Cosinus-­‐‑relationerne(Vilkårlig  trekant!):  Vi  går  nu  videre  til  vilkårlige  trekanter  og  vil  bevise  cosinus-­‐relationerne  

Sætning  3.5.(se  AB1  bogen  side  299)     For  en  vilkårlig  trekant-­‐ABC  gælder:    

 

 

 

Bevis:  (for  den  første  af  relationerne:   )  1)   Tegn  en  vilkårlig  trekant  som  den  på  tavlen  –  men  med  højden    beliggende  indeni  trekanten:  

             

2)   Betragt  den  retvinklede  trekant-­‐ACD  og  benyt  pythagoras  (isolér  deri  størrelsen   )  

           

3)   Betragt  igen  den  retvinklede  trekant-­‐ACD  og  opskriv  et  udtryk  for      (isolér  deri  størrelsen  x)            

4)   Benyt  nu  pythagoras  på  den  retvinklede  trekant-­‐ABD  (husk  at  gange  eventuelle  parenteser  ud!)  i)   Indsæt  udtrykket  I  fandt  for   ,  som  I  fandt  i  2)  (og  reducér)  

ii)   Indsæt  nu  udtrykket  I  fandt  for  x,  som  I  fandt  i  3)  …  

 

 

 

 

 

 

voilá  beviset  skulle  nu  være  hjemme  (vend  evt.).  

 

Udfordringen  for  de  hurtigste:  Foretag  beviset  i  det  tilfælde  højden    ligger  udenfor  trekanten  (se  skitsen  på  side  300  i  AB1-­‐bogen  (violet)).  

I  får  nok  brug  for  følgende  resultat,  som  let  kan  indses  ved  at  betragte  enhedscirklen: