)(x +3)Connaître les égalités :(a+b)(a−b) = a2 −b2 ;(a+b)2 = a2 +2ab +b2 ;(a−b)2 = a2 −2ab +b2.et les utiliser sur des expres-sions numériques ou littéralessimples telles que :1012 = (100+1)2 = 1002+200+1 ;(x +5)2 −4 = (x +5)2 −22 = (x +5+2)(x +5−2)

La reconnaissance de la forme d’une expres-sion algébrique faisant intervenir une iden-tité remarquable peut représenter une diffi-culté qui doit être prise en compte. Les tra-vaux s’articuleront sur deux axes :– utilisation d’expressions littérales pour des

calculs numériques ;– utilisation du calcul littéral dans la mise en

équation et la résolution de problèmes.Les activités viseront à assurer la maîtrisedu développement d’expressions simples ;en revanche, le travail sur la factorisation quise poursuivra au lycée, ne vise à développerl’autonomie des élèves que dans des situa-tions très simples.On consolidera les compétences en matièrede calcul sur les puissances, notamment surles puissances de 10.

11.1 Développer un produit

Développer un produit signifie le transformer en une somme algébrique

Définition

Rappel : une somme algébrique est une suite d’additions et de soustractions, impliquant des nombres et/ou

des lettres



Nous avons, pour réaliser cela, plusieurs moyens à disposition :

11.1.1 Distributivité simple

Produit → Somme algébrique

k(a +b) → ka +kb

k(a −b) → ka −kb

Applications et exemples :

– Calcul mental :

◮ 13×99 = 13× (100−1) = 13×100−13×1 = 1300−13 = 1287

◮ 25×104 = 25× (100+4) = 25×100+25×4 = 2500+100 = 2600

– Développement d’une expression littérale :

◮ 3(5a+7) = 3×5a+3×7 = 15a+21

◮ −2(5−4x) = −2×5− (−2)×4x = −10+8x

11.1.2 Distributivité double


(a +b)(c +d ) → ac +ad +bc +bd


Développement d’une expression littérale :

◮ (3−a)(4a+2) = 3×4a + 3×2 − a×4a − a×2 = 12a+6−4a2 −2a = −4a2 +10a+6

◮ (3x −2)(1−4x) = 3x ×1 + 3x × (−4x) − 2×1 − 2× (−4x) = 3x −12x2 −2+8x = −12x2 +11x −2

B : Pour ne pas se tromper dans les signes, il est utile de se souvenir que, par exemple, 3x−2 est la somme

de 3x et de −2, et que 1−4x est la somme de 1 et de −4x. Ainsi, pour le calcul précédent, on a :

(3x −2)(1−4x) = (3x + (−2))(1+ (−4x)) = (3x)×1 + (3x)× (−4x) + (−2)×1 + (−2)× (−4x) = . . .



11.1.3 Identités remarquables


Carré d’une somme

(a +b)2 → a2+2ab +b2

Carré d’une différence

(a −b)2 → a2−2ab +b2

Produit d’une somme par une différence

(a −b)(a +b) → a2−b2


– Calcul mental :

◮ 1012 = (100+1)2 = 1002 +2×100+12 = 10000+200+1 = 10201

◮ 192 = (20−1)2 = 202 −2×20+12 = 400−40+1 = 361

◮ 39×41 = (40−1)(40+1) = 402 −12 = 1600−1 = 1599

– Développement d’une expression littérale :

◮ (y +7)2 = y2 +2× y ×7+72 = y2 +14y +49

◮ (1−3x)2 = 12 −2×1×3x + (3x)2 = 1−6x +9x2

◮ (20−8x)(20+8x) = 202 − (8x)2 = 400−64x2

11.2 Factoriser une somme algébrique

Factoriser une somme algébrique signifie la transformer en produit

Définition

En fait, pour résumer : Produit Somme algébrique

Développer

Factoriser

11.2.1 Avec un facteur commun

On utilise la propriété de simple distributivité, mais "à l’envers" :



Sommealgébrique

→ Produit

ka +kb → k(a +b)

ka −kb → k(a −b)

Dans les sommes algébriques de gauche, il y a deux termes, chacun étant un produit de deux facteurs.

Comme k se retrouve dans les deux termes, on dit que c’est un facteur commun aux deux termes. On dit

également que l’on a "mis k en facteur".


– Calcul mental :

◮ 13×62+13×38 = 13× (62+38) = 13×100 = 1300

◮ 18.1×34.8−8.1×34.8 = (18.1−8.1)×34.8 = 10×34.8 = 348

– Factorisation d’une expression littérale grâce à un facteur commun :

◮ 4a2 +3a = 4×a×a+3×a = a(4a+3)

◮ (x +7)(5−4x)−2(5−4x) = (5−4x)× (x +7−2) = (5−4x)(x +5)

◮ (x +3)2 −5(x +3) = (x +3)× (x +3−5) = (x +3)(x −2)

11.2.2 Avec les identités remarquables

Là aussi, on utilise les identités remarquables vues au paragraphe 1.3, mais "dans l’autre sens" :

Sommealgébrique

→ Produit

a2 +2ab +b2 → (a +b)2

a2 −2ab +b2 → (a −b)2

a2 −b2 → (a −b)(a +b)

Applications à la factorisation d’expressions littérales :

◮ y2 +4y +4 = y2 + 2× y ×2 + 22 = (y +2)2

◮ 9x2 −6x +1 = (3x)2 − 2×3x ×1 + 12 = (3x −1)2

◮ (x +5)2 −9 = (x +5)2 −32 = [(x +5)−3]× [(x +5)+3]

= (x +2)× (x +8)



Chapitre 12

4ème - Calcul littéral, équations


(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de données

et fonctions)



N22 Remplacer la lettre par un nombre dans une expression littérale ; tes-ter une égalité

N23 Développer un produit à l’aide de la règle de distributivité simple

N24 Factoriser, réduire une somme à l’aide de la règle de distributivitésimple

N25 Appliquer la règle de suppression des parenthèses précédées d’unsigne + ou d’un signe −.

N26 Développer un produit en utilisant la règle de distributivité double

N27 Résoudre une équation du premier degré à une inconnue

N28 Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équa-tion du premier degré à une inconnue

Taux de réussite :

. . . . . . . . . . . . %

Note du chapitre :

. . . . . . . . . . . . /20


. . . . . . . . . . . . /20









12.1 Remplacer la lettre par un nombre dans une expression littérale ;tester une égalité

Une expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont représentés par

des lettres. Une même lettre désigne toujours un même nombre dans une expression littérale donnée.

Par exemple :

E = 4x2 −x +3 est une expression littérale dans laquelle un nombre est représenté par la lettre x

On peut calculer la valeur de cette expression lorsque la lettre prend une valeur donnée.

Par exemple, pour x =−2, on a E = 4× (−2)2 − (−2)+3 = 4×4+2+3 = 16+2+3 = 21

Tester si l’égalité 2x +4= 13−x est vraie pour x = 3

• D’une part, le premier membre vaut 2×3+4 = 6+4=10,

• d’autre part le second membre vaut 13−3 =10

Comme les deux membres ont la même valeur, l’égalité est vérifiée.

12.2 Développer un produit grâce à la règle de distributivité simple

Développer un produit signifie l’écrire sous la forme d’unesomme ou d’une différence.

Définition

Pour ce faire, on dispose d’un premier moyen :

Soient k, a et b trois nombres relatifs. On a :k(a+b) = k ×a+k ×b autrement dit, en simplifiant l’écriture, k(a+b) = ka+kb

Développer grâce à la règle de distributivité simple

Exemples :

• 2(3+5x) = 2×3 + 2×5x = 6+10x

• 5y(3−2y) = 5y(3+ (−2y)

)= 5y ×3 + 5y × (−2y)= 15y −10y2



12.3 Factoriser, réduire une expression

Factoriser une somme ou une différence signifie l’écrire sous la forme d’un produit.

Définition

C’est donc l’opération "inverse" du développement :

Soient k, a et b trois nombres relatifs ; on aka+kb = k(a+b) autrement dit, en simplifiant l’écriture, ka+kb = k(a+b)

Factoriser grâce à la règle de distributivité simple

Exemples :

• 5x +5y = 5(x + y) • 3b −5b = 3b + (−5)b = (3−5)b =−2b • 3x2 −x = x ×3x −x ×1 = x(3x −1)

Réduire une expression littérale, cela consiste à effectuer la somme algébrique des termes "de mêmenature", afin d’écrire cette expression avec le moins de termes possibles.

Définition

Exemples :

• 5x −2+3x +7 = 5x + (−2)+3x +7 = 5x +3x + (−2)+7 = 8x +5

On a regroupé d’une part les "termes en x", d’autre part les "termes constants"

• 5x2 +x −7x2 +5x −11 = 5x2 +x + (−7x2)+5x + (−11) = 5x2 + (−7x2)+x +5x + (−11) =−2x2 +6x −11

On a regroupé entre eux les "termes en x2", les "termes en x", et enfin les "termes constants"

12.4 Règles de suppression des parenthèses précédées d’un signe+, d’unsigne −

Pour ajouter une somme algébrique écrite entre parenthèses, il suffit d’additionner chaque terme decette somme algébrique :

Pour tous nombres relatifs a, b, c et d , on a a+ (b+c−d) = a+b+c−d

Parenthèses précédées d’un signe +

Exemples : • 2x + (3+5x) = 2x +3+5x = 7x +3 • 5+ (9x−1) = 5+9x− −1 = 9x +4



Pour soustraire une somme algébrique écrite entre parenthèses, il suffit d’additionner les opposés dechacun des termes de cette somme algébrique :

Pour tous nombres relatifs a, b, c et d , on a a− (b+c−d) = a−b−c+d

Parenthèses précédées d’un signe −

Exemples : • 2x − (3+5x) = 2x −3−5x =−3x −3 • 5− (9x−1) = 5−9x+1=−9x +6

12.5 Double distributivité

Soient a, b, c et d quatre nombres relatifs ; on a :

(a+b)(c +d) = ac +ad +bc +bd

Règle de double distributivité

Exemples :

• (x +2)(x +5) = x ×x + x ×5 + 2×x + 2×5= x2 + 5x + 2x + 10 = x2 + 7x + 10

• (3x +2)(x −5) = (3x +2)(x + (−5)) = 3x ×x + 3x × (−5) + 2×x + 2× (−5)= 3x2 + (−15x) + 2x + (−10) =3x2 − 13x − 10

12.6 Résoudre une équation du premier degré

• Une équation est une égalité dans laquelle un nombre - appelé inconnue de l’équation - est repré-senté par une lettre.• S’il en existe, la (ou les) valeur(s) de l’inconnue pour la(les)quelle(s) l’égalité est vraie sont appeléessolutions de l’équation.• Résoudre une équation consiste à trouver toutes ses solutions

Définitions

Exemple :

2x +3 = 11 est une équation, d’inconnue x.

On dit qu’elle est du premier degré, car la plus grande puissance de x est 1.

• x = 2 n’est pas une solution de cette équation ; en effet, on a 2×2+3 = 4+3= 7 6= 11

• x = 4 est une solution de cette équation ; en effet, on a 2×4+3= 8+3 = 11



Comment résoudre une équation ?

On s’appuie sur deux règles de calcul sur les égalités :

Soient a, b et c trois nombres relatifs.On ne change pas une égalité (c’est-à-dire qu’une égalité vraie reste vraie) lorsque :– on ajoute (ou on soustrait) un même nombre à ses deux membres :

Si a = b alors a+c = b +c et a−c = b −c

– on multiplie (ou on divise) par un même nombre chacun de ses deux membres :

Si a = b alors a×c = b ×c et ac= b

c

Règles de calcul sur les égalités

Application à la résolution d’une équation : Pour résoudre une équation de ce type, on doit isoler x dans

un des membres de l’équation.

x +7 = −2x −2

x +7+2x = −2x −2+2x

3x +7 = −2

3x +7−7 = −2−7

3x = −9

3x

3=

−9

3

x = −3

La solution de cette équation est −3

Vérification : −3+7 = 4 et −2× (−3)−2 = 4

+2x +2x

−7 −7

÷3 ÷3

① On commence par ajouter 2x auxdeux membres de l’équation, pour éli-miner les x du second membre.

② Ensuite on soustrait 7 aux deuxmembres de l’équation, pour élimi-ner les termes constants du premiermembre.

③ On termine en divisant par 3 les deuxmembres de l’équation pour finir d’iso-ler l’inconnue.



12.7 Mettre en équation et résoudre un problème

Toutes les résolutions de problèmes par mise en équation se déroulent selon un schéma en 4 étapes, qu’il

faut impérativement respecter ; en voici un exemple :

Enoncé : Deux enfants, Adrien et Béatrice, jouent aux billes. Adrien dit : "J’ai seize billes de moinsque toi. . . " ; ce à quoi Béatrice répond : "J’en ai trois fois plus que toi !". Combien de billes possèdeAdrien ?

Résolution :

Etape 1 : choix de l’inconnue On note x le nombre de billes que possède Adrien.

Etape 2 : mise en équation du problème La phrase "J’ai seize billes de moins que toi. . . " se traduit par"Béatrice possède x +16 billes".

La phrase "J’en ai trois fois plus que toi !" se traduit par "Béa-trice possède 3x billes".

On a donc l’équation x +16 = 3x

Etape 3 : résolution de l’équation

x +16 = 3x

x +16−3x = 3x −3x

−2x +16 = 0

−2x +16−16 = 0−16

−2x = −16−2x

−2=

−16

−2x = 8

La solution de cette équation est 8

Vérification : 8+16= 24 et 3×8= 24

−3x −3x

−16 −16

÷(−2) ÷(−2)

Etape 4 : Interprétation et conclusion NB : Le résultat est un nombre entier positif, ce qui est cohérent

avec l’énoncé

Pierre possède 8 billes (et Béatrice 24).



Chapitre 13

3ème - Equations et inéquations



Équations et inéqua-tions du 1er degré

Ordre et multiplication Utiliser le fait que des nombres rela-tifs de la forme ab et ac sont dans lemême ordre que b et c si a est stricte-ment positif, dans l’ordre inverse si a

est strictement négatif.

On pourra s’appuyer dans toute cettepartie sur des activités déjà prati-quées dans les classes antérieures,notamment celles de tests par substi-tution de valeurs numériques à deslettres.

Inéquation du premierdegré à une inconnue

Résoudre une inéquation du premierdegré à une inconnue à coefficientsnumériques. Représenter ses solu-tions sur une droite graduée.

Résolution de pro-blèmes du premierdegré ou s’y ramenant

Résoudre une équation mise sous laforme A.B = 0, où A et B désignentdeux expressions du premier degréde la même variable.Mettre en équation et résoudre unproblème conduisant à une équa-tion, une inéquation [ou un système

de deux équations] du premier degré.

L’étude du signe d’un produit oud’un quotient de deux expressions dupremier ordre de la même variableest, elle, hors programme.Les problèmes sont issus des dif-férentes parties du programme.comme en classe de 4e, on dégageraà chaque fois les différentes étapesdu travail : mise en équation, résolu-tion de l’équation et interprétationdu résultat.



13.1 Equations du premier degré

Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, représenté par une lettre,appelée inconnue de l’équation.Une solution de cette équation est une valeur de l’inconnue pour laquelle l’égalité est vraie.Résoudre une équation, c’est en trouver toutes les solutions.

Définitions

Par exemple 3x−7= 5 est une équation, dont le premier membre (ce qui est à gauche du signe =) est 3x−7,

et dont le second membre (ce qui est à droite du signe =, donc) est 5.

• 4 est une solution de l’équation 3x −7= 5

car, lorsque je remplace l’inconnue x par 4 dans l’équation, l’égalité est vérifiée : 34−7= 12−7= 5

• 2 n’est pas une solution de l’équation 3x −7= 5

car, lorsque je remplace x par 2, l’égalité n’est pas vérifiée : 32−7= 6−7 =−1 6= 5 ! !

Pour résoudre une équation, nous aurons besoin de la transformer, tout en s’assurant que la nouvelleéquation obtenue après transformation possède exactement les mêmes solutions que l’équation ini-tiale. Pour ce faire, nous avons deux règles à notre disposition :

Règle 1 : On ne change pas l’ensemble des solutions d’une équation en ajoutant (ou retranchant)un même nombre aux deux membres de l’équation.

Règle 2 : On ne change pas l’ensemble des solutions d’une équation en multipliant (ou divisant) lesdeux membres de l’équation par un même nombre non nul.

Règles de manipulation des égalités

Nous traiterons ici des équations du premier degré à une inconnue x (ou s’y ramenant). Ce sont des équa-

tions qui, après ces transformations autorisées, peuvent s’écrire sous la forme ax = b, avec a 6= 0. Cette

équation a alors une unique solution, qui est ba

.

Par exemple,l’équation 3x −5= 7 est une équation du premier degré : résolvons-la◮En utilisant la règle 1, on voit que l’on peut ajouter 5 aux deux membres de l’équation :3x −5+5= 7+5, c’est-à-dire 3x = 12.◮En utilisant la règle 2, on voit que l’on peut diviser par 3 chaque membre de l’équation :3x

3=

12

3, c’est à dire x = 4.

◮on conclut par une phrase : l’équation 3x −7= 5 admet une unique solution, qui est 4.



13.2 Equations-produits

Une équation-produit est une équation qui s’écrit sous la forme (ax +b)(cx +d) = 0 (il peut y avoir

plus de deux facteurs)

Définition

Remarque : cette équation (ax +b)(cx +d) = 0 est une équation du second degré ; en effet, si on dévelop-

pait le membre de gauche, l’inconnue x apparaîtrait avec une puissance 2. Prenons par exemple l’équation

(x+1)(3x−6) = 0 ; si on développe le membre de gauche, on aboutit à l’équation 3xš−3x−6 = 0. Mais nous

ne savons pas encore, en Troisième, résoudre ce type d’équation... Comment faire ?

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins l’un des facteurs est nul. Autrement dit,dire que "AB = 0" équivaut à dire que "A = 0 ou B = 0".

Propriété

Méthode : Ainsi, le produit (ax+b)(cx+d) sera nul si, et seulement si, l’un des facteurs ((ax+b) ou (cx+d))

est nul : (ax +b)(cx +d) = 0 si et seulement si ax +b = 0 ou cx +d = 0.

On se ramène ainsi à la résolution de deux équations du premier degré ! !

Les solutions de l’équation (ax +b)(cx +d) = 0 sont les solutions de chacune des équations ax +b = 0et cx +d = 0

Propriété

Par exemple : résolvons l’équation (3x −7)(2x +5)= 0Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins l’un des facteurs est nul.3x −7= 0 ou 2x +5= 03x = 7 ou 2x =−5x = 7

3 ou x =−52

Ainsi, l’équation (3x −7)(2x +5)= 0 admet deux solutions, qui sont 73 et −5

2





Chapitre 14

3ème : Systèmes d’équations



Système de deuxéquations à deuxinconnues.

Résoudre algébriquement un sys-tème de deux équations du premierdegré à deux inconnues admettantune solution et une seule ; en donnerune interprétation graphique.

Pour l’interprétation graphique, onutilisera la représentation des fonc-tions affines.

Résolution de pro-blèmes du premierdegré ou s’y ramenant.

Mettre en équation et résoudre unproblème conduisant à une équa-tion, une inéquation ou un systèmede deux équations du premier degré.

Les problèmes sont issus des dif-férentes parties du programme.comme en classe de 4e, on dégageraà chaque fois les différentes étapesdu travail : mise en équation, résolu-tion de l’équation et interprétationdu résultat.

14.1 Equation à deux inconnues, système

Une équation linéaire à deux inconnues x et y est une équation qui peut s’écrire sous la forme ux +v y = w , où u, v et w sont trois nombres réels.Un couple (x0; y0) de nombres réels sera un couple solution de cette équation si, lorsque l’on remplacex par x0 et y par y0, l’égalité est vérifiée.

Définition

Par exemple, on considère l’équation 2x −4y = 4.

◮ le couple (5;2) n’est pas un couple solution de cette équation, car 2×5−4×2 = 2 6= 4

◮ le couple (4;1) est un couple solution de cette équation, car 2×4−4×1 = 4



En fait, si les nombres u et v sont non nuls, une telle équation admet une infinité de couples solutions,qui sont les coordonnées des points de la droite (d) d’équation y = ax +b, où a =−u

vet b = w

v.

Interprétation graphique des couples solutions

Dans notre exemple,l’ensemble des couples solutions de l’équation 2x−4y = 4est donc constitué des coordonnées des points de ladroite (d) d’équation y = 0,5x −1.

Nous pouvons lire quelques couples solutions de l’équa-tion 2x−4y = 4, comme (4;1) et (−2;−2), ou encore (0;−1)(voir ci-contre), mais on conçoit qu’il existe une infinitéde tels couples (un pour chaque point de la droite (d)).

O1

1

x

y

(d)

(4; 1)

(−2;−2)

(0;−1)

Un système de deux équations linéaires à deux inconnues x et y est un système qui peut s’écrire sous

la forme

ux + v y = w

u′x + v ′y = w ′où u, v , w , u′, v ′ et w ′ sont des nombres réels.

Résoudre un tel système consiste à déterminer, s’il y en a, tous les couples qui sont solutions des deuxéquations à la fois.

Définition

Par exemple,

2x − 4y = 4

x − 3y = 6est un système a deux équations à deux inconnues.

◮ le couple (4;1) n’est pas un couple solution de ce système, car

24− 41= 4

4− 31= 1 6= 6

◮ le couple (−6;−4) est un couple solution de ce système, car

2(−6)− 4(−4)= 4

−6− 3(−4)= 6

14.2 Méthodes de résolution d’un système

Nous allons résoudre par le calcul le système suivant, et ceci de deux manières différentes :

2x − 4y = 4

x − 3y = 6



Première méthode : substitution

Etape 1 : On exprime, grâce à l’une des deux équations, une inconnue enfonction de l’autre. Ici il est facile d’exprimer x en fonction de y grâce à laseconde équation :

2x − 4y = 4

x = 3y +6

Etape 2 : On substitue x par 3y +6 dans la première équation :

2(3y +6)− 4y = 4

x = 3y +6

Etape 3 : On développe, on réduit et on résout l’équation d’inconnue y

ainsi obtenue :

6y +12− 4y = 4

x = 3y +6

2y + 12= 4

x = 3y +6

2y =−8

x = 3y +6

y =−4

x = 3y +6

Etape 4 : On remplace y par sa valeur dans la seconde équation pour trou-ver x

y =−4

x = 3(−4)+6

y =−4

x =−6

Etape 5 : On vérifie que les valeurs trouvées pour x et y conviennent :

2(−6)− 4(−4)= 4

(−6)− 3(−4)= 6

Etape 6 : On conclut : le système admet un unique couple solution, qui est (−6;−4).



Deuxième méthode : élimination par combinaison

Etape 1 : On multiplie une des équations (ou les deux) parun (des) nombre(s) bien choisi(s), de façon que les coefficientsd’une même inconnue soient opposés. Ici on multiplie la se-conde équation par −2 :

2x − 4y = 4

−2x + 6y =−12

Etape 2 : On additionne les deux équations membre à membrepour éliminer l’une des inconnues, et on remplace l’une deséquations (par exemple, ici, la seconde) par l’équation ainsi ob-tenue :

2x −4y = 4

(2x −4y)+ (−2x +6y)= 4+ (−12)

2y − 4y = 4

2y =−8

Etape 3 : On résout l’équation d’inconnue y ainsi obtenue :

2x − 4y = 4

y =−4

Etape 4 : On remplace y par sa valeur dans la première équa-tion pour trouver x

2x − 4(−4) = 4

y =−4

Etape 5 : On résout l’équation d’inconnue x ainsi obtenue :

2x = 4−16

y =−4

2x =−12

y =−4

x =−6

y =−4

Etape 6 : On vérifie que les valeurs trouvées pour x et y

conviennent :

2(−6)− 4(−4) = 4

(−6) − 3(−4) = 6

Etape 7 : On conclut : le système admet un unique couple solution, qui est (−6;−4).



Interprétation graphique

◮ On commence par transformer les deux équa-tions du système, de façon à les mettre sous laforme d’une équation de droite du type (y = ax+b).

2x − 4y = 4

x − 3y = 6

−4y =−2x +4

−3y =−x +6

y = 0,5x −1

y = 13 x −2

◮ Dans un repère, on trace les deux droites corres-pondant à ces deux équations.Soit (d) la droite d’équation y = 0,5x −1,et (d ′) la droite d’équation y = 1

3 x −2

les couples solutions de ce système sont les coor-données des points communs aux deux droites,s’il y en a.

O1

1

x

y

(d)

(d′)

x = −6

y = −4





Chapitre 15

3ème - Fonctions

Extrait du programme de la classe de troisième :


Fonctionlinéaire.

Connaître la notation x 7−→ ax,pour une valeur numérique dea fixée.

La définition d’une fonction linéaire, de coefficient a, s’appuie

sur l’étude des situations de proportionnalité rencontrées dans les

classes précédentes. On pourra recourir à des tableaux de propor-

tionnalité et on mettra en évidence que le processus de correspon-

dance est "je multiplie par a". Pour des pourcentages d’augmen-

tation ou de diminution, une mise en évidence similaire peut être

faite ; par exemple, augmenter de 5% c’est multiplier par 1,05 et di-

minuer de 5% c’est multiplier par 0,95.

Déterminer l’expression algé-brique d’une fonction linéaireà partir de la donnée d’unnombre non nul et de sonimage.

L’étude de la fonction linéaire est aussi une occasion d’utiliser la

notion d’image. On introduira la notation x 7−→ ax, pour la fonc-

tion. À propos de la notation des images f (2), f (−0,25), . . ., on re-

marquera que les parenthèses y ont un autre statut qu’en calcul

algébrique.

Représenter graphiquementune fonction linéaire.Lire sur la représentation gra-phique d’une fonction linéairel’image d’un nombre donnéet le nombre ayant une imagedonnée.

L’énoncé de Thalès permet de démontrer que la représentation

graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’ori-

gine ; cette droite a une équation de la forme y = ax. On interpré-

tera graphiquement le nombre a, coefficient directeur de la droite.

C’est une occasion de prendre conscience de l’existence de fonc-

tions dont la représentation graphique n’est pas une droite (par

exemple, en examinant comment varie l’aire d’un carré quand la

longueur de son côté varie de 1 à 3).




Fonctionaffine.Fonctionaffine etfonctionlinéaireassociée.

Connaître la notationx 7−→ ax + b pour des va-leurs numériques de a et b

fixées.

Déterminer une fonction affinepar la donnée de deux nombreset de leurs images.

Représenter graphiquementune fonction affine.

Lire sur la représentationgraphique d’une fonction affinel’image d’un nombre donnéet le nombre ayant une imagedonnée.

Pour des valeurs de a et b numériquement fixée, le processus de

correspondance sera aussi explicité sous la forme "je multiplie par

a, puis j’ajoute b". La représentation graphique de la fonction af-

fine peut être obtenue par une translation à partir de celle de la

fonction linéaire associée. C’est une droite, qui a une équation de

la forme y = ax +b. On interprétera graphiquement le coefficient

directeur a et l’ordonnée à l’origine b ; on remarquera la propor-

tionnalité des accroissements de x et y .

Pour déterminer la fonction affine associée à une droite donnée

dans un repère, on entraînera les élèves à travailler à partir de deux

points pris sur la droite et à exploiter la représentation graphique.

On fera remarquer qu’une fonction linéaire est une fonction affine.

Des enregistrements graphiques ou des courbes représentatives de

fonctions non affines peuvent servir de support à la construction

de tableaux de valeurs ou à la recherche de particularités d’une

fonction : coordonnées de points, sens de variation sur un inter-

valle donné, maximum, minimum. Aucune connaissance spéci-

fique n’est exigible sur ce sujet.

15.1 Fonction linéaire

15.1.1 Définitions

L’unité de longueur est le centimètre. Notons x la longueur du côté d’un carré et y le périmètre de ce carré.

On trouve :

x 1 0,8 3

y 4 3,2 12×4

On obtient un tableau de proportionnalité : le périmètre d’un carré est proportionnel à son côté et 4 est le

coefficient de proportionnalité. On peut écrire y = 4×x ou y = 4x.

Soit a un nombre quelconque « fixe ».Si, à chaque nombre x, on peut associer son produit par a (c’est à dire y = a × x), alors on définit lafonction linéaire de coefficient a, que l’on notera f : x 7−→ ax.

Définition

La fonction qui, à chaque nombre x, associe le périmètre du carré de côté x est une fonction linéairede coefficient 4, que nous pouvons noter f : x 7−→ 4x. L’image de 0,8 par cette fonction est 3,2, ce quel’on peut noter f (0,8) = 3,2 (et qui se lit " f de 0,8 est égal à 3,2")

Vocabulaire et notation



Remarque : Une fonction linéaire de coefficient a représente une situation de proportionnalité (dans la-

quelle le coefficient de proportionnalité est égal à a). Pour passer d’un nombre à son image, on multiplie

par a.

15.1.2 Représentation graphique d’une fonction linéaire

Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction linéaire de coefficient a est une droitepassant par l’origine du repère.

Propriété

◮ Représenter graphiquement une fonction linéaire

O1

1

−1−2−3 1 2 3 4

1

2

3

1

2

−1

−2

x

y Ci-contre est représentée graphiquement la fonctionlinéaire f de coefficient 0,6, que l’on peut noterf : x 7→ 0,6x

Comme f est une fonction linéaire, sa représen-tation graphique est une droite qui passe par

l’origine du repère .

De plus, pour trouver un second point de cette droite,on peut calculer l’image de 3 : f (3) = 0,6×3= 1,8.

Je place le point de coordonnées (3;1,8) .En fait, voici un tableau de valeurs de cette fonction :

x 0 3

y 0 1,8

◮ Lire sur la représentation graphique d’une fonction linéaire l’image d’un nombre donné et le nombre

ayant une image donnée.

O1

1

−1−2−3 1 2 3 4

1

2

3

4

1

2

3

−1

−2

−3

−4

x

y Ci-contre est représentée graphiquement une fonc-tion linéaire f de coefficient a, que l’on peut noterf : x 7→ ax

Pour lire l’image (par exemple) du nombre 4 surcette représentation graphique, on commence par

repérer le point de la droite dont l’abscisse est 4 ,puis on lit l’ordonnée de ce point. Ici, on peut lireque l’image de 4 est 3 , c’est-à-dire que f (4) = 3De plus, pour trouver le nombre dontl’image est −1,2 par cette fonction li-néaire, on commence par repérerle point de la droite dont l’ordonnée est −1,2 ,

puis on lit l’abscisse de ce point. Ici, on peut lireque le nombre dont l’image est −1,2 est −1,6 ,c’est-à-dire que f (−1,6)=−1,2.



◮ Déterminer le coefficient d’une fonction linéaire, lorsqu’on connaît un nombre et son image

Dans l’exemple précédent, on considère une fonction linéaire de coefficient a inconnu, que l’on note f :

x 7−→ ax. Or nous avons vu que l’image de 4 par cette fonction est égale à 3 ; cela signifie que 3 = a ×4, ce

qui nous permet de déterminer le coefficient de la fonction : a = 34 = 0,75.

Remarque : ce nombre a n’est autre que le coefficient de proportionnalité du tableau suivant :

x 4 −1,6

y 3 1,2×a

Soit (d) la droite qui représente graphiquement la fonction linéaire de coefficient a.On dit alors que a est le coefficient directeur de la droite (d) et que y = ax est une équation de ladroite (d).

Définitions

◮ Interprétation graphique du coeffi-cient directeur :

Soit (d) la droite qui représente graphi-quement la fonction linéaire de coeffi-cient −1,2 ; le coefficient directeur de ladroite (d) est donc −1,2 , et son équa-tion est y =−1,2 x.Graphiquement, voici comment lire lecoefficient directeur :

O1

1

−1−2−3 1 2 3 4

1

2

3

4

1

2

3

−1

−2

−3

−4

x

y

+1

−1.2

+1

−1.2

+1

−1.2

15.1.3 Fonction linéaire et pourcentage

◮ Prendre t% d’un nombre, c’est multiplier ce nombre part

100.

◮ Augmenter un nombre de t%, c’est multiplier ce nombre par

(1+

t

100

).

◮ Diminuer un nombre de t%, c’est multiplier ce nombre par

(1−

t

100

).

Calculer avec des pourcentages

Exemples

◮ Prendre 15% de x c’est effectuer x ×15

100. A cette action, on associe la fonction linéaire x 7→ 0,15×x.



◮ Diminuer un nombre x de 12% c’est effectuer x×(

1−12

100

)= x×0,88. A cette action, on associe la fonction

linéaire x 7→ 0,88×x.

◮ Augmenter un nombre x de 3% c’est effectuer x×(1+

3

100

)= x×1,03. A cette action, on associe la fonction

linéaire x 7→ 1,03×x.

15.2 Fonction affine

15.2.1 Définitions

Soient a et b deux nombres quelconques « fixes ».Si, à chaque nombre x, on peut associer le nombre ax +b, alors on définit une fonction affine, quel’on notera f : x 7−→ ax +b.On dit que x 7→ ax est la fontion linéaire associée à la fonction affine x 7→ ax +b.

Définition

La fonction qui, à chaque nombre x, associe le nombre 2x + 3 est une fonction affine (où a = 2, etb = 3), que nous pouvons noter f : x 7−→ 2x +3. L’image de 5 par cette fonction est 25+3= 13, ce quel’on peut noter f (5) = 13 .

Vocabulaire et notation

Remarque 1 : Pour passer d’un nombre à son image, on multiplie par a, puis on ajoute b.

Remarque 2 : Lorsque b = 0 On obtient f : x 7→ ax, c’est à dire une fonction linéaire.

15.2.2 Représentation graphique d’une fonction linéaire

Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction affine est une droite :– passant par le point de coordonnées (0;b)– qui est parallèle à la droite représentant la fonction linéaire associée

Propriété



◮ Représenter graphiquement une fonction affine

O1

1

−1−2−3 1 2 3 4

11

2

3

4

5

x

y

Ci-contre est représentée graphiquement la fonction

affine f : x 7→ 0,5x + 3Comme f est une fonction affine, sa représen-tation graphique est une droite qui passe par

le point de coordonnées (0; 3 ) .

De plus, pour trouver un second point de cettedroite, on peut calculer, par exemple, l’image de 4 :f (4) = 0,5×4+3= 5.

Je place le point de coordonnées (4;5) .En fait, voici un tableau de valeurs de cette fonction :

x 0 4

y 3 5

Remarquez que la droite représentant cette fonction (x 7−→ 0,5x+3) est parallèle à la droite représentant la

fonction linéaire associée (x 7−→ 0,5x).

◮ Lire sur la représentation graphique d’une fonction affine l’image d’un nombre donné et le nombre

ayant une image donnée.

O1

1

−1−2−3 1 2 3 4

1

2

3

1

2

3

4

−1

−2

x

y Ci-contre est représentée graphiquement une fonc-tion affine f : x 7→ ax +b

Pour lire l’image (par exemple) du nombre −2 surcette représentation graphique, on commence par

repérer le point de la droite dont l’abscisse est −2 ,puis on lit l’ordonnée de ce point. Ici, on peut lireque l’image de −2 est 5 , c’est-à-dire que f (−2) = 5De plus, pour trouver le nombre dont l’image est−1,6 par cette fonction, on commence par repérerle point de la droite dont l’ordonnée est −1,6 ,

puis on lit l’abscisse de ce point. Ici, on peut lireque le nombre dont l’image est −1,6 est 2,4 , c’est-à-dire que f (2,4)=−1,6.

Soit (d) la droite qui représente graphiquement la fonction affine f : x 7−→ ax +b.On dit alors que a est le coefficient directeur de la droite (d), que b est l’ordonnée à l’origine, et quey = ax +b est une équation de la droite (d).

Définitions



◮ Interprétation graphique du coefficient directeur et del’ordonnée à l’origine :

Soit (d) la droite qui représente graphiquement la fonctionaffine x 7−→−0,7x +1,5 ; le coefficient directeur de la droite(d) est donc −0,7 , son ordonnée à l’origine est 1,5 et sonéquation est y =−0,7 x +1,5.Graphiquement, voici comment lire le coefficient directeuret l’ordonnée à l’origine :

O1

1

−1−2−3−4 1 2

11

2

1

x

y

+1

−0, 7

+1

−0, 7

◮ Déterminer l’expression d’une fonction affine, lorsqu’on donne deux nombres et leurs images

Exemple : Déterminer la fonction affine f tel que f (1) = 4 et f (3) = 8.

Une application affine est de la forme x 7→ ax +b.

De f (1) = 4, on tire a1+b = 4, c’est-à-dire a+b = 4 (égalité nr1)

De f (3) = 8, on tire a3+b = 8, c’est-à-dire 3a+b = 8 (égalité nr2)

Calcul de a :

Si on soustrait membre à membre les deux égali-

tés encadrées ci-dessus,

on obtient (a+b)− (3a+b) = 4−8 ,

ce qui nous donne a+b −3a−b =−4,

c’est-à-dire −2a =−4,

ce qui nous permet d’obtenir la valeur de a :

a = −4−2 = 2 .

Calcul de b :

On reprend l’une des deux égalités (nr1 ou nr2), et

on remplace a par la valeur trouvée, pour calculer

la valeur de b :

Comme on a trouvé a = 2, on reprend (par

exemple) l’égalité nr1, et on y remplace a par 2 :

a+b = 4 qui donne 2+b = 4, et donc

b = 4−2= 2 .

La fonction affine recherchée, qui vérifie f (1) = 3 et f (3) = 8, est donc la fonction f : x 7−→ 2x +2

15.2.3 Proportionnalité des accroissements

Une fonction linéaire modélise une situation de proportionnalité ; ce n’est pas le cas d’une fonction affine,

comme on peut s’en convaincre en observant le tableau de valeurs de la fonction f : x 7−→ 0,2x−1, reproduit

ci-dessous :

x 1 2 4 7 11

f (x) −0,8 −0,6 −0,2 0,4 1,2

Ce tableau n’est manifestement pas un tableau de proportionnalité. Cependant, regardons ce qui se passe

lorsque l’on regarde les accroissements de cette fonction :

Lorsque x augmente de . . . 1 2 3 4 5 6 7

alors f (x) augmente de . . . 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

Ce tableau est un tableau de proportionnalité, et le coefficient de proportionnalité est 0,2 !

Ceci nous amène à énoncer la propriété suivante :



Soit f une fonction affine x 7→ ax +b.Si x varie (c’est à dire augmente ou diminue) d’un nombre h, alors son image f (x) varie de ah. Autre-ment dit, si x1 − x2 = h, alors f (x1)− f (x2) = ah : les accroissements de f (x) sont proportionnels auxaccroissements de x, et le coefficient de proportionnalité est a.

Propriété

◮ Déterminer l’expression d’une fonction affine, lorsqu’on donne deux nombres et leurs images (2)

Soit f une fonction affine, telle que f (1) = 5 et f (4)= 7.

Calcul de a :

Comme on sait que les accroissements de f (x)

sont proportionnels aux accroissements de x, et

que le coefficient de proportionnalité est a, on

peut écrire que f (4)− f (1) = a(4− 1), ce qui nous

donne 7−5 = a(4−1), c’est-à-dire a = 7−54−1 = 2

3

Calcul de b :

On sait que f est une fonction affine, et donc qu’on

peut écrire son expression : f : x 7−→ ax+b ; en par-

ticulier, on a f (1) = a1+b. Or, on a vu que a = 23 : on

a donc f (1) = 23 +b. De plus, on sait que f (1) = 5 ;

on a donc 5 = 23 +b, qui donne b = 5− 2

3 = 133

La fonction affine recherchée, qui vérifie f (1) = 5 et f (4) = 7, est donc f : x 7−→ 23 x + 13

3



Troisième partie

Figures géométriques



Chapitre 16

5ème - Parallélogramme



et fonctions)



T3 Réaliser une figure géométrique à partir d’un programme deconstruction

G15 Reconnaître un parallélogramme grâce à sa définition

G16 Construire un parallélogramme

G17 Utiliser les propriétés d’un parallélogramme relatives à ses côtés, sesdiagonales ou ses angles

G18 Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

G19 Reconnaître un parallélogramme particulier (rectangle, losange,carré) grâce à sa définition

G20 Construire un parallélogramme particulier

G21 Utiliser les propriétés des parallélogrammes particuliers

G22 Déterminer la nature d’un parallélogramme particulier

Taux de réussite :

. . . . . . . . . . . . %

Note du chapitre :

. . . . . . . . . . . . /20


. . . . . . . . . . . . /20









16.1 Reconnaître un parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés op-posés parallèles deux à deux

Définition : parallélogramme

Ci-contre, le quadrilatère ABCD est un parallélogramme ; les côtés(AB) et (CD) sont parallèles, tout comme les côtés (AD) et (BC).

A

B

C

D

16.2 Centre de symétrie d’un parallélogramme

Un parallélogramme a un centre de symétrie : le point d’intersection de ses diagonales

Propriété

On dit que ABCD est un parallélogramme de centre O.Par la symétrie de centre O :• C est le symétrique de A• D est le symétrique de B• [CD] est le symétrique de [AB]• [AD] est le symétrique de [BC]

A

B

C

D

O



16.3 Utiliser les propriétés d’un parallélogramme

a) propriété relative à la longueur de ses côtés

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtésopposés sont de la même longueur.

Propriété 1

Les segments [CD] et [AB] sont symétriques par rapport au point O ;or le symétrique d’un segment est un segment de même longueur.Donc [CD] et [AB] ont même longueur, tout comme [AD] et [BC].

A

B

C

D

O

b) propriété relative aux diagonales

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diago-nales se coupent en leur milieu.

Propriété 2

Les points A et B sont les symétriques respectifs de C et D par rapport

au point O ; or dire que deux points sont symétriques par rapport au

point O revient à dire que O est le milieu du segment formé par ces

deux points. Donc O est le milieu de [AC], et aussi celui de [BD]. A

B

C

D

O

c) propriétés relative aux angles

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses anglesopposés ont la même mesure.

Propriété 3

Le symétrique de l’angle �BAD par rapport au point O est l’angle �DCB ;

ils sont donc de même mesureA

B

C

D

O

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses anglesconsécutifs sont supplémentaires (c’est-à-dire que la somme

de leurs mesures vaut 180°).

Propriété 4

Preuve : voir par ailleurs (chapitre "angles et parallélisme")A

B

C

D A + B = 180◦



16.4 Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

Pour cela, on utilise les réciproques des propriétés énoncées ci-dessus :

a) en utilisant la longueur de ses côtés

Si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés dela même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélo-gramme

Propriété 5

ou une variante :

Si un quadrilatère (non croisé) a deux côtés opposés paral-lèles et de même longueur, alors ce quadrilatère est un paral-lélogramme

Propriété 6

AB

CD

AB

CD

b) en utilisant les diagonales

Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur mi-lieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme

Propriété 7

A

B

C

D

O

16.5 Reconnaître un parallélogramme particulier grâce à sa définition

a) Le rectangle

Un rectangle est un quadrilatère qui a tous sesangles droits

Définition : rectangle

Ses côtés opposés sont donc parallèles deux à deux : c’estun parallélogramme particulier. A B

CD



b) Le losange

Un losange est un quadrilatère qui a tous ses côtésde la même longueur

Définition : losange

Ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux :c’est donc un parallélogramme particulier.

A

B

C

D

c) Le carré

Un carré est un quadrilatère qui a tous ses anglesdroits et tous ses côtés de la même longueur

Définition : carré

C’est à la fois un rectangle et un losange ; c’est donc unparallélogramme particulier.

A B

CD

16.6 Utiliser les propriétés des parallélogrammes particuliers

Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes particuliers ; ils en ont donc les propriétés :

– ils ont un centre de symétrie : le point d’intersection de leurs diagonales

– leurs côtés opposés sont de la même longueur deux à deux

– leurs diagonales se coupent en leur milieu.

a) Le rectangle

Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diago-nales sont de la même longueur.

Propriété 8

A B

CD

O

b) Le losange

Si un quadrilatère est un losange, alors ses diago-nales sont perpendiculaires.

Propriété 9

A

B

C

D



c) Le carré

Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonalessont de la même longueur et perpendiculaires.

Propriété 10

A B

CD

16.7 Déterminer la nature d’un parallélogramme particulier (rectangle,losange, carré)

a) Le rectangle

Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle.

Propriété 11

Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle.

Propriété 12

b) Le losange

Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de la même longueur, alors c’est un losange.

Propriété 13

Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.

Propriété 14

c) Le carré

Si un parallélogramme a un angle droit et deux côtés consécutifs de la même longueur, alors c’est uncarré.

Propriété 15

Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur, alors c’est un carré.

Propriété 16



Pour résumer. . .





Chapitre 17

5ème - Triangles



et fonctions)



T3 Construire une figure géométrique aux instruments d’après un pro-gramme de construction

G7 Utiliser le résultat sur la somme des angles dans un triangle (∗)

G8 Utiliser les propriétés relatives aux angles des triangles particuliers (∗)

G9 Utiliser l’inégalité triangulaire (∗)

G10 Construire un triangle connaissant trois longueurs, deux longueurs etun angle ou une longueur et deux angles(∗)

G11 Utiliser la définition de la médiatrice d’un segment ainsi que la carac-térisation de ses points par la propriété d’équidistance (∗)

G12 Tracer la médiatrice d’un segment par différentes méthodes

G13 Construire le cercle circonscrit à un triangle (∗)

G14 Utiliser la définition d’une médiane, d’une hauteur dans un triangle

Taux de réussite :

. . . . . . . . . . . . %

Note du chapitre :

. . . . . . . . . . . . /20


. . . . . . . . . . . . /20









17.1 Somme des mesures des angles dans un triangle

Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est toujours égale à 180°

Somme des angles dans un triangle

Exemple d’utilisation : Calculer la mesure d’un angle dans un triangle

Dans le triangle ABC, la somme des mesures des angles vaut 180° ;

on a ainsi �ABC + �AC B + �C AB = 180°

D’où �ABC +55°+45°= 180°

d’où �ABC +100°= 180°

et donc �ABC = 180°−100°= 80°45◦ 55◦ ?

A

B

C

Visualisation de cette propriété

On colorie chacun des angles �ABC , �BC A et �C AB d’une couleur différente, puis on découpe selon les poin-

tillés (comme indiqué ci-dessous) avant de "recoller" les trois angles pour former un angle plat (qui mesure

donc 180°...)

A

B

C

A

B

C



17.2 Angles et triangles particuliers

– Si un triangle est isocèle, alors ses deux angles à la base sont de même mesure.– Si, dans un triangle, deux angles ont même mesure, alors ce triangle est isocèle.

Le cas du triangle isocèle

– Si un triangle est équilatéral, alors tous ses angles mesurent 60°.– Si, dans un triangle, les trois angles mesurent 60°, alors ce triangle est équilatéral. 60◦ 60◦60◦Le cas du triangle équilatéral

– Si un triangle est rectangle, alors ses deux angles aigus sont complémentaires(c’est-à-dire que la somme de leurs mesures vaut 90°).

– Si, dans un triangle, deux angles sont complémentaires, alors ce triangle est rec-tangle.

Le cas du triangle rectangle

17.3 Utiliser l’inégalité triangulaire

Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autrescôtés.

Inégalité triangulaire

Dans le triangle ABC, on a :

AB<AC+CB

AC<AB+BC

BC<BA+AC

A B

CPlus communément, cette propriété revient àdire que, pour aller du point A au point B, ilest plus court d’aller directement de A à B (en

suivant le segment [AB]) que de passer par C(si celui-ci n’est pas sur le trajet direct, c’est-à-

dire le segment [AB])

Pour vérifier s’il est possible de construire un triangle dont on connaît les longueurs des trois côtés, ilsuffit de vérifier que la longueur du plus grand côté est inférieure à la somme des longueurs des deuxautres.

Vérifier qu’un triangle est constructible



Exemple 1

On veut savoir si le triangle ABC, avec

AB=6cm, AC=4cm et BC=3,5 cm est construc-

tible ou pas.

On prend la longueur du plus long côté :

AB=6 cm

et on compare avec la somme des longueurs

des deux autres côtés :

AC+BC=4+3,5=7,5 cm.

Comme AB<AC+BC, le triangle est construc-

tible.

A B

C6 m4 m 3.5 m

Exemple 2

On veut savoir si le triangle ABC, avec

AB=7cm, AC=4cm et BC=2,5 cm est construc-

tible ou pas.

On prend la longueur du plus long côté :

AB=7 cm

et on compare avec la somme des longueurs

des deux autres côtés :

AC+BC=4+2,5=6,5 cm.

Comme AB>AC+BC, le triangle n’est pas

constructible.

A B6 m4 m 2.5 m– Si un point M appartient au segment [AB], alors on a AB=AM+MB– Si trois points A, B et M sont tels que AB=AM+MB, alors M appartient au segment [AB].

Cas d’égalité

A BC7 m4.5 m 2.5 m Par exemple, ici on a AB=7 cm, AC=4.5 cm et CB=2.5 cm.

On a donc AB=AC+BC, donc C est sur [AB].

(On peut voir ABC comme un "triangle aplati")

17.4 Construction de triangles

Voir page suivante :



◮ Connaissant les longueurs des trois côtés

On cherche à tracer le triangle ABC tel que AB=4,5cm , BC=5,5cm et AC=3cm.

B C5,5 m B C

4.5 m 3 m5,5 m B C

A5,5 m4,5 m 3 m① Traçons le côté le plus long ; ici,

il s’agit de [BC] qui a pour longueur

5,5 cm.

② Traçons deux arcs de cercle : le

premier de centre B et de rayon 4,5

, le second de centre C de rayon 3

③ Le point A est à l’intersection

des deux arcs de cercle ; terminons

en traçant le triangle ABC

◮ Connaissant les longueurs de deux côtés et la mesure de l’angle compris entre ces côtés

On cherche à tracer le triangle ABC tel que AB=4,5cm , AC=6cm et �BAC = 40°.

A C6 m A C40◦

A C40◦ B4.5 m

① Traçons un des côtés dont

la longueur est connue ; ici par

exemple [AC], qui a pour longueur

6 cm.

② Traçons une demi-droite

d’origine A formant un angle de

40°avec la demi-droite [AC)

③ Mesurons 4,5 cm sur cette

demi-droite à partir de A pour pla-

cer le point B ; terminons en tra-

çant le triangle

◮ Connaissant la longueur d’un côté et les mesures des deux angles qui lui sont adjacents

On cherche à tracer le triangle ABC tel que AB=6cm , �BAC= 30°et �ABC = 55°.

A B6 m A B6 m30◦ 55◦A B6 m30◦ 55◦C

① Traçons l’unique côté dont la

longueur est connue ; ici c’est [AB],

qui a pour longueur 6 cm.

② Traçons une demi-droite

d’origine A formant un angle

de 30°avec la demi-droite [AB),

puis une demi-droite d’origine B

formant un angle de 55°avec la

demi-droite [BA)

③ Le point C est à l’intersection de

ces deux demi-droites ; terminons

en traçant le triangle



17.5 Médiatrice d’un segment

La médiatrice d’un segment est la droite qui est perpendiculaire à ce segment et qui passe par sonmilieu.

Définition

– Si un point M est situé sur la médiatrice du segment [AB],alors on est sûr que ce point M est à égale distance des extrémités A et B .

– Si un point M est situé à égale distance des extrémités A et B ,alors on est sûr que ce point M est sur la médiatrice du segment [AB].

Propriété d’équidistance

17.6 Comment construire la médiatrice d’un segment ?

◮ Construction d’une médiatrice à la règle graduée et à l’équerre :

AB

AB

I AB

I

Pour tracer la médiatrice du seg-

ment [AB] :

① on place le point I milieu du seg-

ment [AB]

② on trace la perpendiculaire à

(AB) passant par I

◮ Construction d’une médiatrice à la règle non graduée et au compas :

AB

AB

AB

Pour tracer la médiatrice du seg-

ment [AB] :

① on trace deux cercles de centres

A et B de même rayon, assez grand

② on trace la droite qui joint les

points d’intersection de ces deux

cercles



17.7 Cercle circonscrit à un triangle

Etant donné un triangle quelconque (non aplati), les médiatrices des trois côtés du triangle passentpar un même point ; on dit qu’elles sont concourantes.Le point commun à ces trois médiatrices est le centre d’un cercle passant par les trois sommets dutriangle. Ce cercle est appelé cercle circonscrit au triangle

Propriété et définition

◮ Construction du cercle circonscrit à un triangle

A

B

C

A

B

C

A

B

C

O

Pour tracer le cercle circonscrit à

un triangle :

① on trace les médiatrices de deux

côtés (la troisième n’est pas néces-

saire)

② on trace le cercle en plaçant

la pointe du compas sur le point

d’intersection des médiatrices, et

la mine sur l’un des trois sommets

17.8 Médiane, hauteur dans un triangle

• Dans un triangle, on appelle médiane une droite passant par un sommet du triangle et par le milieudu côté opposé à ce sommet.• Dans un triangle, on appelle hauteur une droite passant par un sommet du triangle et perpendicu-laire au côté opposé à ce sommet.

Définitions

Exemples :

A B

C

I

Dans ce triangle, (AI) est lamédiane issue de A

A B

C

H

Dans ce triangle, (AH) est lahauteur issue de A ; on dit queH est le pied de cette hauteur.

AB

C

H

Dans ce triangle, (AH) est lahauteur issue de A (il a fallu

prolonger le côté [BC] pour

tracer cette hauteur)





Chapitre 18

4ème - Tangente, bissectrice



et fonctions)



G16 Evaluer la distance d’un point à une droite

G17 Reconnaître et tracer la tangente à un cercle en l’un de ses points

G18 Utiliser différentes méthodes pour tracer la bissectrice d’un angle

G19 Construire le cercle inscrit dans un triangle

Taux de réussite :

. . . . . . . . . . . . %

Note du chapitre :

. . . . . . . . . . . . /20


. . . . . . . . . . . . /20









18.1 Evaluer la distance d’un point à une droite

Soit (d) une droite, et A un point du plan n’appartenant pas à la droite (d).La distance du point A à la droite (d) est la plus courte distance possible séparant le point A d’un pointquelconque de la droite (d).Soit (∆) la droite perpendiculaire à la droite (d) passant par A.Si H est le point d’intersection de la droite (d) avec la droite (∆), alors la distance entre le point A et ladroite (d) est la longueur AH.

Définition et propriété

B

C

A

(d)∆

H

A'La distance AH est la distance entre le point A et la

droite (d).

Les distances séparant le point A de n’importe quel

autre point de la droite (d) (comme les distances AB

ou AC par exemple) sont toutes supérieures à la dis-

tance AH.

Preuve :

A’ est le symétrique du point A par rapport à la droite (d) ;

• L’inégalité triangulaire nous permet d’affirmer que AA’<AB+A’B .

• De plus, par définition de la symétrie axiale, on sait que la droite (d) est la médiatrice du segment [AA’].

Or, si un point est situé sur la médiatrice d’un segment, alors ce point est équidistant des extrémités de

ce segment. On en déduit que AB=A’B .

• Par conséquent, on a AA’<2AB .

• Enfin, toujours par définition de la symétrie axiale, on sait que AA’=2AH . On en déduit que 2AH<2AB ,

et donc que AH<AB .

On a démontré que la distance séparant A de H est plus courte que la distance séparant A de n’importe quel

autre point de la droite (d).

18.2 Reconnaître et tracer la tangente à un cercle en l’un de ses points

Soit C une cercle de centre O, et A un point de ce cercle.La tangente au cercle C au point A est la droite passant par A et n’ayant aucun autre point communavec ce cercle.Cette tangente est la droite perpendiculaire en A au rayon [OA].

Définition et propriété



O

A

C

(T)Le point A est sur le cercle C de centre O. La droite

(T) passe par le point A, et elle n’a aucun autre

point commun avec le cercle C : cette droite est

donc la tangente au cercle C en A.

Cette tangente est la droite perpendiculaire en A au

rayon [OA]

18.3 Tracer la bissectrice d’un angle

La bissectrice d’un angle est la droite (ou la demi-droite) qui passe par (ou a pour origine) le sommetde l’angle, et qui partage l’angle en deux angles adjacents de même mesure.

Définition

Tracer une bissectrice avec un rapporteur :

On mesure l’angle à l’aide du rapporteur ; puis on divise cette mesure par 2, et on trace l’angle moitié.

0

180

10

170

20

160

3015040

14050

13060

120

70

110

80

100

90

90

100

80

110

70

120

60

130

5014

04015

030

16020

170

180

0

A

B

C

A

B

C

Tracer une bissectrice à l’aide d’un compas :

On trace deux arcs de cercle de centre A, de même rayon, venant couper les deux côtés de l’angle aux points

I et J ; puis, en prenant pour centres ces deux points, on trace à nouveau deux arcs de même rayon que les

arcs précédents, se croisant en un point D. La bissectrice de l’angle �BAC est la demi-droite [AD).

A

B

C

I

J

A

B

C

I

J

D

A

B

C

I

J

D



18.4 Tracer le cercle inscrit dans un triangle

Nous aurons besoin de cette propriété, admise :

• Si un point est situé sur la bissectrice d’un angle,alors ce point est situé à égale distance des côtés de l’angle.

• Si un point est situé à égale distance des deux côtés d’unangle,alors ce point est situé sur la bissectrice de l’angle.

Propriété

I

K

H

Les bissectrices des angles d’un triangle se croisent en un même point ; on dit qu’elles sont concou-rantes.Le point commun à ces trois bissectrices est le centre du cercle inscrit dans ce triangle : chacun descôtés du triangle est tangent à ce cercle.

Propriété

Illustration :

I

K

H

L

A B

C

Eléments de preuve :

• Le point I est situé sur la bissectrice de l’angle �BAC ; le point I est donc situé à égale distance des côtés

[AB] et [AC] ; on a donc IH=IK

• Le point I est situé sur la bissectrice de l’angle �ABC ; le point I est donc situé à égale distance des côtés

[AB] et [BC] ; on a donc IH=IL

• On en déduit que IH=IK=IL , et donc que les points H,K et L sont sur un cercle C de centre I.

• De plus, la droite (BC) passe par le point I, et est perpendiculaire au rayon [IL] ; le côté [BC] est donc

tangent au cercle C en L, et il en est de même pour les côtés [AB] et [AC]

On en conclut que I est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.



Chapitre 19

6ème - Symétrie axiale



Symétrie orthogonale par rapport à unedroite (symétrie axiale)

-Construire le symétrique d’un point, d’une droite, d’unsegment, d’un cercle (que l’axe de symétrie coupe ou nonla figure).-Construire ou compléter la figure symétrique d’une figuredonnée ou de figures possédant un axe de symétrie à l’aidede la règle (graduée ou non), de l’équerre, du compas, durapporteur.

19.1 Figures symétriques

Deux figures seront dites symétriques par rapport à unedroite (d) si elles se superposent par pliage le long de ladroite (d)

Définition

F1

F2

(d)

La symétrie par rapport à une droite est appelée symétrie orthogonale ou symétrie axiale. La droiteest appelée axe de la symétrie.

Vocabulaire

La figure F1 et la figure F2 se superposent par pliage le long de la droite (d). Elles sont symétriques par

rapport à la droite (d).



On dit aussi que F2 est la figure symétrique de F1 dans la symétrie (orthogonale) d’axe (d), ou encore que

F2 est l’image de F1 dans la symétrie (orthogonale) d’axe (d).

Une droite (d) est un axe de symétrie d’une figuresi les deux parties de la figure se superposent parpliage le long de cette droite.

Définition

(d)

19.2 Symétrique d’un point

Naturellement, on dira qu’un point A et un point A′ sont symétriques par rapport à une droite (d) s’ils se

superposent par pliage le long de cette droite (d). Précisons cela :

On dit que le point A′ est le symétrique du point A par rapport à une droite (d) lorsque la droite (d)est la médiatrice du segment [A A′].

Définition

Construction du symétrique d’un point par rapport à une droite avec l’équerre et le compas :

A

(d)

I

On trace la perpendiculaire à ladroite (d) passant par A.

A

(d)

I

Avec le compas, on pointe aupoint d’intersection de cetteperpendiculaire et de l’axe (surle point I ), on prend l’écar-tement jusqu’au point A (dis-

tance de A à la droite (d)) et onreporte de l’autre côté de l’axesur la perpendiculaire.

A

A′

B

(d)

I

Le point d’intersection est le sy-métrique de A, on le note A′.B Dans le cas où le pointà transformer est sur l’axe, lepoint se transforme en lui-même : le symétrique de B estB .



Construction du symétrique d’un point par rapport à une droite avec le compas seul :

A

(d)

On prend un écartement quel-conque de compas mais assezgrand pour que l’arc de cercletracé avec le compas pointé enA rencontre (d) en deux points.

A

(d)

Ensuite on complète le tracécomme pour faire un losange :on garde l’écartement en ontrace deux arcs de cercle à par-tir des points formés.

A

(d)

A′

leur intersection est le symé-trique de A par rapport à (d)

Construction du symétrique d’un point par rapport à une droite avec le compas seul (2) :

A

(d)

M

N

On prend deux points distinctsquelconques M et N sur ladroite (d).

A

(d)

M

N

On prend le compas on trace lecercle de centre M passant parA puis le cercle de centre N etpassant par A.

A

(d)

M

N

A′

Ces deux cercles se coupentbien entendu en A et aussi enA′ symétrique de A par rapportà (d).

19.3 Symétrique de figures, propriétés de conservation

19.3.1 Segments

Le symétrique d’un segment par rapport à un axe (d) est un segment de même longueur. Le symé-trique du milieu d’un segment est le milieu du segment symétrique.

Propriété



Illustration :

A

B

I

(d)

A′

B′

I ′

Si le segment n’est pas sécant à l’axe, il suffitde construire les symétriques des extrémitésde ce segment.

A

B

I

(d)

A′

B′

I ′

Si le segment est sécant à l’axe, il suffit deconstruire les symétriques des extrémités dece segment en prenant bien garde à "passer"de l’autre côté de l’axe pour chaque point.

19.3.2 Droites

Le symétrique d’une droite par rapport à un axe (d) est une droite.

Propriété

Illustration :

A

B

(d)

A′

B′

Si la droite est sécante à l’axe,il suffit de construire le symé-trique de deux points de ladroite, ou alors d’un point dis-tinct de l’intersection.

A

B

(d)

A′

B′

Si la droite est parallèle à l’axe(d), alors la droite symétriquele sera égaement.

A

B

(d)

A′B′

Si la droite est perpendiculaireà l’axe, alors la droite et sa sy-métrique sont confondues.



19.3.3 Cercle

Le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon et qui a pour centre le symétrique du centredu premier cercle.

Propriété

Illustration :

O

(d)

O′

O

(d)

O′

Il suffit de construire le symétrique O′ du point O, centre du cercle, et de tracer le cercle de même rayon et

de centre O′.

19.3.4 Autres propriétés

◮ Deux figures symétriques ont la même aire et le même périmètre.◮ Deux angles symétriques ont même mesure.

Propriété

19.4 Construire le symétrique d’une figure

Pour construire le symétrique d’une figure, on construit les symétriques de plusieurs de ses points et on

utilise les propriétés de conservation.

(d)

A

A′

B

B′

C

C ′

D

D′

E

E′



19.5 Symétrie axiale et figures usuelles

19.5.1 Segments et angles

◮ La médiatrice d’un segment est un axe de symétrie de ce segment.◮ La bissectrice d’un angle est l’axe de symétrie de cet angle.

Propriété

A

B

C

A

B′

( )

I

19.5.2 Cercles

Toutes les droites passant par le centre d’un cercle sont des axes de symétriesde ce cercle.

Propriété

0

19.5.3 Axes de symétries des triangles et quadrilatères particuliers

B C

A

Un triangle isocèle a un axe de symétrie : lamédiatrice de sa base. Cet axe est aussi la bis-sectrice de son angle principal.

Dans un triangle isocèle, les angles à labase sont de même mesure.

Propriété

B C

A

Un triangle équilatéral a trois axes de symé-trie : les médiatrice de ses côtés. Ces axes sontaussi les bissectrices de ses angles.

Dans un triangle équilatéral, les anglesont la même mesure (60◦).

Propriété



D B

A

C

Un cerf-volant a un axe de symétrie : sagrande diagonale.

Dans un cerf-volant, les diagonales sontperpendiculaires.

Propriété

D B

A

C

Un losange a deux axes de symétrie : ses dia-gonales.

Dans un losange, les diagonales sontperpendiculaires et se coupent en leurmilieu.

Propriété

D C

BA

Un rectangle a deux axes de symétrie : les mé-diatrices de ses côtés.

Dans un rectangle, les diagonales secoupent en leur milieu et elles ont lamême longueur.

Propriété

D C

BA

Un carré a quatre axes de symétrie : ses dia-gonales et les médiatrices de ses côtés.

Dans un carré, les diagonales se coupenten leur milieu, sont perpendiculaires etont la même longueur.

Propriété





Chapitre 20

5ème - Symétrie centrale



et fonctions)



T3 Réaliser aux instruments une figure géométrique en suivant un pro-gramme de construction

G1 Construire le symétrique d’un point par une symétrie centrale ∗

G2 Construire le symétrique d’un segment, d’une droite, d’un cercle ∗,d’une demi-droite par une symétrie centrale

G3 Construire ou compléter la figure symétrique d’une figure donnée parune symétrie centrale ∗

G4 Mettre en évidence le centre de symétrie d’une figure

G5 Construire ou compléter une figure ayant un centre de symétrie ∗

G6 Connaître et utiliser les propriétés de la symétrie centrale

Taux de réussite :

. . . . . . . . . . . . %

Note du chapitre :

. . . . . . . . . . . . /20


. . . . . . . . . . . . /20∗ : cette compétence fait partie du socle commun de connaissances.








20.1 Figures symétriques dans une symétrie centrale

Deux figures F et F′ seront dites symétriques par rapport à un point O si elles se superposent par

demi-tour autour du point O.

Figures symétriques

F

F′

b

A

b

B

b

C

b

D

b

E

b

O

b A′

b

B ′

b

C ′b

D ′

b

E ′

b

b

b

b

b

Les figures F et F′ se superposent par demi-tour autour du point O : elles sont symétriques par rapport au

point O. On dit aussi que la figure F′ est l’image de la figure F par la symétrie centrale de centre O.

Par ce demi-tour, le point A et le point A′ se superposent ; on dit que les points A et A′ sont symétriques par

rapport au point O, ou encore que A′ est l’image du point A par la symétrie de centre O.



On remarque que tous les segments ayant pour extrémités un point et son image (comme [A A′], [BB ′], etc)

passent par le point O.

Mieux : le point O est le milieu de chacun des segments [A A′], [BB ′], etc

20.2 Symétrique d’un point

L’image du point A par la symétrie centrale de centre O est le point A′ tel que O soit le milieu de [A A′].

Symétrique d’un point

20.2.1 Construire le symétrique d’un point

A l’aide d’un quadrillage :

A

O

A

O4 arreaux 3 arreauxA

O

A'4 arreaux3 arreauxOn veut tracer le symétrique dupoint A par rapport au point O

Pour aller de A à O on se dé-place :– horizontalement, de 4 car-

reaux vers la droite– verticalement, de 3 carreaux

vers le haut

On se place en O et on effec-tue le déplacement précédent ;la position finale est celle dupoint A′, symétrique de A parrapport au point O.

Sur papier uni :

A

O

A

O

A

O

A′

On veut tracer le point A′ symé-trique du point A par rapportau point O

On trace la demi-droite [AO), On reporte (au compas) la lon-gueur AO sur la demi-droite[AO) à partir de O, pour trouverla position du point A′.



20.3 Propriétés de la symétrie centrale

20.3.1 Construire le symétrique d’un segment, d’une droite, d’un cercle, d’une demi-droite

L’image d’un segment par une symétrie centrale est un segment de même longueur.On dit que la symétrie centrale conserve les longueurs.

Image d’un segment par une symétrie centrale

Pour tracer le symétrique d’un segment, il suffit de tracer les symétriques de ses extrémités :

A

O

B

A

O

BA′

B′A

O

BA′

B′

On veut tracer le symétriquedu segment [AB] par rapport aupoint O

On trace les symétriques desextrémités A et B du segment

On trace le segment [A’B’] ob-tenu, symétrique du segment[AB]

L’image d’une droite par une symétrie centrale est une droite qui lui est parallèle.On dit que la symétrie centrale conserve l’alignement des points.

Image d’une droite par une symétrie centrale

Pour tracer le symétrique d’une droite, il suffit de tracer les symétriques de deux de ses points :

A

OB

(d)

A

OB

A' B'(d)

A

OB

A' B'(d)

(d′)

On veut tracer le symétriquede la droite (d) par rapport aupoint O ; on prend deux pointsA et B sur cete droite.

On trace les symétriques despoints A et B

On trace la droite (d’), symé-trique de la droite (d), obtenueen joignant les points A’ et B’

Remarque : si le point O est sur la droite (d), alors la droite (d) est sa propre symétrique.

L’image d’une demi-droite par une symétrie centrale est une demi-droite.

Image d’une demi-droite par une symétrie centrale

Pour tracer le symétrique d’une demi-droite, il suffit de tracer le symétrique de son origine, ainsi que le

symétrique de l’un de ses points.



L’image d’un cercle par une symétrie centrale est un cercle de même rayon.

Image d’un cercle par une symétrie centrale

Pour tracer le symétrique d’un cercle, il suffit de tracer le symétrique de son centre :

A

OC

R

A

OC

A'R

A

OC

A' C′

R

R

On veut tracer le symétrique ducercle C de centre A et de rayonR par rapport à O

On trace le symétrique ducentre A du cercle

On trace le cercle de centre A’ etde rayon R

L’image d’un angle par une symétrie centrale est un angle de même mesure.On dit que la symétrie centrale conserve les angles.

Image d’un angle par une symétrie centrale

Pour tracer le symétrique d’un angle, il suffit de tracer les symétriques de son sommet et de ses côtés :

A

O

A

OB

C A' B'C'A

OB

C A' B'C'On veut tracer le symétriquede l’angle �BAC par rapport aupoint O

On trace le symétrique du som-met A de l’angle, ainsi que despoints B et C, situés chacun surun côté de l’angle

On trace l’angle �B’A’C’





Chapitre 21

4ème - Triangle rectangle et cercle circonscrit



et fonctions)



G8 Tracer le cercle circonscrit d’un triangle quelconque, d’un trianglerectangle

G9 Démontrer qu’un point est sur un cercle en utilisant la propriété del’angle droit

G10 Calculer la longueur de la médiane issue de l’angle droit dans un tri-angle rectangle

G11 Démontrer qu’un triangle est rectangle en utilisant son cercle cir-conscrit

G12 Démontrer qu’un triangle est rectangle en utilisant ses médianes

Taux de réussite :

. . . . . . . . . . . . %

Note du chapitre :

. . . . . . . . . . . . /20


. . . . . . . . . . . . /20









21.1 Rappels : médiatrices, médianes

La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.

Définition

– Si un point est situé sur la médiatrice d’un segment,alors on est sûr que ce point est situé à égale distance des extrémités de ce segment.

– Si un point est situé à égale distance des extrémités d’un segment,alors on est sûr que ce point est situé sur la médiatrice de ce segment.

Propriété d’équidistance

Méthodes de construction de la médiatrice d’un segment :

◮ Construction d’une médiatrice à la règle graduée et à l’équerre :

AB

AB

I AB

I

Pour tracer la médiatrice du

segment [AB] :

① on place le point I milieu du

segment [AB]

② on trace la perpendiculaire à (AB)

passant par I



◮ Construction d’une médiatrice à la règle non graduée et au compas :

AB

AB

AB

Pour tracer la médiatrice du

segment [AB] :

① on trace deux cercles de centres A

et B de même rayon, assez grand

② on trace la droite qui joint les

intersections de ces deux cercles

Dans un triangle, on appelle médiane une droite passant par un sommet du triangle et par le milieudu côté opposé à ce sommet.

Définition

21.2 Tracer le cercle circonscrit d’un triangle

Dans un triangle quelconque (non aplati), les médiatrices des troiscôtés du triangle se rencontrent en un même point ; on dit qu’ellessont concourantes.Le point commun à ces trois médiatrices est le centre d’un cercle C

passant par les trois sommets du triangle. Ce cercle est appelé cerclecirconscrit au triangle. On dit aussi que le triangle est inscrit dansle cercle C A

B

C

O

C

Cercle circonscrit à un triangle

Dans le cas d’un triangle rectangle, laconstruction du cercle circonscrit est beau-coup plus simple, grâce au théorème suivant :

Si un triangle est rectangle,alors le centre de son cercle circonscrit est le milieude l’hypoténuse.

Théorème 1

Voir la preuve de ce résultat par ailleurs. . .

Illustration :

A

B

C

O

C



21.3 Démontrer qu’un point est sur un cercle

Une seconde formulation du théorème 1 s’énonce ainsi :

Si un triangle est rectangle, alors il est inscrit dans le cercle dont le diamètre est l’hypoténuse.

Théorème 2

21.4 Calculer la longueur d’une médiane issue du sommet de l’angledroit dans un triangle rectangle

Une troisième formulation du théorème 1, utilisant cette fois la médiane issue du sommet de l’angle droit,

s’énonce ainsi :

Si un triangle est rectangle, alors la médiane issue du sommet de l’angle droit a pour longueur lamoitié de la longueur de l’hypoténuse.

Théorème 3

En effet, le segment [CO], qui est la médiane issue du sommet de l’angle droit, est un rayon du cercle C

circonscrit au triangle ABC. Or le segment [AB] est un diamètre de ce cercle. On a donc bien CO =AB

2

21.5 Démontrer qu’un triangle est rectangle en utilisant son cercle cir-conscrit

Nous pouvons formuler une réciproque du théorème 1 en ces termes :

Si, dans un triangle, le milieu d’un côté est le centre du cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle,et ce côté est l’hypoténuse.

Théorème 4

Tout comme nous pouvons formuler une réciproque du théorème 2 :

Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre un de ses côtés, alors ce triangle estrectangle, et ce côté est l’hypoténuse.

Théorème 5

21.6 Démontrer qu’un triangle est rectangle en utilisant ses médianes

Enfin, nous pouvons énoncer une réciproque du théorème 3 :

Si, dans un triangle, la longueur d’une médiane est égale à la moitié de la longueur du côté correspon-dant, alors ce triangle est rectangle, et ce côté est l’hypoténuse.

Théorème 6



Chapitre 22

4ème - Théorème de Pythagore



et fonctions)



T2 Réaliser une figure géométrique aux instruments d’après un pro-gramme de construction ∗

G5 Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur d’un côtédans un triangle rectangle ∗

G6 Utiliser le théorème de Pythagore pour démontrer qu’un trianglen’est pas rectangle ∗

G7 Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour démontrerqu’un triangle est rectangle ∗

Taux de réussite :

. . . . . . . . . . . . %

Note du chapitre :

. . . . . . . . . . . . /20


. . . . . . . . . . . . /20









22.1 Vocabulaire et notations

– On dit qu’un triangle est rectangle si l’un de ses trois angles est un angle droit.– Dans un triangle rectangle, le côté opposé au sommet de l’angle droit est appelé hypoténuse ; c’est

le côté le plus long du triangle.

Définitions

C

B

A

HypoténuseC�tés de l'angle droit

Le carré d’un nombre positif a est égal au produit du nombre a par lui-même.On note a2 = a×a, et on prononce "a au carré".

Carré d’un nombre positif

Exemples :

◮ Le carré de 8 se note 82 et est égal à 8× 8 = 64. B Ne pas confondre avec le double de 8, qui vaut

8+8 = 2×8= 16 ! !

◮ Le carré de 5,3 est 5,32 = 5,3×5,3= 28,09 ◮ Le carré de2

7est

(2

7

)2

=2

7×

2

7=

4

49

On appelle carré parfait le carré d’un nombre entier positif. Voici la liste des quinze premiers carrés par-

faits :

Nombre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Carré 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225



Utiliser sa calculatrice

◮ Pour déterminer le carré d’un nombre positif, on utilise la touche x2 :

pour calculer le carré de 2,5 on tape la séquence 2 . 5 x2 EXE

et la calculatrice affiche

2.52

6.25 d’où 2,52 = 6,25

◮ Pour déterminer le nombre positif dont on nous donne le carré, on utilise la touchep

1 , que l’on

atteint en tapant SHIFT x2 . Pour calculer le nombre positif dont le carré est égal à 441, on tape la

séquencep

1 4 4 1 EXE

et la calculatrice affiche

p1(441)

21 d’oùp

441= 21

22.2 Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur d’uncôté dans un triangle rectangle

Si un triangle est rectangle,alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deuxcôtés de l’angle droit.

Théorème de Pythagore

Exemples d’utilisation

◮ Calculer la longueur de l’hypoténuse

E

T

N7 9?On sait que le triangle ENT est rectangle en N. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore :

ET2 =NT2+NE2

En remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs, on obtient :

ET2 = 92 +72

ET2 = 81+49

ET2 = 130

En utilisant la touchep

1 de la calculatrice, on trouve :

ET=p

130≈ 11,4

Donc la longueur du côté [ET] est 11,4 environ.



◮ Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit

M

A

G? 513On sait que le triangle MAG est rectangle en G. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore :

MA2 =GM2+GA2

En remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs, on obtient :

132 =GM2 +52

169=GM2 +25

GM2 = 169−25

GM2 = 144

En utilisant la touchep

1 de la calculatrice, on trouve :

GM=p

144= 12

Donc la longueur du côté [GM] est 12.

22.3 Utiliser le théorème de Pythagore pour démontrer qu’un trianglen’est pas rectangle

A

B

C

12 m6 m 9 m◮ Démontrons que ce triangle n’est pas rectangle

Le côté le plus long est [AB] ; si le triangle était rectangle, ce côté serait l’hypoténuse.

D’une part, on a AB2 = 122 = 144.

D’autre part, on a CB2+CA2 = 92 +62 = 81+36= 117.

On constate que AB2 6=CA2+CB2.

Si le triangle était rectangle, d’après le théorème de Pythagore, on aurait l’égalité AB2 =CA2+CB2.

Ce n’est pas le cas, donc le triangle ABC n’est pas rectangle.



22.4 Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour démontrerqu’un triangle est rectangle

Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus long côté est égal à la somme des carrés des lon-gueurs des deux autres côtés,alors ce triangle est rectangle, et le côté le plus long est l’hypoténuse.

Réciproque du théorème de Pythagore

M

T

E

20 m16 m 12 m◮ Démontrons que ce triangle est rectangle

Le côté le plus long est [MT] ; si le triangle était rectangle, ce côté serait l’hypoténuse.

D’une part, on a MT2 = 202 = 400.

D’autre part, on a EM2+ET2 = 162 +122 = 256+144= 400.

On constate que MT2 =EM2+ET2.

Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ETM est rectangle en E.





Chapitre 23

4ème - Triangles : théorème des milieux



et fonctions)



T2 Réaliser aux instruments une figure géométrique en suivant un pro-gramme de construction

G1 Utiliser le théorème des milieux pour démontrer que deux droitessont parallèles ∗

G2 Utiliser le théorème des milieux pour calculer une longueur ∗

G3 Utiliser la réciproque du théorème des milieux pour démontrer qu’unpoint est le milieu d’un segment

Taux de réussite :

. . . . . . . . . . . . %

Note du chapitre :

. . . . . . . . . . . . /20


. . . . . . . . . . . . /20

∗ : cette compétence fait partie du socle commun de connaissances.








23.1 Utiliser le théorème des milieux pour démontrer que deux droitessont parallèles.

Dans un triangle, la droite joignant les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.

Premier théorème des milieux

Exemple :

Dans le triangle MNP, E est le milieu de [MN], F est le milieu de [MP] ;

Or on sait que, dans un triangle, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.

On peut donc en conclure que les droites (EF) et (NP) sont parallèles.

MN

P

E

F=⇒

MN

P

E

F

23.2 Utiliser le théorème des milieux pour calculer des longueurs.

Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de lalongueur du troisième côté.

Second théorème des milieux

Exemple :

On a tracé le triangle TRI tel que TR= 6 cm, RI= 5 cm et TI= 7 cm.

Dans ce triangle, M est le milieu de [TI], N est le milieu de [IR] ;

Or on sait que, dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la

moitié de la longueur du troisième côté.

On peut donc en conclure que la longueur du segment [MN] est égale à la moitié de celle du côté [TR] :

MN=TR

2=

6

2= 3 cm.



M

N

T

R

I7 m6 m 5 m =⇒

M

N

T

R

I

3 m6 m23.3 Utiliser la réciproque du théorème des milieux pour montrer qu’un

point est milieu d’un segment.

Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté, alorselle coupe le troisième côté en son milieu.

Réciproque du premier théorème des milieux

Exemple :

On a tracé le triangle HGD tel que O soit le milieu de [HD], et on a tracé la droite (d) parallèle au côté [HG]

passant par O ; cette droite coupe le côté [GD] en un point P.

Or on sait que, dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté, et est parallèle à un deuxième

côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

On peut donc en conclure que la droite (d) coupe le côté [GD] en son milieu, et donc que P est le milieu de

[GD].

H

G

D

O

P

(d) =⇒

H

G

D

O

P

(d)





Chapitre 24

3ème : configuration de Thalès

24.1 Pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle

Soient deux droites (MB) et (NC ) sécantes en un point A, telles que les droites (M N ) et (BC ) soientparallèles. Alors les rapports suivants sont égaux : AM

AB= AN

AC= M N

BC(autrement dit, les longueurs des

côtés des triangles AM N et ABC sont proportionnelles).

Théorème de Thalès :

Autrement dit, si la droite (MN) est parallèle à la droite (BC), alors les longueurs des côtés du triangle AMN

sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle AMN, et on a le tableau de proportionnalité sui-

vant :

Côtés du triangle ABC AB AC BC

Côtés du triangle AMN AM AN MN

A

B

C

M

N

S

M LIN

Sommet ommunC�tés parallèles

Attention à écrire correctement lestrois rapports !– Aux numérateurs, les longueurs des

côtés du premier triangle.– Aux dénominateurs, les longueurs des

côtés associés du second triangle.– Pour les deux premiers rapports, il est

pratique d’écrire les côtés partant dusommet commun

SN

SM=

SI

SL=

NI

ML



Pour calculer une longueur grâce à ce théorème :

Supposons que, sur la figure ci-dessus, on ait SM=10 cm, SN=6 cm, SL=8 et NI=4,5 cm.

Comme N∈[SM], I∈[SL] et que (NI) est parallèle à (ML), on peut appliquer le théorème de Thalès :SN

SM=

SI

SL=

NI

MLsoit, en remplaçant les longueurs des côtés par leurs valeurs,

6

10=

SI

8=

4,5

ML

◮ De l’égalité6

10=

SI

8, on peut tirer la valeur de SI :

6

10=

SI

8donne 6×8 = 10×SI d’où 48= 10×SI et donc SI =

48

10= 4,8 cm .

◮ De l’égalité6

10=

4,5

ML, on peut tirer la valeur de ML :

6

10=

4,5

MLdonne 6×ML = 10×4,5 d’où 6×ML = 45 et donc ML =

45

6= 7,5 cm .

24.2 Pour démontrer que deux droites sont parallèles

Si les points M , A et B d’une part, et les points N , A et C d’autre part, sont alignés dans le même ordre,et si les rapports AM

ABet AN

ACsont égaux, alors les droites (M N ) et (BC ) sont parallèles.

Réciproque du théorème de Thalès

Ex : Les points M , A et B d’une part, et les points N , A et C

d’autre part, sont alignés dans le même ordre. De plus, AM = 5,AN = 6, AB = 7,5 et AC = 9.On calcule : AM

AB= 5

7,5 = 23 d’une part, et AN

AC= 6

9 = 23 d’autre part.

On constate que AMAB

= ANAC

; d’après la réciproque du théorèmede Thalès, les droites (M N ) et (BC ) sont parallèles.

AB

C

M

N

5 cm

6cm

7,5 cm

9cm

24.3 Pour démontrer que deux droites ne sont pas parallèles

Soient deux droites (MB) et (NC ) sécantes en un point A. Si les rapports AMAB

et ANAC

ne sont pas égaux,alors les droites (M N ) et (BC ) ne sont pas parallèles.

Contrapposée du théorème de Thalès

Ex : ABC est un triangle, M ∈ [AB], N ∈ [AC ], AM = 5, AN = 6,AB = 8, AC = 9.On calcule : AM

AB= 5

8 d’une part, et ANAC

= 69 = 2

3 d’autre part. On

constate que AMAB

6= ANAC

; Or, si les droites (M N ) et (BC ) étaientparallèles, le théorème de Thalès nous dirait que cette égalité estvraie. Comme ce n’est pas le cas, on peut en conclure que lesdroites ne sont pas parallèles.

AB

C

M

N

5 cm

6cm

8 cm

9cm



Chapitre 25

3ème - Géométrie dans l’espace

Extrait du programme de la classe de 3ème :


Sphère - Savoir que la section d’une sphèrepar un plan est un cercle.- Savoir placer le centre de ce cercleet calculer son rayon connaissant lerayon de la sphère et la distance duplan au centre de la sphère.- Représenter une sphère et certainsde ses grands cercles.

On mettra en évidence les grandscercles de la sphère, les couples depoints diamétralement opposés.On examinera le cas particulier où leplan est tangent à la sphère.On fera le rapprochement avec lesconnaissances que les élèves ont déjàde la sphère terrestre, notammentpour les questions relatives aux mé-ridiens et aux parallèles.

Problèmes de sectionsplanes de solides

- Connaître la nature des sectionsdu cube, du parallélépipède rectanglepar un plan parallèle à une face, à unearête.- Connaître la nature des sections decylindre de révolution par un planparallèle ou perpendiculaire à sonaxe.- Représenter et déterminer les sec-tions d’un cône de révolution etd’une pyramide par un plan parallèleà la base.

Des manipulations préalables (sec-tions de solides en polystyrène parexemple) permettent de conjecturerou d’illustrer la nature des sectionsplanes étudiées.Ce sera une occasion de faire des cal-culs de longueur et d’utiliser les pro-priétés rencontrées dans d’autre ru-briques ou au cours des années anté-rieures.À propos de pyramides, les activitésse limiteront à celles dont la hauteurest une arête latérale et aux pyra-mides régulières qui permettent deretrouver les polygones étudiés parailleurs.



25.1 Sphère et boule ; section d’une sphère par un plan

Si O est un point de l’espace et R est un nombre positif donné :• La sphère de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace situés à une distance de O

exactement égale à R .• La boule de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace situés à une distance de O

inférieure ou égale à R .• Un grand cercle d’une sphère de centre O et de rayon R est un cercle de centre O et de rayon R .

Définitions

RR

R

bO

b

S

b N

b A

bB

bC

A, B , C sont des points de la sphère, et O estle centre de cette sphère, qui a pour rayonR =OA =OB =OC .Le segments [NS] est un diamètre de lasphère.Deux grands cercles de la sphère sont tracésici, dont l’un d’eux a pour diamètre [NS]

Si on imagine que cette sphère représente le globe terrestre, alors les points N et S seraient les pôles Nord

et Sud ; le grand cercle qui passe par les deux pôles serait un méridien, et l’autre grand cercle (situé dans

un plan perpendiculaire à l’axe des pôles) serait l’équateur. Tout point de la surface du globe terrestre est

repéré par deux nombres, appelés longitude (calculée par rapport à un méridien bien particulier, celui de

Greenwich) et latitude (calculée par rapport à l’équateur) : voir par ailleurs.

Aire d’une sphère, volume d’une bouleSi R est un nombre positif donné : • L’aire d’une sphère de rayon R est égale à 4πR2.

• Le volume d’une boule de rayon R est égal à4

3πR3.

Propriétés

Exemples :

– L’aire d’une sphère de rayon 7 cm est égale à : 4×π×72 = 196π≃ 616 cm2

– le volume de la boule de même rayon 7 cm est égal à : 43 ×π×73 = 1372

3 ×π≃ 1437 cm3

La section d’une sphère par un plan est un cercle.

Propriété

Plus précisément, considérons une sphère de centre O et de rayon R .

On se donne un plan P , et on appelle [NS] le diamètre de la sphère perpendiculaire au plan P . Enfin, soit

H le point d’intersection de (NS) et de P .



On dit que OH est la distance du centre O au plan P . Plusieurs cas se présentent, selon la valeur de la dis-

tance OH :

◮ lorsque 0<OH < R , la section de la sphèrede centre O et de rayon R par le plan P est uncercle de centre H . Pour tout point M de cecercle, le triangle HOM est rectangle en H .

Calculons le rayon r de ce cercle en ap-pliquant le théorème de Pythagore dans letriangle HOM rectangle en H :OM2 = HO2 +H M2 soit R2 = HO2 + r 2

donc r =p

R2 −OH2

Exemple :Soit S la sphère de centre O et de rayonR = 5 cm coupée par un plan P tel queOH = 3 cm. La section obtenue est le cerclede centre H et de rayon r = 4 cm, carr =

pR2 −OH2 =

p52 −32 =

p16= 4.

Fig. 1 : cas où 0 <OH < R

◮ lorsque OH = 0 , le cercle de section a même centre O et même rayon que la sphère : c’estalors un grand cercle de la sphère, il partage la sphère en deux hémi-sphères (voir Fig. 2)

◮ lorsque OH = R , le cercle de section a pour rayon 0 : il est réduit à un point. On dit que leplan P est tangent à la sphère en S (voir Fig. 3).

◮ lorsque OH > R , le plan P ne coupe pas la sphère.

Fig. 2 : cas où OH = 0 Fig. 3 : cas où OH = R



25.2 Section d’un cube, d’un pavé, d’un cylindre par un plan

La section d’un cube par un plan parallèle àune face est un carré :

Propriété

La section d’un cube par un plan parallèle àune arète est un rectangle :

Propriété

La section d’un pavé par un plan parallèle àune face est un rectangle :

Propriété

La section d’un pavé par un plan parallèle àune arète est un rectangle :

Propriété



La section d’un cylindre par un plan parallèleà la base est un cercle de même rayon que lecercle de base :

Propriété

La section d’un cylindre par un plan parallèleà l’axe est un rectangle :

Propriété

25.3 Section d’une pyramide, d’un cône par un plan

La section d’un cône par un plan parallèle à labase est un cercle :

Propriété

Ce cercle de section est une réduction du cercle

de base ; le coefficient de réduction k est égal àk = AO′

AO.

Le rayon de ce cercle de section est alors égal àk ×R

Voici la section d’une pyramide par un planparallèle à la base :

Le polygone de section A′B ′C ′D ′ est une réduc-tion du polygone de base ABC D ; le coefficientde réduction k est égal à k = E A′

E A= EB ′

EB= . . . .

Les longueurs des côtés de ce polygone de sec-tion sont alors égales à celles des côtés du poly-gone de base, multipliées par k : A′B ′ = k × AB ,etc.





Quatrième partie

Grandeurs géométriques



Chapitre 26

4ème - Proportionnalité



et fonctions)



F1 Calculer une quatrième proportionnelle

F2 Effectuer des calculs faisant intervenir des pourcentages

F3 Utiliser, dans un repère du plan, la caractérisation de la proportion-nalité par l’alignement de points avec l’origine

F4 Calculs de vitesses, distances et durées grâce à la formule d = v × t

Taux de réussite :

. . . . . . . . . . . . %

Note du chapitre :

. . . . . . . . . . . . /20


. . . . . . . . . . . . /20









26.1 Proportionnalité

Deux grandeurs sont dites proportionnelles si on passe des valeurs de l’une aux valeurs de l’autre enmultipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.

Définition

On présente souvent les situations de proportionnalité à l’aide d’un tableau ; par exemple :

Grandeur 1 5 11

Grandeur 2 12 24,2×2,2

125 = 24,2

11 = 2,2

ce tableau est un tableau de proportionnalité, et le coefficient de proportionnalité est égal à 2,2.

On peut ajouter une nouvelle colonne à un tableau de proportionnalité en multipliant l’une des colonnes

par un nombre non nul :

Grandeur 1 5 11 15

Grandeur 2 12 24,2 36

×3

×3

On peut ajouter une nouvelle colonne à un tableau de proportionnalité en additionnant deux de ses co-

lonnes :

Grandeur 1 5 11 16

Grandeur 2 12 24,2 36,2

26.2 Calculer une quatrième proportionnelle

Pour compléter un tableau de proportionnalité tel que celui-ci :

Grandeur 1 5 21

Grandeur 2 12 x

on peut aussi appliquer la propriété des produits en croix égaux :

On a12

5=

x

21et donc 12×21= 5×x et ainsi x =

12×21

5ce qui donne x = 50,4



26.3 Pourcentages

1. Calculer un pourcentage

Dans une classe de 24 élèves on trouve 15 garçons ; pour déterminer le pourcentage que représentent

les garçons dans la classe, on peut compléter le tableau de proportionnalité suivant :

15 x

24 100

ce qui donne x =15×100

24et donc x = 62,5.

Les garçons représentent 62,5% des élèves de la classe

2. Appliquer un pourcentage

Dans un bureau de vote, il y a eu 450 votants, et 40% d’entre eux ont voté pour le candidat A ; pour

déterminer combien de voix le candidat A a recueilli dans ce bureau de vote, on peut compléter le

tableau de proportionnalité suivant :

x 40

450 100

ce qui donne x =40×450

100et donc x = 180.

Le candidat A a recueilli 180 voix dans ce bureau de vote.

26.4 Proportionnalité et représentation graphique dans un repère duplan

Dans un repère du plan :• si on représente une situation de proportionnalité, alors on obtient des points alignés avec l’originedu repère.• si on a des points alignés avec l’origine du repère, alors cette représentation graphique illustre unesituation de proportionnalité.

Propriété

Par exemple :

Grandeur 1 10 20 25

Grandeur 2 4 8 10

Cette situation de proportionnalité est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés

avec l’origine :



O 11 10 20 254810

Grandeur 1

Grandeur 2

26.5 Calculer une vitesse moyenne, une distance, une durée grâce à larelation d = v × t

Le mouvement d’un mobile sera dit uniforme si la durée du parcours est proportionnelle à la distanceparcourue ; dans ce cas, le coefficient de proportionnalité est appelé vitesse moyenne du mobile.Si on note d la distance parcourue, t la durée du parcours et v la vitesse moyenne,

on a la relation d = v × t . On a également les relations v =d

tet t =

d

v

Définition

1. Calculer une vitesse moyenne

Un automobiliste effectue un trajet de 522 kilomètres en 6 heures ; quelle est sa vitesse moyenne ?

Ici, on a d = 522 km et t = 6h ; on a donc v =d

t=

522

6= 87 km/h (ou km.h−1).

Cet automobiliste roule donc à la vitesse moyenne de 87 km/h.

On peut effectuer un changement d’unité de vitesse de la manière suivante :

On a d = 522 000 m et t = 6×60×60= 21 600 secondes ; ainsi v =d

t=

522 000

21 600≈ 24 m/s (ou m.s−1).

2. Calculer une distance

Un automobiliste roule à la vitesse moyenne de 64 km/h pendant 3h15min. Quelle distance a-t-il

parcouru ?

On commence par convertir la durée du parcours en nombre décimal d’heures :

3h15min=3h15

60h=3h 1

4h=3,25h.

Puis on applique la formule : d = v × t = 64×3,25= 208 km.

Cet automobiliste a parcouru 208 kilomètres.



3. Calculer une durée

Un automobiliste roule à la vitesse moyenne de 80 km/h sur une distance de 272 km. Combien de

temps ce parcours lui prendra-t-il ?

On applique la formule : t =d

v=

272

80= 3,4h.

On convertit en heures et minutes : 3,4h=3h+0,4h=3h+(0,4×60)min=3h24min

Cet automobiliste roulera pendant 3 heures et 24 minutes.





Chapitre 27

6ème - Longueurs & périmètres



Longueurs, masses, durées – Effectuer, pour les longueurs et les masses, des change-ments d’unités de mesure.

– Comparer des périmètres.– Calculer le périmètre d’un polygone.– Connaître et utiliser la formule donnant la longueur

d’un cercle.

Médiatrice d’un segment – Connaître et utiliser la définition de la médiatrice ainsique la caractérisation de ses points par la propriétéd’équidistance.

– Utiliser différentes méthodes pour tracer la médiatriced’un segment.

Cercle – Caractériser les points du cercle par le fait que :– tout point qui appartient au cercle est à une même dis-

tance du centre ;– tout point situé à cette distance du centre appartient

au cercle.– Construire, à la règle et au compas, un triangle connais-

sant les longueurs de ses côtés.

27.1 Unités de mesure de longueurs

27.1.1 Autrefois...

Dans l’Antiquité, chaque peuple avait son propre système d’unités de mesure : coudées, doigts, paumes,

pieds, stades pour les Grecs ou les Egyptiens, mais aussi pas, milles pour les Romains...

Au Moyen Age, les unités de mesure couramment utilisées en Occident sont le pied et le pouce (qui vaut un

douzième de pied).

Sous l’ancien régime, en France : pied-du-roi, lieue, arpent, perche, toise, canne, aune... les unités utili-

sées étaient nombreuses, et de plus elles ne mesuraient pas forcément la même longueur selon la région où



se l’on trouvait !

Aussi, à la fin du XVIIIème siècle, après la Révolution Française de 1789 (et en particulier sous l’impulsion

de l’Académie des Sciences), on décide de créer une unité de mesure universelle : le mètre, défini alors

comme la dix-millionième partie du quart de méridien terrestre. Des savants mettront plusieurs années

à mesurer précisément ce quart de méridien, et ainsi donner naissance à cette nouvelle unité de mesure

des longueurs, aujourd’hui à la base de ce que l’on appelle le système métrique (comportant des unités de

masse (gramme), de capacité (litre), etc).

27.1.2 Ailleurs...

Principalement au Royaume-Uni et aux Etats-Unis, les unités de mesure de longueur usuelles ne sont pas

celles du système métrique : les anglo-saxons utilisent les pouces (inches en anglais ; 1 pouce équivaut à

25,4 mm), les pieds (feet en anglais ; 1 pied est égal à 12 pouces, 1 pied équivaut donc à 30,48 cm), les yards

(1 yard est égal à trois pieds, 1 yard équivaut donc à 0,9144 m) et les miles (1 mile est égal à 1609,344 m).

Par ailleurs, quelques pays conservent localement des unités qui leur sont propres, mais ont pour l’essentiel

adhéré au système métrique.

27.1.3 Particularités

En astronomie : les distances sont tellement gigantesques qu’il a fallu inventer de nouvelles unités de me-

sure de longueurs. Citons par exemple l’année-lumière : c’est la distance parcourue par la lumière dans le

vide en une année, soit environ 9461 milliards de kilomètres tout de même... Imaginez que l’étoile la plus

proche de notre Soleil est déjà située à plus de 4 années-lumière ! On peut également citer l’Unité Astro-

nomique (UA), qui est égale à la distance moyenne entre la terre et le Soleil, soit environ 149,6 millions de

kilomètres.

En matière de navigation on utilise également des unités différentes ; citons par exemple le mille marin,

qui vaut environ 1852 m.

27.1.4 Le mètre, ses multiples et sous-multiples

Multiples Sous-multiples

kilomètre hectomètre décamètre mètre décimètre centimètre millimètre

km hm dam m dm cm mm

1km = 1000m 1hm = 100m 1dam = 10m 1dm = 0,1m 1cm = 0,01m 1mm = 0,001m

Un exemple de conversion : 124,65 m = 0,12465 km = 12 465 cm



27.2 Longueur d’un segment, d’une ligne brisée

La longueur du segment [AB] est notée AB .

Notation

A B

A la règle graduée, on mesure AB = . . . . . . . . . centimètres, ou encoreAB = . . . . . . . . . pouces.

Le milieu d’un segment [AB] est le point du segment [AB] situé à égale distance des extrémités A etB .

Définition

bA

bB

bI

bJ Le point I est sur [AB] et à égale distance de A et de B :

c’est le milieu de [AB].B Le point J est à égale distance de A et de B , mais iln’est pas sur [AB] : ce n’est donc pas le milieu de [AB].

Une ligne brisée est une succession de segments consécutifs, joints par leurs extrémités.

Définition

Pour déterminer la longueur d’une ligne brisée, on additionne entre elles les longueurs des segments qui la

composent. Par exemple :

b

A

b B

bC

b D

AB = . . . . . . . . . cmBC = . . . . . . . . . cmC D = . . . . . . . . . cm

Si L désigne la longueur de cette ligne bri-sée,alors on a L = AB +BC +C D = . . . . . . . . . cm.



27.3 Périmètre d’un polygone

Un polygone est une figure plane délimitée par une ligne brisée fermée. Les extrémités des segmentsqui composent cette ligne brisée sont alors appelées sommets du polygone, et les segments eux-mêmes sont appelés côtés.Si jamais deux côtés se croisent (en dehors des sommets), on dit que c’est un polygone croisé.

Définition

Un polygone non croisé :

diagonale

sommetb

A

bB

bC

b

Db

E

Un polygone croisé :

bA

bB

bC

bD

Dans un polygone, deux sommets qui se suivent sont dits consécutifs.Un segment qui joint deux sommets non consécutifs est une diagonale de ce polygone.

Définition

Les polygones (poly, plusieurs, et gones, angles en grec) portent des noms différents selon le nombre de leurs

côtés :trois côtés → triangle quatre côtés → quadrilatère cinq côtés → pentagonesix côtés → hexagone sept côtés → heptagone huit côtés → octogoneneuf côtés → enneagone dix côtés → décagone douze côtés → dodécagone

Le périmètre d’un polygone est la longueur de la ligne brisée fermée qui le délimite.

Définition

Par exemple, le périmètre du quadrilatère dessiné ci-contre est égal àP = AB +BC +C D +D A

P = 4,8+2,7+3,5+1,6P = 12,6 cm.

b

A

b

B

b CbD

4.8 cm

2.7 cm

3.5 cm1.6 cm

Polygones particuliers :



Le triangle équilatéral

b

a

a a

AbB

bC

C’est un triangle qui a ses quatre côtés de mêmelongueur : AB = BC =C A = a ;Son périmètre P est alors donné par P = 3×a

Le triangle isocèle

bC

bB

b

A

C’est un triangle qui a deux de ses côtés de mêmelongueur. Le sommet dont partent les deux côtésde même longueur est appelé sommet principal,et le côté opposé à ce sommet principal est appelébase.Ici, ABC est un triangle isocèle en A (sous-entendu : de sommet principal A), de base [BC ].

Le rectangle

bA

bB bC

b DL

L

l l

◦ ◦

◦ ◦

C’est un quadrilatère qui a quatre angles droits.Ses diagonales sont de la même longueur, et secoupent en leur milieu.Si L désigne sa longueur, et l sa largeur,alors son périmètre P est donné parP = 2×L+2× l = 2× (L+ l ).

Le losange

bA

bB

bC

b

D

a

a

a

a

◦ ◦

∼

∼

C’est un quadrilatère qui a ses quatre côtés demême longueur : AB = BC =C D = D A = a

Ses diagonales se coupent perpendiculairementen leur milieu.Son périmètre P est donné par P = 4×a.

Le carré

bA

bB

bC

bD

a a

a

a

◦ ◦

◦ ◦

C’est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatrecôtés de même longueur (c’est donc à la fois un rectangle

et un losange).Ses diagonales sont de même longueur et se coupentperpendiculairement en leur milieu.Son périmètre P est donné par P = 4×a.



27.4 Médiatrice d’un segment

La médiatrice d’un segment est la droite qui est perpendiculaire à ce segment et qui passe par sonmilieu.

Définition

Construction d’une médiatrice à la règle graduée et à l’équerre :

bA

bB

bA

bB

b

I

bA

bB

b

I

méd

iatr

ice

de[A

B]

bA

bB

b

I

Si un point M est situé sur la médiatrice du segment [AB],alors on est sûr que ce point M est à égale distance des extrémités A et B .

Propriété

Si un point M est situé à égale distance des extrémités A et B ,alors on est sûr que ce point M est sur la médiatrice du segment [AB].

Propriété

Construction d’une médiatrice à la règle non graduée et au compas :

bA

bB

bA

bB

bP

bA

bB

bQ

bP

méd

iatr

ice

de[A

B]

bA

bB

b

Q

b

P



27.5 Le cercle

27.5.1 Généralités

Le cercle C de centre O de rayon R est l’ensemble des points situés à une distance du point O exacte-ment égale à R .

Définition :

Soit C un cercle de centre O et de rayon R .

Si on a un point M tel que la distance OM soit exactement égale à R ,alors on est sûr que le point M est sur le cercle C .

Propriété

Si on a un point M sur le cercle C ,alors on est sûr que la distance OM est exactement égale à R .

Propriété

Voici le cercle C de centre O et de rayon 4 cm : c’est l’en-semble des points qui sont situés à exactement 4 cm dupoint O :

C

b

O

bA

b

B

b

C�BC

◮ Un rayon du cercle est un segment quia pour extrémités le centre et un point ducercle. Par exemple, [OB] est un rayon ducercle C

◮ Une corde du cercle est un segment quia pour extrémités deux points du cercle. Parexemple, [AB] est une corde du cercle C .◮ Un diamètre du cercle est un segment quia pour extrémités deux points du cercle, etqui passe par le centre du cercle. Le centre ducercle est alors le milieu de ce diamètre. Parexemple, [AC ] est un diamètre du cercle C

◮ Un arc de cercle �BC est une portion decercle comprise entre les deux points B et C ;B il y a deux arcs de cercle �BC ! ! (un "petit"et un "grand")

Définitions

27.5.2 Longueur d’un cercle

◮Propriété La longueur (ou circonférence) d’un cercle de rayon R est égale à 2×π×R , où π est un nombre

un peu "spécial" (voir ci-dessous) dont la valeur est proche de 3,14.

Par exemple, la longueur du cercle C de centre O et de rayon 4 cm représenté ci-dessus est égale à 2×π×R =2×π×4 ≃ 25,1 cm



27.5.3 Le nombre π

π est le nombre qui s’obtient en divisant la longueur d’un cercle quelconque par son diamètre. C’est un

nombre un peu mystérieux, et pour tout dire fascinant :

– Les Babyloniens prenaient 258 = 3,125 comme valeur de π.

– Les Egyptiens avaient estimé que ce nombre était égal à 25681 , c’est-à-dire environ 3,16.

– Plus tard, Archimède, célèbre savant Grec, estima que π était compris entre 22371 ≃ 3,141 et 220

70 ≃ 3,143.

– Au XVème siècle, le mathématicien Arabe Al-Kashi calcula 14 décimales de π ; Au XVIIème siècle, l’Anglais

John Machin fut le premier à calculer 100 décimales de π. Récemment, le Japonais Kanada a calculé grâce

à un énorme ordinateur plus de 1 200 000 000 000 décimales de π !

En fait, un petit poème permet de retenir les premières décimales de π ; dans ce poème, le nombre de lettres

de chaque mot donne la décimale correspondante. Voyez plutôt :

Que j’ aime à faire apprendre ce nombre3 1 4 1 5 9 2 6

utile aux sages. Immortel Archimède, artiste ingénieur ...5 3 5 8 9 7 9

qui nous donne π≃ 3,14159265358979.

En fait, ce mystérieux nombre π est un nombre que l’on ne peut pas écrire sous la forme d’un nombre

décimal ou d’une fraction : il y a une infinité de décimales, et elles ne présentent aucune régularité ; on dit

que π est un nombre irrationnel.



Chapitre 28

6ème - Angles

28.1 Qu’est-ce qu’un angle ?

Un angle est une portion de plan délimitée par deux demi-droites ayant la même origine.Les deux demi-droites sont appelées côtés de l’angle, alors que leur origine commune est appeléesommet de l’angle.

Définition

Illustration :

x

y

α

Côtés de l’angle

Sommet de l’angle

bO

b

B

bA

Cet angle peut être désigné par différentes écritures :

– On peut l’appeler α (lettre de l’alphabet grec, qui se prononce "alpha", équivalent de notre "a").

– On peut l’appeler �AOB ou encore �BOA (il faut seulement que la lettre désignant le sommet de l’angle soit

placée au milieu).

– On peut également l’appeler �xO y ou �yOx.



28.2 Mesure d’un angle

On peut mesurer l’"ouverture" d’un angle ; l’unité de mesure que l’on utilise au collège est le degré.L’instrument qui nous servira à mesurer des angles s’appelle un rapporteur.

Définition

Voici un rapporteur, gradué en degrés ; ce rappor-teur a une double graduation, qui va de 0 à 180degrés. BAttention ! ! Cette double graduation estsource de nombreuses erreurs...

0

180

10

170

20

160

30

150

4014050

13060

12070

110

80

100

90

90

100

80

110

70

120

60

130

50

140

4015

03016

020

17010

180

0

Comment mesurer un angle à l’aide du rapporteur ?0

180

10

170

20

160

3015040

14050

13060

120

70

110

80

100

90

90

100

80

110

70

120

60

130

5014

04015

030

16020

170

10

180

0

A

B

C

180

0 170

10 160

2015

0

30

140

40

130

50

120

60

110

70

100

80

90

90

80

100

70110

60

120

50

130

40

140

30

150

20 160

10 1700

180

A

B

C

�B AC = 60◦ �B AC = 109◦

Pour déterminer la mesure en degrés de l’angle �B AC :

– On commence par placer le centre du rapporteur sur le sommet de l’angle (ici le point A).

– On fait pivoter le rapporteur autour de son centre de façon à ce que l’un des côtés de l’angle passe par

une des deux graduations "0" (intérieure ou extérieure), et que l’autre côté de l’angle passe sous une autre

graduation du rapporteur.

– En faisant bien attention à ne pas se tromper de graduation, compter le nombre de graduations à partir

du zéro pour arriver jusqu’au deuxième côté de l’angle.



Comment tracer un angle de mesure donnée à l’aide d’un rapporteur ?

0

180

10

170

20

160

30

150

4014050

13060

12070

110

80

100

90

90

100

80

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70

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60

130

50

140

4015

03016

020

17010

180

0

A B A B75◦

Pour tracer un angle �B AC mesurant 75◦ (en supposant que le segment [AB] est déjà tracé) :

– On commence par placer le centre du rapporteur sur le point qui sera le sommet de l’angle (ici le point

A).

– Si besoin est, on prolonge le segment [AB] en la demi-droite [AB].

– On fait pivoter le rapporteur autour de son centre de façon à ce que la demi-droite [AB] passe par une

des deux graduations "0" (intérieure ou extérieure).

– En faisant bien attention à ne pas se tromper de graduation, compter le nombre de graduations à partir

du zéro pour arriver jusqu’à la mesure demandée (ici 75◦), et faire une marque au crayon.

– Oter le rapporteur et tracer le deuxième côté de l’angle.

28.3 Différents types d’angles

On peut classer les angles selon leur mesure α= �B AC :

α= 0◦ 0◦ <α< 90◦α= 90◦ 90◦ <α< 180◦

α= 180◦

Angle nul Angle aigu Angle droit Angle obtus Angle plat

bA bC bB bA

bC

bB bA

bC

bB bA

bC

bB b

AbC bB

Soient A, B et C trois points distincts deux à deux ;◮ Dire que "les droites (AB) et (AC ) sont perpendiculaires" revient à dire que "l’angle �B AC est unangle droit".◮ Dire que "les points A, B et C sont alignés" revient à dire que "l’angle �B AC est soit nul, soit plat".

Propriétés



◮ On dira de deux angles qu’ils sont adjacents s’ils ont le même sommet, un côté en commun, et qu’ilssont situés de part et d’autre de ce côté commun.◮ On dira de deux angles qu’ils sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90◦.◮ On dira de deux angles qu’ils sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180◦.

Définitions

bA bB

bC

b

D

b

AbB

bC

bD

�B AD et �D AC sont adjacents et complémentaires. �B AD et �D AC sont adjacents et supplémentaires.

28.4 Bissectrice d’un angle

La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui a pour origine le sommet de l’angle, et qui partagel’angle en deux angles de même mesure.

Définition

A

B

C

bissectr

icede

BAC



Comment tracer la bissectrice d’un angle donné

Avec un rapporteur :

On mesure l’angle à l’aide du rapporteur ; puis on divise cette mesure par 2, et on trace l’angle moitié.

0

180

10

170

20

160

3015040

14050

13060

120

70

110

80

100

90

90

100

80

110

70

120

60

130

5014

04015

030

16020

170

10

180

0

A

B

C

A

B

C

Avec un compas :

On trace deux arcs de cercle de centre A, de même rayon, venant couper les deux côtés de l’angle aux points

I et J ; puis, en prenant pour centres ces deux points, on trace à nouveau deux arcs de même rayon que les

arcs précédents, se croisant en un point D. La bissectrice de l’angle �B AC est la demi-droite [AD).

A

B

C

I

J

A

B

C

I

J

D

A

B

C

I

J

D





Chapitre 29

6ème - Aires



Aires : mesure, compa-raison et calcul d’aires

– Comparer des aires.– Déterminer l’aire d’une surface à

partir d’un pavage simple.

Poursuivant le travail effectué àl’école élémentaire, les élèves sontconfrontés à des problèmes danslesquels il faut :– comparer des aires à l’aide de re-

ports, de décompositions, de dé-coupages et de recompositions,sans perte ni chevauchement ;

– déterminer des aires à l’aide dequadrillage et d’encadrements.

– Différencier périmètre et aire. Certaines activités proposéesconduisent les élèves à comprendrenotamment que leurs sens de varia-tion ne sont pas toujours similaires.

– Connaître et utiliser la formuledonnant l’aire d’un rectangle.

Au cycle 3 de l’école élémentaire,les élèves ont calculé l’aire d’unrectangle dont l’un des côtés aumoins était de dimension entière. Ensixième, le résultat est généralisé aucas de rectangles dont les dimensionssont des décimaux



29.1 Aire d’une surface

Une ligne qui se referme sur elle-même délimite une surface ; la mesure de la surface (dans une unitéchoisie) s’appelle l’aire de cette surface.Pour connaître l’aire d’une figure, on calcule le nombre d’unités d’aires qui sont nécessaires pourrecouvrir exactement cette surface, sans chevauchement ni perte.

Définition

Exemple : L’aire de cette figure vaut 6 unités d’aire nr1, ou encore 8 unités d’aire nr2

Unite d’aire n◦1

Unite d’aire n◦2

Remarques :– L’aire change dès que l’on change d’unité d’aire. Il est

donc important de toujours préciser l’unité choisie.– Quand c’est possible, on mesure l’aire en utilisant un

pavage, comme ci-dessous. En revanche, pour le disqueci-dessous, on ne peut donner qu’un encadrement :si l’unité d’aire est le carreau de quadrillage, l’aire dudisque mesure entre 32 et 60 unités d’aires.

◮ Des figures de formes différentes peuvent avoir la même aire.◮ Des figures peuvent avoir la même aire en ayant des périmètres différents.◮ Des figures peuvent avoir le même périmètre en ayant des aires différentes.

Propriétés

Par exemple :

Unit de longueur Unit d’aire

Figure nr1 Figure nr2 Figure nr3Aire 8 8 10

Périmètre 18 12 18

– Les figures 1 et 2 ont la même aire, mais pas lamême forme, ni le même périmètre.

– Les figures 1 et 3 ont le même périmètre, mais pasla même aire.



Calcul d’aire par découpage et collage :

Les aires des deux figures sont égales ; on peut donc en déduire que l’aire de la figure de gauche est égale à

100 unités d’aire (le carreau de quadrillage étant l’unité d’aire)

29.2 Unités usuelles d’aires

L’unité d’aire usuelle est le mètre carré (noté m2), qui représente l’aire d’un carré de côté 1 m. Onutilise aussi ses multiples (km2, hm2, dam2) et ses sous-multiples (dm2, cm2, mm2).

Définition

Par exemple : Un centimètre carré (cm2) est l’aire d’un carré de 1 cm de côté. Un millimétre carré (mm2)

est l’aire d’un carré de 1 mm de côté. Dans 1 cm2, il y a 100 mm2.

1cm 1 cm2

1 mm2

Pour la mesure des aires des terres agricoles, forestières, etc. . ., on dispose d’unités d’aire spécifiques,appelées unités de mesure agraires.L’unité agraire de base est l’are, qui vaut 100 m2 ; on utilise également l’hectare, qui vaut 100 ares (soit10 000 m2), et enfin le centiare, qui vaut un centième d’are (soit 1 m2).

Définition



TABLEAU DES UNITÉS D’AIRE

Unités kilomètre hectomètre décamètre mètre décimètre centimètre millimètrecarré carré carré carré carré carré carré

Abréviation km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Unités agraires hectare (ha) are (a) centiare (ca)Valeur en m2 1 000 000 m2 10 000 m2 100 m2 1 m2 0,01 m2 0,000 1 m2 0,000 001 m2

zeros zeros zero zeros zer zero zeroszeros zeros zero zeros zer zero zeroszeros zeros zero zeros zer zero zeros

Méthode pour changer d’unité d’aire :

• Pour passer d’une unité d’aire à l’unité immédiatement inférieure, on multiplie par 100 ;

• Pour passer d’une unité d’aire à l’unité immédiatement supérieure, on divise par 100 ;

Exemples :

• 25 dam2 = 2 500 m2

• 3 cm2 = 0,000 3 m2

• 2,4 km2 = 2 400 000 m2

• 21 ha= 2 100 a = 210 000 m2

29.3 Aires de polygones

Rectangle Carré Triangle rectangle

L

l

c

b

a

A = L× l A = c ×c = c2A =

a×b

2

Méthode :Pour calculer l’aired’un polygonequelconque, oncherche à décom-poser sa surface enrectangles, carrés ettriangles rectanglesdont on calculel’aire, puis on cal-cule l’aire totaledu polygone paraddition (ou parsoustraction).



Chapitre 30

6ème - Volumes


CONTENU COMPÉTENCES COMMENTAIRES

Parallélépipèderectangle : pa-trons, repré-sentations enperspective.

Fabriquer ou recon-naître un parallélé-pipède rectangle dedimensions données, àpartir de la donnée :– de ses trois dimen-

sions ;– du dessin d’un de ses

patrons ;– d’un dessin le repré-

sentant en perspec-tive cavalière.

L’observation et la manipulation d’objets usuels constituent despoints d’appui indispensables.A l’école élémentaire, les élèves ont déjà travaillé sur le parallélépi-pède rectangle et le cube (description, construction, patron). Cetteétude est poursuivie en 6e, en mettant l’accent sur un aspect nou-veau : la représentation en perspective cavalière, dont certaines ca-ractéristiques sont précisées aux élèves.

L’usage d’outils informatiques permet en outre une visualisation de

différentes représentations d’un objet de l’espace.

Dessiner ou compléter

un patron d’un parallé-

lépipède rectangle.

Même si les compétences attendues ne concernent que le parallé-lépipède rectangle, les travaux portent sur différents objets de l’es-pace. Ils s’appuient sur l’étude de solides, éventuellement réalisésen technologie, amenant à passer de l’objet à ses représentationset inversement.Le cube est reconnu comme un parallélépipède rectangle particu-lier.Le vocabulaire (face, arête, sommet) est utilisé dans des situationsoù il apparaît nécessaire, en même temps que celui qui permet decaractériser les propriétés des faces ou des arêtes.

La capacité présente et future à "voir dans l ?espace" est liée à

la construction par l’élève d’images mentales portant en particu-

lier sur les relations de parallélisme et d’orthogonalité extraites du

parallélépipède rectangle, sans que des compétences particulières

soient exigibles dans ce domaine.



Volumes – Déterminer levolume d’un paral-lélépipède rectangleen se rapportant àun dénombrementd’unités.

– Connaître et utiliserles unités de volumeet les relier aux uni-tés de contenance.

– Savoir que1 L = 1 dm3.

– Effectuer pour lesvolumes des chan-gements d’unités demesure.

La construction des connaissances relatives au volume relève ducollège. Il s’agit d’étendre à l’espace des démarches de pavage déjàpratiquées pour déterminer des aires. A l’entrée en sixième, lesélèves n’ont aucune connaissance des unités de volume autres quecelles relatives aux contenances. Il s’agit donc de les aider à mettreen place des images mentales comme celle du décimètre cube rem-pli par mille centimètres cubes. Des cas où interviennent des va-leurs non entières sont étudiés (par exemple un pavé 3× 2× 1,5),dans la mesure où ils sont susceptibles d’un traitement simple àl’aide d’un pavage. Aucune compétence n ?est exigible à ce sujet.Le cas général sera étudié en classe de cinquième.

Comme pour les longueurs et les aires, l’utilisation des équiva-

lences entre diverses unités est préférée à celle systématique d’un

tableau de conversion.

30.1 Représenter un solide en perspective cavalière

Un solide est un objet de l’espace délimité par des surfaces indéformables. Si jamais ces surfaces sontdes polygones, alors elles sont appelées faces du solide, les côtés de ces polygones sont les arêtes dusolide, et leurs sommets sont les sommets du solide.

Définition

Remarque : certains solides n’ont pas de surface plane, comme - par exemple - les boules, les cônes. . .

La perspective cavalière est une technique qui permet de représenter des solides - à trois dimensions- sur une surface à deux dimensions.

Définition

Cette représentation n’est pas vraiment conforme à ce que percevrait l’oeil en réalité, mais présente de

nombreux avantages pour les raisonnements mathématiques. Les règles liées à cette représentation sont

simples :

• les figures contenues dans un plan frontal (c’est-à-dire perpendiculaire au regard de l’observateur) sont

dessinées en grandeur réelle (longueur des segments, mesures des angles), sans déformation,

• les droites parallèles en réalité doivent égaement apparaître comme parallèles sur le dessin,

• les arêtes cachées sont dessinées en pointillés.



A B

CD

EF

GH

Ce solide (que l’on appelle pavé droit, ou encore parallélépipède rec-tangle ; voir plus loin. . . ) est représenté en perspective cavalière.– Il a 8 sommets : A, B , C , D, E , F , G et H ;– Il a 12 arêtes : les arêtes [AB], [BC ], [AE ], [BF ], [E F ], [FG], [CG], [E H]

et [G H] sont apparentes (donc représentées en trait plein), les arêtes[AD], [DC ] et [DH] sont cachées (et donc représentées en pointillés).

– il a 6 faces : ABC D est la face du dessous, E FG H celle du dessus,BCGF est la face de droite, ADHE est la face de gauche, ABF E est laface de devant, et enfin C DHG est la face de derrière (ces deux facessont représentées dans un plan frontal, donc dessinées en grandeurréelle).

30.2 Le pavé droit

Le pavé droit, encore appelé parallé-lépipède rectangle, est un solide à sixfaces, dont chacune des faces est un rec-tangle.

Définition

En géométrie, le patron d’un so-lide est une figure plane obtenue endécoupant ce solide selon certainesarêtes, et en le "dépliant". Voici deuxreprésentations en perspective d’unpavé droit, accompagné de l’un deses patrons :

①②

③

Vue du dessus à droite

①④

⑤

Vue du dessous àgauche

①

②

③

④ ⑤

⑥

Patron du pavé

Le cube est un pavé droit particulier,dont les six faces sont des carrés iden-tiques.

Définition

Voici deux représentations en pers-pective d’un cube, accompagné del’un de ses patrons :

Remarque :Il existe 11 patrons différents pour unmême cube !

①②

③

Vue du dessus à droite

①④

⑤

Vue du dessous àgauche

①

②③

④

⑤

⑥

Patron du pavé



30.3 Unités de volume et de capacité

La mesure de l’espace occupé par un solide (dans une unité choisie) s’appelle le volume de ce solide.Pour connaître le volume d’un solide, on calcule le nombre d’unités de volume qui sont nécessairespour remplir exactement cet espace.

Définition

Exemple : Ces deux solides ont unvolume qui vaut 12 unités, bienqu’ils n’aient pas la même forme : Unité de

volume

L’unité de volume usuelle est le mètre cube (noté m3), qui représente le volume d’un cube de côté 1m. On utilise aussi ses multiples (km3, hm3, dam3) et ses sous-multiples (dm3, cm3, mm3).

Définition

Par exemple :

Un centimètre cube (cm3) est levolume d’un cube de 1 cm de côté.Un millimétre cube (mm3) est levolume d’un cube de 1 mm decôté.

Dans 1 cm3, il y a 1 000 mm3.

1cm

1cm

1cm

Pour la mesure des capacités (quantité de liquide que peut contenir un solide donné), on disposed’unités d’aire spécifiques.L’unité de capacité de base est le litre, noté L, qui est la quantité de liquide que peut contenir un cubed’un décimètre de côté, et qui vaut donc 1 dm3 ; on utilise également ses multiples (kL, hL, daL) et sessous-multiples (dL, cL, mL).

Définition



TABLEAU DES UNITÉS DE VOLUME ET DE CAPACITÉ

Unités kilomètre hectomètre décamètre mètre décimètre centimètre millimètrecube cube cube cube cube cube cube

Abréviation km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

Unités de capacité kL hL daL L dL cL mL

Méthode pour changer d’unité de volume :

• Pour passer d’une unité de volume à l’unité immédiatement inférieure, on multiplie par 1 000 ;

• Pour passer d’une unité de volume à l’unité immédiatement supérieure, on divise par 1 000 ;

Exemples :

• 25 dam3 = 25 000 m3

• 43 dm3 = 0,043 m3

• 2,4 m3 = 2 400 000 cm3

• 2 100 cm3 = 0,21 dm3

Méthode pour changer d’unité de capacité :

• Pour passer d’une unité de capacité à l’unité immédiatement inférieure, on multiplie par 10 ;

• Pour passer d’une unité de capacité à l’unité immédiatement supérieure, on divise par 10 ;

Exemples :

• 2 daL = 20 L • 43 dL = 0,043 hL • 1,4 L = 1 400 mL

Equivalence entre unités de volume et unités de capacité : • 1 dm3 = 1 L • 1 cm3 = 1 mL

30.4 Volume d’un pavé droit

1 cm3

6 cm

4cm

5 cm

Dans ce pavé droit, chaque "couche" est constituée de6×5= 30 petits cubes.Comme le pavé comporte 4 "couches", il contient autotal (6×5)×4= 30×4= 120 petits cubes.Le volume de ce pavé est donc de (6×5)×4 = 120 cm3.

On a les formules suivantes :

Pavé droit Cube

Ll

h

c

V = L× l ×h V = c ×c ×c = c3



30.5 Formulaire : Aires et volumes

Nom de la figure Représentation Aire

Trapèze de petite base b, de grandebase B et de hauteur h

b

B

h

A =(B +b)×h

2

Parallélogramme de côté c et dehauteur h relative à ce côté

c

h

A = c ×h

Losange de côté c, de grande dia-gonale D et de petite diagonale d D

d A =d ×D

2

Rectangle de longueur L et de lar-geur l

L

l

A = L× l

Carré de côté c

c

A = c2

Triangle de côté c et de hauteur h

relative à ce côté

c

h

A =c ×h

2

Cercle et disque de rayon r

r A =πr 2

(Périmètre :P = 2πr )



Nom du solide Représentation Volume

Parallélépipède rectangle de lon-gueur L, de largeur l et de hauteurh. Le cube de côté c en est un casparticulier (L = l = h = c).

L l

h

V = L× l ×h

(Pour le cube decôté c :V = c3)

Prisme – A est l’aire d’une base eth la hauteur du prisme. h

V =A ×h

Cylindre – h est la hauteur du cy-lindre, et r est le rayon du disquede base

h

r V =πr 2 ×h

Cône – r est le rayon du disque debase et h la hauteur du cône. r

hV =

1

3×πr 2 ×h

Pyramide – A est l’aire de la baseet h la hauteur de la pyramide.

h

V =1

3×A ×h

Sphère ou Boule de centre O et derayon r O

r

V =4

3×π× r 3

(Aire : A = 4πr 2)

•Appliquer un agrandissement à une figure ou à un solide, c’est multiplier toutes ses dimensionspar un nombre k supérieur à 1.•Appliquer une réduction à une figure ou à un solide, c’est multiplier toutes ses dimensions parun nombre k compris entre 0 et 1.•Lorsque l’on réduit ou agrandit une figure d’un rapport k, alors l’aire de cette figure est multi-pliée par k2.•Lorsque l’on réduit ou agrandit un solide d’un rapport k, alors le volume de ce solide est mul-tiplié par k3.

Agrandissement-réduction



Documents

CoursdeMathématiques - perso.univ-lemans.frperso.univ-lemans.fr/~benard/rt/master-pe/ue312/cours-mathonautes.pdf · Voici un petit lexique, qui vous permettra de savoir exactement