cours éléctronique analogique

5/27/2018 cours lctronique analogique

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Lois de llectrocintique

1 Courant lectrique

1.1 Notion de courantUn conducteur est un matriau contenant des charges libres capables de se dplacer. Dans

les lectrolytes les charges mobiles sont des ions. Dans les autres conducteurs, les charges sont

des lectrons. Un courant lectriqueexiste quand une chargeqest transfre dun point

un autre du conducteur. Lintensitdu courant, linstant t, est reprsente par le dbit des

charges.

)seconde(dt

)coulomb(dQ)ampre(I =

Pour des raisons historiques, le sens conventionnel dun courant positif est celui du dpla-

cement de charges positives. Il est donc oppos la direction de dplacements des lectrons.

1.2 Vecteur densit de courant

Le courant peut sexprimer en fonction de la

vitesse des charges mobiles. On considre un

conducteur de section dS. Soit n le nombre de

charges mobiles par unit de volume et v!

leurvitesse. Pendant la dure dt, la charge dQ qui

traverse la section dS est gale :

Sd.dt.v.Sd.dt.v.e.ndQ!

!

!

!

==

On dfinit le vecteur densit de courantpar : v.j !

!

= Lintensit du courant travers un conducteur de section totale A scrit donc :

== )A( Sd.jdtdQ

I

!!

1.3 Loi dOhm

Dans un conducteur, on constate que la densit de courant est relie au champ lectrique

par la relation :

E.j!!

=

La constante , fonction de la nature du matriau, est la conductivit. On utilise plutt

pour caractriser le matriau sa rsistivitS/I

E1 =

= .

Pour un conducteur de longueur L, de section constante S, on dfinit la rsistanceR par :

dS

Vdt

E
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.html


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S

LR =

Si VAet VBdsignent les potentiels de deux points A et B distant de L dans le conducteur,

la norme du champ lectrique est gale E = (VA VB)/L.

L

VV

S

I.j.

jE BA

====

On peut crire cette relation sous la forme plus habituelle suivante (loi dOhm) :

I.RVV BA = Les tensions sexpriment en volts (V), les intensits en ampres (A) et les rsistances en

ohms().

La loi dOhm traduit la dpendance de leffet (le courant ou dplacement des charges) la

cause (le champ lectrique E auquel correspond une diffrence de potentiel ou tension) en

fonction du matriau caractris par sa rsistance.

Cette dpendance est rarement linaire. Pour de nombreux composantslectroniques, les caractristiques (courbes du courant en fonction de la tension) ne

sont pas des droites. Pour les mtaux et les semi-conducteurs, la rsistance est

fonction de la temprature.

La rsistivit sexprime en ohm.mtre(.m).La gamme de rsistivit des matriaux est trs grande :

Mtaux Semi-conducteurs (300K) Isolants

Argent : 1,47.108.m Silicium : 2400 .m Verre : 1010 1014.m

Cuivre : 1,72.108

.m Germanium : 0,5 .m Mica : 1011

1015

.mAluminium : 2,63.10

8.m Eau : 0,1 105.m

1.4 Vitesse des lectrons dans un conducteur

On considre un fil de cuivre de section 10 mm parcouru par un courant de 30 A. Comme

chaque atome de cuivre possde deux lectrons mobiles, il y a environ n = 8.5 1028

lectrons

libres par m3. La densit de courant j = n.e.v vaut 30.10

5A/m. La valeur de la vitesse de

dplacement des lectrons est donc voisine de 210 m/s.

Cette vitesse tant trs faible, lamplitude des dplacements des lectrons pour un courant

alternatif est elle aussi trs petite.

2 Lois fondamentales de llectrocintique

2.1 Rgimes permanents et quasi-permanentsLe rgime permanentest celui qui existe aprs la fin des phnomnes transitoires qui se

produisent lors de la mise sous tension dun circuit.

Si une grandeur lectrique G est fonction du temps, il existe a priorides phnomnes de

propagation dans le circuit et G est en fait une fonction du temps et de lespace : G = f(t, x).

Mais si les dimensions du circuit sont ngligeables devant la longueur donde associe au

phnomne, on peut ngliger la propagation. Par exemple, pour une frquence de 1 MHz, la

longueur donde associe (= c/f) est voisine de 300 m. Ce nest que pour des frquencessuprieures 1 GHz que la dimension des circuits devient comparable celle de la longueur

donde.


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Dans lapproximation, dite des tats quasi-permanents, on admet que G est seulement

fonction du temps. Il ny a pas accumulation des charges dans certains points du circuit : un

instant donn, lintensit est la mme en tous les points dun conducteur donn.

2.2 Lois de Kirchhoff 1Dans lapproximation des tats quasi-permanents, on peut formuler les deux lois suivantes :

Aux bifurcations (nuds) dun circuit, il y a conservation de la charge lectrique et donc dela somme algbrique des intensits :

I = 0 Dans une chane de conducteurs il y a additivit des diffrences de potentiels :

U U UAC AB BC= +

Ces deux lois, appeles aussi loi des nudset loi des mailles, sont les lois fondamentales de

llectrocintique et elles permettent (en principe) ltude de tous les circuits lectriques

constitus de diples.

3 Diples lectriques

3.1 Dfinition

Cest un conducteur qui possde une borne dentre et une borne

de sortie du courant.

Il est caractris par deux grandeurs algbriques : lintensitqui le

traverse Iet la tensionentre ses bornes UAB= UA UB

3.2 Conventions de signe

La principale difficult rencontre par les nophytes est lcriture correcte des signes.

Par convention on pose que dans un circuit orient, le courant est positif si des chargespositives se dplacent dans le sens positif.

Pour les diffrences de potentiel, il existe deux possibilits de choix. Nous utiliserons la

convention dite convention rcepteurqui est la plus intuitive car avec cette convention, un

courant positif provoque une chute de tension dans le diple plac entre A et B.

On reprsente les tensions par une flche oriente des potentiels faibles vers les potentiels

levs. Ainsi sur la figure, on a UA> UB.

Avec cette convention, lexpression de la loi dOhm est UA UB = R.I ; (avec lautre

convention, la loi dOhm scrit UA UB= R.I).

En cas doute dans la mise en uvre, retenez que :

Dans un rcepteur, les charges scoulent des potentiels levs vers les potentielsfaibles : les flches reprsentatives de la tension et du courant sont de sens

contraires.

Dans un gnrateur, la situation est inverse et les flches reprsentatives du courant et de la

tension sont alors de mme sens.

3.3 Caractristique dun dipleDans un diple, courant et tension sont lis par les relations rciproques :

U = f (I) et I = g(U)

Les graphes correspondants dans les plans (U, I) et (I, U) sont les caractristiquesdu diple.

1 Gustav Kirchhoff (physicien allemand) 1824-1887

A B

U

I

D ip le

AB


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Dans la reprsentation U = f (I), on met en avant la loi des mailles et les gnrateurs de

tension. Dans la reprsentation I = g(U), on met en avant la loi des nudset les gnrateurs

de courant.

3.4 Classification des diples

""""Diples actifs et passifs

Un diple passif consomme de lnergie. Sa caractristique passe par lorigine. (I = 0 si U = 0).Un diple actif fournit de lnergie au circuit dans lequel il est connect.

Le diple 1 est actif, 2 et 3 sont passifs.

""""Diples symtriquesLa caractristique est symtrique par rapport lorigine.

Un diple symtrique est toujours passif. Son

fonctionnement nest pas modifi si on inverse le sens du

courant : il nest pas polaris. Sur la figure 2, le diple n

2 est symtrique.

""""Diples linaires

La caractristique est une droite dquation :

U = a.I + b ou I = p.U + q

En lectronique, on utilise de nombreux diples non linaires. Les circuits qui contiennent ces

diples ne peuvent, en gnral, pas tre tudis avec des mthodes analytiques rigoureuses. La

connaissance des caractristiques permet alors lanalyse de ces circuits avec des mthodes

graphiques.

3.5 Diples linaires idaux

""""Rsistance2(Fig. 3-a).

La loi dOhm qui traduit la dpendance entre courant et tension, scrit :

U = R.I I = G.UR est la rsistancedont la valeur sexprime en ohms().G est la conductancedont la valeur sexprime en siemens(S).

Si la valeur de la rsistance est fonction du courant, elle est non linaire. Cest le cas pour les

rsistances mtalliques, les varistances, les photorsistances

""""Source de tension idale (Fig. 3-b).

La tension U entre ses bornes, gale E (force lectromotrice du gnrateur), est

indpendante du courant quelle dlivre. Pour les sources relles, la tension de sortie diminue

2 En franais le mme mot (rsistance) dsigne lobjet et sa valeur. Certains auteurs nomment lobjet un

rsistor ou rsisteur .

U

1

2

3

I

Fig. 2

Fig 3-a Fig 3-b

U

U

I

E

Fig 3-c

I

U

I

U

I

A B

UAB

E A B

I

J

J

A B

AB


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si le courant dbit augmente. Les accumulateurs au plomb, les alimentations stabilises de

laboratoire sont de bonnes approximations des sources de tension idales.

Une pile lectrochimique usage prsente une forte rsistance interne : sa tension diminue

ds quelle dbite dans une charge.

""""Source de courant idale (Fig. 3-c).

Le courant de sortie I, gal J le courant lectromoteur du gnrateur, est indpendant de

la tension entre les bornes de la source. La rsistance interne est infinie. Il nexiste pas dans la

vie courante de modle de source de courant. Il est possible de simuler une source de courant

en plaant en srie une source de tension et une rsistance beaucoup plus grande que la

charge. Des circuits lectroniques simples permettent de raliser des sources de courant qui

dbitent un courant pratiquement indpendant de la charge.

Un gnrateur idal doit se comporter comme un rcepteur idal quand on inverse le

sens du courant qui le traverse. Les gnrateurs rels ne sont en gnral pas

rversibles. On risque de faire exploser une pile en essayant de la recharger !

""""Modlisation dun diple linaire quelconque

La modlisation dun diple consiste le remplacer par un circuit quivalent (rpondant auxmmes quations) constitu de diples idaux.

U0

0

U

II

Fig. 4

Lquation de la caractristique dun diple linaire est de

la forme :

U = a.I + b ou I = a.U + b

Cette caractristique coupe les axes aux points :

(U0, 0) et (0, I0).

Si le diple est passif alors U0et I0sont nuls.

Pour un gnrateur, U0est la tension vide (courant dbit nul) et I0est le courant de court-

circuit.""""Modlisation dun gnrateur linaireOn peut utiliser les deux modles quivalents suivants :

Modle source de tension

On pose E = U0et R = U0/I0 etdonc :

U E R I= .

On peut remplacer le diple par une source

de tension idale de f.e.m. E en srieavec

une rsistance R.

U

R

A

B

EAB

I

Fig. 5-a

Modle source de courant

On pose J = I0et G = I0/U0et donc :

I J G U= .

On peut remplacer le diple par une source de

courant idale dintensit J en parallleavec

une rsistance R.

G.U

A

B

J

I

Fig. 5-b

Ces deux reprsentations sont duales :

G = 1/R J = E/R R = 1/G E = R.JSi les diples ainsi modliss sont des gnrateurs purs, la rsistance R se nomme la

rsistance internedu gnrateur. Elle est nulle pour un gnrateur de tension idal et infiniepour un gnrateur de courant idal. E est la force lectromotrice (f.e.m.) vide cest--dire

sans charge entre A et B.


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J est le courant de court-circuit, cest--dire le courant qui circule dans un conducteur de

rsistance nulle plac entre A et B.

En lectronique de nombreux dispositifs se comportent comme des gnrateurs de courant,

on privilgie alors la reprsentation I = g(U).

""""Rsistances statiques et dynamiques

Pour un diple non linaire, on peut dfinir en chaque point

de sa caractristique :

une rsistance statiqueP

P

StI

UR

= (en bleu) et

une rsistance dynamiqueP

P

DydI

dUR

= (en vert)

Dans les rgions linaires de la caractristique, la rsistance dynamique du diple est

constante.

3.6 Point de fonctionnement dun circuitOn associe un diple rcepteur D un gnrateur et on veut dterminer quel est le courant qui

circule dans ce diple.Fig 7

La caractristique du gnrateur U = E RI (ou I = J G.U) est une droite (en noir) que lon

nomme droite de charge. Lintersection de la caractristique (en rouge) du diple D [U = f(I)

ou I = g(U)] avec la droite de charge dfinit le point de fonctionnement.

Ses coordonnes sont U (tension aux bornes de D) et I (courant qui le traverse).

Cette construction graphique est bien sr inutile si le diple D est linaire car alors :

U = E R.I = D.I

4 Association de diples

On se propose de dterminer le diple quivalent lassociation de plusieurs diples

lmentaires. On doit envisager les deux types dassociation suivants :

4.1 Association srie

Le courant qui traverse les diples associs est le mme ; il y

a additivit des tensions aux bornes des diples. Pour des

rsistances linaires, on a :

U U R Ik k= = .La rsistance du diple quivalent est donc gale la somme

des rsistances en srie :

R Rk= Avec des diples non linaires, on peut construire point par

point la caractristique du diple quivalent en utilisant

U

P

I

Fig. 6

E

Droitedecharge

U

JI

IIR R Pf

JE

U

D D

U

A B C

U

U U

AC

AB BC

I

D 1 D 2

U

ID1 D2 Dq


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ladditivit des tensions aux bornes des deux diples. UAC= UAB+ UBC

4.2 Association parallle

La tension U aux bornes des k diples associs est la mme et il y a

additivit des courantsqui traversent ces diples.

Pour des rsistances linaires, on peut crire :

I I G Uk k= = . G Gk=

La rsistance quivalente deux rsistances en parallle est donc telle que :

1 1 1

1 2

1 2

1 2R R RR

R R

R R= + =

+.

La rsistance quivalente des rsistances en parallle est donc plus petite que la plus petite

des rsistances associes.

Lutilisation de rsistances en parallle est lorigine de nombreuses erreurs de calcul.

Cliquez ici pour faire quelques exercices sur les rsistances en parallles.

Pour des diples non linaires, on peut construire point par point la caractristique du diple

quivalent en utilisant ladditivit des courants dans les deux diples.

4.3 Diviseur de tension idal

Si le courant i qui est driv en A est ngligeable devant le

courant I qui circule dans la rsistance R1, on peut crire que :

VA= R2(I i) R2.I

De la relation VCC= R1.I + R2(I i) (R1+ R2).IOn tire :

CC

21

2A V

RR

RV

+=

Ce circuit trs simple est dusage frquent en lectronique. Un potentiomtre non charg

constitue un diviseur de tension idal.

Cliquez ici pour examiner en dtail le principe du diviseur de tension.

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A B

UAB

I1

I2

Vcc R2R1

A

I-iiI
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/assoresi.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/potar.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/assoresi.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/potar.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.html


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Rseaux linaires

1 DfinitionsUn rseau lectrique linaire est un ensemble de diples linaires, relis par des

conducteurs de rsistance ngligeable. On suppose que le rseau contient au moins ungnrateur. Un rseau est constitu de b branches connectes par n nuds et formant m mailles .

"Un nudest un point de jonction de plusieurs conducteurs.

"Une brancheest une portion de circuit entre deux nuds.

"Une mailleest un parcoursferm, constitu de branches et ne passant quune seule foispar un nud donn.

EXEMPLES.1-a Pour ce rseau, on a b = 1, n = 0, m = 1.1-b : b = 3, EADG, EG, EBCG.

n = 2, E et G.m = 3, AEGDA, EBCGE, ABCDA.

1-c : b = 5, EADG, EF, EG, FG, FBCG.n = 3, E, F, G.m = 6, AEGDA, EFGE, FBCGF, AFGDA, EBCGE, ABCD.

1-d : b = 6, AB, BC, CD, DA, BD, AeC.n = 4, A, B, C, D.m = 7, ABDA, BCDB, ABCDA, ABCeA, ADCeA, ABDCeA, ADBCeA.

2 Rseaux en rgime permanentConnaissant les f.e.m. des gnrateurs et les rsistances du rseau, rsoudre celui-ci cestdterminer lintensit du courant qui circule dans chacune des branches.

2.1 Mthode gnrale de rsolution

Il existe bbranches dans le rseau donc bcourants inconnus. Les nnuds et les mmaillesdonnent a priorin + mquations. Comme en gnral n + m > b, il faut trouver un systmecomplet de bquations linairement indpendantes.Comme il existe n 1nuds indpendants, il faut tudierM = b n + 1mailles.

""""quations pour les nuds

Le nud dindice k est la jonction de p branches (dindice j) parcourues par des courants Ijk.

A A E E F

e

A

CDD G GDFig 1-a Fig 1-b Fig 1-c Fig 1-d

DC

C

C

A

BBBB


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La loi de conservation de llectricit (premire loi de Kirchhoff) scrit sous la formealgbrique suivante :

Ijk

j

p

==

01

(1)

""""quations des maillesLa maille dindice k contient q branches. La diffrence de potentiel entre les extrmits de

la branche j scrit Ujk.

Comme la maille constitue un parcours ferm, on a (seconde loi de Kirchhoff) :

Ujk

j

q

==

01

(2)

En procdant uniquement des regroupements en srie, on peut transformer toute branche j dela maille k en un gnrateur de f.e.m. Ej

ken srie avec une rsistance Rjkparcourue par le

courant Ijk

. (Si la branche ne contient pas de gnrateur alors Ejk

= 0). La loi des mailles peutdonc aussi scrire sous la forme :

E R Ijk

j

q

jk

j

q

jk

= = =

1 1

0. (3)

Les sommes sont des sommes algbriques et lcriture correcte des signes des diffrencesde potentiel constitue la seule difficult du problme.

La mthode la plus rationnelle consiste faire le choix dun sens de parcours sur lamaille tudie (choix arbitraire) et choisir pour chaque branche un sens pour lecourant. La f.e.m. dun gnrateur est compte avec le signe de la borne par laquelle

on entre dans celui-ci. Les d.d.p. aux bornes des rsistances sont positives si lecourant dans la branche a le mme sens que le sens de parcours et ngatives dans lecas contraire. On crit que la somme des tensions est nulle. Si lissue du calcul, onobtient pour le courant dune branche une valeur ngative, cest que le courant relde cette branche circule dans le sens oppos celui qui a t choisi1..

On obtient un systme linaire de M quations M inconnues de la forme :

MM

M

M2

2

M1

1

M

2MM22

221

12

1MM12

211

11

EI.RI.RI.R

EI.RI.RI.R

EI.RI.RI.R

=+++

=+++

=+++

!

!

!

(4)

qui peut scrire sous la forme matricielle suivante :

[R].(I) = (V) (5)

[R] est une MM matrice dont la dimension des lments est celle dune rsistance. (I) et(V) sont des vecteurs colonnes M lments.

2.2 Rsolution du systme

"En multipliant gauche la matrice [R] par son inverse, on tire :

1Si la branche contient un rcepteurpolaris, il faut faire l'tude pour les deux sens du courant. Selon celui-ci, lercepteur se comporte soit comme un rcepteur soit comme un gnrateur.


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)U].(G[)I(

)U].(G[)V].(R[)I].(R].[R[ 11

=

==

La dimension des lments de [G] est celle dune conductance. La valeur du courant dansla branche j est donc :

I G Uj ji

ii

M

= = .1 (6)"Il est aussi possible dutiliser la mthode de Kramer pour la rsolution du systme. Si estle dterminant de la matrice [R], jle dterminant de la matrice obtenue en remplaant la jecolonne de [R] par la colonne (V), on a :

Ijj

=

"Si M = 2, il est plus simple dutiliser la mthode de substitution pour rsoudre le systme.

"Ds que M est suprieur 3, la rsolution manuelle du systme est fastidieuse. On cherche

alors mettre en oeuvre les mthodes de simplification des rseaux qui permettent dentudier que les branches pertinentes.

2.3 Loi de Pouillet 2

Dans le cas o le rseau ne comporte quune maille, il estpossible de transformer le circuit initial en un circuit necomportant quun seul gnrateur, dont la f.e.m. est la sommealgbrique des f.e.m. des gnrateurs de la maille ( = k kEE )et une seule rsistance = k kRR .

Lintensit dans le circuit est donc : IE

R

E

R

k

k

= =

Cette relation constitue la loi de Pouillet.

2.4 Exemplesa Mthode gnraleOn cherche les courants dans toutes les branches du circuit de la figure 3.Le choix du sens des courants dans les 5 branches est arbitraire. Il y a pour cet exemple trois

courants calculer I1, I2et I3car la loi des nuds en B et C donne : I4= I1 I2et I5= I2 I3

Fig. 3

+

2 Claude Pouillet (physicien franais) 1790-1868

E

IR

Fig. 2


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Les flches en pointills violets indiquent les sens de parcours, choisis arbitrairement, des 3mailles tudies.

Pour la maille ABFGA, on obtient :

(VA VB) + (VB VF) + (VF VG) + (VG VA) = 0

Soit : 4 + 6.(I1 I2) + 1 + 2.(I1) = 0

De mme : 6.(I1 I2) + 3.(I2) + 7.(I2 I3) = 0 (maille FBCEF) 7(I2 I3) + 4.(I3) 6 = 0 (maille ECDE)

Dou la reprsentation matricielle du systme :

=

6

0

3

I

I

I

.

1170

7166

068

3

2

1

Pour rsoudre ce systme linaire, il suffit dinverser la matrice : on la transpose, puis onremplace dans la transpose chaque terme par son cofacteur(attention au signe) divis par ledterminant. On peut aussi utiliser un logiciel spcialis.

Cliquez ici pour rsoudre cet exemple.

=

6

0

3

.

925642

568866

4266127

620

1

I

I

I

3

2

1

Rsolution par la mthode de Kramer : (pour obtenir la variable k, on divise le dterminantde la matrice obtenue en remplaant la ke colonne par la colonne des constantes par ledterminant de la matrice initiale.

A093,1620

678I;A861,0

620

534I;A021,1

620

633

1170

7166

068

1176

7160

063

I 321 ======

=

REMARQUE: Comme I5= 0,232 A est ngatif, le courant dans la branche CE circule dans lesens contraire celui de la flche de la figure 3.Les courants rels I2et I3circulent dans lesens contraire des flches.

b Mthode par substitutions

On cherche dterminer VAMMise en quation :

I3= I1+ I2maille BAMB : 20.I1+ 10.I2= 12 (a)maille CMAC : 10.I1+ 25.I2= 20 (b)Rsolution :De la diffrence (a) 2.(b), on tire :40.I2= 52 soit I2= 1,3 A.

VAM= RAM.I3= 0,5 V.et donc : I1= 1,25 A et I3= 0,05fig. 4
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/superpos.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/superpos.html


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3 Thorme de Millman 3On considre un nud A auquel aboutissent k branches ; les

potentiels Vides extrmits des branches sont tous dfinis parrapport un mme potentiel de rfrence Vref;Riest la rsistance de la branche i et Gisa conductance.

La loi des nuds scrit :0IIII k21

k

1ii =+++=

=

!

0R

VV

R

VV

R

VV

k

Ak

2

A2

1

A1 =

++

+

!

0G).VV(G).VV(G).VV( kAk2A21A1 =+++ !

= iiiA G.VG.VLe potentiel du point A par rapport celui de la rfrence commune est donc :

=

i i

i ii

A GG.VV (8)

EXEMPLE: Sur le schma de la figure 4, on prend le point M comme origine des potentiels. Ona donc VB= 12 V, VC= 20 V, VM= 0.

VAM= V

V V V

VA

B C M

=+ +

+ += 10 15 10

1

10

1

15

1

10

0 5,

Remarques:

Soit Ikle courant dans la branche k. Il peut tre intressant dcrire le thorme de Millmansous la forme suivante :

+

=

kii

kiiik

A G

G.VI

V

Le thorme de Millman (qui est une autre faon dcrire la loi des nuds) permet dans denombreux cas de rsoudre rapidement un rseau mais il faut lappliquer correctement :

Lors de la mise en uvre, ne pas oublier de faire figurer au dnominateur lesbranches dont le potentiel de lextrmit est nul !

4 Thorme de superpositionCe thorme dcoule directement de la linarit des quations de Kirchhoff : un diple

constitu de diples linaires est un diple linaire. Dans un rseau linaire, il est possible deremplacer un ensemble de diples par un diple quivalent. La relation (6) montre que lecourant Ij dans une branche est la somme de termes de la forme G Uj

kk. , les Gj

k ayant la

dimension dune conductance.

Lintensit du courant dans une branche dun rseau comprenant plusieursgnrateurs est la somme des intensits, que ferait passer, dans cette branche,chaque gnrateur considr isolment comme actif, les autres gnrateurs durseau tant alors passifs.

3 Jacob Millman (physicien amricain) contemporain

R1Ik

I3

I2

I1

VA

Vk

V3V2

V1

Rk

R3

Vref

R2

fig.5


13/134

Rendre passif un gnrateur, cest le remplacer par sa rsistance interne.

EXEMPLE: Sur le schma de la figure 4, on remplace successivement chaque gnrateur par uncourt-circuit.

Si E2= 0 la rsistance quivalente entre A etM est (15 // 10 ) = 6 U1est la tension aux bornes dune rsistancede 6 dans un circuit de rsistance totalegale 16 aliment par une tension E1.

U1= 12.6/(10 + 6) = 4,5 V

Si E1= 0 la rsistance quivalente entre A etM est (10 // 10 ) = 5 La tension U2 induite entre A et M par leseul gnrateur E2est gale :

U2= 20.5/(15 + 5) = 5 V

On en dduit : VAM= U1+ U2= 0,5 V

Cliquez ici pour faire dautres exercices sur le principe de superposition.

5 Circuits quivalents

5.1 Thorme de Thvenin 4On considre un rseau comprenant des diples actifs et passifs et on sintresse au

fonctionnement dun diple D particulier. Il est travers par un courant I et la d.d.p. entre sesbornes est U.

Supposons que D soit isol du reste du rseau. Si ce reste de rseau est actif, la f.e.m.mesure entre A et B vaut ET : cest la tension en circuit ouvert. Sil est rendu passif cest--dire si les gnrateurs sont remplacs par leurs rsistances internes, la rsistance mesure entreA et B vaut RT. On remplace D par une source de tension idale de f.e.m. U. Daprs lethorme de superposition, le fonctionnement du circuit est inchang. Le courant I est lasuperposition dun courant IPcorrespondant la passivation de toutes les sources autres que Uet dun courant IAo seule la source U est passive : I = IP+ IA

Si le gnrateur qui remplace D est seul tre actif le reste durseau est quivalent RT: IP= U/RT

Si on passive ce gnrateur, il est quivalent une rsistancenulle : le reste du rseau dbite dans ce fil le courant IA= ET/RTCe courant est le courant de court-circuit entre A et B.

I = IA+ IP= ET/RT U/RT

Lquation du circuit quivalent est donc :

U = E .IT T R

Cette quation est celle dun gnrateur de tension que lon nomme le gnrateur de Thvenindu circuit. Les deux circuits de la figure 7 sont quivalents et lapplication de la loi de Pouilletau circuit de droite donne de faon triviale : ET= (RT+ D).I

4 Louis Thvenin (physicien franais) 1857-1926

Dipleactiv

Rseaupassiv

A

B

U

I P

Fig. 6

Diplepassiv

Rseauactiv

IAA

B
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/superpos.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/superpos.html


14/134

Fig. 7

Un rseau linaire, vu entre deux bornes A et B, peut tre remplac par ungnrateur de tension de f.e.m. ETet de rsistance interne RT.

ETest la d.d.p. mesure vide entre A et B. RTest la rsistance mesure entre A et B quand D est retir du circuit et quetous les gnrateurs du rseau sont remplacs par leurs rsistances internes.

5.2 Thorme de Norton

Cest la transformation duale de celle de Thvenin. La source de tension (ET, RT) estremplace par une source de courant (IN, RN).

Fig. 8Si on remplace D par un court-circuit, le courant qui circule entre A et B est :

IN= ET/RT= ET/RN= ET.GNRNest la rsistance entre A et B quand les gnrateurs du rseau sont passivs.

Lquation du circuit quivalent est donc : I = I GN N .U

Un rseau linaire, vu entre deux bornes A et B, peut tre remplac par une sourcede courant dintensit INet de rsistance interne RN.

INest le courant de court-circuit entre A et B. RTest la rsistance mesure entre A et B quand D est retir du circuit et quetous les gnrateurs du rseau sont remplacs par leurs rsistances internes.

La connaissance dun modle quivalent permet la dduction immdiate du modle dualcarRT= RN

Les paramtres des gnrateurs quivalents sont relis par : NTT I.RE = Quand on tudie un diple particulier dun rseau, les mthodes de Thvenin et de Norton

sont trs efficaces car elles permettent de remplacer un circuit complexe par un circuitlmentaire dans lequel les calculs sont immdiats.

5.3 Exemples dapplication

On cherche, en utilisant des quivalents Thvenin et Norton du circuit de la figure 4, dterminer U = VAM

quivalent Thvenin

La partie du circuit situe droite de AM (maille ACMA) est remplace par le gnrateur E T,RT. La rsistance RTest celle qui est vue entre A et M quand E2est remplac par un court-circuit : RT= (10 // 15 ) = 6 .


15/134

La tension ETest la d.d.p. entre A et M quand la partie gauche du circuit est dbranche. Cestla chute de tension dans la rsistance RAMqui est alimente par le gnrateur E2en srie avecRAC: ET= 20.{10/(10+15)} = 8 V.On forme ainsi une maille unique dans laquelle le courant est gal :I = (12 + 8) / (10 + 6) = 1,25 A.

Fig. 8

On en dduit VAM= VAB+ VBM= 10.1,25 + 12 = 0,5 V

quivalent NortonOn remplace le gnrateur E1et la rsistance entre BA par le gnrateur de Norton quivalent(I1= 12/10 = 1,2 A et R1= 10 ). On fait de mme pour le gnrateur E2: I2= 20/15 = 4/3 A et R2= 15 . Lensemble est quivalent un gnrateur de courant I = I1+ I2qui dbitedans une rsistance R0quivalente (10 // 15 // 10 ) soit 30/8 . La d.d.p. entre A et Mest donc : R0.I = 0,5 V.On peut noter sur cet exemple la complte analogie entre les thormes de Norton et deMillman.

Cliquez ici pour faire dautres exercices.

6 Thorme de Kennelly 5

La transformation suivante est parfois utilise pour la simplification de circuits comportantdes drivations.

quivalence toile-triangleLes deux circuits de la figure 11 sont quivalents si les valeurs de leurs rsistances sont lies

par les relations indiques ci-dessous.

Fig. 11

Le passage de la structure triangle (ABC) la structure toile (OABC) sobtient par lesrelations :

Si on dconnecte le point A, il doit y avoir galit des impdances entre B et C.

Z23= R2+ R3= R23// (R12+ R13).

5 Arthur Kennelly (physicien amricain) 1861-1939
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/thevenin.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/thevenin.html


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On tire les trois galits suivantes :

R RR R R R

R R R2 312 23 13 23

12 23 13

+ = +

+ +; R R

R R R R

R R R2 112 23 13 12

12 23 13

+ = +

+ +; R R

R R R R

R R R1 312 13 13 23

12 23 13

+ = +

+ +

En sommant les 2 premires galits et en retranchant la 3e, on dduit :

231212

13233

231212

23122

231212

13121 RRR

R.RRRRR

R.RRRRR

R.RR ++=++=++=

Pour la transformation inverse, on relie B et C: la conductance entre A et B-C scrit alors :

313221

32

1312a RRRRRR

RR

R

1

R

1

Z

1

++

+=+= ( Za= R12// R13ou R1+ (R2// R3)

On calcule de mme 1/Zbet 1/Zcet lon calcule 1/Za+ 1/Zb 1/Zc

Il vient :133221

2

13 RRRRRR

R2

R

2

++= soit : ...

R

RRRRRRR

2

13322113

++=

On peut aussi crire que :

231231312

231312133221 RR

S:commeMais.

RRR

RRRRRRRRRS =

++=++=

on dduit : RR R R R R R

R231 2 2 3 3 1

1

= + +

...

Les relations rciproques sont quivalentes : !321

3223 GGG

GGG

++=

Cliquez ici pour tester ces relations.

7 ConclusionLes diffrentes mthodes tudies sont quivalentes mais pour ltude dun rseau

particulier certaines sont mieux adaptes que dautres. La principale difficult de ce type deproblmes est de trouver la mthode la plus pertinente. La mthode de Millman, souvent trsefficace, nest pas la panace et la mthode de Thvenin doit tre utilise aussi souvent que

possible car elle permet de transformer des circuits complexes en des circuits typeslmentaires. La mise en uvre simultane de plusieurs mthodes peut aussi savrer utile.

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http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/kennely.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/kennely.html


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Diples en rgime transitoire

1 Relations courant tension

Sil existe une relation linaire entre la tension u(t) et le courant i(t) dans un diple, celui-

ci est linaire . Rappelons les relations entre u(t) et i(t) pour les diples passifs usuels.

"""" RsistancesLa loi dOhm donne : U(t) = R.I(t) R en ohms()

"""" Inductances

De la loi de Lenz, on tire :

== dt)t(U

L

1)t(I

dt

)t(dIL)t(U L en henrys(H)

"""" Condensateurs

De dQ(t) = C.dU(t), on tire :

== dt)t(I

C

1)t(U

dt

)t(dUC)t(I C enfarads(F)

2 Diples passifs linaires en rgime variable

Soit un circuit constitu de diples passifs linaires soumis une tension de commande

V(t) et la variable y(t) dont la nature (intensit, charge) est fonction du problme considr.

On peut crire, pour ce circuit, une quation diffrentielle dont tous les coefficients ai sont

constants et dont la forme gnrale est :

a0.y + a1.y + a2.y + ... + an.y(n)= k.V(t)

On montre en analyse que la solution de cette quation est du type :

y(t) = y1(t) + y2(t)

y1(t) est la solution gnrale de lquation sanssecond membre.

y2(t) estunesolution particulire de lquation avecsecond membre.

Physiquement, y1(t) correspond au rgime libre cest--dire au fonctionnement ducircuit sans contraintes extrieures.

y2(t) correspond au rgime forc dont la nature est la mme que celle delexcitation V(t) qui est impose au circuit.

Aprs un rgime transitoire dont la dure est fonction des constantes de temps ducircuit, on obtient le rgime permanent.

Le systme est dit du premier ordre si lquation diffrentielle obtenue est du premierdegr, du second ordre si elle est du second degr ...


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3 Systmes du premier ordre3.1 Charge et dcharge dun condensateur"Charge

R

R

R

I

I

I

I

I

EV

C

G

G

E

E

U

Fig 1

On se place dans le cas le plus gnral : REest une

rsistance qui tient compte de la rsistance de fuite

du condensateur RF et de la rsistance de chargeventuelle RU. (RE= RU// RF).

Le gnrateur utilis pour la charge est modlis par

un gnrateur idal de f.e.m. E et de rsistance

interne RG.

Mthode des mailles

IG= I + IE= I + V/RE

I = dQ/dt = C.dV/dt

E = V + RG.I

G=V + R

G.C.dV/dt + V.R

G/R

E

Vdt

dVRC

R

RE:on tire,

R

1

R

1

R

1:posantenDonc

dt

dVC

RR

R.RV

RR

R.E

dt

dV.C.R

R

RR.VE

GEG

GE

EG

GE

E

G

E

GE

+=+=

++=

+

+

+=

Mthode de Thvenin

R

E

V

C

T

T

Le gnrateur quivalent qui est reli au condensateur est caractris

par :

ET= E.RE /(RE+ RG) R = RT= RE.RG /(RE+ RG)

ET= V + RT.I

dt

dVR.C+V=

R

RE

G

(1)

" La solution gnrale de lquation sans second membre est :

0 = V + R.C.dV/dt

dV/V = 1/R.C. dt

Si A dsigne une constante arbitraire, la solution de cette quation (1erordre) est :

( )V A t RC= .exp / (2)Comme une quantit dlectricit est le produit dune capacit par une tension, en utilisant les

quations dites aux dimensions , on tire :

[Q] = [C].[V] = [ I ].[T] [C].[R].[ I ] = [ I ].[T] [R].[C] =[T]

RCqui a la dimension dun temps est la constante de temps du circuit." Solution particulire de lquation avec second membre :

Si V est constant alors dV/dt = 0.

V = E.R/RG est donc une solution. Elle correspond au rgime permanent : la charge ducondensateur est alors termine.

" Solution complte de lquation diffrentielle : V(t) = A exp(t/RC) + E.R/RG (3)


19/134

" Solution physique de lquation diffrentielle :

Pour obtenir la solution du problme physique, il faut prciser les conditions initialesde

celui-ci. Si lon suppose le condensateur totalement dcharg lors de la mise sous tension du

montage : en t = 0, on a alors V = 0.

La valeur de la constante A est donc : A = E.R/RG. On en dduit :

VE.R

Re

G

t

RC=

1 (4)

La dure ncessaire la charge totale est donc infinie. En pratique, cherchons au bout de

combien de temps la charge atteint sa valeur finale un millime prs :

si (V V)/V= 103alors : exp(t/RC) = 1/1000.t/RC = Ln 1000 t 6,9.RC

Au bout de t 7., la charge ne diffre de la charge finale que de 0,001. On peut considrer lacharge du condensateur termine.

Cliquez ici pour visualiser le fonctionnement du circuit.

Graphes de la tension V et des divers courants :

IE= V/RE

IE.R

R Re

E

R Re

E

E G

t

E G

t

=

=

+

.1 1

I CdV

dt

E.

Re

E.R

R R

R

Re

G

t

E G

E

t

= = =

.

I I IE.R

R R

R

ReG E

E G

E

G

t

= + = +

.1

Bien noter sur ces graphiques les valeurs limites

des tensions et courants et les valeurs des pentes des

tangentes lorigine.

Un condensateur dcharg se comporte au dbut de la charge comme un court-

circuit pour lalimentation. Seule la rsistance RGlimite alors la valeur du courant..

"DchargeLe condensateur est isol du gnrateur et se dcharge dans sa rsistance

de fuite RFet dans la rsistance de charge RU. On pose RE= RU// RF

RE.I V = 0

I = dQ/dt (Le condensateur se dcharge : dQ est ngatif !)

V = REC.dV/dt V = A.exp(t/REC)En t = 0, on a : V = V0

La solution de lquation est donc :

)CR/texp(.VV E0 =

t

V

= R C

= R C

t

I

i

i

i

G

G

G

EEG

ER/R

E/R

R + R

E

R

I

V CE

Fig. 3
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/condo.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/condo.html


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3.2 tablissement du courant dans une inductance

V

I

2

1

VE L

R

L

R

Fig 4

Selon la position de linverseur, on aura soit le

rgime libre (position 2) soit le rgime forc

(position 1). Avec les notations de la figure 4, on a :

E = VR+ VL

Soit : E R I LdI

dt= +.

REGIME LIBRE(E = 0)

On obtient dans ce cas :dI

dt

R

LI

dI

I

dtavec

L

R+ = = =0

:

Exercice: Montrer que la constante a la dimension dun temps.

La solution du rgime libre est : I(t) = A.exp( t/)

La condition initiale est : I(t = 0)= I(0) = U0/R. Donc :

I t I e et V t LdI

dt

L Ie RI e

t

L

t t

( ) . ( ).

.= = = =

00

0

t

V

= L / R

= L / R

R . I o

t

I

I o = U o / R

Fig. 5 Bien noter que si la fonction I(t) est continue, la fonction VL(t) est discontinue.

REGIME FORCE(E 0)Si I(t = 0)= 0, on obtient (inverseur en position 1) :

I tE

Re et V E.e

t

L

t

( )=

=

1

Le courant dans le circuit tend vers E/R ; la tension aux bornes de linductance tend vers zro.

3.3 Particularits des systmes du premier ordreCes systmes satisfont une quation diffrentielle du premier ordre coefficients constants

de la forme :

dG t

dt

G tH

( ) ( )+ =

Pour le rgime libre, H est nul et en rgime forc continu H est constant.

La solution est de la forme :

G t G e H

t

( ) ( ). .= +

0

Cette solution dpend dune constante G(0) fonction des conditions initiales etdunparamtre (la constante de temps), caractristique du circuit.


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4 Systmes du second ordre

4.1 Le circuit R, L, C srie

Le condensateur C du circuit R, L, C suivant est charg par un gnrateur auxiliaire qui est

ensuite dconnect par K1.

R

V

IK2K1

VV

E L

R

LCC

Fig. 6

La charge initiale du condensateur est :q0= C.E

Si K2 est ferm et K1 ouvert, on a :

VC+ VL+ VR= 0

On obtient lquation :

0C

q

dt

dq.R

dt

qdL0I.R

dt

dIL

C

q2

2

=++=++

On pose :

LCR

LQ

L

R

R

L Q

0

2 0 012

2= = = = =; ;

Q est le facteur de qualit et le facteur damortissement.Lquation devient :

d q

dt Q

dq

dtq

2

20

02 0+ + =

. .

En cherchant des solutions de la forme q(t) = A.ert, on obtient lquation dite quation

caractristique suivante :

rQ

r2 0 02 0+ + = .

Ses racines sont :

rQ Q

QR

L1 2

0 0 2

2 21 4

2, = = =

La solution gnrale de lquation est de la forme :

)e.Ae.A.(ee.Ae.A)t(q t.2t.

1

ttr

2

tr

121 +=+=

La constante de tempsest ici : = 1/= 2L/R. Il faut connatre deuxconditions initiales.Selon le signe de , la nature des solutions diffre.

""""> 0 (Q < ou R LC

> 2 ) (amortissement fort)

Les deux racines sont relles. On pose :

= = = 0 22

021

1

4Q

Les conditions initiales sont q(t = 0) = q0et I(t = 0) = 0

212211210 A).(A).(A.rA.r0AAq +=++=+=

On tire :

+++

= ttt e).(e).(e

2

q)t(q 0


22/134

Comme 2 2 2 02 = = , on obtient :

I t q e e et t t( )= 0 02

2

Ce rgime de fonctionnement est le rgime apriodique. Le systme revient son tatdquilibre (q = 0, i = 0) sans oscillations.

tT o

I

t

q

Fig. 7

EXERCICE: Montrer que T01

2

= +

ln

""""= 0 (Q = ) (amortissement critique)

Il y a une racine double r =

La solution gnrale est de la forme :

q t A t A er t

( ) ( . . ).= +1 2

Avec les conditions initiales prcdentes, on obtient :

( )q t q t e I t q t et t( ) . ( ) . .= + = 0 021

Le rgime de fonctionnement est apriodique et critique. Cest un rgime limite qui estobtenu en diminuant la valeur de R jusqu la valeur RC

LC

= 2 .

""""< 0 (Q > ou R LC

< 2 ) (amortissement faible)

On pose 2 02 2= . Les deux racines sont imaginaires conjugues et valent :

r j j1 2 02 2

, = =

Toujours avec les mmes conditions initiales (q(t = 0)= q0, i(t = 0)= 0), on obtient :

]e).j(e).j[(j2

eq)t(q tjtjt

0

+++

=

Fig. 8

Et en posant tg = /et donc cos = /0(car 1 + tg= 1/cos), on a :

q0

t1 /

T

q

q0.exp(-t)


23/134

)tcos(.eq)tcos(j2

eq)t(q t00

t

0

=

=

On obtient un rgime oscillant amorti pseudopriodique ( cause de lamortissement le

phnomne nest pas exactement rptitif) caractris par une pseudopriode T = 2/et parle terme damortissement .

""""R = 0 (amortissement nul)

Lquation se rsume :

d q

dtq q t q t

2

2 02

0 00+ = = . ( ) cos

Le rgime est sinusodal (priodique, non amorti). La priode est : T = 2/0.

Cliquez ici pour tester le fonctionnement du circuit RLC srie en rgime libre.

4.2 Rgime forc du systmeLa solution est la somme du rgime propre et dune solution particulire du rgime forc.

En rgime forc, la puissance fournie par le gnrateur est rpartie dans les trois diples :

( )P E.I t R I t I t V V R Id

dtL I

q

CL C= = + + = + +

( ) . ( ) ( ). . .2 2 12

2 12

2

En rgime propre, E = 0 ; lnergie est emmagasine de faon successive dans linductance

et dans le condensateur.

4.3 Particularits des systmes du second ordre

Ces systmes satisfont une quation diffrentielle du second ordre coefficients constants

de la forme :

d G t

dt

dG t

dtG t H

2

2 022

( ) ( ). ( )+ + =

Pour le rgime libre H est nul et en rgime forc continu, H est constant.

Cette solution dpend de deuxconditions initialeset de deuxparamtres et 0caractristiques du circuit.

Selon les valeurs relatives de 0et de , on obtient diffrents rgimes de fonctionnement :

Rgime apriodique si lamortissement est fort.

Rgime critique pour une valeur limite de lamortissement.

Rgime pseudopriodique si lamortissement est faible.

Rgime priodique si lamortissement est nul.

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Diples en rgime sinusodal

1 Pourquoi privilgier les courants sinusodaux ?

1.1 Fonctions priodiques et fonctions sinusodales

On dmontre que toute fonction f(t), priodique de priode T et satisfaisant certaines

conditions de continuit et de drivabilit, peut se dcomposer en une somme de fonctions

sinusodales dite srie de FOURIER 1 :

f t a ant

Tb

nt

Tnn n( ) ( cos sin )= + +

=

01

2 2

=

=

=

T

0n

T

0n

T

0

0 dtT

nt2sin).t(f

T

2bdt

T

nt2cos).t(f

T

2adt).t(f

T

1a:avec

Fig. 1

A titre dexemple, on a reprsent les trois premiers

termes du dveloppement en srie de Fourier dune

fonction triangle :

=

++

=

0n2

n

t.)1n2sin()1n2(

)1()t(f

La convergence est assez rapide. Pour la fonction

crneau, reprsente par :

=

++

=0n

t.)1n2sin()1n2(

1)t(f

la convergence est par contre trs lente.

La rponse dun systme linaire une fonction priodique est la somme des rponses aux

fonctions sinusodales constituant le dveloppement en srie de Fourier de cette fonction. En

consquence, on peut privilgier ltude de la rponse des circuits une excitation

sinusodale. La rponse une fonction priodique sera obtenue en faisant la somme des

rponses du circuit aux diffrents termes (nomms harmoniques) de sa dcomposition en srie

de Fourier.

Cliquez ici pour visualiser dautres dcompositions de signaux en srie de Fourier.

Dautre part, pour des raisons conomiques et pratiques, lnergie lectrique est distribue

sous la forme de courants sinusodaux (de frquence 50 Hz). En effet, les pertes lies au

transport sont proportionnelles au carr de lintensit : pour les diminuer il faut donc,

puissance constante, augmenter la tension. Or il existe un dispositif, le transformateur, qui

permet de modifier avec des pertes faibles la tension dun courant variable dans le temps.

Dans les centrales lectriques, on utilise comme gnrateurs des alternateurs (machines

tournantes) qui dlivrent une tension sinusodale. Des transformateurs lvent la tension de

transport quelques centaines de milliers de volts. Au voisinage des utilisateurs, dautres

transformateurs abaissent la tension des valeurs permettant une exploitation sans danger.

1 Joseph Fourier (mathmaticien franais) 1769-1830
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/syntfour.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/syntfour.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/index.html


25/134

Pour les applications qui ncessitent une tension continue, on procde la transformation

du courant alternatif en un courant continu.

Cliquez ici pour analyser le problme du transport de lnergie lectrique.

1.2 Rgime permanent sinusodal

Dans le chapitre prcdent, on a tudi la rponse des circuits du premier ordre et du

second ordre en rgime libre et en rgime forc continu. Dans le cas dune excitation

sinusodale, la solution sera encore la somme dune solution correspondant au rgime libre et

dune solution correspondant au rgime forc. Aprs une certaine dure, fonction des

constantes de temps du circuit, le rgime libre est compltement amorti et le rgime transitoire

cde la place au rgime permanent.

Dans ce qui suit, seul le rgime permanent est pris en compte.

Cliquez ici pour examiner les rgimes transitoires dun circuit RLC srie.

2 Reprsentation des grandeurs sinusodales

2.1 Dfinitions

Soit la grandeur sinusodale h(t) = H.sin(t + ) Sa valeur instantaneest h(t).

Sa valeur maximum ouvaleur crteest H.

Sapulsationest . Lapriodeest T = 2/. Lafrquenceest f = 1/T= /2.

est sa phase. La valeur moyenne dune grandeur priodique g(t) est dfinie par :

=

T

0

dt).t(gT

1)t(g

La valeur moyenne est donc le premier terme de la srie de Fourier. Pour une grandeur

sinusodale, la valeur moyenne est nulle.

La valeur efficaceGeffdune grandeur g(t) est dfinie par :

G g teff=2( )

Cest la valeur que devrait avoir un signal continu pour produire les mmes effetsthermiques que le signal considr.

Pour une grandeur sinusodale,on a :

2

Hdt

2

)t(2cos1

T

Hdt).t(ins.H

T

1H

T

0

2T

0

22

eff = +=

+=

T

Fig. 2

La phase est dfinie par rapport une rfrence

arbitraire.

Dans le cas de plusieurs signaux de mme frquence,

lun deux est utilis comme origine pour les phases.Une priode entire correspond un dphasage de 2.
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/transfo.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/rlcexci.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/rlcexci.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/transfo.html


26/134

2.2 Reprsentation de Fresnel

A la grandeur scalaire m(t) = M.cos(t), on associe le vecteur OMde module M qui tourne autour de O avec la vitesse t. m(t) est la

projection de OM sur laxe Ox.

A une seconde grandeur p(t) = P.cos(t + ) est associ un vecteurOP dphas de par rapport au vecteur OM .

Dans cette reprsentation, on associe donc des vecteurs tournants aux

grandeurs lectriques sinusodales (courants et tensions). On utilise les proprits gom-

triques de la figure obtenue pour la rsolution du problme.

Par exemple, pour effectuer la somme de deux tensions, on fait la somme vectoriellede

leurs vecteurs reprsentatifs. La tension rsultante est la projection du vecteur obtenu sur

laxe Ox. Cette construction donne aussi les phases relatives des diverses grandeurs.

La reprsentation de Fresnel, trs utilise en optique physique, nest facilement exploitable

en lectricit que pour des circuits trs simples.

Cliquez ici pour voir une animation sur la reprsentation de Fresnel.

2.3 Reprsentation complexe

Lanalogie entre le plan de Fresnel et le plan complexe conduit naturellement reprsenter

les vecteurs tournants associs aux grandeurs lectriques sinusodales par des grandeurs

imaginaires.

NOTATIONS:

Une grandeur complexe G sera note G* et son complexe conjugu G *.

Les intensits tant souvent nommes avec la lettre i, pour viter toute confusion le symbole

des imaginaires est not en lectricit avec unj : j2= 1 ; j ej= /2

La partie relle de G* est note (G*), la partie imaginaire est note : (G*)

Au vecteurOG du plan xOy, on associe le nombre complexe G*

G* = (G*) + j.(G*)Ainsi lintensit i(t) = I.cos(t), on fait correspondre i(t)* = I.exp(jt)

A la tension v(t) = V cos(t + ), on fait correspondre v(t)* = V.exp(jt + )

Dans la suite, nous prendrons lintensit comme origine des phases.

La grandeur physique est la partie relle de la grandeur complexe associe.

En effet : i(t) = I.cos(t) = (i*) = (I.exp(jt))De mme : v(t) = V.cos(t + ) = (v*) = (V.exp{j(t + )})

"""" Amplitude complexe

Soit v(t)* = V.exp(jt + ). On pose V*.exp(jt) = V.exp(jt + )

On dfinit ainsi lamplitude complexeV* = V.exp(j) = V.cos() + j.V.sin()

"""" Impdance complexePar analogie avec la loi dOHM, on dfinit limpdance complexe Z*, dun diple, comme

tant le quotient de v(t)* par i(t)* :

Z* = v*/ i* =V.exp(j(t + )) / I.exp(jt) = Z.exp(j)

Z* = Z.cos() + j.Z.sin() = R + j.X

Fig. 3
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/repfresn.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/repfresn.html


27/134

R = Z.cos() est une rsistance ; X = Z.sin() est une ractance.

Le modulede limpdance est Z = Z Z*. * ; laphasede limpdance est .

On a galement : )V,I(avecR

XtgetXRZ

22 !!

==+=

"""" Admittance complexe

Par analogie avec la conductance G = 1/R, on dfinit ladmittance complexeY

Z Ze

j*

*= =

1 1 = G + j.B (G est une conductance et B une susceptance). On a :

YR jX

R jX

R XG

R

R Xet B

X

R X

* =+

=

+ =

+ =

+

12 2 2 2 2 2

2.4 Rseaux linaires en rgime sinusodal

La reprsentation complexe tant linaire, on a :*tj*

Hj)He(dt

d)H(

dt

d==

A une drivation par rapport au temps, on associe un produit par j. De mme si letemps est la variable, une intgration, on associe une division par j.

Les lois de Kirchhoff et celles qui en dcoulent sappliquent aux reprsentations complexes :

Il suffit de remplacer dans ltude des rseaux aliments par un signal sinusodal les

rsistances, condensateurs, inductances (domaine temporel : variable t) par leurs impdances

(domaine frquentiel : variable ).Lquation diffrentielle associe au circuit est remplace par une quation polynomiale en

beaucoup plus simple tudier.

Les lois dassociation tablies pour les rsistances sappliquent aux impdances : il y a

additivit des impdances en srie et des admittances en parallle.

3 Diples passifs linaires en rgime sinusodal

3.1 Rsistances

v(t) = R.i(t) donc v* = R.i* or v* = Z*.i* Donc : Z* = R = Z

Limpdance dune rsistance pure est gale sa rsistance. Le courant est en phase avec

la tension.

Une rsistance relle peut prsenter une composante inductive en srie (cas des rsistances

bobines) et une petite composante capacitive en parallle. Les effets de cette dernire seront

sensibles uniquement aux hautes frquences.

3.2 Condensateurs

"CONDENSATEUR IDEAL

Par dfinition de lintensit, on a : i(t) = dQ(t)/dt = C.dV(t)/dt

La reprsentation complexe donne : v* = V.exp(jt) dv*/dt = jV.exp(jt)

Soit : i* = jCv* = v*.C.exp(j/2) 2j

*

C eC

1

jC

1Z

=

=

Dans un condensateur idal le courant est en avance de

/2 sur la tension.

"CONDENSATEUR REEL:


28/134

Lisolement du dilectrique dun condensateur nest jamais parfait : la lgre conduction

induite est reprsente par une rsistance R, place en parallle sur un condensateur idal.

I I2 1

U

Fig. 4

Y* = 1/R + jC= Y.exp(j) = Y.cos+ jY.sin

*Y.*YY

R/)jRC1(*Y;R/)jRC1(*Y2

=

=+=

Y.cos= 1/R Y.sin= C tg= RC

On peut aussi utiliser la reprsentation de Fresnel. Le courant I1 dans la rsistance est en

phase avec la tension V, par contre, le courant I2est en avance de /2 sur V.

Le courant total est : I = I1+ I2

On en dduit le graphe ci-contre.

On peut poser :

tg= 1/RC

est langle de perte du condensateur. Pour uncondensateur de bonne qualit et ayant donc une

trs grande rsistance de fuite, cet angle est trs

petit.

Fig. 5

Fig. 6

Le circuit parallle sera utilis pour modliser les

condensateurs ayant de faibles pertes.

Pour les condensateurs de qualit mdiocre, on utilisera par

contre un modle srie.

EXERCICE:Calculer R et C en fonction de R et C.

"ASSOCIATION DE CONDENSATEURS

En srie : Limpdance du condensateur quivalent est :

ZEq= Z1+ Z2= 1/C1+ 1/C2= 1/CEq =+

CC C

C CEq

1 2

1 2

.

En parallle : YEq= Y1+ Y2 CEq= C1+ C2On retrouve ainsi les rsultats classiques tablis en lectrostatique.

3.3 Inductances

"INDUCTANCE IDEALEAux bornes dune inductance, tension et courant sont lis par : v(t) = L.di(t)/dt

v* = Ldi*/dt = jL.i*. On en dduit lexpression de limpdance complexe :

Z*L= jL = L.ej/2

Dans une inductance pure, le courant est en retard de /2 sur la tension.

"INDUCTANCE REELLE

Le bobinage dune inductance prsente toujours une rsistance et une capacit parasites.Pour diminuer cette dernire, on est amen effectuer des bobinages nid dabeille dont les

spires sont perpendiculaires. Leffet de peau augmente la rsistance du bobinage en haute

I

=VjC


29/134

frquence. Pour en limiter les consquences, on ralise des bobinages en utilisant du fil

multibrins ou fil de Linz.

On reprsente en gnral une inductance relle par une inductance idale en srie avec

une rsistance, mais un schma parallle peut aussi tre utilis.

EXERCICE:

Calculer R et L du modle parallle en fonction de R et L du modle srie.

3.4 Conclusions

Ltude du rgime permanent sinusodal est grandement facilite par la reprsentation

complexe. Il nest plus ncessaire dcrire les quations diffrentielles des mailles. Il suffit de

considrer les chutes de tension dans les diverses impdances crites sous leur forme

complexe. Par exemple, pour le circuit R, L, C srie du chapitre prcdent aliment par une

tension sinusodale, on aura :

*v*ijLjC

*i*RitcosV

dt

)t(diLdt)t(i

C

1)t(Ri =+

+=+

+

Cliquez ici pour tudier ce circuit en rgime permanent sinusodal.Ltude des rgimes transitoires dans les circuits lectriques linaires est facilite par

lutilisation du calcul symbolique (transformation de Laplace) qui fait aussi correspondre

une quation diffrentielle une quation polynomiale. Cette transformation suppose des

dveloppements mathmatiques qui sortent du cadre fix pour ce cours et ne sera pas tudie.

4 Puissance dissipe dans les diples passifs

4.1 Dfinitions

On dfinit la puissance instantane par : p(t) = v(t).i(t)

Soit un diple dimpdance complexe Z* = Z.ej= R + jX.

Le courant dans le diple est : i(t) = I.cos(t) i* = I.e jt

La tension entre ses bornes est : v* = Z*.i* v* = Z.ej .I.ejt

v* = Z.I.e j (t + )= (R + jX).I.e jt

v(t) = (v*) = R.I.cos t X.I.sin t

La puissance dissipe dans le diple tant p(t) = v(t).i(t) , on a :

p(t) = R.I.cost X.I.sin t.cos t

p(t) = .R.I.(1 + cos 2t) .X.I.sin 2.t

On dfinit :

lapuissance active: pA= + .R.I.(1 + cos 2.t) lapuissance ractive: pR= .X.I.sin 2.t

p(t) = pA+ pR

pA= PA.(1 + cos 2.t) avec PA= + .R.I = + .V.I.cos

pR= PR.sin 2.t avec PR= .X.I = .V.I.sin

4.2 Puissance moyenne dans un diple

Contrairement la tension moyenne, la puissance moyenne dissipe en rgime sinusodalnest pas nulle :
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/rlcsinus.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/rlcsinus.html


30/134

+==

= =

=

+=

=

T

0

2

T

0

AA

T

0

2

T

0

RR

T

0

RA

T

0

dt).t2cos1.(I.RT21dt.p

T1P

0dt.t2sinI.XT2

1dt.p

T

1P

dt).pp(T

1dt.p

T

1P

A212

21 Pcos.I.VI.R.P ===><

En rgime sinusodal, mme si la puissance ractive dissipe dans un diple est nulle,

lintensit du courant qui circule dans les fils dalimentation ne lest pas. Il y a donc des pertes

en ligne induites. Cest pourquoi les distributeurs pnalisent les consommateurs dont

linstallation prsente une faible valeur du cos.

4.3 Puissances complexes

On dfinit la puissance complexe par : p v i* *. *= 12 p* = .V.I.e j= V.I.cos + .j.V.I.sin= PA j.PR

Donc : p* = P + j.PA R

*)i.*v*i.*v(*)p*p(P

*)i.*v*i.*v(*)p*p(P

j41

21

R

41

21

A

==

+=+=

4.4 Adaptation dimpdance en puissance

On recherche les conditions de transmission optimale de la puissance entre un gnrateur

modlis par un gnrateur idal en srie avec une impdance ZSet une charge dimpdanceZU.

Fig. 7

I E Z ZS U* * * *

/ ( )= +

V E Z Z ZU S U* * * * *

. / ( )= +

La puissance active est donc :

*)i.*v*i.*v(P 41

A +=

)ZZ).(ZZ(

ZZE

4

1P

*

U

*

S

*

U

*

S

*

U

*

U2

A +++

=

)jXRjX)(RjXRjX(R

2.R

4

EP

UUSSUUSS

U2

A ++++=

2

US

2

US

U2

A)X(X)R(R

R

2

EP

+++=

La puissance est maximale si le dnominateur est minimal.

Ceci est obtenu en faisant : XU= XS. On rappelle que si une rsistance est toujours positive,

une ractance peut tre positive ou ngative.

Lexpression de la puissance est alors uniquement fonction de RUet RS. La puissance sera

maximale si :dPa

dR0

U

= .


31/134

dPa

dR

E

2

(R R ) 2.R (R R )

(R R )

E

2

R R

(R R )U

2S U

2

U U S

S U

4

2S U

S U

3= + +

+

=

+

Cette drive sannule si RU= RS. En tenant compte de la condition sur les ractances, on

obtient donc une transmission de puissance optimale si limpdance de la charge est le

complexe conjugu de celle de la source. Quand cette condition est ralise, il y a adaptation

des impdances en puissance.

Pour un circuit aliment en courant continu les impdances sont relles et la transmission

de puissance est optimale quand la rsistance du rcepteur est gale celle de la source.

On peut noter que lorsque les impdances sont adaptes, la puissance perdue dans

limpdance de source est gale la puissance utilisable dans la charge.

REMARQUE:

La condition obtenue correspond une adaptation des puissances. Si lon souhaite par

contre obtenir une tension maximale entre les bornes de la charge, puisque

VU= E.ZU/(ZU+ ZS), il faut videmment que limpdance de cette charge soit la plus grande

possible et que limpdance de la source soit la plus petite possible. On ralise alors uneadaptation dimpdance en tension.

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U

t

U

t

U

t

II

I

Relations de phase pour les diples idaux


32/134

Retour au menu!

Quadriples lectriques

1 Dfinition des quadriples

De nombreux circuits peuvent tre reprsents par une bote munie de deux bornes

dentre et de deux bornes de sortie, que lon nomme quadriple1.

I1

U1 U2

I2

Fig. 1

Il est souvent possible de dcomposer un dispositif

lectrique ou lectronique complexe en un ensemble de

modules fonctionnels qui sont des quadriples. Ces modules

sont ensuite associs en cascade : les grandeurs de sortie de

lun constituent les grandeurs dentre du suivant.

Ltude des quadriples linaires est facilite par lusage du calcul matriciel. Cette

reprsentation des circuits est galement bien adapte aux mthodes de calcul numrique

modernes.

Quatre grandeurs lectriques caractrisent un quadriple : le courant I1 et la tension U1

dentre, le courant I2et la tension U2de sortie. Par convention, on donne le sens positif aux

courants qui pntrent dans le quadriple.

CAS PARTICULIER: Le triple

Une borne dentre est alors commune avec une borne de sortie.

Les transistors sont modlisables par des triples.

Fig. 2

2 Exemples de quadriples

"""" Quadriple srie

I1

Z

V1 V2

I2

Fig. 3

Il contient une seule impdance. La loi des mailles donne :

V2= V1 Z.I1 et I2= I1

Soit sous forme matricielle :

V

I

Z V

I

2

2

1

1

=

1

0 1 .

On peut noter que pour ce quadriple, le dterminant de la matrice liant les grandeurs dentre

aux grandeurs de sortie est gal 1.

" Quadriple parallle

I1 IZ

V1 V2

I2

Fig. 4

V2= V1; I1+ I2= I ; I2= V1/Z I1

Soit sous forme matricielle :

V

I

0 V

I

2

2

1

1

=

1

11Z

.

Ici encore, le dterminant de la matrice est gal 1.

1Ne pas confondre avec les quadruples de llectrostatique.

I1

U1 U2

I2


33/134

" Transformateur idal en rgime sinusodal (cf 8)

On nglige toutes les pertes (rsistives et dues aux courants de Foucault).

I1

V1

L1 L2

M

V2

I2

Fig. 5

V1= L1.dI1/dt + M.dI2/dt

V2= M.dI1/dt + L2.dI2/dt

V1= jL1..I1+ jM..I2V2= jM..I1+ jL2..I2

V

V

M I

I

2

1

1

2

=

jL

M L. .1

2

3 Matrices reprsentatives des quadriples

I1

V1 V2

I2

Fig. 6

Pour les quadriples ne contenant que des diples linairesles

4 grandeurs fondamentales V1, V2, I1 et I2 sont lies par des

quations linaires.

Plusieurs reprsentations matricielles sont possibles et le choix

de lune de celles-ci sera fait en fonction du problme tudi.

"Matrice impdance

V

V

Z Z

Z Z

I

I

1

2

11 12

21 22

1

2

=

.

On exprime les tensions en fonction des courants. Les lments

de la matrice ont la dimension dimpdances.

"Matrice admittance

I

I

Y Y

Y Y

V

V

1

2

11 12

21 22

1

2

=

.

On exprime les courants en fonction des tensions. Les lments

de la matrice ont la dimension dadmittances.

"Matrice de transfert

V

I

T T

T T

V2

2

11 12

21 22

1

1

=

.

I

On exprime les grandeurs de sortie en fonction des grandeursdentre. T11 est un nombre, T12 est une impdance, T21 une

admittance et T22un nombre.

Bien noter dans cette reprsentation le signe moinsaffect I1.La matrice inverse de la matrice de transfert donne les paramtres dentre en fonction des

paramtres de sortie.

"Matrice hybride

V

I

H H

H H

I1

2

11 12

21 22

1

2

=

.

V

Lintrt de cette reprsentation apparat lors de ltude des

transistors.

H11est une impdance, H12est un nombre, H21un nombre et H22une admittance.

On utilise parfois la matrice [G] = [H]1

Les relations tant linaires, il est facile de dduire les coefficients dune reprsentation

partir de ceux dune autre.

"Caractristiques des quadriples passifsCe sont les rseaux de courbes qui reprsentent les variations des tensions en fonction des

courants. Par exemple, pour le rseau V1= g(I1), on prendra I2 ou V2 comme paramtre :

chaque courbe de ce rseau est trace pour une valeur donne et constante de I2(ou de V2).

"Proprit des quadriples passifs

Soit un quadriple passif dont la tension dentre est E et le courant de court-circuit ensortie est IS. Daprs le thorme de rciprocit, le courant dans lentre en court-circuit est

IE= ISsi la tension de sortie est E.


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I1 Ie

E E

Is I2

Fig. 7

Les relations entresortiepour la matrice de transfertscrivent :V T V T I

I T V T I

2 11 1 12 1

2 21 1 22 1

= =

Sortie en court-circuit :

0 11 12 1

21 22 1

= =

T E T I

I T E T IS

Entre en court-circuit :

E T I

I T I

E

E

= =

0

0

12

2 22

Lgalit IE= ISimplique que : (T) = T11.T22 T12.T21= 1.Des calculs analogues montrent que pour un quadriple passif on a aussi :

Z21= Z12et H21= H12

4 Associations de quadriples

"Association en cascadeLes deux sorties du premier sont relies aux deux entres du second. On utilise les matrices de

transfert [T1] et [T2] des deux quadriples associs.I1 I1

V1

Q1 Q2 QV'1V0

V2 V1 V2

I0 I'1 I2 I2

Fig. 8

[ ] [ ]

=

=

1

1

2

2

2

1

1

1

0

0

'I

'V.T

I

V

I

V.T

I

V

V1= V0 I1= I0

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]12Eq1

1

12

2

2T.TT

I

V.T.T

I

V=

=

La matrice de transfert du quadriple quivalent est donc gale au produit de la seconde

matrice de transfert par la premire. Attention car ce produit nest pas commutatif !

APPLICATIONS:

Quadriple en TOn considre lassociation de trois quadriples en cascade et on recherche la matrice de

transfertquivalente.

I1 Z1

T1 T2 T3

Z3

Z2U1 U2

I2

Fig. 9

[TEq] = [T3].[T2].[T1] (Attention lordre !)

[ ] [ ]

=

=

1

01T

10

Z1T

2Z12

1

1


35/134

[ ]

+

+++=

2

1

2

2

3131

2

3

Eq

Z

Z1

Z

1

Z

ZZZZ

Z

Z1

T

Quadriple en

I1

Z1

T1 T2 T3

Z3

Z2

U1 U2

I2

Fig. 10

[TEq] = [T3].[T2].[T1]

[ ] [ ]

=

=

10

Z1T

1

01T

2

2

Z11

1

[ ]

+++

+=

3

2

31

2

13

21

2

Eq

Z

Z1

ZZ

Z

Z

1

Z

1

ZZ

Z1

T

"Association en srie

Dans ce cas, il y a additivit des tensions aux bornes des quadriples ; les courants sont

identiques. On en dduit simplement la matrice impdancequivalente.

V'

V''

V

Q'

Q'' Fig. 11

[V] = [Z].[I]

[V] = [Z].[I]

[V] = [V] + [V]

[I] = [I] = [I]

[Z] = [Z] + [Z]

"Association en parallle

I

I''

I' Q'

Q'' Fig. 12

Il y a additivit des courants et identit des tensions :la matrice admittancedu quadriple quivalent est

la somme des matrices admittance des 2

quadriples :

[Y] = [Y] + [Y]

5 Grandeurs fondamentales des quadriples

Il est possible de dfinir pour un quadriple des grandeurs caractristiques comme les

impdances dentre et de sortie, et les gains en tension, courant et puissance.

"Impdance dentreCest limpdance ZE= VE /IEvue lentre quand la sortie est charge par une impdance ZU.

On utilise la matrice impdance du quadriple.

I1

V1 V2 Zu

I2

Fig. 13

V1= Z11.I1+ Z12.I2

V2= Z21.I1+ Z22.I2= ZU.I2

I2(ZU+ Z22) = Z21.I1

I2= Z21.I1/(Z22+ ZU)

V1= I1.{Z11- Z12.Z21/(Z22+ ZU)}

Z Z Z ZZ Z

E

U

= +11

12 21

22

.


36/134

"Impdance de sortieCest limpdance ZS= VS /ISvue la sortie quand lentre est ferme par une impdance ZG

qui est limpdance du gnrateur.

I1

V1 V2Zg

I2

Fig. 14

Un calcul analogue au prcdent donne :

Z ZZ Z

Z ZS= +22

12 21

11

.

G

"Gain en tensionCest le quotient de la tension de sortie par la tension dentre : AV= V2 / V1

V2= T11.V1 T12.I1

I2= T21.V1 T22.I1 Or : V2= ZU.I2

T22.I1= T21.V1 I2= T21.V1+ V2/ ZU

V2= T11.V1 (T12.T21 / T22).V1 T12.V2 / T22.ZU

Cas particulier : les quadriples passifs

On a alors : (T) = 1

22

1

22

211222111

U22

122

T

V

T

T.TT.TV

Z.T

T1V =

=

+

1222U

Uv

T.TZ

ZA

+=

Si ZU= (quadriple non charg) alors : AV= 1 / T22.

6 Schmas quivalents des quadriples linaires

On remplace le quadriple tudi par un circuit quivalent (dont les quations sont les

mmes que celles du circuit tudi), mais dans lequel entre et sortie sont spares. Plusieurs

schmas de quadriples quivalents sont utiliss :

"Paramtres impdances

I Z111

12 21

2

2 1

2

1

22

V

I

VZ .I Z .I

Z

Fig. 15

Le circuit quivalent comporte des impdances et des

gnrateurs de tension.

V1= Z

11.I

1+ Z

12.I

2

V2= Z21.I1+ Z22.I2

"Paramtres admittances

I

2 1

2

222

21

11

12

1

1

Y YV

I

V

Y .V Y .V

Fig. 16

Le circuit quivalent comporte des admittances et des

gnrateurs de courant.

I1= Y11.V1+ Y12.V2

I2= Y21.V1+ Y22.V2

"Paramtres hybrides


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I

12112 2

2

22

21

111 H

V

I

V

H .V H .I

1/H

Fig. 17

Pour le modle hybride, on obtient :

V1= H11.I1+ H12.V2

I2= H21.I1+ H22.V2

Attention aux dimensions des paramtres :

H11= Impdance, H12= Nombre

"Modle amplificateur dun quadriple linaire

I1

V1

Av.V1V2

Ze

Zs

I2

Fig. 18

Dans ce modle, le circuit dentre est rduit

limpdance dentre ZE. Celui de sortie comporte un

gnrateur de tension de f.e.m. AV.VE en srie avec

limpdance de sortie ZS.

V1= ZE.I1

V2= AV.V1+ ZS.I2

7 Schmas quivalents des quadriples nonlinaires

Les composants utiliss en lectronique sont trs souvent non linaires et une tude

analytique rigoureuse du circuit est alors impossible. Pour tudier le comportement du circuit,

on peut utiliser des mthodes graphiques.

Supposons connues les caractristiques dun quadriple non linaire : ce sont les rseaux de

courbes V1= f(I1, I2) et V2= g(I1, I2). Par exemple dans le plan V1, I1on trace le rseau des

courbes V1= f(I1) en prenant la valeur du courant I2comme paramtre. De mme dans le plan

V1, I2, on trace le rseau des courbes V1= g(I2) en prenant la valeur de I1comme paramtre.

On impose lentre les valeurs de V1 et de I1 ; les valeurs de sortie sont V2 et I2. Ces 4

valeurs dfinissent lepoint de repos ou point de fonctionnement. Comment volue ce point si

I1varie de dI1?

I1

V1

Vv

1

1i

I

PFI2 = cte

Fig. 19

Au voisinage du point de repos, on peut crire les variation

des valeurs statiques :

2

CI2

21

CI1

22

2

CI2

11

CI1

11

.dII

V.dI

I

VVd

.dII

V.dI

I

VVd

12

12

==

==

+

=

+

=

Les drives partielles

PFi

i

I

V

sont les pentes des tangentes aux caractristiques au voisinage

du point de repos et ont la dimension dune impdance :

dV z .dI z .dI

dV z .dI z .dI

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

= += +

Les paramtres zijsont les drives des paramtres statiques Zijau voisinage du point de

repos : ce sont des paramtres dynamiques . Cette notation des diffrentielles est

rigoureuse mais lourde utiliser.

En lectronique, on note la diffrentielle dA de la grandeur A avec la lettre

minuscule a.

La minuscule a correspond la variation de la grandeur statique reprsente par A.Ainsi, en posant v1= dV1 ; i1= dI1 , on obtient pour la matrice impdance :


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v z .i z .i

v z .i z .i

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

= += +

Dans une rgion o les caractristiques sont linaires, ce modle permet une reprsentation

correcte des proprits du quadriple. Il est galement possible de modliser le quadriple par

un circuit linaire quivalent dont les valeurs sont celles du quadriple au voisinage du point

de fonctionnement. Ainsi pour le modle hybride, on obtient (comparer avec la figure 17) :i

12112 2

2

22

21

111 h

v

i

v

h .v h .i

1/h

Fig. 20

v1= h11.i1+ h12.v2

i2= h21.i1+ h22.v2

Ne pas confondre les Hijet les hij.

8 Exemple de quadriple : le transformateur idal

On admet que les inductances sont des solnodes de section S ayant N1et N2spires, deslongueurs !1 et !2et que les pertes sont ngligeables. Si 1est le flux dinduction traverslenroulement primaire, on a :

1 1 1 2 1 1 1 2 11 1

22 2= + = + = =L I MI N B S N B S B

N IB

N I; ;

! !

LSN

MSN N

L k N M k N N L L11

2

1 2

1 1

2

1 2 1 2= = = = =

! !; ; . .

Avec ces hypothses, on obtient en rgime sinusodal :

I1

U1L1 L2

M

U2Zu

I2

V1= jL1..I1+ jM..I2

V2= jM..I1+ jL2..I2V

V

M I

I

2

1

1

2

=

j

L

M L. .

1

2

A partir de lexpression de la matrice Z du transformateur, on dtermine lexpression de

limpdance vue lentre quand le transformateur est charg par une impdance Zu.

Z ZZ Z

Z ZujL

M

jL ZuE= +

= ++11

12 21

221

2 2

2

. Soit : Z

jL Zu

Zu jLE= +

1

2

Cette impdance est quivalente une impdance Zu.L1/L2 en parallle avec une

impdance jL1. Si le produit L1 est assez grand, limpdance prsente par letransformateur charg est donc Zu.L1/L2 = Zu.(N1/N2)2= Zu.n2. (n = N1/N2est le rapport detransformation).

Le transformateur permet donc ladaptation en puissance des impdances entre une source

dimpdance Zs et une charge dimpdance Zu. Il suffit dutiliser un transformateur de rapport

n2= Zs/Zu.

REMARQUE: Comme on nglige les pertes, ce quadriplepassifpossde un gain en puissance

gal 1. Le gain en tension peut tre suprieur ou infrieur 1 (transformateur lvateur ou

abaisseur de tension).

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Filtres passifs

1 Les diagrammes de Bode

1.1 Fonction de transfert

De nombreux circuits lectriques peuvent tre reprsents par des quadriples. Une

caractristique importante dun quadriple est sa rponse en frquence. Un circuit dont la

rponse en fonction de la frquence nest pas constante est un filtre. En rgime sinusodal, on

le caractrise par safonction de transfertcomplexe qui est le quotient de la tension de sortie

vS* par la tension dentre vE* :

H*(j) = vS*/vE* H*(j) = G().ej()

G est la norme du gain en tension : G() = vS/ vEest le dphasage : () = Arg(vS*) Arg(vE*)

Un filtre passif rel dissipe toujours de lnergie et la puissance disponible la sortie est

toujours infrieure la puissance applique lentre.

1.2 Dcibels

En acoustique physiologique, on constate que la sensation est proportionnelle au

logarithme de la pression acoustique. Ceci a conduit la dfinition dchelles logarithmiques

pour la mesure des gains. Les gains en dcibelssont dfinis par :""""Gain en tension : G()dB= 20.Log10(G()).

""""Gain en puissance : P()dB= 10.Log10(P()).

VALEURS REMARQUABLES:

Soit G un gain en puissance gal 2. Le gain G correspondant en dcibels est :

G = 10.Log10(2) = 3,01 dB 3 dB.Si G = 4, G = 6,02 dB 6dB.Si G = , G = 3 dB

Une multiplication du gain par 2 correspond une augmentation de 3 dB.

Une division du gain par 2 correspond une diminution de 3 dB.Soit G un gain en puissance gal 10. G = 10.Log10(10) = 10 dB.

Si G = 106, G = 60 dB.

Si G = 103

, G = 30 dB...

Pour les tensions, une multiplication du gain par 2 correspond + 6 dB.

INTERET:

Les gains en tension sont souvent trs petits et lutilisation des dcibels permet demanipuler des nombres plus grands.

Soient deux tages en cascade de gains G1= P1/P0et G2= P2/P1; le gain total G = P2/P0est donc gal au produit G1.G2des gains des tages. Si les gains sont exprims en dcibels,le gain total est la somme des gains :

G = G1 + G2


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1.3 Frquence de coupure

On dfinit la frquence de coupureCdun systme comme tant celle pour laquelle legain maximum en tension est divis par 2 .

G(C) = GMax / 2Or Log( 2 ) = 0,1505 3/20. On peut donc aussi dfinir la frquence de coupure comme lafrquence qui correspond une diminution de 3 dB du gain maximum.

G(C) = GMax3 dB

1.4 Diagrammes de Bode

La gamme des frquences appliques aux montages lectriques tant trs large, lors du

trac des fonctions de transfert, on utilise une chelle logarithmique pour laxe des

frquences. Soit f0une frquence caractristique dun systme (par exemple une frquence de

coupure). Les diagrammes de Bodede ce systme sont les courbes du gain(en dB) et de la

phasede la fonction de transfert, en fonction de Log(f/f0) = Log(/0).La reprsentation de Bode utilise donc pour les abscisses une chelle logarithmique en

coordonnes rduites et pour les ordonnes une chelle en dcibels.Le trac rigoureux dune fonction de transfert est souvent une opration fastidieuse et dans

de nombreux cas une reprsentation approximative est suffisante. Les courbes sont en gnral

traces sous leur forme asymptotique.

1

0

Fig. 1

Les diagrammes de Bode prsentent galement un autre intrt. Partant dune fonction de

transfert donne, on la modifie pour lcrir

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