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Cours 9: Le quadri-vecteur energie-impulsion 1
Cours 9. Le quadri-vecteur
energie-impulsion
— Resume du dernier cours sur l’espace-temps.
— Les quadri-vecteurs.
— Le quadri-vecteur vitesse.
— Le quadri-vecteur energie-impulsion.
— Exercices pour la maison.
Resume du cours 8 2
Resume du cours 8
Les grandes lignes :
— Contraction des longueurs.
— Intervalle d’espace-temp.
— La structure causale de l’espace-temps.
Resume du cours 8 3
Contraction des longueurs
Voir (Smith, 1997, Chapitre 4), TD 6 exercice 2.
— Si une tige est au repos dans R′ on mesure dans R′ sa
longueur propre L′ = L0.
— L’observateur attache au repere R qui se deplace par rapport
a R′, on mesure sa longueur impropre L.
— La relation entre la longueur propre et impropre est :
L =L0
γ.
La longueur propre est donc toujours plus grande que la
longueur mesuree dans un repere ou la tige est en
mouvement. C’est ce que l’on appelle la contraction des
longueurs.
Resume du cours 8 4
— La contraction des longueurs est un phenomene cinematique
et non dynamique comme l’ont cru Fitzgerald, Lorentz, et
Poincare. Aucune force n’est a l’origine de cette contraction.
C’est un effet de perpective. Il ne s’agit pas d’une illusion ;
c’est une vraie longueur.
— La contraction des longueurs depend du referentiel et est un
resultat du fait que une ligne de simultaneite depend du
referentiel aussi. Une ligne de simultaneite est parallel aux
axes spatiaux.
Resume du cours 8 5
x
ct ct’
x’
Figure 1 – La ligne d’univers de l’avant du train est en rouge, le
derriere du train en rose. Les lignes d’univers de l’avant et derriere
du tunnel en bleu. Solution complete disponible sur mon site web.
Resume du cours 8 6
Diagramme de Minkowski pour deux
referentiel en configuration standard
— Soitent R et R′ deux referentiels en configuration standard.
— L’axe des ct′ est l’ensemble des points x′ = 0. Il s’agit de la
ligne d’univers de l’origine O′. Par definition de la
configuration standard on a :
x = ctβ = vt. (1)
Donc l’axe ct′ est une droite avec coefficient directeur 1/β.
Ca veut dire que l’angle θ de l’axe ct a l’axe ct′ est tel que
tan(θ) = β, positive dans le sens anti-trigonometrique (2)
Il n’y a rien nouveau la.
Resume du cours 8 8
— L’axe des x′ est l’ensemble des points t′ = 0. Nous avons
trouve avec la transformation de Lorentz qu’il s’agit d’une
droite avec coefficient directeur β. Ca veut dire que l’angle θ
de l’axe des x a l’axe des x′ est tel que
tan(θ) = β, positive dans le sens trigonometrique (3)
— Pour ct et x sur le diagramme de Minkowski pour R′ en
configuration standard β > 0 donc on a toujours
tan(θ) = β (4)
mais les axes penchent dans l’autre sens, voir Figure 3.
Resume du cours 8 10
Intervalle d’espace-temps
— Un evenement correspond a un point dans l’espace-temps a
quatre dimensions. Il a lieu a un endroit et a un instant
donnes.
— Soit A et B deux evenements. On define ∆s l’intervalle
d’espace-temps entre A et B ou
∆s2 = c2(tB − tA)2 − (xB − xA)2 − (yB − yA)2 − (zB − zA)2.
(5)
— Cet intervalle etant le meme pour tous les referentiels
galileens (i.e. inertiels) il a une signification absolue.
Resume du cours 8 11
Table 1 – Lien entre structure causale et l’intervalle
∆s2 A et B sont separe Relation causale cone avec apex a A
> 0 du genre temps possible B a l’interieur
= 0 du genre lumiere possible B sur le cone
< 0 du genre espace impossible B a l’exterieur
Cours 9 12
Exercices pour la maison
1. Lire tous le chapitre 4 (au minimum §4.1 ) de (Smith, 1997).
2. Quand est la loi de Galilee de l’addition des vitesse valable ?
3. (Examen de l’annee 2015) J’ai deux fils, Red et Kas, et
chacun a un vaisseau spatial. Un jour Red quitte a la vitesse
v = 3c/4, par rapport a moi, vers la nebuleuse du Crabe. Au
meme instant Kas le suivre a la vitesse v = c/2 par rapport
a moi. Calculer la vitesse de Red par rapport a Kas comme
fraction de c.
4. Tracer la ligne d’univers de la fusee dans l’exercice du voyage
a l’Alpha du Centaure dans le referentiel R fixe par le soleil,
et le referentiel R′ qui ce deplace avec la fusee. Indiquer les
intervalles du temps et longueurs propre est impropre.
Cours 9 13
Exercices pour la maison : solutions
1. Quand est la loi de Galilee de l’addition des vitesse valable ?
Solution Quand le parametre
|v12v23|c2
� 1 (6)
on a
v13 =v12 + v231 + v12v23
c2≈ v12 + v23. (7)
2. (Examen de l’annee 2015) J’ai deux fils, Red et Kas, et
chacun a un vaisseau spatial. Un jour Red quitte a la vitesse
v = 3c/4, par rapport a moi, vers la nebuleuse du Crabe. Au
meme instant Kas le suivre a la vitesse v = c/2 par rapport
Cours 9 14
a moi. Calculer la vitesse de Red par rapport a Kas comme
fraction de c.
Solution La loi d’Einstein donne
v13 =v12 + v231 + v12v23
c2(8)
ou Kas est particule 1, moi je suis particule 2, et Red est
particule 3. Donc, v12 = −c/2 parce que je vais dans le sens
negative par rapport a Kas. v23 = 3c/4, c’est la vitesse de
Red par rapport a moi. Finalement v13 est la vitesse de Red
par rapport a Kar, la vitesse nous cherchons :
v13 =v12 + v231 + v12v23
c2=−c/2 + 3c/4
1− 1234
=c 14
1− 38
= c1
4
8
5=
3
5c. (9)
3. Tracer la ligne d’univers de la fusee dans l’exercice du voyage
a l’Alpha du Centaure dans le referentiel R fixe par le soleil,
Cours 9 15
et le referentiel R′ qui ce deplace avec la fusee. Indiquer les
intervalles du temps et longueurs propre est impropre.
Cours 9 16
Exercices pour la maison
1. Lire tous le chapitre 4 (au minimum §4.1 ) de (Smith, 1997).
2. (Examen de l’annee 2015) J’ai deux fils, Red et Kas, et
chacun a un vaisseau spatial. Un jour Red quitte a la vitesse
v = 3c/4, par rapport a moi, vers la nebuleuse du Crabe. Au
meme instant Kas le suivre a la vitesse v = c/2 par rapport
a moi. Calculer la vitesse de Red par rapport a Kas comme
fraction de c.
Solution
Dans le referentiel inertiel qui se deplace avec Kas, j’ai une
vitesse V = −c/2 le long de l’axe des x (c’est negative parce
que c’est dans le sens de −x). Maintenant on peut utiliser la
loi d’addition des vitesses d’Einstein pour trouver la vitesse
Cours 9 17
u de Red par rapport au Kas :
u =V + v
1 + vVc2
=− c
2 + 3c4
1− 12 ·
34
=1
4c · 8
5=
2
5c. (10)
la loi exacte d’Einstein :
v13 =v12 + v231 + v12v23
c2. (11)
Cours 9 : Le quadri-vecteur energie-impulsion 19
Les quadri-vecteurs
— Le quadri-vecteur (ct, x, y, z) est le quadri-vecteur position.
La transformation de Lorentz donne la relation entre les
composantes mesurees dans deux reperes inertiels. Elle est
construite pour que la quantite (ct)2 − x2 − y2 − z2 soit
invariante.
— Nous allons voir comment construire d’autres quadrivecteurs.
— Les composantes d’un quadri-vecteur ~A sont notees
(A0, A1, A2, A3) dans un repere R. Dans R′ elles deviennent
(A′0, A′1, A
′2, A
′3) et la relation entre les deux est fournie par
Cours 9 : Le quadri-vecteur energie-impulsion 20
la transformation de Lorentz :A0
A1
A2
A3
=
γ βγ 0 0
βγ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
A′0
A′1
A′2
A′3
.
— Remarque : On ecrit ~A pour le quadri-vecteur dans tous les
referentiels car le quadri-vecteur est le meme dans tous les
referentiels. Ceci n’est pas le cas dans mecanique classique
newtonienne exprime avec les vecteurs habituels. Nous avons
vu, par exemple, que la vitesse ~v = x~i+ y~j + z~k, elle change
lors d’un transformation de Galilee.
— Un calcul direct montre que :
A20 −A2
1 −A22 −A3
3 = A′20 −A
′21 −A
′22 −A
′23 .
Considerons un autre quadri-vecteur dont les composantes
Cours 9 : Le quadri-vecteur energie-impulsion 21
sont (B0, B1, B2, B3). Le produit scalaire au sens de
Minkiowski de ces deux quadri-vecteurs est donne par :
~A · ~B = A0B0 −A1B1 −A2B2 −A3B3. (12)
— La forme la plus generale d’un produit scalaire de deux
quadri-vecteurs peut s’ecrire :
~A · ~B =3∑
µ=0,ν=0
gµνAµBν ,
ou gµν est la metrique de l’espace-temps. La metrique de
l’espace-temps de Minkowski utilisee en relativite restreinte
est telle que :
g00 = 1, g11 = g22 = g33 = −1,
et gµν = 0 si µ 6= ν. On suppose que les coordonnees
cartesiennes sont utilisees pour la partie spatiale. En
Cours 9 : Le quadri-vecteur energie-impulsion 22
coordonnees spheriques la forme serait differente.
— Le produit scalaire peut s’ecrire comme un double produit
matriciel :
∑µν
gµνAµBν =(A0 A1 A2 A3
)
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
B0
B1
B2
B3
.
(13)
— Nous allons voir comment construire des quadrivecteurs a
partir du quadri-vecteur position. Ils se caracterisent par des
proprietes de transformation identiques dans un changement
de repere.
Cours 9 : Le quadri-vecteur energie-impulsion 23
Le quadri-vecteur vitesse
— Un quadri-vecteur est un ensemble de 4 composantes qui se
transforme selon une transformation de lorentz lors d’un
changement de referentiel inertiel :cdt′
dx′
dy′
dz′
=
γ −βγ 0 0
−βγ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
cdt
dx
dy
dz
(14)
— Les quantites cdt, dx, dy et dz sont les composantes d’un
quadri-vecteur.
— Mais (c, dx/dt, dy/dt, dz/dt) n’est pas un quadri-vecteur. La
premiere composante est invariante ce qui n’est pas le cas
pour un quadri-vecteur. Par ailleurs les composantes de la
Cours 9 : Le quadri-vecteur energie-impulsion 24
vitesse ne se transforment pas comme celles d’un
quadri-vecteur. (Voir chapitre 3 des notes du cours de
Jacque Langlois.)
— La raison est que l’intervalle de temps dt n’est pas un
invariant. En divisant chaque composante par dt on modifie
donc les proprietes de transformation de l’ensemble des
quatre grandeurs obteneues.
— L’intervalle d’espace-temps pour deux evenements proches
s’ecrit :
ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2
il est une quantite invariante par la transformation de
Lorentz.
— Pour un intervalle du genre temps ds2 > 0 on a
ds2 = c2dτ2ou dτ est l’intervalle de temps propre. Il est
l’intervalle du temps dans le repere propre de la particule.
Cours 9 : Le quadri-vecteur energie-impulsion 25
On peut donc ecrire :
dτ =dt
γ.
Le facteur γ est ce que intervient dans la transformation de
Lorentz du repere R au repere propre de la particule. Il ne
depend que de la vitesse de la particule dans le repere R,
γ =1√
1− v2/c2, v2 = ‖~v‖2 = v2x + v2y + v2z .
— En divisant les composantes du quadri-vecteur
(cdt, dx, dy, dz) par dτ on obtient un nouveau quadri-vecteur
dont les composantes sont homogenes a une vitesse :(cdt
dτ,dx
dτ,dy
dτ,dz
dτ
)= γ
(cdt
dt,dx
dt,dy
dt,dz
dt
),
= γ(c, vx, vy, vz) ≡ ~U. (15)
C’est le quadri-vecteur vitesse ou la quadri-vitesse.
Cours 9 : Le quadri-vecteur energie-impulsion 26
— Notation : Ce cours je vais parler des vecteurs habituels
aussi, donc je utilise une majuscule pour un quadri-vecteur,
et une minuscule pour un vecteur habituel, comme la vitesse
habituel ~v. (Il n’y a pas du standard pour distinguer les
vecteurs habituels et les quadri-vecteurs.)
— On peut l’ecrire egalement ~U = (γc, γ~v). Le produit scalaire
de ce quadri-vecteur par lui-meme s’ecrit :
γ2c2−γ2v2x−γ2v2y−γ2v2z = γ2(c2−v2) = c2γ2(1−v2/c2) = c2.
Cette grandeur est manifestement invariante.
— Dans le repere R′ on definit de la meme maniere les
composantes du quandri-vecteur vitesse dans R′ :
(γ′c, γ′vx′ , γ′vy′ , γ′vz′)
ou β′ = v′/c, et γ′ = 1/√
1− β′2.
— Si la vitesse relative des deux reperes est βLc, on a
Cours 9 : Le quadri-vecteur energie-impulsion 27
γL = 1/√
1− β2L. La relation entre les deux quadri-vecteurs
s’ecrit : A0
A1
A2
A3
=
γL βLγL 0 0
βLγL γL 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
A′0
A′1
A′2
A′3
ou
A0
A1
A2
A3
=
γc
γvx
γvy
γvz
Cours 9 : Le quadri-vecteur energie-impulsion 29
Le quadri-vecteur vitesse : interpretation
geometrique
— Considerons une particule ponctuelle. Elle a une ligne
d’univers dans l’espace-temps de Minkowski.
— On peut considerer la ligne d’univers comme une courbe
parametree ; voir http://stockage.univ-brest.fr/
~scott/IUT_CP_2016/index_cp.html.
— Le quadri-vecteur vitesse (ou la quadri-vitesse) est le vecteur
tangent a la ligne d’univers parametrisee par τ , le temps
propre mesure le long de la ligne d’univers :
~U =
(d ct(τ)
dτ,d x(τ)
dτ,d y(τ)
dτ,d z(τ)
dτ
)(16)
Cours 9 : Le quadri-vecteur energie-impulsion 30
t
x
U
U
Figure 4 – Ligne d’univers d’une particule massive. ~U est la tan-
gente.
Cours 9 : Le quadri-vecteur energie-impulsion 31
ct
x
Figure 5 – Les particules massives portent une montre qui mesurent
le temps propre le long de leur lignes d’univers.
Cours 9 : Le quadri-vecteur energie-impulsion 32
Le quadri-vecteur energie-impulsion
— En mecanique newtonienne on definit l’impulsion ~p (ou
quantite de mouvement) par l’expression :
~p = m~v
ou m est la masse de la particule.
— En relativite il faut mesurer cette masse toujours avec la
particule au repos. La masse mesure ainsi s’appele la masse
au repos ou masse propre.
— Si on multiplie chaque composante du quadrivecteur vitesse
par la masse propre de la particule on obtient un
autre-quadrivecteur dont les composantes sont :
~P = (γmc, γmvx, γmvy, γmvz)
— Une extension naturelle au domaine relativiste est fournie
Cours 9 : Le quadri-vecteur energie-impulsion 33
par la formule :
~p ≡ γm~v
Elle redonne la formule precedente lorsque v � c. Le
quadrivecteur obtenu en multipliant le quadrivecteur vitesse
par la masse propre a donc pour composantes spatiale
l’impulsion relatviste ~p :
~P = (Pt, ~p) (17)
— Il faut encore identifier la composante temporelle, Pt.
— La puissance fournie a une particule soumise a une force ~f
est :
~v · ~f =dE
dt
ou E est l’energie de la particule. La loi de Newton etendue
Cours 9 : Le quadri-vecteur energie-impulsion 34
au domaine relativiste permet d’ecrire :
~f =d~p
dt
soit :
~v · ~f = ~v · d(γm~v)
dtOn en deduit :
~v · ~f = m~v · ~v dγdt
+ γm~v · d~vdt
A partir de la definition de γ on peut ecrire :
dγ
dt=
d
dt(1− β2)−1/2
= −1
2(1− β2)−3/2
(−2β
dβ
dt
)= γ3β
dβ
dt=γ3
c2vdv
dt(18)
Cours 9 : Le quadri-vecteur energie-impulsion 35
Par ailleurs seule la composante de la force sur la direction
de ~v produit un travail et contribue a faire varier l’energie de
la particule. On peut donce ecrire :
~v · d~vdt
= vdv
dt
ou v = |~v|.La puissance fournie peut donc s’ecrire :
~v · ~f = mv2γ3
c2vdv
dt+ γmv
dv
dt
= (β2γ2 + 1)γmvdv
dt(19)
Or on a :
γ2β2 + 1 = γ2
On en deduit :
~v · ~f = γ3mvdv
dt
Cours 9 : Le quadri-vecteur energie-impulsion 36
On peut reecrire le membre de droite sous la forme :
~v · ~f = mc2γ3βdβ
dt=
d
dt(γmc2) =
dE
dt
Ce resultat conduit a definir l’energie de la particule par
l’expression :
E = γmc2
Le quadri-vecteur energie-impulsion peut donc s’ecrire :
~P = (γmc, γm~v) =
(E
c, ~p
)
Cours 9 : Le quadri-vecteur energie-impulsion 37
Le quadri-vecteur energie-impulsion :
Bilan
— Nous avons generaliser l’expression newtonienne pour
l’impulsion au cas relativiste :
~P ≡ m~U = (γmc, γmvx, γmvy, γmvz)
ce qui donne le vecteur d’impulsion relativiste ~p = mγ~v.
— Nous avons utilise la loi newtonienne pour la puissance
fournie a une particule soumise a une force ~f :
~v · ~f =dE
dt
ou E est l’energie de la particule. La seconde loi de Newton
Cours 9 : Le quadri-vecteur energie-impulsion 38
permet d’ecrire :
~f =d~p
dt,
dE
dt= ~v · d~p
dt, remplace ~f dans l’equation ci-dessus
= ~v · d(mγ~v)
dt, remplace ~f dans l’equation ci-dessus
(20)
— On fait de mathematiques et on obtient :
d
dt(γmc2) =
dE
dt
ce qui meme a la definition :
E = γmc2
Cours 9 : Le quadri-vecteur energie-impulsion 39
— Le produit scalaire d’un quadri-vecteur par lui-meme etant
un invariant on en deduit que la grandeur E2/c2 − p2 est la
meme dans tous les reperes galileens. Dans le repere propre
de la particule p = 0 et E0 = mc2. On en deduit :
E2
c2− p2 =
E20
c2
ou
E2 = p2c2 +m2c4
On distingue deux cas limites :
— l’approximation non relativitste lorsque p2c2 � m2c4
— l’approximation ultra relativiste lorsque p2c2 � m2c4
Cours 9 : Le quadri-vecteur energie-impulsion 40
Pour l’approximation non-relativiste on peut ecrire :
E = mc2(
1 +p2c2
m2c4
)1/2
≈ mc2(
1 +1
2
p2c2
m2c4
)= mc2 +
p2
2m(21)
ou p = γmv ≈ mv car v � c. L’energie cinetique comprend
tous les termes autres que mc2.
— L’energie totale d’une particule libre est γmc2. Son energie
au repos etant mc2 on en deduit que son energie cinetique
est :
Ecin = (γ − 1)mc2
Cette expression est exacte, quelle que soit la vitesse de la
particle.
Cours 9 : Le quadri-vecteur energie-impulsion 41
Un developpement de Taylor de la fonction
f(x) = (1 + x)−1/2 donne :
(1 + x)−1/2 ≈ 1− 1
2x+
3
8x2 − 5
16x3 + . . .
En posant x = −β2 il vient :
γ = (1− β2)−1/2 ≈ 1 +1
2β2 +
3
8β4 +
5
16β6 + . . .
Le developpement de l’energie cinetique en puissances de β
s’ecrit :
Ecin ≈ mc2[1
2β2 +
3
8β4 +
5
16β6 + . . .]
= mc2[β2
2+
3
4β2 β
2
2+
5
8β4 β
2
2+ . . .]
=1
2mv2[1 +
3
4β2 +
5
8β4 + . . .]
(22)
Cours 9 : Le quadri-vecteur energie-impulsion 42
Lorsque β � 1 on retrouve bien l’expression familiere de la
mecanique classique.
Cours 9 : Le quadri-vecteur energie-impulsion 43
Exercice pour la maison
1. Verifier par un calcul direct que :
A20 −A2
1 −A22 −A3
3 = A′20 −A
′21 −A
′22 −A
′23 .
Ici, Aµ avec µ = {0, 1, 2, 3} sont les composantes d’un
quadri-vecteur.
2. Verifier par un calcul direct que le produit matriciel dans
l’equation (13) est egale a l’equation (12) pour le produit
scalaire.
3. Trouver la vitesse d’une particule massive tel que l’energie
totale relativiste au carre, E2, a deux parties egales :
p2c2 = m2c4