Upload
others
View
9
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
1
������ �����
���� !�"#�$%�
�"� :'� ��� ���( �)� ��*
������� � +,���-� ����� �������
�.�/0�� ���"��
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
2
���� 1���2
1. ����� 2 .!�"�$%� 3. 3����� �0��� 4. �40�� ���2*
51������ 6��� 51������ ����
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
3
1 .���"�
��� ��� ���� �� �� ��� !�� ��� �"# �� $����! %���!��&��� ���
!����� ��"� ��&"�� !# �����%' ��� $����! (��� )��! * ��� +���, -�!.� . �� �� �!0��1 ����� !���� 2�� 3� ��!4� 5��� 6 �� � ��� -�!' +��
���� ��� ) 38�1�� .��� 9"�� 3�! ����� �"# 3� ����5� �55� :8;5" ��� " !")�� "���5�� =��� �!�( �*� ����� 3��5��� ������ +��*&�� ?@�5�� �� ��" !85! ) ���� ���� ��� �*�� .��!� ����� ( ��5 3�� ������ 3# ������ 3�� 15�� 3�
���� ����� .(.��� 9"��! ����� �"# 3� -�!'��! �#����� �� ��A �!�5� ��" B�!.
� ���,��! ���� �'�� �� ����� !��� �� :8;��� 3� ���'��� �B� �@��=�� �@��� B���! 3C����� ���8�� ��!�D� ���5#! ��!�D� �"& ��5���
5�& 3�� ����8������ )����� ���� $�5� "5� �D� ��" . ("# �� !����� ��� ���&�� 3�5���� ��@��! �� ��& ��5���Descartes) 1596E1650 ( 9=��&54�!
�!�5Newton) 1642E1727 ( =�5��� 35���4�!Leibniz) 1646E1716( . ��! ��5��� =!��! F��8�� ����� 3� ���!�,��� ��:5 �!�: 3#�C� �#�!�: ��&
���BG� ��� 3� �����G�.
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
4
2 .!�$��� ���7
�&� :f I → � ��,� ��� ���� ��8 ��� H!�� I . I15 �&I�!0x �� I .
* �� �!5f �5� ���;� ���� .5A 0x,! �"A I .I��A =��5 3�8 ��� � I�)(' 0xf�8� :
0 00 0
( ) ( )'( ) limhf x h f xf x h→
+ −=
*�A �!5f ��� ����� ��� I.5� 15 �& �5� ����� ��� �"A . *�A �!5f���;� ���� .5A ������ �� �5� 0x�"A ����� ���5�� �5�&
+�!,!�) 3���5� ������ �� ����� �#�!,! �5� ���0x: ( .
00 0
0
( ) ( )limh
f x h f xh>→
+ − * �A �!5f���;� ���� .5A �� ������ �5� 0x�"A ����� ���5�� �5�&
+�!,!�) �� ����� �#�!,! �5� ��� 3���������5� 0x: ( .
00 0
0
( ) ( )limh
f x h f xh<→
+ −
8�9���
1 (!�� %�,! �A %����� ��8!)L�"���.(
2 (����� 3��5��� ������
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
5
��� ���5f 15 �5� ���;� ���� x . ���5�� �� ��" 35��0
( ) ( )limhf x h f x
h→+ − 9!��! +�!,!� '( )f x . ����� �*�� �"��'( )f x
����� ���� ��5� L����5#f6��� !# ��& ����� ����� 0&5�! �&��� 3� �( )MP . �&��� �� ��5Ay ax b= + ... 6�5 �5�& �"A! ��, �5h ��A �!M� 0% 15�� 9�P
��A �!MM ������� ��& ��8��� y ax b= + �&��� ��� ( ). ( )y a h x b h= +������ �� =���G ���a! b ��N� ����N� h . 3� �*&� ���5�
������� ("#... ���!����� �8 ��5A : ( ) ( ). ( )
( ) ( )( ) ( ).f x a h x b h
f x h a h x h b h= +
+ = + +
3D� .5�! : ( ) ( ) ( )f x h f x a hh
+ − = �� ���� )�( )a h ����� ��� ��A ���� ( )MP . �D� �!�� �A *f ����� ���
�5�x ���5�� �!,! .5�� 0
( ) ( )limhf x h f x
h→+ − ���5�� 9� %
0lim ( )ha h→ . �"��!
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
6
5�� ("# �*� �;������ ���( )a h ���5� .��� ��85 9"�� ����� ��� �*� ��5A L 15�� �!MP��A M ) �����( )D(;�� �&��� 3� ( ... !# ����� �"#
���� ����f 15�� �5� M . �A �!�� �;''( )f x ���� �� 15�� �5� ������ ��� �*��f ������ ��" x.
�� ������ �"# 3� ������ �� .��� :8;55 �5� ������ �D� ��� ����� 1
.5� O�'� 15 3� ������ )1� �� .5&�� ... 3���� �&��� �6��� ��& :
3 ( �I� ��I���� 9!��! �!,! P��& 15 �5� ����� ����� �� :8�
������ 15�� �� �5� ������ ��!)��" ��� �#��.( 4 ( 3���� �&��� ��� $����� �"# ��& �&�� : �I� �!5f �I��� .I5A
�5� ���;�0x I� .��A =��5 3�8 ��� �,! �"A )(' 0xf �8� :
!�5!� =�� �� ����Landau )(hο I� ��� ��& h �8!
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
7
����� �� :8;5 �"&#!)( 0 hxfh +� I��& 2!I�,� �&� ��� 0& ���Q ���! ����g I� ���� hxfxfhg )(')()( 00 +=. 5 �� �&����� ��!,� +�1���� ����� 0�� �C�� �D� ��" 0x I���Q I���
����� 3#g . ����� ���� �� ��5 �85 O�'� �, ��!g ���� ���� !# f �I5� 0x.
0II�� �� ����Gf III� g�II�, 0II�� % II����� ;*II� �II���
23: xxxf +�% 0�8�! )017.1(f ������ 10 =x ! 017.0=h�� �,�� 3232 4)(452)1(()017.1( hhhghhhhff ++=+++=+=
���� R�!� �� O� ��"�!)017.1(f ����� )(hg �5��, 9!��� D1' 0&�5324 hh +%9� 00116.0 �� �IIIIIII���86160913.2)017.1( =f ��!
085.2)17.0( =g.
���A O�'� �*��3� ����5 �!�,�� �"# : 1� �:�* ;�(�� +������ 3�"� ��%�� +������h �����h!"�
h² 1 + 2h ( 1 + h ) ² IRh∈ 4h² 1 + 3h ( 1 + h ) 3 |h| < 1
h2
11+ |h| < 1
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
8
2h² 1 - h
|h |< 0.5
��<�* +�4$
��� �*�4� �� ��A ���5 �!��: 1 ( !# ���*�� )���� ���0.
2 ( )���� ���f � $����� I( ) nf x x= !# 1'( ) nf x nx −= �� �"#!
S�8� ��� �& �,�. � � �!I&� ���I5� ��8�� �!&� $�& O�5 �� 3�&� ��" �Mn �����1)L�"��� .( �5���:
( )0 0
1 2 2 100 0 0
01
0
( ) ( )lim lim ...
.
n n n nx x x x
n
f x f x x x x xx xx xnx
− − − −→ →
−
−= + + +−=
3 ( )���� ���f I� $����� ( )f x x= �,� �� 0 x≠ !# ) �I�*���": (
1 : 0'( ) 1 : 0xf x x
>= − >
15�� �5� ���00 x= ���5�� �4 ����� ��� � )�����
00 00
( ) ( )lim limx x
xf x f xx x x→ →−
=− +�!,!� ��B ... ��"���5�� �� �5� ������ �� ���5�� 9!�� � ������ �� 0 :
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
9
.0 0
0 0 0 00 0
( ) ( ) ( ) ( )lim lim 1 lim lim 1x x x x
x xf x f x f x f xx x x x x x> > < <→ → → →− −
= = ≠ = = −− −
4( 3��,�� )���� ��� f I� $����� ( ) sinf x x= . �5��I�% ��'I��� +������ �*�*��� �;���
0 00sin sin 2cos .sin2 2
x x x xx x + − − = :
0 0
0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
( ) ( ) sin sinlim lim
2cos .sin2 2 lim
sin 2 lim cos lim22
x x x x
x x
x x x x
f x f x x xx x x x
x x x x
x xx x
x xx x
→ →
→
→ →
− −=− −
+ − = −− + = −
0
0
cos 1 cos .
xx
= ×=
�;��� .5�!'( ) (sin ) ' cosf x x x= =. �� ���&�� ��5� ���*A �&��(cos ) ' sinx x= −.
5 ( 3�4� )���� ���f I� $����� ( ) xf x e=. �5��� % �;��� ��'���
01lim 1
t
tet→− =:
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
10
0 00
0 0
0
0
0 0
0
1lim . lim
1 .lim .
x x xxx
x x x x
tx
tx
e e eex x x xee t
e
−
→ →
→
− −=− −−=
=
.5�!'( ) ( ) 'x xf x e e= = �& �,� �� x ∈�. 3�&��� )���� ��� 31� 3�� +����� 1��!� ?5�5 �� �&��� �D1(ln ) 'x x=
�& �,� ��*x +∈� . �;��� �� ��� ��#���� �&�� ��& -@��' ��'��� ���B!���.
��8�
�&� :f I → � H!�� ��,� ��� ���� ��8 ���I . ���� �5�& �"A�5� ���;� 15 0x �� I 15�� ("# �5� +���� ��5T� .
1�=���� � �� :8;5 �����f �5� 0x 35��
00lim ( ) ( ) 0
x xf x f x
→− = . �5���
����� ���!�����: 0 0
00 0
0
( ) ( )lim ( ) ( ) lim ( )x x x x
f x f xf x f x x xx x→ → −− = × − −
0 0
00
0
( ) ( ) lim lim( )x x x x
f x f x x xx x→ → −= × − −
0 '( ) 0 0.f x= ×
=
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
11
������ 3D� .5�!f �5� 0x.
�8�9� � �&� �� :8� S�8� ��B ��:5� : ����� ��A 9�M� � ��� ����������� .�*�I ��" � : I� ������ �����( )f x x= �5� ���� 0% ��" B�!
�5��� �� ��� ��& 15�� ("# �5� ����� �� � 3��.
��8� �&� :f I → � !:g I → � ��� ����8 �������� ��I,� ���
H!��I! �������5� ���;� 15 0x �� I . "@5�8 3�� �� �8�: 1 ( 2!�,���f g+ �5� ����� ��� 0x �5���! :
.0 0 0( ) '( ) '( ) '( )f g x f x g x+ = + 2 (U��,��.f g �5� ����� ���0x �5���! :
.0 0 0 0 0( . ) '( ) '( ). ( ) ( ). '( )f g x f x g x f x g x= + 3 ( ��& �"A0( ) 0g x ≠�T� ��&�� fg �5���! ����� ��� :
.'
0 0 0 00 2
0
'( ). ( ) ( ) '( )( ) ( )f x g x f x g xf xg g x
− =
1�=���� 1 (���*G� ���. 2 ( ������0x x≠ 0&5 �� �&�� :
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
12
0 0 0
0 0
0 0 0 0
0
0 00
0 0
. ( ) . ( ) ( ). ( ) ( ). ( )
( ). ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
f g x f g x f x g x f x g xx x x x
f x g x f x g x f x g x f x g xx x
f x f x g x g xg x f xx x x x
− −=− −
− + −= −
− −= +− −
.5�!) �55� :8�� ������ ����5g���;� .����� �� 3D� 9"�� "&! % )�=! ��
+�!,!� ��5D� ���� ��5 ���5� �����5��: (
0
0
0
. ( ) . ( )limx x
f g x f g xx x→− =−
0 0
0 0 0
0 00
0 0
0 00
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) lim ( )
( ) ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) lim
'( ). ( ) (
x x x x
x x x x x x
f x f x g x g xg x f xx x x xf x f x g x g xg x f xx x x x
f x g x f x
→ →
→ → →
− −= +− −− −= +− −
= + 0 0). '( ).g x 3 ( ��& �"A .5� !����� ��g �5� ����� 0x) ���� .54 ��"& !#!���;� (��&! 0( ) 0g x ≠ ��!, �,!� .5T� V I� 0x F�8� :
., ( ) 0x V g x∀ ∈ ≠
���5�x V∈ 0&5! :
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
13
( )
( )
00
0
0 0
0 0
0 0
0 0 0 0 0 0
0 0
0 00 0
0 0 0
( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) . ( ). ( )( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
. ( ). ( )( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( )( ). ( )
f f f xf xx xg g g x g xx x x x
f x g x f x g xx x g x g x
f x g x f x g x f x g x f x g xx x g x g x
f x f x g x g xg x f xg x g x x x x x
− − =− −−= −
− + −= − − −= −− − .
3�����!:
0
0
0
( ) ( )limx x
f fx xg gx x→
− −
[ ]
0
0 0
0
0 00 0
0 0
0 0 0 00 0
0 0 0 02
0
1lim ( ). ( )( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) ( ) lim
1 '( ). ( ) ( ). '( )( ). ( )'( ). ( ) ( ). '( ) .( )
x x
x x x x
g x g xf x f x g x g xg x f xx x x x
f x g x f x g xg x g xf x g x f x g x
g x
→
→ →
= × − −− − − = × −
−=
5�!0!�1��� .. �0��
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
14
�&� :f I → � ��� ��8 ���� H!�� ��,� ��� I ���;� ����! �5� 15 0x �� I . )���� �!&� "@5�8nf 3���1 ��� �& �,� �� ���;� ;���
��5� ��Bn�5���! %: .1
0 0 0( ) '( ) . ( ). '( )n nf x n f x f x−=
���'�� ���1 3�&� ��" �M��2 ( ������� 3� +���!�� U��,��� 5 ��: �����)��" ��*�.(
��<� I� $6����� �!�8�� ��*& ��� !# ��) F�8x ∈�:(
?1 0( ) . ... .nnf x a x a x a= + + +
��� �� ��� �� ��A ���5�� �&D !# 0!�1: .1 2
1 1'( ) . ( 1) ...n nn nf x na x n a x a− −
−= + − + + ��8�
�&� I ! J ����,� ��8!�� �� � ! % :f I → � ��� ��8 ���� ���I F�8�( )f I J⊂ ! %:g J → � ��� ���� ��8 ���J . R��5 :
1 (:f I → � �5� ���;� ���� 15 0x �� I 2 (:g J → � �5� ���;� ���� 15 0( )f x.
�� "@5�8J�! 0�&��� :g f I →� � ;����5� ���;� �� 150x �5���! :
.( )0 0 0( ) '( ) '( ( ) '( )g f x g f x f x= � 1�=����
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
15
%�* : ������! P1�'�� ��#���� �"# ���A�8�! �V 3� : 0&5 .( ) ( )00 0
0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
g f x g f xg f x g f x f x f xx x f x f x x x
−− −= ×− − −
� � 5!8;I �� :C! )( )y f x= ! 0 0( )f x y=������ ��'��! f �5� 0x
�=���� ��A 9�M� : .0x x→ 0 y y→ ⇐
! .���: ( ) ( )
( ) ( )0 0
0 0
00 0
0 0 0
0 0
0 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )lim lim ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) lim lim( ) ( )
x x x x
x x x x
g f x g f xg f x g f x f x f xx x f x f x x x
g f x g f x f x f xf x f x x x
→ →
→ →
−− −= × − − −
− −= ×− −
� �
( ) ( )0 0
0 0
0 0
0 0
( ) ( ) lim lim
'( ) '( ).y y x x
g y g y f x f xy y x x
g y f x→ →
− −= ×− −= ×
�"�! �4 ��#���� �"# 3�5� �( )
0
00
0
( ) ( )'( ) limx x
g f x g f xg f x x x→−
= −� �� .
��#���� 3� D1' ��5# . L!# �� ��5�C �5C���� 3� ��&� D1'��) �5�C! ���5������0( ) ( )f x f x− 3�
���� ( �D�0( ) ( ) 0f x f x− ≠ .
���< : ���A5�#���8�8� � : )C50 0( )y f x= ����� $6��5! :
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
16
00
0
0 0
( ) ( ) : ,( )'( ) : .
g y g y y yy yyg y y y
ϕ− ≠ −= =
�� :8�: 1 (
00 0lim ( ) '( ) ( )
y yy g y yϕ ϕ
→= =.
2(0 0( ) ( ) ( ) ( )g y g y y y yϕ− = − �& �,� �� y J∈ ... �5� �80y y=.
��" ��� ���5�x I∈ F�8 0x x≠0&5�! ) )C! )�( )y f x= ! 0 0( )f x y=(:
0 0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).g f x g f x g y g y
y y yϕ− = −
= −� �
�� ��" �� ?5� : 0 0
0 0
0
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ).
g f x g f x y y yx x x xf x f x yx x
ϕ
ϕ
− −=− −
−= −
� �
3�����!) :8;��� -�' .,!�! %��� �5� 5������1 (�&"�� ������ ( : 0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )lim lim ( )
( ) ( ) lim lim ( )
'( ) ( )
x x x x
x x y y
g f x g f x f x f x yx x x xf x f x yx x
f x y
ϕ
ϕϕ
→ →
→ →
− −=− −
−= −= ×
� �
( )0 0
0 0
'( ) '( ) '( ) ' ( ) .
f x g yf x g f x
= ×= ×
��#���� 3�5� ��"�!.
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
17
*�<��
1 ( ���� 0�, )���� ��� W�5�� 3��,�� )���� ��� �� +������ �&�� �� :8;��cos sin( )2x x π= + .)C5 ��" "��5�( ) sing x x= !
( ) 2f x x π= +�� �,5� ����� ��:5�� 3� ( ) sin( ) cos2g f x x xπ= + =� �A "@�5� �! ��:5�� ,�5!:
( ) ( )'( ) ' ( ) '( )
cos( ) 12 cos( )2 sin .
g f x g f x f x
x
xx
π
π
= ×
= + ×
= +
= −
�
2 ()���� ���5
1.sin : 0,( )0 : 0.x xf x x
x
≠= =
��� �#f 15 �5� ����� 0 x≠ ����� ��:5�� ���1� L)-�' .,!� (
�� +����! 0!�1��� ��� ��85 ����� U��, �: 2
1 1 1'( ) sin cos
1 1 1 sin cos .
f x xx x x
x x x
= + × − = −
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
18
15�� �5� ����� ��:5�� ���1 )�1�5 � �55&�0 x= . ��8�� ���1� 35�� � �"# ��f 15�� �� �5� ����� ��� � . ��� O�'� ��1� F8��� �5��� 3N�5� ��"�!
�5� � � ��!,!� ����� ��& �"A0 .$����� 3# �5# ��1 �C�� F8�5 �55� 9� % ���5�� �5�& �"A ���
0( ) (0)lim 0xf x fx→−−� � +�!,!� .�5���:
.0 0
( ) (0) 1lim limsin0x xf x fx x→ →− =−
�4 +�!,!� ��B ���5�� ("# �� :8;5);*� ( ���'�1x nπ= F�8 n ��� 31�� ��5� ��B 3���1
01limsin lim sin 0
x nnx π→ →+∞= = . ���'� ���
1(4 1) 2
xn π=
+ F�8 n�� 31��� 3���1 �
01limsin lim sin(4 1) 12x n
nxπ
→ →+∞= + = . ��A 9�M� ������� �����5�� $;'� �A ���5�� �!,! ��
0 0( ) (0) 1lim limsin0x xf x fx x→ →− =− .�T� .5�!f ����� ��� �
�5�0.
3 ()���� ���5 2 1.sin : 0,( )0 : 0.x xf x x
x
≠= =
��� �#f 15 �5� ����� 0 x≠ ����� ��:5�� ���1� L)-�' .,!� ( 0!�1��� ��� ��85 ����� U��, ��� +����!:
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
19
22
1 1 1'( ) 2 sin cos
1 1 2 sin cos .
f x x xx x xx x x
= + × − = −
15�� �5� ����� ��:5�� ���1 )�1�5 � �55&�0 x= . ��8�� ���1� 35�� � �"# ��f 15�� �� �5� ����� ��� � . ��� O�'� ��1� F8��� �5��� 3N�5� ��"�!
�5� � � ��!,!� ����� ��& �"A0 . F8�5 �55� 9� %$����� 3# �5# ��1 �C���5�& �"A ��� ���5��
0( ) (0)lim 0xf x fx→−−� � +�!,!� . �5���:
0
0
( ) (0)'(0) lim 01 lim sin
0.
x
x
f x ff xx x
→
→
−= −=
=
����� �;��� �� �5# �5���� �55� :8�);*� ( ����� ��8��� ���5�� ��A 9�M 3��: .
0 0 01 10 lim sin lim 0 lim sin 0
x x xx x xx x→ → →≤ ≤ = ⇒ =
��&� �& 3� ����� ��� ������ )���� �� �!�� �;'....�� �5��8 ��! �5� 15 �&x ∈� .
��8�
�&� :f I → � ��� ��8 5���� +����!���H!�� ��,� I. �� R��5f �� �5� �����0x.
"@�5��� ��&��� ����� 1 : ( )f f I I− → �5� ����� 0 0( )y f x= �"A ��& �"A 1�!0'( ) 0f x ≠ �5���! % :
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
20
.10
0
1( ) '( ) '( )f y f x− =
1�=����
* �� ������ 3� R��51 : ( )f f I I− → �5� ����� �� 0 0( )y f x= . �#0'( ) 0f x ≠ 0&5 ��" �M�� L :
1 ( )f f x x− =� �5� 0�&��� ��5!0x 8� ����� ��:5�� 1!�� �4 :
( )10 0'( ( ) '( ) 1f f x f x− × = %( )1
0 0'( ) '( ) 1f y f x− × = .� �;��� ("# ��* �0'( ) 0f x ≠ ����� +�!����� 3� 35�*�� $�1�� ��5� (�!�! .
* �� �X� R��50'( ) 0f x ≠ . �5� ����� �� ��&��� ����� �#0 0( )y f x= ���5�� ���5� L .
0 0 0
1 10 0
( ) ( ) 0 0
( ) ( )lim lim ( ) ( )y f x y f x x xf y f y x x
y y f x f x− −
= → = →− −
=− − �'�� �� �5���� �55� :8� ����� +�!����� 3� ����� �� :������f ��5���!
��&��� ����� ������ ��A ����M� . S�8� 3���� M��&�� �T� ��"�!: .0 0 0( ) ( ) f x y f x y x x= → = ⇔ →
���5�� �� ��5 O�'� �, ��
0
0
0
( ) ( )limx x
f x f xx x→−−+�!,!� % �5���!
0
00
0
( ) ( )lim '( )x x
f x f x f xx x→−
=− . 1���� �T� .5�!0'( ) 0f x ≠ ��A 9�M� .
0
0
0 0
1lim ( ) ( ) '( )x xx x
f x f x f x→−
=−
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
21
���5�� �!,! ��&D )�1�5 .���!0 0
1 10 0
0 0
( ) ( )lim lim ( ) ( )y y x xf y f y x x
y y f x f x− −
→ →− −
=− − ��� �!�8��! ����� ���8! 0!�1��� :
.( )0
1 11 0
00 0
( ) ( ) 1'( ) lim '( )y yf y f yf y y y f x
− −−
→−
= =−
��<�* 1 ( �����[ ]: , 1,12 2f π π − → − I� ������ ( ) sinf x x= 5����
���;� ����! 0�,�� �!� +������ ������ ��"�! arcsin I� ������! [ ]arcsin : 1,1 ,2 2
π π − → − 1arcsin ( )x f x−= �� 15 �� �5� ���;� ���� ��,���] [1,1− ... ����! !#
2
2
1(arcsin ) ' '(arcsin )1 cos(arcsin )
1 1 sin (arcsin )
1 .1
x f x
x
x
x
=
=
=−
=−
��,��� 3��1 �5� ����� �� � ��� 0�,�� �!� �� :8�1 ! 1− 1���� �4 3��&��! =;��0'( ) 0f x ≠ �5� �8� ��B 1 ! 1− �� "A '(1) '( 1) 0f f= − =.
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
22
2 ( I� ������ ����� ��A �5��1( ) nf x x= �,� �� *x ∈� !*n ∈��� ��5 �85! %1'( ) nf x nx −= . ��� �����8�� ��A +����� ("# 3��
���� 3�5� �n ��A �. ����� $��5 ��" �,� ��:g →� � I�( ) ng x x=�!&� ���5� n����� .
��& �A ���n )C5� ��,!= :h + +→� �F�8 ( ) nh x x= . ������� �� ;& �� ��5g ! h��� ��! 1
1 ( ) ng x x− =%! ��"& 1
1 ( ) nh x x− =% �& ��� ��! �5�5*�� �"A ��5� ��B ���5�0 . U�5*��� ������ ��,� 3� ����� �� ���5� �&� ��&��� ������ ��"�! 0 . �5���!
11
11
1
1
1( ) '( ( ))1
( )1
.
nn
nnnn
g x g g x
n x
nxxn
−−
−
−
−
=
=
=
=
������ ��' �*��� ,�5 0&5 �� �&��h : 1
1
1
1( ) '( ( ))
.nn
h x h h x
xn
−−
−
=
=
�"&#! �� �!&5 I� ������ ����� ��� �� �58C!( )u x x α= ��! ��!�� 0�8� +�����1'( )u x x α−= . ����� �� ���*A! ������ ���!5 �� �&��
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
23
* *:u + +→� � I� ������ ( )u x x α=������ �!�,� ��� ����� �� % �"#! �4� ��& ����0 α< �5���! % :1'( )u x x α−= . ��*& ������� ��" ��� ��85!
� 3� �.
������� �����'��� ���!�,�� ��� )1��� �"# 3�55: !�"�$%� �2�� 1�
f f ' ku ku'
u + v u' + v' u.v u'.v + u.v'
un nun-1u'
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
24
ln(u)
eu eu.u'
g(u) g'(u).u'
�� 1� ��"�$���+�4$ f(x) f '(x)
k )���*( 0 x 1 xn nxn-1
sin x cos x cos x - sin x ln x ex ex
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
25
3 .3����� !���� 1����� �� 3# ��!��� 3� ������5 3�� ����� -�!'�� ��
������ .�;�! 0�8�� .��A =�,�T� ��1�� !# )1��� �"# �� $���� ("# R�� ?@�5�� ��#����� ��!�� ������.
7���
��� �� �!5:f I → ��8� ��5A �)3��!�� ��� %+��� ( �8 �"A ����� ���'�� : ��15 �& �,� ��))(,( 111 xfxM ! ))(,( 222 xfxM ���� ��
f 15 �& �T� ))(,( xfxM �8 ) ������ �� )3��!�� ��� %�!� ( �1�� ������21MM �& �,� �� x 3�5� ��A ��,��� [ ]21 , xx.
�8�9�
����� �D� �!��f �T� �!�� P��&� +��� f− ��8� .
��<� : ��"#5��� �� ��������8� ��.
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
26
�"#!�5��� ������ ����� ��:
��8�:
�&�:f I → � F�8 ��8 ��� I��,� . �!&f�8� ��& �"A �:
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
27
.[ ] ( ) )()1()()1(:1,0,, 212121 xftxtfxttxftIxx −+≤−+∈∀∈∀
1�=���� ������ $����� 3� ��! ��� �����8 ����� ,�5�� ("# �*� .��" SC!.
+������! ��8��� ��!���� ��'�� ����� ,�5�� ���*A �C�� �&��:
��8� �&�:f I → � ��,��� ��� +���� ��8 ��� I . �!&f ��� ��8� I �;��� �8 �"A 1�! �"A :
.( ))()(21)2( :, yfxfyxfIyx +≤+∈∀
��8�
��� �5�& �"A:f I → � �I�! +���� ��5T� -��� ��,� ��� ��8� ���! ������ �� ��� 15 �& �5������� �� .
1�=����
����� �D� �!� ���5�g U�5*I��� �I1���� ��,��� ��� ������ 0x II�
0
0 )()()( xxxfxfxg −
−= +���=� . �&��x ! 'x FI�8� ��I,��� �I� ����5�
'0 xxx << . �;��� �� ��8�� ("# 3� :8�)'()( xgxg ≤ P��& )'()()()( 00 xgxxxfxf −≥−
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
28
�4 ��"00 xx −> . �A *0'0 xx −<P��& ����� �;��� �� ?5� .5�! .( ) ( ))()'()()()()'( 000 xfxfxxxfxfxx −−≥−−
�� SC� �"&#!)'()( xgxg ≤ P��& .)')(())('()')(( 000 xxxfxxxfxxxf −+−≥−
9�: .)('
')'(')( 000 xfxx
xxxfxxxxxf −
−+−
−≤ �� ���� )�xxx
xxxxxxxx '
'''00
0 −−
+−−
= ��! ''
'1 00xxxx
xxxx
−−
+−−
= . ����� ��� )� 3�� 0�8�� ���' �� ��� ����� ������ �� (�5�� �"#!f.
�=���� �5�� �� �!&5 ��"�!: .)'()( '0 xgxgxxx ≤⇒<<
�=���� ��� ��1�� ��5� ��85 ��&: )'()( ' 0 xgxgxxx ≤⇒<<
����� 0�8 �� ������ 3���� �=���� P��&� .5� ���*�� �"#!f: . )(')(')'( ' 0
000 xfxx
xxxfxxxxxfxxx −
−+−−≤⇒<<
��8�� ���5 �C�� ��1�� ��5�!'0 xxx << ����� ���= 3D�� g . �5�& ���g �!�,��� ��� +���=� [ ] { }0, xba − �I& ��� +���=�! +�!�8� ��5T�
����,��� ��[ [0, xa ! ] ]bx ,0 . ��� ���4� �8�� �T� .5�![ [0, xa �"I&! �!,!� ��� �5�4� �8��] ]bx ,0 ���;��� �5���! :
[ [0 0 0
0 0,0 0
( ) ( ) ( ) ( )( ) suplim limx x x x x a x
f x f x f x f xg x x x x x< <→ → ∈
− −= =− −
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
29
] ]00 0
0 0,0 0
( ) ( ) ( ) ( )( )lim lim infx x bx x x x
f x f x f x f xg x x x x x> > ∈→ →
− −= =− −
�5� ������ �� �����! ������ �� ����� �!,! ��*� �� !#!0x . ?5I�5 * ��! �5� �������0x �� ��* ������ ��! ������ �� ����� ����� �4 �C��
00( ) ( ) 0lim
x xf x f x
<→− = !
00( ) ( ) 0lim
x xf x f x
>→− =
9�: .
00( ) ( )lim
x xf x f x
<→= !
00( ) ( )lim
x xf x f x
<→=
��8�
�&�[ ]: ,f a b → � ���;� ���� ��� . �!I& �8f =I�� I��8� ���� ����� �!& �� 3�&�!'f+���=� .
1�=����
1 ( 9�M� 0�8�� �� ��*5��A ���= 'f : I��:5��� ��8� ����� �5�& �"A �I� I��'�� I15 �& �5� ������ �� ���! ������ �� ��� ��� �� ��� �����
��,��� . ��CG��!��A ��& �T� ��" "' xxx <<�,5 '"
)'()"('
)()'(xxxfxf
xxxfxf
−−≤−
− ����� �4xy
xfyfx −− )()(� ��*� ���5� ������ �!�,� ��� +���=� y) !#!
����� ��:5�� 3� ��*� �� .(.5�! '"
)'()"(lim')()'(lim
'''' xxxfxf
xxxfxf
xxxx −−≤−
−→→ <<
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
30
�� 9�)0'(')0(' +≤+ xfxf . ����� 0�8 �T� 3�����!f 9�M� ��A ����� ���= )0(' +xfx� . ��I���� �� ����� ���= ��1�� ��5� ���5!)0(' −xfx� )�5# ���� ��� ��" �&� .( ����� �� ��5 �55� ���!f;� ���� ���)�C�� (�T�:
.)'(')0'(')0(')(' xfxfxfxf =+≤+=. ���= 3D� .5�!'f.
2 ( �� R��5f ��� ����� �� [ ]ba, ���� ����� ��! 'f +�I��=� .
�&��!1x ! 2x ��,��� �� ����5� [ ]ba, F�8� 21 xx < ! α �I� ��I�5� [ ]1,0 . )C521 )1( xxx αα −+= SIC�� ���� ��5��� �����=�� ��:5 ��15!
����� �!,!1c �� ] [xx ,1 ! 2c �� ] [2, xx F�8� : )(')()()( 111 cfxxxfxf −+= )(')()()( 222 cfxxxfxf −+=
3D� .5�! 0�C��� : )(').()(.)(. 111 cfxxxfxf −+= ααα
)(')).(1()().1()().1( 222 cfxxxfxf −−+−=− ααα ��� ��85� )�,5 *:
.)(')).(1()(')()()().1()( 221121 cfxxcfxxxfxfxf −−+−+=−+ αααα ��& ���!))(1( 211 xxxx −−=− α ! )( 122 xxxx −=− α �T�
( ))(')('))(1()()().1()( 121221 cfcfxxxfxfxf −−−+=−+ αααα �!& �� ����5α ! α−1 ! 12 xx − ! )(')(' 12 cfcf − ��� ��85� �,!�
( ) )()(')('))(1()( 1212 xfcfcfxxxf ≥−−−+ αα 8�� 5���� ?5 .5�! 0�:
������� ����� ��� �����4 : ������ ) ����� ����� ���( � � ����� ����� �������. �
31
.)().1()()( 21 xfxfxf αα −+≤
�8�9� I��� �5�*�� ���� �5�&! ��,� ��� ���� ���;� ���� ����� �5�& �A
��8� ����� �T� �,!� . ���,�A �� ��""f 9�M ��A ���� ����� ���= 'f . 3�! 0�8 3D� ��8�� ("#f ����� ��:5�� �� .
�0���
1. 1���0 1����� ��2 � '� ��� ���( �)� ��* : ��U�IC��� 3� 3�C���� 0��8�� % ����,�� ���!�1��� ��!�� % ���:5�� �������1990.
2 .392 +�� : % ����,�� ���!�1��� ��!�� %3C����� ���8�� �� ���5�1991. 3 . �� ���� /�" � >������ ?��� : U=I,�� %3�8�� ���8�� Y����1 %R�I���� %
2002. Annabi et al. : Cours d’analyse, 1ère année, Pub. Assoc. Tunisienne Sci. Mathématiques, Tunis, 1983. Medjadi D.E. et al. : Analyse mathématique, Fonctions d’une variable réelle, Vol. 1, O.P.U. Alger, 2001.