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Lois de llectrocintique
1 Courant lectrique
1.1 Notion de courantUn conducteur est un matriau contenant des charges libres capables de se dplacer. Dans
les lectrolytes les charges mobiles sont des ions. Dans les autres conducteurs, les charges sont
des lectrons. Un courant lectriqueexiste quand une chargeqest transfre dun point
un autre du conducteur. Lintensitdu courant, linstant t, est reprsente par le dbit des
charges.
)seconde(dt
)coulomb(dQ)ampre(I =
Pour des raisons historiques, le sens conventionnel dun courant positif est celui du dpla-
cement de charges positives. Il est donc oppos la direction de dplacements des lectrons.
1.2 Vecteur densit de courant
Le courant peut sexprimer en fonction de la
vitesse des charges mobiles. On considre un
conducteur de section dS. Soit n le nombre de
charges mobiles par unit de volume et v!
leurvitesse. Pendant la dure dt, la charge dQ qui
traverse la section dS est gale :
Sd.dt.v.Sd.dt.v.e.ndQ!
!
!
!
==
On dfinit le vecteur densit de courantpar : v.j !
!
= Lintensit du courant travers un conducteur de section totale A scrit donc :
== )A( Sd.jdtdQ
I
!!
1.3 Loi dOhm
Dans un conducteur, on constate que la densit de courant est relie au champ lectrique
par la relation :
E.j!!
=
La constante , fonction de la nature du matriau, est la conductivit. On utilise plutt
pour caractriser le matriau sa rsistivitS/I
E1 =
= .
Pour un conducteur de longueur L, de section constante S, on dfinit la rsistanceR par :
dS
Vdt
E
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.html5/27/2018 cours lctronique analogique
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S
LR =
Si VAet VBdsignent les potentiels de deux points A et B distant de L dans le conducteur,
la norme du champ lectrique est gale E = (VA VB)/L.
L
VV
S
I.j.
jE BA
====
On peut crire cette relation sous la forme plus habituelle suivante (loi dOhm) :
I.RVV BA = Les tensions sexpriment en volts (V), les intensits en ampres (A) et les rsistances en
ohms().
La loi dOhm traduit la dpendance de leffet (le courant ou dplacement des charges) la
cause (le champ lectrique E auquel correspond une diffrence de potentiel ou tension) en
fonction du matriau caractris par sa rsistance.
Cette dpendance est rarement linaire. Pour de nombreux composantslectroniques, les caractristiques (courbes du courant en fonction de la tension) ne
sont pas des droites. Pour les mtaux et les semi-conducteurs, la rsistance est
fonction de la temprature.
La rsistivit sexprime en ohm.mtre(.m).La gamme de rsistivit des matriaux est trs grande :
Mtaux Semi-conducteurs (300K) Isolants
Argent : 1,47.108.m Silicium : 2400 .m Verre : 1010 1014.m
Cuivre : 1,72.108
.m Germanium : 0,5 .m Mica : 1011
1015
.mAluminium : 2,63.10
8.m Eau : 0,1 105.m
1.4 Vitesse des lectrons dans un conducteur
On considre un fil de cuivre de section 10 mm parcouru par un courant de 30 A. Comme
chaque atome de cuivre possde deux lectrons mobiles, il y a environ n = 8.5 1028
lectrons
libres par m3. La densit de courant j = n.e.v vaut 30.10
5A/m. La valeur de la vitesse de
dplacement des lectrons est donc voisine de 210 m/s.
Cette vitesse tant trs faible, lamplitude des dplacements des lectrons pour un courant
alternatif est elle aussi trs petite.
2 Lois fondamentales de llectrocintique
2.1 Rgimes permanents et quasi-permanentsLe rgime permanentest celui qui existe aprs la fin des phnomnes transitoires qui se
produisent lors de la mise sous tension dun circuit.
Si une grandeur lectrique G est fonction du temps, il existe a priorides phnomnes de
propagation dans le circuit et G est en fait une fonction du temps et de lespace : G = f(t, x).
Mais si les dimensions du circuit sont ngligeables devant la longueur donde associe au
phnomne, on peut ngliger la propagation. Par exemple, pour une frquence de 1 MHz, la
longueur donde associe (= c/f) est voisine de 300 m. Ce nest que pour des frquencessuprieures 1 GHz que la dimension des circuits devient comparable celle de la longueur
donde.
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Dans lapproximation, dite des tats quasi-permanents, on admet que G est seulement
fonction du temps. Il ny a pas accumulation des charges dans certains points du circuit : un
instant donn, lintensit est la mme en tous les points dun conducteur donn.
2.2 Lois de Kirchhoff 1Dans lapproximation des tats quasi-permanents, on peut formuler les deux lois suivantes :
Aux bifurcations (nuds) dun circuit, il y a conservation de la charge lectrique et donc dela somme algbrique des intensits :
I = 0 Dans une chane de conducteurs il y a additivit des diffrences de potentiels :
U U UAC AB BC= +
Ces deux lois, appeles aussi loi des nudset loi des mailles, sont les lois fondamentales de
llectrocintique et elles permettent (en principe) ltude de tous les circuits lectriques
constitus de diples.
3 Diples lectriques
3.1 Dfinition
Cest un conducteur qui possde une borne dentre et une borne
de sortie du courant.
Il est caractris par deux grandeurs algbriques : lintensitqui le
traverse Iet la tensionentre ses bornes UAB= UA UB
3.2 Conventions de signe
La principale difficult rencontre par les nophytes est lcriture correcte des signes.
Par convention on pose que dans un circuit orient, le courant est positif si des chargespositives se dplacent dans le sens positif.
Pour les diffrences de potentiel, il existe deux possibilits de choix. Nous utiliserons la
convention dite convention rcepteurqui est la plus intuitive car avec cette convention, un
courant positif provoque une chute de tension dans le diple plac entre A et B.
On reprsente les tensions par une flche oriente des potentiels faibles vers les potentiels
levs. Ainsi sur la figure, on a UA> UB.
Avec cette convention, lexpression de la loi dOhm est UA UB = R.I ; (avec lautre
convention, la loi dOhm scrit UA UB= R.I).
En cas doute dans la mise en uvre, retenez que :
Dans un rcepteur, les charges scoulent des potentiels levs vers les potentielsfaibles : les flches reprsentatives de la tension et du courant sont de sens
contraires.
Dans un gnrateur, la situation est inverse et les flches reprsentatives du courant et de la
tension sont alors de mme sens.
3.3 Caractristique dun dipleDans un diple, courant et tension sont lis par les relations rciproques :
U = f (I) et I = g(U)
Les graphes correspondants dans les plans (U, I) et (I, U) sont les caractristiquesdu diple.
1 Gustav Kirchhoff (physicien allemand) 1824-1887
A B
U
I
D ip le
AB
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Dans la reprsentation U = f (I), on met en avant la loi des mailles et les gnrateurs de
tension. Dans la reprsentation I = g(U), on met en avant la loi des nudset les gnrateurs
de courant.
3.4 Classification des diples
""""Diples actifs et passifs
Un diple passif consomme de lnergie. Sa caractristique passe par lorigine. (I = 0 si U = 0).Un diple actif fournit de lnergie au circuit dans lequel il est connect.
Le diple 1 est actif, 2 et 3 sont passifs.
""""Diples symtriquesLa caractristique est symtrique par rapport lorigine.
Un diple symtrique est toujours passif. Son
fonctionnement nest pas modifi si on inverse le sens du
courant : il nest pas polaris. Sur la figure 2, le diple n
2 est symtrique.
""""Diples linaires
La caractristique est une droite dquation :
U = a.I + b ou I = p.U + q
En lectronique, on utilise de nombreux diples non linaires. Les circuits qui contiennent ces
diples ne peuvent, en gnral, pas tre tudis avec des mthodes analytiques rigoureuses. La
connaissance des caractristiques permet alors lanalyse de ces circuits avec des mthodes
graphiques.
3.5 Diples linaires idaux
""""Rsistance2(Fig. 3-a).
La loi dOhm qui traduit la dpendance entre courant et tension, scrit :
U = R.I I = G.UR est la rsistancedont la valeur sexprime en ohms().G est la conductancedont la valeur sexprime en siemens(S).
Si la valeur de la rsistance est fonction du courant, elle est non linaire. Cest le cas pour les
rsistances mtalliques, les varistances, les photorsistances
""""Source de tension idale (Fig. 3-b).
La tension U entre ses bornes, gale E (force lectromotrice du gnrateur), est
indpendante du courant quelle dlivre. Pour les sources relles, la tension de sortie diminue
2 En franais le mme mot (rsistance) dsigne lobjet et sa valeur. Certains auteurs nomment lobjet un
rsistor ou rsisteur .
U
1
2
3
I
Fig. 2
Fig 3-a Fig 3-b
U
U
I
E
Fig 3-c
I
U
I
U
I
A B
UAB
E A B
I
J
J
A B
AB
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si le courant dbit augmente. Les accumulateurs au plomb, les alimentations stabilises de
laboratoire sont de bonnes approximations des sources de tension idales.
Une pile lectrochimique usage prsente une forte rsistance interne : sa tension diminue
ds quelle dbite dans une charge.
""""Source de courant idale (Fig. 3-c).
Le courant de sortie I, gal J le courant lectromoteur du gnrateur, est indpendant de
la tension entre les bornes de la source. La rsistance interne est infinie. Il nexiste pas dans la
vie courante de modle de source de courant. Il est possible de simuler une source de courant
en plaant en srie une source de tension et une rsistance beaucoup plus grande que la
charge. Des circuits lectroniques simples permettent de raliser des sources de courant qui
dbitent un courant pratiquement indpendant de la charge.
Un gnrateur idal doit se comporter comme un rcepteur idal quand on inverse le
sens du courant qui le traverse. Les gnrateurs rels ne sont en gnral pas
rversibles. On risque de faire exploser une pile en essayant de la recharger !
""""Modlisation dun diple linaire quelconque
La modlisation dun diple consiste le remplacer par un circuit quivalent (rpondant auxmmes quations) constitu de diples idaux.
U0
0
U
II
Fig. 4
Lquation de la caractristique dun diple linaire est de
la forme :
U = a.I + b ou I = a.U + b
Cette caractristique coupe les axes aux points :
(U0, 0) et (0, I0).
Si le diple est passif alors U0et I0sont nuls.
Pour un gnrateur, U0est la tension vide (courant dbit nul) et I0est le courant de court-
circuit.""""Modlisation dun gnrateur linaireOn peut utiliser les deux modles quivalents suivants :
Modle source de tension
On pose E = U0et R = U0/I0 etdonc :
U E R I= .
On peut remplacer le diple par une source
de tension idale de f.e.m. E en srieavec
une rsistance R.
U
R
A
B
EAB
I
Fig. 5-a
Modle source de courant
On pose J = I0et G = I0/U0et donc :
I J G U= .
On peut remplacer le diple par une source de
courant idale dintensit J en parallleavec
une rsistance R.
G.U
A
B
J
I
Fig. 5-b
Ces deux reprsentations sont duales :
G = 1/R J = E/R R = 1/G E = R.JSi les diples ainsi modliss sont des gnrateurs purs, la rsistance R se nomme la
rsistance internedu gnrateur. Elle est nulle pour un gnrateur de tension idal et infiniepour un gnrateur de courant idal. E est la force lectromotrice (f.e.m.) vide cest--dire
sans charge entre A et B.
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J est le courant de court-circuit, cest--dire le courant qui circule dans un conducteur de
rsistance nulle plac entre A et B.
En lectronique de nombreux dispositifs se comportent comme des gnrateurs de courant,
on privilgie alors la reprsentation I = g(U).
""""Rsistances statiques et dynamiques
Pour un diple non linaire, on peut dfinir en chaque point
de sa caractristique :
une rsistance statiqueP
P
StI
UR
= (en bleu) et
une rsistance dynamiqueP
P
DydI
dUR
= (en vert)
Dans les rgions linaires de la caractristique, la rsistance dynamique du diple est
constante.
3.6 Point de fonctionnement dun circuitOn associe un diple rcepteur D un gnrateur et on veut dterminer quel est le courant qui
circule dans ce diple.Fig 7
La caractristique du gnrateur U = E RI (ou I = J G.U) est une droite (en noir) que lon
nomme droite de charge. Lintersection de la caractristique (en rouge) du diple D [U = f(I)
ou I = g(U)] avec la droite de charge dfinit le point de fonctionnement.
Ses coordonnes sont U (tension aux bornes de D) et I (courant qui le traverse).
Cette construction graphique est bien sr inutile si le diple D est linaire car alors :
U = E R.I = D.I
4 Association de diples
On se propose de dterminer le diple quivalent lassociation de plusieurs diples
lmentaires. On doit envisager les deux types dassociation suivants :
4.1 Association srie
Le courant qui traverse les diples associs est le mme ; il y
a additivit des tensions aux bornes des diples. Pour des
rsistances linaires, on a :
U U R Ik k= = .La rsistance du diple quivalent est donc gale la somme
des rsistances en srie :
R Rk= Avec des diples non linaires, on peut construire point par
point la caractristique du diple quivalent en utilisant
U
P
I
Fig. 6
E
Droitedecharge
U
JI
IIR R Pf
JE
U
D D
U
A B C
U
U U
AC
AB BC
I
D 1 D 2
U
ID1 D2 Dq
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ladditivit des tensions aux bornes des deux diples. UAC= UAB+ UBC
4.2 Association parallle
La tension U aux bornes des k diples associs est la mme et il y a
additivit des courantsqui traversent ces diples.
Pour des rsistances linaires, on peut crire :
I I G Uk k= = . G Gk=
La rsistance quivalente deux rsistances en parallle est donc telle que :
1 1 1
1 2
1 2
1 2R R RR
R R
R R= + =
+.
La rsistance quivalente des rsistances en parallle est donc plus petite que la plus petite
des rsistances associes.
Lutilisation de rsistances en parallle est lorigine de nombreuses erreurs de calcul.
Cliquez ici pour faire quelques exercices sur les rsistances en parallles.
Pour des diples non linaires, on peut construire point par point la caractristique du diple
quivalent en utilisant ladditivit des courants dans les deux diples.
4.3 Diviseur de tension idal
Si le courant i qui est driv en A est ngligeable devant le
courant I qui circule dans la rsistance R1, on peut crire que :
VA= R2(I i) R2.I
De la relation VCC= R1.I + R2(I i) (R1+ R2).IOn tire :
CC
21
2A V
RR
RV
+=
Ce circuit trs simple est dusage frquent en lectronique. Un potentiomtre non charg
constitue un diviseur de tension idal.
Cliquez ici pour examiner en dtail le principe du diviseur de tension.
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A B
UAB
I1
I2
Vcc R2R1
A
I-iiI
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/assoresi.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/potar.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/assoresi.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/potar.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.html5/27/2018 cours lctronique analogique
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Rseaux linaires
1 DfinitionsUn rseau lectrique linaire est un ensemble de diples linaires, relis par des
conducteurs de rsistance ngligeable. On suppose que le rseau contient au moins ungnrateur. Un rseau est constitu de b branches connectes par n nuds et formant m mailles .
"Un nudest un point de jonction de plusieurs conducteurs.
"Une brancheest une portion de circuit entre deux nuds.
"Une mailleest un parcoursferm, constitu de branches et ne passant quune seule foispar un nud donn.
EXEMPLES.1-a Pour ce rseau, on a b = 1, n = 0, m = 1.1-b : b = 3, EADG, EG, EBCG.
n = 2, E et G.m = 3, AEGDA, EBCGE, ABCDA.
1-c : b = 5, EADG, EF, EG, FG, FBCG.n = 3, E, F, G.m = 6, AEGDA, EFGE, FBCGF, AFGDA, EBCGE, ABCD.
1-d : b = 6, AB, BC, CD, DA, BD, AeC.n = 4, A, B, C, D.m = 7, ABDA, BCDB, ABCDA, ABCeA, ADCeA, ABDCeA, ADBCeA.
2 Rseaux en rgime permanentConnaissant les f.e.m. des gnrateurs et les rsistances du rseau, rsoudre celui-ci cestdterminer lintensit du courant qui circule dans chacune des branches.
2.1 Mthode gnrale de rsolution
Il existe bbranches dans le rseau donc bcourants inconnus. Les nnuds et les mmaillesdonnent a priorin + mquations. Comme en gnral n + m > b, il faut trouver un systmecomplet de bquations linairement indpendantes.Comme il existe n 1nuds indpendants, il faut tudierM = b n + 1mailles.
""""quations pour les nuds
Le nud dindice k est la jonction de p branches (dindice j) parcourues par des courants Ijk.
A A E E F
e
A
CDD G GDFig 1-a Fig 1-b Fig 1-c Fig 1-d
DC
C
C
A
BBBB
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.html5/27/2018 cours lctronique analogique
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La loi de conservation de llectricit (premire loi de Kirchhoff) scrit sous la formealgbrique suivante :
Ijk
j
p
==
01
(1)
""""quations des maillesLa maille dindice k contient q branches. La diffrence de potentiel entre les extrmits de
la branche j scrit Ujk.
Comme la maille constitue un parcours ferm, on a (seconde loi de Kirchhoff) :
Ujk
j
q
==
01
(2)
En procdant uniquement des regroupements en srie, on peut transformer toute branche j dela maille k en un gnrateur de f.e.m. Ej
ken srie avec une rsistance Rjkparcourue par le
courant Ijk
. (Si la branche ne contient pas de gnrateur alors Ejk
= 0). La loi des mailles peutdonc aussi scrire sous la forme :
E R Ijk
j
q
jk
j
q
jk
= = =
1 1
0. (3)
Les sommes sont des sommes algbriques et lcriture correcte des signes des diffrencesde potentiel constitue la seule difficult du problme.
La mthode la plus rationnelle consiste faire le choix dun sens de parcours sur lamaille tudie (choix arbitraire) et choisir pour chaque branche un sens pour lecourant. La f.e.m. dun gnrateur est compte avec le signe de la borne par laquelle
on entre dans celui-ci. Les d.d.p. aux bornes des rsistances sont positives si lecourant dans la branche a le mme sens que le sens de parcours et ngatives dans lecas contraire. On crit que la somme des tensions est nulle. Si lissue du calcul, onobtient pour le courant dune branche une valeur ngative, cest que le courant relde cette branche circule dans le sens oppos celui qui a t choisi1..
On obtient un systme linaire de M quations M inconnues de la forme :
MM
M
M2
2
M1
1
M
2MM22
221
12
1MM12
211
11
EI.RI.RI.R
EI.RI.RI.R
EI.RI.RI.R
=+++
=+++
=+++
!
!
!
(4)
qui peut scrire sous la forme matricielle suivante :
[R].(I) = (V) (5)
[R] est une MM matrice dont la dimension des lments est celle dune rsistance. (I) et(V) sont des vecteurs colonnes M lments.
2.2 Rsolution du systme
"En multipliant gauche la matrice [R] par son inverse, on tire :
1Si la branche contient un rcepteurpolaris, il faut faire l'tude pour les deux sens du courant. Selon celui-ci, lercepteur se comporte soit comme un rcepteur soit comme un gnrateur.
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)U].(G[)I(
)U].(G[)V].(R[)I].(R].[R[ 11
=
==
La dimension des lments de [G] est celle dune conductance. La valeur du courant dansla branche j est donc :
I G Uj ji
ii
M
= = .1 (6)"Il est aussi possible dutiliser la mthode de Kramer pour la rsolution du systme. Si estle dterminant de la matrice [R], jle dterminant de la matrice obtenue en remplaant la jecolonne de [R] par la colonne (V), on a :
Ijj
=
"Si M = 2, il est plus simple dutiliser la mthode de substitution pour rsoudre le systme.
"Ds que M est suprieur 3, la rsolution manuelle du systme est fastidieuse. On cherche
alors mettre en oeuvre les mthodes de simplification des rseaux qui permettent dentudier que les branches pertinentes.
2.3 Loi de Pouillet 2
Dans le cas o le rseau ne comporte quune maille, il estpossible de transformer le circuit initial en un circuit necomportant quun seul gnrateur, dont la f.e.m. est la sommealgbrique des f.e.m. des gnrateurs de la maille ( = k kEE )et une seule rsistance = k kRR .
Lintensit dans le circuit est donc : IE
R
E
R
k
k
= =
Cette relation constitue la loi de Pouillet.
2.4 Exemplesa Mthode gnraleOn cherche les courants dans toutes les branches du circuit de la figure 3.Le choix du sens des courants dans les 5 branches est arbitraire. Il y a pour cet exemple trois
courants calculer I1, I2et I3car la loi des nuds en B et C donne : I4= I1 I2et I5= I2 I3
Fig. 3
+
2 Claude Pouillet (physicien franais) 1790-1868
E
IR
Fig. 2
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Les flches en pointills violets indiquent les sens de parcours, choisis arbitrairement, des 3mailles tudies.
Pour la maille ABFGA, on obtient :
(VA VB) + (VB VF) + (VF VG) + (VG VA) = 0
Soit : 4 + 6.(I1 I2) + 1 + 2.(I1) = 0
De mme : 6.(I1 I2) + 3.(I2) + 7.(I2 I3) = 0 (maille FBCEF) 7(I2 I3) + 4.(I3) 6 = 0 (maille ECDE)
Dou la reprsentation matricielle du systme :
=
6
0
3
I
I
I
.
1170
7166
068
3
2
1
Pour rsoudre ce systme linaire, il suffit dinverser la matrice : on la transpose, puis onremplace dans la transpose chaque terme par son cofacteur(attention au signe) divis par ledterminant. On peut aussi utiliser un logiciel spcialis.
Cliquez ici pour rsoudre cet exemple.
=
6
0
3
.
925642
568866
4266127
620
1
I
I
I
3
2
1
Rsolution par la mthode de Kramer : (pour obtenir la variable k, on divise le dterminantde la matrice obtenue en remplaant la ke colonne par la colonne des constantes par ledterminant de la matrice initiale.
A093,1620
678I;A861,0
620
534I;A021,1
620
633
1170
7166
068
1176
7160
063
I 321 ======
=
REMARQUE: Comme I5= 0,232 A est ngatif, le courant dans la branche CE circule dans lesens contraire celui de la flche de la figure 3.Les courants rels I2et I3circulent dans lesens contraire des flches.
b Mthode par substitutions
On cherche dterminer VAMMise en quation :
I3= I1+ I2maille BAMB : 20.I1+ 10.I2= 12 (a)maille CMAC : 10.I1+ 25.I2= 20 (b)Rsolution :De la diffrence (a) 2.(b), on tire :40.I2= 52 soit I2= 1,3 A.
VAM= RAM.I3= 0,5 V.et donc : I1= 1,25 A et I3= 0,05fig. 4
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/superpos.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/superpos.html5/27/2018 cours lctronique analogique
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3 Thorme de Millman 3On considre un nud A auquel aboutissent k branches ; les
potentiels Vides extrmits des branches sont tous dfinis parrapport un mme potentiel de rfrence Vref;Riest la rsistance de la branche i et Gisa conductance.
La loi des nuds scrit :0IIII k21
k
1ii =+++=
=
!
0R
VV
R
VV
R
VV
k
Ak
2
A2
1
A1 =
++
+
!
0G).VV(G).VV(G).VV( kAk2A21A1 =+++ !
= iiiA G.VG.VLe potentiel du point A par rapport celui de la rfrence commune est donc :
=
i i
i ii
A GG.VV (8)
EXEMPLE: Sur le schma de la figure 4, on prend le point M comme origine des potentiels. Ona donc VB= 12 V, VC= 20 V, VM= 0.
VAM= V
V V V
VA
B C M
=+ +
+ += 10 15 10
1
10
1
15
1
10
0 5,
Remarques:
Soit Ikle courant dans la branche k. Il peut tre intressant dcrire le thorme de Millmansous la forme suivante :
+
=
kii
kiiik
A G
G.VI
V
Le thorme de Millman (qui est une autre faon dcrire la loi des nuds) permet dans denombreux cas de rsoudre rapidement un rseau mais il faut lappliquer correctement :
Lors de la mise en uvre, ne pas oublier de faire figurer au dnominateur lesbranches dont le potentiel de lextrmit est nul !
4 Thorme de superpositionCe thorme dcoule directement de la linarit des quations de Kirchhoff : un diple
constitu de diples linaires est un diple linaire. Dans un rseau linaire, il est possible deremplacer un ensemble de diples par un diple quivalent. La relation (6) montre que lecourant Ij dans une branche est la somme de termes de la forme G Uj
kk. , les Gj
k ayant la
dimension dune conductance.
Lintensit du courant dans une branche dun rseau comprenant plusieursgnrateurs est la somme des intensits, que ferait passer, dans cette branche,chaque gnrateur considr isolment comme actif, les autres gnrateurs durseau tant alors passifs.
3 Jacob Millman (physicien amricain) contemporain
R1Ik
I3
I2
I1
VA
Vk
V3V2
V1
Rk
R3
Vref
R2
fig.5
5/27/2018 cours lctronique analogique
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Rendre passif un gnrateur, cest le remplacer par sa rsistance interne.
EXEMPLE: Sur le schma de la figure 4, on remplace successivement chaque gnrateur par uncourt-circuit.
Si E2= 0 la rsistance quivalente entre A etM est (15 // 10 ) = 6 U1est la tension aux bornes dune rsistancede 6 dans un circuit de rsistance totalegale 16 aliment par une tension E1.
U1= 12.6/(10 + 6) = 4,5 V
Si E1= 0 la rsistance quivalente entre A etM est (10 // 10 ) = 5 La tension U2 induite entre A et M par leseul gnrateur E2est gale :
U2= 20.5/(15 + 5) = 5 V
On en dduit : VAM= U1+ U2= 0,5 V
Cliquez ici pour faire dautres exercices sur le principe de superposition.
5 Circuits quivalents
5.1 Thorme de Thvenin 4On considre un rseau comprenant des diples actifs et passifs et on sintresse au
fonctionnement dun diple D particulier. Il est travers par un courant I et la d.d.p. entre sesbornes est U.
Supposons que D soit isol du reste du rseau. Si ce reste de rseau est actif, la f.e.m.mesure entre A et B vaut ET : cest la tension en circuit ouvert. Sil est rendu passif cest--dire si les gnrateurs sont remplacs par leurs rsistances internes, la rsistance mesure entreA et B vaut RT. On remplace D par une source de tension idale de f.e.m. U. Daprs lethorme de superposition, le fonctionnement du circuit est inchang. Le courant I est lasuperposition dun courant IPcorrespondant la passivation de toutes les sources autres que Uet dun courant IAo seule la source U est passive : I = IP+ IA
Si le gnrateur qui remplace D est seul tre actif le reste durseau est quivalent RT: IP= U/RT
Si on passive ce gnrateur, il est quivalent une rsistancenulle : le reste du rseau dbite dans ce fil le courant IA= ET/RTCe courant est le courant de court-circuit entre A et B.
I = IA+ IP= ET/RT U/RT
Lquation du circuit quivalent est donc :
U = E .IT T R
Cette quation est celle dun gnrateur de tension que lon nomme le gnrateur de Thvenindu circuit. Les deux circuits de la figure 7 sont quivalents et lapplication de la loi de Pouilletau circuit de droite donne de faon triviale : ET= (RT+ D).I
4 Louis Thvenin (physicien franais) 1857-1926
Dipleactiv
Rseaupassiv
A
B
U
I P
Fig. 6
Diplepassiv
Rseauactiv
IAA
B
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/superpos.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/superpos.html5/27/2018 cours lctronique analogique
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Fig. 7
Un rseau linaire, vu entre deux bornes A et B, peut tre remplac par ungnrateur de tension de f.e.m. ETet de rsistance interne RT.
ETest la d.d.p. mesure vide entre A et B. RTest la rsistance mesure entre A et B quand D est retir du circuit et quetous les gnrateurs du rseau sont remplacs par leurs rsistances internes.
5.2 Thorme de Norton
Cest la transformation duale de celle de Thvenin. La source de tension (ET, RT) estremplace par une source de courant (IN, RN).
Fig. 8Si on remplace D par un court-circuit, le courant qui circule entre A et B est :
IN= ET/RT= ET/RN= ET.GNRNest la rsistance entre A et B quand les gnrateurs du rseau sont passivs.
Lquation du circuit quivalent est donc : I = I GN N .U
Un rseau linaire, vu entre deux bornes A et B, peut tre remplac par une sourcede courant dintensit INet de rsistance interne RN.
INest le courant de court-circuit entre A et B. RTest la rsistance mesure entre A et B quand D est retir du circuit et quetous les gnrateurs du rseau sont remplacs par leurs rsistances internes.
La connaissance dun modle quivalent permet la dduction immdiate du modle dualcarRT= RN
Les paramtres des gnrateurs quivalents sont relis par : NTT I.RE = Quand on tudie un diple particulier dun rseau, les mthodes de Thvenin et de Norton
sont trs efficaces car elles permettent de remplacer un circuit complexe par un circuitlmentaire dans lequel les calculs sont immdiats.
5.3 Exemples dapplication
On cherche, en utilisant des quivalents Thvenin et Norton du circuit de la figure 4, dterminer U = VAM
quivalent Thvenin
La partie du circuit situe droite de AM (maille ACMA) est remplace par le gnrateur E T,RT. La rsistance RTest celle qui est vue entre A et M quand E2est remplac par un court-circuit : RT= (10 // 15 ) = 6 .
5/27/2018 cours lctronique analogique
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La tension ETest la d.d.p. entre A et M quand la partie gauche du circuit est dbranche. Cestla chute de tension dans la rsistance RAMqui est alimente par le gnrateur E2en srie avecRAC: ET= 20.{10/(10+15)} = 8 V.On forme ainsi une maille unique dans laquelle le courant est gal :I = (12 + 8) / (10 + 6) = 1,25 A.
Fig. 8
On en dduit VAM= VAB+ VBM= 10.1,25 + 12 = 0,5 V
quivalent NortonOn remplace le gnrateur E1et la rsistance entre BA par le gnrateur de Norton quivalent(I1= 12/10 = 1,2 A et R1= 10 ). On fait de mme pour le gnrateur E2: I2= 20/15 = 4/3 A et R2= 15 . Lensemble est quivalent un gnrateur de courant I = I1+ I2qui dbitedans une rsistance R0quivalente (10 // 15 // 10 ) soit 30/8 . La d.d.p. entre A et Mest donc : R0.I = 0,5 V.On peut noter sur cet exemple la complte analogie entre les thormes de Norton et deMillman.
Cliquez ici pour faire dautres exercices.
6 Thorme de Kennelly 5
La transformation suivante est parfois utilise pour la simplification de circuits comportantdes drivations.
quivalence toile-triangleLes deux circuits de la figure 11 sont quivalents si les valeurs de leurs rsistances sont lies
par les relations indiques ci-dessous.
Fig. 11
Le passage de la structure triangle (ABC) la structure toile (OABC) sobtient par lesrelations :
Si on dconnecte le point A, il doit y avoir galit des impdances entre B et C.
Z23= R2+ R3= R23// (R12+ R13).
5 Arthur Kennelly (physicien amricain) 1861-1939
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/thevenin.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/thevenin.html5/27/2018 cours lctronique analogique
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On tire les trois galits suivantes :
R RR R R R
R R R2 312 23 13 23
12 23 13
+ = +
+ +; R R
R R R R
R R R2 112 23 13 12
12 23 13
+ = +
+ +; R R
R R R R
R R R1 312 13 13 23
12 23 13
+ = +
+ +
En sommant les 2 premires galits et en retranchant la 3e, on dduit :
231212
13233
231212
23122
231212
13121 RRR
R.RRRRR
R.RRRRR
R.RR ++=++=++=
Pour la transformation inverse, on relie B et C: la conductance entre A et B-C scrit alors :
313221
32
1312a RRRRRR
RR
R
1
R
1
Z
1
++
+=+= ( Za= R12// R13ou R1+ (R2// R3)
On calcule de mme 1/Zbet 1/Zcet lon calcule 1/Za+ 1/Zb 1/Zc
Il vient :133221
2
13 RRRRRR
R2
R
2
++= soit : ...
R
RRRRRRR
2
13322113
++=
On peut aussi crire que :
231231312
231312133221 RR
S:commeMais.
RRR
RRRRRRRRRS =
++=++=
on dduit : RR R R R R R
R231 2 2 3 3 1
1
= + +
...
Les relations rciproques sont quivalentes : !321
3223 GGG
GGG
++=
Cliquez ici pour tester ces relations.
7 ConclusionLes diffrentes mthodes tudies sont quivalentes mais pour ltude dun rseau
particulier certaines sont mieux adaptes que dautres. La principale difficult de ce type deproblmes est de trouver la mthode la plus pertinente. La mthode de Millman, souvent trsefficace, nest pas la panace et la mthode de Thvenin doit tre utilise aussi souvent que
possible car elle permet de transformer des circuits complexes en des circuits typeslmentaires. La mise en uvre simultane de plusieurs mthodes peut aussi savrer utile.
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Diples en rgime transitoire
1 Relations courant tension
Sil existe une relation linaire entre la tension u(t) et le courant i(t) dans un diple, celui-
ci est linaire . Rappelons les relations entre u(t) et i(t) pour les diples passifs usuels.
"""" RsistancesLa loi dOhm donne : U(t) = R.I(t) R en ohms()
"""" Inductances
De la loi de Lenz, on tire :
== dt)t(U
L
1)t(I
dt
)t(dIL)t(U L en henrys(H)
"""" Condensateurs
De dQ(t) = C.dU(t), on tire :
== dt)t(I
C
1)t(U
dt
)t(dUC)t(I C enfarads(F)
2 Diples passifs linaires en rgime variable
Soit un circuit constitu de diples passifs linaires soumis une tension de commande
V(t) et la variable y(t) dont la nature (intensit, charge) est fonction du problme considr.
On peut crire, pour ce circuit, une quation diffrentielle dont tous les coefficients ai sont
constants et dont la forme gnrale est :
a0.y + a1.y + a2.y + ... + an.y(n)= k.V(t)
On montre en analyse que la solution de cette quation est du type :
y(t) = y1(t) + y2(t)
y1(t) est la solution gnrale de lquation sanssecond membre.
y2(t) estunesolution particulire de lquation avecsecond membre.
Physiquement, y1(t) correspond au rgime libre cest--dire au fonctionnement ducircuit sans contraintes extrieures.
y2(t) correspond au rgime forc dont la nature est la mme que celle delexcitation V(t) qui est impose au circuit.
Aprs un rgime transitoire dont la dure est fonction des constantes de temps ducircuit, on obtient le rgime permanent.
Le systme est dit du premier ordre si lquation diffrentielle obtenue est du premierdegr, du second ordre si elle est du second degr ...
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3 Systmes du premier ordre3.1 Charge et dcharge dun condensateur"Charge
R
R
R
I
I
I
I
I
EV
C
G
G
E
E
U
Fig 1
On se place dans le cas le plus gnral : REest une
rsistance qui tient compte de la rsistance de fuite
du condensateur RF et de la rsistance de chargeventuelle RU. (RE= RU// RF).
Le gnrateur utilis pour la charge est modlis par
un gnrateur idal de f.e.m. E et de rsistance
interne RG.
Mthode des mailles
IG= I + IE= I + V/RE
I = dQ/dt = C.dV/dt
E = V + RG.I
G=V + R
G.C.dV/dt + V.R
G/R
E
Vdt
dVRC
R
RE:on tire,
R
1
R
1
R
1:posantenDonc
dt
dVC
RR
R.RV
RR
R.E
dt
dV.C.R
R
RR.VE
GEG
GE
EG
GE
E
G
E
GE
+=+=
++=
+
+
+=
Mthode de Thvenin
R
E
V
C
T
T
Le gnrateur quivalent qui est reli au condensateur est caractris
par :
ET= E.RE /(RE+ RG) R = RT= RE.RG /(RE+ RG)
ET= V + RT.I
dt
dVR.C+V=
R
RE
G
(1)
" La solution gnrale de lquation sans second membre est :
0 = V + R.C.dV/dt
dV/V = 1/R.C. dt
Si A dsigne une constante arbitraire, la solution de cette quation (1erordre) est :
( )V A t RC= .exp / (2)Comme une quantit dlectricit est le produit dune capacit par une tension, en utilisant les
quations dites aux dimensions , on tire :
[Q] = [C].[V] = [ I ].[T] [C].[R].[ I ] = [ I ].[T] [R].[C] =[T]
RCqui a la dimension dun temps est la constante de temps du circuit." Solution particulire de lquation avec second membre :
Si V est constant alors dV/dt = 0.
V = E.R/RG est donc une solution. Elle correspond au rgime permanent : la charge ducondensateur est alors termine.
" Solution complte de lquation diffrentielle : V(t) = A exp(t/RC) + E.R/RG (3)
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" Solution physique de lquation diffrentielle :
Pour obtenir la solution du problme physique, il faut prciser les conditions initialesde
celui-ci. Si lon suppose le condensateur totalement dcharg lors de la mise sous tension du
montage : en t = 0, on a alors V = 0.
La valeur de la constante A est donc : A = E.R/RG. On en dduit :
VE.R
Re
G
t
RC=
1 (4)
La dure ncessaire la charge totale est donc infinie. En pratique, cherchons au bout de
combien de temps la charge atteint sa valeur finale un millime prs :
si (V V)/V= 103alors : exp(t/RC) = 1/1000.t/RC = Ln 1000 t 6,9.RC
Au bout de t 7., la charge ne diffre de la charge finale que de 0,001. On peut considrer lacharge du condensateur termine.
Cliquez ici pour visualiser le fonctionnement du circuit.
Graphes de la tension V et des divers courants :
IE= V/RE
IE.R
R Re
E
R Re
E
E G
t
E G
t
=
=
+
.1 1
I CdV
dt
E.
Re
E.R
R R
R
Re
G
t
E G
E
t
= = =
.
I I IE.R
R R
R
ReG E
E G
E
G
t
= + = +
.1
Bien noter sur ces graphiques les valeurs limites
des tensions et courants et les valeurs des pentes des
tangentes lorigine.
Un condensateur dcharg se comporte au dbut de la charge comme un court-
circuit pour lalimentation. Seule la rsistance RGlimite alors la valeur du courant..
"DchargeLe condensateur est isol du gnrateur et se dcharge dans sa rsistance
de fuite RFet dans la rsistance de charge RU. On pose RE= RU// RF
RE.I V = 0
I = dQ/dt (Le condensateur se dcharge : dQ est ngatif !)
V = REC.dV/dt V = A.exp(t/REC)En t = 0, on a : V = V0
La solution de lquation est donc :
)CR/texp(.VV E0 =
t
V
= R C
= R C
t
I
i
i
i
G
G
G
EEG
ER/R
E/R
R + R
E
R
I
V CE
Fig. 3
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/condo.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/condo.html5/27/2018 cours lctronique analogique
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3.2 tablissement du courant dans une inductance
V
I
2
1
VE L
R
L
R
Fig 4
Selon la position de linverseur, on aura soit le
rgime libre (position 2) soit le rgime forc
(position 1). Avec les notations de la figure 4, on a :
E = VR+ VL
Soit : E R I LdI
dt= +.
REGIME LIBRE(E = 0)
On obtient dans ce cas :dI
dt
R
LI
dI
I
dtavec
L
R+ = = =0
:
Exercice: Montrer que la constante a la dimension dun temps.
La solution du rgime libre est : I(t) = A.exp( t/)
La condition initiale est : I(t = 0)= I(0) = U0/R. Donc :
I t I e et V t LdI
dt
L Ie RI e
t
L
t t
( ) . ( ).
.= = = =
00
0
t
V
= L / R
= L / R
R . I o
t
I
I o = U o / R
Fig. 5 Bien noter que si la fonction I(t) est continue, la fonction VL(t) est discontinue.
REGIME FORCE(E 0)Si I(t = 0)= 0, on obtient (inverseur en position 1) :
I tE
Re et V E.e
t
L
t
( )=
=
1
Le courant dans le circuit tend vers E/R ; la tension aux bornes de linductance tend vers zro.
3.3 Particularits des systmes du premier ordreCes systmes satisfont une quation diffrentielle du premier ordre coefficients constants
de la forme :
dG t
dt
G tH
( ) ( )+ =
Pour le rgime libre, H est nul et en rgime forc continu H est constant.
La solution est de la forme :
G t G e H
t
( ) ( ). .= +
0
Cette solution dpend dune constante G(0) fonction des conditions initiales etdunparamtre (la constante de temps), caractristique du circuit.
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4 Systmes du second ordre
4.1 Le circuit R, L, C srie
Le condensateur C du circuit R, L, C suivant est charg par un gnrateur auxiliaire qui est
ensuite dconnect par K1.
R
V
IK2K1
VV
E L
R
LCC
Fig. 6
La charge initiale du condensateur est :q0= C.E
Si K2 est ferm et K1 ouvert, on a :
VC+ VL+ VR= 0
On obtient lquation :
0C
q
dt
dq.R
dt
qdL0I.R
dt
dIL
C
q2
2
=++=++
On pose :
LCR
LQ
L
R
R
L Q
0
2 0 012
2= = = = =; ;
Q est le facteur de qualit et le facteur damortissement.Lquation devient :
d q
dt Q
dq
dtq
2
20
02 0+ + =
. .
En cherchant des solutions de la forme q(t) = A.ert, on obtient lquation dite quation
caractristique suivante :
rQ
r2 0 02 0+ + = .
Ses racines sont :
rQ Q
QR
L1 2
0 0 2
2 21 4
2, = = =
La solution gnrale de lquation est de la forme :
)e.Ae.A.(ee.Ae.A)t(q t.2t.
1
ttr
2
tr
121 +=+=
La constante de tempsest ici : = 1/= 2L/R. Il faut connatre deuxconditions initiales.Selon le signe de , la nature des solutions diffre.
""""> 0 (Q < ou R LC
> 2 ) (amortissement fort)
Les deux racines sont relles. On pose :
= = = 0 22
021
1
4Q
Les conditions initiales sont q(t = 0) = q0et I(t = 0) = 0
212211210 A).(A).(A.rA.r0AAq +=++=+=
On tire :
+++
= ttt e).(e).(e
2
q)t(q 0
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Comme 2 2 2 02 = = , on obtient :
I t q e e et t t( )= 0 02
2
Ce rgime de fonctionnement est le rgime apriodique. Le systme revient son tatdquilibre (q = 0, i = 0) sans oscillations.
tT o
I
t
q
Fig. 7
EXERCICE: Montrer que T01
2
= +
ln
""""= 0 (Q = ) (amortissement critique)
Il y a une racine double r =
La solution gnrale est de la forme :
q t A t A er t
( ) ( . . ).= +1 2
Avec les conditions initiales prcdentes, on obtient :
( )q t q t e I t q t et t( ) . ( ) . .= + = 0 021
Le rgime de fonctionnement est apriodique et critique. Cest un rgime limite qui estobtenu en diminuant la valeur de R jusqu la valeur RC
LC
= 2 .
""""< 0 (Q > ou R LC
< 2 ) (amortissement faible)
On pose 2 02 2= . Les deux racines sont imaginaires conjugues et valent :
r j j1 2 02 2
, = =
Toujours avec les mmes conditions initiales (q(t = 0)= q0, i(t = 0)= 0), on obtient :
]e).j(e).j[(j2
eq)t(q tjtjt
0
+++
=
Fig. 8
Et en posant tg = /et donc cos = /0(car 1 + tg= 1/cos), on a :
q0
t1 /
T
q
q0.exp(-t)
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)tcos(.eq)tcos(j2
eq)t(q t00
t
0
=
=
On obtient un rgime oscillant amorti pseudopriodique ( cause de lamortissement le
phnomne nest pas exactement rptitif) caractris par une pseudopriode T = 2/et parle terme damortissement .
""""R = 0 (amortissement nul)
Lquation se rsume :
d q
dtq q t q t
2
2 02
0 00+ = = . ( ) cos
Le rgime est sinusodal (priodique, non amorti). La priode est : T = 2/0.
Cliquez ici pour tester le fonctionnement du circuit RLC srie en rgime libre.
4.2 Rgime forc du systmeLa solution est la somme du rgime propre et dune solution particulire du rgime forc.
En rgime forc, la puissance fournie par le gnrateur est rpartie dans les trois diples :
( )P E.I t R I t I t V V R Id
dtL I
q
CL C= = + + = + +
( ) . ( ) ( ). . .2 2 12
2 12
2
En rgime propre, E = 0 ; lnergie est emmagasine de faon successive dans linductance
et dans le condensateur.
4.3 Particularits des systmes du second ordre
Ces systmes satisfont une quation diffrentielle du second ordre coefficients constants
de la forme :
d G t
dt
dG t
dtG t H
2
2 022
( ) ( ). ( )+ + =
Pour le rgime libre H est nul et en rgime forc continu, H est constant.
Cette solution dpend de deuxconditions initialeset de deuxparamtres et 0caractristiques du circuit.
Selon les valeurs relatives de 0et de , on obtient diffrents rgimes de fonctionnement :
Rgime apriodique si lamortissement est fort.
Rgime critique pour une valeur limite de lamortissement.
Rgime pseudopriodique si lamortissement est faible.
Rgime priodique si lamortissement est nul.
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Diples en rgime sinusodal
1 Pourquoi privilgier les courants sinusodaux ?
1.1 Fonctions priodiques et fonctions sinusodales
On dmontre que toute fonction f(t), priodique de priode T et satisfaisant certaines
conditions de continuit et de drivabilit, peut se dcomposer en une somme de fonctions
sinusodales dite srie de FOURIER 1 :
f t a ant
Tb
nt
Tnn n( ) ( cos sin )= + +
=
01
2 2
=
=
=
T
0n
T
0n
T
0
0 dtT
nt2sin).t(f
T
2bdt
T
nt2cos).t(f
T
2adt).t(f
T
1a:avec
Fig. 1
A titre dexemple, on a reprsent les trois premiers
termes du dveloppement en srie de Fourier dune
fonction triangle :
=
++
=
0n2
n
t.)1n2sin()1n2(
)1()t(f
La convergence est assez rapide. Pour la fonction
crneau, reprsente par :
=
++
=0n
t.)1n2sin()1n2(
1)t(f
la convergence est par contre trs lente.
La rponse dun systme linaire une fonction priodique est la somme des rponses aux
fonctions sinusodales constituant le dveloppement en srie de Fourier de cette fonction. En
consquence, on peut privilgier ltude de la rponse des circuits une excitation
sinusodale. La rponse une fonction priodique sera obtenue en faisant la somme des
rponses du circuit aux diffrents termes (nomms harmoniques) de sa dcomposition en srie
de Fourier.
Cliquez ici pour visualiser dautres dcompositions de signaux en srie de Fourier.
Dautre part, pour des raisons conomiques et pratiques, lnergie lectrique est distribue
sous la forme de courants sinusodaux (de frquence 50 Hz). En effet, les pertes lies au
transport sont proportionnelles au carr de lintensit : pour les diminuer il faut donc,
puissance constante, augmenter la tension. Or il existe un dispositif, le transformateur, qui
permet de modifier avec des pertes faibles la tension dun courant variable dans le temps.
Dans les centrales lectriques, on utilise comme gnrateurs des alternateurs (machines
tournantes) qui dlivrent une tension sinusodale. Des transformateurs lvent la tension de
transport quelques centaines de milliers de volts. Au voisinage des utilisateurs, dautres
transformateurs abaissent la tension des valeurs permettant une exploitation sans danger.
1 Joseph Fourier (mathmaticien franais) 1769-1830
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/syntfour.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/syntfour.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.html5/27/2018 cours lctronique analogique
25/134
Pour les applications qui ncessitent une tension continue, on procde la transformation
du courant alternatif en un courant continu.
Cliquez ici pour analyser le problme du transport de lnergie lectrique.
1.2 Rgime permanent sinusodal
Dans le chapitre prcdent, on a tudi la rponse des circuits du premier ordre et du
second ordre en rgime libre et en rgime forc continu. Dans le cas dune excitation
sinusodale, la solution sera encore la somme dune solution correspondant au rgime libre et
dune solution correspondant au rgime forc. Aprs une certaine dure, fonction des
constantes de temps du circuit, le rgime libre est compltement amorti et le rgime transitoire
cde la place au rgime permanent.
Dans ce qui suit, seul le rgime permanent est pris en compte.
Cliquez ici pour examiner les rgimes transitoires dun circuit RLC srie.
2 Reprsentation des grandeurs sinusodales
2.1 Dfinitions
Soit la grandeur sinusodale h(t) = H.sin(t + ) Sa valeur instantaneest h(t).
Sa valeur maximum ouvaleur crteest H.
Sapulsationest . Lapriodeest T = 2/. Lafrquenceest f = 1/T= /2.
est sa phase. La valeur moyenne dune grandeur priodique g(t) est dfinie par :
=
T
0
dt).t(gT
1)t(g
La valeur moyenne est donc le premier terme de la srie de Fourier. Pour une grandeur
sinusodale, la valeur moyenne est nulle.
La valeur efficaceGeffdune grandeur g(t) est dfinie par :
G g teff=2( )
Cest la valeur que devrait avoir un signal continu pour produire les mmes effetsthermiques que le signal considr.
Pour une grandeur sinusodale,on a :
2
Hdt
2
)t(2cos1
T
Hdt).t(ins.H
T
1H
T
0
2T
0
22
eff = +=
+=
T
Fig. 2
La phase est dfinie par rapport une rfrence
arbitraire.
Dans le cas de plusieurs signaux de mme frquence,
lun deux est utilis comme origine pour les phases.Une priode entire correspond un dphasage de 2.
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/transfo.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/rlcexci.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/rlcexci.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/transfo.html5/27/2018 cours lctronique analogique
26/134
2.2 Reprsentation de Fresnel
A la grandeur scalaire m(t) = M.cos(t), on associe le vecteur OMde module M qui tourne autour de O avec la vitesse t. m(t) est la
projection de OM sur laxe Ox.
A une seconde grandeur p(t) = P.cos(t + ) est associ un vecteurOP dphas de par rapport au vecteur OM .
Dans cette reprsentation, on associe donc des vecteurs tournants aux
grandeurs lectriques sinusodales (courants et tensions). On utilise les proprits gom-
triques de la figure obtenue pour la rsolution du problme.
Par exemple, pour effectuer la somme de deux tensions, on fait la somme vectoriellede
leurs vecteurs reprsentatifs. La tension rsultante est la projection du vecteur obtenu sur
laxe Ox. Cette construction donne aussi les phases relatives des diverses grandeurs.
La reprsentation de Fresnel, trs utilise en optique physique, nest facilement exploitable
en lectricit que pour des circuits trs simples.
Cliquez ici pour voir une animation sur la reprsentation de Fresnel.
2.3 Reprsentation complexe
Lanalogie entre le plan de Fresnel et le plan complexe conduit naturellement reprsenter
les vecteurs tournants associs aux grandeurs lectriques sinusodales par des grandeurs
imaginaires.
NOTATIONS:
Une grandeur complexe G sera note G* et son complexe conjugu G *.
Les intensits tant souvent nommes avec la lettre i, pour viter toute confusion le symbole
des imaginaires est not en lectricit avec unj : j2= 1 ; j ej= /2
La partie relle de G* est note (G*), la partie imaginaire est note : (G*)
Au vecteurOG du plan xOy, on associe le nombre complexe G*
G* = (G*) + j.(G*)Ainsi lintensit i(t) = I.cos(t), on fait correspondre i(t)* = I.exp(jt)
A la tension v(t) = V cos(t + ), on fait correspondre v(t)* = V.exp(jt + )
Dans la suite, nous prendrons lintensit comme origine des phases.
La grandeur physique est la partie relle de la grandeur complexe associe.
En effet : i(t) = I.cos(t) = (i*) = (I.exp(jt))De mme : v(t) = V.cos(t + ) = (v*) = (V.exp{j(t + )})
"""" Amplitude complexe
Soit v(t)* = V.exp(jt + ). On pose V*.exp(jt) = V.exp(jt + )
On dfinit ainsi lamplitude complexeV* = V.exp(j) = V.cos() + j.V.sin()
"""" Impdance complexePar analogie avec la loi dOHM, on dfinit limpdance complexe Z*, dun diple, comme
tant le quotient de v(t)* par i(t)* :
Z* = v*/ i* =V.exp(j(t + )) / I.exp(jt) = Z.exp(j)
Z* = Z.cos() + j.Z.sin() = R + j.X
Fig. 3
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/repfresn.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/repfresn.html5/27/2018 cours lctronique analogique
27/134
R = Z.cos() est une rsistance ; X = Z.sin() est une ractance.
Le modulede limpdance est Z = Z Z*. * ; laphasede limpdance est .
On a galement : )V,I(avecR
XtgetXRZ
22 !!
==+=
"""" Admittance complexe
Par analogie avec la conductance G = 1/R, on dfinit ladmittance complexeY
Z Ze
j*
*= =
1 1 = G + j.B (G est une conductance et B une susceptance). On a :
YR jX
R jX
R XG
R
R Xet B
X
R X
* =+
=
+ =
+ =
+
12 2 2 2 2 2
2.4 Rseaux linaires en rgime sinusodal
La reprsentation complexe tant linaire, on a :*tj*
Hj)He(dt
d)H(
dt
d==
A une drivation par rapport au temps, on associe un produit par j. De mme si letemps est la variable, une intgration, on associe une division par j.
Les lois de Kirchhoff et celles qui en dcoulent sappliquent aux reprsentations complexes :
Il suffit de remplacer dans ltude des rseaux aliments par un signal sinusodal les
rsistances, condensateurs, inductances (domaine temporel : variable t) par leurs impdances
(domaine frquentiel : variable ).Lquation diffrentielle associe au circuit est remplace par une quation polynomiale en
beaucoup plus simple tudier.
Les lois dassociation tablies pour les rsistances sappliquent aux impdances : il y a
additivit des impdances en srie et des admittances en parallle.
3 Diples passifs linaires en rgime sinusodal
3.1 Rsistances
v(t) = R.i(t) donc v* = R.i* or v* = Z*.i* Donc : Z* = R = Z
Limpdance dune rsistance pure est gale sa rsistance. Le courant est en phase avec
la tension.
Une rsistance relle peut prsenter une composante inductive en srie (cas des rsistances
bobines) et une petite composante capacitive en parallle. Les effets de cette dernire seront
sensibles uniquement aux hautes frquences.
3.2 Condensateurs
"CONDENSATEUR IDEAL
Par dfinition de lintensit, on a : i(t) = dQ(t)/dt = C.dV(t)/dt
La reprsentation complexe donne : v* = V.exp(jt) dv*/dt = jV.exp(jt)
Soit : i* = jCv* = v*.C.exp(j/2) 2j
*
C eC
1
jC
1Z
=
=
Dans un condensateur idal le courant est en avance de
/2 sur la tension.
"CONDENSATEUR REEL:
5/27/2018 cours lctronique analogique
28/134
Lisolement du dilectrique dun condensateur nest jamais parfait : la lgre conduction
induite est reprsente par une rsistance R, place en parallle sur un condensateur idal.
I I2 1
U
Fig. 4
Y* = 1/R + jC= Y.exp(j) = Y.cos+ jY.sin
*Y.*YY
R/)jRC1(*Y;R/)jRC1(*Y2
=
=+=
Y.cos= 1/R Y.sin= C tg= RC
On peut aussi utiliser la reprsentation de Fresnel. Le courant I1 dans la rsistance est en
phase avec la tension V, par contre, le courant I2est en avance de /2 sur V.
Le courant total est : I = I1+ I2
On en dduit le graphe ci-contre.
On peut poser :
tg= 1/RC
est langle de perte du condensateur. Pour uncondensateur de bonne qualit et ayant donc une
trs grande rsistance de fuite, cet angle est trs
petit.
Fig. 5
Fig. 6
Le circuit parallle sera utilis pour modliser les
condensateurs ayant de faibles pertes.
Pour les condensateurs de qualit mdiocre, on utilisera par
contre un modle srie.
EXERCICE:Calculer R et C en fonction de R et C.
"ASSOCIATION DE CONDENSATEURS
En srie : Limpdance du condensateur quivalent est :
ZEq= Z1+ Z2= 1/C1+ 1/C2= 1/CEq =+
CC C
C CEq
1 2
1 2
.
En parallle : YEq= Y1+ Y2 CEq= C1+ C2On retrouve ainsi les rsultats classiques tablis en lectrostatique.
3.3 Inductances
"INDUCTANCE IDEALEAux bornes dune inductance, tension et courant sont lis par : v(t) = L.di(t)/dt
v* = Ldi*/dt = jL.i*. On en dduit lexpression de limpdance complexe :
Z*L= jL = L.ej/2
Dans une inductance pure, le courant est en retard de /2 sur la tension.
"INDUCTANCE REELLE
Le bobinage dune inductance prsente toujours une rsistance et une capacit parasites.Pour diminuer cette dernire, on est amen effectuer des bobinages nid dabeille dont les
spires sont perpendiculaires. Leffet de peau augmente la rsistance du bobinage en haute
I
=VjC
5/27/2018 cours lctronique analogique
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frquence. Pour en limiter les consquences, on ralise des bobinages en utilisant du fil
multibrins ou fil de Linz.
On reprsente en gnral une inductance relle par une inductance idale en srie avec
une rsistance, mais un schma parallle peut aussi tre utilis.
EXERCICE:
Calculer R et L du modle parallle en fonction de R et L du modle srie.
3.4 Conclusions
Ltude du rgime permanent sinusodal est grandement facilite par la reprsentation
complexe. Il nest plus ncessaire dcrire les quations diffrentielles des mailles. Il suffit de
considrer les chutes de tension dans les diverses impdances crites sous leur forme
complexe. Par exemple, pour le circuit R, L, C srie du chapitre prcdent aliment par une
tension sinusodale, on aura :
*v*ijLjC
*i*RitcosV
dt
)t(diLdt)t(i
C
1)t(Ri =+
+=+
+
Cliquez ici pour tudier ce circuit en rgime permanent sinusodal.Ltude des rgimes transitoires dans les circuits lectriques linaires est facilite par
lutilisation du calcul symbolique (transformation de Laplace) qui fait aussi correspondre
une quation diffrentielle une quation polynomiale. Cette transformation suppose des
dveloppements mathmatiques qui sortent du cadre fix pour ce cours et ne sera pas tudie.
4 Puissance dissipe dans les diples passifs
4.1 Dfinitions
On dfinit la puissance instantane par : p(t) = v(t).i(t)
Soit un diple dimpdance complexe Z* = Z.ej= R + jX.
Le courant dans le diple est : i(t) = I.cos(t) i* = I.e jt
La tension entre ses bornes est : v* = Z*.i* v* = Z.ej .I.ejt
v* = Z.I.e j (t + )= (R + jX).I.e jt
v(t) = (v*) = R.I.cos t X.I.sin t
La puissance dissipe dans le diple tant p(t) = v(t).i(t) , on a :
p(t) = R.I.cost X.I.sin t.cos t
p(t) = .R.I.(1 + cos 2t) .X.I.sin 2.t
On dfinit :
lapuissance active: pA= + .R.I.(1 + cos 2.t) lapuissance ractive: pR= .X.I.sin 2.t
p(t) = pA+ pR
pA= PA.(1 + cos 2.t) avec PA= + .R.I = + .V.I.cos
pR= PR.sin 2.t avec PR= .X.I = .V.I.sin
4.2 Puissance moyenne dans un diple
Contrairement la tension moyenne, la puissance moyenne dissipe en rgime sinusodalnest pas nulle :
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/rlcsinus.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/rlcsinus.html5/27/2018 cours lctronique analogique
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+==
= =
=
+=
=
T
0
2
T
0
AA
T
0
2
T
0
RR
T
0
RA
T
0
dt).t2cos1.(I.RT21dt.p
T1P
0dt.t2sinI.XT2
1dt.p
T
1P
dt).pp(T
1dt.p
T
1P
A212
21 Pcos.I.VI.R.P ===><
En rgime sinusodal, mme si la puissance ractive dissipe dans un diple est nulle,
lintensit du courant qui circule dans les fils dalimentation ne lest pas. Il y a donc des pertes
en ligne induites. Cest pourquoi les distributeurs pnalisent les consommateurs dont
linstallation prsente une faible valeur du cos.
4.3 Puissances complexes
On dfinit la puissance complexe par : p v i* *. *= 12 p* = .V.I.e j= V.I.cos + .j.V.I.sin= PA j.PR
Donc : p* = P + j.PA R
*)i.*v*i.*v(*)p*p(P
*)i.*v*i.*v(*)p*p(P
j41
21
R
41
21
A
==
+=+=
4.4 Adaptation dimpdance en puissance
On recherche les conditions de transmission optimale de la puissance entre un gnrateur
modlis par un gnrateur idal en srie avec une impdance ZSet une charge dimpdanceZU.
Fig. 7
I E Z ZS U* * * *
/ ( )= +
V E Z Z ZU S U* * * * *
. / ( )= +
La puissance active est donc :
*)i.*v*i.*v(P 41
A +=
)ZZ).(ZZ(
ZZE
4
1P
*
U
*
S
*
U
*
S
*
U
*
U2
A +++
=
)jXRjX)(RjXRjX(R
2.R
4
EP
UUSSUUSS
U2
A ++++=
2
US
2
US
U2
A)X(X)R(R
R
2
EP
+++=
La puissance est maximale si le dnominateur est minimal.
Ceci est obtenu en faisant : XU= XS. On rappelle que si une rsistance est toujours positive,
une ractance peut tre positive ou ngative.
Lexpression de la puissance est alors uniquement fonction de RUet RS. La puissance sera
maximale si :dPa
dR0
U
= .
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dPa
dR
E
2
(R R ) 2.R (R R )
(R R )
E
2
R R
(R R )U
2S U
2
U U S
S U
4
2S U
S U
3= + +
+
=
+
Cette drive sannule si RU= RS. En tenant compte de la condition sur les ractances, on
obtient donc une transmission de puissance optimale si limpdance de la charge est le
complexe conjugu de celle de la source. Quand cette condition est ralise, il y a adaptation
des impdances en puissance.
Pour un circuit aliment en courant continu les impdances sont relles et la transmission
de puissance est optimale quand la rsistance du rcepteur est gale celle de la source.
On peut noter que lorsque les impdances sont adaptes, la puissance perdue dans
limpdance de source est gale la puissance utilisable dans la charge.
REMARQUE:
La condition obtenue correspond une adaptation des puissances. Si lon souhaite par
contre obtenir une tension maximale entre les bornes de la charge, puisque
VU= E.ZU/(ZU+ ZS), il faut videmment que limpdance de cette charge soit la plus grande
possible et que limpdance de la source soit la plus petite possible. On ralise alors uneadaptation dimpdance en tension.
Retour au menu!
U
t
U
t
U
t
II
I
Relations de phase pour les diples idaux
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.html5/27/2018 cours lctronique analogique
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Quadriples lectriques
1 Dfinition des quadriples
De nombreux circuits peuvent tre reprsents par une bote munie de deux bornes
dentre et de deux bornes de sortie, que lon nomme quadriple1.
I1
U1 U2
I2
Fig. 1
Il est souvent possible de dcomposer un dispositif
lectrique ou lectronique complexe en un ensemble de
modules fonctionnels qui sont des quadriples. Ces modules
sont ensuite associs en cascade : les grandeurs de sortie de
lun constituent les grandeurs dentre du suivant.
Ltude des quadriples linaires est facilite par lusage du calcul matriciel. Cette
reprsentation des circuits est galement bien adapte aux mthodes de calcul numrique
modernes.
Quatre grandeurs lectriques caractrisent un quadriple : le courant I1 et la tension U1
dentre, le courant I2et la tension U2de sortie. Par convention, on donne le sens positif aux
courants qui pntrent dans le quadriple.
CAS PARTICULIER: Le triple
Une borne dentre est alors commune avec une borne de sortie.
Les transistors sont modlisables par des triples.
Fig. 2
2 Exemples de quadriples
"""" Quadriple srie
I1
Z
V1 V2
I2
Fig. 3
Il contient une seule impdance. La loi des mailles donne :
V2= V1 Z.I1 et I2= I1
Soit sous forme matricielle :
V
I
Z V
I
2
2
1
1
=
1
0 1 .
On peut noter que pour ce quadriple, le dterminant de la matrice liant les grandeurs dentre
aux grandeurs de sortie est gal 1.
" Quadriple parallle
I1 IZ
V1 V2
I2
Fig. 4
V2= V1; I1+ I2= I ; I2= V1/Z I1
Soit sous forme matricielle :
V
I
0 V
I
2
2
1
1
=
1
11Z
.
Ici encore, le dterminant de la matrice est gal 1.
1Ne pas confondre avec les quadruples de llectrostatique.
I1
U1 U2
I2
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.html5/27/2018 cours lctronique analogique
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" Transformateur idal en rgime sinusodal (cf 8)
On nglige toutes les pertes (rsistives et dues aux courants de Foucault).
I1
V1
L1 L2
M
V2
I2
Fig. 5
V1= L1.dI1/dt + M.dI2/dt
V2= M.dI1/dt + L2.dI2/dt
V1= jL1..I1+ jM..I2V2= jM..I1+ jL2..I2
V
V
M I
I
2
1
1
2
=
jL
M L. .1
2
3 Matrices reprsentatives des quadriples
I1
V1 V2
I2
Fig. 6
Pour les quadriples ne contenant que des diples linairesles
4 grandeurs fondamentales V1, V2, I1 et I2 sont lies par des
quations linaires.
Plusieurs reprsentations matricielles sont possibles et le choix
de lune de celles-ci sera fait en fonction du problme tudi.
"Matrice impdance
V
V
Z Z
Z Z
I
I
1
2
11 12
21 22
1
2
=
.
On exprime les tensions en fonction des courants. Les lments
de la matrice ont la dimension dimpdances.
"Matrice admittance
I
I
Y Y
Y Y
V
V
1
2
11 12
21 22
1
2
=
.
On exprime les courants en fonction des tensions. Les lments
de la matrice ont la dimension dadmittances.
"Matrice de transfert
V
I
T T
T T
V2
2
11 12
21 22
1
1
=
.
I
On exprime les grandeurs de sortie en fonction des grandeursdentre. T11 est un nombre, T12 est une impdance, T21 une
admittance et T22un nombre.
Bien noter dans cette reprsentation le signe moinsaffect I1.La matrice inverse de la matrice de transfert donne les paramtres dentre en fonction des
paramtres de sortie.
"Matrice hybride
V
I
H H
H H
I1
2
11 12
21 22
1
2
=
.
V
Lintrt de cette reprsentation apparat lors de ltude des
transistors.
H11est une impdance, H12est un nombre, H21un nombre et H22une admittance.
On utilise parfois la matrice [G] = [H]1
Les relations tant linaires, il est facile de dduire les coefficients dune reprsentation
partir de ceux dune autre.
"Caractristiques des quadriples passifsCe sont les rseaux de courbes qui reprsentent les variations des tensions en fonction des
courants. Par exemple, pour le rseau V1= g(I1), on prendra I2 ou V2 comme paramtre :
chaque courbe de ce rseau est trace pour une valeur donne et constante de I2(ou de V2).
"Proprit des quadriples passifs
Soit un quadriple passif dont la tension dentre est E et le courant de court-circuit ensortie est IS. Daprs le thorme de rciprocit, le courant dans lentre en court-circuit est
IE= ISsi la tension de sortie est E.
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I1 Ie
E E
Is I2
Fig. 7
Les relations entresortiepour la matrice de transfertscrivent :V T V T I
I T V T I
2 11 1 12 1
2 21 1 22 1
= =
Sortie en court-circuit :
0 11 12 1
21 22 1
= =
T E T I
I T E T IS
Entre en court-circuit :
E T I
I T I
E
E
= =
0
0
12
2 22
Lgalit IE= ISimplique que : (T) = T11.T22 T12.T21= 1.Des calculs analogues montrent que pour un quadriple passif on a aussi :
Z21= Z12et H21= H12
4 Associations de quadriples
"Association en cascadeLes deux sorties du premier sont relies aux deux entres du second. On utilise les matrices de
transfert [T1] et [T2] des deux quadriples associs.I1 I1
V1
Q1 Q2 QV'1V0
V2 V1 V2
I0 I'1 I2 I2
Fig. 8
[ ] [ ]
=
=
1
1
2
2
2
1
1
1
0
0
'I
'V.T
I
V
I
V.T
I
V
V1= V0 I1= I0
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]12Eq1
1
12
2
2T.TT
I
V.T.T
I
V=
=
La matrice de transfert du quadriple quivalent est donc gale au produit de la seconde
matrice de transfert par la premire. Attention car ce produit nest pas commutatif !
APPLICATIONS:
Quadriple en TOn considre lassociation de trois quadriples en cascade et on recherche la matrice de
transfertquivalente.
I1 Z1
T1 T2 T3
Z3
Z2U1 U2
I2
Fig. 9
[TEq] = [T3].[T2].[T1] (Attention lordre !)
[ ] [ ]
=
=
1
01T
10
Z1T
2Z12
1
1
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[ ]
+
+++=
2
1
2
2
3131
2
3
Eq
Z
Z1
Z
1
Z
ZZZZ
Z
Z1
T
Quadriple en
I1
Z1
T1 T2 T3
Z3
Z2
U1 U2
I2
Fig. 10
[TEq] = [T3].[T2].[T1]
[ ] [ ]
=
=
10
Z1T
1
01T
2
2
Z11
1
[ ]
+++
+=
3
2
31
2
13
21
2
Eq
Z
Z1
ZZ
Z
Z
1
Z
1
ZZ
Z1
T
"Association en srie
Dans ce cas, il y a additivit des tensions aux bornes des quadriples ; les courants sont
identiques. On en dduit simplement la matrice impdancequivalente.
V'
V''
V
Q'
Q'' Fig. 11
[V] = [Z].[I]
[V] = [Z].[I]
[V] = [V] + [V]
[I] = [I] = [I]
[Z] = [Z] + [Z]
"Association en parallle
I
I''
I' Q'
Q'' Fig. 12
Il y a additivit des courants et identit des tensions :la matrice admittancedu quadriple quivalent est
la somme des matrices admittance des 2
quadriples :
[Y] = [Y] + [Y]
5 Grandeurs fondamentales des quadriples
Il est possible de dfinir pour un quadriple des grandeurs caractristiques comme les
impdances dentre et de sortie, et les gains en tension, courant et puissance.
"Impdance dentreCest limpdance ZE= VE /IEvue lentre quand la sortie est charge par une impdance ZU.
On utilise la matrice impdance du quadriple.
I1
V1 V2 Zu
I2
Fig. 13
V1= Z11.I1+ Z12.I2
V2= Z21.I1+ Z22.I2= ZU.I2
I2(ZU+ Z22) = Z21.I1
I2= Z21.I1/(Z22+ ZU)
V1= I1.{Z11- Z12.Z21/(Z22+ ZU)}
Z Z Z ZZ Z
E
U
= +11
12 21
22
.
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"Impdance de sortieCest limpdance ZS= VS /ISvue la sortie quand lentre est ferme par une impdance ZG
qui est limpdance du gnrateur.
I1
V1 V2Zg
I2
Fig. 14
Un calcul analogue au prcdent donne :
Z ZZ Z
Z ZS= +22
12 21
11
.
G
"Gain en tensionCest le quotient de la tension de sortie par la tension dentre : AV= V2 / V1
V2= T11.V1 T12.I1
I2= T21.V1 T22.I1 Or : V2= ZU.I2
T22.I1= T21.V1 I2= T21.V1+ V2/ ZU
V2= T11.V1 (T12.T21 / T22).V1 T12.V2 / T22.ZU
Cas particulier : les quadriples passifs
On a alors : (T) = 1
22
1
22
211222111
U22
122
T
V
T
T.TT.TV
Z.T
T1V =
=
+
1222U
Uv
T.TZ
ZA
+=
Si ZU= (quadriple non charg) alors : AV= 1 / T22.
6 Schmas quivalents des quadriples linaires
On remplace le quadriple tudi par un circuit quivalent (dont les quations sont les
mmes que celles du circuit tudi), mais dans lequel entre et sortie sont spares. Plusieurs
schmas de quadriples quivalents sont utiliss :
"Paramtres impdances
I Z111
12 21
2
2 1
2
1
22
V
I
VZ .I Z .I
Z
Fig. 15
Le circuit quivalent comporte des impdances et des
gnrateurs de tension.
V1= Z
11.I
1+ Z
12.I
2
V2= Z21.I1+ Z22.I2
"Paramtres admittances
I
2 1
2
222
21
11
12
1
1
Y YV
I
V
Y .V Y .V
Fig. 16
Le circuit quivalent comporte des admittances et des
gnrateurs de courant.
I1= Y11.V1+ Y12.V2
I2= Y21.V1+ Y22.V2
"Paramtres hybrides
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I
12112 2
2
22
21
111 H
V
I
V
H .V H .I
1/H
Fig. 17
Pour le modle hybride, on obtient :
V1= H11.I1+ H12.V2
I2= H21.I1+ H22.V2
Attention aux dimensions des paramtres :
H11= Impdance, H12= Nombre
"Modle amplificateur dun quadriple linaire
I1
V1
Av.V1V2
Ze
Zs
I2
Fig. 18
Dans ce modle, le circuit dentre est rduit
limpdance dentre ZE. Celui de sortie comporte un
gnrateur de tension de f.e.m. AV.VE en srie avec
limpdance de sortie ZS.
V1= ZE.I1
V2= AV.V1+ ZS.I2
7 Schmas quivalents des quadriples nonlinaires
Les composants utiliss en lectronique sont trs souvent non linaires et une tude
analytique rigoureuse du circuit est alors impossible. Pour tudier le comportement du circuit,
on peut utiliser des mthodes graphiques.
Supposons connues les caractristiques dun quadriple non linaire : ce sont les rseaux de
courbes V1= f(I1, I2) et V2= g(I1, I2). Par exemple dans le plan V1, I1on trace le rseau des
courbes V1= f(I1) en prenant la valeur du courant I2comme paramtre. De mme dans le plan
V1, I2, on trace le rseau des courbes V1= g(I2) en prenant la valeur de I1comme paramtre.
On impose lentre les valeurs de V1 et de I1 ; les valeurs de sortie sont V2 et I2. Ces 4
valeurs dfinissent lepoint de repos ou point de fonctionnement. Comment volue ce point si
I1varie de dI1?
I1
V1
Vv
1
1i
I
PFI2 = cte
Fig. 19
Au voisinage du point de repos, on peut crire les variation
des valeurs statiques :
2
CI2
21
CI1
22
2
CI2
11
CI1
11
.dII
V.dI
I
VVd
.dII
V.dI
I
VVd
12
12
==
==
+
=
+
=
Les drives partielles
PFi
i
I
V
sont les pentes des tangentes aux caractristiques au voisinage
du point de repos et ont la dimension dune impdance :
dV z .dI z .dI
dV z .dI z .dI
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
= += +
Les paramtres zijsont les drives des paramtres statiques Zijau voisinage du point de
repos : ce sont des paramtres dynamiques . Cette notation des diffrentielles est
rigoureuse mais lourde utiliser.
En lectronique, on note la diffrentielle dA de la grandeur A avec la lettre
minuscule a.
La minuscule a correspond la variation de la grandeur statique reprsente par A.Ainsi, en posant v1= dV1 ; i1= dI1 , on obtient pour la matrice impdance :
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v z .i z .i
v z .i z .i
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
= += +
Dans une rgion o les caractristiques sont linaires, ce modle permet une reprsentation
correcte des proprits du quadriple. Il est galement possible de modliser le quadriple par
un circuit linaire quivalent dont les valeurs sont celles du quadriple au voisinage du point
de fonctionnement. Ainsi pour le modle hybride, on obtient (comparer avec la figure 17) :i
12112 2
2
22
21
111 h
v
i
v
h .v h .i
1/h
Fig. 20
v1= h11.i1+ h12.v2
i2= h21.i1+ h22.v2
Ne pas confondre les Hijet les hij.
8 Exemple de quadriple : le transformateur idal
On admet que les inductances sont des solnodes de section S ayant N1et N2spires, deslongueurs !1 et !2et que les pertes sont ngligeables. Si 1est le flux dinduction traverslenroulement primaire, on a :
1 1 1 2 1 1 1 2 11 1
22 2= + = + = =L I MI N B S N B S B
N IB
N I; ;
! !
LSN
MSN N
L k N M k N N L L11
2
1 2
1 1
2
1 2 1 2= = = = =
! !; ; . .
Avec ces hypothses, on obtient en rgime sinusodal :
I1
U1L1 L2
M
U2Zu
I2
V1= jL1..I1+ jM..I2
V2= jM..I1+ jL2..I2V
V
M I
I
2
1
1
2
=
j
L
M L. .
1
2
A partir de lexpression de la matrice Z du transformateur, on dtermine lexpression de
limpdance vue lentre quand le transformateur est charg par une impdance Zu.
Z ZZ Z
Z ZujL
M
jL ZuE= +
= ++11
12 21
221
2 2
2
. Soit : Z
jL Zu
Zu jLE= +
1
2
Cette impdance est quivalente une impdance Zu.L1/L2 en parallle avec une
impdance jL1. Si le produit L1 est assez grand, limpdance prsente par letransformateur charg est donc Zu.L1/L2 = Zu.(N1/N2)2= Zu.n2. (n = N1/N2est le rapport detransformation).
Le transformateur permet donc ladaptation en puissance des impdances entre une source
dimpdance Zs et une charge dimpdance Zu. Il suffit dutiliser un transformateur de rapport
n2= Zs/Zu.
REMARQUE: Comme on nglige les pertes, ce quadriplepassifpossde un gain en puissance
gal 1. Le gain en tension peut tre suprieur ou infrieur 1 (transformateur lvateur ou
abaisseur de tension).
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Filtres passifs
1 Les diagrammes de Bode
1.1 Fonction de transfert
De nombreux circuits lectriques peuvent tre reprsents par des quadriples. Une
caractristique importante dun quadriple est sa rponse en frquence. Un circuit dont la
rponse en fonction de la frquence nest pas constante est un filtre. En rgime sinusodal, on
le caractrise par safonction de transfertcomplexe qui est le quotient de la tension de sortie
vS* par la tension dentre vE* :
H*(j) = vS*/vE* H*(j) = G().ej()
G est la norme du gain en tension : G() = vS/ vEest le dphasage : () = Arg(vS*) Arg(vE*)
Un filtre passif rel dissipe toujours de lnergie et la puissance disponible la sortie est
toujours infrieure la puissance applique lentre.
1.2 Dcibels
En acoustique physiologique, on constate que la sensation est proportionnelle au
logarithme de la pression acoustique. Ceci a conduit la dfinition dchelles logarithmiques
pour la mesure des gains. Les gains en dcibelssont dfinis par :""""Gain en tension : G()dB= 20.Log10(G()).
""""Gain en puissance : P()dB= 10.Log10(P()).
VALEURS REMARQUABLES:
Soit G un gain en puissance gal 2. Le gain G correspondant en dcibels est :
G = 10.Log10(2) = 3,01 dB 3 dB.Si G = 4, G = 6,02 dB 6dB.Si G = , G = 3 dB
Une multiplication du gain par 2 correspond une augmentation de 3 dB.
Une division du gain par 2 correspond une diminution de 3 dB.Soit G un gain en puissance gal 10. G = 10.Log10(10) = 10 dB.
Si G = 106, G = 60 dB.
Si G = 103
, G = 30 dB...
Pour les tensions, une multiplication du gain par 2 correspond + 6 dB.
INTERET:
Les gains en tension sont souvent trs petits et lutilisation des dcibels permet demanipuler des nombres plus grands.
Soient deux tages en cascade de gains G1= P1/P0et G2= P2/P1; le gain total G = P2/P0est donc gal au produit G1.G2des gains des tages. Si les gains sont exprims en dcibels,le gain total est la somme des gains :
G = G1 + G2
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1.3 Frquence de coupure
On dfinit la frquence de coupureCdun systme comme tant celle pour laquelle legain maximum en tension est divis par 2 .
G(C) = GMax / 2Or Log( 2 ) = 0,1505 3/20. On peut donc aussi dfinir la frquence de coupure comme lafrquence qui correspond une diminution de 3 dB du gain maximum.
G(C) = GMax3 dB
1.4 Diagrammes de Bode
La gamme des frquences appliques aux montages lectriques tant trs large, lors du
trac des fonctions de transfert, on utilise une chelle logarithmique pour laxe des
frquences. Soit f0une frquence caractristique dun systme (par exemple une frquence de
coupure). Les diagrammes de Bodede ce systme sont les courbes du gain(en dB) et de la
phasede la fonction de transfert, en fonction de Log(f/f0) = Log(/0).La reprsentation de Bode utilise donc pour les abscisses une chelle logarithmique en
coordonnes rduites et pour les ordonnes une chelle en dcibels.Le trac rigoureux dune fonction de transfert est souvent une opration fastidieuse et dans
de nombreux cas une reprsentation approximative est suffisante. Les courbes sont en gnral
traces sous leur forme asymptotique.
1
0
Fig. 1
Les diagrammes de Bode prsentent galement un autre intrt. Partant dune fonction de
transfert donne, on la modifie pour lcrir