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Trigonométrie_PCSI
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Chap. 02 Trigonométrie
Introduction
Dans ce chapitre on met en place les concepts de base de trigonométrie. La trigonométrie concerne étymologiquement
les relations entre les angles et les longueurs dans le triangle.
On débute par des rappels de géométrie : rappels sommaires sur les angles, rappels sur les transformations en géométrie,
rappels sur les systèmes de coordonnées dans le plan.
On définit ensuite le cosinus et le sinus d'un angle et on expose les formules de base (formules de déphasage, formule
d'addition, linéarisation, … ). Les fonctions trigonométriques en tant que telles seront étudiées dans le chapitre 4.
A titre d'application, on explique comment résoudre un triangle, c.a.d comment déterminer les trois angles et les trois
longueurs d'un triangle à partir d'un nombre minimal d'informations.
§1 Rappels de géométrie dans le plan 1.1 Coordonnées dans le plan
1.1.1 2 ou est l'ensemble des couples de réels (x, y) et sert de modèle à la notion de plan affine.
Le plan affine noté 2 est l’ensemble des couples de réels (x , y). Chaque couple de réels (x , y) définit un point du plan
affine. Les points sont en général désignés par des lettres majuscules.
Si on note O le point origine (0,0), à chaque point M correspond aussi le vecteur OM
; l'ensemble des vecteurs OM
lorsque M décrit 2, s'appelle le plan vectoriel associé à 2. Ce plan vectoriel sera noté E2.
On a donc,
2 = 2 vu comme ensemble de points
E2 = 2 vu comme ensemble de vecteurs
Le couple (x , y) désigne aussi bien le point M de 2 que le vecteur OM
de E2 .
On note souvent i et j les vecteurs correspondant respectivement aux couples (1,0) et (0,1).
Le vecteur nul correspond au couple (0,0) et se note 0 .
1.1.2 Etant donné deux points A = (xA , yA) et B = (xB , yB) de 2, le vecteur noté AB
est le couple (xB xA , yB yA) E2.
Un vecteur s’écrit d’une infinité de façons sous la forme AB
. Si on veut parler d’un vecteur sans pour autant l’écrire
sous la forme AB
, on pourra le désigner simplement par une lettre minuscule u .
Par contre, si on fixe le point A, alors pour tout vecteur u , il existe un unique point M tel que AM
= u . On note alors
M = A + u ou bien M A = u
1.1.3 Colinéarité
On dit que deux vecteurs u et v de E2 sont colinéaires s'il existe une relation u + v = 0 , avec
et réels non tous les deux nuls
Si u et v sont non nuls et colinéaires alors et sont tous les deux non nuls et on peut écrire soit
u = / v , soit v = / u ; on dit que u et v ont même direction.
1.1.4 Propriété (critère de colinéarité)
Deux vecteurs u = (x, y) et v = (x’, y’) de E2 sont colinéaires ssi xy’ x’y = 0.
Le réel xy’ x’y s’appelle le déterminant de u et v et se note
det( u , v ) si on ne fait référence qu’aux vecteurs eux-mêmes
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x x'
y y' si on fait référence directement aux couples de coordonnées.
Preuve (en classe)
1.1.5 On peut munir 2, donc E2 des opérations suivantes
i) addition ou soustraction de deux couples :
(x , y) (x' , y' ) = (x x' , y y' )
ii) multiplication d’un vecteur du plan par un réel : (x , y ) = (x , y)
On constate que les opérations se font composante par composante.
1.1.6 Définition
Si u et v sont non colinéaires, on dit que la famille ( u , v ) est une base de E2 . Se donner un repère
cartésien du plan 2 , c'est se donner un point origine A et une base de E2 . On note = (A, u , v ) .
1.1.7 Exemple ( i , j ) est la base canonique de 2.
1.1.8 Coordonnées cartésiennes dans le plan
Soit = (A, u , v ) un repère du plan affine; si M est un point
de 2, il existe un unique couple (xM , yM) tel que
AM
= xM u + yM v
Ce couple (xM , yM) s’appelle couple des coordonnées de M dans .
Le réel xM s'appelle l'abscisse de M (ou du vecteur AM
) et le
réel yM s'appelle l'ordonnée de M (ou du vecteur AM
).
Preuve (facultative, à relire plus tard)
Unicité de la décomposition :
Si AM
= x u + y v = x’ u + y’ v , alors (x x’) u + (y y’) v = 0 et comme u et v sont non colinéaires, on a
forcément x x’ = 0 et y y’ = 0.
Existence d’une décomposition :
Tout vecteur étant combinaison de i et j , il suffit de montrer que i et j eux-mêmes sont combinaisons de u et v .
On écrit u = a i + b j ; forcément a ou b est non nul.
Supposons par exemple a non nul. Alors i = 1a u b
a j et tout vecteur du plan est combinaison de j et u . C’est
en particulier le cas de v : v = a’ j + b’ u . Forcément, a’ est non nul sinon u et v seraient colinéaires. On en
déduit que j = b’a’
u + 1
a’ v . Donc j est bien combinaison de u et v et il en est de même de i =
1a
u ba
j
puis de tout vecteur (x, y) = x i + y j du plan.
1.1.9 Exemple
Justifier que les vecteurs u = (3, 1) et v = ( 2, 1) sont non colinéaires.
On donne A = ( 3,3). Déterminer les coordonnées du point M(1,4) dans le repère = (A, u , v ).
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1.1.9 Droites sous forme paramétrique
La droite passant par A et de vecteur directeur u 0 est l'ensemble des points M tels que AM
et u soient colinéaires.
Un point M est donc sur cette droite ssi il existe un réel tel que AM
= u , ce qui s’écrit aussi M = A + u , .
On écrit donc,
= A + u
C’est l’écriture paramétrique de la droite , le paramètre étant le réel . Dans cette écriture, on peut remplacer A par
n’importe quel point de et u par n’importe quel vecteur non nul et colinéaire à u .
1.1.10 La distance entre deux points A et B est le réel
AB = (xB xA)2 + (yB yA)2
où (xA , yA) et (xB , yB) sont les couples de coordonnées respectives des points A et B.
1.2 Mesure des angles
1.2.1 Définition (cercle trigonométrique)
Le cercle trigonométrique ou cercle unité est l’ensemble des points du plan situés à distance 1 de l’origine O. Comme
OM 2 = x2 + y2 si M = (x, y), on a :
= {(x, y) 2 / x2 + y2 = 1}
C'est l'équation cartésienne de .
1.2.2 Soit t un réel positif représentant le temps. On parcourt le cercle trigonométrique dans le sens inverse des aiguilles
d’une montre (sens trigonométrique ou sens direct) à partir du point I de de coordonnées (1,0) et à vitesse constante
égale à 1.
Notons M(t) la position au temps t sur . Voir figure ci-dessous.
Le réel t est la longueur de l'arc de cercle reliant I à M(t). On dit que t est une abscisse curviligne du point M visité à
l'instant t.
Un même point est visité une infinité de fois avec une périodicité de 2 car le cercle unité a pour périmètre 2 :
t , k , M(t + 2k) = M(t)
Pour t < 0, on décrit le cercle trigonométrique dans le sens horaire. On définit ainsi ( OI
, OM(t)
) pour t < 0.
1.2.3 Définition (écriture modulo)
Soit a un nombre réel non nul.
On note a = {ka , k }. Typiquement, on rencontre , 2 , …
On dit que deux réels x et y sont égaux modulo a si x y a
On note x y [a] (lire « x égal à y modulo a).
x y [a] k , x = y + ka
On note aussi a + A = {x + a, x A}. Typiquement, /2 + .
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Si x y [a] alors pour tout réel c, on a cx cy [ac].
En effet, il existe un entier k tel que x = y + ka. On multiplie tout par c, ce qui donne cx = cy + k(ac) avec k entier, donc
par définition cx cy [ac].
1.2.4 Exemples
/2 3/2 [] car 3/2 /2 = 1 est un multiple entier de .
5/3 /3 [2] car 5/3 (/3) = 12 est un multiple entier de .
7/6 3/4 [/12] car 7/6 3/4 = 5/12 est un multiple entier de /12.
/2 /2 + car /2 (/2) = 1 est un multiple entier de .
x y [2] x/2 y/2 []
1.2.5 Cas particuliers courants
x 0 [] x k , x = k
x /2 [] x /2 + k , x = /2 + k
1.2.6 Si M est un point du cercle unité et s'il est visité à l'instant t, alors M = M(t).
On dit que le réel t est une mesure en radians du couple de vecteurs ( OI
, OM
) ou que t est l'angle polaire de M.
C'est juste que le réel t n'est pas unique, il est défini seulement modulo 2. Tout réel de la forme t + 2k avec k dans ,
est aussi une mesure en radians du couple ( OI
, OM
). On note,
( OI
, OM
) t [2]
1.2.7 Exemples
( OI
, OJ
) /2 [2]
( OI
, OI'
) [2]
( OI
, OJ'
) 3/2 [2]
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1.2.8 Définition (angle orienté d'un couple de vecteurs non nuls)
Etant donnés deux vecteurs non nuls u et v , on peut écrire u = OA
et v = OB
.
Le segment [OA] coupe en un point de la forme M(tA) et le segment [OB] coupe en un point de la forme M(tB).
Plus précisément, les vecteurs 1
OA OA
et 1
OB OB
sont unitaires (de norme 1), de même direction et même sens que
u et v respectivement et on a
1OA
OA
= OM
(tA) et 1
OB OB
= OM
(tB).
Les réels tA et tB ne sont pas uniques mais seulement définis modulo 2.
Le réel tB tA est la longueur de l'arc intercepté sur le cercle unité modulo 2.
On appelle mesure de l’angle orienté du couple de vecteurs ( u , v ), le réel tB tA qui est défini modulo 2.
On note ( u , v ) = tB tA [2].
Remarque
On a tA = ( i ,OA
) [2] et tB = ( i ,OB
) [2]. On a donc ( u , v ) = ( i ,OB
) ( i ,OA
)
1.2.9 Comme la mesure est définie modulo 2, il existe une seule mesure située dans l’intervalle ], ]. Cette mesure
s’appelle mesure principale du couple ( u , v ). Elle est égale à la longueur (algébrique) de l'arc intercepté sur le cercle
unité par les rayons [OA] et [OB].
Exercice : vérifier que si k est l'entier le plus proche de t
2, alors la mesure principale de l'angle t est t + 2k.
1.2.10 Exemples
1) ( OJ
, OI'
) /2 [2] , /2 étant la mesure principale
2) (OJ'
, OI'
) 3/2 [2] , /2 étant la mesure principale
3) (OJ'
, OI'
) [2] , étant la mesure principale
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4) Un triangle ABC est rectangle en A ssi
soit (AB
, AC
) /2 [2]
soit (AB
, AC
) /2 [2]
5) Un triangle ABC est équilatéral ssi
soit (AB
, AC
) = (CA
, CB
) = (BC
, BA
) /3 [2]
soit (AB
, AC
) = (CA
, CB
) = (BC
, BA
) /3 [2]
Les mesures d'angles étant des nombres (modulo 2), on peut les additionner (modulo 2). On a en particulier la
formule suivante :
1.2.11 Propriété (relation de Chasles)
i) Pour tous vecteurs non nuls u , v , w , on a
( u , v ) + ( v , w ) ( u , w ) [2]
ii) ( v , u ) ( u , v ) [2]
iii) (r u , v ) ( u , r v ) ( u , v ) [2] pour tout réel r > 0.
iv) ( u , u ) [2] et ( v , u ) ( u , v ) [2]
v) ( u , v ) ( u , v ) [2]
Preuve
i) Avec les notations de la définition 1.2.8, on écrit u = OA
, v = OB
, w = OC
( u , v ) tB tA [2] et ( v , w ) tC tB [2]
D'où ( u , v ) + ( v , w ) (tB tA) + (tC tB) tC tA [2]
et comme ( u , w ) tC tA [2] , on a bien ( u , v ) + ( v , w ) ( u , w ) [2].
ii) En particulier, ( u , v ) + ( v , u ) ( u , u ) 0 [2], soit ( v , u ) ( u , v ) [2].
iii) L'égalité (r u , v ) ( u , v ) [2] pour r > 0, découle directement de la definition des angles orientés.
iv) D'après (iii), on peut supposer u unitaire. Si u = OA
, alors u = OA'
où A' est le point diamétralement opposé à
A sur le cercle unité. L'arc intercepté sur le cercle unité est donc de longueur 1/2(2) = .
Donc ( u , u ) [2]. Et ( v , u ) ( v , u ) + ( u , u ) ( u , v ) + [2]
v) ( u , v ) ( u , u ) + ( u , v ) + ( v , v ) + ( u , v ) + ( u , v ) [2] .
1.2.12 Définition (angle géométrique)
L'angle géométrique entre deux vecteurs non nuls u et v est la valeur absolue de la mesure principale de ( u , v ). C'est
donc un angle dans [0, ].
Si u = OA
et v = OB
avec A et B sur le cercle unité, c'est la longueur de l'arc le plus court reliant A et B.
L'angle géométrique entre AB
et AC
se note BACÉ ou juste A É s'il n' a pas d'ambiguïté comme pour les angles d'un
triangle.
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1.3 Transformations du plan
On décrit rapidement les transformations de base en géométrie plane.
1.3.1 Définition
Une transformation du plan euclidien 2 est une application qui à tout point M du plan associe un autre point du plan.
1.3.2 Définition
i) On dit qu’une transformation T du plan conserve les
distances si pour tout couple de points (A , B) , la distance
entre T(A) et T(B) est égale à la distance AB .
ii) On dit que T conserve les angles géométriques si pour tout
triplet de points (A, B, C), on a
T(B)T(A)T(C) = BACÉ
iii) On dit que T conserve les angles orientés si pour tout
quadruplet de points (A, B, C, D), on a
(T(A)T(B)
, T(C)T(D)
) = (AB
, CD
) [2]
1.3.3 Translation
On se donne un vecteur u .
L'application 2 2 , M M + u est appelée translation de vecteur u et se note tu
.
tu
(M) = M ’ MM '
= u
Une translation conserve les distances et les angles orientés.
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1.3.4 Rotation
On se donne un point et un réel .
Soit M un point distinct de . On lui associe le point M’ tel que ( M
, M'
) = [2] et M = M’ (ces deux
conditions définissant un et un seul point M’ possible). Au point , on associe lui même.
Si ( i , M
) = , alors ( i , M '
) = , cela donne la direction et le sens du vecteur M '
, sa longueur étant égale à
celle de M
. Cela montre aussi qu'on obtient levecteur M '
en faisant tourner le vecteur M
d'un angle .
On définit ainsi une transformation du plan appelée rotation de centre et d’angle .
On pourra la noter r .
Une rotation conserve les distances et les angles orientés.
Sur le dessin, l'angle de la rotation est = 60°. A' est l'image de A par la rotation r de centre et d'angle . On peut
obtenir B' de deux façons : soit en faisant tourner B autour de comme on l'a fait pour A, soit en faisant d'abord tourner
le vecteur AB
d'un angle (on obtient un vecteur qu'on note r
(AB
)) et on a alors B' = A' + r
(AB
).
Quand on fait tourner un vecteur d'un angle , on parle de rotation vectorielle d'angle . Une rotation vectorielle est
caractérisée uniquement par son angle, elle n'a pas de centre.
La rotation r provient de la rotation vectorielle r
et dès lors qu'on connaît r
et l'image d'un point A, on a pour tout
point B,
r(B) = r(A) + r
(AB
)
et donc en prenant pour A le centre lui-même, on a
r(B) = + r
(B
)
1.3.5 Réflexion
On se donne une droite du plan euclidien. Soit M un point quelconque du plan. On lui associe le point M’ tel que le
milieu de [MM’] soit sur et tel que (MM’) soit orthogonale à . Autrement dit, M’ est le point tel que soit la
médiatrice du segment [MM ' ].
Lorsque M est sur , on a donc M’ = M.
On définit ainsi une transformation du plan appelée réflexion d’axe (ou symétrie orthogonale d’axe ). On pourra la
noter s .
Remarquer que pour tout point M, on a s(s(M)) = M .
Une réflexion conserve les distances, les angles géométriques mais pas les angles orientés (l’angle change de signe par
effet miroir).
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Comme pour les rotations, la réflexion provient d'une réflexion vectorielle s
par rapport à une droite vectorielle dirigée
par un vecteur directeur de . On a ainsi
s(B) = s(A) + s
(AB
)
et pour tout point I de l'axe , on a
s(B) = I + s
( IB
)
1.3.6 Propriété (exercice)
On considère une droite et on note l'angle entre i et (c'est
l'angle entre i et un vecteur directeur de qui est seulement défini
modulo car il y a deux sens possibles pour un vecteur directeur de ).
Soient A et A' deux points symétriques par rapport à et I un point
quelconque de .
On note = ( i , IA
) [2] , ' = ( i , IA'
) [2].
Alors = 1/2 (') [] ( est la moyenne de et ')
Et donc ' = 2 [2]
Preuve
Soit u un vecteur directeur de , donc ( i , u ) = [].
On a ( IA
, u ) = ( u , IA'
) [2]
( i , u ) = ( i , IA
) + ( IA
, u ) = + ( IA
, u ) [2]
( i , u ) = ( i , IA'
) + ( IA'
, u ) = ' + ( IA'
, u ) = ' ( IA
, u ) [2]
En additionnant, il vient + ' = 2( i , u ) = 2 [2].
1.3.7 Exercice
Soient A, B, C, J' les points du cercle unité d'angles polaires respectifs 2/5, /5, 3/10 et /2. Justifier que les
médiatrices de [AB] et [J'C] sont perpendiculaires.
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1.3.7 Homothétie
On se donne un point I et un réel k non nul. Soit M un point quelconque du plan. On lui associe le point M’ tel que
IM'
= k IM
On a donc I’ = I. On définit ainsi une transformation du plan h (ou hI, k si on veut spécifier les paramètres) appelée
homothétie de centre I et de rapport k.
Une homothétie conserve les angles orientés mais ne conserve pas les distances (elles sont multipliées par k qui apparaît
comme un facteur de réduction ou d’agrandissement). Sur le dessin, on a (Thalès !)
B'C'
= kBC
, A'C'
= kAC
et A'B'
= kAB
On a là encore,
h(B) = I + h
( IB
) = I + k IB
L'homothétie vectorielle h
consiste juste à multiplier un vecteur par le rapport k.
1.3.8 Remarques
1) La translation de vecteur nul, la rotation d’angle nul et l’homothétie de rapport 1, sont trois transformations égales :
on a à chaque fois M’ = M pour tout point M. Cette transformation s’appelle identité du plan et se note id. Ainsi t
0 = r0 = h1 = id.
2) L’homothétie de rapport 1 et de centre coïncide avec la rotation de centre et d’angle . Il s’agit de la symétrie
centrale de centre .
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§2 Cosinus et sinus d'un angle orienté 2.1 Cosinus et sinus
2.1.1 Définition
Soit t et soit M(t) sur le cercle unité tel que ( i ,OM(t)
) t [2].
Rappelons que si t est 0, on parcourt le cercle unite dans le sens direct et que si t est < 0, on le parcourt dans le sens
indirect (sens des aiguilles d'une montre).
Le cosinus de l’angle ( OI
, OM(t)
), noté cos(t) est l’abscisse du point M(t).
Le sinus de l’angle ( OI
, OM(t)
), noté sin(t) est l’ordonnée du point M(t).
montre
2.1.2 Remarque
La définition est encore valable pour un angle géométrique.
2.1.3 Vu la définition, cos(t) et sin(t) sont dans [ 1,1].
2.1.4 cosinus et sinus des angles simples.
désigne le demi-périmètre du cercle trigonométrique; compléter le tableau :
t 0 /2 /2 /6 /3 /4 /6 /4 /3 2/3 3/4 2
cos(t)
sin(t)
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2.1.5 Puisque OM(t) = 1, on a l'identité fondamentale de la trigonométrie ordinaire
t , cos2(t) + sin2(t) = 1
2.1.6 Définition (vecteur radial)
Par définition de cosinus et sinus, le vecteur OM()
s’écrit aussi cos() i + sin() j .
Pour tout angle en radians, on note
u = cos() i + sin() j = OM()
v = sin() i + cos() j
Les vecteurs u et v sont donc unitaires.
En physique, le vecteur u est noté er , le « r » faisant référence au rayon. La notation mathématique a toutefois
l’avantage de faire explicitement référence à la mesure de l’angle.
2.2 Relations trigonométriques de base
Toutes ces formules sont à connaître sans hésitation !
2.2.1 Le même point du cercle unité étant visité avec une période de 2, on a
t , cos(t + 2) = cos(t)
t , sin(t + 2) = sin(t)
On dit que cosinus et sinus sont 2-périodiques.
2.2.3 Conséquence : on peut définir sans ambiguïté les réels, cos( u , v ) et sin( u , v ) pour un couple de vecteurs non nuls.
Par exemple, cos( OM(/2)
, OM(2/3)
) = cos(2/3 /2) = cos(/6) = 3/2
sin( OM(/6)
, OM(2/3)
) = sin(2/3 /6) = sin(/2) = 1
2.2.4 On exploite les éléments de symétrie dans le cercle unité :
Les points M(t) et M( t) sont symétriques par rapport à Ox, ils ont
donc même abscisse et des ordonnées opposées, d'où
t , cos( t) = cos(t) et sin( t) = sin(t)
Ainsi, des angles opposés ont le même cosinus et des sinus
opposés.
On dit que cosinus est paire et sinus est impaire.
2.2.5 Les points M(t) et M( t) sont symétriques par rapport à Oy
car 1/2(t + ( t)) = /2 (cf 1.3.6). Ils ont donc même
ordonnée et des abscisses opposées
t , cos( t) = cos(t) et sin( t) = sin(t)
2.2.6 Les points M(t) et M( t) sont symétriques par rapport à l'origine. Leurs abscisses sont donc opposées et leurs
ordonnées sont aussi opposées.
t , cos( t) = cos(t) et sin( t) = sin(t)
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2.2.7 Propriété (déphasage entre cos et sin)
t , cos(/2 t) = sin(t) et sin(/2 t) = cos(t)
ou de façon équivalente,
t , cos(/2 t) = sin(t) et sin(/2 t) = cos(t)
Preuve
Notons J le point de coordonnée (0,1).
L’angle orienté ( OJ
, OM
(t + /2)) est égal à l’angle ( OI
, OM(t)
), donc
( OJ
, OM
(t + /2)) = t [2].
En travaillant dans le repère orthonormé direct (O, j , i ), on obtient
cos(t) = abscisse de M(t + /2) dans (O, j , i )
et sin(t) = ordonnée de M(t + /2) dans (O, j , i )
soit OM
(t + /2) = cos(t) j + sin(t) ( i )
Par définition, OM
(t + /2) = cos(t + /2) i + sin(t + /2) j
d'où par identification,
cos(t + /2) = sin(t) et sin(t + /2) = cos(t)
En changeant t en t , on obtient cos(/2 t) = sin( t) = sin(t) car sinus est impaire
et sin(/2 t) = cos( t) = cos(t) car cosinus est paire.
On peut aussi en donner une preuve directe : les points M(t) et M(/2 t) sur le cercle unité sont symétriques par
rapport à la droite y = x d'angle polaire /4 car la moyenne de t et /2 t est égale à /4 (cf 1.3.6). Or le symétrique du
point de coordonnées (x, y) par rapport à y = x est le point de coordonnées (y, x). On a donc,
cos(/2 t) = abscisse de M(/2 t) = ordonnée de M(t) = sin(t)
er sin(/2 t) = ordonnée de M(/2 t) = abscisse de M(t) = cos(t)
2.2.8 Corollaire
, v = u +/2
Le vecteur v est donc le vecteur unitaire directement orthogonal à u .
Preuve
v = sin() i + cos() j = cos( + /2) i + sin( + /2) j = u +/2
2.2.9 Exercice
Exprimer les quantité suivantes en fonction de cos() et sin()
1) cos() + cos( + )
2) sin(3) + sin( + 3)
3) sin( + /2 + ) + cos(/2 )
4) sin( 3 /2) cos(/2 )
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2.3 Coordonnées polaires
On a vu qu'un point M du plan était repéré par son couple de coordonnées cartésiennes dans le repère (O, i , j ).
Mais on peut aussi le repérer par l'angle = ( i , OM
) et le rayon r = OM.
2.3.1 Définition (coordonnées polaires)
Soit M un point du plan euclidien distinct de l’origine. Le vecteur 1
OM OM
est unitaire, donc de la forme u .
On peut donc écrire OM
= OM u .
On dit que (r , ) est un couple de coordonnées polaires du vecteur u 0 (ou du point M
tel que OM
= u ) si
u = r u , r > 0
On a forcément d’une part, = ( i , u ) [2], l’angle étant donc défini modulo 2,
et d’autre part, r = || u || = OM.
s’appelle angle polaire de u (ou de M) et r s’appelle rayon polaire de u (ou de M).
2.3.2 Propriété (passage coordonnées cartésiennes - coordonnées polaires)
Soit u un vecteur non nul de coordonnées cartésiennes (x,y) et de coordonnées polaires (r, ). Alors,
x = rcos
y = rsin
2.3.3 Exemples
Déterminer un couple de coordonnées polaires du point ( 3, 3)
Déterminer les coordonnées cartésiennes des points de coordonnées polaires (2 2 , /4) , (2 3, 2/3)
2.3.4 Définition (tangente)
Pour tout réel t /2 [], on définit la tangente de t ; c’est le réel
tan(t) = sin(t) cos(t)
Il s’agit de la pente de la droite (OM(t)
) où M(t) est le point du cercle unité d'angle polaire t.
Plus généralement, si le point M = (x, y) a pour angle polaire , alors tan() = y/x.
2.3.5 Valeurs remarquables
t 0 /6 /4 /3 /6 /4 /3
tan(t)
2.3.6 Pour t 0 [/2], on a la formule utile tan(/2 t) = 1
tan(t)
Trigonométrie_PCSI
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2.4 Formules d'addition
2.4.1 Propriété
Pour tous réels a et b on a,
cos(a + b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b)
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
et en changeant b en b :
cos(a b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
sin(a b) = sin(a) cos(b) cos(a) sin(b)
Pour b = /2, on retrouve les formules de déphasage 2.2.7.
Preuve (en classe)
2.4.2 Corollaire (formules de duplication d’usage très courant, à savoir absolument !)
a , cos(2a) = cos2(a) sin2(a) = 2cos2(a) 1 = 1 2sin2(a)
a , sin(2a) = 2sin(a) cos(a)
Il suffit de prendre b = a dans les formules d'addition et d'utiliser cos2(a) + sin2(a) = 1.
2.4.3 Exemple
Calculer cos(/8), sin(/8) et cos(3/8) à l'aide des formules de duplication.
2.4.4 Propriété (formule d'addition pour la tangente)
Pour tous réels a et b tels que a /2 [] , b /2 [] et a + b /2 [], on a l’identité,
tan(a + b) = tan(a) + tan(b)
1 tan(a) tan(b)
Preuve (en classe)
2.4.5 Propriété (formules à savoir retrouver)
Pour tous reels p et q, on a
i) cos(p) + cos(q) = 2cos
p + q
2 cos
p q
2 iii) sin(p) + sin(q) = 2sin
p + q
2 cos
p q
2
ii) cos(p) cos(q) = 2sin
p + q
2 sin
p q
2 iv) sin(p) sin(q) = 2cos
p + q
2 sin
p q
2
Trigonométrie_PCSI
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Preuve
On cherche a et b tels que a + b = p
a b = q . Tiens, c'est le système rencontré dans le chapitre 1 !
On trouve a = 1/2(p + q) et b = 1/2(p q).
Il vient alors, cos(p) + cos(q) = cos(a + b) + cos(a b) = 2cos(a) cos(b) = 2cos
p + q
2 cos
p q
2
Pour cos(p) cos(q), on trouve 2 sin(a) sin(b); ou bien, on remplace q par q + dans la formule cos(p) + cos(q).
De meme, sin(p) + sin(q) = sin(a + b) + sin(a b) = 2sin(a) cos(b) = 2sin
p + q
2 cos
p q
2
Et on change q en q pour obtenir sin(p) sin(q) = 2cos
p + q
2 sin
p q
2
2.4.6 Exemple
cos(x) sin(x) = cos(x) cos(/2 x) = 2sin(/4) sin(x /4) = 2 sin(x /4)
2.4.7 Développement de cos(nx) et sin(nx) (première approche)
En utilisant les formules cos(a + b) et sin(a + b), on peut transformer cos(nx) sous la forme Pn(cos(x)) où Pn(t) est une
fonction polynomiale et sin(nx) sous la forme sin(x) Qn(cos(x)) avec Qn(t) polynomiale.
Cela se prouve par récurrence sur n :
cos((n + 1)x) = cos(nx) cos(x) sin(nx) sin(x) = cos(x) Pn(cos(x)) sin2(x) Qn(cos(x))
= cos(x) Pn(cos(x)) (1 cos2(x)) Qn(cos(x))
d'où Pn + 1(t) = t Pn(t) (1 t2) Qn(t)
sin((n + 1) x) = sin(nx) cos(x) + cos(nx) sin(x) = sin(x) Qn(cos(x)) cos(x) + Pn(cos(x)) sin(x)
= sin(x) (Qn(cos(x)) cos(x) + Pn(cos(x)))
d'où Qn + 1(t) = t Qn(t) + Pn(t)
On verra une méthode générale de calcul dans un chapitre ultérieur.
2.4.8 Exemples
1) cos(3x) = cos(2x + x) = cos(2x) cos(x) sin(2x) sin(x) = (2cos2(x) 1) cos(x) 2 sin2(x) cos(x)
= 2cos3(x) cos(x) 2cos(x) (1 cos2(x)) = 4cos3(x) 3cos(x)
2) sin(3x) =
3) cos(4x) =
2.4.9 Remarque
Si on connaît la forme du développement, on peut en trouver les coefficients en résolvant un système linéaire.
Par exemple, sachant que cos(3x) est de la forme a + bcos(x) + ccos2(x) + dcos3(x), trouver les réels a, b, c et d en
donnant à x des valeurs bien choisies de façon à obtenir un système de quatre équations satisfaites par a, b, c, d.
2.4.10 Propriété
Toute expression de la forme acos(x) + bsin(x) avec a et b réels, peut se mettre sous la forme
Acos(x +)
avec pour amplitude A = a2 + b2.
Preuve (en classe)
2.4.11 Exemple
Transformer cos(x) sin(x) sous la forme Acos(x + ) puis sous la forme Asin(x + ).
Trigonométrie_PCSI
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2.5 Equations trigonométriques
2.5.1 Propriété
i) cos(a) = 0 a = /2 []
ii) sin(a) = 0 a = 0 []
iii) tan(a) = 0 a = 0 []
Preuve
En notant M(t) le point du cercle unité d'angle polaire t, on a :
cos(a) = 0 M(a) en J ou en J'
a = /2 [2] ou a = /2 [2]
a = /2 []
sin(a) = 0 M(a) en I ou en I'
a = 0 [2] ou a = [2]
a = 0 []
tan(a) = 0 sin(a) = 0 a = 0 []
2.5.2 Propriété
i) cos(a) = 1 a = 0 [2] ; cos(a) = 1 a = [2]
ii) sin(a) = 1 a = /2 [2] ; sin(a) = 1 a = /2 [2]
iii) tan(a) = 1 a = /4 []
Preuve
cos(a) = 1 M(a) en I a = [2]
cos(a) = 1 M(a) en I' a = [2]
sin(a) = 1 cos(/2 a) = 1 /2 a = [2] a = /2 [2]
sin(a) = 1 cos(/2 a) = 1 /2 a = [2] a = /2 [2]
tan(a) = 1 sin(a) = cos(a) 2.4.6
2 sin(a /4) = 0 a /4 = 0 [] a = /4 []
2.5.3 Propriété
i) cos(a) = cos(b) a = b [2]
ii) sin(a) = sin(b) a = b [2] ou bien a = b [2]
iii) tan(a) = tan(b) a = b []
Preuve
2.6 Linéarisation (première approche)
2.6.1 Définition
Linéariser une expression comportant des termes trigonométriques, c'est la mettre sous la forme d'une somme de termes
de la forme acos(nx) ou bien bsin(nx).
Linéariser est par exemple très utile pour intégrer des expressions trigonométriques.
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2.6.2 Propriété (formules à savoir retrouver très vite)
i) cos(a) cos(b) = 12
(cos(a + b) + cos(a b)) iii) sin(a) cos(b) = 12
(sin(a + b) + sin(a b))
ii) sin(a) sin(b) = 12
(cos(a + b) cos(a b))
Preuve (retenir l’idée afin de savoir retrouver ces formules)
Immédiat à partir des formules de cos(a + b) et cos(a b).
Noter que (i) et (ii) sont symétriques en a et b, c.a.d que si on échange a et b, la formule reste inchangée. Par contre,
dans (iii), si on échange a et b, on obtient cos(a) sin(b) = 1/2(sin(a + b) + sin(b a)) = 1/2(sin(a + b) sin(a b)).
2.6.3 En particulier, en lisant les formules de duplication à l'envers, on a les formules très utiles
cos2a = 12
(1 + cos(2a)) et sin2a = 12
(1 cos(2a))
Ces deux formules nous disent que 1 cos(x) est un carré, ce qui permet notamment de simplifier
1 + cos(x) = 2 |cos(x/2)| et 1 cos(x) = 2 |sin(x/2)|
en n'oubliant pas la valeur absolue !
2.6.4 Exercice
Linéariser cos3(x) et sin3(x).
D'après 2.4.8, cos(3x) = 4cos3(x) 3cos(x), d'où cos3(x) = 14
(cos(3x) + 3cos(x))
Et sin(3x) = 3sin(x) 4sin3(x), d'où sin3(x) = 14 (3sin(x) sin(3x))
Noter que cos3(x) étant paire, sa linéarisation n'implique que des expressions paires et sin3(x) étant impaire, sa linéarisation n'implique que des expressions impaires.
2.6.5 Pour les expressions de la forme cosnx sinmx , on linéarise d'abord séparément cosnx et sinmx puis on développe. On
obtient une somme de termes de l'un des trois types suivants : cos(ax) cos(bx) , sin(ax) sin(bx) , cos(ax) sin(bx) qui se
linéarisent par 2.6.2.
2.6.6 Ceci est une méthode qui marche à tous les coups mais rien n’empêche de la court-circuiter via quelques astuces
susceptibles d’accélérer les calculs. Le résultat final doit toutefois être le même.
Là encore, on remarquera que lorsqu'on linéarise une expression paire (resp. impaire), la formule finale ne comporte
que des termes pairs (resp. impairs).
En testant des x particuliers en fin de calcul, on peut facilement détecter les erreurs éventuelles.
Comme pour les développements 2.4.9), si on anticipe la forme de la linéarisation, on peut en trouver les coefficients en
testant des x bien choisis et en résolvant un système linéaire.
2.6.7 Exercice
Linéariser cos2(x) sin2(x) et cos3(x) sin2(x).
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§3 Applications de la trigonométrie en géométrie 3.1 Trigonométrie dans le triangle rectangle
Soit ABC un triangle rectangle en A. On note l'angle géométrique en B
et l'angle géométrique en C.
1
BC BC
= u
d'où BC (cos() i + sin() j ) = BC
= BA
+ AC
= AB i + AC j
par identification, il vient
cos() = ABBC
= côté adjacenthypoténuse
sin() = ACBC
= côté opposéhypoténuse
tan() = ACBC
= côté opposécôté adjacent
= pente de la droite (BC)
De même, cos() = ACBC
= sin() ce qui est normal vu que = /2
Et sin() = ABBC
= cos()
Dans le cas où BC = 1, on retrouve AB = cos() et AC = sin()
Dans le cas où AB = 1, on a AC = tan()
3.2 Projection d'un vecteur
3.2.1 Définition (produit scalaire)
Soient u et v deux vecteurs représentés par OM
et OP
respectivement.
Soient H le projeté orthogonal de P sur (OM) et K le projeté
orthogonal de M sur (OP).
Le vecteur OH
est le projeté orthogonal de v sur u .
Le vecteur OK
est le projeté orthogonal de u sur v .
Le produit scalaire de u et de v est le réel
u . v = OM OP cos( u , v )
OP cos( u , v ) = OH
= OH selon le signe du cosinus, donc selon
que l'angle est aigu ou obtus.
On a donc u . v = v . u et u . u = OM 2 = || u ||2 .
Comme ( v , u ) ( u , v ), on peut supposer l'angle géométrique.
3.2.2 Le produit scalaire de u et v est nul ssi cos( u , v ) = 0, donc ssi u et v sont orthogonaux.
3.2.3 Le produit scalaire ne change pas si P se déplace sur la perpendiculaire à (OM) passant par H, il ne depend que du
projeté de v sur u . En particulier,
u . v = u . OH
et comme OH
est de la forme k u , il vient k = u . v
u . u
Le projeté orthogonal de v sur u est donc le vecteur OH
= u . v
|| u ||2 u
Trigonométrie_PCSI
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3.2.4 Le projeté orthogonal de v + w sur u est la somme des projetés de v et de w . On a donc,
u . ( v + w ) = u . v + u . w
On en déduit,
|| u + v ||2 = ( u + v ).( u + v ) = u . u + u . v + v . u + v . v
= || u ||2 + || v ||2 + 2 u . v
3.2.5 Si u = x i + y j et v = x' i + y' j , alors u . v = xx' + yy'
3.2.6 Exemple
ABCD est un carré de côté a, I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [BC].
Calculer AJ
. IC
3.2.7 Propriété (projeté d'un vecteur sur un système d'axes)
On considère un vecteur F et une base orthonormée (e1
, e2
)
du plan (.c.a.d e1
et e2
unitaires et orthogonaux).
On note = ( e1
, F ) [2] et F la norme du vecteur F .
Alors
F = F cos() e1
+ F sin() e2
F1 = F cos() e1
est le projeté orthogonal de F sur e1
et F2 = F sin() e2
est le projeté orthogonal de F sur e2
.
F cos() = F .e1
et Fsin() = F cos( e2
, F ) = F .e2
(l'angle ( e2
, F ) étant égal à (e1
, F ) /2)
En procédant ainsi, on dit qu'on a projeté le vecteur F sur les axes portés par e1
et e2
respectivement. Cela se fait
couramment en physique.
3.2.8 Exemple
Décomposer le vecteur F ci-contre, dans la base orthonormée ( ex
, ey
).
Trigonométrie_PCSI
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3.3 Angles dans le triangle
3.3.1 Rappels
La somme des angles dans un triangle est égale à 180°.
Une droite intercepte deux droites parallèles selon le même angle.
Deux angles opposés par le sommet sont égaux.
Tout est sur la figure :
3.3.2 Relations dans le triangle rectangle
Sur la figure ci-contre, justifier que CABÉ = BCHÉ .
On en déduit que
cos() = ACAB
= CHBC
= AHAC
et sin() = BHBC
= CHAC
= BCAB
d'où AC2 = AH AB et de même BC2 = BH AB
CH = AC BC
AB
tan() = CHAH
= BHCH
d'où CH2 = AH BH
3.3.3 Exercice
Une masse M est située sur une rampe inclinée d'un angle = 18°. On donne F = 500 N.
Calculer la force de traction T qui empêche la masse de glisser (sans frottement) le long de la pente.
3.3.4 Angle interceptant un diamètre sur un cercle
Sur la figure ci-dessous, O est le centre du cercle, [AB] est un
diamètre. Expliquer les données de la figure et justifier que l'angle
ACBÉ est droit.
Trigonométrie_PCSI
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3.3.5 Triangle inscrit dans le cercle (théorème de l'arc capable)
On considère un cercle de centre O et trois points distincts situés
sur le cercle.
On note D le point diamétralement opposé à C.
(OA
, OB
) (OA
, OD
) + (OD
, OB
)
(OA
, OD
) 2(CA
, CD
) et (OD
, OB
) 2(CA
, CB
) (cf 3.3.1)
D'où (OA
, OB
) 2( (CA
, CD
) + (CA
, CB
)) 2 (CA
, CB
) [2]
et finalement,
(CA
, CB
) = 1/2 (OA
, OB
) []
3.3.6 La longueur d'un arc de cercle est proportionnelle au rayon R et à l'angle du secteur en radians : R
L'aire d'un secteur angulaire est proportionnelle au carré du rayon et à l'angle du secteur en radians :
L'aire du secteur d'angle [0, 2], est 12
R2
3.4 Résolution du triangle
3.4.1 Notations
On considère un triangle ABC quelconque.
Les angles géométriques aux sommets sont notés , , ou
bien A É, B É, C Ési on veut faire référence au sommet,
ou encore BACÉ , ACBÉ et CBAÉ si on veut faire référence aux
côtés.
La longueur du côté opposé au sommet A (respectivement B,
respectivement C), est noté a (respectivement b et c).
Deux triangles ayant les mêmes dimensions sont dit
isométriques.
Résoudre le triangle c'est calculer les trois longueurs a, b, c et
les trois angles , , .
3.4.2 Il y a trois cas où on sait résoudre le triangle sans ambiguïté :
les trois côtés sont connus.
On connaît deux côtés et l'angle déterminé par ces deux côtés (par exemple, b, c et A Éconnus)
On connaît un côté et les deux angles adjacents (par exemple, a, B É, C Éconnus).
Le cas où on connaît deux côtés et un angle qui n'est pas celui déterminé par les deux côtés connus, conduit en général à
deux possibilités.
Trigonométrie_PCSI
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Les deux propriétés suivantes sont les deux outils pour résoudre le triangle.
3.4.3 Propriété (formule d'al-Kashi)
On peut calculer le côté opposé si on connaît les deux autres côtés et l'angle entre ces deux côtés :
a2 = b2 + c2 2bc cos A É
b2 = a2 + c2 2ac cos B É
c2 = a2 + b2 2ab cos C É
Preuve
a = BC = ||BC
|| = ||BA
+ AC
||
d'où
a2 = ||BA
+ AC
||2 =3.2.4
||BA
||2 + ||AC
||2 + 2BA
. AC
= c2 + b2 2AB
. AC
= c2 + b2 2ABBC cos(AB
. AC
)
= c2 + b2 2bc cos(AB
, AC
) = c2 + b2 2bc cos( A É)
3.4.4 Propriété (loi des sinus)
L'aire S d'un triangle ABC se calcule par 12
b csin A É= 12
a bsin C É= 12 c asin B É, d'où la loi des sinus :
sin A É a
= sin C É
c =
sin B É b
3.4.5 Applications des formules
Les 3 longueurs a, b, c sont connues : par la formule d'Al-Kashi, on en déduit cos A É, cos B Éet cos C É. On en déduit
A É, B Éet C É. Deux triangles ayant les mêmes dimensions ont donc aussi les mêmes angles.
On connaît un angle et les deux côtés adjacents, par exemple a, b connus ainsi que C É: on en déduit c par Al-Kashi
puis les deux autres angles toujours par Al-Kashi (on préfère utiliser Al-Kashi car la loi des sinus ne donne que le
sinus des angles, d'où une ambiguïté pour l'angle). Deux triangles ayant un angle en commun compris entre des
côtés respectifs égaux sont donc isométriques.
On connaît un côté et les deux angles adjacents : par exemple a ainsi que B Éet C Éconnus. On en déduit A Épuis
b = a sin B É sin A É
et c = a sin C É sin A É
Deux triangles ayant un côté en commun adjacent à des angles respectifs égaux sont donc isométriques.
Trigonométrie_PCSI
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Si on connaît b, c et B É, la loi des sinus permet de calculer sin C Éce qui laisse deux possibilités a priori pour C É.
Quant à Al-Kashi, il permet de voir a comme solution d'une équation du second degré, d'où également deux
possibilités a priori. D'où l'ambiguïté mentionnée plus haut.
3.4.6 Exemples
1) On donne a = 12, b = 7, c = 9 .
Par Al-Kashi, on trouve cos( A É) = b2 + c2 a2
2bc − 0.11, d'où A É 1,68 rad ou 96.4 °
De même, cos( B É) = a2 + c2 b2
2ac 0.82, d'où B É 35.4 °
C É = 180 − A É − B É 48,2°
2) On donne a = 20, B É = 45°, C É = 72°.
Le troisième angle est A É = 180 − 45 − 72 = 63°
La loi des sinus donne b = a sin( B É)/sin( A É) 15.87
La longueur c se calcule alors soit par Al-Kashi, soit par la loi des sinus :
c = asin( C É)/sin( A É) 21,34
c2 = a2
+ b2 − 2ab cos( C É) 455,69 puis c 21,34
3) On donne a = 12, b = 9, A É= 60°
La loi des sinus donne sin( B É) = bsin( A É)/a 0,65. D'où B É 40,50 ° ou B É 180 − 40,50 = 139,50. Ce dernier
cas est impossible car il y a déjà un angle de 60° et que la somme des trois angles doit faire 180°.
On a donc B É 40,50 ° et C É 180 − 60 − 40,50 » 79,5 °
On calcule enfin c soit par Al-Kashi, soit par la loi des sinus :
c = asin( C É)/sin( A É) 13,62
c2 = a2
+ b2 − 2ab cos( C É) 185,64 puis c 13,62
On aurait pu aussi débuter les calculs par Al-Kashi :
a2 = b2
+ c2 − 2bc cos( A É)
d'où c qui est solution du trinôme c2 − 9c − 63 = 0. Les deux racines sont (9 ± 333)/2 = 13,62 ou − 4,62. Le
trinôme ayant une racine positive et une racine négative, seule la racine positive va conduire à une solution
acceptable.
4) On donne a = 9, b = 10, A É= 60°
La loi des sinus donne sin( B É) = bsin( A É)/a 0,96. D'où B É 74,21 ° ou B É 180 − 74,21 = 105,79. Cette fois, les
deux valeurs sont possibles.
Pour B É 74,21 °, on a C É 180 − 60 − 74,21 45,79 ° et c = asin( C É)/sin( A É) 7,45
Pour B É 105,79 °, on a C É 180 − 60 − 105,79 14,21 ° et c = asin( C É)/sin( A É) 2,55
5) On donne a = 7, b = 9, A É = 60°
Al-Kashi donne a2 = b2
+ c2 − 2bc cos( A É), soit c2
− 9c + 32 = 0. Il n'y a pas de racine réelle, donc aucun triangle
solution. Ici, le cercle centré en C et de rayon 7 ne peut pas couper la droite (AB).
