1

Courants électriques

v 7

14

2

Les courants Courant continu: CC (UK: DC = Direct Current) Courant alternatif: CA (UK: AC)

€

I(t) =dqdt(t)

I

G

C

G=Générateur C=Charge I=Ampèremètre

unité: Ampère A 1 A = 1 C / s

Au niveau microscopique, le courant est dû au mouvement moyen des charges libres (dans un conducteur: les e-).

Convention: le courant va du + au -

3

Volume du segment de fil dV = A dL Nombre d'électrons dans dV dN = n dV = n (A dL) la charge correspondante est dQ = e dN Temps pour traverser dL dt = dL / v

Le courant vaut

Courant continu

Segment de fil de section A, longueur dL. On a n électrons de conduction (libres) par unité de volume. La vitesse de dérive moyenne est v

€

I= dQdt

=enAdLdL /v

= enAv

charge de l'électron

dL A

4

Vitesse de dérive des électrons ���

Exemple: fil de Cu de 1 mm de rayon parcouru par un courant I = 10 A masse atomique Cu: 64 uma, masse volumique ρ = 8900 kg/m3 . On suppose 1 e- de conduction/atome. n = nombre de charges de conduction/V ≈ Natomes/V

€

I= dQdt

=enAdLdL /v

= enAv

€

v =IenA

€

v =10 C/s

1.610−19C × 8.381028m−3 ×π 10−3( )2m2= 2.310−4m/s

Masse d'un atome = m = 64 x 1.66 10-27 kg = 1.06 10-25 kg m n = m (Natomes/V) = (m Natomes)/V = ρ donc: n = ρ /m =8900/(1.06 10-25)= 8.38 1028 m-3

v ~ 1 m/h !!

5

Vitesse de dérive des électrons .2

Dans un câble, les signaux se propagent à des vitesses comparables à celle de la lumière. Nous avons calculé une vitesse de dérive de l'ordre de 1 m/heure.

Cela signifie que la vitesse de propagation des signaux électriques est due à un processus similaire aux ondes de pression dans les fluides.

A suivre...

6

Résistance électrique

G R

I

V

Les dispositifs qui suivent la loi d'Ohm: V = R I sont dit "ohmiques"

TV set 1932

unité de la résistance: le Ohm (Ω) R = 1 Ω quand à I=1 A correspond une différence de potentiel V=1 V

7

Résistance électrique .2

Les contre-exemples,

c.a.d. les dispositifs non ohmiques:

- beaucoup de circuits compliqués (ex une radio) car il y a des éléments non-linéaires à l'intérieur (transistors,...) -  les lampes néon (tension d'allumage à ~ 80 V) -  l'air a une résistivité énorme, mais on peut générer des étincelles → foudre: la résistivité tombe rapidement - ...

definition: voir page 8

8

Résistance .3

La R d'un conducteur dépend de sa géométrie et de sa composition et aussi de sa température.

On a normalement:

€

R = ρLA

L

A

La constante de proportionnalité ρ est la résistivité en Ωm

Son inverse est la conductivité σ = 1 / ρ

9

Résistance .4

Résistivité ρ en (ohm mètre) Ag 1.47 10-8 Cu 1.72 10-8 Al 2.63 10-8

Si 2300

Verre > 1010

Les fluides physiologiques ont une ρ de l'ordre de 0.1 Ωm

10

Résistance .5

I V

R1 R2

I R1 R2

V circuit série

R = R1 + R2

circuit parallèle

€

1R

=1R1

+1R2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

11

La puissance

élément de circuit

I V

I

La charge dQ = I dt qui traverse le circuit dans le temps dt subit un changement d'énergie potentielle dU = V dQ = V I dt

En égalisant au travail, on a dW = dU = V I dt et la puissance instantanée est

P = dW/dt = VI

12

La puissance .2

Dans le cas d'une résistance R, l'énergie fournie par le générateur est dissipée sous forme de chaleur. Si l'on connaît R, on peut déterminer la puissance reçue et dissipée par R, par la loi d'Ohm:

P = VI = (RI)I = RI2

P = VI = V(V/R) = V2/R

Dans le cas d'un générateur, c'est celui-ci qui fournit la puissance. Une pile de 1.5 V qui fournit 1 A à un dispositif doit pouvoir travailler à P = VI = 1.5 x 1 = 1.5 W.

13

Voltmètres et Ampèremètres

G R I

V

La mesure de V et I se fait par des dispositifs électriques ou électroniques qui doivent perturber de façon minime le circuit. Idéalement, l'ampèremètre doit avoir une résistance RA = 0 et le voltmètre RV = infini. Sinon, la situation réelle est donnée par le circuit équivalent:

I

V R RA RV

où I et V sont maintenant des dispositifs "idéaux".

14

Les instruments

Ampèremètre à cadran mobile (1932)

Multimètre digital

Pour mesurer un courant électrique, on utilise les "ampèremètres"

15

Les instruments .2 Un ampèremètre est constitué par une résistance Rs de faible valeur (shunt) et un "galvanomètre" G qui permet de mesurer les faibles courants. Le galvanomètre classique (non digital) utilise la force électromagnétique pour dévier une aiguille d'un angle proportionnel au courant Ig qui le traverse. La résistance interne de G (Rg) est de l'ordre de centaines ou milliers de Ω.

Rs

G

A ≡

Ig

I-Ig I

Rs = RgIg/(I-Ig)

Rg

La résistance interne totale de l'instrument vaut R=(1/Rg + 1/Rs)-1

16

Les instruments .3 Pour mesurer une tension électrique, on utilise les "voltmètres". Il s'agit de soustraire au circuit un petite courant Iv, de la mesurer avec un galvanomètre et de tirer V par la loi d'Ohm.

G Rs

Rg

circuit à mesurer

voltmètre

Iv

V

V = (Rs+Rg)Iv = RvIv

Pour que Iv soit négligeable, il faut que Rv soit grand.

17

Les instruments .4

Les instruments électroniques modernes remplacent les galvanomètres classiques par des systèmes à transistors à faible bruit et très grande résistance d'entrée. La lecture se fait par des échelles à lecture digitale.

P. ex, les voltmètres peuvent avoir une résistance d'entrée de l'ordre du MΩ ou plus.

18

Théorie microscopique de la résistance

Le courant dans un conducteur est dû au mouvement moyen des électrons qui se déplacent entre les atomes.

En l'absence de champ électrique, le mouvement est "thermique" avec vitesse moyenne u qui dépend de la température u = u (T). Les e- font fréquemment des collisions sur les atomes, avec un libre parcours moyen indiqué par λ.

λ En présence d'un champ E, donc d'une force électrique, les trajectoires sont légèrement modifiées, ce qui, macroscopiquement, produit un courant.

E δx

y x

19

Théorie microscopique de la résistance .2 On applique une différence de potentiel V aux extrémités d'un fil de longueur L. On suppose le champ uniforme le long du fil: E = V/L

V L'accélération sur un e- vaut a = F/m = eE/m = eV/Lm Si δt est le temps moyen entre deux collisions, la vitesse v de dérive moyenne vaut: v = (0 + a δt)/2 = a δt / 2

On peut estimer δt = λ/u, où u est la vitesse thermique moyenne et λ le libre parcours moyen.

Donc, la vitesse de dérive vaut:

€

v =eVLm

12λu

E

20

Théorie microscopique de la résistance .3

Si le fil a une section A et qu'il y a n e- par m3, le courant I vaut:

€

I = envA = en eVLm

12λuA =

12n e

2

LmλuAV

On a donc la proportionnalité I-V, comme indiqué par la loi d'Ohm.

€

V = RI ⇒ R =2Lmune2λA

€

R = ρL /A ⇒ ρ =2mune2λ

et

21

Théorie microscopique de la résistance .4

€

ρ =2mune2λ

Notre prédiction sur la résistivité

indique que le passage du courant est favorisé quand il y a beaucoup d'e- libres, c. à d. n grand. Idem pour le libre parcours moyen λ.

De plus, l'augmentation de la température augmente la résistivité car u augmente. De plus l'agitation thermique du réseau diminue λ, ce qui augmente aussi la fréquence des chocs.

22

Circuits RC Ce sont des circuits avec résistances et condensateurs.

Au moment où l'interrupteur I est fermé, un courant circule à travers R pour amener des charges sur le condensateur C.

Le courant s'arrête quand la capacité C est chargée à un voltage qui est égal à celui de la batterie:

R C +

-

I

Vg

Si C était initialement déchargé, la quantité de charge à apporter sera Q = CVg au total.

R C +

- V=Vg Vg -

+

situation à t=∞

23

Circuits RC .2 A un temps t quelconque, on a la situation suivante:

I

R C +

- VC Vg -

+

VR

I, VR et VC sont des fonctions de t et on a VR(t) + VC (t) = Vg

€

Vg = RI(t) +Q(t)C

d'où on tire: où Q(t) est la charge accumulée dans C

Un changement dQ de la charge dans C, en un temps dt, est dû à un courant I(t) = dQ/dt, d'où l'équation différentielle:

€

Vg = R dQdt

+QC

supposé constante

24

Circuits RC .3

€

QC

+ R dQdt

−Vg = 0 QRC

+dQdt

−Vg

R= 0

la solution est du type

€

Q(t) = aebt + k

€

dQ /dt = abebt

on remplace

€

aRC

ebt +kRC

+ abebt −VgR

= 0

on égalise les termes qui ne dépendent pas de t:

€

kRC

−VgR

= 0 ⇒ k = CVg

... et les termes qui dépendent de t:

€

aRC

ebt + abebt = 0 ⇒ b = −1RC

d'où

a, b, k constantes à déterminer

25

Circuits RC .4

€

Q(t) = ae−t / RC + CVg

Conditions limites:

pour t = 0 la charge doit être nulle

€

Q(0) = ae−0 /RC + CVg = a + CVg = 0 ⇒ a = −CVg

€

Q(t) = CVg 1− e− t / RC( )En conclusion:

On a bien Q(t=infini)= CVg

26

Circuits RC .5

€

Q(t) = CVg 1− e− t / RC( )La charge dans C au cours du temps

vaut donc:

On peut aussi tirer I(t)=dQ/dt

€

I(t) =VgRe− t / RC = I0e

−t / RC

ici I0 représente le courant au temps t=0

Q(t) I(t) Exemple C=1 Vg=2, R=3

CVg Vg/R

t t