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8/16/2019 Cours IARD
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Actuariat de l’assurance Non Vie
Année Universitaire 2010/2011
Professeur : Abderrahim [email protected]
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PLAN
1. Généralités
2. La tarification
3. Les méthodes actuarielles de provisionnement
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L ’individu veut être protégé contre les conséquences économiques de l'aléa,notamment lorsque lui-même, où ses ayants droits, se voient privés de la possibilité derevenus à la suite d'un sinistre.
La réparation est organisée sous plusieurs formes :
• Assurances sociales obligatoires (Sécurité Sociale, assurances complémentaires!)• Assurances responsabilité civile obligatoires (circulation, construction!)
• Assurances responsabilité civile systématique : Entrepreneurs, Chef de famille• Assurances de choses : incendie, catastrophes naturelles!• Fonds de Garantie : Circulation, terrorisme, sang contaminé, amiante...
Mais aussi : la Garantie des Accidents de la Vie (G.A.V) pour faire face à des aléas nonpris en charge par d’autre système d'indemnisation.
1. Généralités
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Page 31. Généralités
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Page 41. Généralités
! Définitions
"Assurance : contrat par lequel une partie, dénommée le souscripteur se fait
promettre par une autre partie, dénommée l'assureur, une prestation en cas deréalisation d'un risque, moyennant le paiement d'un prix appelé prime ou cotisation.
"Risque : notion abstraite d’aléa sur les conditions financières, matérielles, corporellesou de vie des individus (collectivités, entreprises, …).
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Page 51. Généralités
Risque pesant sur le patrimoine
""""Perte d’un bien ou d’un revenu:Incendie, explosionsRisques domestiques : Dégâts des eaux, Bris de glace, Vol, VandalismeRisques naturels : inondations, tempêtes,…Risques industriels : explosion, pollutions...
Pertes financières : Pertes d'exploitation,…
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! Risque pesant sur le patrimoine
"Dette de Responsabilité Civile:• Responsabilité du fait personnel : faute, imprudence, négligence.• Responsabilité de Chef de famille, du fait des choses - personnes qu'on a sous sagarde• Risques que l'individu fait courir aux autres du fait de la conduite automobile.
• Risques des professionnels (responsabilité médicale) dans l'exécution deleurs prestations, ou du fait d'une carence dans leur obligation de conseil oud'information.• Risques que les entreprises font courir aux autres du fait des travaux qu'ellesréalisent ou de leurs prestations de services
• Risques liés à l'activité économique : Pollution de l'air ou des eaux, maréesnoires, catastrophes aériennes ou écologiques• Risques pesant sur les dirigeants de l'entreprise
1. Généralités
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!Risque pesant sur les personnes
" Dommages pécuniaires résultant d'une atteinte à la personne : accident,maladie, perte d'emploi
• Versement d'indemnité compensant une perte de revenus en cas d'arrêt de travailpour maladie, invalidité, ou perte d'emploi.
• Prise en charge du remboursement d'un emprunt.• Protection de la famille en cas de décès, rentes éducation...• Versement d'un capital ou d'une rente en cas de vie, à une date déterminée(système de garantie de retraite).
1. Généralités
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Page 8
!Assistance et Protection Juridique
" Prestations (et non versement d’indemnisation) effectuées par l’assureur, suite à "aléas":• Rapatriement, hébergement, soins d’urgence• Assistance panne
" Assistance de l’assuré en justice : Le particulier ou l'entreprise peut être confronté à unesituation conflictuelle qui l’oblige à se défendre ou à attaquer en justice.
• Assurance Protection Juridique : l'assureur s'engage à donner des conseils enmatière juridique. Opération consistant, moyennant le paiement d'une prime, à prendreen charge les frais de procédure ou à fournir des services déterminés, en cas de litige
opposant l'assuré à un tiers.• Garantie Défense et Recours: permet à l’assuré d'être assisté lorsque saresponsabilité sera recherchée par un tiers (garantie annexe à une garantie deresponsabilité civile principale).
1. Généralités
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Page 91. Généralités : Opérations d’assurance
! Rubrique 1 : Les opérations d’assurance vie et de capitalisation.
! Rubrique 2 : Les opérations d’assurance des dommagescorporels liés aux accidents et à la maladie.
! Rubrique 3 : Les opérations d’assurance des autres risques et cellesd’assistance.
! Les assurances vie et la capitalisation (rubrique 1).
! Les assurances de personnes (rubriques 1 et 2).
! Les assurances non-vie et l’assistance (rubriques 2 et 3).
! Les assurances de dommages aux biens et de responsabilité et l’assistance(rubrique 3).
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Page 101. Généralités : Agrément
– Contexte
# L’article L 321-1 du Code des assurances prévoit explicitement que les entreprises d’assurance nepeuvent commencer leurs opérations qu’après avoir obtenu un agrément administratif délivré par
l’autorité de tutelle du pays du siège social de la société.
# L’agrément doit être obtenu selon des branches définies à l’article R 321-1 du Code des assurances(il existe en tout 25 branches).
# L’entreprise ne peut pratiquer que les opérations pour lesquelles elle a obtenu l'agrément. Une
entreprise ne peut être agréée pour effectuer l’ensemble des opérations des différentes branchesd’agrément. L’obtention d’un agrément dépend en effet, du type d’entreprise : entreprise vie, non-vieou mixte.
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1. Accidents2. Maladie
3. Corps de véhicules terrestres (autres queferroviaires)
4. Corps de véhicules ferroviaires
5. Corps de véhicules aériens
6. Corps de véhicules maritimes, lacustres etfluviaux
7. Marchandises transportées
8. Incendie et éléments naturels
9. Autres dommages aux biens
10. R.C. véhicules terrestres automoteurs
11. R.C. véhicules aériens
12. R.C. véhicules maritimes, lacustres etfluviaux
20.Vie – Décès
21.Nuptialité, natalité
22.Assurances liées à des fonds d’investissements
23.Opérations tontinières
24.Capitalisation
25.Gestion de fonds collectifs
26.Prévoyance collective
13.R.C. Générale
14.Crédit
15.Caution
16.Pertes pécuniaires diverses
17.Protection juridique
18.Assistance
1. Généralités : Liste des branches d’agrément
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Page 121. Généralités : Typologie des sociétés d’assurance
– Entreprises d’assurance vie # Les entreprises d’assurance vie sont celles qui peuvent être agréées pour effectuer les
opérations prévues aux branches 20 à 26 (rubrique 1).
– Entreprises d’assurance non-vie # Ce sont les entreprises qui couvrent les risques de dommages corporels et les autres risques
(dommages aux biens, assistance, protection juridique.). Il s’agit des branches d’agrément 1 à
18 de l’article R 321-1 (rubrique 2 et 3).
– Entreprises mixtes # Ce sont des entreprises qui peuvent être agréées pour effectuer à la fois :
• des opérations d’assurance vie (branche 20 à 26 sauf 23) (rubrique 1),
• des opérations d’assurance non-vie mais uniquement de dommages corporels (branche 1«accident » et 2 «maladie ») (rubrique 2).
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Page 131. Généralités
!Les assurances non-vie incluent :
"a) les assurances de biens ou de choses qui couvrent les pertesmatérielles des biens appartenant à l’assuré
"b) les assurances de responsabilité qui prennent en charge lesconséquences financières des dommages causés à des tiers parl’assuré
" c) les assurances de dommages corporels qui garantissent lesrisques d’atteinte à l’intégrité physique en cas de maladie oud’accident corporel.
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Page 141. Généralités
Les principales classifications des activités d'assurance
Assurances de biens et de responsabilité (ou assurances dommages)
Garanties du patrimoine
Assurances de personnes
Garanties de la personne humaine
Assurances de biens(ou de choses)
Garanties de biensappartenant à l'assuré
Assurances deresponsabilité
Garanties dedommages causés à destiers par l'assuré
Assurances desdommages corporels
Garantie des risquesd'atteinte à l'intégritécorporelle (maladieet/ou accident)
Assurances sur la vie
Garanties en cas devie, en cas de décès
Assurances non vie Assurances vie
Assurances gérées en répartition Assurances géréesen capitalisation
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Page 151. Généralités
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Page 161. Généralités
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Page 171. Généralités
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Page 181. Généralités
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Page 19Le marché des assurances*
" L’assurance est une activité économique mondiale très importante car elle drainedes sommes considérables, assure la pérennité du tissu économique de paysémergents, et enfin représente une part substantielle du PIB
" Assurance mondiale 4066 milliards de dollars (4220 en 2008, une baisse de 3,65%)
# 2332 milliards d’assurance vie (57,3%, 2439 en 2008, une baisse de 4,4%)
# 1735 milliards d’assurance non vie (42,7%, 1781 en 2008, une baisse de 2,6%)
" Assurance africaine 49,29 milliards de dollars (1,21%, 52,83 en 2008, une baisse de11,1%)
# 32,56 milliards d’assurance vie (1,4%, 36,29 en 2008, une baisse de 10,27%)# 16,72 milliards d’assurance non vie (0,96%, 16,85 en 2008, une baisse de
0,77%)Source : Swiss Re, Sigma n°3/20109, n°2/2010,
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Page 20Le marché des assurances au Maroc*
" En 2009 le marché marocain des assurances et de réassurance est constitué de17 entreprises
# 14 entreprises commerciales et trois mutuelles
! 7 entreprises pratiquent aussi bien les opérations d’assurances non vie que lesassurances vie et capitalisation
! 4 entreprises pratiquent seulement les opérations d’assurances non vie
! 1 entreprise pratique seulement les opérations d’assurances vie et
capitalisation
! 3 entreprises pratiquent les opérations d’assistance
! 1 entreprise pratique exclusivement l’assurance crédit
! 1 entreprise est spécialisée dans la réassuranceSource : DAPS, rapport d’activité des entreprises d’assurances et de réassurance au Maroc 2009
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Page 21Le marché des assurances au Maroc*
" En 2009 le marché de l’assurance 2,488 milliards de dollars (2,356 en2008, une hausse de 5,59% )
$ 0,06% du marché mondial, 5,24% du marché africain
# 0,793 milliards d’assurance vie et capitalisation
$ 31,86%, 0,782 en 2008, une hausse de 1,31%
$ 0,04% du marché mondial
# 1,695 milliards d’assurance non vie
$ 68,14%, 1,574 en 2008, une hausse de 7,71%
$ 0,1% du marché mondial
Source : DAPS, rapport d’activité des entreprises d’assurances et de réassurance au Maroc 2009
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Page 221. Généralités
Le secteur de l’Assurance au Maroc
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Page 231. Généralités
Le secteur de l’Assurance au Maroc
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Page 241. Généralités : Le marché de l’assurance au Maroc
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Page 251. Généralités : Le marché de l’assurance au Maroc
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Page 261. Généralités : Le marché de l’assurance au Maroc
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Page 271. Généralités : Le marché de l’assurance au Maroc
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Page 281. Généralités : Le marché de l’assurance au Maroc
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Page 291. Généralités : Le marché de l’assurance au Maroc
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$ Protection des personnes
$ Protection du patrimoine.$ Investissement : provisions pour faire face aux engagements futurs,placements.
$ Prévention – Exemple d’organismes financés par les assureurs:"Centre National de Prévention et de Protection : prévention des risquesindustriels (sécurité Incendie, protection de l’environnement, …)"Prévention routière : campagnes d’information, revues, assistance aux
municipalités et entreprises, en vue de susciter des changements decomportement chez les conducteurs.
1. Généralités Rôle de l’Assurance et de l’Actuaire
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Page 311. Généralités : Rôle de l’Assurance et de l’Actuaire
" Le rôle de l’actuaire en assurance dommage
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Page 321. Généralités : Rôle de l’Assurance et de l’Actuaire
" Le rôle de l’actuaire en assurance dommage
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2. La tarification
2.1- Les différentes composantes du tarif2.2- Mutualisation contre segmentation
2.3- Les outils statistiques de segmentation
2.4- Analyse probabiliste de la fréquence et du coût
2.5- Estimation de la prime pure
2.6- Pilotage du tarif
2.1- Les différentes composantes du tarif
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2.1 Les différentes composantes du tarifLe compte de résultat d’assurance
!"#$%&
Ressources Charges
!"'()#*& ,#-.-/#%"&
% La prime est « presque » la seule ressource! Elle doit couvrir « presque » l’ensemble despostes de charge
01."2%(%&3"%&*.*#'-&
• la charge des sinistres
4.5%&
• les taxes exigées par l’État
6".#& (7./8)#*#'-') /'$$#&'-&
6".#& 2%&*#'- -#&*"%&
6".#& (% &*")/*)"%
• les frais nécessaires à l’activité
9':(% (%";.&&)".-/%
• le solde entre la cotisation versée auprèsdu réassureur et sa prise en charge de lacrête de la charge
2 1- Les différentes composantes du tarif
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2.1- Les différentes composantes du tarifComment charger la prime commerciale
!"#$%&
Ressources Charges
6".#& (7./8)#*#'-') /'$$#&'-&
01."2%(%&3"%&*.*#'-&
!"'()#*& ,#-.-/#%"&
4.5%&
6".#& 2%&*#'- -#&*"%&
6".#& (% &*")/*)"%
?4@4
Modélisation de la V.A. « Charge »
Taux obligatoire imposé par l’Etat+ cotisation fixes (ex : régime CatNat)
Tarif négocié avec le réassureur, en taux
Décomposition par la comptabilité analytique,en taux ET en fixe
Comment construire la prime :
9':(% (%";.&&)".-/%
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Page 362.1- Les différentes composantes du tarif
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Page 372.1- Les différentes composantes du tarif
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PC + PF = Charge + MS + Commissions + Réass + FG + Profit
PC + i × PC = PP × (1 + MS) + com × PC + Vexp × PC + Fexp
+ r × PC + p × PC
Formule finale de la prime commerciale :
PP ( 1 + MS) + FexpPC =
(1 - com - r - p - Vexp + i)
2.1- Les différentes composantes du tarif : Formule finale
2 L diffé d if A li ti
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Page 402.1- Les différentes composantes du tarif - Application
% Contexte• banlieue d’une grande vile, 100.000 pavillons d’une valeur moyenne de130.000€• la société J’ASSURE souhaite se développer sur ce marché en proposant un
produit Incendie• Objectifs de développement& part de marché de 10%& rémunérer les fonds propres à 12,5%
% Sinistralité : statistiques des pompiers sur les deux dernières années• 200 incendies / an, dont• 4 totaux• 180 bénins (coût moyen 2.340,00€)• 16 partiels (coût moyen 26.000,00€)
• marge de sécurité sur prime pure = 5%
% Réassurance : même solde qu’en N-1 = 2.5 % de la prime commerciale
2 1 L diffé t t d t if A li ti
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Page 412.1- Les différentes composantes du tarif - Application
% Taxes : 30%
% Gestion• campagne marketing : 230.000,00€• commissionnement des agents : 20%• frais de gestion : 10€ / an / contrat• durée moyenne d’un contrat en portefeuille: 7 ans
% Produits financiers : même rendement N-1 = 5% de la prime commerciale% Rémunération des fonds propres à 12,5%
CALCULER LE TARIF THEORIQUE TTC,
ET LE CHIFFRE D’AFFAIRES REALISE HT.
2 1 L diffé t t d t if Application : réponse
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Page 422.1- Les différentes composantes du tarif - Application : réponse
1. Calcul de la Prime Pure, le noyau du tarif• fréquence = 200/100.000 = 0,20%• coût moyen = 6.786,00€• prime pure = P = 0.20% x 6.786€ x 1,05 = 14,25€
2. Coûts de chargement à ajouter au tarif• campagne marketing
coût annuel par contrat = 230.000 / (7 x 10% x 100.000)= 3,29€• frais de gestion : 10€ / contratDonc la prime pure chargée des frais fixes :
P’ = 14,25€ + 3,29€ + 10€ = 27,54€
3. Rémunération des fonds propres à 12,5% :% Marge de solvabilité Réglementaire =16% du CA (solvabilité 1)i.e. 16% du C.A. doit être provisionnés, avec une couverture des fonds propreséquivalente.L’actionnaire exige un prix à l’immobilisation de ces fonds propres, il réclame 12.5%d’intérêt, qui viendront en déduction des produits financiers.tx RMS = 12.5% x 16% CA = 2% CA
N.B. : Une nouvelle norme Solvabilité 2 va s’imposer aux sociétés d’assurance, avec une affectation parrisques des besoins en fonds propres.
2 1- Les différentes composantes du tarif - Application : réponse
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Page 432.1- Les différentes composantes du tarif - Application : réponse
% La prime commerciale HT se déduit par l’équation :PCHT = Prime pure chargée + PCHT x tx commission+ PCHT x tx réassurance- PCHT x tx produit fi+ PCHT x tx RMS
donc PCHT =
PCHT = 34,21€
% Prime commerciale TTC = PCHT x (1+tx taxe) = 44,47€ (prix de vente client)
% Chiffre d’affaires annuel HTCAHT = N x PCHTCAHT = 10%x100.000 x 34,2077CAHT = 342.077 € et 102.623€ de taxes à l’état
Prime pure chargée
1- tx commission - tx réassurance + tx produit fi - tx RMS
2 2 Mutualisation contre segmentation
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Page 442.2- Mutualisation contre segmentation
2.2- Mutualisation contre segmentation
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Soit un marché de 100 voitures avec 1 seul assureur A.Il estime la fréquence sur l’année passée par :
L’assureur unique mutualise : son contrat est à prime unique sur tous les risquesprime pure = 20%× 2500 = 500€prime commerciale chargée (x 2) = 1000€
Bilan en fin d’année 1 : Assureur A
Portefeuille : 100 contratsChiffre d’affaires : 100 000 €Charge sinistres : 50 000€Marge technique : 50 000€
20 sinistres100 AP
50 000 €20 sinistresFréquence = = 20%
Coût moyen = = 2 500€
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2.2- Mutualisation contre segmentation
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Comment réagissent les automobilistes ? Le jeune a le choix entre A (1000€) et B (1500€) ! il reste chez A !
Le senior a le choix entre A (1000€) et B (500€) ! 50% seniors sont attirés par B !
Comment se réalisent les sinistres ?
Charge jeunes = 50 x 30% x 2500 = 37 500€ 6 250€ pour A
Charge seniors = 50 x 10% x 2500 = 12 500€ 6 250€ pour B
Bilan en fin d’année 2 :
Mutualiste A Segmenteur B Portefeuille : 75 (-25%) 25 seniorsChiffre d’affaires : 75 000 € (-25%) 12 500€Charge sinistres : 43 750€ (-12%) 6 250€Marge technique : 31 250€ (-37%) 6 250€
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2.2- Mutualisation contre segmentation : segmentation du tarif en fonction de deuxcritères
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Page 49critères
31503295511952Tous véhicules
1784117160681Z = z3 : gros
81177955162Z = z2 : moyens
554544361109Z = z1 : petits
Tous conducteursZ’
= z’2 expérimentésZ
’
= z’1 novicesNombre d’assurés
na(z, z’)
43841622Tous véhicules
38536718Z = z3 : gros
36360Z = z2 : moyens
17134Z = z1 : petits
Tous conducteursZ’
= z’2 expérimentésZ
’
= z’1 novicesNombre de sinistresns(z, z’)
P 50
2.2- Mutualisation contre segmentation : segmentation du tarif en fonction de deuxcritères
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Page 50critères
1,390%1,408%1,127%Tous véhicules
2,158%2,139%2,643%Z = z3 : gros0,444%0,453%0,000%Z = z2 : moyens
O,307%O,293%0,361%Z = z1 : petits
Tous conducteursZ’
= z’2 expérimentésZ
’
= z’1 novicesFréquences desinistres
ns(z, z’) /na(z, z’)
! Peut-on utiliser un tarif découlant directement les estimations ?
( ) ( )
( )"
""
#
# #
! ! "
! ! " ! !
#
$=Π∧
Page 51
2.2- Mutualisation contre segmentation : segmentation du tarif en fonction de deuxcritères
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Page 51critères
1,390%Tous véhicules
2,158%Z = z3 : gros
O,444%Z = z2 : moyens
O,307%Z = z1 : petits
Tous conducteursFréquences de sinistres
ns(z, z’) /na(z, z’)
! Peut-on utiliser directement l’étude des fréquences observées enfonction d’un seul facteur à la fois ? :
1,390%1,408%1,127%Tous véhicules
Tous conducteursZ’ = z’2 expérimentésZ’ = z’1 novicesFréquences de sinistres
ns(z, z’
) /na(z, z’
)
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2.2- Mutualisation contre segmentation : segmentation du tarif en fonction de deuxcritères
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Page 52
! Le modèle multiplicatifOn cherche un tarif basé sur un modèle multiplicatif :
qui respecte les marges du tableau des sinistres
( ) ( ) ( )"" $ # ! ! ! ξ ν ×=Π∧
( )" # ! ! " $
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )"#$
=××+××+××
=××+××+××
%"
%#
$
=××+××
=××+××
=××+××
%&' &(&')*+ (,--** %%+'*&
** '.&&+ &'*&* &&),&&
+.- &(&')*+ '.&&+
+' (,--** &'*&*
&( %%+'*& &&),&&
ξ ν ξ ν ξ ν
ξ ν ξ ν ξ ν
ξ ν ξ ν
ξ ν ξ ν
ξ ν ξ ν
Page 53
2.2- Mutualisation contre segmentation : segmentation du tarif en fonction de deuxcritères
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Page 53
! Le modèle multiplicatifAlgorithme de calcul :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )"#$
×+×+×=
×+×+×=
%%%
"
%%
%
#
$
×+×=
×+×=
×+×=
==−−
&(&')+ (,--* %%+'&%&' *
'.&+ &'** &&),&** &
&(&')* '.&&
+.- +
(,--* &'*&+' *
%%+'* &&),&&( &
**/0#&&&&
% % % %
% % % %
% % %
% % %
% % %
% % % %
ν ν ν ξ
ν ν ν ξ
ξ ξ ν
ξ ξ ν
ξ ξ ν
ξ ξ ξ ξ
Page 54
2.2- Mutualisation contre segmentation : segmentation du tarif en fonction de deuxcritères
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55/330
Page 54
2,143%2,536%Z = z3 : gros
0,442%0,523%Z = z2 : moyens
0,296%0,350%Z = z1 : petits
Z’ = z’2 expérimentésZ’ = z’1 novicesTarif
! Après convergence de l’algorithme (trois itérations), le tarif trouvé est :
( ) ( )"$ ! ξ ν ×
367,72917,271Z = z3 : gros
35,1460,847Z = z2 : moyens
13,1193,881Z = z1 : petits
Z’ = z’2 expérimentésZ’ = z’1 novicesTarif appliqué au parc
( ) ( ) ( )"" $#$ ! " ! #××ξ ν
Page 552.2- Mutualisation contre segmentation
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56/330
age 55
Dans un marché « fluide »,
si deux compagnies identiques ont les mêmes offres,
les mêmes frais, la même distribution...,
la compagnie la moins segmentée
court un risque d’antisélection
Page 56
2.2- Mutualisation contre segmentation
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57/330
g
!Les risques d’antisélection
Page 57
2.2- Mutualisation contre segmentation
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58/330
!Choix des critères de segmentation
Page 58
2.2- Mutualisation contre segmentation
8/16/2019 Cours IARD
59/330
!Choix des critères de segmentation
Page 59
2.2- Mutualisation contre segmentation
8/16/2019 Cours IARD
60/330
!Choix des critères de segmentation
Page 60
2.2- Mutualisation contre segmentation
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61/330
!Choix des critères de segmentation
Page 61
2.2- Mutualisation contre segmentation
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!Choix des critères de segmentation
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2.2- Mutualisation contre segmentation
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!Choix des critères de segmentation
Page 63
2.2- Mutualisation contre segmentation
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!Choix des critères de segmentation
Page 64
2.3- Les outils statistiques de segmentation
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65/330
# Analyse univariée
# Analyse multivariée
# Classifications
# Modèle Linéaire Généralisé
Page 652.3- Les outils statistiques de segmentation
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66/330
!"
Méthodesdescriptives
Variablesnumériques
Variables« mixtes »
Variablesqualitatives
Analyse en ComposantesPrincipales (ACP)
Analyse Factorielle desCorrespondances (AFC)
Analyse des Correspon-dances Multiple (ACM)et Analyse Factorielle
Multiple (AFM)
Classification
!"
Page 662.3- Les outils statistiques de segmentation
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67/330
!!
Méthodes explicatives
Une seule variable àexpliquer
Plusieurs variables à expliquer :Analyse canonique
La variable à expliquerest numérique La variable à expliquerest qualitative
Les variables explicativessont numériques
Les variables explicativessont qualitatives
Les variables explicativessont numériques : Analyse
discriminante
Les variables explicativessont qualitatives : Mesuresconjointes/ Segmentation
Analyse de la varianceSegmentation
Régression linéaire
Page 67
2.3- Les outils statistiques de segmentation
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68/330
! Les risques de modèle statistique
Page 68
2.3- Les outils statistiques de segmentation
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69/330
! Les risques de modèle statistique
Page 69
2.3- Les outils statistiques de segmentation
8/16/2019 Cours IARD
70/330
! Les risques de modèle statistique
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2.3- Les outils statistiques de segmentation
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71/330
! Les risques de modèle statistique
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2.3- Les outils statistiques de segmentation
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72/330
! Les risques de modèle statistique
Page 72
2.3- Les outils statistiques de segmentation
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73/330
! Les risques de modèle statistique
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2.3- Les outils statistiques de segmentation
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75/330
! Analyse statistique descriptive
Page 75
2.3- Les outils statistiques de segmentation
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76/330
! Analyse statistique descriptive
Page 76
2.3- Les outils statistiques de segmentation
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77/330
! Analyse statistique descriptive
Page 77
2.3- Les outils statistiques de segmentation
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78/330
! Analyse des corrélations par les techniques d’analyse de données
Page 78
2.3- Les outils statistiques de segmentation
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! Analyse des corrélations par les techniques d’analyse de données
Page 79
2.3- Les outils statistiques de segmentation
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! Analyse des corrélations par les techniques d’analyse de données
Page 80
2.3- Les outils statistiques de segmentation
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! Analyse des corrélations par les techniques d’analyse de données
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2.3- Les outils statistiques de segmentation
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! Analyse des corrélations par les techniques d’analyse de données
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2.3- Les outils statistiques de segmentation
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! Analyse des corrélations par les techniques d’analyse de données
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2.3- Les outils statistiques de segmentation
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! Analyse des corrélations par les techniques d’analyse de données
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2.3- Les outils statistiques de segmentation
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! Analyse des corrélations par les techniques d’analyse de données
Page 85Modèles Tarifaires
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86/330
La problématique
Un exemple fictif
Typologie des modèles tarifaires
Décomposition fréquence X coût moyen
Les modèles de fréquence
Les modèles de coûts moyens
!
"
#
$
%
&
Page 86
!
Modèles Tarifaires
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87/330
- La Problématique
' Concurrence accrue qui pousse à une segmentation plus fine destarifs.
' La structure tarifaire doit présenter les caractéristiques suivantes :
• être aisée à programmer ainsi qu’à faire évoluer(efficience/réactivité)
• doit permettre la prise en compte de tous les facteurs explicatifs
• doit estimer au mieux l’effet de chacun des facteurs
!
Page 87Modèles Tarifaires : Aspects Théoriques
!
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88/330
On souhaite modéliser une variable
On dispose :
• d’un jeu de variables explicativesqui définit les cellules tarifaires debase (risque individuel vs risque
moyen )• d’observations (échantillon)
On suppose :
• une relation entre des paramètreset la valeur moyenne dans chaquecellule tarifaire de base
• une dispersion autour de la valeurmoyenne
Objectif :Calculer les paramètres
- La Problématique
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Page 89
*
Modèles Tarifaires : Aspects Théoriques
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- Un exemple Fictif*EXEMPLE D'OBSERVATIONS
Un critère véhicule : Diesel (1) , Essence (2)Un critère conducteur : Femme (1) , Homme (2)Un critère géographique : Campagne (1), Ville (2)
Variable àmodéliser
véhicule conducteur géograph.
obs n°1 Diesel Femme Campagne 83,435obs n°2 Diesel Femme Ville 98,605obs n°3 Diesel Homme Campagne 106,838obs n°4 Diesel Homme Ville 126,263
obs n°5 Essence Femme Campagne 51,865obs n°6 Essence Femme Ville 61,295obs n°7 Essence Homme Campagne 66,413obs n°8 Essence Homme Ville 78,488
Variables explicatives
Page 90
U l Fi if i*
Modèles Tarifaires : Aspects Théoriques
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91/330
- Un exemple Fictif - notations*
Exemple de C
N° var, modalitéC
n°obs
Sur la 4è observation, le premier critère (véhicule) prend la première modalité (Diesel)4
C = 11,1
Sur la 5è observation, le troisième critère (géo) le prend pas la seconde modalité (Ville)5
C = 03,2
1,1
3,2
5
4
ne
Page 91
U l Fi tif t ti*
Modèles Tarifaires : Aspects Théoriques
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92/330
- Un exemple Fictif - notations*
EXEMPLE DE λ
λobs. k
λ = 83.4351
λ = 61.2956
Page 92
U l Fi tif t ti*
Modèles Tarifaires : Aspects Théoriques
8/16/2019 Cours IARD
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- Un exemple Fictif - notations*
EXEMPLE DE PARAMETRES (Multiplicatif)
λ = 92,5 λ = 57,5véhicule, diesel véhicule, essence
1,1 1,2
λ = 0,82 λ = 1,05conducteur, femme conducteur, homme
2,1 2,2
λ = 1,1 λ = 1,3géograh., campagne géograph., ville
3,1 3,2
Page 93
- Un exemple Fictif – Modèle Multiplicatif*
Modèles Tarifaires : Aspects Théoriques
+&.*)--( ××λ!
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*,-#'&'
*#+'*#+
+'+
*#*
'*#*
*
'*
*&
'*&
&&
'&&'
1&
+2&31)
&2&3
1))-2&31&.*2)3
1&
-2-(31)
-2,*3'
+2&.*2)-2-('
=
××
××
×=
××
××
×=
××=
λ
λ λ
λ λ
λ λ λ
λ
λ
!
"
"
!
"
"
!
&&
&&
'&
'
'&
'
Page 94
Un exemple Fictif*
Modèles Tarifaires : Aspects Théoriques
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- Un exemple Fictif*
A partir du modèle,estimation du 6ème cas« véhicule essence, conducteur femme, géo ville »
∏ ∏= =
=
( ) *)"
)
"
*
& *)
& &
#'
#
'λ λ
Page 95
Un exemple Fictif notations*
Modèles Tarifaires : Aspects Théoriques
8/16/2019 Cours IARD
96/330
- Un exemple Fictif - notations*
EXEMPLE DE λ
λobs. k
λ = 83.4351
λ = 61.2956
EXEMPLE DE η
ηobs. k
η = 4.42411
η = 4.11576
LN
EXP
Page 96
Un exemple Fictif notations*
Modèles Tarifaires : Aspects Théoriques
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97/330
- Un exemple Fictif - notations*
EXEMPLE DE PARAMETRES (Additif)
β = 4,5272 β = 4,0518véhicule, diesel véhicule, essence
1,1 1,2
β = - 0,1985 β = 0,0488conducteur, femme conducteur, homme
2,1 2,2
β = 0,0953 β = 0,2624géograh., campagne géograph., ville
3,1 3,2
Page 97
- Un exemple Fictif Modèle additif*
Modèles Tarifaires : Aspects Théoriques
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98/330
- Un exemple Fictif – Modèle additif*
*,-2'&1'/453
&&-(2%'
*#+*#+
'++
'
*#**#*
'**
'
*&
*&
'&&
&&
''
1*'*%2)&31),-+2))3
1)%..2))31&,.-2)&3
1)-&.2%&31-*(*2%)3
'
*'*%2)&,.-2))-&.2%'
=
=
×+×+
×+×+
×+×=
×+×+
×+−×+
×+×=
+−=
η
η
β β
β β
η
η
η
!
!
"
"
!
"
"
!
!
&&
&&
' +
'
& ' +
'
&
Page 98
- Un exemple Fictif*
Modèles Tarifaires : Aspects Théoriques
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- Un exemple Fictif*
A partir du modèle,estimation du 6ème cas« véhicule essence, conducteur femme, géo ville »
& &= = ×=
( )"
)
"
*
*) *)&
& &
##
'' β η
Page 99
- Un exemple Fictif*
Modèles Tarifaires : Aspects Théoriques
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- Un exemple Fictif
A partir du modèle,estimation du 6ème cas« véhicule essence, conducteur femme, géo ville »
& &
∏ ∏
= =
= =
×=
=
( )
( ) *)
"
)
"
*
*)
*)
"
)
"
*
&
*)
&& &
#
#
''
& &
#
' #
'
β η
λ λ
Page 100
- Typologie des modèles tarifaires3
Modèles Tarifaires : Aspects Théoriques
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101/330
Typologie des modèles tarifaires
– Multiplicatifs :
#risque = produit d’effets des variables explicatives
– Additifs :
#risque = somme d’effets des variables explicatives
3
Page 101
- Typologie des modèles tarifaires3
Modèles Tarifaires : Aspects Théoriques
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102/330
(((( Les modèles multiplicatifs sont en général préférés :
Typologie des modèles tarifaires3
• ils respectent la contrainte de positivité
• ils se révèlent plus robustes
Dans la suite de cet exposé, nous nousattacherons principalement aux modèles
multiplicatifs
Page 102
De façon plus formelle, on a :
Modèles Tarifaires : Aspects Théoriques
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103/330
De façon plus formelle, on a :
%
"
)
"
*
*)
*)
%
%
"
)
"
*
&
*)
%
( )
( ) *)%
& η β λ
λ λ
=×=
=
& &
∏ ∏
= =
= =
& &
#
#
& &
#
16783
#
est égal à 1 si l’assuré k vérifie la modalité j pour la variablei et à 0 sinon,
est la grandeur estimée avec le modèle pour l’assuré k,
*)% & #
% λ
16783 ## *) *) λ β =
Page 103Modèles Tarifaires : Aspects Théoriques
4 - Décomposition fréquence / Coût moyen
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104/330
!Prime Pure = Fréquence * Coût Moyen
!FréquenceNombre de sinistres / Nombre de risques-années
= NbSin / nb RA
!Coût Moyen
Charge Sinistre / Nombre de sinistres
= Charge Sin / NbSin
4 Décomposition fréquence / Coût moyen
Page 104
- Décomposition fréquence / Coût moyen4
Modèles Tarifaires : Aspects Théoriques
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105/330
p q y
& modèle exprimant la prime pure en fonction des facteurs explicatifs
Deux alternatives possibles
Phénomène difficilement adossable à une loi connue
Page 105
- Décomposition fréquence / Coût moyen4
Modèles Tarifaires : Aspects Théoriques
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106/330
p q y
& approche en trois temps :• un modèle multiplicatif donnant la fréquence
en fonction des facteurs
•• idem pour les coûts moyens
••• prime pure obtenue en multipliant fréquences et coûts moyens
Deux alternatives possibles
Permet des modélisations adaptées pour la fréquence et les coûts
Page 106
- Les modèles de fréquences : approche par le MLG5
Modèles Tarifaires : Aspects Théoriques
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107/330
q pp p
3 composantes
"""" Aléatoire Y : identifie la distribution de probabilités de la variable à expliquerµ = E (Y)
"""" Systématique : constitué par une fonction linéaire des variables explicatives
nommé prédicteur linéaire, η = X β
"""" Fonction de lien g : établir le lien entre la moyenne de Y, notée µ et lesvariables explicatives : g(µ) = η(X1, …, Xp)
Page 107Modèles Tarifaires : Aspects Théoriques
' MLG = extension du modèle de régression linéaire mais en permettant
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108/330
' MLG = extension du modèle de régression linéaire mais en permettantà Y de suivre n ’importe quelle loi faisant partie de la familleexponentielle.
' Lois candidates :
# loi Normale
# loi de Poisson
# loi binomiale
# loi binomiale négative
' Pondération : par risques-année
Page 108
De façon plus formelle :
Modèles Tarifaires : Aspects Théoriques
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109/330
µ = E (Y) = g-1(ηηηη)
Var (Y) = Φ x V(µ) / w k w k = exposition
et généralement, g-1
= exp.
Page 109
Intérêt : on peut rendre la modélisation compatible avec de nombreusesdistributions pour Y
Modèles Tarifaires : Aspects Théoriques
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distributions pour Y
V(µ) distribution pour Y
1 Normale
µ Poisson
µ2 Gamma
µ(1− µ ) Binomiale
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- Les modèles de coûts moyens : approche par le MLG6
Modèles Tarifaires : Aspects Théoriques
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' Lois candidates :
# loi Gamma
# loi Normale
...
' Fonction V :V(µ) distribution pour Y
1 Normale
µµµµ² Gamma
Page 112Logiciel R
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Page 113Logiciel R
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Page 114Logiciel R
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Page 115Logiciel R
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Page 116Logiciel R
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Page 117Logiciel R
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Page 118Logiciel R
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119/330
Page 119Choix de la fonction lien
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120/330
Page 120Choix de la fonction lien
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121/330
Page 121Choix de la fonction lien
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122/330
Page 122Choix de la fonction lien
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123/330
Page 123Choix de la fonction lien
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125/330
Page 1252.4- Analyse probabiliste de la fréquence et du coût
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127/330
Page 127
2.4- Analyse probabiliste de la fréquence et du coût
8/16/2019 Cours IARD
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2.4- Analyse probabiliste de la fréquence et du coût
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2.4- Analyse probabiliste de la fréquence et du coût
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Page 131
2.4- Analyse probabiliste de la fréquence et du coût
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2.4- Analyse probabiliste de la fréquence et du coût
8/16/2019 Cours IARD
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2.4- Analyse probabiliste de la fréquence et du coût
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2.4- Analyse probabiliste de la fréquence et du coût
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2.4- Analyse probabiliste de la fréquence et du coût
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2.4- Analyse probabiliste de la fréquence et du coût
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2.4- Analyse probabiliste de la fréquence et du coût
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2.4- Analyse probabiliste de la fréquence et du coût
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Charge de sinistre par contrat
2.5- Estimation de la prime pure
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Page 140
Charge de sinistre par contrat
2.5- Estimation de la prime pure
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Charge de sinistre par contrat
2.5- Estimation de la prime pure
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143/330
Page 143
Décomposition fréquence/coût
2.5- Estimation de la prime pure
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Page 144
Décomposition fréquence/coût
2.5- Estimation de la prime pure
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Décomposition fréquence/coût
2.5- Estimation de la prime pure
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Décomposition fréquence/coût
2.5- Estimation de la prime pure
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Décomposition fréquence/coût
2.5- Estimation de la prime pure
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Page 148
Exemple de calcul de la prime pure
2.5- Estimation de la prime pure
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Exemple de calcul de la prime pure
2.5- Estimation de la prime pure
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Exemple de calcul de la prime pure
2.5- Estimation de la prime pure
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Exemple de calcul de la prime pure
2.5- Estimation de la prime pure
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Exemple de calcul de la prime pure
2.5- Estimation de la prime pure
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Exemple de calcul de la prime pure
2.5- Estimation de la prime pure
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Exemple de calcul de la prime pure
2.5- Estimation de la prime pure
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Exemple de calcul de la prime pure
2.5- Estimation de la prime pure
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Exemple de calcul de la prime pure
2.5- Estimation de la prime pure
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Exemple de calcul de la prime pure
2.5- Estimation de la prime pure
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3. Les méthodes actuarielles de provisionnement
Page 159SOMMAIRE
3.1 Introduction et principes généraux de provisionnement
3.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
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3.3 Provision pour primes non acquises (PPNA)
3.4 Provision pour risque en cours (PREC)3.5 Provision pour risque d’exigibilité (PRE)
3.6 Provision pour égalisation
Page 1603.1 Introduction et principes généraux de provisionnement
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Page 1613.1 Introduction et principes généraux de provisionnement
" L’'inversion du cycle de production
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162/330
ConceptionTarification
Vente
Indemnisation
SurvenanceSinistre
Evaluation
EncaissementRecouvrement
Placement
Page 1623.1 Introduction et principes généraux de provisionnement
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163/330
Page 1633.1 Introduction et principes généraux de provisionnement
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164/330
Page 1643.1 Introduction et principes généraux de provisionnement
Souscription Réception de la Sinistre PaiementNotification du
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X
p
X
pprime
X X
du sinistre
X
sinistre
Délai desurvenance du
sinistre
Délai denotification
Délai depaiement
Page 1653.1 Introduction et principes généraux de provisionnement
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Page 1663.1 Introduction et principes généraux de provisionnement
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Page 1673.1 Introduction et principes généraux de provisionnement
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168/330
Page 1683.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
!Article R 331-15 :
“La provision pour sinistres à payer est calculée exercice par exercice.
(…) L'évaluation des sinistres connus est effectuée dossier par dossier, le coût
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169/330
d'un dossier comprenant toutes les charges externes individualisables ; elle estaugmentée d'une estimation du coût des sinistres survenus mais non déclarés.
La provision pour sinistres à payer doit toujours être calculée pour son montantbrut, sans tenir compte des recours à exercer ; les recours à recevoir font l'objetd'une évaluation distincte.”
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170/330
Page 1703.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
Ultime= Paiements + d/d + IBNR
IBNR = Ultime - Charge
Mise en pratique
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Paiements cumulés
Provisions d/d
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172/330
Page 1723.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
Pratique du provisionnement
!Estimation des réserves – PSAP brutes de réassurance
– Prévisions de recours
– Réserves cédées
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173/330
!Estimation effectuée au niveau de chaque catégorie
!3 étapes dans l’obtention de l’estimation du montant des réserves : – 1. Connaissance des données :#Construction des triangles / réconciliation avec les états comptables# Analyse des facteurs externes influant sur la cadence : inflation, sinistres graves,
catastrophes, nouveaux types de sinistres…# Analyse des facteurs internes influant sur la cadence : composition du
portefeuille, modification de couverture, procédures de gestion des sinistres…#Niveau d’écrêtement
Page 1733.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
Pratique du provisionnement
Les facteurs externes
Nature des sinistres :• déroulement court / long• coût unitaire important
Délai de transmissiondes sinistres
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174/330
Nouveaux produitsNouveaux risques
Inflation future
Evolution dela jurisprudence
Catastrophes
naturelles
Conjonctureéconomique
Secteurgéographique
Evaluation
Page 174
Contrôle interne :• existence de procédures écrites• séparation des tâches• supervision effectuée
Pl d éI li ti d
Changements dans l'organisation du service sinistres :• ouverture des dossiers• procédures de règlement• méthode d'évaluation et de provisionnement• système informatique
3.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)Pratique du provisionnementLes facteurs internes
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175/330
Politique commerciale(tarifs, sélection des risques...)
Procédure d'inventairedes sinistres
Qualification du personnel(souscription, évaluation)
Plan de réassuranceImplication dela direction
Situation financièrede la CompagnieFiabilité des
bases de données
Existence de donnéeshistoriques précises
Evaluation
Page 1753.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
Pratique du provisionnement
! 3 étapes dans l’obtention de l’estimation du montant desréserves :
– 2. Modélisation
# Modélisation de la charge / paiements
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176/330
# Modélisation de la charge / paiements# Utilisation de différentes méthodes
# Convergence des méthodes
– 3. Validation du modèle# En terme de ratios S/P et coûts moyens ultimes
# Suivi trimestriel ou annuel des indicateurs
# Benchmarks
Page 1763.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
Données
Provisionnement déterministe Provisionnement stochastique
Ch i L dd GLML N l GAM
Présentation générale de l’étude
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Chain Ladder GLMLog-Normale
1 - Théorie, construction
et validation du modèle
3 – Application aucalcul de TRI
2 - Comparaisondes modèles
Variabilité du modèle
Écart de PSAP avecle modèle de référence
• Mack• Bootstrap• Méthode Delta
Approche quantile
Approche écart-type
• Bootstrap• Méthodes alternatives
• Bootstrap
GAM
Page 1773.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
!Évaluation statistique des sinistres à payer
* Outre la méthode dossier par dossier, les sociétés peuvent utiliser
diverses méthodes statistiques
* Ces estimations sont d’autant plus pertinentes que la société est grande et
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* Ces estimations sont d autant plus pertinentes que la société est grande, etque, dans la branche examinée, les sinistres sont nombreux et n’atteignent
pas de montant trop élevé.
#méthodes basées sur la cadence de règlement des sinistres d’un même exercice de survenance;#méthodes basées sur le coût moyen des sinistres d’un même exercice de survenance;
#méthodes basées sur l’étude de la liquidation de la charge (paiements + provisions) des
sinistres d’un même exercice de survenance;
#méthodes basées sur l’évolution du taux de sinistre à primes S/P
Page 1783.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
! Méthodes de cadence de règlement
!Les méthodes de cadence de règlement consistent à évaluer la
charge de sinistres survenus au cours d’un exercice en partant
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charge de sinistres survenus au cours d un exercice, en partantdes paiements effectués et de la cadence de règlement
!La cadence de règlement est le rapport entre les sinistres déjà
payés et la charge totale (finale) de sinistres
Page 1793.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
! Méthodes de cadence de règlement
Exemple : Prenons un exemple avec 5 années de survenance d’une branche à déroulement court, et
supposons que la charge des exercices 95-97 exactement connue, et que les cadences de
paiement sont stables.
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??465478452=Charge vue au 31/12/1999
??421+ Provisions au 31/12/1999294458461476451Paiements cumulés à fin 1999
281451474450Paiements cumulés à fin 1998
278463447Paiements cumulés à fin 1997
283441Paiements cumulés à fin 1996
268Paiements cumulés à fin 1995
19991998199719961995
Page 1803.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
! Méthodes de cadence de règlement
Évaluation de la provision relative à 1998 à partir des exercices précédents
Exercices de survenance
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181/330
97,1%451/465 = 97,0%463/478 = 96,9%441/452 = 97,6%Cadence cumulée
observée en deuxièmeannée
Moyenne199719961995
Exercices de survenance
#%(*9,(
%-.,. == $ &%%-.%(*,,,. =−=− ,On obtient ainsi le montant deprovision :
Page 1813.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
! Méthodes de cadence de règlement
Évaluation de la provision relative à 1999 à partir des exercices précédents
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182/330
?458/97,1% = 472465478452=Charge vue au 31/12/1999
?472-458=14421+ Provisions au 31/12/1999294458461476451Paiements cumulés à fin 1999
281451474450Paiements cumulés à fin 1998
278463447Paiements cumulés à fin 1997
283441Paiements cumulés à fin 1996
268Paiements cumulés à fin 1995
19991998199719961995
Page 1823.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
! Méthodes de cadence de règlement
Évaluation de la provision relative à 1999 à partir des exercices précédents
Exercice de survenance
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#%,-9%#-,
*,%,, == $ *)&*,%%,-,,,, =−=− ,On obtient ainsi le montant deprovision :
59,4%281/472=59,5%278/465=59,8%283/478=59,2%268/452=59, 3%Cadence cumulée observéeen première année
Moyenne1998199719961995
Page 1833.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
! Méthodes de cadence de règlement
Évaluation de la provision relative à 1999 à partir des exercices précédents
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294/59,4% = 495472465478452=Charge vue au 31/12/1999
495-294=20114421+ Provisions au 31/12/1999294458461476451Paiements cumulés à fin 1999
281451474450Paiements cumulés à fin 1998
278463447Paiements cumulés à fin 1997
283441Paiements cumulés à fin 1996
268Paiements cumulés à fin 1995
19991998199719961995
Page 1843.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
! Méthodes de coûts moyens
Les méthodes de coûts moyens consistent à évaluer la charge de
sinistres survenus au cours d’un exercice en partant des coûts
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sinistres survenus au cours d un exercice, en partant des coûtsmoyens de sinistres observés lors des exercices antérieurs et en
leur appliquant
! soit un taux d’inflation du marché;
! soit le taux d’inflation observé dans le passé de la société.
# trois étapes
Page 1853.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
! Méthodes de coûts moyens
Première étape : estimation des sinistres survenus et non déclarés
Exercices de survenance
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173185185194195Nombre de sinistres déclarés à fin 1999
182184194195Nombre de sinistres déclarés à fin 1998
181193195Nombre de sinistres déclarés à fin 1997
188194Nombre de sinistres déclarés à fin 1996
192Nombre de sinistres déclarés à fin 1995
19991998199719961995(en milliers)
Page 1863.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
! Méthodes de coûts moyens
Première étape : estimation des sinistres survenus et non déclarés
Exercices de survenance n
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??111Nombre de sinistres déclarés l’année n + 2
?3352Nombre de sinistres déclarés l’année n + 1
173182181188192Nombre de sinistres déclarés l’année n
19991998199719961995(en milliers)
En négligeant les évolutions, le tableau suivant montre qu’il y a chaque année environ :
(2+5+3+3)/4 = 3 milliers de sinistres survenus l’année n et déclarés l’année n+1 et 1 millier de
sinistres déclarés l’année n+2.
Page 1873.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
! Méthodes de coûts moyens
Première étape : estimation des sinistres survenus et non déclarés
Exercices de survenance n
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188/330
11111Nombre de sinistres déclarés l’année n + 2
177186185194195Nombre de sinistres survenus
33352Nombre de sinistres déclarés l’année n + 1
173182181188192Nombre de sinistres déclarés l’année n
19991998199719961995(en milliers)
Page 1883.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
! Méthodes de coûts moyens
Deuxième étape : estimation des coûts moyens
Exercices de survenance
8/16/2019 Cours IARD
189/330
??465478452
??421
294458461476451Paiements cumulés à fin 1999
+ Provisions à fin 1999
= Charge totale de sinistres à fin 1999
19991998199719961995(en milliers)
Coût moyen = charge totale de sinistre / nombre de sinistres
Page 1893.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
! Méthodes de coûts moyens
Deuxième étape : estimation des coûts moyens
Exercices de survenance
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190/330
2514
2,0 %
2464
6,3 %
2318
185194195
465478452Charge totale de sinistres à fin 1999
Nombre de sinistres évalués
Coût moyen observé
Croissance observée
199719961995
Croissance moyenne = (6,3 % + 2,0 % ) / 2 = 4,1 %
Page 1903.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
! Méthodes de coûts moyens
Deuxième étape : estimation des coûts moyens
Exercices de survenance
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191/330
27262617
4,1 %4,1 %
251424512317Coût moyen
Croissance prévue du coût moyen
Coût moyen évalué
19991998199719961995
Page 1913.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
! Méthodes de coûts moyens
Troisième étape : estimation des provisions
Exercice de survenance
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192/330
18929= Provisions
483
294
487
458
=Charge totale de sinistres
- Paiements déjà effectuées
2726
177
2617
186
Coût moyen évalué * Nombrede sinistres évalués
19991998(en milliers)
Page 1923.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
! Méthodes liquidatives
Les méthodes liquidatives supposent que la liquidation
passée des provisions, en boni ou en mali, se reproduira
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193/330
p p , , p
dans le futur.
! une liquidation de provision présente un boni si la provision constituée en
début d’exercice a permis de payer les règlements de l’exercice, de constituer
la provision en fin d’exercice et de dégager un excédent
Page 1933.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
! Méthodes liquidatives
Exercices de survenance
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434473465478452Charge évaluée par la société à fin 1999
468465479452Charge évaluée par la société à fin 1998
461481453Charge évaluée par la société à fin 1997
475455Charge évaluée par la société à fin 1996
447Charge évaluée par la société à fin 1995
19991998199719961995(en milliers)
Page 1943.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
! Méthodes liquidatives
?5468Boni (-) mali (+) constaté l’année n + 1
434468461475447Charge évaluée par la société l’année n
19991998199719961995(en milliers)
Exercices de survenance
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???-1-1Boni (-) mali (+) constaté l’année n + 3
??0-2-2Boni (-) mali (+) constaté l’année n + 2
?5468Boni ( ) mali (+) constaté l année n + 1
#Le mali constaté l’année n + 1 est une charge moyenne de (8 + 6 + 4 +5) / 4 = +6
#Le boni constaté l’année n + 2 est une charge négative moyenne de (-2 -2 - 0 ) / 3 = -1
#Le boni constaté l’année n + 3 est une charge négative moyenne de (-1 -1 ) / 2 = -1
Page 1953.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
! Méthodes liquidatives
65468Boni (-) mali (+) constaté l’année n + 1
434468461475447Charge évaluée par la société l’année n
19991998199719961995(en milliers)
Exercices de survenance n
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-1-1-1-1-1Boni (-) mali (+) constaté l’année n + 3
438471464478452
-1-10-2-2Boni (-) mali (+) constaté l’année n + 2
65468Boni ( ) mali (+) constaté l année n + 1
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Page 1973.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
Triangles de liquidation
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Page 1983.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
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199/330
Page 1993.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
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200/330
Page 2003.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
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201/330
Page 2013.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
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202/330
Page 2023.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
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203/330
Page 2033.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
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Page 2043.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
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Page 2053.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
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Page 2063.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
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Page 2073.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
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Page 2083.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
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Page 2093.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
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Page 2103.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
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Page 2113.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
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Page 2123.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
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213/330
Page 2133.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
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214/330
Page 2143.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
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Page 2153.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
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Page 2163.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
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Page 2173.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
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Page 2183.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
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219/330
Page 2193.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
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220/330
Page 2203.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
A l’origine… Chain-Ladder
!Méthode basée sur les facteurs de développement
!Hypothèse du modèle : – La cadence des paiements (ou des charges) des sinistres est identique quelle que soit l’année de survenance
! De façon pratique :
– Méthode qui s’applique à des triangles cumulés
– Estimation des facteurs de développement :
&: &
−≤≤=
&
&−
−
=
+
" *
-)*
-
*"
*"
)
*)
*λ
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– Estimation de la charge ultime :
Cette méthode extrait la cadence de règlement à partir des donnéeshistoriques et l’utilise pour projeter le développement futur.
&
&=
-)*)
" *)"- - *)")"))* ≤≤+−×××= −−+−= *#:222:: && λ λ
Page 2213.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
Survenance 1 2 3 4 5 6 7+
1998 3 209 4 372 4 411 4 428 4 435 4 456
1999 3 367 4 659 4 696 4 720 4 730
2000 3 871 5 345 5 398 5 420
2001 4 239 5 917 6 020
Chain-Ladder : les triangles de développement
! Exemple de triangle de développement (paiements cumulés bruts de recours à encaisser)
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2002 4 929 6 794
2003 5 217
;7
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223/330
2003 5 217
λλλλj 1,381 1,011 1,004 1,002 1,005
C = B A/C
Page 2233.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
Survenance 1 2 3 4 5 6ChargeUltime
Provisionsestimées
1995 3 209 4 372 4 411 4 428 4 435 4 456 4 456 0
1996 3 367 4 659 4 696 4 720 4 730 4 752 4 752 22
1997 3 871 5 345 5 398 5 420 5 430 5 456 5 456 36
1998 4 239 5 917 6 020 6 046 6 057 6 086 6 086 66
Année de développement
Chain-Ladder : calcul de la charge ultime
! Déduction du triangle inférieur et de la charge ultime estimée
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1999 4 929 6 794 6 872 6 902 6 914 6 947 6 947 153
2000 5 217 7 204 7 287 7 318 7 332 7 367 7 367 2 150Total 35 064 2 427
λλλλ j 1,381 1,011 1,004 1,002 1,005cadence 01:02 02:03 03:04 04:05 05:06 6:Infini
X XX
Tail facteur à choisirex=1
X
Page 2243.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
A l’origine… Chain-Ladder
!Avantages: – un benchmark incontournable
– simple à mettre en œuvre
– peut être ajusté pour tenir compte de l’inflation
– non nécessité d’une loi de distribution
!Inconvénients:R h thè t è f t i ti li
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– Repose sur une hypothèse très forte qui suppose en particulier que :# Le développement des sinistres est régulier : les sinistres sont déclarés et payés au même
rythme quelle que soit la survenance# Les provisions dossier/dossier sont estimées par des méthodes pérennes
– La méthode ne permet pas d’estimer un facteur de queue de distribution
– Effet multiplicatif du risque d’erreur sur les survenances récentes
Page 2253.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
Précisions sur les points délicats
!2 principaux points délicats – Déterminer une cadence représentative du futur
– Le facteur de queue de distribution
!Cadence représentative du futur
8/16/2019 Cours IARD
226/330
– Le futur n’est pas toujours semblable au passé ; il faut éliminer les
développements du passé qui ne se reproduiront pas dans l’avenir# Événements exceptionnels (tempêtes, ouragan…) : supprimer le choc
# Irrégularité dans les cadences
# Évolution dans le temps de la cadence
Page 226
I7
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J/6/>0D7< B/C E=>0/?GC
B/ BAH/6755/@/
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228/330
ppassés
# Validation graphique : estimer les charges ultimes des années les plus anciennes, et endéduire le coefficient de queue
– Utiliser des cadences de marché
# Utiliser des données publiques ou celles d’une compagnie semblable / comparer les Links
Ratios actuels à ceux du marché# Utiliser les cadences de marché pour projeter le futur
Page 2283.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)Méthodes Chain Ladder Pondérées
!Utiliser un même facteur de développement de délai j pour toutes les annéesd’origine
*)
*)
)* *"
)
)*
*"
)
)*)*
*
-
- . " *
.
#
&
& =H/> ) 57?G+
−
=
−
=∧
=≤≤=
&
&
ω
ω
λ
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229/330
– Choix standard :
# Moyenne :
# Chain Ladder standard :
&−
=
∧
−=
*"
)
)* * . *" &
& λ
*))* - #=ω
Page 2293.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)Méthodes Chain Ladder Pondérées
– Choix standard :# Le dernier :
# Moyenne des k derniers (si k = 3 ):
+& CD &
&
−≤≤=−−∧
& " * . *"
)**λ
* *" * . #−
∧
=λ
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230/330
( )
& CD
* CD *
&
+
#&
#*#&
+
−==
−=+=
∧
∧
−−=
&
" * .
" * . .
*.
* *
* * *
*")
)* *
λ
λ
Page 2303.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
L’évolution ces dernières années
!Jusqu’à présent, une estimation du montant des provisions baséeessentiellement sur des méthodes déterministes (Chain Ladder).
– Existence de certaines limites.
!Le contexte règlementaire (IFRS, Solvency II…) :
– Arrivée des nouvelles normes comptables
8/16/2019 Cours IARD
231/330
– Nécessité de développer des modèles stochastiques (GLM, GAM) pour obtenir lameilleure estimation possible des réserves (best estimate) ainsi qu’une mesure devariabilité de cette estimation (VaR, Tail VaR, Quantiles, écart-types…)
Page 2313.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
Méthodes stochastiques usuelles
!3 grandes méthodes : – Les modèles GLM (Modèles linéaires généralisés) et la régression LogNormale : appartiennent à
la famille des modèles stochastiques paramétriques
– La méthode de ré-échantillonnage : Le Bootstrap
– Les modèles GAM : modèles stochastiques non paramétriques
!Qu’est ce qu’ un modèle stochastique?
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232/330
– C’est un modèle statistique dont les composantes sont des variables aléatoires.
!Avantages:# explicite les hypothèses utilisées dans le modèle et permet de les valider partiellement# donne une mesure de la variabilité des montants de provisions estimées# permet de construire des intervalles de confiance# permet de simuler la sinistralité d’exercices futurs
Page 232
Modèles factoriels paramétriques
!
Ces méthodes s’appliquent en général sur les triangles de paiements non cumulés! Ce sont des méthodes multiplicatives qui permettent de modéliser l’évolution des paiements dans
les trois directions (année d’origine, délai de développement, année comptable). A chaquedirection est associée une variable
3.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
délai j variable ß j
0 j n
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années i
d’origine i
variable $i n
Yij = v.a.
!"# %&&'( )%*(&+%!,(
!"#$"%&' ) $*+
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Page 2343.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
Modèles factoriels paramétriques
!Modèle multiplicatif sous la forme d’un produit de paramètres correspondantchacun à une direction du triangle de liquidation :
!3 modèles présentés :
*) *) *)/ += θ β #
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235/330
– Moindres carrés de De Vylder
– Régression Log-Normale
– Modèle linéaire généralisé (GLM)
Page 2353.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
Modèles factoriels paramétriques
Moindres carrés de De Vylder
! Inflation annuelle constante :
! représente la charge sinistres de l’année i et la cadence (no cumulée) derèglement en jième année de développement.
*) *)/ β =#
) * β
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236/330
! Les 2(n+1) paramètres sont estimés à l’aide des moindres carrées :
( )
%%
"
%%
#
$
=
−
&
& &
=
=
−
=
& U
@D<
<
& V
V
& &
#
β
β α
& $
0"
)
)"
*
*) *)
( ) V #)
Page 2363.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
Modèles factoriels paramétriquesRégression Log-Normale
!Régression Log-Normale :
– On suppose que Yij suit une loi log-normale
– On pose Zij = ln(Yij)
– %ij = E(Zij) = & + 'i + ßj
– E(Yij) = exp [ & + 'i + ßj + (²/2 ]
8/16/2019 Cours IARD
237/330
– Estimation des paramètres : maximum de vraisemblance
Page 2373.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
Illustration - régression LogNormale
! Exemple de triangle de développement (paiements non cumulés bruts de recours à encaisser)
intercept 7,947 Dev 0,000 -0,967 -4,233 -5,057 -5,903 -4,903
(^2 0,031
orig Survenance 1 2 3 4 5 6
Charge
Ultime
Provisions
estimées
0,000 1995 3 209 1 163 39 17 7 21 4 456 0
0,160 1996 3 367 1 292 37 24 10 25 4 755 25
0,272 1997 3 871 1 474 53 22 10 28 5 458 38
0,590 1998 4 239 1 678 103 33 14 38 6 106 86
Année de développement
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238/330
0,554 1999 4 929 1 865 72 32 14 37 6 949 155
0,613 2000 5 217 2 014 77 34 14 39 7 395 2 178
Total 35 119 2 482
8/16/2019 Cours IARD
239/330
Page 239
Modèles factoriels paramétriquesModèles linéaires généralisés
!Méthodologie de mise en œuvre d’un GLM :
– Hypothèse de distribution de la variable à expliquer
# Gamma
# Poisson (Poisson surdispersé)
# Gaussienne
– Choix de la structure paramétrique du modèle
# Structure additive / multiplicative
3.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
8/16/2019 Cours IARD
240/330
St uctu e add t e / u t p cat e
– Construction du modèle
– Validation du modèle
# Validation du montant des réserves
# Validation de la cadence obtenue# Validation statistique : résidus, déviance
Page 240
Modèles factoriels paramétriquesHypothèse de distribution de la variable à expliquer
! distribution de la variable à expliquer
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
données
loi log-normale
loi gamma
0%
20%
40%
60%
80%
100%
données
loi log-normaleloi gamma
3.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
8/16/2019 Cours IARD
241/330
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
données
loi log-normale
loi gamma
Page 2413.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
Illustration – Modèle GLM Poisson
! Exemple de triangle de développement (paiements non cumulés bruts de recours à encaisser)
intercept 8,057 Dev 0,000 -0,965 -4,149 -5,105 -5,950 -5,012
origSurvenance 1 2 3 4 5 6
Charge
Ultime
Provisions
estimées0,000 1995 3 209 1 163 39 17 7 21 4 456 0
0,064 1996 3 367 1 292 37 24 10 22 4 752 22
0,202 1997 3 871 1 474 53 22 10 26 5 456 36
0,312 1998 4 239 1 678 103 26 11 29 6 086 66
0 444 1999 4 929 1 865 78 30 13 33 6 947 153
Année de développement
8/16/2019 Cours IARD
242/330
0,444 1999 4 929 1 865 78 30 13 33 6 947 153
0,503 2000 5 217 1 987 82 32 14 35 7 367 2 150Total 35 064 2 427
Page 2423.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
Modèles factoriels paramétriquesVolatilité et obtention des quantiles
!Mesure de la volatilité des réserves
– Bootstrap
!Obtention des quantiles
8/16/2019 Cours IARD
243/330
– Bootstrap – Méthodes alternatives : basées sur les 1ers moments du montant des réserves R
Page 2433.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
Modèles factoriels paramétriquesBootstrap
!Méthode de ré-échantillonage permettant d’obtenir une distribution du montant desréserves
! En général, ré-échantillonage basé sur le triangle des résidus de Pearson
!Obtention de B triangles de résidus (B>1000 ou 2000)
1:3
:13
)*
)*)* ,)*
2
03
µ
−=
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244/330
!Obtention de B triangles supérieurs d’incréments Y’ij
!Ré-utilisation du modèle sur chaque triangle et obtention de B montants de réserves
Page 2443.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)
)* 4: ) 5:&K 0GD=
8/16/2019 Cours IARD
245/330
GAA>R=
8/16/2019 Cours IARD
246/330
– Quantiles
– Écart-type / mesure de volatilité
! " " #
$ % %
& '
! " " (
! " " )
! " " *
Page 246
0%
5%
10%
15%
20%
échantillon bootsrap
loi normale
3.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)Modèles factoriels paramétriquesHypothèse de distribution de la variable à expliquer
! Exemples de distributions obtenues (bootstrap – GLM Poisson)
0%
5%
10%
15%
20%
25%
échantillon bootsrap
loi normale
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247/330
0%
2%
4%
6%8%
10%
12%
14%
16%
18%
20%
échantillon bootsrap
loi normale
Page 247
3.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)Illustration – Bootstrap sur le modèle GLM Poisson
Exercice de
survenance
Moyenne Ecart-Type
1988 0 0
1989 22 9
1990 36 11
1991 66 14
1992 152 181993 2150 75
! Statistiques sur la distribution de réserves
H is t o g r a m o f R e s e r v e
2 0 0
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248/330
! Histogramme de la distribution des réserves
R e s e r v e
F r e q u e n c y
2 2 0 0 2 3 0 0 2 4 0 0 2 5 0 0 2 6 0 0 2 7 0 0 2 8 0 0
0
5 0
1 0 0
1 5 0
Page 2483.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)Modèles factoriels paramétriquesObtention des quantiles – méthodes alternatives
!Méthodes basées sur les 1ers moments de la distribution des réserves
– Dans certains cas (modèle poissonien), la distribution des réserves peut être obtenueen utilisant les propriétés de la fonction des moments généralisés de la variable Yij
– Approximation de la fonction de répartition du montant des réserves par une fonction
de répartition connue, qui va s’exprimer en fonction des 1ers moments de ladistribution des réserves
– Les 1ers moments de la distribution des réserves peuvent s’exprimer comme desfonction des estimations
– Plusieurs approximations possibles :
1:3 )*2
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us eu s app o at o s poss b es# Normal Power
# Gamma
Page 249
3.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)Modèle conditi