Cournot & Lacan

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Philosophy

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Cournot et Lacan sur la mathmatisation et les risquesNicolas Bouleau Ecole des Ponts ParisTech Durant longtemps on a utilis, notamment dans l'arme franaise pour les tests de QI, l'exercice consistant trouver le prolongement d'une squence de quelques nombres entiers. Il n'est pas difficile de voir que cette question est parfois ambigu, et un peu plus de rflexion montre qu'elle a, en fait, toujours plusieurs solutions et mme qu'elle n'a pas, en toute rigueur, de rponse errone. Visiblement les instructeurs n'avaient pas lu Cournot. On doit en effet Antoine Augustin Cournot d'avoir le premier mis le doigt sur ce phnomne et su en tirer un fil philosophique aux consquences pistmologiques capitales. Ces petits tests sont les paradigmes les plus lmentaires de l'opration de mathmatisation. Par des procds et critres plus ou moins explicites de simplicit et d'usage, on induit une loi mathmatique sous-jacente qui rsume la situation et en rend compte. Principe d'exclusion du hasard et du sens Lorsqu'on reprsente une famille d'ventualits par un couple de notions mathmatiques : (loi de probabilit, fonction de cot ou enjeu) l'opration est plus complexe, et ouvre immdiatement la possibilit d'appliquer tout le langage des probabilits avec, dans le cas de la finance, les raffinements trs labors du calcul stochastique. Mais elle relve pour une large part du mme paradigme, en particulier par le trait typique qu'on a fig la relation de la loi scientifique la ralit sur la base d'une interprtation seulement. Dans le cas des risques financiers, la mathmatisation va trs loin. On doit distinguer trois niveaux. a) La couverture des options sur actions ou devises. La partie intersubjective des risques est alors essentiellement l'agitation des cours qui est bien reprsente par les mathmatiques du calcul stochastique. b) Les taux d'intrt et la structure par termes o la thorie de l'arbitrage s'applique aussi. Mais ces modles sont de grande dimension et leur calibration aujourd'hui pour une perspective de 10 ou 15 ans ne fournit pas l'conomie une rationalit d'actualisation bien claire1. c) La titrisation et les drivs de crdit o l'on a commis l'erreur de croire que le risque tait contenu dans le dossier de prt, alors qu'il est videmment d la crance et au contexte conomique2. L'change de risques entre tablissements bancaires en un march des risques de crdit suivant l'ide que chacun peut ainsi diversifier sa position et ne pas mettre tous ses ufs dans le mme panier, ncessite, pour que les transactions puissent se faire, une quantification des risques. Et cela encapsule les risques dans la reprsentation mathmatique du couple (probabilit, enjeu) qui est fondamentalement une viction du sens. Or c'est la signification de l'vnement qui fait le risque3. Prenons un exemple, supposons qu'un certain type de cancer soit dnombr dans la population. Cet ensemble de malades est l'vnement concret. Le ratio avec la population totale sera pris comme 1

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Comme on le voit par les dbats autour du taux d'actualisation du rapport Stern (Stern Review on the Economics of Climate Change, http://www.hm-treasury.gov.uk/ sternreview_index.htm). 2 Cf. N. Bouleau Mathmatiques et risques financiers, O. Jacob 2009 chap. XIV XVII. 3 J'ai dvelopp ce point et ses enseignements sur la crise financire dans l'article "Malaise dans la finance, malaise dans la mathmatisation" ESPRIT, fv. 2009, p.37-50.

estimation du risque. Si on s'aperoit qu'une part significative des patients avait pris, disons, du cannabis vingt ans auparavant, tous les consommateurs de cannabis se trouvent concerns. Si une autre particularit commune des malades est dcouverte, qu'ils avaient utilis ds leur apparition les tlphones mobiles par exemple, alors quasiment toute la population est maintenant menace. Le risque change quand l'interprtation modifie le sens de l'vnement. C'est Cournot (1801-1877), mathmaticien et conomiste qui pointa le premier ce problme philosophique. Dans le dernier chapitre de son Exposition de la thorie des chances et des probabilits (1843), il prend du recul par rapport son collgue Poisson sur sa faon de parler du hasard : "Supposons, crit-il, que dix points dtermins sur une surface plane, par des observations se trouvent appartenir une circonfrence de cercle: on n'hsitera pas admettre que cette concidence n'a rien de fortuit, qu'elle indique une loi d'aprs laquelle les points observs et ceux dtermins ultrieurement, dans les mmes circonstances, doivent effectivement appartenir une ligne circulaire. Si les dix points s'cartaient fort peu, les uns dans un sens les autres dans l'autre, d'un cercle, on attribuera les carts des erreurs d'observation, plutt que d'abandonner la loi. [...] Au lieu de tomber sur un cercle, les points pourraient tre situs sur une ellipse, sur une parabole, sur une infinit de courbes diffrentes, [...] La probabilit que la dtermination des points observs s'opre sous l'influence de causes rgulires dpendra donc de la simplicit qu'on attribuera la courbe qui les relie, exactement ou peu prs. Or, incontestablement, toute classification des lignes sous ce rapport n'est qu'artificielle [...] Une parabole peut tre rpute, certains gards, plus simple que le cercle. [...] une spirale peut tre en un sens regarde comme plus propre exprimer une loi de la nature, dans certains phnomnes, que les courbes algbriques. [...] Lors donc que le sentiment de simplicit d'une courbe observe entrane un jugement de probabilit, cette probabilit n'est nullement exprimable en nombres, la manire de celles qui rsultent de l'numration des cas favorables ou dfavorables parmi les cas possibles." Il y a donc deux catgories conceptuelles. D'un ct ce qui relve des probabilits quantifiables, o le sens n'intervient pas. De l'autre une prsomption de rgularit, non quantifiable. Cournot veut insister sur le caractre hypothtique de l'interprtation il propose, par opposition "probabilit mathmatique", le concept de "probabilit philosophique". "Indpendamment des probabilits mathmatiques, poursuit-il, il y a des probabilits non rductibles une numration de chances, qui motivent pour nous une foule de jugements et mme les jugements les plus importants qui tiennent principalement l'ide que nous avons de la simplicit des lois de la nature et qu'on pourrait qualifier de probabilits philosophiques. Le sentiment confus de ces probabilits existe chez tous les hommes raisonnables Mais, de ce que les gomtres n'ont point s'occuper de telles probabilits qui rsistent l'application du calcul, il faut se garder de conclure qu'elles doivent tre rputes sans valeur aux yeux des philosophes. Loin de l, toute la critique de la connaissance humaine, en dehors de la voie troite des dductions logiques repose sur des probabilits de cette nature, [] Le gomtre lui-mme n'est le plus souvent guid dans l'investigation de vrits nouvelles que par des telles probabilits." Le hasard et le sens se prsentent comme deux liquides non miscibles. On peut franchir l'interface dans chacune des deux directions.

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Fig.1. S'agit-il d'une toile de Mondrian ? D'un tirage au hasard ? On peut considrer ce diagramme durant des heures, indfiniment, sans percevoir qu'il est issu d'une forme signifiante (cf. l'image finale de l'article). En retour, une fois cette interprtation perue, l'innocence de notre perception initiale est dfinitivement perdue.

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Partant d'une situation apparemment au hasard par exemple un embrouillamini de lignes, s'il s'avre qu'on y dcouvre une forme signifiante, un visage ou un texte, le principe d'exclusion de Cournot va s'appliquer et la prsence de cette structure va chasser l'hypothse alatoire. Au point que nous devenons incapables de voir la figure sans la forme, dans l'ingnuit initiale. Le passage dans l'autre sens qui consiste effacer le sens grce au hasard se trouve particulirement bien illustr par l'histoire de l'art. En architecture, il est une rupture qu'on peut situer prcisment entre le Jugend Styl de la Vienne de la fin du 19me sicle et le mouvement moderne du dbut du 20me sicle (De Stijl en Hollande et Art Nouveau). La question qui se pose Le Corbusier, J.J.P. Oud, Dudoc, Rietveld, etc., est de casser la permanence des styles : chapper une lecture signifiante de l'architecture (comme le classicisme avec ses frontons, pilastres, corniches, etc.) sans adopter un nouveau style qui viendrait succder aux styles Renaissance, baroque, etc.4

Fig.2. La permanence des styles est une force historique d'une inertie considrable dont voulaient s'chapper les modernes. A gauche un guridon Louis XV. A droite une table du 17me sicle avant Jsus Christ obtenue en coulant du pltre dans un vide trouv dans la cendre qui recouvrit la ville minoenne du Sud de l'le lors de l'ruption du volcan de Santorin.

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Voir le programme trac dans Vers une architecture par le Corbusier en 1923.

L'architecte Bruno Zevi, thoricien du modernisme, crit : "La symtrie est un invariant du classicisme, donc la dissymtrie est un invariant du modernisme". A la question "O placer une fentre, une porte, en dehors des symtries ?" il rpond : "N'importe o ailleurs"5. Le hasard efface le sens. On peut mme dire qu'il n'y a que le hasard qui ait cette vertu, toutes les autres faons d'organiser sont signifiantes. Plusieurs compositeurs d'avant-garde, Xenakis, Stockhausen, Schoenberg, ont rencontr une problmatique similaire pour chapper l'harmonie tonale de la musique classique. "Lart, et surtout la musique, crit Xenakis, a bien une fonction fondamentale qui est de catalyser la sublimation [] La premire tche est celle de faire abstraction de toutes les conventions hrites [] La gamme majeure impliquant la hirarchie des valeurs tonales (tonique-dominante-sous-dominante), autour desquelles gravitent les autres tons, structure ainsi la musique polyphonique cla